Assalamualaikum Wr Wb
Seminar Matematika
Pembuktian
Teorema Lima
Lingkaran
Oleh :
Rahma Siska Utari
(06091008003)
email : ama.utari@gmail.com
Dosen Pembimbing : Dr...
Pendahuluan
Di dalam geometri tedapat teorema-teorema,
salah satunya adalah Teorema Lima Lingkaran.
Teorema Lima Lingkaran...
Tujuan
Untuk membuktikan Teorema Lima
Lingkaran menggunakan konsep bangun
datar yaitu pentagon, pentagram,
segiempat tali ...
Materi Penunjang
1.Definisi Pentagon
Dalam geometri, pentagon atau segilima adalah semua
segi banyak yang bersisi lima.
2....
3. Definisi Lingkaran
Lingkaran adalah kurva tertutup sederhana yang
merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak
...
4. Lingkaran Luar Segitiga
Lingkaran luar suatu segitiga adalah suatu lingkaran yang
melalui semua titik sudut segitiga da...
Lanjutan...
< CDE = < ABC
Bukti :
< CDE + < ADC = 180o
< ADC + <ABC = 180o
Jadi , < CDE = < ABC
A
B
C
D
E
6. Titik - Titik Concyclic
Pada geometri, suatu
himpunan titik dikatakan
concyclic jika titik – titik
tersebut terletak pa...
7.Sudut keliling yang menghadap busur yang
sama
Sudut keliling yang
menghadap busur yang
sama memiliki ukuran
sudut/besar ...
Materi Pokok
Teorema Lima
Lingkaran:
• Diberikan Segilima ABCDE
• Perpanjangan sisinya
membentuk pentagram
• Dibentuk ling...
Akan dibuktikan α = α1 = α2 = α3.
Bukti :
Perhatikan MIE dan MNE
MIE = MNE adalah sudut
keliling lingkaran yang
menghadap ...
Lanjutan...
Perhatikan MIE dan EDM
EDM dan MDH adalah sudut berpelurus
EDM + MDH = 180º
MDH = 180o - EDM
α2 = 180o – (180o...
Perhatikan MCF dan MCH
adalah sudut berpelurus
MCF + MCH = 180o
MCF + α3 = 180o
karena α = α3
MCF = 180o - α
Sehingga FCMI...
Akan dibuktikan β = β1 = β2
ABKF adalah segiempat tali
busur,
AFK = β
GBK = β1 = β ...(1)
KCG = GBK , karena
menghadap bus...
• Perhatikan GCK dan
IHK adalah sudut
berpelurus
GCK + IHK = 180o
GCK+ β1 = 180o karena
β = β1
MCF = 180o – β
• Dengan dem...
Akan dibuktikan α = α4
< FIM = α
karena FKMI
segiempat tali busur
Maka α4 = α
Benar bahwa α4 = α
Akan dibuktikan θ = θ1 = θ2
AENP adalah segiempat
tali busur,
Dimana ANE = θ
Maka θ1 = θ ... (1)
θ1 = θ2 karena θ1 dan θ2
...
Perhatikan PKM dan
α4+ θ2 adalah sudut
berpelurus
PKM = 180o – (α4+
θ2) dan α1+ θ
Karena α = α4 dan θ =
θ2
Sehingga KMNP
a...
Dihubungkan busur
lingkaran yang
melalui titik K, M, N
dan P.
dan titik L terletak
pada lingkaran yang
sama .
Sehingga ter...
Kesimpulan
• Dari sebuah segilima sebarang dapat dibuat suatu
lingkaran.
• Pembuktian Teorema Lima Lingkaran dapat
dibukti...
Daftar Pustaka
• Aisyah, Nyimas. 2009. Diktat Geometri. Indralaya : Universitas sriwijaya
Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendi...
• Wikipedia.http://en.wikipedia.org/wiki/Inscribed_
angle_theorem#Theorem. Diakses tanggal 28
April 2012.
• Mathworld.http...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Pembuktian Teorema Lima Lingkaran (Proof of Five Circles Theorem - Miquel's Pentagram Theorm)

4,227 views

Published on

Published in: Education
0 Comments
1 Like
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
4,227
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
9
Actions
Shares
0
Downloads
133
Comments
0
Likes
1
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Pembuktian Teorema Lima Lingkaran (Proof of Five Circles Theorem - Miquel's Pentagram Theorm)

  1. 1. Assalamualaikum Wr Wb Seminar Matematika
  2. 2. Pembuktian Teorema Lima Lingkaran Oleh : Rahma Siska Utari (06091008003) email : ama.utari@gmail.com Dosen Pembimbing : Dra.Indaryanti,M.Pd
  3. 3. Pendahuluan Di dalam geometri tedapat teorema-teorema, salah satunya adalah Teorema Lima Lingkaran. Teorema Lima Lingkaran dikemukakan oleh matematikawan Prancis bernama Auguste Miquel dan dipublikasikan pada Journal de Mathematiques Pures et Appliquees (Liouville ‘s Journal) Tome Troisieme pada tahun 1838. Dikatakan pada teorema ini bahwa suatu lingkaran dapat dibentuk dari suatu segilima sebarang.
  4. 4. Tujuan Untuk membuktikan Teorema Lima Lingkaran menggunakan konsep bangun datar yaitu pentagon, pentagram, segiempat tali busur,lingkaran serta sifat – sifat dan hubungan antar sudut dalam lingkaran.
  5. 5. Materi Penunjang 1.Definisi Pentagon Dalam geometri, pentagon atau segilima adalah semua segi banyak yang bersisi lima. 2. Definisi Pentagram Pentagram atau segilima bintang adalah bentuk dari sebuah bintang bersisi lima (pentagon) yang digambar dari perpanjangan lima garis lurus masing – masing sisi pentagon.
  6. 6. 3. Definisi Lingkaran Lingkaran adalah kurva tertutup sederhana yang merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Jarak yang sama tersebut disebut jari-jari lingkaran dan titik tertentu disebut pusat lingkaran. E Bagian – Bagian Lingkaran O = Pusat Lingkaran OA = OB = OC = Jari – jari Lingkaran BC = Diameter Lingkaran AC = Tali Busur OD = Apotema Daerah ACE = tembereng Daerah AOB = Juring
  7. 7. 4. Lingkaran Luar Segitiga Lingkaran luar suatu segitiga adalah suatu lingkaran yang melalui semua titik sudut segitiga dan berpusat di titik potong ketiga garis sumbu sisi-sisi segitiga. 5. Segiempat Siklis Segi empat siklis (segi empat tali busur) adalah segi empat yang terletak dalam lingkaran, dimana tiap sudutnya menyinggung lingkaran sedemikian hingga jumlah dua buah sudut yang berhadapan pada segi empat siklis (segi empat tali busur) adalah 180o. Sebaliknya, jika dua buah sudut yang berhadapan pada suatu segiempat berjumlah 180o, maka segiempat tersebut adalah segi empat tali busur
  8. 8. Lanjutan... < CDE = < ABC Bukti : < CDE + < ADC = 180o < ADC + <ABC = 180o Jadi , < CDE = < ABC A B C D E
  9. 9. 6. Titik - Titik Concyclic Pada geometri, suatu himpunan titik dikatakan concyclic jika titik – titik tersebut terletak pada suatu lingkaran. S = { A, B, C, D, E, F} titik A, B, C, D, E, F concyclic.
  10. 10. 7.Sudut keliling yang menghadap busur yang sama Sudut keliling yang menghadap busur yang sama memiliki ukuran sudut/besar sudut yang sama. RPQ = RTQ = RSQ Karena menghadap busur QR.
  11. 11. Materi Pokok Teorema Lima Lingkaran: • Diberikan Segilima ABCDE • Perpanjangan sisinya membentuk pentagram • Dibentuk lingkaran dari segitiga AFB, BGC, CHD, DIE, dan EJA • Berpotongan dititik K, L, M, N dan P • Akan dibuktikan bahwa K, L, M,N dan P concyclic
  12. 12. Akan dibuktikan α = α1 = α2 = α3. Bukti : Perhatikan MIE dan MNE MIE = MNE adalah sudut keliling lingkaran yang menghadap busur ME. MIE = MNE α = α1 ... (1) Perhatikan MIE dan EDM MIE dan EDM adalah sudut Yang berhadapan pada segiempat tali busur EDMI MIE + EDM = 180º EDM = 180º - α ... (2)
  13. 13. Lanjutan... Perhatikan MIE dan EDM EDM dan MDH adalah sudut berpelurus EDM + MDH = 180º MDH = 180o - EDM α2 = 180o – (180o – α ) α2 = α ... (3) Perhatikan MCH dan MDH MCH = MDH adalah sudut keliling lingkaran yang menghadap busur MH. MCH = MDH α2 = α3 ... (4) Berdasarkan persamaan (1) , (3) dan (4) terbukti bahwa α = α1 = α2 = α3.
  14. 14. Perhatikan MCF dan MCH adalah sudut berpelurus MCF + MCH = 180o MCF + α3 = 180o karena α = α3 MCF = 180o - α Sehingga FCMI adalah segiempat siklis atau segiempat tali busur, dengan kata lain titik F, C, M, I concyclic.
  15. 15. Akan dibuktikan β = β1 = β2 ABKF adalah segiempat tali busur, AFK = β GBK = β1 = β ...(1) KCG = GBK , karena menghadap busur yang sama yaitu busur KG Sehingga β1 = β2 ...(2) Berdasarkan persamaan (1) dan (2) maka benar bahwa β = β1 = β2
  16. 16. • Perhatikan GCK dan IHK adalah sudut berpelurus GCK + IHK = 180o GCK+ β1 = 180o karena β = β1 MCF = 180o – β • Dengan demikian FKCI adalah segiempat siklis atau segiempat tali busur, dengan kata lain titik F, K, C, I concyclic.
  17. 17. Akan dibuktikan α = α4 < FIM = α karena FKMI segiempat tali busur Maka α4 = α Benar bahwa α4 = α
  18. 18. Akan dibuktikan θ = θ1 = θ2 AENP adalah segiempat tali busur, Dimana ANE = θ Maka θ1 = θ ... (1) θ1 = θ2 karena θ1 dan θ2 menghadap busur yang sama yaitu busur PF Sehingga θ1 = θ2 ... (2) Oleh karena itu terbukti θ = θ1 = θ2
  19. 19. Perhatikan PKM dan α4+ θ2 adalah sudut berpelurus PKM = 180o – (α4+ θ2) dan α1+ θ Karena α = α4 dan θ = θ2 Sehingga KMNP adalah segiempat siklis atau segiempat tali busur, dengan kata lain titik K, M, N, P concyclic.
  20. 20. Dihubungkan busur lingkaran yang melalui titik K, M, N dan P. dan titik L terletak pada lingkaran yang sama . Sehingga terbukti bahwa titik K, L, M, N dan P adalah titik – titik concylic. Dengan demikian teorema Lima Lingkaran terbukti,
  21. 21. Kesimpulan • Dari sebuah segilima sebarang dapat dibuat suatu lingkaran. • Pembuktian Teorema Lima Lingkaran dapat dibuktikan dengan penggunaan konsep pentagon, pentagram, lingkaran, segiempat tali busur, sifat sudut pada lingkaran, aturan sudut dalam trigonometri, serta titik – titik concyclic. Sehingga terbukti bahwa titik – titik K, L, M, N, P yang dihasilkan dari perpotongan dua lingkar adalah concyclic
  22. 22. Daftar Pustaka • Aisyah, Nyimas. 2009. Diktat Geometri. Indralaya : Universitas sriwijaya Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan. • Negoro dan Harahap. 1998. Ekslopedia Matematika. Jakarta : Yudhistira. • Wikipedia. 2008. Geometri. http://id.wikipedia.org/wiki/Geometri. Diakses tanggal 8 Maret 2012. • Wikipedia. http://en.wikipedia.org/wiki/Five_circles_theorem. Diakses tanggal 8 Maret 2012. • http://agutie.homestead.com/files/miquel_pentagram1.htm. Diakses tanggal 8 Maret 2012. • Wikipedia. http://id.wikipedia.org/wiki/Segi_lima. Diakses tanggal 9 Maret 2012. • Crayonpedia.http://www.crayonpedia.org/mw/BSE:Garis_Singgung_Lingk aran_8.2_(BAB_7) Diakses tanggal 11 Maret 2012. • Wikipedia. http://en.wikipedia.org/wiki/Pentagram. Diakses tanggal 29 Maret 2012.
  23. 23. • Wikipedia.http://en.wikipedia.org/wiki/Inscribed_ angle_theorem#Theorem. Diakses tanggal 28 April 2012. • Mathworld.http://mathworld.wolfram.com/Concy clic.html. Diakses tanggal 28 April 2012. • Wikipedia.http://en.wikipedia.org/wiki/Circumscr ibed_circle. Diakses tanggal 28 April 2012. • Wikipedia.http://en.wikipedia.org/wiki/Concyclic _points. Diakses tanggal 28 April 2012. • Wikipedia. http://en.wikipedia.org/wiki/Cyclic_quadrilateral. Diakses tanggal 28 April 2012, 14 : 53 WIB.

×