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CRISTALOGRAFÍA PARA QUÍMICOS
Teoría y prácticas
Tomás Lasarte Esteban
Publicaciones de la Unviversidad Jaume I , 2001
Depó...
1) Cristalografía y su relación con otras ciencias:..........................................................................
1
1) Cristalografía y su relación con otras ciencias:
Simetría
Teoría de
grupos
Métodos de
difracción
Estructura
atómica d...
2
2) Cristalografía y química:
Simetría puntual
Redes cristalinas
Simetría traslacional
Q
U
Í
M
I
C
A
C
R
I
S
T
A
L
O
G
R
...
3
Métodos estudio R-X
Del nudo a la red
coordinación, enlaces, defectos
Métodos de estudio
Propiedades
composición
química...
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3) Concepto de materia
“ La materia puede ser considerada como todo aquello que tiene masa y peso, ocupa espacio requier...
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3.2. Materia cristalina :
Es un mineral con ordenamiento interno pero que no ha dispuesto de espacio, tiempo y reposo pa...
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3.3. Materia amorfa (Mineraloides):
La materia amorfa no posee ordenamiento interno ni cristalización, sus partículas es...
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4) Propiedades del cristal:
4.1. Teoría reticular:
Las primeras ideas referentes a la ordenación interna del cristales s...
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4.2. Estructura interna de la materia. Construcción de la red espacial
Del NUDO (motivo)(átomos, iones y moléculas) ----...
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Las 5 redes planas posibles:
Motivos de distinto tamaño
Asimilable al Cloruro sódico
w
a1 = a2
w = 90º
Paralelogramo
fun...
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Con la traslación en la tercera dirección (a1,a2,a3, se obtienen las redes tridimensionales que pueden
construirse suma...
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4. 2. 2 Construcción de las redes tridimensionales por apilamiento de redes planas.
El apilamiento de una red plana obl...
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y
z
x
a
a
c
x
y
z
c
a 1
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y
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a
a
a
y
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a
a
El apilamiento de una red cuadrada a lo largo
de la dirección z con...
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4.2.3. Redes de Bravais: la restricción en número de éstas posibles redes se debe a que:
a) Deben ser homogéneas, lo qu...
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Las redes de Bravais son maneras distintas de distribuir o disponer los nudos en una red espacial (CRISTAL).
Partiendo ...
15
El dominio fundamental: En toda celda cristalina o paralelepípedo elemental, existe una parte de la
misma que no contie...
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5) SIMETRÍA
5.1 Tipos de simetría
Simetría, en su sentido más amplio, significa repetición de caras iguales. Esta repet...
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5.2 Elementos geométricos :
 Morfológicos (puntuales) : caras, aristas y vértices
Cara: La ordenación regular de los i...
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.. Ejes de rotación propio: Son los ejes ordinarios que necesitan de un solo movimiento para
efectuar una operación de ...
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La figura representa un cristal con un eje cuaternario de inversión.
= 90º + inversión (180º)
Ej.:
Biesfenoedro y escal...
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Plano de simetría : ( o plano de reflexión m)
Los planos de simetría son planos ideales que dividen al cristal en dos m...
21
Los elementos geométricos de simetría: centro, ejes y planos se simbolizan de la siguiente
forma:
Ejes de rotación prop...
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5.3 Leyes cristalográficas:
 Ley de Steno (constancia de los ángulos diedros) : Existe un factor geométrico que es inv...
23
 Ley de Haüy (Ley de la racionalidad): “Las caras existentes o posibles de los cristales de una
materia mineral están ...
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5.4. Tipos de caras (piramidal, prismática y pinacoidal) :
z (l)
x (h)
y (k)
o
C
BA
(OA,OB,OC)
z´
y'
x'
1) PIRAMIDALES:...
25
Z
Y
X
- a 3
-a1
-a3
-a2
a1
a2
5.5. Sistemas cristalinos :
 Sistema Cúbico :
Todos los cristales pertenecientes al sist...
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a1
- a1
Z
Y
X
c
- a2
- c
a2
 Sistema tetragonal :
Todos los cristales del sistema tetragonal pueden ser referidos a tr...
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 Sistema hexagonal :
El sistema hexagonal se caracteriza por tener una cruz axial, con dos ejes horizontales que se co...
28
 Sistema Trigonal - Romboédrico :
La cruz axial de este sistema es la misma que la del hexagonal y se refiere también ...
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 Sistema Rómbico
Los cristales del sistema rómbico son referidos a tres ejes mutuamente perpendiculares, a, b, y c tod...
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 Sistema Monoclínico:
Todos los cristales del sistema monoclínico son referidos a tres ejes desiguales a, b y c situad...
31
 Sistema Triclínico :
En el sistema triclínico los cristales se refieren a tres ejes cristalográficos de desigual long...
32
5.6. Formas cristalinas (abiertas, cerradas y combinadas)
La forma cristalina es el número y aspecto de las caras y su ...
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m
FORMAS SIMPLES ABIERTAS
Pedión Pinacoide Domo
Esfenoide Prisma Pirámide
FORMAS SIMPLES CERRADAS
FORMAS COMBINADAS (de...
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5.7. Tabla de símbolos de Hermann – Mauguin
SÍMBOLOS HERMANN - MAUGUIN
Análisis y significado de los símbolos en cada s...
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SISTEMA HEXÁGONAL Y TRIGONAL :
Ej:
6/m 2/m
La primera parte del símbolo se refiere
La tercera a un eje que biseca
SISTE...
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5.8. Clases de simetría y relación entre ellas. Holoedría y Meroedría
Dentro de cada uno de los siete sistemas cristali...
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 Algunas normas para la identificación de ejes de inversión en poliedros.
Sistemas con ejes de inversión
Sistema cúbic...
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EJERCICIO - PRÁCTICA 1
5.9. Determinación del sistema cristalino y elementos de simetría de los poliedros.
Material: PO...
ESTUDIO CON POLIEDROS
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5.9.1 Localización de los ejes cristalográficos en los poliedros para identificar el sistema
Para...
ESTUDIO CON POLIEDROS
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SISTEMA TETRAGONAL
Poliedro Posición ejes Orientación del poliedro según:
9. Prisma tetragonal
Ej...
ESTUDIO CON POLIEDROS
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SISTEMA HEXAGONAL * Las bipirámides son hexagonales
Poliedro Posición ejes Orientación del polied...
ESTUDIO CON POLIEDROS
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SISTEMA CÚBICO
Poliedro Posición ejes Orientación del poliedro
según:
35. Cubo o hexaedro
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ESTUDIO CON POLIEDROS
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5.9.2. Simetría característica de cada sistema
Clases cristalinas
Hermann - Mauguin Sistema Simet...
SISTEMA CÚBICO
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5.9.3. Localización de los elementos de simetría en los poliedros
Holoedría 4/m 3 2/m
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SISTEMA CÚBICO
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Hemiedría Hemimórfica 43m
3 cuaternarios de inversión
4 ternarios
6 planos
3E 4
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3
4E 6P
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SISTEMA CÚBICO
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3 ejes binarios
4 ejes ternarios
Triaquistetraedro pentagonal tetartoédrico
Tetartoedro
12 caras
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SISTEMA TETRAGONAL
47
Holoedría 4/m 2/m 2/m
1 eje cuaternario
4 ejes binarios
5 planos
centro de simetría
E
4 2
2E
´2
2E
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SISTEMA TETRAGONAL
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Hemiedría hemimórfica 4mm
Hemiedría paramórfica 4/m
1 eje cuaternario
1 plano
centro de simetría
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SISTEMA TETRAGONAL
49
Pirámide tetragonal
Tetartoedría de 2ª especie 4
Tetartoedría de 1ª especie 4
1 eje cuaternario de i...
SISTEMA HEXAGONAL
50
Bipirámide dihexagonal
(hk i l)
Polo 1
Prisma dihexagonal
(hk i 0)
Polo 4
Pinacoide hexagonal
(0001)
...
SISTEMA HEXAGONAL
51
1 eje senario
6 planos
Pirámide dihexagonal
(hk i l)
Polo 1 Polo 2 y 3
E6
p
3P 3P
´(sin centro de sim...
SISTEMA HEXAGONAL
52
Tetartoedría 6
Tetartoedría de 2ª especie 6 = 3/m
Bipirámide trigonal
1 eje senario de inversión
1 pl...
TRIGONAL - ROMBOÉDRICO
53
Pirámide ditrigonal
Escalenoedro ditrigonal
213
1
Hemiedría hemimórfica 3m
Polo 1
Polo 2
(hk i l...
TRIGONAL - ROMBOÉDRICO
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Pirámide trigonal 3º orden
Romboedro trigonal 3º orden
Hemiedría paramórfica 3
Tetartoedría 3
1 ...
RÓMBICO
55
Bipirámide rómbica
Holoedría 2/m 2/m 2/m
3 ejes binarios
3 planos
centro de simetría
Polo 1
Pinacoide (010)Pina...
RÓMBICO
56
1 binario
2 planos
E
2
2P
(sin centro de simetría y sin plano m)
Biesfenoide rómbico
3 binarios
E2 ´2
E ´´
2
E
...
MONOCLÍNICO
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Diedro axial o esfenoide
Pinacoide (100)Prisma (hkl) 4ª especie
Hemiedría 2
Prisma (hk0) 3ª especie
1 eje b...
TRICLÍNICO
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Pedión
Pinacoide (hk0)
Pinacoide (010)
Pinacoide (001)
Pinacoide (hkl)
Combinación de pinacoides triclínicos...
59
6) PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA
6.1 Definición y propiedades
Dado el carácter tridimensional de los cristales, para su mej...
60
6.2. Tabla de símbolos estereográficos
= m
x
x
Ejes de rotación normal (propios)
Polares:
1 monario 2 binario 3 ternari...
61
6.3. Estereograma y dominio fundamental
Cuando situamos un cristal en el interior de una esfera para proyectarlo estere...
Cristalografia para quimicos  teoria y practicas
Cristalografia para quimicos  teoria y practicas
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Cristalografia para quimicos teoria y practicas

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  1. 1. CRISTALOGRAFÍA PARA QUÍMICOS Teoría y prácticas Tomás Lasarte Esteban Publicaciones de la Unviversidad Jaume I , 2001 Depósito legal: CS-385-1999 x x x x x x x x x x x x . x x xx x x Hexaquistetraedro Hexaquistetraedro
  2. 2. 1) Cristalografía y su relación con otras ciencias:.............................................................................................................1 2) Cristalografía y química:.............................................................................................................................................2 3) Concepto de materia ...................................................................................................................................................4 3.1. Definición de mineral :.........................................................................................................................................4 3.2. Materia cristalina :................................................................................................................................................5 3.3. Materia amorfa (Mineraloides): ............................................................................................................................6 4) Propiedades del cristal: ...............................................................................................................................................7 4.1. Teoría reticular:....................................................................................................................................................7 4.2. Estructura interna de la materia. Construcción de la red espacial............................................................................8 4. 2. 1. Redes planas: Tipos de redes planas : ...........................................................................................................8 a1 # a 2 .....................................................................................................................................................................9 5) SIMETRÍA...............................................................................................................................................................16 5.1 Tipos de simetría.................................................................................................................................................16 5.2 Elementos geométricos :......................................................................................................................................17 5.3 Leyes cristalográficas:.........................................................................................................................................22 5.4. Tipos de caras (piramidal, prismática y pinacoidal) : ..........................................................................................24 5.5. Sistemas cristalinos : .........................................................................................................................................25 5.6. Formas cristalinas (abiertas, cerradas y combinadas)..........................................................................................32 5.7. Tabla de símbolos de Hermann – Mauguin .........................................................................................................34 5.8. Clases de simetría y relación entre ellas. Holoedría y Meroedría.........................................................................36 EJERCICIO - PRÁCTICA 1......................................................................................................................................38 5.9. Determinación del sistema cristalino y elementos de simetría de los poliedros. ....................................................38 5.9.1 Localización de los ejes cristalográficos en los poliedros para identificar el sistema .....................................39 5.9.2. Simetría característica de cada sistema .........................................................................................................43 5.9.3. Localización de los elementos de simetría en los poliedros ...........................................................................44 6) PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA ......................................................................................................................59 6.1 Definición y propiedades.....................................................................................................................................59 6.2. Tabla de símbolos estereográficos......................................................................................................................60 6.3. Estereograma y dominio fundamental .................................................................................................................61 6.4. Nombre de las formas de la proyección...............................................................................................................62 7) DEDUCCIÓN DE LAS 32 CLASES DE SIMETRÍA O GRUPOS PUNTUALES .....................................................64 7.1.1. Tabla con las 32 clases de simetría asignadas a los sistemas cristalinos, una vez eliminadas las equivalencias e incompatibilidades ................................................................................................................................................65 7.1.2. Lista con las 32 clases de simetría deducida de la asociación de elementos de simetría..................................66 EJERCICIO - PRÁCTICA - 2.....................................................................................................................................68 7.2 Ejercicios para la deducción de las 32 clases de simetría: .....................................................................................68 7.3. Tablas resumen de las 32 clases de simetría deducidas por asociación de ejes y planos. .......................................86 7.4. Deducción de las 32 clases de simetría añadiendo elementos de simetría a la tetartoedría.....................................88 7.4.1. Tabla de las clases de simetría a partir de la tetartoedría................................................................................89 7.5. Parámetros y notaciones ..................................................................................................................................104 7.6. Criterios para determinar las notaciones en la proyección esterográfica .............................................................109 7.7. Estereogramas de los sistemas cristalinos con las notaciones de los 7 polos de la holoedría................................110 7.8. Sistemas cristalinos con todas sus clases y todos sus polos ................................................................................131 8) Estereogramas de todos los sistemas, de todas sus clases y sus polos correspondientes. ............................................138 EJERCICIO - PRÁCTICA - 3...................................................................................................................................138 9.2. Asociaciones cristalinas y maclas......................................................................................................................181 Agregados cristalinos. .........................................................................................................................................181 Las formas cristalinas más frecuentes en las gemas. .............................................................................................185 10) Química y estructura.............................................................................................................................................187 10.1. Coordinación:.................................................................................................................................................188 10.2. Enlaces:..........................................................................................................................................................190 10.3. Defectos (imperfecciones) en la estructura cristalina: .....................................................................................193 11) Difracción de Rayos - X........................................................................................................................................195 11.1. Método del polvo cristalino (Debye-Scherrer) (Difracción) .............................................................................195 11.2. Método de Bragg (monomineral) (Reflexión)..................................................................................................196 11.3. Difractómetro de polvo de Rayos - X.............................................................................................................197 12) INTRODUCCIÓN A LOS GRUPOS ESPACIALES ...........................................................................................200 12.1. Características de los grupos espaciales:..........................................................................................................200 12.2. Nomenclatura de los grupos espaciales (4 redes planas y 17 grupos espaciales bidimensionales). .....................200 12.4. Planos de deslizamiento..................................................................................................................................203 12.5. Ejes helicoidales :...........................................................................................................................................204
  3. 3. 1 1) Cristalografía y su relación con otras ciencias: Simetría Teoría de grupos Métodos de difracción Estructura atómica de los cristales Informática Estructura Real Estado sólido Propiedades electrónicas Interaccion de propiedades de las partículas y quasi partículas Cristaloquímica Biología molecular Polímero s Metalurgia Mineralogía Cristales líquidos Síntesis industrial de cristales Materiales Ingeniería Electrónica (semiconductores) Propiedades físicas, eléctricas mecánicas, ópticas y magnéticas Crecimiento de cristales Química Sustancias puras Química física Transición de fases Líquidos
  4. 4. 2 2) Cristalografía y química: Simetría puntual Redes cristalinas Simetría traslacional Q U Í M I C A C R I S T A L O G R A F Í A Rayos X Simetría Cristalofísica Cristaloquímica cristalografía estructural Tipos de enlaces químicos Empaquetamientos Termodinámica cristalina Tipos estructurales Estructura de los silicatos Cristalografía morfológica
  5. 5. 3 Métodos estudio R-X Del nudo a la red coordinación, enlaces, defectos Métodos de estudio Propiedades composición química Fila monodimensional Fila bidimensional (5 redes planas) Red tridimensional(14 redes Bravais) (7 sistemas cristalinos) Simetría externa: movimientos centro ejes planos 32 clases de simetría (grupos puntuales) + ejes helicoidales + planos deslizamiento 230 Grupos espaciales Químicas Isomorfismo Polimorfismo Solución sólida (átomos, iones, moléculas) Proyección estereográfica Microscopio petrográfico claves dicotómicas Clasificación: Leyes cristalográficas Físicas mecánicas:exfoliación, fractura, dureza eléctricas:conductores y no conductores magnéticas: para y diamagnéticos térmicas: conductividad y dilatación Escalares vectoriales Organolépticas densidad punto de fusión y ebullición Materia cristalina Materia cristalina - cristal Química y estructura Sistemas cristalinos - - estereograma - dominio fundamental - tabla nombre de las formas - tabla clases de simetría - parámetros y notaciones - tabla símbolos estereográficos - símbolos Hermann-Mauguin - estereogramas sistemas - 32 clases de simetría (holoedría, polos..) - clases añadiendo elementos - clases asociando ejes relativas a su extensión relativas a su composición relativas a su estructura Ejes cristalográficos y tipos de caras Formas cristalinas: nº y aspecto de las caras Asociaciones y maclas Hábitos ópticas: color, brillo, reflexión-refracción birrefringencia, polarización, colores interferencia, uniáxicos y biáxicos (piroelectricidad y piezoelectricidad) Materia mineral materia amorfa Aplicaciones construcción, cerámica Bragg Polvo cristalino Microscopia electrónica DRX
  6. 6. 4 3) Concepto de materia “ La materia puede ser considerada como todo aquello que tiene masa y peso, ocupa espacio requiere la acción de una fuerza para ser movida y está dotada de propiedades físicas y químicas” “ La materia puede presentarse en tres estados: gaseoso, líquido o sólido.” La diferencia entre un estado u otro radica en el movimiento o agitación térmica que sus partículas componentes (átomos, iones y moléculas) mantengan unos respecto a otros.” En el estado gaseoso Las unidades integrantes (generalmente moléculas) se hallan en estado de agitación continua y están separadas por grandes distancias. Si adquieren mayor energía, por calentamiento, aumenta su velocidad y se dispersan más y por lo tanto tienen menos peso específico. Si va descendiendo la temperatura, pierden energía y las moléculas se van aproximando y aumenta el peso específico. En este estado varía el volumen y la forma En el estado líquido Las moléculas se ponen en contacto y permanecen con sus contiguas, pero conservando su orientación arbitraria, la sustancia deja de ser gas y pasa a líquido. En este estado solo varía la forma. En el estado sólido Si la temperatura sigue bajando, el movimiento entre las moléculas disminuye, llegando casi a cesar; tiene lugar al mismo tiempo una disposición más ordenada de las unidades, que puede, y llega, por enfriamiento o congelación a ordenarse en un modelo tridimensional. En este estado no varía ni la forma ni el volumen. 3.1. Definición de mineral : Un mineral es un sustancia natural e inorgánica en estado sólido, que posee una composición química fija o variable dentro de límites estrechos, y que además posee un ordenamiento atómico tridimensional(red cristalina espacial) y sistemático entre los iones, átomos o moléculas que componen su fórmula química. Puede ser homogéneo en sus propiedades químicas y físicas o mostrar pequeñas variaciones sistemáticas. Aunque la mayoría de los minerales se forman mediante procesos inorgánicos, existen algunas excepciones referidas a aquellos compuestos inorgánicos producidos por organismos, pero que cumplen las otras características de un mineral, como por ejemplo, el carbonato cálcico de las conchas de los moluscos. Análisis de la definición : a) Natural e inorgánico, excluimos los artificiales (laboratorio), así como las conchas de los moluscos (biogénicas) b) En estado sólido, es decir, que los minerales son fases sólidas, por lo cual quedan excluidos el aire, el agua, el mercurio líquido y el petróleo. c) Poseen una composición química fija o variable dentro de unos límites; significa que la composición química muestra una gran estabilidad. Son sustancias puras. En algunos casos, esta composición química puede variar por sustitución de átomos o iones por otros distintos, siempre que posean radios semejantes. Ej. Plagioclasas, olivino (isomorfismo). Los minerales están formados por la combinación de uno o varios elementos químicos en unas proporciones fijas. d) Están compuestos por átomos, iones o moléculas ordenados en una red cristalina llamada red espacial; todas las partículas están ordenadas en el espacio formando una red, manteniéndose unidas mediante enlaces. Las propiedades del mineral van a depender del tipo de red en que cristalicen y del tipo de enlace químico. Cristalizan de forma constante. e) Puede ser homogéneo en sus propiedades químicas y físicas o mostrar pequeñas variaciones sistemáticas. Un mineral es una fase homogénea, es decir, no separable por medios mecánicos en dos o más sustancias de propiedades físicas y químicas diferentes. Por ello, si un mineral, por ejemplo la pirita FeS2 , está compuesta por hierro y azufre, sus propiedades físicas y químicas no son la suma de las propiedades de ambos, sino que la pirita tiene propiedades peculiares.
  7. 7. 5 3.2. Materia cristalina : Es un mineral con ordenamiento interno pero que no ha dispuesto de espacio, tiempo y reposo para desarrollar forma externa poliédrica. Así pues, un mineral que presente un aspecto externo irregular puede estar ordenado interiormente. Estado cristalino: La distribución ordenada de los átomos (periodicidad) es la propiedad más importante y característica del cristal, por eso se define como un cuerpo sólido de estructura reticular. Cristal 1 : Son aquellas formas de materia cristalina que presentan un aspecto externo poliédrico formado por caras planas. Este aspecto externo es la expresión del ordenamiento interno de sus partículas integrantes. Han dispuesto de espacio, tiempo y reposo. Las caras del cristal representan el lugar geométrico de los puntos donde se equilibran las fuerzas que ejerce el cristal para atraer las moléculas y las de repulsión del líquido a cristalizar. Las caras del cristal aparecen con relaciones angulosas específicas, con respecto a la estructura atómica.  Cristal real : Los cristales naturales están, en la mayoría de los casos, distorsionados y desproporcionados, con imperfecciones y defectos con respecto a su modelo matemático o geométrico, pero se consideran regulares. * Materia cristalina y cristal funden a temperatura fija e instantáneamente, ya que su energía es fija e igual a la de los enlaces. * Sus átomos están separados por distancias que se repiten periódicamente y de ella depende la homogeneidad, simetría y anisotropía: Que la materia cristalina es homogénea significa que está formada por los mismos componentes en todas sus zonas. Puede haber casos de heterogeneidad accidental, por intrusión de átomos o moléculas extraños, en algunos puntos. Que la materia cristalina es anisótropa quiere decir que según la dirección del espacio que se considere, las distancias que separan a dos átomos o moléculas sucesivas varían, esto afecta a muchas de las propiedades físicas del mineral. * Periodicidad, homogeneidad, anisotropía y simetría son los caracteres fundamentales de la materia cristalina o cristal. 1 1 La definición más utilizada actualmente por la mayoría de los cristalógrafos, consiste en considerar como cristal a cualquier sólido con estructura interna ordenada independientemente de que, debido a condiciones favorables de cristalización, presenta caras bien formadas, planas, pulidas y con formas geométricas regulares, ya que la presencia de estas caras bien formadas no modifica sus propiedades fundamentales. Materia mineral Con ordenamiento interno Sin ordenamiento interno..................................................... Sin manifestación externa poliédrica: Con manifestación externa poliédrica : Materia cristalina Cristal Materia amorfa
  8. 8. 6 3.3. Materia amorfa (Mineraloides): La materia amorfa no posee ordenamiento interno ni cristalización, sus partículas están dispuestas al azar (como granos de azúcar en un azucarero), no ocupan posiciones fijas en el espacio. Las distancias que separan una partícula de otra no son constantes. El concepto de mineraloide se ha creado para agrupar los escasos ejemplos de sustancias líquidas o sólidas en estado amorfo, consideradas clásicamente como minerales. En este sentido, el ámbar, el ópalo, la obsidiana, la calcedonia, la limonita y el mercurio líquido, que aparece a veces como gotas dentro del cinabrio (verdadero mineral del mercurio, ya que posee estructura cristalina cúbica) son ejemplos de mineraloides. Existen muy pocos más. Los vidrios pueden ser considerados como líquidos excesivamente viscosos unidos por fuerzas de viscosidad. Muchos de los mineraloides poseían inicialmente estructura interna y lo perdieron por absorción de agua (ópalo y calcedonia). Los materiales amorfos presentan isotropía (las propiedades no varían con la dirección) con respecto a todas sus propiedades físicas. *A causa de la isotropía de su crecimiento, o bajo la influencia de la tensión superficial, adquieren la forma esférica si hallan posibilidad de desarrollarse libremente (formas arracimadas y arriñonadas). También se presentan en formas terrosas y deleznables. La forma esférica es típica también de las gelatinas minerales (ciertas sales metálicas que precipitan en sus disolventes). * El estado amorfo puede considerarse como un paso previo a la cristalización. * Los materiales amorfos funden poco a poco, a intervalos. * La materia amorfa no es periódica, ni simétrica, ni anisótropa. * Su característica más importante es la isotropía. * No existen direcciones “privilegiadas” para ninguna propiedad física ni química Diferencias entre las curvas de solidificación de los cuerpos amorfos y los cristalinos Tª Tª tiempo tiempo Sustancias amorfas Sustancias cristalinas xx 1 2 1. Comienzo cristalización 2. Final cristalización La curva de enfriamiento no presenta inflexiones La temperatura baja continuamente porque no necesita energía para reorganizar sus partículas ya que están desordenadas Se observan dos inflexiones que corresponden al comienzo y final de la cristalización, motivadas por la pérdida de energía producida por el sistema durante la cristalización, que compensa la pérdida de calor, gracias a la cual la temperatura permanece en el mismo nivel Cuando el sistema pierde calor los átomos pierden energía cinética (movimiento) y utilizan la energía calorífica restante para reorganizarse y distribuirse. Es por ello que no pierden temperatura, hasta que una vez organizados, vuelve a bajar.
  9. 9. 7 4) Propiedades del cristal: 4.1. Teoría reticular: Las primeras ideas referentes a la ordenación interna del cristales son del siglo XVII. El francés Bravais (1849) propuso la teoría reticular, según la cual las partículas de los cristales (átomos, iones y moléculas) deben de estar colocados en los nudos de una red paralelepipédica. Supuso que los cristales estaban constituidos por lo que denominó partículas cristalinas, que en forma de puntos se dispondrían formando un retículo tridimensional. Los puntos de la red, al no estar en contacto unos con otros, podrían alterar las distancias entre ellos, debido a las variaciones de temperatura. Eso explicaría los fenómenos de dilatación y contracción observadas en los cristales. Las hipótesis postuladas por Bravais son el núcleo de lo que hoy en día se conoce como teoría reticular, cuya validez fue confirmada a principios de nuestro siglo al estudiar los minerales por medio de los rayos X. En 1912 Von Laue confirmó la teoría reticular y la naturaleza ondulatoria de los R -X. El estudio del ordenamiento interno de los cristales nos permite definir el estado sólido como un ordenamiento de partículas en los nudos de las redes cristalinas en disposición tridimensional. Se llaman filas reticulares a las rectas que alinean las partículas con separación entre ellas constante. El cristal presenta como propiedades más significativas, la simetría (distribución simétrica de las partículas), homogeneidad (una fase homogénea, es decir, no separable por medios mecánicos en dos o más sustancias de propiedades físicas y químicas diferentes y que tienen las mismas propiedades medidas paralelamente), periodicidad (los nudos se sitúan periodicamente en filas reticulares) y anisotropía (sus propiedades dependen de la dirección en que se miden). Diferentes criterios de elección de filas en una red plana, o planos reticulares en una red tridimensional. Dos filas reticulares que se cortan definen un plano reticular que contiene infinitas filas paralelas. Las redes cristalinas son medios discontinuos, ya que las partículas materiales se sitúan exclusivamente en los nudos de la red. Las redes son periódicas porque los nudos se sitúan periódicamente (a intervalos regulares) en las filas reticulares. Consecuencia de la es que las redes son homogéneas: todos sus nudos son equivalentes y no existen nudos privilegiados, diferentes a los demás. Anisotropía Periodicidad c c c c c
  10. 10. 8 4.2. Estructura interna de la materia. Construcción de la red espacial Del NUDO (motivo)(átomos, iones y moléculas) ----------------------------> a la RED El estado cristalino viene caracterizado fundamentalmente por la distribución de los átomos según un esquema regular y periódico que dibuja una red estructural tridimensional. Antes de considerar las tres dimensiones del espacio comenzaremos por considerar la ordenación en el plano, es decir, la formación de redes planas. Consideremos en primer lugar un nudo y vayamos construyéndolas. Nudo (átomos, iones, moléculas). Se puede definir como cualquier punto material que forma parte de la red. traslación cte. = c Fila de nudos reticular (monodimensional) : Representa puntos igualmente espaciados a lo largo de una línea. También podemos definirla como una recta definida por dos nudos cualesquiera y formada por infinidad de nudos dispuestos de tal modo que la distancia entre nudos contiguos sea siempre la misma. La fila reticular o arista tiene unas coordenadas(de uno cualquiera de sus puntos) que se representan por [uvw]. traslación a1, a2, w Plano reticular (red plana bidimensional) (constituyen las diferentes bases de las celdas elementales combinando los valores a1, a2, w). La malla reticular (paralelogramo fundamental) es una porción del plano reticular. Distribución regular de nudos en dos direcciones. Los planos se representan por las notaciones (hkl). 4. 2. 1. Redes planas: Tipos de redes planas : En una red plana existen infinitas filas reticulares con traslaciones diferentes. De ellas se consideran, para definir la red bidimensional, las dos con traslaciones más pequeñas y que forman un ángulo entre si de tal forma que definen un paralelogramo que se denomina celda fundamental (malla) de la red plana. La malla es la porción de plano reticular limitado por dos pares de filas que se cortan dando lugar a un paralelogramo. Red plana Cuadrada a1 = a2 w = 90º Red plana Rectangular a1 # a2 w = 90º Red plana Romboidal (oblicua) a1 # a2 w # 90º Red plana Rómbica a1 = a2 w # 90º, 60º, 120º Red plana Hexagonal (rómbica especial) a1 = a2 w = 60º ó 120º c c c c c c c c c c c Compleja Simple átomos |--c-- | w a1 a2
  11. 11. 9 Las 5 redes planas posibles: Motivos de distinto tamaño Asimilable al Cloruro sódico w a1 = a2 w = 90º Paralelogramo fundamental w 90º 1) RED CUADRADA: Caracterizada por dos parámetros de traslación iguales y formando un ángulo entre ellos de 90º. Se considera que existen dos motivos de distinto tamaño a1 a2 a1 a2 a1 a2 Los motivos son todos de igual tamaño y al ser tangentes el máximo del que pueden rodearse es seis. Paralelogramo fundamental 5) RED HEXAGONAL (Rómbica especial): Definida para a1 = a2 60º 60º Se forma un hexágono regular Triángulos equiláteros 60º Formada por tres redes rómbicas que determinan un hexágono regular. y W = 60º o 120º a1 a2 a1 a2 2) RED RECTANGULAR W # 90º W = 90º 90º Paralelogramo fundamental Paralelogramo fundamental # 3) RED ROMBOIDAL (OBLICUA) a1 # a 2 a2 a1 a2 a1 a2 a1 W # 90º, 60º y 120º Paralelogramo fundamental w 4) RED RÓMBICA GENERAL : Definida igualmente para a1 = a2 El ángulo es distinto de 90º, 60º y 120º w triángulo isósceles a1 a2 a1 a2
  12. 12. 10 Con la traslación en la tercera dirección (a1,a2,a3, se obtienen las redes tridimensionales que pueden construirse sumando una dirección de traslación adicional (vector) a las redes planas. La red espacial cristalina2 (cristal) representa la distribución de nudos equivalentes en tres dimensiones, cada uno de estos puntos posee un entorno idéntico al de cualquier otro punto de la red. El cristal posee las propiedades de la homogeneidad y de la periodicidad. Homogeneidad porque cada nudo de su red es idéntico a todos y cada uno de los demás de la red y periodicidad porque los nudos en una dirección dada se encuentran a distancias fijas. Celda elemental : Es una porción tridimensional de la red limitada por 6 planos reticulares, paralelos dos a dos. Resulta el paralelepípedo más pequeño (no divisible en otro menor) que por traslación tridimensional nos origina el cristal visible (red espacial) y que queda definido por los parámetros: a1 a2 a3, y ángulos: . Las redes tridimensionales vienen definidas por una red plana y su apilamiento. Por este motivo, un mismo tipo de red plana da origen a distintas redes tridimensionales, según la manera de apilarse, es decir según que la proyección de los nudos de los planos sucesivos de la familia conocida coincida o no con posiciones de la red plana inmediata en la serie. De esta forma se obtienen las 14 redes de BRAVAIS de las cuáles 7 son primitivas (P: solo presentan nudos en los vértices y definen los siete sistemas cristalinos) y las otras 7 se denominan múltiples (C F, I) quedando repartidas de la siguiente manera:  REDES DE BRAVAIS : 14 = 7 redes primitivas + 7 redes múltiples Sistema cúbico P I F Sistema tetragonal P I Sistema hexagonal P Sistema romboédrico R(P) Sistema rómbico P C I F Sistema monoclínico P C Sistema triclínico P Las características de los sistemas cristalinos se analizarán más adelante en el apartado de la simetría. 2 Otra definición: es un sistema infinito de puntos materiales en el espacio, ordenados según relaciones de periodicidad. Las relaciones de periodicidad pueden expresarse en forma matemático-analítica referida a coordenadas cartesianas (X,Y,Z), partiendo de tres vectores no coplanarios y utilizando la traslación para construir o definir la red de cada uno de sus puntos. Celda elemental y z x RED ESPACIAL X Y Z
  13. 13. 11 4. 2. 2 Construcción de las redes tridimensionales por apilamiento de redes planas. El apilamiento de una red plana oblicua con un ángulo arbitrario conduce a redes triclínicas primitivas z x y y z y z x y z x y z # 90º # 90º = 90º # 90ºconduce El apilamiento de una red rectangular primitiva en dirección vertical (z) con un ángulo a una red monoclínica primitiva. MONOCLÍNICA CENTRADA (en 001) RÓMBICA PRIMITIVA # 90º El apilamiento de una red plana rectangular en una dirección dirección vertical (z) con un ángulo da lugar a una red monoclínica centrada. El apilamiento de una red rectangular primitiva en una dirección vertical (z) con el ángulo = 90º conduce a una red rómbica primitiva RÓMBICA CENTRADA (en 001) RÓMBICA CENTRADA EN EL INTERIOR RÓMBICA CENTRADA EN LAS CARAS = 90º El apilamiento de una red plana rectangular centrada en una dirección vertical (z) con el ángulo conduce a una red rómbica centrada. El apilamiento de una red rectangular primitiva a lo largo de la dirección definida por los nodos K y L conduce a una red rómbica con un nodo central. = 90º z y K L x El apilamiento de una red rectangular centrada a lo largo de la dirección definida por los nodos K y L´ (sobre la cara frontal) da lugar al centrado de todas las caras de la red tridimensional. z y c b K L´ a a c TRICLÍNICA PRIMITIVA MONOCLÍNICA PRIMITIVA b x x x
  14. 14. 12 y z x a a c x y z c a 1 a 2 y z x a a a y z x a a a El apilamiento de una red cuadrada a lo largo de la dirección z con un ángulo x^z = 90º RED TETRAGONAL PRIMITIVA RED TETRAGONAL CENTRADA EN EL INTERIOR Apilamiento de la misma red, pero ahora siguiendo una dirección definida por los nodos K y L y z x a a c K L ROMBOÉDRICA El apilamiento de una red plana hexagonal en dirección z con el ángulo x ^ z = 90º conduce a una red hexagonal primitiva. Si esta opción se gira 3 veces alrededor de z se obtiene una red hexagonal centrada en las caras. Apilamiento de una red plana a lo largo de la dirección definida por los nodos K y L´ (a lo largo de la cara frontal) CÚBICA CENTRADA EN LAS CARAS HEXAGONAL PRIMITIVA Y CENTRADA 3 a g a ga g a g Una red hexagonal puede también apilarse a lo largo de las direcciones de las aristas de un romboedro Así resulta una red espacial romboédrica. CÚBICA PRIMITIVA Apilamiento de una red plana cuadrada a lo largo de la dirección z con el ángulo x ^ z = 90º CÚBICA CENTRADA EN EL INTERIOR Apilamiento de una red plana cuadrada a lo largo de la dirección definida por los nodos K y L (diagonal del cuerpo) y z x a a a K L x x y
  15. 15. 13 4.2.3. Redes de Bravais: la restricción en número de éstas posibles redes se debe a que: a) Deben ser homogéneas, lo que significa que cada nudo debe estar rodeado de un número idéntico de vecinos (igual número de coordinación). b) Deben ser diferentes, osea que la red nueva sea distinta de la primitiva P. c) Deben ser simétricas, es decir, que posean la misma simetría del grupo al que pertenecen. SISTEMAS CRISTALINOS (Redes Matemáticas) TIPOS POSIBLES DE REDES ESPACIALES: 14 REDES de BRAVAIS Redes planas que intervienen en su construcción Sencilla P Centradas en las bases A ó B ó C Centradas en el interior I Centradas en todas caras F CÚBICO a1 = a2 = a3 º Redes planas: cuadradas TETRAGONAL a1= a2 # c º Redes planas: cuadradas y rectangulares HEXAGONAL a1= a2 = a3 # c a1 con a2; a2 con a3; y a3 con a1 = 120º a1= a2 = a3 con c 90º Redes planas: hexagonales y rectangulares ROMBOÉDRICO O TRIGONAL a1= a2 = a3 º ó 57º 30` Redes planas: rómbicas RÓMBICO a # b # c º Redes planas: rectangulares MONOCLÍNICO a # b # c º º Redes planas: rectangulares y romboidales TRICLÍNICO a # b # c º Redes planas: romboidales P a c b I FC Igual a P Igual a P Igual a P P C I F Igual a C Igual a C P C I F C I F R ó P Imposible Igual a R Igual a R a1 a2 a3 c P C I F Imposible Imposible Imposible P a1 a2 a3 P C Igual a I F Igual a I I P C Imposible I F
  16. 16. 14 Las redes de Bravais son maneras distintas de distribuir o disponer los nudos en una red espacial (CRISTAL). Partiendo de las 7 celdillas unidad (constituyen los 7 sistemas cristalinos con sus constantes) se pueden encontrar otras 7 más complejas que resultan de la compenetración de dos del mismo tipo en tanto se respete la simetría. No existen otras posibilidades, aparte de las 14 enunciadas, de formar redes tridimensionales por superposición de redes planas, y como estas redes se han obtenido simplemente por traslaciones sucesivas de una red plana, se denominan también redes de traslación. Constituyen la base de las características diferentes que permiten identificar los siete sistemas cristalinos (cúbico, tetragonal, hexagonal, trigonal - romboédrico, rómbico, monoclínico y triclínico). Las redes espaciales anteriormente descritas, llevan implícitos ciertos elementos de simetría que vienen determinados por las relaciones existentes entre los elementos (parámetros y ángulos) que definen la red. Así, encontramos el centro de simetría, los planos de simetría y los ejes de simetría, que solo pueden ser de 2, 3, 4 y 6, únicos compatibles con las redes planas descritas. Las relaciones entre los nudos, filas y planos reticulares de una red espacial, con los elementos de simetría, pueden resumirse en los siguientes principios: 1. Todo nudo de una red es un centro de simetría. 2. Todo eje de simetría es una fila reticular. 3. Todo plano de simetría es un plano reticular. 4. Perpendicularmente a todo eje de simetría, existe una familia de planos reticulares. 5. Todo plano reticular que sea plano de simetría, tiene una familia de filas reticulares normales a él, y cada una de estas filas es un eje de simetría. 6. Toda fila reticular que sea eje de simetría de orden 4 ó 6, tiene otras tantas filas reticulares normales a ella que son ejes binarios y en consecuencia (por el tercer principio), 4 ó 6 familias de planos de simetría que pasan por dicha fila. 7. Cuando una fila reticular es un eje ternario, no existen ejes binarios normales a ella y el eje ternario es de inversión, es decir, que tiene un centro de simetría sobre el eje, que no coincide con un nudo de la red. 8. Si una fila reticular es un eje de simetría de orden n, existen n planos de simetría que pasan por ella. Las redes de Bravais constituyen 7 celdas elementales con características diferentes que permiten identificar los siete sistemas cristalinos.( cúbico, tetragonal, hexagonal, trigonal-romboédrico, rómbico, monoclínico y triclínico) 7 Sistemas cristalinos (constantes, elementos....) A partir de las redes de Bravais y de la combinación de los elementos de simetría (ejes, planos, centro) se deducen las 32 clases de simetría o grupos puntuales3 32 clases de simetría (grupos puntuales) Algunas de las clases tienen características de simetría en común a otras lo que permite agruparlos en uno de los 7 sistemas cristalinos. (Cúbico: 5 clases; Tetragonal: 7 clases; Hexagonal: 7 clases; Trigonal-romboédrico: 5 clases; Rómbico: 3 clases; Monoclínico: 3 clases y Triclínico: 2 clases) Son combinaciones de simetría exentas de traslación. Todos estas clases de simetría pueden ser representadas mediante proyección estereográfica y con 7 posiciones diferentes cada una de ellas. 2 3 Significa que la operación de simetría deja un punto particular del diagrama inmóvil.
  17. 17. 15 El dominio fundamental: En toda celda cristalina o paralelepípedo elemental, existe una parte de la misma que no contiene elementos de simetría y que constituye la mayor parte asimétrica de la red, que por repetición (por traslación o por las operaciones de simetría propias de la red a la que pertenece), puede llenar todo el espacio cristalino sin dejar huecos. Esta porción del espacio cristalino, asimétrico se denomina dominio fundamental y está limitado precisamente a los elementos de simetría. De esta manera, un cristal se puede dividir en un cierto número de dominios fundamentales, relacionados entre si por las operaciones de simetría propias de la red a la que pertenece. Por ejemplo, una red cúbica es un dominio complejo formado por 48 dominios fundamentales. La posibilidad de rellenar el espacio cristalino con dominios fundamentales, tiene como consecuencia la aparición de dos nuevas operaciones de simetría, que son el resultado de aplicar a las ya conocidas una traslación, resultando así los PLANOS DE DESLIZAMIENTO y LOS EJES HELICOIDALES Cuando queremos estudiar las relaciones estructurales, hace falta tomar en consideración la existencia posible de traslaciones, ejes helicoidales que llevan asociados a una rotación una traslación, y planos de deslizamiento, o sea, planos de reflexión con traslaciones simultáneas. De forma resumida podemos decir que los grupos espaciales se deducen de la combinación de las 14 redes de Bravais y de los elementos de simetría + ejes helicoidales + planos de deslizamiento. Al considerar las posibilidades de agrupar en una red cristalina estos diferentes elementos de simetría hace que ésta no esté constituida por un solo elemento particular de simetría, sino por un conjunto de elementos de simetría idénticos y paralelos, que formen haces de elementos de simetría. La combinación de los diferentes haces de elementos de simetría, da origen a 230 posibilidades distintas, que reciben el nombre de grupos espaciales y corresponde a las 14 redes de Bravais. 230 grupos espaciales4 de simetría (Fedorov y Schoenflies elevaron a 230 las maneras de distribuir u operar con los nudos) (cada cristal corresponde a cada uno de estos grupos). 4 Está relacionado con la teoría matemática de grupos que permite una deducción sistemática de todas las posibles y no idénticas combinaciones de simetría
  18. 18. 16 5) SIMETRÍA 5.1 Tipos de simetría Simetría, en su sentido más amplio, significa repetición de caras iguales. Esta repetición puede lograrse mediante operaciones de simetría, tomando como punto de referencia el centro, ejes o planos de simetría de un cristal. Dos figuras son mutuamente simétricas cuando la distancia entre dos puntos equivalentes cualesquiera de una cara se da en la misma dimensión en la otra. Los movimientos que nos pueden dar simetría pueden ser: De 1ª especie : son movimientos simples: El primer movimiento es la traslación El segundo movimiento es la rotación De 2ª especie: Reflexión: dos figuras cuyos puntos se corresponden mutuamente mediante un plano. Inversión : basado en la correspondencia respecto a un punto.  Figuras congruentes: Se corresponden con los movimientos de 1ª especie. Son todas aquellas que su correspondencia entre ellas haya sido realizada por la traslación o rotación. El eje cuaternario de un cubo tendrá sus caras congruentes entre si.  Figuras enantiomórficas: Se corresponden con los movimientos de 2ª especie. Son aquellas figuras que se corresponden tanto por medio de la reflexión como por la inversión. Son cuerpos superponibles por la reflexión de un plano de reflexión y no por traslaciones o rotaciones (considerando el objeto tridimensionalmente, no se superponen en volumen). Se definen como formas de izquierda y derecha. B B Ejemplo de figura congruente por traslación Ejemplo de figura congruente por traslación vectores TRASLACIÓN REFLEXIÓN INVERSIÓN En planta ROTACIÓN Figuras congruentes Figuras enantiomorfas 1ª Especie 2ª Especie
  19. 19. 17 5.2 Elementos geométricos :  Morfológicos (puntuales) : caras, aristas y vértices Cara: La ordenación regular de los iones en el cristal es el motivo interno que explica la distribución de las caras externas. La superficie más o menos plana (aunque sabemos que el cristal real no suele ser perfecto) que limita el cristal del medio exterior. Arista: la intersección entre dos caras adyacentes se denomina arista Vértice: punto en el que convergen tres o más aristas. Poliedro natural o cristal : Es una porción de materia limitada por caras planas, cuyos átomos están ordenados en los nudos de redes paralelepipédicas y cuya forma poliédrica han tomado espontáneamente. Poliedro geométrico : Es la porción de espacio limitado por caras planas, en las que solo se tiene en cuenta las caras.  De simetría: centro, ejes y planos: Centro de simetría: Es igual a un centro de inversión (i ó ). C = monario de inversión Es un punto imaginario situado en el centro del cristal, en el que se cortan cuantas líneas imaginarias unen a los elementos morfológicos idénticos y opuestos del cristal. Por el centro de simetría pasan los ejes y planos de simetría. No tendrán centro aquellos cristales que presentan alguna cara sin su correspondiente paralela o presentan ejes polares. Los cristales con caras paralelas tienen centro de simetría. Ejes de simetría : Son líneas imaginarias que, tomadas como ejes de giro, hacen que éste tome una serie de posiciones idénticas. El orden de este eje dependerá de las veces que se repita el elemento homólogo en una vuelta. Así como en cuerpos artificiales pueden existir ejes de simetría de cualquier orden, se ha podido demostrar que en los cristales no hay más que los siguientes órdenes : 2, 3, 4, 6 1 i (c)
  20. 20. 18 .. Ejes de rotación propio: Son los ejes ordinarios que necesitan de un solo movimiento para efectuar una operación de simetría de giro5 . Eje polar: Se denomina así cuando dos extremos del eje corresponden a dos partes del cuerpo o figura que no se pueden llevar a coincidir por otra operación. Las caras son diferentes en uno y otro extremo del eje. Orden del eje = n Nombre Símbolo Ángulo de giro 6 Senario E6 360/6 = 60º 4 Cuaternario E4 360/4 = 90º 3 Ternario E3 360/3 = 120º 2 Binario E2 360/2 = 180º Ejes de rotación (n) : 1, 2, 3, 4, 6 El eje de simetría monario 1, no tiene existencia, ya que la repetición no se realiza más que al cabo de una vuelta completa, si bien cabe también considerarlo .. Ejes de rotación impropios (inversión): Son aquellos elementos de simetría que necesitan dos movimientos consecutivos para realizar una operación de simetría = Rotación (n) + inversión (180º) Este elemento de simetría compuesto combina una rotación alrededor de un eje con inversión sobre un centro. Ambas operaciones deben completarse antes de que se obtenga la nueva posición. Si la única simetría que posee un cristal es un centro, la rotación correspondiente es un eje monario de inversión Consideremos el mecanismo de un eje cuaternario de rotación. En la operación de un eje de rotación cuaternario aparecen 4 puntos idénticos, cada uno a los 90º de giro, todos en la parte superior o todos en la parte inferior del cristal. En la operación de ejes cuaternarios de inversión, por el contrario, se hallarán también cuatro puntos idénticos, pero dos estarán en la parte superior y dos en la inferior del cristal. La operación de tal eje implica cuatro rotaciones de 90º, cada una de ellas seguidas por una inversión. De este modo si el primer punto está en la parte inferior del cristal el 2º está en la superior, el 3º en la inferior y el 4º nuevamente en la superior. 5 Como norma, el giro es en sentido contrario a las agujas de un reloj. 1,2,3,4,6 1.
  21. 21. 19 La figura representa un cristal con un eje cuaternario de inversión. = 90º + inversión (180º) Ej.: Biesfenoedro y escalenoedro tetragonal = Romboedro y escalenoedro ditrigonal = Bipirámide y prismas trigonal y ditrigonal = 4 XX X X XX X giro inversión X X giro inversión giro inversión Giro de 90º inversión 180º POSICIÓN FINAL 1º 2º 3º 4º 6 3 4
  22. 22. 20 Plano de simetría : ( o plano de reflexión m) Los planos de simetría son planos ideales que dividen al cristal en dos mitades simétricas, es decir, que un punto cualquiera de ellas tiene su homólogo en la otra, sobre la perpendicular trazada desde el punto al plano. Cuando nos miramos en un espejo vemos nuestra imagen colocada simétricamente respecto a dicho espejo. Podemos decir, entonces, que el espejo es un plano de simetría. Tanto los planos de simetría como los ejes, pueden ser principales y secundarios. Plano principal es el perpendicular a un eje principal de simetría. Plano secundario, es todo plano perpendicular a un eje secundario. .. Teorema de Euler : "En un cristal se pueden distinguir los elementos geométricos de todo poliedro: caras, aristas y vértices”. Estos están relacionados para cada poliedro por el Teorema de Euler : Caras + Vértices = Aristas + 2
  23. 23. 21 Los elementos geométricos de simetría: centro, ejes y planos se simbolizan de la siguiente forma: Ejes de rotación propios E Ejes de rotación impropios o de inversión E i Ejes de rotación propios polares Ep Centro de simetría C Los planos se representan m ó P Ejemplo 3 E 4 3 P (se "lee" tres ejes cuaternarios) (se "lee" tres planos, que serían perpendiculares al) situarse debajo de los ejes). TABLA DE SÍMBOLOS DE LOS ELEMENTOS DE SIMETRÍA E2 Ejes binarios E3 Ejes ternarios E 3 E 4 Ejes cuaternarios E6 Ejes senarios 4 , 3P 3 P E 43Situados de esta forma no son perpendiculares entre si En este caso los ejes y los planos son perpendiculares entre si.
  24. 24. 22 5.3 Leyes cristalográficas:  Ley de Steno (constancia de los ángulos diedros) : Existe un factor geométrico que es invariable para cristales diferentes de la misma especie la misma, este es, el valor angular de dos caras contiguas de un cristal. y se enuncia : "En cristales de la misma especie (ejemplares distintos), en igualdad de condiciones de Tª y P , los ángulos diedros correspondientes son siempre iguales, siendo variables el número, la forma y el tamaño de las caras". Lo que caracteriza y determina la especie cristalina es el valor de los ángulos que las caras forman entre si. La medición de dichas caras se realiza con el goniómetro. Para esta ley son datos accesorios el tamaño de los ejemplares, la forma de las caras y la extensión de caras y aristas, quedando como datos fundamentales los ángulos diedros. A esta ley hay que añadir "siempre que se hayan originado en las mismas condiciones".  Ejes cristalográficos (o cruz axial) Son líneas imaginarias que sirven para orientar los cristales. Los ejes cristalográficos deben de coincidir con las aristas reales o posibles del cristal o con ejes de simetría. A veces estas direcciones pueden ser coincidentes.  Ley de Plinio: los cristales aparecen delimitados por caras planas y aristas rectilíneas. Estructuralmente las caras de los cristales son planos reticulares, y las aristas coinciden con las filas de nudos. Ley de la constancia de los ángulos diedros Hexágonos perfectos de de distinto tamaño - c c a b- b - a Z (l) X (h) Y(k) Hay tres ejes cristalográficos: .. El eje "a" o eje anteroposterior que va de delante a atrás .. El eje "b" o eje transverso que va de derecha a izquierda. .. El eje "c" o eje vertical que va de arriba a abajo. Como indica el dibujo, la porción positiva es la de delante para el eje "a", la de la derecha para el eje "b" y la de arriba para el eje "c"
  25. 25. 23  Ley de Haüy (Ley de la racionalidad): “Las caras existentes o posibles de los cristales de una materia mineral están ligadas entre si geométricamente por números racionales6 y sencillos” Medidas realizadas sobre las aristas de los cristales condujeron a Haüy a enunciar la más importante ley de cristalografía geométrica. Se toman como ejes coordenados tres aristas de un cristal con vértice común en O. Una cara ABC que corte a los ejes en A, B y C determinará unas distancias OA, OB, y OC. Igualmente, a otra cara cualquiera A' B' C' , no paralela a ABC, le corresponderán OA' OB' y OC' . Las caras de un cristal cortan a los ejes cristalográficos (coordenados) a unas distancias que se llaman parámetros. El valor de un parámetro puede ser positivo o negativo, según sea la zona de la cruz axial donde quede situada dicha cara. Si establecemos : la ley de la racionalidad dice : "Los números r1, r2 y r3 son racionales y generalmente sencillos" De forma más explícita se la puede enunciar así: "Las caras existentes o posibles de los cristales de una materia mineral están ligadas entre sí geométricamente por números racionales y sencillos". La ley puede ser demostrada a partir de la teoría reticular. Volviendo a la figura no hay duda de que OA contendrá un número m entero de periodos de identidad unidad (PIU) y OA´ también poseerá otro número entero n (PIU) ; por tanto: será un número racional y lo mismo para las relaciones sobre los otros ejes. A la ley de racionalidad se la llama también fundamental porque limita la simetría, las combinaciones entre caras y, en general, muestra las propiedades más importantes de la materia mineral. 6 El entero, decimal o quebrado, que puede expresarse como cociente exacto de dos números enteros (+ ó -) OA OA’ m . PIU n. PIU m n OA OA’ r1 OB OB’ r2 OC OC’ r3 A' A O B B' C C'
  26. 26. 24 5.4. Tipos de caras (piramidal, prismática y pinacoidal) : z (l) x (h) y (k) o C BA (OA,OB,OC) z´ y' x' 1) PIRAMIDALES: La cara corta a los tres ejes z (l) x (h) y (k) x(h) y (k) z (l) x (h) y (k) z (l) o o o B C ( ,OB,OC) (OA, ,OC) (OA,OB, ) y' x' z' z' y' x' y' z' x' A C A B 2) CARAS PRISMÁTICAS: La cara corta a dos ejes z (l) z (l) z (l) x (h) x (h) x (h) y (k)y (k)y (k) y' y' y' z' z' z' o o o A B C (OA, ) ( ,OB, ) ( , OC) 3) CARAS PINACOIDALES : La cara corta a un solo eje
  27. 27. 25 Z Y X - a 3 -a1 -a3 -a2 a1 a2 5.5. Sistemas cristalinos :  Sistema Cúbico : Todos los cristales pertenecientes al sistema cúbico se refieren a tres ejes iguales perpendiculares entre sí. Como estos tres ejes son intercambiables se acostumbra a designarlos con a1, a2 , a3, en lugar de a, b, c que se emplean para ejes no equivalentes. El eje a1 está orientado de delante a atrás, el a2 de izquierda a derecha y el a3 es el eje vertical. Constantes del sistema : Parámetros a1 = a2 = a3 Ángulos = = = 90º Cruz axial : Relación áxica : 1 : 1 : 1 Holoedría : clases de simetría que poseen el número máximo de elementos de simetría compatibles con el tipo de red espacial que les corresponde. 3E4 , 4E3 i , 6E2 3P , / , 6P, c Ej.: Cubo, Octaedro.... Las formas se orientan con respecto al observador, de modo que el eje X sea anteroposterior, el eje Y transversal y el Z vertical. Los tres ejes son equivalentes, y por tanto, en las orientaciones pueden ocupar indistintamente estas posiciones, pero tomada una hay que poner mucha atención para el conocimiento de los símbolos, en el orden de los índices. El sistema cúbico se diferencia de los otros sistemas en varios aspectos. las cinco clases de este sistema tienen 4E3 lo que no ocurre en ninguna de las otras 27 clases restantes. Hay 15 formas cerradas, cada una de las cuales puede existir independientemente. Es el único sistema que tiene más de un eje de simetría superior a 2 . P C Imposible I F Constituidas por redes planas cuadradas
  28. 28. 26 a1 - a1 Z Y X c - a2 - c a2  Sistema tetragonal : Todos los cristales del sistema tetragonal pueden ser referidos a tres ejes perpendiculares entre sí, de los cuales, dos están en el plano horizontal, de igual magnitud intercambiable, llamados ejes a1 y a2. El tercero es vertical o eje c y puede ser más largo o más corto que los ejes a. La longitud del eje c es referida a la unidad de longitud del eje a, valor llamado relación áxica. Por ejemplo, si en la descripción de un mineral tetragonal se da el valor c = 0,895 esto quiere decir que la unidad de longitud del eje c es 0,895 la unidad de longitud del eje a. Constantes del sistema : Parámetros : a1 = a2 = c Ángulos : = = = 90º Cruz Axial : Relación áxica : 1 : 1 : c/a a = 1 Holoedría :clases que poseen el número máximo de elementos de simetría compatibles con el tipo de red espacial que les corresponde. E4 , 2E2 , 2E´2 P , 2P, 2P2 , c Ej.: Prisma tetragonal, Bipirámide tetragonal... P C Igual a I F Igual a I I Constituidas por redes planas cuadradas y rectangulares
  29. 29. 27  Sistema hexagonal : El sistema hexagonal se caracteriza por tener una cruz axial, con dos ejes horizontales que se cortan formando un ángulo de 120º permutables y un tercer eje perpendicular a ellos y desigual. Con estos tres ejes quedan bien definidas las formas, pero con objeto de que caras análogas tengan notación semejante se acostumbra utilizar un tercer eje que forme con los horizontales ángulos de 120º. De este modo las formas del sistema vienen referidas a cuatro ejes, de los cuales tres, a1, a2 y a3 son horizontales. A partir de a1 hay que ir contando ángulos de 120º en dirección contraria a las agujas del reloj, para encontrar la parte positiva de a2 y a3. El eje c es desigual y vertical. Este sistema de ejes fue propuesto por Bravais y es generalmente aceptado. Constantes del sistema : Parámetros : a1 = a2 = a3 = c Ángulos : Cruz axial : Relación áxica : 1 : 1 : 1 : c/a Holoedría : clases que poseen el número máximo de elementos de simetría compatibles con el tipo de red espacial que les corresponde. E6 , 3E2 , 3E'2 , P , 3P , 3P' c Ej.: Prisma Hexagonal, bipirámide... a1 a2 120 0 a3 a1 120 0 a2 a3 120 0 a1a2 a3 con c 900 c i h K l -a1 -a3 a2 a1 a3 -a1 P a2 a1 a 3 c C I F Imposible Imposible Imposible Formadas por redes planas rectangulares y hexagonales
  30. 30. 28  Sistema Trigonal - Romboédrico : La cruz axial de este sistema es la misma que la del hexagonal y se refiere también a cuatro ejes cristalográficos, si bien existe otra cruz axial romboédrica de Miller, en la cuál no se emplean más que tres ejes que corresponden a las aristas del romboedro, que se cortan formando entre si ángulos iguales, pero distintos de 90º. Constantes del sistema : Según Miller Parámetros a1 = a2 = a3 Ángulos = = # 90º Romboedro trigonal agudo : 57º 30' Romboedro trigonal obtuso : 120º Relación áxica : 1 : 1 : 1 Holoedría : clases que poseen el número máximo de elementos de simetría compatibles con el tipo de red espacial que les corresponde. E3 i , 3E2 , 3P , c Ej. : Romboedro trigonal agudo y obtuso.... R o P C I F Imposible Igual a R Igual a R Formada por redes planas rómbicas a2 a1 a3
  31. 31. 29  Sistema Rómbico Los cristales del sistema rómbico son referidos a tres ejes mutuamente perpendiculares, a, b, y c todos ellos de diferente longitud. El eje c es vertical, a y b son horizontales, siendo a el anteroposterior y b el transverso. Algunos cristalógrafos siguen el convenio c > b > a . Todos ellos eligen la longitud del eje b como unidad y a ella refieren las longitudes de los otros dos ejes. Constantes del sistema : Parámetros : a = b = c Ángulos : = = = 90º Cruz axial : Relación áxica : a/b : 1 : c/b b = unidad Holoedría : clases que poseen el número máximo de elementos de simetría compatibles con el tipo de red espacial que les corresponde. E2 , E'2 , E''2 P , P' , P'' , c Ej.: Prisma rómbico, bipirámide rómbica.... b Y a c - b - c - a X Z P C I F Formadas por redes planas rectangulares
  32. 32. 30  Sistema Monoclínico: Todos los cristales del sistema monoclínico son referidos a tres ejes desiguales a, b y c situados dos de ellos en un plano vertical (c y a ) formando entre si un ángulo oblicuo y el tercero perpendicular al plano que contiene los otros dos. *Los cristales se orientan de manera que el eje inclinado sea el a , dirigido de arriba abajo, hacia el observador. El eje horizontal transverso es el eje b y el vertical el c . El ángulo obtuso entre c y a se llama . En este sistema, la orientación real del cristal es cuestión de criterio, la dirección “b” está fijada pero no las “a” y “c” . Dos cristalógrafos que examinan un cristal monoclínico pueden llegar a dos orientaciones diferentes, ambas posibles y lógicas. Constantes del sistema : Parámetros : a = b = c Ángulos : = = 90º = 90º Cruz axial : Relación áxica : a/b : b : c/b b = 1 Holoedría : clases que poseen el número máximo de elementos de simetría compatibles con el tipo de red espacial que les corresponde. E2 P , c Ej.: Prisma c - c b-b a - a P C I F Igual a C Igual a C Formadas por redes planas rectangulares y romboidales
  33. 33. 31  Sistema Triclínico : En el sistema triclínico los cristales se refieren a tres ejes cristalográficos de desigual longitud a , b y c que forman ángulos oblicuos entre si. *Como en los cristales triclínicos cada dirección es única, su orientación puede ser elegida libremente. Sin embargo, con la idea de adaptarse a las normas generales, algunos cristalógrafos siguen actualmente algunas reglas generales. Por ejemplo, si en un cristal hay una zona de caras dominantes, se toma el eje de zona como eje vertical o eje c. De ser posible, el pinacoide basal paralelo al plano de los ejes a y b debe elegirse de modo que se incline a la derecha, hacia delante y hacia abajo. El ángulo entre a y c que es llamado , debe ser obtuso y lo mismo el ángulo entre c y b. El ángulo entre a y b se llama . Constantes del sistema : Parámetros : a = b = c Ángulos : # # # 90º Cruz axial : c > b > a ó b > a > c Relación áxica : según casos Holoedría : clases que poseen el número máximo de elementos de simetría compatibles con el tipo de red espacial que les corresponde. c (pinacoide) c b - c -b a -a P a c b C I F Igual a P Igual a P Igual a P Formada por redes planas romboidales
  34. 34. 32 5.6. Formas cristalinas (abiertas, cerradas y combinadas) La forma cristalina es el número y aspecto de las caras y su distribución con respecto a los elementos de simetría del mismo. Las formas del sistema cúbico tienen nombres especiales.  Formas simples : Formada por caras equivalentes físicamente e igualmente orientadas. .. Abiertas: Son caras equivalentes que no cierran espacio. .. Cerradas: Son caras equivalentes que cierran espacio. Cuando un poliedro puede reconstruirse totalmente a partir de una cara por aplicación sucesiva de los elementos de simetría.  Formas combinadas: .. Combinadas de simples abiertas .. Combinadas de simples cerradas FORMAS SIMPLES FORMAS COMBINADAS Abiertas Pedión Pinacoide Domo (plano) Pirámides Prismas Esfenoide (eje) Cerradas Cubo Octaedro Rombododecaedro Escalenoedro Trapezoedro Romboedro Bipirámide Biesfenoide Combinadas de simples abiertas para cerrar espacio Prismas más pinacoides Pirámides más pediones Combinadas de simples cerradas Cubo más tetraedro Cubo más rombododecaedro Cubo más trapezoedro
  35. 35. 33 m FORMAS SIMPLES ABIERTAS Pedión Pinacoide Domo Esfenoide Prisma Pirámide FORMAS SIMPLES CERRADAS FORMAS COMBINADAS (de simples cerradas) FORMAS COMBINADAS (de simples abiertas)) Escalenoedro tetragonal Trapezoedro tetragonal Biesfenoide rómbico Cubo Octaedro Deltoedro Cubo + Octaedro + = prisma Caras prismáticas + Caras pinacoidales Caras equivalentes que no cierran espacio Caras equivalentes que cierran espacio
  36. 36. 34 5.7. Tabla de símbolos de Hermann – Mauguin SÍMBOLOS HERMANN - MAUGUIN Análisis y significado de los símbolos en cada sistema SISTEMA CÚBICO: Ej: 4/m 2/m La primera parte del símbolo se refiere al eje principal de simetría, es decir, al La segunda parte se refiere a un La tercera a la línea que une puntos medios de aristas opuestas quedando orientadas normalmenteeje eje coincidente con la diagonal del cubo o normal a la cara (111) (111) 4/m 4/m 4/m 3 (110) SISTEMA TETRAGONAL: Ej: 4/m 2/m 2/m La primera parte del símbolo se refiere al eje "c" La segunda parte a los ejes a1 a 2 a 3a1 a 2 La tercera parte a un eje que biseca el ángulo de 90º entre los ejes y 2/m 4/m c 2/m 2/m 2/m De los tres símbolos uno puede omitirse, bien porque corresponda a la identidad (o carencia del operador de simetría) o bién porque se deduzca de la existencia de otros (100)(010)(001) (001) (001) (100)(010) (100) (110) (110) a las caras (110). Seis direcciones entre las aristas y de un cubo. (010) (111) (110) (011) (101) Entre los vértices del cubo. a2a1 a3 a1 a2 a3 a1 y a2 que son intercambiables a3 a1 a1
  37. 37. 35 SISTEMA HEXÁGONAL Y TRIGONAL : Ej: 6/m 2/m La primera parte del símbolo se refiere La tercera a un eje que biseca SISTEMA RÓMBICO: Ej: 2/m 2/m 2/m La primera parte del símbolo se refiere generalmente al eje La segunda parte se refiere La tercera parte, de existir, c 2/m 2/m 2/m 2/m al eje vertical "c" La segunda parte se refiere a cualquiera de los ejes a1 a2 y a3 que al ser iguales son intercambiables (100) el ángulo de 60º entre ejes "a" adyacentes. "a" al eje "b" al eje "c" a b SISTEMA MONOCLÍNICO SISTEMA TRICLÍNICO Los símbolos se refieren al eje b (transverso) que es el único de este sistema que tiene una dirección inequívoca. El eje binario se toma como eje b y el plano El símbolo para la clase pinacoidal corresponde a un eje de inversión rotatoria monaria que es lo mismo que un centro de simetría Para la clase pedial se emplea un eje de simetría monario que es lo mismo que ausencia de simetría (001) (110) de simetría (plano a - c) es vertical. Los ejes binarios coinciden con los ejes cristalográficos La orientación de los elementos de simetría en dos clases del sistema hexagonal - trigonal no es directa. Estas son 6 m 2 (6 2 m) y 3m. La localización de los ejes senario o ternario es simple. Sin embargo, la localización del siguiente elemento de simetría no es obvia. En 6 m 2 el tercer símbolo (ejes de rotación binaria) coincide con las perpendiculares a a1, a2 y a3; los m coinciden con estas mismas direcciones. En 3m se localizan en direcciones perpendiculares a a1, a2 y a3 . Las formas excepcionales son: Pirámide trigonal y ditrigonal; dipirámide trigonal y ditrigonal; prisma trigonal y 3m (su estereograma igual Excepciones 6 m 2 (6 2 m) 6 m 2 (6 2 m)6/m 2/m 2/m 2/m 2/m 2/m 2/m y ditrigonal. a 3 a1 a 2 pero sin binarios y con eje ternario principala1 a2 a3
  38. 38. 36 5.8. Clases de simetría y relación entre ellas. Holoedría y Meroedría Dentro de cada uno de los siete sistemas cristalinos existen poliedros con un mínimo y un máximo de elementos de simetría, en función de ellos se hace la siguiente clasificación:  HOLOEDRÍA : La constituyen aquellas clases que poseen el número máximo de elementos de simetría compatibles con el tipo de red espacial que les corresponde. Esta clase tiene el número máximo de puntos de posición general. Siendo N = número de caras de la holoedría, en cada sistema tendríamos que : Hemiedría = N/2 tienen la mitad de las caras de dicha holoedría Tetartoedría = N/4 tendrían un cuarto de las caras de la holoedría y en un caso se llega a ogdoedros 1/8 de caras de la holoedría.  MEROEDRÍA: Cualquier clase que presente un número menor de simetría que la holoedría; (en general los poliedros no holoédricos se denominan meroedros). Las clases que resultan de la combinación de un eje principal de rotación propia o impropia con un eje binario o monario normal a él se denominan:  Hemiedrías: Estas pueden ser .. Hemiedría paramórfica: Eje principal + centro de simetría 1 3;/6;/4;3;/2: mmmEj .. Hemiedría hemimórfica: Eje principal + Eje binario de inversión perpendicular al primero = m Poseen eje principal polar. Cada forma se divide aquí en dos conjugadas, es decir, en dos formas especulares con relación al plano de simetría. Se denominan: positiva y negativa (o directa e inversa) )(;;;;: 2mmmm2m3mm6mm4m34Ej .. Hemiedría enantiomórfica: Eje principal + eje binario ordinario perpendicular al primero Estos poliedros son entre si como los cuerpos derechos e izquierdos (las manos por ejemplo). Se diferencian pues en forma derecha e izquierda. Ej.: 432; 422; 622; 32; 222 A las clases hemiédricas (con eje de inversión y que no se presentan en otro lugar, se las denomina hemiedría de segunda especie o hemiedrías con eje de inversión. Ej: mym622m6m24 )(; Añadiendo a cualquier hemiedría una operación que no haya sido añadida se obtiene la holoedría Cuando un sistema queda definido por un mínimo de elementos de simetría se le denomina:  TETARTOEDRÍA Son clases de simetría que poseen un solo eje como elemento de simetría. El eje característico de la clase se denomina eje principal. Solo operan ejes Ej: 23 (se “lee” dos tres), 4, 6, 3 y 2 (también se le incluye en la hemimorfía)(monoclínico). A las clases 6y4 se denominan tetartoedría de 2ª especie o tetartoedros con ejes de inversión. En las tetartoedrías en lugar de presentarse las formas holoédricas, lo hacen cuatro formas conjugadas.
  39. 39. 37  Algunas normas para la identificación de ejes de inversión en poliedros. Sistemas con ejes de inversión Sistema cúbico Tienen cuaternarios de inversión: Hexaquistetraedro, triaquistetraedro triangular, triaquistetraedro trapezoidal y tetraedro. Los ternarios son de inversión en todas las clases excepto en la giroédrica y tetartoédrica que son de rotación normal. Sistema tetragonal Tienen cuaternarios de inversión: escalenoedros y biesfenoides Sistema hexagonal Tienen senarios de inversión = 3 + m Bipirámide ditrigonal, bipirámide trigonal, prisma ditrigonal y prisma trigonal Sistema romboédrico Tienen ternario de inversión: escalenoedro ditrigonal, romboedro trigonal (agudo y obtuso) Inversión con centro de simetría: solo los ternarios de inversión tienen centro de simetría porque la primera operación del eje de inversión coincide con la forma inicial y al invertirse 180º tienen paralelismo entre todas sus caras. 2 = m 3 = tiene centro de simetría 4 = sin centro de simetría 6 = sin centro de simetría = 3 + m La posición intermedia de la cara (o motivo) coincide con la inicial, en forma y posición, por lo tanto, al producirse la inversión habrá paralelismo y centro de simetría. Ej. Cubo, octaedro, diploedro, piritoedro, escalenoedro ditrigonal, romboedro. Todos ellos tienen centro de simetría y operando se cierra el espacio cristalino. Alternan cara arriba y abajo (6) La posición intermedia de la cara (o motivo), no coincide con la inicial, y por tanto, no puede haber paralelismo ni centro de simetría. Ej. Tetraedro, hexaquistetraedro, biesfenoide tetragonal, escalenoedro tetragonal. (alternan cara arriba y abajo) (4). Operando cierran espacio No se aplican porque equivalen a m Al ser un giro de 60º la posición intermedia cae en la arista divisora de las caras que forman 120º y por lo tanto, después de la inversión no hay paraleleismo. Ej. Bipirámide ditrigonal, bipirámide trigonal. Operando cierran espacio. Existen figuras poliédricas que aparentemente tienen ejes de inversión pero que sin embargo no cumplen con las condiciones: Trapezoedro tetragonal, trapezoedro hexagonal, trapezoedro trigonal. Al realizar la primera operación la cara cae en la misma posición que la inicial pero al invertirse deberia tener paralelismo y centro de simetría y no es así, además el trapezoedro tetragonal debería cerrar espacio y no es posible (cuaternario de inversión : dos arriba y dos abajo). Lo mismo se puede decir del trapezoedro hexagonal. Las bipirámides hexagonales y tetragonales no tienen senario de inversión o cuaternario de inversión porque no cerrarían espacio, quedarian incompletas. (comprobarlo en la proyección estereográfica)
  40. 40. 38 EJERCICIO - PRÁCTICA 1 5.9. Determinación del sistema cristalino y elementos de simetría de los poliedros. Material: POLIEDROS y libro de teoría Para determinar el sistema cristalino al que pertenecen los diferentes poliedros debes conocer las constantes cristalográficas de los sistemas cristalinos (parámetros y ángulos) y además debes de tener en cuenta que los ejes cristalográficos deben de coincidir con las aristas reales o posibles del cristal o con ejes de simetría. Para la identificación y cuantificación de los elementos de simetría de cada poliedro es imprescindible la manipulación de los mismos. Hay algunos poliedros que no necesitan averiguaciones dada su evidencia como, por ejemplo, el cubo y octaedro (sistema cúbico), pero hay poliedros que necesitan algunas orientaciones para determinar su sistema. Para ello te servirás de las tablas que verás a continuación para localizar los ejes cristalográficos y sus ángulos y así poder determinar su sistema. (páginas 35 a 38). Los sistemas cristalinos también pueden identificarse por algún elemento de su simetría característica. (tabla página 39) Una vez hayas determinado el sistema al que pertenece deberás buscar todos los elementos de simetría posibles y de esta manera comprobar a que clase de simetría pertenece dentro de dicho sistema. Todo esto podrás comprobarlo en todos los poliedros que tienes dibujados en las páginas sucesivas. Los polos y las notaciones que aparecen en cada poliedro aprenderás a deducirlos cuando hayamos estudiado los apartados correspondientes. Practica con el mayor número de poliedros posibles. Algunos presentan más dificultad que otros. Comienza con el sistema cúbico (la mayoría tienden a la esfericidad dado que sus parámetros son iguales). Puedes comenzar por el cubo, prisma tetragonal, prisma hexagonal, romboedro, prisma rómbico, prisma monoclínico y prisma triclínico. 5.9.1. Localización ejes cristalográficos. 5.9.2. Simetría característica de cada sistema 5.9.3. Elementos de simetría de cada poliedro
  41. 41. ESTUDIO CON POLIEDROS 39 5.9.1 Localización de los ejes cristalográficos en los poliedros para identificar el sistema Para estudiar el cristal hay que orientarlo en el espacio, utilizando un sistema de tres ejes cristalográficos, no coplanarios, que deben coincidir, de ser posible con ejes de simetría. SISTEMA TRICLÍNICO Poliedro Posición ejes Orientación del poliedro según: 1. "Bipirámide" triclínica Eje vertical "c " de vértice a vértice Según dichos vértices (libre orientación, ya que cada dirección es única) a - c = 2. Prisma triclínico (combinación de pinacoides) Eje vertical "c " de pinacoide a pinacoide Libre orientación, ya que cada dirección es única. a - c = SISTEMA MONOCLÍNICO Poliedro Posición ejes Orientación del poliedro según: 3. Bipirámide monoclínica Eje vertical " c " de vértice a vértice Eje "a " según plano de simetría Eje " b " vértice - vértice (E2 ) Posición a - 4. Prisma monoclínico Eje vertical " c " de cara a cara pinacoidal Eje " b" de arista a arista prismática (E2 ) Eje " a " de arista a arista (plano) Posición a - SISTEMA RÓMBICO Poliedro Posición ejes Orientación del poliedro según: 5. Bipirámide rómbica (de base rectangular) (de base rómbica) (todos de vértice a vértice) Eje vertical " c " de vértice a vértice (E2 ) Eje " a " de arista a arista (E2 ) Eje " b " de arista a arista (E2 ) Eje c 6. Prisma rómbico (de pinacoides rómbicos) (de pinacoides rectangulares) (todos de cara a cara) Eje vertical " c " de cara a cara pinacoidal (E2 ) Eje " a " de arista a arista prismática (E2 ) Eje " b " de arista a arista prismática (E2 ) Eje c 7. Biesfenoide rómbico Eje vertical " c " de cara a cara pinacoidal (E2 ) Eje " a " de arista a arista (E2 ) Eje " b " de arista a arista (E2 ) Eje c 8. Pirámide rómbica Eje vertical " c " de vértice a centro pedión Eje " a " de arista a arista (base) Eje " b " de arista a arista Eje c
  42. 42. ESTUDIO CON POLIEDROS 40 SISTEMA TETRAGONAL Poliedro Posición ejes Orientación del poliedro según: 9. Prisma tetragonal Eje vertical " c " de cara a cara pinacoidal Eje a1 y a2 de arista a arista o bien cara a cara los tres ejes. (E2 ) Eje principal 4 10. Prisma ditetragonal Eje vertical " c " de cara a cara pinacoidal Eje a1 y a2 de arista a arista (E2 ) o bien de cara a cara (E2 ) Eje principal 4 11. Bipirámide ditetragonal Eje vertical " c " de vértice a vértice (E4 ) Eje a1 y a2 de v a v o´ v´ a v´ (E2 ) Eje principal 4 12. Trapezoedro tetragonal Eje vertical "c" de vértice a vértice Eje a1 y a2 de arista a arista (E2 ) Eje principal 4 13. Bipirámide tetragonal Eje vertical "c" de vértice a vértice Eje a1 y a2 de vértice a vértice o de arista a arista (E2 ). Eje principal 4 14. Biesfenoedro tetragonal Eje vertical "c" de arista a arista Eje a1 y a2 de arista a arista (E2 ). Eje principal : no tienen centro de simetría porque en las operaciones no se llega a la posición de partida y por lo tanto no tienen caras paralelas 15. Escalenoedro tetragonal Eje vertical "c" de vértice a vértice Eje a1 y a2 de arista a arista (E2 ). Eje principal : no tienen centro de simetría porque en las operaciones no se llega a la posición de partida y por lo tanto no tienen caras paralelas 16. Pirámide ditetragonal Eje vertical "c" de vértice a cara de pedión. Eje a1 y a2 según planos de simetría. Eje principal 4 17. Pirámide tetragonal Eje vertical "c" de vértice a centro pedión. Eje a1 y a2 de vértice a vértice del pedión o de arista a arista de la base. Eje principal 4 SISTEMA ROMBOÉDRICO Poliedro Posición ejes Orientación del poliedro según: 18. Escalenoedro ditrigonal Eje vertical "c" de vértice a vértice Ejes a1, a2 y a3 de arista a arista (E2 ). De vértice a vértice no hay elementos de simetría Eje : tienen centro de simetría porque en las operaciones se llega a la posición de partida y al invertirse 180º hay paralelismo de caras. 19. Trapezoedro trigonal Eje vertical "c " de vértice a vértice Ejes a1, a2 y a3 de arista a arista (E2 ) De vértice a vértice no hay elementos de simetría Eje principal 3 20. Romboedro trigonal obtuso Eje vertical "c " de vértice a vértice Ejes a1, a2 y a3 de arista a arista (E2 ) Eje : tienen centro de simetría porque en las operaciones se llega a la posición de partida y al invertirse 180º hay paralelismo de caras. 21. Romboedro trigonal agudo Eje vertical "c " de vértice a vértice Ejes a1, a2 y a3 de arista a arista (E2 ) Eje : tienen centro de simetría porque en las operaciones se llega a la posición de partida y al invertirse 180º hay paralelismo de caras. 22. Pirámide trigonal 3m Posición especial estereográfica: planos perpendiculares a a1, a2 y a3 Eje vertical "c " de vértice a pedión Ejes a1, a2 y a3 según planos de simetría Eje principal 3 23. Pirámide ditrigonal 3m Posición especial estereográfica: planos perpendiculares a a1, a2 y a3 Eje vertical "c" de vértice a centro pedión Ejes a1, a2 y a3 de vértice a vértice de la base, según planos de simetría Eje principal 3 4 4 3 3
  43. 43. ESTUDIO CON POLIEDROS 41 SISTEMA HEXAGONAL * Las bipirámides son hexagonales Poliedro Posición ejes Orientación del poliedro según: 24. Bipirámide dihexagonal Eje vertical "c " de vértice a vértice. Ejes a1, a2 y a3 de v a v o de v´ a v´ (E2 ) Eje principal 6 25. Prisma dihexagonal Eje vertical "c " de pinacoide a pinacoide Ejes a1, a2 y a3 de arista a arista (E2 ) o según a´- a´ (E´2 ) Eje principal 6 26. Bipirámide hexagonal Eje vertical "c " de vértice a vértice Ejes a1, a2 y a3 de vértice a vértice (E2 ) o de arista a arista (E2 ) Eje principal 6 27. Trapezoedro hexagonal Eje vertical "c " de vértice a vértice Ejes a1, a2 y a3 de arista a arista (E2 ) o de a´- a´ (E´2 ). De vértice a vértice no hay ejes de simetría Eje principal 6 28. Prisma hexagonal Eje vertical "c " de cara a cara pinacoidal Ejes a1, a2 y a3 de arista a arista (E2 ) o de cara a cara (E2 ). Eje principal 6 29. Bipirámide ditrigonal m2 Eje vertical "c " de vértice a vértice Ejes a1, a2 y a3 de vértice a vértice (E2 ) Posición especial estereográfica: binarios perpendiculares a los ejes a1, a2 y a3 Eje : no tienen centro de simetría 3 + m, no existen caras paralelas 30. Prisma ditrigonal m2 y 3m Eje vertical "c " de cara a cara pinacoidal Ejes a1, a2 y a3 de arista a arista (E2 ) Posición especial estereográfica: binarios perpendiculares a los ejes a1, a2 y a3 Eje :no tienen centro de simetría 3 + m, no existen caras paralelas 31. Bipirámide trigonal m2 Eje vertical "c " de vértice a vértice Ejes a1, a2 y a3 de vértice a centro arista (E2 ) Posición especial estereográfica: binarios perpendiculares a los ejes a1, a2 y a3 Eje : no tienen centro de simetría 3 + m, no existen caras paralelas 32. Prisma trigonal m2 y 3m Eje vertical "c " de cara a cara pinacoidal Ejes a1, a2 y a3 de arista a centro cara (E2 ) Posición especial estereográfica: binarios perpendiculares a los ejes a1, a2 y a3 Eje : no tienen centro de simetría 3 + m, no existen caras paralelas 33. Pirámide dihexagonal Eje vertical "c " de vértice a pedión Ejes a1, a2 y a3 de vértice a vértice de la base del pedión; según planos de simetría o de v´ a v´ Eje principal 6 34. Pirámide hexagonal Eje vertical "c " de vértice a pedión Ejes a1, a2 y a3 de vértice a vértice de la base; según planos de simetría o de arista a arista. Eje principal 6 6 6 6 6 6 6 6 6
  44. 44. ESTUDIO CON POLIEDROS 42 SISTEMA CÚBICO Poliedro Posición ejes Orientación del poliedro según: 35. Cubo o hexaedro Ejes a1, a2 y a3 de cara a cara (E4 ) De arista a arista no porque el eje es distinto Eje principal 4 36. Octaedro Ejes a1, a2 y a3 De arista a arista no porque coge diferentes ejes de simetría y dimensiones. (E4 ) Eje principal 4 37. Rombododecaedro (Dodecaedro) Ejes a1, a2 y a3 de vértice a vértice (E4 ) Eje principal 4 38. Tetraquishexaedro (cubo piramidado) Ejes a1, a2 y a3 de vértice a vértice (E4 ) Eje principal 4 39. Trapezoedro ( triaquisoctaedro tetragonal) Ejes a1, a2 y a3 de vértice a vértice (E4 ) Eje principal 4 40. Triaquisoctaedro (octaedro piramidado) (triaquisoctaedro trigonal) Ejes a1, a2 y a3 de vértice a vértice (E4 ) Eje principal 4 41. Hexaquisoctaedro Ejes a1, a2 y a3 de vértice a vértice (E4 ) Eje principal 4 42. Giroedro (triaquisoctaedro pentagonal) Ejes a1, a2 y a3 de vértice a vértice (E4 ) Eje principal 4 43. Tetraedro Ejes a1, a2 y a3 de arista a arista De vértice a centro de cara no forman 90º Eje principal 44. Triaquistetraedro (triaquistetraedro trigonal) Ejes a1, a2 y a3 de arista a arista De v a v no forman 90º Eje principal 45. Deltoedro [dodecaedro trapezoidal (deltoide)] [triaquistetraedro trapezoidal (tetragonal)] Ejes a1, a2 y a3 de mitad de arista con vértice a mitad de arista con vértice. De v a v no forman 90º Eje principal 46. Hexaquistetraedro Ejes a1, a2 y a3 de mitad de arista con vértice a mitad de arista con vértice De v a v no forman 90º Eje principal 47. Piritoedro (Dodecaedro pentagonal) (Pentadodecaedro) Ejes a1, a2 y a3 de arista a arista Eje principal 2 48. Diploedro (disdodecaedro) Ejes a1, a2 y a3 de vértice a vértice Eje principal 2 49. Tetartoedro (triaquistetraedro pentagonal) Ejes a1, a2 y a3 de arista a arista (E2 ) Eje principal 2 4 4 4 4
  45. 45. ESTUDIO CON POLIEDROS 43 5.9.2. Simetría característica de cada sistema Clases cristalinas Hermann - Mauguin Sistema Simetría característica Posiciones de los ejes según Hermann - Mauguin 1, Triclínico Solo simetría monaria (inversión o identidad) Por su baja simetría no hay restricciones cristalográficas. 2, m, 2/m Monoclínico Solo un eje de rotación binaria y / o un plano de simetría (= ) El eje binario se toma como eje b y el plano de simetría (plano a - c ) es vertical 222, mm2, 2/m 2/m 2/m (siempre tres símbolos) Rómbico Tres direcciones mutuamente perpendiculares alrededor de las cuales hay simetría binaria (2 ó m). Tres ejes binarios o un eje binario y dos planos (= ) Los símbolos se refieren a los elementos de simetría en el orden a, b c; los ejes binarios coinciden con los ejes cristalográficos. 4, , 4/m, 422, 4mm, 2m, 4/m 2/m 2/m Tetragonal El eje principal siempre es un eje cuaternario o cuaternario de inversión.. Los ejes cuaternarios se refieren al eje c; el segundo símbolo, si lo hay, se refiere a las direcciones axiales (a1 y a2); el tercer símbolo, si lo hay, a las direcciones 45º con respecto a a1 y a2. 6, , 6/m, 622, 6mm, m2, 6/m 2/m 2/m Hexagonal Un eje senario o un eje de inversión senario El primer símbolo se refiere al eje c; el segundo y el tercer símbolo, si los hay, se refieren respectivamente a los elementos de simetría paralelos y perpendiculares a los ejes cristalográficos a1, a2 y a3. *Excepciones las clases: 3m y m2 3, , 32, 3m, 2/m Romboédrico Un eje ternario o un eje ternario de inversión (siempre en el eje c) 23, 2/m , 432, 3m, 4/m 2/m Cúbico Cuatro ejes ternarios inclinados cada 54º 44´ respecto a los ejes cristalográficos El eje ternario siempre aparece en la segunda posición y además nunca tienen planos perpendiculares a ellos. 6 3 3 4 3 1 2 2 4 6 4 6 3
  46. 46. SISTEMA CÚBICO 44 5.9.3. Localización de los elementos de simetría en los poliedros Holoedría 4/m 3 2/m 3 ejes cuaternarios 4 ejes ternarios de inversión 6 binarios 9 planos centro simetría 3E4 i 3 4E 2 6E 3P 6P c (con centro de simetría y plano m) Hexaquisoctaedro 321 231 48 caras (triángulos escalenos) Polo 1 (hkl) Clase hexaquisoctaédrica Trioctaedro 221 122212 (octaedro piramidado) 24 caras triángulos isósceles Polo 3 (hhl) 21 1 Trapezoedro Polo 2 24 caras trapezoidales (hkk) (hll) 211 Tetraquihexaedro o cubo 210 120 021 piramidado 24 caras (triángulos isósceles) Polo 4 (hk0) Octaedro 111 8 caras Polo 5 (triángulos equiláteros) (111) Rombododecaedro 110 12 caras (en forma de rombos) Polo 6 (110) Cubo 100 001 010 6 caras Polo 7 (cuadrados) (100) 121
  47. 47. SISTEMA CÚBICO 45 Hemiedría Hemimórfica 43m 3 cuaternarios de inversión 4 ternarios 6 planos 3E 4 pi 3 4E 6P (sin centro de simetría y sin plano m) (sin centro) (Clase hexaquistetraédrica) Hexaquistetraedro 132 231321 123213 312 24 caras Polo 1 (triángulos escalenos) (hkl) + y - Triaquistetraedro triangular (trigonal) 112 121211 12 caras (triángulos isósceles) Polo 2 (hkk) + y - Deltoedro 221 212 122 (dodecaedro trapezoidal) 12 caras (trapezoidales) Polo 3 (hll) + y - (triaquistetraedro trapezoidal) Polos 4 y 5 igual a la holoedría Tetraedro 111 4 caras (triángulos equiláteros) Polo 6 (111) + y - Polo 7 igual a la holoedría
  48. 48. SISTEMA CÚBICO 46 3 ejes binarios 4 ejes ternarios Triaquistetraedro pentagonal tetartoédrico Tetartoedro 12 caras (pentágonos asimétricos) p 3 4E2 3E (sin centro de simetría y sin plano m) 3 ejes cuaternarios 4 ejes ternarios 6 binarios 3E 4 3 4E 2 6E (sin centro de simetría y sin plano m ) Hemiedría enantiomórfica 432 (Clase giroédrica) 3 ejes binarios 4 ejes ternarios de inversión 3 planos 3E2 i 3 4E 3P c (con centro de simetría y plano m) Hemiedría Paramórfica 2/m 3 (Clase diploédrica) Diploedro (Disdodecaedro) hkl = 321 24 caras Polo 1 (trapezoides) (hkl) izq. dcha Polos 2, 3, 5, 6 y 7 igual a la holoedría pero con menor simetría Polos 2, 3, 4, 5, 6 y 7 igual a la holoedría pero con menor simetría (pentágonos no regulares) 12 caras Piritoedro (Dodecaedro pentagonal) hk0 Polo 4 (4 iguales y uno desigual) (hk0) izqu. dcha Giroedro (Triaquisoctaedro pentagonal) 24 caras Polo 1 (pentágonos no regulares) (hkl) izqu. dcha Tetartoedría 2 3 (sin centro) (clase tetartoédrica) Polo 1 (khl) centro (dihexaedro)
  49. 49. SISTEMA TETRAGONAL 47 Holoedría 4/m 2/m 2/m 1 eje cuaternario 4 ejes binarios 5 planos centro de simetría E 4 2 2E ´2 2E P 2P 2P ´ c (con centro de simetría y plano m) (Clase bipiramidal ditetragonal) (hkl) Bipirámide ditetragonal Polo1 16 caras (triángulos escalenos) Prisma ditetragonal (hk0) Polo 4 (hk0) 11 0 Prisma tetragonal segundo y primer orden Polo 5 y 6 (110) y (100) 2ª y 1º orden Polo 7 Pinacoide base (001) (001) 1 eje cuaternario de inversión 2 ejes binarios 2 planos E 4 i 2 2E 2P (sin centro de simetría y sin plano m) Bipirámide tetragonal Polo 2 y 3 8 caras (triángulos isósceles) (hhl) y (h0l) 2º y 1º orden de 2º y 1º orden Polos 3, 4, 5, 6 y 7 igual a la holoedría Hemiedría de 2ª especie 4 2m (Clase escalenoédrica tetragonal) Escalenoedro tetragonal Polo 1 8 caras (triángulos (hkl) + y - escalenos) Biesfenoide tetragonal 2º orden Polo 2 4 caras (triángulos isósceles) (hhl) + y -
  50. 50. SISTEMA TETRAGONAL 48 Hemiedría hemimórfica 4mm Hemiedría paramórfica 4/m 1 eje cuaternario 1 plano centro de simetría Bipirámide tetragonal 3º orden 8 caras (triángulos isósceles) E 4 cP (con centro de simetría y plano m) Pirámide tetragonal 2º orden y 1º orden Se repite de la holoedría pero en otra posición y con menor número de elementos de simetría Los demás polos son iguales a la holoedría pero con menor número de elementos de simetría 1 eje cuaternario 4 planos E 4 p 2P ´ 2P (sin centro de simetría y sin plano m) 1 eje cuaternario 4 ejes binarios E 4 2 2E ´2 2E (sin centro de simetría y sin plano m) Hemiedría enantiomórfica 422 (Clase trapezoédrica tetragonal) (Clase piramidal ditetragonal) Pirámide ditetragonal 8 caras (triángulos escalenos) Polo 1 (hkl) Polos 2 y 3 (hhl) y (h0l) 2º y 3º orden Polo 7 (001) Pedión Se repiten formas de la holoedría Trapezoedro tetragonal 8 caras (trapezoides) izquierda y derecha Polo 1 (hkl) izqu. (khl) dcha (Clase bipiramidal tetragonal) Polo 1 (hkl) izqu. (khl) dcha. 110 Prisma tetragonal 3º orden Polo 4 (hko) izqu. (kh0) dcha
  51. 51. SISTEMA TETRAGONAL 49 Pirámide tetragonal Tetartoedría de 2ª especie 4 Tetartoedría de 1ª especie 4 1 eje cuaternario de inversión Biesfenoide tetragonal 1 eje cuaternario polar 4 caras(triángulos isósceles) Polo 1, 2 y 3 = 3º, 2º y 1º orden Polo 1E4 p E4 i (sin centro de simetría y sin plano m) (sin centro de simetría y sin plano m) Se repite de la hemiedría, en otra posición y con menos simetría Se repite de la 4mm en otra posición y con menos simetría (Clase biesfenoidal tetragonal) (Clase piramidal tetragonal) (hkl) El resto de los polos dan formas iguales a la holoedría
  52. 52. SISTEMA HEXAGONAL 50 Bipirámide dihexagonal (hk i l) Polo 1 Prisma dihexagonal (hk i 0) Polo 4 Pinacoide hexagonal (0001) Polo 7 1 eje senario 6 ejes binarios 7 planos centro de simetría E6 2 3E ´2 3E P 3P 3P ´ c (con centro de simetría y con plano m) Holoedría 6/m 2/m 2/m (Clase bipiramidal dihexagonal) Polo 5 y 6 Prisma hexagonal (10 1 0) y 11 2 0) 1º y 2º orden Polo 2 y 3 (h0 h l) 1º orden (hh 2h l) 2º orden Bipirámide hexagonal
  53. 53. SISTEMA HEXAGONAL 51 1 eje senario 6 planos Pirámide dihexagonal (hk i l) Polo 1 Polo 2 y 3 E6 p 3P 3P ´(sin centro de simetría y sin plano m) Pirámide hexagonal Trapezoedro hexagonal Hemiedría enantiomórfica 622 1 eje senario 6 binarios Polo 1 E6 2 3E ´2 3E (sin centro de simetría y sin plano m) 1 senario de inversión = ternario rotación 3 binarios 4 planos (sin centro de simetría pero con plano m) Bipirámide trigonal E6 i 2 3E 3P P 3 + P Hemiedría de 2ª especie 6m2 = 62m (HM) (Clase bipiramidal ditrigonal) Prisma ditrigonal Bipirámide ditrigonal (hk i l) (hk i l) (hk i 0) Polo 1 Polo 4 (+ y -) Polo 2 (h0 h l) 1º orden (+ y -) Prisma trigonal Polo 5 (10 1 0) 1º orden Polos 3, 6 y 7 igual a la holoedría Hemiedría hemimórfica 6mm (Clase piramidal dihexagonal) (h0 h l) y (hh 2h l) 1º y 2º orden Polo 7 pedión (ClaseTrapezoédrica hexagonal) (dcho e izqui.) Polo 2, 3, 4, 5, 6 y 7 igual a la holoedría pero con menor simetría
  54. 54. SISTEMA HEXAGONAL 52 Tetartoedría 6 Tetartoedría de 2ª especie 6 = 3/m Bipirámide trigonal 1 eje senario de inversión 1 plano Polo 1 y 3 (hk i l) (hk i 0) Pirámide hexagonal 3º orden (hk i l) Polo 11 eje senario polar E6 i = 3 + P (sin centro de simetría pero con plano ecuatorial m) E6 p (sin centro de simetría y sin plano m) Se repite de clases anteriores pero con menor simetría Se repite de la clase 6mm pero con menor simetría Hemiedría paramórfica 6/m 1 eje senario 1 plano centro de simetría E6 P c (con centro de simetría y con plano m) Se repiten con otra orientación pero con menor simetría que en la holoedría (Clase bipiramidal hexagonal) Bipirámide hexagonal (hk i l) Polo 1 (dcho e izqu.) 3º orden Polo 4 Prisma hexagonal 3º orden (Clase piramidal hexagonal) (Clase Bipiramidal trigonal) Prisma trigonal Polo 4 y 6 (hk i 0)....... 3º y 2º orden3º y 2º orden
  55. 55. TRIGONAL - ROMBOÉDRICO 53 Pirámide ditrigonal Escalenoedro ditrigonal 213 1 Hemiedría hemimórfica 3m Polo 1 Polo 2 (hk i l) + y - (hk i l) 1 eje ternario 3 planos Polo 1 E 3 p 3P (con centro de simetría y sin plano m) (sin centro de simetría y sin plano m) Pirámide trigonal de 1º orden Romboedro trigonal 1º orden E 3 i 2 3E 3P c Polo 3 Bipirámide hexagonal 2º orden Polo 4 Prisma dihexagonal Polo 5 y 6 Prisma hexagonal 1º y 2º orden Polo 7 Pinacoides Holoedría 3 2/m = 3 m (Clase Escalenoédrica ditrigonal) (h0 h l) + y - (Clase piramidal ditrigonal) + y - sup. e inf. Polo 2 Polo 3 Pirámide hexagonal de 2º orden Polo 4 Prisma ditrigonal Polo 5 Prisma trigonal 1º orden Polo 6 igual holoedría polo 7 Pedión + y n sup. e inf. 1 eje ternario de inversión 3 binarios 3 planos centro de simetría
  56. 56. TRIGONAL - ROMBOÉDRICO 54 Pirámide trigonal 3º orden Romboedro trigonal 3º orden Hemiedría paramórfica 3 Tetartoedría 3 1 eje ternario de inversión 1 eje ternario polar E 3 i (con centro de simetría y sin plano m) E 3 p (sin centro de simetría y sin plano m) c Se repite de la holoedría pero con menor simetría Se repite de la clase 3m pero con menor simetría Trapezoedro trigonal Hemiedría enantiomórfica 3 2 (hk i l) (hk i l) 1 eje ternario 3 binarios Polo 1 E 3 2 3E (sin centro de simetría y sin plano m) (Clase trapezoédrica trigonal) + y - dcho. e izqu. Polo 3 Bipirámide trigonal de 2º orden Polo 6 Prisma trigonal de 2º orden Polo 2, 4, 5 y 7 = a la holoedría (Clase romboédrica) Polo 1 + y - dcha. e izqu. Polo 3 Romboedro trigonal 2º orden Polo 4 Prisma hexagonal 3º orden Polo 2, 5, 6 y 7 = holoedría (Clase piramidal trigonal) Polo 1 Polo 2 y 3 Pirámide trigonal 2º orden Polo 4 Pirámide trigonal 3º orden Polo 7 Pedión superior e inferior centro de simetría
  57. 57. RÓMBICO 55 Bipirámide rómbica Holoedría 2/m 2/m 2/m 3 ejes binarios 3 planos centro de simetría Polo 1 Pinacoide (010)Pinacoide (100) Prisma (0kl) 0kl Prisma (h0l) h0l Prisma (hk0) hk0 Polo 2 Polo 3 Polo 4 Polo 5 Polo 6 Primera especie 2º especie 3ª especie 1º orden 2º orden E 2 ´2E ´´ 2 E P P´ P´ ´ c (con centro de simetría y plano ecuatorial m) (Clase Bipiramidal rómbica) (hkl) hkl (0kl) (h0l) (hk0) (100) (010) 3º ordenPinacoide (001) Polo 7 (001)
  58. 58. RÓMBICO 56 1 binario 2 planos E 2 2P (sin centro de simetría y sin plano m) Biesfenoide rómbico 3 binarios E2 ´2 E ´´ 2 E (sin centro de simetría y sin plano m) Hemiedría enantiomórfica 222 (Clase piramidal rómbica) Hemiedría hemimórfica 2mm = mm2 (HM) (Clase piramidal rómbica) Pirámide rómbica Polo 1 (hkl) sup. e inf. Polo 4 prisma de 3ª especie Polo 5 Pinacoide 1º orden Polo 6 Pinacoide 2º orden Polo 7 Pedión Polo 1 Domo (0kl) Polo 2 1ª especie (0kl) Domo (h0l) Polo 3 2ª especie (h0l) (hkl) dcho. e izqu. Polo 2, 3, 4, 5, 6 y 7 iguales a la holoedría
  59. 59. MONOCLÍNICO 57 Diedro axial o esfenoide Pinacoide (100)Prisma (hkl) 4ª especie Hemiedría 2 Prisma (hk0) 3ª especie 1 eje binario 1 plano centro de simetría 1 eje binario polar Polo 1 Polo 4 Polo 5 Pinacoide (010) 2º orden Polo 6 Pinacoide (001) 3º orden Polo 7 E 2 P c (con centro de simetría y sin plano m) E 2 p (sin centro de simetría y sin plano m) Diedro anaxial o domo Hemimorfía de 2ª especie m 1 plano P (sin centro de simetría y sin plano m) Holoedría 2/m (Clase Prismática) Polo 1 Domo de 4ª especie Polo 1 Esfenoide 4ª especie Polo 2 Esfenoide 1ª especie Polo 4 Esfenoide 3ª especie Polo 6 Pedión 2º orden Polo 7 Pinacoide 3º orden (Clase esfenoídica) Polo 2 Domo de 1ª especie Polo 3 Pedión de 2ª especie Polo 4 Domo de 3ª especie Polo 5 Pedión de 1º orden Polo 6 = holoedría Polo 7 Pedión de 3º orden Polo 3 y 5 = holoedría (Clase domática) Polo 2 prisma 1ª especie Polo 3 Pinacoide 2ª especie
  60. 60. TRICLÍNICO 58 Pedión Pinacoide (hk0) Pinacoide (010) Pinacoide (001) Pinacoide (hkl) Combinación de pinacoides triclínicos Bipirámide triclínica Prisma triclínico Pinacoide (100) Pinacoide (h0l) Holoedría 1 Hemiedría 1 Polo 1 Pinacoide (0kl)1ª especie Polo 2 Polo 3 Polo 4 Polo 5 Polo 6 Polo 7 centro de simetría 4ª especie 2ª especie 3ª especie 3º orden 1º orden 2º orden c Simetría: nada (Clase pedial) Polo 1 Pedión de 4ª especie Polo 2 Pedión de 1ª especie Polo 3 Pedión de 2ª especie Polo 4 Pedión de 3ª especie Polo 5 Pedión de 1º orden Polo 6 Pedión de 2º orden Polo 7 pedión de 3º orden (Clase pinacoidal)
  61. 61. 59 6) PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA 6.1 Definición y propiedades Dado el carácter tridimensional de los cristales, para su mejor representación se usan proyecciones de tal manera que se conserven al máximo las constantes angulares y la simetría. Entre las diferentes proyecciones que pueden utilizarse, vamos a estudiar y trabajar con la proyección estereográfica que utiliza la siguiente metodología: Suponemos un cristal en el centro de una esfera de radio arbitrario. Se trazan las normales a las caras del cristal que se prolongarán hasta que intercedan con la superficie de la esfera, en unos puntos llamados POLOS. Como los polos hay que representarlos sobre un plano, se elige como plano de proyección el plano ecuatorial de la esfera. Como puntos de vista se utilizan el polo sur para las caras situadas en el hemisferio norte y el polo norte para las caras situadas en el hemisferio sur. Los puntos de proyección sobre el plano ecuatorial se obtienen de las intersecciones de las normales de las caras del cristal hacia la superficie de la esfera. Propiedades de la proyección estereográfica: 1. Cada cara tiene un polo 2. Todas las caras del cristal proyectado serán puntos o polos. 3. Los polos de las caras de una misma zona están en círculos máximos. 4. Los ángulos diedros del cristal aparecen en la proyección como sus suplementos, es decir, los ángulos que forman las caras corresponden a los lados. 5. La proyección de una circunferencia es otra circunferencia. 6. El ángulo de dos curvas se proyecta en su verdadero valor. 7. Si los planos de simetría son perpendiculares al plano de proyección se representa por una recta. 8. Si el plano es horizontal, como coincide con el plano de proyección se representa por una línea continua. 9. Los planos de simetría oblicuos del sistema cúbico se proyectan como diámetros del círculo de proyección. xx xx centro de la cara x Proyección de una cara del hemisferio superior en el plano ecuatorial Proyección de una cara del hemisferio inferior en el plano ecuatorial Polo sur Polo norte
  62. 62. 60 6.2. Tabla de símbolos estereográficos = m x x Ejes de rotación normal (propios) Polares: 1 monario 2 binario 3 ternario 4 cuaternario 6 senario Bipolares Ejes de inversión (impropios) 1 2 3 4 6 3/m presencia de planos de simetría líneas de referencia presencia de ejes del orden que indican Presencia de planos de simetría inclinados líneas de referencia inclinadas ejes del orden que indican, pero inclinados en la proyección polo que representa una cara en el hemisferio superior o en la circunferencia fundamental polo que representa una cara en el hemisferio inferior polos que representan dos caras simétricas, una en cada hemisferio m = plano de simetría . circunferencia fundamental con plano ecuatorial perpendicular al eje principal circunferencia fundamental sin plano ecuatorial las caras son diferentes en uno y otro extremo del eje = C = 3 + C
  63. 63. 61 6.3. Estereograma y dominio fundamental Cuando situamos un cristal en el interior de una esfera para proyectarlo estereográficamente situamos todos sus elementos de simetría: Las direcciones cristalográficas a, b y c del sistema cúbico serían las correspondientes a a1, a2, y a3. Los números 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7 que aparecen en el estereograma son, en este caso los polos o puntos de partida en la simetría de un poliedro. Este mecanismo se estudiará más adelante.  Dominio fundamental: Es la superficie mínima de un estereograma limitado por las proyecciones de los elementos de simetría. Cada sistema posee un número de dominios fundamentales, por ejemplo en el cúbico 24, tetragonal 8,.... En dicha superficie se pueden localizar los 7 polos posibles que puede adoptar cada forma cristalográfica. En los dominios aparecen tres direcciones cristalográficas .. Círculo de proyección (c) .. Diámetro Norte - Sur (a) .. Diámetro perpendicular al Norte - Sur (b) Cuando una cara corta al eje “a” se llama h Si la cara corta al eje “b” se llama k. Si la cara corta al eje “c” se denomina l Pardillo ha dado una fórmula que permite hallar fácilmente el número de dominios fundamentales de un sistema. Se obtiene duplicando una suma constituida por 1 más el número de ejes de simetría existentes por el orden del eje menos 1. Df = 2 [1 + N ·(orden del eje -1 ) + N........] Ej: Sistema cúbico 3E4 , 4E3 , 6E2 Df = 2[1 + 3(4-1) + 4(3-1) + 6(2-1)] = 2 [24] = 48 . xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx Circunferencia fundamental Arco s Diámetros Son las proyecciones de los planos de simetría Dominios fundamentales Polo s ESTEREOGRAMA dirección cristalográfica "c" dirección cristalográfica "a" dirección cristalográfica "b" (24) 1x 2 x 3 x 4 5 6 7 (por 2 hemisferios) Holoedría cúbica (hexaquisoctaedro)

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