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Aspetti matematici
del Banking Risk
Management
Roberto Anglani
Science Storming Cafe @ La Scuola Open Source
Bari, 30 Nove...
Perché parlare di risk
management in un
Science Storming Cafe
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E soprattutto di cosa parleremo.
R. Anglani | Aspetti mate...
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Da un punto di vist...
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Una parte fondament...
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La misura quantitat...
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5 Obiettivi
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Cosa si intende quando
parliamo di rischio
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E perché siamo (o dovremmo essere) tutti un po’ risk
manager.
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“Eventualità di subire un danno
connessa a circostanze più o meno
prevedibili.”
Definizione di rischio secondo la Treccani...
Il rischio è un concetto
quotidiano. Ogni giorno tutti
noi rischiamo di:
Concetto di rischio nella quotidianità
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Perdere...
Ma con la stessa naturalezza
cerchiamo di gestire tutti i
rischi che affrontiamo:
Gestione del rischio nella quotidianità
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Ma “scegliendo saggiamente” esistono
attività prive di rischio che generano
profitto?
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No, non esistono sce...
Non esiste il Sacro Graal degli investimenti.
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profitto comporta l’assunzione di un...
Cosa si intende quando
parliamo di rischio nelle
banche
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Uno sguardo al core business delle banche
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Lending
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(depositi, c/c, tito...
Uno sguardo al core business delle banche
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Funding
Quando una banca “raccoglie” denaro da
individui e enti (in surplus) ...
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Lending
Investing
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Market
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-4100 GUSD
Totale perdite per banche e
istituzioni a livello mondiale
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management nelle banche
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Come si fa il “risk management”
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E perche la matematica “aiuta”
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Alcuni modelli matematici
per il rischio di mercato
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Preludio sulla probabilità
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Rischio e probabilità
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“Eventualità di subire un danno
connessa a circostanze più o meno
prevedibili.”
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Intermezzo sui metod...
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2. La modellizzazion...
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3. Il risk managemen...
91R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016
4. “Ehi, regola nume...
Riferimenti e suggerimenti
bibliografici
92R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming ...
93R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016
Suggerimenti e rifer...
Acknowledgements
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APPENDICE
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Come scegliere una b...
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Intermezzo: Lo sapev...
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SSC - Aspetti matematici del Banking Risk Management

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È possibile misurare i rischi di un investimento? Quali strumenti adottano le banche per misurare, controllare e prevenire le principali problematiche legati ai rischi finanziari? Quanta "matematica" c'è in tutto questo?

Presentazione di Roberto Anglani, fisico teorico e Quantitative Analyst. Nel talk dal titolo "Aspetti matematici del Banking Risk Management" Roberto mette in luce le applicazioni matematiche nella gestione dei rischi degli investimenti bancari. Vengono anche riportati esempi in Python. L'incontro si è tenuto il giorno 30 Novembre 2016 all'interno del progetto SSC (Scientific Storming Café) di Alumni Mathematica nella sede de La Scuola Open Source.

Published in: Economy & Finance
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SSC - Aspetti matematici del Banking Risk Management

  1. 1. Aspetti matematici del Banking Risk Management Roberto Anglani Science Storming Cafe @ La Scuola Open Source Bari, 30 Novembre 2016
  2. 2. Perché parlare di risk management in un Science Storming Cafe 2 E soprattutto di cosa parleremo. R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016
  3. 3. 3R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016 1 Da un punto di vista olistico, il risk management è un sistema complesso e multidisciplinare di processi, decisioni e misure concepito per fronteggiare i rischi connessi all’attività dell’azienda Motivazioni Control Measure Assess Identify
  4. 4. 4R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016 2 Una parte fondamentale del risk management è la misura quantitativa di tutti i fattori e le componenti di rischio a cui si espone l’azienda. Motivazioni
  5. 5. 5R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016 3 La misura quantitativa si avvale di metodi matematici, statistici e numerici, in alcuni casi, concepiti appositamente per l’analisi dei rischi, in altri, “presi in prestito” da altri campi della conoscenza Motivazioni
  6. 6. 6R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016 4 E infine, perché condividere conoscenza è uno dei principi fondanti di Alumni Mathematica e della Scuola Open Source Motivazioni (Fonte: http://www.slideshare.net/ff3300/la-scuola-open-source-introduzione)
  7. 7. 7R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016 5 Obiettivi Per queste ragioni, parleremo di: 1 Rischio e Rischio nelle banche 2 Alcuni modelli matematici alla base di di misure di rischio fondamentali 3 Problemi aperti
  8. 8. 8R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016 6 Alcuni caveat e una motivazione in più I fenomeni collettivi originati da comportamenti sociali non sono “completamente” modellizzabili come molti fenomeni naturali o eventi di laboratorio. Avvicinarsi alla modellizzazione matematica dietro le quinte del contesto bancario ha quindi la duplice funzione di illustrare: - come alcune delle conquiste scientifiche degli ultimi 200 anni sono state applicate in un campo apparentemente lontano - le sfide derivanti dai limiti della modellizzazione di fenomeni complessi governati da norme e comportamenti sociali.
  9. 9. Cosa si intende quando parliamo di rischio 9 E perché siamo (o dovremmo essere) tutti un po’ risk manager. R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016
  10. 10. “Eventualità di subire un danno connessa a circostanze più o meno prevedibili.” Definizione di rischio secondo la Treccani 10 http://www.treccani.it/vocabolario/rischio/ R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016
  11. 11. Il rischio è un concetto quotidiano. Ogni giorno tutti noi rischiamo di: Concetto di rischio nella quotidianità 11 Perdere una scommessa Farci male Non superare l’esame Non trovare lavoro Non fare buoni affari Chiudere un’attività Perdere le elezioni Perdere danaro Perdere un treno Arrivare tardi ad un appuntamento R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016
  12. 12. Ma con la stessa naturalezza cerchiamo di gestire tutti i rischi che affrontiamo: Gestione del rischio nella quotidianità 12 Giocare con “metodo” Indossare un casco Studiare molto bene Impegno e tanti CV Evitare sprechi Ridurre i costi inutili Convincere gli elettori Investire il danaro oculatamente Svegliarsi mezz’ora prima Muoversi per tempo R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016
  13. 13. 13 Ma “scegliendo saggiamente” esistono attività prive di rischio che generano profitto? R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016 Spoiler Alert! Indiana Jones and the Last Crusade
  14. 14. 14R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016 No, non esistono scelte prive di rischio.
  15. 15. Non esiste il Sacro Graal degli investimenti. 15 Un qualunque investimento che generi profitto comporta l’assunzione di uno o più rischi. Aprire un bar | Investire in qualunque strumento finanziario | Affittare un appartamento | Creare un’impresa | Depositare danaro su conto corrente | Fondare una start-up | ecc. R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016
  16. 16. Cosa si intende quando parliamo di rischio nelle banche 16R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016 E perché ogni tanto se ne parla.
  17. 17. Uno sguardo al core business delle banche 17 Funding Lending Investing Raccogliere denaro dei clienti (depositi, c/c, titoli obbligazionari, ecc.) Finanziare individui e imprese con il denaro “raccolto” (mutui, prestiti, linee di credito) Investire il denaro raccolto su strumenti finanziari (azioni, obbligazioni, derivati, ecc.) R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016
  18. 18. Uno sguardo al core business delle banche 18 Funding Quando una banca “raccoglie” denaro da individui e enti (in surplus) si indebita. Ad esempio, incalando i nostri risparmi sui c/c o aprendo un deposito o acquistando un’obbligazione, di fatto, stiamo prestando soldi alla nostra banca di “fiducia”. A seconda della forma di contratto, la banca deve quindi far fronte a impegni di pagamento e alla corresponsione di interessi passivi (costo della raccolta) R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016
  19. 19. Uno sguardo al core business delle banche 19 Lending Investing Al pari di ogni altra azienda, la banca con i soldi “presi in prestito” deve svolgere delle attività che non solo le consentano di ripagare i debiti, ma anche generare utili. Pertanto, a sua volta presta danaro a individui o enti (in deficit) richiedendo la corresponsione di interessi (attivi). E/o investe in altri strumenti finanziari che possano portare ricavi in forma di rendimenti, dividendi, cedole, etc. Tutto questo, ovviamente, comporta l’assunzione di un certo numero di rischi R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016
  20. 20. 20R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016 Credit Risk Market Risk Operational Risk Perdite potenziali originate dall’eventuale insolvenza dei debitori (mutui e prestiti non pagati, ecc.) Perdite potenziali originate da fluttuazioni di mercato (variazioni dei tassi di interesse, prezzi delle azioni, ecc.) Perdite potenziali originate da processi, persone e sistemi interni non adeguati o eventi (danni, rapine, ecc.) Liquidity Risk Business Risk Reputational Risk Incapacità della banca di far fronte e in modo economico agli obblighi di pagamento previsti contrattualmente Perdite potenziali originate dall’indebolimento della posizione competitiva della banca sul mercato Perdite potenziali originati dall’indebolimento dello standing della banca nell’opinione pubblica Una tassonomia semplificata del banking risk
  21. 21. 21R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016 E mai accaduto che rischi non controllati generassero perdite?Dick & Jane - Operazione Furto
  22. 22. -4100 GUSD Totale perdite per banche e istituzioni a livello mondiale 22 2007 Crisi dei subprime
  23. 23. FALLITA LEHMAN BROTHERS -6.7 GUSD -26K dipendenti 23 2007 Crisi dei subprime
  24. 24. - 5 GEUR SOCIÉTÉ GÉNÉRALE (case study OpRisk) 24 2008 Derivati
  25. 25. FALLITA BARINGS BANK -1.3 GEUR 25 2008 Derivati
  26. 26. Come si fa risk management nelle banche 26R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016 E perché la matematica “aiuta” “Go to the edge of the cliff and jump off. Build your wings on the way down” -Ray Bradbury
  27. 27. Come si fa il “risk management” 27R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016 Individuare Misurare Controllare Mitigare i rischi che minacciano la stabilità, la redditività e le strategie dell’azienda Mediante un sistema di processi finalizzato ad
  28. 28. 28R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016 Perché questo sistema è così importante Serve a supporto alle decisioni strategiche: individuazione dei rischi potenziali e valutazione degli impatti. Serve a definire metodi di misura e meccanismi di monitoraggio periodico delle principali aree di rischio. Serve a determinare il capitale “adeguato” alla copertura permanente di tutti i rischi ai quali è o potrebbe essere esposta l’azienda. (Circ. 285/2013 Banca d’Italia)
  29. 29. E perche la matematica “aiuta” 29R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016 sulla base di enormi quantità di dati eterogenei Per quantificare le perdite potenziali e “inattese” mediante metodi e modelli analizzando fenomeni deterministici e stocastici governati da agenti economici (non sempre razionali), vincoli normativi, fattori endogeni ed esogeni
  30. 30. 30R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016 “enormi quantità di dati eterogenei” “analizzando fenomeni deterministici e stocastici” “governati da agenti economici (non sempre razionali), vincoli normativi, fattori endogeni ed esogeni” E perché la “matematica” entra in gioco Spiegato con le skills. Matlab, Python, SAS, SQL Multivariate statistics, time series analysis Matlab, Python, SAS, C, Java Probability, multivariate statistics, statistical learning, Monte Carlo, etc. Matlab, Python Generalized linear models, behavioural models, econometrics, etc. Vincoli normativi e gestionali (Basilea, ECB, EBA, Bankit, CRR, CRD)
  31. 31. Alcuni modelli matematici per il rischio di mercato 31R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016 Ma dobbiamo fare prima i conti con l’imprevedibilità
  32. 32. 32R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016 Il rischio di mercato Il rischio di mercato è rappresentato da tutte le perdite potenziali derivanti dalle fluttuazioni di valore del portafoglio di trading della banca originati da variazioni dei tassi di interesse, dei tassi di cambio, del valore di equity, commodity, ecc.
  33. 33. 33R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016 Un approccio di gestione del rischio di mercato 1. Stimando il capitale necessario a far fronte le eventuali perdite. 2. Misurando e controllando periodicamente la rischiosità degli strumenti su cui si è investito. 3. Supportando il management nei processi decisionali legati a nuovi investimenti. Questi processi necessitano di metodologie in grado di valutare correttamente il valore degli strumenti di un portafoglio, e di fornire affidabili misure di rischiosità.
  34. 34. 34R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016 Assunzioni e vincoli dei modelli Ogni modellizzazione, che si basa su un sistema assiomatico di assunti, semplifica la descrizione di un fenomeno fornendone una rappresentazione approssimata. I processi di scambio degli strumenti finanziari avvengono in mercati governati da agenti economici (non sempre razionali), fenomeni sociali, vincoli normativi, ecc. Alcune ipotesi e limiti fondamentali Mercato efficiente: il valore di mercato, al tempo t, di uno strumento finanziario riflette istantaneamente tutte le informazioni del passato Vincoli normativi: le misure di rischio devono essere accettate (validate) normativamente (i.e il migliore dei modelli matematici non è sempre utilizzabile)
  35. 35. Preludio sulla probabilità 35R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016
  36. 36. Rischio e probabilità 36 “Eventualità di subire un danno connessa a circostanze più o meno prevedibili.” R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016 Probabilità
  37. 37. 37R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016 Un’idea di determinismo Lo studio sperimentale di un fenomeno finalizzato all'individuazione di una legge matematica che lo governi richiede che, a parità di condizioni iniziali, la ripetizione dell'esperimento che consente l'osservazione del fenomeno produca i medesimi risultati.
  38. 38. 38R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016 Un esempio: la caduta di un grave Condizioni iniziali Presenza del campo gravitazionale terrestre g = 9.8 m/s2 ; Assenza di attrito (vuoto) Tempo di caduta da altezza h: t = (2h/g)1/2 La caduta del grave, da un punto di vista “cinematico” e sotto opportune condizioni, è un fenomeno deterministico ed è predicibile. In altre parole, possiamo prevedere il tempo di caduta di un grave dall'altezza di 10 km senza doverci recare personalmente a quella quota ed eseguire la misura!
  39. 39. 39R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016 I fenomeni stocastici (o aleatori) Esistono però molti altri fenomeni la cui osservazione restituisce esiti casuali indipendentemente dalle condizioni iniziali o dalla cura dello sperimentatore nel controllo di esse. Tali fenomeni sono detti aleatori o stocastici e presentano la proprietà fondamentale di essere non prevedibili. Uno degli esempi più semplici è il lancio di un dado non truccato. Per quanto si cerchi di controllare le modalità del lancio è realmente difficile che si possa prevedere il risultato.
  40. 40. 40R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016 Regolarità dei fenomeni stocastici Molti dei fenomeni stocastici, presentano delle caratteristiche di regolarità. Se lanciassimo una moneta non truccata per 1000 volte ci aspetteremmo “Testa” o “Croce” all’incirca per 500 volte. Se lanciassimo per 1000 volte una coppia di dadi non truccati ci aspetteremmo l'uscita del “7” circa 167 volte, del “10” circa 83 volte, del “12” solo circa 28 volte. Come mai? E soprattutto, quanto è “possibile” che su 1000 lanci il “7” esca per 31 volte? O “Testa” per 930 volte?
  41. 41. 41R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016 Regolarità dei fenomeni stocastici (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) Lanciando due dadi abbiamo 36 combinazioni possibili di uscite, 6 di queste fanno somma 7. Lancio due dadi: 36 possibili uscite N. di lanci: 1000 N. coppie a somma 7: 6 su 36 N. coppie a somma 10: 3 su 36 N. coppie a somma 12: 1 su 36 Numero di uscite “atteso” N. lanci a somma 7: 1000*6/36 = 166.67 N. lanci a somma 10: 1000*3/36 = 83.33 N. lanci a somma 12: 1000*1/36 = 27.78
  42. 42. 42R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016 Un’idea di probabilità La stabilità nella frequenza di accadimento appena illustrata suggerisce l'ipotesi che in qualche modo si possa misurare la casualità di un evento mediante un numero che ne indichi la maggiore o minore possibilità che esso si verifichi. La teoria delle probabilità infatti postula l'esistenza di una funzione, detta appunto probabilità, che ad ogni evento associa un numero reale positivo tanto più vicino a 1 (o a 0) quanto è più (o meno) probabile il verificarsi dell'evento stesso
  43. 43. 43R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016 Ingredienti di una teoria elementare delle P. Eventi non elementari “uscita del numero X dal lancio di due dadi” P(X = 1) = 0/36 P(X = 2) = 1/36 P(X = 3) = 2/36 P(X = 4) = 3/36 P(X = 5) = 4/36 P(X = 6) = 5/36 P(X = 7) = 6/36 P(X = 8) = 5/36 P(X = 9) = 4/36 P(X = 10) = 3/36 P(X = 11) = 2/36 P(X = 12) = 1/36 6 55 44 3 2 1 3 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 EVENTO ELEMENTARE (p= 1/36) 10 11 12
  44. 44. 44R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 1 3 6 10 15 21 26 30 33 35 36 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Distribuzioni di probabilità La distribuzione cumulata per variabili discrete Distribuzione di probabilità f(x) = P(X = x) con che p. la variabile X assume il valore x Distr. cumulata probabilità f(x) = P(X ≤ x) con che p. la variabile X assume valori <= x
  45. 45. 45R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016 Distribuzioni di probabilità Al pari del lancio di due dadi, è possibile modellizzare altri fenomeni aleatori mediante osservazioni ripetute nel tempo o sulla base di regolarità (approccio classico) o studiando le frequenze di accadimento (approccio frequentistico). Ad esempio, possiamo osservare l’andamento di un azione, ogni giorno per 2 anni e costruire la distribuzione delle variazioni di prezzo. Se siamo fortunati, possiamo associare la distribuzione empirica ad una parametrica, altrimenti è necessario adottare metodi non-parametrici.
  46. 46. 46R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016 Distribuzioni di probabilità parametriche Numerosi fenomeni aleatori sono modellizzabili con precisione mediante distribuzioni di probabilità parametriche (cioè definite da parametri): - Distribuzione di Gauss - Distribuzione di Bernoulli Lanciando due dadi 100 volte, qual è la probabilità di ottenere “7” per 31 volte? Bin(n=1000, k=31, p=⅙) = 10^-42 - Distribuzione di Poisson - Distribuzione t-Student - Distribuzione Chi-quadrato - Distribuzione Esponenziale
  47. 47. 47R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016 Distribuzione di Gauss (fonte Wikipedia)
  48. 48. Il rischio di mercato e il teorema di Eulero 48R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016 Il Value-at-Risk
  49. 49. 49R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016 Il rischio di mercato E’ una misura fondamentale, perché la stima dell’esposizione della banca al rischio di mercato rientra nella valutazione dei rischi di Primo Pilastro (Basel Committee) per la determinazione dei requisiti patrimoniali minimi. Il Value-at-Risk è una delle misure utilizzabili secondo le disposizioni dell’Autorità di Vigilanza.
  50. 50. 50R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016 Esempio di fluttuazioni Andamento dell’indice Dow Jones Dal 1980 Ultimi 6 mesi (fonte Yahoo! Finance)
  51. 51. 51R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016 Il Value-at-Risk Il VaR è una misura finalizzata a riassumere in un unico valore di perdita l’esposizione complessiva al rischio di mercato di un portafoglio di trading. Stimare il VaR significa valutare: la massima perdita che può subire un portafoglio in un determinato orizzonte temporale, tale che una perdita maggiore può avvenire con una probabilità preassegnata. In altre parole, significa affermare qualcosa di simile: “con un livello di confidenza del 95%, il portafoglio non perderà più di 697000 euro nei prossimi 10 giorni.
  52. 52. 52R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016 Il Value-at-Risk Per calcolare il VaR di portafoglio è pertanto necessario, ricostruire la distribuzione di probabilità dei rendimenti, su un determinato orizzonte temporale. Approccio parametrico: si ipotizza che la distribuzione di probabilità dei rendimenti segua una distribuzione analitica (si stimano i parametri mediante un fit con la distr. empirica) Approccio non-parametrico: si utilizza la distribuzione empirica ipotizzando che assumerà il medesimo comportamento in futuro.
  53. 53. 53R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016 Definizione di rendimento Denotiamo con V(t) il valore al tempo t di un portafoglio. La Loss Distribution sull’intervallo Δt è definita da L(t+Δt,t) = V(t)-V(t+Δt) Il tasso di rendimento sull’intervallo Δt è definito come I(t+Δt,t) = [V(t+Δt)-V(t)]/V(t) Il rendimento logaritmico (log-return) sull’intervallo Δt è: R(t+Δt,t)= ln[V(t+Δt)/V(t)] Ed è tale che R(t+Δt,t)~ I(t+Δt,t) per piccoli I, e che se t1 <t2 <t3 R(t3 ,t1 ) = R(t3 ,t2 ) + R(t2 ,t1 )
  54. 54. 54R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016 Definizione matematica di VaR Data la distribuzione loss L su un determinato orizzonte temporale e un livello di confidenza α, il VaRα (L) è il più piccolo numero ℓ tale che la probabilità di avere una perdita maggiore di ℓ è minore di 1-α
  55. 55. 55R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016 VaR in approccio parametrico semplificato Singolo strumento finanziario z Ipotesi di normalità Si assume che la distribuzione delle rendimenti sia una normale con media 0 e varianza σ2 . Pertanto fissato un livello di confidenza α, si determina la variabile z corrispondente e si calcola il VaR giornaliero come
  56. 56. 56R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016 VaR in approccio parametrico semplificato Portafoglio con più strumenti (fonte Wikipedia)
  57. 57. 57R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016 VaR in approccio parametrico semplificato Portafoglio con più strumenti Ipotesi di linearità dei rendimenti Il rendimento di portafoglio sull’orizzonte Δt è la somma dei rendimenti dei singoli fattori di rischio pesati per le singole esposizioni. La varianza di portafoglio terrà conto delle varianze dei singoli fattori di rischio e delle correlazioni tra essi. (fonte Wikipedia)
  58. 58. 58R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016 Effetto della correlazione sul VaR Applicazione su due strumenti Per comprendere l’effetto della covarianza sul VaR di portafoglio, consideriamo il caso di un portafoglio con due strumenti: Quando la correlazione vale 1: il VaR di portafoglio eguaglia la somma dei VaR di singolo strumento. Quando la correlazione è negativa: allora il VaR di portafoglio risulta minore della somma dei VaR di singolo strumento, come ci si dovrebbe attendere da un portafoglio ben diversificato. (fonte Wikipedia)
  59. 59. 59R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016 Il VaR e il t. di Eulero sulle funzioni omogenee Il Component VaR La proprietà di “omogeneità” del VaR è utile per allocare ai sotto-portafogli una misura di rischio dell’intero portafoglio. Una funzione definita in Rn omogenea di grado k si dice omogenea se Per le funzioni omogenee vale il teorema di Eulero Il VaR è una funzione omogenea di grado 1, sicché
  60. 60. 60R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016 Sembra semplice, tutto qui? No. I portafogli su cui spesso si stima il VaR sono insiemi da centinaia (o migliaia) di strumenti. Per essere più corretti, la distribuzione dei rendimenti si costruisce a partire da fattori di rischio su cui si vanno a “mappare” gli strumenti. La mappatura degli strumenti sui fattori di rischio e la valutazione della matrice di covarianza richiede una selezione “statistica” dei fattori di rischio e manutenzione “numerica” molto accurata. Due fattori chiave: potenza di calcolo e affidabilità statistica
  61. 61. 61R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016 Ma la storia non si chiude con il parametric-VaR. Effetto delle code spesse. La modellizzazione mediante distribuzione di Gauss non considera gli eventuali effetti di code spesse nelle distribuzioni empiriche producendo una sottostima delle perdite potenziali. Approcci alternativi: fit con distribuzioni alternative (t-Student) o metodi non parametrici Il VaR in approccio parametrico semplificato può presentare insensibilità al fenomeno delle code spesse.
  62. 62. 62R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016 Ma la storia non si chiude con il parametric-VaR. Effetto delle code spesse. - Esempi di fit alternativi Distribuzione dei rendimenti giornalieri logaritmici del Dow Jones dal 1950 ad oggi.
  63. 63. 63R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016 VaR in approccio di simulazione storica Metodi non parametrici Per calcolare il VaR (o il CVaR), data la distribuzione empirica, si estrae il percentile desiderato (si ordinano 500 valori giornalieri di rendimento dal più negativo al più positivo, il 99° percentile è il 5° valore peggiore.) Vantaggi 1. non si fanno assunzioni sulla distribuzione dei rendimenti; 2. la correlazione tra fattori di rischio è catturata implicitamente, senza necessità di stimarla L’approccio in simulazione storica è un approccio non parametrico che si basa sull’assunzione per cui la distribuzione futura degli investimenti seguirà quella passata.
  64. 64. 64R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016 Effetti di bump nella distribuzione delle perdite L’Expected Shortfall Per costruzione, il VaR indica il valore limite di perdita oltre il quale si verificherebbe un perdita superiore con probabilità (1-α), cioè il valore minimo con cui possono andare male le cose. Infatti, due distribuzioni con differenti “code” possono produrre il medesimo valore di VaR. Quindi sarebbe più importante chiedersi: “se le cose vanno male, quanto ci aspettiamo di perdere?” Conditional VaR: valore medio di tutte le perdite superiori al VaR. -200M -10M VaR VaR -10M-20M
  65. 65. 65R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016 Ma quindi qual è lo stato dell’arte? Il VaR (meglio CVaR) rimane la più diffusa e accettata (anche normativamente) per la misura di rischio mercato. Approcci migliorativi (simulazione storica e Monte Carlo) hanno aumentato l’affidabilità della stima in coerenza con i principi di economicità aziendali. Problemi Aperti - Sviluppo di modelli matematici avanzati (volatilità dipendenti dal tempo, distribuzioni di Levy stabili, ecc.) - Sviluppo di modelli numerici sostenibili
  66. 66. Derivati, Monte Carlo e sospensioni fluide 66R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016 Le idee di un botanico, un matematico e due economisti
  67. 67. 67R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016 Le sospensioni fluide e il moto browniano Le sospensioni fluide sono miscele in cui una sostanza solida viene finemente dispersa in una sostanza liquida (ad es. farina e acqua) in modo tale che si sedimenti in tempi lunghi. Le particelle microscopiche (~μm) in sospensioni fluide sono caratterizzate da un moto continuo e disordinato (Robert Brown, botanico, 1827). Randow walk (fonte Wikipedia)
  68. 68. 68R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016 L’intuizione di Bachelier La prima trattazione matematica del moto browniano fu ad opera di Einstein durante l’annus mirabilis (1905). Tuttavia, nel 1900, il matematico francese Louis Bachelier, sviluppò un approccio statistico per descrivere l’andamento dei prezzi dei titoli della Borsa di Parigi (molto simile alle successive trattazioni matematiche del moto browniano). Fu il primo ad applicare la teoria della probabilità ai fenomeni dinamici legati ai mercati finanziari. Successivamente, con i lavori di Einstein, Langevin, Wiener (e altri) si aprì la strada allo studio dei processi stocastici.
  69. 69. 69R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016 I processi stocastici Un processo stocastico è una famiglia di variabili aleatorie che dipendono da un parametro. La realizzazione di una variabile aleatoria dipendente dal tempo può essere immaginata come un insieme infinito di traiettorie descrittive del processo.
  70. 70. 70R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016 Moto Geometrico Browniano Un caso particolare di PS è il processo di Wiener o moto browniano in cui gli incrementi della variabile sono indipendenti tra loro e identicamente distribuiti secondo una normale gaussiana a media zero e varianza data dagli step temporali. Un MB geometrico è un PS in cui il logaritmo della variabile aleatoria segue un moto browniano con un termine di deriva. (fonte Wikipedia)
  71. 71. 71R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016 Intermezzo sui metodi Monte Carlo I metodi Monte Carlo costituiscono una classe di metodologie computazionali che restituiscono stime numeriche sulla base di un campionamento casuale. Le applicazioni dei MCM sono vastissime e spaziano dalla fisica all’ingegneria meccanica e aeronautica, finanza, etc. (fonte Wikipedia)
  72. 72. 72R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016 Un esempio classico di MCM La stima del “pi greco” Cerchio di raggio r = 1 iscritto in un quadrato di lato L = 2.; Area cerchio AC = π; Area quadrato AQ = 4; Rapporto AC/AQ = π/4 Generiamo casualmente tante coppie ordinate (x,y) e contiamo quelle per cui x2 +y2 ≤ 1 (rossi). La stima di π sarà data da π = 4*(num. punti rossi)/totale punti
  73. 73. 73R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016 Un esempio classico di MCM La stima del “pi greco” | Codice Python import numpy as np npoint = 100000 x = np.random.rand(1,npoint)[0] y = np.random.rand(1,npoint)[0] r = (x**2+y**2)**0.5 quadrante = sum(r <= 1.0) pigreco = 4*quadrante/float(npoint) errperc = abs(round(100*(np.pi-pigreco)/np.pi,2))
  74. 74. 74R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016 Ora, diamo uno sguardo ai “derivati” I derivati (derivatives) sono strumenti finanziari il cui prezzo dipende dal valore di un altro strumento finanziario, detto sottostante (underlying). Tipologie: forward, future (fwd non scambiabili OTC) e opzioni.
  75. 75. 75R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016 Opzioni Le opzioni sono contratti in cui una delle parti può (ma non ha l’obbligo) di esercitare l’opzione di acquisto o vendita di sottostanti nei confronti dell’altro contraente a prefissate condizioni.
  76. 76. 76R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016 Esempio: Call Europea Alice compra, oggi, da Bob un’opzione call europea che le consente di acquistare tra 6 mesi (da Bob), 100 azioni Google ad un prezzo prefissato di 780 USD (strike). Supponiamo che oggi il prezzo di GOOG sia 774. Alice scommette che il prezzo aumeterà Bob scommette che il prezzo diminuirà (fonteWikipedia)
  77. 77. 77R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016 Cosa può accadere Il prezzo delle azioni Google sale. Il prezzo di Google arriva a 800 USD e supera lo strike di 780 USD. Alice esercita l’opzione. Bob è obbligato a vendere le azioni a 780 USD. Alice compra le azioni a 780 USD e le rivende subito a 800, ricavando 20 dollari per azione. Payoff = max(S-K, 0) Profit = Payoff - Premium
  78. 78. 78R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016 Cosa può accadere Il prezzo delle azioni Google scende. Il prezzo di Google arriva a 760 USD ed è sotto lo strike di 780 USD. Alice non esercita l’opzione e perde l’importo del premio. Bob incassa il premio e il contratto scade. (Bob è stato fortunato, essere short su una call può dare risultati disastrosi. Perché?) Payoff = min(K-S, 0) Profit = Payoff - Premium
  79. 79. 79R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016 Un problema fondamentale: il pricing Come si prezza qualcosa che dipende da qualcos’altro? Come determinare in maniera “fair” il prezzo di uno strumento il cui valore dipende da quello di una variabile aleatoria (come il prezzo di un’azione)?
  80. 80. 80R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016 Proviamo con il metodo Monte Carlo Un approccio semplificato 1. Simuliamo i “possibili” cammini dell’azione in un determinato periodo di tempo (abbiamo bisogno di un’ipotesi economica); 2. Valutiamo a scadenza T tutti i possibili payoff dell’opzione: E[max(ST -K,0)] 3. Scontiamo a valore attuale il valore di aspettazione di tutti i payoff: e-rT E[max(ST -K,0)]
  81. 81. 81R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016 Le possibili traiettorie del prezzo di un’azione Simulazione di un moto Browniano Geometrico 10 cammini casuali 100 cammini casuali 1000 cammini casuali
  82. 82. 82R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016 Moto Geometrico Browniano Simulazione pricing call europea - Codice Python from scipy.stats import norm import numpy as np from random import random import pandas as pd S0 = 42; mu = 0.0; r = 0.1; sigma = 0.2; K = 40; T = 1; nstep = 250; dt = 1.0/nstep; nsimulation = 100 MC = pd.DataFrame({}) for i in range(nsimulation): St = [S0] for j in range(nstep): print "Simulazion No.: "+str(i)+"t "+"Step: "+str(j) G = np.exp((mu-0.5*sigma**2)*dt+sigma*np.sqrt(dt)*norm.ppf(random())) St.append(St[-1]*G) MC.loc[:, 'SIM'+str(i)] = St fin = np.array(pd.DataFrame(MC, index = [nstep]))[0]-K payoff = np.maximum(list(fin), [0.0]*nsimulation) price = np.exp(-r*T)*np.mean(payoff) print price
  83. 83. 83R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016 Soluzione di Black-Scholes-Merton Una forma analitica chiusa L’evoluzione del prezzo del sottostante è un processo stocastico markoviano descritto da un moto browniano geometrico. B-S proposero una forma analitica chiusa per la determinazione del prezzo delle opzioni.
  84. 84. 84R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016 Soluzione di Black-Scholes-Merton Una forma analitica chiusa Ipotesi fondamentali 1. Il mercato è efficiente (liquido, senza attriti, no asimmetrie informative) 2. Andamento prezzi del sottostante segue un MBG 3. Tasso di interesse risk-free e volatilità sono costanti 4. Mercato arbitrage-free (non si può guadagnare quantità arbitrarie di danaro senza rischi) 5. Gli scambi si svolgono continuamente nel tempo (Δt~0).
  85. 85. 85R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016 Esiste quindi il Sacro Graal degli investimenti? No. 1994 Black, Scholes e altri tra i più famosi economisti del mondo fondano un hedge fund (la Long Term Capital Management) che ebbe (per breve periodo) una fortuna immensa (40% rendimenti) 1997 Black e Scholes vincono il premio Nobel per l’Economia
  86. 86. 86R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016 Esiste quindi il Sacro Graal degli investimenti? No. 1994 Black, Scholes e altri tra i più famosi economisti del mondo fondano un hedge fund (la Long Term Capital Management) che ebbe (per breve periodo) una fortuna immensa (40% rendimenti) 1997 Black e Scholes vincono il premio Nobel per l’Economia 1998 LTCM fallisce
  87. 87. 4 affermazioni per riassumere questo talk 87R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016
  88. 88. 88R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016 1. I percorsi epistemologici che fanno intersecare discipline apparentemente lontane, sono innumerevoli e per questo straordinari.
  89. 89. 89R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016 2. La modellizzazione matematica è un tassello fondamentale della gestione dei rischi bancari. Ma c’è ancora tanta strada.
  90. 90. 90R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016 3. Il risk management nelle banche è un sistema complesso e dinamico governato da fenomeni collettivi di origine sociale
  91. 91. 91R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016 4. “Ehi, regola numero uno a Wall Street: nessuno, ok se sei Warren Buffett forse sì, nessuno sa se la borsa va sù o giù, o di lato o in circolo, meno che mai i broker”.
  92. 92. Riferimenti e suggerimenti bibliografici 92R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016 “Non c'è libro tanto cattivo che in qualche sua parte non possa giovare”. -Plinio il Vecchio Nullum esse librum tam malum, ut non aliqua parte prodesset.
  93. 93. 93R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016 Suggerimenti e riferimenti bibliografici
  94. 94. Acknowledgements 94R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016 Alumni Mathematica e la Scuola Open Source per l’ospitalità e la piacevole occasione di confronto. A. Zullo per le utili discussioni e gli ottimi suggerimenti che hanno contribuito alla costruzione di questo percorso.
  95. 95. APPENDICE 95R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016
  96. 96. 96R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016 Come scegliere una buona misura di rischio? Una definizione di misura “coerente” In un famoso paper Artzener et al. (1998) proposero un sistema di proprietà per definire “coerente” una misura di rischio. 1. Monotonicità. Se in ogni stato di natura i rendimenti di un portafoglio A sono minori di quelli di un portafoglio B allora il rischio di A deve essere maggiore di quello di B 2. Invarianza per traslazione. Aggiungendo capitale K al portafoglio, il rischio deve ridursi di un importo K. 3. Omogeneità. Aumentando il portafoglio di un multiplo M, con la stessa composizione, la misura di rischio si deve moltiplicare per M. 4. Subadditività. L’aggiunta di un portafoglio B ad un portafoglio A non può aumentare il rischio in misura maggiore della somma dei rischi dei singoli ptf. Il VaR non è coerente (non è sempre subadditivo). Il CVaR invece sì.
  97. 97. 97R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016 Intermezzo: Lo sapevate che... Girolamo Cardano (1501-1567) è stato il primo scienziato ad essersi occupato di fenomeni casuali in maniera più sistematica, concentrandosi proprio sui dadi di cui si dice sia stato un forte giocatore. Fu egli l'autore della prima opera sul tema, intitolata Liber de Ludo Aleae scritta nel 1560 e pubblicata postuma in Italia nel 1663.
  98. 98. 98R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016 Ingredienti di una teoria elementare delle P. Spazio Ω degli eventi elementari ωi Funzione di probabilità Algebra degli eventi (non elementari) A Insieme di tutti i possibili eventi ricostruibili da Ω (ad es. evento somma dei dadi = multiplo di 3) Modello finito di probabilità ovvero pari al rapporto tra il numero di eventi elementi favorevoli (contenuti in A) e il numero di quelli possibili N
  99. 99. 99R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016 Penny: Yeah, you guys never use that space up there. Why not get a table? Sheldon: Do you want the long answer or the short answer? Howard: Hey, how come we never get that option? Sheldon: Chaos theory suggests that even in a deterministic system, if the equations describing its behaviour are non-linear, a tiny change in the initial conditions can lead to a cataclysmic and unpredictable result. Penny: Translation? Leonard: Waah. I don’t want a table. Big Bang Theory 7-16

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