Induction électromagnétique

INDUCTION
ÉLECTROMAGNÉTIQUE
INSTITUT PRÉPARATOIRE AUX ÉTUDES D’INGÉNIEUR DE SFAX
MP2 – A.U : 2020/2021

INDUCTION ÉLECTROMAGNÉTIQUE
Ali BEN MOUSSA
i
Galvanomètre
Création d’un courant induit dans un circuit placé dans un champ magnétique variable
mouvement
C
S N
0 i
I.1. MISE EN ÉVIDENCE EXPÉRIMENTALE
Expérience 1 :
I. LES LOIS DE L’INDUCTION ÉLECTROMAGNÉTIQUE

Ali BEN MOUSSA
Lorsque l’aimant est immobile, il n’y a pas de courant dans le circuit. Par contre,
lorsqu’on déplace l’aimant, il apparaît un courant dont le sens dépend du sens de
déplacement de l’aimant. De plus, ce courant est d’autant plus important que le
déplacement est rapide.
Expérience 1 :

Ali BEN MOUSSA
Expérience 2 : Rails de Laplace
B
M
N
0
i i
mouvement
Un circuit formé par une tige conductrice MN,
de masse m, placée sur deux rails conducteurs
horizontaux et se trouvant dans un champ
magnétique vertical supposé uniforme et
permanent.
Lorsqu’on déplace la tige, le galvanomètre G est
parcouru par un courant dont le sens dépend du
sens de déplacement de la tige.

Ali BEN MOUSSA
Le point commun à ces expériences est que le flux magnétique varie au cours du
temps. Cette variation se fait soit par variation du champ magnétique soit par variation
de la surface du circuit.
Interprétation :
Le courant électrique induit dans le circuit est le siège d’une f.é.m. induite. L’apparition
de cette force électromotrice est due au phénomène d’induction électromagnétique.

Ali BEN MOUSSA
I.2. LOI DE LENZ
Le courant électrique induit tend par ses effets (champ magnétique propre) à s’opposer à
la cause qui lui a donné naissance (variation du flux magnétique).
Lorsque le flux magnétique varie, le courant induit dans le circuit, crée un champ
magnétique propre dans le flux s’oppose à cette variation.

Ali BEN MOUSSA
I.2. LOI DE LENZ
C2
C1
I
i
mouvement
Sens du courant induit – loi de Lenz
B i
B

Ali BEN MOUSSA
I.3. LOI DE FARADAY
La f.é.m. induite dans un circuit fermé est égale à l’opposé de la dérivée par
rapport au temps du flux magnétique à travers le circuit :

 
d
e
dt
en Webers (Wb), t en secondes (s) et la f.é.m. (e) en volts (V).

Ali BEN MOUSSA
II. CIRCUIT FIXE DANS UN CHAMP MAGNÉTIQUE VARIABLE
II.1. AUTO-INDUCTION
II.1.1. Inductance propre :
Soit un circuit quelconque (C) parcouru par un courant d’intensité I. Ce courant crée
un champ magnétique . B
Le flux f de à travers le circuit (C) , appelé flux propre, peut s’écrire sous la
forme :
B
 LI
L est une grandeur physique positive, appelé inductance propre du circuit. Elle ne
dépend que de la forme géométrique et des dimensions du circuit. Il s’exprime en
Henry dans le système SI.

Ali BEN MOUSSA
II.1.1. Inductance propre
Lorsque l’intensité I du courant varie en fonction du temps, le flux propre varie aussi.
D’après la loi de Faraday, il apparaît à chaque instant dans le circuit une f.é.m. induite
:
 

     
d LI
d dI
e L
dt dt dt
Cette f.é.m.. est appelée force électromotrice d’auto-induction.

Ali BEN MOUSSA
Inductance propre d’un solénoïde constitué de N spires régulières, supposées
jointives, de section S et de longueur supposée infinie.

        
 
2
0
propre 0
solénoïde 1spire
N S
N
B dS N B dS N IS I LI
Le flux propre du solénoïde supposé parcouru par un courant d’intensité I est :
D’où :


 
2
0N S
L
I
II.1.2. Inductance propre d’un solénoïde

Ali BEN MOUSSA
II.1.3. Étude énergétique
Soit un circuit électrique série comportant un générateur de f.é.m. E, une bobine
idéale d’inductance propre L et une résistance R.
    
di
E e Ri E Ri L
dt
En appliquant la loi des mailles, on obtient :
  
2 di
Ei Ri Li
dt
 
    
 
2 2
d 1
Ei Ri Li
dt 2
Ei : Puissance électrique délivrée par le générateur
2
Ri : Puissance dissipée par effet joule dans la résistance
2
1
Li
2
: énergie magnétique stockée dans la bobine

Ali BEN MOUSSA
II.2. DEUX CIRCUITS EN INTERACTION MAGNÉTIQUE
II.2.1. Inductance mutuelle
C2
C1
I1
I2
Soit deux circuits électriques (C1) et (C2) fermés, rigides et parcourus
respectivement par des intensités de courants i1 et i2.
On note par f11 le flux propre du circuit (C1) et f21 le flux magnétique
du champ magnétique créé par (C2) à travers (C1).
f 


f 

11 1 1
21 2
L I
MI
L1 est l’inductance propre du circuit (C1) et M est un coefficient appelé
inductance mutuelle entre les deux circuits (C1) et (C2).

Ali BEN MOUSSA
II.2.1. Inductance mutuelle
C2
C1
I1
I2
f 


f 

11 1 1
21 2
L I
MI
Le signe de l’inductance mutuelle est arbitraire. Il dépend
de l’orientation relative des deux circuits.
Le flux magnétique total à travers (C1) est :
f  f  f  
1 11 21 1 1 2
L I MI
De même, le flux magnétique total à travers (C2) est :
f  f  f  
2 22 12 2 2 1
L I MI

Ali BEN MOUSSA
II.2.2. Circuits électriques équivalents
C2
C1
I1
I2
La f.é.m. dans le circuit (C1) est :
f
    
1 1 2
1 1
d dI dI
e L M
dt dt dt
La f.é.m. dans le circuit (C2) est :
f
    
2 2 1
2 2
d dI dI
e L M
dt dt dt

Ali BEN MOUSSA
II.2.2. Circuits électriques équivalents
Les circuits électriques équivalents aux deux circuits (C1) et (C2) :
1
e
Convention générateur
2
e
i1
i2
M
i2
i1
 2
e
 1
e
Convention récepteur

  



   


1 2
1 1
2 1
2 2
dI dI
e L M
dt dt
dI dI
e L M
dt dt

Ali BEN MOUSSA
Soit les deux circuits (C1) et (C2) de la figure suivante.
M
i2
i1
 2
e
 1
e L1 L2
R1 R2
E(t)

  



   


1 2
1 1
2 1
2 2
dI dI
e L M
dt dt
dI dI
e L M
dt dt

Ali BEN MOUSSA
En appliquant la loi des mailles, on obtient :
M
i2
i1
 2
e
 1
e L1 L2
R1 R2
E(t)

    



     


1 2
1 1 1 1 1 1
2 1
2 2 2 2 2 2
dI dI
E R I e R I L M
dt dt
dI dI
0 R I e R I L M
dt dt

  


 
   


2 1 2
1 1 1 1 1 1
2 2 1
2 2 2 2 2
dI dI
EI R I L I MI
dt dt
dI dI
0 R I L I MI
dt dt

Ali BEN MOUSSA
M
i2
i1
 2
e
 1
e L1 L2
R1 R2
E(t)
 
     
 
 
2 2 2 2
1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2
d 1 1
EI R I R I L I L I MI I
dt 2 2
EI1 : Puissance délivrée par le générateur
: Puissance dissipée par effet Joule

2 2
1 1 2 2
R I R I
: énergie magnétique des deux circuits couplés
 
2 2
1 1 2 2 1 2
1 1
L I L I MI I
2 2

Ali BEN MOUSSA
II.3. TRANSFORMATEUR DE TENSION
Un transformateur est constitué par deux
bobines (primaire et secondaire) et un
circuit ferromagnétique permettant de
canaliser les lignes du champ
magnétique. Les bobines primaire et
secondaire sont constituées
respectivement par N1 et N2 spires .
i2
i1
N2
N1
B
Circuit ferromagnétique
primaire secondaire
v1
v2

Ali BEN MOUSSA
II.3. TRANSFORMATEUR DE TENSION
Les f.é.m. dans les bobines primaires
et secondaires sont :
f

   



f
    


1
1 1
2
2 2
d dB
e N S
dt dt
d dB
e N S
dt dt

  


 
   


1 1 1
2 2 2
dB
V e N S
dt
dB
V e N S
dt
  
2 2
1 1
V N
m
V N
: Rapport de transformation
i2
i1
N2
N1
B
Circuit ferromagnétique
primaire secondaire
v1
v2

Ali BEN MOUSSA
III. CIRCUIT MOBILE DANS UN CHAMP MAGNETIQUE STATIONNAIRE
III.1. Conversion de puissance mécanique en puissance électrique
Un circuit conducteur (C) rectangulaire MNPQM soumis à un
champ magnétique constant dans le référentiel
et tourne autour de l’axe Oz, avec la vitesse angulaire
constante . On suppose qu’à l’instant t=0 le cadre est
normal au champ .
 x
B Bu
 
x y z
R O,u ,u ,u
   z
u
B x
y
z
q
a
M
N
P
Q
B
n
   z
u

Ali BEN MOUSSA
Le flux magnétique à travers le circuit est :
 
f   q  

2
S
B.d S B.S.cos B.S.cos t
 
f
    
d
e B.S. .sin t
dt
x
y
z
q
a
M
N
P
Q
B
n
   z
u
La normale à la surface s’appuyant sur le circuit fait un angle q
avec le champ magnétique.
On oriente le circuit dans le sens MNPQM.
D’après la loi de Faraday :
III.1.1. Équation électrique

Ali BEN MOUSSA
 
   
di
B.S. .sin t Ri L (E)
dt
x
y
z
q
a
M
N
P
Q
B
n
   z
u
On note par L l’inductance propre et R la résistance du circuit.
Soit i le courant électrique dans le circuit.
En appliquant la loi des mailles, l’équation traduisant le
comportement électrique du système est :
  
di
e Ri L
dt

Ali BEN MOUSSA
 
     q   
L z z
B B.S.i.sin u B.S.i.sin t u
M
x
y
z
q
a
M
N
P
Q
B
n
   z
u
Le moment des forces de Laplace est :
PFD appliqué au circuit en rotation ;
Le circuit de moment d’inertie J est soumis à un couple moteur
  0 z
u
   

   
0
d
B.S.i.sin t J M
dt
Les forces de frottements sont supposées négligeables.
III.1.2. Équation mécanique

    
L
d
J
dt

Ali BEN MOUSSA
x
y
z
q
a
M
N
P
Q
B
n
   z
u
Soit en régime permanent (le circuit est en mouvement de rotation
avec une vitesse angulaire =cte).
 
      
 
 
2 2 2
0
d 1 1
Ri J Li
dt 2 2
 
   
 
 
2 2
0
d 1
Li Ri
dt 2
III.1.3. Bilan d’énergie
   

       
2
0
di d
E i M Ri Li J
dt dt

Ali BEN MOUSSA
x
y
z
q
a
M
N
P
Q
B
n
   z
u
 
   
 
 
2 2
0
d 1
Li Ri
dt 2
Soit en valeurs moyennes :
 
   
 
 
2 2
0
d 1
Li Ri
dt 2
Or
 

 
 
2
d 1
Li 0
dt 2
donc    2
0 Ri
La puissance mécanique moyenne du couple moteur est égale à la
puissance électrique moyenne délivrée par le circuit

Ali BEN MOUSSA
III.2. Conversion de puissance électrique en puissance mécanique
On reprend le dispositif des rails de Laplace.
On suppose que les deux rails et la tige
forment un circuit fermé sur une résistance R et
un générateur de f.é.m. E.
La tige est initialement au repos.
B
M
N
i
E
 
v t
R
l
x
y
z
n

Ali BEN MOUSSA
La f.é.m. dans le circuit est :
f
   
d
e B v
dt
La variation du flux du vecteur induction
magnétique à travers le circuit pendant
l’intervalle de temps dt lors d’un déplacement dx
de la tige est :
B
f   
d B.dS B dx B vdt
B
M
N
i
E
 
v t
R
l
x
y
z
n

Ali BEN MOUSSA
En appliquant la loi des mailles au circuit à un
instant t, on obtient :
  
E e Ri  
E B v Ri (EE)
B
M
N
i
E
 
v t
R
l
x
y
z
n

Ali BEN MOUSSA
En supposant qu’à l’instant t, le circuit est parcouru
par un courant d’intensité i(t). La tige est soumise à
une force de Laplace donnée par :
III.2.2. Équation mécanique
  
 x
MN
F id B B iu
PFD appliqué à la tige de masse m :
 
dv
F m
dt
 

dv
B i m EM
dt
B
M
N
i
E
 
v t
R
l
x
y
z
n

Ali BEN MOUSSA
III.2.3. Loi de variation de la vitesse
   

 



  


E B
i v
R R
EE et EM :
dv B
i 0
dt m
 
   
 
 
dv B E B
v 0
dt m R R
  
2 2
dv B B E
v
dt mR m R
En tenant compte de la condition initiale, la solution de cette équation différentielle
est :
 
 
 
  
 
 

 
 
0
t
v t v 1 exp avec





 


0
2 2
E
v
B
mR
B

Ali BEN MOUSSA
   
   
2 dv
EE i EM v Ei Ri mv
dt
 
    
 
2 2
d 1
Ei Ri mv
dt 2
 
    
 
2 2
1
Eidt Ri dt d mv
2
L’énergie délivrée par le générateur se transforme partiellement en énergie cinétique
et une énergie dissipée par effet Joule dans la résistance

Ali BEN MOUSSA
III.3. Freinage électromagnétique
B
M
N
i
 
v t
R
l
x
y
z
n
Nous étudions ici le dispositif des rails de
Laplace en absence de générateur.
À l’instant t=0s, la tige est lancée avec une
vitesse initiale  0 x
v v u

Ali BEN MOUSSA
 
2 2
dv B B E
v
dt mR m R
La vitesse de la tige obéit à la même équation différentielle obtenue dans III.2.3. :
avec E = 0
  
2 2
dv B
m v
dt R
  
2 2
B
v hv
R
est la force de Laplace s’exerçant sur la tige en mouvement. Cette force est
équivalente à une force de frottement visqueux qui s’oppose au mouvement
(force de freinage électromagnétique)

Ali BEN MOUSSA
En tenant compte de la condition initiale, la
solution de l’équation différentielle en V est :
   
 
 

 
0
t
v t v exp
 
2 2
dv B
v
dt mR
avec   2 2
mR
B
Pour t >> , la vitesse de la tige s’annule. Toute l’énergie cinétique se transforme en énergie
électrique dissipée par effet Joule dans la résistance.

Ali BEN MOUSSA

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