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  1. 1. PROF. SALDARRIAGA GEOMETRÍA 5TO CEPEBAN
  2. 2. Secciones Cónicas PARÁBOLAS
  3. 3. El estudio de las cónicas tiene su origen en el libro de Apolonio de Perga, Cónicas, en el cual se estudian las figuras que pueden obtenerse al intersecar un cono cualquiera por un plano. Previamente a este trabajo existían estudios elementales sobre determinadas intersecciones de planos perpendiculares a las generatrices de un cono, obteniéndose elipses, parábolas o hipérbolas según fuese el ángulo superior del cono, agudo, recto u obtuso, respectivamente. Si bien no disponía de la geometría analítica todavía, Apolonio hace un tratamiento de las mismas que se aproxima mucho al de la geometría analítica. Los resultados obtenidos por Apolonio fueron los únicos que existieron hasta que Fermat y Descartes, en una de las primeras aplicaciones de la geometría analítica, retomaron el problema llegando a su casi total estudio, haciendo siempre la salvedad de que no manejaban coordenadas negativas, con las restricciones que esto impone. La importancia fundamental de las cónicas radica en su constante aparición en situaciones reales: La órbita que sigue un objeto dentro de un campo gravitacional constante es una parábola. Así, la línea que describe cualquier objeto móvil que es lanzado con una cierta velocidad inicial, que no sea vertical, es una parábola. Esto no es realmente exacto, ya que la gravedad no es constante: depende de la distancia del punto al centro de la Tierra. En realidad la curva que describe un objeto móvil (si se ignora el fricción del aire) es una elipse que tiene uno de sus focos en el centro de la Tierra.
  4. 4. Pre prueba: 1. Encuentra la ecuación de la parábola que cumple las siguientes condiciones. a. Foco en ( 3,0) y vértice en el origen.  1 b. Foco en  0 , −  y vértice en el origen.  17  ( ) c. Pasa por 5 ,10 y abre hacia arriba y vértice en el origen. d. La directriz es y = −2 y vértice en el origen. e. Pasa por el punto ( 2,3) y la directriz es x = 3.
  5. 5. 2. Encuentra la ecuación de la gráfica ilustrada . a. b. 4 3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 x 2 = 4 py y 2 = 4 px ( 4) 2 = 4 p( 2) ( 4) 2 = 4 p( 2) p=2 p=2
  6. 6. Objetivos: Definir la figura de una parábola. Encontrar las ecuaciones canónicas o estandar de las parábolas. Trazar gráficas de las parábolas.
  7. 7. Las figuras cónicas se pueden general mediante la intersección entre un cono y un plano.
  8. 8. Parábolas Definición: Una parábola es el conjunto de puntos en el plano para los cuales la distancia desde un punto de la parábola a un punto fijo llamado el foco es igual a la distancia desde el punto hasta una línea fija llamada la directriz. Ecuación: d(F, P) = d(P, D) Directríz
  9. 9. 4 3 Directriz 2 1 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 Foco -1 Vértice -2 -3 -4
  10. 10. y 4 3 2 1 Foco (0, p) (x, y) D2 x -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 y=–p -1 D1 Directriz -2 Vértice -3 D1 = D2 -4
  11. 11. La ecuación de la parábola será: D1 = D2 D1 = D2 ( x − 0)2 + ( y − p )2 = ( x − x )2 + ( y − ( − p))2 x 2 + ( y − p )2 = ( y + p )2 x 2 + y 2 − 2 yp + p 2 = y 2 + 2 yp + p 2 x 2 − 2 yp = 2 yp x 2 = 4 yp x = 4 py 2
  12. 12. Teorema 1: La ecuación de una parábola con vértice en el origen, foco en (0, p) y directriz y = – p es, x 2 = 4 py La línea que divide la parábola en dos partes simétricas se llama el eje de simetría. De igual manera podemos encontrar la ecuación de una parábola con vértice en el origen y foco en (p,0). Teorema 2: La ecuación de una parábola con vértice en el origen, foco en (p, 0) y directriz x = – p es, = 4 px . y2
  13. 13. Encuentra el vértice, el foco, el eje de simetría y traza la gráfica de cada parábola. 1. y = 2 x 2 Solución 2 . y = .5 x 2 Solución 3. x = 2 y 2 Solución 1 2 4. x = y Solución 4 4 2 5. x = y Solución 9 2 6. − 2 y = x Solución
  14. 14. 1. y = 2 x 2 Vértice V ( 0, 0 ) 1 y=x 2  1 2 Foco F  0, ÷  8 1 1 4p = Directriz y=− 8 2 1 Eje de simetría p= 8 Eje de y; x = 0 p > 0 abre hacia arriba
  15. 15. y = 2x2 4 y x y 3 0 0 (– 1,2) 2 (1,2) 1 2 1 -1 2  1 F  0, ÷ x -4 -3 -2  -1 8  1 2 3 4 5 (0,0) -1 Vértice: V (0, 0)  1 -2 Foco: F  0, ÷  8 -3 1 Directriz: y=− 8 -4 Ejercicios
  16. 16. 2. y = .5 x 2 Vértice V (0, 0) 2y = x 2  1 Foco F  0, ÷  2 1 4p = 2 Directriz y=− 2 1 Eje de simetría p= 2 Eje de y p > 0 abre hacia arriba
  17. 17. y y = .5 x 2 4 x y 3 0 0 2  1 1 .5 F  0, ÷ 1  2 (– 1,.5) (1,.5) –1 .5 x -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 (0,0) -1 Vértice: V (0, 0) -2  1 Foco: F  0, ÷  2 -3 1 Directriz: y = − 2 -4 Ejercicios
  18. 18. 3. x = 2 y 2 Vértice V (0, 0) 1 x= y 2 1  2 Foco F  ,0÷ 8  1 1 4p = Directriz x=− 8 2 1 Eje de simetría p= 8 Eje de x p > 0 abre hacia la derecha
  19. 19. x = 2y 2 y 4 x y 3 0 0 2 2 1 1 (2,1) 2 -1 1  (0,0) F  ,0÷ x -4 -3 -2 -1 1 8 2 3 4 5 Vértice: V (0, 0) -1 (2, – 1) 1  Foco: F  , 0 ÷ -2 8  1 -3 Directriz: x=− 8 Ejercicios -4
  20. 20. 1 2 4. x = − y 4 Vértice V (0, 0) −4 x = y 2 F ( −1, 0 ) Foco 4 p = −4 Directriz x =1 Eje de simetría p = −1 Eje de x p < 0 abre hacia la izquierda
  21. 21. 1 2 x=− y y 4 4 x y 3 0 0 (– 1,2) 2 –1 2 x =1 1 –1 –2 F ( −1, 0 ) x (0,0) -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 Vértice: V (0, 0) -1 Foco: F ( −1, 0 ) -2 (– 1, – 2) -3 Directriz: x =1 -4 Ejercicios
  22. 22. 4 2 5. x = y 9 Vértice V (0, 0) 9 x= y 2 9  4 Foco F  ,0÷  16  9 9 4p = Directriz x=− 16 4 9 Eje de simetría p= 16 Eje de x p > 0 abre hacia la derecha
  23. 23. 4 2 x= y 9 4 y x y 3 (4,3) 0 0 9 2 x=− 4 3 16 1 9  F  ,0÷ 4 -3 (0,0)  16  x -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 Vértice: V (0, 0) -1 9  Foco: F  ,0÷ -2  16  -3 (4, – 3) Directriz: 9 x=− -4 16 Ejercicios
  24. 24. 6. − 2 y = x 2 Vértice V (0, 0) −2y = x 2  1 Foco F  0, − ÷  2 1 4 p = −2 Directriz y= 2 1 Eje de simetría p=− 2 Eje de y p < 0 abre hacia abajo
  25. 25. −2 y = x 2 4 x y 3 0 0 2 1 –2 –2 1 y= 2 V ( 0, 0 ) 2 –2 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -1 Vértice: V (0, 0)  1 ( −2, −2) F  0, − ÷ ( 2, −2) -2  2  1 Foco: F  0, − ÷ -3  2 1 Directriz: y = -4 2

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