6 матем істер_2014_укр

ÓÄÊ 51(075.3)
ÁÁÊ 22.1ÿ723
І-89
© Іñòåð Î.Ñ., 2014
© Âèäàâíèöòâî «Ãåíåçà»,
îðèãіíàë-ìàêåò, 2014ISBN 978-966-11-0431-9
І-89
Іñòåð Î.Ñ.
Ìàòåìàòèêà : ïіäðó÷. äëÿ 6-ãî êë. çàãàëüíîîñâіò. íàâ÷.
çàêë. / Î.Ñ. Іñòåð. — Ê. : Ãåíåçà, 2014. — 296 ñ. : іë.
ISBN 978-966-11-0431-9.
Ïіäðó÷íèê âіäïîâіäàє ÷èííіé ïðîãðàìі ç ìàòåìàòèêè,
ñêëàäàєòüñÿ іç ÷îòèðüîõ ðîçäіëіâ, ùî ìіñòÿòü 54 ïàðàãðàôè,
êîæíèé ç ÿêèõ óìіùóє äîñòàòíþ êіëüêіñòü äèôåðåíöіéîâà-
íèõ âïðàâ. Äëÿ ïіäãîòîâêè äî êîíòðîëüíîї ðîáîòè ïåðåäáà-
÷åíî «Çàâäàííÿ äëÿ ïåðåâіðêè çíàíü». Íàïðèêіíöі ïіäðó÷-
íèêà íàâåäåíî âïðàâè ïіäâèùåíîї ñêëàäíîñòі, ïðåäìåòíèé
ïîêàæ÷èê òà âіäïîâіäі äî áіëüøîñòі âïðàâ. Äëÿ íàéáіëüø äî-
ïèòëèâèõ є íèçêà öіêàâèõ і ñêëàäíèõ çàäà÷ ó ðóáðèöі «Äëÿ
òèõ, õòî ëþáèòü ìàòåìàòèêó».
ÓÄÊ 51(075.3)
ÁÁÊ 22.1ÿ723
Ðåêîìåíäîâàíî Ìіíіñòåðñòâîì îñâіòè і íàóêè Óêðàїíè
(Íàêàç ÌÎÍ Óêðàїíè âіä 07.02.2014 № 123)
Íàóêîâó åêñïåðòèçó ïðîâîäèâ
Іíñòèòóò ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðàїíè.
Å ê ñ ï å ð ò Òîðáіí Ã.Ì., ïðîâіäíèé ñïіâðîáіòíèê Іíñòèòóòó
ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðàїíè, ïðîôåñîð, äîêòîð ôіçèêî-ìàòåìà-
òè÷íèõ íàóê
Ïñèõîëîãî-ïåäàãîãі÷íó åêñïåðòèçó ïðîâîäèâ
Іíñòèòóò ïåäàãîãіêè ÍÀÏÍ Óêðàїíè.
Å ê ñ ï å ð ò Ãëîáіí Î.І., çàâіäóâà÷ ëàáîðàòîðії ìàòåìàòè÷íîї
òà ôіçè÷íîї îñâіòè Іíñòèòóòó ïåäàãîãіêè ÍÀÏÍ Óêðàїíè,
êàíäèäàò ïåäàãîãі÷íèõ íàóê, ñòàðøèé íàóêîâèé ñïіâðîáіòíèê
Âіäïîâіäàëüíі çà ïіäãîòîâêó ïіäðó÷íèêà äî âèäàííÿ:
Ãëàäêîâñüêèé Ð.Â., ãîëîâíèé ñïåöіàëіñò äåïàðòàìåíòó çàãàëü-
íîї ñåðåäíüîї òà äîøêіëüíîї îñâіòè ÌÎÍ Óêðàїíè;
Ïàíüêîâ À.Â., íàóêîâèé ñïіâðîáіòíèê Іíñòèòóòó іííîâàöіéíèõ
òåõíîëîãіé і çìіñòó îñâіòè ÌÎÍ Óêðàїíè.
Âèäàíî çà ðàõóíîê äåðæàâíèõ êîøòіâ. Ïðîäàæ çàáîðîíåíî
Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_R.indd 2Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_R.indd 2 28.05.2014 15:28:1328.05.2014 15:28:13

3
Øàíîâíèé øåñòèêëàñíèêó!
Òè ïðîäîâæóєø âèâ÷àòè îäíó ç íàéäàâíіøèõ і íàéâàæ-
ëèâіøèõ íàóê — ìàòåìàòèêó. Â îâîëîäіííі ìàòåðіàëîì
êóðñó òîáі äîïîìîæå öåé ïіäðó÷íèê. Âіí ñêëàäàєòüñÿ іç
÷îòèðüîõ ðîçäіëіâ, ùî ìіñòÿòü 54 ïàðàãðàôè. Ïіä ÷àñ âè-
â÷åííÿ òåîðåòè÷íîãî ìàòåðіàëó çâåðíè óâàãó íà òåêñòè,
âèäіëåíі æèðíèì øðèôòîì. Öå ìàòåìàòè÷íі îçíà÷åííÿ,
òåðìіíè, ïðàâèëà, ìàòåìàòè÷íі çàêîíè.
Ó ïіäðó÷íèêó òè ïîáà÷èø óìîâíі ïîçíà÷åííÿ. Îñü ùî
âîíè îçíà÷àþòü:
— òðåáà çàïàì’ÿòàòè;
— çàïèòàííÿ äî âèâ÷åíîãî òåîðåòè÷íîãî ìàòåðіàëó;
— âïðàâè äëÿ ïîâòîðåííÿ;
— âïðàâè ïіäâèùåíîї ñêëàäíîñòі;
— öіêàâі çàäà÷і äëÿ ó÷íіâ íåëåäà÷èõ.
×îðíèì êîëüîðîì ïîçíà÷åíî íîìåðè âïðàâ äëÿ ðîçâ’ÿ-
çóâàííÿ â êëàñі, à áëàêèòíèì êîëüîðîì ïîçíà÷åíî íîìåðè
âïðàâ äëÿ ðîçâ’ÿçóâàííÿ âäîìà.
Óñі âïðàâè ðîçïîäіëåíî âіäïîâіäíî äî ðіâíіâ íàâ÷àëü-
íèõ äîñÿãíåíü і âèîêðåìëåíî òàê:
çі çíà÷êà ïî÷èíàþòüñÿ âïðàâè ïî÷àòêîâîãî ðіâíÿ;
çі çíà÷êà ïî÷èíàþòüñÿ âïðàâè ñåðåäíüîãî ðіâíÿ;
çі çíà÷êà ïî÷èíàþòüñÿ âïðàâè äîñòàòíüîãî ðіâíÿ;
çі çíà÷êà ïî÷èíàþòüñÿ âïðàâè âèñîêîãî ðіâíÿ.
Ïåðåâіðèòè ñâîї çíàííÿ òà ïіäãîòóâàòèñÿ äî òåìàòè÷-
íîãî îöіíþâàííÿ òè çìîæåø, ÿêùî ðîçâ’ÿæåø «Çàâäàííÿ
äëÿ ïåðåâіðêè çíàíü ç òåìè».
ßêùî òè öіêàâèøñÿ ìàòåìàòèêîþ, ìîæåø óäîñêîíà-
ëþâàòè âìіííÿ, ðîçâ’ÿçóþ÷è ïðîòÿãîì íàâ÷àëüíîãî ðîêó
çàäà÷і іç çіðî÷êàìè òà çàäà÷і ðóáðèêè «Öіêàâі çàäà÷і äëÿ
ó÷íіâ íåëåäà÷èõ», à òàêîæ çàäà÷і ðóáðèêè «Äëÿ òèõ, õòî
ëþáèòü ìàòåìàòèêó».
Áàæàþ óñïіõіâ!
Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 3Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 3 28.05.2014 15:47:4528.05.2014 15:47:45

4
ØÀÍÎÂÍІ Â×ÈÒÅËІ!
Ïіäðó÷íèê ìіñòèòü âåëèêó êіëüêіñòü âïðàâ. Îáèðàéòå їõ
äëÿ âèêîíàííÿ íà óðîêàõ òà ÿê äîìàøíі çàâäàííÿ çàëåæíî
âіä ïîñòàâëåíîї ìåòè, ðіâíÿ ïіäãîòîâëåíîñòі ó÷íіâ, ñòóïåíÿ
іíäèâіäóàëіçàöії íàâ÷àííÿ òîùî. Âïðàâè, ÿêі íå ðîçãëÿíó-
ëè, ìîæíà âèêîðèñòàòè ïіä ÷àñ äîäàòêîâèõ, іíäèâіäóàëü-
íèõ, ôàêóëüòàòèâíèõ çàíÿòü, à òàêîæ çàíÿòü ìàòåìàòè÷íî-
ãî ãóðòêà.
Äîäàòêîâі âïðàâè ó «Çàâäàííÿõ äëÿ ïåðåâіðêè çíàíü»
ïðèçíà÷åíî äëÿ ó÷íіâ, ÿêі âïîðàëèñÿ ç îñíîâíèìè çàâäàí-
íÿìè ðàíіøå âіä іíøèõ ó÷íіâ. Ïðàâèëüíå їõ ðîçâ’ÿçàííÿ
â÷èòåëü ìîæå îöіíèòè îêðåìî.
ØÀÍÎÂÍІ ÁÀÒÜÊÈ!
ßêùî âàøà äèòèíà ïðîïóñòèòü îäèí ÷è êіëüêà óðîêіâ
ó øêîëі, òî âèíèêíå íåîáõіäíіñòü îïðàöþâàòè öåé ìàòåðі-
àë óäîìà. Òåîðåòè÷íó ÷àñòèíó êîæíîãî ïàðàãðàôà ïîäàíî
ìàêñèìàëüíî ïðîñòîþ, çðîçóìіëîþ ìîâîþ, ñóïðîâîäæóþ÷è
її äîñòàòíüîþ êіëüêіñòþ ïðèêëàäіâ. Òîìó ñïî÷àòêó íåîá-
õіäíî çàïðîïîíóâàòè äèòèíі îçíàéîìèòèñÿ ç òåîðåòè÷íîþ
÷àñòèíîþ ïàðàãðàôà, ïіñëÿ öüîãî äàòè âіäïîâіäі íà çàïè-
òàííÿ, ùî ïîäàíî ïіñëÿ íåї. Äàëі ñëіä ïðèñòóïèòè äî
ðîçâ’ÿçóâàííÿ âïðàâ ç óðàõóâàííÿì ïðèíöèïó «âіä ïðîñòî-
ãî äî ñêëàäíîãî». Ñàìå çà òàêèì ïðèíöèïîì ðîçìіùåíî
âïðàâè ó êîæíîìó ïàðàãðàôі.
Êðіì òîãî, âè ìîæåòå çàïðîïîíóâàòè äèòèíі äîäàòêîâî
ðîçâ’ÿçàòè âäîìà âïðàâè, ÿêі íå áóëè ðîçâ’ÿçàíі íà óðîöі.
Öå ñïðèÿòèìå êðàùîìó çàñâîєííþ íàâ÷àëüíîãî ìàòåðіàëó.
Ùîá ïіäãîòóâàòèñÿ äî òåìàòè÷íîãî îöіíþâàííÿ, äèòèíі
âàðòî ðîçâ’ÿçàòè «Çàâäàííÿ äëÿ ïåðåâіðêè çíàíü ç òåìè»,
ïîäàíі â ïіäðó÷íèêó. Öå äîïîìîæå ïðèãàäàòè îñíîâíі
òèïè âïðàâ.
Áàæàþ óñïіõіâ!

Ðîçäië 1
6
Áóäü-ÿêå íàòóðàëüíå ÷èñëî a äіëèòüñÿ íà 1 і a. Îòæå,
1 і a — äіëüíèêè ÷èñëà à, ïðè÷îìó 1 — íàéìåíøèé äіëü-
íèê, a — íàéáіëüøèé.
Ïðèêëàä 1. Çíàéòè âñі äіëüíèêè ÷èñëà 18.
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Äâà äіëüíèêè ÷èñëà 18 î÷åâèäíі: 1 і
18. Ùîá çíàéòè іíøі, áóäåìî ïåðåâіðÿòè ïіäðÿä óñі íàòó-
ðàëüíі ÷èñëà, ïî÷èíàþ÷è ç 2. Îòðèìàєìî ùå ÷îòèðè äіëü-
íèêè: 2, 3, 6 і 9. Îòæå, ÷èñëî 18 ìàє øіñòü äіëüíèêіâ: 1,
2, 3, 6, 9, 18. Öåé ïåðåáіð ìîæíà ñêîðîòèòè, ÿêùî, çíàé-
øîâøè îäèí äіëüíèê, çàïèñóâàòè âіäðàçó é іíøèé, ÿêèé є
÷àñòêîþ âіä äіëåííÿ ÷èñëà 18 íà çíàéäåíèé äіëüíèê. Òà-
êèì ÷èíîì, îòðèìàєìî ïàðè: 1 і 18, 2 і 9, 3 і 6. Ïіä ÷àñ
ïåðåáîðó їõ çðó÷íî çàïèñóâàòè òàê:
1 2 3
18 9 6.
Íåõàé íà ñòîëі ëåæàòü êîðîáêè, â êîæíіé ç ÿêèõ çíà-
õîäèòüñÿ 12 îëіâöіâ. Íå ðîçêðèâàþ÷è êîðîáîê, ìîæíà âçÿ-
òè 12 îëіâöіâ, 24 îëіâöі, 36 îëіâöіâ, à îò 16 îëіâöіâ óçÿòè
íå ìîæíà. Êàæóòü, ùî ÷èñëà 12, 24, 36 êðàòíі ÷èñëó 12,
à ÷èñëî 16 íå êðàòíå ÷èñëó 12.
Êðàòíèì íàòóðàëüíîìó ÷èñëó à íàçèâàþòü íà-
òóðàëüíå ÷èñëî, ÿêå äіëèòüñÿ íà à.
Áóäü-ÿêå íàòóðàëüíå ÷èñëî à ìàє áåçëі÷ êðàòíèõ. Íà-
ïðèêëàä, ïåðøі ï’ÿòü ÷èñåë, ÿêі êðàòíі ÷èñëó 12, òàêі:
12, 24, 36, 48, 60. Íàéìåíøèì ç êðàòíèõ íàòóðàëüíîãî
÷èñëà є ñàìå öå ÷èñëî.
Óçàãàëі, âñі ÷èñëà, ÿêі êðàòíі ÷èñëó à, ìîæíà îäåðæà-
òè, ïîìíîæèâøè à ïîñëіäîâíî íà ÷èñëà 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, ..., à ñàìå:
a  1; à  2; à  3; à  4; à  5; à  6; à  7; ...
Çàóâàæèìî, ùî ñëîâà «äіëèòüñÿ» і «êðàòíå» çàìіíþ-
þòü îäíå îäíîãî. Íàïðèêëàä, âèðàçè «40 äіëèòüñÿ íà 8» і
«40 êðàòíå ÷èñëó 8» ìàþòü îäèí і òîé ñàìèé çìіñò.
Ïðèêëàä 2. Çíàéòè íàéìåíøå òà íàéáіëüøå ÷îòèðè-
öèôðîâі ÷èñëà, ÿêі êðàòíі ÷èñëó 23.
Ðîçâ’ÿçàííÿ. 1) 1000 — íàéìåíøå ÷îòèðèöèôðîâå
÷èñëî. 1000 : 23  43 (îñò. 11). Òîìó 23  44  1012 — íàé-
ìåíøå ÷îòèðèöèôðîâå ÷èñëî, ÿêå êðàòíå ÷èñëó 23.

Ïîäiëüíiñòü íàòóðàëüíèõ ÷èñåë
7
2) 9999 — íàéáіëüøå ÷îòèðèöèôðîâå ÷èñëî. 9999 : 23 
434 (îñò. 17). Òîìó 23  434  9982 — íàéáіëüøå ÷îòèðè-
öèôðîâå ÷èñëî, ÿêå êðàòíå ÷èñëó 23.
ßêå ÷èñëî íàçèâàþòü äіëüíèêîì äàíîãî íàòóðàëüíî-
ãî ÷èñëà à? Íàçâè äіëüíèêè ÷èñëà 8. ßêå íàòó-
ðàëüíå ÷èñëî íàçèâàþòü êðàòíèì ÷èñëó à? Íàçâè
÷îòèðè ÷èñëà, ÿêі êðàòíі ÷èñëó 8.
1. Íàçâè òі ïàðè ÷èñåë, ó ÿêèõ ïåðøå ÷èñëî є äіëüíè-
êîì äðóãîãî:
1) 2 і 8; 2) 3 і 5; 3) 14 і 7;
4) 5 і 18; 5) 10 і 50; 6) 1 і 2012.
2. Ïåðåâіð, ÷è є ïåðøå ÷èñëî äіëüíèêîì äðóãîãî:
1) 25 і 400; 2) 13 і 1613; 3) 123 і 3321.
3. Ïåðåâіð, ÷è є ïåðøå ÷èñëî äіëüíèêîì äðóãîãî:
1) 3 і 112; 2) 42 і 1050; 3) 37 і 1645.
4. Íàçâè ïàðè ÷èñåë, ó ÿêèõ ïåðøå ÷èñëî є êðàòíèì äðóãîìó:
1) 12 і 3; 2) 17 і 9; 3) 18 і 1; 4) 23 і 23.
5. Ïåðåâіð, ÷è є ïåðøå ÷èñëî êðàòíèì äðóãîìó:
1) 810 і 5; 2) 1036 і 45; 3) 4144 і 37.
6. Ïåðåâіð, ÷è є ïåðøå ÷èñëî êðàòíèì äðóãîìó:
1) 189 і 3; 2) 1051 і 6; 3) 3000 і 24.
7. Çàïèøè âñі äіëüíèêè ÷èñëà:
1) 12; 2) 19; 3) 27; 4) 36.
8. Çàïèøè âñі äіëüíèêè ÷èñëà: 1) 15; 2) 23; 3) 28; 4) 40.
9. Çàïèøè ÷îòèðè ÷èñëà, êðàòíі ÷èñëó: 1) 8; 2) 10; 3) 19.
10. Çàïèøè ÷îòèðè ÷èñëà, êðàòíі ÷èñëó: 1) 6; 2) 11; 3) 23.
11. Òðåáà ïîäіëèòè ïîðіâíó ìіæ êіëüêîìà äіòüìè 24 öó-
êåðêè. Ñêіëüêè ìîæå áóòè äіòåé?
12. ×è ìîæíà äàòè çäà÷ó 2 ãðí 25 êîï. ìîíåòàìè:
1) ïî 25 êîï.; 2) ïî 50 êîï.?
13. ×è ìîæíà 65 îãіðêіâ ðîçêëàñòè ïîðіâíó:
1) â 2 êîøèêè; 2) â 3 êîøèêè; 3) â 5 êîøèêіâ?
14. Çàïèøè âñі äâîöèôðîâі ÷èñëà, ÿêі êðàòíі ÷èñëó 17.

Ðîçäië 1
8
15. Çàïèøè âñі äâîöèôðîâі ÷èñëà, ÿêі êðàòíі ÷èñëó 13.
16. Âêàæè ÿêå-íåáóäü ÷èñëî, ùî є äіëüíèêîì ÷èñåë:
1) 8 і 12; 2) 20 і 30; 3) 13 і 26; 4) 7 і 15.
17. Âêàæè ÿêå-íåáóäü ÷èñëî, ùî є äіëüíèêîì ÷èñåë:
1) 4 і 9; 2) 15 і 10.
18. Âêàæè ÿêå-íåáóäü ÷èñëî, ùî є êðàòíå ÷èñëàì:
1) 2 і 5; 2) 3 і 6; 3) 9 і 12.
19. Âêàæè ÿêå-íåáóäü ÷èñëî, ùî є êðàòíå ÷èñëàì:
1) 3 і 7; 2) 8 і 12.
20. Çàïèøè çíà÷åííÿ x, ÿêі êðàòíі ÷èñëó 5, ïðè ÿêèõ ïî-
äâіéíà íåðіâíіñòü 23 < x < 36 áóäå ïðàâèëüíîþ.
21. Çàïèøè çíà÷åííÿ ó, ùî є äіëüíèêàìè ÷èñëà 30, ïðè
ÿêèõ ïîäâіéíà íåðіâíіñòü 2 < ó < 14 áóäå ïðàâèëüíîþ.
22. Çàïèøè çíà÷åííÿ b, ïðè ÿêèõ ïîäâіéíà íåðіâíіñòü
4 < b < 17 áóäå ïðàâèëüíîþ і ÿêі:
1) êðàòíі ÷èñëó 3; 2) є äіëüíèêàìè ÷èñëà 36.
23. Çíàéäè:
1) íàéáіëüøå ÷îòèðèöèôðîâå ÷èñëî, ùî êðàòíå ÷èñ-
ëó 115;
2) íàéìåíøå ï’ÿòèöèôðîâå ÷èñëî, ùî êðàòíå ÷èñëó 12.
24. ßêà íàéìåíøà êіëüêіñòü ãîðіõіâ ïîâèííà áóòè â êîøè-
êó, ùîá їõ ìîæíà áóëî ðîçêëàñòè íà êóïêè àáî ïî 6, àáî
ïî 8, àáî ïî 9 ãîðіõіâ ó êîæíіé?
25. Íà êîîðäèíàòíîìó ïðîìåíі ïîçíà-
÷åíî ÷èñëî b (ìàë. 1). Ïîçíà÷ íà òà-
êîìó ïðîìåíі ó çîøèòі òðè ÷èñëà, ÿêі
êðàòíі ÷èñëó b.
26. Çíàéäè ïåðèìåòð і ïëîùó êâàäðàòà, ñòîðîíà
ÿêîãî äîðіâíþє 2,4 ñì. Âèðàçè ïëîùó öüîãî êâàäðàòà
ó ìì2.
27. Îêðóãëè:
1) 17,89 äî îäèíèöü; 2) 15,135 äî äåñÿòèõ;
3) 18,475 äî ñîòèõ; 4) 189,145 äî äåñÿòêіâ.
28. Äîâåäè, ùî äâà íàòóðàëüíèõ ÷èñëà a і b ìàþòü
òàêó âëàñòèâіñòü: àáî a, àáî b, àáî a + b, àáî a – b äіëèòü-
ñÿ íà 3.
Ìàë. 1

9
2.2.Ознаки подільності на 10, 5 та 2
Ïðèïóñòèìî, ùî òðåáà äіçíàòèñÿ, ÷è äіëèòüñÿ ÷èñëî
137 146 íà 5. Äëÿ öüîãî ìîæíà âèêîíàòè äіëåííÿ é îäåð-
æàòè âіäïîâіäü íà ïîñòàâëåíå çàïèòàííÿ. Àëå âіäïîâіäü
ìîæíà çíàéòè çíà÷íî ïðîñòіøå, íå âèêîíóþ÷è äіëåííÿ, çà
äîïîìîãîþ îçíàê ïîäіëüíîñòі. Ðîçãëÿíåìî äåÿêі ç íèõ.
Áóäü-ÿêå íàòóðàëüíå ÷èñëî, ùî çàêіí÷óєòüñÿ öèôðîþ
0, äіëèòüñÿ íà 10. Ùîá îäåðæàòè ÷àñòêó, äîñèòü ó äіëå-
íîìó âіäêèíóòè öþ öèôðó 0. Íàïðèêëàä, 2730 : 10  273.
Ïðè äіëåííі æ ÷èñëà 2734 íà 10 îäåðæèìî íåïîâíó ÷àñòêó
273 і îñòà÷ó 4 (òîáòî îñòàííþ öèôðó çàïèñó öüîãî ÷èñëà).
Òîìó ÿêùî îñòàííÿ öèôðà â çàïèñó íàòóðàëüíîãî ÷èñëà
âіäìіííà âіä íóëÿ, òî öå ÷èñëî íå äіëèòüñÿ íà 10. Îòæå,
ìàєìî îçíàêó ïîäіëüíîñòі íà 10:
íà 10 äіëÿòüñÿ âñі òі íàòóðàëüíі ÷èñëà, çàïèñ
ÿêèõ çàêіí÷óєòüñÿ öèôðîþ 0.
ßêùî çàïèñ ÷èñëà çàêіí÷óєòüñÿ áóäü-ÿêîþ іíøîþ öèô-
ðîþ, òî ÷èñëî íå äіëèòüñÿ íà 10.
Íà 5 äіëÿòüñÿ ëèøå ÷èñëà, ùî êðàòíі ÷èñëó 5, òîáòî
÷èñëà: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, ... Îñòàííüîþ öèô-
ðîþ êîæíîãî ç öèõ ÷èñåë є àáî 0, àáî 5. Òîìó ìàєìî îçíà-
êó ïîäіëüíîñòі íà 5:
ÿêèõ çàêіí÷óєòüñÿ öèôðîþ 0 àáî öèôðîþ 5.
ßêùî çàïèñ ÷èñëà çàêіí÷óєòüñÿ áóäü-ÿêîþ іí-
øîþ öèôðîþ, òî ÷èñëî íå äіëèòüñÿ íà 5.
Íà 2 äіëÿòüñÿ ëèøå ÷èñëà, ùî êðàòíі ÷èñëó 2, òîáòî
÷èñëà: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, ... Çàïèñ ÷èñåë,
êðàòíèõ ÷èñëó 2, çàêіí÷óєòüñÿ îäíієþ ç öèôð: 0, 2, 4, 6,
8. Öі öèôðè íàçèâàþòü ïàðíèìè öèôðàìè. Ðåøòó öèôð,
òîáòî 1, 3, 5, 7, 9, íàçèâàþòü íåïàðíèìè öèôðàìè. Îòæå,
ìàєìî îçíàêó ïîäіëüíîñòі íà 2:
ÿêèõ çàêіí÷óєòüñÿ ïàðíîþ öèôðîþ.
ßêùî çàïèñ ÷èñëà çàêіí÷óєòüñÿ íåïàðíîþ öèô-
ðîþ, òî ÷èñëî íå äіëèòüñÿ íà 2.

Ðîçäië 1
10
Íàòóðàëüíі ÷èñëà, ÿêі äіëÿòüñÿ íà 2, íàçèâàþòü ïàð-
íèìè ÷èñëàìè, óñі іíøі íàòóðàëüíі ÷èñëà — íåïàðíèìè.
Íàïðèêëàä, ÷èñëà 86, 104, 510, 78, 1112 — ïàðíі, à 87,
113, 2001, 405, 9999 — íåïàðíі.
ßê çà çàïèñîì íàòóðàëüíîãî ÷èñëà âèçíà÷èòè, äіëè-
òüñÿ âîíî íà 10 ÷è íі? ßê çà çàïèñîì íàòóðàëüíîãî
÷èñëà âèçíà÷èòè, äіëèòüñÿ âîíî íà 5 ÷è íі? ßê
çà çàïèñîì íàòóðàëüíîãî ÷èñëà âèçíà÷èòè, äіëèòüñÿ
âîíî íà 2 ÷è íі? ßêі öèôðè íàçèâàþòü ïàðíèìè, à
ÿêі — íåïàðíèìè? ßêі ÷èñëà íàçèâàþòü ïàðíèìè,
à ÿêі — íåïàðíèìè? Íàâåäè ïðèêëàä ïàðíèõ ÷è-
ñåë, íåïàðíèõ ÷èñåë.
29. (Óñíî) Ñåðåä ÷èñåë 275, 96, 107, 95, 100, 512, 715,
2100, 109 íàçâè òі, ùî äіëÿòüñÿ íà 2; íà 5; íà 10.
30. (Óñíî) ßêі іç ÷èñåë 1002, 913, 714, 7008, 411, 1005,
676 є ïàðíèìè; ÿêі — íåïàðíèìè?
31. ßêі іç ÷èñåë 6538, 7780, 9835, 10 391, 15 932, 18 060,
44 445 äіëÿòüñÿ: 1) íà 2; 2) íà 5; 3) íà 10?
32. ßêі іç ÷èñåë 5866, 5075, 8160, 13 382, 15 047, 405 185,
80 407, 72 310 äіëÿòüñÿ: 1) íà 2; 2) íà 5; 3) íà 10?
33. Çàïèøè ïî òðè ÷îòèðèöèôðîâèõ ÷èñëà, ÿêі äіëÿòü-
ñÿ: 1) íà 2; 2) íà 5; 3) íà 10.
34. Çàïèøè ïî äâà ï’ÿòèöèôðîâèõ ÷èñëà, ÿêі äіëÿòüñÿ:
1) íà 2; 2) íà 5; 3) íà 10.
35. (Óñíî) Íàïðèêіíöі óðîêó ó÷íі çäàëè çîøèòè äëÿ êîí-
òðîëüíèõ ðîáіò і çîøèòè äëÿ âïðàâ, óñüîãî 51 çîøèò. ×è
âñі ó÷íі çäàëè îáèäâà çîøèòè?
36. Äîïèøè ïðàâîðó÷ äî ÷èñëà 37 òàêó öèôðó, ùîá öå
÷èñëî äіëèëîñÿ: 1) íà 2; 2) íà 5; 3) íà 10.
37. Çàìіñòü çіðî÷êè ïîñòàâ òàêó öèôðó, ùîá ÷èñëî 519*:
1) áóëî ïàðíèì; 2) áóëî íåïàðíèì;
3) äіëèëîñÿ íà 5; 4) äіëèëîñÿ íà 10.
38. Çàïèøè çíà÷åííÿ x, ïðè ÿêèõ íåðіâíіñòü 413 < x < 424
áóäå ïðàâèëüíîþ і ÿêі êðàòíі ÷èñëó 2.

11
39. Çàïèøè çíà÷åííÿ b, ïðè ÿêèõ íåðіâíіñòü 182 < b < 223
áóäå ïðàâèëüíîþ і ÿêі êðàòíі ÷èñëó 10.
40. Іç öèôð 0, 1, 5 і 8 ñêëàäè ïî òðè ÷îòèðèöèôðîâі ÷èñ-
ëà, ÿêі äіëÿòüñÿ: 1) íà 2; 2) íà 5; 3) íà 10. (Öèôðè â çà-
ïèñó ÷èñëà íå ïîâòîðþþòüñÿ.)
41. ×è ìîæíà, âèêîðèñòîâóþ÷è ëèøå öèôðè 1 і 2, çàïèñàòè:
1) ÷èñëî, ùî äіëèòüñÿ íà 10; 2) ïàðíå ÷èñëî;
3) ÷èñëî, ÿêå êðàòíå ÷èñëó 5; 4) íåïàðíå ÷èñëî?
42. Âèêîðèñòîâóþ÷è êîæíó öèôðó îäèí ðàç, çàïèøè
íàéáіëüøå:
1) ÷îòèðèöèôðîâå ÷èñëî, ùî êðàòíå ÷èñëó 2;
2) ï’ÿòèöèôðîâå ÷èñëî, ùî êðàòíå ÷èñëó 5;
3) øåñòèöèôðîâå ÷èñëî, ùî êðàòíå ÷èñëó 10.
43. Іç öèôð 2, 0, 5 і 7 óòâîðè âñі ìîæëèâі ÷îòèðèöèôðîâі
ïàðíі ÷èñëà. (Öèôðè â çàïèñó ÷èñëà íå ïîâòîðþþòüñÿ.)
44. Çíàéäè îá’єì і ïëîùó ïîâåðõíі êóáà, ðåáðî
ÿêîãî äîðіâíþє 1,2 ñì.
45. Çàïèøè òðè ÷èñëà, êîæíå ç ÿêèõ:
1) áіëüøå çà 6,7, àëå ìåíøå âіä 6,9;
2) ìåíøå âіä , àëå áіëüøå çà 13.
46. Ïåðåâіð, ùî êîæíå іç ÷èñåë 6, 28, 496 äîðіâíþє
ñóìі âñіõ éîãî äіëüíèêіâ, íå âðàõîâóþ÷è ñàìîãî ÷èñëà.
(Òàêі ÷èñëà íàçèâàþòü äîñêîíàëèìè.)
3.3. Ознаки подільності на 9 та 3
Çàïèøåìî êіëüêà ïåðøèõ ÷èñåë, êðàòíèõ ÷èñëó 9:
9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, 108, ...
Î÷åâèäíî, ùî ÷èñëî, ÿêå êðàòíå ÷èñëó 9, ìîæå çàêіí-
÷óâàòèñÿ áóäü-ÿêîþ öèôðîþ. Òîìó ðîáèòè âèñíîâîê ïðî
ïîäіëüíіñòü íà 9 çà îñòàííüîþ öèôðîþ çàïèñó íå ìîæíà.
Çíàéäåìî ñóìó öèôð êîæíîãî ç êіëüêîõ ÷èñåë, ÿêі äі-
ëÿòüñÿ íà 9, і ñóìó öèôð êîæíîãî ç êіëüêîõ ÷èñåë, ÿêі íå
äіëÿòüñÿ íà 9. Ðåçóëüòàòè ïîäàìî ó âèãëÿäі òàáëèöі (äèâ.
ñ. 12) òà ç’ÿñóєìî, ÿê ïîâ’ÿçàíà ïîäіëüíіñòü ñàìîãî ÷èñëà
íà 9 іç ïîäіëüíіñòþ ñóìè éîãî öèôð íà 9.

Ðîçäië 1
12
×èñëî ×è äіëèòüñÿ
÷èñëî íà 9?
Ñóìà öèôð ×è äіëèòüñÿ ñóìà
öèôð íà 9?
1908 Òàê 18 Òàê
78 957 Òàê 36 Òàê
405 Òàê 9 Òàê
58 464 Òàê 27 Òàê
1205 Íі 8 Íі
15 478 Íі 25 Íі
5840 Íі 17 Íі
256 Íі 13 Íі
Ñôîðìóëþєìî îçíàêó ïîäіëüíîñòі íà 9:
íà 9 äіëÿòüñÿ âñі òі íàòóðàëüíі ÷èñëà, ñóìà
öèôð ÿêèõ äіëèòüñÿ íà 9.
ßêùî ñóìà öèôð ÷èñëà íå äіëèòüñÿ íà 9, òî öå
÷èñëî íå äіëèòüñÿ íà 9.
Ïîäіáíîþ äî öієї îçíàêè є îçíàêà ïîäіëüíîñòі íà 3:
íà 3 äіëÿòüñÿ âñі òі íàòóðàëüíі ÷èñëà, ñóìà
öèôð ÿêèõ äіëèòüñÿ íà 3.
ßêùî ñóìà öèôð ÷èñëà íå äіëèòüñÿ íà 3, òî öå
÷èñëî íå äіëèòüñÿ íà 3.
Ïðèêëàä. Ç’ÿñóâàòè, ÷è äіëèòüñÿ íà 3 ÷èñëî: 1) 2571;
2) 14 021.
Ðîçâ’ÿçàííÿ. 1) Ñóìà öèôð ÷èñëà 2571 äîðіâíþє 2 +
+ 5 + 7 + 1  15, ñóìà öèôð äіëèòüñÿ íà 3, òîìó ÷èñëî
2571 äіëèòüñÿ íà 3.
2) Îñêіëüêè ñóìà öèôð ÷èñëà 14 021, ùî äîðіâíþє 1 +
+ 4 + 0 + 2 + 1  8, íå äіëèòüñÿ íà 3, òî і ÷èñëî 14 021 íå
äіëèòüñÿ íà 3.
ßê çà çàïèñîì íàòóðàëüíîãî ÷èñëà âèçíà÷èòè, äі-
ëèòüñÿ âîíî íà 9 ÷è íі? ßê çà çàïèñîì íàòóðàëüíî-
ãî ÷èñëà âèçíà÷èòè, äіëèòüñÿ âîíî íà 3 ÷è íі?
47. (Óñíî) ßêі іç ÷èñåë 42, 217, 35, 1002, 8109 äіëÿòü-
ñÿ: 1) íà 3; 2) íà 9?

13
48. Çàïîâíè â çîøèòі òàêó òàáëèöþ:
×èñëî 12 352 45 981 2568 2583 15 875
Ñóìà öèôð
×è äіëèòüñÿ íà 3?
×è äіëèòüñÿ íà 9?
49. Çíàéäè ñóìó öèôð êîæíîãî іç ÷èñåë: 135, 207, 396,
1086, 12 002, 576. ßêі ç íèõ äіëÿòüñÿ: 1) íà 3; 2) íà 9?
50. Іç ÷èñåë 180, 2109, 541, 4590, 111 102, 7891 âè-
ïèøè òі, ÿêі:
1) äіëÿòüñÿ íà 3; 2) äіëÿòüñÿ íà 9;
3) äіëÿòüñÿ íà 2 і íà 3; 4) íå äіëÿòüñÿ íà 3;
5) äіëÿòüñÿ íà 3, àëå íå äіëÿòüñÿ íà 9.
51. Іç ÷èñåë 582, 509, 450, 3105, 2017 âèïèøè òі, ÿêі:
1) äіëÿòüñÿ íà 3; 2) äіëÿòüñÿ íà 9;
3) äіëÿòüñÿ íà 3 і íà 2; 4) äіëÿòüñÿ íà 9 і íà 5.
52. ×è ìîæíà ñêëàñòè òðèöèôðîâå ÷èñëî, ÿêå íå ìіñòèòü
îäíàêîâèõ öèôð і äіëèòüñÿ íà 3, іç öèôð:
1) 1, 2, 3; 2) 2, 3, 5; 3) 1, 0, 8?
53. ×è ìîæíà ç äàíèõ öèôð ñêëàñòè ÷îòèðèöèôðîâå ÷èñ-
ëî, ùî íå ìіñòèòü îäíàêîâèõ öèôð, ÿêå äіëèòüñÿ íà 9:
1) 4, 6, 0, 9; 2) 9, 1, 2, 6?
54. ßêó öèôðó ïîòðіáíî ïіäñòàâèòè çàìіñòü çіðî÷êè, ùîá
îòðèìàòè ÷èñëî, ÿêå äіëèòüñÿ íà 9:
1) 2*00; 2) *375; 3) 8*19?
55. ßêó öèôðó ïîòðіáíî ïіäñòàâèòè çàìіñòü çіðî÷êè, ùîá
îòðèìàòè ÷èñëî, ÿêå äіëèòüñÿ íà 3:
1) 28*1; 2) 4*5; 3) 1111*?
56. Çàïèøè çíà÷åííÿ x, ÿêі êðàòíі ÷èñëó 3, ïðè ÿêèõ
íåðіâíіñòü 45 < x < 57 áóäå ïðàâèëüíîþ.
57. Çàïèøè çíà÷åííÿ ó, ÿêі êðàòíі ÷èñëó 3, àëå íå êðàòíі
÷èñëó 9, ïðè ÿêèõ íåðіâíіñòü 116 < ó < 145 áóäå ïðàâèëüíîþ.
58. Ç äàíèõ öèôð óòâîðè, ÿêùî öå ìîæëèâî, îäíå òðèöèô-
ðîâå ÷èñëî, ÿêå äіëèòüñÿ íà 3, і îäíå òðèöèôðîâå ÷èñëî,
ÿêå äіëèòüñÿ íà 9 (öèôðè â ÷èñëі ìîæóòü ïîâòîðþâàòèñÿ):
1) 5, 8; 2) 3, 6; 3) 1, 8.

Ðîçäië 1
14
59. Ïіäñòàâ çàìіñòü çіðî÷îê òàêі öèôðè, ùîá ÷èñëî:
1) 5*7* äіëèëîñÿ íà 3 і íà 10;
2) 10 0** äіëèëîñÿ íà 9 і íà 10;
3) *0 00* äіëèëîñÿ íà 5 і íà 9;
4) 71** äіëèëîñÿ íà 3, íà 5 і íà 2.
60. Ïіäñòàâ çàìіñòü çіðî÷îê òàêі öèôðè, ùîá ÷èñëî:
1) 2*7* äіëèëîñÿ íà 3 і íà 5;
2) 20* 06* äіëèëîñÿ íà 2 і íà 9.
61. Çàïèøè íàéìåíøå ÷îòèðèöèôðîâå ÷èñëî, ÿêå äіëèòüñÿ:
1) íà 2 і íà 3; 2) íà 5 і íà 9;
3) íà 3 і íà 10; 4) íà 2, íà 3 і íà 5.
62. Ïіäñòàâ çàìіñòü çіðî÷îê òàêі öèôðè, ùîá ÷èñëî
1*2* äіëèëîñÿ íà 15. (Çíàéäè âñі ìîæëèâі ðîçâ’ÿçêè.)
63. Ó÷åíü ïðî÷èòàâ 150 ñòîðіíîê, ùî ñòàíîâèòü
êíèæêè. Ñêіëüêè ñòîðіíîê ó êíèæöі?
64. Çíàéäè ãðàäóñíó ìіðó êóòà ìіæ ñòðіëêàìè ãî-
äèííèêà, êîëè âîíè ïîêàçóþòü:
1) 5 ãîä; 2) 6 ãîä; 3) 11 ãîä; 4) 14 ãîä.
65. Íà ñòîëі ëåæàòü 25 ñіðíèêіâ. Äâîє ãðàâöіâ ïî ÷åðçі
áåðóòü 1 àáî 2 ñіðíèêè. Ïåðåìîæå òîé, õòî âіçüìå îñòàííіé
ñіðíèê. ßê ìàє äіÿòè ïåðøèé ãðàâåöü, ùîá âèãðàòè?
4.4. Прості та складені числа
×èñëî 11 äіëèòüñÿ òіëüêè íà 1 і íà ñåáå. Іíøèìè ñëîâà-
ìè, ÷èñëî 11 ìàє òіëüêè äâà äіëüíèêè: 1 і 11. Ó ÷èñëà 8
÷îòèðè äіëüíèêè: 1, 2, 4 і 8. ×èñëî 18 ìàє øіñòü äіëüíè-
êіâ: 1, 2, 3, 6, 9 і 18.
Òàêі ÷èñëà, ÿê 8 і 18, íàçèâàþòü ñêëàäåíèìè ÷èñëà-
ìè, à òàêі, ÿê 11, — ïðîñòèìè ÷èñëàìè.
Íàòóðàëüíå ÷èñëî íàçèâàþòü ïðîñòèì, ÿêùî
âîíî ìàє òіëüêè äâà ðіçíèõ äіëüíèêè: îäèíèöþ і
ñàìå öå ÷èñëî. Íàòóðàëüíå ÷èñëî íàçèâàþòü ñêëà-
äåíèì, ÿêùî âîíî ìàє áіëüøå äâîõ äіëüíèêіâ.

15
×èñëî 1 ìàє òіëüêè îäèí äіëüíèê: ñàìå ñåáå. Òîìó âîíî
íå є àíі ïðîñòèì, àíі ñêëàäåíèì.
Ïåðøèìè äåñÿòüìà ïðîñòèìè ÷èñëàìè є 2, 3, 5, 7, 11,
13, 17, 19, 23, 29. Íà ôîðçàöі ïіäðó÷íèêà íàâåäåíî òàáëè-
öþ ïðîñòèõ ÷èñåë âіä 2 äî 997.
Íàéìåíøå ïðîñòå ÷èñëî — 2, íàéáіëüøîãî ïðîñòîãî
÷èñëà íå іñíóє. ßêå ïðîñòå ÷èñëî ìè íå âçÿëè á, іñíóє áіëüøå
çà íüîãî ïðîñòå ÷èñëî. Ïðîñòèõ ÷èñåë áåçëі÷. Ñåðåä ïðî-
ñòèõ ÷èñåë ëèøå ÷èñëî 2 є ïàðíèì, óñі іíøі — íåïàðíі.
ßê âèçíà÷èòè, ùî äàíå ÷èñëî є ïðîñòèì àáî ñêëàäåíèì?
ßêùî ÷èñëî ìàє äіëüíèê, âіäìіííèé âіä 1 і ñàìîãî ñåáå, òî
öå ÷èñëî ìàє áіëüøå äâîõ äіëüíèêіâ і òîìó є ñêëàäåíèì.
Ïðèêëàä. Ïðîñòèì ÷è ñêëàäåíèì є ÷èñëî 10 345?
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Öå ÷èñëî є ñêëàäåíèì, áî ìàє äіëüíè-
êîì ÷èñëî 5, âіäìіííå âіä 1 і 10 345.
Áóäü-ÿêå ñêëàäåíå ÷èñëî ìîæíà ðîçêëàñòè íà
äâà ìíîæíèêè, êîæíèé ç ÿêèõ áіëüøèé çà 1 (íà-
ïðèêëàä, 10 345  5  2069). Ïðîñòå ÷èñëî òàê
ðîçêëàñòè íà ìíîæíèêè íå ìîæíà.
À ùå ðàíіøå...À ùå ðàíіøå...
Давньогрецький математик Евклід (бл. 356 — 300 до н. е.) довів,
що простих чисел безліч і найбільшого простого числа не існує.
Інший давньогрецький учений Ератосфен (бл. 276—194 до
н. е.) запропонував спосіб для складання таблиці простих чисел.
Цей спосіб назвали «решето Ератосфена». У чому він полягає?
Знайдемо, наприклад, усі прості числа від 1 до 30. Для цього ви-
пишемо їх підряд. Викреслюємо 1, яке не є простим числом. Далі
підкреслюємо число 2, яке є простим, і викреслюємо всі числа,
що кратні 2, тобто числа 4, 6, 8, ... Наступне незакреслене чис-
ло 3, яке є простим. Підкреслюємо його і закреслюємо всі числа,
кратні 3, тобто числа 6, 9, 12, ... Підкреслюємо наступне неза-
креслене число 5, яке є простим, і т. д. Таким чином «висіяли» всі
прості числа, що не перевищують число 30:
2 3 5 7
11 13 17 19
23 29

Ðîçäië 1
16
Значним є внесок у вивчення простих чисел математиків
П.Л. Чебишова (1821—1894), який довів, що між будь-якими на-
туральними числами n і 2n – 2, де n > 3, завжди є принаймні одне
просте число (наприклад, між числами 4 і 6 є просте число 5;
між 5 і 8 — просте число 7; між 15 і 28 — просте число 17 і т. д.),
та І.М. Виноградова (1891—1983), який встановив, що будь-яке
непарне число, більше за 5, можна подати у вигляді суми трьох
простих чисел, наприклад:
7  2 + 2 + 3; 9  3 + 3 + 3  2 + 2 + 5;
11  2 + 2 + 7  3 + 3 + 5 і т. д.
ßêі ÷èñëà íàçèâàþòü ïðîñòèìè? ßêі ÷èñëà íàçèâà-
þòü ñêëàäåíèìè? ×îìó ÷èñëî 1 íå є àíі ïðîñòèì,
àíі ñêëàäåíèì? Íàâåäè ïðèêëàäè ïðîñòèõ ÷èñåë,
ñêëàäåíèõ ÷èñåë.
66. (Óñíî) Âèêîðèñòîâóþ÷è òàáëèöþ ïðîñòèõ ÷èñåë,
íàçâè ïðîñòі ÷èñëà, ÿêі:
1) ìåíøі âіä 37, àëå áіëüøі çà 20;
2) áіëüøі çà 78, àëå ìåíøі âіä 110.
67. Ïåðåâіð, êîðèñòóþ÷èñü òàáëèöåþ ïðîñòèõ ÷èñåë, ÿêі
іç ÷èñåë ïðîñòі, à ÿêі — ñêëàäåíі:
197, 203, 239, 489, 563, 839, 871.
68. Âèçíà÷, âèêîðèñòîâóþ÷è òàáëèöþ ïðîñòèõ ÷èñåë, ÿêі
іç ÷èñåë ïðîñòі, à ÿêі — ñêëàäåíі:
113, 137, 171, 251, 293, 403, 439, 501, 701.
69. Äîâåäè, ùî є ñêëàäåíèì ÷èñëî:
1) 7152; 2) 60 003; 3) 11 115; 4) 3819.
70. Äîâåäè, ùî є ñêëàäåíèì ÷èñëî:
1) 80 001; 2) 7315; 3) 12 340; 4) 738.
71. Çàïèøè âñі äіëüíèêè ÷èñëà 24. Ïіäêðåñëè òі ç íèõ,
ÿêі є ïðîñòèìè ÷èñëàìè.
72. Çàïèøè çàìіñòü çіðî÷êè òàêó öèôðó, ùîá áóëî ñêëàäå-
íèì ÷èñëî: 1) 273*; 2) 5*39.
73. Çàïèøè çàìіñòü çіðî÷êè òàêó öèôðó, ùîá áóëî ñêëàäå-
íèì ÷èñëî: 1) 987*; 2) 5*41.

17
74. Íå âèêîðèñòîâóþ÷è òàáëèöþ ïðîñòèõ ÷èñåë, çàïè-
øè:
1) óñі ïðîñòі ÷èñëà, áіëüøі çà 7 і ìåíøі âіä 20;
2) óñі ñêëàäåíі ÷èñëà, áіëüøі çà 50 і ìåíøі âіä 66.
75. Íå âèêîðèñòîâóþ÷è òàáëèöþ ïðîñòèõ ÷èñåë, çíàéäè:
1) óñі ïðîñòі ÷èñëà x, ïðè ÿêèõ íåðіâíіñòü 37 < x < 60
є ïðàâèëüíîþ;
2) óñі ñêëàäåíі ÷èñëà ó, ïðè ÿêèõ íåðіâíіñòü 4 < ó < 21
є ïðàâèëüíîþ.
76. Ïðîñòèì ÷è ñêëàäåíèì ÷èñëîì є äîáóòîê:
1) 13  1; 2) 15  1; 3) 7  11; 4) 1  2  67?
77. ×è ìîæíà çàïèñàòè ïðîñòå òðèöèôðîâå ÷èñëî, âè-
êîðèñòàâøè ëèøå îäèí ðàç êîæíó іç öèôð:
1) 4, 6, 8; 2) 1, 3, 5; 3) 0, 2, 5?
78. ×è ìîæíà çàïèñàòè ïðîñòå òðèöèôðîâå ÷èñëî, âèêî-
ðèñòàâøè ëèøå îäèí ðàç êîæíó іç öèôð:
1) 0, 4, 5; 2) 1, 2, 0?
79. Ïðîñòèì ÷è ñêëàäåíèì є ÷èñëî, çàïèñàíå çà äîïîìîãîþ:
1) ï’ÿòíàäöÿòè îäèíèöü; 2) äâі òèñÿ÷і ÷îòèðíàäöÿòè
ï’ÿòіðîê; 3) óñіõ äåñÿòè öèôð?
80. Âèäіëè öіëó òà äðîáîâó ÷àñòèíè ÷èñëà:
1) ; 2) ; 3) ; 4) .
81. Çíàéäè ïðîïóùåíі ÷èñëà òà ïðî÷èòàé ïðіçâèùå
âèäàòíîãî ïèñüìåííèêà, ÿêèé íàðîäèâñÿ â Óêðàїíі.
82. Çíàéäè çðó÷íèé ñïîñіá äëÿ îá÷èñëåííÿ çíà÷åííÿ
âèðàçó:
1) 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 97 + 99;
2) 2 + 4 + 6 + ... + 98 + 100 – 1 – 3 – 5 – ... – 97 – 99.

Ðîçäië 1
18
5.5.Розкладання чисел на прості множники
Êîæíå ñêëàäåíå ÷èñëî ìîæíà ïîäàòè ó âèãëÿäі äîáóòêó
õî÷à á äâîõ ìíîæíèêіâ, âіäìіííèõ âіä îäèíèöі. Íàïðèêëàä,
330  10  33. ßêùî ñåðåä òàêèõ ìíîæíèêіâ є ñêëàäåíі
÷èñëà, òî їõ òàêîæ ìîæíà ïîäàòè ó âèãëÿäі äîáóòêó äâîõ
ìíîæíèêіâ. Íàïðèêëàä, 330  10  33  (2  5)  (3  11) 
 2  3  5  11. Ñõåìàòè÷íî öå ìîæíà ïîäàòè òàê:
ßêùî ñêëàäåíå ÷èñëî ïîäàíî ó âèãëÿäі äîáóòêó, âñі
ìíîæíèêè ÿêîãî є ïðîñòèìè ÷èñëàìè, òî êàæóòü: ñêëàäå-
íå ÷èñëî ðîçêëàëè íà ïðîñòі ìíîæíèêè. Íàïðèêëàä, 12 
 2  2  3; 150  2  3  5  5; 900  2  2  3  3  5  5 òîùî.
Ðîçêëàäîì ïðîñòîãî ÷èñëà íà ïðîñòі ìíîæíèêè áóäåìî
ââàæàòè ñàìå öå ÷èñëî.
Ïðè ðîçêëàäàííі ÷èñëà íà ïðîñòі ìíîæíèêè äîöіëüíî
âèêîðèñòîâóâàòè îçíàêè ïîäіëüíîñòі íà 2, 3 òà 5. Ïðè ðîç-
êëàäàííі áàãàòîöèôðîâèõ ÷èñåë íà ïðîñòі ìíîæíèêè âè-
êîðèñòîâóþòü ñõåìó, ïîäàíó â íàñòóïíîìó ïðèêëàäі.
Ïðèêëàä 1. Ðîçêëàñòè íà ïðîñòі ìíîæíèêè ÷èñëî 420.
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Çàïèøåìî ÷èñëî 420 і ïðà-
âîðó÷ âіä íüîãî ïðîâåäåìî âåðòèêàëüíó ðèñêó.
Öå ÷èñëî äіëèòüñÿ íà 2, áî çàêіí÷óєòüñÿ öèô-
ðîþ 0. Çàïèøåìî öåé äіëüíèê 2 ïðàâîðó÷ âіä
ðèñêè, à ÷àñòêó 420 : 2  210 çàïèøåìî ïіä
÷èñëîì 420. Äàëі іç ÷èñëîì 210 âèêîíóєìî òå
ñàìå: 210 : 2  105. ×èñëî 105 íå äіëèòüñÿ íà 2,
áî çàêіí÷óєòüñÿ íåïàðíîþ öèôðîþ. Àëå 105 äіëèòüñÿ íà 3,
áî ñóìà éîãî öèôð (1 + 0 + 5  6) äіëèòüñÿ íà 3. Ìàєìî
105 : 3  35. Äàëі 35 : 5  7. ×èñëî 7 — ïðîñòå, ïîäі-
ëèâøè éîãî íà 7, îäåðæèìî 1. Ðîçêëàä çàêіí÷åíî. Îòæå,
ñòîâï÷èê ÷èñåë ïðàâîðó÷ âіä ðèñêè ñêëàäàєòüñÿ ç ïðîñòèõ
ìíîæíèêіâ, äîáóòîê ÿêèõ äîðіâíþє 420, òîáòî
420 2
210 2
105 3
35 5
7 7
1

19
420  2  2  3  5  7.
Çàóâàæèìî, ùî äîáóòîê îäíàêîâèõ ìíîæíèêіâ ó ðîç-
êëàäі ÷èñëà íà ïðîñòі ìíîæíèêè ìîæíà çàìіíþâàòè ñòå-
ïåíåì. Íàïðèêëàä, 420  22  3  5  7; 150  2  3  52;
1000  23  53 òîùî.
Óòâîðþþ÷è âñі ìîæëèâі äîáóòêè çі çíàéäåíèõ ïðîñòèõ
ìíîæíèêіâ ïî äâà, ïî òðè òîùî, îäåðæèìî âñі іíøі äіëü-
íèêè ÷èñëà.
Ïðèêëàä 2. Çíàéòè âñі äіëüíèêè ÷èñëà 84.
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Ðîçêëàäàєìî ÷èñëî 84 íà
ïðîñòі ìíîæíèêè: 84  2  2  3  7. Äіëüíèêà-
ìè ÷èñëà 84 є 1, ïðîñòі ÷èñëà 2, 2, 3, 7 òà âñі
ìîæëèâі їõ äîáóòêè:
ïî äâà: 2  2  4, 2  3  6, 2  7  14, 3  7 
 21;
ïî òðè: 2  2  3  12, 2  2  7  28, 2  3  7  42;
ïî ÷îòèðè: 2  2  3  7  84.
Îòæå, äіëüíèêàìè ÷èñëà 84 є: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14,
21, 28, 42, 84.
Ïîÿñíè, ùî îçíà÷àє ðîçêëàñòè ÷èñëî íà ïðîñòі
ìíîæíèêè.
83. (Óñíî) ×è є ðîçêëàäîì íà ïðîñòі ìíîæíèêè äîáó-
òîê: 1) 3  5; 2) 1  5; 3) 2  7  12; 4) 4  3  5?
84. (Óñíî) Ðîçêëàäè íà ïðîñòі ìíîæíèêè ÷èñëî:
1) 8; 2) 10; 3) 12; 4) 14; 5) 17;
6) 18; 7) 20; 8) 25; 9) 27; 10) 31.
85. Ðîçêëàäè íà ïðîñòі ìíîæíèêè ÷èñëî:
1) 56; 2) 130; 3) 60; 4) 96; 5) 250;
6) 315; 7) 561; 8) 175; 9) 2240; 10) 1782.
86. Ðîçêëàäè íà ïðîñòі ìíîæíèêè ÷èñëî:
1) 48; 2) 105; 3) 88; 4) 660;
5) 600; 6) 3003; 7) 2772; 8) 4900.
87. ×è äіëèòüñÿ ÷èñëî 2  2  2  3  17 íà:
1) 2; 2) 6; 3) 51?
Ó ðàçі ïîçèòèâíîї âіäïîâіäі çíàéäè ÷àñòêó âіä äіëåííÿ.
84 2
42 2
21 3
7 7
1

Ðîçäië 1
20
88. Çíàéäè ÷àñòêó âіä äіëåííÿ:
1) ÷èñëà 2  3  7  19 íà ÷èñëî 2  7  19;
2) ÷èñëà 2  2  3  3  5  7 íà ÷èñëî 15.
89. Ó äåÿêó êіëüêіñòü êîøèêіâ, ÿêèõ ìåíøå íіæ 20, ðîç-
êëàëè ïîðіâíó 85 ÿáëóê. Ñêіëüêè âñüîãî áóëî êîøèêіâ і
ñêіëüêè ÿáëóê ìіñòèâ êîæíèé êîøèê?
90. Ðîçêëàäè íà ïðîñòі ìíîæíèêè ÷èñëî 990 òà çíàéäè
âñі éîãî äіëüíèêè.
91. Ðîçêëàäè íà ïðîñòі ìíîæíèêè ÷èñëî 700 òà çíàéäè âñі
éîãî äіëüíèêè.
92. Çàìіíè çіðî÷êè öèôðàìè, ùîá ðіâíіñòü áóëà ïðà-
âèëüíîþ: 7**  5  7  11  *.
93. Ïëîùà Іòàëії ðàçîì ç îñòðîâàìè ñòàíîâèòü ïðè-
áëèçíî 309 500 êì2, à ïëîùà Óêðàїíè íà 95 % çà íåї
áіëüøà. Çíàéäè ïëîùó Óêðàїíè. Ïîðіâíÿé îòðèìàíèé
ðåçóëüòàò ç òî÷íèìè äàíèìè ïðî ïëîùó Óêðàїíè.
94. Âèêîíàé äії:
1) ; 2)
95. 1) Âèêîðèñòîâóþ÷è òàáëèöþ ïðîñòèõ ÷èñåë (äî
1000), çíàéäè âñі ïàðè ïðîñòèõ ÷èñåë, ó êîæíіé ç ÿêèõ
äðóãå ÷èñëî áіëüøå çà ïåðøå íà 2. (Òàêі ïàðè ïðîñòèõ ÷è-
ñåë íàçèâàþòü ÷èñëàìè-áëèçíþêàìè).
2) Âèêîðèñòîâóþ÷è êàëüêóëÿòîð, êîìï’þòåð àáî іíôîð-
ìàöіþ â Іíòåðíåòі, ñïðîáóé çíàéòè ùå êіëüêà òàêèõ ïàð
÷èñåë, êîæíå ç ÿêèõ áіëüøå çà 1000.
6.6.Найбільший спільний дільник
Ðîçãëÿíåìî çàäà÷ó.
Çàäà÷à. ßêó íàéáіëüøó êіëüêіñòü îäíàêîâèõ ïîäàðóíêіâ
ìîæíà ñêëàñòè, ìàþ÷è 32 öóêåðêè «Áіëî÷êà» і 24 öóêåð-
êè «×åáóðàøêà», ÿêùî òðåáà âèêîðèñòàòè âñі öóêåðêè і ó
êîæíîìó ïîäàðóíêó ìàþòü áóòè öóêåðêè äâîõ âèäіâ?
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Êîæíå іç ÷èñåë 32 і 24 ìàє äіëèòèñÿ íà
êіëüêіñòü ïîäàðóíêіâ. Òîìó ñïî÷àòêó âèïèøåìî âñі äіëü-

21
íèêè ÷èñëà 32: 1, 2, 4, 8, 16 і 32, à ïîòіì — óñі äіëüíèêè
÷èñëà 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 і 24.
Ñïіëüíèìè äіëüíèêàìè (їõ ïіäêðåñëåíî) ÷èñåë 32 і 24
áóäóòü 1, 2, 4, 8, à íàéáіëüøèì — 8. Öå ÷èñëî íàçèâàþòü
íàéáіëüøèì ñïіëüíèì äіëüíèêîì ÷èñåë 32 і 24.
Îòæå, ìîæíà ñêëàñòè 8 ïîäàðóíêіâ, ó êîæíîìó ç ÿêèõ
áóäå 4 öóêåðêè «Áіëî÷êà» (32 : 8  4) і 3 öóêåðêè «×åáó-
ðàøêà» (24 : 8  3).
Íàéáіëüøèì ñïіëüíèì äіëüíèêîì êіëüêîõ íàòó-
ðàëüíèõ ÷èñåë íàçèâàþòü íàéáіëüøå íàòóðàëüíå
÷èñëî, íà ÿêå äіëèòüñÿ êîæíå ç äàíèõ ÷èñåë.
Íàéáіëüøèé ñïіëüíèé äіëüíèê ÷èñåë a і b ïîçíà÷àþòü
òàê: ÍÑÄ (a; b). Äëÿ ïîïåðåäíüîї çàäà÷і ìîæíà çàïèñàòè
ÍÑÄ (32; 24)  8.
Ó ðîçãëÿíóòіé çàäà÷і çíàéøëè íàéáіëüøèé ñïіëüíèé
äіëüíèê íåâåëèêèõ ÷èñåë 32 і 24, çàïèñàâøè âñі äіëüíè-
êè êîæíîãî ç íèõ. Òàêîæ äëÿ çíàõîäæåííÿ íàéáіëüøîãî
ñïіëüíîãî äіëüíèêà (çîêðåìà, âåëèêèõ ÷èñåë) êîðèñòóþòü-
ñÿ òàêèì ïðàâèëîì:
íàéáіëüøèé ñïіëüíèé äіëüíèê êіëüêîõ ÷èñåë äî-
ðіâíþє äîáóòêó ñïіëüíèõ ïðîñòèõ ìíîæíèêіâ
öèõ ÷èñåë.
Ïðèêëàä 1. Çíàéòè ÍÑÄ (630; 1470).
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Ðîçêëàäåìî
÷èñëà 630 і 1470 íà ïðîñòі ìíîæ-
íèêè і ïіäêðåñëèìî òі ç íèõ, ÿêі
є ñïіëüíèìè â îáîõ ðîçêëàäàõ (à
ñàìå 2, 3, 5 і 7):
630  2  3  3  5  7;
1470 2  3  5  7  7.
Îòæå, ÍÑÄ (630; 1470)  2  3  5  7  210.
Ïðèêëàä 2. Çíàéòè ÍÑÄ (60; 140; 220).
Ðîçâ’ÿçàííÿ. 60  2  2  3  5; 140  2  2  5  7;
220 2  2  5  11.
Îòæå,
ÍÑÄ (60; 140; 220)  2  2  5  20.
630 2
315 3
105 3
35 5
7 7
1
1470 2
735 3
245 5
49 7
7 7
1

Ðîçäië 1
22
Ìàєìî òàêå ïðàâèëî:
ùîá çíàéòè íàéáіëüøèé ñïіëüíèé äіëüíèê êіëü-
êîõ ÷èñåë, äîñòàòíüî:
1) ðîçêëàñòè äàíі ÷èñëà íà ïðîñòі ìíîæíèêè;
2) âèïèñàòè âñі ñïіëüíі ïðîñòі ìíîæíèêè â
çíàéäåíèõ ðîçêëàäàõ і îá÷èñëèòè їõ äîáóòîê.
ßêùî ñåðåä äàíèõ ÷èñåë є ÷èñëî, íà ÿêå äіëÿòüñÿ іíøі
ç äàíèõ ÷èñåë, òî öå ÷èñëî і áóäå íàéáіëüøèì ñïіëüíèì
äіëüíèêîì äàíèõ ÷èñåë.
Ïðèêëàä 3. Çíàéòè ÍÑÄ (8; 64; 320).
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Îñêіëüêè ÷èñëà 64 і 320 äіëÿòüñÿ íà 8,
òî ÍÑÄ (8; 64; 320)  8.
ßêùî ðîçêëàäè äàíèõ ÷èñåë íà ïðîñòі ìíîæíèêè íå
ìàþòü ñïіëüíèõ ìíîæíèêіâ, òî íàéáіëüøèì ñïіëüíèì
äіëüíèêîì öèõ ÷èñåë áóäå ÷èñëî 1.
Äâà íàòóðàëüíèõ ÷èñëà, íàéáіëüøèé ñïіëüíèé
äіëüíèê ÿêèõ äîðіâíþє 1, íàçèâàþòü âçàєìíî
ïðîñòèìè ÷èñëàìè.
Íàïðèêëàä, ÷èñëà 12 і 35 — âçàєìíî ïðîñòі, áî 12 
 2  2  3, 35  5  7 і ÍÑÄ (12; 35)  1. ×èñëà æ 15 і 18 íå
є âçàєìíî ïðîñòèìè, áî ìàþòü ñïіëüíèé äіëüíèê 3.
À ùå ðàíіøå...À ùå ðàíіøå...
Цікавий спосіб знаходження найбільшого спільного дільника
двох чисел описав у своїй книзі «Начала» давньогрецький матема-
тик Евклід (бл. 300 р. до н. е.). Для цього він ділив більше число на
менше, менше — на одержану остачу, першу остачу — на другу
і т. д. Остання відмінна від нуля остача й була шуканим НСД двох
чисел. Цей спосіб отримав назву алгоритм Евкліда.
Знайдемо, наприклад, за цим алгоритмом НСД (407; 148):
Отже,
НСД (407; 148)  37.

23
ßêå ÷èñëî íàçèâàþòü íàéáіëüøèì ñïіëüíèì äіëüíè-
êîì äâîõ ÷èñåë? ßê çíàéòè íàéáіëüøèé ñïіëüíèé
äіëüíèê äâîõ ÷èñåë? ×èñëî à є äіëüíèêîì ÷èñëà b.
×îìó äîðіâíþє ÍÑÄ (à; b)? ßêі äâà ÷èñëà íàçèâà-
þòü âçàєìíî ïðîñòèìè?
96. (Óñíî) ×è є ÷èñëî 5 ñïіëüíèì äіëüíèêîì ÷èñåë:
1) 30 і 25; 2) 48 і 15?
97. (Óñíî) Çíàéäè ñïіëüíі äіëüíèêè òà íàéáіëüøèé ñïіëü-
íèé äіëüíèê ÷èñåë:
1) 2 і 4; 2) 6 і 15; 3) 8 і 18.
98. Çíàéäè íàéáіëüøèé ñïіëüíèé äіëüíèê ÷èñåë a і b,
ÿêùî:
1) a  2  3  5  11 і b  2  3  11  13;
2) a  3  5  5  7 і b  5  5  19.
99. Çíàéäè íàéáіëüøèé ñïіëüíèé äіëüíèê ÷èñåë ñ і d,
ÿêùî:
1) ñ  3  3  5  11 і d  3  5  11  13;
2) ñ  2  3  5  5 і d  3  5  7.
100. (Óñíî) ×è є âçàєìíî ïðîñòèìè ÷èñëà:
1) 6 і 9; 2) 7 і 8; 3) 9 і 12; 4) 4 і 11?
101. (Óñíî) Ñåðåä ÷èñåë 2, 7, 14 і 20 çíàéäè âñі ïàðè
âçàєìíî ïðîñòèõ ÷èñåë.
102. Çíàéäè íàéáіëüøèé ñïіëüíèé äіëüíèê ÷èñåë:
1) 78 і 195; 2) 35 і 18; 3) 210 і 120;
4) 735 і 70; 5) 4, 24 і 32; 6) 36, 54 і 72.
103. Çíàéäè íàéáіëüøèé ñïіëüíèé äіëüíèê ÷èñåë:
1) 24 і 40; 2) 70 і 110; 3) 49 і 48;
4) 231 і 273; 5) 5, 25 і 45; 6) 150, 375 і 600.
104. Çíàéäè íàéáіëüøèé ñïіëüíèé äіëüíèê ÷èñåëüíèêà і
çíàìåííèêà äðîáó: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .
105. Äîâåäè, ùî: 1) ÷èñëà 35 і 72 є âçàєìíî ïðîñòèìè;
2) ÷èñëà 209 і 171 íå є âçàєìíî ïðîñòèìè.
106. Äîâåäè, ùî: 1) ÷èñëà 299 і 184 íå є âçàєìíî ïðîñòèìè;
2) ÷èñëà 26 і 45 є âçàєìíî ïðîñòèìè.

Ðîçäië 1
24
107. ×è є âçàєìíî ïðîñòèìè ÷èñëà:
1) 3 і 100; 2) 35 і 133; 3) 143 і 209; 4) 2010 і 2012?
108. ×è є âçàєìíî ïðîñòèìè ÷èñëà:
1) 7 і 48; 2) 21 і 161; 3) 66 і 455; 4) 2005 і 3005?
109. Çàïèøè âñі ïðàâèëüíі äðîáè çі çíàìåííèêîì 18, ó
ÿêèõ ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê — âçàєìíî ïðîñòі ÷èñëà.
110. Çàïèøè âñі íåïðàâèëüíі äðîáè іç ÷èñåëüíèêîì 20, ó
ÿêèõ ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê — âçàєìíî ïðîñòі ÷èñëà.
111. ßêó íàéáіëüøó êіëüêіñòü îäíàêîâèõ ïîäàðóíêіâ ìîæ-
íà ñêëàñòè, ìàþ÷è 60 öóêåðîê і 45 ÿáëóê, òàê, ùîá âè-
êîðèñòàòè âñі öóêåðêè і ÿáëóêà òà ùîá êîæåí ïîäàðóíîê
ìіñòèâ і öóêåðêè, і ÿáëóêà.
112. Ó ÿêó íàéáіëüøó êіëüêіñòü ìàãàçèíіâ ìîæíà ïîðіâíó
ðîçïîäіëèòè äëÿ ïðîäàæó 108 DVD-äèñêіâ ç ìóëüòôіëüìà-
ìè і 120 äèñêіâ іç ôіëüìàìè ïðî òâàðèí? Ïî ñêіëüêè äèñ-
êіâ êîæíîãî æàíðó îòðèìàє êîæíèé ìàãàçèí?
113. Ó øîñòèõ êëàñàõ 24 õëîï÷èêè і 36 äіâ÷àòîê. Ó÷íіâ
ïîäіëèëè íà ãðóïè äëÿ ïðèâіòàííÿ âåòåðàíіâ òàê, ùîá â
óñіõ ãðóïàõ áóëà îäíàêîâà êіëüêіñòü äіâ÷àòîê і îäíàêîâà
êіëüêіñòü õëîï÷èêіâ. Ñêіëüêîõ âåòåðàíіâ ïðèâіòàëè, ÿêùî
їõ áіëüøå çà 7?
114. Â îäíîìó ïîòÿçі 252 êóïåéíèõ ìіñöÿ, à â іíøîìó —
396 êóïåéíèõ ìіñöü. Ïî ñêіëüêè êóïåéíèõ âàãîíіâ ó êîæ-
íîìó ïîòÿçі, ÿêùî â óñіõ êóïåéíèõ âàãîíàõ êіëüêіñòü
ìіñöü є îäíàêîâîþ і їõ áіëüøå çà 20?
115. Іç 210 áіëèõ, 150 æîâòèõ і 90 ÷åðâîíèõ òðîÿíä íåîá-
õіäíî ñêëàñòè îäíàêîâі áóêåòè òàê, ùîá ó êîæíîìó áóêåòі
áóëè òðîÿíäè âñіõ òðüîõ êîëüîðіâ. ßêó íàéáіëüøó êіëü-
êіñòü òàêèõ áóêåòіâ ìîæíà ñêëàñòè? Ïî ñêіëüêè òðîÿíä
êîæíîãî êîëüîðó áóäå â êîæíîìó áóêåòі?
116. Øëÿõ âіä À äî Â çàâäîâæêè 360 êì àâòîìî-
áіëü ïðîїõàâ çà 4 ãîä, à ïîâåðíóâñÿ íàçàä — çà 5 ãîä.
ßêà ñåðåäíÿ øâèäêіñòü àâòîìîáіëÿ çà âåñü ÷àñ ðóõó?
117. Àâòîìîáіëü їõàâ 2 ãîä çі øâèäêіñòþ 72,4 êì/ãîä
і 3 ãîä çі øâèäêіñòþ 71,6 êì/ãîä. Çíàéäè ñåðåäíþ
øâèäêіñòü àâòîìîáіëÿ çà âåñü ÷àñ ðóõó.

25
118. Âêëàäíèê ïîêëàâ äî áàíêó 8000 ãðí ïіä 15 %
ðі÷íèõ. Ñêіëüêè ãðîøåé áóäå íà ðàõóíêó âêëàäíèêà
÷åðåç ðіê; ÷åðåç äâà ðîêè?
119. Çíàéäè îñòàííþ öèôðó ÷èñëà:
1) 52015; 2) 320; 3) 22000.
7.7. Найменше спільне кратне
Ðîçãëÿíåìî çàäà÷ó.
Çàäà÷à. ßêà íàéìåíøà öіëà êіëüêіñòü ìåòðіâ òêàíèíè
ìàє áóòè â ñóâîї, ùîá її ìîæíà áóëî âñþ ðîçðіçàòè áåç
îñòà÷і ïî 4 ì àáî ïî 6 ì?
Ðîçâ’ÿçàííÿ. ×èñëî ìåòðіâ ó ñóâîї ïîâèííî äіëèòè-
ñÿ і íà 4, і íà 6, òîáòî ïîâèííî áóòè êðàòíèì і ÷èñëó 4, і
÷èñëó 6.
Çàïèøåìî ÷èñëà, êðàòíі ÷èñëó 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28,
32, 36, ..., і ÷èñëà, êðàòíі ÷èñëó 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, ...
Ñïіëüíèìè êðàòíèìè (їõ ïіäêðåñëåíî) ÷èñåë 4 і 6 áó-
äóòü ÷èñëà 12, 24, 36, ..., íàéìåíøå ç ÿêèõ 12. Öå ÷èñëî
íàçèâàþòü íàéìåíøèì ñïіëüíèì êðàòíèì ÷èñåë 4 і 6.
Îòæå, íàéìåíøà êіëüêіñòü ìåòðіâ òêàíèíè, ùî ìàє áóòè
ó ñóâîї, äîðіâíþє 12 ì. Òîäі її ìîæíà ðîçðіçàòè ïî 4 ì íà
3 ÷àñòèíè (12 : 4  3) àáî ïî 6 ì íà 2 ÷àñòèíè (12 : 6  2).
Íàéìåíøèì ñïіëüíèì êðàòíèì êіëüêîõ íàòó-
ðàëüíèõ ÷èñåë íàçèâàþòü íàéìåíøå íàòóðàëüíå
÷èñëî, ÿêå äіëèòüñÿ íà êîæíå ç äàíèõ ÷èñåë.
Íàéìåíøå ñïіëüíå êðàòíå äâîõ ÷èñåë à і b ïîçíà÷àþòü
ÍÑÊ (à; b). Îòæå, ìîæíà çàïèñàòè ÍÑÊ (4; 6)  12.
Ó ðîçãëÿíóòіé çàäà÷і ìè çíàéøëè íàéìåíøå ñïіëüíå
êðàòíå íåâåëèêèõ ÷èñåë 4 і 6, âèïèñàâøè ïîñïіëü êіëüêà
êðàòíèõ öèõ ÷èñåë. Äëÿ âåëèêèõ ÷èñåë öåé ñïîñіá є ãðî-
ìіçäêèì, òîìó íàéìåíøå ñïіëüíå êðàòíå çíàõîäÿòü іíàêøå.
Ïðèêëàä 1. Çíàéòè ÍÑÊ (30; 36).
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Ðîçêëàäåìî äàíі ÷èñëà íà ïðîñòі ìíîæ-
íèêè 30  2  3  5 і 36  2  2  3  3. Íàéìåíøå ñïіëüíå
êðàòíå ìàє äіëèòèñÿ і íà 30, і íà 36. Òîìó âîíî ïîâèííî
ìіñòèòè âñі ïðîñòі ìíîæíèêè і ïåðøîãî, і äðóãîãî ÷èñåë.

Ðîçäië 1
26
Ðîçãëÿíåìî ðîçêëàä îäíîãî іç öèõ ÷èñåë, íàïðèêëàä
30 2  3  5, і ç’ÿñóєìî, ÿêèõ ïðîñòèõ ìíîæíèêіâ äðóãîãî
÷èñëà â öüîìó ðîçêëàäі íåìàє. Òàêèìè ìíîæíèêàìè áó-
äóòü 2 і 3. Ñïðàâäі, â ðîçêëàäі 30  2  3  5 є îäèí ìíîæ-
íèê 2 і îäèí ìíîæíèê 3, à â ðîçêëàäі 36  2  2  3  3
äâà ìíîæíèêè 2 і äâà ìíîæíèêè 3. Îòæå, ùîá çíàéòè
ÍÑÊ (30; 36), òðåáà ðîçêëàä 30  2  3  5 äîïîâíèòè ìíîæ-
íèêàìè 2 і 3, ÿêèõ íå âèñòà÷àє. Ìàєìî:
ÍÑÊ (30; 36)  .
Ùîá çíàéòè íàéìåíøå ñïіëüíå êðàòíå äâîõ ÷è-
ñåë, äîñòàòíüî:
1) ðîçêëàñòè äàíі ÷èñëà íà ïðîñòі ìíîæíèêè;
2) äîïîâíèòè ðîçêëàä îäíîãî ç íèõ òèìè ìíîæ-
íèêàìè ðîçêëàäó äðóãîãî ÷èñëà, ÿêèõ íå âèñòà-
÷àє â ðîçêëàäі ïåðøîãî;
3) îá÷èñëèòè äîáóòîê çíàéäåíèõ ìíîæíèêіâ.
Çà öèì ñàìèì ïðàâèëîì ìîæíà çíàéòè íàéìåíøå ñïіëü-
íå êðàòíå òðüîõ і áіëüøå ÷èñåë. Òîäі ðîçêëàä îäíîãî іç
öèõ ÷èñåë íà ïðîñòі ìíîæíèêè òðåáà äîïîâíèòè òèìè ïðî-
ñòèìè ìíîæíèêàìè іíøèõ ÷èñåë, ÿêèõ íå âèñòà÷àє â éîãî
ðîçêëàäі, òà îá÷èñëèòè äîáóòîê çíàéäåíèõ ìíîæíèêіâ.
Ïðèêëàä 2. Çíàéòè ÍÑÊ (42; 66; 90).
Ðîçâ’ÿçàííÿ. 42  2  3  7; 66  2  3  11;
90  2  3  3  5.
ÍÑÊ (42; 66; 90) .
ßêùî îäíå ç äàíèõ ÷èñåë äіëèòüñÿ íà âñі іíøі, òî öå
÷èñëî і є їõ íàéìåíøèì ñïіëüíèì êðàòíèì.
Ïðèêëàä 3. Çíàéòè ÍÑÊ (6; 9; 36).
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Îñêіëüêè ÷èñëî 36 äіëèòüñÿ ÿê íà 6,
òàê і íà 9, òî ÍÑÊ (6; 9; 36)  36.
Íàéìåíøèì ñïіëüíèì êðàòíèì äâîõ âçàєìíî ïðîñòèõ
÷èñåë áóäå äîáóòîê öèõ ÷èñåë.
Íàïðèêëàä, ÍÑÊ (5; 8) 5  8  40.
ßêå ÷èñëî íàçèâàþòü íàéìåíøèì ñïіëüíèì êðàòíèì
÷èñåë à і b? ßê çíàéòè íàéìåíøå ñïіëüíå êðàòíå
äâîõ ÷èñåë? ×èñëî m äіëèòüñÿ íà ÷èñëî n. ×îìó
äîðіâíþє ÍÑÊ (m; n)?

27
120. (Óñíî) ×è є:
1) ÷èñëî 56 ñïіëüíèì êðàòíèì ÷èñåë 2 і 7;
2) ÷èñëî 48 ñïіëüíèì êðàòíèì ÷èñåë 5 і 6?
121. Íàçâè êіëüêà ñïіëüíèõ êðàòíèõ ÷èñåë:
1) 5 і 2; 2) 4 і 8; 3) 3 і 7.
122. Çíàéäè íàéìåíøå ñïіëüíå êðàòíå ÷èñåë à і b, ÿêùî:
1) a  2  3  3  11 і b  2  3  7;
2) a  2  2  3  5  7 і b  2  3  3  3  5.
123. Çíàéäè íàéìåíøå ñïіëüíå êðàòíå ÷èñåë m і n, ÿêùî:
1) m  3  5  7 і n  2  3  5  13;
2) m  3  3  5  5  11 і n  3  5  7  11.
124. Äîâåäè, ùî äàíі ÷èñëà є âçàєìíî ïðîñòèìè, òà
çíàéäè їõ íàéìåíøå ñïіëüíå êðàòíå:
1) 7 і 9; 2) 8 і 39; 3) 25 і 42.
125. Çíàéäè íàéìåíøå ñïіëüíå êðàòíå ÷èñåë:
1) 15 і 18; 2) 16 і 24;
3) 48 і 72; 4) 350 і 420;
5) 12, 18 і 36; 6) 280, 360 і 840.
126. Çíàéäè íàéìåíøå ñïіëüíå êðàòíå ÷èñåë:
1) 12 і 10; 2) 16 і 21;
3) 110 і 160; 4) 540 і 306;
5) 15, 25 і 75; 6) 270, 324 і 540.
127. Çíàéäè íàéìåíøå ñïіëüíå êðàòíå çíàìåííèêіâ äðîáіâ:
1) і ; 2) і ;
3) ; і ; 4) ; і .
128. Çíàéäè íàéìåíøå ñïіëüíå êðàòíå çíàìåííèêіâ äðîáіâ:
1) і ; 2) ; і .
129. Äîâæèíà êðîêó áàòüêà 75 ñì,
äîâæèíà êðîêó ñèíà 50 ñì. ßêó íàé-
ìåíøó îäíàêîâó âіäñòàíü âîíè ìàþòü
ïðîéòè, ùîá êіëüêіñòü êðîêіâ êîæíîãî
äîâіðíþâàëà öіëîìó ÷èñëó?

Ðîçäië 1
28
130. Âіä ïóíêòó À âçäîâæ äîðîãè âñòàíîâëåíî ñòîâïè ÷å-
ðåç êîæíі 40 ì. Öі ñòîâïè âèðіøèëè çàìіíèòè іíøèìè і
âñòàíîâèëè їõ íà âіäñòàíі 55 ì îäèí âіä îäíîãî. Çíàéäè âіä-
ñòàíü âіä ïóíêòó À äî íàéáëèæ÷îãî ñòîâïà, ÿêèé áóäå âñòà-
íîâëåíî íà ìіñöі ñòàðîãî.
131. Áàáóñÿ ìàє òðüîõ îíóêіâ. Ñåðãіé âіäâіäóє áàáóñþ
êîæíі 4 äíі, Іâàí — êîæíі 5 äíіâ, Ïåòðî — êîæíі 6 äíіâ.
Õëîïöі çóñòðіëèñÿ ó áàáóñі 1 ñі÷íÿ íåâèñîêîñíîãî ðîêó.
ßêîãî ÷èñëà âîíè çóñòðіíóòüñÿ ó áàáóñі íàñòóïíîãî ðàçó?
132. Òðè òåïëîõîäè çäіéñíþþòü ðåãóëÿðíі ðåéñè ç Îäåñè.
Îäèí ç íèõ ïîâåðòàєòüñÿ ÷åðåç 10 äіá, äðóãèé — ÷åðåç 12
äіá, òðåòіé — ÷åðåç 18 äіá. Òåïëîõîäè çóñòðіëèñÿ â îäåñü-
êîìó ïîðòó â ïîíåäіëîê. ×åðåç ñêіëüêè äіá і â ÿêèé äåíü
òèæíÿ âîíè çóñòðіíóòüñÿ â öüîìó ïîðòó çíîâó?
133. Îäíó æіíêó çàïèòàëè, ñêіëüêè êóð÷àò âîíà ïðèâåçëà
íà áàçàð. Âîíà âіäïîâіëà, ùî їõ áіëüøå íіæ 115, àëå ìåí-
øå íіæ 145 і ïðè öüîìó їõ ìîæíà ðîçäіëèòè ïî 4, ïî 6 і
ïî 10. Ñêіëüêè êóð÷àò ïðèâåçëà æіíêà íà áàçàð?
134. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ:
1) (õ – 37,15)  5,1  245,82;
2) (37,5 + õ) : 1,2  43,5.
135. Çóñòðіëèñÿ øåñòåðî äðóçіâ і ïîòèñëè îäèí îä-
íîìó ðóêè. Ñêіëüêè âñüîãî áóëî çäіéñíåíî ðóêîñòèñ-
êàíü?
136. Ìîæíà äîâåñòè, ùî äëÿ áóäü-ÿêèõ íàòóðàëüíèõ ÷è-
ñåë a і b âèêîíóєòüñÿ ðіâíіñòü
ÍÑÄ (a; b)  ÍÑÊ (a; b)  a  b.
Ïåðåâіð âèêîíàííÿ öієї ðіâíîñòі äëÿ òàêèõ ïàð ÷èñåë:
1) a  18; b  12; 2) a  15; b  17; 3) a  9; b  27.
Завдання для перевірки знань № 1 (§ 1 — § 7)
1. ×è ïðàâèëüíî, ùî:
1) 4 є äіëüíèêîì ÷èñëà 20; 2) 14 є êðàòíèì ÷èñëó 3?
2. ßêі іç ÷èñåë 135, 290, 72, 112, 75 äіëÿòüñÿ:
1) íà 9; 2) íà 5?

29
3. Çíàéäè íàéáіëüøèé ñïіëüíèé äіëüíèê òà íàéìåíøå
ñïіëüíå êðàòíå ÷èñåë à і b, ÿêùî: à  2  2  3  5 і b 
 2  3  7.
4. Ðîçêëàäè íà ïðîñòі ìíîæíèêè ÷èñëà:
1) 36; 2) 150.
5. Çíàéäè íàéáіëüøèé ñïіëüíèé äіëüíèê ÷èñåë 77 і 132.
6. Çíàéäè íàéìåíøå ñïіëüíå êðàòíå ÷èñåë 63 і 72.
7. ×è є ÷èñëà 3234 і 3575 âçàєìíî ïðîñòèìè?
8. Ó ÷èñëі 12 37* çàìіíè çіðî÷êó öèôðîþ òàê, ùîá
óòâîðåíå ÷èñëî áóëî êðàòíèì ÷èñëó: 1) 2; 2) 3.
Çíàéäè âñі ðîçâ’ÿçêè.
9. Åêñêóðñàíòè ìîæóòü ðîçìіñòèòèñÿ â ÷îâíàõ ïî 12
àáî ïî 16 ó êîæíîìó. Â îáîõ âèïàäêàõ âіëüíèõ ìіñöü íå
çàëèøèòüñÿ. Ñêіëüêè áóëî åêñêóðñàíòіâ, ÿêùî їõ áіëüøå
íіæ 53, àëå ìåíøå çà 100?
Äîäàòêîâі âïðàâè
10. Çíàéäè íàéáіëüøå ï’ÿòèöèôðîâå ÷èñëî, ÿêå áóäå
êðàòíèì ÷èñëó 49.
11. Çàìіíè çіðî÷êè öèôðàìè òàê, ùîá ìíîæåííÿ áóëî
âèêîíàíî ïðàâèëüíî:
1) * *  *  483;
2) * *  * *  385.

Çâè÷àéíi äðîáè
31
Ðîçãëÿíåìî, íàïðèêëàä, ðіâíіñòü . Ó öіé ðіâíîñòі
ç ëіâîї ÷àñòèíè îäåðæèìî ïðàâó, ÿêùî ÷èñåëüíèê і çíà-
ìåííèê äðîáó ïîìíîæèìî íà 2. Ñïðàâäі, .
Äàëі ðîçãëÿíåìî ðіâíіñòü . Ó öіé ðіâíîñòі ç ëіâîї
÷àñòèíè îäåðæèìî ïðàâó, ÿêùî ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê
äðîáó ïîäіëèìî íà 2, òîáòî .
Ìàєìî îñíîâíó âëàñòèâіñòü äðîáó:
çíà÷åííÿ äðîáó íå çìіíèòüñÿ, ÿêùî ÷èñåëüíèê і
çíàìåííèê äðîáó ïîìíîæèòè àáî ïîäіëèòè íà
îäíå é òå ñàìå âіäìіííå âіä íóëÿ ÷èñëî.
Íàïðèêëàä: ; .
Ç ðіâíîñòі âèïëèâàє, ùî äðîáè і є ðіçíèìè
çàïèñàìè îäíîãî é òîãî ñàìîãî ÷èñëà. Îñêіëüêè , òî
äðîáè і є òàêîæ ðіçíèìè çàïèñàìè îäíîãî ÷èñëà.
Äіëåííÿ ÷èñåëüíèêà і çíàìåííèêà äðîáó íà îäíå é òå ñàìå
íàòóðàëüíå ÷èñëî íàçèâàþòü ñêîðî÷åííÿì äðîáó. Ïðè öüî-
ìó îäèí äðіá çàìіíþþòü íà іíøèé, ùî äîðіâíþє äàíîìó,
àëå ïîðіâíÿíî ç íèì ìàє ìåíøі ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê.
Ïðèêëàä 1. , äðіá ñêîðî÷åíî íà 2.
Ïðèêëàä 2. , äðіá ñêîðî÷åíî íà 3.
Äіëåííÿ ÷èñåëüíèêà і çíàìåííèêà äðîáó íà їõ
ñïіëüíèé äіëüíèê íàçèâàþòü ñêîðî÷åííÿì äðîáó.
ßê ïðàâèëî, äіþ äіëåííÿ ÷èñåëüíèêà і çíàìåííèêà äðî-
áó íà îäíå é òå ñàìå ÷èñëî íå ïèøóòü і ïіñëÿ çíàêà ðіâíî-
ñòі îäðàçó çàïèñóþòü ñêîðî÷åíèé äðіá.
Ïðèêëàä 3. , àáî , äðіá ñêîðî÷åíî íà 4.

Ðîçäië 2
32
Äðіá ìîæíà ñêîðîòèòè, ÿêùî éîãî ÷èñåëüíèê і çíàìåí-
íèê ìàþòü ñïіëüíèé äіëüíèê, âіäìіííèé âіä 1. ßêùî ÷è-
ñåëüíèê і çíàìåííèê äðîáó âçàєìíî ïðîñòі ÷èñëà, òî äðіá
ñêîðîòèòè íå ìîæíà. Òàêèé äðіá íàçèâàþòü íåñêîðîòíèì
äðîáîì. Íàïðèêëàä: , , .
Ùîá ç äàíîãî äðîáó îäåðæàòè íåñêîðîòíèé äðіá, òðåáà
÷èñåëüíèê і çíàìåííèê ïîäіëèòè íà їõ íàéáіëüøèé ñïіëü-
íèé äіëüíèê. Ñêîðî÷óâàòè äðіá ìîæíà äâîìà ñïîñîáàìè.
І ñïîñіá. Ïîñòóïîâî äіëÿ÷è ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê íà
їõ âіäïîâіäíі ñïіëüíі äіëüíèêè, ïîêè íå îòðèìàєìî íåñêî-
ðîòíèé äðіá.
II ñïîñіá. Îäðàçó äіëÿ÷è ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê íà їõ
íàéáіëüøèé ñïіëüíèé äіëüíèê.
Ïðèêëàä 4. Ñêîðîòèòè äðіá .
Ðîçâ’ÿçàííÿ. І ñïîñіá. , ñïî÷àòêó ñêîðî-
òèëè íà 2, ïîòіì íà 3.
II ñïîñіá. ÍÑÄ (66; 78)  6, òîìó , ÷èñåëüíèê і
çíàìåííèê îäðàçó ñêîðîòèëè íà 6.
Іíîäі çðó÷íî ïðè ñêîðî÷åííі äðîáó ðîçêëàñòè ÷èñåëü-
íèê і çíàìåííèê íà êіëüêà ìíîæíèêіâ, à ïîòіì óæå ñêî-
ðîòèòè.
Ïðèêëàä 5. . Ñêîðîòèìî íà
3  3  5 і îòðèìàєìî .
Ñôîðìóëþé îñíîâíó âëàñòèâіñòü äðîáó. ×è çìі-
íèòüñÿ çíà÷åííÿ äðîáó, ÿêùî ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê
äðîáó ïîìíîæèòè íà 10; ÿêùî ÷èñåëüíèê і çíàìåí-
íèê äðîáó ïîäіëèòè íà 2? Ùî íàçèâàþòü ñêîðî÷åí-
íÿì äðîáó? ßêèé äðіá íàçèâàþòü íåñêîðîòíèì?
137. (Óñíî) Îáґðóíòóé ðіâíіñòü:
1) ; 2) ; 3) ; 4) .

33
138. (Óñíî) ×è ïðàâèëüíà ðіâíіñòü:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ?
139. Çàïèøè òðè äðîáè, ÿêі äîðіâíþþòü .
140. Çàïèøè äâà äðîáè, ÿêі äîðіâíþþòü .
141. Ïîìíîæ ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê êîæíîãî äðîáó íà 3
òà çàïèøè âіäïîâіäíі ðіâíîñòі: 1) ; 2) .
142. Ïîìíîæ ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê êîæíîãî äðîáó íà 2
òà çàïèøè âіäïîâіäíі ðіâíîñòі: 1) ; 2) .
143. Ïîäіëè ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê êîæíîãî äðîáó íà 2 òà
çàïèøè âіäïîâіäíі ðіâíîñòі: 1) ; 2) .
144. Ïîäіëè ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê êîæíîãî äðîáó íà 3 òà
çàïèøè âіäïîâіäíі ðіâíîñòі: 1) ; 2) .
145. (Óñíî) Ñêîðîòè äðіá:
1) ; 2) ; 3) ; 4) .
146. Çàïèøè òðè äðîáè, ùî äîðіâíþþòü äðîáó , çíà-
ìåííèêè ÿêèõ ìåíøі âіä çíàìåííèêà äàíîãî äðîáó.
147. Çàïèøè òðè äðîáè, ùî äîðіâíþþòü äðîáó , çíàìåí-
íèêè ÿêèõ ìåíøі âіä çíàìåííèêà äàíîãî äðîáó.
148. Çàìіíè äðîáîì, çíàìåííèê ÿêîãî äîðіâíþє 36, êîæ-
íèé ç äðîáіâ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .
149. Çàìіíè äðîáîì, çíàìåííèê ÿêîãî äîðіâíþє 24, êîæ-
íèé ç äðîáіâ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .
150. Ñêîðîòè äðіá:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

Ðîçäië 2
34
5) ; 6) ; 7) ; 8) .
151. Ñêîðîòè äðіá:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ;
5) ; 6) ; 7) ; 8) .
152. Çíàéäè ÍÑÄ ÷èñåëüíèêà і çíàìåííèêà êîæíîãî ç äðî-
áіâ òà ñêîðîòè äðîáè:
1) ; 2) ; 3) ; 4) .
153. Âèïèøè ç ïîäàíèõ íèæ÷å äðîáіâ òі, ÿêі ìîæíà ñêîðî-
òèòè, і ñêîðîòè їõ:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ;
6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) .
154. Âèïèøè äðîáè, ÿêі ìîæíà ñêîðîòèòè, і ñêîðîòè їõ:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ;
6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) .
155. Çàïèøè âіäñîòêè çâè÷àéíèì íåñêîðîòíèì äðîáîì:
1) 5 %; 2) 20 %; 3) 38 %; 4) 60 %.
156. Âіäíîâè çàïèñ: 1) ; 2) .
157. Íàêðåñëè êîîðäèíàòíèé ïðîìіíü, óçÿâøè çà îäèíè÷-
íèé âіäðіçîê 24 êëіòèíêè çîøèòà. Ïîçíà÷ íà ïðîìåíі òî÷-
êè ç êîîðäèíàòàìè:
.
ßêі ç öèõ òî÷îê çîáðàæóþòüñÿ íà êîîðäèíàòíîìó ïðî-
ìåíі îäíієþ і òієþ ñàìîþ òî÷êîþ? Çàïèøè âіäïîâіäíі ðіâ-
íîñòі.
íèé âіäðіçîê 18 êëіòèíîê. Ïîçíà÷ íà ïðîìåíі òî÷êè ç êî-
îðäèíàòàìè:

35
.
ßêі ç öèõ òî÷îê çîáðàæóþòüñÿ íà êîîðäèíàòíîìó ïðî-
ìåíі îäíієþ і òієþ ñàìîþ òî÷êîþ? Çàïèøè âіäïîâіäíі ðіâ-
íîñòі.
159. Çàïèøè äåñÿòêîâèé äðіá ó âèãëÿäі çâè÷àéíîãî і
ðåçóëüòàò, ÿêùî ìîæëèâî, ñêîðîòè:
1) 0,4; 2) 0,22; 3) 0,75; 4) 0,31; 5) 0,125; 6) 0,734.
160. Çàïèøè äåñÿòêîâèé äðіá ó âèãëÿäі çâè÷àéíîãî і ðå-
çóëüòàò, ÿêùî ìîæëèâî, ñêîðîòè:
1) 0,2; 2) 0,18; 3) 0,25; 4) 0,47; 5) 0,375; 6) 0,832.
161. Äàé âіäïîâіäü ó âèãëÿäі íåñêîðîòíîãî äðîáó:
1) ÿêó ÷àñòèíó êіëîãðàìà ñêëàäàþòü: 40 ã, 120 ã, 750 ã;
2) ÿêó ÷àñòèíó ãîäèíè ñêëàäàþòü: 5 õâ, 12 õâ, 45 õâ;
3) ÿêó ÷àñòèíó ðîçãîðíóòîãî êóòà ñòàíîâèòü êóò, ãðà-
äóñíà ìіðà ÿêîãî: 18, 45, 120?
162. Äàé âіäïîâіäü ó âèãëÿäі íåñêîðîòíîãî äðîáó:
1) ÿêó ÷àñòèíó ìåòðà ñêëàäàþòü: 25 ñì, 12 ñì, 80 ñì;
2) ÿêó ÷àñòèíó õâèëèíè ñêëàäàþòü: 10 ñ, 42 ñ, 40 ñ;
3) ÿêó ÷àñòèíó ïðÿìîãî êóòà ñêëàäàє êóò, ãðàäóñíà
ìіðà ÿêîãî: 5, 12, 27?
163. Âèêîíàé äії і ðåçóëüòàò ñêîðîòè:
1) ; 2) ; 3) ; 4) .
164. (Óñíî) Ñïî÷àòêó äðіá ñêîðîòèëè íà 2, ïîòіì — íà 3,
à ïîòіì — íà 7 é îòðèìàëè íåñêîðîòíèé äðіá. Íà ÿêå ÷èñ-
ëî ìîæíà áóëî îäðàçó ñêîðîòèòè äðіá?
165. Âèêîðèñòîâóþ÷è îñíîâíó âëàñòèâіñòü äðîáó, çíàéäè x:
1) ; 2) ; 3) ; 4) .
166. Âèêîðèñòîâóþ÷è îñíîâíó âëàñòèâіñòü äðîáó, çíàéäè ó:
1) ; 2) ; 3) ; 4) .
167. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ:
1) ; 2) ; 3) .

Ðîçäië 2
36
168. Äðіá ñêîðîòèëè íà 9 і îòðèìàëè . Çíàéäè çíà-
÷åííÿ à і b.
169. Äðіá ñêîðîòèëè íà 2 і îòðèìàëè . Çíàéäè çíà-
÷åííÿ õ і ó.
170. Ñêîðîòè äðіá (áóêâàìè ïîçíà÷åíî íàòóðàëüíі ÷èñëà):
1) ; 2) ; 3) ; 4) .
171. Ïîðіâíÿé äðîáè:
1) і ; 2) і ; 3) 1 і ; 4) і 1; 5) і .
172. Çíàéäè:
1) ÍÑÊ (24; 36); 2) ÍÑÊ (80; 120); 3) ÍÑÊ (42; 91).
173. Ñòîðîíè ïðÿìîêóòíèêà äîðіâíþþòü 8 ñì і
12 ñì. Çíàéäè ïëîùó êâàäðàòà, ïåðèìåòð ÿêîãî íà
4 ñì áіëüøèé çà ïåðèìåòð ïðÿìîêóòíèêà.
174. Ìàëåíüêàêîðîáêàâìіùóє12îëіâöіâ,àâåëèêà—
18 îëіâöіâ. Âіäîìî, ùî Іðèíà ìîæå ðîçêëàñòè âñі ñâîї
îëіâöі ÿê ó ìàëåíüêі êîðîáêè, òàê і ó âåëèêі. Ñêіëüêè
îëіâöіâ ó Іðèíè, ÿêùî їõ áіëüøå íіæ 57, àëå ìåíøå
íіæ 80?
175. 24 ñåðïíÿ 1991 ðîêó ïîçà÷åðãîâîþ ñåñієþ Âåðõîâ-
íîї Ðàäè ÓÐÑÐ áóëî ïðèéíÿòî Àêò ïðîãîëîøåííÿ íåçà-
ëåæíîñòі Óêðàїíè. Ñêіëüêè äíіâ ïðîéøëî ç öієї äàòè äî
ñüîãîäíіøíüîãî äíÿ?
9.9.Найменший спільний знаменник
дробів. Зведення дробів до спільного
знаменника. Порівняння дробів
Ìè âæå âìієìî ïîðіâíþâàòè äðîáè ç îäíàêîâèìè çíà-
ìåííèêàìè: ç äâîõ äðîáіâ ç îäíàêîâèìè çíàìåííèêàìè
áіëüøèì є òîé, ó ÿêîãî áіëüøèé ÷èñåëüíèê.
Íàïðèêëàä, , .

37
À ÿê ïîðіâíþâàòè äðîáè ç ðіçíèìè çíàìåííèêàìè?
Ïðèêëàä 1. Ïîðіâíÿòè äðîáè і .
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Âèêîðèñòàєìî îñíîâíó âëàñòèâіñòü äðî-
áó і çâåäåìî äðîáè і äî ñïіëüíîãî çíàìåííèêà.
Ñïіëüíèé çíàìåííèê öèõ äðîáіâ ìàє äіëèòèñÿ і íà 4, і íà 6,
òîáòî âіí є ñïіëüíèì êðàòíèì ÷èñåë 4 і 6. Òàêèõ ñïіëüíèõ
êðàòíèõ áåçëі÷: 12, 24, 36, 48, ... І äðіá , і äðіá ìîæíà
çâåñòè äî çíàìåííèêіâ 12, 24, 36, 48, ... Íàéìåíøå ñïіëü-
íå êðàòíå çíàìåííèêіâ äâîõ äðîáіâ (ó íàøîìó âèïàäêó —
12) íàçèâàþòü íàéìåíøèì ñïіëüíèì çíàìåííèêîì.
Îòæå, çâåäåìî äðîáè і äî çíàìåííèêà 12. Çíàéäåìî
äëÿ öüîãî äîäàòêîâèé ìíîæíèê äëÿ êîæíîãî ç äðîáіâ,
òîáòî ÷èñëî, íà ÿêå òðåáà ïîìíîæèòè ÷èñåëüíèê і çíà-
ìåííèê äðîáó, ùîá îäåðæàòè äðіá іç çíàìåííèêîì 12. Äëÿ
öüîãî òðåáà íîâèé çíàìåííèê 12 ïîäіëèòè íà çíàìåííèêè
äàíèõ äðîáіâ: 12 : 4  3 і 12 : 6  2. Äîäàòêîâèì ìíîæíè-
êîì äëÿ äðîáó áóäå ÷èñëî 3, à äëÿ äðîáó — ÷èñëî 2.
Äîäàòêîâі ìíîæíèêè çàïèøåìî ëіâîðó÷ íàä âіäïîâіäíèìè
÷èñåëüíèêàìè і ïіäêðåñëèìî їõ êîñîþ ðèñêîþ:
і .
Äàíі äðîáè çâåëè äî íàéìåíøîãî ñïіëüíîãî çíàìåííèêà.
Ùîá çâåñòè äðîáè äî íàéìåíøîãî ñïіëüíîãî
çíàìåííèêà, äîñòàòíüî:
1) çíàéòè íàéìåíøå ñïіëüíå êðàòíå çíàìåííè-
êіâ äàíèõ äðîáіâ, ÿêå é áóäå íàéìåíøèì ñïіëü-
íèì çíàìåííèêîì;
2) çíàéòè äëÿ êîæíîãî äðîáó äîäàòêîâèé
ìíîæíèê, ïîäіëèâøè íàéìåíøèé ñïіëüíèé çíà-
ìåííèê íà çíàìåííèêè äàíèõ äðîáіâ;
3) ïîìíîæèòè ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê êîæíîãî
äðîáó íà éîãî äîäàòêîâèé ìíîæíèê.

38
Ïіñëÿ çâåäåííÿ äðîáіâ і äî ñïіëüíîãî çíàìåííèêà
ìîæåìî їõ ïîðіâíÿòè. Îñêіëüêè
, à і , òî .
Ùîá ïîðіâíÿòè äðîáè ç ðіçíèìè çíàìåííèêàìè,
äîñòàòíüî çâåñòè їõ äî ñïіëüíîãî çíàìåííèêà
і ïîðіâíÿòè îäåðæàíі äðîáè.
Çâîäèòè äî íàéìåíøîãî ñïіëüíîãî çíàìåííèêà ìîæíà
íå òіëüêè äâà äðîáè, à é òðè, ÷îòèðè і ò. ä.
Ïðèêëàä 2. Çâåñòè äî íàéìåíøîãî ñïіëüíîãî çíàìåííèêà
äðîáè , і .
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Íàéìåíøèì ñïіëüíèì çíàìåííèêîì
áóäå ÷èñëî 24, áî öå íàéìåíøå ÷èñëî, ÿêå äіëèòüñÿ íà âñі
äàíі çíàìåííèêè. Îäåðæèìî:
; ; .
ßêùî íàéìåíøèé ñïіëüíèé çíàìåííèê çíàéòè âàæêî,
òî çíàìåííèêè òðåáà ðîçêëàñòè íà ïðîñòі ìíîæíèêè.
Ïðèêëàä 3. Çâåñòè äî íàéìåíøîãî ñïіëüíîãî çíàìåííèêà
äðîáè і .
Ðîçâ’ÿçàííÿ. 48  2  2  2  2  3; 60  2  2  3  5.
ÍÑÊ (48; 60)  2  2  2  2  3  5  240. Òîäі
і .
Ñôîðìóëþé ïðàâèëî çâåäåííÿ äðîáіâ äî íàéìåíøî-
ãî ñïіëüíîãî çíàìåííèêà. ×è ìîæíà äðіá çâåñòè
äî çíàìåííèêà 25; äî çíàìåííèêà 27? ßê çíàéòè
äîäàòêîâèé ìíîæíèê? ßê ïîðіâíÿòè äâà äðîáè ç
ðіçíèìè çíàìåííèêàìè?

39
176. (Óñíî) Çâåäè äî çíàìåííèêà 12 äðіá:
1) ; 2) ; 3) ; 4) .
177. Çâåäè äðіá äî çíàìåííèêà: 14, 21, 70, 700.
178. Çâåäè äðіá äî çíàìåííèêà: 10, 15, 50, 500.
179. Íàçâè íàéìåíøèé ñïіëüíèé çíàìåííèê äðîáіâ:
1) і ; 2) і ; 3) і ; 4) і .
180. (Óñíî) Ïîðіâíÿé:
1) і ; 2) і ; 3) і ; 4) і .
181. Çâåäè äî íàéìåíøîãî ñïіëüíîãî çíàìåííèêà äðîáè:
1) і ; 2) і ; 3) і ; 4) і ;
5) і ; 6) і ; 7) і ; 8) і .
1) і ; 2) і ; 3) і ; 4) і ;
5) і ; 6) і ; 7) і ; 8) і .
1) і ; 2) і ; 3) і ; 4) і .
1) і ; 2) і ; 3) і ; 4) і .
185. Ùî áіëüøå: 1) ÷è ; 2) ÷è ?
186. Ùî ìåíøå:
1) ÷è ; 2) ÷è ; 3) ÷è ; 4) ÷è ?

Ðîçäië 2
40
1) , і ; 2) , і ; 3) , і .
1) , і ; 2) , і ; 3) , і .
189. Ðîçìіñòè â ïîðÿäêó çðîñòàííÿ äðîáè і ïðî÷èòàé ïðіç-
âèùå âèäàòíîãî óêðàїíñüêîãî ïèñüìåííèêà: (Í), (Ê),
(Ð), (Ô), (Î), (À).
190. Ðîçìіñòè â ïîðÿäêó çðîñòàííÿ äðîáè òà ïðî÷èòàé íàç-
âó ïåðøîї ñòîëèöі Óêðàїíè: (Ð), (І), (Õ), (Â), (Ê),
(À).
íèé âіäðіçîê 16 êëіòèíîê. Ïîçíà÷ íà ïðîìåíі òî÷êè, ÿêèì
âіäïîâіäàþòü ÷èñëà , , , , , . Çàïèøè öі ÷èñëà â
ïîðÿäêó ñïàäàííÿ.
192. Çíàéäè íàéìåíøå ñïіëüíå êðàòíå çíàìåííèêіâ
äðîáіâ , і ðîçêëàäàííÿì їõ íà ïðîñòі ìíîæ-
íèêè, à ïîòіì çâåäè öі äðîáè äî íàéìåíøîãî ñïіëüíîãî
çíàìåííèêà.
193. Çíàéäè íàéìåíøå ñïіëüíå êðàòíå çíàìåííèêіâ äðîáіâ
, і ðîçêëàäàííÿì їõ íà ïðîñòі ìíîæíèêè, à ïî-
òіì çâåäè öі äðîáè äî íàéìåíøîãî ñïіëüíîãî çíàìåííèêà.
194. Ðîçìіñòè â ïîðÿäêó ñïàäàííÿ: , , , , , .
195. Ïîðіâíÿé: 1) 0,675 і ; 2) 0,84 і .
196. Ïîðіâíÿé: 1) 0,32 і ; 2) 0,45 і .

41
197. Îäèí ðîáіòíèê âèãîòîâëÿє 54 îäíàêîâі äåòàëі çà 7 ãîä,
à äðóãèé — 23 òàêі ñàìі äåòàëі çà 3 ãîä. ßêèé ðîáіòíèê
âèãîòîâëÿє áіëüøå äåòàëåé çà ãîäèíó?
198. Çíàéäè âñі íàòóðàëüíі çíà÷åííÿ õ, ïðè ÿêèõ є ïðà-
âèëüíîþ íåðіâíіñòü:
1) ; 2) .
199. Çíàéäè âñі íàòóðàëüíі çíà÷åííÿ ó, ïðè ÿêèõ є ïðà-
âèëüíîþ íåðіâíіñòü:
1) ; 2) .
200. Çíàéäè áóäü-ÿêèõ äâà äðîáè, êîæíèé ç ÿêèõ:
1) áіëüøèé çà , àëå ìåíøèé âіä ;
2) áіëüøèé çà , àëå ìåíøèé âіä .
201. Çíàéäè áóäü-ÿêèõ äâà äðîáè, êîæíèé ç ÿêèõ áіëüøèé
çà , àëå ìåíøèé âіä .
202. Âèêîíàé äії:
1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) .
203. Ç äâîõ ìіñò îäíî÷àñíî íàçóñòðі÷ îäèí îäíî-
ìó âèéøëè äâà ïîòÿãè. Øâèäêіñòü îäíîãî 58 êì/ãîä,
à øâèäêіñòü äðóãîãî ñòàíîâèòü 90 % âіä øâèäêîñòі
ïåðøîãî. Ïîòÿãè çóñòðіëèñÿ ÷åðåç 2,5 ãîä. Çíàéäè âіä-
ñòàíü ìіæ ìіñòàìè.
204. Ïðè ÿêîìó íàéìåíøîìó òðèöèôðîâîìó íàòó-
ðàëüíîìó çíà÷åííі x çíà÷åííÿ âèðàçó 157 + x є êðàò-
íèì ÷èñëó 10?
205. ×è ìîæíà ç ïðÿìîêóòíèõ ïàðàëåëåïіïåäіâ, ëіíіé-
íі âèìіðè ÿêèõ äîðіâíþþòü 1 ñì, 2 ñì і 3 ñì, ñêëàñòè êóá,
ðåáðî ÿêîãî äîðіâíþє 5 ñì?

Ðîçäië 2
42
Ìè âæå âìієìî äîäàâàòè і âіäíіìàòè äðîáè ç îäíàêîâè-
ìè çíàìåííèêàìè:
; (a > b àáî a  b).
Ùîá äîäàòè (âіäíÿòè) äðîáè ç ðіçíèìè çíàìåí-
íèêàìè, äîñòàòíüî:
1) çâåñòè öі äðîáè äî íàéìåíøîãî ñïіëüíîãî
çíàìåííèêà;
2) äîäàòè (âіäíÿòè) їõ çà ïðàâèëîì äîäàâàííÿ
(âіäíіìàííÿ) äðîáіâ ç îäíàêîâèìè çíàìåííèêàìè.
Ïðèêëàä 1. Çíàéòè ñóìó .
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Íàéìåíøèé ñïіëüíèé çíàìåííèê öèõ
äðîáіâ 30. Äîäàòêîâèé ìíîæíèê äëÿ ïåðøîãî äðîáó 5
(30 : 6  5), äëÿ äðóãîãî äðîáó 3 (30 : 10  3). Çàïèñóєìî:
.
ßê ïðàâèëî, ïіäêðåñëåíó ÷àñòèíó íå çàïèñóþòü. Òîäі
çàïèñ ìàє âèãëÿä:
.
Ðåçóëüòàò äії ïðèéíÿòî çàïèñóâàòè íåñêîðîòíèì äðî-
áîì, òîìó îòðèìàëè , ñêîðîòèâøè äðіá íà 2.
Ïðèêëàä 2. Çíàéòè ðіçíèöþ .
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Íàéìåíøèé ñïіëüíèé çíàìåííèê öèõ
äðîáіâ 24. Êîðîòêèé çàïèñ ðîçâ’ÿçàííÿ:
.
Òàê ñàìî ìîæíà äîäàâàòè і âіäíіìàòè òðè, ÷îòèðè і
áіëüøå äðîáіâ. ßêùî ðåçóëüòàòîì îá÷èñëåííÿ є íåïðàâèëü-
10.10. Додавання і віднімання дробів
з різними знаменниками

43
íèé äðіá, òî çàçâè÷àé éîãî çàïèñóþòü ó âèãëÿäі ìіøàíîãî
÷èñëà.
Ïðèêëàä 3. Îá÷èñëèòè: .
Ðîçâ’ÿçàííÿ (ðîçãëÿíü ñàìîñòіéíî).
.
Äëÿ äîäàâàííÿ äðîáіâ ñïðàâäæóþòüñÿ ïåðåñòàâíà і ñïî-
ëó÷íà âëàñòèâîñòі äîäàâàííÿ.
ßê âèêîíàòè äîäàâàííÿ äâîõ äðîáіâ ç ðіçíèìè çíà-
ìåííèêàìè? ßê âèêîíàòè âіäíіìàííÿ äâîõ äðîáіâ ç
ðіçíèìè çíàìåííèêàìè?
206. (Óñíî) Çíàéäè çíà÷åííÿ âèðàçó:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ;
5) ; 6) ; 7) ; 8) .
207. Îá÷èñëè:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ;
5) ; 6) ; 7) ; 8) .
1) ; 2) ; 3) ; 4) ;
5) ; 6) ; 7) ; 8) .
209. Ìàãàçèí ïåðøîãî äíÿ ïðîäàâ , à äðóãîãî — âñіõ
ôðóêòіâ, ÿêі íàäіéøëè ç áàçè. ßêó ÷àñòèíó ôðóêòіâ ïðî-
äàâ ìàãàçèí çà äâà äíі?
210. Îëÿ çà ïåðøèé äåíü ïðî÷èòàëà , à çà äðóãèé —
âñієї êíèæêè. ßêó ÷àñòèíó êíèæêè Îëÿ ïðî÷èòàëà çà äâà
äíі?

Ðîçäië 2
44
1) ; 2) ; 3) ; 4) ;
5) ; 6) ; 7) ; 8) .
212. Çíàéäè çíà÷åííÿ âèðàçó:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ;
5) ; 6) ; 7) ; 8) .
213. Ïåðøîãî äíÿ äî øêîëè çàâåçëè âіä çàìîâëåíîї êіëü-
êîñòі ïіäðó÷íèêіâ, à äðóãîãî — íà ìåíøå. ßêó ÷àñòèíó çà-
âåçëè äðóãîãî äíÿ? ×è çàâåçëè âñі ïіäðó÷íèêè çà öі äâà äíі?
214. Ñåðãіé âèêîíàâ äîìàøíє çàâäàííÿ ç ìàòåìàòèêè çà
ãîä, à íà âèêîíàííÿ äîìàøíüîãî çàâäàííÿ ç óêðàїíñüêîї
ìîâè âèòðàòèâ íà ãîä ìåíøå. Ñêіëüêè ÷àñó âèòðàòèâ
Ñåðãіé íà âèêîíàííÿ çàâäàíü ç öèõ äâîõ ïðåäìåòіâ ðàçîì?
215. Îá÷èñëè: 1) ; 2) ; 3) .
216. Îá÷èñëè: 1) ; 2) ; 3) .
217. Â îäíîìó ãëå÷èêó ë ìîëîêà, à â äðóãîìó — ë
ìîëîêà. Â ÿêîìó ãëå÷èêó ìîëîêà áіëüøå і íà ñêіëüêè?
1) ; 2) ; 3) .
219. Îá÷èñëè: 1) ; 2) .
220. Çíàéäè çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) ; 2) .

45
221. Çíàéäè çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) ; 2) .
222. Çà ïåðøó ãîäèíó àâòîìîáіëü ïðîїõàâ óñієї âіäñòàíі,
ÿêó ìàâ ïðîїõàòè, çà äðóãó ãîäèíó — óñієї âіäñòàíі, à çà
òðåòþ — ðåøòó øëÿõó. ßêó ÷àñòèíó âñієї âіäñòàíі ïðîїõàâ
àâòîìîáіëü çà òðåòþ ãîäèíó?
223. Íà ñíіäàíîê Âіííі-Ïóõ ç’їâ ë ìåäó, íà îáіä — ë,
à íà âå÷åðþ — ðåøòó. Ñêіëüêè ëіòðіâ ìåäó ç’їâ Âіííі-Ïóõ
íà âå÷åðþ?
224. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) .
225. Îá÷èñëè çíà÷åííÿ âèðàçó, âèêîðèñòîâóþ÷è âëàñ-
òèâîñòі äîäàâàííÿ і âіäíіìàííÿ:
1) ; 2) ;
3) ; 4) .
226. Îá÷èñëè çíà÷åííÿ âèðàçó, âèêîðèñòîâóþ÷è âëàñòè-
âîñòі äîäàâàííÿ і âіäíіìàííÿ:
1) ; 2) ;
3) ; 4) .
227. Ïåðèìåòð òðèêóòíèêà äîðіâíþє ì. Îäíà ç éîãî
ñòîðіí äîðіâíþє ì, à äðóãà — ìåíøà âіä ïåðøîї íà ì.
Çíàéäè äîâæèíó òðåòüîї ñòîðîíè òðèêóòíèêà.
228. Ìàëþê ç’їäàє áàíêó âàðåííÿ çà 12 õâ, à Êàðëñîí — çà
8 õâ.
1) ßêó ÷àñòèíó áàíêè âàðåííÿ ç’їäàє êîæåí ç íèõ çà
õâèëèíó?
2) ßêó ÷àñòèíó áàíêè âàðåííÿ âîíè ç’їäÿòü ðàçîì çà:
1 õâ; 2 õâ; 3 õâ?

Ðîçäië 2
46
229. ×åðåç îäíó òðóáó áàñåéí íàïîâíþєòüñÿ çà 18 õâ,
à ÷åðåç äðóãó — çà 24 õâ. 1) ×è íàïîâíèòüñÿ áіëüøå ÷âåð-
òі áàñåéíó çà äâі õâèëèíè îäíî÷àñíîї ðîáîòè îáîõ òðóá?
2) ßêà ÷àñòèíà áàñåéíó çàëèøèòüñÿ íåçàïîâíåíîþ ÷åðåç
äâі õâèëèíè îäíî÷àñíîї ðîáîòè äâîõ òðóá?
230. Ç äâîõ ìіñò îäíî÷àñíî íàçóñòðі÷ îäèí îäíîìó âèéøëè
äâà ïîòÿãè. Âіäñòàíü ìіæ öèìè ìіñòàìè ïåðøèé ïîòÿã äî-
ëàє çà 3 ãîä, à äðóãèé — çà 4 ãîä. 1) ßêó ÷àñòèíó âñüîãî
øëÿõó ñòàíîâèëà âіäñòàíü ìіæ ïîòÿãàìè ÷åðåç ãîäèíó ïіñ-
ëÿ їõ âèõîäó? 2) ×è âіäáóëàñÿ çóñòðі÷ ïîòÿãіâ, ÿêùî âîíè
áóëè ó äîðîçі 2 ãîä?
231. ßê çìіíèòüñÿ ðіçíèöÿ, ÿêùî:
1) çìåíøóâàíå çáіëüøèòè íà , à âіä’єìíèê — íà ;
2) çìåíøóâàíå çìåíøèòè íà , à âіä’єìíèê — íà ?
232. Îá÷èñëè çíà÷åííÿ âèðàçó:
.
233. Ïåðèìåòð ðіâíîáåäðåíîãî òðèêóòíèêà 12,8 ñì.
Äîâæèíà îäíієї ñòîðîíè ñòàíîâèòü ïåðèìåòðà, à äâі
іíøі ñòîðîíè ðіâíі ìіæ ñîáîþ. Çíàéäè äîâæèíè ñòîðіí
òðèêóòíèêà.
234. Ó ÷èñëі 20*06* çàìіíè çіðî÷êè öèôðàìè òàê,
ùîá öå ÷èñëî äіëèëîñÿ íà 5 і íà 9 і íå äіëèëîñÿ íà 10.
235. 1) Ðîçìіñòè ó ðÿäêàõ âêàçàíі ïðіçâèùà âіäîìèõ
ìàòåìàòèêіâ: Ïіôàãîð, Íüþòîí, Îñòðîãðàäñüêèé, Êîøі,
Êðàâ÷óê, Âîðîíèé, Ñìîãîðæåâñüêèé òà ïðî÷èòàé ó âèäі-
ëåíîìó ñòîâï÷èêó íàçâó ãåîìåòðè÷íîї ôіãóðè.
2) Çäîãàäàéñÿ, ó ÿêèõ ðÿäêàõ çàïèñàíî ïðіçâèùà óêðà-
їíñüêèõ ìàòåìàòèêіâ. Ïåðåâіð ñâîþ çäîãàäêó çà äîïîìîãîþ
Іíòåðíåòó àáî êíèæîê. Îçíàéîìñÿ ç áіîãðàôіÿìè öèõ ìàòå-
ìàòèêіâ.

47
11.11. Додавання і віднімання мішаних
чисел
Ïåðåñòàâíà òà ñïîëó÷íà âëàñòèâîñòі äîäàâàííÿ äàþòü
ìîæëèâіñòü çâåñòè äîäàâàííÿ ìіøàíèõ ÷èñåë äî äîäàâàííÿ
їõ öіëèõ ÷àñòèí і äîäàâàííÿ їõ äðîáîâèõ ÷àñòèí.
ßêùî ïðè äîäàâàííі äðîáîâèõ ÷àñòèí îòðèìóєìî íå-
ïðàâèëüíèé äðіá, òî ó öüîìó ðàçі ç íüîãî âèäіëÿþòü öіëó
÷àñòèíó і äîäàþòü її äî öіëîї ÷àñòèíè, ÿêà âæå є.
Ïðèêëàä 1.
.
ßê ïðàâèëî, ïðîìіæíі îá÷èñëåííÿ âèêîíóþòü óñíî і
ðîçâ’ÿçàííÿ çàïèñóþòü êîðîòøå:
.
Ïðè âіäíіìàííі ìіøàíèõ ÷èñåë âèêîðèñòîâóþòü âëàñòè-
âîñòі âіäíіìàííÿ ñóìè âіä ÷èñëà і ÷èñëà âіä ñóìè:
à – (b + ñ)  (à – b) – ñ і
(à + b) – ñ  (à – ñ) + b
(ÿêùî à > ñ àáî à  ñ),
à òàêîæ ïðèéîì âіäíіìàííÿ âіä íàòóðàëüíîãî ÷èñëà ïðà-
âèëüíîãî äðîáó.
Ïðèêëàä 2.
, àáî êîðîòøå:

6 матем істер_2014_укр

6 матем істер_2014_укр

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (8)

Viewers also liked

Viewers also liked (10)

Similar to 6 матем істер_2014_укр

Similar to 6 матем істер_2014_укр (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (13)

6 матем істер_2014_укр