Las matematicas y la musica

955 views

Published on

Presentación en la que se explica el fundamento de las notas musicales y el trabajo de Pitágoras.

Published in: Education
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

Las matematicas y la musica

  1. 1. Las Matemáticas y la Música. ¿ Porqué la escala musical occidental tiene 12 notas? 2o Residencial AFAMaC Arturo Portnoy Departamento de Matemáticas, UPRM
  2. 2. Pitágoras y la Música <ul><li>Un amor místico por las matemáticas y la música. </li></ul><ul><li>Descubre que existe una relación entre monocordios de longitudes cuyas razones son “muy” racionales y la armonía de los sonidos que emiten. </li></ul><ul><li>TODO ES NUMERO. </li></ul><ul><li>Intervalos Pitagóricos: Octava (2/1), Quinta (3/2), Cuarta (4/3). </li></ul>
  3. 3. Demostraciones físicas y musicales <ul><li>Saltando la cuerda. </li></ul><ul><li>El tubo que canta. </li></ul><ul><li>Intervalos armónicos: generador de tonos </li></ul>
  4. 4. C í rculo de quintas <ul><li>Tono base: f. </li></ul><ul><li>Quinta: (3/2)f. </li></ul><ul><li>Quinta de la quinta (3/2) ²f. </li></ul><ul><li>etc… </li></ul><ul><li>¿ Hasta cuando? Hasta cerrar en octava: </li></ul>
  5. 5. Algo de matemáticas <ul><li>Podemos reescribir la ecuación anterior: </li></ul><ul><li>Esta ecuación no tiene solución en los enteros. ¿ Porqu é ? </li></ul><ul><li>Lo mejor que podemos hacer es aproximar: </li></ul><ul><li>Esto es un problema de aproximar un irracional con un racional. </li></ul><ul><li>Recordemos que m representa el numero de notas en la escala. </li></ul>Notemos que de estar charlando sobre musiquita, anécdotas históricas, etc., de pronto, ¡ estamos hasta el cuello en matemáticas!
  6. 6. Aproximaciones racionales de irracionales <ul><li>Pensemos en un ejemplo famoso: </li></ul><ul><li>π=3.14159265... </li></ul><ul><li>Usualmente usamos la aproximación decimal: 3.1416=31416/10000. </li></ul><ul><li>Hay aproximaciones mucho “mejores”, mas eficientes, que con un denominador menor, hacen mejor trabajo: </li></ul><ul><ul><li>22/7=3.142857…, | π-22/7|<1/100<1/(7²) </li></ul></ul><ul><ul><li>355/113=3.14159292…, | π-355/113|<1/(100³)<1/(113²). </li></ul></ul>
  7. 7. El Teorema de Dirichlet y el principio del palomar <ul><li>Si tenemos n+1 palomas y n palomares, al menos hay dos palomas durmiendo juntas. </li></ul><ul><li>Sea a>0 el irracional que deseamos aproximar y sean a ·m- [a ·m], m=1,2,3,…,n+1 las n palomas. </li></ul><ul><li>Dividamos el intervalo [0,1] en n partes iguales (estos son los n palomares). </li></ul><ul><li>Entonces hay dos palomas en un palomar: </li></ul>Aproximación racional Denominador al cuadrado
  8. 8. Teorema de Dirichlet, fortalezas y debilidades <ul><li>Fortalezas: Argumento muy lindo, elegante, demuestra la existencia de una infinidad de estas “buenas” aproximaciones racionales para cualquier irracional. </li></ul><ul><li>Debilidades: No nos dice como construir estas “buenas” aproximaciones… Nada mas nos antoja… </li></ul>
  9. 9. Como construir estas aproximaciones: fracciones continuadas <ul><li>Ejemplo: 19/12. </li></ul>Fracción continuada finita Notación para fracción continuada
  10. 10. Nuevo concepto: convergente <ul><li>Sabemos ya que 19/12=[1;1,1,2,2]. </li></ul><ul><li>Consideremos ahora los convergentes asociados a esta fracción continuada: </li></ul><ul><li>Observemos ahora que: </li></ul><ul><li>Por lo tanto: </li></ul>
  11. 11. Observaciones <ul><li>Los convergentes se van acercando al valor de la fracción continuada asociada. </li></ul><ul><li>Lo hacen “acorralando” al valor de la fracción continuada: los convergentes pares por abajo, y los impares por arriba. </li></ul><ul><li>Esto no lo hemos demostrado, solo sugerido, pero se demuestra en el m ó dulo que se entregar á . </li></ul>
  12. 12. Otras observaciones <ul><li>A cada racional le corresponde una sola fracción continuada finita, y cada fraccion continuada finita representa a un solo racional. </li></ul><ul><li>Quizás podríamos hacer algo similar con los irracionales. </li></ul>
  13. 13. Fracciones continuadas infinitas <ul><li>Sea α un irracional positivo. </li></ul>Parte entera de Parte entera de <ul><li>Hagamos un ejemplo interesante: π. </li></ul>
  14. 14. Fracción continuada de π
  15. 15. Observaciones <ul><li>Los convergentes de las fracciones continuadas infinitas asociadas a un irracional son las “buenas” aproximaciones racionales que el teorema de Dirichlet nos asegura existen. </li></ul><ul><li>De hecho, es posible demostrar que si una aproximación es “buena”, entonces es un convergente de la fracción continuada. Para mas detalles, ver el m ó dulo. </li></ul>
  16. 16. Volvamos al problema original <ul><li>Recordemos que el problema que nos arrastro en esta dirección es: </li></ul>Representa el numero de notas en la escala. <ul><li>Ya sabemos que las buenas aproximaciones son los convergentes, así que… </li></ul>
  17. 17. Fracción continuada de log(3)/log(2)
  18. 18. Observaciones <ul><li>Tienen que haber 12 notas en la escala. </li></ul><ul><li>5 son muy pocas, resulta en música aburrida (escala penta tónica, música oriental). </li></ul><ul><li>41 notas son demasiadas, ni un pulpo podría tocar el piano. </li></ul>
  19. 19. Otro ejemplo interesante: la razón áurea <ul><li>Razón áurea: </li></ul><ul><li>La razón áurea es solución de: </li></ul><ul><li>Observemos entonces que: </li></ul>
  20. 20. Ú ltimas observaciones <ul><li>Hemos visto que el deseo de recorrer el circulo de quintas y el de cerrar la escala en la octava son irreconciliables. El mejor compromiso es la escala de 12 notas. </li></ul><ul><li>Sin embargo, no hemos discutido como vamos a corregir la escala de 12 notas para que cierre en la octava. ¿ Ponemos toda la corrección en la ultima nota? ¿ C ó mo hacemos? </li></ul>
  21. 21. Temperamentos de la escala musical <ul><li>Durante siglos, matemáticos y músicos han propuesto muchas soluciones a este problema. Una de ellas se llama la escala bien atemperada , y Bach le dedico a esta solución en el clavecín una serie de composiciones: El clavecín bien atemperado. </li></ul><ul><li>La solución moderna es la escala equi-atemperada: </li></ul><ul><li>La escala moderna permite transposiciones arbitrarias, sin que cambie el temperamento de la composición. </li></ul>

×