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Resumen etapas de la historia

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Resumen etapas de la historia

  1. 1. Puedes estudiar la historia de dos formas, bien cronológicamente, bien a través desus distintas ramas.Cronológicamente, esta historia podría dividirse en cuatro grandes bloques según laperiodicidad establecida por A.N. Kolmogorov:a) Nacimiento de las matemáticas: Este periodo se prolonga hasta los siglos VI-V a.C. cuando lasmatemáticas se conviertesn en una ciencia independiente con objeto y metodología propios. Tambiénpodría denominarse matemáticas antiguas o prehelénicas y en ella se suelen englobar las matemáticas delas antiguas civilizaciones de Egipto, Mesopotamia, China e India. Grecia estaría situada a caballo entreeste periodo y el siguiente.b) Periodo de las matemáticas elementales: A continuación del anterior, se prolonga desde los siglosVI-V a.C. hasta finales del siglo XVI. Durante este periodo se obtuvieron grandes logros en el estudio delas matemáticas constantes, comenzando a desarrollarse la geometría analítica y el análisis infinitesimal.c) Periodo de formación de las matemáticas de magnitudes variables: El comienzo de es periodo estárepresentado por la introducción de las magnitudes variables en la geometría analítica de Descartes y lacreación del cálculo diferencial e integral en los trabajos de I. Newton y G.V. Leibniz. En el transcurso deeste periodo se formaron casi todas las disciplinas conocidas actualmente, así como los fundamentosclásicos de las matemáticas contemporáneas. Este periodo se extendería aproximadamente hastamediados del siglo XIX.d) Periodo de las matemáticas contemporáneas: En proceso de creación desde mediados del siglo XIX.En este periodo el volumen de las formas espaciales y relaciones cuantitativas abarcadas por los métodosde las matemáticas han aumentado espectacularmente, e incluso podríamos decir exponencialmente desdela llegada del ordenador.Las distintas ramas que analizaremos son:a) Álgebra y Aritmética.b) Análisis Matemático.c) Geom NACIMIENTO: HASTA VI-V a.C.El concepto de número surgió como consecuencia de la necesidad práctica de contarobjetos. Inicialmente se contaban con ayuda de los medios disponibles: dedos, piedras...(basta recordar por ejemplo, que la palabra cálculo deriva de la palabra latina calculusque significa contar con piedras). La serie de números naturales era, obviamente,limitada, pero la conciencia sobre la necesidad de ampliar el conjunto de númerosrepresenta ya una importante etapa en el camino hacia la matemática moderna.Paralelamente a la ampliación de los números se desarrolló su simbología y los sistemasde numeración, diferentes para cada civilización.Estudiaremos cuatro culturas o civilizaciones, localizadas en esta misma página: • Antigua Civilización Egipcia • Mesopotamia o Antigua Babilonia • China Antigua • India Antigua • Grecia Clásica
  2. 2. ANTIGUA CIVILIZACIÓN EGIPCIA. La información disponible sobre lacivilización desarrollada a lo largo del Nilo es, lo suficientemente fiable, como para serconsiderada la primera civilización que alcanzó un cierto desarrollo matemático.Nuestros conocimientos sobre las matemáticas del Antiguo Egipto se basanprincipalmente en dos grandes papiros de carácter matemático y algunos pequeñosfragmentos, así como en las inscripciones en piedra encontradas en tumbas y templos.Desarrollaron el llamado "sistema de numeración jeroglífico", que consistía endenominar cada uno de los "números clave" (1, 10, 100, 1000...) por un símbolo (palos,lazos, figuras humanas en distintas posiciones...). Los demás números se formabanañadiendo a un número u otro del número central uno o varios de estos números clave.Un sistema de numeración posterior a éste, pero de similares características sería elsistema de numeración romano. También crearon fracciones, pero sólo como divisoresde la unidad, esto es, de la forma 1/n; el resto de fracciones se expresaban siempre comocombinaciones de estas fracciones. Aparecen también los primeros métodos deoperaciones matemáticas, todos ellos con carácter aditivo, para números enteros yfracciones.Algebraicamente se resuelven determinadas ecuaciones de la forma x+ax=b donde laincógnita x se denominaba "montón". En geometría los avances en el cálculo de áreas yvolúmenes, encontraron, por ejemplo, para el área del círculo un valor aproximado delnúmero pi de 31605. Sin embargo el desarrollo geométrico adolece de falta de teoremasy demostraciones formales. También encontramos rudimentos de trigonometría ynociones básicas de semejanza de triángulos.MESOPOTAMIA O ANTIGUA BABILONIA. Bajo esta denominación se englobanlos Estados situados entre el Tigris y el Eufrates y que existieron desde el año 2000 a.C.hasta el año 200 a.C. Actualmente la información sobre esta civilización (en cuanto amatemáticas se refiere) es mucho mayor que la existente sobre la civilización egipcia,debido a que en lugar de papiros, utilizaban escritura cuneiforme sobre tablillas dearcilla, mucho más resistentes al paso del tiempo. De las más de 100.000 tablillasconservadas, sólo 250 tienen contenidos matemáticos y de ellas apenas 50 tienen texto.Al igual que sucede con los papiros, las tablillas contienen únicamente problemasconcretos y casos especiales, sin ningún tipo de formulación general, lo que no quieredecir que no existiera, pues es evidente, que tales colecciones de problemas no pudierondeberse al azar.Utilizaron el sistema de numeración posicional sexagesimal, carente de cero y en el queun mismo símbolo podía representar indistintamente varios números que sediferenciaban por el enunciado del problema. Desarrollaron un eficaz sistema denotación fraccionario, que permitió establecer aproximaciones decimalesverdaderamente sorprendentes. Esta evolución y simplificación del método fraccionariopermitió el desarrollo de nuevos algoritmos que se atribuyeron a matemáticos de épocasposteriores, baste como ejemplo el algoritmo de Newton para la aproximación de raícescuadradas.Desarrollaron el concepto de número inverso, lo que simplificó notablemente laoperación de la división.Encontramos también en esta época los primeros sistemas de dos ecuaciones con dosincógnitas; pero sin duda la gran aportación algebraica babilónica se centra en el campo
  3. 3. de la potenciación y en la resolución de ecuaciones cuadráticas, tanto es así que llegarona la solución para ecuaciones de la forma x2+px=q, p>0, q>0 y también ax2+bx=cmediante el cambia de variable t=ax. Efectuaron un sin fin de tabulaciones queutilizaron para facilitar el cálculo, por ejemplo de algunas ecuaciones cúbicas. Eldominio en esta materia era tal, que incluso desarrollaron algorítmos para el cálculo desumas de progresiones, tanto aritméticas como geométricas. Su capacidad deabstracción fue tal que desarrollaron muchas de las que hoy se conocen comoecuaciones diofánticas, algunas de las cuales están íntimamente unidas con conceptosgeométricos, terreno éste, en el que también superaron a la civilización egipcia,constituyendo los problemas de medida el bloque central en este campo: área delcuadrado, del círculo (con una no muy buena aproximación de pi igual a 3), volúmenesde determinados cuerpos, semejanza de figuras, e incluso hay autores que afirman queesta civilización conocía el teorema de Pitágoras aplicado a problemas particulares,aunque no, obviamente, como principio general.CHINA ANTIGUA. Aunque la civilización china es cronológicamente comparable alas civilizaciones egipcia y mesopotámica, los registros existentes son bastante menosfiables. La primera obra matemática es "probablemente" el Chou Pei (horas solares)¿1200 a.C.? y junto a ella la más importante es "La matemática de los nueve libros" o delos nueve capítulos. Esta obra, de carácter totalmente heterogéneo, tiene la forma depergaminos independientes y están dedicados a diferentes temas de caráctereminentemente práctico formulados en 246 problemas concretos, a semejanza de losegipcios y babilónicos y a diferencia de los griegos cuyos tratados eran expositivos,sistemáticos y ordenados de manera lógica. Los problemas resumen un compendio decuestiones sobre agricultura, ingeniería, impuestos, cálculo, resolución de ecuaciones ypropiedades de triángulos rectángulos.El sistema de numeración es el decimal jeroglífico. Las reglas de las operaciones son lashabituales, aunque destaca como singularidad, que en la división de fracciones se exigela previa reducción de éstas a común denominador. Dieron por sentado la existencia denúmeros negativos, aunque nunca los aceptaron como solución a una ecuación. Lacontribución algebraica más importante es, sin duda, el perfeccionamiento alcanzado enla regla de resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Para todos los sistemas seestablece un método genérico de resolución muy similar al que hoy conocemos comométodo de Gauss, expresando incluso los coeficientes en forma matricial,tranformándolos en ceros de manera escalonada. Inventaron el "tablero de cálculo",artilugio consistente en una colección de palillos de bambú de dos colores (un color paraexpresar los números positivos y otro para los negativos) y que podría ser consideradocomo una especie de ábaco primitivo.Esta orientación algorítmica de las matemáticas en la China Antigua, se mantiene hastamediados del siglo XIV debido fundamentalmente a las condiciones socio-económicasde esta sociedad. Con el desarrollo del "método del elemento celeste" se culminó eldesarrollo del álgebra en China en la edad media. Este método, desarrollado por ChouShi Hié, permitía encontrar raíces no sólo enteras, sino también racionales, e inclusoaproximaciones decimales para ecuaciones de la forma Pn(x)=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+ao .El método del elemento celeste es equivalente al que en Occidente denominamos"método de Horner", matemático que vivió medio siglo más tarde. Otro gran logro de laépoca medieval fue la suma de progresiones desarrollado por Chon Huo (s. XI) y Yang
  4. 4. Hui (s.XIII). Unido a estas sumas de progresiones se establecieron elementos sólidos enla rama de la combinatoria, construyendo el llamado "espejo precioso" de manerasimilar al que hoy conocemos como triángulo de Tartaglia o Pascal.No se puede decir que la geometría fuese el punto fuerte de la cultura china, limitándoseprincipalmente a la resolución de problemas sobre distancias y semejanzas de cuerpos.Aproximadamente a mediados del siglo XIV comenzó en China un largo periodo deestancamiento.INDIA ANTIGUA. Son muy escasos los documentos de tipo matemático que hanllegado a nuestras manos, pese a tener constancia del alto nivel cultural de estacivilización. Aun más que en el caso de China, existe una tremenda falta de continuidaden la tradición matemática hindú y al igual que ocurría con las tres civilizacionesanteriores, no existe ningún tipo de formalismo teórico. Los primeros indiciosmatemáticos se calculan hacia los siglos VIII-VII a.C, centrándose en aplicacionesgeométricas para la construcción de edificios religiosos y también parece evidente quedesde tiempos remotos utilizaron un sistema de numeración posicional y decimal. Fue,sin embargo, entre los siglos V-XII d.C cuando la contribución a la evolución de lasmatemáticas se hizo especialmente interesante, destacando cuatro nombres propios:Aryabhata (s.VI), Brahmagupta (s.VI), Mahavira (s. IX) y Bhaskara Akaria (s.XII). Lacaracterística principal del desarrollo matemático en esta cultura, es el predominio delas reglas aritméticas de cálculo, destacando la correcta utilización de los númerosnegativos y la introducción del cero, llegando incluso a aceptar como números validoslas números irracionales. Profundizaron en la obtención de reglas de resolución deecuaciones lineales y cuadráticas, en las cuales las raíces negativas eran interpretadascomo deudas. Desarrollaron también, sin duda para resolver problemas astronómicos,métodos de resolución de ecuaciones diofánticas, llegando incluso a plantear y resolver(s.XII) la ecuación x2=1+ay2, denominada ecuación de Pelt. Como resumen acabaremosdiciendo que en la historia de la India se encuentran suficientes hechos que ponen enevidencia la existencia de relaciones políticas y económicas con los estados griegos,egipcios, árabes y con China. Matemáticamente se considera indiscutible la procedenciahindú del sistema de numeración decimal y las reglas de cálculo.GRECIA La actividad intelectual de las civilizaciones desarrolladas en Egipto yMesopotamia, ya había perdido casi todo su impulso mucho antes que comenzara la EraCristiana, pero a la vez que se acentuaba este declive, surgían con una fuerzaindescriptible nuevas culturas a lo largo de todo el Mediterráneo; y de entre ella, lacultura helénica fue la principal abanderada en el terreno cultural. Tanto es así, que lascivilizaciones anteriores a la Antigua Grecia se conocen como culturas prehelénicas.El helenismo nunca logró la unidad, ni en su época de máximo apogeo ni cuando fueamenazado con la destrucción. Ahora bien, en menos de cuatro siglos, de Tales deMileto a Euclides de Alejandría, y lo hayan querido o no los pensadores griegos, rivalesde ciudades o de escuelas, construyeron un imperio invisible y único cuya grandezaperdura hasta nuestros días. Este logro insólito se llama MATEMÁTICAS.
  5. 5. Salvo excepciones, los productores se agrupaban en escuelas. En los matemáticos deesta época los problemas prácticos relacionados con las necesidades de cálculosaritméticos, mediciones y construcciones geométricas continuaron jugando un granpapel. Sin embargo, lo novedoso era, que estos problemas poco a poco se desprendieronen una rama independiente de las matemáticas que obtuvo la denominación de"logística". A la logística fueron atribuidas: las operaciones con números enteros, laextracción numérica de raíces, el cálculo con la ayuda de dispositivos auxiliares, cálculocon fracciones, resolución numérica de problemas que conducen a ecuaciones de 1er y 2ºgrado, problemas prácticos de cálculo y constructivos de la arquitectura, geometría,agrimensura, etc...Al mismo tiempo ya en la escuela de Pitágoras se advierte un proceso de recopilaciónde hechos matemáticos abstractos y la unión de ellos en sistemas teóricos. Así porejemplo, de la aritmética fue separada en una rama independiente la teoría de números,es decir, el conjunto de conocimientos matemáticos que se relacionan con laspropiedades generales de las operaciones con números naturales. En esta época yaresultaban conocidos los métodos de sumación de progresiones aritméticas simples. Seestudiaban cuestiones sobre la divisibilidad de los números; fueron introducidas lasproporciones aritméticas, geométricas y armónicas y diferentes medias: la aritmética, lageométrica y la armónica. Junto a la demostración geométrica del teorema de Pitágorasfue encontrado el método de hallazgo de la serie ilimitada de las ternas de números"pitagóricos", esto es, ternas de números que satisfacen la ecuación a2+b2=c2.En este tiempo transcurrieron la abstracción y sistematización de las informacionesgeométricas. En los trabajos geométricos se introdujeron y perfeccionaron los métodosde demostración geométrica. Se consideraron, en particular: el teorema de Pitágoras, losproblemas sobre la cuadratura del círculo, la trisección de un ángulo, la duplicación delcubo y la cuadratura de una serie de áreas (en particular las acotadas por líneas curvas).Se descubrió de manera tajante la irracionalidad, demostrando, por ejemplo, lairracionalidad de la raíz cuadrada de 2 por la vía de reducción al absurdo. Estedescubrimiento de la irracionalidad condujo inevitablemente a la elaboración de lateoría de la divisibilidad.La etapa siguiente se caracteriza por la necesidad de crear una teoría matemática generaltanto para los números racionales como para los irracionales. Paralelamente, alampliarse el número de magnitudes medibles, debido a los números irracionales, seoriginó una reformulación de la geometría, dando lugar al álgebra geométrica. Estanueva rama incluía entre otros conceptos el método de anexión de áreas, el conjunto deproposiciones geométricas que interpretaban las cantidades algebraicas, división áurea,expresión de la arista de un poliedro regular a través del diámetro de la circunferenciacircunscrita. Sin embargo, el álgebra geométrica estaba limitada a objetos de dimensiónno mayor que dos, siendo inaccesibles los problemas que conducían a ecuaciones detercer grado o superiores, es decir, se hacían imposibles los problemas que noadmitieran solución mediante regla y compás. La historia sobre la resolución de los tresproblemas geométricos clásicos (sobre la cuadratura del círculo, la trisección de unángulo, la duplicación del cubo) está llena de anécdotas, pero lo cierto es que comoconsecuencia de ellos surgieron, por ejemplo, las secciones cónicas, cálculo aproximadodel número pi, el método de exhaución como predecesor del cálculo de límites o laintroducción de curvas trascendentes. Asimismo, el surgimiento de la irracionalidad
  6. 6. condicionó la necesidad de creación de una teoría general de las relaciones, teoría cuyofundamento inicial lo constituyó el algoritmo de Euclides.Construcción axiomática de las Matemáticas. Las primeras teorías matemáticas quese abstrajeron de los problemas concretos o de un conjunto de problemas de un mismotipo, crearon las condiciones necesarias y suficientes para el reconocimiento de laautonomía y especificidad de las matemáticas.El carácter abstracto del objeto de las matemáticas y los métodos de demostraciónmatemática establecidos, fueron las principales causas para que esta ciencia secomenzara a exponer como una ciencia deductiva, que a partir de unos axiomas,presenta una sucesión lógica de teoremas. Las obras en las cuales, en aquella época seexponían los primeros sistemas matemáticos de denominaban "Elementos". Seencuentran elementos pertenecientes a muchos autores, sin embargo todos ellos hanquedado relegados a un segundo plano tras una de las obras matemáticas másimpresionante de la historia: Los Elementos de Euclides. "Los Elementos", comodenominaremos a esta obra a partir de ahora, están constituidos por trece libros, cadauno de los cuales consta de una sucesión de teoremas. A veces se añaden otros dos, loslibros 14 y 15 que pertenecen a otros autores pero por su contenido, están próximos alúltimo libro de Euclides.Métodos infinitesimales. En la construcción de las teorías matemáticas en la GreciaAntigua, muy temprano se específico una clase específica de problemas para la soluciónde los cuales, era necesario investigar los pasos al límite, los procesos infinitos, lacontinuidad ...Algunos grupos de científicos antiguos buscan la salida de estas dificultades en laaplicación a la matematica de las ideas filosóficas atomicistas. El ejemplo más notablelo constituye Demócrito. Igualmente florecieron teorías totalmente contrarias a estaconcepción. Tengamos en cuenta, por ejemplo, las paradojas de Zenón. Otro de losmétodos más antiguos de este género es el método de exhaución, atribuido a Euxodo yaplicable al cálculo de áreas de figuras, volúmenes de cuerpos, longitud de curvas,búsqueda de subtangentes... Con el método se demuestra la unicidad del límite, pero nose soluciona el problema sobre la existencia de límite; aun así se considera la primeraforma del método de límites.Los métodos infinitesimales en la Antigua Grecia, sirvieron de punto de partida paramuchas investigaciones de los matemáticos de los siglos XVI y XVII. particularmentese estudiaban los métodos de Arquímedes, en especial aquellos referidos al cálculo devolúmenes. El propio Leibniz escribió que "estudiando los trabajos de Arquímedescesas de admirar los éxitos de los matemáticos actuales".Durante la época de Euclides y Arquímedes, las matemáticas cambiaron fuertemente,tanto en su forma como en su contenido, haciendo el proceso de formación de nuevasteorías más pausado, hasta llegar a interrumpirse. Entre las nuevas teorías desarrolladasocupa el primer lugar la teoría de las secciones cónicas, que surgió de las limitacionesdel álgebra geométrica. El interés hacia las secciones cónicas creció a medida queaumentaban la cantidad de problemas resueltos con su ayuda. Sin duda, la obra máscompleta, general y sistemática de las secciones cónicas se debe a Apolonio de Perga.Estos tres últimos matemáticos citados, Euclides, Arquímedes y Apolonio,
  7. 7. sobresalieron por encima de todos los de su tiempo y sus obras son las que han hechoque se denomine como "Edad de Oro" de la matemática al periodo comprendido entrelos años 300 y 200 a.C. Tras ellos se entró en un lento declive de forma que losresultados perdieron generalidad, haciéndose cada vez más particulares y especiales.En la época del dominio romano destaca la evolución en problemas de cálculo, siendonecesario señalar la "Métrica" de Herón de Alejandría, formulada en forma de recetariode reglas: regla de extracción de raíces cuadradas y cúbicas; cálculo de áreas yvolúmenes; y en especial la conocida fórmula de Herón para calcular el área deltriángulo conocidos los tres lados. Igualmente son destacables los métodos de Diofantoque encontró soluciones a más de 50 clases diferentes de ecuaciones, generalmente desegundo grado, denominadas ecuaciones diofánticas. La fase final se caracteriza por laaparición de "comentaristas" que comentaban las obras clásicas, signo evidente deldescenso de creatividad. Entre ellos citaremos a Gémines de Rodas (100 a.C), Teon deAlejandría (s. IV), Pappo de Alejandría (s. IV), Proclo (s.V) y Eutoquio (s. VI).Resumiremos afirmando que las matemáticas de la Antigua Grecia, representan uno delos primeros ejemplos del establecimiento de las matemáticas como ciencia,desarrollándose en su seno, dentro de ciertos límites, los elementos de las cienciasmatemáticas ulteriores: álgebra, análisis infinitesimal, geometría analítica, mecánicateórica y el método axiomático. MATEMÁTICAS ELEMENTALESRecordemos que este periodo abarca un enorme periodo de tiempo, alrededor de 2000años, desde los siglos VI-V a.C. hasta el siglo XVI.En el año 529 el emperador Justiniano cerró las escuelas griegas, pese a lo cual laciencia griega siguió presentando una cierta unidad. En el siglo VII el pensamientocientífico griego, ampliamente difundido, si bien no produce ya obras originales, seencuentra ampliamente confrontado a otras tradiciones. En estas condiciones surgen losárabes, creando un imperio tan extenso como sorprendente. Las condiciones de vidaeconómicas y políticas que se formaron, favorecieron el desarrollo de las matemáticas,exigido por las necesidades del Estado, la irrigación, las construcciones, el comercio yla artesanía, desarrollándose en el arsenal de los matemáticos árabes, muchosprocedimientos de cálculo y algorítmos especiales.En el continente europeo, las matemáticas no tienen tan antiguo origen como enmuchos países del Medio y Lejano Oriente, alcanzando sólo éxitos notorios en la épocadel Medievo desarrollado y especialmente en el Renacimiento. • Imperio Musulmán • Europa Medieval y Renacimiento MATEMÁTICAS DE LAS VARIABLES: SIGLOS XVI, XVII Y XVIII
  8. 8. Estudiaremos independientemente cada uno de estos siglos: • Siglo XVI • Siglo XVII • Siglo XVIIISIGLO XVIA finales del siglo XVI, Europa Occidental había recuperado ya, la mayor parte de lasobras matemáticas más importantes de la antigüedad que se han conservado hastanuestros días. Por otra parte, el álgebra árabe, había sido asimilada y superada,introduciendo un cierto simbolismo y la trigonometría, se había convertido en unadisciplina independiente. La época estaba ya casi madura, para llevar a cabo ciertosavances que superaran las contribuciones tanto antiguas, como medievales yrenacentistas. Pero la transición del Renacimiento al mundo moderno, se hizo también através de un considerable número de figuras intermedias: Galileo, Cavalieri, Briggs,Neper, Kepler y Viète entre otros.SIGLO XVIIDurante el siglo XVII cambió la forma de existencia de las matemáticas. En sustituciónde los solitarios entusiastas, aparecieron las organizaciones científicas como lasAcademias de Londres y París, comenzando la organización de las instituciones ysociedades científicas, que se convirtieron en una forma fructífera de trabajo en equipode los científicos. También comenzaron durante este siglo las publicaciones periódicas.Sin embargo se produjo un cambio muy importante en la concepción de lasmatemáticas, complementando el estudio de los números y demás magnitudesconstantes, con el estudio de los movimientos y transformaciones. En este siglo escuando tienen comienzo todas o casi todas las disciplinas matemáticas: • Geometría Analítica. • Métodos Integrales. • Métodos Diferenciales. • Análisis Infinitesimal. • Cálculo de Probabilidades.
  9. 9. SIGLO XVIIIDurante el siglo XVIII la elaboración científica y matemática se centró casiexclusivamente en Europa. Gradualmente fue creciendo el papel de los centrossuperiores de enseñanza, haciéndose particularmente notable hacia finales de siglo conla revolución francesa.Se podría decir que el siglo XVIII fue un tramite entre los siglos XVII, cuando seinventaron la geometría analítica y el cálculo infinitesimal y el siglo XIX, origen delrigor matemático y espectador de lujo del brillante florecimiento de la geometría.Los matemáticos más importantes de la época fueron casi todos franceses: Monge,Lagrange, DAlembert, Laplace, legendre, Carnot y Condorcet. las dos grandísimasexcepciones a esta lista fueron Euler y Gauss.. Se completó igualmente, el conjunto de las disciplinas geométricas y, además de la yadesarrollada geometría analítica, se formaba a finales de siglo la geometría descriptiva yse profundizaba en el estudio de la perspectiva. Estudiemos por separado el desarrollode estas disciplinas: • Análisis Infinitesimal • Análisis Matemático. o Cálculo Diferencial. o Cálculo Integral. o Ecuaciones Diferenciales • Cálculo de Variaciones. • Desarrollo de la Geometría. o Geometría Analítica. o Geometría Diferencial. o Geometría Descriptiva y Proyectiva. • Análisis Numérico. • Teoría de Probabilidades. MATEMÁTICAS CONTEMPORÁNEASSIGLO XIX
  10. 10. El siglo XIX merece ser llamado más que ningún otro periodo anterior la edad de Orode la Matemática. Los progresos realizados durante este siglo superan con mucho, tantoen calidad como en cantidad, la producción reunida de todas las épocas anteriores. estesiglo fue también, con la excepción de la época Heroica de la Antigua Grecia, el másrevolucionario de la historia de la Matemática.Las particularidades del nuevo periodo se manifiestan ya nada más comenzar el siglo.En álgebra hay que tener en cuenta los trabajos de Abel y Galois sobre la resolución deecuaciones algebraicas en radicales. Ellos promovieron a un primer lugar en el álgebrauna serie de conceptos generales muy abstractos, entre los cuales merece el primer lugarel concepto de grupo.El descubrimiento en los años 20-30 por Lobachevski y también por J. Bolyai y Gaussde los hechos fundamentales de la geometría hiperbólica no euclideana y en los años 60-70 la búsqueda de sus interpretaciones, provocaron en el sistema de cienciasgeométricas transformaciones de carácter revolucionario. El sistema de disciplinas queforman parte del análisis matemático, sufrió en sus fundamentos una muy profundareconstrucción sobre la base de la creada teoría de límites y la teoría del número real. Afinales de siglo, los recursos del análisis se complementaban con lo que ya se ha venidoa llamar aparato epsilon, delta. Junto a este desarrollo del análisis matemático clásico, sesepararon de él disciplinas matemáticas independientes: la teoría de ecuacionesdiferenciales, la teoría de funciones de variable real y la teoría de funciones de variablecompleja. Antes de estudiar estos aspectos más detalladamente citemos tres rasgos quetienen un carácter general para la mayoría de las ciencias matemáticas: 1. En primer lugar debe tenerse en cuenta la ampliación del contenido del objeto de las matemáticas, debido fundamentalmente a las exigencias crecientes de las ciencias afines. 2. En segundo lugar la necesidad de fundamentar las matemáticas en su conjunto, produciéndose una revisión crítica de los conceptos primarios y afirmaciones. 3. La tercera particularidad es la ampliación considerable del campo de aplicaciones, condicionado por el aumento de posibilidades del aparato del análisis matemático. • Álgebra Moderna. o Teoría General de Ecuaciones Algebraicas. o Teoría de Grupos. o Álgebra Lineal. • Análisis Matemático. o Teoría de Límites. o Teoría de Funciones. o Teoría de Número Real y Teoría de Conjuntos. • Teoría de las funciones de variable compleja.
  11. 11. • Transformación de la geometría. LA ARITMETICALa aritmética será la ciencia que se ocupa de los objetos concretos, esto es, de los números. Encambio el Álgebra es, en esencia, la doctrina de las operaciones matemáticas analizadas desdeun punto de vista abstracto y genérico, independientemente de los números o objetosconcretos.El concepto de número surgió como consecuencia de la necesidad práctica de contarobjetos. Inicialmente se contaban con ayuda de los medios disponibles: dedos, piedras...(basta recordar por ejemplo, que la palabra cálculo deriva de la palabra latina calculusque significa contar con piedras). La serie de números naturales era, obviamente,limitada, pero la conciencia sobre la necesidad de ampliar el conjunto de númerosrepresenta ya una importante etapa en el camino hacia la matemática moderna.Paralelamente a la ampliación de los números se desarrolló su simbología y los sistemasde numeración, diferentes para cada civilización.Los egipcios desarrollaron el llamado "sistema de numeración jeroglífico", que consistía endenominar cada uno de los "números clave" (1, 10, 100, 1000...) por un símbolo (palos, lazos,figuras humanas en distintas posiciones...). Los demás números se formaban añadiendo a unnúmero u otro del número central uno o varios de estos números clave. Un sistema denumeración posterior a éste, pero de similares características sería el sistema de numeraciónromano.También crearon fracciones, pero sólo como divisores de la unidad, esto es, de la forma1/n; el resto de fracciones se expresaban siempre como combinaciones de estasfracciones.Aparecen también durante la expansión de esta civilización los primeros métodos deoperaciones matemáticas, todos ellos con carácter aditivo, para números enteros yfracciones.Algebraicamente se resuelven determinadas ecuaciones de la forma x+ax=b donde laincógnita x se denominaba "montón".En la civilización mesopotámica utilizaron el sistema de numeración posicionalsexagesimal, carente de cero y en el que un mismo símbolo podía representarindistintamente varios números que se diferenciaban por el enunciado del problema.Desarrollaron un eficaz sistema de notación fraccionario, que permitió estableceraproximaciones decimales verdaderamente sorprendentes. Esta evolución ysimplificación del método fraccionario permitió el desarrollo de nuevos algoritmos quese atribuyeron a matemáticos de épocas posteriores, baste como ejemplo el algoritmo deNewton para la aproximación de raíces cuadradas.
  12. 12. Desarrollaron el concepto de número inverso, lo que simplificó notablemente laoperación de la división.Encontramos también en esta época los primeros sistemas de dos ecuaciones con dosincógnitas; pero sin duda la gran aportación algebraica babilónica se centra en el campode la potenciación y en la resolución de ecuaciones cuadráticas, tanto es así que llegarona la solución para ecuaciones de la forma y también mediante el cambio de variablet=ax. Efectuaron un sin fin de tabulaciones que utilizaron para facilitar el cálculo, porejemplo de algunas ecuaciones cúbicas. El dominio en esta materia era tal, que inclusodesarrollaron algorítmos para el cálculo de sumas de progresiones, tanto aritméticascomo geométricas.Su capacidad de abstracción fue tal que desarrollaron muchas de las que hoy se conocencomo ecuaciones Diofánticas, algunas de las cuales están íntimamente unidas conconceptos geométricos.En la Antigua Civilización China el sistema de numeración es el decimal jeroglífico.Las reglas de las operaciones son las habituales, aunque destaca como singularidad, queen la división de fracciones se exige la previa reducción de éstas a común denominador.Dieron por sentado la existencia de números negativos, aunque nunca los aceptaroncomo solución a una ecuación.La contribución algebraica más importante es, sin duda, el perfeccionamiento alcanzadoen la regla de resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Para todos los sistemas seestablece un método genérico de resolución muy similar al que hoy conocemos comométodo de Gauss, expresando incluso los coeficientes en forma matricial,tranformándolos en ceros de manera escalonada.Inventaron el "tablero de cálculo", artilugio consistente en una colección de palillos debambú de dos colores (un color para expresar los números positivos y otro para losnegativos) y que podría ser considerado como una especie de ábaco primitivo.Esta orientación algorítmica de las matemáticas en la China Antigua, se mantiene hastamediados del siglo XIV debido fundamentalmente a las condiciones socio-económicasde esta sociedad. Con el desarrollo del "método del elemento celeste" se culminó eldesarrollo del álgebra en China en la edad media. Este método, desarrollado por ChouShi Hié, permitía encontrar raíces no sólo enteras, sino también racionales, e inclusoaproximaciones decimales para ecuaciones de la forma . El método del elemento celestees equivalente al que en Occidente denominamos "método de Horner", matemático quevivió medio siglo más tarde.Otro gran logro de la época medieval fue la suma de progresiones desarrollado porChon Huo (s. XI) y Yang Hui (s.XIII). Unido a estas sumas de progresiones seestablecieron elementos sólidos en la rama de la combinatoria, construyendo el llamado"espejo precioso" de manera similar a lo que hoy conocemos como triángulo deTartaglia o Pascal.
  13. 13. Los primeros indicios matemáticos de la civilización india se calculan hacia lossiglos VIII-VII a.C. y parece evidente que desde tiempos remotos utilizaron un sistemade numeración posicional y decimal.Fue, sin embargo, entre los siglos V-XII d.C. cuando la contribución a la evolución delas matemáticas se hizo especialmente interesante, destacando cuatro nombres propios:Aryabhata (s.VI), Brahmagupta (s.VI), Mahavira (s. IX) y Bhaskara Akaria (s.XII).La característica principal del desarrollo matemático en esta cultura, es el predominio delas reglas aritméticas de cálculo, destacando la correcta utilización de los númerosnegativos y la introducción del cero, llegando incluso a aceptar como números validoslos números irracionales. Profundizaron en la obtención de reglas de resolución deecuaciones lineales y cuadráticas, en las cuales las raíces negativas eran interpretadascomo deudas. Desarrollaron también, sin duda para resolver problemas astronómicos,métodos de resolución de ecuaciones diofánticas, llegando incluso a plantear y resolver(s.XII) la ecuación , denominada ecuación de Pelt.Matemáticamente se considera indiscutible la procedencia hindú del sistema denumeración decimal y las reglas de cálculo.El helenismo nunca logró la unidad, ni en su época de máximo apogeo ni cuando fueamenazado con la destrucción. Ahora bien, en menos de cuatro siglos, de Tales deMileto a Euclides de Alejandría, y lo hayan querido o no los pensadores griegos, rivalesde ciudades o de escuelas, construyeron un imperio invisible y único cuya grandezaperdura hasta nuestros días. Este logro insólito se llama MATEMÁTICAS.En los matemáticos de la época helénica los problemas prácticos relacionados con lasnecesidades de cálculos aritméticos, mediciones y construcciones geométricascontinuaron jugando un gran papel. Sin embargo, lo novedoso era, que estos problemaspoco a poco se desprendieron en una rama independiente de las matemáticas que obtuvola denominación de "logística". A la logística fueron atribuidas: las operaciones connúmeros enteros, la extracción numérica de raíces, el cálculo con la ayuda dedispositivos auxiliares, cálculo con fracciones, resolución numérica de problemas queconducen a ecuaciones de 1er y 2º grado, problemas prácticos de cálculo y constructivosde la arquitectura, geometría, agrimensura, etc...Al mismo tiempo ya en la escuela de Pitágoras se advierte un proceso de recopilaciónde hechos matemáticos abstractos y la unión de ellos en sistemas teóricos. Así porejemplo, de la aritmética fue separada en una rama independiente la teoría de números,es decir, el conjunto de conocimientos matemáticos que se relacionan con laspropiedades generales de las operaciones con números naturales. En esta época yaresultaban conocidos los métodos de sumación de progresiones aritméticas simples. Seestudiaban cuestiones sobre la divisibilidad de los números; fueron introducidas lasproporciones aritméticas, geométricas y armónicas y diferentes medias: la aritmética, lageométrica y la armónica. Fue encontrado el método de hallazgo de la serie ilimitada delas ternas de números "pitagóricos", esto es, ternas de números que satisfacen laecuación a2+b2=c2.
  14. 14. Se descubrió de manera tajante la irracionalidad, demostrando, por ejemplo, lairracionalidad de la raíz cuadrada de 2 por la vía de reducción al absurdo. Estedescubrimiento de la irracionalidad condujo inevitablemente a la elaboración de lateoría de la divisibilidad.La etapa siguiente se caracteriza por la necesidad de crear una teoría matemática generaltanto para los números racionales como para los irracionales. Paralelamente, alampliarse el número de magnitudes medibles, debido a los números irracionales, seoriginó una reformulación de la geometría, dando lugar al álgebra geométrica. Estanueva rama incluía entre otros conceptos el método de anexión de áreas, el conjunto deproposiciones geométricas que interpretaban las cantidades algebraicas, división áurea,expresión de la arista de un poliedro regular a través del diámetro de la circunferenciacircunscrita. Sin embargo, el álgebra geométrica estaba limitada a objetos de dimensiónno mayor que dos, siendo inaccesibles los problemas que conducían a ecuaciones detercer grado o superiores, es decir, se hacían imposibles los problemas que noadmitieran solución mediante regla y compás. La historia sobre la resolución de los tresproblemas geométricos clásicos (sobre la cuadratura del círculo, la trisección de unángulo, la duplicación del cubo) está llena de anécdotas, pero lo cierto es que comoconsecuencia de ellos surgieron, por ejemplo, las secciones cónicas, cálculo aproximadodel número pi, el método de exhaución como predecesor del cálculo de límites o laintroducción de curvas trascendentes.Asimismo, el surgimiento de la irracionalidad condicionó la necesidad de creación deuna teoría general de las relaciones, teoría cuyo fundamento inicial lo constituyó elalgoritmo de Euclides.En la época del dominio romano destaca la evolución en problemas de cálculo, siendonecesario señalar la "Métrica" de Herón de Alejandría, formulada en forma de recetariode reglas: regla de extracción de raíces cuadradas y cúbicas; cálculo de áreas yvolúmenes; y en especial la conocida fórmula de Herón para calcular el área deltriángulo conocidos los tres lados. Igualmente son destacables los métodos de Diofantoque encontró soluciones a más de 50 clases diferentes de ecuaciones, generalmente desegundo grado, denominadas ecuaciones diofánticas.Resumiremos afirmando que las matemáticas de la Antigua Grecia, representan uno delos primeros ejemplos del establecimiento de las matemáticas como ciencia,desarrollándose en su seno, dentro de ciertos límites, los elementos de las cienciasmatemáticas ulteriores: álgebra, análisis infinitesimal, geometría analítica, mecánicateórica y el método axiomático.Durante el primer siglo del Imperio Musulmán no se produjo ningún desarrollocientífico, ya que los árabes, no habían conseguido el impulso intelectual necesario,mientras que el interés por el saber en el resto del mundo, había desaparecido casicompletamente. Fue a partir de la segunda mitad del siglo VIII, cuando comenzó eldesenfrenado proceso de traducir al árabe todas las obras griegas conocidas.Se fundaron escuelas por todo el Imperio, entre las que destaca Bait Al-Hikma (Casa dela Sabiduría). Entre los miembros de esta escuela destaca un nombre propio Mohammedibn-Musa Al-Khowarizmi que escribió más de media docena de obras matemáticas y
  15. 15. astronómicas, dos de las cuales han tenido especial importancia en la historia. Laprimera de ellas está basada en una traducción árabe de Brahmagupta y en la que se dauna reproducción exacta del sistema de numeración hindú, lo que ha originado lacreencia popular de que nuestro sistema de numeración procede del árabe. El "nuevo"sistema de numeración vino a ser conocido como "el de Al-Khowarizmi" y a través dedeformaciones lingüísticas derivó en "algorismi" y después en algoritmo, término que,actualmente, posee un significado mucho más amplio. Igualmente, a través del titulo desu obra más importante, el Hisab al-jabr wa-al-muqabala, nos ha transmitido otronombre mucho más popular, la palabra "álgebra". En esta obra se estudian seis tipos deecuaciones cuadráticas, así como un sin fin de elementos griegos.Con posterioridad a Al-Khuwarizmi se desarrollaron infinidad de procedimientos decálculo y algoritmos especiales, entre ellos: • obtención del número pi con 17 cifras exactas mediante polígonos inscritos y circunscritos en la circinferencia realizada por Kashi (s. XV). Después de más de 150 años, en 1593, en Europa, Viète encontró sólo nueve cifras exactas. Hubo que esperar a fines del siglo XVI y comienzos del XVII para repetir el cálculo de Kashi. • cálculo de raíces por el método conocido actualmente como de Ruffini-Horner, posiblemente como resultado de la estrecha colaboración con los matemñaticos chinos. Además fue advertida y expresada la serie del desarrollo binomial y fue también enunciada la tabla de coeficientes binomiales. • extracción aproximada de raíces, utilizando la interpolación lineal. • sumación de progresiones aritméticas y geométricas.Asimismo, en virtud de la frecuente aplicación en los cálculos de las irracionalidades, ellímite entre los números racionales y los irracionales comenzó a difuminarse,ampliándose la concepción de número real positivo. La idea de una concepción únicadel número real obtuvo pues, en el oriente Medio cierto perfeccionamiento.Los trabajos algebraicos árabes entre los siglos IX-XV además de la resolución deecuaciones de primer y segundo grado, incluían también las ecuaciones cúbicas. A estasúltimas conducían diferentes tipos de problemas como la división de la esfera por unplano, la trisección del ángulo, la búsqueda del lado de un polígono regular de 9 lados...Otra dirección en la resolución de ecuaciones cúbicas, se basaba en la obtención de laimagen geométrica de la raíz positiva, por medio de la intersección de seccionescónicas, convenientemente elegidas. Sin embargo el gran defecto del álgebra de estaépoca era la ausencia de una simbología, lo que contuvo el desarrollo del álgebra.En el continente europeo, las matemáticas no tienen un origen tan antiguo como enmuchos países del Lejano y Medio Oriente, alcanzando sólo éxitos notorios en la épocadel medievo desarrollado y especialmente en el Renacimiento.
  16. 16. El punto de arranque de las matemáticas en Europa fue la creación de los centros deenseñanza. Con anterioridad, tan solo algunos monjes se dedicaron a estudiar las obras deciencias naturales y matemáticas de los antiguos. Uno de los primeros centros de enseñanzafue organizado en Reims (Francia) por Gerberto (Silvestre II) (940-1003). Fue posiblemente elprimero en Europa que enseñó el uso de los numerales indo-arábigos. Sin embargo hubo queesperar a que los musulmanes rompieran la barrera lingüística, hacia el siglo XII, para quesurgiera una oleada de traducciones que pusieran en marcha la maquinaria matemática. Eltrabajo de los traductores fue sensacional. Así Gerardo de Cremona (1114-1187) tradujo delárabe más de 80 obras.Durante el siglo XIII surgió la figura de Leonardo de Pisa (1180-1250) más conocido comoFibonacci. Alrededor del año 1202 escribió su célebre obra "Liber Abaci" (el libro del ábaco), enel que se encuentran expuestos: el cálculo de números según el sistema de numeraciónposicional; operaciones con fracciones comunes, aplicaciones y cálculos comerciales como laregla de tres simple y compuesta, la división proporcional, problemas sobre la determinaciónde calidad de las monedas; problemas de progresiones y ecuaciones; raíces cuadradas ycúbicas... Fibonacci quedó inmortalizado por la famosa "sucesión de Fibonacci" y el famosoproblema de los conejos.El profesor parisino Nicole Oresmes (1328-1382) generalizó el concepto de potencia,introduciendo los exponentes fraccionarios, las reglas de realización de las operacionescon ellos y una simbología especial, anticipándose de hecho a la idea de logaritmo.Ya en el siglo XV, Regiomontano enriqueció el concepto de número, introduciendo losradicales y las operaciones con ellos, ampliando así las posibilidades de resolución deecuaciones. Nicolo Tartaglia (1500-1557), Fiore y Scipión del Ferro (1456-1474) desarrollaronfórmulas para la búsqueda de ecuaciones de tercer grado. Pero fue Jerónimo Cardano (1501-1576) quien introdujo un método regular de resolución de ecuaciones de tercer y cuarto gradoen su obra "Ars Magna". En esta obra se expresan diversos teoremas que relacionan raíces ycoeficientes, así como la divisibilidad de un polinomio por factores (x-x1), donde x1 es raíz delpolinomio. Asimismo en esta obra se establece un notable cambio desde el álgebra literal alálgebra simbólica.Fue François Viète (1540-1603) quien dio un sistema único de símbolos algebraicosconsecuentemente organizado, gracias al cual resultó por primera vez posible, laexpresión de ecuaciones y sus propiedades mediante fórmulas generales. Vièteestableció en todo momento, una fuerte conexión entre los trabajos trigonométricos yalgebraicos, de forma que de igual manera que se le considera el creador del álgebralineal, se le podría considerar como uno de los padres del enfoque analítico de latrigonometría, esto es, la goniometría.En 1614 fue publicada por John Neper (1550-1617) la obra "Canonis mirificilogarithmorum descriptio" y en ella las primeras tablas de logaritmos de funciones
  17. 17. trigonométricas. Años más tarde, en estrecha colaboración con Henry Briggs (1561-1630) desarrollaron el sistema logarítmico decimal. La teoría de las funcioneslogarítmicas fue seguidamente desarrollada, alcanzando su culminación en los trabajosde Leonard Euler. Junto a estos avances científico-matemáticos comenzaron adesarrollarse las primeras máquinas de cálculo.Ya en pleno siglo XVII, la última parte de la famosa obra de Descartes(1596-1650) "Discursodel Método" denominada "Géometrie", detalla en su comienzo, instrucciones geométricaspara resolver ecuaciones cuadráticas, centrándose seguidamente en la aplicación del álgebra aciertos problemas geométricos. Analiza también curvas de distintos órdenes, para terminar enel tercer y último libro que compone la obra, con la construcción de la teoría general deecuaciones, llegando a la conclusión de que el número de raíces de una ecuación es igual algrado de la misma, aunque no pudo demostrarlo. Prácticamente la totalidad de la Géometrieestá dedicada a la interrelación entre el álgebra y la geometría.El desarrollo posterior de la geometría analítica, mostró que las ideas de Descartes sobrela unificación del álgebra y geometría no pudo realizarse sino que siguieron un caminoseparado aunque relacionado, de hecho durante la segunda mitad de siglo el álgebrasiguió rompiendo su hermandad con la geometría, fortaleciéndose el aparato simbólicoliteral, alcanzando gran desarrollo la teoría de ecuaciones.La teoría de números se enriqueció con las famosas investigaciones de Fermat. Enparticular a él pertenece el conocido "Gran teorema de Fermat". En el año 1665 B.Pascal formuló el principio de inducción matemática.Ya en el siglo XVIII los métodos del cálculo aritmético se enriquecieron con la aparición de loslogaritmos.La independencia de álgebra y geometría (en contra de las ideas de Descartes) continuódeterminándose ya a comienzos de siglo, cuando en 1707 vio la luz la "AritméticaUniversal" de Newton. En ella el álgebra se exponía en estrecha relación con eldesarrollo de los métodos de cálculo, relegando las cuestiones geométricas al dominiode las aplicaciones. La esencia de la obra consiste en reducir cualquier problema a laformación de una ecuación algebraica, cuya raíz es la solución del problema. Culmina ellibro con los resultados de la teoría general de ecuaciones y además la resolución gráficade éstas, mediante la construcción geométrica de las raíces. Este famoso tratadocontiene las fórmulas, para las sumas de las potencias de las raíces de una ecuaciónalgebraica, fórmulas conocidas habitualmente como "identidades de Newton". Aparecetambién un teorema que permite determinar el número de raíces reales de un polinomio,así como una regla para determinar una cota superior de las raíces positivas.Después de la Aritmética Universal de Newton, surgieron una serie de monografías,especialmente centradas en los procedimientos de resolución numérica de ecuaciones,elaboradas por Halley, Lagrange, Fourier y Maclaurin entre otros.
  18. 18. En 1768 apareció la "Aritmética Universal" de Euler, dictada por éste cuando ya estabaciego. En ella se analizan un sin fin de resultados: se generalizan las reglas deresolución de problemas aritméticos; se desarrolla el aparato simbólico-literal delálgebra; se aclaran las operaciones con números, monomios, radicales y complejos; seintroducen los logaritmos; se dan las reglas de extracción de las raíces de números y deexpresiones algebraicas polinomiales; se introducen las serie como medio de expresiónde las funciones racionales fraccionarias y binomiales con exponentes fraccionarios ynegativos de una potencia; se introducen los números poligonales, las proporciones yprogresiones, las fracciones decimales periódicas y se estudian los métodos deresolución de ecuaciones algebraicas.Así, en esencia, el álgebra se convirtió en la ciencia sobre las ecuaciones algebraicas. Enella se incluía además, la elaboración del aparato simbólico-literal necesario para laresolución de tales ecuaciones.También se profundizó en el concepto de número, produciéndose de una maneradefinitiva la admisión de los números irracionales. Igualmente se profundizó en lasreglas de operaciones con números imaginarios y complejos, pero siempre bajo lapremisa de la obtención de raíces de ecuaciones.Fue también Euler quien se ocupó de una manera definitiva de lo que hoy en díaconocemos como teoría de números. Comenzó estudiando los teoremas de Fermat, paradesarrollar a continuación todos los aspectos de esta teoría, preferentemente utilizandométodos aritméticos y algebraicos, rehuyendo en la medida de lo posible del análisisinfinitesimal. A él debemos la actual teoría de congruencias, a la que llegó tras extensostrabajos sobre la divisibilidad y tras introducir el concepto de raíz primitiva según elmódulo m.No de menor importancia que la teoría de congruencias fueron sus trabajos sobreproblemas de análisis diofántico, para cuyas necesidades elaboró y fundamentó la teoríade las fracciones continuas. Asimismo elaboró los métodos analíticos para la resoluciónde problema de la distribución de números primos, en la serie de los números naturalesy también para una serie de problemas aditivos. El primero de estos problemas fuetratado también por Legendre y Chebyshev. Para el segundo de los problemas, donde seestudia el desarrollo de los números grandes en sumandos menores, cabe destacar juntoa Euler los nombres de Waring y Lagrange.La teoría de números en el siglo XVIII, se convirtió pues, en una rama independiente,sintetizada en los trabajos de Euler, Lagrange, Legendre y Lambert entre otros,definiéndose prácticamente los principales problemas y direcciones.El siglo XIX merece ser llamado más que ningún otro periodo anterior la edad de Oro de laMatemática.Las particularidades del nuevo periodo se manifiestan ya nada más comenzar el siglo.En álgebra hay que tener en cuenta los trabajos de Abel y Galois sobre la resolución deecuaciones algebraicas en radicales. Ellos promovieron a un primer lugar en el álgebra
  19. 19. una serie de conceptos generales muy abstractos, entre los cuales merece el primer lugarel concepto de grupo, dando lugar al nacimiento del Álgebra moderna.El álgebra moderna es un campo extraordinariamente amplio y ramificado en el que serecogen un gran número de disciplinas científicas e independientes cuyo objeto comúnson las operaciones algebraicas, las cuales representan abstracciones lejanas de lasoperaciones del álgebra elemental. Estudiemos de una manera más detallada estasdisciplinas.Teoría General de las Ecuaciones algebraicas:Este fue el problema fundamental del álgebra durante el siglo XIX, entendiéndose como labúsqueda de las raíces de la ecuación con ayuda de operaciones racionales y la operación de laextracción de la raíz.En este época se introdujeron una serie de conceptos, entre ellos el concepto de grupo,que yacen en la base del álgebra moderna. Tengamos en cuenta los trabajos de K.F.Gauss, N.H. Abel y E. Galois, relativos a la demostración de la no resolubilidad enradicales de las ecuaciones de grado mayor que cinco y la creación de la teoría deGalois.Karl Friedrich Gauss hizo sus primeros descubrimientos en álgebra siendo muy joven,advirtiendo ya en 1796 la relación entre la búsqueda de raíces de la ecuación xn-1=0 y ladivisión de la circunferencia en partes iguales. Tres años más tarde demostraba elteorema fundamental del álgebra, dando en 1815, 1816 y 1849 tres nuevasdemostraciones. Recordemos que la primera formulación de este teorema, sindemostrar, fue la dada por Descartes. para la demostración de este teorema necesitóconstruir los campos de desarrollo de los polinomios.Álgebra Lineal:La historia del álgebra del siglo XIX quedaría incompleta si no atendiésemos a la formación delálgebra lineal, surgida de la teoría de los sistemas de ecuaciones lineales y relacionada con lateoría de determinantes y matrices. Durante la segunda mitad de siglo se realizaroninvestigaciones muy importantes de la teoría de los invariantes de las ecuaciones. En estecamino del desarrollo, creció la teoría de las formas que encontró aplicación además de en elálgebra, en la teoría de números, la geometría diferencial, la geometría algebraica y lamecánica.Teorías de Número Real y Teoría de Conjuntos:En el año 1872 surgieron una serie de trabajos, escritos por G. Cantor, R. Dedekind, K.Weierstrass, E. Heine y Ch. Meray cuyo único objetivo era el de dotar de una teoría rigurosa alnúmero real, problema éste considerado vital para una correcta fundamentación del análisis.Así Dedekind definió el número real como una cortadura en el conjunto de los númerosracionales, dando al conjunto de los números reales una interpretación geométrica enforma de línea recta.
  20. 20. Cantor, por su parte, identificó al número real con una sucesión convergente de númerosracionales.La creación de la teoría de conjuntos infinitos y los números transfinitos pertenecetambién a G. Cantor. Él demostró la no equivalencia de los conjuntos de númerosracionales y reales. Durante los años 1879 a 1884 elaboró de forma sistemática la teoríade conjuntos, introduciendo el concepto de potencia de un conjunto, el concepto depunto límite, de conjunto derivado... La teoría general de las potencias de conjuntos, lastransformaciones y operaciones sobre conjuntos y las propiedades de los conjuntosordenados constituyeron fundamentalmente la teoría abstracta de conjuntos.Las cuestiones de fundamentación de la teoría de conjuntos, junto con la investigaciónde los límites de su aplicación se convirtieron durante el siglo XX en una cienciaespecial, la "lógica matemática", la cual forma una parte importante de los fundamentosde las matemáticas modernas. ANÁLISIS MATEMÁTICOEn la construcción de las teorías matemáticas en la Grecia Antigua, muy temprano seespecífico una clase específica de problemas para la solución de los cuales, eranecesario investigar los pasos al límite, los procesos infinitos, la continuidad...Algunos grupos de científicos antiguos buscan la salida de estas dificultades en laaplicación a la matematica de las ideas filosóficas atomicistas. El ejemplo más notablelo constituye Demócrito. Igualmente florecieron teorías totalmente contrarias a estaconcepción. Tengamos en cuenta, por ejemplo, las paradojas de Zenón. Otro de losmétodos más antiguos de este género es el método de exhaución, atribuido a Euxodo yaplicable al cálculo de áreas de figuras, volúmenes de cuerpos, longitud de curvas,búsqueda de subtangentes... Con el método se demuestra la unicidad del límite, pero nose soluciona el problema sobre la existencia de límite; aun así se considera la primeraforma del método de límites.Los métodos infinitesimales en la Antigua Grecia, sirvieron de punto de partida paramuchas investigaciones de los matemáticos de los siglos XVI y XVII. Particularmentese estudiaban los métodos de Arquímedes, en especial aquellos referidos al cálculo devolúmenes. El propio Leibniz escribió que "estudiando los trabajos de Arquímedescesas de admirar los éxitos de los matemáticos actuales".El concepto de límite fue el primer paso, pero hubo que esperar hasta el siglo XVII, paraque los métodos integrales y diferenciales y, en esencia, el análisis infinitesimal sediferenciaran como disciplinas estructuradas dentro de las matemáticas.LA GEOMETRIA
  21. 21. La historia del origen de la Geometría es muy similar a la de la Aritmética, siendo susconceptos más antiguos consecuencia de las actividades prácticas. Los primeroshombres llegaron a formas geométricas a partir de la observación de la naturaleza.El sabio griego Eudemo de Rodas, atribuyó a los egipcios el descubrimiento de lageometría, ya que, según él, necesitaban medir constantemente sus tierras debido a quelas inundaciones del Nilo borraban continuamente sus fronteras. Recordemos que,precisamente, la palabra geometría significa medida de tierras.Los egipcios se centraron principalmente en el cálculo de áreas y volúmenes,encontrando, por ejemplo, para el área del círculo un valor aproximado de ( de 31605.Sin embargo el desarrollo geométrico adolece de falta de teoremas y demostracionesformales. También encontramos rudimentos de trigonometría y nociones básicas desemejanza de triángulos.También se tienen nociones geométricas en la civilización mesopotámica,constituyendo los problemas de medida el bloque central en este campo: área delcuadrado, del círculo (con una no muy buena aproximación de (=3), volúmenes dedeterminados cuerpos, semejanza de figuras, e incluso hay autores que afirman que estacivilización conocía el teorema de Pitágoras aplicado a problemas particulares, aunqueno, obviamente, como principio general.No se puede decir que la geometría fuese el punto fuerte de las culturas china e india,limitándose principalmente a la resolución de problemas sobre distancias y semejanzasde cuerpos. También hay quien afirma que estas dos civilizaciones llegaron aenunciados de algunos casos particulares del teorema de Pitágoras, e incluso quedesarrollaron algunas ideas sobre la demostración de este teorema.En los matemáticos de la cultura helénica los problemas prácticos relacionados con lasnecesidades de cálculos aritméticos, mediciones y construcciones geométricascontinuaron jugando un gran papel. Sin embargo, lo novedoso era, que estos problemaspoco a poco se desprendieron en una rama independiente de las matemáticas que obtuvola denominación de "logística". A la logística fueron atribuidas: las operaciones connúmeros enteros, la extracción numérica de raíces, el cálculo con la ayuda dedispositivos auxiliares, cálculo con fracciones, resolución numérica de problemas queconducen a ecuaciones de 1er y 2º grado, problemas prácticos de cálculo y constructivosde la arquitectura, geometría, agrimensura, etc...Al mismo tiempo ya en la escuela de Pitágoras se advierte un proceso de recopilaciónde hechos matemáticos abstractos y la unión de ellos en sistemas teóricos. Junto a lademostración geométrica del teorema de Pitágoras fue encontrado el método dehallazgo de la serie ilimitada de las ternas de números "pitagóricos", esto es, ternas denúmeros que satisfacen la ecuación a2+b2=c2.En este tiempo transcurrieron la abstracción y sistematización de las informacionesgeométricas. En los trabajos geométricos se introdujeron y perfeccionaron los métodos
  22. 22. de demostración geométrica. Se consideraron, en particular: el teorema de Pitágoras, losproblemas sobre la cuadratura del círculo, la trisección de un ángulo, la duplicación delcubo, la cuadratura de una serie de áreas (en particular las acotadas por líneas curvas)..Paralelamente, al ampliarse el número de magnitudes medibles, debido a la apariciónde los números irracionales, se originó una reformulación de la geometría, dando lugaral álgebra geométrica. Esta nueva rama incluía entre otros conceptos el método deanexión de áreas, el conjunto de proposiciones geométricas que interpretaban lascantidades algebraicas, división áurea, expresión de la arista de un poliedro regular através del diámetro de la circunferencia circunscrita. Sin embargo, el álgebra geométricaestaba limitada a objetos de dimensión no mayor que dos, siendo inaccesibles losproblemas que conducían a ecuaciones de tercer grado o superiores, es decir, se hacíanimposibles los problemas que no admitieran solución mediante regla y compás. Lahistoria sobre la resolución de los tres problemas geométricos clásicos (sobre lacuadratura del círculo, la trisección de un ángulo, la duplicación del cubo) está llena deanécdotas, pero lo cierto es que como consecuencia de ellos surgieron, por ejemplo, lassecciones cónicas, cálculo aproximado del número pi, el método de exhaución comopredecesor del cálculo de límites o la introducción de curvas trascendentes.Asimismo, el surgimiento de la irracionalidad condicionó la necesidad de creación deuna teoría general de las relaciones, teoría cuyo fundamento inicial lo constituyó elalgoritmo de Euclides.Las primeras teorías matemáticas que se abstrajeron de los problemas concretos o de unconjunto de problemas de un mismo tipo, crearon las condiciones necesarias y suficientes parael reconocimiento de la autonomía y especificidad de las matemáticas.El carácter abstracto del objeto de las matemáticas y los métodos de demostraciónmatemática establecidos, fueron las principales causas para que esta ciencia secomenzara a exponer como una ciencia deductiva, que a partir de unos axiomas,presenta una sucesión lógica de teoremas. Las obras en las cuales, en aquella época seexponían los primeros sistemas matemáticos de denominaban "Elementos".Se encuentran elementos pertenecientes a muchos autores, sin embargo todos ellos hanquedado relegados a un segundo plano tras la obra matematica más impresionante de lahistoria: Los Elementos de Euclides. "Los Elementos", como denominaremos a estaobra a partir de ahora, están constituidos por trece libros, cada uno de los cuales constade una sucesión de teoremas. A veces se añaden otros dos, los libros 14 y 15 quepertenecen a otros autores pero por su contenido, están próximos al último libro deEuclides.En "Los Elementos" de Euclides se recogen una serie de axiomas o postulados quesirvieron de base para el posterior desarrollo de la geometría. Es de especial interés, porla controversia que originó en épocas posteriores el quinto axioma, denominado "el delas paralelas", según el cual dos rectas paralelas no se cortan nunca. Durante siglos seasumió este axioma como irrebatible, hasta que en el siglo XIX surgieron las llamadasgeometrías no euclídeas, que rebatieron este postulado.
  23. 23. Con posterioridad a Euclides y Arquímedes, las matemáticas cambiaron fuertemente, tanto ensu forma como en su contenido, haciendo el proceso de formación de nuevas teorías máspausado, hasta llegar a interrumpirse.Entre las nuevas teorías desarrolladas ocupa el primer lugar la teoría de las seccionescónicas, que surgió de las limitaciones del álgebra geométrica. El interés hacia lassecciones cónicas creció a medida que aumentaban la cantidad de problemas resueltoscon su ayuda. Sin duda, la obra más completa, general y sistemática de las seccionescónicas se debe a Apolonio de Perga.En la época del dominio romano destacan algunos recetarios en forma de reglas que permitíanel cálculo de algunas áreas y volúmenes; y en especial la conocida fórmula de Herón paracalcular el área del triángulo conocidos los tres lados.

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