Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

組合せゲーム理論への招待

890 views

Published on

『松森さん歓迎&数理学院立ち上げ記念セミナー』

Published in: Education
  • Be the first to comment

組合せゲーム理論への招待

  1. 1. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 2018 4 14 ( ) 2018 4 14 1 / 27
  2. 2. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ABUKU TOMOAKI 2 5 ( ) 2018 4 14 2 / 27
  3. 3. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ (combinatorial game) ( ) 2018 4 14 3 / 27
  4. 4. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ Impartial game Nim ( ) 2018 4 14 4 / 27
  5. 5. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ Nim Nim ( ) 2018 4 14 5 / 27
  6. 6. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ (Nim ) N0 m1, . . . , mn ∈ N0 2 Nim m1 ⊕ · · · ⊕ mn 3 ⊕ 5 = (011)2 ⊕ (101)2 = (110)2 = 6 ( ) 2018 4 14 6 / 27
  7. 7. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ Nim Nim (Bouton 1901) (m1, . . . , mn) Nim m1 ⊕ · · · ⊕ mn ̸= 0 ⇐⇒ (m1, . . . , mn) m1 ⊕ · · · ⊕ mn = 0 ⇐⇒ (m1, . . . , mn) ( ) 2018 4 14 7 / 27
  8. 8. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ Nim Nim (7, 8, 10) Nim 7 ⊕ 8 ⊕ 10 = (0111)2 ⊕ (1000)2 ⊕ (1010)2 = (0101)2 = 5 ̸= 0 7 7 ⊕ 5 = 2 ( ) 2018 4 14 8 / 27
  9. 9. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ Grundy Grundy Grundy number, Grundy value) . Grundy ( minimum excluded number) N0 T N0 T mexT mexT = min(N0 T) mex{0, 1, 2, 4, 5, 7} = 3, mex{1, 2, 4, 5, 7} = 0, mex{∅} = 0 ( ) 2018 4 14 9 / 27
  10. 10. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ Grundy , G Grundy G(G) (Grundy ) G N0 E G {G′ 1, . . . , G′ n} G ∈ G G : G → N0 G(G) = 0 (G = E) mex{G(G′ 1), . . . , G(G′ n)} (G ̸= E) G(G) G Grundy ( ) 2018 4 14 10 / 27
  11. 11. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ Grundy (Spruge 1936,Grundy 1939) G G(G) ̸= 0⇐⇒ G G(G) = 0⇐⇒ G Grundy ( ) 2018 4 14 11 / 27
  12. 12. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ Grundy Nim Grundy M m Nim G(M) = m Nim Grundy Nim Mk m k G(Mk) = n (mod k + 1) M = 31, k = 3 G(313) = 3 (mod 3 + 1) ( ) 2018 4 14 12 / 27
  13. 13. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ Grundy Grundy G H (G, H) G H Grundy G(G, H) = G(G) ⊕ G(H). (n Nim Grundy ) (m1, . . . , mn) Nim G(m1, . . . , mn) = m1 ⊕ . . . ⊕ mn (∵ G(mi ) = mi ) ( ) 2018 4 14 13 / 27
  14. 14. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ Grundy 0 1 • 3 • 5 6 7 • 9 . . . • • • 3 4 5 6 7 8 9 . . . ( ) 2018 4 14 14 / 27
  15. 15. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ Grundy 0 ≤ m1 ≤ · · · ≤ mr Grundy G(m1, . . . , mr ) = ⎧ ⎪⎪⎨ ⎪⎪⎩ (m2 − m1 − 1)⊕ · · · ⊕ (mr − mr−1 − 1) (r ) m1 ⊕ (m3 − m2 − 1)⊕ · · · ⊕ (mr − mr−1 − 1) (r ) (2, 4, 8) G(2, 4, 8) = 2 ⊕ (8 − 4 − 1) = 1 ( ) 2018 4 14 15 / 27
  16. 16. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ Grundy Nim Nim Nim (m, n, r) −→ (m + k, n, r) −→ (m, n, r) Nim Nim . ( ) 2018 4 14 16 / 27
  17. 17. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ Grundy A B ( ) 2018 4 14 17 / 27
  18. 18. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ Grundy Grundy n i mi (m1, . . . , mn) G(m1, . . . , mn) = m1 ⊕ . . . ⊕ mn (5, 5, 1, 0, 1, 5, 1, 1, 3) G(5, 5, 1, 0, 1, 5, 1, 1, 3) = 5 ⊕ 5 ⊕ 1 ⊕ 0 ⊕ 1 ⊕ 5 ⊕ 1 ⊕ 1 ⊕ 3=6 ( ) 2018 4 14 18 / 27
  19. 19. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 3 3 Nim 313 (2, 4, 8) (5, 5, 1, 0, 1, 5, 1, 1, 3) Grundy G(313) = 3,G(2, 4, 8) = 1,G(5, 5, 1, 0, 1, 5, 1, 1, 3) = 6 Grundy G(313) ⊕ G(2, 4, 8) ⊕ G(5, 5, 1, 0, 1, 5, 1, 1, 3) = 3 ⊕ 1 ⊕ 6 = 4 6 ⊕ 4 = 2 Grundy 2 5 → 1 ( ) 2018 4 14 19 / 27
  20. 20. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ Mis`ere game Grundy Grundy ( ) 2018 4 14 20 / 27
  21. 21. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ Loopy game Loopy game Stopper Loopy game ( ) 2018 4 14 21 / 27
  22. 22. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ Transfinite game Grundy ( ) 2018 4 14 22 / 27
  23. 23. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ Partizan game ( (Alice,Bob ) ( ) 2018 4 14 23 / 27
  24. 24. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 2 3 10 10 ( 1 1 1 3 1 3 ( ) 2018 4 14 24 / 27
  25. 25. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 4 ( ) 2018 4 14 25 / 27
  26. 26. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ( ) 2018 4 14 26 / 27
  27. 27. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ , , , 2014. , , , 2011. J. H. Conway, On Numbers And Games (second edition) A. K. Peters, 2001 E. R. Berlekamp, J. H. Conway, R. K. Guy, Winning Ways for Your Mathematical Plays Vol 1-4, A. K. Peters, 2001-2004 A. N. Siegel, Combinatorial Game theory, American Mathematical Society, 2013 ( ) 2018 4 14 27 / 27

×