ejercicio 3 momentos

1. “ Universidad Nacional San Cristóbal de Huamanga”
Facultad de Ingeníeria Minas , Geología y Civil
Escuela de Ingeniería Civil
PROBLEMAS RESUELTOS DE
RESISTENCIA DE MATERIALES
I - II
Autor:
Calderón Quispe, Gilmer
( gilmercq256@Gmail.com,gilmercq@hotmail.com )
Estudiante de Ingeniería Civil
GilmerCalderónQuispe

2. Capítulo
3Método de tres Momentos
3.1 Definición
CG CG
L1 L2
I1 I2
A B C
m1 n1
m2 n2
MA
´
L1
I1
¯
` 2MB
´
L1
I1
` L2
I2
¯
` MC
´
L2
I2
¯
“ ´6
”
A1m1
L1I1
` A2n2
L2I2
ı
`6E
”
∆B´∆A
L1
` ∆B´∆C
L2
ı
Ecuación 1 Ec. los 3 momentos
Para em marco mostrado en la figura, por el método de tres momentos calcular
1. Reacciones en los apoyos
2. Diagrama de fuerzas cortantes y momentos flectores
Problema N° 1
5
GilmerCalderónQuispe

3. Ingeniería Civil 3 Método de tres Momentos
3. Momento flector máximo y su respectiva ubicación
2I
6m 2m
2m
2m
2000kgf/m 2000kgf-m
4000kgf
2m
3I
2I
h =90001
A B
C
D
A B C D
ejercio N° 1
2I
3m 2m
2m
2m
2000kgf/m 2000kgf-m
4000kgf
2m
3I
2I
A B C
D
4877.934 Kgf 9995.305 Kgf
2285.211 Kgf
2873.239 Kgf
1714.789 Kgf
1619.718 Kgf.m
D
A1 “ 2
3
lh “ 36000 A2 “ A3 “ 1000 A4 “ 8000
De la figura (a) aplicando la ecuación de los tres momentos
Solución:
2I
6m 2m
2m
2m
2000kgf/m 2000kgf-m
4000kgf
2m
3I
2I
h =90001
A B
C
D
A B C D
ejercio N° 1
2I
3m 2m
2m
2m
2000kgf/m 2000kgf-m
4000kgf
2m
3I
2I
A B C
D
4877.934 Kgf 9995.305 Kgf
2285.211 Kgf
2873.239 Kgf
1714.789 Kgf
1619.718 Kgf.m
D
MA
ˆ
6
2
˙
“ 2MB
ˆ
6
2
`
4
3
˙
` MC
ˆ
4
3
˙
“ ´6
„
36000 p3q
6 ˚ 2
`
1000
4 ˚ 3
ˆ
1
3
p2q ` 2
˙
´
1000
4 ˚ 3
ˆ
2
3
p2q
˙
MB
ˆ
4
3
˙
` 2MC
ˆ
4
3
`
4
2
˙
` MD
ˆ
4
2
˙
“ ´6
„
1000
4 ˚ 3
ˆ
2
3
p2q
˙
´
1000
4 ˚ 3
ˆ
1
3
p2q ` 2
˙
´
8000
2 ˚ 4
p2q

MC
ˆ
4
2
˙
` 2MD
ˆ
4
2
` 0
˙
` ME p0q “ ´6
„
´8000
2 ˚ 4
p2q

Resistencia de Materiales I-II
pagina 6
GilmerCalderónQuispe

4. Ingeniería Civil 3 Método de tres Momentos
Para: MA “ ME “ 0
8.667MB ` 1.333MC “ ´54666.667 (I)
1.333MB ` 6.667MC ` 2MD “ 12666.667 (II)
2MC ` 4MD “ ´12000 (III)
Resolviendo (I) ,(II)y (III)
MB “ ´6732.394 Kg ´ m MC “ 2760.563 Kg ´ m MD “ 1619.718 Kg ´ m
Hallando las cortantes isostáticas
AB :
"
VAB “ 6000
VBA “ ´6000
BC :
"
VBC “ 500
VCB “ 500
CD :
"
VCD “ ´2000
VDC “ 2000
Factor de corrección de las cortantes
C1 “
0 ´ p´6732.394q
6
“ 1122.066 C2 “
´6732.394 ´ 2760.563
4
“ ´2373.239
C3 “
2760.563 ´ p1619.781q
4
“ 285.211
Hallando las cortantes finales
V “Visot ´ C
VAB “ 6000 ´ 1122.066 “ 4877.934 Kgf VBA “ ´6000 ´ 1122.066 “ ´7122.066 Kgf
VBC “ 500 ` 2373.239 “ 2873.239 Kgf VCB “ 500 ` 2373.239 “ 2873.239 Kgf
VCD “ ´2000 ´ 285.211 “ ´2285.211 Kgf VDC “ 2000 ´ 285.211 “ 1714.789 Kgf
Hallando momento flector máximo(Donde la cortante es cero)
enx “ 6 m ñ Mm´axp´q “ 6732.394 Kg ´ m
-
+
-
++
4877.934
7122.066
2873.239
7122.066
2285.211
6732.394
968.258
continuacion Ejercicio 1
V
(Kgf)
Resistencia de Materiales I-II
pagina 7
GilmerCalderónQuispe

5. Ingeniería Civil 3 Método de tres Momentos
D
+
7122.066
2285.211
5633.803
6732.394
2986.258
2760.563
1619.718
1809.859
2760.563
968.258
+
-
-
+
M
(Kgf.m)
(Kgf)
h =90001
A B C D
2I
3m 2m
2m
2m
2000kgf/m 2000kgf-m
4000kgf
2m
3I
2I
A B
C
D
4877.934 Kgf 9995.305 Kgf
2285.211 Kgf
2873.239 Kgf
1714.789 Kgf
1619.718 Kgf.m
MAB “
2EI
30
p2θA ` θB ´ 0q ´ 266.667 í MAB “ 0.0667EIθB ´ 266.667
MAB “
2EI
30
p2θA ` θB ´ 0q ´ 266.667
Resolver la viga sabiendo que el apoyo B sufrió un asentamiento de 12mm, considerar
I “ 80x107
mm4
y E “ 200KN{mm2
Problema N° 2
Resistencia de Materiales I-II
pagina 8
GilmerCalderónQuispe

6. Ingeniería Civil 3 Método de tres Momentos
80KN
60KN
20KN/m
26KN/m
3m 3m 4m 2m 3m
3m 2m 7/8m
A B C D
305.295
245.295
165.295
105.295
150.842
254.842
100.704
40.704
743.923
487.847
328.521
122.113
+
-
+
-
+
-
20KN/m
A
B
C D
A1 “ 360 ; A2 “
2
3
p6q p90q “ 360 ; A3 “ 138.667 ; A4 “ 180
Solución:
80KN
60KN
20KN/m
26KN/m
3m 3m 4m 2m 3m
3m 2m 7/8m
A B C D
305.295
245.295
165.295
105.295
150.842
254.842
100.704
40.704
743.923
487.847
328.521
122.113
+
-
+
-
+
-
80KN
60KN
20KN/m
26KN/m
A
B
C D
M0 p0q ` 2MA
ˆ
0 `
6
2I
˙
` MB
ˆ
6
2I
˙
“ ´6
„
0 `
360 p3q
6 ˚ 2I
`
360 p3q
6 ˚ 2I

` 6E
„
0 `
´12 ˚ 10´3
6

6MA ` 3MB “ ´6
„
360 p3q
6 ˚ 2
`
360 p3q
6 ˚ 2

` 6EI
„
´12 ˚ 10´3
6

6MA ` 3MB “ ´3000 ............................................. (I)
MA
ˆ
6
2I
˙
` 2MB
ˆ
6
2I
`
4
I
˙
` MC
ˆ
4
I
˙
“ ´6
„
360 p3q
6 ˚ 2I
`
360 p3q
6 ˚ 2I
`
138.667 p2q
4I

`
6E
„
12 ˚ 10´3
6
`
12 ˚ 10´3
4

3MA ` 14MB ` 4MC “ 3304 ............................................ pIIq
MB
ˆ
4
I
˙
` 2MC
ˆ
4
I
`
5
I
˙
` MD
ˆ
5
I
˙
“ ´6
„
138.667 p2q
4I
`
180 p8{3q
5I

` 6E
„
´12 ˚ 10´3
4

4MB ` 18MC “ ´3872 ................................................pIIIq
Resolviendo las ecuaciones pIq , pIIq y pIIIq
MA “ ´743.923 KN.m MB “ 487.847 KN.m MC “ ´323.521 KN.m
Hallando las cortantes isostáticas
AB:
#
VAB “ 100
VBA “ ´100
BC :
#
VBC “ 52
VCB “ ´52
CD :
#
VCD “ 36
VDC “ ´24
pKNq
Resistencia de Materiales I-II
pagina 9
GilmerCalderónQuispe

7. Ingeniería Civil 3 Método de tres Momentos
Hallando las correcciones
Ci “
Mizq ´ Mder
L
C1 “ ´205.295 KN C2 “ 202.842KN C3 “ ´64.704KN
Cortantes finales
VAB “ 305.295 KN VBC “ ´150.842 KN VCD “ 100.704 KN
VBA “ 105.295 KN VCB “ ´254.842 KN VDC “ 40.704 KN
3m 3m 4m 2m 3m
3m 2m 7/8m
A B C D
305.295
245.295
165.295
105.295
150.842
254.842
100.704
40.704
743.923
487.847
328.521
122.113
+
-
+
-
+
-
M
(KN.m)
V
(KN)
Resolver la viga mostrada en la que los asentamientos de los apoyos son en A “ 10mm
,en C “ 65mm, en E “ 40mm y en G “ 25mm E “ 200Gpa , I “ 500x106
mm4
Problema N° 3
Resistencia de Materiales I-II
pagina 10
GilmerCalderónQuispe

8. Ingeniería Civil 3 Método de tres Momentos
105.357
-
+
M
(K.ft)
A B E F GDC
120KN 120KN 150KN
I 2I I
6m 4m 6m 4m 4m 4m
A1 A2
A3 A4
A5
288 288
300
6m 4m 6m 4m 4m 4m
A C E G
A B E F GDC
120KN 120KN 150KN
I 2I I
6m 4m 6m 4m 4m 4m
45.877KN 100.504KN 198.296KN 45.323KN
45.877
26.381
104.677
45.323
93.619
74.123
+
+
+
- -
-
V
(KN)
A1 “
1
2
p6q p288q “ 864 ; A2 “ 576 ; A3 “ 864 ; A4 “ 576 ; A5 “ 1200 ;
Solución:
105.357
27.678
10ft
-
+
- -
-
+
+
M
(K.ft)
A B E F GDC
120KN 120KN 150KN
I 2I I
6m 4m 6m 4m 4m 4m
A1 A2
A3 A4
A5
288 288
300
6m 4m 6m 4m 4m 4m
A C E G
A B E F GDC
120KN 120KN 150KN
I 2I I
6m 4m 6m 4m 4m 4m
45.877KN 100.504KN 198.296KN 45.323KN
45.877
26.381
104.677
45.323
93.619
74.123
+
+
+
- -
-
V
(KN)
MA
ˆ
10
I
˙
` 2MC
ˆ
10
I
`
10
2I
˙
` ME
ˆ
10
2I
˙
“ ´6
„
864
10I
ˆ
2
3
p6q
˙
`
576
10I
ˆ
6 `
1
3
p4q
˙
`
864
10 p2Iq
ˆ
4 `
1
3
p6q
˙
`
576
10 p2Iq
ˆ
2
3
p4q
˙
` 6E
„
0.065 ´ 0.01
10
`
0.065 ´ 0.04
10

MA “ 0
30MC ` 5ME “ ´1824 ............................................................................................... piq
MC
ˆ
10
2I
˙
` 2ME
ˆ
10
2I
`
8
I
˙
` MG
ˆ
8
I
˙
“ ´6
„
864
10 p2Iq
ˆ
2
3
p6q
˙
`
576
10 p2Iq
ˆ
6 `
4
3
˙
`
1200
8I
p4q

` 6E
„
0.04 ´ 0.065
10
`
0.04 ´ 0.025
8

5MC ` 26ME “ ´6279 .............................................................................................. piiq
Resolviendo las ecuaciones (i) y (ii)
MC “ ´21.230 ; ME “ ´237.417 ; MA “ MG “ 0 rKN.ms
Calculando las cortantes isostaticas
AB :
"
VAC “ 48
VCA “ ´72
CE :
"
VCE “ 48
VEC “ ´72
EG :
"
VEG “ 75
VGE “ ´75
rKNs
Calculo de las correcciones
C1 “
0 ´ p´21.230q
10
“ 2.123 ; C2 “
´21.230 ´ p´237.417q
10
“ 21.619
C3 “
´237.417 ´ 0
8
“ ´29.677 rKNs
Resistencia de Materiales I-II
pagina 11
GilmerCalderónQuispe

9. Ingeniería Civil 3 Método de tres Momentos
Fuerzas cortantes finales
VAC “ 48 ´ 2.123 “ 45.877 VCE “ 48 ´ 21.619 “ 26.381
VCA “ ´72 ´ 2.123 “ ´74.123 VEC “ ´72 ´ 21.619 “ ´93.619
VEG “ 75 ´ p´29.677q “ 104.667 VGE “ ´75 ´ p´29.667q “ ´45.323 rKNs
-
+
A B E F GDC
I 2I I
6m 4m 6m 4m 4m 4m
A1 A2
A3 A4
A5
288 288
300
6m 4m 6m 4m 4m 4m
A C E G
A B E F GDC
120KN 120KN 150KN
I 2I I
6m 4m 6m 4m 4m 4m
45.877KN 100.504KN 198.296KN 45.323KN
45.877
26.381
104.677
45.323
93.619
74.123
+
+
+
- -
-
V
(KN)
21.230
237.417
275.262
137.289
181.291
300
288
288
-
+
+ +
M
(KN.m)
50KN 50KN
30KN
A
B C
2m 3m 2m
1.5m
2.5m
Viga: 300mmx400mm
colum: 300mmx500mm
2
E=20KN/mm
Aplicando el teorema de los tres momentos hallar:
1. Momentos en los apoyos
2. Correcciones de la fuerza cortante.
3. DMF, DFC, DFN
4. Reacciones en los apoyos.
Problema N° 4
Resistencia de Materiales I-II
pagina 12
GilmerCalderónQuispe

10. Ingeniería Civil 3 Método de tres Momentos
5. Momento flector máximo positivo y su respectiva ubicación.
6. Si la columna tiene área 30x50cm2
y E “ 2x106
MPa calcule la deformacion de
esta.
0.507
1.015
1.353
7.276
2.724
4.142
0.812
1.623
-
+
+
+
-
+
-
-
M
(T.m)
2.5
A
B
C D
16KN.m
10KN/m
8KN
6m 6m
2m
2m
A1 “
1
2
p4q p8q “ 16 A2 “
1
2
p6q p16q “ 48 A3 “
2
3
p6q p45q
Solución:
A0 A B C D
A1
A2
A3
8
16
45
2m 2m 6m 6m
A
B
C DB C D
8KN
2m
2m
A
B
C D
16KN.m
10KN/m
8KN
6m 6m
2m
2m
7.46KN
8KN
14.174KN.m
25.507KN
41.957KN
A0 A B C D
A1
A2
A3
8
16
45
2m 2m 6m 6m
A
B
C DB C D
8KN
2m
2m
A
B
C D
16KN.m
10KN/m
8KN
6m 6m
2m
2m
7.46KN
8KN
14.174KN.m
25.507KN
41.957KN
Resistencia de Materiales I-II
pagina 13
GilmerCalderónQuispe

11. Ingeniería Civil 3 Método de tres Momentos
MA0 p0q ` 2MA
ˆ
0 `
4
I
˙
` MB
ˆ
4
I
˙
“ ´6
„
0 `
16 p2q
4I

` 6E
ˆ
0 `
0 ´ ∆
4
˙
8MA ` 4MB ` 1.5EI∆ “ ´48 (i)
MA
ˆ
4
I
˙
` 2MB
ˆ
4
I
`
6
I
˙
` MC
ˆ
6
I
˙
“ ´6
„
16 p2q
4I
`
48 p4q
6I

` 6E
ˆ
∆
4
` 0
˙
4MA ` 20MB ` 6MC ´ 1.5EI∆ “ ´240 (ii)
MB
ˆ
6
I
˙
` 2MC
ˆ
6
I
`
6
I
˙
` MD
ˆ
6
I
˙
“ ´6
„
48 p2q
6I
`
180 p3q
6I

6MB ` 24MC “ ´636 (iii)
De la figura se observa
VA “ 8 KN
Haciendo equilibrio
MA ´ MB ` VA p4q ´ 16 “ 0
´
1
4
pMA ´ MB ´ 16q “ VA
´
1
4
pMA ´ MB ´ 16q “ 8
MA ´ MB “ ´16 (iv)
Resolviendo las ecuaciones
MA “ ´14.174 ; MB “ 1.826 ; MC “ ´26.956 rKN.ms EI∆ “ 38.725
“
KN m3
‰
Cálculo de las cortantes isostaticas
AB :
"
VAB “ 4
VBA “ ´4
; BC :
"
VBC “ 2.667
VCB “ ´2.667
; CD :
"
VCD “ 30
VDC “ ´30
rKNs
Cálculo de las correcciones
C1 “
´14.174 ´ 1.826
4
“ ´4 C2 “
1.826 ´ p´26.956q
6
“ 4.797 ; C3 “
´26.956
6
“ ´4.493
Cortantes finales
VAB “ 4 ´ p´4q “ 8
VBA “ ´4 ´ p´4q “ 0
VBC “ ´2.667 ´ 4.797 “ ´7.464
VCB “ ´2.667 ´ 4.797 “ ´7.464
VCD “ 30 ´ p´4.493q “ 34.493
VDC “ ´30 ´ p4.493q “ ´25.507rKNs
Resistencia de Materiales I-II
pagina 14
GilmerCalderónQuispe

12. Ingeniería Civil 3 Método de tres Momentos
Hallando desplazamiento
IC “
30p50q3
12
“ 312500 cm4
E “ 2x106
MPa “ 0.2x106KN
L
cm2
EI∆ “ 38.725
∆ “
38.725x106
312500x0.2x106 “ 0.0006196 cm
A0 A B C D
A1
A2
A3
8
16
45
2m 2m 6m 6m
A
B
C DB C D
8KN
2m
2m
A
B
C D
16KN.m
10KN/m
8KN
6m 6m
2m
2m
7.46KN
8KN
14.174KN.m
25.507KN
41.957KN
-
+
8
7.464
34.493
25.507
7.46
26.956
45
-
+
+
--
+
V
(KN)
N
(KN)
A0 A B C D
A1
A2
A3
8
16
45
2m 2m 6m 6m
A
B
C DB C D
8KN
2m
2m
A
B
C D
16KN.m
10KN/m
8KN
6m 6m
2m
2m
7.46KN
8KN
14.174KN.m
25.507KN
41.957KN
-
+
8
7.464
34.493
25.507
7.46
26.956
45
-
+
+
--
+
V
(KN)
N
(KN)
Resistencia de Materiales I-II
pagina 15
GilmerCalderónQuispe

13. Ingeniería Civil 3 Método de tres Momentos
-
+
8
26.956
1.826
17.826
31.522
14.174
45
18
-
-
-
++
+
V
(KN)
M
(KN.m)
3m
Resolver la estructura mostrada utilizando la ecuación de los tres momentos.
5000kgf
3m 2m
3m
A
B
C D
A
B
C D
B
C
3m
2m
5000kgf
3m 2m
3m
A
B
C D
1055.195kgf
2288.961kgf.m
535.714kgf
3944.805kgf
535.714kgf
5405.844kgf.m
1055.195
Problema N° 5
Solución:
5000kgf
3m 2m
3m
A
B
C D
A
B
C D
B
C
3m
2m
5000kgf
3m 2m
3m
A
B
C D
1055.195kgf
2288.961kgf.m
535.714kgf
535.714kgf
5405.844kgf.mResistencia de Materiales I-II
pagina 16
GilmerCalderónQuispe

14. Ingeniería Civil 3 Método de tres Momentos
MA0
ˆ
0
8
˙
` 2MA
ˆ
0
8
`
3
I
˙
` MB
ˆ
3
I
˙
“ 6E
ˆ
0 ´
∆
3
˙
6MA ` 3MB ` 2EI∆ “ 0 (i)
MA
ˆ
3
I
˙
` 2MB
ˆ
3
I
`
3
I
˙
` MC
ˆ
3
I
˙
“ 6E
ˆ
∆
3
˙
3MA ` 12MB ` 3MC ´ 2EI∆ “ 0 (ii)
MB
ˆ
3
I
˙
` 2MC
ˆ
3
I
`
2
I
˙
` MD
ˆ
2
I
˙
“ 6E
ˆ
0 `
∆
2
˙
3MB ` 10MC ` 2MD ´ 3EI∆ “ 0 (iii)
MC
ˆ
2
I
`
0
8
˙
` 2MD
ˆ
2
I
`
0
8
˙
` MD0
ˆ
0
8
˙
“ 6E
ˆ
´
∆
2
˙
2MC ` 4MD ` 3EI∆ “ 0 (iv)
De la figura obtenemos una ecuacion mas para resolver
MA ´ MB ` VAB p3q “ 0 MC ´ MD ` VCD p2q “ 0
VAB “ ´
1
3
pMA ´ MBq VCD “ ´
1
2
pMC ´ MDq
ÿ
Fy “ 0 VAB ´ VDC ´ 5000 “ 0
´
1
3
pMA ´ MBq ´
„
´
1
2
pMC ´ MDq

´ 5000 “ 0
´
MA
3
`
MB
3
`
MC
2
´
MD
2
´ 5000 “ 0 (v)
Resolviendo las ecuaciones
MA “ ´2288.961 MB “ 876.623 ; MC “ 2483.766 ; MD “ ´5405.844 rkgf ˚ ms
Fuerzas cortantes
VAB “ VBA “ 0 ´
1
3
p´2288.961 ´ 876.623q “ 1055.195
VBC “ VCB “ 0 ´
1
3
p876.623 ´ 2483.766q “ 535.714
VCD “ VDC “ 0 ´
1
2
p2483.766 ` 5405.844q “ ´3944.805 rkgfs
Resistencia de Materiales I-II
pagina 17
GilmerCalderónQuispe

15. Ingeniería Civil 3 Método de tres Momentos
C D
C
2m
5000kgf
3m 2m
3m
A
B
C D
1055.195kgf
2288.961kgf.m
535.714kgf
3944.805kgf
535.714kgf
5405.844kgf.m
535.714
535.714
-
3944.805-
-
N
(Kgf )
3m 2m
C D
A
B
C D
B
C
3m
2m
5000kgf
3m 2m
3m
A
B
C D
1055.195kgf
2288.961kgf.m
535.714kgf
3944.805kgf
535.714kgf
5405.844kgf.m
1055.195
535.714
3944.805
2288.961
876.623
3.766
5405.844
876.623
+
+
-
-
-
-
V
(Kgf)
M
(Kgf.m)
Resistencia de Materiales I-II
pagina 18
GilmerCalderónQuispe

16. Ingeniería Civil 3 Método de tres Momentos
3944.805
2288.961
876.623
2483.766
2483.766
5405.844
876.623
-
-
-
-
+
(Kgf)
M
(Kgf.m)
Para la vigamostrada en la figura determinar las reacciones en los apoyos, el diagrama
de fuerza cortante y el diagrama de momento flexionante EI=cte
30KN/m 25KN/m100KN
60KN
A B C D E
2m 3m 6m 2.5m 2.5m 4.5m
60KN.m 60KN.m
800N 900N600N/m
2m2m4m2m
800N 900N600N/m
160N.m
A B C D
1200
900
-
+
1600
42.429
464.286
457.143
189.286
A1
A2
1494.643
439.286
Problema N° 6
Solución:
30KN/m 25KN/m100KN
60KN
A B C D E
2m 3m 6m 2.5m 2.5m 4.5m
60KN.m 60KN.m
800N 900N600N/m
2m2m4m2m
800N 900N600N/m
160N.m
A B C D
1200
900
-
+
1600
42.429
464.286
A1
A2
Resistencia de Materiales I-II
pagina 19
GilmerCalderónQuispe

17. Ingeniería Civil 3 Método de tres Momentos
MA
ˆ
4
I
˙
` 2MB
ˆ
4
I
`
4
I
˙
` MC
ˆ
4
I
˙
“ ´6
ˆ
3200 p2q
4I
`
1800 p2q
4I
˙
4MA ` 16MB ` 4MC “ ´15000 (i)
MB
ˆ
4
I
˙
` 2MC
ˆ
4
I
`
0
8
˙
` MD p0q “ ´6
ˆ
1800 p2q
4I
` 0
˙
4MB ` 8MC “ ´5400 (ii)
resolviendo las ecuaciones se tiene
MA “ ´1600 MB “ ´421.429 ; MC “ ´464.286 rN.ms
Cálculo de cortantes isostaticas
AB :
"
VAB “ 1200
VBA “ ´1200
; BC :
"
VBC “ 450
VCB “ ´450
rNs
Cálculo de las correcciones
C1 “
´1600 ´ p´421.429q
4
“ ´294.643 C2 “
´421.429 ´ p´464.286q
4
“ 10.759
Cálculo de las cortantes finales
VAB “ 1200 ´ p´294.843q “ 1494.643 ; VBA “ ´1200 ´ p´294.843q “ ´905.357
VBC “ 450 ´ 10.459 “ 439.286 ; VCB “ ´450 ´ 10.759 “ ´460.759 rNs
30KN/m 25KN/m100KN
60KN
A B C D E
2m 3m 6m 2.5m 2.5m 4.5m
60KN.m 60KN.m
800N 900N600N/m
2m2m4m2m
800N 900N600N/m
160N.m
A B C D
1200
900
-
+
1600
42.429
464.286
457.143
189.286
A1
A2
+
-
800
1494.643
905.357
439.286
460.759
M
(N.m)
V
(N)
Resistencia de Materiales I-II
pagina 20
GilmerCalderónQuispe

18. Ingeniería Civil 3 Método de tres Momentos
800N 900N600N/m
2294.643N 1344.643N 460.714N
464.286N.m
2Tn
2Tn2Tn/m
3m 4m 3m
A0 A B C D D0
6.25
A B
C
D
A
B
C
D
B
C
D
D
10Tn
6Tn
8Tn
MA
MB
VAB
En la viga quebrada que se muestra calcule las reacciones , DFC, DMF , DFN y la
deflexión en el punto B
800N 900N600N/m
2294.643N 1344.643N 460.714N
464.286N.m
2Tn
2Tn2Tn/m
3m 4m 3m
A0 A B C D D0
6.25
A B
C
D
A
B
C
D
B
C
D
D
10Tn
6Tn
8Tn
MA
MB
VAB
Problema N° 7
Solución:
800N 900N600N/m
2294.643N 1344.643N 460.714N
464.286N.m
2Tn
2Tn2Tn/m
3m 4m 3m
A0 A B C D D0
6.25
A B
C
D
A
B
C
D
B
C
D
D
10Tn
6Tn
8Tn
MA
MB
VAB
Resistencia de Materiales I-II
pagina 21
GilmerCalderónQuispe

19. Ingeniería Civil 3 Método de tres Momentos
La deformación en B y C son iguales por ser simetricas
MA0 p0q ` 2MA
ˆ
0 `
3
I
˙
` MB
ˆ
3
I
˙
“ ´6 p0q ` 6E
ˆ
´∆
3
˙
6MA ` 3MB ` 2EI∆ “ 0 (i)
MA
ˆ
3
I
˙
` 2MB
ˆ
3
I
`
5
I
˙
` MC
ˆ
5
I
˙
“ ´6
ˆ
0 ` 20.833 p2.5q
5I
˙
` 6E
ˆ
∆
3
˙
3MA ` 16MB ` 5MC ´ 2EI∆ “ ´62.499 (ii)
MB
ˆ
5
I
˙
` 2MC
ˆ
5
I
`
3
I
˙
` MD
ˆ
3
I
˙
“ ´6
ˆ
20.8333 p2.5q
5I
` 0
˙
` 6EI
ˆ
∆
3
˙
5MB ` 16MC ` 3MD ´ 2EI∆ “ ´62.499 (iii)
MC
ˆ
3
I
˙
` 2MD
ˆ
3
I
˙
` MD0 p0q “ ´6 p0q ` 6E
ˆ
´∆
3
˙
3MC ` 6MD ` 2EI∆ “ 0 (iv)
haciendo equilibrio
MA ´ MB ` 6 p3q “ 0 ñ MA ´ MB “ ´18 (v)
VAB “ 6 Tn
Resolviendo las ecuaciones
MA “ ´14.985 MB “ MC “ 3.015 ; MD “ ´14.985 rTn.ms
Cortantes isostaticos
VAB “ VBA “ VCD “ VDC “ 0 VBC “ ´VCB “ 5 Tn
Cortantes finales
VAB “ VBA “ 0 ´
1
3
p´14.985 ´ 3.015q “ 6Tn
VBC “ VCB “ 5Tn
VCD “ VDC “ 0 ´
1
3
p3.015 ` 14.985q “ ´6Tn
Resistencia de Materiales I-II
pagina 22
GilmerCalderónQuispe

20. Ingeniería Civil 3 Método de tres Momentos
+
-
+
-
3
3
6
6
5
5
+-
14.985
3
14.985
3.015
3.015
2Tn
2Tn2Tn/m
A
B
C
D
A
6Tn
3Tn
14.985Tn.m
14.985Tn.m
6Tn
3Tn
N
(Tn)
V
(Tn)
M
(TKn.m)
1m 3m 2m 3m
40Tn/m
20Tn
30Tn.m
A B C DE
A C DB
45
30
A1
A2
+
-
+
-
3
3
6
6
5
5
+-
14.985
3
14.985
3.015
3.015
2Tn
2Tn2Tn/m
A
B
C
D
A
6Tn
3Tn
14.985Tn.m
14.985Tn.m
6Tn
3Tn
N
(Tn)
V
(Tn)
M
(TKn.m)
1m 3m 2m 3m
40Tn/m
20Tn
30Tn.m
A B C DE
A C DB
45
30
A1
A2
Resistencia de Materiales I-II
pagina 23
GilmerCalderónQuispe

21. Ingeniería Civil 3 Método de tres Momentos
Empleando la ecuacion de los tres momentos determinar:
1. Reacciones en los apoyos
2. Diagrama de fuerzas cortantes
3. Diagrama de momento flector
4. Hallar la flecha en el voladizo
EI=cte
+-
14.985
3
3.015
2Tn
2Tn2Tn/m
A
B
C
D
A
6Tn
3Tn
14.985Tn.m
14.985Tn.m
6Tn
3Tn
M
(TKn.m)
1m 3m 2m 3m
40Tn/m
20Tn
30Tn.m
A B C DE
A C DB
45
30
40/3
A1
A2
A3 A4
Problema N° 8
A1 “
2
3
p3q p45q “ 90 A2 “
1
2
p3q p30q A3 “
1
2
p1q
ˆ
40
3
˙
“
20
3
A4 “
1
2
p2q
ˆ
40
3
˙
“
40
3
Solución:
+
6
5
+-
14.985
3
14.985
3.015
3.015
2Tn
2Tn2Tn/m
A
B
C
D
A
6Tn
3Tn
14.985Tn.m
14.985Tn.m
6Tn
3Tn
V
(Tn)
M
(TKn.m)
1m 3m 2m 3m
40Tn/m
20Tn
30Tn.m
A B C DE
A C DB
45
30
40/3
A1
A2
A3 A4
Resistencia de Materiales I-II
pagina 24
GilmerCalderónQuispe

22. Ingeniería Civil 3 Método de tres Momentos
MA “ ´20 Tn.m
MA
ˆ
3
I
˙
` 2MB
ˆ
3
I
`
2
I
˙
` MC
ˆ
2
I
˙
“ ´6
¨
˝90 p1.5q
3I
`
20{3
´
2{3
¯
3I
`
40{3
´
1 ` 1{3
¯
3I
` 0
˛
‚
3MA ` 10MB ` 2MC “ ´323.333
10MB ` 2MC “ ´263.333 (i)
MB
ˆ
2
I
˙
` 2MC
ˆ
2
I
`
3
I
˙
` MD
ˆ
3
I
˙
“ ´6
¨
˝0 `
45
´
2{3 p3q
¯
3I
˛
‚
2MB ` 10MC ` 3MD “ ´180 (ii)
MC
ˆ
3
I
˙
` 2MD
ˆ
3
I
˙
` MD0 p0q “ ´6
¨
˝
45
´
1{3 p3q
¯
3I
` 0
˛
‚
3MC ` 6MD “ ´90 (iii)
Resolviendo las ecuaciones
MB “ ´24.30 MC “ ´10.165 MD “ ´9.918
Cortantes isostaticas
AB :
"
VAB “ 73.333
VBA “ ´66.667
; BC :
"
VBC “ 0
VCB “ 0
; CD :
"
VCD “ ´10
VDC “ ´10
rTns
C1 “ 1.433 C2 “ ´7.068 C3 “ ´8.23 rTns
Cortantes fianles
AB :
"
VAB “ 71.90
VBA “ ´68.10
; BC :
"
VBC “ 7.068
VCB “ 7.068
; CD :
"
VCD “ ´9.918
VDC “ ´ ´ 9.918
rTns
Utilizando la ecuación general de los tres momentos para calcular la flecha en el voladizo
ME
ˆ
1
I
˙
` 2MA
ˆ
4
I
˙
` MB
ˆ
3
I
˙
“ ´6
¨
˝
10{3 p0.5q
I
`
90 p1.5q
3I
`
20{3
´
1{3 ` 2
¯
3I
`
40{3
´
2{3 p2q
¯
3I
˛
‚` 6E p´∆q
MA ´ 20 Tn.m MB “ ´24.30 Tn.m
∆ “ ´
18.961
EI
Ò
Resistencia de Materiales I-II
pagina 25
GilmerCalderónQuispe

23. Ingeniería Civil 3 Método de tres Momentos
-
+
40
71.90
31.90
11.90
68.1
7.068
9.918
-
+
20
24.30
10.165
19.835
9.918
40Tn/m
20Tn
30Tn.m
A B C DE
111.90Tn
75.168Tn 16.986Tn 9.918Tn
9.918Tn.m
V
(Tn)
M
(Tn.m)
-
+
40
71.90
31.90
11.90
68.1
7.068
9.918
-
+
20
24.30
10.165
19.835
9.918
40Tn/m
20Tn
30Tn.m
A B C DE
111.90Tn
75.168Tn 16.986Tn 9.918Tn
9.918Tn.m
V
(Tn)
M
(Tn.m)
Resolver el portico con método de los tres momentos
56.7
6.7
43.3
30
100
100
46.9
46.9
121.97
66.5
86.6
-
+
-
-
+
+
+
+
-
- 56.7
M
(KN.m)
V
(KN)
N
(KN)
120KN
18KN/m
A
B C
D
2m 2m 3m
4m
Para todos los casos
b=400mm
h=500mm
2
E=200KN/mm
28.1
'
c
CC =
Problema N° 9
Solución:
Resistencia de Materiales I-II
pagina 26
GilmerCalderónQuispe

24. Ingeniería Civil 3 Método de tres Momentos
A
B C
C
C1
C C1
C
B
D
O
18KN/m
16/3m
20/3m
5m
2m 2m
120KN
(2)
18KN/m
5m
4m
DM
AM
AM
BM
CM
DM
A0
A B C D D0
36
120
240
96
1
5 3
' ; ' tan
cos 4 4
CC C C b
b
D D D
= = = D =
M0A
ˆ
0
8
˙
` 2MA
ˆ
0 `
4
I
˙
` MB
ˆ
4
I
˙
“ ´6
ˆ
0 `
96 p2q
4I
˙
` 6EI
ˆ
0 `
0 ´ ∆
4
˙
8MA ` 4MB ` 1.5EI∆ “ ´288 (i)
MA
ˆ
4
I
˙
` 2MB
ˆ
4
I
`
4
I
˙
` MC
ˆ
4
I
˙
“ ´6
ˆ
96 p2q
4I
`
240 p2q
4I
˙
` 6E
¨
˝∆ ´ 0
4
`
0 ´
´
3{4
¯
4
˛
‚
4MA ` 16MB ` 4MC ´ 2.625EI∆ “ ´1008 (ii)
MB
ˆ
4
I
˙
` 2MC
ˆ
4
I
`
5
I
˙
` MD
ˆ
5
I
˙
“ ´6
ˆ
240 p2q
4I
` 0
˙
` 6E
˜
´3{4 ´ 0
4
`
´5{4 ´ 0
5
¸
4MB ` 18MC ` 5MD ` 2.265EI∆ “ ´720 (iii)
MC
ˆ
5
I
˙
` 2MD
ˆ
5
I
` 0
˙
` MD0
ˆ
0
8
˙
“ ´6 p0q ` 6
¨
˝
0 ´
´
´3{4
¯
5
` 0
˛
‚
5MC ` 10MD ´ 1.5EI∆ “ 0 (iv)
Resistencia de Materiales I-II
pagina 27
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25. Ingeniería Civil 3 Método de tres Momentos
ÿ
MO “ 0
MA ´ MD ` VA
ˆ
16
3
` 4
˙
` VD
ˆ
5 `
20
3
˙
´ 18 p4q
ˆ
16
3
` 2
˙
` 120 p2q “ 0
MA ´ MD `
28
3
pVAq `
35
3
VD ´ 288 “ 0
Equilibrio en el miembro AB
MA ´ MB ´ 18 p4q p2q ` VA p4q “ 0
VA “ 36 `
MB ´ MA
4
Equilibrio en el miembro CD
MC ` VD p5q ´ MD “ 0
VD “
MD ´ MC
5
MA ´ MD `
28
3
ˆ
36 `
MB ´ MA
4
˙
`
35
3
ˆ
MD ´ MC
5
˙
´ 288 “ 0
MA ´ MD `
7
3
pMB ´ MAq `
7
3
pMD ´ MCq “ ´48
´
4
3
MA `
7
3
MB `
4
3
MD ´
7
3
MC “ ´48 (v)
Resolviendo las ecuaciones se tiene
MA “ ´4.149 ; MB “ ´57.614 ; MC “ ´28.049 ; MD “ 11.589 rKN.ms
EI∆ “ ´16.234 rKN.m3
s
Cálculo de cortantes
VAB “ 36 ´
1
4
p´4.149 ´ p´37.614qq “ 22.634
VBA “ ´36 ´
1
4
p´4.149 ´ p´37.614qq “ ´49.366
VBC “ 60 ´
1
4
p´57.614 ´ p´28.049qq “ 67.391
VCB “ ´60 ´
1
4
p´57.614 ´ p´28.049qq “ ´52.609
VCD “ VDC “ 0 ´
1
5
p´28.049 ´ 11.589q “ ´7.928 rKNs
Resistencia de Materiales I-II
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26. Ingeniería Civil 3 Método de tres Momentos
-
-
+
- -
-
67.391
49.366
71.707
N
(KN)
67.391
49.366
22.634
7.928
52.609
+
+
-
-
+
V
(KN)
57.614
28.049
57.614
4.149
11.589
28.049
- -
+ -
+
+
-
120
77.169
5.118
2m
M
(KN.m)
36
A
B
C D
16KN.m
10KN/m
8KN
6m 6m
2m
2m
B
C DB C D
2m
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27. Ingeniería Civil 3 Método de tres Momentos
-
+
120KN
18KN/m
A
B C
D
2m 2m 3m
4m
-
+
22.634KN
67.391KN
4.149KN.m
49.366KN
52.609KN
11.589K
N.m
- -
-
67.391
49.366
71.707
N
(KN)
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