«Решение задач на комбинации
многогранников и тел
вращения»

20.02.2023 2
Шар (сфера) называются вписанными в
многогранник, если все грани многогранника
касаются поверхности шара (сферы).

20.02.2023
3
Шар (сфера) называются описанными около
многогранника, если все вершины многогранника
принадлежат поверхности шара (сфере).

Шар вписанный в цилиндр.
20.02.2023
4
Центр шара – середина отрезка, соединяющего центры
оснований цилиндра.

20.02.2023 5
Центр – середина отрезка, соединяющего центры оснований
цилиндра.
Шар описанный около цилиндра

20.02.2023 6
Центр – точка пересечения
высоты конуса и биссектрисы
угла между образующей конуса
и плоскостью основания .
Центр – точка пересечения
высоты конуса и серединного
перпендикуляра к
образующей конуса .
А
В
С
К
О
D
А
В
К
О
D
В
С
Н
О
А
К
Шар вписан в конус
Шар описан около конуса

20.02.2023 7
5
1
2
3
4
Шар вписанный в конус
Шар описанный около конуса
Конус вписанный в шар
Шар вписанный в цилиндр
Шар вписанный в куб
Задачи

20.02.2023
8
Высота конуса 8, образующая 10. Найдите
радиус вписанного шара
А
В
С
К
О
Решение:
D
1) 6
64
100
2
2




 АО
АС
ОС
2) 12
,
: 



 DС
медиана
АО
АD
АС
АСD
3)
р
S
r
КВ
р
рr
S ADC 



 ,
4) 48
12
8
2
1
2
1






 AO
DС
S ACD
5)
3
16
48
16
2







КВ
r
CD
AC
AD
p
8
1
А
В
К
О
8

20.02.2023 9
Высота конуса равна 2, образующая равна
4. Найдите радиус описанного шара.
В
Н
О
С
А
Решение:
1)

 


S
abc
AO
R
R
abc
S АВС
2
,
2
2 2)
12
:
2
2





СН
СВ
ВН
r
СВН
3)
2
4
2
2
2
4
:







НВ
АН
СВ
АС
АВС
4) 3
4
2
1




 CH
AB
S ABC
5) 4
3
4
4
3
4
4
4





 ОА
Rш
3
4
2
1




 CH
AB
S ABC
2

20.02.2023 10
В шар вписан конус, образующая которого равна
диаметру основания. Найдите отношение полной
поверхности этого конуса к поверхности шара
В
С
Н
О
А
Решение:
1)
2)
3)
4)
5)
к
к r
l 2

2
2
2
2
4
3
4
)
2
(
4
)
(
R
r
R
r
r
r
R
l
r
r
S
S
ш
к







4
3
60
2
1 2
2 l
Sin
AB
S
ABC
ABC 




3
4
l
S
abc
ОА
Rш 



5625
,
0
16
9
2
4
3
3
2
2
2





r
r
S
S
ш
k
равносторонний
3

В
С
Н
О
А
20.02.2023
11
Площадь поверхности шара равна 330.
Найдите площадь полной поверхности цилиндра,
описанного около шара.
Решение: 1)
2
2
.
.
6
6
)
2
(
2
)
(
2
ц
ц
ц
ц
ц
ц
ц
ц
ц
п
п
R
R
R
R
R
R
h
R
S













2)
ц
ш
ш
ц
R
R
ОА
d
h



 2
3)



4
330
4
330
;
4
2
2
2





ОА
ОА
ОА
Sш
4)


4
330
6
.
. 

ц
п
п
S
К
495

4

20.02.2023 12
В куб вписан шар. Найдите площадь поверхности
шара, если площадь полной поверхности
куба равна 1170/π
B1
О
D
D1
А
А1
С
С1
Решение:
1) 1
2
.
2
1
2
1
,
4 AA
SN
R
R
S ш
ш
п 

 
2)
2
1
2
.
. 6
1170
,
6 АА
а
S к
п
п 



3)

6
1170
1 
АА
4)

6
1170
2
1

 SO
Rш
5)


6
1170
4
1
4 


ш
S 195

В
5

20.02.2023 13
1В. 1 Найдите площадь поверхности шара, описанного
около конуса, у которого радиус основания , а высота
равна
Задачи для самостоятельного решения
Ответ: 25
2В.1 В шар вписан конус. Найдите высоту конус, если
радиус шара равен 5, а радиус основания конуса равен 4.
Ответ: 8
1В.2 Радиус шара, описанного около куба, равен 3.
Найдите площадь поверхности куба. Ответ:24
2В.2 В шар, площадь поверхности которого равна 100π,
вписан цилиндр. Найдите высоту цилиндра, если радиус
его основания равен 4.
Ответ: 6

СПАСИБО ЗА
ВНИМАНИЕ!