PROJET DE FIN D’ANNÉE
(PFA 2ème
année )
 Etude théorique des modulations M-aire:QAM et MDP
 Implémentation d’une chaine ...
Sommaire
Introduction générale ..............................................................................................
Chapitre 4 : Comparaison des performances des des modulations QAM et PSK
Diagramme de constellation .........................
Démodulateur Décodeur
Destinataire
Introduction
Les systèmes de transmission numérique véhiculent de l'information entre
u...
différentes techniques de transmission sont les suivantes:
- La probabilité d'erreur Pe par bit transmis permet d'évaluer ...
I. Etude théorique des modulations M-aire (QAM et MDP) :
 Modulation M-aire :
La modulation a pour objectif d'adapter le ...
 Le message à transmettre est issu d'une source binaire. Le signal modulant,
obtenu après codage, est un signal en bande ...

 Le shéma théorique de la modulation M-aire est représenté ci-dessous :
Les différents types de modulations (MDP et QAM...
minimale dmin, entre les points représentatifs de ces symboles. Plus cette
distance est grande et plus la probabilité d'er...
.
Dans le cas de la MDP, les symboles Ck sont répartis sur un cercle de rayon R à
fixer en fonction de l’énergie des symbo...
A. cos(φk) et que la porteuse en quadrature sin(ω0t + φ0) est modulée en amplitude par
le signal A. sin(φk).
 On appelle ...
Généralement on parle d’une modulation PSK d’ordre M .
 Modulation et démodulation de la MDP-M :
Les bits du train entran...
 Probabilité d’erreur :
II. Modulation QAM :
QAM est l'une des techniques de modulation largement utilisé en raison de so...
b)Pourquoi la modulation QAM :
La MDA et la MDP ne constituent pas une solution satisfaisante pour utiliser
efficacement l...
L'expression de m(t) peut être représentée graphiquement. Ainsi une représentation
dans le plan complexe qui fait correspo...
En ne considérant le signal m(t) que pendant une période T, on a :
m(t) ak.cos0t 0 bk.sin0t 0 Re[(ak jbk).e...
bk peut par conséquent représenter un mot de 2n bits. L'intérêt de cette
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CNA
Oscillateur /2
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5.Applications :
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Les transmissions par satellite:
Les transmissions par satellite sont caractérisées par une forte atténuation de l'espace ...
1. Modulation QAM sous MATLAB
2.1 Model SIMULINK :
Le modèle est construit en utilisant un générateur de signal aléatoire ...
figure 3.2: Parameter Setting for Random Integer
General QAM:
Constillation 16-QAM: (M=4)
[-1.89-1.89i -1.89-.63i -1.89+.6...
La première constellation QAM rectangulaire habituellement rencontrée est 16-
QAM, diagramme de constellation pour qui est...
Error rate calculation:
“To Workspace” block:
 RESULTS AND DISCUSSIONS
Constellation avant le canal AWGN :
Constellation après le canal AWGN :
pour Es/N0 = 0
pour Es/N0 = 50
On remarque qu’en augmentant Eb /No le signal reçu devient de plus en plus
proche de constellation du signal. Afin d’obten...
On commence par afficher la constellation du signal reçu en changeant M, et on
gardant le même rapport Signal à Bruit par ...
achever l’adaptation. On peut ajouter que l'avantage à coder les points de la
constellation selon le code de Gray est que ...
l'amplificateur ou la tolérance au bruit. D’autre part, le Rapport Signal à Bruit par bit
(EbNo) infecte aussi le taux d’e...
Figure 4.1: Plots of the BER of the Simulated QAM techniques
BER of 16-QAM pour différentes valeur of (Eb/No):
Figure 4.2 ...
Figure 4.2: Plots of the BER of the Simulated 8-QAM at different levels of the
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BER of...
Figure : Simulation 8-QAM à des valeurs d’energie de signal différentes en function de BER
CONCLUSION
Le projet aborde un ...
Pour moduler un signal en utilisant une modulation numérique avec un alphabet
de M symboles, on commence avec un signal qu...
Constellation :
 RESULTS AND DISCUSSIONS
Constellation avant le canal AWGN :
Constellation après le canal AWGN :
pour Es/N0 = 0
pour Es/N0 = 50
On remarque qu’en augmentant Eb /No le signal reçu devient de plus en plus
proche de constellation du sign...
• Block panel :
Dans ce modèle nous simulons une chaine de transmission modulé en PSK afin
d’évaluer les performances de c...
 Le modèle est basé sur une boucle While infinie qui permet de tourner en
permanence le programme qu’elle contient. Nous ...
 9 : BER
 10 : Constellation diagramm
 Le front panel contient deux graphes et un label illustrant : le diagramme de
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 Réglage Eb/N0 et BER :
 En faisant quelques mesures nous avons trouvez les résultats suivants :
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 Eb/N0=10...
Pour Eb/N0=10 on voit bien l’impact sur le diagramme de l’œil où la distorsion
d’amplitude est importante par rapport au c...
 Pour une énergie importante, le message transmis est reçu sans aucun
problème ainsi que le diagramme de constellation mo...
 Block Panel :
V. Comparaison des performances des deux modulations :
QAM et MDP :
Les critères que nous allons prendre e...
A part M=4 ( 4PSK et 16QAM ) les diagrammes de constellations des
deux modulations ne se ressemblent plus .
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Diagramme de constellation de la QAM-16
 Performances :
Pour ce paramètres nous allons nous baser sur la comparaison du B...
Le tracé ci-dessus illustre une comparaison entre les BER des différentes
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Conclusion générale:
L'extraordinaire variété de l’application que nous venons d'exposer met en
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Annexe :
1. Distance de Hamming :
 Soit A un alphabet et F l'ensemble des suites de longueur n à valeur dans A.
La distan...
Hypercube binaire de dimension quatre
Un cas important est celui où l'alphabet est le corps à deux éléments {0,1}. Une let...
BIBLIOGRAPHIE/WEBLIOGRAPHIE :
[1] GLAVIEUX Alain / JOINDOT Michel, Communications numériques,
Paris, Masson, 1996.
[2] BIC...
QAM et MDP sous MATLAB et LABVIEW ( canal: AWGN,multipath)
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QAM et MDP sous MATLAB et LABVIEW ( canal: AWGN,multipath)

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*Etude théorique des modulations M-aire, QAM et MDP
*Implémentation d'une chaine de transmission numérique sous MATLAB/LABVIEW ( canal à AWGN , multi-path)
*comparaison de performances de deux modulations : QAM et MDP.

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QAM et MDP sous MATLAB et LABVIEW ( canal: AWGN,multipath)

  1. 1. PROJET DE FIN D’ANNÉE (PFA 2ème année )  Etude théorique des modulations M-aire:QAM et MDP  Implémentation d’une chaine de transmission (canal : AWGN et multi-trajets ) sous MTLAB / LABVIEW  Comparaison des deux modulations QAM et MDP Réalisé par : • Abderrahim LAHMAR • Abdelaali HADDOUCHI Ecole Nationale Supérieure d’Electricité et de Mécanique
  2. 2. Sommaire Introduction générale ................................................................................................................................. Chapitre 1 : Etude théorique des modulation numérique M-Aire, MDP et QAM 1-Modulation M-Aire................................................................................................................................. Diagramme de constellation Les critères de choix d'une modulation M-aire 2- Modulation MDP (PSK) ........................................................................................................................ .................................................................................................................................................. ………………........................................................................................................................... 3- Modulation QAM.................................................................................................................................. Introduction............................................................................................................................................. Définition ................................................................................................................................................ Pourquoi la modulation QAM................................................................................................................. Les constellations MAQ-M................................................................................................................ Modulation et démodulation .............................................................................................................. Performances………………………………………………………………………… Applications........................................................................................................................................ 4- Conclusion ............................................................................................................................................. Chapitre 2 : Implémentation d’une chaine de transmission MDP et QAM sous MAtlab 1-Modulation QAM sous MATLAB.......................................................................................................... Model SIMULINK ......................................................................................................................... Calcul de taux d’erreur (BERTool).................................................................................................. Conclusion........................................................................................................................................ 2- Modulation MDP sous MATLAB ..................................................................................................... Paramétrage des différentes blocks ................................................................................................ Constellation .................................................................................................................................... Résultats de simulation .................................................................................................................... Chapitre 3 : IMPLIMENTATION SUR LABVEIU 1-Emetteur/récepteur modulé en PSK dans un canal AWGN ................................................................... 2- Emetteur/récepteur modulé en QAM dans un canal AWGN :............................................................... Chaine de transmission d’un texte modulé en QAM .....................................................................
  3. 3. Chapitre 4 : Comparaison des performances des des modulations QAM et PSK Diagramme de constellation ................................................................................................................. Performances………………………………………………….. Efficacité spectrale ............................................................................................................................... Conclusion générale Liste des abreviations………………………………………………………………….. Annexe Bibliographie
  4. 4. Démodulateur Décodeur Destinataire Introduction Les systèmes de transmission numérique véhiculent de l'information entre une source et un destinataire en utilisant un support physique comme le câble, la fibre optique ou encore, la propagation sur un canal radioélectrique. Les signaux transportés peuvent être soit directement d'origine numérique, comme dans les réseaux de données, soit d'origine analogique (parole, image...) mais convertis sous une forme numérique. La tâche du système de transmission est d'acheminer l'information de la source vers le destinataire avec le plus de fiabilité possible. Le schéma synoptique d'un système de transmission numérique est donné à la figure ci-dessous où l'on se limite aux fonctions de base: - La source : émet un message numérique sous la forme d'une suite d'éléments binaires. - Le codeur : il peut éventuellement supprimer des éléments binaires non significatifs (compression de données ou codage de source), ou au contraire introduire de la redondance dans l'information en vue de la protéger contre le bruit et les perturbations presents sur le canal de transmission (codage de canal). Le codage de canal n'est possible que si le debit de source est inférieure à la capacité du canal de transmission (la probabilité d'erreur Pe tend dans ce cas vers 0 d'après les travaux de Hartley- Shannon). - La modulation : a pour rôle d'adapter le spectre du signal au canal (milieu physique) sur lequel il sera émis. - Enfin, du côté récepteur, les fonctions de démodulation et de décodage sont les inverses respectifs des fonctions de modulation et de codage situées du côté émetteur. Schéma d'un système de transmission numérique Les trois caractéristiques principales permettant de comparer entre elles les Source Codeur Modulateur CANAL
  5. 5. différentes techniques de transmission sont les suivantes: - La probabilité d'erreur Pe par bit transmis permet d'évaluer la qualité d'un système de transmission. Elle est function de la technique de transmission utilisée, mais aussi du canal sur lequel le signal est transmis.Il est à noter que Pe est une valeur théorique dont une estimation non biaisée au sens statistique est le Taux d'Erreur par BitTEB. - L'occupation spectrale du signal émis doit être connue pour utiliser efficacement la bande passante du canal de transmission. On est contraint d'utiliser de plus en plus des modulations à grande efficacité spectrale. - La complexité du récepteur dont la fonction est de restituer le signal émis est le troisième aspect important d'un système de transmission
  6. 6. I. Etude théorique des modulations M-aire (QAM et MDP) :  Modulation M-aire : La modulation a pour objectif d'adapter le signal à émettre au canal de transmission. Cette opération consiste à modifier un ou plusieurs paramètres d'une onde porteuse S(t) = Acos(ω0t + φ0) centrée sur la bande de fréquence du canal. Dans les procédés de modulation M-aire, l'information est transmise à l'aide d'un paramètre qui prends M valeurs. Ceci permet d'associer à un état de modulation un mot de n digits binaires. Le nombre d'états est doncM = 2n , Ces n digits proviennent du découpage en paquets de n digits du train binaire issu du codeur.  Un symbole est un élément d'un alphabet. Si M est la taille de l'alphabet, le symbole est alors dit M-aire. Lorsque M=2, le symbole est dit binaire.  La rapidité de modulation R: R = 1 T elle s'exprime en bauds.  Le débit binaire D se définit comme étant le nombre de bits transmis par seconde. D = nR = 1 Tb ( durée d’un bit ).  La qualité d'une liaison est liée au taux d'erreur par bit : T. E. B = nombre de bits faux nombre de bits transmis  L'efficacité spectrale d'une modulation se définit par le paramètre η = D B B est la largeur de la bande occupée par le signal modulé. Pour un signal utilisant des symboles Maires, on aura η = 1 T.B log2(M) Pour B etTdonnés,l'efficacité spectrale augmente, comme on pouvait s'y attendre, avec le nombredebit/symbole n = log2M. C'est en effet la raison de la modulation M-aire.
  7. 7.  Le message à transmettre est issu d'une source binaire. Le signal modulant, obtenu après codage, est un signal en bande de base, éventuellement complexe, qui s'écrit sous la forme : c(t) = ∑ ckg(t − kT)k avecck = ak + bk ∗La fonction g(t) est une forme d'onde qui est prise en considération dans l'intervalle [0, T[ ( t doit vérifier la relation dans l’intervalle [kT, (k + 1)T[.  Dans les modulations qu’on vient d’étudier (MDP et MAQ) la modulation transforme ce signal c(t) en un signal modulé m(t) tel que : 𝑚(𝑡) = 𝑅𝑒[∑ 𝑐 𝑘(𝑡).𝑒 𝑗(𝜔0+𝜑0)𝑘 ] /ῶ₀ ,𝜑0 : pulsation et phase de la porteuse. Si lesck(t)ak(t)jbk(t)sont réels (bk(t)0), la modulation est dite unidimensionnelle, et s'ils sont complexes la modulation est dite bidimensionnelle. m(t)ak(t).cos0t0bk(t).sin0t0 ou encore : m(t)a(t).cos0t0b(t).sin0t0 en posant : a(t)ak(t) et b(t)bk(t) et on a ak(t)ak.g(tkT)et bk(t)bk.g(tkT)  a(t)ak(t) module en amplitude la porteuse en phase cos0t0  b(t)bk(t) module en amplitude la porteuse en phase sin0t0 Dans la plupart des cas les deux signaux élémentairesak(t) et bk(t)sont identiques àun coefficient près et ils utilisent la même forme d’impulsion g(t) appelée aussi « formant » . ak(t)ak.g(tkT)etbk(t)bk.g(tkT) Lessymbolesak et bk prennent respectivement leurs valeurs dans l'alphabet (A1, A2,… AM)etdans l'alphabet (B1, B2,…BM).
  8. 8.   Le shéma théorique de la modulation M-aire est représenté ci-dessous : Les différents types de modulations (MDP et QAM ) sont définies par les alphabets ck et la fonction g(t). A chaque symbole émis correspond un signal élémentaire de la forme : mk(t)ak.g(tkT).cos0t0bk.g(tkT).sin0t0 Le signal modulé m(t) véhicule des informations distinctes à traversak(t)et bk(t)quisont deux signaux en bande de base appelés respectivement composante en phase (I en anglais) et composante en quadrature (Q en anglais)  Diagramme de constellation : Une représentation dans le plan complexe qui fait correspondre à chaque signal élémentaire un point 𝐶 = 𝐴 𝑘 + 𝑗𝐵 𝑘 permet de différencier chaque type de modulation. Le choix de la répartition des points dépend des critères suivants: -Pour pouvoir distinguer deux symboles, il faut respecter une distance
  9. 9. minimale dmin, entre les points représentatifs de ces symboles. Plus cette distance est grande et plus la probabilité d'erreur sera faible. La distance minimale entre tous les symboles est: dmin = Min i≠j (dij) avec dij = |Ci − Cj|² Ceci est à rapprocher avec la définition de la distance deHamming.(voir annexe) - A chaque symbole émis correspond un signal élémentaires mk(t) et par là mêmeune énergie nécessaire à la transmission de ce symbole.Dans la constellation, la distance entre un point Et l'origine est proportionnelle à la racine carrée de l'énergie qu'il faut fournir pendant l'intervalle de temps [kT, (k+1)T[ pour émettre ce symbole. La puissance moyenne d'émission des symboles est assimilable à ∑ |𝐶𝑖|²𝑖 et la puissance crête à |𝐶𝑖|2 .𝑖 𝑀𝑎𝑥 Les deux critères évoqués ci-dessus sont antagonistes puisque l'on serait tenté d'une part d'éloigner les symboles au maximum pour diminuer la probabilité d'erreur et d'autre part, de les rapprocher de l'origine pour minimiser l'énergie nécessaire à la transmission. Les critères de choix d'une modulation M-aire( MDP ou QAM ) sont :  La constellation qui suivant les applications mettra en évidence une faible énergie nécessaire à la transmission des symboles ou une faible probabilité d'erreur.  L'occupation spectrale du signal modulé.  La simplicité de réalisation (avec éventuellement une symétrie entre les points de la constellation  Modulation MDP :  MDP : modulation par déplacement de phase , appelé souvent PSK ( Phase Shift Keying ) , appartient aux formes de modulations numériques qui ont toutes pour principe de véhiculer de l'information binaire via la phase d'un signal de référence (porteuse), et exclusivement par ce biais.  L’expression générale d’un signal modulé en PSK est: Avec Ck(t) = ak(t) + bk(t) Les signaux élémentaires 𝑎 𝑘(𝑡) et 𝑏(𝑡) utilisent la meme forme d’onde g(t) ( on va la prendre comme une impulsion rectangulaire , de durée T et d’amplitude A appartient à l’intervalle[0, T[ et égale à 0 ailleurs 0 0( ) ( ) Re ( ) j t k k m t c t e         
  10. 10. . Dans le cas de la MDP, les symboles Ck sont répartis sur un cercle de rayon R à fixer en fonction de l’énergie des symboles, et par conséquent : 𝑐 𝑘 = 𝑎 𝑘 + 𝑗𝑏 𝑘 = 𝑒 𝑗𝜑 𝑘d’où𝑎 𝑘 = cos(𝜑 𝑘) et 𝑏 𝑘 = sin(𝜑 𝑘) On pourrait imaginer plusieurs MDP-M pour la même valeur de M où les symboles seraient disposes de façon quelconque sur le cercle !Pour améliorer les performances par rapport au bruit ,on impose aux symbols d'être répartis régulièrement sur le cercle (il sera ainsi plus facile de les discerner en moyenne).L'ensemble des phases possibles se traduit alors par les expressions suivantes: { 𝜑 𝑘 = 𝜋 𝑀 + 𝑘 2𝜋 𝑀 𝑙𝑜𝑟𝑠𝑞𝑢𝑒 𝑀>2 𝜑 𝑘 = 0 𝑜𝑢 𝜑 𝑘 = 𝜋 𝑙𝑜𝑟𝑠𝑞𝑢𝑒 𝑀 = 2 Les symboles ck prennent leurs valeurs dans un alphabet de M > 2 éléments ejφk où φk est défini ci-dessus avec k = 0,1,…M-1. On peut aussi considérer que aket bk prennent simultanément leurs valeurs dans l'alphabet cos(φk) et sin(φk) Le signal modulé devient : Soit plus simplement en ne considérant que l'intervalle de temps [kT, (k + 1)T[ : Cette dernière expression montre que la phase de la porteuse est modulée par l'argument φk de chaque symbole ce qui explique le nom donné à la MDP Remarquons aussi que la porteuse en phase cos(ω0t + φ0) est modulée en amplitude par le signal g(t) t A T 2( ) Tt g t rect T         0 0 0 0( ) ( ) ( ) Re . ( ). Re ( ).k kj j t j t k k m t e g t kT e g t kT e                        0 0 0 0 0 0 ( ) cos( ) cos( ) ( ) cos cos sin sin ( ) cos( )cos( ) sin( )sin( ) k YX k k m t A t A X Y m t A X Y A X Y m t A t A t                    
  11. 11. A. cos(φk) et que la porteuse en quadrature sin(ω0t + φ0) est modulée en amplitude par le signal A. sin(φk).  On appelle "MDP-M" une modulation par déplacement de phase (MDP) correspondant à des symboles M-aires. On distingue:  La modulation PSK-2  La modulation PSK-4 :  La modulation PSK-8 : j Im Re -1 1 M=4 M=4 -j j Im Re -1 1 -j M=2
  12. 12. Généralement on parle d’une modulation PSK d’ordre M .  Modulation et démodulation de la MDP-M : Les bits du train entrant sont regroupé par nlog2(M) bits pour former des symboles ck qui sont répartis sur un cercle et vérifient : φk = π M + k 2π M lorsque M>2 Exemple de modulateur/démodulateur PSK-M :  Pour générer les ak et les bk , on intercale un convertisseur numérique/analogique après le codeur .  De même le démodulateur fait intervenir deux convertisseurs A/N ainsi qu'une logique de décodage pour déterminer les symboles puis régénérer le train de bits reçus : j Im Re -1 1 M=8 M=8 -j
  13. 13.  Probabilité d’erreur : II. Modulation QAM : QAM est l'une des techniques de modulation largement utilisé en raison de son efficacité dans la puissance et la bande passante. Dans le système à modulation QAM , deux signaux modulés en amplitude (AM) sont combinés dans un seul canal, ce qui double la largeur de bande effective . La modulation QAM est une des techniques de modulation adaptative qui sont couramment utilisés pour les communications sans fil. Différentes modulations de commande permettent l'envoi de plus de bits par symbole et de parvenir ainsi à des débits plus élevés ou de meilleures efficacités spectrales. Lors de l'utilisation d'une technique de modulation tels que 64-QAM, de meilleurs rapports signal sur bruit (SNR) sont nécessaires pour éviter toute interférence et de maintenir un certain taux d'erreur binaire (BER) . a)Définition : La modulation d'amplitude en quadrature (en anglais ,Quadrature Amplitude Modulation : QAM) est une forme de modulation d'une porteuse obtenue par modification de l'amplitude de la porteuse elle-même et d'une onde en quadrature (une onde déphasée de 90° avec la porteuse) selon l'information transportée par deux signaux d'entrée. C'est une modulation dite bidimensionnelle. qualifiée de multi-niveaux ou M-aires. On parle ainsi de 4-QAM, 8-QAM, 16-QAM, 64-QAM, 256-QAM ou 1024 QAM en fonction du nombre de symboles M possibles. Autrement dit, cela peut être considéré (utilisant une notation en nombre complexe) comme une simple modulation d'amplitude d'une onde, exprimée en complexe, par un signal, exprimé en complexe .Cela signifie que l'amplitude et la phase de la porteuse sont simultanément modifiées en fonction de l'information à transmettre.
  14. 14. b)Pourquoi la modulation QAM : La MDA et la MDP ne constituent pas une solution satisfaisante pour utiliser efficacement l'énergie émise lorsque le nombre de points M est grand. En effet, dans la MDA les points de la constellation sont sur une droite, et dans la MDP les points sont sur un cercle. Or, la probabilité d'erreur est fonction de la distance minimale entre les points de la constellation, et la meilleure modulation est celle qui maximise cette distance pour une puissance moyenne donnée. Un choix plus rationnel est alors une modulation qui répartit les points uniformément dans le plan. 1.Etude théorique : Le signal modulant, obtenu après codage, est un signal en bande de base, éventuellement complexe, qui s'écrit sous la forme : 𝑐(𝑡) = ∑ 𝑐 𝑘 𝑔(𝑡 − 𝑘𝑇)𝑘 avec 𝑐 𝑘 = 𝑎 𝑘 + 𝑏 𝑘 la modulation QAM transforme ce signal c(t) en un signal modulé m(t) tel que : 𝑚(𝑡) = 𝑅𝑒[∑ 𝑐 𝑘(𝑡).𝑒 𝑗(𝜔0+𝜑0)𝑘 ] avec 𝜔0 ,𝜑0 : pulsation et phase de la porteuse. ck(t)ak(t) jbk(t) sont des complexes, d’où l’appelation de la modulation QAM en modulation bidimensionnelle. En posant ck = ak +j bk = Ak.ejk Le signal m(t) s'écrit alors : m(t) = Ak. ej( 0t 0 ) Ou : m(t)ak(t).cos0t0bk(t).sin0t0 avec ak(t)ak.g(tkT) et bk(t)bk.g(tkT) en posant : a(t)ak(t) et b(t)bk(t) m(t) sera égale à : m(t)a(t).cos0t0b(t).sin0t0 a(t)ak(t) module en amplitude la porteuse en phase cos0t0 b(t)bk(t) module en amplitude la porteuse en phase sin0t0  Le signal modulé m(t) est donc la somme de deux porteuses en quadrature, modulées en amplitude par les deux signaux a(t) et b(t).  On parle de quadrature car cos0t0 et sin0t0sont en quadrature de phase.
  15. 15. L'expression de m(t) peut être représentée graphiquement. Ainsi une représentation dans le plan complexe qui fait correspondre à chaque signal modulé élémentaire un point Ck = ak +j bk permet de différencier chaque type de modulation, l'ensemble de ces points associer aux symboles porte le nom de constellation. L'avantage de la QAM est qu'on transmet en même temps avec une seule porteuse de fréquence fo deux informations distinctes ak et bk correspondant respectivement à la composante en phase CN(t) et à la composante en quadrature CQ(t). Ce qui permet d'éviter le gaspillage de largeur de bande de fréquence. 1. "MAQ" : une généralisation de la MDA et de la MDP :
  16. 16. En ne considérant le signal m(t) que pendant une période T, on a : m(t) ak.cos0t 0 bk.sin0t 0 Re[(ak jbk).e j( 0t0 ) ] avec : ck  ak  jbk e jk en posant : 𝐴 𝑘 = √ 𝑎k 2 + 𝑏𝑘 2 etk arctg(bk/ak) Le signal m(t) s'écrit alors : m(t) Ak .cos0t 0 k   Cette écriture montre que la modulation MAQ peut être considérée comme une modulation simultanée de la phase et de l'amplitude : - Ainsi la modulation de phase MDP peut être considérée comme une modulation MAQ où Ak est constant. - De même, la modulation d'amplitude MDA peut être considérée comme une modulation MAQ où les bk sont nuls Cette écriture justifie aussi l'appellation de "Modulation par Déplacement d'Amplitude et de Phase" (MDAP) parfois donnée à la MAQ. - La modulation CIR(4,4,4,4) à 4 amplitudes et 4 phases, dont la constellation est donnée figure ci-dessous, en est un exemple. Constellation de la MDAP-16. 2.Les constellations MAQ-M Les symboles ak et bk prennent respectivement leurs valeurs dans deux alphabets à M éléments (A1, A2,… AM) et (B1, B2,… BM) donnant ainsi naissance à une modulation possédant un nombre. E = M2 états. Chaque état est donc représenté par un couple ( ak , bk ) ou ce qui revient au même par un symbole complexe ck = ak + j bk . Dans le cas particulier mais très fréquent où M peut s'écrire M = 2^n , alors les ak représentent un mot de n bits et les bk représentent aussi un mot de n bits. Le symbole complexe ck = ak + j CIR(4, 4,4,4) ou MDAP16
  17. 17. bk peut par conséquent représenter un mot de 2n bits. L'intérêt de cette configuration est que le signal m(t) est alors obtenu par une combinaison de deux porteuses en quadrature modulées en amplitude par des symboles ak et bk indépendants. De plus, les symboles ak et bk prennent très souvent leurs valeurs dans un même alphabet à M éléments. Par exemple, la MAQ-16 est construite à partir de symboles ak et bk qui prennent leurs valeurs dans l'alphabet {d, 3d} où d est une constante donnée. Une représentation de la constellation de cette modulation est donnée figure 25. La MAQ-16 a été souvent utilisée, notamment pour la transmission sur ligne téléphonique du RTC (à 9600 bit/s) et pour les faisceaux hertziens à grande capacité (140 Mbits/s) développés dans les années 1980. Plus généralement lorsque les symboles ak et bk prennent leurs valeurs dans l'alphabet {d, 3d, 5d,…,(M-1)d} avec M = 2n ,.on obtient une modulation à 22n états et une constellation avec un contour carré dont font partie la MAQ-4, la MAQ-16, la MAQ-64 et la MAQ-256. Figure 25 La constellation de la MAQ-16 et de la MAQ-64. Figure 25 : Constellations MAQ-16 et MAQ-64 3.Modulation et démodulation En transmissions numériques, le rôle du modulateur est d’abord de former des groupes de N bits en un signal appelé symbole. Le type (amplitude, phase, fréquence) et l’indice (4, 16,64…) de la modulation vont déterminer le nombre M de symboles distincts qu’il est possible MAQ-64MAQ-16
  18. 18. CNA Oscillateur /2 {ak} cos0t  0 {bk} b(t)  sin0t   Aiguillage de transmettre. Le nombre de symboles (l’alphabet) dicte alors combien de bits sont codés par symbole, selon la relation suivante: ) Lorsque le signal m(t) est obtenu par une combinaison de deux porteuses en quadrature modulées en amplitude par des symboles ak et bk indépendants, cela simplifie le modulateur et le démodulateur. En effet, pour le modulateur le train binaire entrant { ik } est facilement divisé en deux trains{ak} et { bk.} (figure ci-dessous). Train binaire m(t) {ik} CNA a(t)
  19. 19.  La réception d'un signal MAQ fait appel à une démodulation cohérente et par conséquent nécessite l'extraction d'une porteuse synchronisée en phase et en fréquence avec la porteuse à l'émission. Le signal reçu est démodulé dans deux branches parallèles, sur l'une avec la porteuse en phase et sur l'autre avec la porteuse en quadrature. Les signaux démodulés sont convertis par deux CAN, puis une logique de décodage détermine les symboles et régénère le train de bits reçus. Le synoptique du démodulateur MAQ-M est très voisin de celui proposé pour la démodulation MDP. 4.Performances : a)Efficacité spectrale : L’efficacité spectrale est un indicateur qui mesure la qualité d’un codage ou telle que := Db/W Pour illustrer l’avantage de la modulation QAM haut niveau, le Tableau 1 ci- dessous montre les gains obtenus sur le débit binaire et l’efficacité spectrale pour une vitesse de modulation et une bande passante données. Pour une même rapidité de modulation R 1/T, le débit binaire D  1/Tb de la MAQ-M est multiplié par n  log2 M par rapport à celui de la MAQ-2. Autrement dit, pour une largeur de bande B donnée, l'efficacité spectrale   D/B est multiplié par n  log 2 M. n M=2n Modulation Débit Binaire : D Efficacité Spectrale :  1 2 MAQ-2 D  2 4 MAQ-4 2.D 2. 4 16 MAQ-16 4.D 4. 6 64 MAQ-64 6.D 6. 8 256 MAQ-256 8.D 8. Le tableau ci-dessus montre le gain obtenu sur le débit binaire et sur l'efficacité spectrale pour diverses modulations MAQ-M, ceci pour une même rapidité de modulation. L'intérêt d'augmenter M, même au prix d'une complexité accrue, est évident. b)Probabilité d’erreur  Le signal à transmettre s(nTsym) est sous forme : Avec i,k ={-1,0,1,2} pour 16 QAM  Le bruit vI(nTsym) et vQ(nTsym) independent Gaussian random variables ~ N(0; 2 /Tsym) dkjdibjanTs nnsym )12()12()( 
  20. 20.   Probability d’une detection correct: • Probabilé d’une erreur symbole 5.Applications : Les domaines d'applications de la modulation QAM sont très variés Quelques-uns sont décrits ci après. Les modems téléphoniques : La transmission de données sur le canal téléphonique a été pendant les années 60 et 70 à l'origine du développement d'un grand nombre de techniques de traitement du signal en télécommunications. La transmission d'un grand débit sur le canal téléphonique (sur une bande de fréquence de 3500 Hz environ) a nécessité la mise en oeuvre de modulations à grand nombre d'états comme la MAQ-16, la MAQ-32 et la MAQ-128. Les faisceaux hertziens : Au début de la numérisation, les faisceaux hertziens faisaient usage de modulations simples comme la MDP-4 mais l'utilisation efficace du spectre radioélectrique disponible a nécessité le développement de faisceaux hertziens utilisant des modulations a grand nombre d'états comme la MAQ-16 et la MAQ-64. C'est la modulation MAQ-16 qui a permis la transmission d'un débit de 140 Mbit/s dans la bande 6,4-7,1 GHz pour des canaux espacés de 40 MHz. Aujourd'hui, des faisceaux hertziens utilisent la modulation MAQ-256 qui offre un débit de 280 Mbit/s pour des canaux espacés de 30 MHz. Notons que l'émetteur doit avoir une bonne linéarité pour transmettre ce type de modulations. )()()( symQsymIsym nTvjnTvnTv  211 16 8                          symsym T d QT d Q  22 1 16 4 21 16 4 )(                          symsym T d QT d QcP               symsym T d QT d Q  2 4 9 31              symsym T d QT d QcPeP  2 4 9 3)(1)(
  21. 21. Les transmissions par satellite: Les transmissions par satellite sont caractérisées par une forte atténuation de l'espace et une puissance limitée de l'émetteur à bord du satellite. Ces considérations privilégient l'efficacité en puissance (l'immunité au bruit) contre l'efficacité spectrale des liaisons. Les modulations les plus souvent utilisées sont la MDP-2, la MDP-4 et la MDP-8 Avec ces modulations, l'amplificateur de puissance à bord du satellite peut être utilisé proche de sa saturation, ce qui permet d'employer efficacement la puissance disponible. Toutefois, on assiste aujourd'hui à un intérêt croissant à utiliser les modulations MDP-16 et MAQ-16 associées à un codage puissant. Le standard en Europe pour la radiodiffusion de la télévision numérique par satellite est basé sur une MDP-4. La radiodiffusion : La technique retenue pour la radiodiffusion numérique sonore est le COFDM (Coded Orthogonal Frequency Division Multiplexing) qui est une technique de transmission multiporteuse associée à du codage de canal et à de l'entrelacement. Elle permettra par exemple d'offrir 16 canaux stéréo dans une bande de fréquence radioélectrique de 4 MHz environ. La radiodiffusion de la télévision numérique par voie terrestre est basée sur la technique COFDM. Elle nécessite une modulation à grande efficacité spectrale comme la MAQ-64 pour diffuser une chaîne de télévision haute définition ou 3 à 4 chaînes de télévision standards dans une bande de fréquence de 8 MHz. III. Implémentation d’une chaine de transmission MDP et QAM sous MAtlab : Ce projet vise à développer un modèle Simulink pour simuler différents types de techniques de modulation / démodulation numérique en particulier les modulations MDP et QAM en utilisant Matlab / Simulink, ensuite analyser les performances de chacune des modulations en évaluant la variation du taux d'erreur binaire (BER ) par rapport à l'énergie de bit et à la densité spectrale de puissance de bruit ( Eb / No ) . Dans l’objectif d’exploiter la modulation QAM sous Matlab, on a réalisé un simulateur qui donne des différents résultats selon la figure suivante *
  22. 22. 1. Modulation QAM sous MATLAB 2.1 Model SIMULINK : Le modèle est construit en utilisant un générateur de signal aléatoire qui alimente le modulateur QAM pui le signal et transmis sous un canal AWGN qui va introduire un bruit blanc dans le signal transmis. Paramétrage des différentes blocks : Random Integer Generator:
  23. 23. figure 3.2: Parameter Setting for Random Integer General QAM: Constillation 16-QAM: (M=4) [-1.89-1.89i -1.89-.63i -1.89+.63i -1.89+1.89i -.63-1.89i -.63-.63i -.63+.63i - .63+1.89i 1.89-1.89i 1.89-.63i 1.89+.63i 1.89+1.89i .63-1.89i .63-.63i .63+.63i .63+1.89i]
  24. 24. La première constellation QAM rectangulaire habituellement rencontrée est 16- QAM, diagramme de constellation pour qui est présenté ici. Un gris codé bit-cession est également donnée. La raison que 16-QAM est habituellement le premier est qu'un bref examen révèle que 2-QAM et 4-QAM sont en fait binaire phase-shift keying (BPSK) et en quadrature phase-shift keying (QPSK), respectivement. Aussi, la performance du taux d'erreur de 8-QAM est proche de celle de 16-QAM (seulement environ 0.5dB mieux), mais son débit est seulement trois quarts que de 16-QAM. AWGN channel:
  25. 25. Error rate calculation: “To Workspace” block:  RESULTS AND DISCUSSIONS Constellation avant le canal AWGN :
  26. 26. Constellation après le canal AWGN : pour Es/N0 = 0 pour Es/N0 = 50
  27. 27. On remarque qu’en augmentant Eb /No le signal reçu devient de plus en plus proche de constellation du signal. Afin d’obtenir le signal source le signal bruité passe par un démodulateur, et après la démodulation on fait une comparaison entre le signal source et le signal reçu après démodulation pour 10 valeurs de Eb/No et on obtient le taux d’erreurs une comparaison entre les 4-QAM, 8-QAM, 16-QAM, et 32-QAM
  28. 28. On commence par afficher la constellation du signal reçu en changeant M, et on gardant le même rapport Signal à Bruit par bit (EbNo=10) : Du point de vue positionnement des points sur la constellation, il est tout à fait possible d’inclure les constellations 4-QAM, 8-QAM et 16-QAM dans celle de la modulation 32- QAM. Par contre, vu que le nombre de bits par symbole varie suivant le type de modulation, il est nécessaire d’apporter quelques modifications à l’encodage, pour
  29. 29. achever l’adaptation. On peut ajouter que l'avantage à coder les points de la constellation selon le code de Gray est que s'il y a une erreur de décodage et qu'on choisisse un point voisin immédiat, alors l'erreur n'est que de un bit, ce qui favorise la correction des erreurs. Maintenant on fait varier le rapport signal à Bruit par bit (EbNo) dans chaque cas pour voir son effet sur le signal reçu dans les figures suivantes : On remarque qu’en donnant une valeur petite au Rapport Signal à Bruit par bit (EbNo) le signal reçu s’éloigne des points de constellation. Et en l’augmentant, le signal reçu devient de plus en plus proche aux points de constellation, quel que soit le type de modulation (4-QAM,… ,32-QAM). Plus le rapport signal/bruit est élevé et plus le degré de modulation QAM est élevé, et donc plus les bits/s et les Hz le sont. Les points de la constellation du QAM sont plus éloignés les uns des autres et cette modulation résiste mieux au bruit, par contre l'amplitude des points les plus éloignées est plus grande ce qui nécessite un amplificateur plus puissant, donc le choix se fait donc selon nos priorités, la puissance de
  30. 30. l'amplificateur ou la tolérance au bruit. D’autre part, le Rapport Signal à Bruit par bit (EbNo) infecte aussi le taux d’erreurs binaires et le nombre d’erreurs, comme montre les tableaux suivants qu’on a pris de la dernière étape de notre application : BERTool : BERTool est une interface graphique interactive pour analyser le taux d'erreur binaire de systèmes de communication (TEB). BER of QAM at Different bitrates: Après la simulation on obtient la figure suivante qui montre le rapport signal à bruit par bit en fonction du taux d’erreurs binaire pour les ordres de modulation divers (16, 32, 64, 256, 512) dans le rapport signal sur bruit de 0-30 dB:
  31. 31. Figure 4.1: Plots of the BER of the Simulated QAM techniques BER of 16-QAM pour différentes valeur of (Eb/No): Figure 4.2 shows a comparison between the transmission errors in the received signal at different noise levels. Since Eb/No is defined as the ratio of bit energy per symbol to the noise power spectral density, in decibels, then increasing this ratio should result in less overall transmission error and decreasing this ratio should result in higher transmission error as shown in the figure. This illustrates how the model captures the variation of the signal power to the power of the applied noise during the transmission process. The results in Figure 4.2 illustrate that the more energy utilized for the transmitted bits and symbols compared to the superimposed noise component the less the transmission error. Theoretically, this could be considered as an option to improve the transmission quality but it also would contribute to higher cost on the transmitter end associated with the required higher energy levels.
  32. 32. Figure 4.2: Plots of the BER of the Simulated 8-QAM at different levels of the noise power spectral density (Eb/No) BER of 8-QAM pour différentes valeurs de l’energie de signal (SNR): La figure ci-dessous montre l'impact de la modification de la puissance du signal transmis sur la variance du bruit généré par le bloc de AWGN. La simulation montre que le taux d'erreur augmente avec l’augmentation de la puissance du signal émis.
  33. 33. Figure : Simulation 8-QAM à des valeurs d’energie de signal différentes en function de BER CONCLUSION Le projet aborde un modèle Matlab / Simulink pour simuler différentes techniques de modulation QAM (8, 16, 32, 64 et 256). Il démontre l'utilisation de la BERTool fourni sous le logiciel Matlab pour mettre en œuvre une approche de simulation de Monte-Carlo, à évaluer et comparer les performances des différentes techniques de QAM. Une approche détaillée étape par étape de modélisation est présenté pour développer le modèle Simulink. L'analyse et la simulation sont effectués pour évaluer la qualité de transmission d'une erreur de transmission optique à différents niveaux de puissance de signal de bruit et d'entrée. Les résultats montrent que plus le taux de bit de QAM, plus l'erreur pourrait être ce qui implique moins de portée de transmission / distance pour les techniques de débits plus élevés. En outre, les résultats de simulation montrent la corrélation entre la puissance de la densité spectrale de bruit et le BER des données transmises. Enfin, le document traite de la relation de proportionnalité entre la puissance du signal d'entrée et la variance de bruit mis en œuvre par le composant ajouté du bruit blanc gaussien. Il fournit un moyen pour simuler les performances de ces techniques de communication avec l'aide de la BERTool dans l'exécution de la phase d'évaluation de ce modèle. 2. Modulation MDP sous MATLAB
  34. 34. Pour moduler un signal en utilisant une modulation numérique avec un alphabet de M symboles, on commence avec un signal que ses valeurs soit des entiers entre 0 et M. On traitera dans cette partie l’exemple qu’on a fait dans les travaux pratiques qui est 16-PSK (M=16). On commence par choisir le M et le nombre de bits à traiter afin de créer un vecteur qui liste des valeurs binaires de longueur égale au nombre des bits aléatoires. Paramétrage des différentes blocks : M-PSK modulator Baseband:
  35. 35. Constellation :
  36. 36.  RESULTS AND DISCUSSIONS Constellation avant le canal AWGN : Constellation après le canal AWGN : pour Es/N0 = 0
  37. 37. pour Es/N0 = 50 On remarque qu’en augmentant Eb /No le signal reçu devient de plus en plus proche de constellation du signal. Afin d’obtenir le signal source le signal bruité passe par un démodulateur, et après la démodulation on fait une comparaison entre le signal source et le signal reçu après démodulation pour 10 valeurs de Eb/No et on obtient le taux d’erreurs IV. Implémentation d’une chaine de transmission MDP et QAM sous Labview : 1.Emetteur/récepteur modulé en PSK dans un canal AWGN : • Front panel :
  38. 38. • Block panel : Dans ce modèle nous simulons une chaine de transmission modulé en PSK afin d’évaluer les performances de cette dernière . Ce modèle se compose de deux parties : - Front panel : interface utilisateur qui permet l’action sur les paramètres du codeur source (débit Dn , Tb), les paramètres du canal( Eb/N0 ,bruit offset) afin d’évaluer la robustesse de la modulation face au bruits . - Block panel : Interface de programmation graphique similaire à celle de Simulink dans Matlab , consiste à relier les bloc entre aux afin d’assurer le transfert des données entre ces derniers et les réglages nécessaires entre les blocs.
  39. 39.  Le modèle est basé sur une boucle While infinie qui permet de tourner en permanence le programme qu’elle contient. Nous citons ci-dessous les dix composants de ce dernier ( 7 du modèle et 3 pour les mesures ) :  1 : Gnenerate Bitstream  2 : Generate filter coefficients  3 : System parameters  4 : Sychronisation parameters  5 : Modulate PSK  6 : channel AWGN  7 : Demodulate PSK Concernant les mesures nous avons utilisé les blocs suivant :  8 : Eye diagramm
  40. 40.  9 : BER  10 : Constellation diagramm  Le front panel contient deux graphes et un label illustrant : le diagramme de constellation, le diaframme de l’œil et le BER .  Graphe de constellation :  Diagramme de l’œil :
  41. 41.  Réglage Eb/N0 et BER :  En faisant quelques mesures nous avons trouvez les résultats suivants :  Eb/N0=60 :  Eb/N0=10 :
  42. 42. Pour Eb/N0=10 on voit bien l’impact sur le diagramme de l’œil où la distorsion d’amplitude est importante par rapport au cas précédant ainsi que la marge au bruit est affaiblie.  Eb/N0=5 :  Nous voyons bien qu’à partir d’une valeur min de Eb/N0 la distinction entre symboles est difficile ainsi que le diagramme de l’œil est moins claire( marge au bruit très faible, largeur étroite).  Emetteur/récepteur modulé en QAM dans un canal AWGN : Eb/N0=60
  43. 43.  Pour une énergie importante, le message transmis est reçu sans aucun problème ainsi que le diagramme de constellation montre que les distance entre les zones de décision des symboles sont maximales.  Eb/N0=10  La capture ci-dessus nous montre clairement que la séquence à transmettre est noyée totalement dans le bruit, ce qui montre la nécessité de l’énergie rayonnée pour implanter la modualtion QAM .  Chaine de transmission d’un texte modulé en QAM :  Front Panel :
  44. 44.  Block Panel : V. Comparaison des performances des deux modulations : QAM et MDP : Les critères que nous allons prendre en considération pour faire la comparaison sont les suivants :  Diagramme de constellation :
  45. 45. A part M=4 ( 4PSK et 16QAM ) les diagrammes de constellations des deux modulations ne se ressemblent plus . les figures ci- dessous illustrent la constellation de PSK-16 et 16QAM . 16QAM a la plus grande distance entre les points, mais nécessite d'amplification très linéaire. 16PSK a moins des exigences de linéarité, mais elle a un l’espacement le plus petit entre les points de la constellation et est donc plus touché par le bruit. Diagramme de constellation de la PSK-16
  46. 46. Diagramme de constellation de la QAM-16  Performances : Pour ce paramètres nous allons nous baser sur la comparaison du BER=f(Eb/N0) des deux modulation pour différents ordre ( M=4,M=8,M=16,M=32).
  47. 47. Le tracé ci-dessus illustre une comparaison entre les BER des différentes modulations pour la même rapport signal sur bruit . Une observation de proche de ce tracé montre que la PSK-4 et la QAM-4 sont confondu pour tout l’intervalle [0,25] dB . A partir de M=8 la modulation PSK parait moins performante devant la QAM. Plus l’ordre de la modulation augmente plus la QAM se favorise sur la PSK en terme de performance.  Efficacité spectrale : La comparaison suivante extraite du livre du Proakis .Elle est faite pour une probabilité d’erreur Pe = 10−5 . A partir d’un rapport Eb/N0 > 10 , la QAM montre une efficacité spectrale remarquable devant la PSK, ce qui permet mieux d’améliorer la capacité du canal. Pour un rapport Eb/N0 < 10 la PSK gagne en terme de robustesse contre le perturabtions (bruit, interférences).
  48. 48. Conclusion générale: L'extraordinaire variété de l’application que nous venons d'exposer met en évidence l'importance capitale des différentes techniques de transmission numérique sur porteuse. Un intérêt majeur des transmissions numériques réside dans la possibilité de leur insertion harmonieuse dans les réseaux intégrés numériques qui se développent de jour en jour. Un autre avantage réside dans la possibilité de conserver l'intégrité de l'information transmettre, ce qui est tout fait impossible avec une transmission analogique. Cependant, la simplicité d'utilisation des modulations analogiques traditionnelles fait qu'elles ne sont pas encore reléguées au musée des techniques désuètes. Les systèmes modernes de communication numérique sont complexes et requirent des circuits de modulation et de démodulation de plus en plus sophistiqués. Nous avons examiné la modulation M-QAM qui est aujourd'hui très utilisée. Il s'avère que le choix d'un type de modulation est toujours déterminé par les contraintes de l'application. Le développement des transmissions numériques s'est appuy; sur les progrès rapides réalisés dans le domaine des circuits intégrés de traitement des signaux. Ainsi, l'utilisation de solutions intégrées devient indispensable au fur et mesure que le niveau de complexité des systèmes s'accort et que le prix consenti par le consommateur diminue VI. LISTE DES ABREVIATIONS - CAN Convertisseur Analogique Numérique - CNA Convertisseur Numérique Analogique - DSP Densité Spectrale de Puissance - MAQ Modulation d'amplitude de deux porteuses en quadrature (QAM Quadrature Amplitude modulation) - MDA Modulation par Déplacement d'Amplitude (ASK Amplitude Shift Keying) - MDAP Modulation par Déplacement d'Amplitude et de Phase - MDF Modulation par Déplacement de Fréquence (FSK Frequency Shift Keying) - MDP Modulation par Déplacement de Phase (PSK Phase Shift Keying) - MDPD Modulation par Déplacement de Phase Différentiel (DPSK Differential Phase Shift Keying) - NRZ Non Retour à Zéro
  49. 49. Annexe : 1. Distance de Hamming :  Soit A un alphabet et F l'ensemble des suites de longueur n à valeur dans A. La distance de Hamming entre deux éléments a et b deF est le nombre d'éléments de l'ensemble des images de a qui diffèrent de celle de b. Formellement, si d(.,.) désigne la distance de Hamming : La notation #E désigne le cardinal de l'ensemble E. Un cas important dans la pratique est celui des symboles binaires. Autrement dit A= {0,1}, On peut alors écrire, si ⊕ désigne le ou exclusif. Dans le cas, fréquent, où l'alphabet est un corps fini, F possède une structure d'espace vectoriel de dimension n. La distance dérive alors d'une pseudo-norme :  Soit K est un corps fini et F l'ensemble des suites de longueur n à valeur dans K. Le poids de Hamming p(a) d'un élément a de F est le cardinal de l'ensemble des images de a non nulles. L'alphabet est souvent F2 le corps à deux éléments {0,1}. Le poids de Hamming est une pseudo-norme car : Néanmoins, si l'alphabet est un corps fini, alors la distance dérive du poids de Hamming, en effet: Exemples : Considérons les suites binaires suivantes : La distance entre a et b est égale à 3 car 3 bits diffèrent.  La distance de Hamming entre 1011101 et 1001001 est 2.  La distance de Hamming entre 2143896 et 2233796 est 3.  La distance de Hamming entre "ramer" et "cases" est 3. Cas binaire : Hypercube binaire de dimension trois
  50. 50. Hypercube binaire de dimension quatre Un cas important est celui où l'alphabet est le corps à deux éléments {0,1}. Une lettre est alors appelée bit. Il est largement utilisé en informatique et en télécommunication. Il est possible d'illustrer graphiquement le code et les distances entre les différents mots. Le cas où un mot comporte trois lettres est illustré sur la figure de gauche. La distance entre 010 et 111 est égale à deux car il est nécessaire de parcourir deux segments pour joindre les deux points. La distance pour joindre les points 100 et 011 est égale à trois. La figure de droite illustre un hypercube binaire de dimension quatre. La distance entre 0110 et 1110 est égale à un, alors que la distance entre 0100 et 1001 est égal à trois. Le poids de Hamming d'un élément a correspond à la distance entre le mot zéro n'ayant que des coordonnées nulles et a. Propriété : Distance : La distance de Hamming est une distance au sens mathématique du terme : (symétrie) (séparation) (inégalité triangulaire) La troisième propriété se démontre par une récurrence sur n. Capacité de correction et distance minimale Article détaillé : Borne de Hamming. La distance minimale δ est le minimum de distance entre deux mots du code. Elle permet de déterminer le nombre maximal d'erreurs tcorrigibles de manière certaine. La valeur de t est en effet celle du plus grand entier strictement inférieur à δ/2. Si M désigne le nombre de mot du code, q le nombre de lettres de l'alphabet A de F et Vt le cardinal d'une boule fermée de rayon t, alors la majoration suivante est vérifiée: Cette majoration porte le nom de Borne de Hamming. Dans le cas d'un code linéaire, et si k désigne la longueur des mots du codes, il existe une autre majoration, dite du borne de Singleton :
  51. 51. BIBLIOGRAPHIE/WEBLIOGRAPHIE : [1] GLAVIEUX Alain / JOINDOT Michel, Communications numériques, Paris, Masson, 1996. [2] BIC J.C. / DUPONTEIL D. / IMBEAUX J.C., Eléments de communications numériques, Transmission sur fréquence porteuses, Paris, Dunod, 1986. [3] F.de COULON, Théorie et traitement des signaux, Paris, Dunod, 1984. [4] LAWRENCE E. LARSON, RF and Microwave Circuit Design for Wireless Communications, Boston London, Artech House, 1996 [5] John G. PROAKIS, Digital communications, USA, McGraw-Hill 1989 [6] Michel DEGAUQUE, Transmission numérique sur porteuse : ASK, FSK et PSK. Probatoire du CNAM de Bordeaux, juillet 1998. [7] http://search.ni.com/pg/1/sn/catnav:ex,n6:SimulationDesign,n8:4018/ q/multipath%20/ [8] http://www.ni.com/newsletter/675/en/ [9] http://www.mathworks.com/examples/simulink-vehicle-electrical-system

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