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UNIVERSITE CADI AYYAD MARRAKECH
FACULTE DES SCIENCES SEMLALIA
Mémoire
Présenté pour l’obtention du
Diplôme des Etudes Supérieures Approfondies (DESA)
UFR : Génie Electrique
Electrotechnique, Electronique de Puissance et Commande Industrielle
Par
DARKAWI Abdallah Mohamed
Maîtrise ès Sciences et Techniques – Informatique Electronique Electrotechnique
Automatique (IEEA)
Etude, développement et mise en œuvre de
deux observateurs de position pour la
commande sans capteurs de la Machine
Synchrone à Aimants Permanents (MSAP)
Mémoire soutenu le 19 juillet 2007 devant le jury composé de :
M. Moulay Tahar LAMCHICH P.E.S FSSM Président de jury
M. Driss YOUSFI P.A ENSAM Encadrant
M. Abdelhaq MOUTTAKI P.A FSSM Examinateur
M. Mustapha RAOUFI P.A FSSM Examinateur
Travaux d’initiation à la recherche réalisés au Laboratoire des Systèmes Embarqués et de Commande
Numérique de l’Ecole Nationale des Sciences Appliquées - ENSA Marrakech

A ma très chère mère
A mon père, et à tous mes frères et sœurs
A tous ceux qui m’aiment bien

Résumé
i
RESUME
Notre étude se base sur la commande numérique sans capteur de la Machine synchrone à
aimants permanent pour des applications industrielles de moyennes puissances.
Nous proposons des méthodes basées sur des observateurs afin d’estimer la position du
rotor. L’idée est de reconstituer le vecteur d’état contenant les flux afin d’extraire la
position du rotor, en se basant sur un model d’état de la machine qui ne fait pas intervenir
les équations mécaniques.
Les avantages de cette méthode sont dus au fait que l’observateur proposé n’est sensible ni
aux variations du couple, ni aux frottements ni à l’inertie, qui sont des grandeurs non
maîtrisables, ce qui est très intéressant pour des applications telles que la propulsion
électrique, ainsi que sa capacité à fonctionner même à de très faibles vitesses aussi bien en
régime permanent qu’en régime transitoire. L’observateur proposé est insensible au
problème de valeur initiale de la position du rotor.
Les résultats expérimentaux confirment les performances citées ci haut des méthodes
proposées. L’implantation est faite à partir d’une carte DSP de la gamme DS1104 dédiée à
ce genre d’application.
Mots clefs
Machine synchrone à aimants permanents – Observateur – Commande sans Capteur –
Commande des moteurs – Estimation de position et de vitesse - Contrôle Automatique.

Abstract
ii
ABSTRACT
Title : “Study and implementation of two position observer methods for PMSM
sensorless control”
Our researches are based to the Sensorless Control of the Permanent Magnet Synchronous
Motor Drive, for industry applications.
We proposed in our study two methods based to observer flux linkage for the estimation of
the rotor position for the sensorless control of the PMSM. The observer produces accurate
rotor angle estimates in steady-state and transient, and is attractive for electric propulsion in
industry applications due to its independence from mechanical parameters such as load
torque, inertia, and friction. The proposed observer does not need the initial condition of the
rotor angle.
These sensorless PMSM techniques are implemented in a real time motor control system to
from a sensorless electric drive prototype. Experiment results are included in order to
confirm the effectiveness, and the advantageous of the proposed approach. A DS1104
digital signal processor is used to execute these rotor position estimating techniques.
Key words
Permanent Magnet Synchronous Motor – Observer – Sensorless control – Motor drives –
position and speed Estimators – Automatic control.

Avant-propos
iii
AVANT-PROPOS
Au terme de mon stage de fin d’étude passé au « Laboratoire des Systèmes Embarqués et
de Commande Numérique » de l’ENSA, je suis très heureux de pouvoir exprimer mes
remerciements à tous ceux qui ont contribué à l’aboutissement de ce travail d’initiation à la
recherche.
D’abord les membres du jury :
Monsieur MOULAY TAHAR LAMCHICH Professeur (PES) à la faculté des
Sciences Semlalia Marrakech responsable de la formation doctorale DESA
Electrotechnique, Electronique de Puissance et Commande industrielle, pour
m’avoir fait l’honneur de présider mon jury et de m’avoir encadré durant les années
de formation pour la préparation du Diplôme des Etudes Supérieures Approfondies.
Monsieur D. YOUSFI : Professeur Assistant à l’Ecole Nationale des Sciences
Appliquées, pour m’avoir accueilli et encadré durant ma période de stage au sein de
leur Laboratoire, pour avoir dirigé ce travail, pour les nombreuses discussions que
nous avons eues, malgré un emploi du temps chargé, pour sa sensibilité, son égard,
le respect et la sympathie dont je fus témoin et pour m’avoir montré l’importance de
notre étude et de la recherche en générale vis-à-vis du monde industriel.
Monsieur A. MOUTTAKI, Professeur à la Faculté des Sciences Semlalia
Marrakech, pour avoir accepté de faire partie des membres du jury ainsi que pour sa
disponibilité, ses conseils pertinents et les efforts qu’il n’a cessé de déployer à me
trouver les documents que je ne pouvais me procurer à cause de mes moyens très
modestes.
Monsieur Mustapha RAOUFI, Professeur à la Faculté des Sciences Semlalia
Marrakech, pour avoir accepté de faire partie des membres du jury et de m’avoir
donner son temps pour des discussions sur tout ce qui concerne l’électronique de
puissance plus particulièrement sur « les convertisseurs statiques »
Mes sincères remerciements à tout le corps enseignant de la formation doctorale
Electronique de Puissance, Electrotechnique et Commande industrielle.
Mes profondes gratitudes à Monsieur le Docteur Fidèle CODJIA Abdelghani tant bien pour
son soutient moral, que pour ses conseils pertinents et son encadrement en tant que
spécialiste dans le domaine de la psychologie et la psychopédagogie durant mes six années
passées à Marrakech, ville de mes études.

Avant-propos
iv
Je ne peux terminer sans remercier tous mes collègues de classe ainsi que les collègues du
laboratoire avec qui j’ai passé des moments forts et inoubliables.
J’ai également une pensée pour tous mes amis et pour toutes mes chéries qui m’ont soutenu
durant toutes les années que j’ai passé au Maroc et particulièrement à Marrakech.
Je finis ces remerciements par mes parents, mes frères et soeurs. Ils m’ont toujours soutenu
tout au long de mes études. Je leur dois beaucoup. Qu’ils trouvent dans ce manuscrit toute
ma reconnaissance et le signe que je suis enfin arrivé au bout.
Enfin je ne saurais exprimer en quelques mots tout ce que je dois à ma très chère MAMAN,
pour le soutien et les encouragements constants qu’elle m’a apporté depuis mon enfance
jusqu’aujourd’hui.
Par DARKAWI. A,
Marrakech, le 5 juillet 2007

Table des matières
v
TABLE DES MATIERES
RESUME........................................................................................................................... i
ABSTRACT ..................................................................................................................... ii
AVANT-PROPOS........................................................................................................... iii
TABLE DES MATIERES............................................................................................... v
LISTE DES FIGURES ................................................................................................... ix
INTRODUCTION GENERALE..................................................................................... 1
PARTIE 1
ETUDE BIBLIOGRRAPHIQUE
CHAPITRE 1
MODELISATION DE LA MACHINE SYNCHRONE A AIMANTS
PERMANENTS (MSAP) ET ETAT DE L’ART DE LA COMMANDE SANS
CAPTEUR.................................................................................................................... 4
I. INTRODUCTION...........................................................................................4
II. MODELISATION ET COMMANDE DE LA MSAP......................................5
1. Introduction.....................................................................................................5
2. Généralité sur les machines synchrones ...........................................................5
2.1. Machines Synchrones à rotors bobinés.....................................................5
2.1.1. Machines Synchrones à rotors bobinés à pôles lisses............................6
2.1.2. Machines Synchrones à rotors bobinés à pôles saillants........................6
2.2. Machines Synchrones à Aimants..............................................................6
2.3. Machines Synchrones à f.e.m sinusoïdale.................................................7
3. Modélisation de la MASP pour la commande vectorielle.................................7
3.1. Expression des flux..................................................................................7
3.1.1. Expression des flux induits sur les enroulements statoriques. ...............8
3.2. Expression des tensions ...........................................................................8
3.3. Expression du couple...............................................................................9
3.4. Equation mécanique...............................................................................10
3.5. Modèle de la machine dans le repère triphasé abc ..................................10
4. Commande vectorielle de la MSAP ...............................................................10
4.1. Hypothèses simplificatrices....................................................................11
4.2. Stratégies de Commande........................................................................11
4.3. Modélisation de la machine dans les référentiels diphasés......................12
4.3.1. Modélisation de la machine dans le référentiel de PARK ...................12

Table des matières
vi
4.3.2. Modélisation de la machine dans le référentiel(α,β)...........................12
4.3.2.1. Transformation de Concordia.........................................................12
4.3.2.2. Equation aux tensions de la machine :............................................12
4.4. Principe de la commande vectorielle......................................................13
4.4.1. Compensation et découplage..............................................................13
4.4.2. Schémas de principe de la commande vectorielle...............................14
4.4.3. Synthèse des régulateurs ....................................................................14
4.4.3.1. Boucle de courant (boucle interne).....................................................15
4.4.3.2. Boucle de tension (boucle de vitesse).................................................16
5. Commande avec capteurs mécaniques (encodeur, resolver) ...........................18
5.1. Principe .................................................................................................18
5.2. Limites de la commande avec capteurs mécaniques ...............................18
5.3. Perspectives envisagées .........................................................................18
6. Conclusion ....................................................................................................19
III. ETAT DE L’ART DES TECHNIQUES D’ESTIMATION DE LA POSITION
ET DE LA VITESSE DESTINEE A LA COMMANDE SANS CAPTEURS............19
1. Introduction...................................................................................................19
2. Techniques utilisant les mesures algébriques .................................................20
2.1. Méthodes utilisant les tensions et les courants pour calculer le flux
principal............................................................................................................20
2.2. Méthode utilisant la différence entre des prédictions modèle de la tension
du courant et leurs valeurs réelles......................................................................20
2.3. Méthode utilisant les équations, les paramètres connus de la machine et
les manipulations algébriques............................................................................21
3. Autres techniques d’estimation......................................................................21
3.1. Techniques utilisant l’acquisition de la f.e.m aux bornes de la machine..21
3.2. Intégration de la f.e.m ............................................................................21
3.3. Technique basée sur les réseaux de neurones .........................................22
3.4. Technique basée sur la logique floue......................................................22
4. Techniques basées sur les observateurs..........................................................22
4.1. Observateur déterministe de Luenberger................................................23
4.2. Observateur à ordre réduit......................................................................23
4.3. Observateur à mode glissant ..................................................................24
4.4. Estimateur Standard de Kalman.............................................................24
5. Conclusion ....................................................................................................24
IV. CONCLUSION.............................................................................................25
PARTIE 2
ANALYSE ET MISE EN ŒUVRE DES OBSERVATEURS DE POSITION POUR
LA COMMANDE DE LA MACHINE SYNCHRONE A AIMANTS PERMANENTS
CHAPITRE 2
DIMENSIONNEMENT DES OBSERVATEURS ET SIMULATION.................... 27
I. INTRODUCTION.........................................................................................27

Table des matières
vii
II. OBSERVATEUR DE POSITION DU ROTOR BASE SUR LA
RECONSTRUCTION DES FLUX STATORIQUES ................................................28
1. Introduction...................................................................................................28
2. Modèle de la machine dans le référentiel (α,β)...............................................28
3. Equations d’état.............................................................................................28
4. Validation du modèle de la machine ..............................................................29
4.1. Résultats de simulation de la Validation du modèle de la machine .............29
5. Estimation de la position du rotor ..................................................................30
5.1. Synthèse de l’Observateur de Luenberger d’ordre complet.....................30
5.1.1. Equations d’état et principe................................................................30
5.1.2. Estimation de la position du rotor.......................................................32
5.1.3. Observabilité......................................................................................33
5.1.4. Détermination de la matrice gain de l’observateur G .........................33
5.2. Estimation de la vitesse..........................................................................34
5.3. Justification du choix des valeurs propres ..............................................35
5.4. Choix de valeurs propres dynamiques....................................................35
5.5. Utilisation de l’observateur pour la commande de la machine ................36
6. Simulation sous MATLAB SIMULINK ........................................................36
6.1. Résultats de simulation et interprétations ...............................................36
6.2. Simulation en tenant compte des bruits et de l’OFFSET.........................37
6.3. Simulation en pleine charge (charge nominale 0.8Nm)...........................39
7. Conclusion ....................................................................................................40
III. OBSERVATEUR REDUIT DE POSITION BASE SUR LA
RECONSTRUCTION DES FLUX STATORIQUES ................................................41
1. Introduction...................................................................................................41
2. Equations d’état.............................................................................................41
3.1. Synthèse de l’Observateur réduit............................................................41
3.1.1. Principe de l’observateur d’ordre réduit .............................................42
3.1.2. Observabilité......................................................................................42
3.1.3. Calcul du gain de l’observateur réduit Gr...........................................43
3.1.4. Calcul de la matrice d’état réduit 11 21rF A G A= −
..............................44
3.1.5. Calcul du gain 0 12 22rK A G A= −
.........................................................44
3.1.6. Calcul du gain 0 1 2( )rB B G B= −
.........................................................44
3.2. Estimation de la vitesse..........................................................................45
4. Justification du choix des valeurs propres......................................................45
5. Choix de valeurs propres dynamiques............................................................45
6.2. Simulation en tenant compte des bruits et de l’OFFSET ........................46
6.3. Simulation en tenant compte de la charge nominale 0.8Nm....................47
7. Conclusion ....................................................................................................48

Table des matières
viii
IV. OBSERVATEUR REDUIT BASE SUR LA RECONSTRUCTION DE LA
VITESSE..................................................................................................................48
1. Introduction...................................................................................................48
2. Equations d’état.............................................................................................48
3.1. Synthèse de l’Observateur réduit............................................................49
3.1.1. Principe de l’observateur réduit........................................................50
3.1.2. Détermination des matrices de l’observateur ......................................50
3.2. Estimation de la position du rotor...........................................................51
3.3. Choix des valeurs propres......................................................................51
5. Conclusion ....................................................................................................53
V. CONCLUSION.............................................................................................53
CHAPITRE 3
VALIDATION EXPERIMENTALE – IMPLANTATION SUR DS1104 ............... 55
I. INTRODUCTION.........................................................................................55
II. IMPLANTATION DES DIFFERENTS OBSERVATEURS..........................56
1. Observateur d’ordre complet de la position du rotor, basé sur la reconstruction
des flux statoriques................................................................................................56
1.1. Considérations pratiques........................................................................56
1.2. Résultats et mesures expérimentaux de la commande.............................57
1.2.1. Faibles vitesses ..................................................................................57
1.2.2. Echelon de vitesse..............................................................................57
1.2.3. Echelon de vitesse croissant...............................................................58
2. Observateur réduit de position du rotor basé sur la reconstruction des flux
statoriques.............................................................................................................59
2.1. Résultats et mesures expérimentaux de la commande.............................59
2.1.1. Faibles vitesses ..................................................................................59
2.1.2. Echelon de vitesse..............................................................................60
2.1.3. Echelon de vitesse croissant...............................................................60
3. Essais en charge cas des deux observateurs....................................................61
4. Conclusion ....................................................................................................62
III. CONCLUSION.............................................................................................63
CONCLUSION GENERALE ....................................................................................... 64
ANNEXES...................................................................................................................... 67
NOTATIONS................................................................................................................. 71
BIBLIOGRAPHIE ........................................................................................................ 73
Articles ........................................................................................................................... 77

Liste des figures
ix
LISTE DES FIGURES
CHAPITRE 1 : MODELISATION ET ETAT DE L’ART DE LA COMMANDE
SANS CAPTEUR DE LA MSAP
Figure I.1 : Machine à pôles saillants ......................................................................... 6
Figure I.2 : Machine à pôles lisses ............................................................................. 6
Figure I.3 Machine a fem sinusoïdale......................................................................... 7
Figure I.4 : Machine a fem trapézoïdale ..................................................................... 7
Figure I.5 : Schéma monophasé équivalent ................................................................ 9
Figure I.6 : Diagramme vectoriel ............................................................................... 9
Figure I.7 : Schéma synoptique de la commande avec onduleur contrôlé en courant 11
Figure I.8 : Diagramme vectoriel pour la stratégie 1 (Couple maximal Ψ=0)............ 12
Figure I.9 : Schéma synoptique de la structure autopilotée avec capteur................... 14
Figure I.10 : Schéma bloc de principe de la commande vectorielle à flux orienté ..... 14
Figure I.11 : Boucle de courant Id............................................................................ 15
Figure I.12 : Boucle de courant Iq............................................................................ 15
Figure I.13 : Boucle de tension (boucle de vitesse)................................................... 16
Figure I.14 : simplification de la boucle de tension .................................................. 17
Figure I.15 : Boucle de vitesse en tenant compte de ( / min)trrefω ................................... 17
Figure I.16 : Schéma synoptique de la commande avec observateur......................... 22
CHAPITRE 2 : ETUDE ET SIMULATION
Figure II. 17 : Schéma de simulation du modèle d’état de la MSAP ......................... 29
Figure II.18 : Flux rotoriques ,m mα βΦ Φ ................................................................... 30
Figure II.19 : Schéma de principe de l’Observateur d’état du modèle de la MSAP... 34
Schémas de simulation : Observateur de Luenberger d’ordre complet
Figure II.20 : Couple Cem ....................................................................................... 36
Figure II.21 : Vitesses mesurée et estimée................................................................ 36
Figure II.22 : Angles mesurée et estimée.................................................................. 37
Simulation en tenant compte des bruits et de l’OFFSET (plus proche de la réalité)
Figure II.23 : Couple électromagnétique .................................................................. 37
Figure II.24 : vitesses mesurée et estimée ................................................................ 37
Figure II.25 : Angles mesurée et estimée.................................................................. 37

Liste des figures
x
Figure II.26 : erreur de vitesse (tr/min)..................................................................... 37
Figure II.27 : erreur de position électrique ............................................................... 38
Valeurs propres dynamiques
Figure II.28 : Couple électromagnétique Cem.......................................................... 38
Figure II.30 : Angles élec mesurée et estimée .......................................................... 39
Figure II.31 : erreur de vitesses (tr/min)................................................................... 39
Figure II.32 : erreur angle électrique (rad)................................................................ 39
Simulation en pleine charge (la charge nominale de notre machine est de 0.8Nm)
Figure II.33 : Vitesses mesurée et estimée................................................................ 40
Figure II.34 : erreur de vitesse pleine charge............................................................ 40
Figure II.35 : erreur de position pleine charge.......................................................... 40
Schémas de simulation : Observateur réduit de position
Figure II.36 : schéma de principe de l’observateur réduit ......................................... 43
Figure II.38 : Réponse de l’angle électrique............................................................. 45
Figure II.39 : Vitesses estimée et mesurée................................................................ 46
Figure II.40 : Erreur de position (rad) ...................................................................... 46
Figure II.41 : erreur de vitesse.................................................................................. 46
Simulation en tenant compte des bruits et de l’OFFSET (plus proche de la réalité)
Figure II.42 : Erreur de vitesse................................................................................. 47
Figure II.44 : erreur de position................................................................................ 47
Figure II.45 : Angles élec mesuré et estimé.............................................................. 47
Simulation en pleine charge (la charge nominale de notre machine est de 0.8Nm)
Figure II.47 : Angles élec mesuré et estimé.............................................................. 47
Figure II.48 : erreur de position................................................................................ 48
Schémas de simulation : Observateur de réduit de vitesse
Figure II. 49 : Schéma de principe de l’observateur réduit de vitesse........................ 51
Figure II.51 : Vitesses estimée et mesurée................................................................ 52
Figure II.52 : positions estimé et mesuré.................................................................. 52
Figure II.53 : erreur de vitesse (tr/min)..................................................................... 52
Figure II.54 : erreur de position elec (rad)................................................................ 53

Liste des figures
xi
CHAPITRE 3 : VALIDATION EXPERIMENTALE
Figure III.55 : photographie du banc d’essai ............................................................ 56
Résultats expérimentaux : Observateur de Luenberger d’ordre complet
Faibles vitesses
Figure III.56 : positions estimé et mesuré................................................................. 57
Figure III.57 : erreur de position .............................................................................. 57
Figure III.58 : vitesses mesurée et estimée ............................................................... 57
Echelon de vitesses
Figure III.60 : erreur de position en degré ................................................................ 58
Figure III.61 : vitesses estimée et mesurée ............................................................... 58
Figure III.62 : courants id et iq................................................................................. 58
Echelon croissant
Figure III.64 : erreur de vitesse (tr/min) ................................................................... 59
Figure III.65 : vitesses estimée et mesurée ............................................................... 59
Résultats expérimentaux : Observateur de Luenberger d’ordre complet
Faibles vitesses
Figure III.68 : vitesse estimée et mesurée tr/min ...................................................... 60
Echelon de vitesses
Figure III.71 : vitesse estimée et mesurée tr/min ...................................................... 60
Figure III.72 : courants id et iq................................................................................. 60
Echelon croissant
Figure III.75 : Vitesse estimée et mesurée................................................................ 61
Essais encharge pour les deux observateurs

Liste des figures
xii
Figure III.76 : Vitesses estimée et mesurée .............................................................. 61
Figure III.77 : Vitesses estimée et mesurée .............................................................. 61
Figure III.80 : Erreur de position.............................................................................. 62
Figure III.81 : Erreur de position.............................................................................. 62

Introduction Générale
1
INTRODUCTION GENERALE
De nos jours, l’utilisation des machines électriques aussi bien dans le milieu industriel que
dans les applications domestiques se veut indispensable. Suivant le type d’application et
suivant le cahier de charge, un choix s’impose entre les différentes machines qui existent.
Les machines synchrones à aimants sont de plus en plus utilisées, vu l’efficacité et les
nombreux avantages de ce type d’actionneur. La MSAP présente une puissance massique
importante et a la possibilité de fonctionner à très haute vitesse. C’est ainsi qu’elle peut être
très utile dans de nombreuses applications.
Comme toutes les autres variantes de moteurs électriques, la commande de ce type de
machine ne cesse d’évoluer car nombreuses sont les recherches axées dans ce sens. Dans
certaines applications voire même la majorité, l’encombrement causé par les capteurs
mécaniques pose problème. Toutefois la commande sans capteurs mécaniques de la MSAP
fait l’objet de plusieurs sujets de recherche depuis le début des années 1990.
Les techniques sont nombreuses et chaque méthode présente aussi bien des avantages que
des inconvénients. Le choix d’une approche ou d’une autre dépend du cahier de charge
imposé, du type d’application et de la particularité de la machine utilisée.
Dans ce mémoire, nous proposons deux techniques semblables d’estimation de position et
de vitesse destinées à la commande vectorielle à flux orienté de la Machine Synchrone à
Aimants Permanents sans saillance. Nous nous intéressons à l’étude d’observateurs d’état
basés sur un modèle de la machine dans le référentiel stationnaire biphasé (α,β). L’idée de
base est de reconstituer un vecteur d’état comportant les deux composantes du flux
rotorique pour en déduire l’angle électrique et donc la position du rotor.
Le mémoire s’articule en trois chapitres repartis en deux principales parties :
La première partie comprend un chapitre consacré à une étude bibliographique sur la
commande sans capteur de la MSAP. Dans ce chapitre introductif, après avoir rappelé les
généralités des machines synchrones, nous passons à la modélisation de la MSAP, dans le
repère triphasé (abc), puis dans les référentiels biphasés (référentiel de Park et référentiel
(α,β) en vu de la commande vectorielle. Nous présentons ensuite l’état de l’art de la
commande sans capteurs mécaniques de la MSAP afin de situer notre étude.
La deuxième partie comprend deux chapitres : le deuxième axé sur le dimensionnement des
observateurs et la Simulation sous MATLAB – Simulink et un troisième intitulé Validation
Expérimentale – Implantation sur DS1104.

Introduction Générale
2
Dans le deuxième chapitre, nous développons la méthode de calcul et de dimensionnement
des différents observateurs étudiés, ensuite nous simulerons les méthodes étudiées sur
l’environnement MATLAB – Simulink. Pour se rapprocher un peu du cas réel de la
pratique, nous ajouterons un bruit et un OFFSET dans les mesures pour tester la robustesse
des observateurs. Nous simulerons aussi la commande avec une charge équivalente à la
charge nominale de notre machine.
Le troisième chapitre présente les résultats de la validation expérimentale en implantant la
commande dans une carte DSP de type DS1104. Avant d’implanter la commande sans
capteur, nous passerons en revues quelques considérations pratiques. Nous présenterons
dans ce même chapitre les résultats expérimentaux de la commande sans capteurs en
utilisant dans un premier lieu, l’observateur d’ordre plein (ordre4) et ensuite le nouvel
observateur d’ordre minimal (ordre2) que nous avons proposé, analysé et mis en œuvre.
Nous terminerons notre mémoire par une conclusion générale dans laquelle nous passerons
en revue les commentaires des techniques étudiées et nous citerons les perspectives
envisagées pour une étude ultérieure dans le but d’affiner la recherche.

PARTIE 1
ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE

Chapitre 1 : Modélisation de la MSAP et Etat de l’art de la commande sans capteur
4
CHAPITRE 1
MODELISATION DE LA MACHINE SYNCHRONE A
AIMANTS PERMANENTS (MSAP) ET ETAT DE L’ART DE
LA COMMANDE SANS CAPTEUR
I. INTRODUCTION
Comme nous le savons, la machine synchrone ne peut fonctionner en boucle ouverte, car
pour injecter des courants de forme appropriée il faut connaître la position du rotor : la
machine doit être autopilotée.
Pour cet autopilotage et la commande de la MSAP, la méthode la plus classique pour
réaliser cette tache est d’utiliser des capteurs, soient optiques, c’est le cas de l’encodeur
incrémental par exemple, ou électromagnétiques à l’instar du resolver. Ces deux familles de
capteurs donnent des résultats très satisfaisants mais néanmoins elles présentent nombreux
inconvénients qui suscitent la recherche et le développement de nouvelles techniques de
commande sans capteur.
Dans certaines applications l’utilisation des capteurs ne pose pas de problème bien qu’elle
présente quelques inconvénients. Par contre pour des applications telles que la propulsion
des véhicules électriques ou la propulsion des sous marins par exemple, suite à des
problèmes d’encombrement la méthode de commande sans capteur s’avère plus efficace.
Dans ce chapitre nous présenterons deux grandes sections dont la première est consacrée à
la modélisation de MSAP, et la deuxième sur l’état de l’art de la commande sans capteur de
la MSAP.

5
II. MODELISATION ET COMMANDE DE LA MSAP
1. Introduction
Les principes généraux des commandes vectorielles des machines synchrones restent
identiques à ceux introduits par les moteurs asynchrones mais avec des spécificités suivants
les technologies utilisées (machines à rotors bobinés, à pôles lisses ou saillants, à réluctance
variable directe ou inverse, à aimants).
Ces contrôles permettent une amélioration du temps de réponse et de la qualité du couple
mais conduisent à des commandes relativement complexes comme le cas de la commande
vectorielle des machines alimentées en tension et régulées en courant sur le référentiel de
Park d-q, que nous utiliserons par la suite.
Après avoir rappeler les généralités sur les machines synchrones, nous allons aborder les
deux types de modélisations de la MSAP que nous utiliserons dans les chapitres qui
suivent. Le modèle de la machine dans le référentiel de Park nous sera utile dans la
commande vectorielle à flux orienté. Quant au modèle dans le référentiel (α,β) il sera utilisé
dans la synthèse des observateurs. C’est sur ce modèle que seront basées la modélisation et
le dimensionnement des observateurs étudiés.
2. Généralité sur les machines synchrones
Le terme de machine synchrone regroupe toutes les machines dont la vitesse de rotation de l’arbre
de sortie est égale à la vitesse de rotation du champ tournant. Pour obtenir un tel fonctionnement, le
champ magnétique rotorique est généré soit par des aimants, soit par un circuit d’excitation. La
position du champ magnétique rotorique est alors fixe par rapport au rotor, ce qui impose en
fonctionnement normal une vitesse de rotation identique entre le rotor et le champ tournant
statorique.
Cette famille de machine regroupe en fait plusieurs sous familles, qui vont de l’alternateur de
plusieurs centaines de mégawatts au moteur de quelques watts, en passant par les moteurs pas à pas.
Néanmoins, la structure de toutes ces machines est relativement proche. Le stator est généralement
constitué de trois enroulements triphasés répartis, tel que les forces électromotrices générées par la
rotation du champ rotorique soient sinusoïdales où trapézoïdales. Les stators, notamment en forte
puissance, sont identiques à ceux d’une machine asynchrone.
Il existe trois grandes familles de rotor, ayant pour rôle de générer le champ d’induction rotorique.
Les rotors bobinés à pôles lisses, les rotors bobinés à pôles saillants ainsi que les rotors à aimants :
2.1. Machines Synchrones à rotors bobinés
Dans le cas des moteurs à rotors bobinés, le rotor supporte un bobinage monophasé
alimenté par un courant continu tandis que le stator est équipé d’un bobinage polyphasé à
courant alternatifs. L’obtention d’une valeur de couple moyen non nulle passe alors par la
vérification de la condition de synchronisme qui impose une égalité stricte entre vitesse du
champ tournant stator et vitesse du champ tournant rotor.

6
Afin de s’en parer des contacts glissants (bague balais) comme pour les machines à courant
continu, les machines synchrones à rotor bobiné font appel, le plus souvent, à une
excitatrice (ou alternateur d’excitation) associée à un redresseur tournant, pour éliminer tout
contact glissant. Cet alternateur auxiliaire dont l’induit est accouplé à l’arbre de la machine
débite dans l’inducteur, par l’intermédiaire du pont redresseur à diodes tournant aussi avec
l’arbre de la machine.
Le rotor peut être lisses ou saillant, et est généralement équipé de circuits amortisseurs.
Figure I.1 : Machine à pôles saillants Figure I.2 : Machine à pôles lisses
2.1.1. Machines Synchrones à rotors bobinés à pôles lisses
Plutôt adaptées pour des applications à forte puissance et grande vitesse ; le bobinage est
dans ce cas logé dans des encoches pratiquées dans la masse du rotor et fermées par des
clavettes en acier amagnétique (Figure I.1). Les têtes de bobines inductrices sont
maintenues en place par des frettes en acier amagnétique. L’entrefer étant d’épaisseur
constante, seule la répartition des encoches et /ou leur remplissage constitue un paramètre
structurel jouant sur la forme d’onde des f.e.m attendues. Une disposition appropriée permet
d’obtenir des f.e.m sinusoïdales à très faible taux d’harmoniques.
2.1.2. Machines Synchrones à rotors bobinés à pôles saillants
Pour les machines à rotors à pôles saillants (Figure I.2), les bobines inductrices sont
montées autour de noyaux polaires massifs ou feuilletés.
Pour ces machines, le rotor est un électroaimant dont les pôles sont alternativement nord et
sud. Les enroulements sont alimentés en courant continu, ils sont placés autour des noyaux
polaires. Le nombre de pôles est toujours pair, il varie suivant la machine. Elles sont
utilisées pour des applications qui nécessitent une simplicité de constitution. Ce type de
machine possède un facteur de puissance relativement faible qui impose un
surdimensionnement des convertisseurs statiques ; ceci est un inconvénient pour la
l’alimentation à fréquence variable. Pour des application de faible puissance aux environ de
quelques kilowatts on peut s’affranchir de cette faiblesse de ce genre des machines.
2.2. Machines Synchrones à Aimants
Les Machines Synchrones à Aimants présentent d’énormes avantages et sont de plus en
plus utilisées dans les applications industrielles. Concernant ces machines à aimant, il existe

7
deux grandes familles selon la forme géométrique des aimants (radiale ou tangentielle) et la
distribution des bobinages au stator (sinusoïdale ou trapézoïdale).
Figure I.3 Machine a fem sinusoïdale Figure I.4 : Machine a fem trapézoïdale
2.3. Machines Synchrones à f.e.m sinusoïdale
Elles utilisent des aimants d’arc polaire de 120° (Figure I.3), pour obtenir une induction
quasi sinusoïdale, et sont alimentées en ondes sinusoïdales pures de courant ou de tension
afin d’obtenir un couple uniforme. Les actionneurs correspondant présentent les propriétés
des machines synchrones classiques à flux sinusoïdal et sont dites sans balais synchrones
(PMSM : Permanent Magnet Synchronous Motors).
2.4. Machines Synchrones à f.e.m trapézoïdale
Elles utilisent des aimants d’arc polaire de 180° (Figure I.4) et sont alimentées en étoile par
des créneaux de courant à 120°. Elles présentes les propriétés des machines à courant
continu. Une variante consiste à utiliser des aimants d’arc polaire de 120° et une
alimentation en triangle par des créneaux de courant de 180°. Les actionneurs
correspondants sont appelés actionneurs à courant continu sans balais (Brushless Direct
Current (BLDC) Motors).
3. Modélisation de la MASP pour la commande vectorielle
Afin de réaliser la commande vectorielle et ou la simulation, il est évident de modéliser la
machine. La machine considérée est à p paires de pôles lisses à aimant. Nous recherchons
un modèle simple et adapté à un traitement numérique.
3.1. Expression des flux
Dans le cas général:
Les flux induits par l'inducteur dans les trois phases statoriques a, b et c s'écriront:
m. ( )fa ef θΦ = Φ m
2.
. ( )
3
fb ef
π
θΦ = Φ − m
2.
. ( )
3
fc ef
π
θΦ = Φ +
Dans le cas particulier d'une répartition spatiale sinusoïdale du champ Bf.

8
m.cos( )fa eθΦ = Φ m
2.
.cos( )
3
fb e
π
θΦ = Φ − m
2.
.cos( )
3
fc e
π
θΦ = Φ +
3.1.1. Expression des flux induits sur les enroulements statoriques.
Pour la phase aa', le flux totalisé Φa représente la somme de quatre termes:
Flux propre de a sur a : Φaa = Ls.ia .
Flux mutuel de b sur a : Φba = Ms.ib .
Flux mutuel de c sur a : Φca = Ms.ic.
Flux mutuel de l'inducteur sur a : Φfa
Φ Φ Φ Φ Φ Φa aa ba ca fa s a s b c faL i M i i= + + + = + + +. ( )
En supposant le neutre non relié. (i i ib c a+ = − ), cette dernière relation s'écrit:
faacfaassa iLiML Φ+=Φ+−=Φ .).(
Lc Inductance cyclique d'un enroulement statorique. L L Mc s s= − .
Remarque: Le terme Lc.ia représente le flux induit dans la phase a par le champ tournant
créé par les trois courants ia, ib et ic.
3.2. Expression des tensions
En convention récepteur la tension sur la phase a s'écrit:
v R i
d
dt
L
di
dt
M
di
dt
M
di
dt
d
dta a
a
s
a
s
b
s
c fa
= + = + + +. . . .
Φ Φ
En supposant que le neutre soit non relié.
L'équation précédente devient:
v R i L
di
dt
d
dt
a a c
a fa
= + +. .
Φ
avec
e v i
d
dt
d
d
d
dt
p
d
d
a a a
fa fa
e
e fa
e
= = = = =( ) . . .0
Φ Φ
Ω
Φ
θ
θ
θ
La tension sur la phase a s'écrit:
v R i L
di
dt
p
d
d
R i L
di
dt
ea a c
a fa
e
a c
a
a= + + = + +. . . . . .Ω
Φ
θ
Sur les deux autres phases

9
v R i L
di
dt
p
d
d
R i L
di
dt
eb b c
b fb
e
b c
b
b= + + = + +. . . . . .Ω
Φ
θ
v R i L
di
dt
p
d
d
R i L
di
dt
ec c c
c fc
e
c c
c
c= + + = + +. . . . . .Ω
Φ
θ
Le schéma électrique d’une phase est représenté à la figure suivante :
Figure I.5 : Schéma monophasé équivalent
Figure I.6 : Diagramme vectoriel
Nota : Ce schéma n’est valable que pour des Machine à pôles lisses en Absence de
saturation et pour un Neutre non relié.
3.3. Expression du couple
Si nous raisonnons sur les énergies relatives à la phase a on a :
2
. . . . . . . .a
a a a c a a a
di
v i dt R i L i dt e i dt
dt
= + +
Avec :
. .a av i dt : Energie électrique fournie à la phase.
2
. aR i : Energie dissipée sous forme de pertes joules dans la phase.
. . .a
c a
di
L i dt
dt
: Energie électromagnétique stockée dans la phase.
. .a ae i dt : Energie électromagnétique restituée sous forme d’énergie mécanique.
Conversion Electromécanique : em m eC d Pdtθ =

10
La puissance électromagnétique instantanée s'écrit:
. . .e a a b b c cP e i e i e i= + +
d'où le couple électromagnétique
. . .e a a b b c c
em
p e i e i e i
C
+ +
= =
Ω Ω
En remplaçant les f.e.m par leurs expressions en fonction des flux, on obtient:
. . .fa fb fc
em a b c
e e e
d d d
C p i i i
d d dθ θ θ
Φ Φ Φ 
= + + 
 
3.4. Equation mécanique
L'équation fondamentale de la dynamique s'écrit:
2 2
2 2
m
em r
dd J d e
J C C J
dt dt p dt
θ θΩ
= − = =
3.5. Modèle de la machine dans le repère triphasé abc
On établi le modèle de la machine à partir des équations suivantes.
v R i L
di
dt
p
d
d
R i L
di
dt
ea a c
a fa
e
a c
a
a= + + = + +. . . . . .Ω
Φ
θ
v R i L
di
dt
p
d
d
R i L
di
dt
eb b c
b fb
e
b c
b
b= + + = + +. . . . . .Ω
Φ
θ
v R i L
di
dt
p
d
d
R i L
di
dt
ec c c
c fc
e
c c
c
c= + + = + +. . . . . .Ω
Φ
θ
. . .fa fb fc
em a b c
e e e
d d d
C p i i i
d d dθ θ θ
Φ Φ Φ 
= + + 
 
2 2
2 2
m
em r
dd J d e
J C C J
dt dt p dt
θ θΩ
= − = =
4. Commande vectorielle de la MSAP
Notre objectif étant d’établir les conditions pour que le couple développer par la machine
soit à valeur moyenne non nulle et, autant que possible, exempt d'ondulations, la solution
adaptée est d’injecter dans les trois enroulements des courants dont la forme dépendra de
l'expression des f.e.m induites dans les trois phases. Nous pouvons constater que le fait
d'injecter des courants fonction de la position angulaire θe revient à autopiloter la position
angulaire du champ tournant statorique au champ tournant rotorique.

11
Figure I.7 : Schéma synoptique de la commande avec onduleur contrôlé en courant
4.1. Hypothèses simplificatrices
On considère que :
les circuits magnétiques ne sont pas saturés, l’hystérésis et les courants de Foucault
sont négligeables : les inductances ne dépendent pas des intensités des courants et
les pertes fer sont nulles.
les résistances des enroulements ne varient pas en fonction de la température.
les inductances sont indépendantes de la position du rotor. Ld=Lq=Lc
4.2. Stratégies de Commande
On dispose trois stratégies qui permettent d'optimiser certains critères.
On peut envisager en régime permanent:
d'obtenir un couple maximum pour un échauffement donné,
de minimiser le dimensionnement du variateur,
de fonctionner au-delà de la vitesse nominale.
On envisage dans notre cas la première stratégie : avoir un couple maximum pour un
échauffement donné. Le couple sera maximum pour un échauffement donné donc pour un
courant donné, si l'on maintient Ψ à zéro et le flux inducteur à sa valeur maximale (Figure
I.8).
Avec cette condition : (En négligeant la chute de tension dans la résistance R)

12
Figure I.8 : Diagramme vectoriel pour la stratégie 1 (Couple maximal ΨΨΨΨ=0)
4.3. Modélisation de la machine dans les référentiels diphasés
4.3.1. Modélisation de la machine dans le référentiel de PARK
Ce modèle sera utilisé pour la commande vectorielle à flux rotorique orienté.
4.3.2. Modélisation de la machine dans le référentiel((((αααα,ββββ))))
4.3.2.1. Transformation de Concordia
1 1
1
2 2 2
3 3 3
0
2 2
a
b
c
x
x
x
x
x
α
β
 
 − −     =       
  
 
4.3.2.2.Equation aux tensions de la machine :
. . a
a a c a
di
v R i L e
dt
= + +
. . b
b b c b
di
v R i L e
dt
= + +
. . c
c c c c
di
v R i L e
dt
= + +
. . d
d d c m c q
di
v R i L p L i
dt
ω= + −
. . q
q q c m c d m m
di
v R i L p L i p
dt
ω ω= + + + Φ
3
2
em m T qC p K i= Φ =
m
em r m s
d
J C C f C
dt
ω
ω= − − −
. . a
a a c a
di
v R i L e
dt
= + +
. . b
b b c b
di
v R i L e
dt
= + +
. . c
c c c c
di
v R i L e
dt
= + +
. .c
di
v R i L e
dt
α
α α α= + +
. .c
di
v R i L e
dt
β
β β β= + +

13
Avec :
m
m
d
e
dt
d
e
dt
α
α
β
β
Φ
=

Φ =

On sait que :
, , ( )mLiα β α β θΦ = + Φ
,, ,
.
mdd di
L
dt dt dt
α βα β α β
ΦΦ
= +
C’est sur ce modèle que nous allons nous baser pour faire notre observateur (chapitre2).
4.4. Principe de la commande vectorielle
Stratégie de commande vectorielle considérée : Elle consiste à maintenir le courant di nul
et réguler la vitesse via la tension qu . Lorsque id est nul, le modèle de la PMSM se réduit à
celui d’un MCC à excitation indépendante. La relation couple - courant est linéaire:
3
2
4.4.1. Compensation et découplage
Le modèle de l’équation de la machine est couplé, il faut donc réaliser un découplage et une
compensation afin d’avoir un modèle complètement découplé et compensé.
. . d
d d c m c q
di
v R i L p L i
dt
ω= + − + m c qp L iω découplage
. . q
q q c m c d m m
di
v R i L p L i p
dt
ω ω= + + + Φ - m c dp L iω - m mpω Φ découplage et compensation
On obtient ainsi le modèle découplé et compensé suivant :
. . d
d d c
di
u R i L
dt
= +
. . q
q q c
di
u R i L
dt
= +
Et les mêmes équations mécaniques en ne tenant pas compte du couple de frottement sec :
3
2
m
em r m
d
J C C f
dt
ω
ω= − −

14
La synthèse des régulateurs sera basée sur ce modèle avec ces équations complètement
indépendantes.
4.4.2. Schémas de principe de la commande vectorielle
Nous rappelons ici le schéma de principe de la commande de notre machine. Le
convertisseur statique est alimenté par une source de tension VDC, les signaux de commande
proviennent de la modulation à largeur d’impulsion venant du dispositif de commande qui a
pour entrées les tensions et les courants statoriques, la position et la vitesse mesurées ou
estimées.
Figure I.9 : Schéma synoptique de la structure autopilotée avec capteur
Figure I.10 : Schéma bloc de principe de la commande vectorielle à flux orienté
4.4.3. Synthèse des régulateurs
On se base sur le modèle compensé et découpé de la MSAP suivant:
PIi
dq
PIi
Découplage
&compensation
MLI
+
+
-
+
+
-
Onduleur
+
+
-
refω
di
i
dq
abc Capteur
PIω
dq
VDC
mω
i
eθ
i
abci
i
dq
abc
MS
Réseau

15
. ( ) ( )d du R i s Lsid s= +
. ( ) ( )q qu R i s Lsiq s= +
3
2
m
em m
d
J C f
dt
ω
ω= − on néglige pour un premier lieu le couple résistant.
4.4.3.1.Boucle de courant (boucle interne)
1
( ) 1 1
( )
( ) 1
d
d
I s R
H s
Lu s R Ls s
R
= = =
+ +
de même 2
( ) 1
( )
( ) 1
q
q
I s R
H s
Lu s s
R
= =
+
On a : 1 2( ) ( ) ( )
1 e
k
H s H s H s
sτ
= = =
+
avec
1
k
R
= et e
L
R
τ = constante de temps électrique
On a le schéma synoptique suivant :
Figure I.11 : Boucle de courant Id
&
Figure I.12 : Boucle de courant Iq
On veut corriger ce système avec un PI de la forme
( ) (1 )
piii ii
pi
ii
kk k
PI s k s
s s k
= + = +
Premier indice pour proportionnel (p) ou intégral (i)
Deuxième indice pour le courant (i) ou la vitesse (ω )
( ) (1 )iik
PI s s
s
τ= + la fonction de transfert en boucle ouverte est (1 )
(1 )
ii
iBO
e
k k
H s
s s
τ
τ
= +
+
+ PI 2 ( )H s
*
qI *
qU qI
+
-
+ PI 1( )H s
*
dI
*
dU dI
+
-

16
On pose pi
e
ii
k
k
τ τ= = pour compenser le pôle. On obtient ii
iBO
k k
H
s
= et
1
iBO
iBF
iBO
H
H
H
=
+
1 1
1 11
iBF
i
ii
H
ss
kk
τ
= =
++
avec
1
i
iikk
τ = Normalement on doit choisir i eτ τ<< pour imposer
une dynamique un peu plus rapide.
Calcul des paramètres iik et pik :
D’une manière générale pour iτ choisie :
1pi
e pi ii
ii
k
k k
k R
τ= ⇒ = ⋅ avec
1 1 1 1
ii pi pi
i i i
L L
k k k
k R kτ τ τ
= ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ =
Et
1 1
ii ii
i i
R
k k
k τ τ
= ⋅ ⇒ =
On a pi
e
ii
k
k
τ= , on prend i eτ τ=
1 1
.
pi
pi
ii ii
k
k R
k k k k
= ⇒ = =
1 1 1
e ii
ii e
L
k R L
k k k R
τ
τ
= ⇒ = ⋅ = ⋅ =
⋅
Les deux chaîne de calcul des courants id et iq sont totalement indépendantes :
4.4.3.2.Boucle de tension (boucle de vitesse)
La boucle de courant de iq est à l’intérieur de la boucle de tension. Au fait le courant de
référence iq et déterminé par la boucle de vitesse.
Figure I.13 : Boucle de tension (boucle de vitesse)
iBFH
*
qI qI
iBFH
*
dI dI
+ ( )PI sω ( )iBFH s
( )radrefω
*
qI qI
+
- 1
T r
m
K f
sτ+
ω

17
Hypothèses :
On néglige le couple de charge en le considérant comme une perturbation.
On considère que la boucle de courant est assez rapide qu’on puisse le modéliser par
un gain unitaire, on a donc :
Figure I.14 : simplification de la boucle de tension
Avec m
r
J
f
τ = et ' T
r
K
k
f
=
De même on veut un PI pour la boucle de tension de la forme
( ) (1 )
pi i
p
i
kk k
PI s k s
s s k
ωω ω
ω ω
ω
= + = + on fait un placement de pôle (1 ) (1 )ms sτ τ+ = +
( ) (1 )ik
PI s s
s
ω
ω τ= + avec p
m
i
k
k
ω
ω
τ τ= = idem que la boucle de courant.
La fonction de transfert en boucle ouverte de processus est :
' '' '
( ) (1 ) ( )
1 1
i i i
BO m BO
m m
k k k k kk k
H PI s H s
s s s s s
ω ω ω
ω τ
τ τ
⋅ ⋅
= ⋅ = + ⋅ = ⇒ =
+ +
Enfin la fonction de transfert en boucle fermée est donnée par :
0
1 1
1 11
'
BF BF
i
H H
ss
k k
ω
ω
τ
= ⇒ =
++
⋅
avec 0
1
' ik k
ω
ω
τ =
⋅
En considérant la vitesses du rotor en tr/min on a :
Figure I.15 : Boucle de vitesse en tenant compte de ( / min)trrefω
Avec
60
2
g
π
= gain permettant de passer de rad/s vers tr/min
0
1 1 1
1 '1
BF
i
H
s s g k k
g
ω
ω ω ω
τ
τ τ
= = ⇒ =
+ ⋅ ⋅+
Calcul des paramètres ikω et pk ω :
+ ( )PI sω
( / min)trrefω
*
qI
+
-
( )iBFH s
ω
g
+ ( )PI sω
( )radrefω
*
qI
+
-
( )iBFH s
ω

18
On a
1
'1
'
p
m
i r
i
m T m
m
i
k
k f
k
g k g k
g k k
ω
ω
ω
ω
τ
τ τ
τ

=

⇒ = =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
 ⋅ ⋅
/p r
m p m i r
i T m T m
k J f J
k k f
k g k g k
ω
ω ω
ω
τ τ
τ τ
= ⇒ = ⋅ = ⋅ =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
On trouve enfin les paramètres du correcteur PI de la boucle de tension :
r
i
T m
p
T m
f
k
g k
J
k
g k
ω
ω
τ
τ

= ⋅ ⋅

 =
 ⋅ ⋅
5. Commande avec capteurs mécaniques (encodeur, resolver)
5.1. Principe
Dans un premier temps nous allons implanter la commande vectorielle de la machine en
utilisant le capteur pour s’assurer de l’étude faite sur la modélisation de la machine et la
synthèse des différents régulateurs. La position et la vitesse de l’arbre du rotor de la
machine sont données par l’encodeur.
5.2. Limites de la commande avec capteurs mécaniques
Nous avons vu plus haut que les capteurs mécaniques, non seulement ils coûtent trop cher
mais ils peuvent dans certains cas poser un grand problème d’encombrement pour des
applications particulières.
5.3. Perspectives envisagées
Nous envisageons donc de faire la synthèse d’un observateur de position robuste d’ordre
minimal (ordre2) en se basant sur un observateur de Luenberger (d’ordre complet) proposé
par T.D BATZEL dans [BATZ-LEE_1]. Notre observateur a les avantages suivants :
Dynamique très bonne
Fonctionne bien en régime permanent qu’en régime transitoire
Il ne dépend pas de la valeur initiale de la position du rotor
Il est bien adapté à la propulsion électrique, car il ne dépend pas des paramètres
mécaniques tels que, l’inertie, le couple de charge ainsi que les frottements.
Fonctionne aussi bien même à très faibles vitesses et à des vitesses plus proches de
zéro

19
6. Conclusion
Dans cette section nous avons présenté les généralités sur les machines synchrones ensuite
nous avons établit les deux types de modèles que nous allons utiliser ultérieurement pour la
commande vectorielle à flux rotorique orienté de la MSAP sans capteur de position. Le
principe de la commande est rappelé ainsi que la stratégie de commande adoptée. Toutefois
certaines hypothèses simplificatrices ont été énumérées afin de ne pas alourdir les calculs.
III. ETAT DE L’ART DES TECHNIQUES D’ESTIMATION DE LA POSITION
ET DE LA VITESSE DESTINEE A LA COMMANDE SANS CAPTEURS
1. Introduction
Les capteurs mécaniques, qui font partie intégrante de l’ensemble alimentation –
convertisseur – machine, possèdent de nombreux inconvénients. En effet, leur emploi
génère une augmentation non négligeable du coût et parfois du volume du moteur. Pour des
moteurs de petite taille, la présence d’un tel capteur au niveau de l’arbre peut rendre ce
dernier quasi-inaccessible. De même, pour des moteurs à arbre creux, le couplage du
capteur avec le rotor peut s’avérer délicat. L’installation de ces dispositifs de mesure
nécessite un calage relatif au rotor. Cette opération s’avère laborieuse à reproduire en série,
même si elle peut être réalisée par la commande numérique. Pour pallier les inconvénients
mentionnés ci-dessus une méthode consiste à mettre en oeuvre une détection indirecte de la
position.
La commande sans capteur de position pose deux problèmes majeurs. Le premier concerne
la localisation de la position initiale du rotor. La connaissance de la position initiale est
nécessaire à la fois pour démarrer le moteur avec le couple maximum et pour éviter une
rotation du moteur dans le sens inverse. Le second problème consiste à assurer
l’autopilotage malgré les variations paramétriques et des différentes perturbations agissant
sur l’axe du moteur.
Dans le cadre de nos travaux d’initiation à la recherche, nous avons étudié une structure de
commande permettant de supprimer le capteur de position. De plus, cette structure doit être
robuste aux variations paramétriques et aux différentes perturbations. Avant d’introduire la
structure étudiée, nous allons effectuer un bref rappel bibliographique sur les stratégies de
reconstruction de la position rotorique [VAS] [JOHN99] [ERTU] [JABB] [BAG99], en
décrivant les principales méthodes, avec leurs avantages et leurs inconvénients.
De nos jours, la commande vectorielle de la MSAP se voit remplacée par la commande
vectorielle sans capteurs mécaniques pour des raisons aussi bien d’ordre économique que
technique.
Vu la diversité des nouvelles méthodes, il n’est pas évident de trouver la seule et meilleure
façon de classer les techniques d’estimation de position et de vitesse de la commande sans

20
capteur mécanique des moteurs électriques. Plusieurs techniques ont été publiées
auparavant et nombreux sont les nouvelles méthodes développées au troisième millénaire ;
c’est sur cette base que nous allons classifier ces techniques en quatre principaux groupes :
Les techniques utilisant les mesures algébriques
Techniques utilisant la f.e.m
Techniques basée sur la logique floue et réseau de neurones
Les techniques utilisant les observateurs
2. Techniques utilisant les mesures algébriques
Nous allons nous limiter pour ce sous ensemble à trois techniques.
2.1. Méthodes utilisant les tensions et les courants pour calculer le flux principal
Les méthodes similaires sont présentées dans [WU91][SENJ]. On considère l’équation
électrique :
.
d
v R i
dt
Φ
= +
Cette équation est intégrée pour avoir le flux :
0
( . )
t
v R i dtΦ = −∫
La connaissance de la position initiale, des paramètres de la machine et de la relation liant
le flux principal à la position du rotor permet l’estimation de cette dernière grandeur. La
vitesse est estimée en déterminant le taux de variation du flux principal résultant de cette
intégration. Une variante de cette méthode procède par une extraction polynomiale basée
sur les valeurs précédentes de la position pour prédire la position suivante. Les méthodes
basées sur le calcul du flux principal ont permis de s’affranchir de besoin du neutre en
utilisant les tensions composées au lieu des tensions simples ; cet avantage est le côté
attirant principal de ces méthodes. D’autres techniques ont combiné, pour réguler la boucle
de vitesse, les méthodes de calcul du flux avec des stratégies de commande perfectionnées
telles que les observateurs d’état, la commande adaptive.
2.2. Méthode utilisant la différence entre des prédictions modèle de la tension du
courant et leurs valeurs réelles
Cette méthode a été publiée par N. MATSUI, dans [MATS-1] [MATS-2] [MATS-3]. Cet
auteur a fondé la théorie de sa méthode sur le modèle de la machine représentée dans un
référentiel de Park d-q lié au rotor. Les tensions et les courants mesurés sont projetés dans
ce référentiel puis comparés à leurs images obtenues par reconstruction dans un référentiel

21
semblable mais hypothétique. Les différences obtenues informent sur la variation de la
position qui s’est produite depuis la position précédente [WAT].
2.3. Méthode utilisant les équations, les paramètres connus de la machine et les
manipulations algébriques
En ce qui concerne l’estimation de la position et de la vitesse, ce type d’estimateur utilise la
théorie des référentiels et des transformations géométriques en plus des équations et des
paramètres de la machine. Initialement les tensions et les courants mesurés sont transformés
dans des référentiels de Park liés au rotor et au stator. Le passage du référentiel statorique à
celui rotorique est donné par la transformation matricielle standard suivante :
cos sin
sin cos
dr ds
qr qs
x x
x x
θ θ
θ θ
−    
=    
    
Cette transformation permet de substituer les variables liées au référentiel statorique dans
les équations de la machine représentée dans le référentiel rotorique. Un fois que ces
équations sont totalement en terme de variables statorique, les manipulations convenables
conduisent à une expression de la position [WAT]. Ensuite, étant donné le flux
rotorique mΦ , l’expression de la vitesse est déduite pour une machine isotrope. On trouve
des variantes de cette méthode dans d’autres publications.
3. Autres techniques d’estimation
3.1. Techniques utilisant l’acquisition de la f.e.m aux bornes de la machine
Dans un fonctionnement à flux orienté de la machine synchrone, la f.e.m et le courant dans
une phase sont alignés. Les instants de commutation du convertisseur peuvent être obtenus
en connaissant juste le passage par zéro de la f.e.m et l’angle de la commande [LIZU85].
On détecte le passage par zéro de la f.e.m lorsque le courant est nul. Une fois les instants
sont détectés et décodés on produit les signaux de commande du convertisseur. Cette
méthode n’est pas praticable pour des faibles vitesses puisque la f.e.m est nulle à l’arrêt et
proportionnelle à la vitesse en marche. Toutefois, à très haute vitesse, le procédé
d’orientation du flux est bouleversé d’où une limitation de la vitesse autour de 1000-
6000tr/min.
3.2. Intégration de la f.e.m
La position du rotor est déduite d’une intégration programmée de la f.e.m de la phase
ouverte du moteur [KONG02] [PET]. L’intégration au moment où cette f.e.m passe par
zéro. L’opération d’intégration est arrêtée lorsque la f.e.m dépasse un certain seuil
correspondant à l’instant de commutation. Du moment que la f.e.m peut être supposée
linéaire et à pente indépendante de la vitesse au voisinage du passage par zéro pour les
machines synchrones à f.e.m trapézoïdale, la tension de seuil peut être prise constante dans
toute la plage des vitesses. Des circuits spéciaux basés sur cette méthode ont été conçus et
commercialisés. Cette technique est insensible aux bruits de commutation et s’adapte

22
automatiquement à toute variation de vitesse jusqu’une limite de 3600tr/min. Toutefois elle
reste moins efficace concernant les faibles vitesses.
3.3. Technique basée sur les réseaux de neurones
De nouvelles techniques basées sur l’intelligence artificielle sont proposées. Dans [BATZ]
les auteurs proposent un réseau de neurones à propagation inversée établi sous forme de
filet non linéaire liant les grandeurs électriques mesurées à la position du rotor. La position
générée par ce réseau est utilisée ensuite pour estimer le flux principal que l’on compare au
flux réel calculé par intégration de la f.e.m mesurée. La différence obtenue est propagée
dans le réseau pour permettre la modification des paramètres et l’estimation de la position
du rotor. Une valeur initiale du flux ou carrément de la position est exigée.
3.4. Technique basée sur la logique floue
Dans [HAMD], un schéma de commande sans capteur basée sur la logique floue est
proposé. Dans cet article le système de logique floue estime, d’un côté la position du rotor à
partir des mesures des courants et des tensions ; et de l’autre, il gère les références de
courant nécessaires pour réaliser un mode de fonctionnement à couple maximal ou à facteur
de puissance unitaire. Dans [BIL], un observateur flou est utilisé pour estimer la position et
la vitesse du rotor. Cet observateur flou prend comme entrée les courants statoriques
estimés et la différence entre les mesures et les estimations de ces derniers.
4. Techniques basées sur les observateurs
De nombreuses méthodes de commande des processus utilisent le principe du retour d’état
(commande optimale, découplage, placement de pôles,…). Comme dans la plupart des cas,
les seules grandeurs accessibles du système sont les variables d’entrée et de sortie, il est
nécessaire, à partir de ces informations, de reconstruire l’état du modèle choisi pour
élaborer la commande.
Figure I.16 : Schéma synoptique de la commande avec observateur
Un reconstructeur d’état ou estimateur est un système (Figure I.16) ayant comme entrées les
entrées et les sorties du processus réel et dont la sortie est une estimation de l’état de ce
processus.
Etage de
puissance
MSAP
Régulation de
courant et tension
Observateur ou
Reconstructeur
Position
Vitesse
Courants
Courants
& tensions
Réf

23
Sous l’hypothèse de linéarité du modèle du processus, la structure de base de l’estimateur
est toujours la même, mais sa réalisation dépendra du contexte choisi : continu ou discret,
déterministe ou stochastique.
Dans le cas où ce modèle est un modèle déterministe, le reconstructeur d’état sera appelé
observateur. Dans le cas de systèmes bruités, où interviennent des phénomènes aléatoires,
on parle de filtre ou filtre de Kalman.
La théorie des observateurs a été développée initialement par D. Luenberger aux années
1964 [LUEN] [GREL]. Un observateur standard est un système qui a comme entrées les
signaux d’entrée et de sortie d’un processus et produit à sa sortie le vecteur d’état du
système. On élimine l’erreur d’estimation grâce à une loi de commande bien appropriée
[GREL] [MINZ] [OREIL] [OSTER]. En ce qui concerne les actionneurs électriques, le
vecteur d’état est généralement constitué des courants et du couple électromagnétique, en
plus de la position et de la vitesse du rotor. Vu la non linéarité de l’équation d’état,
l’observateur résultant est non linéaire. Il existe deux approches concernant la théorie des
observateurs :
Les observateurs déterministes
Les observateurs Optimisant un critère stochastique
Pour les observateurs déterministes on cite :
4.1. Observateur déterministe de Luenberger
L'observateur de Luenberger est le plus connu dans la classe de type déterministe [LUEN]
[GREL] [OREIL]. A partir des mesures des entrées et sorties, nous pouvons reconstruire
l'état du système linéaire observable. Il est utilisé dans la commande par retour d’état
lorsque tout ou une partie du vecteur d’état ne peut être mesuré. Dans sa version étendue, il
permet d’estimer les paramètres variables ou inconnus d’un système. Dans [BATZ-LEE_1],
un observateur déterministe de flux de type Luenberger est utilisé pour reconstruire la
position du rotor. L’estimateur proposé présente beaucoup d’avantages notamment le fait
qu’il ne dépend pas du tout de la position initiale du rotor et en plus il fonctionne aussi bien
à vitesse avoisinant le zéro qu’à très haute vitesse. L’implantation de cette technique est
présentée dans [BATZ-LEE_2] où les résultats expérimentaux ont été présentés et
commentés.
4.2. Observateur à ordre réduit
Dans le cas où seulement quelques unes des variables d’états seraient intéressantes, on
pratique un couplage par transformation linéaire, des sorties de l’observateur avec le
vecteur d’état du système. L’observateur résultant est d’ordre inférieur au premier, il a
l’avantage d’alléger le temps de calcul [SOLS] [TAT]. Dans [TAT] [J.KIM] les
observateurs à ordre réduit présentés estiment la f.e.m de la machine pour déduire la
position et la vitesse du rotor.
Une variante de cette technique est l’observateur à perturbation [MATS-3]. Il est basé sur
l’hypothèse d’un vecteur d’état quasi statique ; hypothèse justifiable chaque fois qu’on a

24
une fréquence d’échantillonnage et un temps de calcul rapides. Les variations légères des
variables d’états sont dites des perturbations et elles se manifestent par des petites
fluctuations de la position du rotor.
De nouvelles techniques basées sur les observateurs de flux rotorique à ordre réduit sont
présentés dans [BATZ-LEE_1,2,3] [SHIN]. Ces observateurs publiés dans [BATZ-
LEE_1,2,3] [SHIN] sont insensibles aux variations des paramètres mécaniques et sont aussi
robustes dans la mesure où la position initiale inconnue du rotor ne pose pas problème
contrairement à nombreuses méthodes antérieurement proposées.
4.3. Observateur à mode glissant
L’idée de l’observateur par mode de glissement consiste à utiliser des fonctions de
commutation variables de manière à ce que l’erreur d’estimation converge vers zéro dans
une surface plane glissante de l’espace d’état [FUR] [PEIX]. Le principe de l'observateur en
mode glissant consiste à contraindre les dynamiques d'un système d'ordre n à converger
vers une variété de dimension (n-p) dite surface de glissement (p étant la dimension du
vecteur de mesure). L'attractivité de cette surface est assurée par des conditions appelées
"conditions de glissement". Si ces conditions sont vérifiées, le système converge vers la
surface de glissement et y évolue suivant une dynamique d'ordre (n-p).
En conclusion, l'observateur en mode glissant consiste à attirer la trajectoire des erreurs
d'observation vers une surface correspondant à une erreur d'estimation de sortie nulle. Sur
cette surface, les dynamiques sont stabilisées de manière à annuler l'erreur d'estimation.
En ce qui concerne les observateurs optimisant un contexte stochastique, l’estimation est
optimale lorsque les propriétés stochastiques des bruits sont suffisamment connues. On
cite l’estimateur standard de Kalman et le filtre de Kalman étendu [BOL] [GREL]
[OREIL].
4.4. Estimateur Standard de Kalman
Ce type d’observateur donne une estimation optimale (au sens d’un critère statistique) de
l’état du système perturbé par des bruits dont les propriétés stochastiques sont connues. Il
est souvent mis en œuvre pour donner une estimation du flux, de la vitesse ou des
paramètres rotoriques utilisés pour la synthèse des commandes vectorielles. Dans [BOL], ce
type de reconstructeur est utilisé pour la commande sans capteur des machines synchrones à
aimants permanents.
5. Conclusion
Cet état de l’art a permis de lister quelques différentes techniques permettant d’estimer la
position et la vitesse du rotor pour la commande vectorielle de la machine synchrone à
aimants permanents. Globalement, nous avons classifié les méthodes en quatre grandes
familles. Compte tenu de l’exigence du cahier des charges, les observateurs de flux
s’avèrent être des structures intéressantes pour la commandes sans capteurs des machines
électriques notamment la MSAP.

25
IV. CONCLUSION
Nous avons présenté dans ce chapitre les différentes modélisations de la machine qui seront
utilisées ultérieurement pour la commande vectorielle sans capteur de la MSAP. Et après
avoir rappeler le principe de la commande vectorielle, et rappelée la stratégie de commande
adoptée nous avons fait l’étude de dimensionnement des régulateurs de la boucle de courant
et de la boucle de tension. Toutefois certaines hypothèses simplificatrices ont été énumérées
afin de ne pas alourdir les calculs.
Il nous a été nécessaire de passer en revue les méthodes nouvelles proposées durant les
dernières années concernant la commande sans capteurs des machines électriques plus
particulièrement la machine synchrone à aimants. Le développement des estimateurs ne
cesse de prendre de l’ampleur, ce qui pousse les laboratoires universitaires d’approfondir
leurs études de recherche.
Nous avons vu, concernant les estimateurs de position et de vitesse de la MSAP, que les
méthodes sont nombreuses et que même la classification en sous ensemble n’est pas une
chose aisée. Toutefois nous avons classé les techniques en quatre sous groupes :
Les techniques utilisant les mesures algébriques
Techniques utilisant la f.e.m
Techniques basée sur la logique floue et réseau de neurones
Les techniques utilisant les observateurs
Nous nous intéresserons par la suite aux techniques utilisant les observateurs car c’est dans
cet axe que sera basée notre étude de développement, d’analyse, de simulation et
d’implantation de la commande vectorielle à flux orienté de la MSAP en utilisant les
observateurs.
Nous nous baserons bien sur cette bibliographie pour faire l’étude de l’observateur que
nous allons proposé par la suite.

PARTIE 2
ANALYSE ET MISE EN ŒUVRE DES
OBSERVATEURS DE POSITION POUR LA
COMMANDE DE LA MACHINE SYNCHRONE
A AIMANTS PERMANENTS

Chapitre 2 : Dimensionnement des Observateurs et Simulation
27
CHAPITRE 2
DIMENSIONNEMENT DES OBSERVATEURS ET
SIMULATION
I. INTRODUCTION
Nombreuses sont les techniques d’estimation de position et de vitesse du rotor de l’arbre
des machines électrique. Dans notre étude nous nous intéressons aux méthodes basées sur
les observateurs, plus particulièrement à un observateur d’état des flux rotoriques d’ordre
minimal à savoir l’ordre deux. Durant notre période de stage nous avons étudié en premier
lieu un observateur réduit qui donne une estimation de la vitesse et suite à une intégration la
position du rotor. Nous avons laissé tombé cet observateur qui, dans son modèle d’état, fait
intervenir les équations mécaniques qui demeurent non maîtrisables à cause de la variation
des paramètres mécaniques. Cet observateur sera présenté à la fin de ce chapitre avec les
résultats de simulation.
Dans un premier lieu, nous étudierons un observateur de Luenberger d’ordre quatre basé sur
la reconstruction des flux rotoriques. La position électrique eθ , est déterminé en calculant
l’arc tangente de m
m
β
α
Φ
Φ
. Cet observateur proposé dans [BATZ-LEE_1,2,3] présente
d’énormes avantages mais nous jugeons qu’il nécessite un temps de calcul important vu
l’ordre qui est assez grand (ordre quatre). C’est ainsi que nous avons eu l’idée de proposer
de réduire l’ordre de cet estimateur puisque une partie du vecteur d’état peut être
reconstituée par une combinaison des entrées, des mesures et des états reconstitués.
C’est cet observateur d’ordre deux qui fera l’objet de notre étude dans la deuxième section
de ce chapitre. Nous présenterons le dimensionnement, le schéma de principe ainsi que la
simulation de notre estimateur et nous comparerons les résultats avec les deux autres
observateurs étudiés.
En dernière position nous présenterons le premier observateur étudié qui est basé sur la
reconstruction de la vitesse avant de faire conclusion de ce chapitre.

28
II. OBSERVATEUR DE POSITION DU ROTOR BASE SUR LA
RECONSTRUCTION DES FLUX STATORIQUES
1. Introduction
Nous étudierons dans cette section un observateur d’état pour reconstituer le vecteur d’état
constitué des deux composantes du flux statoriques et des deux composantes du flux
rotorique dans le référentiel biphasé (α,β). Nous devons avoir tout d’abord un modèle de la
machine dans ce même référentiel pour ensuite se baser sur pour synthétiser notre
observateur. Dans cette section nous rappelons le modèle de notre MSAP avec les équations
aux flux, ensuite nous allons valider ce modèle puis nous passons au dimensionnement de
l’observateur puis à sa simulation.
2. Modèle de la machine dans le référentiel (α,β)
Ici nous allons nous intéresser au modèle de la machine dans (α,β) suivant :
. .c
di
v R i L e
dt
α
α α α= + +
. .c
di
v R i L e
dt
β
β β β= + +
, , ( )mLiα β α β θΦ = + Φ
,, ,
.
mdd di
L
dt dt dt
α βα β α β
ΦΦ
= +
3. Equations d’état
A partir des équations ci-dessus, nous établissons les équations d’état de la machine de
manière à avoir :
Entrées :
T
u v vα β =  
Vecteur d’état :
T
m mx α β α β = Φ Φ Φ Φ 
Sorties :
T
y i iα β =  
x Ax Bu
y Cx
= +

=
&
0 0
0 0
0 0 0
0 0 0
e
e
A
τ τ
τ τ
ω
ω
− 
 − =
 −
 
 
1 0
0 1
0 0
0 0
B
 
 
 =
 
 
 
et
1 0 1 0
0 1 0 1
L L
C
L L
− 
=  − 
Nous détaillerons par la suite les calculs qui nous ont permis de déterminer ce modèle
d’état.

29
Nous remarquons bien ici que la matrice d’état A dépend de la vitesse du rotor donc nous
avons un modèle non linéaire car la vitesse est étroitement liée à la position que nous
voulons en fin de compte estimer.
4. Validation du modèle de la machine
L’observateur d’état se base sur le modèle d’état de la machine que nous venons d’établir,
pour s’assurer que ce modèle (qui a pour vecteur d’état le vecteur (les flux)) converge vers
le premier modèle étudié, nous avons jugé nécessaire de simuler ce modèle et comparer le
vecteur d’état avec les flux déterminés par calcul simple à partir du modèle que nous avons
auparavant établit dans le référentiel de Park d-q. Afin de ne pas compliquer la simulation
nous supposons que la vitesse est constante et que la pulsation rotorique ωe l’ai trivialement
aussi.
Figure II. 17 : Schéma de simulation du modèle d’état de la MSAP
4.1. Résultats de simulation de la Validation du modèle de la machine
Ce modèle a pour entrées les tensions et pour sorties les courants statoriques. Dans notre
simulation nous nous intéressons par contre à la visualisation des composantes du vecteur
d’état afin de s’assurer que ce modèle nous donne des flux qui convergent vers les flux
déterminés par calcul à partir du modèle dans d-q que nous avons déjà validé.
Nous remarquons ici dans la Figure II.18 que le flux converge très rapidement, ce qui nous
permet d’affirmer que le modèle présenté est correcte et que nous pouvons faire la synthèse
de l’observateur basé sur ce modèle.

30
Figure II.18 : Flux rotoriques ,m mα βΦ Φ
5. Estimation de la position du rotor
5.1. Synthèse de l’Observateur de Luenberger d’ordre complet
5.1.1. Equations d’état et principe
En considérant le modèle présenté ci haut on a :
( )
( )
R
m
L
R
m
L
d
v
dt
d
v
dt
α
α α α
β
β β β
−
−
Φ
= Φ Φ +

Φ = Φ Φ +

Représentation d’état :
On modélise le système de façon à considérer :
Entrées :
T
u v vα β =  
Vecteur d’état :
T
m mx α β α β = Φ Φ Φ Φ 
Sorties :
T
y i iα β =  
D’après les équations précédentes on a :
( )
( )
m
m
d R
v
dt L
d R
v
dt L
α
α α α
β
β β β
Φ
= − Φ − Φ

Φ = − Φ − Φ

en posant
L
R
=τ

31
On sait que
cos( )
( ) ( )
sin( )
m m e
m m
m m e
t
t
t
α
β
ω
θ ω
ω
Φ = Φ
Φ = Φ = 
Φ = Φ
sin( )
cos( )
m m e me e
m m e me e
d
t
dt
d
t
dt
α β
β α
ω ω ω
ω ω ω

Φ = − Φ = Φ

 Φ = Φ = Φ

On a :
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
m me
m me
vd
vdt
α α
β β α
α α β
β β
τ τ
τ τ
ω
ω
Φ Φ−      
      Φ Φ−        = +     Φ Φ   −  
      
Φ Φ         
( )
( )
1
1
m
m
i
L
i
L
α α α
β β β
= Φ − Φ
= Φ − Φ
1 0 1 0
0 1 0 1
i L L
i L L
α
β
−   
=   −   m
m
α
β
α
α
Φ 
 Φ 
 Φ
 
Φ 
On a le système
x Ax Bu
y Cx
= +

=
&
avec
0 0
0 0
0 0 0
0 0 0
e
e
A
τ τ
τ τ
ω
ω
− 
 − =
 −
 
 
1 0
0 1
0 0
0 0
B
 
 
 =
 
 
 
et
1 0 1 0
0 1 0 1
L L
C
L L
− 
=  − 
Ici on constate bien que la matrice d’état A dépend de la pulsation ou vitesse électrique eω .
Nous avons un modèle non linéaire. Pour considérer ce système comme un système linéaire
pendant une période d’échantillonnage, nous devons poser l’hypothèse suivante.
Nous considérons très lente la variation de la vitesse par rapport à la fréquence
d’échantillonnage.

32
5.1.2. Estimation de la position du rotor
La position du rotor eθ est donnée par : ˆ m
e
m
Arctg β
α
θ
Φ 
=  
Φ 
4
3
ˆˆ
ˆe
x
Arctg
x
θ
 
=  
 
On a besoin de reconstruire x3 et x4
Observateur de Luenberger (ordre n=4)
On a
Cxy
BuAxx
=
+=&
⇒
xCy
BuxAx
ˆˆ
ˆˆ
=
+=&
Ce qui donne un observateur d’ordre 4 (même ordre que le système)
( ) ( )uJBxGCFAxFx
GyJuxFBuAxxx
GCxJuxFGyJuxFx
−+−−+=
−−−+=−
++=++=
~~
ˆˆ
ˆˆˆ
&
&&
&
( )xGCAxFx ~~~ −==&
G est le gain d’observateur
x~ l’erreur d’estimation
Remarque
Pour avoir une bonne estimation, il faut que x~ tend vers 0 pour t tend vers l’infini. xFx ~~ =&
implique que les valeurs propres de F doivent impérativement être stables.
Sous cette condition, on détermine la matrice G (gain par placement de pôle). Il existe
plusieurs méthodes pour déterminer le gain G, soit par placement de pôle directement avec
la forme canonique d’observabilité soit en utilisant l’algorithme général d’Ackermann basé
sur un model quelconque du système.
La dynamique de l’observateur dépend donc de la dynamique du polynôme
caractéristique ( ) 0=−− GCAsI . On se propose un polynôme caractéristique suivant :
1 2 3 4( ) ( )( )( )( )f s s s s sλ λ λ λ= − − − − avec
1 2
1 3
2 4
( )conjugué
et
λ λ
λ λ
λ λ
∗
=
=
=
donc 2 * 2
1 1( ) ( ) ( )f s s sλ λ= − −

33
5.1.3. Observabilité
La condition d’observabilité du système est donnée par le rang de la matrice d’observabilité
2 3
O C CA CA CA
′
 =  
Il faut que cette matrice soit de rang complet. Cette matrice n’est pas carrée on détermine
l’observabilité du système par la méthode suivante :
- on calcule T
O puis T
sQ O O= ⋅
- on détermine le rang de sQ
Dans notre cas O est une matrice (8*4) et Q (4*4) : matrice carrée.
On montre que, quelle que soit eω vitesse angulaire électrique du rotor supérieure à zéro le
système est observable [BATZ-LEE_1,2].
5.1.4. Détermination de la matrice gain de l’observateur G :
On pose :
1 0
0 1
I
 
=  
 
et
0 1
1 0
J
− 
=  
 
Nous choisissons une forme de la matrice gain G comme la suivante :
11 12
21 22
31 32
41 42
g g
g g
G
g g
g g
 
 
 =
 
 
 
avec
11 22 1
31 42 2
21 12 3
41 32 4
g g g
g g g
g g g
g g g
= =
 = =

= − =
 = − =
on a
1 2 2 2 2 2
3 2 2 4 2 2
g I g J
G
g I g J
× ×
× ×
+ 
=  + 
On montre que ( )
( )
1
1 2
2
1 2
3
2
1 2
4
e
e
e
g R
R
g
R
g
R
g
λ λ
ω τ
λ λ
τ
λ λ ω
ω τ
= −
=
+
=
− − + +
=
Ce qui nous donne la matrice gain de l’observateur :

34
( ) ( )
( ) ( )
1 2
1 2
2
1 21 2
2
1 2 1 2
e
e
e
e
e
e
R
R
w t
R
R
G
RR
R R
λ λ
λ λ
ω τ
λ λ ωλ λ
τ ω τ
λ λ ω λ λ
ω τ τ
− 
− 
 
 
− 
 
=  − ++
 
 
 
− − + + + 
 
 
Avec
1 2
1 3
2 4
et
λ λ
λ λ
λ λ
∗
=
=
=
iλ valeurs propres de (A- GC)
Le schéma de principe de l’observateur est donné par la figure suivante, avec comme
entrées de l’observateur les tensions et les courants statoriques dans le référentiel biphasé
(α,β). L’observateur de Luenberger utilise les matrices A, B et C du modèle de la machine
sur lequel on se base pour le synthétisé.
Figure II.19 : Schéma de principe de l’Observateur d’état de notre modèle de la MSAP
5.2. Estimation de la vitesse
Nous remarquons bien ici que la matrice d’état A dépend de la pulsation rotorique, donc
nous avons un modèle non linéaire car non seulement cette pulsation varie en fonction du
temps mais elle est étroitement liée à la position que nous voulons en fin de compte estimer.
Nous devons à chaque instant avoir une estimation de la vitesse afin de l’insérer dans la
matrice A que nous noterons par la suite Aω. Considérant l’inertie de la MSAP, nous
abc/αβ
MSAP
abc/αβ
B
( )2 2
( ) ( )
e
m
v Ri v Riα α β β
ω
− + −
=
Φ
∫ C
A atan
++
ˆ
eθ
G
ˆeω
ˆeω
abcv
abci
vαβ
iαβ
ˆx& ˆx ˆy

35
pouvons assimiler la pulsation rotorique égale à une constante durant une période
d’échantillonnage, ainsi le modèle devient linéaire.
On sait qu’en régime permanent, 0=
dt
di
donc on a :
cos( )
sin( )
m
m me e e
m me e e
d
v Ri Ri Ri t
dt
v Ri Ri t
α
αα α α α
β ββ β
ω ω ω
ω ω ω
Φ
= + = − Φ = − Φ
= + Φ = + Φ
( ) ( )
22cos( )
sin( )
e m e
e
e
t v Ri
m v Ri v Ri
m wet v Ri
α α
α α β β
β β
ω ω
ω
ω
− Φ = − 
⇒ Φ = − − −
Φ = − 
( )2 2
( ) ( )
e
m
v Ri v Riα α β β
ω
− + −
=
Φ
Cette estimation est valable en régime permanent et même à très basses vitesses
5.3. Justification du choix des valeurs propres
Nous choisissons les valeurs propres de l’observateur par un placement de pôle adéquat.
En effet pour avoir une bonne dynamique de notre observateur, nous choisirons des valeurs
propres très rapides que les pôles du système (processus) et aussi plus rapides que la
pulsation rotorique. Toutefois il faut noter que le fait de prendre des valeurs propres plus
rapides, l’erreur de l’observateur converge plus rapidement vers zéro mais l’on risque
d’augmenter la bande passante et cela peut amplifier les bruits. Dans un premier temps,
nous choisissons des valeurs propres assez grandes qui assurent la convergence rapide de
l’erreur d’estimation.
Après modélisation de l’ensemble convertisseur machine, nous nous rendons compte que
l’ensemble se comporte comme un premier ordre dont on le modélise comme suit :
1
1 sωτ+
avec ωτ déterminé par des essais de la machine à vide.
Pour choisir les pôles du gain de l’observateur, il faut tenir compte du fait que l’observateur
doit avoir une dynamique beaucoup plus rapide que l’ensemble moteur convertisseur. Pour
cela, nous avons pris en premier lieu les pôles 0 1
1
10
w
λ λ
τ
= ≥ =
Nous choisissons 1 90λ = − puis dans un deuxième temps des valeurs propres 1 200λ = − .
5.4. Choix de valeurs propres dynamiques
Le fait de choisir des valeurs propres qui ont une dynamique rapide par rapport à la
pulsation électrique rotorique eω réduit l’erreur de l’estimation de position.

36
Nous proposons donc une stratégie qui permet de choisir des valeurs propres adaptées à la
vitesse de l’arbre du rotor pour essayer de gérer la bande passante et de ne pas amplifier
gratuitement les bruits.
( )0 e reel imk jkλ ω= − + , cette méthode est très pratique elle marche très bien en simulation
comme nous allons le voir dans la section qui suit.
5.5. Utilisation de l’observateur pour la commande de la machine
Notre objectif final est de réaliser la commande sans capteur de la machine synchrone à
aimants permanents. C’est ainsi que nous envisageons faire la synthèse de notre observateur
d’état afin de boucler le système non avec les grandeurs mesurées mais avec les grandeurs
estimées à l’instar de la position et de la vitesse.
6. Simulation sous MATLAB SIMULINK
6.1. Résultats de simulation et interprétations
Nous utilisons l’observateur en boucle fermée pour la commande vectorielle de la machine.
Dans la simulation, nous démarrons la commande avec les grandeurs mesurées et après
quelques secondes nous basculons vers les grandeurs estimées grâce à un switch que nous
avons judicieusement placé. Dans un premier temps nous réalisons la simulation en ne
tenant pas compte du couple de charge. Nous appliquons une charge Cr de 0,14Nm à t=4s.
Cette charge correspond au couple de charge de la machine à courant continu à vide qui est
accouplée à notre machine synchrone.
Nous remarquons ici dans la Figure II.20, que le couple présente un pique lorsque nous
appliquons l’échelon et il converge bien vers la valeur du couple résistant à vide qui est de
0,14Nm. La vitesse de référence étant fixée à 1000tr/min, nous remarquons bien que aussi
bien la vitesse mesurée que celle estimée convergent vers la référence, l’observateur répond
avec une dynamique très rapide, comme nous voyons dans la Figure II.21, les deux courbes
sont pratiquement collées. Il en est de même pour les positions électriques mesuré et estimé
de la Figure II.22, ceci en boucle fermée ; c'est-à-dire que nous réalisons la commande ici,
non pas à l’aide des grandeurs mesurées mais avec les position et vitesse estimées.
Figure II.20 : Couple Cem (Nm) Figure II.21 : Vitesses mesurée et estimée tr/min
temps (s)temps (s)

37
Figure II.22 : Angles mesurée et estimée en rad
6.2. Simulation en tenant compte des bruits et de l’OFFSET
Dans cette section, nous ajoutons intentionnellement des bruits sur les grandeurs mesurées
(tensions et courants) et un OFFSET pour essayer de s’approcher un peu de la réalité. Dans
le cas des valeurs propres statiques judicieusement choisies, nous avons les résultats
suivants de simulation.
Figure II.23 : Couple électromagnétique Figure II.24 : vitesses mesurée et estimée
Nous remarquons aussi comme pour le cas idéal sans bruits ni OFFSET que l’allure des
courbes est pratiquement la même sauf que les grandeurs estimées présentes quelques
ondulations négligeables de l’ordre de 0.5%.
Figure II.25 : Angles mesurée et estimée Figure II.26 : erreur de vitesse (tr/min)
temps (s)
temps (s)
temps (s)
temps (s)
temps (s)

38
L’erreur de vitesse ne dépasse pas 10tr/min pour un double échelon de vitesse de 200 vers
1000tr/min (Figure II.26), ceci avec un bruit de 5% sur les mesure et un OFFSET de 0.08V
pour les tensions et 0.02A pour les courants.
Figure II.27 : erreur de position électrique
L’erreur de position électrique dans ces mêmes conditions ne dépasse pas 2,3°, même en
tenant compte de tous ces bruits. Ces résultats nous permettent d’affirmer que l’observateur
converge avec efficacité et arrive à s’en passer des bruits de mesures.
Nous choisissons maintenant des valeurs propres de la matrice d’état de l’observateur
proportionnelles à la valeur absolue de la vitesse. ( )0 reel imP k jkω= − + , cette stratégie
permet un bon rejet des bruits de mesure.
Figure II.28 : Couple électromagnétique (Nm) Figure II.29 : vitesses mesurée et estimée
temps (s) temps (s)
temps (s)

39
Figure II.30 : Angles élec mesurée et estimée Figure II.31 : erreur de vitesses (tr/min)
Nous constatons dans ce cas que l’allure du tracé du couple ainsi que de la vitesse est
presque la même. Le fait de prendre des valeurs propres dynamiques adaptées à la vitesse
n’affecte pas l’allure de la vitesse elle-même par contre nous constatons un bon rejet des
perturbation au niveau de la positon électrique estimée. Nous avons maintenant une erreur
d’environs 0.01rad soit 1,1° (Figure II.32) pour la position électrique. C’est une valeur très
négligeable.
Figure II.32 : erreur angle électrique (rad)
6.3. Simulation en pleine charge (la charge nominale de notre machine est de
0.8Nm)
La charge nominale de notre machine étant de 0.8Nm, nous simulons la commande
vectorielle avec cette charge et nous obtenons les courbes suivantes.
L’erreur de position est dans ce cas décalée de –0.02 par rapport au premier cas où nous
considérons seulement une charge de 0.14Nm.
temps (s)
temps (s) temps (s)

40
Figure II.33 : Vitesses mesurée et estimée tr/min Figure II.34 : erreur de vitesse pleine charge
Figure II.35 : erreur de position pleine charge (rad) Couple Electromagnétique pleine charge (Nm)
7. Conclusion
Nous avons présenté dans cette section la synthèse d’un observateur de position d’ordre
complet de type Luenberger destiné à la commande vectorielle de la MSAP. Après avoir
présenté le modèle de la machine sur lequel notre observateur d’état se base pour
reconstruire la position et la vitesse, nous avons essayé d’éclaircir le dimensionnement et le
principe de calcul des différentes matrices de l’observateur. Ensuite nous sommes passés à
la simulation de la commande vectorielle en utilisant notre estimateur dans le cas idéal sans
bruit ni OFFSET et dans un autre cas où nous considérons les mesures avec des bruits et
des offset. Nous avons remarqués après analyse des résultats de simulation que non
seulement l’observateur répond et converge très rapidement mais elle marche très bien et il
réalise bien la commande sans avoir recours au capteur.
temps (s) temps (s)
temps (s)temps (s)

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