CII EJERCICIO MODELO MATEMATICO DE SISTEMA FISICO ej 1 y 2 , FUNCION DE TRANSFERENCIA Y DIAGRAMA DE BLOQUES

1. EJERCICIO DE MODELOS MATEMATICOS PARA SISTEMAS FISICOS
EJERCICIO NUMERO 1
Para el sistemafísicomostradoenlafigura
Donde M esla masa del objetosuspendido
k es laConstante de un resorte utilizadoparasuspenderlamasa.
f( f pequeña) :es la fuerzade fricción del objetoal moverse verticalmente,productodel
roce con lapared.
F (F grande) : esla fuerzaF que puede aplicarse al cuerpolibre de masa,paraproducirun
movimientoapartirde su condiciónde reposoocondicióninicial.
1. Encontrar la función de transferencia, ydibujarel diagramade Bloquesque representa
al sistemafísicomostrado.
 para encontrarla funciónde Transferencia,enprimerlugardefinimosque Fserá
nuestravariable de entrada, y ladistanciaX representara nuestravariablede
Salida
 Luego, debenexpresarse lasecuacionesmatemáticasque rigenel sistemafísico.
Al analizarel sistemafísico,nosdamoscuentade que se trata de un diagramade cuerpo
libre,donde actúandeterminadasfuerzas. Tambiéndondeexisteunobjetode masaM ,
Figura1: Sistemafísicode Masa - Resorte- Fricción
Donde inicialmentela masa m esta en reposo, Al aplicar sobreElla una
fuerza hacia abajo, sedesea conocer comoes elMovimiento eneje
vertical, en este caso esta distancia conreferencia a la derepososele
llama X.
Las áreas sombreadas son objetos fijos, podemos llamarletechodondede
donde esta suspendido el objeto y pared dondeseproduce una fuerza por
fricción

2. suspendidoydebidoaque estáenreposo,el pesoproductode la masa M que está
suspendidaesigual alaFuerzade suspensiónejercida porlaacción del estiramientodel
resorte con constante K.
En este puntomi Variable F de entrada es ceropuestoque no lahe aplicado,ymi variable
de SalidaX tambiénes cero,debidoala Forma como ha sidodibujadaodefinida. (Es
precisamente loque debemosasegurarparaencontrarla Funciónde Transferencia,que las
condicionesinicialesde mi sistemaseannulasoigualesacero .
por loque mi diagramade cuerpolibre,solamentevamosaconsiderarlasvariables
dinámicasdel sistema..
Esto es:
existe unaFuerzaFde entrada, que denominaremos F(t) ,variable que vaaser lacausa de
cualquieralteracióndel diagramaenreposo.
Se produce un efectoa laSalida,oconsecuenciade cualquierfuerzade entradaque sea
apliacada. y a la cual definiremos X(t) de salida,tambiénpodemosllamarlo, el Cuantose
mueve y como
Del diagramade cuerpolibre yenreposo.Podemos deducirlasfuerzasque incidenenel .
M
F(t)
𝐹𝑟𝑒𝑠𝑜𝑟𝑡𝑒 = 𝑘 𝑋(t)
𝐹
𝑓𝑟𝑖𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 = 𝑓
𝑑 𝑋(𝑡)
𝑑𝑡
𝐹𝑖𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑜𝑝𝑜𝑛𝑒 𝑎𝑙 𝑚𝑜𝑣𝑖𝑚𝑖𝑒𝑡𝑛𝑜
𝑟𝑒𝑠𝑜𝑟𝑡𝑒
= 𝑀
𝑑2 𝑋(𝑡)
𝑑𝑡2

3. Recordemosque: todas las fuerzas,en este caso se oponenal movimientoproducidopor
F.
 Fuerzapor fricciónenmovimientoes Friccion= 𝑓 V(t) = f
𝑑 𝑋(𝑡)
𝑑𝑡
la
constante f por lavelocidadde movimiento.
 FuerzaejercidaenunResorte F resorte = 𝑘 X(t) la constante por
desplazamiento
 FuerzaInerciade Newton 𝐹𝑖𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎 = 𝑀 . 𝑎(𝑡) = 𝑀
𝑑2 𝑋(𝑡)
𝑑𝑡2
lamasa por la
aceleracióndel objetoen movimiento.
Por loque :
𝐹(𝑡) = 𝑓
𝑑 𝑋(𝑡)
𝑑𝑡
+ 𝑀
𝑑2 𝑋(𝑡)
𝑑𝑡2 + 𝑘 X(t)
Esta sería la ecuaciónmatemáticaque rige el Sistemafísicoenfunciondel tiempo,ahora
biensi aplicamosTransformadasde LaPlace atoda la Ecuacion. nos queda.
ℒ ( 𝐹(𝑡) ) = ℒ [𝑓
𝑑 𝑋(𝑡)
𝑑𝑡
+ 𝑀
𝑑2 𝑋(𝑡)
𝑑𝑡2
+ 𝑘 X(t) ] con ℒ la transformaciónde
Laplace.
ℒ ( 𝐹(𝑡) ) = ℒ ( 𝑓
𝑑 𝑋(𝑡)
𝑑𝑡
) + ℒ (𝑀
𝑑2 𝑋(𝑡)
𝑑𝑡2
) + ℒ ( 𝑘 X(t) )
𝐹(𝑆) = 𝑓 ( 𝑆 𝑋(𝑆) − 𝑋(𝑡 = 0) ) + 𝑀 ( 𝑆 2
𝑋(𝑆) − 𝑆 𝑋(𝑡=0) − 𝑋
(𝑡=0)
′
) + 𝑘 𝑋(𝑆)

4. si las condicionesinicialessonigualesacero= 𝑿(𝒕=𝟎) = 𝑿
(𝒕=𝟎)
′
= 𝟎
𝐹(𝑆) = 𝑓 ( 𝑆 𝑋(𝑆) ) + 𝑀 ( 𝑆 2
𝑋(𝑆) ) + 𝑘 𝑋(𝑆) ==> 𝐹(𝑆) = 𝑆 𝑓 𝑋(𝑆) + 𝑀𝑆 2
𝑋(𝑆) + 𝑘 𝑋(𝑆)
al resolver 𝐹(𝑆) = (𝑀𝑆 2
+ 𝑓 𝑆 + 𝑘 ) 𝑋(𝑆) , con lo que,
Respuestas :
 la función de transferencia Salida/Entrada es :
𝐗(𝐒)
𝐅(𝐒)
=
𝟏
𝐌 𝐒 𝟐+𝐟 𝐒 + 𝐤
 Y el diagrama de bloques que representa al modelo fisico puede estar
determinado por :
𝑭(𝑺) 𝑿(𝑺)
𝟏
𝑴 𝑺 𝟐 + 𝒇 𝑺 + 𝒌

5. EJERCICIO NUMERO 2
Para el sistemafísicomostradoenlafigura,que no esotra cosa que un circuitoformadopor
la combinaciónR-C,de manera que conformenuncircuitoRC filtropasabajo,ensuversión
mas sencilla..
 Obtenerlafuncion de Transferenciadel circuitodefinidaporlarelación
𝑉2(𝑆)
𝑉1(𝑆)
Donde 𝑽𝟐(𝑺) representalatensiónde Salidaenfuncionde S
Y 𝑽𝟏(𝑺) representalatensiónde Entradaenfunciónde S
al expresarlatensionesconsuexpresiónmatemática ,de acuerdoa análisisde circuitos
métodode Nodos enel nodo 𝑉2 , todo expresadoenfunciondeltiempo.
tambiéndonde sabemos 𝑉𝑅(𝑡) = 𝑅 𝑖1(𝑡) y 𝑉2(𝑡) = 𝑉𝐶(𝑡)
∑ 𝑖𝑠𝑎𝑙𝑒𝑛 =∑ 𝑖𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑛  𝑖𝑐(𝑡) = 𝑖1(𝑡)
𝐶
𝑉2(𝑡)
𝑑𝑡
=
𝑉1(𝑡)−𝑉2(𝑡)
𝑅
si aplicamosLaplace a amboslados.
ℒ ( 𝐶
𝑑 (𝑉2(𝑡))
𝑑𝑡
=
𝑉1(𝑡)−𝑉2(𝑡)
𝑅
)  ℒ ( 𝐶
𝑑 (𝑉2(𝑡))
𝑑𝑡
) = ℒ(
𝑉1(𝑡)−𝑉2(𝑡)
𝑅
)
y con condicionesinicales=0
𝐶𝑆 𝑉2(𝑆) +
1
𝑅
𝑉2(𝑆) =
𝑉1(𝑆)
𝑅

𝐶𝑆𝑅+1
𝑅
𝑉2(𝑆) =
1
𝑅
𝑉
1(𝑆) ,

6. al despejar
𝑉2(𝑆)
𝑉1(𝑆)
, y simplificando el numeradorydenominadordel ladoderecho
𝑉2(𝑆)
𝑉1(𝑆)
=
1
𝑅
𝐶𝑆𝑅+1
𝑅

𝑉2(𝑆)
𝑉1(𝑆)
=
1
𝑅𝐶 𝑆 +1
 Con loque la Funcionde transferenciaes:
𝑉2(𝑆)
𝑉1(𝑆)
=
1
𝑅𝐶 𝑆 +1
 Y el diagrama de bloque puede estarrepresentadopor.:
𝑉
1(𝑆) 𝑉2(𝑆)
𝟏
𝑹𝑪 𝑺 + 𝟏