Movimiento De Traslación

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Movimiento De Traslación

  1. 1. MOVIMIENTO DE TRASLACIÓN http://newton.cnice.mec.es/4eso/trayectoria/trayec0.htm                                   
  2. 2. <ul><li>Considerase que un cuerpo esta en movimiento de traslación cuando cambia de posición sin rotar alrededor de su propio eje. </li></ul><ul><li>En nuestro estudio las dimensiones del móvil deben ser despreciables en relación a las demás cantidades que intervienen en el fenómeno (idealizado como partícula ) y todas las cantidades deben ser medidas siempre desde un sistema de referencia inercial </li></ul>
  3. 3. Estudio de las cantidades físicas que interviene en el estudio del movimiento de traslación Aceleración ( a t ) Velocidad ( v t ) Posición ( r t ) x y trayectoria Desplazamiento
  4. 4. POSICIÓN <ul><li>Es una cantidad vectorial que determina la ubicación en el espacio de un cuerpo real o idealizado, y es medida desde otro punto que puede ser el origen del sistema de referencia en cuyo caso se define como posición ( r ) , o desde un punto diferente al origen de coordenadas en cuyo caso se define como posición relativa ( r A /B ) . La negrilla en el texto se utiliza para resaltar que es vector. </li></ul><ul><li>Al ser una cantidad vectorial se caracteriza por tener modulo y dirección, expresarse y operar cumpliendo las normas de los vectores, su cantidad es longitud la dimensión L y la unidad cualesquiera de las unidades de longitud. </li></ul>
  5. 5. Ejemplos <ul><li>r = 100 Km. al noroeste con un ángulo de elevación de 30 grados. Quiere decir que un objeto se encuentra a100km del origen de un sistema coordenado en dirección noroeste y a un altura determinada por un ángulo de 30 grados . </li></ul><ul><li>r A/B = ( 10 i + 30 j – 5 k )Km. Significa que un cuerpo B se encuentra en la posición indicada desde un punto A que no es el origen de coordenadas del sistema de referencia considerado </li></ul>A B x z y S O E N Y e
  6. 6. Forma de determinar la posición <ul><li>De manera práctica </li></ul><ul><li>En la actualidad con el uso del GPS </li></ul><ul><li>La forma más tradicional es determinando a través de equipos como teodolito u otros la distancia entre los puntos y determinando su latitud y longitud. </li></ul><ul><li>El modelo matemático que permite determinar su valor depende de las características del movimiento fundamentalmente. </li></ul><ul><li>Para un movimiento de traslación de aceleración constante y diferente de cero la posición viene dada por </li></ul><ul><li>r f = r 0 + v 0 Δ t + ½ a Δ t2 </li></ul><ul><li>Donde </li></ul><ul><li>r f es la posición de la partícula en el tiempo </li></ul><ul><li>establecido </li></ul><ul><li>r 0 es la posición de la partícula en el tiempo que se inicia e l estudio del movimiento </li></ul><ul><li>V 0 es la velocidad de la partícula en el tiempo que inicia el análisis </li></ul><ul><li>a es el valor de la aceleración en el intervalo de tiempo Δ t </li></ul><ul><li>En este intervalo a requiere mantenerse constante </li></ul><ul><li>La posición relativa de una partícula viene dada por </li></ul><ul><li>r A / B = r A – r B </li></ul><ul><li>Donde </li></ul><ul><li>r A y r B son las posiciones de A y B respectivamente respecto a un mismo punto de referencia y en un mismo tiempo de los puntos A y B. </li></ul>
  7. 7. Representación gráfica <ul><li>Al hablar de la representación gráfica de la posición se debe señalar que lo que se representa no es la posición sino sus componentes escalares en cada uno de los ejes. Por tanto no se representa </li></ul><ul><li>r f = r 0 + v 0 Δ t + ½ a Δ t 2 </li></ul><ul><li>Lo que se representa es </li></ul><ul><li>r f x = r 0 x + v 0x Δ t + ½ a x Δ t 2 </li></ul><ul><li>r f y = r 0y + v 0y Δ t + ½ a y Δ t 2 </li></ul><ul><li>r f z = r 0z + v 0z Δ t + ½ a Δ t 2 </li></ul><ul><li>Como se puede observar en las ecuaciones anteriores , r, v, y a ya no están en negrilla lo cual indica que se refiere al valor escalar y no vectorial y además se ha incorporado un nuevo subíndice que indica el eje rectangular de la componente. </li></ul><ul><li>En resumen las ecuaciones anteriores representan la expresión matemática de las componentes escales de la posición que es lo que se graficará a continuación </li></ul>
  8. 8. Representación gráfica de la posición PRINCIPIO ESENCIAL CONCEPTUALMENTE LO QUE SE REPORESENTA GRÁFICAMENTE EN UN SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES NO ES EL VECTOR, PUES EN EL SISTEMA MENCIONADO NO SE PUEDE REPRESENTAR VECTORES. LO QUE SE VA A REPRESENTAR SON LAS COMPONENTES ESCALARES DEL VECTOR EN CADA UNO DE LOS EJES DE COORDENADAS RECTÀNGULARES <ul><li>Siendo consecuente con lo señalado en el costado izquierdo de esta lámina lo que se representa en el caso de la posición entonces son las ecuaciones de: </li></ul><ul><li>r f x = r 0 x + v 0x Δ t + ½ a x Δ t 2 </li></ul><ul><li>r f y = r 0y + v 0y Δ t + ½ a y Δ t 2 </li></ul><ul><li>r f z = r 0z + v 0z Δ t + ½ a Δ t 2 </li></ul><ul><li>Matemáticamente cualesquiera de las ecuaciones mencionadas representan la ecuación de una parábola, por lo tanto el gráfico de la componente de la posición en movimiento de aceleración constante diferente de cero en función del tiempo será una parábola. </li></ul><ul><li>Siendo consecuente con lo señalado en el costado izquierdo de esta lámina lo que se representa en el caso de la posición entonces son las ecuaciones de: </li></ul><ul><li>r f x = r 0 x + v 0x Δ t + ½ a x Δ t 2 </li></ul><ul><li>r f y = r 0y + v 0y Δ t + ½ a y Δ t 2 </li></ul><ul><li>r f z = r 0z + v 0z Δ t + ½ a Δ t 2 </li></ul><ul><li>Matemáticamente cualesquiera de las ecuaciones mencionadas representan la ecuación de una parábola, por lo tanto el gráfico de la componente de la posición en movimiento de aceleración constante diferente de cero en función del tiempo será una parábola. </li></ul><ul><li>Siendo consecuente con lo señalado en el costado izquierdo de esta lámina lo que se representa en el caso de la posición entonces son las ecuaciones de: </li></ul><ul><li>r f x = r 0 x + v 0x Δ t + ½ a x Δ t 2 </li></ul><ul><li>r f y = r 0y + v 0y Δ t + ½ a y Δ t 2 </li></ul><ul><li>r f z = r 0z + v 0z Δ t + ½ a Δ t 2 </li></ul><ul><li>Matemáticamente cualesquiera de las ecuaciones mencionadas representan la ecuación de una parábola, por lo tanto el gráfico de la componente de la posición en movimiento de aceleración constante diferente de cero en función del tiempo será una parábola. </li></ul>
  9. 9. Gráficos de las componentes escalares de la posición en función http://newton.cnice.mec.es/2eso/cinematica/cine41.htm?3&0 del tiempo <ul><li>Ecuación general de la componente escalar de la posición en un eje s de coordenadas rectangulares </li></ul><ul><li>r f s = r 0 s + v 0 s Δ t + ½ a s Δ t 2 </li></ul><ul><li>Ecuación de la componente escalar de la posición en un eje n de coordenadas rectangulares si a s =0 </li></ul><ul><li>r f s = r 0 s + v 0 s Δ t </li></ul><ul><li>Matemáticamente en este caso la ecuación corresponde a la de una recta por tanto. </li></ul>r s Si a s es constante y diferente de cero Si a s es constante e igual a cero r s t t 0 t f r sf r s0 t t 0 t f r f r 0
  10. 10. Análisis del gráfico de las componentes escalares de la posición en función En el gráfico se demuestra que Δ r s / Δ t = Pendiente de cuerda AB Δ r s / Δ t = v s de las definiciones anteriores De lo anterior se concluye Pendiente de la cuerda que une (t 0 ,r s0 ) con (t f , r sf ) es la componente escalar en en el eje s de la velocidad media Fig. 1 <ul><li>Si en la Fig. 1 </li></ul><ul><li>Δ t se hace cero </li></ul><ul><li>t o se superpone con t f </li></ul><ul><li>R </li></ul><ul><li>so se superpone con r sf </li></ul><ul><li>A se superpone con B </li></ul><ul><li>la cuerda AB se transforma en la tangente DE </li></ul><ul><li>Fig 2 </li></ul>La pendiente de la tangente DE es por tanto el limite de la pendiente de la cuerda AB cuando Δ t tiende a cero y si recordamos que V t = Δ r/ Δ t cuando Δ t tiende a cero tenemos La pendiente de la tangente a la curva en el punto (t f , r sf ) corresponde al valor de la componente escalar de la velocidad instantánea en el eje s Fig. 2 t t 0 t f r f r 0 Δ r Δ t A B r s r s t D t f r f E
  11. 11. Desplazamiento o Variación de posición <ul><li>El desplazamiento o cambio de posición es una cantidad vectorial que se obtiene de la siguiente expresión matemática. </li></ul><ul><li>Δ r = r f – r i </li></ul><ul><li>Algunos autores definen al módulo del desplazamiento como como espacio recorrido </li></ul>De aplicar la suma de vectores en el gráfico se tiene r i + Δ r = r f y por tanto Δ r = r f – r i r i r f Δ r trayectoria x y
  12. 12. velocidad <ul><li>Velocidad es una cantidad vectorial que expresa la variación de la posición de un cuerpo por unidad de tiempo. </li></ul><ul><li>Al ser una cantidad vectorial se caracteriza por tener modulo y dirección, expresarse y operar cumpliendo las normas de los vectores. Dimensionalmente se expresa como LT -1 las unidades son las correspondientes a longitud sobre tiempo </li></ul><ul><li>La velocidad , en nuestro curso debe ser medida desde un sistema de referencia con: </li></ul><ul><li>velocidad cero, en cuyo caso la notación es v; o, </li></ul><ul><li>velocidad constante en cuyo caso se conoce como velocidad relativa respecto al sistema móvil y se representa como v A/B que expresa la velocidad del móvil A medida desde un sistema de referencia móvil B. Si la velocidad del sistema móvil B es constante el calculo de la velocidad relativa se da con la siguiente ecuación </li></ul><ul><li>v A/B = v A – v B </li></ul>
  13. 13. Velocidad media <ul><li>Si el valor de la velocidad es válido para un intervalo de tiempo, este se define como velocidad media y </li></ul><ul><li>matemáticamente se determina como </li></ul><ul><li>V = Δ r / Δ t </li></ul><ul><li>La dimensiones de la velocidad media son </li></ul><ul><li>LT -1 </li></ul>La componente de la velocidad media en algún eje s de un sistema de coordenadas rectangulares donde el un eje es la componente de la posición y el otro el tiempo, se representa de la siguiente forma v s t
  14. 14. <ul><li>Es una cantidad vectorial que representa el valor de la velocidad del movimiento de un partícula en un tiempo determinado de ahí que lo representamos v = f (t) o v t Dimensionalmente es LT -1 </li></ul><ul><li>En nuestro caso el valor es medido desde un sistema inercial </li></ul>
  15. 15. <ul><li>Es una cantidad vectorial que representa el valor de la velocidad del movimiento de un partícula en un tiempo determinado de ahí que lo representamos v = f (t) o v t Dimensionalmente es LT -1 </li></ul><ul><li>Para el movimiento de aceleración constante durante un intervalo de tiempo Δ t su expresión es </li></ul><ul><li>v t f = v ti + a Δ t </li></ul><ul><li>Donde </li></ul><ul><li>V t f es velocidad al tiempo final del intervalo </li></ul><ul><li>v ti es velocidad al tiempo inicial del intervalo </li></ul><ul><li>a es aceleración constante entre </li></ul><ul><li>La representación gráfica de componente de la velocidad instantánea en algún eje s de un sistema de coordenadas rectangulares, si la aceleración es constante, donde el un eje es la componente de la velocidad y el otro el tiempo, se representa por un segmento de recta en el intervalo analizado. Ejemplo </li></ul>v s t t i t f v tf v ti
  16. 16. Análisis del gráfico de la componente de la velocidad en función del tiempo La ecuación de la recta será V tf = v ti + m Δ t m es la pendiente de la recta esto es m = Δ v/ Δ t = a La pendiente es la aceleración del movimiento <ul><li>A1= (t f -t i ) v ti = v ti Δ t </li></ul><ul><li>A2 = ½( Δ t. Δ v) = ½( Δ v. Δ t)( Δ t/ Δ t) </li></ul><ul><li>=1/2( Δ v/ Δ t) Δ t 2 = ½ a Δ t 2 </li></ul><ul><li>A= v ti Δ t +½ a Δ t 2 </li></ul><ul><li>Si recordamos que para un eje s cualesquiera </li></ul><ul><li>r f s = r 0 s + v 0 s Δ t + ½ a s Δ t 2 y por tanto </li></ul><ul><li>r f s -r0 s = v0 s Δ t + ½ a s Δ t2 = Δ r s </li></ul><ul><li>Se concluye que </li></ul><ul><li>A= Δ r s </li></ul>En la figura el área bajo la línea que representa v viene dada por A = A1 + A2 area bajo la curva es componente del desplazamiento t i t f v tf v ti Δ v Δ t A2 t i t f v tf v ti Δ v Δ t A1

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