Unidad 4 axcel

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Unidad 4 axcel

  1. 1. UNIVERSIDAD FERMIN TOROESCUELA DE INGENIERIAANALISIS NUMERICOAXCEL QUINTEROINTERPOLACIÓN En este capítulo estudiaremos el importantísimo tema de la interpolación dedatos. Veremos dos tipos de interpolación: la interpolación polinomial y lainterpolación segmentaria (splines).Comencemos dando la definición general.Definición. Dados n 1 puntos que corresponden a los datos:y los cuales se representan gráficamente como puntos en el planocartesiano, Si existe una función f (x) definida en el intervalo x0 , xn (donde suponemosque x 0 x 1  x n ), tal que f ( xi ) yi para i 0,1,2,, n , entonces a f (x)se le llama una función de interpolación de los datos, cuando es usada paraaproximar valores dentro del intervalo x0 , xn , y se le llama función deextrapolación de los datos, cuando está definida y es usada para aproximar valoresfuera del intervalo.
  2. 2. Evidentemente pueden existir varios tipos de funciones que interpolenlos mismos datos; por ejemplo, funciones trigonométricas, funcionesexponenciales, funciones polinomiales, combinaciones de éstas, etc.El tipo de interpolación que uno elige, depende generalmente de lanaturaleza de los datos que se están manejando, así como de los valoresintermedios que se están esperando. Un tipo muy importante es la interpolación por funciones polinomiales.Puesto que evidentemente pueden existir una infinidad de funcionespolinomiales de interpolación para una misma tabla de datos, se hace unapetición extra para que el polinomio de interpolación , sea único.Definición. Un polinomio de interpolación es una función polinomial que ademásde interpolar los datos, es el de menor grado posible.Caso n=0Tenemos los datos: En este caso, tenemos que f ( x) y0 (polinomio constante) es elpolinomio de menor grado tal que f ( x0 ) y0 , por lo tanto, es el polinomiode interpolación.Caso n=1Tenemos los datos:
  3. 3. En este caso, el polinomio de interpolación es la función lineal que une alos dos puntos dados. Por lo tanto, tenemos que y1 y0f ( x) y0 (x x0 ) x1 x0es el polinomio de interpolación.La siguiente gráfica representa este caso:Observación. Vemos que en el polinomio de interpolación del caso n=1 se encuentra comoprimer término, y0 , que es el polinomio de interpolación del caso n=0.Continuemos:Caso n=2Tenemos los datos: Para este caso, el polinomio de interpolación va a ser un polinomio degrado 2. Tomando en cuenta la observación anterior, intuímos que elpolinomio de interpolación será como sigue: término cuadrático
  4. 4. Por lo tanto, planteamos el polinomio de interpolación como sigue:f ( x) b0 b1 ( x x0 ) b2 ( x x0 )( x x1 )Si asignamos x x0 , se anulan los valores de b1 y b2 , quedándonos elresultado:f ( x0 ) b0Como se debe cumplir que f ( x0 ) y0 , entonces:y0 b0Si asignamos x x1 , el valor de b2 queda anulado, resultando losiguiente:f ( x1 ) b0 b1 ( x1 x0 ) Como se debe cumplir que f ( x1 ) y1 y ya sabemos que y0 b0 ,entonces y1 b0 b1 ( x1 x0 ) , de lo cual obtenemos el valor para b1 :y1 y0 b1x1 x0Asignando x x2 , vamos a obtener :
  5. 5. f ( x2 ) b0 b1 ( x2 x0 ) b2 ( x2 x0 )( x2 x1 ) Como se debe cumplir que f ( x2 ) y2 , y ya sabemos que y0 b0 yy1 y0 b1x1 x0 , sustituímos estos datos para después despejar el valor de b2 : y1 y0y2 y0 ( x2 x0 ) b2 ( x2 x0 )( x2 x1 ) x1 x0De lo cual podemos hacer un despeje parcial para lograr la siguienteigualdad : y1 y0y2 y0 ( x2 x0 ) x1 x0 b2 ( x2 x0 ) x2 x1 Ahora en el numerador del miembro izquierdo de la igualdad, lesumamos un cero y1 y1 , de tal manera que no se altere la igualdad: A continuación, aplicamos un poco de álgebra para así obtener lossiguientes resultados:
  6. 6. Y finalmente despejando a b2 vamos a obtener : y2 y1 y1 y0 x2 x1 x1 x0b2 x2 x0Por lo tanto, el polinomio de interpolación para este caso es:Observación. Vemos que efectivamente el polinomio de interpolación contiene al delcaso anterior, más un término extra que es de un grado mayor, peroademás vemos que cada uno de los coeficientes del polinomio deinterpolación, se forman a base de cocientes de diferencias de cocientes dediferencias, etc. Esto da lugar a la definición de diferencias divididas finitasde Newton, como sigue:DIFERENCIAS DIVIDIDAS FINITAS DE NEWTONLas diferencias divididas finitas de Newton, se define de la siguiente manera:
  7. 7. f ( xi ) f (x j )f [ xi , x j ] xi xj f [ xi , x j ] f [ x j , xk ]f [ xi , x j , xk ] xi xk f [ xn ,, x1 ] f [ xn 1 ,, x0 ]f [ xn , xn 1 ,, x1 , x0 ] xn x0A manera de ejemplo citemos el siguiente caso específico : f [ x3 , x2 , x1 ] f [ x2 , x1 , x0 ]f [ x3 , x2 , x1 , x0 ] x3 x0donde a su vez: f [ x3 , x2 ] f [ x2 , x1 ]f [ x3 , x2 , x1 ] x3 x1y f [ x2 , x1 ] f [ x1 , x0 ]f [ x2 , x1 , x0 ] x2 x01Y donde a su vez: f ( x3 ) f ( x2 )f [ x3 , x2 ] x3 x2
  8. 8. etc.Podemos ahora definir nuestro primer tipo de polinomio de interpolación.POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN DE NEWTON CONDIFERENCIAS DIVIDIDASDados n 1 datos:- El polinomio de interpolación de Newton se define de la siguientemanera:f x b0 b1 x x0 b2 x x0 x x1  bn x x0 x x1  x xn 1donde : b0 f x0 b1 f [ x1 , x0 ] b2 f x2 , x1 , x0  bn f xn ,, x0
  9. 9. Para calcular los coeficientes b0 , b1 ,, bn , es conveniente construir unatabla de diferencias divididas como la siguiente : Obsérvese que los coeficientes del polinomio de interpolación de Newton,se encuentran en la parte superior de la tabla de diferencias divididas.Ejemplo 1. Calcular la tabla de diferencias divididas finitas con los siguientesdatos : Y utilizar la información de dicha tabla, para construir el polinomio deinterpolación de Newton.Solución.Procedemos como sigue:
  10. 10. Por lo tanto el polinomio de interpolación de Newton es :f ( x) 4 2( x 2) 0.25( x 2)(x 1) 0.3( x 2)(x 1)(x 2)Ejemplo 2. Calcular la tabla de diferencias divididas finitas con los siguientes datos: Y usar la información en la tabla, para construir el polinomio deinterpolación de Newton.Solución. Procedemos como sigue:Por lo tanto el polinomio de interpolación de Newton nos queda :f ( x) 5 3( x 3) 1.66667( x 3)(x 2) 0.20238( x 3)(x 2)(x) Antes de ver el siguiente tipo de polinomio de interpolación, veamoscomo el imponer la restricción del grado mínimo, implica la unicidad delpolinomio de interpolación.
  11. 11. TEOREMA . Si x0 , x1 ,, xn son números reales distintos, entonces para valoresarbitrarios y0 , y1 ,, yn existe un polinomio único f n x , de a lo más gradon, y tal que:f n xi yi para toda i 0,1,2,, nDEMOSTRACIÓN. En realidad, no probaremos formalmente la existencia de un polinomiode interpolación, aunque informalmente aceptamos que dada cualquiertabla de datos, el polinomio de Newton siempre existe.Probemos la unicidad del polinomio de interpolación.Supongamos que g n x es otro polinomio de interpolación de a lo más grado n,Sea hn x fn x gn x hn xi f n xi g n xi yi yi 0 para todo i 0,1,2, nPor lo tanto, hn x tiene n 1 raíces distintas, y es un polinomio de grado a lomás n, esto solamente es posible si hn x 0. fn x gn xQue es lo que queríamos probar. Sin embargo, aunque el polinomio de interpolación es único, puedenexistir diversas formas de encontrarlo. Una, es mediante el polinomio deNewton, otra mediante el polinomio de Lagrange.
  12. 12. POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGENuevamente tenemos los datos : El polinomio de interpolación de Lagrange se plantea como sigue: P( x) y0l0 ( x) y1l1 ( x)  ynln ( x)Donde los polinomios li (x) se llaman los polinomios de Lagrange,correspondientes a la tabla de datos.Como se debe satisfacer que P( x0 ) y0 , esto se cumple si l0 ( x0 ) 1 yli ( x0 ) 0 para toda i 0 .Como se debe satisfacer que P( x1 ) y1 , esto se cumple si l1 ( x1 ) 1 yli ( x1 ) 0 para toda i 1.Y así sucesivamente, veremos finalmente que la condición Pn xn ynse cumple si ln xn 1 y li xn 0 para toda i n .Esto nos sugiere como plantear los polinomios de Lagrange. Para sermás claros, analicemos detenidamente el polinomio l0 ( x ) . De acuerdoal análisis anterior vemos que deben cumplirse las siguientescondiciones para l0 ( x ) : 1 y l0 ( x j ) 0 , para toda l0 ( x0 ) j 0Por lo tanto, planteamos l0 ( x ) como sigue: lo x c x x1 x x2  x xn Con esto se cumple la segunda condición sobre l0 ( x ) . La constantec se determinará para hacer que se cumpla la primera condición: l0 x0 1 1 c x0 x1 x0 x2  x0 xn 1 c x0 x1 x0 x2  x0 xnPor lo tanto el polinomio l0 ( x ) queda definido como: x x1 x x2  x xn l0 x x0 x1 x0 x2  x0 xn
  13. 13. Análogamente se puede deducir que: (x xi ) i j lj x (x j xi ) i j , para j 1,, nEjemplo 1 Calcular el polinomio de Lagrange usando los siguientesdatos:Solución. Tenemos que: f ( x) y0l0 ( x) y1l1 ( x) y2l ( x) y3l3 ( x) f ( x) 2l0 ( x) l1 ( x) 2l2 ( x) 3l3 ( x)donde: ( x 3)( x 5)( x 7) ( x 3)( x 5)( x 7) l0 ( x) ( 2)( 4)( 6) 48 ( x 1)( x 5)( x 7) ( x 1)( x 5)( x 7) l1 ( x) (2)( 2)( 4) 16 ( x 1)( x 3)( x 7) ( x 1)( x 3)( x 7) l2 ( x ) (4)(2)( 2) 16 ( x 1)( x 3)( x 5) ( x 1)( x 3)( x 5) l3 ( x) (6)(4)(2) 48Sustituyendo arriba, el polinomio de Lagrange queda definido comosigue: ( x 3)( x 5)( x 7) ( x 1)( x 5)( x 7) ( x 1)( x 3)( x 7) ( x 1)( x 3)( x 5)f ( x) 24 16 8 16Ejemplo 2. Calcular el polinomio de Lagrange usando los siguientesdatos:
  14. 14. Solución. Tenemos que: f ( x) y0l0 ( x) y1l1 ( x) y2l ( x) y3l3 ( x) f ( x) l0 ( x) l1 ( x) 3l2 ( x) 2l3 ( x)donde: ( x 0)( x 2)( x 4) x( x 2)( x 4) l0 ( x) ( 2)( 4)( 6) 48 ( x 2)( x 2)( x 4) ( x 2)( x 2)( x 4) l1 ( x) (2)( 2)( 4) 16 ( x 2)( x 0)( x 4) x( x 2)( x 4) l2 ( x ) (4)(2)( 2) 16 ( x 2)( x 0)( x 2) x( x 2)( x 2) l3 ( x) (6)(4)(2) 48Sustituyendo arriba, el polinomio de Lagrange queda como sigue: x( x 2)( x 4) ( x 2)( x 2)( x 4) x( x 2)( x 4) x( x 2)( x 2)f ( x) 3 48 16 16 24 En el capítulo de integración numérica, usaremos nuevamente a los polinomiosde Lagrange. INTERPOLACIÓN DE SPLINES Terminamos este capítulo, estudiando un tipo de interpolación que hademostrado poseer una gran finura, y que inclusive es usado para el diseño porcomputadora, por ejemplo, de tipos de letra.Esta interpolación se llama interpolación segmentaria o interpolación por splines. Laidea central es que en vez de usar un solo polinomio para interpolar los datos,podemos usar segmentos de polinomios y unirlos adecuadamente para formarnuestra interpolación.Cabe mencionar que entre todas, las splines cúbicas han resultado ser las másadecuadas para aplicaciones como la mencionada anteriormente.
  15. 15. Así pues, podemos decir de manera informal, que una funcion spline estáformada por varios polinomios, cada uno definido en un intervalo y que se unenentre si bajo ciertas condiciones de continuidad.Definición. (Splines de grado k)Dada nuestra tabla de datos,donde suponemos que x0 x1  xn , y dado k un númeroentero positivo, una función de interpolación spline de grado k, parala tabla de datos, es una función s(x) tal que :i) s ( xi ) yi , para toda i 0,1,, n .ii) sx es un polinomio de grado k en cada subintervalo xi 1 , xi .iii ) sx tiene derivada contínua hasta de orden k 1 en x0 , xn .FUNCIONES SPLINES DE GRADO 1Dados los n 1 puntos Una función spline de grado 1 que interpole los datos es simplemente unir cadauno de los puntos mediante segmentos de recta, como sigue: Claramente esta función cumple con las condiciones de la spline de grado 1. Así,tenemos que para ested caso:
  16. 16. s1 x si x x0 , x1 s2 x s x x1 , x2 s ( x)  sn x si x xn 1 , xndonde:i) sj x es un polinomio de grado menor o igual que 1ii) sx tiene derivada continua de orden k-1=0. iii) s x j y j , para j 0,1,, n .Por lo tanto, la spline de grado 1 queda definida como : y0 f x1 , x0 x x0 si x x0 , x1 y1 f x2 , x1 x x1 si x x1 , x2 sx  yn 1 f xn , xn 1 x xn 1 si x xn 1 , xndonde f [ xi , x j ] es la diferencia dividida de Newton.FUNCIONES SPLINES DE GRADO 2Para aclarar bien la idea, veamos un ejemplo concreto, consideremoslos siguientes datos :Y procedamos a calcular la interpolación por splines de grado 2.Primero que nada, vemos que se forman tres intervalos : 3,4.5 4.5,7 7,9 En cada uno de estos intervalos, debemos definir una funciónpolinomial de grado 2, como sigue: a1 x 2 b1 x c1 si x 3,4.5 2 sx a2 x b2 x c2 si x 4.5,7 a3 x 2 b3 x c3 si x 7,9
  17. 17. Primero, hacemos que la spline pase por los puntos de la tabla de datos. Es decir,se debe cumplir que: s(3) 2.5, s(4.5) 1, s(7) 2.5, s(9) 0.5Así, se forman las siguientes ecuaciones: s(3) 2.5 9a1 3b1 c1 2.5 (4.5) 2 a1 4.5b1 c1 1 s(4.5) 1 2 (4.5) a2 4.5b2 c2 1 49a2 7b2 c2 2.5 s ( 7) 2.5 49a3 7b3 c3 2.5 s (9) 0.5 81a3 9b3 c3 0.5Hasta aquí, tenemos un total de 6 ecuaciones vs. 9 incógnitas.El siguiente paso es manejar la existencia de las derivadas contínuas.En el caso de las splines de grado 2, necesitamos que la spline tengaderivada contínua de orden k-1=1, es decir, primera derivadacontinua.Calculamos primero la primera derivada: 2a1 x b1 si x 3,4.5 s x 2a2 x b2 si x 4.5,7 2a3 x b3 si x 7,9 Vemos que esta derivada está formada por segmentos de rectas,que pudieran presentar discontinuidad en los cambios de intervalo.Es decir, las posibles discontinuidades son x 4.5 y x 7 . Por lotanto para que s x sea contínua, se debe cumplir que: 2a1 4.5 b1 2a2 4.5 b2o lo que es lo mismo, 9a1 b1 9a2 b2También debe cumplirse que: 2a2 7 b2 2a3 7 b3o lo que es lo mismo, 14a2 b2 14a3 b3 Así, tenemos un total de 8 ecuaciones vs. 9 incognitas; esto nosda un grado de libertad para elegir alguna de las incógnitas. Elegimospor simple conveniencia a1 0 .
  18. 18. De esta forma, tenemos un total de 8 ecuaciones vs. 8 incógnitas. Estas son lassiguientes: 3b1 c1 2 .5 4.5b1 c1 1 20.25a2 4.5b2 c2 1 49a2 7b2 c2 2 .5 49a3 7b3 c3 2 .5 81a3 9b3 c3 0 .5 b1 9 a2 b2 14a2 b2 14a3 b3Este sistema de ecuaciones tiene la siguiente forma matricial: 3 1 0 0 0 0 0 0 b1 2.5 4.5 1 0 0 0 0 0 0 c1 1 0 0 20.25 4.5 1 0 0 0 a2 1 0 0 49 7 1 0 0 0 b2 2.5 0 0 0 0 0 49 7 1 c2 2.5 0 0 0 0 0 81 9 1 a3 0.5 1 0 9 1 0 0 0 0 b3 0 0 0 14 1 0 14 1 0 c3 0Usando Mathematica se obtiene la siguiente solución: b1 1 c1 5.5 a2 0.64 b2 6.76 c2 18.46 a3 1.6 b3 24.6 c3 91.3 Sustituyendo estos valores (junto con a1 0 ), obtenemos lafunción spline cuadrática que interpola la tabla de datos dada: x 5.5 si x 3,4.5 2 sx 0.64x 6.76x 18.46 si x 4.5,7 1.6 x 2 24.6 x 91.3 si x 7,9
  19. 19. La gráfica que se muestra a continuación, contiene tanto los puntosiniciales de la tabla de datos, así como la spline cuadrática. Estagráfica se generó usando Mathematica. 5 4 3 2 1 3 4.5 7 9 -1 El siguiente caso, que es el más importante en las aplicaciones, sigueexactamente los mismos pasos del ejemplo que acabamos de resolver, solamenteque en vez de trabajar con polinomios cuadráticos, lo hace con polinomios cúbicos.

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