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www.ekeditores.com
Pensamientomatemático2/SecundariaOmarViguerasHerr...
Pensamiento matemático 2
Fue elaborado por Ek Editores S. A. de C. V. para la Coordinación Sectorial de Educación
Secundar...
3
Bloque 1		 8
Desafío 1. Población	 10
Prácticas
1.	 Multiplicaciones y divisiones
	 de números enteros	 12
2.	Potencias	...
4
Actualmente los requerimientos de la sociedad a la es-
cuela son muy diferentes de los de hace veinte años,
debido al gr...
5
•	 Ideas diferentes del maestro sobre lo que signi-
fica enseñar y aprender.
Se trata entonces de que el docente propong...
6
Metodología
Para la implementación en el aula de la estrategia didác-
ticadescrita,sedebenconsiderarlossiguientespuntos....
7
6.	 Inicio de los trabajos. El docente indica a los
alumnos en cuanto tiempo deben solucionar la
actividad. Por lo gener...
8
Bloque1 	Problemas que implican el uso de las
leyes de los exponentes y notación
científica.
	Problemas que impliquen ca...
9
Contenido
Desafío 1
Población
Prácticas
1.	 Multiplicaciones y divisiones
		 de números enteros
2.	Potencias
3.	Ángulos
...
10
Desafío 1
Consigna
En parejas, resuelvan el siguiente problema con ayuda de una calculadora.
La población de una ciudad...
11
2.	 A partir de las cantidades que obtuvieron en la pregunta anterior, calculen
las cantidades de cada casilla de las t...
12
Matemáticas
rápidas
1. ¿Cuál es el doble
de 75?
2. ¿Cuál es el triple
de 25?
3. ¿Cuál es el quíntuple
de 10?
4. ¿Cuál e...
13
¿Existe alguna
relación entre la
multiplicación y la
división de números
enteros?
Pregunta de reflexión
Mis respuestas
...
14
Una potencia entera positiva de un número es el producto de ese número por
sí mismo cierta cantidad de veces. La expres...
15
¿Qué relación
tienen el producto
de dos números
que son inversos
multiplicativos y la
potencia 0?
Pregunta de reflexión...
16
Cuando dos líneas rectas se cortan, el punto de intersección forma el vértice
de cuatro ángulos.
Los ángulos opuestos p...
17
Actividades
Si la suma de las
medidas de los
ángulos de un triángulo
y un cuadrilátero
suman 180° y 360°,
respectivamen...
18
Construcción de triángulos
Recuerdaqueuntriánguloestáformadoportresladosytresángulos.Cadatrián-
gulo es único sin impor...
19
Actividades
Si tenemos las
medidas de tres
ángulos, cuya suma
sea 180°, ¿se puede
construir un triángulo
que sea único?...
20
Triángulo A= b × h
2
Rectángulo A= l × a
Círculo A= p × r2
Áreas
Los griegos definieron el área como la superficie acot...
21
Observa la siguiente
figura:
¿Qué punto debe ser
M para que el área del
triángulo se divida en
dos partes iguales?
Expl...
22
Porcentajes
Matemáticas
rápidas
1.	 ¿Cuál es el 50% del
50% de 1000?
2.	 ¿Qué porcentaje de
1000 es el 50% del
50% de 1...
23
Compara el 25%
de 100 y la cuarta
parte de 100, ¿cuál es
mayor, o son iguales?
Pregunta de reflexión
Mis respuestas
Mis...
24
Dentro de la matemática existen algunos modelos que nos permiten conjetu-
rar el crecimiento de una cantidad durante un...
25
Considera la siguiente
sucesión:
1
1 +
1
2
1 +
1
2
+
1
4
1 +
1
2
+
1
4
+
1
8
1 +
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
1 +
1
2
+
1
4
+...
26
Llamaremos experimento a cualquier fenómeno que pueda ser reproducido
repetidamente, por ejemplo: jugar “volados” al la...
27
¿Será posible que
un ser humano
pueda conocer a
todos los demás
seres humanos vivos
del planeta?
Pregunta de reflexión
...
28
Práctica 9
Cuando se trabaja con una lista de datos, se requiere analizar e interpretar
dichos datos. Uno de los proces...
29
¿En qué caso
coinciden la media,
mediana y moda?
Pregunta de reflexión
Mis respuestas
Mis dudas
y preguntas
1.	 Tres al...
30
La magia de los fractales
¿Te imaginas una figura con área 0? ¿O una figura con perímetro
sin límite? Mejor aún, ¿te im...
31
Notas
32
Bloque2 	Problemas aditivos con
monomios y polinomios.
	Problemas de volumen de cubos,
prismas y pirámides rectos.
En e...
33
Contenido
Desafío 2
Ventas
Prácticas
10.	 Sumas y restas de monomios
11.	 Sumas y restas de polinomios
12.	 Equivalenci...
34
Consigna
En equipos de tres integrantes resuelvan el siguiente problema.
Una tienda ofrece tres productos en tres paque...
35
d)	Despejen a en la igualdad a + b + c = 120
e)	Sustituyan b en la igualdad que resulta en el inciso (d).
f)	 Sustituya...
36
Sumas y restas de monomios
Práctica 10
Recuerda que un monomio es una expresión algebraica que consta del pro-
ducto de...
37
Las literales pueden
tener un gran
número de aplicaciones,
inclusive y aunque no
lo creas, en algunos
juegos:
“Piensa u...
38
Sumas y restas de polinomios
Práctica 11
Matemáticas
rápidas
1.	 Encuentra el área del
cuadrado interior:
t
1
Al sumar ...
39
¿Existen
dos números,
a y b, tales que
a + b = 1 y –a –b = 0?
Pregunta de reflexión
Mis respuestas
Mis dudas
y pregunta...
40
Algunas expresiones algebraicas se pueden obtener de otras haciendo algu-
nas operaciones, cuando esto sucede decimos q...
41
¿Podrán ser
equivalentes
las expresiones
algebraicas a + b = 1 y
u + v = 1 ? ¿Por qué?
Pregunta de reflexión
Mis respue...
42
El volumen es el espacio delimitado por superficies, no necesariamente pla-
nas. El volumen del cubo es el más sencillo...
43
1.	 En una caja caben 10 cubos a lo largo, 6 a lo ancho y 5 a lo alto.
a)	 ¿Cuántos cubos caben en la base de la caja?
...
44
Matemáticas
rápidas
1.	 ¿Qué es un mililitro?
2.	 ¿A cuántos
centímetros cúbicos
equivale un litro?
Práctica 14
Recuerd...
45
Si dos recipientes
tienen la misma
forma pero las medidas
de uno son la mitad de
las medidas del otro,
¿cuál será la re...
46
Proporcionalidad inversa
Matemáticas
rápidas
1.	 ¿Cuántas parejas
de números
enteros dan 10 al
multiplicarse?
Práctica ...
47
1.	 Considera la relación “el producto de dos números es 24”. Completa la ta-
bla y la gráfica que modela esa relación....
48
1.	Matemáticas
rápidas
1.	 Consideremos el
experimento “lanzar
un dado tres veces
consecutivas”.
a)	¿Cuántos
elementos
...
49
Si lanzo una moneda
y cae “águila”, ¿cuál
es la probabilidad de
que en el siguiente
lanzamiento también
caiga “águila”?...
50
¿2 × 2 = 0?
¿Te imaginas qué pasaría si 2 × 2 = 0? O si 2 × 2 = 1. Aunque no lo
creas, se pude definir un objeto donde ...
51
Notas
52
Bloque3 	Problemas que implican
multiplicaciones o divisiones
con expresiones algebraicas.
	Justificación de la suma de...
53
Contenido
Desafío 3
Buscando un buen promedio
Prácticas
17.	 Jerarquía de operaciones
18.	 Multiplicación de expresione...
54
Consigna
En parejas, analicen la siguiente situación y respondan los planteamientos.
1.	 En el tercer bimestre, Fernand...
55
a)	 ¿Podrá Fernanda obtener un 9 en su promedio final? Expliquen su res-
puesta.
	
	
b)	 ¿Podrá Fernanda obtener un 6 e...
56
Matemáticas
rápidas
1.	 ¿Cuál es el resultado
de la siguiente
suma?
	 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6
+ 7 + 8 + 9 + 10
2.	 ¿Cuál ...
57
Si el quíntuple
del cuadrado de
la mitad de la raíz
cuadrada de un número
es 245, ¿de qué
número se trata?
Pregunta de ...
58
Matemáticas
rápidas
1.	 La cantidad de euros
que tengo es la
misma que su valor
en pesos; la cantidad
de yenes es su va...
59
3.	 Encuentra el factor para que el resultado en cada operación sea correcto.
a)	 (− 3w)( ) = 12wt
b)	 ( )(− 2n − 3m) =...
60
Figura
Número
de lados
Número de triángulos que se
forman al trazar diagonales
desde un solo vértice
Suma de
ángulos
in...
61
Figura
Número
de lados
Número de triángulos que se
forman al trazar diagonales
desde un solo vértice
Suma de
ángulos
in...
62
Matemáticas
rápidas
1.	 ¿La figura clásica de
los rompecabezas
será una tesela?
¿Por qué?
Práctica 20
En matemáticas, c...
63
¿A qué crees que
se debe que sólo
algunos polígonos
regulares pueden
cubrir el plano sin dejar
huecos ni encimarse?
Pre...
64
Matemáticas
rápidas
1.	 ¿Qué capacidad
tiene un envase de
base rectangular,
cuyos lados miden 5
y 10 cm y su altura
es ...
65
Pregunta de reflexión
¿Qué parte del
volumen del cubo
ocupa la pirámide
de colores?
Mis respuestas
Mis dudas
y pregunta...
66
Matemáticas
rápidas
1.	 Si tenemos dos
rectángulos cuyas
medidas de uno son
6 y 4 y las medidas
del otro son la mitad,
...
67
Pregunta de reflexión
Si tenemos un
prisma cuya base
es un polígono regular
y aumentamos sus
medidas en un factor
mayor...
68
Práctica 23
Matemáticas
rápidas
1.	 Si lanzamos dos
dados al mismo
tiempo y sumamos
los números que
se obtengan, ¿qué
s...
69
Pregunta de reflexión
La gráfica indica
cómo ha aumentado
la esperanza de vida en
nuestro país desde la
década de 1930....
70
Práctica 24
Matemáticas
rápidas
1.	 ¿Cuál es el promedio
de los siguientes
números?
	 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14,
16, 18 y ...
71
Pregunta de reflexión
Si conocemos
el promedio de
una muestra, pero
nos falta un dato,
¿podemos conocer
el dato faltant...
72
Nudos matemáticos
Seguramente has escuchado sobre el ácido desoxirribonucleico
(ADN), que es una molécula que contiene ...
73
Notas
74
Bloque4 	Sucesiones de números enteros a
partir de una regla dada y viceversa.
	Problemas que impliquen el uso de
ecuac...
75
Contenido
Desafío 4
Calificaciones
Prácticas
25.	Sucesiones
26.	 Ecuaciones de primer grado
27.	 Ángulos de un círculo
...
76
Consigna
En equipos de tres integrantes, consideren la siguiente situación y respon-
dan lo que se pide usando una calc...
77
c)	 Si se quitan la calificación más baja y la más alta, calculen la media arit-
mética con los 13 datos restantes.
d)	...
78
Matemáticas
rápidas
1.	 Observa las
siguientes figuras.
¿Qué sucesión
definen?
Sucesiones
Práctica 25
Una sucesión es u...
79
Observa la
siguiente sucesión:
1, 1
2
, 1
4
,1
8
, 1
16
, 1
32
, ... , 1
2n
,...
¿Se “detendrá” en algún
número? ¿En cu...
80
Matemáticas
rápidas
Práctica 26
1.	 Si el triple de un
número aumen-
tado en 3 es igual
al quíntuple del
mismo número
a...
81
Existen algunas
incógnitas que no
lo parecen, porque
son números, pero no
podemos conocerlos
exactamente,
¿conoces algu...
82
Práctica 27
1.	 Si un ángulo
central mide 180°,
¿cuánto medirá un
ángulo inscrito que
subtiende el mismo
arco?
Matemáti...
83
¿Cuánto mide el ángulo
A de la siguiente
figura?
Pregunta de reflexión
Mis respuestas
Mis dudas
y preguntas
1.	 Encuent...
84
Práctica 28
Matemáticas
rápidas
1.	 La gráfica de la
relación y =
3
2
x
¿pasará por
	 el punto (10, 5)?
Gráficas de pro...
85
Toma dos valores
de y de la tabla de la
actividad 1 y réstalos;
ahora toma los valores
de x correspondientes
y réstalos...
86
Práctica 29
Matemáticas
rápidas
1.	 Constanza toma
clases de tenis
todos los días,
incluyendo los
domingos. Le cobran
7...
87
¿Existe relación
entre este tipo de
variación y la vista
en la práctica 27?
Explica por qué.
Pregunta de reflexión
Mis ...
88
Práctica 30
Matemáticas
rápidas
1.	 La batería de un
teléfono celular
dura 8 horas,
aproximadamente,
con la siguiente
d...
89
El promedio es un
caso particular de
la media ponderada.
¿Por qué? Explica.
Pregunta de reflexión
Mis respuestas
Mis du...
Matemáticas II
Matemáticas II
Matemáticas II
Matemáticas II
Matemáticas II
Matemáticas II
Matemáticas II
Matemáticas II
Matemáticas II
Matemáticas II
Matemáticas II
Matemáticas II
Matemáticas II
Matemáticas II
Matemáticas II
Matemáticas II
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Matemáticas II

Compendio de ejercicios para reforzar conocimientos

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Matemáticas II

  1. 1. Lada sin costo: 01800 8417005 contacto@ekeditores.com www.ekeditores.com Pensamientomatemático2/SecundariaOmarViguerasHerrera Pensamiento matemático 2Secundaria Omar Vigueras Herrera Omar Vigueras Herrera Pensamiento matemático 2 Secundaria Este material fue elaborado para el Programa de Fortalecimiento de la Calidad en Educación Básica, en específico para el Proyecto Local “La escuela secundaria, un lugar donde todos y todas concluimos nuestros estudios”; por lo que no podrá comercializarse por ninguna vía, ya que es para uso exclusivo de la Administración Federal de Servicios Educativos en el Distrito Federal. Este programa es público, ajeno a cualquier partido político. Queda prohibido el uso para fines distintos a los establecidos en el programa.
  2. 2. Pensamiento matemático 2 Fue elaborado por Ek Editores S. A. de C. V. para la Coordinación Sectorial de Educación Secundaria, perteneciente a la Dirección General de Operación de Servicios Educativos, de la Administración Federal de Servicios Educativos en el Distrito Federal. Autor Omar Vigueras Herrera Edición y revisión técnica M. Héctor Cano Pineda Coordinación de arte y diseño Marcela Novelo Diseño de interiores y formación Lylyán del Carmen Ramírez Ramírez Diseño de portada Mauro Machuca Imágenes Shutterstock Inc. Primera edición: febrero de 2015 D. R. © 2015, Ek Editores, S. A. de C. V. Avenida Pío X núm. 1210, Col. Pío X Monterrey, Nuevo León, C. P. 64710 Tel.: (81) 83 56 75 05 y 83 35 17 04 México, D. F. Calle Sur 26 núm. 16, Col. Agrícola Oriental Delegación Iztacalco, México, D. F., C. P. 08500 Tel.: (55) 51 15 15 40 y 22 35 71 12 Lada sin costo: 01800 841 7005 www.ekeditores.com Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana Reg. Núm. 3728 ISBN edición digital: 978-607-8248-51-3 DERECHOS DE USO Queda prohibido copiar, reproducir, distribuir, publicar, transmitir, difundir, en cualquier modo o medio cualquier parte del material contenido en el archivo (texto e imágenes) con fines distintos a los personales o educacionales para los que fue creado, sin la autorización previa por escrito del editor. Sólo se podrá bajar el material a una computadora personal por licencia para uso exclusivamente personal y no comercial, limitado a una copia. Se prohíbe remover o alterar de la copia u original toda aquella leyenda de derechos de propiedad intelectual o la que manifieste la autoría del material. Hecho en México / Made in Mexico
  3. 3. 3 Bloque 1 8 Desafío 1. Población 10 Prácticas 1. Multiplicaciones y divisiones de números enteros 12 2. Potencias 14 3. Ángulos 16 4. Construcción de triángulos 18 5. Áreas 20 6. Porcentajes 22 7. Interés y crecimiento poblacional 24 8. Probabilidad 26 9. Medidas de tendencia central 28 Matemáticas curiosas 30 Bloque 2 32 Desafío 2. Ventas 34 Prácticas 10. Sumas y restas de monomios 36 11. Sumas y restas de polinomios 38 12. Equivalencia de expresiones algebraicas 40 13. Volumen 42 14. Volúmenes de cubos, prismas y pirámides rectos 44 15. Proporcionalidad inversa 46 16. Probabilidad 48 Matemáticas curiosas 50 Bloque 3 52 Desafío 3. Buscando un buen promedio 54 Prácticas 17. Jerarquía de operaciones 56 18. Multiplicación de expresiones algebraicas 58 19. Ángulos interiores de polígonos 60 20. Figuras que cubren el plano 62 21. Unidades de capacidad y volumen 64 22. Relaciones de proporcionalidad 66 23. Histogramas y gráficas poligonales 68 24. Propiedades de la media y la mediana 70 Matemáticas curiosas 72 Índice Bloque 4 74 Desafío 4. Calificaciones 76 Prácticas 25. Sucesiones 78 26. Ecuaciones de primer grado 80 27. Ángulos de un círculo 82 28. Gráficas de proporcionalidad 84 29. Problemas de variación lineal 86 30. Media ponderada 88 Matemáticas curiosas 90 Bloque 5 92 Desafío 5. La presión del agua 94 Prácticas 31. Sistemas de ecuaciones 96 32. Representación gráfica de un sistema 98 de ecuaciones 33. Figuras simétricas 100 34. Ángulos centrales e inscritos 102 35. Funciones lineales y sus gráficas 104 36. Problemas de funciones de la forma y = mx + b 106 37. Probabilidad frecuencial y probabilidad teórica 108 Matemáticas curiosas 110 Presentación 4 Metodología 6
  4. 4. 4 Actualmente los requerimientos de la sociedad a la es- cuela son muy diferentes de los de hace veinte años, debido al gran avance tecnológico en las comunicacio- nes y la electrónica, áreas que han cambiado la forma de vida de casi todos los habitantes del planeta. El gran avance tecnológico ha hecho que la sociedad de todo el mundo sufra cambios, creándose nuevas sociedades en el ámbito de las Tecnologías de la Información y las Comunicaciones (TIC), y dando origen a la Sociedad de la Información y a las Sociedades del Conocimiento. Entiéndase por Sociedad de la Información aquella en la cual la creación, distribución y manipulación de la in- formación forman parte importante de las actividades culturales y económicas, basándose en los progresos tecnológicos como la red de Internet, la cual juega un papel fundamental para el acceso e intercambio de in- formación. Las Sociedades del Conocimiento, concepto más com- plejo, se refieren a los cambios en las áreas tecnológi- cas y económicas, basadas en la educación, formación de los nuevos ciudadanos y nuevas formas de trabajo. Estos cambios en nuestra sociedad son las causas de los actuales requerimientos a la educación actual, y por tanto a la escuela y a los maestros, ya que se necesita un nuevo tipo de ciudadano más acorde con la era tecno- lógica que se está viviendo y que posea competencias que le permitan desarrollarse en este tipo de socie- dades. Los nuevos ciudadanos, hoy nuestros alumnos, necesi- tan adquirir competencias personales, sociales y profe- sionales, diferentes de las nuestras, y que hoy resultan imprescindibles.Esta presencia de la tecnología en mu- chas de las actividades que realizamos actualmente exige a su vez que los programas de estudio contem- plen nuevas temáticas y que el profesorado tenga de- terminados conocimientos, competencias y actitudes relacionados con las TIC, y que se comprometa con la búsqueda de estrategias adecuadas a los nuevos re- querimientos sociales. De acuerdo con lo anterior, se requiere el cambio de rol del profesor para hacer frente a estos requerimientos, centrándose la labor docente en el aprendizaje del alumno y tomando el papel de facilitador del conoci- miento y guía del alumno en el aprendizaje. La forma de trabajar la asignatura de Matemáticas en el salóndeclasestambiénexigeuncambio,yaquesenece- sita que el alumno desarrolle determinadas habilidades y destrezas para que sea competente en los aprendizajes esperados del Plan y de los Programas de Estudio. La estrategia que se propone para el trabajo de la asignatura de Matemáticas, de acuerdo con los re- querimientos sociales de la actualidad, se basa en los principios pedagógicos que marca el Acuerdo 592, el cual establece utilizar secuencias de situaciones pro- blemáticas, contextualizadas lo más cercano al entor- no de los alumnos, que despierten el interés de éstos y los inviten a reflexionar, a encontrar diferentes for- mas de resolver los problemas, a formular argumentos que validen los resultados y que permitan llevar a cabo una evaluación continua e integral de la asignatura. Al mismo tiempo, las situaciones problémicas planteadas deberán aplicar justamente los conocimientos y las ha- bilidades que se requieren desarrollar. Porotra parte, la solución de las situaciones planteadas deben construirse en el entendido de que existen diver- sas estrategias posibles de las cuales hay que usar al menos una, en la cual el alumno debe usar sus conoci- mientos previos para comprender dicha situación. El reto para el alumno consiste en reestructurar algo que ya sabe, ya sea para modificarlo, ampliarlo, recha- zarlo o para volver a aplicarlo en una nueva situación. Este tipo de reto implica que la actividad intelectual fundamental en estos procesos de estudio se apoya más en el razonamiento que en la memorización, origi- nando que el conocimiento de reglas, algoritmos, fór- mulas y definiciones solo sea importante en la medida en que los alumnos lo puedan usar para solucionar pro- blemas y reconstruir en caso de olvido. Esta estrategia didáctica implica enfrentar a los alumnos y a los docen- tes a nuevos retos que requieren: • Actitudes distintas del alumno frente al conoci- miento matemático. Presentación
  5. 5. 5 • Ideas diferentes del maestro sobre lo que signi- fica enseñar y aprender. Se trata entonces de que el docente proponga proble- mas interesantes, debidamente articulados, para que los alumnos aprovechen lo que ya saben y avancen en el uso de técnicas y razonamientos cada vez más efica- ces. Lo que se pretende con esta estrategia didáctica es lo siguiente: • Lograr que los alumnos se acostumbren a buscar por su cuenta cómo resolver los problemas que se les plantean, mientras el docente observa y cuestiona a los equipos de trabajo, tanto para conocer los procedimientos y argumentos que se ponen en práctica, como para aclarar dudas, destrabar procesos y lograr que los alumnos avancen. • Acostumbrarlos a leer y analizar los enunciados de los problemas. • Lograr que los alumnos aprendan a trabajar de manera colaborativa. Esta estrategia didáctica ayuda a la correcta implemen- tación del currículo en Matemáticas, la transformación de la práctica docente, el logro de los aprendizajes y una mejora en la calidad educativa, ya que permite: • Centrar la atención en los estudiantes y en sus procesos de aprendizaje. • Planificar para potenciar el aprendizaje. • Generar nuevos ambientes de aprendizaje. • Trabajar en colaboración para construir el apren- dizaje. • Generar materiales para favorecer el aprendizaje. • Incorporar temas de relevancia social. • Reorientar el liderazgo. • Incorporar la tutoría y la asesoría académica en el aula. • La evaluación continua y, por tanto, a los docen- tes les permite evaluar para aprender.
  6. 6. 6 Metodología Para la implementación en el aula de la estrategia didác- ticadescrita,sedebenconsiderarlossiguientespuntos. • El rol del docente cambia al dejar de ser la fuente de información única de los alumnos y convertir- se en un facilitador del aprendizaje y guía. • El maestro no explica procedimientos, ayuda a los alumnos a reconstruirlos por medio de situa- ciones problemáticas contextualizadas, en lo posible, al entorno del alumno. • Ésta es una estrategia para trabajar en el salón de clases el programa de estudios, no un libro de tareas. • Los alumnos son responsables de sus respues- tas. • Es labor del profesor fortalecer la comunicación y propiciar que alumnos con mayores dificultades de aprendizaje sean incluidos en las discusiones. • Las dudas de los alumnos no reciben respuestas como tales, sino que se induce a que encuentren la respuesta por medio de preguntas. • Hacer que los alumnos aprendan de sus propios errores, motivándolos para que exploren sobre nuevas soluciones. • Respetar las opiniones de cada uno de los inte- grantes y permitirles que expresen tanto sus preguntas como sus aportaciones. A continuación se describe un procedimiento general para la aplicación de la estrategia en el aula. 1. Indicaciones sobre la forma de trabajo. El do- cente proporciona las indicaciones para llevar a cabo los trabajos de esa sesión, como los mate- riales que se utilizarán, da las indicaciones con respecto a la comunicación entre ellos, los espa- cios en los cuales pueden llevar a cabo las acti- vidades, su rol como docente durante el tiempo que dure la actividad, y algunas otras recomen- daciones acordes con el aula. 2. Acondicionamiento del aula. En función del tamaño del aula y el tipo de muebles, las indi- caciones del desafío a trabajar y el número de alumnos, el docente toma la decisión sobre la organización y acondicionamiento del aula para llevar a cabo las actividades correspondientes a la sesión. Se recomienda acomodar en forma circular a los alumnos de cada equipo o frente a frente cuando se trabaja en parejas.. 3. Integración de los equipos de trabajo. Se reco- mienda que los equipos se conformen de manera heterogénea y al azar, ya que uno de los objeti- vos en el trabajo colaborativo por equipos es la interacción y unión entre todos los alumnos del grupo, y no la división entre ellos, es decir, que los más adelantados en la asignatura formen su equipo y los más atrasados formen otro, ya que también se pretende el aprendizaje entre ellos. Se recomienda mínimo dos y máximo cinco alum- nos por equipo. 4. Presentación de la situación problemática (Actividad). Una vez formados los equipos de trabajo, el docente presenta la actividad al grupo de acuerdo con el contexto de la situación pro- blemática planteada. Esta acción se debe llevar a cabo en un tiempo máximo de cinco minutos. 5. Distribución de las actividades. Aunque cada alumno debe tener su material, en el momento de trabajar en el aula por equipos, el docente sólo debe permitir un material por equipo de tra- bajo, esto con el fin de que se fomente el trabajo colaborativo, ya que si se entrega uno por alum- no, la tendencia es trabajar de forma individual.
  7. 7. 7 6. Inicio de los trabajos. El docente indica a los alumnos en cuanto tiempo deben solucionar la actividad. Por lo general, las actividades están diseñadas para que las resuelvan en un tiempo máximo de 20 minutos, pero queda a criterio del docente en función de los avances de su grupo. Es posible que algunas actividades se tengan que desarrollar en más de una sesión de clases, pero cuando no sea este el caso, el docente debe distribuir el tiempo de tal forma que pueda llevar a cabo las actividades posteriores. 7. Monitoreo de los equipos de trabajo. El moni- toreo consiste en supervisar el desarrollo de los trabajos de los equipos, asesorando y guiando a los alumnos en la resolución de la actividad, pero sin darles la respuesta, sólo ofreciendo suge- rencias sobre la información que necesitan para llegar a su objetivo. Una forma de hacer esto es formulando preguntas a los integrantes del equipo, pero sin dar las respuestas. En esta fase es cuando el docente registra las observacio- nes grupales e individuales con el propósito de evaluar las acciones y reacciones de los alum- nos, así como ajustar la estrategia de acuerdo con el grupo. 8. Puesta en común. La puesta en común es la discusión y análisis, entre los integrantes de los equipos, de la situación problemática plantea- da, en la cual presentan y explican sus procedi- mientos y estrategias de solución, y tiene como objetivo la socialización de los aprendizajes ad- quiridos en los equipos de trabajo con los demás integrantes de los otros equipos. Cada equipo de trabajo pasa al frente a presen- tar la forma en la cual solucionaron el desafío. El docente debe propiciar, por medio de cuestiona- mientos, el análisis de las respuestas dadas, de tal forma que induzca a los alumnos a comprobar cuál es la respuesta correcta. El maestro no debe dar la respuesta, ésta la de- ben obtener los alumnos. Esto es con el fin de que adquieran confianza en las soluciones que dan y que las verifiquen, y de esta forma hacer- los independientes del maestro en este aspecto para que, en forma gradual, el alumno se haga responsable de sus decisiones. 9. Cierre de la sesión. Se refiere a las conclusiones del maestro con respecto a las observaciones de los trabajos que se llevaron a cabo; también tiene que ver con dejar actividades complemen- tarias, con respecto al tema tratado, o trabajos de investigación si así se requieren.
  8. 8. 8 Bloque1 Problemas que implican el uso de las leyes de los exponentes y notación científica. Problemas que impliquen calcular el área y el perímetro del círculo. Problemas que implican el cálculo de porcentajes. Probabilidad de eventos simples. En este bloque estudiarás:
  9. 9. 9 Contenido Desafío 1 Población Prácticas 1. Multiplicaciones y divisiones de números enteros 2. Potencias 3. Ángulos 4. Construcción de triángulos 5. Áreas 6. Porcentajes 7. Interés y crecimiento poblacional 8. Probabilidad 9. Medidas de tendencia central Matemáticas curiosas
  10. 10. 10 Desafío 1 Consigna En parejas, resuelvan el siguiente problema con ayuda de una calculadora. La población de una ciudad es de 3459850 habitantes y se compone de la si- guiente manera: mujeres 54%, hombres 46%. En estas tablas se muestran datos educativos, de tal forma que en cada casilla aparece el porcentaje que cumple con los rubros escritos en la columna y renglón, considerando el porcentaje de la población de cada género. Mujeres (54%) Primaria Secundaria Bachillerato Licenciatura Total Institución particular 16.60% 12.20% 6.70% 6.50% 42.00% Institución pública 20.40% 19.80% 14.30% 3.50% 58.00% Total 37.00% 32.00% 21.00% 10.00% Hombres (46%) Primaria Secundaria Bachillerato Licenciatura Total Institución particular 16.80% 11.30% 8.70% 1.20% 38.00% Institución pública 22.20% 16.70% 16.30% 6.80% 62.00% Total 39.00% 28.00% 25.00% 8.00% 1. Calculen la cantidad de habitantes por género de acuerdo con los porcentajes. Que los alumnos calculen porcentajes, incluyendo procesos recursivos. Intención didáctica Población
  11. 11. 11 2. A partir de las cantidades que obtuvieron en la pregunta anterior, calculen las cantidades de cada casilla de las tablas. Pueden redondear hacia abajo si la: parte decimal es menor o igual a 0.5, y hacia arriba si la parte decimal es mayor a 0.5. Las cantidades totales pueden variar por 1 habitante. a) ¿Qué porcentaje del total representan las cantidades que obtuvieron en la pregunta anterior? b) ¿A qué tipo de escuela asiste la mayor parte de la población? c) ¿A qué tipo de escuela asiste la mayor parte de las mujeres que estudian la licenciatura? d) ¿Qué género da mayor prioridad a las escuelas públicas para estudiar el bachillerato? e) ¿Qué género elige con menor frecuencia las escuelas particulares a nivel secundaria? 3. Comparen sus resultados con los de sus compañeros. Comenten lo siguiente. a) ¿Variaron los resultados respecto a los de sus compañeros? b) ¿Qué creen que fue la causa de la variación? c) Discutecontuscompañeroslosmétodosqueutilizaronparaobtenersus resultados. Mis respuestas Mis dudas y preguntas
  12. 12. 12 Matemáticas rápidas 1. ¿Cuál es el doble de 75? 2. ¿Cuál es el triple de 25? 3. ¿Cuál es el quíntuple de 10? 4. ¿Cuál es la tercera parte de 75? 5. ¿Cuál es el resultado de multiplicar la mitad de 6 con el triple de 2? 6. ¿Cuál es el resultado de dividir la tercera parte de 60 entre la mitad de 40? Recuerda que los números enteros son todos los números naturales; es- tos pueden ser positivos o negativos. Distinguimos a los negativos porque llevan un guión llamado signo negativo. Para efectuar multiplicaciones y divisiones de números enteros, se deben aplicar las siguientes reglas: Ejemplos: Multiplicaciones y divisiones de números enteros Práctica 1 Multiplicación División Positivo × Positivo = Positivo Positivo ÷ Positivo = Positivo Positivo × Negativo = Negativo Positivo ÷ Negativo = Negativo Negativo × Positivo = Negativo Negativo ÷ Positivo = Negativo Negativo × Negativo = Positivo Negativo ÷ Negativo = Positivo Multiplicación División 5 × 14 = 70 9 ÷ 3 = 3 7 × (–3) = –21 18 ÷ (–6) = –3 (–4) × 5 = –20 (–34) ÷ 17 = –2 (–8) × (–20) = 160 (–55) ÷ (–5) = 11
  13. 13. 13 ¿Existe alguna relación entre la multiplicación y la división de números enteros? Pregunta de reflexión Mis respuestas Mis dudas y preguntas Actividades 1. Efectúa las siguientes operaciones. a) 10 × (−3) = b) (−4) × (−4) = c) (−7) × 12 = d) (−12) × (−13) = e) (−45) × 20 = 2. Realiza las siguientes operaciones: a) [3 × 5] × 2 = b) [(−6) × (−6)] × (−6)= c) [(−4) × 6] ÷ [(−3) × 2]= d) (−24) ÷ [(−3) × 4]= e) [36 ÷ (−9)] × (−3)= 3. Completa las operaciones de manera que el resultado sea correcto: a) ÷ 8 = 5 b) (−24) ÷ = −4 c) (−84) ÷ = 14 d) 70 ÷ = −7 e) (−35) × = 140 4. Responde las siguientes preguntas: a) ¿Cuál es la sexta parte de 30? b) ¿Cuál es el quíntuple de 5? c) ¿Cuánto es la tercera parte del doble de −15? d) Si el doble de la quinta parte de un número es 4, ¿de qué número se trata?
  14. 14. 14 Una potencia entera positiva de un número es el producto de ese número por sí mismo cierta cantidad de veces. La expresión que denota este hecho es la siguiente: xn = (x∙x∙x∙∙∙x) (n veces) Donde el número x se llama base, al número n se le llama exponente y al pro- ducto o resultado se le llama potencia. Ejemplos: a) 35 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 243 b) (−2)3 = (−2) × (−2) × (−2) = −8 c) (4 3) 4 = (4 3)× (4 3)× (4 3)× (4 3)= 256 81 Leyes de los exponentes 1. Todo número es la primera potencia de sí mismo. Por ejemplo. (−5)1 = −5; (5 2) 1 = 5 2 ; x1 = x 2. La potencia cero de cualquier número es 1. Por ejemplo. (−437)0 = 1; (7 5) 0 = 1; x0 = 1 3. El producto de potencias con la misma base es igual a la potencia dada por la suma de los exponentes. Por ejemplo. 22 × 23 = (2 × 2) × (2 × 2 × 2) = 25 xn ∙ xm = x m+n 4. La división de dos potencias con la misma base es igual a la potencia dada por la resta de los exponentes. Por ejemplo. 35 32 = 3 × 3 × 3 × 3 ×3 3 × 3 = 33 xn xm = xn−m 5. La potencia de una potencia es igual a la potencia dada por el producto de los exponentes. Por ejemplo. (44 )2 = (4 × 4 × 4 × 4)2 = (4 × 4 × 4 × 4) × (4 × 4 × 4 × 4)= 48 (xn )m = x nm Potencias Práctica 2 Matemáticas rápidas 1. ¿Cuál es el área de un cuadrado que mide 5 metros por lado? 2. ¿Cuál es el volumen de un cubo que mide 5 centímetros por lado? 3. Si el volumen de un cubo es 27 centímetros cúbicos, ¿cuánto mide su lado?
  15. 15. 15 ¿Qué relación tienen el producto de dos números que son inversos multiplicativos y la potencia 0? Pregunta de reflexión Mis respuestas Mis dudas y preguntas Actividades 1. Encuentra las siguientes potencias: a) 43 = b) (−2.5)−2 = c) 70 = d) (−5)3 = e) (−2)−3 = f) (−4 3 ) −3 = 2. Usando las leyes de los exponentes, encuentra las siguientes potencias: a) (3−2 )0 = b) ((0.25)−2 )3 = c) ((−2)2 )−3 = d) ((1 4 ) −2 ) −2 = e) ((5 2 ) −2 ) −1 = f) ((0.3)2 )2 = 3. Efectúa las siguientes operaciones: a) (4 × 4)2 = b) 34 × (−4) 33 = c) (−2)2 (−2)3 = d) 43 52 × 52 4 = e) 1 53 × 54 = f) 6−2 × 62 43 × 42 5 = 6. El inverso multiplicativo de un número se indica por el exponente –1. Por ejemplo. 5−1 = 1 5 ; (4 5) −1 = 5 4 ; x −1 = (1 x) 7. La potencia entera negativa indica la potencia del inverso multiplica- tivo. Por ejemplo. 5−2 = (1 5) 2 = 1 25 ; (4 3) −3 = (3 4) 3 = 27 64 ; x −n = ( 1 xn)
  16. 16. 16 Cuando dos líneas rectas se cortan, el punto de intersección forma el vértice de cuatro ángulos. Los ángulos opuestos por el vértice son iguales; en este caso tenemos que d = b y a = g. Observa que: a + b = a + d = 180° y b + g = g + d = 180°. Decimos que dos ángulos son suplementarios si la suma de los valores de sus medidas es igual a 180. Si un par de rectas paralelas son cortadas por una recta secante, tendremos ocho ángulos que tienen las siguientes propiedades y nombres: Ángulos alternos: Internos Externos g = «; d = u a = z; b = h Ángulos Práctica 3 Matemáticas rápidas 1. En una hoja de papel, traza un segmento de línea recta. Si doblas la hoja de tal forma que los extremos del segmento que trazaste se toquen, ¿qué medida tienen los ángulos que se forman con el doblez y el segmento? b g d a b « h z u g d a Ángulos correspondientes: a = u; d = z b = «; h = g
  17. 17. 17 Actividades Si la suma de las medidas de los ángulos de un triángulo y un cuadrilátero suman 180° y 360°, respectivamente… a) ¿Cuánto sumarán las medidas de los ángulos de un pentágono? b) ¿Y de un hexágono? Pregunta de reflexión Mis respuestas Mis dudas y preguntas 1. En cada caso, encuentra el valor de la medida del ángulo marcado como x. a) b) x 15 o 5x x 2 3 14 c) d) a b c 2x 3x 4x a b x 2x + 75 a g b b a gd La suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°. Donde a + b + g = 180°. La suma de las medidas de los ángulos de un cuadrilátero es igual a 360°: Donde a + b + g + d = 360°.
  18. 18. 18 Construcción de triángulos Recuerdaqueuntriánguloestáformadoportresladosytresángulos.Cadatrián- gulo es único sin importar la posición en la que se encuentre. Para construir uno, tienes tres opciones: 1. Si tienes tres segmentos de recta y representamos las medidas de dichos seg- mentos por a, b y c, puedes construir un triángulo si se cumple alguna de las siguientes condiciones: a + b > c; o bien,a + c > b; o bien, b + c > a Matemáticas rápidas 1. ¿Cuántos triángulos aparecen en la figura siguiente? Práctica 4 3. Si tienes dos ángulos, con medidas a y b, y un segmento de recta con medida a, puedes construir un triángulo usando el segmento como lado común de los ángulos dados. 2. Si tienes dos segmentos de recta, cuyas medidas están representadas por a y b, y un ángulo, cuya medida es a, puedes construir un triángulo con los dos lados formando el ángulo dado. a b c b a a a a b
  19. 19. 19 Actividades Si tenemos las medidas de tres ángulos, cuya suma sea 180°, ¿se puede construir un triángulo que sea único? Pregunta de reflexión Mis respuestas Mis dudas y preguntas 1. Completa los siguientes dibujos, para obtener triángulos. En los dibujos anteriores, ¿qué elementos del triángulo ya estaban determi- nados? 2. Usa tu juego de geometría y construye los triángulos con las medidas que se indican: a) Lados: 5 y 7 cm. Ángulo entre los lados: 35°. b) Lado: 8 cm. Ángulos: 30° y 50°. c) Lados: 3, 4 y 5 cm.
  20. 20. 20 Triángulo A= b × h 2 Rectángulo A= l × a Círculo A= p × r2 Áreas Los griegos definieron el área como la superficie acotada por una línea, no ne- cesariamente recta, cuyos extremos coinciden. A continuación se presentan las fórmulas para obtener el área de tres figuras regulares elementales: Matemáticas rápidas 1. Si la altura de una lata cilíndrica es de 11 cm y el perímetro de la base es de 12 cm, ¿cuáles son las dimensiones de la hoja de lámina para hacer la lata? Práctica 5 Ejemplo: Si analizamos la siguiente figura, podemos considerar el área total como la suma de dos áreas: un triángulo rectángulo y un rectángulo. Por tanto, el área total es: Área del triángulo Área del rectángulo Área total 1.5 × 3 2 = 2.25 3.5 × 3 = 10.5 2.25 + 10.5 = 12.75 3.5 cm 5 cm 3 cm h b a l r
  21. 21. 21 Observa la siguiente figura: ¿Qué punto debe ser M para que el área del triángulo se divida en dos partes iguales? Explica por qué. Pregunta de reflexión Mis respuestas Mis dudas y preguntas 1. Encuentra el área de las siguientes figuras: 2. Calcula el área sombreada de esta figura: 3. La siguiente figura es un pentágono regular. Si a = 4 y l = 5, calcula el área del pentágono, dividiéndolo en triángulos. 4. Calcula el área lateral y total de esta pirámide: Actividades M h 1.5 cm 4 cm 2.5cm 2cm 6.4 cm 1.3cm 12 cm 5cm 4 cm 4cm 4 cm 7.5cm a l
  22. 22. 22 Porcentajes Matemáticas rápidas 1. ¿Cuál es el 50% del 50% de 1000? 2. ¿Qué porcentaje de 1000 es el 50% del 50% de 1000? 3. ¿Cuál es el 50% de 150? 4. ¿Cuál es la suma del 50% de 100 con el 50% de 50? Práctica 6 Un porcentaje es una fracción de cien partes posibles; es decir, dividimos en cien partes un todo y tomamos algunas de esas partes. Se usa la siguiente no- tación: si tenemos n partes de 100, escribimos n %. Por ejemplo: 35 de 100, es el 35 por ciento de 100 y escribimos 35%. 5 de 20, es el 25 por ciento de 20 y escribimos 25%. 30 de 75, es el 40 por ciento de 75 y escribimos 40%. El proceso para obtener el n % de una cantidad x, es el siguiente: Ejemplo: n 100 × x Encontrar el 16% de 753. Entonces n = 16 y x = 753, por tanto 16 100 × 753 = 0.16 × 753 = 120.48 Si ahora sabemos que z es el n % de una cantidad x, podemos encontrar la cantidad original x por medio del siguiente procedimiento: x = z × 100 n Ejemplo: Si 74 es el 64% de una cantidad x, entonces z = 74, n = 64, por tanto x = 74 × 100 64 = 74 × 1.5625 = 115.625 Si tenemos dos cantidades, x y z, y queremos saber qué porcentaje de x es z entonces el procedimiento es el siguiente: n = z x × 100 Ejemplo: ¿Qué porcentaje de 900 es 765? Tenemos que z = 765, x = 900, por tanto n = 765 900 × 100 = 0.85 × 100 = 85 Actividades 1. Calcula los porcentajes de estas cantidades. 10% de 400 15% de 1 15% de 90 145% de 10.45 26% de 70 2% de 0.5
  23. 23. 23 Compara el 25% de 100 y la cuarta parte de 100, ¿cuál es mayor, o son iguales? Pregunta de reflexión Mis respuestas Mis dudas y preguntas 2. De las siguientes parejas, una es el porcentaje de otra cantidad, encuéntrala: 15, 45% 58, 14.5% 100, 180% 750, 80.4% 15, 17% 20.4, 26.3% 150, 26% 750, 150% 0.5, 3% 45.5, 105.5% 3. De las siguientes parejas de cantidades, la primera es algún porcentaje de la segunda, encuéntralo: 30, 120 0.6, 0.8 750, 400 11.4, 1140 160, 1100 74.2, 81.5 845, 150 106.5, 85 1.5, 6 5.05, 3.02 4. Contesta las siguientes preguntas. a) ¿Qué porcentaje de 90 es 45? b) ¿Cuál es el 120% de 45? 5. Considera la siguiente situación y completa las tablas: un producto cuyo precio es $2850.00 tiene dos descuentos; el primero es de 20% y después de aplicar el segundo el precio final es $1140.00. ¿De qué porcentaje es el segundo descuento? Precio inicial Descuento 1 Operaciones Precio parcial Precio parcial Descuento 2 Operaciones Precio final 120% de 116 50.5% de 85 90% de 8 43.7% de 100
  24. 24. 24 Dentro de la matemática existen algunos modelos que nos permiten conjetu- rar el crecimiento de una cantidad durante un periodo, siempre y cuando se conozca el ritmo de crecimiento en ese periodo. Este modelo se sintetiza en la siguiente fórmula: C = C0 ( l + n)t Donde C es la cantidad aumentada después de un periodo t, C0 es la cantidad inicial, n es el ritmo de crecimiento, se le llama tasa; y t es el periodo (o tiempo). Cabe aclarar que la tasa se da en porcentaje, por lo que tiene que convertirse a su valor decimal; es decir, si tenemos m %, entonces para encontrar n debe- mos hacer la división. n = m 100 Además, debemos tener cuidado de que la tasa y el tiempo estén dados en los mismos términos, ya sea días, semanas, meses, años, etcétera. Ejemplos: 1. En una inversión o en un crédito se generan intereses, lo cual hace que la inversión o la deuda generada por el crédito, crezca. Si consideramos un cré- dito por $2500.00 y la tasa de interés crece mensualmente 0.3%, ¿cuánto se paga al cabo de 18 meses? Primero convertimos la tasa de interés a expresión decimal: n = 0.3 100 =0.003 Para responder la pregunta, empleamos la fórmula que dimos con los si- guientes datos: C0 = 2500; n = 0.003; t = 18; entonces tenemos, C = 2500 (1 + 0.003)18 = 2500 (1.003)18 = 2500(1.0554) = 2638.4982 Por tanto, al término de 18 meses se pagarán $2638.4982. A este tipo de interés se le conoce como interés compuesto, ya que en cada periodo la ganancia se suma a la cantidad inicial. En el ejemplo anterior, la ganancia del primer mes se obtiene de la siguiente manera: 2500 × 0.003 = 7.5 Entonces, la ganancia del segundo mes se calcula de esta forma: (2500 + 7.5) × 0.003 = 2507.5 × 0.003 = 7.5225 y así sucesivamente. Interés y crecimiento poblacional Matemáticas rápidas 1. Una población de bacterias se duplica cada segundo. Si un vaso con este tipo de bacteria se llena en un minuto, ¿en qué momento está medio lleno? Práctica 7
  25. 25. 25 Considera la siguiente sucesión: 1 1 + 1 2 1 + 1 2 + 1 4 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32 ¿Terminará de crecer? Pregunta de reflexión Mis respuestas Mis dudas y preguntas Actividades 2. Si tenemos una población de 680 insectos cuya tasa de natalidad es de 22% al día, ¿cuántos especímenes habrá en dos semanas? Convertimos la tasa de natalidad a expresión decimal: n = 22 100 = 0.22 Usando la fórmula con los siguientes datos tenemos: C0 = 680; n = 0.22; t = 14. Como la tasa está dada en días y el periodo en semanas, debemos considerar los 14 días que hay en dos semanas. Por tanto: C = 680 (1 + 0.22)14 = 680 (1.22)14 = 680 (16.1822) = 11003.8976 Por lo que la población de insectos será de 11003.8976 individuos en dos semanas. 1. Considera la siguiente situación y completa la tabla. Si se invierten $50000.00 por 5 años, con un interés del 1.5% anual, calcula la cantidad obtenida al cabo de cada año. Cantidades Operaciones Cantidad del periodo $ 50000 $ 50750 $ 51511.25 2. Aplica directamente la fórmula de interés compuesto al ejercicio anterior. 3. Si una persona invierte $75000.00 a tres años con un interés anual de 9%, ¿cuánto recibe al final del plazo? ¿Cuál fue su ganancia? 4. En el año 2000, una universidad tenía 65000 estudiantes. Si la tasa de creci- miento es de 7% anual, ¿cuántos estudiantes habrán ingresado hasta el año 2015? 5. Actualmente, la población mundial es de 7000000000 de personas. Si toma- mos la tasa de crecimiento como 3% anual, ¿cuál será la población mundial dentro de 23 años?
  26. 26. 26 Llamaremos experimento a cualquier fenómeno que pueda ser reproducido repetidamente, por ejemplo: jugar “volados” al lanzar una moneda, lanzar un dado, aplicar una pregunta entre varias personas. A la colección de todos los resultados posibles de un experimento A se le llama espacio muestral y se de- notará como S(A). Por ejemplo, el espacio muestral correspondiente al lanza- miento de una moneda es S(A) = {águila, sol}. Llamaremos evento a un experimento bajo ciertas condiciones, por ejemplo: “el número que resulte al lanzar un dado sea 4”. Aquí tenemos un experimento que es “lanzar un dado”, pero estamos poniendo la condición “que el número que resulte sea 4”. Si llamamos E a este evento, entonces S(E) = {1, 2, 3, 4, 5, 6} En matemáticas, a la posibilidad de que un evento suceda se le llama probabi- lidad. La probabilidad de que ocurra un evento es un número que varía entre 0 y 1. Mientras el número sea más cercano a 1, el evento tiene mayor posibilidad de suceder; por el contrario, si el número es más cercano a 0, el evento tiene menos posibilidades de suceder. A la probabilidad de que un evento X pueda suceder se le denota por P(X). Por ejemplo, si B representa el evento “cae sol” en un “volado”, la probabilidad de que suceda B es 1 de entre dos opciones posibles, entonces expresamos este hecho como sigue: P(B) = 0.5 Existen eventos en los que la probabilidad es cero, a estos eventos se les llama eventos nulos. En cambio, cuando la probabilidad de un evento es 1, se le denomina evento seguro. Por ejemplo, la probabilidad de que un objeto pueda estar en dos lugares distintos en el mismo instante es cero; por tanto este evento es nulo. La probabilidad de que un ser vivo esté formado por carbono, hidrógeno, oxígeno y nitrógeno es 1; por tanto, es un evento seguro. Por ejemplo, si el experimento C es lanzar un dado, los resultados posibles son 1, 2, 3, 4, 5, 6; por tanto, el espacio muestral de C es S(C) = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Si F es el evento “cae 3” al lanzar el dado, entonces la probabilidad de F es P(F) = 1 6 . A la probabilidad de que un evento ocurra entre todos los resultados posibles se le llama probabilidad clásica. Ejemplo: Consideremos las fichas de un dominó. Si tomamos el experimento E como es- coger un ficha y al evento D como escoger una ficha doble, entonces D sólo tiene siete posibilidades: 0−0, 1−1, 2−2, 3−3, 4−4, 5−5, y 6−6. Pero el espacio muestral, S(E), tiene 28 elementos, entonces la probabilidad de que suceda D es: P(D) = 7 28 = 1 4 = 0.25 Probabilidad Matemáticas rápidas 1. ¿Cuál es la probabilidad de que en dos volados consecutivos salgan dos águilas? Práctica 8
  27. 27. 27 ¿Será posible que un ser humano pueda conocer a todos los demás seres humanos vivos del planeta? Pregunta de reflexión Mis respuestas Mis dudas y preguntas 1. Escribe el espacio muestral de los siguientes experimentos: a) Lanzar un dado: b) Escoger una vocal: c) Seleccionar una delegación política del D. F. 2. Si haces el experimento de lanzar un dado, escribe los elementos de los siguientes eventos: a) A: el número que sale es par: b) D: el número que sale es un cuadrado perfecto: c) E: el número que sale es primo: 3. Calcula las probabilidades de los eventos del inciso 2: a) P(A) = b) P(D) = c) P(E) = 4. Considera que en un salón hay cinco niñas y cuatro niños y se realiza el expe- rimento de seleccionar un alumno al azar. Contesta las siguientes preguntas: a) Escribe el espacio muestral del experimento. b) Si A es el evento“el alumno seleccionado es niña”, calcula su probabilidad. P(A) = c) Si B es el evento“el alumno seleccionado es niño”, calcula su probabilidad. P(B) = d) ¿Qué es más probable que se seleccione, un niño o una niña? Explica tu respuesta. e) Si se seleccionan dos alumnos y el primero es una niña, ¿qué es más probable que se seleccione en segundo lugar: un niño o una niña? Ex- plica tu respuesta. Actividades
  28. 28. 28 Práctica 9 Cuando se trabaja con una lista de datos, se requiere analizar e interpretar dichos datos. Uno de los procesos más utilizados es obtener medidas numé- ricas resumidas; es decir, buscar cantidades que caractericen al total de datos y nos dejen ver las características más importantes. En particular, nos inte- resaremos en el centro de los datos, es por ello que a estas cantidades se les conoce como medidas de tendencia central. La primera de estas medidas es la media aritmética y se denota por x. Si te- nemos una lista de n datos, denotados por x1 , x2 , ..., xn , entonces la media aritmética de dicha lista es la suma de todos los datos, dividida por la cantidad de datos; es decir, x = x1 + x2 + ... + xn n La segunda medida es la mediana, también conocida como promedio, de n datos que se representa con ~x. Para obtenerla, se siguen los siguientes pasos: 1. Ordenar los n datos de menor a mayor (o viceversa), incluyendo datos re- petidos. 2. En caso de que n sea par, la mediana será la media de los dos datos que apa- recen en medio de la lista. Es decir, hacemos i = n 2 y la mediana será: ~x = xi + xi + 1 2 3. En caso de que n sea impar, la mediana será el dato que aparece justo en medio de la lista. Es decir, hacemos i = n + 1 2 entonces la mediana será: ~x = xi Por último, tenemos la moda, que será el dato que más veces se repite dentro de la lista de n datos. Ejemplo: Consideremos los siguientes datos: 31.02, 31.5, 33.03, 33.03, 33.64, 33.94, 35.98, 36.98, 37.02, 38.95. 1. La media aritmética es: x = 31.02 + 31.5 + 33.03 + 33.64 + 33.94 + 35.98 + 36.98 + 37.02 + 38.95 10 x = 345.09 10 x = 34.509 Medidas de tendencia central Matemáticas rápidas 1. ¿Cuál es el promedio de las siguientes cantidades: 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4?
  29. 29. 29 ¿En qué caso coinciden la media, mediana y moda? Pregunta de reflexión Mis respuestas Mis dudas y preguntas 1. Tres alumnos obtuvieron las siguientes calificaciones en una materia: Alumno 1: 10, 10, 5, 9, 10, 9, 3, 10, 9. Alumno 2: 9, 8, 7, 10, 8, 8, 9, 8, 10. Alumno 3: 10, 10, 9, 9, 7, 8, 8, 7, 9. a) Con los datos anteriores, completa la siguiente tabla. Alumno Media Mediana Moda 1 2 3 b) A partir de las calificaciones de los alumnos, ¿consideras que los tres tienen el mismo nivel de conocimientos de la materia? ¿Por qué? c) ¿En qué caso la media refleja mejor el desempeño del alumno? ¿Por qué? d) ¿En qué caso, la mediana refleja mejor el desempeño del alumno? ¿Por qué? e) ¿Consideras que alguno de ellos necesita reforzar sus conocimientos? ¿Por qué? f) Considerando las calificaciones y las medidas de tendencia central, ¿qué alumno obtendrá la mejor calificación en el siguiente examen? ¿Por qué? Actividades 2. Como la cantidad de datos ya está ordenada y es par, entonces i = 10 2 = 5, por tanto nos fijamos en los datos 5 y 6; es decir, x5 = 33.64 y x6 = 33.94, entonces la mediana es: ~x = 33.64 + 33.94 2 = 67.58 2 = 33.79 3. La moda es el dato que más se repite, en este caso la moda es 33.03.
  30. 30. 30 La magia de los fractales ¿Te imaginas una figura con área 0? ¿O una figura con perímetro sin límite? Mejor aún, ¿te imaginas una figura con las dos propie- dades anteriores? Construiremos una figura con estas características: Paso3:enlostres triángulosrestantes, aplicamoselmismo proceso,apartirdelos puntosmediosde loslados,construimos triángulosylos recortamos. Paso2:apartirdelos puntosmediosde loslados,construimos untriánguloylo recortamos. Paso 1: empezamos con un triángulo equilátero. Esteprocedimientocontinuaconlostriángulosquesevangenerando; en la siguiente figura se muestran los pasos 4, 5y 6. Como podrás notar, al recortar triángulos, el área del triángulo disminuye, pero con el perímetro pasa los contrario, como se van generando más triángulos dentro del original, los lados de éstos contribuyen con sus lados al perímetro de la figura, por lo que al generarse más triángulos el perímetro aumenta. Este objeto fue descubierto por el matemático polaco Waclaw Sierpinski (1882–1969.)   Matemáticas curiosas
  31. 31. 31 Notas
  32. 32. 32 Bloque2 Problemas aditivos con monomios y polinomios. Problemas de volumen de cubos, prismas y pirámides rectos. En este bloque estudiarás:
  33. 33. 33 Contenido Desafío 2 Ventas Prácticas 10. Sumas y restas de monomios 11. Sumas y restas de polinomios 12. Equivalencia de expresiones algebraicas 13. Volumen 14. Volúmenes de cubos, prismas y pirámides rectos 15. Proporcionalidad inversa 16. Probabilidad Matemáticas curiosas
  34. 34. 34 Consigna En equipos de tres integrantes resuelvan el siguiente problema. Una tienda ofrece tres productos en tres paquetes. Los precios de los tres pro- ductos se representan con las letras a, b, c, y los precios de los paquetes son los siguientes: 2a + 3b = 180; a + b + c = 120; b + 2c = 80 1. Para encontrar el precio de cada producto, efectúen las actividades. a) ¿Cuántos productos tiene cada paquete? b) ¿Qué representan cada uno de los monomios que aparecen en los pre- cios anteriores? c) Despejen b en la igualdad b + 2c = 80 Desafío Que los alumnos resuelvan problemas aditivos con monomios y polinomios. Intención didáctica Ventas 2
  35. 35. 35 d) Despejen a en la igualdad a + b + c = 120 e) Sustituyan b en la igualdad que resulta en el inciso (d). f) Sustituyan los valores que encontraron para b y a en la igualdad 2a + 3b = 180 para encontrar el valor de c. g) Encuentren los valores de a y b. 2. Comparen sus respuestas con las de sus compañeros. a) ¿Encontraron las mismas expresiones al despejar? b) Expliquen las operaciones y pasos que realizaron. Mis respuestas Mis dudas y preguntas
  36. 36. 36 Sumas y restas de monomios Práctica 10 Recuerda que un monomio es una expresión algebraica que consta del pro- ducto de un número, llamado coeficiente, y una literal. Las siguientes expre- siones son ejemplos de monomios: 3m, − 4r, 7x, p, 2 3 l, Se pueden realizar sumas y restas de monomios, siempre y cuando las literales sean las mismas, y la operación se efectúa con los coeficientes, por ejemplo: a) 5t + 3t = 8t b) 4m − 7m = − 3m c) −b + 5b − 2b = 3b d) 3x + 3y − 5x + y − 2y = − 2x +2y Actividades 1. Escribe la expresión que representa el perímetro de cada una de las siguien- tes figuras. a) c) b) d) y y y y y B G a a c b E 3x + 4 2x + 1D 4n 5n − 4 4 + 3n Matemáticas rápidas 1. El rectángulo rojo se trazó usando puntos medios. Si los lados del rectángulo grande miden lo que se indica, ¿cuánto mide el perímetro del rectángulo rojo? x y
  37. 37. 37 Las literales pueden tener un gran número de aplicaciones, inclusive y aunque no lo creas, en algunos juegos: “Piensa un número; súmale 2 y el resultado multiplícalo por 3; al resultado réstale 9; el resultado divídelo entre 3; ¿qué número te dio?; el número que pensaste es ... ”. Pregunta de reflexión Mis respuestas Mis dudas y preguntas 2. Mariana compró doce cuadernos a n pesos cada uno y al pagar le desconta- ron el precio de tres cuadernos. Encuentra una expresión que represente la transacción. 3. Considera la siguiente situación: Juan Pablo y Renata compraron peras y manzanas en oferta. Las peras a m pesos el kilogramo y las manzanas a t pe- sos el kilogramo. Juan Pablo compró 3 kilogramos de pera y 2 kilogramos de manzanas; Renata compró 5 kilogramos de pera y 1 kilogramo de manzana. a) ¿Cuántos kilogramos de pera compraron entre los dos? b) Encuentra una expresión para el costo de los kilogramos de pera. c) ¿Cuántos kilogramos de manzana compraron entre los dos? d) Encuentra una expresión para el costo de los kilogramos de manzana. e) Si pagan con un billete de $200.00, encuentra una expresión para el cam- bio que les dieron por su compra. 4. Resuelve lo siguiente: a) Si al quíntuple de un número le descontamos el doble del mismo número nos da 105, ¿de qué número se trata? b) Al comprar 15 calculadoras a b pesos cada una, se hace un descuento de $525.00altotaldelacompraysepagan$2925.00.¿Cuáleselpreciodecada calculadora? 5. Completa el cuadro para que la suma de los renglones, columnas y diagonales sea 0. 3 4 p 1 2 p p −3 4 p
  38. 38. 38 Sumas y restas de polinomios Práctica 11 Matemáticas rápidas 1. Encuentra el área del cuadrado interior: t 1 Al sumar dos o más monomios con distintas literales obtenemos un polinomio. Por ejemplo: – 3 a + b; 5m – 2 n + 1; 2x – 3 y – t. Los polinomios también pue- den sumarse y restarse, para ello tenemos que usar las propiedades conmuta- tiva y asociativa para agrupar los monomios que tengan las mismas literales y entonces se realiza la operación de monomios correspondiente. Ejemplos: 1. (2a – 3b)+(a + 4b) = 2a – 3b + a + 4b = (2a + a) + (–3b + 4b) = 3a + b. 2. (4n + m) – (3n – 3m) = 4n + m – 3n + 3m = (4n – 3n) + (m + 3m) = n + 4m. 3. (3j – 4k + 5r) + (–2j + k – 6r) = 3j – 4k + 5r – 2j + k – 6r = (3j – 2j) + (–4k + k) + (5r – 6r) = j – 3k – r. Por otro lado, existen expresiones que representan lo mismo, a estas expresio- nes se les llama equivalentes. Por ejemplo, el área de la siguiente figura se puede expresar de dos formas: 1. Área = a(a + 2) 2. Área = a2 + a + a = a2 + 2a En la primera expresión, se considera el rectángulo completo, cuya base y al- tura miden a + 2 y a, respectivamente. En la segunda expresión, el área del rectángulo se divide en tres partes: un cuadrado de lado a y dos rectángulos de base 1 y altura a. Entonces, las expresiones a(a + 2) y a2 + 2a son equivalentes. Esto lo escribi- mos así: a(a + 2) = a2 + 2a. a a 1 1
  39. 39. 39 ¿Existen dos números, a y b, tales que a + b = 1 y –a –b = 0? Pregunta de reflexión Mis respuestas Mis dudas y preguntas Actividades 1. Efectúa las siguientes sumas y restas de polinomios: a) (3a – 7b) – (4a – b) b) 2x + 3 2 y – 5 3 x – 2y c) (6t – 3r + 2w) – (–3t – r + 4w) d) ( 1 2 m + 3n) + (m – 1 3 n) 2. Completa el cuadro de manera que la suma de renglones, columnas y dia- gonales sea –6x + 9y. –0.5x + 4.5y –1.5x + 3.5y –3x + 2y –2x + 3y –3.5x + 1.5y 3. Escribe dos expresiones equivalentes para las áreas totales de las siguien- tes figuras: c c c c bc b a a 1 1 1 1 a) b)
  40. 40. 40 Algunas expresiones algebraicas se pueden obtener de otras haciendo algu- nas operaciones, cuando esto sucede decimos que las expresiones son equi- valentes. Ejemplo: [(t − 2) − 3] [w − (w + t)] es equivalente a t2 − 5t, ya que [t −2 − 3] [w −w − t] = [t −5][t] = t2 −5 t En geometría, las expresiones algebraicas nos pueden ayudar a resolver pro- blemas de cálculo de áreas en los que una expresión complicada pude sim- plificarse; por ejemplo, tenemos dos formas de representar el área sombreada de la siguiente figura: 1. Para encontrar el área de los rectángulos sombreados, del área total tene- mos que restar el área de los rectángulos blancos, por tanto: (a + d) (b + c) − ac − bd = ab + ac + bd + cd − ac − bd = ab + cd 2. Como la figura sombreada son dos rectángulos, entonces su área es la suma de las áreas de dichos rectángulos: ab + cd. Por supuesto que la segunda expresión es más fácil de manejar, pero am- bas expresiones son equivalentes: (a + d) (b + c) − ac − bd = ab + cd Práctica 12 Equivalencia de expresiones algebraicas Matemáticas rápidas 1. En la siguiente tabla, los renglones, columnas y diagonales deben sumar lo que se indica en el título, complétala: 6n − 12 2n − 8 2n + 2 2n +4 2n − 4 2n − 2 da ccc da bbb da
  41. 41. 41 ¿Podrán ser equivalentes las expresiones algebraicas a + b = 1 y u + v = 1 ? ¿Por qué? Pregunta de reflexión Mis respuestas Mis dudas y preguntas Actividades 1. Considera la figura anterior. Encuentra dos expresiones algebraicas equi- valentes para el área del rectángulo con lados b y d. 2. Relaciona las siguientes columnas de expresiones algebraicas equivalentes: 2a − 5b − ( 7a − b) a) 3 4 m 3 4 m − 1 2 m + m b) 1 2 m 7a + 3b − (− 2b + a) c) 5a + 4b 2m − 3 2 m d) − 5a − 4b 1 4 m + m − 1 2 m e) 5 4 m − 5a −b −(−10a − 5b) f) 6a + 5b 3. Escribe dos expresiones algebraicas equivalentes para cada una de las si- guientes figuras: b b b c b b ccc a 1 3 a 1 5 a ) c ) b ) d )
  42. 42. 42 El volumen es el espacio delimitado por superficies, no necesariamente pla- nas. El volumen del cubo es el más sencillo para calcular: V = l × l × l = l3 Las fórmulas para calcular los volúmenes de prismas y pirámides son: Prismas: V = A × h Pirámides: V = A × h 3 Donde A es el área de la base y h es la altura. Recuerda que si la base de un prisma o pirámide es un polígono regular, su área se calcula por medio de la fórmula: A = P × a 2 donde P es el perímetro del polígono y a es el apotema. Ejemplo: Calcular el volumen del siguiente prisma, si L = 5, a = 1.68 cm y h =11 cm. Perímetro del pentágono: P = 5 × 5 = 25 Área del pentágono: A = 25 × 1.68 2 = 42 2 = 21 Volumen del prisma: V = 21 × 11 = 231 Práctica 13 Volumen l l l Apotema h L a Matemáticas rápidas 1. ¿Cuál es el volumen de una pirámide construida dentro de un cubo de lado 12?
  43. 43. 43 1. En una caja caben 10 cubos a lo largo, 6 a lo ancho y 5 a lo alto. a) ¿Cuántos cubos caben en la base de la caja? b) ¿Cuántos cubos caben en total? c) Si los cubos miden un centímetro de lado, ¿cuál es el volumen de la caja? 2. Calcula el volumen de un prisma cuya base es un cuadrado de lado 3 y la altura del prisma es 7. 3. ¿Cuál es el volumen de una pirámi- de con base cuadrada de lado 5 y una altura de 12? 4. Calcula el volumen de una pirámide cuya base es un triángulo equilátero de lado 5, su altura mide 8.33 y la al- tura del prisma es de 8. 5. Calcula el volumen de un prisma cuya base es un triángulo rectángu- lo isósceles. Los lados que forman el ángulo recto miden 5 cada uno y la altura del prisma es 12.5. Construye cuatro triángulos equiláteros iguales con seis segmentos del mismo tamaño, de maneraqueelsegmento sea el tamaño de los lados de los triángulos. Pregunta de reflexión Mis respuestas Mis dudas y preguntas Actividades 5cm 5 cm 12.5cm
  44. 44. 44 Matemáticas rápidas 1. ¿Qué es un mililitro? 2. ¿A cuántos centímetros cúbicos equivale un litro? Práctica 14 Recuerda que las fórmulas para calcular el volumen de cubos, prismas y pi- rámides son: Cubo V = l3 Donde l es el lado del cubo. Prisma V = A × h Donde A es el área del polígono regular que tiene como base y h es la altura del prisma. Pirámide V = A × h 3 Donde A es el área del polígono regular que tiene como base y h es la altura del prisma. Aunque las fórmulas son para encontrar el volumen, a partir de ellas pode- mos encontrar los otros elementos involucrados, por ejemplo: un envase de 720 mililitros de capacidad tiene forma de prisma cuadrangular, si la altura del empaque es de 20 cm, ¿cuánto miden los lados del cuadrado de la base? De la fórmula de volumen para prismas sabemos que: 720 = A × 20. De aquí podemos saber cuánto mide el área de la base cuadrada aplicando la opera- ción contraria a multiplicar por 20, que en este caso es dividir entre 20, enton- ces 720 20 = A y de esto obtenemos que 36 = A. Ahora, como sabemos que la base es un cuadrado, la fórmula para encontrar su área es A = l2 , por tanto, aplicamos la operación contraria a “elevar al cua- drado”, que en este caso es encontrar la raíz cuadrada, y si hacemos la opera- ción √36 = √ 6 2 obtenemos que 6 = l. Actividades 1. Completa la siguiente tabla para encontrar el volumen de una alberca rec- tangular, cuyos lados miden 8 y 12 metros respectivamente y la profundi- dad es de 1.2 metros. Fórmula Resultado Área de la base Volumen Volúmenes de cubos, prismas y pirámides rectos
  45. 45. 45 Si dos recipientes tienen la misma forma pero las medidas de uno son la mitad de las medidas del otro, ¿cuál será la relación entre sus volúmenes? Pregunta de reflexión Mis respuestas Mis dudas y preguntas 2. Lee el siguiente problema y completa la tabla para encontrar su solución: Se requiere construir una cisterna con una capacidad de 4 m3 de agua en una superficie rectangular. Si la base es un rectángulo de 2 m de largo por 1.3 m de ancho. ¿Cuál debe ser la profundidad de la cisterna? Área de la base Volumen Datos Fórmula Operación contraria Resultado 3. Resuelve los siguientes problemas: a) Se necesitan tapas de plástico para un juego de seis vasos que son pris- mas octagonales. El apotema mide 3 cm y el área de las tapas debe ser de 300 cm. ¿Cuál es la longitud de cada lado de la tapa? b) La Gran pirámide de Egipto ocupaba un volumen total de aproximada- mente 2.6 millones de metros cúbicos y su base cuadrada mide 230.3 m por lado. Se piensa que estaba coronada por una pequeña pirámide de oro sólido que desapareció. Si la altura actual de la Gran pirámide es de 137 m, ¿cuál habría sido la altura máxima de la pequeña pirámide de oro?
  46. 46. 46 Proporcionalidad inversa Matemáticas rápidas 1. ¿Cuántas parejas de números enteros dan 10 al multiplicarse? Práctica 15 Decimos que dos números son inversamente proporcionales si su producto es constante; es decir, x, y son inversamente proporcionales si xy = k, donde k es un número fijo. Para este tipo de proporcionalidad, su gráfica es una curva que no cruza ninguno de los ejes, por ejemplo: Para encontrar algunos puntos de la gráfica que corresponde a la proporción inversa xy = 2, podemos hacer una tabla como la siguiente dando valores a una de las variables, por ejemplo a x: y = 2 x x 2 0.5 = 40.5 2 1 = 21 2 1.25 = 1.61.25 2 2.5 = 0.82.5 0 1 2 3 4 x A B C 4 3 2 1 y A: xy = 1 y = 1 x B: xy = 2 y = 2 x C: xy = 1 2 y = 1 2x
  47. 47. 47 1. Considera la relación “el producto de dos números es 24”. Completa la ta- bla y la gráfica que modela esa relación. x y 1 24 2 3 8 4 6 8 12 24 2. En un salón de clase se planea comprar un proyector. Si el costo es de $6400.00, completa la siguiente tabla para calcular cuánto pagaría cada alumno. Por medio de la gráfica calcula de cuánto sería la cooperación si sólo participan 12 alumnos. Cantidad de alumnos Cooperación (pesos) 4 5 8 10 16 20 Observa las gráficas de la proporción inversa. ¿Para qué número ambas coordenadas deben ser iguales? Pregunta de reflexión Mis respuestas Mis dudas y preguntas Actividades 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 24222018161412108642 x y
  48. 48. 48 1. Matemáticas rápidas 1. Consideremos el experimento “lanzar un dado tres veces consecutivas”. a) ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral? b) ¿Cuál es la probabilidad de que salga un 6 en todos los lanzamientos? c) ¿Cuál es la probabilidad de que se repita el mismo número en todos los lanzamientos? Práctica 16 Un diagrama de árbol es una herramienta muy útil para calcular el total de casos posibles de un experimento aleatorio, lo que permite calcular la proba- bilidad asociada a cada evento. Ejemplo: ¿Cuántos resultados distintos se pueden obtener al lanzar un dado y una mo- neda? Resultados Sol Águila 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 Observa que las ramas finales muestran cada una de las combinaciones posi- bles, de modo que si las contamos sabremos el total de casos posibles. Si se quiere calcular la probabilidad de sacar un sol en la moneda y un núme- ro par en el dado, sólo hay 3 ramas que tienen esa combinación de un total de 12 posibles, por lo que la probabilidad de obtener sol y par es: P (sol, par) = 3 12 = 1 4 Otra forma de contar la totalidad de casos posibles de un evento aleatorio es hacer una tabla. La tabla del ejemplo anterior es la siguiente. 1 2 3 4 5 6 Sol (s) (s, 1) (s, 2) (s, 3) (s, 4) (s, 5) (s, 6) Águila (a) (a, 1) (a, 2) (a, 3) (a, 4) (a, 5) (a, 6) Probabilidad
  49. 49. 49 Si lanzo una moneda y cae “águila”, ¿cuál es la probabilidad de que en el siguiente lanzamiento también caiga “águila”? Pregunta de reflexión Mis respuestas Mis dudas y preguntas 1. Considera el experimento de tirar dos dados. a) ¿Cuál es la probabilidad de que ambos números sean iguales? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea 10? c) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea 7? d) ¿Cuál es la probabilidad de ambos números sean pares? 2. Considera el experimento de lanzar tres monedas. a) ¿De cuántas formas pueden caer las caras? b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos águilas y un sol? c) ¿Cuál es la probabilidad de que obtener al menos un sol? Actividades
  50. 50. 50 ¿2 × 2 = 0? ¿Te imaginas qué pasaría si 2 × 2 = 0? O si 2 × 2 = 1. Aunque no lo creas, se pude definir un objeto donde las operaciones no dan los resultados que conocemos. Por ejemplo, consideramos los números {0, 1, 2}, queremos defi- nir la multiplicación de manera que el resultado sea uno de esos números, por lo que construimos la siguiente tabla: × 0 1 2 0 0 0 0 1 0 1 2 2 0 2 1 Esta multiplicación es asociativa, conmutativa y tiene elemento neutro, pero observamos que 2 × 2 = 1. De hecho, observamos algo más: 12 = 1 y 22 = 1. Otro ejemplo lo trabajaremos con los números {0, 1, 2, 3} y aná- logamente al caso anterior, construimos la tabla de la multipli- cación: × 0 1 2 3 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 2 0 2 0 2 3 0 3 2 1 En este caso, la multiplicación también es asociativa, conmuta- tiva y tiene elemento neutro. Además observamos que 2 × 2 = 0, 3 × 3 = 1 o que 3 × 2 = 2. Estas colecciones de números con operaciones curiosas son un ejemplo de un tipo de estructuras algebraicas que son estudia- das por los matemáticos y suelen aparecer en todo momento. Así como se definió la multiplicación, se puede definir una suma con resultados poco empíricos. Lo anterior, aunque no lo creas, se usa en la vida cotidiana, por ejemplo: • En la computación, se utilizan los números {1, 0} que represen- tan la presencia de corriente eléctrica. • En las telecomunicaciones, se usan distintos códigos para la transmisión de datos, y para ello se utilizan algunos de estos objetos. Matemáticas curiosas
  51. 51. 51 Notas
  52. 52. 52 Bloque3 Problemas que implican multiplicaciones o divisiones con expresiones algebraicas. Justificación de la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo o polígono. Problemas que implican la relación entre unidades cúbicas y de capacidad. Lectura y comunicación de información mediante histogramas y gráficas poligonales. En este bloque estudiarás:
  53. 53. 53 Contenido Desafío 3 Buscando un buen promedio Prácticas 17. Jerarquía de operaciones 18. Multiplicación de expresiones algebraicas 19. Ángulos interiores de polígonos 20. Figuras que cubren el plano 21. Unidades de capacidad y volumen 22. Relaciones de proporcionalidad 23. Histogramas y gráficas poligonales 24. Propiedades de la media y la mediana Matemáticas curiosas
  54. 54. 54 Consigna En parejas, analicen la siguiente situación y respondan los planteamientos. 1. En el tercer bimestre, Fernanda obtuvo las siguientes calificaciones: 8.5, 8.3, 9 y 8.7. Le falta una calificación para obtener su promedio final, y ne- cesita saber si obtendrá al menos 9, ya que tiene el interés de solicitar una beca. a) Calculen su promedio hasta el momento (la escala de calificaciones va de 5 a 10). b) Encuentrenunaexpresiónalgebraicaparaplantearelpromediodelascin- co calificaciones y representa la calificación faltante con una incógnita. 2. Completen la siguiente tabla en la que se muestran algunas de las posibles calificaciones que Fernanda puede obtener. Utilicen la expresión que en- contraron en la indicación anterior: Quinta calificación Promedio 5 6 7 8 9 10 Desafío Que el alumno resuelva problemas que impliquen el uso de ecuaciones de la forma ax + b e Identifique, interprete y exprese relaciones de proporcionalidad directa o inversa, algebraicamente o mediante tablas y gráficas. Intención didáctica Buscando un buen promedio 3
  55. 55. 55 a) ¿Podrá Fernanda obtener un 9 en su promedio final? Expliquen su res- puesta. b) ¿Podrá Fernanda obtener un 6 en su promedio final? Expliquen su res- puesta. 3. Comparen la expresión que encontraron con otros compañeros. Argu- menten cómo las obtuvieron. 4. Con ayuda de su profesor, expliquen algebraicamente por qué no es posi- ble que Fernanda pueda obtener un 9 en su calificación final. Mis respuestas Mis dudas y preguntas
  56. 56. 56 Matemáticas rápidas 1. ¿Cuál es el resultado de la siguiente suma? 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 2. ¿Cuál es el resultado de la siguiente suma? 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20 Jerarquía de operaciones Práctica 17 Cuando en una expresión aparecen varias operaciones, algunas de las cuales están entre paréntesis, se buscan los resultados de cada operación, yendo de los paréntesis internos hacia los externos. Los paréntesis indican, por tanto, el orden en que deben hacerse las operaciones. Ejemplos: a) 4 × [3 + (10 4 2)] = 4 × [3 + 5] = 4 × 8 = 32 b) [(4 × 3) + 10] 4 2 = [12 + 10] 4 2 = 22 4 2 = 11 c) (4 × 3) + (10 4 2) = 12 + 5 = 17 Observa cómo varían los resultados según como se coloquen los paréntesis. Si en una expresión con varias operaciones hay paréntesis, existe una serie de reglas que permiten llevarlas a cabo de manera única. Estas reglas se conocen como jerarquía de operaciones y son las siguientes: 1º Se resuelven potencias y raíces de números (si las hay). 2º Se realizan multiplicaciones y divisiones (si las hay). 3º Se resuelven las sumas y restas (si las hay). Algunas operaciones funcionan como paréntesis. Por ejemplo, para resolver la siguiente operación, primero se deben resolver las multiplicaciones, des- pués la resta y por último la división por 11: 8× 4 − 5 × 2 11 = 32 − 10 11 = 22 11 = 2 En la siguiente operación primero se hacen las multiplicaciones, seguidas de la suma y por último la raíz cuadrada: √5 × 20 + 23 × 3 = √100 + 69 = √169 = 13 Actividades 1. Resuelve las siguientes operaciones. a) = 8× 5 − 25 5 b) = 3 (23 − 4 4 2) c) = 5× √25 3 − 2(2 3 + 12 3 ) d) = √(− 5)(3 − 7) + 2.9 × 10
  57. 57. 57 Si el quíntuple del cuadrado de la mitad de la raíz cuadrada de un número es 245, ¿de qué número se trata? Pregunta de reflexión Mis respuestas Mis dudas y preguntas 2. Resuelve la siguiente operación: 2(6 5 − (7 − 3)2 5 )− √81 4 3 = 3. Enlassiguientesoperacionescolocalosparéntesisdondecorrespondan,para que el resultado sea correcto: a) 42 − 32 × √81 = − 65 b) 6 × 5 − 25 4 4 = − 30 c) − 20 + 4 4 3 = − 8 d) − 42 − 4 4 2 × 5 = 6 4. Resuelve el siguiente problema: Se reparten $45285.00 entre cuatro personas de la siguiente manera: a la pri- mera persona le tocan $3570.00 más que a la segunda persona; a la segunda persona le tocan $700.00 menos que a la tercera persona; a la tercera persona letocalamitaddeloqueletocaalacuartapersonamás$1680.00;yalacuarta persona le tocan $15230.00. ¿Cuánto le toca a las demás personas?
  58. 58. 58 Matemáticas rápidas 1. La cantidad de euros que tengo es la misma que su valor en pesos; la cantidad de yenes es su valor en pesos menos uno; la cantidad de dólares es el doble de su costo en pesos. ¿Cuántos pesos tengo? Encuentra una expresión algebraica para esta situación. Práctica 18 Para multiplicar monomios, sigue estos pasos: 1º Se multiplican los coeficientes. 2º Si las literales son las mismas, también se multiplican usando las leyes de los exponentes. Ejemplo: (3x)(− 2x) = − 6x2 3º Si las literales son distintas, se multiplican los coeficientes y la multiplica- ción de literales se queda indicada, es decir, las literales se escriben tal cual. Ejemplo: (− 2x) (−y) = 2xy Para multiplicar un monomio por un polinomio, multiplicamos el monomio por cada uno de los términos del polinomio, por ejemplo: 3x(− 2x − y) = (3x)(− 2x) − (3x) (y) = 6x2 − 3xy Ahora, para multiplicar polinomios se debe multiplicar cada uno de los términos de uno de ellos, por cada uno de los términos del otro, por ejemplo: (3a − b)(2a + 4b) = (3a)(2a) + (3a)(4b) − (b)(2a) − (b)(4b) = 6a2 + 12ab − 2ab − 4b2 = 6a2 + 10ab − 4b2 Actividades 1. Realiza las siguientes multiplicaciones: a) (− 4n) (2n) = b) (3t)(− t + 4k) = c) (− 2x + 3z) (x + z) = d) (2a − 3b) (2a + 3b) = Multiplicación de expresiones algebraicas
  59. 59. 59 3. Encuentra el factor para que el resultado en cada operación sea correcto. a) (− 3w)( ) = 12wt b) ( )(− 2n − 3m) = ( )(− 2n) − ( )(3m) = 10mm + 15m2 c) (3x + 2y)( ) = (3x)( ) + (2y)( ) = 3x2 y + 2xy2 4. Encuentra una expresión algebraica, según lo que se indica en cada caso. a) El largo del rectángulo b) El ancho del rectángulo c) El perímetro y el área del perímetro del rectángulo rojo Tengo n canicas en n –9 bolsas y en cada bolsa tengo n 3 canicas. Escribe una expresión algebraica para esta situación. ¿Se puede saber la cantidad de canicas? Pregunta de reflexión Mis respuestas Mis dudas y preguntas 2. Encuentra una expresión algebraica que represente el área de las siguientes figuras: a) b) 5x x m m + 5 A = 8y2 + 12y 2y + 3 A = 12x2 − 15x 3x b + 5 6b + 4 A = 3b + 15
  60. 60. 60 Figura Número de lados Número de triángulos que se forman al trazar diagonales desde un solo vértice Suma de ángulos interiores Práctica 19 Matemáticas rápidas 1. ¿Cuánto suman los ángulos interiores de un polígono regular de 20 lados? 2. ¿Cuántos lados tiene el polígono regular cuyos ángulos internos suman 4500°? Todo cuadrilátero se puede descomponer en dos triángulos si trazas una dia- gonal desde cualquiera de sus vértices: Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°, la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es el doble; es decir, 360°. Los polígonos regulares también se pueden descomponer en triángulos a par- tir de uno de sus vértices, como se muestra en la figura. En este caso, el polígono es de 7 lados y vemos que se puede descomponer en 5 triángulos, por tanto, la suma de sus ángulos internos es: 7× 180O = 1260O . Actividades 1. En las siguientes figuras traza las diagonales desde un solo vértice y completa la tabla. Ángulos interiores de polígonos A B C D
  61. 61. 61 Figura Número de lados Número de triángulos que se forman al trazar diagonales desde un solo vértice Suma de ángulos interiores Polígono de n lados Cuando hacemos que la cantidad de lados de un polígono regular crezca, la suma de sus ángulos internos crece, pero ¿qué pasa con los ángulos de los triángulos que se forman dentro de él? Pregunta de reflexión Mis respuestas Mis dudas y preguntas 2. Sin hacer el dibujo, calcula la suma de los ángulos interiores de los siguientes polígonos: Polígono Suma de los ángulos interiores a) Eneágono (nueve lados) b) Decágono (diez lados) c) Endecágono (once lados) d) Dodecágono (doce lados)
  62. 62. 62 Matemáticas rápidas 1. ¿La figura clásica de los rompecabezas será una tesela? ¿Por qué? Práctica 20 En matemáticas, cubrir el plano se refiere literalmente a acomodar repetida- mente una o más figuras a modo de rompecabezas, sin que se encimen, sin dejar huecos y cuidando que se llene. A este proceso se le llama teselar el plano; a las figuras que lo cubren se les llama teselas y a la figura que forman se le llama teselación. Las siguientes figuras son una muestra de teselaciones conocidas: Actividades 1. Completa la siguiente tabla. Polígono regular Número de ángulos Suma de ángulos interiores Medida de cada ángulo Triángulo 3 180° Cuadrado Pentágono Hexágono Heptágono 128.57° aprox. Octágono 135° Eneágono 9 Decágono Endecágono 11 1620° 147.27° aprox. Dodecágono 12 Figuras que cubren el plano
  63. 63. 63 ¿A qué crees que se debe que sólo algunos polígonos regulares pueden cubrir el plano sin dejar huecos ni encimarse? Pregunta de reflexión Mis respuestas Mis dudas y preguntas 1 2 1 2 3 1 2 1 2 3 4 5 2. Con base en la tabla anterior, responde las preguntas para cada una de las siguientes figuras. a) ¿Cuánto miden los ángulos 1 y 2 del hexágono regular? b) ¿Cuánto suman los ángulos 1 y 2? c) ¿Cuánto mide el ángulo que permitiría cubrir el hueco que queda? d) ¿Cabría otro hexágono regular en ese hueco? a) ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos 1, 2 y 3? b) ¿Cuánto mide la suma de los ángulos 1, 2 y 3? c) ¿Cuánto mide el ángulo que permitiría cubrirel hueco que queda? d) ¿Cabría otro pentágono en ese hueco? a) ¿Cuánto miden los ángulos 1 y 2 del octágono regular? b) ¿Cuánto suman los ángulos 1 y 2? c) ¿Cuánto mide el ángulo que permitiría cubrirel hueco que queda? d) ¿Cabríaotrooctágonoenesehueco? a) ¿Cuánto miden los ángulos 1, 2, 3, 4, y 5 de los triángulos equiláteros? b) ¿Cuánto suman los cinco ángulos? c) ¿Cuánto mide el ángulo que permitiría cubrirel hueco que queda? d) ¿Cabría otro triángulo en ese hueco?
  64. 64. 64 Matemáticas rápidas 1. ¿Qué capacidad tiene un envase de base rectangular, cuyos lados miden 5 y 10 cm y su altura es de 20 cm? Práctica 21 Un litro es la capacidad de una caja cúbica de un decímetro de arista; es decir, que tiene un volumen de un decímetro cúbico. Algunas medidas de capacidad son las siguientes: Símbolo Unidad de capacidad Equivalencia en litros kl kilolitro 1 000 l hl hectolitro 100 l dal decalitro 10 l l litro 1 l dl decilitro 0.1 l cl centilitro 0.01 l ml mililitro 0.001 l Para expresar alguna de las unidades de capacidad en términos de otra, se multiplica por 10 o se divide entre 10, según sean las unidades involucradas. Algunas medidas de volumen en el Sistema Internacional de Unidades son las siguientes: Símbolo Unidad Equivalencia (metros cúbicos) km3 kilómetro cúbico 1000000000 m3 hm3 hectómetro cúbico 1000000 m3 dam3 decámetro cúbico 1000 m3 m3 metro cúbico 1 m3 dm3 decímetro cúbico 0.001 m3 cm3 centímetro cúbico 0.000001 m3 mm3 milímetro cúbico 0.000000001 m3 Una relación que es muy importante es: un kilogramo es el peso de un litro de agua. Unidades de capacidad y volumen
  65. 65. 65 Pregunta de reflexión ¿Qué parte del volumen del cubo ocupa la pirámide de colores? Mis respuestas Mis dudas y preguntas Actividades 1. Convierte las siguientes unidades en litros: a) 4 kl = L b) 2.5 dal = L c) 3.49 hl = L d) 3 ml = L e) 28 cl = L f) 9.5 dl = L g) 84 cl = L h) 0.5 ml = L i) 745 ml = L j) 0.9 dal = L 2. Escribe las siguientes cantidades en metros cúbicos: a) 8 km3 = m3 b) 5.2 dam3 = m3 c) 3.49 hm3 = m3 d) 3 mm3 = m3 e) 28 cm3 = m3 f) 5.5 dm3 = m3 g) 86 cm3 = m3 h) 0.5 km3 = m3 i) 545 mm3 = m3 j) 0.9 dam3 = m3 3. Indica si cada uno de los siguientes enunciados es verdadero (V) o falso (F). a) En un metro cúbico caben 1000000 centímetros cúbicos. ( ) b) Un metro cúbico es equivalente a 100000 centímetros cúbicos. ( ) c) El peso de medio litro es medio kilogramo. ( ) d) En un decímetro cúbico caben 1000 centímetros cúbicos. ( ) e) 5 gramos es el peso de 50 centímetros cúbicos de agua. ( )
  66. 66. 66 Matemáticas rápidas 1. Si tenemos dos rectángulos cuyas medidas de uno son 6 y 4 y las medidas del otro son la mitad, ¿cuántas veces es mayor el área del rectángulo grande? Práctica 22 Una relación de la forma y = kx describe una variación directamente propor- cional, en la que x es una variable independiente, y es la variable dependien- te y k es un número fijo llamado constante de proporcionalidad. El hecho de que x sea una variable independiente quiere decir que puede to- mar cualquier valor que se le asigne; mientras que la variable y depende del valor que se le asigne a x para tomar algún valor. Actividades 1. Completa la siguiente tabla: y = 4 5 x x 4 5 (− 5) = − 20 5 = − 4 − 5 − 3 − 3 2 − 2 5 0 1 7 5 2.3 13 5 4 4 Relaciones de proporcionalidad
  67. 67. 67 Pregunta de reflexión Si tenemos un prisma cuya base es un polígono regular y aumentamos sus medidas en un factor mayor que 1, digamos n, ¿cómo aumenta su volumen? Mis respuestas Mis dudas y preguntas 2. Completa las siguientes tablas y escribe la expresión algebraica que relaciona a las variables que aparecen en ella: a) b 2.3 4.2 5.7 8.1 9.4 a 25.3 89.1 103.4 Expresión algebraica: b) u 300 423 501 732 810 v 150.3 219.6 Expresión algebraica: c) t 9 12 15 18 21 w 1440 1680 Expresión algebraica: 3. Resuelve los siguientes problemas: a) Si para cubrir el piso de una habitación de 24 m2 se gastaron 2800 pe- sos, ¿cuál será el costo para cubrir el piso de una habitación de 53 m2 con los mismos materiales? • Escribe una expresión algebraica que represente esta situación. • ¿Cuál es el valor de k? b) Un estudiante escribe en promedio 215 palabras en 3 horas. Si tiene que entregar un trabajo de 1400 palabras, ¿cuánto tiempo tardará en escribirlo? • Escribe una expresión algebraica que represente esta situación. • ¿Cuál es el valor de k?
  68. 68. 68 Práctica 23 Matemáticas rápidas 1. Si lanzamos dos dados al mismo tiempo y sumamos los números que se obtengan, ¿qué suma será la más común? Un histograma es una representación gráfica de la frecuencia con la que se presenta una variable dentro de un conjunto de datos. ¿Cómo se construye un histograma? • El eje horizontal se separa en intervalos de longitud uniforme, que corres- ponde a alguna clase o agrupación de los datos. • En el eje vertical se señala cuántas veces se repite cada clase, es decir, la frecuencia. • Sobre cada intervalo se construye un rectángulo con la altura de la frecuen- cia correspondiente. Es importante señalar que: • Las clases en el eje horizontal deben ser contiguas, de manera que las barras no están separadas. • La altura de cada rectángulo es proporcional a la frecuencia con la que se presenta cada clase. Un polígono de frecuencia se forma al unir con segmentos los puntos medios del extremo superior de cada rectángulo de un histograma. Es importante mencionar que: • Los polígonos de frecuencias son más útiles cuando se trata de datos que varían con el tiempo. • Se puede hacer un polígono de frecuencias sin trazar el histograma si se toma solamente el punto medio de cada clase, conocido como marca de clase, y la altura correspondiente. Ejemplo: Se registró la edad de los alumnos de una escuela y se obtuvieron los siguientes datos. Edad (años) Alumnos 12 2 13 6 14 9 15 1 Total 18 La gráfica muestra el histograma (en barras) y el polígono de frecuencias (línea poligonal en rojo) correspon- diente a los datos de la tabla. Histogramas y gráficas poligonales Númerodealumnos 10 8 6 4 2 0 12 13 14 15 Edad (años)
  69. 69. 69 Pregunta de reflexión La gráfica indica cómo ha aumentado la esperanza de vida en nuestro país desde la década de 1930. 1. ¿Qué se puede deducir de la gráfica? 2. ¿En qué época la diferencia es mayor? *Gráfica tomada del INEGI: http://cuentame.inegi.org.mx/ poblacion/esperanza. aspx?tema=P Mis respuestas Mis dudas y preguntas Actividades 1. Contesta lo que se pide. La tabla muestra la tasa de inflación en México entre los años 2000 y 2010. La inflación es el promedio de aumento de los precios al consumidor, expresado como porcentaje. 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 9 6.5 6.4 4.5 5.4 4 3.4 4 5.1 3.6 4.1 a) Dibuja el polígono de frecuencias correspondiente a los datos. b) ¿En qué año se reportó la tasa más baja de inflación? c) Entre los años 2000 y 2006, ¿cuál era la tendencia de la tasa de inflación? d) ¿Entre qué años la tasa de inflación registró una tendencia a crecer? e) ¿Existe alguna tendencia de la tasa de inflación a partir de 2003? Explica. 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 33 45.1 58.8 68 70.9 71.5 72.1 34.7 48.7 63 75 76.4 77 77.5 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010
  70. 70. 70 Práctica 24 Matemáticas rápidas 1. ¿Cuál es el promedio de los siguientes números? 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 y 20 1. Para todo conjunto de datos x1 , x2 , x3 ..., xn con una media aritmética (o pro- medio) x sucede que: • La suma de las desviaciones de cada dato respecto de la media es cero. Es decir: (x − x1 ) + (x − x2 ) + ...+ (x − xn ) = 0 • Si todos los datos tienen un mismo valor, la media es igual a esa misma constante. Es decir: x1 = x2 = x = ... = xn = x • Si todos los datos se multiplican por una constante k entonces la media de los nuevos datos es igual a la constante por la media de la muestra original. Es decir: kx es la media de kx1 , kx2 , ..., kxn . • Si a todos los datos se les suma o resta una cantidad constante entonces la media de los nuevos datos es igual a la media de la muestra original más (o menos) la misma constante. Es decir: x ± k es la media de (x1 + k), (x2 + k), ..., (xn + k) 2. Para todo conjunto de datos x1 ,x2 , x3 , ... xn con una mediana Md : • La mediana del conjunto es única. • La mediana no cambia en presencia de valores extremos. • La mitad de los datos son menores que la mediana y la otra mitad de los datos son mayores. 3. Para todo conjunto de datos x1 ,x2 , x3 , ... xn con una media aritmética x y me- diana Md : • Se dice que el conjunto de datos es simétrico si la media aritmética es igual a la mediana. • Si la media aritmética es mayor que la mediana, se dice que el conjunto de datos tiene una asimetría positiva. • Si la media aritmética es menor que la mediana, se dice que el conjunto de datos tiene una asimetría negativa. Propiedades de la media y la mediana
  71. 71. 71 Pregunta de reflexión Si conocemos el promedio de una muestra, pero nos falta un dato, ¿podemos conocer el dato faltante? Mis respuestas Mis dudas y preguntas Actividades 1. Considera las propiedades de la media y la mediana para contestar las si- guientes preguntas. a) La media del salario en una empresa es de $6983.00. Si en marzo todos recibieron una compensación extra de $1450.00, ¿cuál es la media del salario en el mes de marzo? b) Se reportó que la media de las edades de los niños de un equipo de fut- bol es de 14 años. De los catorce niños inscritos en el equipo, tres tienen 12 años, cinco tienen 13 años, cuatro tienen 14 años y dos tienen 17 años. Utiliza la propiedad que afirma que la suma de las desviaciones respecto de la media es cero, para verificar si el reporte es correcto. c) La media de los precios de las bebidas en la cafetería de la escuela es de 3.50 pesos. Si el día de la kermés triplicaron el precio de cada bebida, ¿cuál fue la media del precio de las bebidas el día de la kermés? 2. En los siguientes conjuntos de números, calcula la media y la mediana. Ade- más, determina si son simétricos o si presentan asimetría positiva o negativa. a) 3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8. b) 10, 11, 3, 5, 7, 10, 9, 14, 16, 10, 2, 5, 7, 8, 3, 12, 18, 6, 4, 10, 15, 10, 15, 13, 8, 17. c) 3, 5, 2,7, 5, 9, 5, 2, 8, 6. d) 5, 3, 6, 5, 4, 5, 2, 8, 6, 5, 4, 8, 3, 4, 5, 4, 8, 2, 5, 4.
  72. 72. 72 Nudos matemáticos Seguramente has escuchado sobre el ácido desoxirribonucleico (ADN), que es una molécula que contiene la información genéti- ca de un ser vivo; pero tal vez, algo de lo que no has escuchado es una área de la matemática llamada teoría de nudos. Esta teoría, como su nombre lo indica, estudia nudos, como los que se mues- tran en las siguientes figuras: ¿Y cuál es la relación entre estas dos áreas del conocimiento? Una molécula de ADN es un nudo: A finales del siglo XX, se empezó a utilizar la teoría de nudos para estudiar algunas cadenas de ADN. Uno de los actores principa- les en el estudio de ADN es una enzima llamada topoisomerasa, que es capaz de recombinar una cadena de ADN, produciendo así distintas variedades biológicas. Esto quiere decir, matemáti- camente, que se generan nudos distintos. Una de las preguntas que surgen de estos estudios es: ¿podría predecirse qué tipo de molécula resulta después de la intervención de la topoisomera- sa? Aunque sólo se ha trabajado con ADN de algunas bacterias, para alguna de ellas sí fue posible. Matemáticas curiosas
  73. 73. 73 Notas
  74. 74. 74 Bloque4 Sucesiones de números enteros a partir de una regla dada y viceversa. Problemas que impliquen el uso de ecuaciones de la forma: ax + b = cx + d, donde los coeficientes son números enteros, fraccionarios o decimales, positivos y negativos. Relaciones de proporcionalidad directa o inversa, algebraicamente o mediante tablas y gráficas. Problemas que implican la media y la mediana. En este bloque estudiarás:
  75. 75. 75 Contenido Desafío 4 Calificaciones Prácticas 25. Sucesiones 26. Ecuaciones de primer grado 27. Ángulos de un círculo 28. Gráficas de proporcionalidad 29. Problemas de variación lineal 30. Media ponderada Matemáticas curiosas
  76. 76. 76 Consigna En equipos de tres integrantes, consideren la siguiente situación y respon- dan lo que se pide usando una calculadora. El director de una secundaria, planea premiar el esfuerzo de sus alumnos en el estudio. Para ello, propuso que si en grupo obtenían en promedio 7.0 de calificación en un examen general, les organizaría una excursión al Museo de Arte de la ciudad. Las calificaciones del examen del grupo B de segundo grado, integrado por 15 alumnos, fueron las siguientes: 3.2, 5.3, 5.5, 5.7, 6.2, 6.5, 6.7, 6.8, 7.5, 7.8, 7.8, 8.3, 8.5, 8.7 y 9.7. 1. Con estas calificaciones, ¿alcanzarán el promedio mínimo para ganar el premio? Para hallar la respuesta respondan lo siguiente. a) Calculen la media aritmética de las calificaciones. b) Calculen la mediana de las calificaciones. Que los alumnos resuelvan problemas que implican calcular, interpretar y explici- tar las propiedades de la media y la mediana. Intención didáctica Calificaciones Desafío 4
  77. 77. 77 c) Si se quitan la calificación más baja y la más alta, calculen la media arit- mética con los 13 datos restantes. d) Calculen la mediana con estos 13 datos. e) ¿Son diferentes las medias aritméticas? Expliquen su respuesta. 2. Comparen sus resultados con sus compañeros y con ayuda del maestro respondan: a) ¿Cuál es el aprovechamiento general del grupo: no suficiente, suficien- te, bueno, excelente? b) ¿Cambiaría el aprovechamiento general del grupo si sólo consideramos la media con 13 datos? Expliquen. Mis respuestas Mis dudas y preguntas
  78. 78. 78 Matemáticas rápidas 1. Observa las siguientes figuras. ¿Qué sucesión definen? Sucesiones Práctica 25 Una sucesión es una relación entre dos números, el que representa el lugar en la sucesión (primero, segundo, tercero,…) y el número que forma la sucesión. A cada número que forma la sucesión se le llama término. Podemos acomo- dar los términos de una sucesión en una lista ordenada y llamaremos n al lugar que ocupa un término cualquiera de la sucesión empezando por el uno. Los valores de n son los números naturales (1, 2, 3, 4, ...). Ejemplos: a) La sucesión de los números pares: 2, 4, 6, 8, 10,... b) La sucesión de los números impares: 1, 3, 5, 7, 9,... c) La sucesión de los múltiplos de 5: 5, 10, 15, 20, 25,... Cada sucesión tiene asociada una regla algebraica que permite encontrar cualquier término de la sucesión. Para hallar la regla hay que identificar cómo varían los términos. Ejemplo: En la sucesión de múltiplos de 3, los términos varían de 3 en 3, por tanto, la regla algebraica es 3n. Lugar 1 2 3 4 5 6 ... n ... × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 Término 3 6 9 12 15 18 ... 3n ... Al primer término de la sucesión se le denomina como a1 , al segundo término como a2 , al tercer término se le nombra a3 ; y así sucesivamente hasta el enési- mo término: El enésimo término de una sucesión de múltiplos es d × n donde d es la diferencia entre dos términos consecutivos. Del ejemplo anterior tenemos la siguiente sucesión. 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25 ... +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 Figura 1 Figura 2 Figura 3
  79. 79. 79 Observa la siguiente sucesión: 1, 1 2 , 1 4 ,1 8 , 1 16 , 1 32 , ... , 1 2n ,... ¿Se “detendrá” en algún número? ¿En cuál? Pregunta de reflexión Mis respuestas Mis dudas y preguntas 1. Escribe los primeros cinco términos de las siguientes sucesiones y el término indicado: a) an = 8n − 7 a1 a2 a3 a4 a5 ... a20 b) − 4n + 1 a1 a2 a3 a4 a5 ... a100 c) an = 1 2 n + 1 2 a1 a2 a3 a4 a5 ... a50 2. Encuentra la regla general de las siguientes sucesiones y el término que se pide: a) a1 a2 a3 a4 a5 ... a25 ... an 2 4 6 8 10 b) a1 a2 a3 a4 a5 ... a17 ... an 7 14 21 28 c) a1 a2 a3 a4 a5 ... a35 ... an 2.5 3 3.5 4.5 d) a0 a1 a2 a3 a4 ... a70 ... an 34 45 56 78 Actividades Cada término se encuentra sumando tres al término anterior. Si se compara con la sucesión de los múltiplos de 3, se ve que: Lugar 1 2 3 4 5 6 ... n ... × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 ... × 3 ... Múltiplos de 3 3 6 9 12 15 18 ... 3n ... + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 ... + 1 ... Términos 4 7 10 13 16 19 ... 3n + 1 ...
  80. 80. 80 Matemáticas rápidas Práctica 26 1. Si el triple de un número aumen- tado en 3 es igual al quíntuple del mismo número aumentado en 5, ¿de qué número se trata? Ecuaciones de primer grado Las propiedades de la igualdad son básicas para resolver ecuaciones, por lo tanto es muy importante conocerlas para aplicarlas. A continuación se expli- can algunas de esas propiedades: a) Si se suma el mismo número a ambos lados, la igualdad se sigue conservando. b) Si se resta el mismo número a ambos lados, la igualdad se sigue conservando. c) Si se multiplica por el mismo número a ambos lados, la igualdad se sigue conservando. d) Si se divide entre el mismo número a ambos lados, la igualdad se sigue con- servando. e) Una igualdad tiene la siguiente propiedad: si a + b = c entonces c = a + b. Una ecuación es una igualdad en la que hay una o varias cantidades descono- cidas que se llaman incógnitas. Ejemplos: • 6 + 3x = 9 + x La incógnita es x. • y + 10 = 20 – y La incógnita es y. • 2 – 5m = 10 + m La incógnita es m. Resolver una ecuación significa encontrar el valor de la incógnita que satis- face la ecuación; es decir, el valor de la incógnita que hace que la igualdad se cumpla. Ejemplo: 6 + 3x = 9 + x Se resta x en cada lado de la ecuación: 6 + 3x − x = 9 + x − x 6 + 2x = 9 Se resta 6 en cada lado: 6 + 2x − 6 = 9 − 6 2x = 3 Se divide entre 2 en cada lado: x = 3 2 = 1.5 Para comprobar la respuesta sustituimos el último resultado en la ecuación; en este caso, 1.5 en lugar de x: 6 + 3(1.5) = 6 + 4.5 = 10.5 9 + 1.5 = 10.5 Si en ambos lados de la igualdad se obtiene el mismo resultado, significa que x = 1.5 es la solución.
  81. 81. 81 Existen algunas incógnitas que no lo parecen, porque son números, pero no podemos conocerlos exactamente, ¿conoces alguno? Pregunta de reflexión Mis respuestas Mis dudas y preguntas 1. Comprueba que las siguientes son soluciones de la ecuación dada: a) y – 10 = 20 – y. Solución y = 15 b) 2x + 5 = x – 4. Solución x = –9 c) 2 – 5m = 10 + m. Solución m = – 4 3 d) 3(a – 20) = 9 – 3a. Solución a = 23 2 2. Resuelve las ecuaciones y comprueba el resultado: a) 7x + 5 = 2x + 20 b) 2(3x – 1) = 4(x – 3) c) 1.5x – 2.3 = 0.25x + 2 d) 2 (x – 3 4)= 4 (3 2 x + 5 ) 3. Resuelve los siguientes problemas: a) La suma de tres números consecutivos es 192. ¿Cuáles son los números? b) El perímetro de un rectángulo mide 38 metros. Si su largo mide 7 metros más que el ancho. ¿Cuánto mide de largo y cuánto mide de ancho? c) En un triángulo isósceles cuyo perímetro es 16 cm, los lados iguales mi- den 2 cm más que la base. ¿Cuánto mide la base y cada uno de los lados iguales? d) La suma de la cuarta parte y la tercera parte de un número es igual al doble del número menos 17. ¿Cuál es el número? Actividades
  82. 82. 82 Práctica 27 1. Si un ángulo central mide 180°, ¿cuánto medirá un ángulo inscrito que subtiende el mismo arco? Matemáticas rápidas Ángulos de un círculo En un círculo dado, se pueden trazar los ángulos que se muestran en la figura: El ángulo inscrito es aquel que tiene el vértice sobre la circunferencia y sus lados son cuerdas del círculo. En la figura anterior el ángulo ABC es un ángulo inscrito. El ángulo central es aquel que tiene su vértice en el centro de la circunferen- cia y sus lados son radios del círculo. En la figura, el ángulo AOC es un ángulo central. Teorema: En un círculo dado, si un ángulo inscrito y un ángulo central sub- tienden el mismo arco de circunferencia, entonces el ángulo central mide el doble que el ángulo inscrito. En la figura anterior, el ángulo ABC y el AOC subtienden ambos el arco de cir- cunferencia; por tanto, AOC = 2ABC. Teorema: Para cualquier circunferencia, la tangente en un punto de ésta for- ma un ángulo recto con el radio en el mismo punto. En la figura anterior, DE es la tangente y el radio es la distancia de O a C. A B O C E D
  83. 83. 83 ¿Cuánto mide el ángulo A de la siguiente figura? Pregunta de reflexión Mis respuestas Mis dudas y preguntas 1. Encuentra la medida de los ángulos que se indican. Actividades Ángulo a = Ángulo b = 22o b c a) b) c) d) 39o a b a 200o 70o b Ángulo b = Ángulo c = Ángulo b = Ángulo a = A
  84. 84. 84 Práctica 28 Matemáticas rápidas 1. La gráfica de la relación y = 3 2 x ¿pasará por el punto (10, 5)? Gráficas de proporcionalidad En matemáticas, una relación entre dos conjuntos de cantidades, o variables, puede representarse gráficamente en un sistema de coordenadas. Una rela- ción de proporcionalidad y = k x es una expresión que permite encontrar pa- rejas ordenadas de números, (x, y) en las que cada valor de y se encuentra al multiplicar un valor de x por el número k. Ejemplo: y = 2x Podemos construir una tabla para ver la relación: x –3 –1 0 2 3 3.5 y –6 –2 0 4 6 7 De la tabla se obtienen las parejas (– 3, – 6), (– 1, – 2), (0, 0), (2, 4), (3, 6) y (3.5, 7). Como los valores seleccionados para x son parte de una infinidad de valores posibles, se representa la relación uniendo estos puntos con una línea recta continua, como se muestra en la siguiente figura. Tomando como base lo anterior, podemos enunciar que la gráfica de una rela- ción de proporcionalidad cumple con las siguientes propiedades: • Es una línea recta. • Pasa por el origen de coordenadas, es decir, que pasa por (0, 0). • El valor de k determina la inclinación de la recta. y x 4 2 −2 −4 2 4−4 −2
  85. 85. 85 Toma dos valores de y de la tabla de la actividad 1 y réstalos; ahora toma los valores de x correspondientes y réstalos en el mismo orden. Divide el resultado de los valores de y entre el resultado de los valores de x, ¿qué resultado obtienes? Pregunta de reflexión Mis respuestas Mis dudas y preguntas 1. Considera la relación y = 1.5 x. a) Completa la siguiente tabla: x 0.5 1.5 2.5 3.5 4 y 3.75 b) Traza la gráfica de la relación: 2. Encuentra la relación de proporcionalidad de la siguiente gráfica: 3. Calcula el valor de k a partir de la siguiente tabla: x – 2 – 1 0 1 y – 1 – 0.5 0 0.5 Actividades 7 6 5 4 3 2 1 x −2 −1 0 1 2 3 4 5 y 6 5 4 3 2 1 0 −1 −2 −3 −4 y x −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
  86. 86. 86 Práctica 29 Matemáticas rápidas 1. Constanza toma clases de tenis todos los días, incluyendo los domingos. Le cobran 75 pesos por media hora de clase. Si toma dos horas diarias, ¿cuánto paga por semana? Problemas de variación lineal En muchas situaciones de la vida real existe una relación entre dos conjuntos de datos. Por ejemplo: el precio total que se paga en un cine depende de la cantidad de boletos que se compren, o el tiempo que tarda un objeto en caer depende de la altura de la que fue soltado. Cuando las cantidades varían de manera uniforme, entonces se considera que existe una variación lineal entre esas cantidades. Como en el caso de los boletos de cine: cada boleto que se agrega a la compra aumenta el costo total en la misma cantidad (el precio de un boleto). Ejemplo: El hermano de Felipe accedió a llevarlo al cine con sus amigos, pero quiere que le paguen el costo del estacionamiento que cuesta 60 pesos. Cada boleto de entrada cuesta 45 pesos. En la siguiente tabla se muestra la variación del costo. Número de personas 2 3 4 5 6 7 Costo 150 195 240 285 330 375 Para encontrar la expresión algebraica del problema, se representa el costo con la letra C y el número de amigos con la letra A. Como cada asistente paga 45 pesos, se debe multiplicar 45 por A; y finalmente sumar el precio del esta- cionamiento. La expresión queda entonces: C = 45A + 60 En general esta expresión tiene la forma y = ax + b, donde a y b son constantes. Actividades 1. En un experimento se utilizan gusanos que aumentan de tamaño de acuer- do con la siguiente ecuación: L = 1.7 T + 2.3 En donde 2.3 mm es la longitud del gusano cuando sale del huevo y T es el tiempo en semanas. Completa la tabla y contesta las preguntas. Tiempo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Milímetros 2.3 10.8
  87. 87. 87 ¿Existe relación entre este tipo de variación y la vista en la práctica 27? Explica por qué. Pregunta de reflexión Mis respuestas Mis dudas y preguntas a) ¿Cuántos milímetros crece el gusano cada semana? b) Uno de los gusanos salió del huevo con 3 mm de longitud, escribe la ecuación para la longitud de este gusano. c) La tercera parte de los gusanos fueron sometidos al experimento y se encontró que en la semana 1 los gusanos medían 4.7 mm y en la semana 2 ya medían 7.1 mm. Encuentra la ecuación para el crecimiento de estos gusanos. 2. Para promover al equipo femenil de futbol, la escuela le regaló un libro a cada jugadora. Además, la escuela dará un libro extra a la jugadora que anote un gol. La escuela encontró que la ecuación que relaciona el número de goles con el número de libros que tiene que adquirir es la siguiente: L = G + J En donde L es el número de libros, G es el número de goles y J es el número de jugadoras del equipo. a) Al comienzo del torneo había 15 jugadoras. Reescribe la ecuación para este equipo. b) Finalmente, el pedido fue de 37 libros. ¿Cuántos goles anotó el equipo? c) La escuela decidió aumentar el estímulo a dos libros por cada gol anota- do en la siguiente temporada. Escribe la ecuación tomando en cuenta que el número de jugadoras seguirá siendo 15.
  88. 88. 88 Práctica 30 Matemáticas rápidas 1. La batería de un teléfono celular dura 8 horas, aproximadamente, con la siguiente distribución de uso: sistema operativo 54% en las 8 horas; pantalla, 15% en 6 horas; antena de red inalámbrica, 8% en 4 horas; música, 12% en 2 horas; uso de redes sociales, 6% en 3 horas; teléfono en espera, 5% en 2 horas. ¿Cuál es el porcentaje de uso promedio de la pila? Media ponderada La media ponderada es el procedimiento mediante el cual se calcula la media de un conjunto de datos en los que se asigna diferente peso o grado de impor- tancia. Considera el conjunto de datos x1 , x2 , ..., xn a los que se les asigna los pesos w1 , w2 , ..., wn La media ponderada es: x = x1 , w1 + x2 , w2 + ... + xn , wn w1 + w2 + ... + wn Ejemplo: En un examen, la calificación de la sección de matemáticas equivale al 40% de la calificación final, la sección de lengua equivale al 30%, la sección de cien- cias naturales al 15%, la sección de ciencias sociales al 10% y la sección de expresión artística al 5%. Un alumno obtuvo las siguientes calificaciones: matemáticas, 6.3; lengua, 7.8; ciencias naturales, 8.1; ciencias sociales, 8.7 y expresión artística, 9.5; enton- ces, la calificación global (Cg) del examen es: Cg = (40)(6.3) + (30)(7.8) + (15)(8.1) + (10)(8.7) + (5)(9.5) 40 + 30 + 15 + 10 + 5 = 742 100 Cg = 7.42 Actividades 1. Para la calificación bimestral de matemáticas las tareas representan el 33%, el examen 40%, el proyecto bimestral 12% y el trabajo en clase 15%. Calcula la calificación del 3.er bimestre de un alumno que obtuvo 9.4 en tareas, 8.5 en el examen, 10 en el proyecto bimestral y 8.2 en trabajo de clase.
  89. 89. 89 El promedio es un caso particular de la media ponderada. ¿Por qué? Explica. Pregunta de reflexión Mis respuestas Mis dudas y preguntas 2. En una empresa, en la nómina mensual, hay 2 empleados que ganan 34000 pesos, 5 empleados que ganan 27500 pesos, 9 empleados que ga- nan 18900 pesos, 15 empleados que ganan 9700 pesos y 3 empleados que ganan 4300 pesos. ¿Cuál es el salario mensual promedio en esa empresa? 3. Un terreno está dividido en cinco secciones que se venden de acuerdo con la ubicación: en la primera sección el metro cuadrado cuesta 597 pesos, en la segunda sección el precio es de 315 pesos, en la tercera es de 280 pesos, en la cuarta es de 200 pesos y en la quinta es de 176 pesos. Una constructora compró 12000 m2 en la primera sección, 30000 m2 en la segunda sección, 22000 m2 en la tercera, 19000 m2 en la cuarta y 44000 m2 en la quinta. ¿Cuál es el precio promedio por metro cuadrado que pagó la constructora? 4. Un abogado cobra por hora: 100 pesos por la investigación de un caso, 75 pesos por consulta legal y 200 pesos por la redacción de un informe. En el último caso, este abogado dedicó 5 horas a consulta legal, 12 horas a la in- vestigación del caso y 9 horas a la redacción del informe. ¿De cuánto fueron sus honorarios promedio por hora en este caso?

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