Algoritma floyd warshall dengan siklus negatif

1,565 views

Published on

Published in: Technology, Business
0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
1,565
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
150
Actions
Shares
0
Downloads
43
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide
  • Norma = panjang vektor
  • Algoritma floyd warshall dengan siklus negatif

    1. 1. ALGORITMA FLOYDWARSHALL DENGAN SIKLUS NEGATIF Fajar Maulana Putra Ahmad Yusuf Syaifuddin Agus Budi Raharjo Adam [5109100057] [5109100134] [5109100164] [5109100702]
    2. 2. PENDAHULUAN Algoritma Floyd Warshall adalah algoritma untuk mencari jarak terpendek dari semua simpul dalam graf  Hanya bisa untuk graf tanpa siklus negatif, namun bisa mendeteksi keberadaan siklus negatif dalam graf 
    3. 3. PENELITIAN SEBELUMNYA  Banyak peneliti yang sudah menemukan alternatif algoritma Floyd Warshall, diantaranya :      Michael L. Fredman, New bounds on the complexity of the shortest path problem, SIAM Journal on Computing 5 (1) (1976) 83–89. Tadao Takaoka, A new upper bound on the complexity of the all pairs shortest path problem, Information Processing Letters 43 (1992) 195– 199. Yijie Han, A note of an O(n3 / log n) time algorithm for all pairs shortest paths, Information Processing Letters 105 (2008) 114–116 Tadao Takaoka, A faster algorithm for the all-pairs shortest path problem and its application, in: K.-Y. Chwa, J.I. Munro (Eds.), COCOON 2004, in: Lecture Notes in Computer Science, vol. 3106, SpringerVerlag, Berlin–Heidelberg, 2004, pp. 278–289. Uri Zwick, A slightly improved sub-cubic algorithm for the all pairs shortest paths problem with real edge lengths, Algorithmica 46 (2006) 181–192.
    4. 4.       Tadao Takaoka, An O(n3 log log n / log n) time algorithm for the allpairs shortest path problem, Information Processing Letters 96(2005) 155–161. Timothy M. Chan, All-pairs shortest paths with real weights in O(n3 / log n) time, Algorithmica 50 (2008) 236–243. Yijie Han, An O(n3(log log n / log n)5/4) time algorithm for all pairs shortest paths, Algorithmica 51 (2008) 428–434. Timothy M. Chan, More algorithms for all-pairs shortest paths in weighted graphs, in: STOC’07, 2007, pp. 590–598. Yijie Han, An O(n3 log log n/ log2n) time algorithm for all pairs shortest paths, Manuscript, 2009. Akan tetapi, algoritma-algoritma di atas jauh lebih rumit dan seringkali melibatkan struktur data yang kompleks, sehingga dalam banyak kasus algoritma Floyd Warshall tetap menjadi pilihan
    5. 5. TUJUAN  Tujuan Stefan Hougardy membuat paper ini adalah untuk menunjukkan bahwa untuk algoritma Floyd Warshall yang standar, terdapat contoh sederhana (dengan siklus negatif) yang bisa menyebabkan overflow
    6. 6. MASUKAN  Sebuah graf berarah G dimana G boleh memiliki siklus negatif Contoh graf berarah dengan siklus negatif
    7. 7. METODE PENELITIAN Algoritma Floyd Warshall Masukan: Sebuah graf berarah G dengan V(G) ={1,...,n} dan bobot c : E(G) → R Keluaran: Sebuah matriks M berukuran n x n dimana M[i, j] berisi jarak terpendek dari simpul i ke simpul j. 1. M[i,j] := ∞ ∀i ≠ j 2. M[i,i] := 0 ∀i 3. M[i,j] := c((i,j)) ∀(i,j) ∈ E(G) 4. for i := 1 to n do 5. for j := 1 to n do 6. for k := 1 to n do 7. if M[j,k] > (M[j,i]+M[i,k]) then 8. M[j,k] := M[j,i] + M[i,k] 9. for i := 1 to n do 10. if M [i,i] < 0 then return (‘graf memiliki siklus negatif’)
    8. 8. Dari deskirpsi masukan diatas, kita memisalkan cmax sebagai nilai mutlak terbesar dari sebuah sisi dalam graf, atau bisa ditulis cmax := maxe ∈ E(G) {|c(e)|}  ║M║max adalah norma maksimum dari matriks M dengan mengabaikan nilai ∞,atau bisa ditulis : ║M║max := maxi,j{|M[i,j]| dimana M[i,j] ≠ ∞} 
    9. 9.   Dari fakta diatas menghasilkan proposisi berikut: Jika masukan pada Algoritma Floyd Warshall tidak memiliki siklus negatif, maka ║M║max ≤ n.cmax selama eksekusi algoritma Bukti : Jika tidak ada siklus negatif, maka selama algoritma bekerja, M[i,j] ≠ ∞ berisi jarak dari simpul i ke simpul j. Dengan demikian sebuah path bisa berisi paling banyak n-1 sisi dari hasil akhir
    10. 10.   Sekarang akan dibuktikan bahwa entry dari matriks M bisa membesar secara eksponensial jika masukan berisi siklus negatif, diberikan teorema berikut : Terdapat sebuah graf dimana ║M║ max = 2 · 6n-1· cmax selama eksekusi Algoritma Floyd Warshall. Bukti : misalkan ada graf dengan simpul 1…n dan himpunan sisi E = {(1,i) | 1 ≤ i ≤ n} U {(I,1) | 2 ≤ i ≤ n}. Berikan c(e) = -1 untuk semua e ∈ E Contoh matriks dan penyelesaian
    11. 11.
    12. 12.
    13. 13. HASIL PENELITIAN  Hasil dari penelitian yang dilakukan oleh Stefan Hougardy adalah kebenaran teorema berikut : Terdapat sebuah graf dimana ║M║ max = 2 · 6n-1· cmax selama eksekusi Algoritma Floyd Warshall.

    ×