Funciones Hiperbolicas

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Funciones Hiperbolicas

  1. 1. FUNCIONES HIPERBOLICAS Definiciones e Identidades Las combinaciones Cosh u = ½ ( e ^u + e ^-u) ( coseno hiperbólico de u) Senh u = ½ ( e ^u - e ^-u) ( seno hiperbólico de u) se presentan con tanta frecuencia en las aplicaciones que ha creído conveniente darles un nombre especial. De momento puede que no este clara la ecuación de los nombres introducidos, que resultaran obvios mas adelante. Estas funciones se relacionan entre sí mediante reglas muy parecidas a las reglas que relacionan a las funciones cos u y sen u. Así como cos u y sen u pueden identificarse con el punto ( x, y) en el circulo unitario x² + y² = 1, así también las funciones cosh u y senh u pueden identificarse con las coordenadas de un punto ( x, y) sobre la hipérbola unitaria x² - y² =1. A propósito suele pronunciarse cosh u como “cosh u” y senh u como “ senh u”. Para comprobar que el punto de coordenadas x = cosh u e y = senh u esta sobre la hipérbola unitaria, sustituimos las relaciones que las definen en la ecuación de la hipérbola: x² - y² =1 cosh² u - senh² u = 1 ¼ ( e ^ 2u + 2 + e ^ -2u) - ¼ (e ^ 2u - 2 + e ^ -2u) = 1 ¼ ( e ^ 2u + 2 + e ^ -2u - e ^ -2u + 2 - e ^ -2u) = 1 ¼ ( 4) = 1 En realidad, si hacemos x = cosh u = ½ ( e ^ u + e ^ -u). y = senh u = ½ ( e ^ u - e ^ -u). entonces, cuando u varia de - oo a + oo, el punto P ( x, y) describe la rama derecha de la hipérbola x² - y² = 1. El primer elemento de la trigonometría hiperbólica que acabamos de establecer es la identidad básica cosh² u - senh ² u = 1. Esta expresión es análoga, pero no igual, a la identidad trigonometrica ordinaria cos² u + sen² u = 1. Las funciones hiperbólicas restantes se definen en términos de senh u y cosh u como sigue: Tangente
  2. 2. Cotangente Secante Cosecante Dividiendo la identidad por cosh² u, resulta 1 - tanh² u = sech² u Si dividimos por senh² u, obtenemos coth² u - 1 = csch² u Se deduce que cosh u + senh u = e ^ u cosh u - senh u = e ^ -u Es, pues, evidente que cualquier combinación de las exponenciales e ^ u y e ^ -u puede sustituirse por una combinación de senh u y cosh u, y viceversa. Como e ^ -u es positivo, se muestra que cosh u siempre es mayor que senh u. Pero para valores grandes de u, e ^ -u es pequeño y cosh u = senh u. En x = 0, cosh x = 1 y senh x = 0, de modo que todas las funciones hiperbólicas tienen en x = 0 los mismos valores que las funciones trigonometricas correspondientes. El coseno hiperbólico es una funcion par, esto es, cosh ( -x) = cosh x,
  3. 3. y el seno hiperbólico es una función impar, es decir, senh (-x) = - senh x ; de manera que la primera curva es simétrica respecto al eje x y la segunda lo es respecto al origen. Las funciones hiperbólicas se comportan también en esto como las funciones trigonométricas ordinarias ( o circulares). GRAFICAS DE LAS FUNCIONES HIPERBOLICAS SENO HIPERBÓLICO: COSENO HIPERBÓLICO
  4. 4. TANGENTE HIPERBÓLICA COTANGENTE HIPERBÓLICA
  5. 5. SECANTE HIPERBÓLICA COSECANTE HIPERBÓLICA
  6. 6. DOMINIOS Y RANGOS SENO HIPERBÓLICO DOMINIO : Reales RANGO : Reales COSENO HIPERBÓLICO DOMINIO : Reales RANGO : ( 1, oo) TANGENTE HIPERBÓLICA DOMINIO : Reales RANGO : ( -1, 1) COTANGENTE HIPERBÓLICA DOMINIO : ( -oo, 0) ( 0, oo) RANGO : ( -oo, -1 ) ( 1, oo) SECANTE HIPERBÓLICA DOMINIO : Reales RANGO : ( 0, 1) COSECANTE HIPERBÓLICA DOMINIO : ( -oo, 0) ( 0, oo) RANGO : ( -oo, 0) ( 0, oo) IDENTIDADES Mediante las definiciones y algo de álgebra se obtienen las identidades senh ( x + y) = senh x cosh y + cosh x senh y cosh ( x + y) = cosh x cosh y + senh x senh y Las cuales, haciendo y = x, Senh 2x = 2 senh x cosh x Cosh 2x = cosh² x + senh² x
  7. 7. La segunda de estas expresiones permite obtener formulas del “ ángulo medio” sin mas que combinar la identidad 1 = cosh² x - senh² x. Sumando resulta cosh 2x + 1 = 2 cosh² x mientras que si restamos se tiene cosh 2x - 1 = 2 senh² x Sustituyendo x = u / 2 y extrayendo raíces cuadradas, obtenemos las formulas Cosh u /2 =* cosh u + 1 / 2 Senh u /2 = ± *cosh u -1 /2 La formula no tiene ( ±) en el segundo miembro porque el coseno hiperbólico es siempre positivo. El signo de senh ( u /2) es ( +) cuando u > 0, y ( -) cuando u < 0. Como el cosh u nuca es menor que 1, las formulas valen para todos los valores de u. FUNCIONES HIPERBOLICAS INVERSAS Usamos las inversas de las seis funciones funciones hiperbólicas en la integración. Dado que d ( senh x) / dx = cosh x > 0, el seno hiperbólico es una función creciente de x. La notación de su inversa es y = senh ^ -1 x Para cada valor de x en el intervalo - oo < x < oo, el valor de y = senh ^ -1 x es el número cuyo seno hiperbólico es x. La función y = cosh x no es inyectiva, en cambio, la función restringida y = cosh x, x > 0, si lo es y, por tanto, tiene una inversa cuya notación es y = cosh ^ x para cada valor de x > 1, y = cosh ^ -1 x es el número, dentro del intervalo 0 < y < oo, cuyo coseno hiperbólico es x. Igual que y = cosh, la función y = sech x = 1 / cosh x no es inyectiva, paro tiene inversa si se restringe a valores no negativos de x, y su notación es y = sech ^ -1 x. Para cada valor de x en el intervalo ( 0,1 ), y = sech ^ -1 x es el número no negativo cuya secante hiperbólica es x. La tangente, la cotangente y la cosecante hiperbólicas son inyectivas en sus dominios y por lo tanto, tienen inversas cuya notación es y = tan^ -1 x, y = ctgh^ -1 x, y = csch ^ -1 x.
  8. 8. FUNCIÓN LOGARÍTMICA • Gráfica de la función logarítmica : a>1 0<a<1 • Estudio de la Función Logarítmica :
  9. 9. Se llama función logarítmica a la función real de variable real : La función logarítmica es una aplicación biyectiva definida de R*+ en R : o La función logarítmica solo está definida sobre los números positivos. o Los números negativos y el cero no tienen logaritmo o La función logarítmica de base a es la recíproca de la función exponencial de base a. o Las funciones logarítmicas más usuales son la de base 10 y la de base e = 2’718281... Debido a la continuidad de la función logarítmica, los límites de la forma se hallan por medio de la fórmula : Logaritmos A las operaciones, ya conocidas, de Adición, Sustracción, Multiplicación, División, Potenciación y Radicación, añadimos una nueva que llamamos Logaritmación. Los logaritmos fueron introducidos en las matemáticas con el propósito de facilitar, simplificar o incluso, hacer posible complicados cálculos numéricos. Utilizando logaritmos podemos convertir : productos en sumas, cocientes en restas, potencias en productos y raíces en cocientes. • Definición de logaritmo : Se llama logaritmo en base a del número x al exponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho número.
  10. 10. que se lee : "el logaritmo en base a del número x es b" , o también : "el número b se llama logaritmo del número x respecto de la base a " . Como podemos ver, un logaritmo no es otra cosa que un exponente , hecho que no debemos olvidar cuando trabajemos con logaritmos. La constante a es un número real positivo distinto de 1, y se denomina base del sistema de logaritmos. La potencia ab para cualquier valor real de b solo tiene sentido si a > 0. La función logarítmica (o función logaritmo) es una aplicación biyectiva del conjunto de los números reales positivos, sin el cero, en el conjunto de los números reales : Es la función inversa de la función exponencial. La operación logaritmación (extracción de logaritmos, o tomar logaritmos) es siempre posible en el campo real cuando tanto la base a del logaritmo como el número x son positivos, (siendo, además, a distinto de 1) • Propiedades :
  11. 11. • Logaritmos Decimales : Se llaman logaritmos decimales o vulgares a los logaritmos que tienen por base el número 10. Al ser muy habituales es frecuente no escribir la base. • Logaritmos Neperianos : Se llaman logaritmos neperianos, naturales o hiperbólicos a los logaritmos que tienen por base el número e. • Cambio de Base : • Antilogaritmo : Es el número que corresponde a un logaritmo dado. Consiste en el problema inverso al cálculo del logaritmo de un número. es decir, consiste en elevar la base al número resultado : • Cologaritmo : Se llama cologaritmo de un número N al logaritmo de su recíproco.

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