Carlos Ivorra Castillo  ´           ´ANALISIS MATEMATICO
Si una cantidad no negativa fuera tan peque˜a nque resultara menor que cualquier otra dada, cier-tamente no podr´ ser sino...
´Indice GeneralIntroducci´n          o                                                                                    ...
vi                                                                                 ´                                      ...
´INDICE GENERAL                                                                                                    viiCap´...
Introducci´n          o     En el siglo XVII Newton y Leibniz descubren independientemente el an´lisisamatem´tico o c´lcul...
x                                                                   Introducci´n                                          ...
xisupera con creces a las t´cnicas con las que contaba la geometr´ anal´                         e                        ...
xii                                                                          Introducci´n                                 ...
xiiieste hecho, incurriendo as´ en una laguna l´gica que nosotros cubriremos. As´                            ı            ...
xiv                                                                   Introducci´n                                        ...
xves obvio que un libro cuya finalidad principal sea did´ctica, o bien que quiera                                          ...
Cap´   ıtulo ITopolog´       ıa     La topolog´ puede considerarse como la forma m´s abstracta de la geo-                ı...
2                                                          Cap´                                                           ...
1.1. Espacios topol´gicos                   o                                                           3Ejemplo Un produc...
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1.1. Espacios topol´gicos                   o                                                            5Definici´n 1.6 Un...
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1.1. Espacios topol´gicos                   o                                                            7hemos definido lo...
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1.2. Bases y subbases                                                           9las bolas abiertas de centro un punto x f...
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1.3. Productos y subespacios                                                    11diciendo que un conjunto contiene a los ...
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1.3. Productos y subespacios                                                       13B≤ (x1 )×· · ·×B≤ (xn ), luego la bas...
14                                                         Cap´                                                           ...
1.4. Algunos conceptos topol´gicos                            o                                                         15...
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  1. 1. Carlos Ivorra Castillo ´ ´ANALISIS MATEMATICO
  2. 2. Si una cantidad no negativa fuera tan peque˜a nque resultara menor que cualquier otra dada, cier-tamente no podr´ ser sino cero. A quienes pregun- ıatan qu´ es una cantidad infinitamente peque˜a en e nmatem´ticas, nosotros respondemos que es, de he- acho, cero. As´ pues, no hay tantos misterios ocultos ıen este concepto como se suele creer. Esos supues-tos misterios han convertido el c´lculo de lo infinita- amente peque˜o en algo sospechoso para mucha gente. nLas dudas que puedan quedar las resolveremos porcompleto en las p´ginas siguientes, donde explicare- amos este c´lculo. a Leonhard Euler
  3. 3. ´Indice GeneralIntroducci´n o ixCap´ ıtulo I: Topolog´ıa 1 1.1 Espacios topol´gicos . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Bases y subbases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Productos y subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4 Algunos conceptos topol´gicos . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.5 Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.6 L´ımites de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.7 Convergencia de sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 1.8 Sucesiones y series num´ricas . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48Cap´ ıtulo II: Compacidad, conexi´n y completitud o 59 2.1 Espacios compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.2 Espacios conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.3 Espacios completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 2.4 Espacios de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 2.5 Aplicaciones a las series num´ricas . . . . . . . . e . . . . . . . . . 86 2.6 Espacios de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 2.7 Ap´ndice: El teorema de Baire . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . 96Cap´ ıtulo III: C´lculo diferencial de una variable a 101 3.1 Derivaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . 101 3.2 C´lculo de derivadas . . . . . . . . . . . . . . . a . . . . . . . . . . 104 3.3 Propiedades de las funciones derivables . . . . . . . . . . . . . . . 108 3.4 La diferencial de una funci´n . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . 115 3.5 El teorema de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 3.6 Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 3.7 La funci´n exponencial . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . 127 3.8 Las funciones trigonom´tricas . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . 133 3.9 Primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 3.10 Ap´ndice: La trascendencia de e y π . . . . . . e . . . . . . . . . . 148 v
  4. 4. vi ´ INDICE GENERALCap´ ıtulo IV: C´lculo diferencial de varias variables a 157 4.1 Diferenciaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 o 4.2 Propiedades de las funciones diferenciables . . . . . . . . . . . . . 164 4.3 Curvas parametrizables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175Cap´ ıtulo V: Introducci´n a las variedades diferenciables o 195 5.1 Variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 5.2 Espacios tangentes, diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 5.3 La m´trica de una variedad . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . 210 5.4 Geod´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . 215 5.5 Superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 5.6 La curvatura de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223Cap´ ıtulo VI: Ecuaciones diferenciales ordinarias 231 6.1 La integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 6.2 Ecuaciones diferenciales de primer orden . . . . . . . . . . . . . . 238 6.3 Ecuaciones diferenciales de orden superior . . . . . . . . . . . . . 246Cap´ ıtulo VII: Teor´ de la medida ıa 253 7.1 Medidas positivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 7.2 Funciones medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 7.3 La integral de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 7.4 El teorema de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 7.5 La medida de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278Cap´ ıtulo VIII: Teor´ de la medida II ıa 287 8.1 Producto de medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 8.2 Espacios Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 8.3 Medidas signadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 8.4 Derivaci´n de medidas . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 8.5 El teorema de cambio de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313Cap´ ıtulo IX: Formas diferenciales 321 9.1 Integraci´n en variedades . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . 321 9.2 El ´lgebra exterior . . . . . . . . . . . a . . . . . . . . . . . . . . . 330 9.3 El ´lgebra de Grassmann . . . . . . . a . . . . . . . . . . . . . . . 337 9.4 Algunos conceptos del c´lculo vectorial a . . . . . . . . . . . . . . . 348Cap´ ıtulo X: El teorema de Stokes 359 10.1 Variedades con frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359 10.2 La diferencial exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 10.3 El teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369 10.4 Aplicaciones del teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . 376 10.5 Las f´rmulas de Green . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . 387 10.6 El teorema de Stokes con singularidades . . . . . . . . . . . . . . 390 10.7 Ap´ndice: Algunas f´rmulas vectoriales e o . . . . . . . . . . . . . . 395
  5. 5. ´INDICE GENERAL viiCap´ ıtulo XI: Cohomolog´ de De Rham ıa 399 11.1 Grupos de cohomolog´ . . . . . . . ıa . . . . . . . . . . . . . . . . 399 11.2 Homotop´ . . . . . . . . . . . . . . ıas . . . . . . . . . . . . . . . . 402 11.3 Sucesiones exactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408 11.4 Aplicaciones al c´lculo vectorial . . . a . . . . . . . . . . . . . . . . 415Cap´ ıtulo XII: Funciones Harm´nicas o 419 12.1 El problema de Dirichlet sobre una bola . . . . . . . . . . . . . . 420 12.2 Funciones holomorfas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423 12.3 Funciones subharm´nicas . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . 438 12.4 El problema de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441Cap´ ıtulo XIII: Aplicaciones al electromagnetismo 447 13.1 Electrost´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a . . . . . . . . . 447 13.2 Magnetost´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a . . . . . . . . . 450 13.3 Las ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455 13.4 La ecuaci´n de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . 461 13.5 Soluciones de las ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . 470Bibliograf´ ıa 477´Indice de Materias 478
  6. 6. Introducci´n o En el siglo XVII Newton y Leibniz descubren independientemente el an´lisisamatem´tico o c´lculo infinitesimal, una potent´ a a ısima herramienta que revolucion´ oel tratamiento matem´tico de la f´ a ısica y la geometr´ y que m´s tarde impreg- ıa, anar´ las m´s diversas ramas de la matem´tica, como la estad´ ıa a a ıstica o la teor´ıade n´meros. u Esencialmente, el c´lculo infinitesimal consist´ por una parte en analizar a ıao descomponer la dependencia entre varias magnitudes estudiando el compor-tamiento de unas al variar o diferenciar levemente otras (lo que constitu´ el ıac´lculo diferencial) y por otra parte en integrar los resultados diferenciales para aobtener de nuevo resultados globales sobre las magnitudes en consideraci´n (elollamado c´lculo integral). a Es dif´ que un lector que no tenga ya algunas nociones de c´lculo pueda ıcil aentender cabalmente el p´rrafo anterior, pero las nuevas ideas eran a´n m´s a u adif´ıciles de entender de la pluma de sus descubridores. El primer libro de textoque se public´ con el fin de explicarlas sistem´ticamente fue el “An´lisis” del o a amarqu´s de l’Hˆpital. Veamos algunos pasajes: e o La parte infinitamente peque˜a en que una cantidad variable es au- n mentada o disminuida de manera continua, se llama la diferencial de esta cantidad. Siguiendo la notaci´n leibniziana, L’Hˆpital explica que la letra d se usa para o orepresentar uno de estos incrementos infinitamente peque˜os de una magnitud, nde modo que dx representa un incremento diferencial de la variable x, etc. En ning´n momento se precisa qu´ debemos entender por un aumento infi- u enitamente peque˜o de una cantidad, pero en compensaci´n se presentan varias n oreglas para tratar con diferenciales. Por ejemplo: Post´lese que dos cantidades cuya diferencia es una cantidad infini- u tamente peque˜a pueden intercambiarse una por la otra; o bien (lo n que es lo mismo) que una cantidad que est´ incrementada o dismi- a nuida solamente en una cantidad infinitamente menor, puede consi- derarse que permanece constante. As´ por ejemplo, si analizamos el incremento infinitesimal que experimenta ı,un producto xy cuando incrementamos sus factores, obtenemos d(xy) = (x + dx)(y + dy) − xy = x dy + y dx + dxdy = x dy + y dx, ix
  7. 7. x Introducci´n odonde hemos despreciado el infinit´simo doble dxdy porque es infinitamente emenor que los infinit´simos simples x dy e y dx. e Es f´cil imaginar que estos razonamientos infinitesimales despertaron sospe- achas y pol´micas. Baste citar el t´ e ıtulo del panfleto que en 1734 public´ el obispo ode Berkeley: El analista, o discurso dirigido a un matem´tico infiel, donde se a examina si los objetos, principios e inferencias del an´lisis moderno a est´n formulados de manera m´s clara, o deducidos de manera m´s a a a evidente, que los misterios religiosos y los asuntos de la fe. En esta fecha el c´lculo infinitesimal ten´ ya m´s de medio siglo de historia. a ıa aLa raz´n por la que sobrevivi´ inmune a estas cr´ o o ıticas y a la vaguedad de susfundamentos es que muchos de sus razonamientos infinitesimales terminaban enafirmaciones que no involucraban infinit´simos en absoluto, y que eran confir- emados por la f´ ısica y la geometr´ Por ejemplo, consideremos la circunferencia ıa.formada por los puntos que satisfacen la ecuaci´n o x2 + y 2 = 25. Aplicando la regla del producto que hemos “demostrado” antes al caso en quelos dos factores son iguales obtenemos que dx2 = 2x dx e igualmente ser´ dy 2 = a2y dy. Por otra parte, d25 = 0, pues al incrementar la variable x la constante25 no se ve incrementada en absoluto. Si a esto a˜adimos que la diferencial de nuna suma es la suma de las diferenciales resulta la ecuaci´n diferencial o 2x dx + 2y dy = 0,de donde a su vez dy x =− . dx y Esto significa que si tomamos, por ejemplo, el punto (3, 4) de la circun-ferencia e incrementamos infinitesimalmente su coordenada x, la coordenada ydisminuir´ en 3/4 dx. Notemos que esto es falso para cualquier incremento finito ade la variable x, por peque˜o que sea, pues si valiera para incrementos suficien- ntemente peque˜os resultar´ que la circunferencia contendr´ un segmento de la n ıa ıarecta 3 y − 4 = − (x − 3), 4lo cual no es el caso. Vemos que ´sta se comporta igual que la circunferencia para evariaciones infinitesimales de sus variables alrededor del punto (3, 4), aunquedifiere de ella para cualquier variaci´n finita. La interpretaci´n geom´trica es o o eque se trata de la recta tangente a la circunferencia por el punto (3, 4). El argumento ser´ nebuloso y discutible, pero lo aplastante del caso es que anos proporciona un m´todo sencillo para calcular la tangente a una circunferen- ecia por uno cualquiera de sus puntos. De hecho el m´todo se aplica a cualquier ecurva que pueda expresarse mediante una f´rmula algebraica razonable, lo que o
  8. 8. xisupera con creces a las t´cnicas con las que contaba la geometr´ anal´ e ıa ıtica antesdel c´lculo infinitesimal. a A lo largo del siglo XIX la matem´tica emprendi´ un proceso de funda- a omentaci´n que termin´ con una teor´ formal donde todos los conceptos est´n o o ıa aperfectamente definidos a partir de unos conceptos b´sicos, los cuales a su vez aest´n completamente gobernados por unos axiomas precisos. Las ambig¨edades a udel c´lculo infinitesimal fueron el motor principal de este proceso. En los a˜os a nsesenta del siglo XX se descubri´ que una delicada teor´ l´gica, conocida como o ıa oan´lisis no est´ndar permite definir rigurosamente cantidades infinitesimales a acon las que fundamentar el c´lculo a la manera de Leibniz y L’Hˆpital, pero no a oes ´se el camino habitual ni el que nosotros vamos a seguir. Lo normal es erra- edicar los infinit´simos de la teor´ pero no as´ el formalismo infinitesimal. En e ıa, ıocasiones los s´ımbolos dy, dx aparecen en ciertas definiciones “en bloque”, sinque se les pueda atribuir un significado independiente, como cuando se definela derivada de una funci´n y = y(x) mediante o dy y(x + ∆x) − y(x) = l´ ım . dx ∆x→0 ∆x De este modo, el cociente de diferenciales tiene el mismo significado quepara Leibniz, en el sentido de que al calcularlo obtenemos el mismo n´mero o ula misma funci´n que ´l obten´ pero con la diferencia de que ya no se trata de o e ıa,un cociente de diferenciales, no es un cociente de nada. La definici´n anterior onos permite hablar de dy/dx, pero no de dy o de dx. No obstante se puede ir m´s lejos y dar una definici´n adecuada de dx y dy a ode modo que se pueda probar la equivalencia dy = f (x) ⇐⇒ dy = f (x) dx. dx Es algo parecido al paso de una relaci´n algebraica como xy 2 = x + 4y 3 , odonde x e y son, digamos, n´meros reales indeterminados, a la misma expresi´n u oentendida como una igualdad de polinomios, donde ahora x e y son indetermina-das en un sentido matem´tico muy preciso. Por ejemplo, seg´n una definici´n a u ohabitual del anillo de polinomios R[x, y], la indeterminada x es la aplicaci´node los pares de n´meros naturales en R dada por x(1, 0) = 1 y x(i, j) = 0 upara cualquier otro par, es decir, algo que en nada recuerda a “un n´mero real uindeterminado”. Al introducir las formas diferenciales muchos libros modernos insisten enrecalcar que los objetos como dx son “puramente formales” —como las indeter-minadas en un anillo de polinomios—, que no tienen un singificado intr´ ınseco,sino que simplemente son objetos dise˜ados para que se comporten seg´n ciertas n ureglas que se adaptan a las propiedades de las derivadas e integrales. Lleganincluso a perdir disculpas por lo excesivamente vac´ y abstracta que resulta la ıateor´ en torno a ellos. Explican que, pese a ello, merece la pena el esfuerzo de ıafamiliarizarse con ella porque al final se ve su gran (y sorprendente) utilidad. En este libro insistiremos en todo momento en que las diferenciales tienenun significado intr´ınseco muy concreto e intuitivo, y trataremos de evidenciarlo
  9. 9. xii Introducci´n odesde el primer momento, de modo que —sin desmerecer la profundidad de lateor´ıa— su utilidad y buen comportamiento no resulta sorprendente en absoluto.Su interpretaci´n no ser´, naturalmente la de incrementos infinitesimales, sino o ala de aproximaciones lineales, aceptables —al menos— en los alrededores de lospuntos. Esta interpretaci´n los mantiene en todo momento muy cerca de los ohipot´ticos infinit´simos en los que est´n inspirados. e e a Muchos libros de f´ ısica contin´an trabajando con razonamientos infinitesi- umales al estilo antiguo, los cuales les permiten llegar r´pidamente y con fluidez aa resultados importantes a cambio de sacrificar el rigor l´gico. Aqu´ adopta- o ıremos una posici´n intermedia entre los dos extremos: seremos rigurosos, pero ono formalistas, daremos pruebas sin saltos l´gicos, pero llegaremos a resultados oenunciados de tal modo que resulten “transparentes” en la pr´ctica, emulando aas´ la fluidez de los razonamientos infinitesimales. ı Hay un caso en que los razonamientos infinitesimales est´n plenamente jus- atificados, y es cuando se trata de motivar una definici´n. Por ejemplo, a partir ode la ley de gravitaci´n de Newton para dos masas puntuales puede “deducirse” oque el campo gravitatorio generado por una distribuci´n continua de masa con- otenida en un volumen V con densidad ρ viene dado por Z ρ(y) E(x) = −G (x − y) dy. V kx − yk3 La deducci´n no puede considerarse una demostraci´n matem´tica, pues o o ala f´rmula anterior tiene el status l´gico de una definici´n, luego es un sin- o o osentido tratar de demostrarla. En todo caso se podr´ complicar la definici´n ıa osustituy´ndola por otra que mostrara claramente su conexi´n con las masas e opuntuales y despu´s probar que tal definici´n es equivalente a la anterior. La e oprueba se basar´ en la posibilidad de aproximar integrales por sumas finitas ıay con toda seguridad ser´ bastante prolija. Esta opci´n ser´ absurda tanto ıa o ıadesde el punto de vista formal (¿para qu´ sustituir una definici´n sencilla por e ootra complicada?) como desde el punto de vista f´ ısico (¿para qu´ entrar en edisquisiciones ≤–δ que acabar´n donde todos sabemos que tienen que acabar?). aEn cambio, un argumento en t´rminos de infinit´simos convence a cualquiera e ede que esta definici´n es justamente la que tiene que ser.1 o Del mismo modo podemos convencernos de que el potencial gravitatoriodeterminado por una distribuci´n de masa ρ debe ser o Z ρ(y) V (x) = −G dy. V kx − yk Ahora bien, de aceptar ambos hechos tendr´ıamos como consecuencia la re-laci´n E = −∇V , pues el potencial de un campo de fuerzas es por definici´n o ola funci´n que cumple esto. Sin embargo esto ya no es una definici´n, sino una o oafirmaci´n sobre dos funciones que podr´ ser falsa en principio y que, por con- o ıasiguiente, requiere una demostraci´n. Muchos libros de f´ o ısica dan por sentado 1A cualquiera menos a un formalista puro, quien no le encontrar´ sentido, pero es que, acomo alguien dijo, “un formalista es alguien incapaz de entender algo a menos que carezca designificado.”
  10. 10. xiiieste hecho, incurriendo as´ en una laguna l´gica que nosotros cubriremos. As´ ı o ıpues, cuando el lector encuentre en las p´ginas que siguen un razonamiento en at´rminos de diferenciales deber´ observar que o bien desemboca en una defi- e anici´n o bien est´ completamente avalado por teoremas previos que justifican o alas manipulaciones de diferenciales. Este libro ha sido escrito siguiendo cuatro gu´ principales: ıas • Presentar los resultados m´s importantes del an´lisis matem´tico real. a a a Concretamente abordamos el c´lculo diferencial e integral de una y va- a rias variables reales, las ecuaciones diferenciales ordinarias y, aunque no hay ning´n cap´ u ıtulo dedicado espec´ıficamente a ellas, estudiamos varias ecuaciones en derivadas parciales: la ecuaci´n de Lagrange, la de Poisson, o la ecuaci´n de ondas y las ecuaciones de Maxwell. Tambi´n planteamos o e la ecuaci´n del calor, si bien no entramos en su estudio. Aunque, como o ya hemos dicho, nos centramos en el an´lisis real, estudiamos las series a de potencias complejas, introduciendo en particular la exponencial y las funciones trigonom´tricas complejas, y a partir de la teor´ de funciones e ıa harm´nicas y el teorema de Stokes demostramos algunos de los resultados o fundamentales sobre las funciones holomorfas (esencialmente el teorema de los residuos). • Justificar todas las definiciones, sin caer en la falacia formalista de que la l´gica nos da derecho a definir lo que queramos como queramos sin o tener que dar explicaciones. Pensemos, por ejemplo, en la definici´n de o a ´rea de una superficie. Muchos libros se limitan a definirla mediante una f´rmula en t´rminos de expresiones coordenadas, sin m´s justificaci´n que o e a o la demostraci´n de su consistencia (de que no depende del sistema de o coordenadas elegido). Otros aceptan como “motivaci´n” el teorema de o cambio de variables, considerando que es natural tomar como definici´n o de cambio de variables entre un abierto de Rn y un abierto en una variedad lo que entre dos abiertos de Rn es un teorema nada trivial. No podemos resumir nuestro enfoque en pocas l´ ıneas, pero invitamos al lector a que preste atenci´n a la justificaci´n de ´ste y muchos otros conceptos. o o e • Mostrar la fundamentaci´n del c´lculo infinitesimal cl´sico, en lugar de o a a sustituirlo por otro c´lculo moderno mucho m´s r´ a a ıgido y abstracto. Por ejemplo, a la hora de desarrollar una teor´ de integraci´n potente es ıa o imprescindible introducir la teor´ de la medida abstracta y sus resultados ıa m´s importantes. A ello dedicamos los cap´ a ıtulos VII y VIII, pero tras ello, en el cap´ ıtulo siguiente, envolvemos toda esta teor´ abstracta en ıa otra mucho m´s el´stica y natural, la teor´ de formas diferenciales, que a a ıa requiere a la anterior como fundamento, pero que termina por ocultarla, de modo que a partir de cierto punto es muy rara la ocasi´n en que se o hace necesario trabajar expl´ıcitamente con las medidas y sus propiedades. • Mostrar la aplicaci´n y la utilidad de los resultados te´ricos que presen- o o tamos. Las primeras aplicaciones tienen que ver con la geometr´ pero ıa, paulatinamente van siendo desplazadas por aplicaciones a la f´ ısica. En
  11. 11. xiv Introducci´n o la medida de lo posible hemos evitado presentar las aplicaciones como animales enjaulados en un zool´gico, es decir, desvinculadas de sus con- o textos naturales, de manera que den m´s la impresi´n de an´cdotas que a o e de verdaderos ´xitos del c´lculo infinitesimal. En el caso de la f´ e a ısica va- mos introduciendo los conceptos fundamentales (velocidad, aceleraci´n, o fuerza, energ´ etc.) seg´n van siendo necesarios, de modo que de estas ıa, u p´ginas podr´ extraerse una sucinta introducci´n a la f´ a ıa o ısica. En lo to- cante a la geometr´ por los motivos explicados en el segundo punto nos ıa, hemos restringido a trabajar con subvariedades de Rn , es decir, hemos evi- tado la definici´n abstracta de variedad para tener as´ una interpretaci´n o ı o natural de los espacios tangentes y su relaci´n con la variedad. En algu- o nos ejemplos concretos necesitamos que el lector est´ familiarizado con la e geometr´ proyectiva, la teor´ de las secciones c´nicas y otros puntos de ıa ıa o la geometr´ pre-diferencial. Los hemos marcado con un asterisco. Nin- ıa guno de estos ejemplos es necesario para seguir el resto del libro. Uno de ellos, el del plano proyectivo, lo usamos de forma no rigurosa para ilustrar la necesidad de una definici´n m´s general de variedad, mostrando que o a muchos de los conceptos que definimos para una subvariedad de R3 son aplicables formalmente al caso del plano proyectivo, si bien la teor´ de ıa que disponemos no nos permite justificar esta aplicaci´n. o De los puntos anteriores no debe leerse entre l´ ıneas una cierta aversi´n hacia oel an´lisis abstracto. Al contrario, creemos que este libro puede ser continuado ade forma natural en muchas direcciones: la teor´ espectral, la teor´ de distri- ıa ıabuciones, el an´lisis de Fourier, el c´lculo variacional, la teor´ de funciones de a a ıavariable compleja, la geometr´ diferencial y la topolog´ general. ıa ıa Por citar algunos ejemplos, nosotros probamos que el problema de Dirichlettiene soluci´n en una familia muy amplia de abiertos para unas condiciones de ofrontera dadas, pero la resoluci´n expl´ o ıcita en casos concretos requiere de latransformada de Fourier, que en general se aplica a muchas otras ecuacionesen derivadas parciales. Por otra parte, la transformada de Fourier permite des-componer una onda en su espectro continuo de frecuencias. Cuando se estudiala soluci´n de la ecuaci´n de ondas en abiertos distintos de todo R3 aparecen o olas ondas estacionarias, que llevan al an´lisis espectral y, en casos particulares, aa la teor´ de series de Fourier o de las funciones de Bessel entre otras. Los ıaproblemas de gravitaci´n o electromagnetismo que involucran masas y cargas opuntuales o corrientes el´ctricas unidimensionales pueden unificarse con los pro- eblemas que suponen distribuciones continuas de masas, cargas y corrientes atrav´s de la teor´ de distribuciones. e ıa Tampoco nos gustar´ que las comparaciones que hemos hecho con otros ıalibros se interpreten a modo de cr´ıtica. Tan s´lo queremos hacer hincapi´ en que o enuestros objetivos son distintos a los de muchos otros libros. Somos conscientesde que nuestro prop´sito de justificar las definiciones m´s all´ de una motivaci´n o a a om´s o menos dudosa nos ha llevado a seguir caminos mucho m´s profundos y a alaboriosos que los habituales, por lo que, a pesar de su car´cter autocontenido aen lo tocante a topolog´ y an´lisis, es muy dif´ que este libro sea de utilidad ıa a ıcila un lector que no cuente ya con una cierta familiaridad con la materia. Por ello
  12. 12. xves obvio que un libro cuya finalidad principal sea did´ctica, o bien que quiera aprofundizar m´s que nosotros en f´ a ısica o geometr´ diferencial, deber´ pasar por ıa aalto muchas sutilezas en las que nosotros nos hemos detenido. Comentamos, para terminar, que al lector se le supone unicamente unos cier- ´tos conocimientos de ´lgebra, especialmente de ´lgebra lineal, y algunas nociones a aelementales de geometr´ (salvo para los ejemplos marcados con un asterisco). ıaEspor´dicamente ser´n necesarios conocimientos m´s profundos, como para la a a aprueba de la trascendencia de e y π, sobre todo en la de π, o al estudiar elconcepto de orientaci´n, donde para interpretar el signo del determinante de ouna biyecci´n af´ usamos que el grupo especial lineal de Rn est´ generado por o ın alas transvecciones. Ninguno de estos hechos se necesita despu´s.e
  13. 13. Cap´ ıtulo ITopolog´ ıa La topolog´ puede considerarse como la forma m´s abstracta de la geo- ıa ametr´ ıa. El concepto principal que puede definirse a partir de la estructuratopol´gica es el de aplicaci´n continua, que viene a ser una transformaci´n rea- o o olizada sin cortes o saltos bruscos o, dicho de otro modo, que transforma puntospr´ximos en puntos pr´ximos. Los resultados topol´gicos son aplicables tanto a o o ola geometr´ propiamente dicha como a la descripci´n de otros muchos objetos ıa om´s cercanos a la teor´ de conjuntos general, si bien aqu´ nos centraremos en a ıa ıla vertiente geom´trica. Al combinarla con el ´lgebra obtendremos el c´lculo e a adiferencial, que constituye la herramienta m´s potente para el estudio de la ageometr´ ıa.1.1 Espacios topol´gicos o Seg´n acabamos de comentar, una aplicaci´n continua es una aplicaci´n que u o otransforma puntos pr´ximos en puntos pr´ximos. Nuestro objetivo ahora es o odefinir una estructura matem´tica en la que esta afirmaci´n pueda convertirse a oen una definici´n rigurosa. En primer lugar conviene reformularla as´ una apli- o ı:caci´n continua es una aplicaci´n que transforma los puntos de alrededor de un o opunto dado en puntos de alrededor de su imagen. En efecto, si cortamos una cir-cunferencia por un punto P para convertirla en un segmento, la transformaci´nono es continua, pues los puntos de alrededor de P se transforman unos en lospuntos de un extremo del segmento y otros en los puntos del otro extremo, luegono quedan todos alrededor del mismo punto. En cambio, podemos transformarcontinuamente (aunque no biyectivamente) una circunferencia en un segmentosin m´s que aplastarla. a 1
  14. 14. 2 Cap´ ıtulo 1. Topolog´ ıa Una forma de dar rigor al concepto de “puntos de alrededor” de un puntodado es a trav´s de una distancia. Veremos que no es lo suficientemente general, epero s´ muy representativa. La formalizaci´n algebraica de la geometr´ eucl´ ı o ıa ıdease lleva a cabo a trav´s de Rn . Su estructura vectorial permite definir los puntos, erectas, planos, etc. y a ´sta hay que a˜adirle la estructura m´trica derivada del e n eproducto escalar: Xn xy = xi yi . i=1 A partir de ´l se definen los dos conceptos fundamentales de la geometr´ e ıam´trica: la longitud de un vector y el ´ngulo entre dos vectores. En efecto, la e alongitud de un vector es la norma v u n √ uX kxk = xx = t x2 , i i=1y el ´ngulo α que forman dos vectores no nulos x, y viene dado por a xy cos α = . kxk kyk Estas estructuras son demasiado particulares y restrictivas desde el puntode vista topol´gico. La medida de ´ngulos es un sinsentido en topolog´ y la de o a ıa,longitudes tiene un inter´s secundario, pues no importan las medidas concretas esino tan s´lo la noci´n de proximidad. En primer lugar generalizaremos el o oconcepto de producto escalar para admitir como tal a cualquier aplicaci´n que ocumpla unas m´ ınimas propiedades:Definici´n 1.1 Usaremos la letra K para referirnos indistintamente al cuerpo oR de los n´meros reales o al cuerpo C de los n´meros complejos. Si α ∈ K, u ula notaci´n α representar´ al conjugado de α si K = C o simplemente α = α o ¯ a ¯si K = R. Si H es un K-espacio vectorial, un producto escalar en H es unaaplicaci´n · : H × H −→ K que cumple las propiedades siguientes: o a) x · y = y · x, b) (x + y) · z = x · z + y · z, c) (αx) · y = α(x · y), d) x · x ≥ 0 y x · x = 0 si y s´lo si x = 0, o para todo x, y, z ∈ H y todo α ∈ K. Notar que a) y b) implican tambi´n la propiedad distributiva por la derecha: ex · (y + z) = x · y + x · z. Un espacio prehilbertiano es un par (H, ·), donde H es un K-espacio vectorialy · es un producto escalar en H. En la pr´ctica escribiremos simplemente H en alugar de (H, ·). Si H es un espacio prehilbertiano, definimos su norma asociada como la √aplicaci´n k k : H −→ R dada por kxk = x · x. o
  15. 15. 1.1. Espacios topol´gicos o 3Ejemplo Un producto escalar en el espacio Kn viene dado por x · y = x1 y1 + · · · + xn yn . ¯ ¯ p De este modo, kxk = |x1 |2 + · · · + |xn |2 .Teorema 1.2 Sea H un espacio prehilbertiano y sean x, y ∈ H. Entonces a) (desigualdad de Schwarz) |x · y| ≤ kxk kyk. b) (desigualdad triangular) kx + yk ≤ kxk + kyk. Demostracion: a) Sean A = kxk2 , B = |x · y| y C = kyk2 . Existe un ´n´mero complejo α tal que |α| = 1 y α(y · x) = B. Para todo n´mero real r se u ucumple 0 ≤ (x − rαy) · (x − rαy) = x · x − rα(y · x) − rα(x · y) + r2 y · y. ¯ ¯ Notar que α(x · y) = B = B, luego A − 2Br + Cr2 ≥ 0. Si C = 0 ha de ¯ser B = 0, o de lo contrario la desigualdad ser´ falsa para r grande. Si C > 0 ıatomamos r = B/C y obtenemos B 2 ≤ AC. b) Por el apartado anterior: kx + yk2 = (x + y) · (x + y) = x · x + x · y + y · x + y · y ≤ kxk2 + 2kxk kyk + kyk2 = (kxk + kyk)2 .Notar que x · y + y · x es un n´mero real, luego u x · y + y · x ≤ |x · y + y · x| ≤ |x · y| + |y · x|. La norma permite definir una distancia entre puntos con la que formalizarel concepto de proximidad que nos interesa, pero para ello no es necesario quela norma provenga de un producto escalar. Conviene aislar las propiedades dela norma que realmente nos hacen falta para admitir como tales a otras muchasaplicaciones:Definici´n 1.3 Si E es un espacio vectorial sobre K, una norma en E es una oaplicaci´n k k : E −→ [0, +∞[ que cumpla las propiedades siguientes: o a) kvk = 0 si y s´lo si v = 0. o b) kv + wk ≤ kvk + kwk. c) kα vk = |α| kvk,para v, w ∈ E y todo α ∈ K.
  16. 16. 4 Cap´ ıtulo 1. Topolog´ ıa Un espacio normado es un par (E, k k) en estas condiciones. En la pr´ctica aescribiremos E, sin indicar expl´ ıcitamente la norma. Es inmediato comprobar que la norma de un espacio prehilbertiano es unanorma en el sentido general de la definici´n anterior. En particular Kn es un oespacio normado con la norma del ejemplo anterior, que recibe el nombre denorma eucl´ıdea. El teorema siguiente nos da otras dos normas alternativas. Laprueba es elemental.Teorema 1.4 Kn es un espacio normado con cualquiera de estas normas: v n u n X uX © Ø ™ kxk1 = |xi |, kxk2 = t |xi |2 , kxk∞ = m´x |xi | Ø i = 1, . . . , n . a i=1 i=1 Notar que para n = 1 las tres normas coinciden con el valor absoluto. Elhecho de que estas tres aplicaciones sean normas permite obtener un resultadom´s general: aTeorema 1.5 Sean E1 , . . . , En espacios normados. Entonces las aplicacionessiguientes son normas en E = E1 × · · · × En . v n u n X uX © Ø ™ kxk1 = kxi k, kxk2 = t kxi k2 , kxk∞ = m´x kxi k Ø i = 1, . . . , n . a i=1 i=1Adem´s se cumplen las relaciones: kxk∞ ≤ kxk2 ≤ kxk1 ≤ nkxk∞ . a ´ Demostracion: Tenemos kxki = k(kx1 k, . . . , kxn k)ki para i = 1, 2, ∞.Usando el teorema anterior se ve inmediatamente que son normas. v v u n uX p uX u n X kxk∞ = kxk2 ≤ t∞ kxi k2 = kxk2 ≤ t kxi k2 + 2 kxi k kxj k i=1 i=1 i<j v√ !2 u n u X n X = t kxi k = kxk1 ≤ kxk∞ = nkxk∞ . i=1 i=1 Notemos tambi´n que las normas del teorema 1.4 coinciden con las construi- edas mediante este ultimo teorema a partir del valor absoluto en K. ´ Ø ØEjercicio: Probar que en un espacio normado se cumple Økxk − kykØ ≤ kx − yk. Como ya hemos comentado, desde un punto de vista topol´gico el unico o ´inter´s de las normas es que permiten definir la distancia entre dos puntos como ed(x, y) = kx − yk. Sin embargo, a efectos topol´gicos no es necesario que una odistancia est´ definida de este modo. e
  17. 17. 1.1. Espacios topol´gicos o 5Definici´n 1.6 Una distancia o m´trica en un conjunto M es una aplicaci´n o e od : M × M −→ [0, +∞[ que cumpla las propiedades siguientes a) d(x, y) = 0 si y s´lo si x = y, o b) d(x, y) = d(y, x), c) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z),para todos los x, y, z ∈ M . Un espacio m´trico es un par (M, d) donde M es un conjunto y d una dis- etancia en M . Como en el caso de espacios normados escribiremos M en lugarde (M, d). Todo espacio normado E es un espacio m´trico con la distancia definida epor d(x, y) = kx − yk. Las propiedades de la definici´n de norma implican oinmediatamente las de la definici´n de distancia. En particular en Kn tenemos odefinidas tres distancias: v n u n X uX d1 (x, y) = |xi − yi |, d2 (x, y) = t (xi − yi )2 , i=1 i=1 © Ø ™ d∞ (x, y) = m´x |xi − yi | Ø 1 ≤ i ≤ n . a M´s en general, estas f´rmulas permiten definir distancias en cualquier pro- a oducto finito de espacios m´tricos. La prueba del teorema siguiente es muy esencilla a partir de los teoremas 1.4 y 1.5.Teorema 1.7 Sean M1 , . . . , Mn espacios m´tricos. Sea M = M1 × · · · × Mn . eEntonces las aplicaciones d1 , d2 , d∞ : M × M −→ [0, +∞[ definidas como sigueson distancias en M : n X d1 (x, y) = d(xi , yi ), i=1 v u n uX d2 (x, y) = t d(xi , yi )2 , i=1 d∞ (x, y) = m´x{d(xi , yi ) | 1 ≤ i ≤ n}. aAdem´s se cumplen las relaciones d∞ (x, y) ≤ d2 (x, y) ≤ d1 (x, y) ≤ n d∞ (x, y). aDefinici´n 1.8 Sea M un espacio m´trico, x ∈ M y ≤ > 0 (en estos casos o esobreentenderemos ≤ ∈ R). Definimos B≤ (x) = {y ∈ M | d(x, y) < ≤} (Bola abierta de centro x y radio ≤). 0 B≤ (x) = {y ∈ M | d(x, y) ≤ ≤} (Bola cerrada de centro x y radio ≤).
  18. 18. 6 Cap´ ıtulo 1. Topolog´ ıa La figura muestra las bolas de centro (0, 0) y radio 1 para las tres m´tricas eque hemos definido en R2 . d2 d1 d∞ Las bolas con otros centros son trasladadas de ´stas, y las bolas de otros eradios son homot´ticas. Las bolas abiertas se diferencian de las cerradas en que elas primeras no contienen los puntos del borde. El inter´s de las bolas reside een que una bola de centro un punto P contiene todos los puntos de alrededorde P , por peque˜o que sea su radio. Observar que el concepto de “puntos de nalrededor” es un tanto escurridizo: Seg´n lo que acabamos de decir, ning´n u upunto en particular (distinto de P ) est´ alrededor de P , pues siempre podemos atomar una bola suficientemente peque˜a como para que deje fuera a dicho punto. nEsto significa que no podemos dar sentido a la afirmaci´n “Q es un punto de oalrededor de P ”, pero lo importante es que s´ tiene sentido decir “El conjunto A ıcontiene a todos los puntos de alrededor de P ”. Esto sucede cuando A contieneuna bola cualquiera de centro P , y entonces diremos que A es un entorno de P .Aunque el concepto de entorno podr´ tomarse como concepto topol´gico b´sico, ıa o alo cierto es que es m´s c´modo partir de un concepto “m´s regular”: diremos a o aque un conjunto es abierto si es un entorno de todos sus puntos. Los conjuntosabiertos tienen las propiedades que recoge la definici´n siguiente: oDefinici´n 1.9 Una topolog´ en un conjunto X es una familia T de subconjun- o ıatos de X a cuyos elementos llamaremos abiertos, tal que cumpla las propiedadessiguientes: a) ∅ y X son abiertos. b) La uni´n de cualquier familia de abiertos es un abierto. o c) La intersecci´n de dos abiertos es un abierto. oUn espacio topol´gico es un par (X, T), donde X es un conjunto y T es una otopolog´ en X. En la pr´ctica escribiremos simplemente X en lugar de (X, T). ıa a Sea M un espacio m´trico. Diremos que un conjunto G ⊂ M es abierto si epara todo x ∈ G existe un ≤ > 0 tal que B≤ (x) ⊂ G. Es inmediato comprobarque los conjuntos abiertos as´ definidos forman una topolog´ en M , a la que ı ıallamaremos topolog´ inducida por la m´trica. En lo sucesivo consideraremos ıa esiempre a los espacios m´tricos como espacios topol´gicos con esta topolog´ e o ıa. En el p´rrafo previo a la definici´n de topolog´ hemos definido “abierto” a o ıacomo un conjunto que es entorno de todos sus puntos. Puesto que formalmente
  19. 19. 1.1. Espacios topol´gicos o 7hemos definido los espacios topol´gicos a partir del concepto de abierto, ahora ohemos de definir el concepto de entorno. Si X es un espacio topol´gico, U ⊂ X y x ∈ U , diremos que U es un entorno ode x si existe un abierto G tal que x ∈ G ⊂ U . Es inmediato comprobar que en un espacio m´trico U es entorno de x si y es´lo si existe un ≤ > 0 tal que B≤ (x) ⊂ U , es decir, si y s´lo si U contiene a o otodos los puntos de alrededor de x, tal y como hab´ ıamos afirmado.Ejemplo El intervalo I = [0, 1], visto como subconjunto de R, es entorno detodos sus puntos excepto de sus extremos 0 y 1, pues si 0 < x < 1 siemprepodemos tomar ≤ = m´ ın{x, 1 − x} y entonces B≤ (x) = ]x − ≤, x + ≤[ ⊂ I. Encambio, I no contiene todos los puntos de alrededor de 1, pues toda bola decentro 1 contiene puntos a la derecha de 1 y ninguno de ellos est´ en I. El caso adel 0 es similar. En particular I no es abierto. El teorema siguiente recoge las propiedades b´sicas de los entornos. La aprueba es inmediata.Teorema 1.10 Sea X un espacio topol´gico, x ∈ X y Ex la familia de todos olos entornos de x.a) Un conjunto G ⊂ X es abierto si y s´lo si es un entorno de todos sus puntos. ob1) X ∈ Ex .b2) Si U ∈ Ex y U ⊂ V ⊂ X entonces V ∈ Ex .b3) Si U , V ∈ Ex entonces U ∩ V ∈ Ex . Puesto que los abiertos pueden definirse a partir de los entornos, es obvio quesi dos topolog´ sobre un mismo conjunto tienen los mismos entornos entonces ıasson iguales. Las desigualdades del teorema 1.7 implican que una bola parauna de las tres distancias definidas en el producto M contiene otra bola delmismo centro para cualquiera de las otras distancias. De aqu´ se sigue que ıun subconjunto de M es entorno de un punto para una distancia si y s´lo osi lo es para las dem´s, y de aqu´ a su vez que las tres distancias definen la a ımisma topolog´ en el producto. En particular, las tres distancias que tenemos ıadefinidas sobre Kn definen la misma topolog´ a la que llamaremos topolog´ ıa, ıausual o topolog´ eucl´ ıa ıdea en Kn . ´ Esta es una primera muestra del car´cter auxiliar de las distancias en topo- alog´ Cuando queramos probar un resultado puramente topol´gico sobre Rn ıa. opodremos apoyarnos en la distancia que resulte m´s conveniente, sin que ello su- aponga una p´rdida de generalidad. La distancia d2 es la distancia eucl´ e ıdea y porlo tanto la m´s natural desde un punto de vista geom´trico, pero las distancias a ed1 y d∞ son formalmente m´s sencillas y a menudo resultan m´s adecuadas. a a
  20. 20. 8 Cap´ ıtulo 1. Topolog´ ıaEjemplo Es f´cil definir una distancia en Kn que induzca una topolog´ dis- a ıatinta de la usual. De hecho, si X es un conjunto cualquiera podemos considerarla distancia d : X × X −→ R dada por Ω 1 si x 6= y, d(x, y) = 0 si x = yEs f´cil ver que efectivamente es una distancia y para todo punto x se cumple aque B1 (x) = {x}, luego {x} es un entorno de x, luego es un abierto y, comotoda uni´n de abiertos es abierta, de hecho todo subconjunto de X es abierto. oLa m´trica d recibe el nombre de m´trica discreta y la topolog´ que induce es e e ıala topolog´ discreta. Un espacio topol´gico cuya topolog´ sea la discreta es un ıa o ıaespacio discreto. En un espacio discreto un punto no tiene m´s punto a su alrededor que ´l a emismo. Esta topolog´ es la m´s adecuada para conjuntos como N o Z, pues, ıa aefectivamente, un n´mero entero no tiene alrededor a ning´n otro. u u Las bolas abiertas de un espacio m´trico son abiertas. Esto es f´cil de ver e aintuitivamente, pero el mero hecho de que las hayamos llamado as´ no justifica ıque lo sean:Teorema 1.11 Las bolas abiertas de un espacio m´trico son conjuntos abiertos. e ´ Demostracion: Sea B≤ (x) una bola abierta y sea y ∈ B≤ (x). Entoncesd(x, y) < ≤. Sea 0 < δ < ≤ − d(x, y). Basta probar que Bδ (y) ⊂ B≤ (x). Ahorabien, si z ∈ Bδ (y), entonces d(z, x) ≤ d(z, y) + d(y, x) < δ + d(x, y) < ≤, luegoen efecto z ∈ B≤ (x).1.2 Bases y subbases Hemos visto que la topolog´ en un espacio m´trico se define a partir de las ıa ebolas abiertas. El concepto de “bola abierta” no tiene sentido en un espaciotopol´gico arbitrario en el que no tengamos dada una distancia, sin embargo ohay otras familias de conjuntos que pueden representar un papel similar.Definici´n 1.12 Sea X un espacio topol´gico. Diremos que una familia B de o oabiertos de X (a los que llamaremos abiertos b´sicos) es una base de X si para atodo abierto G de X y todo punto x ∈ G existe un abierto B ∈ B tal quex ∈ B ⊂ G. Si x ∈ X diremos que una familia E de entornos (abiertos) de x (a los quellamaremos entornos b´sicos de x) es una base de entornos (abiertos) de x si atodo entorno de x contiene un elemento de E. En estos t´rminos la propia definici´n de los abiertos m´tricos (junto con el e o ehecho de que las bolas abiertas son realmente conjuntos abiertos) prueba quelas bolas abiertas son una base de la topolog´ m´trica, y tambi´n es claro que ıa e e
  21. 21. 1.2. Bases y subbases 9las bolas abiertas de centro un punto x forman una base de entornos abiertosde x. Pero estos conceptos son mucho m´s generales. Pensemos por ejemplo que aotras bases de un espacio m´trico son las bolas abiertas de radio menor que 1, las ebolas abiertas de radio racional, etc. Cualquier base determina completamentela topolog´ y en cada ocasi´n puede convenir trabajar con una base distinta. ıa oTeorema 1.13 Sea X un espacio topol´gico. o a) Una familia de abiertos B es una base de X si y s´lo si todo abierto de X o es uni´n de abiertos de B. o b) Si B es una base de X y x ∈ X entonces Bx = {B ∈ B | x ∈ B} es una base de entornos abiertos de X. c) Si para cada punto xS X el conjunto Ex es una base de entornos abiertos ∈ de x entonces B = Ex es una base de X. x∈X ´ Demostracion: a) Si B es una base de X y G es un abierto es claro queG es la uni´n de todos los abiertos de B contenidos en G, pues una inclusi´n es o oobvia y si x ∈ G existe un B ∈ B tal que x ∈ B ⊂ G, luego x est´ en la uni´n a oconsiderada. El rec´ ıproco es obvio. b) Los elementos de Bx son obviamente entornos de x y si U es un entornode x entonces existe un abierto G tal que x ∈ G ⊂U, y a su vez existe B ∈ Btal que x ∈ B ⊂ G, luego B ∈ Bx y B ⊂ U . Esto prueba que Bx es una basede entornos abiertos de x. c) Si G es un abierto de X y x ∈ G, entonces G es un entorno de x, luegoexiste un entorno b´sico B ∈ Ex tal que x ∈ B ⊂ G y ciertamente B ∈ B. Como aadem´s los elementos de B son abiertos, tenemos que B es una base de X. a Una forma habitual de definir una topolog´ en un conjunto es especificar una ıabase o una base de entornos abiertos de cada punto. Por ejemplo, la topolog´ ıam´trica puede definirse como la topolog´ que tiene por base a las bolas abiertas e ıao como base de entornos de cada punto x a las bolas abiertas de centro x. Noobstante, para que una familia de conjuntos pueda ser base de una topolog´ ıaha de cumplir unas propiedades muy simples que es necesario comprobar. Elteorema siguiente da cuenta de ellas.Teorema 1.14 Sea X un conjunto y B una familia de subconjuntos de X quecumpla las propiedades siguientes: S a) X = B, B∈B b) Si U , V ∈ B y x ∈ U ∩ V entonces existe W ∈ B tal que x ∈ W ⊂ U ∩ V .Entonces existe una unica topolog´ en X para la cual B es una base. ´ ıa ´ Demostracion: Definimos los abiertos de X como las uniones de elementosde B. Basta comprobar que estos abiertos forman realmente una topolog´ pues ıa,ciertamente en tal caso B ser´ una base y la topolog´ ser´ unica. a ıa a´
  22. 22. 10 Cap´ ıtulo 1. Topolog´ ıa El conjunto vac´ es abierto trivialmente (o si se prefiere, por definici´n). El ıo oconjunto X es abierto por la propiedad a). La uni´n de abiertos es obviamente abierta (una uni´n de uniones de ele- o omentos de B es al fin y al cabo una uni´n de elementos de B). o Sean G1 y G2 abiertos y supongamos que x ∈ G1 ∩G2 . Como G1 es uni´n de oelementos de B existe un U ∈ B tal que x ∈ U ⊂ G1 . Similarmente x ∈ V ⊂ G2con V ∈ B. Por la propiedad b) existe W ∈ B tal que x ∈ W ⊂ U ∩V ⊂ G1 ∩G2 .As´ pues, x est´ en la uni´n de los conjuntos W ∈ B tales que W ⊂ G1 ∩ G2 , y ı a ola otra inclusi´n es obvia, luego G1 ∩ G2 es uni´n de elementos de B. o o El teorema siguiente nos da las condiciones que hemos de comprobar paradefinir una topolog´ a partir de una familia de bases de entornos abiertos. ıaTeorema 1.15 Sea X un conjunto y para cada x ∈ X sea Bx una familia novac´ de subconjuntos de X tal que: ıa a) Si U ∈ Bx , entonces x ∈ U . b) Si U , V ∈ Bx , existe un W ∈ Bx tal que W ⊂ U ∩ V . c) Si x ∈ U ∈ By , existe un V ∈ Bx tal que V ⊂ U .Entonces existe una unica topolog´ para la cual cada Bx es una base de entornos ´ ıaabiertos de x. S ´ Demostracion: Sea B = Bx . Veamos que B cumple las condiciones x∈Xdel teorema anterior para ser base de una topolog´ en X. Por la condici´n a) S ıa otenemos que X = B. B∈B Si U , V ∈ B y x ∈ U ∩ V , entonces U ∈ By y V ∈ Bz para ciertos y, z.Existen U 0 , V 0 ∈ Bz tales que U 0 ⊂ U y V 0 ⊂ V (por la condici´n c). Existe oW ∈ Bx tal que W ⊂ U 0 ∩ V 0 (por la condici´n b). As´ x ∈ W ⊂ U ∩ V con o ıW ∈ B. Por lo tanto B es la base de una topolog´ en X para la que los elementos ıade cada Bx son abiertos y, en particular, entornos de x. Si A es un entorno de xpara dicha topolog´ existe un U ∈ B tal que x ∈ U ⊂ A. Por definici´n de B, ıa, oexiste un y ∈ X tal que U ∈ By , y por c) existe un V ∈ Bx tal que V ⊂ U ⊂ A.Esto prueba que Bx es una base de entornos de x. Las bases de entornos determinan los entornos y por tanto la topolog´ es ıa,decir, se da la unicidad.Ejemplo Como aplicaci´n de este teorema vamos a convertir en espacio to- opol´gico al conjunto R = R ∪ {−∞, +∞}. Para ello definimos como base de oentornos abiertos de cada n´mero real x al conjunto los entornos abiertos de x uen R con la topolog´ usual, la base de entornos abiertos de +∞ est´ formada ıa apor los intervalos ]x, +∞], donde x var´ en R, y la base de entornos abiertos ıade −∞ la forman los intervalos [−∞, x[, donde x var´ en R. Con esto estamos ıa
  23. 23. 1.3. Productos y subespacios 11diciendo que un conjunto contiene a los alrededores de +∞ si contiene a todoslos n´meros reales a partir de uno dado, y an´logamente para −∞. u a Es f´cil comprobar que las familias consideradas cumplen las propiedades adel teorema anterior, luego definen una topolog´ en R. ıa Teniendo en cuenta que hemos definido los entornos abiertos de los n´meros ureales como los entornos abiertos que ya tienen en la topolog´ usual, es inme- ıadiato que un subconjunto de R es abierto en la topolog´ usual de R si y s´lo si ıa olo es en la topolog´ que hemos definido en R. ıa Hay un concepto an´logo a los de base y base de entornos que es menos aintuitivo, pero mucho m´s pr´ctico a la hora de definir topolog´ Se trata del a a ıas.concepto de subbase:Definici´n 1.16 Sea X un espacio topol´gico. Una familia de abiertos S es o ouna subbase de X si las intersecciones finitas de elementos de S forman una basede X. Por ejemplo, es f´cil ver que los intervalos abiertos ]a, b[ forman una base de aR (son las bolas abiertas). Por consiguiente, los intervalos de la forma ]−∞, a[y ]a, +∞[ forman una subbase de R, pues son abiertos y entre sus interseccio-nes finitas se encuentran todos los intervalos ]a, b[ (notar adem´s que cualquier afamilia de abiertos que contenga a una base es una base). La ventaja de las subbases consiste en que una familia no ha de cumplirninguna propiedad en especial para ser subbase de una topolog´ ıa:Teorema 1.17 Sea X un conjunto y S una familia de subconjuntos de X.Entonces existe una unica topolog´ en X de la cual S es subbase. ´ ıa ´ Demostracion: Sea B la familia de las intersecciones finitas de elementos Tde S. Entonces X = G ∈ B y obviamente la intersecci´n de dos intersec- o G∈∅ciones finitas de elementos de S es una intersecci´n finita de elementos de S; oluego si U , V ∈ B tambi´n U ∩ V ∈ B, de donde se sigue que B es la base de euna topolog´ en X, de la cual S es subbase. Claramente es unica, pues B es ıa ´base de cualquier topolog´ de la que S sea subbase. ıa1.3 Productos y subespacios Hemos visto que el producto de una familia finita de espacios m´tricos es ede nuevo un espacio m´trico de forma natural (o mejor dicho, de tres formas edistintas pero equivalentes desde un punto de vista topol´gico). Ahora veremos oque la topolog´ del producto se puede definir directamente a partir de las ıatopolog´ de los factores sin necesidad de considerar las distancias. M´s a´n, ıas a upodemos definir el producto de cualquier familia de espacios topol´gicos, no onecesariamente finita.
  24. 24. 12 Cap´ ıtulo 1. Topolog´ ıaDefinici´n 1.18 Sean {Xi }i∈I espacios topol´gicos. Consideremos su pro- o Q oducto cartesiano X = Xi y las proyecciones pi : X −→ Xi que asignan i∈Ia cada punto su coordenada i-´sima. Llamaremos topolog´ producto en X a la e ıaque tiene por subbase a los conjuntos p−1 [G], donde i ∈ I y G es abierto en Xi . i T Una base de la topolog´ producto la forman los conjuntos de la forma ıa p−1 [Gi ], donde F es un subconjunto finito de I y Gi es abierto en Xi . ii∈F Q Equivalentemente, la base est´ formada por los conjuntos a Gi , donde cada i∈IGi es abierto en Xi y Gi = Xi salvo para un n´mero finito Q ´ u de ındices. Alconjunto de estos ´ ındices se le llama soporte del abierto b´sico a Gi . i∈I Si el n´mero de factores es finito la restricci´n se vuelve vac´ de modo que u o ıa,un abierto b´sico en un producto X1 × · · · × Xn es simplemente un conjunto de ala forma G1 × · · · × Gn , donde cada Gi es abierto en Xi . En lo sucesivo “casi todo i” querr´ decir “todo ´ a ındice i salvo un n´mero ufinito de ellos”.Teorema 1.19 Sean {Xi }i∈I espacios topol´gicos, para cada i sea Bi una base o Qde Xi . Entonces los conjuntos de la forma Gi , donde cada Gi est´ en Bi o a i∈I Qes Xi (y casi todos son Xi ) forman una base de Xi . i∈I ´ Demostracion: Consideremos la topolog´ T en el producto que tiene ıapor subbase a los conjuntos p−1 [Gi ] con Gi en Bi (y, por consiguiente, tieen ipor base a los abiertos del enunciado). Como ciertamente estos conjuntos sonabiertos para la topolog´ producto, tenemos que todo abierto de T lo es de ıala topolog´ producto. Rec´ ıa ıprocamente, un abierto subb´sico de la topolog´ a S ıaproducto es p−1 [Gi ], con Gi abierto en Xi . Entonces Gi = i B, donde cada SB∈AiAi es un subconjunto de Bi . Por lo tanto p−1 [Gi ] = i p−1 [B] es abierto i B∈Aide T. Por consiguiente todo abierto de la topolog´ producto lo es de T y as´ ıa ıambas topolog´ coinciden. ıas En lo sucesivo, a pesar de que en el producto se puedan considerar otrasbases, cuando digamos “abiertos b´sicos” nos referiremos a los abiertos indicados aen el teorema anterior tomando como bases de los factores las propias topolog´ıassalvo que se est´ considerando alguna base en concreto. e Tal y como anunci´bamos, el producto de espacios topol´gicos generaliza al a oproducto de espacios m´tricos (o de espacios normados). El teorema siguiente elo prueba.Teorema 1.20 Si M1 , . . . , Mn son espacios m´tricos, entonces la topolog´ in- e ıaducida por las m´tricas de 1.7 en M = M1 × · · · × Mn es la topolog´ producto. e ıa ´ Demostracion: Como las tres m´tricas inducen la misma topolog´ s´lo e ıa oes necesario considerar una de ellas, pero para la m´trica d∞ se cumple B≤ (x) = e
  25. 25. 1.3. Productos y subespacios 13B≤ (x1 )×· · ·×B≤ (xn ), luego la base inducida por la m´trica es base de la topolog´ e ıaproducto. La definici´n de topolog´ producto es sin duda razonable para un n´mero o ıa ufinito de factores. Sin embargo cuando tenemos infinitos factores hemos exigidouna condici´nQ finitud que no hemos justificado. En principio podr´ o de Q ıamosconsiderar en Xi la topolog´ que tiene por base a los productos ıa Gi con Gi i∈I i∈Iabierto en Xi (sin ninguna restricci´n de finitud). Ciertamente estos conjuntos oson base de una topolog´ a la que se le llama topolog´ de cajas, y el teorema ıa ıasiguiente muestra que no coincide con la topolog´ producto que hemos definido. ıaLa topolog´ producto resulta ser mucho m´s util que la topolog´ de cajas. ıa a ´ ıaTeorema 1.21 Sea {Xi }i∈I una familia de espacios topol´gicos. Los unicos Q Q o ´abiertos en Xi de la forma Gi 6= ∅ son los abiertos b´sicos, es decir, los a i∈I i∈Ique adem´s cumplen que cada Gi es abierto y Gi = Xi para casi todo i. a Q ´ Demostracion: Supongamos que Gi es un abierto no vac´ıo. Con- Q i∈I Qsideremos un punto x ∈ Gi . Existir´ un abierto b´sico a a Hi tal que Q Q i∈I i∈Ix∈ Hi ⊂ Gi , luego para cada ´ ındice i se cumplir´ xi ∈ Hi ⊂ Gi , y como a i∈I i∈Icasi todo Hi es igual a Xi , tenemos que Gi = Xi para casi todo i. Adem´s tene- amos que Gi es un entorno de xi , pero dado cualquier elemento a ∈ Gi siempre Qpodemos formar un x ∈ Gi tal que xi = a, luego en realidad tenemos que Gi i∈Ies un entorno de todos sus puntos, o sea, es abierto. Nos ocupamos ahora de los subespacios de un espacio topol´gico. Es evidente oque todo subconjunto N de un espacio m´trico M es tambi´n un espacio m´trico e e econ la misma distancia restringida a N ×N . Por lo tanto tenemos una topolog´ıaen M y otra en N . Vamos a ver que podemos obtener la topolog´ de N ıadirectamente a partir de la de M , sin pasar por la m´trica. eTeorema 1.22 Sea X un espacio topol´gico (con topolog´ T) y A ⊂ X. De- o ıafinimos TA = {G ∩ A | G ∈ T}. Entonces TA es una topolog´ en A llamada ıatopolog´ relativa a X (o topolog´ inducida por X) en A. En lo sucesivo so- ıa ıabreentenderemos siempre que la topolog´ de un subconjunto de un espacio X es ıala topolog´ relativa. ıa Demostracion: A = X ∩ A ∈ TA , ∅ = ∅ ∩ A ∈ TA . ´ Sea C ⊂ TA . Para cada G ∈ C sea UG = {U ∈ T | U ∩ A = G} 6= ∅ y seaVG la uni´n de todos los abiertos de UG . o De este modo VG es un abierto en X y VG ∩ A = G. [ [ [ G= VG ∩ A, y VG ∈ T, luego G ∈ TA . G∈C G∈C G∈C Si U , V ∈ TA , U = U ∩ A y V = V 0 ∩ A con U 0 , V 0 ∈ T. Entonces 0U ∩ V = U 0 ∩ V 0 ∩ A ∈ TA , pues U 0 ∩ V 0 ∈ T. As´ TA es una topolog´ en A. ı ıa
  26. 26. 14 Cap´ ıtulo 1. Topolog´ ıaEjemplo Consideremos I = [0, 1] ⊂ R. Resulta que ]1/2, 1] es abierto en I,pues ]1/2, 1] = ]1/2, 2[ ∩ I y ]1/2, 2[ es abierto en R. Sin embargo ]1/2, 1] no esabierto en R porque no es entorno de 1. Intuitivamente, ]1/2, 1] no contiene atodos los puntos de alrededor de 1 en R (faltan los que est´n a la derecha de 1), apero s´ contiene a todos los puntos de alrededor de 1 en I. ı La relaci´n entre espacios y subespacios viene perfilada por los teoremas osiguientes. El primero garantiza que la topolog´ relativa no depende del espacio ıadesde el que relativicemos.Teorema 1.23 Si X es un espacio topol´gico (con topolog´ T) y A ⊂ B ⊂ X, o ıaentonces TA = (TB )A . ´ Demostracion: Si U es abierto en TA , entonces U = V ∩ A con V ∈ T,luego V ∩ B ∈ TB y U = V ∩ A = (V ∩ B) ∩ A ∈ (TB )A . Si U ∈ (TB )A , entonces U = V ∩ A con V ∈ TB , luego V = W ∩ B conW ∈ T. As´ pues, U = W ∩ B ∩ A = W ∩ A ∈ TA . Por lo tanto TA = (TB )A . ıTeorema 1.24 Si B es una base de un espacio X y A ⊂ X, entonces el con-junto {B ∩ A | B ∈ B} es una base de A. ´ Demostracion: Sea U un abierto en A y x ∈ U . Existe un V abiertoen X tal que U = V ∩ A. Existe un B ∈ B tal que x ∈ B ⊂ V , luegox ∈ B ∩ A ⊂ V ∩ A = U . Por lo tanto la familia referida es base de A. Similarmente se demuestra:Teorema 1.25 Si Bx es una base de entornos (abiertos) de un punto x de unespacio X y x ∈ A ⊂ X, entonces {B ∩ A | B ∈ Bx } es una base de entornos(abiertos) de x en A.Teorema 1.26 Sea M un espacio m´trico y sea A ⊂ M . Entonces d0 = d|A×A ees una distancia en A y la topolog´ que induce es la topolog´ relativa. ıa ıa ´ Demostracion: Una base para la topolog´ inducida por la m´trica de A ıa eser´ la formada por las bolas ıa 0 B≤ (x) = {a ∈ A | d0 (x, a) < ≤} = {a ∈ X | d(x, a) < ≤} ∩ A = B≤ (x) ∩ A, d dpero ´stas son una base para la topolog´ relativa por el teorema 1.24. e ıaTeorema 1.27 Sea {Xi }i∈I una familia de espacios topol´gicos y para cada i Q oQsea Yi ⊂ Xi . Entonces la topolog´ inducida en ıa Yi por Xi es la misma i∈I i∈Ique la topolog´ producto de los {Yi }i∈I . ıa (La base obtenida por el teorema 1.24 a partir de la base usual de la topolog´ ıaproducto es claramente la base usual de la topolog´ producto.) ıaEjercicio: Probar que la topolog´ que hemos definido en R induce en R la topolog´ ıa ıaeucl´ ıdea.
  27. 27. 1.4. Algunos conceptos topol´gicos o 151.4 Algunos conceptos topol´gicos o Dedicamos esta secci´n a desarrollar el lenguaje topol´gico, es decir, a intro- o oducir las caracter´ ısticas de un espacio y sus subconjuntos que pueden definirsea partir de su topolog´ Hasta ahora hemos visto unicamente los conceptos de ıa. ´abierto y entorno. Otro concepto importante es el dual conjuntista de “abierto”:Definici´n 1.28 Diremos que un subconjunto de un espacio topol´gico es ce- o orrado si su complementario es abierto. Por ejemplo, un semiplano (sin su recta frontera) es un conjunto abierto,mientras que un semiplano con su frontera es cerrado, pues su complementarioes el semiplano opuesto sin su borde, luego es abierto. Pronto veremos que ladiferencia entre los conjuntos abiertos y los cerrados es precisamente que losprimeros no contienen a los puntos de su borde y los segundos contienen todoslos puntos de su borde. En importante notar que un conjunto no tiene por qu´ eser ni abierto ni cerrado. Baste pensar en el intervalo [0, 1[.Ejercicio: Sea X = [0, 1] ∪ ]3, 4]. Probar que ]3, 4] es a la vez abierto y cerrado en X. Las propiedades de los cerrados se deducen inmediatamente de las de losabiertos:Teorema 1.29 Sea X un espacio topol´gico. Entonces: o a) ∅ y X son cerrados. b) La intersecci´n de cualquier familia de cerrados es un cerrado. o c) La uni´n de dos cerrados es un cerrado. o Puesto que la uni´n de abiertos es abierta, al unir todos los abiertos con- otenidos en un conjunto dado obtenemos el mayor abierto contenido en ´l. Si- emilarmente, al intersecar todos los cerrados que contienen a un conjunto dadoobtenemos el menor cerrado que lo contiene:Definici´n 1.30 Sea X un espacio topol´gico. Llamaremos interior de un o oconjunto A ⊂ X al mayor abierto contenido en A. Lo representaremos por ◦int A o A. Llamaremos clausura de A al menor cerrado que contiene a A. Lo ◦representaremos por cl A o A. Los puntos de A se llaman puntos interiores deA, mientras que los de A se llaman puntos adherentes de A. ◦ As´ pues, para todo conjunto A tenemos que A⊂ A ⊂ A. El concepto de ıpunto interior es claro: un punto x es interior a un conjunto A si y s´lo si A es oun entorno de x. Por ejemplo, en un semiplano cerrado, los puntos interioresson los que no est´n en el borde. El teorema siguiente nos caracteriza los puntos aadherentes.Teorema 1.31 Sea X un espacio topol´gico y A un subconjunto de X. Un opunto x es adherente a A si y s´lo si todo entorno de x corta a A. o

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