Matematica 1º4 b

19 20COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 1er. Año Secundaria MATEMÁTICA 1er.
Año Secundaria
Una E.A. es un conjunto FINITO de constantes y variables ( números y letras ) con EXPONENTES
RACIONALES y FIJOS, relacionados por las operaciones de adición, sustracción, multiplicación,
división, potenciación y radicación .
Ejemplo:
3x2
+ 5x4
y – x
2
1
 Si es una E.A. porque es FINITA.
1 – 2x2
+ 3x3
+ 4x4
+ .....  No es una E.A. porque es INFINITA.
4x8
y10
z2
 Si es una E.A. porque los exponentes son Q Racionales.
7 32 xxy +  No es una E.A. porque sus exponentes son I Irracionales.
3x7
+ y8
 Si es una E.A. porque sus exponentes son FIJOS.
3x
+ 5x
 No es una E.A. porque sus exponentes son Variables.
TÉRMINO ALGEBRAICO : ( T.A. )
Es una E.A. , separado por los signos + y -
Ejemplo : 5a3
b2
y4
mnxyz20
es una T.A.
2a + 5m – 3x3
+ y son 4TA.
Elementos :
- 3 a 2 Exponente
Parte literal
Coeficiente
Signo
TÉRMINOS SEMEJANTES : ( T.S. )
Son aquellos que tienen la misma parte literal y los mismos exponentes en sus respectivas letras.
Ejemplo : –
2
7
,2x 4 + x4
, – 2 x4
, x4
Reducción de T.S. :
Se suman o restan los coeficientes y se escribe la misma parte literal .
Ejemplo : 8x4
+ 2x4
– 6x4
= 4x4
Clasificación de E.A.
a. Racionales: Cuando sus variables están afectadas de exponentes enteros .
Ejemplo : 2
5x ; 810 yx2 ; -1/3 27
ba ; 3−
c – 5
3h
b. Irracionales: Cuando sus variables están afectadas de radicales o de exponentes fraccionarios.
Ejemplo : 3/122/1 cab8;y3;x −
POLINOMIO :
Es una E.A. racional entera que consta de 2 o más T.A.
Ejemplo: 4x2
– 5x + 1/2; 5m5
–
3
7
m3
– 2m3m2 − ; 6z3
– 2
4
1
z3
2
5
z11 4 −−
No son Polinomios:
8x – 3
+ 5x2
– 6 + x  Tiene exponente entero negativo
34
34
x
1
x
1
x5x +−+  Los denominadores no deben tener variables
1 + x + x2
+ x3
+ x4
.......  Debe tener una cantidad finita de términos.
Cuando los exponentes naturales están ordenados de izquierda a derecha, se dice que es un
POLINOMIO ORDENADO.
VALOR NUMERICO : (V.N.)
Es el número real que resulta al reemplazar valores dados de las variables en un determinado
polinomio y efectuar las operaciones indicadas .
Así: Hallar el V.N. de: S = ( x – 1 )2
+ ( 2y – 1 )2
+ ( z – 1 )2
Sabiendo que : x = – 2, y = – 1 y z = – 3
Solución: S = (– 2 – 1 )2
+ (– 2 – 1 )2
+ (– 3 – 1 )2
 2
)3-( + 2
)3-( + 2
)4-(
S = 9 + 9 + 16  S = 34
S1MA24B “Los más grandes hombres crecen con nosotros....” S1MA24B “Los más grandes hombres crecen con nosotros....”
EXPRESIONES

Año Secundaria
Ejemplo : Si: P(x) = 3x4
– 2x3
+ x2
– x – 2, hallar P( - 2 )
Solución : Reemplazamos a x = - 2
P (– 2 ) = 3 (– 2 )4
– 2 (– 2)3
+ (– 2)2
– (– 2) – 2
= 3 ( 16 ) – 2 (– 8 ) + ( 4 ) + 2 – 2
= 48 + 16 + 4
P (– 2) = 68
GRADO ABSOLUTO DE UN MONOMIO : ( G.A. )
Se calcula cuando los exponentes de sus variables del monomio.
Ejemplo 1 : 5x2
y7
; GA = 2 + 7 = 9; monomio de noveno grado.
Ejemplo 2 : M( x,y ) = 3 2 a2
x3
y2
¡Cuidado! Aquí “a” no es variable
 GA : 3 + 2 = 5; monomio de quinto grado.
GRADO RELATIVO DE UN MONOMIO : ( G.R. )
Está dado por el exponente de la variable referida.
Ejemplo 1 : Hallar GRx en: 5x3
y7
z4
de 3er. Grado.
GRz : es de 4to grado, etc.
GRADO ABSOLUTO DE UN POLINOMIO : ( G.A. )
Está dado por el MAYOR de los G.A. de sus términos :
Ejemplo :
El mayor de los 3 grados es 8.
Luego el GA de todo el polinomio es 8
Ejemplo : P ( x,y ) = 5 2 yxb1/7ybx0,3yxa 386842
+
Como la únicas variables son “ x ” y “ y ”, se tomará el de mayor grado.
 GA = 8 + 6 = 14.
Grado Relativo de un Polinomio: ( G.R. )
Está dado por el MAYOR de los exponentes de la variable referida.
Ejemplo : 4y-y52x7y35x-3y43x + GRx = 5º grado
GRy = 7º grado
PROBLEMAS RESUELTOS
01.Calcular el valor de “a” si se sabe que t1 = 2 11 xa – 6
y t2 = 0,3 x9
y son términos
semejantes.
Solución : Al decir términos semejantes, sus exponentes son iguales.
Así : a – 6 = 9  a = 15
02.Si F(x) = 5x2
+ 2x – 4
Calcular :
)1(F1)(F)0(F
1)(F)1(F
E
−−
−+
=
Solución : Calculamos : F (1) = 5 (1)2
+ 2(1) – 4 = 5 + 2 – 4 = 3
F (–1 ) = 5(– 1)2
+ 2(–1) – 4 = 5 – 2 – 4 = – 1
F (0) = 5 (0)2
+ 2 ( 0 ) – 4 = – 4
Reemplazando : E =
1
2
34
2
)3)(1(4
)1(3
−
=
+−
=
−−−
−+
E = – 2
03.Calcular el valor de “m”, si se sabe que el polinomio 42m zyx73 es de noveno grado.
Solución : Se suman todos los exponentes y se igualan a 9.
GA = m + 2 + 4
9 = m + 6
m = 3
 
grado3
3
grado8
62
grado5
5
yyx5x
°°°
−+


Año Secundaria
04.Si el polinomio P(x) es de octavo grado, calcular el valor de “ b ”.
P(x) = 7 xb + 5
+ 2xb
– 0,2xb + 6
Solución: Determinamos los grados de cada término :
Del 1º : b + 5  El mayor de ellos es b + 6
Del 2º : b  Luego: b + 6 = 8
Del 3º : b + 6 
b = 2
05.Dado el siguiente polinomio x3
– 3 x2
y + 3 x y2
– y3
es un polinomio :
a) Heterogéneo b) Irracional c) Homogéneo d) Mixto e) N.a.
Solución : Es homogéneo porque todos sus términos son de 3er. grado absoluto.
Ejemplo 5: Hallar “a”, si GRx = 6 en : P(x,y) = 0,25xa
– 2xa+1
– y9
Solución : Por dato el grado relativo de x es 6.
Luego : GRx = a + 1 = 6 → a = 5
OPERACIONES CON POLINOMIOS
A. Adición y Sustracción.-
Se suman y/o restan los coeficientes y al resultado se le coloca la misma parte literal .
Ejemplo 1: Efectuar. – 5x3
– 8x3
+ 6x3
– x3
Solución : – 5 – 8 + 6 – 1 = - 8  – 8x3
Ejemplo 2: Efectuar. A + B + C si: A = 7x3
– 2x + x2
+ 6; B = –3x2
– x3
+8;
C= x –x3
– 16
Solución : Se ordenan los polinomios y se reducen los T.S.
7x3
+ x2
– 2x + 6
–x3
– 3x2
+ 8
– x3
+ x – 16
5x3
– 2x2
– x – 2
Ejemplo 3 :
Efectuar: P( x ) – Q( x ) ; si P( x ) = 8x7
– 5x2
+ 6 – x4
; Q( x ) = 3x2
– x – 2x4
+ 7x7
Solución : Ordenando y reduciendo: A Q( x ) se le cambia de signo.
8x7
+ x4
– 5x2
+ 6
–7x7
– 2x4
+ 3x2
+ x
x7
+ x4
– 8x2
+ x + 6
Ejemplo 4. Efectuar. (–7x4
y9
) – (– 2x4
y9
)
Solución : - 7x4
y9
+ 2x4
y9
= – 5x4
y9
PRACTICA DE CLASE
01.Dado: M =
)1(f)0(f
)3(f)2(f
−
−+
, si f(x) = 3x2
+ x – 3, hallar M.
a) 2b) 4 c) 8 d) – 8 e) N.a .
02.Calcular el valor de “a”, si se sabe que el monomio 5ma
n2
p3
es de noveno grado.
a) 2 b) 3 c) 4 d) – 5 e) 6
03.Si el polinomio E(x) es de octavo grado, calcular el valor de “m” si :
E(x) = 4xm+3
+ 3 xm+5
– 7xm
a) 1 b) 3 c) 5 d)7 e) 9
04.Si los monomios
2
1
xa + 3
y8
; - 3x6
yb – 2
son semejantes. Hallar: 2a3
– 5b
a) – 4 b) 4 c) 1 d) – 32 e) N.a.
05.El polinomio R es homogéneo y de octavo grado absoluto.
R = 5a8
– 3abx
c2
– ay
b3
c2
– a2
b2
cz
Hallar el valor de : 2x – 3y + z
a) 5b) – 5 c) 10 d) 8 e) N.a.
06.Simplificar la expresión : – {2a – 3b – [– 4a – b + (5a – 7b) – (a – 7b) ] + 3a} y reemplazar:
a = 2 y b = -1, el resultado será :

Año Secundaria
a) – 8 b) – 10 c) – 12 d – 14 e) – 16
07.Hallar el V.N. de :
M =
444
2222
cba
)cba(
−−
+−
; si : a = 1 ; b = 2 , c = 3
a) 3/8 b) – 3/8 c) 3/4 d) – 3/4 e) 6
08.Si los monomios : x2n – 3
y3m + 8
; x5
ym – 10
son semejantes, calcular : n2
+ 2m
a) – 3 b) 2 c) 3 d) – 4 e) – 2
09.Si 6x3
y2n
+ 10 xn
y5
es un polinomio homogéneo, calcular
4
n8 .
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
10.Al simplificar: – x – { –3x + [ 2y – ( 6x – 5y ) – 6y + ( x – 2y ) – 7y ] – 3y }
a) 7x + 11y b) 7x – 11y c) – 7x + 11y d) 10x – 11y e) N.a.
11.Sumar : 4x - 5y ; 2x + 7y
a) 4x - 2y b) 5x + 3y c) 6x + 2y d) 7x - y e) N.a.
12.Sumar : 4 a2
– b + 2c ; 7b – 6 a2
– 2c
a) – 2a2
+ 6b b) – 3a2
– 6b c) – 4a2
+ 3b d) a2
– b e) N.a.
13.Sumar : 1/4 a – 5b2
; 7a + 2/3 b2
– c
a) 29a – 13b2
– c b)
4
29
a –
3
13
b2
– cc) c d) b2
– c e) N.a.
14.Sumar : 7m – 4n + 2p ; 2m + 7n – p ; - 4m – 8n + 5p
a) 3m – 3n + 6p b) 4m – 4n + 6p c) 5m – 5n + 6p d) m + n – p e) N.a.
15.Hallar: 2x – 3y – ( 3x + 2y )
a) 5x – 5y b) x + y c) 5x – y d) – x – 5y e) N.a.
TAREA DOMICILIARIA
01.Restar : - 4 a – 5b – 6c de 5 a - 2b + 7c
a) 9 a + 3b + 13c b) 9a + b – 3c c) 9ª – 3b – c d) 9a – 3b – 13c e) N.a.
02.Restar : 1/2 a + 2b – 3c de a + 1/5 b – 2/3 c
a) 7c9ba
2
1
+ b) 7/3c9/5b-a
2
1
c) a – b – c d) ce) N.a.
03.Si : P = 2a
3
2
5
1
b + 3c + 7m ; Q = – 7a2
+
3
2
b –
7
1
c ; R =
5
3
7ba
2
3 2 + c
Hallar : P – ( Q + R )
a) m89c92b37a 2 +++ b)
6
37
a +
15
92
c – 7c c)
6
37
a2
+
15
92
b +
35
89
c + 7m
d) a2
– b – c + m e) N.a.
04.Si P = 2x – 5y ; Q = – 4 [ 3 ( x – 2y ) – 5 ( x + y ) ] ; R = 2x + 4 { [ x – 3 ( y – x ) ] }
Hallar : P – Q – R
a) 4x – 7y b) 2x – 3y c) 24y – x d) – 24x – 37y e) N.a.
05.Si P = 3x – ( 5y + 3 ) ; Q = 2x + 3 ( y – 7 ) , R = – 8x – 10 ( y – 9 )
Hallar : P – ( Q – R )
a) – 7x – 18y + 108 b) 7x – 8y +10 c) – 7x + 18y d) 7x + 18y – 100 e) N.a.
B. Multiplicación y División de Polinomios .-
Se procede de la siguiente manera :
1. Se multiplican o dividen los signos aplicando la “ LEY DE LOS SIGNOS ”.
- Signos iguales da producto o cociente positivo y
- Signos diferentes da producto o cociente negativo

Año Secundaria
Así:
( + ) ( + )
( - ) ( - )
+
( + ) ( - )
( - ) ( + )
-
( + ) : ( + )
( - ) : ( - )
( + ) : ( - )
( - ) : ( + )
+ -
2. Se multiplican o dividen los coeficientes .
3. En la multiplicación se suman los exponentes de letras iguales y en la división se restan.
Así:
Ejemplo 1. Multiplicar : ( 4m ) ( 2m2
+ 5m – 3 )
Solución : 4m ( 2m2
+ 5m – 3 ) = 8m3
+ 20m2
– 12m
Ejemplo 2. Multiplicar : (– 3x2
) ( 2x – 5xy + y2
)
Solución : (–3x2
) ( 2x – 5xy + y2
) = – 6x3
+ 15x3
y – 3x2
y2
Ejemplo 3. Multiplicar : 





+





− y
2
3
x
5
1
y
2
3
x
5
1 22
Solución : Multiplicamos cada término del multiplicando por cada uno de los términos del
multiplicador, así ordenamos los términos semejando y reducimos, obteniendo el
resultado final.
Respuesta : 2y
4
94x
25
1
−
Ejemplo 4. Dividir : 20a4
: (– 5a )
Solución :
a5
a20 4
−
= – 4 a4 – 1
= – 4 a3
Ejemplo 5. Dividir : (– 48a4
b5
) : (– 8a3
b2
)
Solución :
23
54
ba8
ba48
−
−
= 6 a b3
Ejemplo 6. Dividir : (4x –
3
2
x3
+
7
3
x2
) : (
2
1
x )
Solución : Se ordena en forma DESCENDENTE el polinomio dividendo y divisor y luego se
procede como el caso anterior.
= - 2
3
4
x











−=











++− x:xx:xxx
2
1
3
2
2
1
4
7
3
3
2 323
x
7
6
x
2
1
:x
7
3 2 =











= x
7
6
( 4x ) : 





2
1
= 8
Respuesta : 8x
7
6
x
3
4 2 ++−
Ejemplo 7. Dividir : ( 1 + 2x + 4x2
) : (–1 +x )
Solución : Se ordenan los polinomios en forma DECRECIENTE y se aplica el siguiente proceso:
x - 14x + 2x + 1
2
a. Se divide el 1er término del dividendo ( 4x2
) entre el primer término del divisor ( x ) cuyo
resultado es ( 4x ).
4x + 2x + 1 x - 12
4x
b. El 1er. término del cociente ( 4x ) se multiplica por el divisor y lo que se obtiene se resta del
dividendo y luego se baja el siguiente término del dividendo ( +1 ).
4x + 2x + 1 x - 12
4x- 4x + 4x2
6x + 1
c. Se divide el 1er. término de esta diferencia ( 6x ), entre el 1er. término del divisor ( x ) y se baja
el término que sigue :

Año Secundaria
4x + 2x + 1 x - 1
2
4x + 6- 4x + 4x
2
6x + 1
d. Se repite el paso b, o sea :
4x + 2x + 1 x - 12
4x + 6- 4x + 4x2
6x + 1
- 6x + 6
7
Luego : Cociente : 4x + 6
Residuo : 7
Ejemplo 8. Dividir : 





+





− b
3
1
a
3
1
:b
4
1
a
4
1 22
Solución : Se ordenan los polinomios, dejando espacios donde corresponda, así :
1/4 a 0ab - 1/9 b
-1/4 a - 1/6ab
2
2
2 1/2 a + 1/3b
1/2 a - 1/3b
- 1/6ab - 1/9b
2
1/6ab + 1/9b
2
0 0
PRACTICA DE CLASE
01.Efectuar : (– 3xn + 1
y2
) ( 5xn – 2
y2+ n
)
a) – x2n
yn
b) – 15x2n
y4
c) – 15x2n – 1
y d) – 15x2n – 1
yn – 4
e) N.a.
02.Efectuar : (– 2mn2
) (– 5mnp )
a) 10m2
n3
p b) 10m2
c) 10n3
d) 10p e) N.a.
03.Efectuar : ( 5a2
b3
c4
) ( - 2ab2
c3
) ( a5
b3
c )
a) 10 a4
b4
c4
b) - 10 a8
b8
c8
c) – 10abc d) – 10 e) N.a.
04.Efectuar : 










 322 cab
6
10
ba
5
2
a) abc
30
20
b) 222 cba
3
2
c) 333 cba
3
2
d) 444 cba
30
20
e) N.a.
05.Efectuar : (–3 xn+1
y2
) ( 5 xn-2
y2+n
) (–2 x-2n+1
)
a) 30 y4+n
b) 30 x4
yn
c) 30 xn
yn
d) – 30 e) N.a.
06.Efectuar : 





+−





4
3
m
7
6
m
5
2
m
3
1 2
=
a) 2m3
– 2m2
+ m b)
4
1
m
7
2
m
5
2 3 +− c)
4
1
m
7
2
m
15
2 2 +−
d) m
4
1
m
7
2
m
15
2 23 +− e) N.a.
07.Efectuar : ( - 3an
) ( 5a4
– an+2
+ 4 )
a) – 15 an-4
+ 3 a2n – 2
b) – 15 an+4
+ 3 a2n+2
– 12an
c) –15a4
+ 3a2
– 12
d) –15an
+ 3a e) N.a.
08.Efectuar : ( 5 – 3x ) ( 2 + 4x )
a) 10 + 14x – 12x2
b) 10 – 14x c) 10 – 12x2
d) 12x2
–10x + 6 e) N.a.
09.Efectuar : (4x2
– 2x + 3 ) ( x2
+ 3x – 1 )
a) 4x4
+10x3
– 7x2
+ 11x – 3 b) 4x4
- 3 c) 4x4
+ 10x3
d) 4x4
+ 11x e) N.a.
10.Efectuar : ( 3a – 2 ) ( 5a + 1 ) ( 2a – 2 )
a) 30a3
– 44a2
+ 4 b) 30a3
+ 40a2
c) 30a3
- 44a2
+ 10a + 4
d) 30a2
– 44a + 10 e) N.a.
11.Dividir : 





−





nm
5
3
:nm
10
18 225
a) 3m3
b) 3n3
c) – 3m3
n d) – 3m3
n e) N.a.
12.Efectuar : ( 40 an+3
b4
) : ( 4 a2
bn-1
)

Año Secundaria
a) 8 an+1
b5-n
b) 8 an
bn
c) 8 an+1
b5+n
d) 8 ab e) N.a.
13.Efectuar : ( 12x + 4x3
– 20x2
) : (– 4x )
a) – x2
– 5x + 3 b) – x2
+ 5x – 3 c) x2
– x + 3 d) x4
– x3
e) N.a.
14.Efectuar : 











+− x:4xx
3
2
x
7
3 32
2
1
a)
7
6
x
3
4
+ b)
7
6
x
3
4 2 + c) x8x
7
6
x
3
4 23 +− d) x8x
7
6
x
3
4 22 +− e)
N.A.
15.Efectuar : ( 2an + 1
– 4an – 1
) : ( 2a2
)
a) an+1
– 2an+3
b) an
– 2a2n
c) an – 1
– 2an – 3
d) a2
– 8an
e) N.a.
TAREA DOMICILIARIA
01.Efectuar y hallar el cociente y residuo de : ( 21x5
– 15x2
+ 14x – 28 + 41x3
) : ( 2x – 5 + 7x3
)
a) C = 3x2
+ 5 ; R = 4x – 3 b) C = 3x + 5 ; R = 4x + 3
c) C = x2
– 3 ; R = 0 d) C = 3x3
+ 5x2
; R = 4x2
– 8
e) N.a.
02.Hallar el cociente y residuo de : ( 3x – 2 + 4x3
– 5x2
) : ( x + 1 )
a) C = 4x2 + x – 12 ; R = 0 b) C = 4x2 - 9x + 12 ; R = - 14
c) C = 4x2 + 8x – 3; R = 0 d) C = 4x2 + 9x – 5 ; R = 14
e) N.a.
03.Efectuar : ( 21x3/5
+ x2/5
+ x1/5
+ 1 ) : ( 3x1/5
+ 1 )
a) 7x2/5
+ 2x1/5
+ 1 b) 7x2/5
- 2x1/5
+ 1 c) 7x2/5
+ 2x1/5
– 1
d) 7x2/5
+ 2x1/5
e) N.a.
04.Efectuar : ¿Qué valor debe tener “m” ? para que el polinomio: 2a3
+ 2a2
b – ab + m sea divisible
por a + b
a) 2b2
b)– ab c) 3ab d) b2
e) – b2
05.Calcular el valor de m + n + p, sabiendo que el resto de dividir:
10x6
+ 19x5
– 8x4
+ 13x3
+ mx2
+ nx + p entre 5x3
+ 2x2
+ 3x + 5, es : 3x2
+ 4
a) 16 b) 18 c) 28 d) 30 e) 32
EJERCICOS PROPUESTOS N° 1
01.Calcular (a – b) si el monomio :
M (x ; y ) = 5x 2a + b
ya+2b
tiene : G.A = 15 y GR(x) = 8
a) 1 b) –1 c) 2 d) –2 e) 3
02.¿De que grado es la expresión? E = 2xy + (x – y)2
– x2
– y2
a) 2 b) 1 c) 0 d) Indefinido e) N.A
03.Dado el polinomio: 1b62b1a22a yx5yx3yx2 −++ +− si su grado absoluto es 10 y su
grado relativo a “y” es 4. Hallar su grado relativo a “x”
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
04.Hallar el valor de “a” para el grado del polinomio: 2a2a1a x5yx4yx3 −− ++
a) 7 b) 5 c) 6 d) 8 e) 4
05.Hallar el coeficiente del monomio nmnm
n
m
yx −+





 523
3
1
9

Año Secundaria
si su G.A es 10 y el grado relativo a “a” es 7
a) 1 b) 2 c)
27
1
d) 13 e) 9
06.Se tiene los polinomios P y Q determinar el grado absoluto de Q si se sabe que el grado absoluto del
polinomio P es 16 y el menor exponente de “y” en el polinomio Q es 4
1227311
735 ++++−+
+−= nmnmnm
yxyxyxP
102722262
534 +++++
−−= nmnmnm
yxyxyxQ
a) 20 b) 21 c) 22 d) 24 e) N.a.
07.Si G.P (x) = 3 ∩ G.Q (x) = 4 ¿Cuál es el grado de la expresión?
[ ] ( )
[ ] 223223
2
2322
PQQPQP
PQPQQP
E
+



 +
=
a) 46 b) 47 c) 48 d) 49 e) 50
08.Marque la alternativa que representa una expresión algebraica racional fraccionaria
a) y2x2 + b)
1
2x
1
−






c) 8 16x
1
d) 43
23 yx −
e)
3
2
2
1
+
09.Marque la alternativa que represente una expresión algebraica racional entera?
a) 3 b) ( )2
yx − c)
1
y
1
x
1
−






+ d)
13
32 −
− yx e) N.a.
10.¿Cuál es el grado del polinomio? nnn
xxx)x(P −−−
++= 531
Si se sabe que tiene tres términos
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) Hay dos respuestas
EJERCICIOS PROPUESTOS N° 2
01.Sustraer : 3x + 5 de 382 2
+− xx
a) 2112
++ xx b) 2112 2
−− xx c) 2112 2
++ xx
d) 2112 2
+− xx e) 2112 2
++− xx
02.Dadas las expresiones :
A = 53
574 xyxyx −− B = 53
396 xyxyx −+−
Hallar el equivalente de 2A +3B
a) 53
194110 xyxy ++ b) 53
191326 xyxyx ++− c)
53
191310 xyxyx +−−
d) 53
191310 xyxyx −+− e) 53
1326 xyxyx −−
03.Efectuar: ( ) ( )[ ]{ }xxyxyyy 5827378 +−−−−−−
a) 4x b) 16y – 4x c) –4x d) 20x e) –y + 2x
04.De a2
sustraer la suma de 3ab –6 y 3a2
– 8ab + 5
a) 2a2
– 5ab – 1 b) –2a2
+ 5ab+1 c) 2a2
+ 5ab+1 d) – 2a2
-5ab – 1 e) N.a.
05.Simplificar la expresión: ( ) ( )[ ]{ }[ ]abbabaaba 4323 +++−−−+−+−−−
a) –a – 2b b) a – b c) 2a + b d) a – 2b e) a + 2b
06.Reducir : P = ( ) ( ) ( )( ) 11412321 2
+−+−−− xxxxc
a) 7x – 11 b) 14x – 11 c) 14x d) 7x – 12 e) N.a.
07.Dados : ( ) yxxcP 331 2
++−=
( )yxxQ +−= 35 2
Si : P – Q se reduce a 6 (x + y). Hallar el valor de c
a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) –5
08.Simplificar: 25
103
34
12
7
85
m.m
m.m13
m.m
m.m14
m
m.m6
−+
a) 7m6
b) 6m33
+ 14m5
– 13m20
c) 6m6
+ 14m0
– 13m23
d) – 6m6
e) N.a.

Año Secundaria
09.Simplificar: ( ) ( )[ ]{ }[ ] zyyzyxyxxE 22 +−−−+−−+−+=
a) x – y + z b) – x + y + z c) x + y – z d) – x – y – z e) N.a.
10.Reducir :
a) a b) b c) c d) an + b e) an – c
11.Al multiplicar los polinomio :
a) 2 b) –21 c) –12 d) –3 e) 6
12.Completar la siguiente tabla del producto de dos polinomios.
x -3 2 -1
-4
4 -8
1 2
Señalando la suma de los coeficientes positivos del polinomio producto.
a) 12 b) 22 c) 19 d) 25 e) N.A
13.Completar la siguiente del producto de dos polinomios y señale l asuma de los coeficientes del
polinomio producto.
x 2 -3 4
1 -5 -1
6
-4
a) 6 b) –3 c) 16 d) –9 e) 5
14.Al multiplicar los polinomios: A(x) = x2
+ bx + c
B(x) = x + 3
Se obtiene : ( ) cbcaxxxP +++= 23
Hallar el valor de : a + b – c
a) 6 b) 4 c) 5 d) 7 e) N.a.
15.Hallar la coeficiente del termino de grado 5 del producto total en :
( ) ( ) ( )1xx243x21x3 2245 +−++−
a) 12 b) 13 c) 17 d) 19 e) N.a.
16.Hallar “m” para que en el producto resultante, el termino de grado 4° tenga como coeficiente 21.
a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) N.a.
17.Hallar “m” para que en el producto resultante, el término de grado 3° tenga como coeficiente 7
( ) ( ) ( )mx1x3mxx3mx 22 −+−+
a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) N.a.
18.Hallar el grado absoluto del producto total en ( ) ( ) ( ) ....1x1x1x 242322 +++
10 factores en total
a) 3025b) 3045 c) 3065 d) 3410 e) 385
20.Indicar el producto de los coeficientes de uno de los factores de:
(4x + 1)(12x + 1) (3x + 1) (2x + 1) – 36
a) 42 b) 420 c) 70 d) 700 e) 500
21.Hallar la suma de coeficientes del dividendo de la siguiente división efectuada por el método de
Horner:
8 a 6 e f g h j
a
c
d
2 – 2
3
4
–3 6
1 – 6 2
2 3 1 –4 – 2 5
a) 1 b) 2 c) 3 d) –2 e) 1
22.En el siguiente esquema por Ruffini :
[ ] ( ) ( ){ }c...ccb...bbcncnbnaa....aaM ++++−−−+−−−−+++−= 3
(n - 1) veces n veces (3n - 1) veces

Año Secundaria
4
* 6
* 8
* -4
* -15
*
* * * * 16
Hallar la suma de coeficientes del cociente :
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
23.Calcular el valor de “n” si la división :
2x
nxxx 34
−
+−− deja un residuo igual a 10
a) 2 b) 4 c) 5 d) 6 e) –4
24.Hallar el resto en:
3x
19x5x81x27 424425
+
−−+
a) –4 b) –3 c) –2 d) –5 e) 0
25.Dar el residuo de la siguiente división :
2254322345
32624332656 yxyxentreyxyyxyxyxx +−+−+−+
a) xy – y2
b) xy4
– y5
c) x4
y – y5
d) x – 1 e) y4
– y5
26.Calcular m + n de manera que el polinomio:
nmxxxx ++−+ 234
72 sea divisible por 532
+− xx
a) 30 b) 31 c) 32 d) 33 e) 35
27.Calcular el valor numérico de :
f (x) = x5
+ (3 2 - 2) x3
+ 2 2 - 1
Para x 0 2 - 1
a) 1 b) 2 + 1c) 2 2 d) 2 e) 4
28.Calcular el valor de b – a si la división:
1x2x
baxx
2
7
++
++
es exacta
a) –13 b) –1 c) 1 d) 0 e) -35
29.Encontrar el residuo de la siguiente división:
INn;
1x
2xxx
n4
n4n34n54
∈
+
+++
a) –1 b) 3 c) 4 d) 15 e) N.A
30.Calcular el residuo en la división:
( ) ( )[ ] ( ) ( )3x1x1x2x32x 57
++÷+++++
a) 5x –3 b) 2x + 9 c) 5x + 9 d) 9x + 5 e) Imposible
Definición
Se llama así a la igualdad que contiene por lo menos una variable a la cual llamaremos incógnita. Los
valores de las incógnitas que satisfacen a la ecuación dada se llaman soluciones o raíces de la ecuación.
Resolución de una ecuación
ECUACIO

Año Secundaria
Resolver una ecuación o un sistema de ecuaciones, es: “Hallar las raíces” que satisfacen a la ecuación o
asegurar que no existen raíces.
Ejemplo:
2x + 7 = 2x + 5 no tiene raíces ya que para cualquier valor de “x” el 1° miembro es diferente al 2°
miembro.
CLASES DE ECUACIONES:
I. De acuerdo a la naturaleza de los términos de la ecuación.
1. Ecuación algebraica:
La ecuación con una incógnita, se denomina algebraica, si ella se puede reducir de modo que su
primer miembro sea un polinomio respecto a la incógnita y el segundo miembro cero. Las
formas en que se presenta la ecuación algebraica son:
A. Racional : La incógnita no está afectada por radical.
* x4
– 17x2
+ 16 = 0 Ecuación de 4° grado.
*
x
3−
= 5x2
+ 1 
5x3
+ x + 3 = 0 Ecuación de 3° grado
x ≠ 0 el denominador debe ser ≠ 0
B. Irracional : La incógnita aparece afectada por radical.
* 3x + = 11 → la cantidad subradical debe ser mayor o igual que cero.
x + 3 > 0 → x ≥ - 3
*Es importante anotar la diferencia que existe en la resolución de las dos ecuaciones que se
proponen a continuación.
1. y2
= 4 (Ec. de segundo grado por lo que debe tener dos raíces). Al extraer raíz cuadrada a
ambos miembros debemos tener cuidado de considerar el doble signo:
y2
= 4  y = 4± y = ± 2
2. y = 4 ecuación de primer grado por lo que sólo tiene una raíz. Cuando el radical aparece
en una determinada ecuación, se debe respetar el signo que le antecede, pero cuando
necesitamos extraer raíz cuadrada como técnica de solución de un problema, entonces
consideraremos los dos signos, por lo que:
y = 4 → y = 2
Luego 1x + = –2, sería absurda, ya que el signo que precede a la raíz, es positivo,
luego en el segundo miembro debería aparecer una cantidad positiva y no negativa como la
que aparece.
2. Ecuación Trascendente:
Cuando presenta expresiones trascendentes
ax + 7
= 2 ; cos (2x) = –1 ; log x + 1 = 0
II. De acuerdo a sus coeficientes:
Coeficiente es el factor que acompaña a la incógnita.
1. Numéricas:
2x2
– 3x + 7 = 0
(los coeficientes son: 2, –3 y 7)
2. Literales:
ax2
+ bx + c = 0
(los coeficientes son: a, b y c)
III. De acuerdo a su solución:
1. Compatibles:
Son las que admiten solución.
* Determinadas: Tienen un número finito de soluciones.
* Indeterminadas: Tienen un número infinito de soluciones.
2x + 3 = 2x + 3 es indeterminada.
2. Incompatibles.-
Son las que no admiten solución:
x = – i ; 2x + 1 = 2x + 3
ECUACIONES EQUIVALENTES:
Dos ecuaciones con las mismas incógnitas se llaman equivalentes si todas las soluciones de la primera
ecuación son soluciones de la segunda y viceversa.
Ejemplo 1
La ecuación: 3x + 3 = 8x - 22
y la ecuación:
3
26
15
x
2
5
x7
+=+

Año Secundaria
Son ecuaciones equivalentes ya que ambas se satisfacen para x = 5.
Teoremas de Equivalencia de Ecuaciones:
Teorema 1
Si a ambos miembros de una ecuación les sumamos un mismo número o un mismo polinomio, la
nueva ecuación es equivalente a la inicial.
Observación :
Si ambos miembros se suma o resta una función arbitraria, la ecuación no es equivalente a la inicial.
La ecuación: x2
– 12 = 2x + 3 tiene por raíces:
x = 5 ; x = -3; sumando a los 2 miembros:
5
2
−x
; obtenemos:
x2
– 12 +
5
2
−x
= 2x + 3 +
5
2
−x
Para lo cual x = 5 no es solución:
Ecuaciones de 1° grado con una incógnita
Toda ecuación de 1° grado con una incógnita, puede reducirse a la forma: ax + b = 0 (al primer
miembros se le denomina función lineal).
Se observa que:
1° Si: a ≠ 0 la raíz es -b/a
2° Si: a = 0 y b ≠ 0 la raíz no existe
3° Si: a = 0 y b = 0 la raíz es un número cualquiera (ecuación indeterminada)
4° Si: a ≠ 0 y b = 0 la raíz es cero.
PRACTICA DE CLASE
01. 3x + 4 (x – 3) = 4 (x – 4) + 2 06. 





− 4
3
3
x
= 7 (x – 1 )
02. 5x +
2
3
(x – 4) = 0 07.
3
x
x
3
2
+ = x – 4
03. 8x +
3
2
(x+5) = x 08. )x(432,3)(x20, −=−

04. 8 + 9 (x – 3) =
2
x
09.
4
3
(x + 4) = 0,2 (x – 1)
05. 4 





−3
2
x
= 3 





+ 2
3
x
10.
5
2
(x – 3) = 











− 4
23
1
3
2 x
TAREA DOMICILIARIA
01. 3 (x – 4) = 5 (x + 3)
02. 8 (x+ 4) = 3 (x – 9)
03. 





+
2
1
3
2
x = 





−
3
4
5
4
x
04. )x(, 362 +

= 1,5 (x + 1)
05. 2,3 x +9 (x – 1) = 5 + 2 





− 50
2
,
x
SISTEMAS DE ECUACIONES
DE PRIMER GRADO

Año Secundaria
Son las que satisfacen para iguales valores de las incógnitas
Ejm:



=−
=+
1yx
5yx
RESOLUCION DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES
Existen 3 métodos de Resolución: El de Sustitución, el de Igualación y el de Reducción.
A. METODO DE SUSTITUCIÓN :
Consiste en despejar una de las variables en cualquiera de las ecuaciones del sistema (de
preferencia la que tenga el menor coeficiente), luego sustituir su valor en la otra ecuación y por
último resolver la ecuación de 1er grado con una variable que resulta. Así.
Ejm : Resolver :



=+
=+
32....(2)3y2x
....(1)41y5x
Solución : Despejando ¨y ¨ en la ecuación ( 1 ) y = 41 - 5 x
Reemplazando este valor en la ecuación
( 2 ) 2 x + 3 ( 41 – 5x ) = 32 .... Luego x = 7
Sustituyendo x = 7 en la ecuación ( 1 )
5x + y = 41 ⇒ 5 ( 7 ) + y = 41 .... Luego y = 6
CS = { 7, 6 } Rpta
B. METODO DE IGUALACIÓN:
Consiste en despejar la misma variable en cada una de las 2 ecuaciones e igualar, luego las 2
expresiones que representan el valor de la variable despejaba.
Ejm : Resolver :



=+
=−
28....(2)3y8x
6.....(1)5y13x
Solución :
Despejando x en cada uno de las ecuaciones dadas.
Igualando estos valores:
8
3y28
13
5y6 −
=
+
8 ( 6 + 5y ) = 13 ( 28 – 3y )  48 + 40 y = 364 - 39 y
40 y + 39 y = 364 - 48
y = 4
Reemplazando y = 4 en la ecuación ( 2 )
8 x + 3 ( 4 ) = 28  8 x = 28 - 12 → x = 2
CS = { 2, 4 } Rpta.
C. METODO DE REDUCCIÓN:
Consiste en igualar el valor absoluto de los coeficientes de la misma variable en las 2
ecuaciones, por medio de la multiplicación, y luego sumar o restar miembro a miembro las
ecuaciones obtenidas, para de esa manera eliminar dicha variable.
Ejm. Resolver :



=−
=+
).....(yx
).....(yx
21226
13434
Solución.-
Eliminaremos a ¨y ¨ y multiplicamos a la ecuación ( 1 ) x 2 y a la ecuación ( 2 ) por 3. Así:
2 ( 4 x + 3 y ) = ( 3 4 ) 2 → 8 x + 6y = 68
3 ( 6 x – 2 y ) = ( 12 ) 3 → 18 x – 6y = 36
26 x = 104
x = 4
Sustituyendo x = 4 en ( 1 )
Son sistema de ecuaciones porque con los valores de:
x = 3 y y = 2, se satisfacen ambas ecuaciones
Sumando miembro a miembro
8
3y28
x
13
5y6
x
−
=
+
=

Año Secundaria
4 ( 4 ) + 3 y = 34 → 16 + 3 y = 34
3 y = 34 - 16
3 y = 18
y = 6
CS = { 4, 6 } Rpta.
EXISTE UN CUARTO METODO LLAMADO:
D. METODO POR DETERMINANTES:
Consiste en aplicar el concepto de MATRIZ
Ejm. Resolver:



=−
=+
1325
63
yx
yx
Solución.-
a) Hallamos el determinante del sistema ¨D¨, usamos la matriz ¨2 x 2¨, colocamos los coeficientes
de x y de y.
171525321
25
31
−=⇒−−−−=
−
+
D)....)(())((
b) Hallando el determinante de x: D ( x ), reemplazando los coeficientes de x por los términos
independientes, respetándose los coeficientes de y. Así :
51391213326
213
36
−=⇒−−=−−=
−
+
)x(D)x(D)....)(())((
c) Hallando D ( y ), así :
1730135613
135
61
=⇒−=−== )y(D))(()y(D
Para hallar 33
17
51
=⇒=
−
−
== x
D
)x(D
x
Para hallar 11
17
17
−=⇒−=
−
== y
D
)y(D
y
PRACTICA DE CLASE
Resolver:
(SI) (NO)
(SI) (NO)
(SI) (NO)
CS= {3, -1 } Rpta

Año Secundaria
01.



=−
=+
1325
63
yx
yx
a) ( - 3, -1 ) b) ( 1, 3 ) c) ( -1, 3 ) d) ( 3, 1 ) e) N.a.
02.



=+−
=−
2587
85
yx
yx
a) ( - 7, - 3 ) b) ( 3, 7 ) c) ( -3, - 7 ) d) ( -3, 7 ) e) N.a.
03.



−=−−
=+
7410
554
xy
yx
a) ( 4/3, - 5/2 ) b) ( 3/4, 2/5 ) c) ( - 3/4, 5 ) d) ( - 3, - 5 ) e) N.a.
04.



=−
=+
897
321115
xy
yx
a) ( - 2/3, - 3 ) b) ( 2/3, 4 ) c) ( 2/3, 2 ) d) ( 3, - 2 ) e) N.a.
05.



−=−
−=+
5916
111810
yx
yx
a) ( 1/3, 1/2) b) ( 1/2, 1/3 ) c) ( 2,- 3 ) d) ( - 1/2, - 1/3 ) e) N.a.
06.



=−
=+
937
276
yx
yx
a) ( 3, 4 ) b) ( -3, 4 ) c) ( 3, - 4 ) d) ( - 3, 4 ) e) N.a.
07.



=+
=−
1389
547
yx
yx
a) ( 1/2, 1 ) b) ( 2, 1/3 ) c) ( 1, 1/2 ) d) ( 3, 1/4 ) e) N.a.
08.



−=−−
−=−
27512
871115
yx
yx
a) ( 2/3, 8 ) b) ( - 2/3, 9 ) c) ( - 2/3, 1 ) d) ( - 2/3, 7 ) e) N.a.
09.



−=+
−=−
6085
223
yx
yx
a) ( - 4, - 5 ) b) ( - 5, - 4 ) c) ( 4, 5 ) d) ( 5, 4 ) e) N.a.
10.



−=+
=+
41012
4297
yx
yx
a) ( 12, 14 ) b) ( 14, 12 ) c) ( - 12, 14) d) ( -14, 12 ) e) N.a.

Año Secundaria
11.






=+
=+
7
2
11
2
3
y
x
y
x
a) ( 6, 2 ) b) ( 2, 2 ) c) ( 6, 6 ) d) ( 0, 0 ) e) N.a.
12.





−=−
=
+
832
45
12
yx
yx
a) ( 0, 3 ) b) ( 4, 0 ) c) ( -2, -4 ) d) ( 2, 4 ) e) N.a.
13.






=−
=+
7
4
3
7
1
0
87
yx
yx
a) ( 1, -2 ) b) (- 6, - 8 ) c) ( 7, - 8 ) d) ( 8, 7 ) e) N.a.
14.






=−
=−
2
6
5
8
1
1
4
3
3
2
xy
yx
a) ( 3, 4 ) b) ( - 3, - 4 ) c) ( 2, 4 ) d) ( - 3, 0 ) e) N.a.
15.





−=−
=
+
832
45
12
yx
yx
a) ( 2, 2 ) b) ( 3, 3 ) c) ( 4, 4) d) ( 5, 5 ) e) N.a.
16.



=+
=+
x)y(
y)x(
752
223
a) ( 4, 9 ) b) ( 9, 4 ) c) (– 4, 9 ) d) (– 9, 5 ) e) N.a.
TAREA DOMICILIARIA
01.



=+
−=−
1334
956
yx
yx
a) ( 3, 1 ) b) ( 1, 3 ) c) (–1, 3 ) d) (–3, 1 ) e) N.a.
02.



=+
−=+
311112
11518
yx
yx
a) (–2, 5 ) b) ( 5, 2 ) c) ( -2, 3 ) d) ( -2, -6 ) e) N.A.

Año Secundaria
03.



=+
=−
236819
4015
yx
yx
a) (–4, - 20 ) b) ( 4, - 18 ) c) ( 4, 4 ) d) ( 4, 20 ) e) N.a.
04.



=−−
=−
86
1157
yx
yx
a) (–2, –1 ) b) (–1, –2 ) c) ( 2, 1 ) d) ( 0,3 ) e) N.a.
05.



−=−
−=−
101724
141136
yx
yx
a) (1, 2 ) b) (–1, –2) c) ( 2, 1 ) d) (–2, –3 ) e) N.a.
I. OBJETIVOS ESPECÍFICOS :
1.1 Expresar algebraicamente una expresión verbal.
1.2 Solucionar problemas planteando ecuaciones.
II. PROCEDIMIENTOS:
A) MOTIVACIÓN :
El arte de plantear ecuaciones :
El idioma del Álgebra es la ecuación. “Para resolver un problema referente a números o
relaciones abstractas de cantidades, basta con traducir dicho problema, del ingles u otra lengua
al idioma algebraico”, escribió el gran Newton en su manual de álgebra titulado ARITMETICA
UNIVERSAL. Isaac Newton mostró con ejemplos cómo debía efectuarse la traducción. Uno de
estos famosos problemas fue :
¡Caminante! Aquí fueron sepultados los restos de Diofanto. Y los números pueden mostrar, ¡oh
, milagro!, cuan larga fue su vida, cuya sexta parte constituyó su hermosa infancia. Había
transcurrido además una duodécima parte de su vida, cuando de bello cubrióse su barbilla. Y la
séptima parte de su existencia transcurrió en un matrimonio estéril. Paso un quinquenio más y le
hizo dichoso el nacimiento de su hijo primogénito que entrego su cuerpo, su hermosa existencia,
a la tierra, que duró tan solo la mitad de la parte de la de su padre. Y con pena descendió a la
sepultura, habiendo sobrevivido cuatro años al deceso de su hijo. Dime cuántos años había
vivido Diofanto cuando le llego la muerte?.
B) CONTENIDO TEÓRICO:
Analice los problemas explicados y saque sus propias conclusiones :
Problema (01) :
Vamos ha desarrollar el problema que trata de la biografía de Diofanto(redactado en la parte
inicial).
¡Caminante! Aquí fueron sepultados los restos de Diofanto. Y los números pueden mostrar, ¡oh
, milagro!, cuan larga fue su vida,
x
cuya sexta parte constituyó su hermosa infancia.
x / 6
Había transcurrido además una duodécima parte de su vida, cuando de bello cubrióse su
barbilla.
x / 12
Y la séptima parte de su existencia transcurrió en un matrimonio estéril.
x / 7
Paso un quinquenio más y le hizo dichoso el nacimiento de su precioso primogénito.
5
Que entrego su cuerpo, su hermosa existencia, a la tierra, que duró tan solo la mitad de la parte
de la de su Padre.
x / 2
Y con profunda pena descendió a la sepultura, habiendo sobrevivido cuatro años al deceso de su
hijo: 4
Entonces: x = x / 6 + x / 12 + x / 7 + 5+x / 2 + 4
Para responder a la pregunta ¿Cuántos años vivió Diofanto cuando le llegó la muerte?, solo
basta resolver la ecuación formulada al final. Así :
PLANTEAMIENTO DE

Año Secundaria
Sacamos MCM de todos los denominadores, incluyendo el segundo miembro : 84
Dividimos el MCM entre todos los denominadores y multiplicamos por sus respectivos
denominadores. Resulta : 84x = 14x + 7x + 12x + 420 + 42x + 336
transponiendo términos :
84x – 75x = 756
9x = 756
x = 84
Respuesta: Di
PRACTICA DE CLASE
01.La tercera parte de la diferencia de un número con 5 es igual a la cuarta parte del mismo número
más 2. Hallar el número.
02.Encontrar el mayor de tres números enteros consecutivos pares que sumados den 120.
03.¿Cuál es el número cuyos 2/ 3 ; disminuido en 2 es igual a sus 3/ 5, aumentado en 3?
04.El mayor de dos números es 10 más que 5 veces el menor. Si su suma es 28. Dar como respuesta el
producto de ambos.
05.Separa 900 soles en dos partes de modo que la primera parte sea 300 soles menos que el doble de la
segunda parte. Hallar la primera parte.
06.La diferencia entre dos números consecutivos impares es igual al doble del menor, disminuido en 8.
Hallar el mayor:
07.Si un número entero, se le suma el doble de su consecutivo, se obtiene 41. Hallar la semisuma de
dichos números.
08.El segundo de dos números es 20 menos que 4 veces el primero. Su suma es 15. Dar como respuesta
los números.
09.El segundo de tres números es igual a 6 veces el primero. El tercero es uno más que el segundo. Si
la suma de los tres números es 53. Hallar el mayor.
10.El menor de dos números es 3 menos que el mayor, si al mayor se le disminuye en el doble del más
pequeño, el resultado es -9. Encontrar el mayor.
11.Se han repartido chocolates entre cierto número de niños; dando a cada uno 4 chocolates sobrarían
2; pero dando a cada uno 6 chocolates faltarían 8. Hallar el número de niños y el número de
chocolates.
12.Benilde recibió 200 soles, tuvo entonces 3 veces lo que hubiera tenido si hubiera perdido 200 soles.
¿Cuánto tenía al principio?
13.El quíntuplo de un número, más 8 es igual al triple del mismo número aumentado en 6. Hallar dicho
número.
14.La quinta parte de un número aumentado en 6, excede a en 4 a la sexta parte del mismo número
aumentado en 8. Hallar dicho número.
15.El triple de un número, disminuido en 1 es a 4 como el doble del mismo número, aumentado en 1 es
a 3. Hallar dicho número.
16.Encontrar el menor de 4 números enteros consecutivos, de tal modo que el triple del tercero menos
el segundo dé el último.
17.Tres hermanos: Carlos, Manuel y Edwin recibieron una herencia. Carlos y Manuel recibieron en
común 36 mil soles, lo correspondiente a Carlos y Edwin ascendería a 38 mil soles y la parte de
Manuel junto a la de Edwin asciende a 42 mil soles. ¿Cuánto recibió Carlos?
18.“ EL PASEO ” .
• Pase Usted mañana por mi casa -- dijo el viejo doctor a un conocido.
• Muy agradecido. Saldré mañana a las tres. Quizá desee usted dar también un paseo. En este caso
salga a la misma hora y nos encontraremos a la mitad del camino.
• Usted olvida que soy ya viejo y ando tan solo 3 kilómetros por hora, en tanto usted, jovenzuelo,
cuando más despacio va, hace 4 kilómetros por hora. No seria ningún delito que me concediera
una ventaja.
• Tiene razón -- contestó el joven --. Como quiera que yo recorro un kilómetro a la hora más que
usted, le doy este kilómetro de ventaja, es decir, saldré de mi casa un cuarto de hora antes ¿ le
será suficiente?
• Es usted muy amable -- aprobó el anciano.
• El joven cumplió lo prometido y salió de su casa a las tres menos cuarto, marchando a 4
kilómetros por hora. El doctor salió a la calle a las tres en punto y anduvo a 3 kilómetros por
hora. Cuando se encontraron, el anciano dio la vuelta, yendo juntos a su domicilio.
Tan sólo cuando el joven regresó a su casa comprendió que debido a la ventaja concedida tubo
que caminar, no el doble , sino el cuádruple de los que anduvo el doctor.
¿A qué distancia de la casa del doctor estaba la de su joven desconocido?
EJERCICIOS PROPUESTOS N° 3
01.Luego de resolver el sistema:
3(x + 4) + 2(x – y) =17
5(x + y) + 4(x – y) = 29
Señale el valor de : 3x + 4y – xy

Año Secundaria
a) 11 b) 9 c) 31 d) 7 e) 41
02.Resolver el sistema :
4(2x + y) + 5(2x – y) = 17
3(2x + y) – (2x – y) = 8
Indicar luego el valor de 22
yx −
a) 2 b) 1 c) 0 d) 3 e) 9
03.Luego de resolver el sistema
(a + b) x + by = a2
x + y = a
a) b b) b2
c) a2
d) ab e) 1
04.Hallar “x” en :
( ) ( )
( ) ( ) 2x3
2x3
2468912344
2469112346
22
22
−
+
=
−
−
a) 12123 b) 37037 c) 54321 d) 12321 e) 12345
05.Resolver :
1
3x3
5x5
=
−
−
a) 0 b) 9 c) 31 d) 7 e) 41
06.Resolver :
1990
12
x
4
x
3
x
2
x
+=++
a) 2431b) 1990 c) 2980 d) 3980 e) 19909
07.Del sistema : x + y = 2a .... (1)
x – y = 2b..... (2)
se puede afirmar que “xy” es :
a) a b) b c) ab d) a2
– b2
e) ab2
08.Resolver:
a(x – 2) + 3(x – 3) = 4 (x – 4)
Dan como respuesta (x + 1)
a) –1 b) –2 c) –3 d) 4 e) 1
09.Resolver:
x4
3
2
1
x4
3
2
1
−
−
=
+
−
a) 4 b) –4 c) 0 d) 1 e) 4–1
10.Resolver :
2
1
2
1
2
1
x
2
1
x
2
1
=





−





−−
a)
2
1
b) 1 c) 3/2 d) 2 e) 5/2
11.Hallar un número, que disminuido en 5/8 de él nos da 240
a) 600 b) 640 c) 720 d)170 e) 820
12.El dinero que tiene Paco, aumentado en sus 7/12 es igual a 760. ¿Cuanto tenia Paco?
a) 480 b) 420 c) 400 d) 600 e) 720
13.¿Cual es el número cuyo 3/4 excede en 420 a su sexta parte?
a) 720 b) 180 c) 600 d) 840 e) 960
14.¿Que número es aquel, cuyo exceso sobre 232 equivale a la diferencia entre 2/5 y 1/8 del número?
a) 300 b) 700 c) 400 d) 320 e) N.a.
15.La diferencia de dos números mas 80 unidades es igual al cuádruple del número menor, menos 60
unidades. Hallar los dos números, si el mayor es el triple del menor.
a) 120 y 80 b) 70 y 210 c) 180 y 240 d) 180 y 120 e) 240 y 340
16.La suma de dos números es 74 y su cociente es 9, dando de residuo 4. ¿Cuál es número menor?
a) 3 b) 7 c) 10 d) 12 e) 9

Año Secundaria
17.La suma de los números es 611, su cociente es 32 y el residuo de su división el mayor posible.
Hallar el producto de dichos números.
a) 4724b) 10674 c) 12494 d) 72444 e) N.a.
18.Ana tiene dos veces lo que tiene Maria, si Ana le da s/.18 a Maria, entonces tendrán la misma
cantidad. ¿Cuánto tienen entre las dos?
a) 108 b) 54 c) 72 d) 80 e) 96
19.Hallar el menor de tres números enteros consecutivos, si sabemos que los 4/5 del mayor exceden a
los 3/4 del intermedio en una cantidad igual a la sexta parte del menor disminuida en 1/5
a) 10 b) 8 c) 9 d) 12 e) 15
20.Tu tienes la mitad de lo que tenias y tendrás el triple de lo que tienes. Si tuvieras lo que tienes,
tenías y tendrás, tendrías lo que yo tengo, que es 180 soles más de lo que tu tendrás. ¿Cuantos
tenías?
a) 100 b) 110 c) 80 d) 120 e) 140
21.En una aula están agrupados en un número de bancas de 6 alumnos cada una, si se les coloca en
bancas de 4 alumnos se necesitan 3 bancas más. ¿Cuántos alumnos hay?
a) 24 b) 36 c) 42 d) 90 e) 120
22.Un tren al final de su trayecto llega con 40 adultos y 30 niños, con una recaudación de s/. 200. Cada
adulto y cada niño pagan pasajes únicos de s/.2 y s/.1 respectivamente. ¿Con cuantos pasajeros
salió de su paradero inicial si en cada paradero por cada 3 adultos, que subían, también subían, junto
con 5 niños?
a) 80 b) 60 c) 90 d) 82 e) 120
23.Lo que cobra y gasta un profesor suma s/. 600, lo que gasta y lo que cobra está en relación de 2 a 3.
¿En cuanto tienen que disminuir el gasto para que dicha relación sea de 3 a 5?
a) 12 b) 36 c) 28 d) 30 e) 24
24.En un pueblo correspondía cada habitante 601 de agua por día.
Hoy ha aumentado la población en 40 habitantes y corresponde a cada uno 31 menos.
El menor número de habitantes del pueblo es:
a) 800 b) 600 c) 720 d) 960 e) 1000
25.se desea repartir naranjas equitativamente entre cierto número de niños sobrando 3 naranjas; pero su
les da 2 naranjas más a cada uno faltarían 7 naranjas. ¿Cuántos niños eran?
a) 15 b) 5 c) 10 d) 18 e) 70
26.Dos socios han contribuido a formar un capital. El 1° recibió 20% de interés por el capital que
invirtió durante 2 años y el 2° recibió el 15% de interés sobre el capital que invirtió durante 18
meses. Si la ganancia total fue de S/. 1320. ¿Qué monto invirtió el 2° si la suma de los capitales
invertidos fue de S/. 7600?
a) S/. 4000 b) S/. 400 c) S/. 7200 d) S/. 4200 e) S/. 3600
27.Dos comerciantes que han adquirido 8 y 5 docenas de pantalones tiene que pagar por dicha compra;
como no poseen dinero, el primero paga con 6 pantalones y le dan S/. 300 de vuelto, el segundo
paga con 4 camisas y recibe S/. 320 de vuelto.
Sabiendo que los pantalones en pago no se les ha cobrado impuestos determinar el costo de cada
pantalón.
a) S/. 600 b) S/. 500 c) S/. 480 d) S/. 720 e) S/. 420
28.Si por 2 soles me dieron 6 naranjas más de los que dan, la docena costaría S/. 0,90 menos. Hallar el
número de naranjas que me dan.
a) 10 b) 8 c) 16 d) 40 e) 12
29.Una persona puede comprar 24 manzanas y 20 naranjas o 36 manzanas y 15 naranjas. Si compara
sólo naranjas. ¿Cuál es el máximo número que podría comprar?
a) 20 b) 15 c) 18 d) 30 e) 22
30.Se debía repartir S/. 1800 entre cierto número de personas, 4 de ellas renunciaron a su parte, con la
cual a cada uno de los asistentes le tocó S/. 15 más. ¿Cuántas personas eran inicialmente?
a) 24 b) 22 c) 40 d) 32 e) 44
TAREA DOMICILIARIA
01.¿Cuál fue la longitud de la tela si a pesar de haberse ya vendido una tercera parte más la cuarta parte
más la sexta parte aún sobran 30m de tela?
02.Hace 10 años la edad de “A” era los 3 / 5 de la edad que tendrá dentro de 20 años. Hallar la edad
actual de “A”.
03.En una fiesta, la relación de mujeres a hombres es de 4 a 3; en un momento dado se retiran 4 damas
y llegan dos hombres con lo que la relación es ahora 6 a 5. Indicar cuántos hombres deben llegar
para que la relación sea 1 a 1.

Año Secundaria
04.Gaste los 2/ 3 de lo que no gasté y aún me quedan S/. 20 más de lo que gasté. ¿Cuánto tenia?
05.De 100 personas que leen por lo menos 2 ó 3 diarios notamos que 55 leen Comercio y Expreso; 35
leen Expreso y Extra y 60 leen Comercio y Extra. ¿Cuántas personas leen los tres diarios?
06.300 empleados deben cobrar S/. 25 200, pero como algunos de ellos se retiran; el resto tiene que
cobrar S/. 140; cada uno. ¿Cuántos se retiraron?
INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA
a) Relación mayor que : a > b ⇔ a - b = 0
Ejemplo : 7 > 3 ⇔ 7 – 3 > 0 porque : 7 - 3 = 4, que es positivo
b) Relación menor que : a < b ⇔ a – b < 0
Ejemplo : 2 < 7 ⇔ 2 – 7 = - 5 < 0
Elementos :
2 x + 3 > 17
Segundo mi embroPrimer mi embro
Signo de
desiguadad
Resolución : MÉTODO PRACTICO
Ejemplo 1 : Resolver 8 x - 10 > 6
Solución : Los términos: independientes se colocan en un miembro y las variables en otro, así :
0 1 2 3 4
2, +
8 x 6 + 10
8 x 16
x 16
8
x
Ejemplo 2 : Resolver: 3 x – 5 ≤ 13 – 3 x
Solución :
- 2 - 1 0 1 2
3 x + 3 x 13 + 5
6 x 18
x 18
6
x 3
3 4
, 3
Ejemplo 3 : Resolver : 11 – 5 x < 13 – 4 x
Solución : Se transponen los términos :
- 5 x + 4 x < 13 – 11
- x < 2
Nota : Cuando cambia el signo de la variable cambia también el sentido de la ecuación .
- 2 - 1 0 1 2 3 4
- 2, +
x > - 2
DESIGUALD

Año Secundaria
Ejemplo 4 : Resolver : 52x4
3
5x
−≥−
Solución : M C M = 3
5 x – 12 ≥ 6 x – 15
Trasponiendo términos :
5 x – 6 x ≥ - 15 + 12
- x ≥ - 3
Cambiando de signo y sentido : x ≤ 3
PRACTICA DE CLASE
01.x – 5 < 2 x – 6 :
a) x > 1b) x < 1 c) x > - 1 d) x < - 1 e) N.a.
02.5 x – 12 > 3 x – 4
a) x < 4b) x > 6 c) x > 4 d) x > - 4 e) N.a.
03.x – 6 > 21 – 8 x
a) x > 9b) x < 5 c) x < 3 d) x > 3 e) N.a.
04.3 x – 14 < 7 x – 2
a) x > – 3 b) x > – 4 c) x > – 5 d) x < 3 e) N.a.
05.2 x – 5/3 > x/3 + 10
a) x > 6b) x > 7 c) x > 8 d) x > 9 e) N.a.
06.3 x – 4 + x/4 < 5x/2 + 2
a) x < 6b) x < 7 c) x < 8 d) x < 9 e) N.a.
07.( x – 1 )2
– 7 < ( x – 2 )2
a) x < 2b) x < 3 c) x < 4 d) x < 5 e) N.a.
08.(x+ 2)(x – 1) + 26 < (x + 4) (x – 1)
a) x > 14 b) x > 13 c) x > 12 d) x > 11 e) N.a.
09.3( x – 2 ) + 2 x ( x + 3 ) > ( 2 x – 1 ) ( x + 4 )
a) x > - 1 b) x > 0 c) x > 2 d) x > 1 e) N.a.
10.6 ( x2
+ 1 ) – ( 2 x – 4 ) ( 3 x + 2 ) ≤ 3 ( 5 x + 21 )
a) x ≥ 5 b) x ≥ 6 c) x ≥ 7 d) x ≥ 8 e) x ≥ – 7
11.
23x
52x
13x
12x
−
+
>
−
+
a)
14
3
x > b)
3
14
>x c)
14
3
<x d)
3
14
<x e) N.a.
12.
3
x
2x
4
3
3x
≥
+
−
+
a) x > 2b) x > 6 c) x > 3 d) x > 4 e) N.a.
13.
13x
2
129x
20
13x
5
−
<
−
−
+
a) x > 0 b) x < 1 c) x < 2 d) x < 3 e) N.a.
14.
12x
1
x2x
1
x2x
1
−
−
−
>
+
a) x < 1b) x < 2 c)
3
1
x < d)
2
1
x < e) N.a.
15.Hallar el mayor número entero, cuyo triple es menor de 54
a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) N.a.
16.Obtener el menor número natural, tal que siete veces dicho número aumentando en 2 sea mayor que
86 .
a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17
17.¿Cuál es el mayor número natural, cuyo doble disminuido en 5 es menor que 31?
- 2 - 1 0 1 2 3
, 3

Año Secundaria
a) 18 b) 17 c) 16 d) 15 e) N.a.
18.Hallar la máxima edad que deben tener Anita y Karin, si se diferencian en 8 años y la suma de sus
edades es menor que 60 .
a) 26 y 34 b) 33 y 27 c) 35 y 25 d) 34 y 26 e) N.a.
19.Hallar el número entero cuyo cuádruplo menos 8 sea mayor que el triple menos 1 y cuyo doble
disminuido en 3 sea menor que el número aumentado en 6 .
a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) N.a.
20.Resolver : 2
2
n3
1
3
1n2
+≥−
−
a) n ≤ – 4 b) n ≥ – 4 c) n ≤ 4 d) n ≥ 4 e) N.a.
Es la unión de los números racionales (Q) con los
irracionales (II)
Es decir: Q U II = R
Ejemplo :
De Números Reales: 0,5, – 3,2 1 + √5, π + 2, - 7, –
3
5
, etc.
A. VALOR ABSOLUTO : a 
Es la distancia del CERO a dicho número .
Luego:
111111 =−=+
B. INTERVALOS:
Conjunto de números reales que pueden o no incluir los extremos.
CLASES:
1. ABIERTO : Cuando no incluyen los EXTREMOS y no llevan signo igual.
Así: M =  x ∈ R / a < x < b
Ejemplo : B =x ∈ R / -3 < x < 3 ] -3, 3 [
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
B
GRAFICA
Se representa con un
círculo sin llenar
2. CERRADO : Cuando incluyen los extremos y lleva signo IGUAL.
Ejemplo : C =  -3 ≤ x ≤ 0 [ - 3, 0 ]
-3 -2 -1 0 1 2
C
GRAFICA
Se representa con un
círculo lleno .
3. ILIMITADO : Cuando sus extremos están representados por infinito + ó – .
1111
0
11 11
Así :
NUMEROS
N
Z
Q
I
R

Año Secundaria
0
GRAFICA
Siempre es abierto
4. CERRADO POR UN EXTREMO : Cuando se incluye un extremo y el otro no.
A =  5 ≤ x ≤ 8 [ 5, 8 [
0
A
GRAFICA
1 2 3 4 5 6 7 8
5. ABIERTO POR UN EXTREMO : No se incluye un extremo.
M = 3 < x  ] 3, +∞ [
0
GRAFICA
M
1 2 3 4
PROBLEMAS : Ejemplos
01.Dados los intervalos P = [ -3, 2 [ , Q = ] -1, 3 ] , Hallar P U Q
Solución : Se grafican los intervalos.
-3 3
P U Q
P
Q
-2 -1 0 -1 -2
02.Dados : 





=





−= 6,
2
1
Ny4,
2
1
M
Hallar M ∩ N
Solución : Se grafican los intervalos
-1
01
2
-
1
2
N
M
M N
1 2 3 4 5 6 7
03.Hallar el intervalo R – S , SI R = [ - 5, 1 [ Y s = ] – 2, 3 ]
S
R
R - S
-5
R - S = [ - 5, - 2 ]
-0-4 -3 -2 1-1 32
El extremo exterior se respeta, pero el INTERIOR se cambia.
04.Hallar el intervalo P – Q, SI P = ] – 2, + ∞ [ y Q = [ 2, 5 ]
En la unión se toman los
extremos finales.
Así: P U Q = [ -3,3 ]
En la INTERSECCION se toma el
segmento “central”, respetando sus
extremos.
Así : 





=∩ 4,
2
1
NM

Año Secundaria
-2 -1 0 1 2 3 4 5
P
Q
+-
P – Q = ] – 2, 2 [ U ] 5, + ∞ [
05.Graficar y hallar A B , si A= [ -4, 1 [ y B = ] – 2, 3 ]
- 4 -3 - 2 -1 0 1 2 3
A B = [ - 4, - 2 ] U [ 1, 3 ]
PRACTICA DE CLASE
01.El conjunto A = { x /x ∈ R , 5< x< 9 } con notación de intervalo se escribe :
a) [ 5, 9 ] b) ] 5, 9 [ c) [ 5, 9 [ d) ] 5, 9 ] e) N.A.
02.El conjunto B = { x /x ∈ R , x < - 2 } con notación de intervalo se escribe :
a) ] -ω , -2 [ b) ] 0 , -2 [ c) [ 0 , - 2 ] d) ] 0 , -ω [ e) N.A.
03.El intervalo [ -3 , 5 [ con notación conjuntista se escribe :
a) { x / -3 < x < 5 } b) { x / x < 5 } c) { x / x > -3 } d) { x / -3≤ x <5 } e) N.A.
04.El intervalo [ 0 , 4 ] con notación conjuntista se escribe :
a) { x / x < 4 } b) { x / x ≤ 4 } c) { x / 0 < x < 4 }
d) { x / 0 ≤ x ≤ 4 } e) N.a.
05.Representar el gráfico :
- 1 0 1 2 3- 2
a) [–2 , 3 ] b) [–2 , 3 [ c) ] –2 , 3 ] d) [–2 , 3 [ e) N. a.
06.Sean los intervalos U = [ -5 , 5 ] ; B = ] –1, 4 ] ; C = [ -3 , 5 ] y A = ] –5 , 1 [
Hallar B’
a) [–5 , –1 ] U ] 4, 5 ] b) [–5 , 1 [ U [ 3, 4 ] c) [–1 , 0 ] U [–4 , 5 [
d) [–1 , 0 ] U [ 2 , 3 ] e) N.a.
07.Hallar B U C
a) U b) A c) B d) C e) N.a.
08.Hallar : C – B
a) C b) [ -3 , -1 [ U [ 4 , 5 ] c)[ -3 , -1 ] U ] 4 , 5 ]
d) A e) N.a.
09.Hallar : A U C
a) ] –5 , 4 ] b) ] –5 , 5 ] c) [ -5 , 1 ] d) C e) N.a.
10.Hallar : B ∩ C
a) U b) A c) B d) C e) N.a.
11.Hallar : A ∩ B
a) ] –1 , 1 [ b) [ -2 , 2 ] c) ] –3 , 3 ] d) [ -4 , 4 ] e) N.a.
12.Hallar : C’
a) [–5 , –3 ] b) [–3 , 3 ] c) ] –5 , 3 ] d) ] –5 , –3 ] e) N.a.
Sean los intervalos : A = [ 2, 4 [ y B = ] 3 , 8 [ Hallar :
13.Hallar : A U B
a) [– 8 , 2 ] b) ] – 8 , – 2 [ c) [ 2 , 8 [ d) [– 2 , 8 ] e) N.a.
14.Hallar : A ∩ B
a) ] 3 ,4 [ b) [– 4 , – 3 [ c) [ 2 , 4 ] d) [–1 , 6 ] e) N.a.
15.Hallar : A - B
En la figura simétrica, se respetan
los EXTREMOS “extremos” y se
cambian los extremos “MEDIOS”.

Año Secundaria
a) [ -2 , 3 [ b) [ 2 , 3 ] c) [ -3 , +ω ] d) [ 3 , 8 [ e) N.A.
16.A ∆ B
a) [ -2 , 3 ] U [ -4 , 6 ] b) [ -2 , 2 ] U [ -3 , 3 ] c) [ 0 , 1 ] U [ 3 , 5 ]
d) [ 2 , 3 ] U [ 4 , 8 [ e) N.a.
PROBLEMAS PROPUESTOS N° 4
01.Resolver: x (x – 5) ≥ 7 + x2
+ 2x
a) x < 1 b) x > 1 c) x ≤ – 1 d) x ≥ 1 e) N.a.
02.Resolver:
11 > 11x (x2
+ 1) – 3x2
(x + 1) – 8x (x2
+ 1) + 3x(x – 1)
a) ∅ b) IR c) x > 1 d) x ≥ 0 e) N.a.
03.Resolver:
1
3
x
5
1x
+≤
−
a) x ≤ – 9 b) x < 1 c) x ≤ – 9 d) x < 0 e) N.a.
04.Resolver:
2x –
5
1x
3
1 −
<
a) x ≤
27
2
b) x <
27
2
c) x > 1 d) x <
13
7
e) N.a.
05.¿Cuántos números impares satisfacen a la siguiente inecuación?
x2
– 20 < 9x – 34
a) 1b) 2 c) 3 d) 0 e) 5
06.¿Cuántos cuadernos tenía Maritza, si cuando vende 900 le quedan más de la cuarta parte de los que
tenía; y si luego vende otros 102 cuadernos le quedan menos de 200?
a) 1 200 b) 1 301 c) 1 201 d) 1 500 e) 800
07.En un salón del primer año, hay tantos alumnos que si al triple se le suma 5 resulta una cantidad no
menor de 93; y si al doble se le disminuye 1, dicha cantidad resulta ser menor de 61. ¿Cuántos
alumnos hay en dicho salón de clase?
a) 40 b) 32 c) 31 d) 30 e) N.a.
08.¿Cuántos números enteros y positivos menores que 5, satisfacen a la siguiente inecuación?
3
x
5
1
1x
3
1
+
−
<
a) 1b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
09.El triple de la cantidad de manzanas disminuido en uno que compró Fernando, es menor que dicha
cantidad manzanas aumentada en 3. ¿Cuántas manzanas compró Fernando?
a) 2b) 1 c) 3 d) 4 e) 5
10.Resolver: 5x – 1 < 6x + 7
a) x > – 4 b) x < 4 c) x < – 7 d) x > – 8 e) x < – 8
TAREA DOMICILIARIA
01.Resolver:
2
5x
3
x +
>
02.Resolver:
1
2
x
5
3
2x
<+
−
03.Resolver:
2
x
3
2x
4
)1x(5
<
+
+
+
04.Dadas los intervalos:
A = ] –2; 9] ; B = [ 2; 12 [ C = [ 0; 7 ] ; D = 〈– ∞; – 9 [
Calcular:
a) A ∪ B
b) C – D

Año Secundaria
c) (C ∪ D) – A
d) (A ∩ C) – D
e) (A ∪ B) – (C ∩ D)
SOLUCIONARIO
EJERCICIOS PROPUESTOS:
EXPRESIONES
ALGEBRAICAS
OPERACIONES CON
POLINOMIOS
ECUACIONES DESIGUALDADES
01 B B A C
02 D D C B
03 E C B A
04 A B E B
05 A E E B
06 C C B C
07 B C D D
08 C A B C
09 A B C B
10 C A E D
11 B B
12 D A
13 C A
14 C D
15 E B
16 A B
17 A B
18 C A
19 D C
20 B D
21 C B
22 A C
23 B E
24 A A
25 B B
26 B A
27 D B
28 C A
29 B D
30 C A
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Matematica 1º4 b

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