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Geometria 5° 4 b

pre-universitario

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Geometria 5° 4 b

  1. 1. 39 40COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Año Secundaria GEOMETRÍA 5to Año Secundaria Denominamos región poligonal a la reunión de todos los puntos de un polígono con todos los puntos de su interior. Por ejemplo, una región triangular es la reunión de un triángulo y su interior. Podemos decir, también que una región poligonal es la figura plana que se forma al reunir un número finito de regiones triangulares. UNIDAD DE ÁREA Es la medida de un cuadrado cuyo lado es la unidad de longitud empleada. En la vida diaria, el área se mide por el metro cuadrado m2 ; es decir, un cuadrado de lado igual. A un metro. ÁREA DE UNA REGIÓN POLIGONAL Expresamos el área de una región poligonal por medio de un número real positivo que le corresponde como medida. Éste indica el número de veces que la unidad de área está contenida en la región poligonal. EL POSTULADO DE ADICIÓN DE ÁREAS Si dividimos una región poligonal en dos o más regiones, entonces, su área total, es igual a la suma de las áreas de todas sus regiones parciales. En la figura, a1 a2 a3 atotal = a1 + a2 + a3 EL POSTULADO DE LA UNIDAD (área del cuadrado) El área de una región cuadrada, es igual al cuadrado de la longitud de su lado. Aa ll l l A = ι2 Denotaremos el área de una región poligonal por el símbolo A y para abreviar, nos referiremos simplemente: el área del cuadrado, el área del rectángulo, el área de un triángulo, etc. En cada caso. Entendemos desde luego, que se trata del área de la región correspondiente. TEOREMA DEL ÁREA DEL RECTÁNGULO El área de un rectángulo, es el producto de las longitudes de sus dos lados a los cuales llamaremos base (al lado mayor) y altura (lado menor). Hipótesis: Sean los rectángulos sombreados de iguales dimensiones. b 2 h 2 A A b h b h b h b h Tesis: A = b – h Demostración: Paso 1: Las áreas de los dos cuadrados de la figura son b2 y h2 (Por el postulado anterior). Paso 2: El área de toda la figura es (b+h)2 Paso 3: También, de la figura, podemos observar que su área es b2 + 2ª + h2 b2 + 2A + h2 = (b + h)2 (del paso 2 y 3) b2 + 2A + h2 = b2 + 2bh + h2 Paso 4: Finalmente, simplificando la igualdad anterior. A = b.n TEOREMA DEL ÁREA DEL PARALELOGRAMO El área de un paralelogramo, es igual al producto de las medidas de su base y altura. Hipótesis: Sea el paralelogramo NLCR. bN R CELI h Tesis: A = b.h Demostración: Paso 1: Trazo LCRE;LCNI ⊥⊥ y prolongo LC hasta I (Construcción auxiliar). Paso 2: NIL ≅ REC ( ERNI ≅ , lados opuestos del rectángulo NIER y CRNL ≅ , lados opuestos de un paralelogramo). Paso 3: ANICR = ANIL = ANICR – AREC (De la figura, A significa área y los subíndices) se refieren al polígono. Paso 4: Es decir, ANLCR = ANIER (Simplificando la igualdad anterior). Paso 5: Pero ANIER = A = b.h (Teorema anterior) finalmente, de los pasos 4 y 5. A = b.h TEOREMA DEL ÁREA DEL TRIÁNGULO El área de cualquier triángulo, es igual al semiproducto de la longitud de su base por la longitud de su altura. Hipótesis: Sea el ∆ NMK N bE K h M G Tesis: A = 2 .hb Demostración: Paso 1: Trazo MN//GKyNK//MG Paso 2: ∠ GMK ≅ ∠ MKN y ∠NMK ≅ ∠ MKG Paso 3: ∆ NMK ≅ ∆ MGK Paso 4: A NMK + AMKG = ANMGK Paso 5: 2ANMK = ANMGK Paso 6: ANMK = A = 2 NMGKA y como ANMGK=A=b.h Paso 7: Finalmente, A = 2 .hb TEOREMA DEL ÁREA DEL TRIÁNGULO EQUILÁTERO El área de todo triángulo equilátero, es igual al cuadrado de la longitud de su lado, multiplicado por la cuarta parte de la raíz de tres. l l I N C1 2 S5GE34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S5GE34B “El nuevo símbolo de una buena educación...." IV REGIÓN
  2. 2. 39 40COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Año Secundaria GEOMETRÍA 5to Año Secundaria A = 4 32 ι TEOREMA DEL ÁREA DEL ROMBO Para hallar el área del rombo, multiplicaremos las medidas de sus diagonales y a este resultado lo dividiremos entre 2. L C N I d1 d2 A = 2 . 21 dd TEOREMA DEL ÁREA DEL TRAPECIO El área de un trapecio, es igual al producto de la longitud de su altura por la longitud de la mediana. N b2 C b1I L h A =       + 2 21 bb h Todos estos teoremas deben ser demostrados por el alumno. EJERCICIOS RESUELTOS 01.Encuentre la longitud de la base de un rectángulo, si su altura mide 12m. y su área es de 384m2 . Solución: Datos: A = 384 (área del rectángulo) h = 12 (altura del rectángulo) Por teoría, área del rectángulo A =b.h reemplazando datos en la igualdad anterior y resolviendo. 384 = (12) (b) 12 384 =b = ⇒ b = 32 Finalmente, la longitud de la base es 32m. 02.La medida del área de un rectángulo es 500cm2 , si la longitud de su base es cinco veces la longitud de su altura. ¿Cuáles son sus dimensiones? Solución: Datos: A = 500 (área del rectángulo) b = 5h (relación entre base y altura) Sabemos que: A = b.h ... (I) Y del segundo dato b = 5h ... (II) Reemplazando el valor de A y la ecuación (II) en la ecuación (I). 500 = (5h) (h) 5 500 =h2 100 = h2 extrayendo la raíz cuadrada 10 = h Reemplazando el valor de h en la ecuación (II). b = 5(h) = 5(10) = 50 Finalmente, las dimensiones del rectángulo son base 50 cm y altura 10cm. 03.El área del un terreno de forma cuadrada mide 900m2 . si se desea cercar todo el terreno, ¿cuántos metros de alambre necesitamos? Solución: Dato: A = 900m2 (área del cuadrado) Sabemos que el área del cuadrado A = 2 ι ... (I) Reemplazando el dato en la ecuación (I) y resolviendo 900 = 2 ι extrayendo raíz cuadrada. 30 = ι Para cercar el terreno necesitamos conocer el perímetro del terreno. Recordemos: Perímetro del cuadrado P = 4 ι Reemplazando valores, = 4(30) Resolviendo =120 Finalmente, necesitamos 120m de alambre. 04.Si el área de un paralelogramo es de 300cm2 y la longitud de su altura mide 6cm. Encuentra la longitud de su base. Solución: Datos: A = 300cm2 (área del paralelogramo) h = 6cm (altura) Por teoría, área del paralelogramo A = b.h ... (I) Reemplazando los datos en la ecuación (I) y resolviendo. 300 = b(6) 6 300 = b Simplificando 50 = b Finalmente, la longitud de la base del paralelogramo es 50cm. 05.Si el área de un paralelogramo es 18 000m2 . Además, su altura es 5 1 de la base. Encuentre sus dimensiones. Solución: Datos: A = 18 000 (área del paralelogramo) 5 1 = b h (relación entre altura y base) Por teoría, A = b.h ... (I) Del segundo dato: h = 5 b ... (II) Reemplazando el valor de A, la ecuación (II) en la ecuación (I) y resolviendo: A = b . h 18 000 = (b)       5 b Efectuando 18 000 = 2 5 1 b 90 000 = b2 Extrayendo raíz cuadrada 300 = b Reemplazando el valor del b en la ecuación (II). h = 5 b h = 5 300 ⇒ h = 60 EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 01 01.El área de un rectángulo es 300m2 . Encuentre las longitudes de sus lados, si su base es el triple que su altura. a) 10m; 30m b) 15m; 25m c) 20m; 30m d) 15m; 30m e) N.a 02.El perímetro de un rectángulo es de 140m. y su diagonal mide 50m. Encuentre su área. a) 1 200m2 b) 1 300m2 c) 1 400m2 d) 1 500m2 e) 1 600m2 03.El solar de una casa tiene 64. de largo por 36m de ancho ¿Cuántas locetas cuadradas de 40cm de lado se necesitarán para cubrir el piso? S5GE34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S5GE34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
  3. 3. 39 40COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Año Secundaria GEOMETRÍA 5to Año Secundaria a) 16 000 b) 17 000 c) 15 000 d) 14 000 e) 14 500 04.Si la base de un rectángulo es 16cm menos que el doble de su ancho. Encuentre su área, si su perímetro es de 112cm. a) 768cm2 b) 770cm2 c) 778cm2 d) 678cm2 e) N.a 05.En un rectángulo, sus lados son como 3 es a 4 y la suma de sus longitudes es 20m mayor que la longitud de la diagonal. Encuentre su área. a) 1 100m2 b) 1 150m2 c) 1 200m2 d) 1 300m2 e) N.a 06.El área de un rectángulo es 714,05m2 . Al aumentar su ancho en 6m y quitarle esta misma cantidad a su base, su área aumenta en 6m2 . Encuentre las dimensiones del rectángulo. a)20,45m; 30,46m b) 23,45m; 30,45m c) 21,46m; 30,46m d) 20,45m; 30,40m e) N.a 07.Si un cuadrado tiene su diagonal igual a 30 2 m ¿Cuál será su área? a) 899m2 b) 900m2 c) 901m2 d) 902m2 e) 903m2 08.El área de un cuadrado es 100m2 . si sobre al diagonal de éste se construye otro cuadrado. ¿Cuál será su área? a) 100m2 b) 200m2 c) 300m2 d) 400m2 e) N.a 09.El área de un cuadrado es 180m2 . Encuentre el área de otro cuadrado, cuya diagonal mida diez veces el lado del primero. a) 8 000m2 b) 9 000m2 c) 10 000m2 d) 7 000m2 e) N.a 10.Si las longitudes de un rectángulo son 270cm. De largo por 30cm de ancho. ¿Cuántos cm. Habrá que aumentar al ancho y cuántos disminuir al largo para que resulte un cuadrado de igual área? a) 50cm; 160cm b) 50cm; 170cm c) 60cm; 180cm d) 60cm; 190cm e) N.a 11.Si a los lados de un cuadrado le agregamos 6cm y 9cm. Entonces su área se duplica. ¿Cuál es la longitud del lado del cuadrado? a) 16cm b) 17cm c) 18cm d) 19cm e) N.a 12.El área de un rectángulo es 1 400m2 . si a su base le aumentamos 20m y a su altura 50m, entonces resulta un cuadrado. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo? a) 25,31m; 55,31m b) 25,32m; 55,32m c) 26,31m; 55,31 d) 26,32m; 55,32 e) N.a 13.La base de un triángulo es 71m y su altura correspondiente mide los 5 3 de la base. Encuentre su área. a) 1512,0m2 b) 1512,1m2 c) 1512,2m2 d) 1512,3m2 e) N.a 14.¿Cuál será el área de un triángulo rectángulo, si su hipotenusa mide 40 2 m y uno de sus catetos es el doble de otro? a) 640m2 b) 650m2 c) 660m2 d) 670m2 e) N.a 15.Si en un triángulo rectángulo isósceles su hipotenusa mide 20 2 m. Encuentre su área. a) 500m2 b) 400m2 c) 300m2 d) 200m2 e) N.a 16.La hipotenusa de un triángulo rectángulo forma con el cateto mayor, que mide 16 3 m, un ángulo de 30º. Encuentre su área. a) 128 3 m2 b) 127 3 m2 c) 126 3 m2 d) 125 3 m2 e) N.a 17.El área de un triángulo es 360m2 . La suma de las longitudes de su base con su altura respectiva es 78m. Encuentre estas longitudes. a) 67,3m; 10,5m b) 67,3m; 10,7m c) 68,3m; 10,5m d) 68,3m; 10,7m e) N.a 18.En un triángulo isósceles, sus lados congruentes miden 26cm y su base 20cm. Encuentre su área. a) 220cm2 b) 240cm2 c) 260cm2 d) 280cm2 e) N.a 19.Los lados de un triángulo son 3 números enteros consecutivos. Si su perímetro es 90m. y la altura del lado mayor mide 25,086m. Encuentre su área. a) 388,80m2 b) 388,82m2 c) 388,84m2 d) 388,86m2 e) N.a 20.Encuentre la longitud del lado de un triángulo equilátero, si su área es de 72 3 m2 . a) 10 2 m b) 11 2 m c) 12 2 m d) 13 2 m e) N.a 21.Encuentre la longitud de la altura de un triángulo equilátero de área igual a 54 3 m2 ? a) 9 2 b)8 2 c) 7 2 d) 6 2 e) N.a 22.Si un triángulo equilátero tiene una altura de longitud 16 3 m. Encuentre su área. a) 253 3 m2 b) 254 3 m2 c) 255 3 m2 d) 256 3 m2 e) N.a 23.Si el área de un paralelogramo es de 366m2 y su base mide 15,25m. Encuentre la longitud de su altura. a) 23m b) 24m c) 25m d) 26m e) N.a 24.La altura de un paralelogramo es de 30m y su área es de 760,2m2 . Encuentre la longitud de su base. a) 25,33m b) 25,34m c) 25,35m d) 25,36m e) N.a 25.Los lados consecutivos de un paralelogramo miden 22m y 70m, respectivamente. Si su diagonal menor mide 90m. Encuentre su área. a) 360,12m2 b) 360,11m2 c) 363,12m2 d) 363,11m2 e) N.a 26.Los lados consecutivos de un paralelogramo miden 34m y 15m respectivamente. El lado de 15m determina con su base un ángulo de 30º. Encuentre el área del paralelogramo. a) 255m2 b) 260m2 c) 265m2 d) 270m2 e) N.a S5GE34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S5GE34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
  4. 4. 39 40COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Año Secundaria GEOMETRÍA 5to Año Secundaria 27.Si la diagonal mayor de un paralelogramo es de 35,6m y dos de sus lados consecutivos miden 16m. y 24m. respectivamente. Encuentre su área. a) 316,31m2 b) 316,32m2 c) 316,33m 2 d) 316,34m2 e) N.a 28.En un paralelogramo, su diagonal menor mide 58cm y su base 72cm. Encuentre su área, si el ángulo que forma la diagonal menor con el lado más pequeño es de 90º a) 2447,33cm2 b) 2447,34cm2 c) 2447,35cm2 d) 2447,36cm2 e) N.a 29.El área de un rombo es 90m2 , si una de sus diagonales mide 15m. ¿Cuál es la longitud de la otra diagonal? a) 12m b) 10m c) 14m d) 15m e) N.a 30.La diagonal mayor de un rombo mide 6m más que la otra. Encuentre sus longitudes, si el área del rombo es 340m2 . a) 22,25m b) 23,25m c) 24,25m d) 25,25m e) N.a 31. En un rombo, sus diagonales están en la relación 5 a 12. Encuentre su área, si su perímetro es 52m. a) 110m2 b) 130m2 c) 150m2 d) 100m2 e) 120m2 32.La relación de las diagonales de un rombo es como 8 es a 10 y la diferencia de sus longitudes es 4m. Encuentra su área. a) 160m2 b) 120m2 c) 170m2 d) 100m2 e) N.a 33.El perímetro de un rombo es 272m. la diagonal menor es los 15 8 de la mayor. Encuentre el área. Del rombo. a) 3820m2 b) 3840m2 c) 3860m2 d) 17 500 e) N.a 34.Si una de las diagonales de un rombo mide 10m más que la otra. Encuentre la longitud de cada diagonal, si el área del rombo es 336m2 . a) 21,3m; 31,3m b) 21,4m; 31,4m c) 21,5m; 31,5m d) 21,6; 31,6 e) N.a 35.Si los lados de un rombo miden 10 29 m y la relación entre sus diagonales es 5 2 . Encuentre el área del rombo. a) 1 000m2 b)2 000m2 c) 3 000m2 d) 4 000m2 e) N.a 36.El perímetro de un rombo es 180m y la suma de sus diagonales es 152m. Encuentre su área. a) 3750m2 b) 3752m2 c) 3754m d) 3756m e) N.a 37.El perímetro de un rombo es 68m y la diferencia de sus diagonales es 18m. Encuentre su área. a) 206m2 b) 208m2 c) 202m2 d) 204m2 e) N.a 38.La diagonal de un rectángulo mide 50m. si su área es equivalente a la de un rombo cuya diagonal menor es igual a la altura del rectángulo y mide 30m. Encuentre la longitud de la diagonal mayor de rombo. a) 80m b) 90m c) 70m d) 60m e) N.a TAREA DOMICILIARIA 01.Los lados BCyAB de un triángulo isósceles ABC miden 20, el lado AC mide 24, se trazan CP , tal que BP =5 y AF (F en PC ), tal que PF = 2 FC. Calcular el área APF. a) 48 b) 72 c) 96 d) 108 e) N.a. 02.En un triángulo isósceles ABC, AC = BC; se traza la mediana BM y la altura CH intersectándose en F. Calcular el área AHFM, si el área del triángulo ABC es 72m2 . a) 6m2 b) 12m2 c) 24m2 d) 36m2 e) N.a. 03.El área de un triángulo es 60m2 . Calcular el área del triángulo que tiene por vértices los puntos medios de dos lados y el baricentro del triángulo. a) 5m2 b) 10m2 c) 12m2 d) 15m2 e) N.a. 04.En la siguiente figura, 4 1 == AD ED BC BD ; sABC= 16m2 . Calcular SAEC. A B E D C a) 5m2 b) 8m2 c) 10m2 d) 12m2 e) N.a. 05.El área de un triángulo ABC es 30, AB=10, BC=8; se traza la bisectriz exterior BF . Calcular el área ABF. a) 70 b) 150 c) 300 d) 150 2 e) N.a. 06.En un triángulo ABC, se trazan la mediana AM y la bisectriz BF intersectándose en P, si el área APB es 10m2 ; AB=5m y BC=6m. Calcular el área ABC. a) 16m2 b) 32m2 c) 48m2 d) 64m2 e) N.a. 07.En un triángulo PQR, la mediana PM y la altura QN se intersectan en O, tal que 8 3 QN ON = . Calcular PQR QOM S S a) 5 1 b) 6 1 c) 7 1 d) 8 1 e) 9 1 08.El área de un triángulo ABC es 30cm2 . se traza la bisectriz interior BD , de tal modo que AD =3m y DC=7m. Calcular el área del triángulo ABD a) 5m2 b) 9m2 c) 12m2 d) 15m2 e) N.a. 09.El área de un triángulo ABC es 10m2 , los lados ACyAB miden 4m y 6m respectivamente; se traza la bisectriz interior AF . Calcular el área del triángulo AFB. a) 2m2 b) 4m2 c) 6m2 d) 8m2 e) N.a. 10.En un cuadrilátero ABCD, AB=3m, CD=5m; AD=6, y AC=7m. Calcular el área de la región triangular ABC, si m∠BAC=m∠CDA S5GE34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S5GE34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
  5. 5. 39 40COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Año Secundaria GEOMETRÍA 5to Año Secundaria a) 6 m2 b) 2 6 m2 c) 62 m2 d) 2 63 m2 e) N.a. 11.En el gráfico, ABCD es un cuadrado, siendo S1, S2 y S3 las áreas de las regiones sombreadas. Decir que relación se cumple. A B D C PS3 S1 S2 a) S3=2(S1+S2) b) S3=2S1+S2 c) S3<2(S1+S2) d) S3>2(S1+S2) e) N.a. 12.En el gráfico, BC=5cm y EF=3cm, si el área de las región cuadrangular EFCB es de 16cm2 . Hallar el área de la región triangular ABC. A B C E F a) 20cm2 b) 24cm2 c) 25cm2 d) 26cm2 e) 30cm2 13.Halle Sx, si ABCD es un paralelogramo S1=4m2 ; S2 =10m2 . A D CB P S1 S2 Sx a) 3m2 b) 5m2 c) 7m2 d) 9m2 e) 6m2 14.Calcular el área de la región sombreada, si BM=MC; I es incentro del triángulo MCD, AB=8m, AD=12M. B M C A D I a) 16m2 b) 18m2 c) 20m2 d) 12m2 e) N.a. 15.El área del rectángulo BEFG es 50m2 . Hallar el área de la región sombreada HFID. B E C A D I H G F a) 40m2 b) 50m2 c) 60m2 d) 70m2 e) 80m2 16.En la figura mostrada, ABCD es un cuadrado de lado a , donde M es punto medio de CD . Calcular el área de la región sombreada. C B D A M P a) 8 2 a b) 7 2 a c) 6 2 a d) 5 2 a e) N.a. 17.En un trapezoide ABCD,BD = 16m y la proyección de la diagonal AC Sobre una recta perpendicular a BD en D mide 10m. Calcular el área del trapezoide. a) 160m2 b) 80m2 c) 40m2 d) 120m2 e) N.a. 18.Hallar el área de la figura sombreada, si ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 60cm y el lado del cuadrado pequeño EFGH mide 12cm. B A D H E F G a) 1256cm2 b) 1512cm2 c) 1556cm2 d) 1656cm2 e) N.a. 19.En la figura hallar el área del cuadrilátero PQRS, si AB=12m y BC=9m. T es punto medio de AB , P es punto medio de AD . B A R T S P Q C D a) 4 41 m2 b) 4 45 m2 c) 4 17 m2 d) 4 43 m2 e) 4 47 m2 20.ABCD es un rectángulo cuyo largo es el doble del ancho, siendo P y Q puntos medio de los segmentos BO y CO , respectivamente. Calcular el área de la figura sombreada, si PQ mide 2 2 m B A O P Q C D a) 5m2 b) 7 2 m2 c) 11 2 m2 d) 5 2 m2 e) 6 2 m2 S5GE34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S5GE34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
  6. 6. 39 40COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Año Secundaria GEOMETRÍA 5to Año Secundaria ÁREA DEL POLÍGONO Teorema 54 El área de todo polígono regular, es igual al semiproducto de la medida del perímetro por la longitud de su apotema. Hipótesis: Sea el hexágono regular NILCER con NI+IL+LC+CE+ER+RN=p (perímetro) y OM apotema. L C EO N M R a6 I Tesis : A= 2 . 6ap Demostración : Paso 1 : Uno O con los vértices par formar triángulos (Construcción auxiliar). Paso 2: Pero polígono NILCER=∆NOI+∆IOL+∆OLC+∆OCE+∆OER+∆ORN (Por definición de región triangular). Paso 3: ANILCER=ANOI+AIOL+AOLC+AOCE+AOER+AORN (Por el postulado de adición de áreas.) Paso 4: A∆NOR= 2 . 66 aι (Teorema del área del triángulo). Paso 5: ANILCER=6       2 . 66 aι (Pues todos los triángulos son congruentes). Paso 6: Pero 6 6ι =p, entonces, A= 2 . 6ap AREA DEL CÍRCULO Teorema 55 El área del círculo es igual al semiproducto de la longitud de la circunferencia por la longitud del radio. Hipótesis: En la figura, el círculo de centro O tiene su radio de longitud R y su circunferencia de Longitud C. O ln an Tesis: A = 2 .RC Demostración: Paso 1: Inscribo un polígono regular de n lados, de apotema a y perímetro p. Paso 2: Apol= 2 .ap (Teorema anterior). Paso 3: Aumentado indefinidamente el número de lados de este polígono hasta tal punto que el perímetro de éste se confunda con el de la circunferencia, la apotema con el radio, y el área del polígono con el área del círculo. Paso 4: Finalmente, de los pasos anteriores A = 2 .RC COROLARIO 1 El área de todo círculo, es igual al producto de π por la longitud de su radio elevado al cuadrado. A = πR2 COROLARIO 2 El área de la corona circular, es igual a π por la diferencia de los cuadrados de las longitudes de los radios de los círculos que la forman. r R A = π(R2 – r2 ) ÁREA DEL SECTOR CIRCULAR A Teorema 56 El área de todo el sector circular, es igual al semiproducto de la longitud de su arco por la longitud de su radio. O R α l A = 2 . Rι Demostrar este teorema. También podemos encontrar el área del sector circular como el semiproducto de la medida del ángulo α expresado en radianes por el cuadrado de la longitud de su radio. A = 2 2 Rα ó A = º360 º 2 Rαπ Si el ángulo está expresado en grados sexagesimales emplee la segunda igualdad. EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 02 01.Halla el área del polígono regular, si su perímetro es 6cm y su apotema mide 3cm. a) 9cm2 b) 8cm2 c) 7cm2 d) 6cm2 e) 5cm2 02.Calcule el área de un hexágono regular, cuyo lado mide 3m y su apotema es 1m. a) 5m2 b) 6m2 c) 7m2 d) 8m2 e) 9m2 03.Hallar el área de un cuadrado inscrito en una circunferencia de radio R. a) 2R2 b) 4R2 c) 6R2 d) 8R2 e) 1R2 04.Calcular el área de un triángulo equilátero, inscrito en una circunferencia de radio R. a) 2 33 2 R b) 6 33 2 R c) 1 33 2 R d) 8 33 2 R e) 4 33 2 R 05.Hallar el apotema de un hexágono regular, inscrito en una circunferencia de radio 3 R. S5GE34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S5GE34B “El nuevo símbolo de una buena educación...." ÁREAS DE POLÍGONO
  7. 7. 39 40COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Año Secundaria GEOMETRÍA 5to Año Secundaria a) 3 1 R b) 2 3 R c) 3 2 R d) 2 4 e) N.a. 06.Calcule el área de un cuadrado circunscrito a una circunferencia de radio r. a) 6.2 r2 b) 6.6 r2 c) 6.4 r2 d) 6.8 r2 e) N.a. 07.Calcule el radio de una circunferencia, si el lado del cuadrado inscrito mide 8cm. a) 1 2 cm b) 2 2 cm c) 3 2 cm d) 4 2 cm e) N.a. 08.Determine el área del hexágono regular, inscrito en una circunferencia de radio R. a) 2 33 2 R b) 4 33 2 R c) 6 33 2 R d) 8 33 2 R e) N.a. 09.Determine el área del octógono regular inscrito en una circunferencia, en función del radio R. a) 8cm b) 6cm c) 4cm d) 2cm e) N.a 10.El área de un hexágono regular inscrito en una circunferencia mide 50 3 m2 . Calcule su apotema. a) 3m b) 5m c) 7m d) 9m e) 6m 11.En un triángulo rectángulo los catetos miden 6cm y 8cm, respectivamente. Calcule el radio de la circunferencia inscrita. a) 4cm b) 3cm c) 6cm d) 2cm e) 5cm 12.Calcule el radio de la circunferencia inscrita en un triángulo rectángulo, cuyos lados miden 1cm, 3 cm y 2cm respectivamente. a) 4 )13( − b) 3 13 − c) 2 )13( − d) 6 )13( − e) N.a. 13.En la figura, AC=5cm, AS=3cm. Calcule el área del círculo. R S CB A a) πcm2 b) 2πcm2 c) 1πcm2 d) 4πcm2 e) 3πcm2 14.Calcular el área de un círculo de 8m de diámetro. a) 16πm2 b) 18πm2 c) 14πm2 d) 12πm2 e) 10πm2 15.Hallar la longitud de una circunferencia cuyo círculo tiene un área de 5πm2 . a) 6 5 πm b) 2 5 πm c) 4 5 πm d) 3 5 πm e) N.a 16.Calcular el área de un círculo circunscrito a un cuadrado, si el apotema mide 2m. a) 8πm2 b) 10πm2 c) 6πm2 d) 4πm2 e) 2πm2 17.Hallar el área de un sector circular comprendido en un ángulo de 30º y un radio de 3m. a) 2 3π m2 b) 3 3π m2 c) 4 3π m2 d) 5 3π e) N.a 18.Calcule el área de un sector circular comprendido en un ángulo de 60º, sabiendo que la longitud de la circunferencia es igual a 8πm. a) 2 8π b) 3 8π c) 4 8π d) 5 8π e) N.a 19.Calcular el área de un sector circular comprendido en un ángulo de 60º, si el área del círculo es 12πm2 . a) 2πm2 b) 4πm2 c) 6πm2 d) 8πm2 e) 10πm2 20.Calcular el ángulo correspondiente a un sector, cuya área es 2πm2 y el área del círculo es de 12πm2 . a) 20º b) 30º c) 40º d) 50º e) 60º 21.Calcular el área de la corona circular, si los radios de los círculos concéntricos, miden 3m y 2m respectivamente. a) 5πm2 b) 5,5πm2 c) 6πm2 d) 6,5πm2 e) N.a 22.Calcule el área de una corona circular entre dos círculos de ( 5 +1)m y ( 5 -1)m de radio, respectivamente. a) 4 5 πm2 b) 3 5 πm2 c) 2 5 πm2 d) 5 πm2 e) N.a. 23.Calcule el área del sector mostrado, si r= 3 m y α=30º O r α a) 2 π m2 b) 4 1π m c) 4 π m2 d) 2π/4m e) N.a 24.Calcule el área de un círculo en forma aproximada, si su radio mide 22 7 m. a) 1m2 b) 1,2m c) 1,3m2 d) 2m2 e) 2,1m2 25.Calcule el área de la región sombreada (Trapecio circular )de radios R=6cm y r=3cm, y α=60º S5GE34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S5GE34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
  8. 8. 39 40COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Año Secundaria GEOMETRÍA 5to Año Secundaria r R α a) 2 8π cm2 b) 3 9π cm2 c) 6 9π m2 d) 2 9π e) N.a 26.Hallar el área de la región sombreada (segmento), si α=30º y r= 6 m. r r α P Q O a) 6       + 4 1 12 π m2 b)       − 4 1 12 π m2 c) 6       − 3 1 10 π m2 d) 5       + 4 1 11 π m2 e) 6       − 4 1 12 π m2 27.Calcular el área del círculo. 6cm 10m C a) 4π2 m2 b) 3π2 m2 c) 4πm2 d) 3πm2 e) N.a TAREA DOMICILIARIA 01.Si el hexágono de la figura es regular, siendo P, Q y R puntos medios de los lados. Calcular el área de la región sombreada, si r=4m. P QR r a) 15 3 m2 b) 14 3 m2 c) 13 3 m2 d) 11 3 m2 e) 16 3 m2 02.El triángulo ABC es equilátero. Calcular el área de la figura sombreada, si el área del triángulo ABC es 4 3 m2 . B CA a) 8(4π+3 3 )m2 b) 8(3π+ 3 ) m2 c) 7(3π+2 3 )m2 d) 2 3 )438( m π− e) N.a. 03.En el triángulo ABC, P, Q y R son puntos medios. Calcular el área de la figura sombreada, si AB=12m. B CA P Q R 60º 60º a) 18(2 3 +π)m2 b) 18(2 3 -π)m2 c) 18(2 3 +3π)m2 d) 18( 3 +π)m2 e) N.a. 04.Calcular el área de la figura sombreada, si AD es perpendicular a CB. R A B C D R O a) 3R2 b) 2R2 c) 4R2 d) 6R2 e) R2 05.En la figura, las tres circunferencias son iguales y de radio R=12m. calcular el área de la figura sombreada. 60º R 60º R a) 144 3 m2 b)95 3 m2 c)100 3 m2 d) 120 3 m2 e) N.a. 06.El lado de un cuadrado mide 4( 2 +1)m. calcular el área de la figura sombreada. a) (4 - π)m2 b) 4(π - 2)m2 c) 4(4 - π)m2 d) 4m2 e) 2(4 - π)m2 07. En la figura, AB es diámetro y 2 1 = BC AB ; determinar el área de la región sombreada, si R=2 3 m R A B D C a) (21 3 -4π)m2 b) (17 3 -3π)m2 c) (21 3 - 5π)m2 d) (21 3 -3π)m2 e) N.a. 08.Halle el área de la región sombreada, si el radio mide 1m. siendo CDyAB diámetros perpendiculares. D B C A a) (π - 2)m2 b)       − 2 4 5π m2 c)       − 3 2 5π m2 d) (3π-2 3 )m2 e) 2 π m2 09.Calcular el área de la figura sombreada, si el radio mide 3 m. 1O 2O a) πm2 b) 2 π m2 c) 3 π m2 S5GE34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S5GE34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
  9. 9. 39 40COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Año Secundaria GEOMETRÍA 5to Año Secundaria d) 5 2π m2 e) 4 π m2 10.Determinar el área de la porción sombreada, si el radio de la circunferencia mide 1m. 4 a) 2m2 b) 6m2 c) 8m2 d) 16m2 e) N.a. 11.Halle         2 1 S S . Si AO=OB y OP=PQ S1 S2 A O Q B R P a) 2 1 R b) 2 1 c) 4 1 R d) 4 1 e) 2 12.Hallar el área de la región sombreada a a a) 4 )32(2 −+πa b) 12 )332(2 −+πa c) 6 )332(2 −+πa d) 4 )333(2 −+πa e)N.a. 13.Hallar el área de la región sombreada. a a a) 6 2 aπ b) 8 2 aπ c) 9 9a 2 π d) 5 5a 2 π e) N.a 14.Hallar el área de la región sombreada. 2a 2a a) a2 b)2ª2 c) 3ª2 d) 5 4 2 a e) 5 2 2 a 15.Hallar el área de la región sombreada, si OA=OB, R=2 3 m y m∠AOB=30º 30º B A R O a) (15π-6 3 )m2 b) (14π-3 2 )m2 c) (30π-6 6 )m2 d) (25π-6 3 )m2 e)N.a. 16.Determinar el área de la región sombreada, si el área del cuadrado ABCD es a2 . A B C D a) 4 )13(2 −a b) 4 )13(2 +a c) 3 )13(2 −a d) 3 )13(2 +a e)a2 ( 2 -1) 17.Hallar el área de la región sombreada, si CE= 3 m y ABCD es un cuadrado. A B C D 30º E a) 3m2 b) 6m2 c) 1,5m2 d) 4,5m2 e) 8m2 18.Si ABCD es un cuadrado, hallar el área de la región sombreada. A B D C a a) 2 2 a b) 5 2 2 a c) 5 3 2 a d) 5 7 2 a e) 7 4 2 a 19.En la figura, encontrar el área del cuadrado ABCD, sabiendo que FE=9cm; AE=15cm y DE=13cm A B D C F E a) 16cm2 b) 18cm2 c) 19cm2 d) 25cm2 e) 36cm2 20.En la figura mostrada, se pide el área de la región sombreada, si r=4cm y el lado del cuadrado ABCD mide 2 3 cm. A B C D r r S5GE34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S5GE34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
  10. 10. 39 40COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Año Secundaria GEOMETRÍA 5to Año Secundaria a) (6 - 3 )cm2 b) 3(2 - 3 ) cm2 c) 6(2 - 3 )cm2 d) 3(4 - 3 )cm2 e) 4(3 - 3 )cm2 21.Una circunferencia de 2cm de radio está inscrita en un triángulo de 10cm de hipotenusa. Calcular el área de dicho triángulo a) 36cm2 b) 24cm2 c) 18cm2 d) 20cm2 e) N.a. 22.La figura muestra un cuarto de círculo y un semicírculo AM=MO=2 3 m. Hallar el área de la región sombreada. O A N B M a) (5π - 6 3 )m2 b) (5π + 6 3 )m2 c) (4π - 3 )m2 d) (4π + 3 )m2 e) (10π - 3 3 )m2 23.Hallar el área de la región sombreada, si AOB es un sector circular de ángulo central 60º y radio R= 6 cm. O A R B 60º a) ( 3 + π)cm2 b) (2π - 3 ) cm2 c) (π + 2 - 3 )cm2 d) (2π + 3 )cm2 e) (π - 3 )cm2 24.Calcular el área de la región sombreada, si el radio de la circunferencia mide 3 u. a) π u2 b) 3 3 u2 c) 4 3 u2 d) 2 33 u2 e) π 3 25.En la figura, mBE = mEC ; E es punto de tangencia. Determinar el área del triángulo ABC, si R=( 2 +1). C A R B D E a) ( 2 + 1)u2 b) 2 )12( + u2 c) 2 )12( − u2 d) ( 2 - 1) u2 e) N.a. 26.En la siguiente figura, hallar el área de la lúnula MCND, si el área de la figura curvilínea AOEM + BOFN mide 10m2 . E C F OA B D M N a) 102m2 b) 200m2 c) 100m2 d) 110m2 e) N.a 27.Los diámetros de la semicircunferencias son AC=DB, CD Y AB. Si el radio del círculo de diámetro FE mide 8m. Calcular el área de la parte sombreada que se indica en la siguiente figura. E C 'O O A B R F D a) 56 πm2 b) 64 πm2 c) 55 πm2 d) 44 πm2 e) N.a. S5GE34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S5GE34B “El nuevo símbolo de una buena educación...." ESTRUCTURA DEL Áreas y Volúmenes Ángulo Diedro Ángulo Triedro Cono Recto Definición Notación Medida de un Ángulo Diedro Definición Notación Relación Entre sus Caras Clasificación Definición Elementos Prisma Recto Prisma Oblícuo Paralelepípedo Cubo El Paralelepípedo Poliedros Regulares Nociones de Geometría Espacial Ángulo Poliedros Clasificación Caras Aristas Vértices Ángulos Diedros Ángulos Poliedros Diagonal Elementos Clasificación Clasificación El prisma El Tronco de Prisma Sólidos Geométricos Cilíndro Cilíndrica Cónica Esférica Cono Caras Laterales Vértices Aristas Bases Altura Superficies de Revolución de Sólidos La Pirámide Octoedro o Rectoedro Romboedro Hexaedro Regular Propiedades Prisma Pirámide Regular Cilindro Esfera CAPÍTULO XIV - GEOMETRÍA DEL ESPACIO
  11. 11. 39 40COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Año Secundaria GEOMETRÍA 5to Año Secundaria BREVES NOCIONES DE GEOMETRÍA ESPACIAL Antes de empezar esté capítulo te recomiendo revisar las definiciones dadas de plano, posiciones relativas de rectas y planos dados al iniciar el estudio de la geometría. ÁNGULO DIEDRO Sabemos que al intersecarse dos rectas coplanares, determinan cuatro ángulos, tal como se aprecia en la figura (a). l1 l2 α α γ γ Figura (a) Si tenemos dos planos en el espacio que se intersecan en una línea recta, como muestra la figura (b), entonces los planos P1 y P2 y la recta l1, forman cuatro figuras, cada una de las cuales tiene la forma que se muestra en la figura (c). Una figura de esta clase recibe el nombre de ángulo diedro y el segmento NG arista del ángulo diedro. l1 figura (b) P1 P2 DEFINICIÓN Cuando dos semiplanos no pertenezcan a un mismo plano y compartan la misma arista, entonces la unión de dicho semiplanos en su arista forman un ángulo diedro la recta común recibe el nombre de arista del ángulo diedro y la unión de cualquier semiplano con la arista se llama cara del ángulo diedro. figura (c) N G Arista NOTACIÓN Para describir un ángulo diedro, necesitamos conocer qué recta constituye su arista. Podemos hacer esto nombrando dos puntos N y G de la arista. Entonces denotamos el ángulo diedro por ∠NG. MEDIDA DE UN ÁNGULO DIEDRO En la figura, tenemos el ángulo diedro NG, y el plano Q perpendicular a su arita. La intersección del plano perpendicular con el ángulo diedro, se llama ángulo rectilíneo del ángulo diedro. N G g ψ La medida de un ángulo diedro es un número real que es la medida de cada uno de los ángulos rectilíneos. Un ángulo diedro recto, es aquel cuyos ángulos rectilíneos son ángulos rectos. Dos planos son perpendiculares, si contienen un ángulo diedro recto. ÁNGULOS TRIEDOS Si tenemos tres rectas no coplanarias l1, l2 y l3 que se cortan en un solo punto K, entonces éstas determinan tres planos: P1, P2 y P3, como muestra la figura, y tres ángulos diedros de aristas NK, IK, y KC. l1 l2l3 K C N P1 P2 P3 DEFINICIÓN Llamamos ángulo triedro o triedro, al conjunto de los puntos comunes a estos tres ángulos diedros. El punto de intersección de las tres rectas se denomina vértice del triedro, las semirectas que se determinan a partir de sus vértices se llaman aristas, los ángulos planos NKI, IKC y NKC son las caras del triedro y los diedros de aristas KN, KI, y KC son los diedros del triedro. NOTACIÓN Podemos describir un ángulo triedro de las siguientes cuatro formas, teniendo en cuenta la figura anterior. a) Por sus aristas: triedro KC. b) Por su vértice y sus tres aristas: triedro KNIC. c) Por su vértice: triedro K, sólo cuando va aislado. d) Por sus caras: triedro n, i, c. La cara se designa con la letra minúscula de su arista opuesta. RELACIÓN ENTRE SUS CARAS PROPIEDADES a) En todo triedro, una cara es menor que la suma de las otras dos y mayor que su diferencia. En la figura. c – n < i < c + n b) En todo triedro se cumple que la suma de sus caras es menor que dos ángulos llanos. c) Al sumar los ángulos diedros de un triedro, obtenemos un número comprendido entre 180º y 540º. CLASIFICACIÓN El cuadrado siguiente muestra como se clasifican los triedros. TRIEDROS RECTOS ORTOEDRO O RECTÁNGULO Son todos los triedros que tienen una de sus caras formada por un ángulo recto. BIORTOEDRO O BIRECTÁNGULO Son todos los triedros que tienen dos caras que son ángulos rectos. TRIORTOEDRO O TRIRECTÁNGULO Cuando sus tres caras son ángulos rectos. ISOEDRO TRIEDRO ISÓSCELES O ISOEDRO Es aquel triedro que tiene la medida de los ángulos de sus caras iguales y de sus diedros opuestos, también iguales. POLIEDROS Consideremos el espacio interior encerrado por una caja o el espacio encerrado por las paredes de una habitación. En ambos casos podemos apreciar que las paredes son los confines de este espacio encerrado. Este es un ejemplo sencillo de un poliedro. C N E R G L I M DEFINICIÓN Si cuatro o más planos encierran un espacio, de manera que los límites de dicho espacio son estos planos. Entonces, estos límites forman el poliedro o sólido geométrico. S5GE34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S5GE34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
  12. 12. 39 40COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Año Secundaria GEOMETRÍA 5to Año Secundaria ELEMENTOS CARAS Son cada una de las regiones poligonales que limitan el poliedro. En la figura, una de ellas es NIGR. ARISTAS Son los lados de las regiones poligonales; es decir, de sus caras. En la figura, tenemos GC,NI , RE , etc. VÉRTICES Lugar geométrico de donde se encuentran tres o más aristas. En la figura, tenemos N, I, L, etc. ÁNGULOS DIEDROS Son los diedros formados por cada dos caras consecutivas. En la figura, GR, LC, etc. ÁNGULOS POLIEDROS Son los ángulos de los vértices. En la figura, estos son R, E, C, etc. DIAGONAL En el segmento de recta que une dos vértices que no están en una misma cara. En la figura, podemos apreciar a IE CLASIFICACIÓN El siguiente cuadro muestra la clasificación de los poliedros Por su número de Caras 4=tetraedro, 5=pentaedro, 6=hexaedro, 8=octaedro, etc. Por su Sección Plana Convexos Cuando todas sus secciones planas son convexas. Cóncavos Cuando por lo menos una de sus secciones planas en cóncava. Por la regularidad e irregularidad de sus elementos Regulares Cuando todas sus caras son polígonos regulares congruentes, así como sus diedros y anguloides. Irregulares Cuando sus caras son polígonos irregulares y desiguales y anguloides desiguales. POLIEDROS REGULARES A continuación mostramos los únicos poliedros regulares que existen; éstos son sólo cinco y son los siguientes: Tetraedro Formado por 4 triángulos Equiláteros Hexaedro Formado por 6 rectángulos (cubo) Octaedro Formado por 8 triángulos equiláteros Dodecaedro Formado por 12 pentágonos regulares Icosaedro Formado por 20 triángulos equiláteros Poliedros regulares Número de caras Número de Aristas Número de Vértices Número de Caras por vértice Tetraedro 4 Triángulos Equiláteros 6 4 3 Hexaedro 6 Cuadrados 12 8 3 Octaedro 8 Triángulos Equiláteros 12 6 4 Dodecaedro 12 Pentágonos regulares 30 20 3 Icosaedro 20 Triángulos equiláteros 30 12 5 SÓLIDOS GEOMÉTRICOS EL PRISMA Todo prisma está formado por dos regiones paralelas (a las cuales se les denomina BASES) y por un número de paralelogramos igual al número de lados que tienen los polígonos de las bases (los cuales reciben el nombre de CARAS LATERALES) como se muestra en la figura. E' U L' M N I L C E R A N ELEMENTOS VÉRTICE En la figura, éstos son N; I; L; C; E; R, etc. ARISTAS En la figura, podemos apreciar NR; RE; EC; CU; IA; etc. BASES Son las regiones poligonales paralelas y congruentes. En la figura, tenemos POLIGONONILCER y POLIGONOMANUE’L’ CARAS LATERALES En la figura, tenemos NRL’M; REE’L’; CEE’U; CLNU; LIAN y INMA. ALTURA Es la distancia entre sus bases. CLASIFICACIÓN DE LOS PRISMAS El siguiente cuadro muestra la clasificación de los prismas. Prismas Rectos. Si las aristas laterales son perpendiculares a sus bases. Prismas Oblicuos Si las aristas laterales son oblicuas a sus bases. Prismas Regulares Si sus bases son polígonos regulares y además, es un prisma recto. Prismas Irregulares Sus bases son polígonos irregulares. Según el número de sus caras laterales Estos pueden ser triángulos, cuadrangulares, pentagonales, etc. EL PARALELEPIDEDO Este es un prisma cuyas bases son dos paralelogramos y se clasifican en ORTOEDRO O RECTOEDRO En este paralelepipedo, sus caras son rectángulos y se le suele denominar paralelepipedo rectángulo. S5GE34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S5GE34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
  13. 13. 39 40COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Año Secundaria GEOMETRÍA 5to Año Secundaria ROMBOEDRO Cuando todas sus caras son rombos. HEXAEDRO REGULAR Cuando todas sus caras son cuadrados. A este paralelepipedo lo conocemos como cubo. PROPIEDADES 1. En un paralelepipedo sus caras opuestas son iguales y paralelas. 2. Todas las diagonales del paralelepipedo se cortan en su punto medio. 3. Si un plano corta a cuatro de sus aristas paralela, determinan un paralelogramo sobre el plano. 4. La diagonal de un ortoedro es igual a d2 =a2 +b2 +c2 donde a,b y c son las longitudes de sus aristas. EL TRONCO DEL PRISMA Si tenemos un plano no paralelo a las bases de un prisma, entonces cuando este plano corte a las aristas laterales del prisma, determinará una región poligonal no paralela a las bases del prisma. La porción del espacio encerrado por este polígono y una de sus bases se denomina prisma truncado. El tronco de prisma puede ser triangular o de mayor números de caras y puede ser recto o oblicuo. LA PIRÁMIDE Es el poliedro cuya base es una región poligonal y sus caras son triángulos que tienen un vértice común CLASIFICACIÓN a) Por el número de lados de su base éstos pueden ser triangulares o tetraedros, cuadrangulares, pentagonales, etc. b) Por la forma de su base pueden ser: Regulares e irregulares, convexas o cóncavas. SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN Entiéndase por revolución al giro o vuelta alrededor de un punto o un eje, como por ejemplo, la revolución o giro del la tierra alrededor de su eje. Entonces una superficie de revolución es aquella que se genera por cualquier línea, recta o curva, a la cual denominaremos generatriz, al girar alrededor de una recta fija llamada eje. Podemos generar muchas superficies de revolución de distintas formas, pero nuestro interés, sólo estará puesto en tres de ellas, las cuales son CILÍNDRICA Podremos generar una superficie cilíndrica, si hacemos girar una recta paralela a la recta eje. En la figura, se aprecia como se genera una superficie cilíndrica de revolución y sus elementos. R x y Recta generatriz (g) Móvil Recta eje Móvil CÓNICA Generamos una superficie cónica, cuando una recta que es secante con la recta eje, gire alrededor de ésta formando con la recta eje un ángulo invariable. La figura muestra sus elementos. l1 V = Vértice Recta Generatriz r ESFÉRICA Generamos una superficie esférica al girar una semicircunfe-rencia alrededor de su diámetro. La figura, señala sus elementos. Diametro SEMICIRCUNFERENCIA CILÍNDRO Es aquella porción del espacio limitado por una superficie cilíndrica de revolución y dos planos paralelos entre si y perpendiculares al eje del cilindro. En la figura, se indican sus elementos. Podemos generar un cilindro si hacemos girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados. La longitud del lado que sirve de eje será la altura del cilindro y la longitud del otro lado será el radio del cilindro. Base inferior Radio Eje Base superior Generatriz, Lado CONO Obtendremos un cono, si a una superficie cónica de revolución la cortamos por un plano perpendicular a su eje. En la figura, se indican sus elementos. Podemos generar un cono, si hacemos girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos entonces, la longitud de este cateto será la altura del cono, mientras que la longitud del otro cateto, será el radio de la circunferencia base. EJE Generatriz RADIO BASE DEL CONO ÁREAS Y VOLUMENES DE SÓLIDOS PRISMA p: perímetro de la base. S5GE34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S5GE34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
  14. 14. 39 40COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Año Secundaria GEOMETRÍA 5to Año Secundaria a: arista lateral. BASE a PRISMA RECTO Área lateral(SL) SL= (a) (p) Área Total (ST) ST = SL + 2SBASE Volúmen (V) V = (SBASE) (a) PRISMA OBLÍCUO PR: perímetro de la sección recta BASE a SECCIÓN RECTA h = ALTURA PLANO Sección Recta (SR): Es la sección del prisma con un plano perpendicular a las aristas laterales. Área lateral(SL) SL= (a) (pR) Área Total (ST) ST = SLATERAL + 2SBASE Volúmen (V) V = (SBASE)h= (SR)(a) PARALELEPIPEDO Área Total (ST) ST = 2(ab+bc+ac) Volúmen (V) V = abc a c b CUBO Área Total (ST) ST = 6ª 2 Volúmen (V) V = a3 a a a CILINDRO Área lateral(SL) SL=2π rg Área Total (ST) ST = 2πr(g+r) Volúmen (V) V = πr2 h g = h r PIRÁMIDE REGULAR APOTEMA DE UNA PIRÁMIDE REGULAR (Ap) Es el segmento perpendicular trazado desde el vértice de la pirámide a una arista de la base. Del gráfico, 222 pp ahA += h Ap ap L L 2 L 2 Área lateral(SL) SL=Semiperímetro de la base X apotema Área Total (ST) ST = SLATERAL+ Sbase Volúmen (V) V = 3 1 Sbase (h) CONO RECTO h r g Área lateral(SL) SL=π rg Área Total (ST) ST = πr (g+r) Volúmen (V) V = 3 1 πr2 h ESFERA R Área Total (ST) ST = 4πR2 Volúmen (V) V = 3 4 πR3 EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 03 01.Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda. a) La intersección de dos semiplanos es una recta ( ) b) La intersección de un plano perpendicular con el ángulo diedro se llama ángulo rectilíneo. ( ) c) Un ángulo diedro es un poliedro. ( ) d) Si la medida de un ángulo diedro es 90º, entonces los semiplanos son perpendiculares entre si. ( ) e) Tres rectas no coplanares que se cortan en un punto, determinan dos planos. ( ) f) Los triedros son ángulos poliedros de 3 caras ( ) g) En todo triedro, una cara es menor que su diferencia de las otras dos y mayor que la suma. ( ) h) En todo triedro, si sus caras son diferentes, sus ángulos diedros son también diferentes. ( ) i) En todo triedro, la suma de sus caras es menor que 180º. ( ) j) En un triedro, cuando dos de sus caras miden 90º cada uno, entonces se llama triedro birectángulo. ( ) k) Un poliedro es una región del espacio formado por cuatro o más regiones poligonales planas. ( ) l) Los vértices de los ángulos poliedros, son también, los vértices del poliedro. ( ) m) El icosaedro es un poliedro regular. ( ) n) El hexaedro es un poliedro irregular formado por 6 caras. ( ) 02.Responda las siguientes preguntas: a) ¿Cuántas caras tiene un ángulo poliedro de un tetraedro regular? ............................................................. S5GE34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S5GE34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
  15. 15. 39 40COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Año Secundaria GEOMETRÍA 5to Año Secundaria b) ¿Cuánto mide cada ángulo diedro de un hexaedro regular? ............................................................. c) ¿Cuántas caras tiene un tetraedro regular? ............................................................. d) ¿Qué poliedro regular se forma por 12 pentágonos regulares? ............................................................. e) ¿Qué poliedro regular se forma con 20 triángulos equiláteros? ............................................................. f) ¿En qué poliedro regular concurren 4 aristas ? ............................................................. g) ¿En qué poliedro sus diagonales son perpendiculares y de igual longitud? ............................................................. 03. A B B' C' D' A' D H C H' a) El prisma de la figura se llama prisma ............................................................. b) La región ABCD se llama ............................................................. c) 'AA se llama ............................................................. d) 'HH se llama ............................................................. e) Si 'AA fuera perpendicular al plano de la base, entonces el prisma se llamaría ............................................................. f) La región paralelográmica BB’ C’ C se llama ............................................................. g) La reunión de las caras laterales se llama ............................................................. h) Si el cuadrilátero ABCD fuera paralelogramo, el prisma se llamaría. ............................................................. 04.Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda. a) Todo prisma es un poliedro limitado por dos regiones poligonales paralelas. ( ) b) La distancia entre las bases es la arista de un prisma. ( ) c) La pirámide es un poliedro. ( ) d) En toda pirámides el pie de su altura se confunde con el vértice de la pirámide. ( ) e) Si hacemos girar un cuadrado alrededor de uno de sus lados se genera un cilindro. ( ) f) Todo cilindro no es una superficie de revolución. ( ) g) Todo como un sólido geométrico. ( ) h) Toda esfera no es una superficie esférica.( ) PARTE PRÁCTICA 01.Hallar la suma de las medidas de los ángulos de las caras de un ángulo poliedro de un octaedro. a) 210º b) 220º c) 230º d) 235º e) 240º 02.Hallar la suma del número de aristas de un dodecaedro y un icosaedro regular. a) 45 b) 50 c) 55 d) 60 e) 65 03.Calcular la suma del número de vértices de un tetraedro regular y un octaedro regular. a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 04.Hallar la diagonal de un hexaedro regular de arista a. a) a 3 b) a 3 c) 3 d) 3 a e) N.a 05.Calcular la longitud de la diagonal de un octaedro regular de arista a. a) a 2 b) 2 c) 2 a d) a 2 e) N.a 06.La arista de un hexaedro regular mide 2m. ¿Cuánto mide su diagonal? a) 2 3 b) 3 c) 33 d) 4 3 e) N.a. 07.Hallar la diagonal de un ortoedro, si sus aristas miden 1cm; 2cm y 3cm respectivamente. a) 14 cm b) 13 cm c) 15 cm d) 12 cm e) N.a. 08.En un paralelepípedo rectángular la diagonal mide 17cm las aristas de la base miden 5cm y 8cm. Respectivamente. Calcular la altura. a) 8 2 b) 9 2 cm c) 10 2 cm d) 11 2 e) N.a. 09.La diagonal de un cubo mide 27 m. Hallar la arista. a) 3m b) 4m c) 3.5m d) 4.5m e) N.a. 10.Hallar el área lateral de un prisma recto de 10cm de altura y cuya base es un triángulo cuyos lados miden 3cm, 5cm y 7cm respectivamente. a) 140cm2 b) 150cm2 c) 160cm2 d) 170cm2 e) N.a. 11.Calcular el área lateral y total de un prisma recto de 15cm de altura y cuya base es un cuadrado de 4cm de lado. a) 240cm2 ;230cm2 b) 245cm2 ;271cm2 c) 230cm2 ;272cm2 d) 235cm2 ;271cm2 e) 240cm2 ;272cm2 12.Calcular el área total de un cubo de 6cm de arista y su volúmen. a) 216cm2 ;216cm2 b) 218cm2 ;218cm2 c) 217cm2 ;217cm2 d) 215cm2 ;215cm2 S5GE34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S5GE34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
  16. 16. 39 40COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Año Secundaria GEOMETRÍA 5to Año Secundaria e) 219cm2 ;219cm2 13.Cuánto mide la arista de un hexaedro regular, si su área total es 24m2 . a) 2m b) 4m c) 6m d) 8m e) N.a. 14.Hallar el volúmen de un prisma oblicuo, si su base es un triángulo equilátero cuyo lado mide 2 6 m y su altura mide 8m. a) 48 3 m2 b) 38 3 m2 c) 48 3 m3 d) 38 3 m3 e) N.a 15.Hallar el área lateral de una pirámide regular de 10cm de apotema y cuya base es un cuadrado de 6cm de lado. a) 100cm2 b) 110cm2 c) 120cm2 d) 130cm2 e) 140cm2 16.Calcular el área total de una pirámide regular, si su base es un triángulo equilátero de 2 3 m de lado y su apotema de la pirámide mide 10m. a) 31 3 m2 b) 32 3 m2 c) 33 3 m2 d) 34 3 m2 e) N.a. 17.Calcular la apotema de una pirámide regular de 160cm2 de área lateral, si su base es un cuadrado de 8cm de lado. a) 2cm b) 4cm c) 6cm d) 8cm e) 10cm 18.La altura de una pirámide regular mide 10cm y la base es un triángulo rectángulo de catetos 8cm y 6cm respectivamente. Hallar su volumen. a) N.a. b)20cm3 c) 40cm3 d) 60cm3 e) 80cm3 19.Hallar el área lateral de un cilindro recto de revolución de 3cm de radio y 7cm de altura. a) 40πcm2 b) 42πcm2 c) 44πcm3 d) 40πcm3 e) 42πcm3 20.Calcular el área lateral y total de un cilindro generado por la rotación de un rectángulo de 5cm de largo por 4cm de ancho, alrededor de su lado menor. a) 40πcm2 ;80cm2 b) 40πcm2 ;90πcm2 c) 40πcm2 ;70πcm2 d) 40cm2 ;80πcm2 e) 40cm2 ;90cm2 21.Hallar el volumen de un cilindro de revolución de radio 2 m y 4m de altura. a) 8πm3 b) 10πm3 c) 12πm3 d) 6πm3 e) N.a. 22.Un pozo cilíndrico de 10m de diámetro y 4m de profundidad contiene agua hasta 1m del borde. Calcular la superficie mojada. a) 50πm2 b) 55πm2 c) 60πm2 d) 65πm2 e) N.a. 23.Al sumergir un cuerpo en el agua contenida en un cilindro circular recto de 100cm de diámetro el nivel del agua sube 10cm. ¿Cuál es el volumen del cuerpo sumergido? a) 5 x103 πcm3 b) 10 x103 πcm3 c) 15 x103 πcm3 d) 20 x103 πcm3 e) 25x103 πcm3 24.El área lateral de un cilindro de revolución y su volumen son numéricamente iguales, luego el radio de la base mide. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 25.Hallar el área lateral de un cono de revolución de 12cm de generatriz y cuya base tiene 4cm de radio. a) 44πcm2 b) 48πcm2 c) 52πcm2 d) 56πcm2 e) N.a. 26.El área lateral de un cono de revolución es 24m2 , si el radio de la base mide 4m. ¿Cuánto mide la generatriz del cono? a) 3/πm b) 4/πm c) 5/πm d) 6/πm e) N.a. 27.¿Cuántos metros cuadrados de tela, serán necesarios para construir una carpa cónica de circo de 30m de generatriz y 30m de diámetro del círculo? a) 440πm2 b) 450πm2 c) 460πm2 d) 470πm2 e) N.a. 28.Hallar el área lateral y total de un cono de revolución de 12cm de altura, si su base es un círculo de 9cm de radio. a) 216cm2 ;135πcm2 b) 135πcm2 ;216πcm2 c) 217πcm2 ;216πcm2 d) 115πcm2 ;215cm2 e) N.a 29.El área total de un cono circular recto es 62.80cm2 . Calcular el radio de su base, sabiendo que su generatriz mide 8cm. a) 2cm b) 3cm c) 4cm d) 5cm e) 6cm 30.Un cuadrado de 12cm de diagonal, realiza una revolución completa alrededor de una de sus diagonales, calcular el volumen del sólido engendrado. a) 140πcm3 b) 144πcm3 c) 148πcm3 d) 152πcm3 e) N.a. 31.En el sólido formado por un cono circular recto de 13m de generatriz y 12m de radio y por un cilindro circular recto de 10m de altura. Calcular el volumen del sólido. a) 1650πm3 b) 1660πm3 c) 1670πm3 d) 1680πm3 e) N.a. 32.Hallar el área de una superficie, esférica si su radio mide 2m. a) 16πm2 b) 18πm2 c) 20πm2 d) 14πm2 e) N.a. 33.Calcular el área de la superficie y el volumen de la esfera inscrita en un cubo de arista a. a) A=π2 ; V= 6 3 aπ b) A=π3 ; V= 6 2 aπ c) A=π2 ; V= 6 aπ d) A=π3 ; V= 6 3 aπ e) N.a. 34.Calcular el producto y el cociente del área de la superficie y el volumen de una esfera de radio R. a) 3 16 π2 R5 ; 3 R b) 2 16 π2 R2 ; R 3 c) 3 16 πR2 ; 3 R d) 3 16 π2 R5 ; R 3 e) N.a 35.Si el área de una superficie esférica es de 113,04cm2 , el radio de la esfera mide. a) 1cm b) 2cm c) 3cm d) 4cmº e) 5cm S5GE34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S5GE34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
  17. 17. 39 40COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Año Secundaria GEOMETRÍA 5to Año Secundaria 36.Los volúmenes de dos esferas están en la razón 125:1728; ¿Cuál es la razón de sus diámetros? a) 5:14 b) 5:10 c) 5:18 d) 5:16 e) 5:12 TAREA DOMICILIARIA 01.Hallar la altura de un tetraedro regular de arista 3ª. a) a 6 b) 3ª 6 c) 2ª 6 d) 3 ba e) 2 6a 02.Hallar la arista de un tetraedro regular de altura 6 m. a) 4m b) 3m c) 2m d) 1m e) 3 6 m 03.Se tiene un triedro O-AOB,BOC y COA miden 60º, 60º y 90º, Respectivamente, hallar el ángulo que forma la arista OB con la cara AOC. Si OB=2k. a) 15º b) 30º c) 45º d) 60º e) 90º 04.En un triedro O-ABC los diedros A y B miden 70º y 60º, respectivamente si se traza OF bisectriz del ángulo AOB y además m∠FOC=m∠AOF. Hallar el diedro C. a) 30º b) 60º c) 90º d) 120º e) 130º 05.Un triángulo al ser proyectado sobre un plano determina un triángulo cuya área es la mitad del triángulo dado, calcular el diedro que forma el triangulo con el plano de proyección. a) 15º b) 30º c) 60º d) 90º e) N.a. 06.En un triedro trirectangular O-ABC, las áreas de sus caras catetos son AOB=30cm2 ; BOC=40cm2 ; AOC=50cm2 . Hallar el área de la cara de la hipotenusa ABC. a) 50cm2 b) 50 2 cm2 c) 100 2 cm2 d) 25 2 cm2 e) 25cm2 07.En un poliedro, el número de caras más el número de vértices suman 14. ¿Cuántas aristas tiene dicho poliedro? a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) Faltan datos 08.En un triedro equilátero sus ángulos diedros pueden medir a) 40º b) 60º c) 90º d) 200º e) N.a. 09.Hallar la suma de las medidas de los ángulos internos de los polígonos que forman las caras de un dodecaedro regular. a) 3 600º b) 6 450º c) 6 480º d) 7 560º e) 6 400º 10.Dos caras de un triedro miden 140º y 160º respectivamente, la tercera cara puede medir: a) 10º b) 20º c) 40º d) 60º e) 80º 11.La siguiente figura representa un cubo cuya arista mide a cm, ¿cuál es el área de la parte sombreada? a a) 2ª a cm2 b) 3ª2 cm2 c) a2 3 cm2 d) a2 5 cm2 e) a2 2 cm2 12.En un triedro equilátero sus ángulos diedros pueden medir a) 40º b) 60º c) 90º d) 200º e) N.a. 13.¿Cuál de las siguientes proposiciones es verdadera? a) Todo prisma es un paralelepípedo b) Un paralelepípedo, es siempre un cubo c) Un cubo es un prisma. d) Un ortoedro es un paralelepipedo cua- drangular. e) N.a. 14.Un rombo cuyas diagonales miden 8m y 6m respectivamente es la base de un prisma recto de 18m de altura. Calcular el área total del prisma, y su volumen a) 48; 432 b) 24; 216 c) 12; 436 d) 24; 436 e) N.a. 15.Calcular la longitud de la diagonal de un paralelepípedo rectangular cuya altura mide 7cm y cuya base es un cuadrado de 36cm2 de área. a) 8cm b) 9cm c) 10cm d) 11cm e) 12cm 16.En un tetraedro regular de arista a. Hallar la distancia de un vértice al plano de la cara opuesta. a) 3 6a b) 2 6a c) 6 62 a d) 4 32 a e) 4 6a 17.En un hexaedro regular, la longitud de una diagonal es 27 cm. El área de una cara es a) 6cm2 b) 8cm2 c) 9cm2 d) 16cm2 e) N.a. 18.La superficie total de un paralelepípedo rectangular es 180cm2 , la diagonal de la base mide 10cm. y la suma de las 3 dimensiones miden 17cm. ¿Cuál es la magnitud de las dimensiones? a) 8cm, 4cm, 5cm b) 4cm, 5cm, 6cm c) 3cm, 6cm, 8cm d) 5cm, 6cm, 7cm e) N.a. 19.La diagonal de un rectoedro mide 10m y su área total es de 261m2 . Calcular la suma de todas sus aristas. a) 70m b) 76m c) 82m d) 96m e) N.a. 20.En un paralelepípedo rectangular la base mide 50m2 , la suma de las medidas de todas sus aristas es 23m y la suma de los cuadrados de las tres dimensiones es 189m2 . Calcular la altura del paralelepípedo a) 6m b) 8m c) 16m d) 12m e) 18m 21.Cuál es el volumen de un prisma oblicuo, cuya base es el triángulo equilátero de 1,2m de lado y cuya arista lateral es de 2,8m de longitud y forma con la base un ángulo de 30º. a) 0,837m3 b) 0,846m3 c) 0,872m3 d) 0,885m3 e) 0,892m3 S5GE34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S5GE34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
  18. 18. 39 40COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Año Secundaria GEOMETRÍA 5to Año Secundaria 22.Se conocen las áreas del fondo, del frente y del lado de una caja rectangular. El producto de estas áreas es igual a: a) El volumen de la caja. b) La raíz cuadrada del volumen. c) El cuadrado del volumen. d) El doble del volumen. e) El cubo del volumen. 23.Con una lámina rectangular de 6cm de largo y 5cm de ancho, se construye una caja abierta, cortando un cuadrado de 1cm de lado en cada esquina. Hallar el volumen de la caja resultante. a) 12cm3 b) 15cm3 c) 16cm3 d) 20cm3 e) 24cm3 24.La base de un prisma recto de 12cm de altura es un triángulo equilátero. Cuánto mide el lado de este triángulo si el área lateral del prisma es 108cm2 . a) 1cm b) 2cm c) 3cm d) 4cm e) 5cm 25.Hallar el volumen de un prisma recto cuya altura mide 12cm y su base es un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de 3cm de radio. a) 54 3 cm3 b) 48 3 cm3 c) 81 3 cm 3 d) 75 3 cm3 e) 72 3 cm3 26.Calcular el área total de un cubo, sabiendo que la distancia de uno de sus vértices al centro de una cara opuesta es de 2m. a) 16m2 b) 15m2 c) 14m2 d) 13m2 e) 12m2 27.La altura de un prisma recto mide 6m su base es un rectángulo, en el que un lado es el doble del otro; el área total es 144m2 . ¿Cuál es la longitud de una de las diagonales del prisma? a) 5m b) 8m c) 6m d) 9m e) N.a. 28.Un cilindro recto, contiene agua hasta en 4 3 de volumen, hallar en que relación se encuentran las alturas, de los dos volúmenes respectivamente. a) 3 4 b) 3 2 c) 3 1 d) 4 1 e) 5 3 29.Si el diámetro de la base de un cilindro de revolución mide 6 2 1 pies. Entonces el número de pulgadas que mide su radio es a) 13 4 1 b) 26 2 1 c) 39 d) 19 2 1 e) 78 30.Un depósito de forma cilíndrica, se desea cambiar por otro de la misma forma, pero aumentando en un 50% la longitud de la circunferencia de la base. ¿En que porcentaje se incrementará el volumen del nuevo cilindro, respecto al primero? a) 125% b) 175% c) 150% d) 225% e) 50% 31.La figura mostrada es un ortoedro, el punto H es la posición de una hormiga y el punto C la posición de su comida. Hallar la longitud del menor camino que debe recorrer la hormiga para llegar al punto C. Si PH = HQ = 1m. RC = 3m; CM =4m C M Q R H P a) 3m b) 4m c) 5m d) 6m e) 8m 32.Un vaso cilíndrico de 20cm de diámetro y 40cm de altura está lleno de agua, si se vierte esta agua en otro vaso de 40cm de diámetro. ¿Hasta qué altura subirá el agua? a) 5cm b) 10cm c) 12cm d) 8cm e) N.a. 33.Un cilindro está lleno de agua hasta la mitad. Se suelta un pedazo metálico y el nivel de agua sube en 3,5cm. si el diámetro del cilindro es 8cm. ¿Cuál es el volumen el pedazo metálico? a) 176cm3 b) 88cm3 c) 264cm3 d) 0,226l e) N.a. 34.La altura de un pirámide es 3 16 m. ¿A qué distancia del vértice pasará un plano paralelo a la base de la pirámide, de tal manera que los volúmenes obtenidos por este corte sean iguales? a) 2 163 m b) 2 1 m c) 3m d) 2m e) 3 3 m 35.La base de una pirámide regular es un triángulo equilátero y las caras laterales son triángulos rectángulos isósceles. Si las aristas laterales miden 4m el área total de la pirámide será. (Considerar 3 =1,73) a) 25,84m2 b) 26,84m2 c) 34,6m2 d) 37,84m2 e) N.a. 36.En una pirámide regular de base cuadrangular de 10m de lado. ¿Cuál es el área de la sombra que proyecta una de sus caras laterales en su base a las 12 meridiano? a) 2,5m2 b) 50m2 c) 75m2 d) 25m2 e) 100m2 37.Calcular el área total de la pirámide cuadrangular regular P-ABCD de 12 u de arista en la base, sabiendo que el área del triángulo PAC es 48 2 u2 a) 224u2 b) 324 u2 c) 240 u2 d) 384 u2 e) 440 u2 38.El área lateral de un cono de revolución es 65π u2 y el área de su base es 25πu2 . Hallar su volumen. a) 300πu3 b) 200πu3 c) 100πu3 d) 150πu3 e) N.a 39.Calcular el volumen de un cono circular, recto cuya generatriz mide 18cm y su área total es igual a la de un círculo de 12cm de radio. a) 136π 3 cm3 b)136π 2 cm3 c) 144π 3 cm3 d) 144π 2 cm3 e) 150π 2 cm3 40.Se tiene un cono circunscrito a dos esferas cuyos radios miden 1cm y 3cm. ¿Cuál es el volumen del cono? a) 27πcm3 b) 81πcm3 c) 36πcm3 d) 45πcm3 e) 90πcm3 41.Si construimos un cono de revolución con una cartulina, dándole por área lateral la de un sector circular de 120º de ángulo central y 6cm. de radio. Calcular el volumen de dicho como de revolución. S5GE34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S5GE34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
  19. 19. 39 40COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Año Secundaria GEOMETRÍA 5to Año Secundaria a) 3 216 πcm3 b) 16 2 πcm3 c) 3 28 πcm3 d) 16 3 πcm3 e) N.a 42.Si la generatriz de un cono circular y el diámetro de su base son iguales entre sí, luego la razón, entre el área lateral del cono y la superficie de la esfera inscrita en el como, es. a) 4 5 b) 3 4 c) 2 3 d) 5 6 e) 3 5 43.Si la altura de un cono recto de revolución es de 4m y su generatriz es de 5m. Determine a qué distancia del vértice se debe hacer pasar un plano paralelo a la base, de modo que el área del círculo determinado sea igual al área lateral del tronco de cono formado. a) 5 rm b) 5m c) 10m d) 10 m e) N.a 44.La figura mostrada es una circunferencia cuyo radio mide 2m se prolonga el diámetro AB hasta F, de modo que BF=2m. Por F se traza la tangente FM . Calcular el área de la superficie engendrada por la línea mixta QMF. M A BO Q a) 10πm2 b) 15πm2 c) 18πm2 d) 20πm2 e) 25πm2 45.Hallar el área de una superficie esférica inscrita en un cono recto de altura 12m. y radio 5m a) 100 9 π m2 b) 200πm2 c) 300πm2 d) 9 400π m2 e) N.a. 46.Dos esferas apoyadas sobre una horizontal son tangentes. Hallar la distancia de sus apoyos cuando ambas giran en sentidos contrarios, 2 vueltas y media si su radio son de 20cm y 10cm respectivamente. a)(100π+60)cm b)(150π+20 2 )cm c) 150cm d) 120πcm e) (150π + 60)cm 47.Una esfera de volumen V, es calentada hasta que su radio se incrementa en un décimo. El nuevo volumen de la esfera será. a) 10-3 V b) 1,1V c) 1,21 V d) 1,030 V e) 1,331 V 48.Si un sólido de forma cúbica de un metro de lado se divide en cubitos de un milímetro de lado, entonces, ¿qué altura alcanzará una columna formada por todos los cubitos unos encima de otros? a) 10 km b) 1 km c) 10 km d) 1 000km e) 3 km 49.Se tiene un terreno de forma cuadrada. En un vértice se coloca un poste de 7m, de altura y en el vértice opuesto otro de 8m, cuyos extremos están unidos por un cable de 45m de longitud. Hallar el área del terreno. a) 1 000m2 b) 1 012m2 c) 2 024m2 d) 2 025m2 e) N.a. 50.Los radios de dos esferas secantes miden 5u y 12u, si la distancia entre sus centros es 13u. ¿Cuánto mide el radio de la sección común? a) 5,6u b) 4,6u c) 4,3u d)4,8u e) 5,8u 51.Determinar el volumen de una esfera circunscrita a un cubo de arista a. a) a3 π 2 3 b) a3 π 3 2 c) a3 π 3 3 d) a3 π 2 2 e) a3 π 4 2 52.Hallar el área de una superficie esférica, si el área lateral del cono equilátero circunscrito a la esfera mide 18 3 u2 . a) 6 3 u2 b) 8 3 u2 c) 9u2 d) 4 3 u2 e) 12 3 u2 SOLUCIONARIO Nº Ejercicios Propuestos 01 02 03 01. A A E 02. A E D 03. A A A 04. A E A 05. C B D 06. B C A 07. B D A 08. B A C 09. B A 10. C B B 11. C D E 12. A C A 13. D A A 14. A A C 15. D B C 16. A A C 17. B C E 18. B B E 19. C A B 20. C E B 21. A A A 22. D A B 23. B C E 24. B A A 25. C D B 26. A E A 27. D A B 28. D B S5GE34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S5GE34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
  20. 20. 39 40COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Año Secundaria GEOMETRÍA 5to Año Secundaria 29. A A 30. B B 31. E D 32. A A 33. B A 34. E D 35. B C 36. E E 37. B 38. A 39. 40. GRUPO EDUCATIVO INTEGRAL copyright 2003 S5GE34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S5GE34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."

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