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Algebra 5° 4 b

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Algebra 5° 4 b

  1. 1. 01 02COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Año Secundaria ALGEBRA 5to Año Secundaria Objetivos • Aplicar los capítulos desarrollados anteriormente. • Diferenciar una desigualdad y una inecuación. • Buscar la aplicación del curso a problemas diarios mediante este capítulo. Introducción Toda la teoría de la investigación del máximo y del mínimo supone dos incógnitas y la regla siguiente: Sea a una incógnita cualquiera de la cuestión (con una, dos o tres dimensiones según el enunciado). Se expresará la cantidad máxima o mínima a por medio de términos que podrán ser de cualquier grado. Se substituirá luego a +e a la incógnita primitiva a y se expresará así la cantidad máxima o mínima y se quitarán los términos comunes de una y otra parte. Hecho esto se encontrará que en ambas partes todos los términos estarán afectados con e por una de sus potencias. Se dividirán todos los términos por e o por una potencia de grado más alto de modo que en cuando menos uno de los términos de cualquiera de los miembros e desaparezcan enteramente. Se suprimirán a continuación todos los términos donde entre e o alguna de sus potencias y se igualarán los demás, o bien, si en alguno de los miembros no queda nada, se igualarán, lo que es igual, los términos en más con los términos de menos. La resolución de esta última ecuación dará el valor de a que conducirá al máximo o al mínimo retomando su primera expresión. A C E Consideramos AC =b, sea a uno de los segmentos y b - a el otro segmento; el producto del que se busca el máximo será ba-a2. Sea ahora a+e el primer segmento de b, el segundo será b - a - e, y el producto de los segmentos será ba - a2 + be - 2ae - e2 A esto se le debe adigualar el precedente : ba - a2. Suprimiendo los términos comunes: be ∼ 2ae + e2. Dividiendo todos los términos: b ∼ 2a + e. Suprimir e: b=2a. Para resolver el problema hay que tomar la mitad de b. Es imposible proporcionar un método más grande. DESIGUALDAD Es aquella comparación que se establece entre dos números reales, mediante los símbolos de desigualdad: <,>, ≥≤ , . Luego si a y b son números reales, entonces: a < b, a > b, a b≤ y a ≥ b se llaman desigualdades, y se leen: a < b: “a menor que b” a > b: “a mayor que b” a ≤ b: “a menor o igual que b” a ≥ b: “a mayor o igual que b” DEFINICIONES Sean a, b ∈ R Luego: 1. a es positivo ↔ a > 0 2. b es negativo ↔ b < 0 3. a > b ↔ (a - b) es positivo 4. a < b ↔ (a - b) es negativo Ejemplo : 2 > 1 pues 2 - 1 = 1 > 0 NOTA Sean a,b ∈ R, Luego : 1. La expresión simbólica “a > b” tiene el mismo significado que: “b < a”. Por ejemplo: 5 > 2 ⇒ 2 < 5 2. La expresión simbólica “a ≤ b” significa que a < b ó a = b, es decir, cuando se verifica cualquiera de las expresiones: a < b ∨ a = b, escribimos a ≤ b. Por ejemplo: Como 2 < 3, podemos escribir 2 ≤ 3 Como 5 = 5 podemos escribir 5 ≤ 5 3. La expresión simbólica “a ≥ b” tiene el mismo significado que b ≤ a, es decir : a ≥ b ⇒ a > b ∨ a = b 4. Si a ≤ b ∧ b ≤ c, escribiremos abreviadamente a ≤ b ≤ c Por ejemplo: 4 ≤ x ∧ x ≤ 9 entonces 4 ≤ x ≤ 9 LEY DE TRICOTOMÍA Para cualquier número real “a”, una y solamente una de las siguientes relaciones se cumple: a < 0 ∨ a = 0 ∨ a > 0 Corolario Para cualesquiera dos elementos a,b ∈ R, una y solamente una de las siguientes relaciones se cumple: a < b ∨ a = b ∨ a > b Prueba Sean a y b números reales, entonces (- b) también es real, luego por la Ley de Clausura para la adición (+) en R se tiene que a+ (-b) es real, es decir (a-b) ∈ R. Aplicando la Ley de Tricotomía para (a - b) ∈ R: a - b < 0 a - b = 0 ∨ a - b > 0 Equivalentemente [por las definiciones (3), (4) y por el principio: la diferencia de dos números es cero si y sólo si son iguales] a < b ∨ a = b ∨ a > b LA RECTA NUMÉRICA REAL Es aquella recta geométrica donde existe una correspondencia biunívoca (uno a uno) entre los puntos de la recta y el conjunto de los números reales. -3 - 2 5 -2 - 1 2 -1 1 2 0 3 2 5 21 (+) POSITIVOS (-) NEGATIVOS π + ∞∞− −π 22− Se observa que la representación de los números irracionales en la recta numérica, determina la completitud, es decir, que a cada número real le corresponde uno y sólo un punto de la recta y cada punto de la recta es conjunto es continuo, es decir, no existe ningún vacío entre sus elementos. INTERVALOS Sea I un subconjunto de R (I ⊂ R). Decimos que I es un intervalo, si y sólo si es el conjunto de todos los números reales que están comprendidos entre dos extremos (que pueden ser finitos o ideales) NOTA Los símbolos +∞ y - ∞ se llaman ideales. Clases de intervalos Si I es un intervalo, puede ser, acotado o no acotado. A. Intervalo acotado 1. Abierto Si a, b ∈ R con a ≤ b, se llama intervalo abierto y se denota por b;a , al conjunto de los números reales x, tales que: a < x < b. Es decir: b;a = { }bxa/Rx <<∈ Representación: x a b S5AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S5AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación...." IV REGLA DE
  2. 2. 01 02COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Año Secundaria ALGEBRA 5to Año Secundaria bxab;ax <<⇒∈ 2. Cerrado Si a b ∈ R con a ≤ b, se llama intervalo cerrado y se denota por [a;b], al conjunto de todos los números reales x, tales que a ≤ x ≤ b. Es decir : [a;b] = {x ∈ R / a ≤ x ≤ b} Representación: x a b [ ] bxab;ax ≤≤⇒∈ 3. Semiabiertos Si a, b ∈ R son extremos de un intervalo y uno, cualquiera de ellos, no está en dicho intervalo, éste se llama intervalo semiabierto; es decir: <a; b] y [a; b> son intervalos semiabiertos donde : ] { }bxa/Rxb;a ≤<∈= Representación: x a b { }bxa/Rxb;a ≤≤∈= B. Intervalo no acotado Es aquel intervalo que tiene por lo menos un extremo ideal +∞ ó - ∞. Los siguientes intervalos son no acotados. +∞;a = { }ax/Rx >∈ x a +∞ { }ax/Rx;a ≥∈=∞+ x a +∞ { }bx/Rxb; <∈=−∞ x b- ∞ { }bx/Rxb; ≤∈=−∞ x b- ∞ ∞+−∞; = R Toda la recta numérica Operaciones con intervalos Sean A y B intervalos se definen y se denotan : A ∪ B = {x ∈ R / x ∈ A ∨ x ∈ B} A  B = {x ∈ R / x ∈ A ∧ x ∈ B} A - B = {x ∈ R / x ∈ A ∧ x ∉ B} CA = AC = A’ = A {x ∈ R / x ∉ A} A’ = Complemento de A respecto a R A’ = R - A EJERCICIO Sean los conjuntos (intervalos) A = {x ∈ R / x ≤ 5} B = {x ∈ R / - 8 ≤ x < 12} Hallar: 'B,'A,AB,BA,BA −− TEOREMA DE DESIGUALDADES Sean a, b, c, d números reales, luego: 1. a < b ∧ b < c ⇒ a < c 2. a < b ⇔ a + c < b + c 3. ∀c > 0: a < b ⇔ ac < bc 4. ∀c < 0: a < b ⇔ ac > bc 5. ∀ a ∈ R: a2 ≥ 0 6. (a < b ∧ c < d) ⇔ a + c < b + d 7. 0 ≤ a < b ∧ 0 ≤ c < d ⇔ 0 ≤ ac < bd 8. ab>0 ⇔(a >0 ∧ b > 0) ∨ (a < 0 ∧ b < 0) 9. ab<0 ⇔(a>0 ∧ b < 0) ∨ (a < 0 ∧ b > 0) 10. a > 0 ⇔ 0 a 1 > 11. b < 0 ⇔ 0 b 1 < 12. Si a y b tienen el mismo signo, entonces : a < b ⇔ , b 1 a 1 > es decir: 0< a < b ⇔ 0 b 1 a 1 >> a < b < 0 ⇔ b 1 a 1 0 >> 13. a<x<b ⇒ { }       >∧<<≤ <∧<<< >∧><< 0b0a;b;amaxx0 0b0a;axb 0b0a;bxa 222 222 222 14. Para números positivos se cumple: MA ≥ MG ≥ MH Donde: MA: Media Aritmética MG : Media Geométrica MH : Media Armónica NOTA Si se cumple que: 0 < a < b ∧ 0 < c < d, no siempre es cierto que: 0 < c a < d b . Es decir, no se puede dividir miembro a miembro cuanto se tienen desigualdades del mismo sentido. Por ejemplo: 4 < 8 ∧ 1 < 2 → 1 4 < 2 8 ¡Falso! INECUACIÓN Es una desigualdad en la que hay una o más cantidades desconocidas (incógnitas) y que sólo se verifica para valores de las incógnitas, o tal vez nunca se verifica. Por ejemplo, la desigualdad: 2x+3 > x+5 es una inecuación porque tiene una incógnita “x”, y se verifica para valores de x mayores que 2. También, la desigualdad: sen(x)+2 ≥ 5, es una inecuación que nunca se verifica, porque los valores del “sen (x)” están comprendidos en el intervalo [-1;1] para todo x real, en consecuencia sen(x)+2 está en el intervalo [1;3] y ningún valor de este intervalo es mayor o igual que 5. SOLUCIÓN PARTICULAR Es aquel valor (o valores) de la incógnita (o incógnitas) que verifica la inecuación. Por ejemplo, en la inecuación 2x + 3 > x + 5, una solución particular es x = 4, pues: 2(4)+3x > 5 +5 es cierto. También en la inecuación x + y ≥ 2, para x =1 é y = 1 la inecuación se verifica, pues 1+1 ≥ 2 es cierto, luego (1;1) es una solución particular. CONJUNTO SOLUCIÓN Es aquel conjunto denotado por C.S. que agrupa a todas las soluciones particulares (si existen) de una inecuación. Si la inecuación no tiene solución, entonces decimos que el C.S. es el conjunto vacío. RESOLVER UNA INECUACIÓN Significa hallar su conjunto solución. La resolución se realiza sólo empleando pasos equivalentes, por ejemplo, si queremos resolver la inecuación: 2x + 3 > x +5, diremos: 2x+3>x+5 ⇔ 2x + 3 + (-3) > x + 5 + (- 3) ⇔ 2x > x + 2 ⇔ 2x + (- x) > x + (- x) + 2 ⇔ x > 2 Gráficamente: x 2-∞ + ∞ Luego : C.S. = {x ∈ R / x > 2} = ∞+;2 INECUACIÓN LINEAL Forma general: P(x) = ax + b < > 0 ; a ≠ 0 ∧ a; b ∈ R Resolver: ax + b ≥ 0; a < 0 ax + b ≥ 0 ⇔ ax + b + (-b) ≥ 0 + (- b) ⇔ ax ≥ - b; a < 0 ⇔ ( ) 0 a 1 pues;b a 1 ax. a 1 <−≤ ⇔ x ≤ a b − S5AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S5AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
  3. 3. 01 02COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Año Secundaria ALGEBRA 5to Año Secundaria Gráficamente: x b-∞ + ∞ a - Luego C.S. = a b ; a b x/Rx −∞−=       −≤∈ Resolver: 1a 2x3 − − < 4x + 5, siendo a < 1 CRITERIO DE LOS PUNTOS CRÍTICOS Es utilizado para analizar la variación de los signos de los factores lineales (de coeficientes reales) en una multiplicación indicada. Ejemplo 1: Sea P(x) = (x - 2)(x - 5) Las raíces del polinomio son: 2 ∧ 5 Ubiquemos estos valores en la recta real. II 2-∞ + ∞5 IIII Las raíces del polinomio particionan a la recta R en 3 zonas (intervalos) I. x ∈ 2;−∞ ⇔ x < 2 ⇔ x - 2 < 0 ∧ x - 5<- 3 < 0, luego: (x - 2)(x - 5)> 0 II. x ∈ 5;2 ⇔ 2 < x < 5 ⇔ 0 < x - 2 < 3 ∧ - 3< x - 5 <0, luego: (x - 2)(x - 5)< 0 III. x ∈ ∞;5 ⇔ x>5 ⇔ x - 2> 3 ∧ x - 5 > 0, luego: (x - 2)(x - 5) > 0 Gráficamente: P(x) = (x - 2)(x - 5) - 2-∞ + ∞5 ++ Ejemplo 2 : Sea P(x) = (x - 3) (x + 1)(x - 6), Las raíces son: -1, 3, 6. Ubiquemos estos valores en la recta real. -1-∞ + ∞3 6 Las raíces del polinomio particionan a la recta R en 4 zonas (intervalos). Analicemos las variaciones Factor Zonax - 3x+1x - 6P(x)x < -1-----1 < x < 3-+-+3 < x < 6++--x > 6++++ -1-∞ + ∞3 6 - -+ + Si se tratará de resolver: P(x) > 0, tendríamos que: el C.S.= 3;1− ∞+;6 NOTA Cuando formamos la inecuación polinomial los valores de las raíces del polinomio toman el nombre de puntos críticos. INECUACIONES CUADRÁTICAS Son aquellas inecuaciones de la forma : ( ) 0cbxaxxP 2 > <++= Siendo: a, b, c ∈ R ∧ a ≠ 0 ¿Qué sucedería si algún coeficiente no es real? Sería complejo, pero Ud. sabe que en C no está definido el orden. Bien vamos a comenzar el estudio de esta inecuación: 0cbxax 2 < >++ Resolución: Como (a ≠ 0) divide a ambos miembros entre “a”, teniendo cuidado el posible cambio en el sentido de la inecuación, entonces tenemos : 0 a c x a b xa 2 < >      ++ Ahora nuestra meta será tratar de completar cuadrados dentro del paréntesis. 0 a c a4 b a4 b a2 b x2xa 2 2 2 2 2 < >               +−+      +    ( )α                   − −      + < > 0 a2 ac4b a2 b xa 22 Pero recuerde que ac4b2 − es el ¡Discriminante!, el cual denotamos ac4b2 −=∆ . Vamos a reemplazar en (α) y tendremos: ( )ψ         ∆ −      + < > 0 a4a2 b xa 2 2 Comenzaremos con el análisis de los casos posibles que dependen del discriminante. Caso I Si (∆ = 0) reemplazando en (ψ), nos queda : 0 a2 b xa 2 > <      + Cancelo “a” cuidándose de la variación del signo. En este caso tenemos por ejemplo : A. ( )21x − ≥ 0 ⇒ C.S. = R, pues ∀ x ∈ R, cumple al ser reemplazada en la inecuación.<<<<<< B. ( ) 02x04x4x 22 >−⇔>+− , notamos que se verifica ∀x ∈ R, excepto cuando x = 2. ∴φ0 Χ.Σ. = Ρ − {2} Χ. ( ) 03x09x6x 22 <−⇔<+− , obviamente la inecuación tiene el símbolo que hace que esta inecuación sea no verificable para algún valor real. ∴ C.S. = ∅ D. ( ) ( ) ⇒=−⇔≤− 05x05x 22 Tenemos que la única solución es x = 5. ∴φ0 Χ.Σ. = {5} Χασο ΙΙ Σι ∆ = b2 - 4ac > 0, reemplazando en ( ψ ), tenemos luego de elevar al cuadrado y tomar raíz. 0 a4a2 b xa 2 22 > <           ∆ −      + Vamos a multiplicar por el inverso multiplicativo de “a” y aprovechando la diferencia de cuadrados, quedará: 0 a2a2 b x a2a2 b x > <        ∆ −+         ∆ ++ Y para resolverlo aplicaremos el método de ¡Puntos críticos!, vamos a verlo mejor en algunos ejemplos. Ejemplo: 1. Sea 4x5x2 +− ≥ 0, factorizando por aspa simple, se tiene (x - 4)(x - 1) ≥ 0. Los puntos críticos serán : 1; 4 (que son valores que anulan cada factor) Reemplazamos en la recta numérica. - 1-∞ + ∞4 ++ NOTA Empezamos de derecha a izquierda con el signo “+”, pues los coeficientes de “x” son positivos, además tomamos la parte positiva, pues el símbolo en la inecuación es “≥”. Luego C.S. = ∞+−∞ ;41,  2. Sea 05x4x2 <−− , factorizando queda: ( )( ) ⇒<+− 01x5x Puntos críticos: 5; - 1 - -1-∞ + ∞5 ++ 5;1.S.C −=∴ 3. Sea ( )( ) 0x32x ≥−− ⇒ Los puntos críticos son: 3, 2. Cuando reemplazo en la recta no S5AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S5AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
  4. 4. 01 02COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Año Secundaria ALGEBRA 5to Año Secundaria empezaré la variación con (+), sino con (-), ¿Por qué? + 2-∞ + ∞3 -- [ ]3;2.S.C =∴ Note que es posible multiplicar por (-1) a ambos miembros y nos quedará (x - 2)(x - 3) ≤ 0, ahora tenemos en la recta. - 2-∞ + ∞3 ++ [ ]3;2.S.C =∴ 4. Sea ( )( ) ( )( ) 05x3x0x5x3 <−−⇔<−− - 3-∞ + ∞5 ++ En lo posible usted, ha visto las variantes, ahora analicemos que pasa cuando (∆ < 0) En el teorema siguiente. Teorema (Trinomio positivo) Sea P(x) = cbxax 2 ++ , donde a, b, c ∈ R ∧ ∆ < 0. Demostración P(x) =         ∆ −      +=++ 2 2 2 a4a2 b xacbxax Tenemos que (a > 0) y el factor:   + − + ∆ −      + 2 2 a4a2 b x  el signo menos con el signo del discriminante se hará todo positivo y suma de positivos harán que P(x) sea siempre positivo, cualquiera que sea x ∈ R. Ejemplo: 1. 2x + 2x + 3 > 0 ⇒ Su C.S. = R pues ∆ = 22 - 4(3) = -8 < 0, y su coeficiente principal es positivo. 2. 2x + 4x + 7 < 0 ⇒ Su C.S. = φ Pues ∆ = 24 - 4(7) < 0, y su coeficiente principal es positivo. ⇒ 0 < 2x + 4x + 7 < 0 ⇒ 0 < 0 ¡Absurdo! C.S. ⇒ φ Otra forma: 2x +4x+7 = 2x +4x+4+3 < 0 ⇔ 2)2x( + + 3 < 0 ⇒ C.S. = φ + + Un teorema análogo será el siguiente: a 2x + bx + c ≥ 0, ∀ x ∈ R ⇔ a > 0 ∧ ∆ ≤ 0; a, b, c ∈ R. Teorema (trinomio negativo) Sea P(x) = a 2x + bx + x, siendo a, b, c ∈ R, se cumple que: P(x) < 0; ∀ x ∈ R ⇔ a< 0 ∧ ∆ < 0.   0 a4a b xa)x(P )( 2 )( 2 x <             ∆ −      += + −    Notemos que el producto: ( ) ( ) 0 a4a b x0a 2 2 > ∆ −      +∧< ( ) 0xP <∴ INECUACIÓN DE GRADO SUPERIOR Que tal si consideramos el polinomio de grado “n”: P(x) = 0axaxaxa 01 1n 1n n n > < − − ++++  Donde: 0a n ≠ Además cada { }n,,3,2,1,0i;Ra i =∈ Como nosotros recordamos por un Corolario del Teorema Fundamental del Algebra, se tienen raíces a las que llamamos n4321 x,,x,x,x,x  Bien, si es que todas son reales, podemos factorizar: ( )( )( ) ( ) 0xxxxxxxxa n321n > <−−−−  Entonces para resolverla le aplicaremos Método de Puntos Críticos. Pero en general previamente simplificar, algunos factores de la que ya conocemos el signo. Para ello notemos que: Teorema: Ra,x ∈∀ 1. Si : ( ) 0ax 1n2 ≥− + ⇔ ( ) 0ax ≥− ; n ∈ N 2. Si: ( ) 0ax 1n2 ≤− + ⇔ (x - a) ≤ 0; n ∈ N Prueba: 1. Si: ( ) 0ax 1n2 ≥− + ⇔ ( ) ( ) 0axax n2 ≥−− Pero ( ) 0ax0ax n2 ≥−⇒≥− Si: ( ) 0ax ≥− multiplicando por ( ) 0ax n2 ≥− ⇒ ( ) 0ax 1n2 >− + Por ejemplo podemos resolver: 1. ( )( )( )( ) 04x3x2x1x ≥−−−− Los puntos críticos son: 1,2,3,4. 1-∞ + ∞3 4 - + -+ + 2 De lo cual el C.S. = 1;−∞  [ ]3;2  ∞+;4 2. ( ) ( )( )( ) 07x2x3x1x 42 <−+−− . Simplificando ( )( ) 02x3x <+− Los puntos críticos son -2; 3 - -2-∞ +∞3 ++ Notemos que el C.S. = 3;2− , pero ¡cuidado! el factor ( )2 1x − , al ser cancelado para x = 1 es un valor que anula el factor y que reemplazando en la inecuación original tendríamos el absurdo (0 < 0). Esto quiere decir que x = 1 es un valor no solución: { }13;2.S.C −−=∴ NOTA Lo mismo pasa con x = 7, pero como no está en el C.S. no le afecta. 3. ( ) 06x5x1xxx14x 2 27 22 >     −−     ++−     − Simplificando 27 2 1xx      ++ , pues 1xx2 ++ es positivo nos quedaría ( ) 06x5xx14x 22 >     −−−     − , pero podemos factorizar y nos queda : ( )( )( )( )( ) 01x6x1x2x2x <+−−−+ -2-∞ + ∞1 2 + - -- + -1 + 6 Luego el C.S. = 6;21;12; ∪−∪−−∞ INECUACIÓN FRACCIONARIA DEFINICIÓN Es aquella inecuación que se caracteriza, porque la variable esta presente en el denominador de cualquier expresión que forma parte de la inecuación. S5AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S5AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
  5. 5. 01 02COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Año Secundaria ALGEBRA 5to Año Secundaria Ejemplo: 1x 1x 1x 1x + − ≤ − + Resolución: I. Garantizar la definición de las expresiones con: x ≠ {1; -1} II. Operaciones: 1x 1x 1x 1x + − − − + ≤ 0 ( )( ) 0 1x1x x4 ≤ −+ ⇒ ( )( ) 0x1x1x ≤−+ -1 0 1 +− + − ⇒ C.S. 1;01; ∪−−∞ ECUACIÓN E INECUACIÓN IRRACIONAL CONJUNTO VALORES ADMISIBLES El conjunto de valores admisibles de una expresión matemática es aquel conjunto denotado por C.V.A. que agrupa a todos los valor(es) que garantizan la existencia de la expresión matemática, es decir, valores de la variable que permiten que la expresión esté bien definida. El C.V.A. se va a considerar respecto a R, salvo indicación contraria. Ejemplo: 1. F(x) = 1x2 x2 − , el C.V.A está dado por todos aquellos valores reales para x, tal que 2x-1≠0. Es decir: C.V.A. = {x ∈ R/ x ≠ 2 1 } = R - { 2 1 } 2. G(x) = 2x − , el C.V.A. está dado por todos aquellos valores reales para x, tal que el radicando es no negativo: x - 2 ≥ 0. Es decir: C.V.A = {x ∈ R / x ≥ 2}= ∞+;2 3. H(x) = 3 2 5x − C.V.A. (H(x)): …….......…………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… INECUACIÓN IRRACIONAL Es toda inecuación que tiene la incógnita afectada por radicales. Presenta la siguiente forma general. ( ) 0xF > < Siendo F(x) una expresión irracional sobre R. Resolución: 1. Hallar la existencia (CVA) de la expresión irracional F(x) 2. Se transforma la inecuación, elevando a ambos miembros a un exponente que elimine el radical. (Si el índice del radical es par, ambos miembros de la inecuación deben ser positivos obteniendo el conjunto de posibles soluciones Sp). 3. El conjunto solución se obtiene interceptando el CVA con Sp. Ejemplos: Resolver: 1. 2x3 ≥− 2. 35x >+ 3. 21x2 −<− 4. 05x3 ≥π−+ 5. 1x1x 3 3 +≤+ 6. 9x1x 3 +≤+ ECUACIÓN IRRACIONAL Una ecuación es irracional si la incógnita está afectada por radicales, presenta la siguiente forma general: ( ) 0xF = Donde F(x) es una expresión irracional definida sobre los reales. La resolución de esta ecuación es similar a una inecuación irracional. Resolver: 4x5x1x2 +=−−− 1. C.V.A: 2x - 1 ≥ 0 ∧ x - 5 ≥ 0 ∧ x + 4 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2 1 ∧ x ≥ 5 ∧ x ≥ - 4 ⇔ x ≥ 5 2. Transponiendo: 5x4x1x2 −++=− Elevando al cuadrado: 2x - 1 = x + 4 + x - 5 + 2 5x.4x −+ 2x - 1 = 2x - 1 + 2 )5x()4x( −+ 0 = 2 )5x()4x( −+ x = - 4 ∨ x = 4 (Posibles soluciones)(SP) 3. C.S. = CVA ∩ SP = {5} ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO Antes de iniciar este tema es necesario recordar la definición y teoremas relativos al valor absoluto. VALOR ABSOLUTO Definición El valor absoluto de un número real “x” se denota por x y se define:    <− ≥ = 0x;x 0x;x x Ejemplo : 22;55 ==− 22 −π=π− De la definición se sigue que : Rx;0x ∈∀≥ Teoremas Sea {x; y} ⊂ R; a ∈ R+ 1. axax ±=⇔= 2. 222 xxx == 3. { }yxyxyx −=∨=⇔= 4. xxxx −≥∧≥ 5. yxyx +≤+ Desigualdad triangular NOTA La demostración de estos teoremas se van a omitir ya que en este capítulo nos interesa resolver ecuaciones con valor absoluto. ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO Forma general ( ) 0xM = Donde: M(x) es una expresión con valor absoluto. Ejemplo : Las siguientes igualdades son ecuaciones con valor absoluto 1. 5x3x2 =+− 2. 07x =− 3. 01x2x 2 =+++ 4. 05 2x 4 =− − Teorema : Sean f(x) y g(x) expresiones definidas en R. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]{ }xgxfxgxf0xgxgxf −=∨=∧≥⇔= Ejercicio : Resolver : 6xx54x2 2 −−=− Resolución : Por el Teorema 1, tenemos : S5AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S5AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
  6. 6. 01 02COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Año Secundaria ALGEBRA 5to Año Secundaria 06x5x06xx5 22 ≤+−⇒≥−− ⇒ ( )( ) 02x3x ≤−− Por puntos críticos, tenemos: - -2 3 ++ ∴ x ∈ [2, 3] ………………………………… (*) y además : (1) : 2x- 4= 6xx5 2 −− ∨ (2) : 2x-4= -      −− 6xx5 2 De (1) : 02x3x2 =+− ⇒ ( )( ) 01x2x =−+ ∴φ0 ξ = 2 ϖ ξ = 1 ∆ε (2) : 2ξ − 4 = 6x5x2 +− ⇒ 010x7x2 =+− ∴φ0 ( )( ) 2x5x02x5x =∨=⇒=−− De (1) y (2) : x ∈ {1, 2, 5} Pero según (*) sólo es solución : x = 2 ⇒ C.S. = {2} Teorema ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]xgxfxgxfxgxf −=∨=⇔= Ejercicio: Halle “A”, si : A =       +=+∈ 2x23x/Rx 2 Resolución : Para hallar A, debemos resolver : 2x23x2 +=+ Considerando luego sólo las soluciones reales veamos: Por el teorema anterior : 2x23x2 +=+ ∨ 2x23x2 −−=+ 01x2x2 =+− ∨ 05x2x2 =++ ( ) 01x 2 =− ∨ ( ) 041x 2 =++ x = 1 ∨ ∃/ solución real ∴ A = {1} INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO Forma general ( ) 0xN > < Donde N(x) es una expresión con valor absoluto. Ejemplo : Los siguientes ejemplos son inecuaciones con valor absoluto. 1. 2 x 1 x ≤+ 2. 3xx3x2 −>+ Teorema Sean f(x) y g(x) expresiones definidas en R luego : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]xgxfxg0xgxgxf ≤≤−∧≥⇔≤ Ejercicio: Resolver : 4x 2x x2 −≤ − Resolución : Por el teorema anterior, tenemos : 4x04x ≥⇒≥− ∞+∈∴ ;4x …………… (*) y además : 4x 2x x2 −≤ − ≤ x - 4 ⇒ 4x 2x x2 −≤ − ⇒ ( ) ( )α−−≤ 4x2xx2 Pero de (*) : x ≥ 4 ⇒ x - 2 ≥ 2 > 0 ∴λανγ3082 2x2x −=− Reemplazando en (α): 2 x ≤ (x - 2)(x - 4) ⇒ 8x6xx 22 +−≤ ⇒ 6x ≤ 8 ⇒ x ≤ 4 3 ……… (**) Intersectando (*) y (**) -∞ + ∞44 3 ∴φ0 Χ.Σ. = ∅ Teorema Sean f(x) y g(x) expresiones definidas en R. i. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xgxfxgxfxgxf −≤∨≥⇔≥ ii. ( ) ( ) ( ) ( )xgxfxgxf 22 <⇔< Ejercicio: Resolver : 3x26x −>+ Resolución : Por el teorema anterior en la parte “i”. Tenemos : x + 6 > 2x - 3 ∨ x + 6 < - (2x-3) 9 > x ∨ x + 6 < - 2x +3 x < 9 ∨ x < - 1 -∞ +∞-1 9 ∴φ0 Χ.Σ. = ξ ∈ 1; −−∞ Ejercicio Resolver : x1x2 <− Resolución : Por la parte “ii” del teorema anterior, se tiene : x1x2 <− ⇔ ( ) 22 x1x2 <− ⇔ 01x4x3x1x4x4 222 <+−⇔<+− ⇔ ( )( ) 01x1x3 <−− - 1-∞ + ∞1 ++ 3 ∴φ0 ξ ∈ .S.C1; 3 1 = PRACTICA DE CLASE Nivel I: 01. Sean los intervalos: A = [-6; 5] A B = ]-2; 9[ Calcular la suma de los valores enteros de A∩B. a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 02. Sean los intervalos: C = [-4; 4] D= ]4; 8 [ Calcular C ∪ D a) [-4; 4] b) ]4; 8 [ c) ]-4; 8[ d) [0; 8] e) [-4; 8 [ 03. Si la unión de los intervalos: E = [-4; 5 [ F = ]-2; 5 [ es: [a; b]. Calcular “ab” a) -20 b) -10 c) 2 d) 8 e) 25 04. Si: a > b > c > 0 y M = [-a; 0] N = ]-c; c] P = [-b; a] Calcular: M ∩ N ∩ P a) [-c; 0] b) [0; c ] c) [-b; c ] d) ]-c; 0 [ e) [c; b ] S5AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S5AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
  7. 7. 01 02COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Año Secundaria ALGEBRA 5to Año Secundaria 05. Sean los intervalos: M = [-6; 13 [ N = ]-3; 5 [ Si M ∩ N está representado por ]m + 1; n - 2[ Calcular: m + n a) -3 b) -1 c) 0 d) 3 e) 5 06. Si la intersección de los intervalos: M = ]-5; -1 [∪] 2; 11 [ N = [-3; 4] es: [a; b[ ∪ ]c; d] Calcular : a + b + c+ d a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 07. Sean los intervalos: P = [-15; -9] ∪ [-3; 3] ∪ [10; 17] Q = [-12; -1] ∪ [1; 13] Luego se interseca P ∧ Q, indique un intervalo de P ∩ Q. a) [-12; -3] b) [-3; 10] c) [3;13] d) [-3; -1] e) [-9; 10] Nivel II 08. Sean los intervalos: A = R B = [-3; 4 [ C = ]-1; 3 [ Calcular: A ∩ B ∩ C a) ]-1; 4[ b) [-3; 3] c) ]-1; 3 [ d) ]3; 4e e) [-3 ; -1[ 09. Sean los intervalos: A= ]-11; 7[ C = ]-8; 8 [ B= [-6; 11[ D = [-15; 15] Calcular (A ∩ C) ∪ (B ∩ D); dar como respuesta la suma de sus valores enteros. a) 7 b) 17 c) 27 d) 37 e) 47 10. Resolver: 7(3 - 2x) + 2(2x+15) < 2(5x -7) - 3(2x -11) a) x ∈ ]2; + ∞ [ b) x ∈ ]- ∞ ; -2 [ c) x ∈ ]0; +∞ [ d) x ∈ ]-2; + ∞ [ e) x ∈ ]- ∞; 2 [ 11. Resolver: 6 15x 4 1x4 3 x5 2 3x2 + − − > − − − a) x > 5/6 b) x < 5/6 c) x > 5 d) x > 6 e) x < 6/5 12. Luego de resolver la inecuación: )91x(3x 11 x5 −< Indicar el menor valor entero de x a) 77 b) 76 c) 80 d) 79 e) 78 13. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: I. Si: -2 < x < 3 → 0 ≤ x2 < 9 II. Si: -3 < x ≤ 4 → 9 < x2 ≤ 16 III. Si: x ∈ R → x2 > 0 a) VVV b) VFF c) VFV d) FVF e) FFF 14. Si: b a < 0; entonces se cumple: a) a < 0 ∧ b > 0 b) a > 0 ∧ b < 0 c) a > b d) ab > 0 e) ab < 0 15. Si x es tal que: 2 x 1 < ∧ 3 x 1 −> Entonces: a) -1/3 < x <1/2 b) -1/2 < x < 3 c) x > 1/2 d) x > 1/2 ∨ - 1/3 x < x < 0 e) x < -1/3 ∨ x > 1/2 Nivel III: 16. Resolver la inecuación: 3 2 2 1x2 6 2x3 5 1x2 + + > − + − E indicar un valor entero admisible para “x” 17. Resolver: (x+5)(x+3) ≥ (x+2) (x+ 1) + 3 a) x ∈ [-2; +∞ [b) x ∈]-∞; -3] c) x ∈ [2; + ∞ [ d) x ∈] - ∞; -2 ] e) x ∈ [3; +∞ [ 18. Resolver: x211x3 84 −− > a) x ∈]2/5; + ∞ [ b) x ∈ ]2/5; 3 [ c) x ∈ ]3; +∞ [ d) x ∈]2; +∞ [ e) x ∈ ]5/12; + ∞ [ 19. La suma de los valores enteros y positivos de “x” que satisfacen la inecuación: 7 1x8 5 2 13x5 273 + + > ; es: a) 1 b) 2 c) 3 d) 6 e) 10 20. Si: a > b ∧ c ∈ R Son ciertas: I. a + c2 > b + c2 II. c b c a > III. a - c < b - c IV. ac > bc a) Sólo I b) sólo II c) I y III d) II y IV e) Todas PROBLEMAS PROPUESTOS 01 01.Resolver: x2 - 3x < 4 a) x ∈ R b) x > -1 c) x > 4 d) -1 ≤ x ≤ 4 e) -1< x < 4 02.Resolver: x2 + 2x >8 e indicar un intervalo solución: a) ]4; +∞ [ b) ]- ∞ ; 2 [ c) ]2; +∞ [ d) ]1; + ∞ [ e) ]4; +∞ [ 03. Resolver: (x + 2) (x + 4) ≥ 2x + 16 a) x ∈ [-6; 2 ] b) x ∈ ]- ∞ ; -6 [ ∪ [2; +∞] c) x ∈ [4; 8] d) x ∈]-∞ ; -6 [ e) x ∈ [3; + ∞ [ 04. Resolver: 0 1x )2x)(3x( ≥ + +− a) [-2; -1[ ∪ [3; +∞ [ b) [-2; 3 [ c) ]- ∞ ; -2 [ d) ]- ∞ ; 2 [ ∪ ]-1,3 [ S5AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S5AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
  8. 8. 01 02COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Año Secundaria ALGEBRA 5to Año Secundaria e) ]-2; ∞ [ -{-1} 05. Resolver: 0 6x5x 48x10x4 2 2 < +− +− a) 2 < x < 3 b) -5 < x < 3 c) -3 < x < 2 d) 4 < x < 6 e) - 1< x < 6 06. Hallar el conjunto solución de la inecuación: 0 2x 4x3x 23 ≥ + −+ a) ] -∞; -2[ ∪ [1; + ∞ [ b) ]-2; 1 [ c) ]-∞; 2 [ ∪ ]1; +∞ [ d) ]1; 8 [ e) φ 07. Resolver: 7 x 2 3 x 4 −>− a) x ∈ ] -1/2; 0 [ b) x ∈ ]0; 1/2 [ c) x ∈ ]-∞; -1/2 [ ∪ ]0; +∞ [ d) x ∈ ]-∞; 1/4[ ∪ ]1/2; + ∞ [ e) x ∈ ]1/4; 1/2 [ 08. Determine el mayor valor entero de “M” que satisface la desigualdad: 7x2 + 28x + 3 > 7M se verifica para todo x ∈ R a) 3 b) -3 c) 0 d) -4 e) 4 09. El menor número entero “λ” que satisface la desigualdad: λ<−+− 2 5 x2x2 ; ∀ x ∈ R a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2 10. Sea el polinomio: P(x) = x2 - 4x +m - 5 Si P(x) >0; ∀ x ∈ R; entonces los valores que asume “m” son: a) m > -9 b) m < -9 c) m > 9 d) m < 9 e) m < -5 11. Resolver: 0 1xx 1 2 < ++ a) ]- 35 ; - 7 [ b) ]- 35 ; - 3 [ c) R d) φ e) R - ]- 35 ; - 7 [ 12. Resolver: x3 x6 162x3x2 −> − ++ a) 6 < x < 12 b) -6 < x < 12 c) -12 < x < -6 d) x < -12 ∧ x >6 e) -12 < x < 6 13. Resolver: 5 5x 1x3 3 < − − < a) x > 14 b) x > 13 c) x > 12 d) x > 15 e) x > 5 14. ¿Cuántos valores enteros satisfacen el sistema? 12 5x 7x 2 < − − < a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 7 15. Resolver el sistema: 3x2 + 2x > 0 x3 + x2 + x < 0 a) 0 < x < 2/3 b) x > 2/3 c) x < 0 d) x < -2/3 e) φ 16. Resolver el sistema: 2 2 1x7 4 3 1x4 + − <+ − a) x > 1 b) x < -1 c) x > 1,5 d) x < -1 ∧ x > 1,5 e) x > 2 17. Luego de resolver: 1x 5x 2x 4x + + ≤ + + se obtiene x ∈ [a; b [ ∪ ]c; +∞ [ el valor de a + b + c a) -3 b) -4 c) -5 d) -6 e) -7 18. Si: 3 2 1x 3x 5 1 < + − < Entonces “x” pertenece al intervalo a) ]4; 11[ b) ]-1; 11[ c) ]-1; 4 [ d) ]-∞; -1[ ∪ ]4; +∞[ e) ]4; 15 [ 19. Dada la inecuación: bx bx ax ax − + > − + ; a < b < 0 entonces uno de sus intervalos solución es: a) ]0; +∞ [ b) ]a; b [ c) ]a; 0 [ d) ]-∞; b [ e) ]b ; 0 [ 20. Indique el intervalo solución de: 1x 1 1x 1 2 + < − + a) ]-1; 1[ b) ]-∞; -1[ ∪ ]1; +∞ [ c) ]-1;0 [ ∪ ]0; 1[ d) ]-1; 1[ ∪ ]1; +∞ [ e) φ TAREA DOMICILIARIA 01. Sean los siguientes intervalos A = ]0; +∞ [ B = ]2; 5 [ Determine A ∩ B a) ]0; 2 [ b) ]5; +∞ [ c) ]0; 5 [} d) ]2; +∞ [ e) ]2; 5 [ 02. Si: P = [-1; 7] Q = ]3; 10 ] determine el número de valores enteros de P ∪ Q a) 12 b) 13 c) 11 d) 14 e) 10 03. Relacione correctamente los gráficos con su intervalo. A B 1) A B 2) A B 3) A. A ∩ B B. B - A C. A ∪ B S5AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S5AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
  9. 9. 01 02COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Año Secundaria ALGEBRA 5to Año Secundaria a) 1A; 2B; 3C b) 1C; 2B; 3A c) 1A; 2C; 3B d) 1B; 2A; 3C e) 1C; 2A; 3B 04. Calcular la suma de los valores enteros de M∩N si: M= ]-∞; -2] ∪ ]3; +∞] N = ]-7; 8] a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 05. Indique el valor de verdad de los siguientes enunciados: I. Si -a > b ∧ c > 0 → (a + b) c < 0 II. Si x < 0 → x 1 >0 III. Si a > b > c > 0 → < a - b > - (b - c) IV. Si n > 2 ∧ m < -1 → n - m > 3 a) VVFF b) FFFF c) VFVV d) FFVV e) VFFV 06. Si a > 0 ∧ b < 0 entonces se puede afirmar siempre: I. (a - b) b < 0 II. (a + b) b < 0 III. 0a b a 2 <− a) sólo I b) sólo II c) II y III d) sólo III e) I y II 07. Resolver 3(x + 5) -2(6 -x) > 5(1 - x) a) x < 0,3 b) x > 0,3 c) x < 0,5 d) x > 0,5 e) x > 0,2 08. Si la inecuación: (x+2) (x+3) > (x+5) es equivalente a: 0 1n n x < + + (n ∈ Z+) Calcular : 2n + a) 3 b) 2 c) 5 d) 22 e) 3 09. Resolver el siguiente sistema: 2 5x 3 4x + ≥ − .................... (α) 4 x3 5 3x − ≤ − .................... (β) a) ]-∞; 3] b) [3; +∞[ c) ]-∞; -23] d) [-23; 3] e) [-23; +∞[ 10. Resolver: 7 3 x54 1 ≤ − <− y determinar el mayor valor entero que lo verifica. a) -3 b) -2 c) 3 d) 2 e) 1 11. Si el conjunto A es la solución de la inecuación: 5 x 2x8 3 < + <− Determine A’ (complemento de A) a) ]-∞; - 3 2 ] ∪ [- 11 2 ; + ∞ [ b) [- 3 2 ; - 11 2 ] c) [- 11 2 ; - 3 2 ] d) [-11; -3] e) [- 2 11 ; - 2 3 ] 12. Resolver el siguiente sistema: 3x - 4 ≤ 5x +2 ≤ -x + 8 a) 1≤ x ≤ 3 b) -3 ≤ x ≤ 1 c) -3 ≤ x ≤ -1 d) x ≤ -3 e) x ≤ 1 13. Se define la siguiente operación: a ∇ b = 2 ba − Calcule el número de valores enteros que verifican el sistema: (3) ∇ (x) > (2x) ∇ (5) ≥ (x - 1) ∇ (2x) a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 14. Si: A = {x ∈ Z/ x ≤ 7} B = {x ∈ Z/ x - 1 > -4} Entonces la suma de los elemento de A ∩ B. a) 21 b) 22 c) 23 d) 24 e) 25 15. Resolver:      ≤+ ≥− 31x 1 2 x x2 ∨ { 2 3 2 1 x 12x ≤− ≤− a) x = 2 b) x ≤ 2 c) [ 3 2 ; 2] d) [ 3 2 ;3] e) x ≥ 1 16. Resolver: 8x 7 x28 8x 7 4x − +−≥ − +− a) [4; +∞ [ b) [4; +∞ [ - {8} c) R d) ]-∞; 4 [ e) φ 17. Resolver el sistema: m + 3 > 2n .................(1) 3n < 12 - m ................(2) en Z+. Indique la suma de todos los valores de “n” que lo verifican. a) 16 b) 22 c) 3 d) 4 e) 5 18. Si: m > n Resolver: n(m+x) +m(n-x) ≥ m2 + n2 a) x ≥ n - m b) x ≥ n + m c) x ≤ n - m d) x ≤ n + m e) x ≥ nm 19. Si “x” es un número entero tal que: m = 3x + 1 ........... (1) n = x + 9 ........... (2) p = 2x +3 ........... (3) m > n > p ........... (4) Calcular: m + n + p a) 40 b) 41 c) 42 d) 43 e) 44 20. Si: -3 < 5x + 1 < 2 entonces el intervalo que le corresponde a: 2x2 1 − es: a) ]5/8; 5/4 [ b) ]-5/8; -5/18 [ c) [5; 8 ] d) ]5; 8 [ e) ]-5; 5 [ PRACTICA DE FIJACIÓN 01. Resolver: 0 )5x( )5x)(1x( 2 < + −+ y dar como respuesta la suma de los valores enteros del conjunto solución a) -15 b) -10 c) 0 d) 5 e) 15 S5AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S5AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
  10. 10. 01 02COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Año Secundaria ALGEBRA 5to Año Secundaria 02. Calcular la suma de los valores enteros que verifican la siguiente desigualdad: 7x x 7x 3x4 7x 2 10 − < − − − − + a) 76 b) 70 c) 57 d) 50 e) 38 03. Indique el conjunto solución de: 1x 1 1x 1 2 + < − + a) x ∈ φ b) x ∈ R - {-1; 1} c) x ∈]-1;1[- {0} d) x ∈ [-1; 1] - {0} e) x ∈ R - [-1; 1] 04. Resolver la siguiente inecuación: 4x 1 6 4x 5x 4 − +> − + + Señalando la suma de dos valores enteros del conjunto solución. a) 53 b) 54 c) 55 d) 56 e) 57 05. Luego de resolver: 1x 5x 2x 4x + + ≤ + + Dar como respuesta la semisuma de los extremos finitos de los intervalos solución. a) -2 b) c) 4 d) -3 e) 1 06. Resolver: 0 2x2x 1xx 2 2 < ++ ++ a) R+ b) R- c) R d) Z e) φ 07. Luego de resolver la siguiente inecuación: 1x 2x 2x 1x − + ≤ − + Indicar el conjunto solución a) ]1; 2[ b) ]1; 2] c) [-1; 2] d) [1; 2[ e) ]-1; 3[ 08. Resolver: 0 ax )bx()ax( 23 < + +− . Si: a > b > 0 a) ]-a; -b[ b) ]-b; a[ c) ]-a; a[ d) ]-a; a[- {-b} e) ]-a; a[-{b} 09. Dada la inecuación: bx bx ax ax − + > − + con -a > -b > 0 entonces uno de los intervalos solución es: a) ]0; +∞ [ b) ]a; b [ c) ]a; 0 [ d) ]-∞; b [ e) ]b; 0 [ 10. Dar como respuesta un intervalo del conjunto solución de: 0 2x 8x 2 2 ≥ − − a) ]-∞; - 2 [ b) ]- 2 ; 2 [ c) [ 2 ; +∞[ d) [-2 2 ; 2 2 ] e) ]-2 2 ; 2 2 [ 11. Resolver: x4 + 3x2 + 2x + 2 > 0 a) R b) φ c) [3; -3] d) R - {-2; 3} e) [0; -∞ [ 12. Resolver: 0 )3x2x)(1x( )9x)(4x)(1x( 22 222 ≥ +++ −−− y dar como respuesta in intervalo del conjunto solución. a) ]-∞; -2 ] b) [-3; -1] c) [-1; 2] d) [1; +∞[ e) ]-1; 3[ 13. Si: S representa al conjunto solución de la siguiente inecuación: 0 )2x()3x( )4x()2x()1x( 6 523 ≥ −+ −+− marque la alternativa correcta: a) ]1; 2] ⊂ S b) [4; +∞[ ⊂ S c) ]-3; 1] ∩ S ≠ φ d) ]1; 4] = S e) Más de una es correcta S5AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S5AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
  11. 11. 01 02COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Año Secundaria ALGEBRA 5to Año Secundaria Par Ordenado: Es un conjunto formado por dos elementos dispuestos en determinado orden: ra1 Componente da2 Componente (a ; b) Propiedades: 1. (a ; b) ≠ (b ; a) ( no conmutativa) 2. Si: (a ; b) = (c ; d) ⇒ a = c ∧ b = d PRODUCTO CARTESIANO Dados los conjuntos A y B no vacíos; se llama producto cartesiano A x B al conjunto de pares ordenados (a; b) donde a ∈ A y b ∈ B; es decir: A x B = {(a; b) /a ∈ A ∧ b ∈ B} Propiedades: 1. A x B ≠ B x A 2. n(A x B) = n (A) n (B) Relación: Definición: Sean a y b dos conjuntos no vacíos se llama relación de A en B, a todo subconjunto R de A x B es decir: R es una relación de a en B ⇔ R C A x B En particular si A = b, R se llama una relación en A (ó relación entre elementos de A). La definición anterior de relación exige la comparación de elementos por pares, por eso suele llamarse relaciones “BINARIAS” Ejemplo: En el conjunto A = {9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1} Establecemos las siguientes, relaciones: * “a” es el doble de “b”* * “a” es igual a “b”* Escribir los pares que cumplen las relaciones respectivamente. Sea: R1 = {(a, b) /a es doble de b} R1 = {(2,1) (4,2) (6,3) (8,4)} R2 = {(a1 / b) es igual a b} R2 = {(1,1) (2,2)(3,3)(4,4)(5,5)(6,6)(7,7)(8,8)(9,9)} • Si R es una relación entre elementos de A y B al conjunto A se llama conjunto de partida de la relación y a B conjunto de llegada • Se llama dominio de una relación R al conjunto de todos los elementos a ∈ A tales que existe por lo menos un b ∈ B con (a,b)∈R • Se llama rango de una relación R al conjunto de todos los elementos b ∈ B tales que existe por lo menos un a ∈ a con (a,b) ∈ R. Ejemplo: De la relación: R1 = {(1,2)(2,b)(2,7)(3,2)(1,-2)} DR1= {1; 2; 3} RR1 = {2, b, 7, -2} DR1 = RR1 = FUNCIONES Definición: Sean A y b dos conjuntos no vacíos (pudiendo ser A = B) llamaremos función definida en A los valores en B (función de A en B) a toda relación: f ⊂ A x B que tiene la propiedad: (a, b) ∈ f y (a, c) ∈ f, entonces b = c Es decir, una función f es un conjunto de pares ordenados de elementos, tal que dos pares distintos nunca tienen el mismo primer elemento. Notación: Si f es una función de A en B se designa por: f f : A → B ó A → B ó a b A B f Se lee “f” es una función de A en “B” Ejemplos: a b c 1 A B Siendo a A f ≠ b ≠ c diremos: B→ f={(a, 2) (b, 1) (c, 1)} Es función → 1 2 3 a b c d M N f M N f ó f={(1,c)(2,d)(3,b)} Es función 1 2 a b c M S f f f={(1,b)(2,a)(3,c)} M S Si a ≠ b ≠ c, luego, so es función porque se repite el 1er componente. Si; a = c ≠ b, es función * Toda función es una relación, pero no toda relación es un función. Ejemplo: Hallar los valores de “a y b” para que el conjunto de pares ordenados sea una función: A = {(2,5)(-1,-3)(2,2a - b)(-1; b-a)(a + b2, a)} Resolución: En una función 2 pares distintos nunca tienen el mismo primer elemento. ∴φ0 (2,5) ψ (2,2α − β) ∈ A ⇒ 5 = 2a - b.......... (1) (-1,3) y (-1, b - a) ∈ A ⇒ b = -a = -3..... (2) De (1) y (2) resolviendo a = 2 ∧ b = -1 ∴φ0 φ= {(2, 5) (−1, −3) (3, 2)} ∗ Σι φ εσ υνα φυνχι⌠ν δε Α εν Β ελ χονϕυντο Α σε λλαµαρ〈 χονϕυντο δε παρτιδα δε λα φυ νχι⌠ν ψ Β ελ χονϕυντο δε λλεγαδα. • El dominio de una función f, se designa por Df y se define como el conjunto siguiente: Df = {x ∈ A/ ∃ y tal que (x, y) ∈ f} Es decir son las primeras componentes de los pares ordenados • El rango (o imagen) de una función f, se designa por “Rf” o “imf” y se define como el conjunto siguiente: Rf = {y ∈ B/∃ x tal que (x, y) ∈ f} Es decir son las segundas componentes de los pares ordenados. • Si el par ordenado (a, b) ∈ f escribiremos: b = f(a) y diremos que b es imagen de a por f (o también, que b es el valor de f en a). f = {(a, b) ∈ A x b/b = f(a), a ∈ Df} Ejemplo: Sea la función: f = {(2, 3)(3, 4)(7, 3)(-2, 6)(4, 1)} Hallar: M =f(2) + f(3) +f(7) +f(-2)+f(3) S5AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S5AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
  12. 12. 01 02COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Año Secundaria ALGEBRA 5to Año Secundaria Resolución: Como f(2) = 3; f(3) = 4; f(7) = 3 f (-2) = 6; f(4) = 1 ∴λανγ1033M = 18 Regla de Correspondencia: Para que se pueda definir bien una función es suficiente conocer su dominio (Df), y una regla que permita asignar para cualquier x ∈ Df, su imagen f(x). Ejemplo: Hallar el dominio en las siguientes funciones: a) f = {(2, 3)(4, 5)(6, 3)(-2, 1)} Df = { 2, 4, 6, -2 } b) f(x) = 2x − Df : x - 2 > 0 : x ≥ 2 Df = [2, ∞> c) f(x) = 3x 3 5x 2x − + + − Df : 5x 2x + − ≥ 0 y x - 3 ≠ 0 -5 2 y x 3 + + ≠ Df = <-∞, -5> ∪ [2, ∞> -{3} Ejemplo: Hallar el rango de las siguientes funciones: a) f = {(2, 3) (4, 6) (5, 7)(7, 6)(-2, 3)} Rf = {3, 6, 7, 3} b) Sea f(x) = x2 y = ; Ry Rx x2 +∈ ∈ → Df= <-∞, ∞> U {0} ; Rf=[0, ∞> * Tenemos varias formas de hallar rangos, presentaremos las mas conocidas: • Cuando tenemos una función donde su dominio no presenta rango, se despeja “x” en función de y; • Cuando tenemos un intervalo como dominio usamos desiguales. c) Para la función definida por: g(x) = 2x2 + 3x + 2 / x ∈ R Resolución: y = 2x2 + 3x+ 2⇒2x2 + 3x + (2 - y) = 0 )2(2 )y2)(2(493 x −−±− = Si x ∈ ℜ; luego “y” también ∈ ℜ Pero: ∆ ≥ 0; 9 - 8(2 - y) ≥ 0 → y ≥ 7/8 Rg = {7/8, ∞ > d) Para la función definida por: h(x) = x2 - 4x + 7; x ∈ [2, 3] Resolución: y = x2 - 4x + 7 y = (x - 2)2 + 3 Como: 2 ≤ x ≤ 3 ⇒ 0 ≤ x - 2 ≤ 1 Al cuadrado: 0 ≤ (x - 2)2 ≤ 1 Sumando tres a cada miembro: 43)2x(3 2 ≤+−≤  ⇒ 3 ≤ y ≤ 4 ∴φ0 Ρη = [3, 4] ε) Παρα λα φυνχι⌠ν φ(ξ) = 1x x 2 2 + Resolución: y = 1x x 2 2 + ; yx2 + y = x2 → x2(y - 1) = -y x2 = y1 y − → x = ± − y1 y ∴φ0 y1 y − ≥ 0; 1y y − ≤ 0 y ∈ [0,1> → Rf = [0,1> 0 1 + - + GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN Definición: Sea f una función real, la gráfica de f e el conjunto G, de todos los puntos (x, y) en el plano, tal que x está en el dominio de f e y, es la imagen de x por f, es decir: G = {(x, y) ∈ R2 /y = f(x), x ∈ Df} * Una gráfica cualquiera será función; si y sólo si al trazar una paralela al eje “y” corta a la gráfica en un sólo punto. Ejemplo: a) x L 1 y y F(x) F(x) es función L1, la recta paralela corta a la gráfica en solo un punto. b) x L 2 y G(x) G(x) no es función L2, la recta paralela, corta a la gráfica en más de un punto. FUNCIONES ESPECIALES 1. Función Constante: - Regla de correspondencia f(x) = k Df = R ∧ Rf = k Significa que f = {.... (0, k) (1, k) (2, k) ....} ∴λανγ1033 f = {(x, k) / f(x) = k} Gráfica: S5AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S5AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
  13. 13. 01 02COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Año Secundaria ALGEBRA 5to Año Secundaria 0 y 2 3 6 x f(x)=k 2. Función Identidad: - Regla de correspondencia x)x(f = Df = R ∧ Rf = R Significa que F = {...(1, 1)(2, 2) (3, 3) ...} ∴φ0 φ(ξ) = {(ξ, ψ) / φ(ξ) = ξ ⇔ x = y} Gráfica: y x f(x) = x 3. Función Valor Absoluto: - Regla de correspondencia f(x) = |x| Nota:    <− ≥ = 0xsi;x 0xsi;x |x| Df = R; Rf = R+ ∪ {0} Significa que f = {... (-2, 2) (-1, 1)(0, 0)(1, 1)...} f(x) = |x| y = |x| → x = 1; y = 1 x = -1; y = 1 Gráfica: x y = |x| y 4. Función Raíz Cuadrada: - Regla de correspondencia: f(x) = x . x≥0 - Df = R+; Rf = R+ Significa que: f = {(0, 0)(1, 1)(2, 2 )(3, 3 ) ...} Gráfica: x y = y x 5. Función Lineal: Es una función con dominio todos los reales y como regla de correspondencia: f(x) = ax +b, donde a y b son constantes cualesquiera. a ≠ 0 • Su gráfica es un recta: con pendiente “a” e intercepto “b” Gráfica: x y b y = mx + b m > 0 α x y y = mx + b m < 0 α m = pendiente de la recta m = tg α Ejemplo: Calcular la función lineal que tenga: f(1)= 3 y además f(2) = 2f(3). Resolución: f(x) = mx + b f(1) = m + b = 3 ................ (α) Además: 2m + b = 2(3m +b) 2m + b = 6m + 2b b = - 4m ............. (β) De (α) y (β): m = -1 ∧ b = 4 ∴λανγ1033f(x) = -x +4 6. Función Cuadrática: Definición: Es una función con dominio el conjunto de lo números reales y cuya regla de correspondencia es: f(x) = ax2 + bx + c; a, b, c, ∈ ℜ; a ≠ 0 • Su gráfica es una parábola simétrica respecto a una recta vertical, llamada eje de simetría, abierta hacia arriba si a > 0 hacia abajo si a < 0. • Nota Gráfica: Sea la función y = ax2 + bx + c D = Discriminante = b2 - 4ac x y I. -b/2a x VERTICE f(-b/2a) 1 x2 x y x VERTICE f(-b/2a) 1 x2 a > 0 D > 0 -b/2a a < 0 D > 0 {x1; x2 } raíces de la ecuación cuando y = 0 S5AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S5AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
  14. 14. 01 02COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Año Secundaria ALGEBRA 5to Año Secundaria x y II. x1 x2= = - b/2a a > 0 D > 0 x y x1 x2= = - b/2a a < 0 D = 0 {x1; x2 } raíces iguales de la ecuación cuando y = 0 x yIII. f(-b/2a) -b/2a a > 0 , D < 0 x y f(-b/2a) -b/2a a < 0 , D < 0 En esta función cuando “y” = 0; los valores de “x” son números complejos. Otras funciones • Funciones Pares: Son aquellas funciones que se caracterizan por ser simétricas respecto del eje “y” ; y se cumple que: i) Si x ∈ Df → -x ∈ Df ii) f(x) = f(-x) → x ∈ Df • Funciones Impares: Son aquellas funciones que se caracterizan por ser simétricas respecto del origen: i) Si x ∈ Df → -x ∈ Df ii) f(x) = -f(-x) → x ∈ Df Ejemplo: Indicar que funciones son pares, impares o ni par ni impar: I) F(x) = x4 + 1 II) G(x) = x3 III) H(x) = x - |x| I) F(x) es par porque: F(-x) = (-x)4 + 1 F(-x) = x4 + 1 F(-x) = F(x) ∴φ0 Φ(ξ) εσ παρ ΙΙ) Γ(ξ) εσ ιµπαρ πορθυε: Γ(−ξ) = (−ξ)3 Γ(−ξ) = −ξ3 −Γ(−ξ) = ξ3 −Γ(−ξ) = Γ(ξ) ∴φ0 Γ(ξ) εσ ιµπαρ ΙΙΙ) Η(−ξ) = −ξ − |ξ| Η(−ξ) = −ξ −Η(−ξ) = ξ + |ξ| −Η(−ξ) ≠ H(x); También H(-x) ≠ H(x) ∴φ0 Η(ξ) νο εσ νι παρ νι ιµπαρ. ΠΡΑΧΤΙΧΑ ∆Ε ΧΛΑΣΕ Ν° 02 01. Σι: Φ = {(5; 3), (4; α + 4β), (8; 3), (4; 2α − 3β)} Ρεπρεσεντα υνα φυνχι⌠ν, ελ ϖαλορ δε b a es: a) 4b) 2 c) 4 1 d) 3 e) 7 02. Si: G = {(6, 4)(3, 6),(3, |x|), (x, 5)} Representa una función su rango y dominio son: a) {6, -6, 5} ; {3,6} b) {3,6,-6} ; {3; -6} c) {4, 6, 5} ; {3, 6, -6} d) {4, 6, 5, -6} ; {3, 6, -6} e) {4; -6; 5} ; {3, -6} 03. A partir de: f = {(5,2)(4,1) (3,8) (7,-6)} Hallar: f(4) + f(5) - f(7) a) 3 b) -3 c) 9 d) 6 e) -6 04. Si: g = {(-4, 2) (5, a), (8, b), (3, 1)} Y además: g(5) = 10; g(8) = 4.Hallar: f(-4) + a - b a) 2 b) 6 c) 4 d) 3 e) 8 05. Sea f = {(x, y) / y = 2x - 1} Y además Dom f = x ∈ {-5, 2, 3, 4} Hallar el rango de f a) {-4, -1, 2, 3}b) {-4, 1, 2, 3} c) {-11, 5, 3, 7} d) {-9, 5, 3, 7} e) {-9, -3, 5, 7} 06. Dada; la función: G = {(x, y) ∈ N x N/ y = 2x ∧ 3 ≤ x ≤ 10} Indique uno de sus elementos: a) (4, -8) b) (12, 6) c) (4,8) d) (8, 4) e) (3,12) 07. Calcular el Dominio de: f(x) = 4x2 − a) x ∈ ℜ -<-2, 2> b) x ∈ <-2, 2> c) x ∈ [-2, 2] d) x ∈ <-∞, -2> ∪ <2; +∞> e) x ∈ ℜ+ 08. Hallar el Dominio de: 2x 5x )x(f 2 − − = a) x ∈ ℜ - {-2} b) x ∈ ℜ -{2} c) x ∈ ℜ - {2, 5 , - 5 } d) x ∈ ℜ - [2, +∞> e) x ∈ {2} 09. Sea: 1x 3 2x)x(G + ++= . S5AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S5AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
  15. 15. 01 02COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Año Secundaria ALGEBRA 5to Año Secundaria Calcule su Dominio a) x ∈ [2, +∞> b) x ∈ [-2, -1] c) x ∈ [-2, ∞> - {-1} d) x ∈ [-2; -1> e) x ∈<-∞, 2] - {-1} 10. Obtener el Dominio de: 3 6x5|x|)x(H ++−= a) x ∈ <-5, 5> b) x ∈ [-5, 5] c) x ∈ ℜ - [-5, 5] d) x ∈ ℜ - <-5, 5> e) x ∈ ℜ - {-5, 5} 11. Dada la función: 6xx 2xx )x(g 2 2 −− ++ = Obtener su dominio: a) x ∈ <-∞, -2] ∪ [3; +∞] b) x ∈ <-2,3> c) x ∈ [-2, 3] d) x ∈ ℜ - [2, 3] e) x ∈ ℜ - [-2, 3] 12. Hallar el Dominio de: 4x3x 9x )x(f 2 2 ++ − = a) x ∈ [1, 3] b) x ∈ [-1, 3] c) x ∈ ℜ -{-1, 3} d) x ∈ ℜ e) x ∈ ℜ- <-4, 1 13. Calcular el rango de: 6x 5x )x(f + − = a) y ∈ ℜ - {6} b) y ∈ ℜ - {1} c) y ∈ ℜ - {-1} d) y ∈ ℜ - <-5, 5> e) y ∈ ℜ - {-6} 14. Hallar el Rango en: 6x 3x )x(g 2 2 + + = a) y ∈ ℜ - {1} b) y ∈ ℜ - {0} c) y ∈ < - 2 1 ; 1] d) y ∈ ℜ- - {-3} e) y ∈ [ 2 1 , 1> 15. Hallar el Rango en: x 2 1x 3 )x(H + + a) y ∈ ℜ- b) y ∈ ℜ+ ∪ {-1} c) y ∈ <-∞; 0>-{-1} d) y ∈ ℜ e) y ∈ ℜ+ - {1} 16. Sean las funciones: x2x 4 )x(g; x1 x )x(f 2 2 + = − Luego podemos afirmar: a) Presentan el mismo Rango b) Sus Rangos se diferencias en un valor c) f(0) = g(0) d) f(1) = g(1) e) Hay 2 correctas 17. Obtener el Rango en: f(x) = x2 + 5x +7 a) y ∈ [5,7] b) y ∈ [4/3 , +∞ > c) y ∈ [3/4; +∞-> d) y ∈ <-∞: 4/3] e) y ∈ <-∞; 4/3> 18. Hallar el Rango en: H(x) = 2x2 - 4x +5 a) y ∈ <3; +∞> b) y ∈ [0,3] c) y ∈ <-∞, 3> d) y ∈ ℜ - <-∞, 3> e) y ∈ ℜ 19. Obtener el Rango en: f(x) = x3x3 ++− a) y ∈ [2, 3 2 ] b) y ∈ [2, 6 ] c) y ∈ [ 6 , 2 3 ] d) y ∈ [0, 6 ] e) y ∈ [2, 2 3 ] 20. Dada la función:         ++ =ℜ∈= 1x2x2 x y/)y,x(F 2 2 2 Indique la suma de sus valores extremos: a) 2 b) 1 c) 0 d) -1 e) 3 21. Sea: f(x) = 3x 5x2 + + ; 3 ≤ x ≤ 5 Hallar el rango a) <3,5> b)       6 1 ; 8 1 c) [4, 6] d) [11; 15] e)       8 15 ; 6 11 22. Hallar el Rango de: f(x) = x2 - 6x 10 Si su dominio está dado por: x ∈ [-2, 1> a) <4, 25] b) <5, 26] c) [-5,-2> d) ° −ℜ e) ° +ℜ 23. ¿Qué gráficos representan funciones? I) x y II) x y III) x y IV) x y V) x y a) Sólo I b) I y II c) Sólo II d) I y III e) Todos 24. Del gráfico: x y -4 -5 8 9 f(x) Obtener el dominio de f(x) S5AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S5AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
  16. 16. 01 02COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Año Secundaria ALGEBRA 5to Año Secundaria a) x ∈ [-5, 9] b) x ∈ [-5, 9> c) x ∈ [-4; 8> d) x ∈ [-4, ∞> e) x ∈ [-4, 8] 25. Graficar: g(x) = x + 2 a) x y b) x y -2 2 c) x y d) x y 2 2 e) x y 2 26. Graficar: h(x) = 5 - x2 a) x y b) x y 5 -5 c) x y d) x y 5 e) x y 27. Graficar: f(x) = x |x| a) x y b) x y c) x y d) x y e) x y 28. Grafique: 5x 10x3x )x(f 2 − −− = a) x y b) x y 5 c) x y d) x y 5 c) x y 29. Del gráfico: x y 5 4 -4 -3 Hallar f(-4) + f(4) a) -2 b) 2 c) 1 d) 3 e) 6 30. Dada la función: f(x) = ax2 + 2x +3 ; a ≠ 0 Si: f(xo) ≤ f(x) ∀ x ∈ Dom f. Hallar “xo” a) a-1 b) -a-1 c) -1 d) - 3 3 e) 3 / 3 TAREA DOMICILIARIA N° 02 01. Hallar el rango de: G(x) = x3x3 +−− a) [0, 6] b) [0, 6 ] c) [2, 6 ] d) [ 2 , 3 ] e) [-2, 6 ] 02. Del problema anterior: Si los radicales estuvieran multiplicándose, ¿Cuál sería el Rango? a) y ∈ ℜ- b) y ∈ ℜ+ c) y ∈ [0,3] d) y ∈ [0, 3 ] e) y ∈ [ 2 , 3 ] 03. Sea: f(x) = {(3,3) (4,4) (5,5) (1,1)} Su gráfica es: S5AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S5AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
  17. 17. 01 02COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Año Secundaria ALGEBRA 5to Año Secundaria a) x y b) x y c) x y d) x y e) x y 04. De g(x) = 3x +5 , x ∈ <2, 6> Hallar su Rango: a) <11, 18> b) <0, 23> c) [11, 8] d) <11, 23> e) [11, 23] 05. De H = {(2, 6), (5, 4) , (6, 3) ,(9, 1)} Hallar: f(2) + 2f(5) + 3f(6) - f(9) a) 19 b) 17 c) 22 d) 24 e) 23 06. Hallar el dominio de: g(x) = 6x 3 5x − +− a) x ∈ ℜ - {6} b) x ∈ {6} c) x ∈ <-∞, 5> d) x ∈ ℜ e) x ∈ [5, +∞> - {6} 07. Obtener de Dominio de: 2x 6x5x )x(F 2 − +− = a) x ∈ {2} b) x ∈ ℜ - {-2} c) x ∈ ℜ - {-1}d) x ∈ ℜ - {2} e) x ∈ ℜ - {1} 08. Calcular el Dominio de: G(x) = 6x4x +++ a) x ∈ [-6, +∞>b) <-∞, -4] c) x ∈ <-∞, 4] d) x ∈ <-∞, -3] e) x ∈ [-4, +∞> 09. Halle el Rango: f(x) = x2 - 5x +2 a) <-∞, 17] b) <-∞,2] c) <-∞, 3] d) y ∈    >∞+ − ; 4 17 e) ℜ 10. ¿Qué gráfica no representa una función? a) x y b) x y c) d) e) x y 11. Hallar Df ∩ Rf . A partir de: 6x 2x )x(f − + = a) ℜ - {6, 1} b) ℜ - {1} c) ℜ - {6} d) [1,6] e) <1, 6> 12. Hallar el Rango: 2x 3x )x(f 2 2 − + = a) y ∈ ℜ+ b) y ∈ ℜ - <-3/2; 1] c) y ∈ ℜ - [-3/2, 1> d) y ∈ [-3/2, 1> e) y ∈ <-3/2, 1> 13. Si: f = {(3,5) (2,6) (3, a - b) (2, a - 1)} Es función, Hallar: a + b a) 8 b) 5 c) 9 d) 7 e) 10 14. Graficar: f(x) = 3x + - 5 a) x y b) x y -3 c) x y d) x y c) x y 15. Graficar: G(x) =x2 - 10x + 28 a) b) x y c) d) x y e) y x S5AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S5AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
  18. 18. 01 02COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Año Secundaria ALGEBRA 5to Año Secundaria 16. Hallar el dominio: f(x) = x + x 1 a) x ∈ ℜ- b) x ∈ ℜ c) x ∈ ℜ+ d) x ∈ ℜ-o e) x ∈ ℜ+ - {0} 17. ¿Qué gráfica no representa función? a) b) x y c) d) x y e) x y a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) I y II e) II y III 18. Graficar: g(x) = 2x2 + 4 a) b) x y c) d) x y e) 19. Graficar: f(x) = 4x 12xx2 − −− a) b) 4 -4 y x c) d) 3 3 4 y x d) -3 4 20. Graficar: 4x )2x)(2x)(9x( )x(H 2 2 − −+− = a) b) y x -9 9 c) d) y x2-2 y x 9 e) -4 y x 4 PROBLEMAS PROPUESTOS 02 01. Si: F = {(1; 3) (2; 5) (0; 2)} G = {(3; 2) (-1; 0) (2; 10)}. Hallar: )3(G)1(F )))1(G(F(G)))1(F(G(F + −+ a) 3b) 2 c) 1 d) 0 e) -1 02. Si:      ≥ <<− ≤ = 3x;3 3x2;1 2x;2 F Hallar: E = F(3) + F(2) + F(5/2) a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 03. Hallar m. n sabiendo que: F= {(3; 4); (2; 1) (3; m-n); (2; m-4n); (mn; n2)} Es una función: a) 4 b) 10 c) 6 d9 5 e) 8 04. Dado: F: A → B 1 2 3 1 2 3 F A B Si: F(1) + F(2) + F(3) = 0, hallar: S5AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S5AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
  19. 19. 01 02COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Año Secundaria ALGEBRA 5to Año Secundaria a) 3 b) -3 c) 2 d) 6 e) 1 05. Determine el rango de “F” si 1x 1 )x(F 2 + = a) [0; 1] b) ]-1; 1[ c) [-1; 0] d) ]0; 1] e) ]-1; 0[ 06. Calcular la suma de los valores enteros de la siguiente función: 4x 1x )x(F +− − = a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 10 07. Sea la regla de correspondencia de una función: F(x) = x2 - 2x - 1 / x ∈ [-2; 5[ Hallar el rango de dicha función a) [7; 14[ b) [-2; 14[ c) ]7; ∞[ d) ]-7; 7[ e) ]-14; 14[ 08. Si: 18x4x)x(F 2 +++= . Podemos afirmar que: a) DF = [O; ∞[ b) RF = [3; ∞[ c) RF = [0; ∞[ d) DF = R - {-2} e) RF = [1+2 2 ; ∞[ 09. La gráfica de: F(x) = 3x − es aproximadamente: a) b) xx y y c) d) xx y y e) x y 10. Siendo la gráfica de F(x) = x2 y x y = x 2 Hallar el rango de G(x) = x2 + 3 a) R b) R+ c) R- d) ]-3; ∞[ e) [3; ∞[ 11. Indicar qué funciones son idénticas: I. 2x x )x(F = x 1 )x(G = II. x x )x(G 2 = G(x) = x III. F(x) = x G(x) = 2x a) Sólo I b) Sólo IIc) I y II d) I y III e) Todas 12. Hallar el dominio y el rango de: F(x) = x2 - 6x + 8. e indicar DF - RF a) ]1; ∞[ b) [-1; 1] c) ]- ∞; -1[ d) ]-1; ∞[ e) ]-1; 1[ 13. Sea “F” una función constante , tal que: 10 4)1(F )7(F)5(F = − + . Hallar: )0042(F )0022(F)0002(F E + = a) 1 b) 2 c) 5 d) 10 e) Absurdo 14. Encontrar una función lineal “F” tal que: F(2) = 3 y F(3) = 2F(4) a) F(x) = x + 2 b) F(x) = 3x + 6 c) F(x) = 2x + 3/2 d) F(x) = x/2 + 2 e) F(x) = -x + 5 15. Sean F y G dos funciones definidas en Q por: F(x) ≡ ax - 1; G(x) ≡ 3x + b Tales que: F (1) = G (-1); F (-1) = G (1) Entonces: F (2) + G (3) es igual a: a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2 16. La gráfica de la función: cbxx 3 2 y 2 ++= intercepta al eje “x” en los puntos (-2; 0) y (5; 0) y al eje “y” en el punto (0; k). Hallar el valor de (b - c + k) a) 23/5 b) -23/5 c) -46/3 d) 46/3 e) 50/3 17. Dada la función cuadrática: F(x) = ax2 + b cuya gráfica se muestra, calcular abc x y -2 C -24 -9 -4 a) -20 b) 20 c) -24 d) 18 e) -12 18. La gráfica de F es aproximadamente: x y Parábola Si F(x) ≤ F(-8) ∀ x ∈ R, hallar la media geométrica de los valores de t, al resolver F(2 - T) = 0 a) 6 b) 4 c) 5 d) 8 e) 3 19. Dada la función polinomial: F(x) = ax7 + bx3 + cx - 5; ∀ a, b c ∈ ℜ Si: F(-7) = 7, hallar el valor de F(7) a) -7 b) 14 c) 21 s) -17 e) No se puede determinar 20. Sea F: ℜ → R; F(x) = ax2 + bx + c; cuya gráfica se da en la figura. Hallar el conjunto solución de (9 - x2) F(x) < 0 S5AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S5AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
  20. 20. 01 02COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Año Secundaria ALGEBRA 5to Año Secundaria 24 F a) ]-4; 3] ∪ [2; 3] b) ]-4; -3[ ∪ ]2; 3[ c) ]-4; 3[ d) ]-∞; 4[ ∪ ]3; ∞[ e) ]-4; -3[ ∪ ]3; ∞[ TAREA DOMICILIARIA 01. Sea la función F tal que: F = {(2; 5); (3; a2); (2; a + b); (3; 4); (b; 5)} Hallar: “ab” a) 14 b) 6 c) -6 d) -14 e) 21 02. Si F representa a una función dada por: F= {(3; 7a + 2b); (2; 5); (2; a + 2); (3; 5b-2a)} Diga cuál de los conjuntos son también funciones: P= {(a; b); (b - a; 5); (5; b - a); (a+b; 5)} Q={(3; b); (b; 3); (3; 8); (9; 2a - b)} R= {(3; 5); (9; 7); (b; a); (5a; 3b)} a) P y Q b) Sólo P c) sólo R d) Q y R e) P y R 03. Indicar el dominio de: )5x(x)x(F −= a) ]-∞; 0] ∪ [5; +∞[ b) ]- ∞; 0[ ∪ [5; +∞[ c) ]- ∞ ;0] ∪ ]5; +∞[ d) ]- ∞;2] ∪ [5; +∞[ e) ]- ∞; 0] ∪ ]2; +∞[ 04. Sea: nx n )x(F 2 + = , n constante positiva, hallar el rango de “F” a) [0; 1] b) ]- ∞; 0] ∪ ]1; +∞[ c) ]- ∞; 0[ ∪ ]1; +∞[ d) [0; n] e) ]0; 1] 05. Hallar el rango de la siguiente función: 2x x4x )x(F 3 + − = a) ℜ b) [1; +∞[ c) [-1; +∞[ d) ℜ - {-2} e) ]1; ∞[ 06. Con respecto a la función: } x 1 xy/R)y;x{(F 2 +=∈= Podemos afirmar que: a) Dom(F) = ℜ b) Ran(F) = ℜ -{0} c) Dom(F) = ]0; +∞[ d) Ran(F) = [-2; 2] e) Ram(F) = ℜ - ]-2; 2[ 07. Con respecto a la función:       − − =∈= 1x2 3x4 y/R)y;x(F 2 No es verdad que: a) Dom(F) = ℜ - {1/2} b) Ran(F) = ℜ - {2} c) (0;3) ∈ F d) (1;1) ∈ F e) Ran(F) = ℜ - {1/2} 08. Determine el rango de la función de variable real con regla de correspondencia es: 15xx24)x(F 2 +−+= a) ]4; 12] b) ]0; 8] c) [0;8[ d) [4; 8] e) ]4;8] 09. Determine el rango de: 1xx x4 )x(F 2 ++ = a) ]-3; 3[ b) R - [-4; 3 4 ] c) ]-∞; -2[ ∪ ]2; +∞[ d) R e) [-4; 3 4 ] 10. Se tiene la función definida en Z, cuya regla de correspondencia es:    <+ ≥− = 100x));5x(F(F 100x;3x )x(F Calcular el valor de F(97) a) 96 b) 97 c) 98 d) 99 e) 100 Si b es un número real positivo distinto a la unidad , se llama función logarítmica en base b a aquella función que tiene por dominio al conjunto de los números reales positivos, cuya regla de correspondencia viene dada por: xlog)x(F b= Es decir: { }++ ∈∧≠∧∈== Rx1bRb;xlogy/)y;x(F b Frecuentemente a la función logaritmo en base b se le define como la función inversa de la función exponencial de base b. LOGARITMO “Se denomina logaritmo de un número real positivo al exponente al cual será necesario elevar una base positiva y diferente de la unidad para obtener como resultado una potencia igual al número propuesto” Notación: xlogy b= ................................ ( I ) Donde: y = logaritmo ( y ∈R) x = número propuesto )Rx( +∈ b = base )1bRb( ≠∧∈ + De acuerdo con la definición de logaritmo y de la notación (I), se puede establecer que: xby = ........................................( II ) Si se sustituye (I) en (II) se obtendrá la siguiente igualdad fundamental: xb xlogb = Esto equivale a simplificar b con blog Ejemplo: De acuerdo con la definición de logaritmo, podemos establecer: 2 3= entonces, 3 log8 : = 2 81) Como: Esto se lee así: “3 es el logaritmo de 8 en base 2” S5AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S5AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
  21. 21. 01 02COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Año Secundaria ALGEBRA 5to Año Secundaria 3 3= entonces,-3 log: - = 3 2) Como: 1 27 1 27 Esto se lee así: “- 3 es el logaritmo de 27 1 en base 3” PROPIEDADES GENERALES DE LA FUNCION LOGARITMICA 1. En el campo de los números reales no existe el logaritmo para números negativos. 2. Si la base b está comprendida entre cero y uno (0 < b< 1) los números comprendidos entre cero y uno tienen logaritmos positivos y los logaritmos de números mayores que uno serán negativos. 3. Si la base b es mayor que uno ( b > 1), los números comprendidos entre cero y uno tienen logaritmos negativos y los logaritmos de números mayores que uno serán positivos. 4. El logaritmo de la unidad es cero. 1bRb01logb ≠∧∈∀= + 5. El logaritmo de la base es uno. 1bRb1blogb ≠∧∈∀= + PROPIEDADES OPERATIVAS DE LOS LOGARITMOS A) Logaritmo de un Producto: +∈∀≠∧>∀ Rx,x;1b0b 21 2b1b21b xlogxlog)x.x(Log += Ejemplo: 15LogT 8= , podríamos expresarlo como: 5log3log)5.3(logT 888 +== B) Logaritmo de un Cociente: +∈∀≠∧>∀ Rx,x;1b0b 21 2b1b 2 1 b xlogxlog) x x (Log −= Ejemplo: ) 2 17 (logT 5= , podríamos expresarlo como: 2log17logT 55 −= C) Logaritmo de una Potencia: Qn;Rx;1b0b ∈∀∈∀≠∧>∀ + xlognxlog b n b = Ejemplo: Reducir: 3 7 5 2 4 3 7log2log3logT +−= Por la propiedad: ( ) ( ) ( )7log32log53log4T 723 ++= )1(3)1(5)1(4T ++= T= 4+5+3 12T =∴ D) Podemos elevar a una misma potencia a la base y al número, y el logaritmo no varía. Qn;Rx;1b0b ∈∀∈∀≠∧>∀ + n bb xlogxlog n= Ejemplo: Para 16log9 tenemos: 256log16log16log 81 2 99 2 == , o también 4log16log16log 399 == * Corolario : n m blog m bn = E) Cambio de base: Permite expresar el logaritmo de un número x en base b en otra base m, según la fórmula: log b x = log m x log m b ⇒ blog m x log b x log m= . Incógnita Dato Dato Ejemplo: Expresar 5log3 , en base 2 De acuerdo con la 1ra. Fórmula : 3log 5log 5log 2 2 3 = Ejemplo: Expresar 3log7 en base 7 Según la 1ra. Fórmula: 7log 3log 3log 3 3 7 = , es decir: 7log 1 3log 3 7 = PROPIEDAD: El logaritmo de un número x en base b es igual al inverso del logaritmo de b en base x. blog 1 xlog x b = REGLA DE LA CADENA Es una relación matemática que permite multiplicar logaritmos dispuestos en la forma. elogelog.dlog.clog.alog bdcab = Ejemplo: Calcular el valor de x de la igualdad : 532log.7log 7x = Aplicar la regla de la cadena en el primer miembro es equivalente a hacer simplificaciones sucesivas, tal como se indica: 532log.7log 7x = Después de simplificar cuidadosamente, nos queda: 532logx = Por definición de logaritmo se debe establecer que: 32x 5 = De donde : x = 5 Observaciones: Para la resolución de algunos ejercicios pueden ser útil tener en cuenta las siguientes relaciones. I) Si: 212b1b xxxlogxlog =⇒=     ≠∧> ∈∀ + 1b0b Rx,x 21 II) alogclog bb ca = SISTEMAS DE LOGARITMOS Un sistema de logaritmo de base b, es el conjunto de todos los logaritmos de los números reales positivos en base b, tal que b > 0 1b ≠∧ Ejemplo: Para los conjuntos: { }+∈=∈= Rx;xlogy/RyA 2 { }+∈=∈= Rx;xlogy/RyB 8,0 Tenemos: A : Es un sistema de logaritmos en base 2 B : Es un sistema de logaritmos en base 0,8 S5AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S5AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
  22. 22. 01 02COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Año Secundaria ALGEBRA 5to Año Secundaria Es fácil deducir que así como existen infinitas bases; existen también infinitos sistemas de logaritmos de entre los cuales los de mayor uso son dos. A) SISTEMA DE LOGARITMOS DECIMALES También llamados logaritmos vulgares o logaritmos de Briggs, es el sistema que tiene como base al número 10, es decir: { }+∈=∈= Rx;xlogy/RyA 10 Notación utilizada: xlogxlogy 10 == Lectura: y= log x: logaritmos del número x B) SISTEMA DE LOGARITMOS NATURALES También llamado sistema de logaritmos neperianos, en honor a su inventor Jhoan Napier, es el sistema que tiene como base al número irracional: e= 2, 718 281 82.... Notación utilizada: xlnxlogy e == Lectura: y= ln x: logaritmo natural del número x C) FORMULAS DE CONVERSION I. Conversión de logaritmos naturales en decimales. log x = 0,4343 ln x Dato Icógnita II.Conversión de logaritmos decimales en naturales. x = 2,3026ln x Dato Icógnita log COLOGARITMO Y ANTILOGARITMO COLOGARITMO Se llama cologaritmo de un número de una base dada al opuesto (negativo) del logaritmo de dicho número, es decir: xlogxlogCo bb −=     ≠∧> ∈∀ + 1b0b Rx ANTILOGARITMO Llamada también exponencial, se define así: x b bxloganti =    ≠∧> ∈∀ 1b0b Rx Ejemplo: Reducir:    )5,0(loganti4logCoT 42 += Por las definiciones: 5,0 2 44logT +−= 2 1 2 2 42logT +−= Por propiedad: 4)2(log2T 2 +−= 2)1(2T +−= T = 0 RELACIONES ENTRE OPERACIONES: Colog ; antilog y log I. x)x(logloganti bb = II. x)xloganti(log bb = III. x)xloganti(logco bb −= GRAFICA DE LA FUNCION LOGARITMICA CASO I: Si : 0 < b < 1 Para este caso la gráfica de la función logaritmo es como se muestra; de donde se pueden apreciar las siguientes propiedades: I) ∞−∞=∞= ;)F(Ran;;0)F(Dom Esto significa que la curva está situada siempre a la derecha del eje de las ordenadas (eje Y) II) F es univalente (inyectiva) en todo su dominio. Esto significa que tiene inversa. III)Intercepta al eje X en (1; 0) Esto significa que el punto: (1; 0) ∈ F IV)La función es decreciente en todo su dominio ,Fx,x 21 ∈∀ si: )x(F)x(Fxx 2121 >⇒< V) Si x crece ilimitadamente, F(x) decrece ilimitadamente. VI)Si x se aproxima cero, F(x) crece ilimitadamente. F(x2 ) Y x2 X1x1 F(x ) y=x 1F:y=bx F-1: y = log b x 1 CASO II Si : b > 1 La gráfica de la función es como la mostrada en la figura De donde podemos apreciar las siguientes propiedades: I) ∞−∞=∞= ;)F(Ran;;0)F(Dom , la curva está situada siempre a la derecha del eje de las ordenadas (eje Y) II) F. es univalente (inyectiva) en todo su dominio por lo tanto tiene inversa. III)Intercepta al eje X en (1; 0) es decir el punto (1; 0) ∈ F IV)La función es creciente en todo su dominio: Fx,x 21 ∈∀ , Si: )x(F)x(Fxx 2121 <⇒> V) Si x crece ilimitadamente, F(x) crece ilimitadamente. VI)Si x se aproxima a cero F(x) decrece ilimitadamente. y=x F( x )1 x1 1 x2 X Y 1 F( x )2 F: y =log bx F: y = b x LOGARITMOS DECIMALES Reciben este nombre todos aquellos logaritmos de base 10 como por ejemplo: xlogy = , donde: x= y10 Es fácil deducir que si “x” es una potencia exacta de 10, es decir de exponente entero, su logaritmo S5AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S5AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
  23. 23. 01 02COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Año Secundaria ALGEBRA 5to Año Secundaria “y” decimal, es también un número entero; en cambio si “x” es una potencia de exponente fraccionario de 10, su logaritmo decimal “y” será también un número fraccionario. Ejemplo: 210log100log 2 == 310log001,0log 3 −== − 4 1 10log10log 4 1 4 == Si “x” no es una potencia racional de 10, su logaritmo es un número irracional. Observación: Dentro del cálculo logarítmico , es frecuente usar logaritmos de 2 y 3 ya que conociendo a estos, y con el auxilio de las propiedades de los logaritmos, se podrán conocer los logaritmos de todos los números compuestos por ellos. I) log 2 = 0, 30103 II) log 3 = 0, 47712 A) FORMA GENERAL DE UN LOGARITMO DECIMAL MANTISA,TICACARACTERISxlog = ∀x > 0 Donde la característica y la mantisa se definen de la siguiente manera: I) Característica .- Es la parte entera del log x; ésta puede ser positiva o negativa y se puede calcular mediante reglas sencillas. II) Mantisa .- Es la parte decimal del log x, y se calcula mediante tablas. B) DETERMINACION DE LA CARACTERISTICA Considerando al logaritmo de x: log x, se distinguen dos casos para determinar su característica, la misma que se calculará teniendo en cuenta las siguientes reglas: I) Si x > 1 ⇒ log x > 0 La característica en estos casos es positiva e igual al número de cifras de la parte entera de x disminuido en uno ( 1 ). Ejemplo : log 457 log 2 457,29 , , la característica es la característica es 3 4 1 1= =- - 2 3: : II) Si 0 < x < 1 ⇒ log x < 0 La característica en estos casos es negativa e igual al número de ceros que suceden a la primera cifra significativa de x incluyendo al cero ubicado a la izquierda de la coma decimal. Ejemplo : log 0,000923 log 0,0089 , , la característica es la característica es -4 = =-3 4 3: : Observación .- la expresión 091176,3 indica que solo la parte entera es negativa, es decir, no debe confundirse con: - 3,176 091. Si se desea saber el valor de 091176,3 , se deberá efectuar así: - 3 + 0,176 091 = - 2,823 909 PRÁCTICA DE CLASE 01.La igualdad: xlogaax = Se cumple si y sólo si: a) a > 0 ; x ∈ R b) a > 1 ; x ∈ R - {0} c) a ≠ 1 ; x > 0 ∧ a > 0 d) a ∈ R - {1} ; x ∈ R - {0} e) a > 1 ; x > 0 02. Calcule: 169Log64Log216LogE 1386 ++= a) 5 b) 7 c) 9 d) 11 e) 3 03.Con los siguientes datos: Log 2 = a y Log 3 = b Hallar: Q = Log 72 a) 2b + a b) a - 2b c) 3b - 2a d) 2b + 3a e) 3 - 2a 04.Hallar el valor de : P = 37log 72log 5 2log 9 5log a) 2 b) 4 c) 1/4 d) 1/2 e) N.a. 05.Simplificar : M = log94 . log53 . log725 . log2 49 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 06.Calcular “α” en : α = (log tan 1° ) ( log tan 2° ) ( log tan 3°) ....... (log tan 89°) a) log tan 89! b) 1 c) 0 d) -1 e) [log tan 89° ]89 07.El valor de “x” diferente de L que verifica : log x2 = ( log x )2, es : a) 10 b) 2 c) 100 d) 0,1 e) 0,01 08.A partir de la igualdad : 5log 32 )2x( 7 log = − Indicar el valor de “x”. a) 48 b) 51 c) 55 d) 58 e) 16 09.Halle el mayor valor de “x” en la igualdad : 25 11 2 11 log)21x7x(log 35 = +− a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 10.Resolver y hallar “x” en la ecuación 15log 10log 1 10log 1 )1x()3x( =+ ++ a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 11.Determinar “x” a partir de : 3x = 5 a) x = log5 3 b) x = log35 c) x = 3log 5 d) x = 5log 3 e) x = log 1/35 12.Obetener el valor reducido de : A = Antilog         + − 3logCo75log 2logAnti8log2 55 32 a) 10 b) 10 c) 100 10 d) 10 10 e) 1 13.Hallar “x” en: 4)3x2(LogLog 524 =− a) 10 b) 14 c) 6 d) 2 e) 4 S5AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S5AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
  24. 24. 01 02COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Año Secundaria ALGEBRA 5to Año Secundaria 14.Calcular: 43Log 74Log 75Log 3 a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 7 15.Calcular: 3Log 4Log 5Log 3Log 4Log 2Log a c c b b a 5                             a) 2 b) 25 c) 5 d) 1/5 e) 125 16.Calcular: 3LogxLog aa x73 + si se sabe que: aLog32x = a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 17.Reducir: cLog1 1 bLog1 1 aLog1 1 abacbc + + + + + a) ½ b) abc c) a + b + c d) ab + ac + bc e) 2 18.Calcular: 81LogLog25,0 35,0 9logCo 16 + a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 19.Calcular: 2logco 325.0 779Logloganti2Log − ++ a) 2 b) 8 c) 4 d) 0,5 e) 0,25 20.Señalar la menor raíz de la ecuación: 17 10 103.100 xLog 10LogxLog = + a) 2/3 b) 2/5 c) 3/2 d) 5/2 e) 5 21.Hallar “x” en: Lnx3Lnx2Lnx1 233 +++ =+ a) e b) e2 c) e-1 d) e e) e/2 22.Luego de resolver: 13Lnx Lnx42Lnx =+ señalar el producto de sus soluciones a) e4 b) e7 c) e6 d) e8 e) e13 23.Si: 2a4Logy3bLog ba == , indicar el valor de “b” a) 5 82 b) 5 22 c) 3 24 d) 2 e) 3 22 24.Resolver: Loga64 Logxa = 3 a) 2 b) 8 c) 6 d) 4 e) 5 25.Al resolver la ecuación: ( ) 25x 2 x 4xlog =+ podemos afirmar: a) Admite como solución a la unidad b) Se verifica para x = -9 c) Su C.S. = {-9; 1} d) Es inconsistente e) Es indeterminada 26.El valor de : M = 26log24log23log 55332 2 +++ ++ ; es : a) 198 b) 190 c) 187 d) 202 e) 1181 27.El equivalente de : Q = 34log 9 8log16 a) 2 b) 4 c) 8 d) 16 e) 32 28.Sabiendo que : 5,0)23(alog 3 2 a =     − Obtener el valor de : 5,0)23(alog 4 a =     − a) 0,8355 b) 0,9375 c) 0,5724 d) 0,7218 e) 0,6521 29.Calcular :       9 1 25 15 Log + 25,0logAnti 9log 8logCo 0,5 a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 30.Hallar “x” en : 2xLog − 3 5 logAnti 3logAnti 2 = 3 31.Hallar “x” en : xlogAntilogCo 10logLog 3 = Colog x x a) 1/5 b) 1/3 c) 2/3 d) 2/5 e) 3/5 32.Si : yx = 1010 ………… (1) xlogy = 2510 ……… (2) Calcular (x - y) . a) 10 b) 210 c) 310 d) 410 e) N.A. 33.Encontrar el dominio de la función F definida por: F(x) = ( )( )x23log 3x4 −− a) < 4 3 ; 3 2 > b) <0; 2 3 > c) < 2 1 ; 2 3 > d) < 4 3 ; 4 5 > e) < 4 3 ; 2 3 > - {1} 34.En la figura C representa una función logarítmica y L una función lineal. Hallar la suma de las coordenadas en el punto P. L P C 4 x a 4 1 -1 -2a y a) 2 3 b) 3 2 c) 1 d) 2 1 e) 2 S5AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S5AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
  25. 25. 01 02COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Año Secundaria ALGEBRA 5to Año Secundaria 35.Del siguiente gráfico : recta Q Curva xa 45° y Logarítmica O 2a; - 2 1 Calcule el segmento OQ a) 2µ b) 2 1 µ c) 2 µ d) 2 1 µ e) 1µ PROBLEMAS PROPUESTOS 03 01.Calcular : 77 logE = ( 7 7 ) a) 1 b) 7 c) 7 d) 2 7 e) 2 7 02.El valor : 100 aa log a . 3 10 b blog es : a) 100 b) 1000 c) alog 100 d) 10 e) blog 100 03.Calcular log y si : y = 2 log 4 2 loganti 6 2 logco 8 a) - 3 log 3 b) 2 log 3 c) - 2 log 3 d) 3 log 2 e) No existe en R 04.De las proposiciones siguientes : 1,0logco 1000 000 = 6 log 1000logco 1000loganti (-1) = 0 Los logaritmos de números reales positivos son siempre positivos. Es falso que en ningún caso se cumple que : log x + log y = log(x+y) ¿Cuántas son falsas? a) todas b) 3 c) 2 d) 1 e) Ninguna 05.Siendo : a > 1 ∧ b > 1, reducir : E =         alog abloglog ab a) a b) b c) ba d) ab e) ab 06.Siendo a + b > 0, reducir : L = ( ) ( )baloglog1 baloglog 39 18 93 ++ + a) 2 b) 2 3 c) 1 d) 2 1 e) 4 1 07.Siendo : {a; b; c; x; y} ⊂ + R - {1} reducir : L = x log y y log abc y xlog xlog yx x x abc           a) y x b) x y c) 1 d) xy e) ( )xyabc 08.El equivalente de : E = ( ) ( )e3log1 1 30Ln1 1 e10log1 1 3 + + + − + es : a) 1 b) log 3 c) Ln 10 d) Ln 30 e) log (3e) 09.Resolver la ecuación logarítmica : xlogx = 2 4 x 10         y dar el producto de sus soluciones : a) 100 b) 10 c) 0,1 d) 0,01 e) 1 10.Resolver : x x x x xlog      = 2x 2x −      a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 11.Resolver : 3 x log 9 = 27 x Dar la menor de sus soluciones : a) 3 b) 3 1 c) 9 1 d) 27 1 e) 81 1 12.Hallar una solución de la ecuación : x 1 xlog 4log xlog 4 x 4 =         a) 22 b) 4 c) 24 d) 16 e) 242 13.Una solución de la ecuación : ( ) 3 1x2log x6x54log2log 2 = −      −−+ es : a) 2 1 b) 2 3 c) 2 d) 2 5 e) Ecuación Absurda 14.Resolver : ( ) ( )3xlog1xlog 2 1 2 1 −−+ = 1 a) 5 b) 7 c) 4 d) - 5 e) No tiene solución 15.Hallar el valor de “x” en la ecuación : 1x xlog − = 2x log 3 a) 1 3− b) 2 3− c) 3 3− d) 3 e) 2 3 16.Resolver : } xlog xlog 4 2 2 xlog xlog6         − = 1 a) 4 1 b) 2 1 c) 2 d) 4 e) 8 S5AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S5AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
  26. 26. 01 02COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Año Secundaria ALGEBRA 5to Año Secundaria 17.Resolver : ( ) 1 3x3xlog 4xlog1 2 2 =      −−+ −+ a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 18.Resolver : 5,0xlog xloglogco x 8 88 =     a) 9 1 b) - 9 1 c) 3 1 d) - 3 1 e) Absurdo 19.Calcular el valor de : E = 3log2 . 3log6 + 2log3 . 2log6 - 6log3 . 6log2 a) 3 1 b) - 3 1 c) 3 d) - 3 e) 0 20.Sabiendo que : log log log x = 1 + log 2 Calcular : xlogloglogR = a) 10 b) 2 10 c) 2 1 d) 2 2 e) 2 PRÁCTICA DOMICILIARIA 01. Hallar: 2Log 4Log100 a) 1/2 b) 2 c) 1 d) 4 e) N.a. 02. Resolver: 1x49 )7x(Log9 +=+ a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 1/2 03. Hallar un valor de “x” en: 4)x(Log xLog 5 5 = a) 0,04 b) 5 c) 0,4 d) 0,2 e) 0,02 04. Halle un valor aproximado de “x” si: Log2 = 0,3 y Log3 = 0,47 2x = 24 a) 3,5 b) 4,5 c) 2,5 d) 5,5 e) 6,5 05. El valor de “b” que satisface la siguiente igualdad: 2 3 125Log 4 b = es: a) 1/5 b) 3 c) 5 d) 5 e) 25 06. Indicar el valor de “n” en: 1n5x )1n(Log2 x −=+ a) 3 b) 2 c) 5 d) 4 e) 6 07. Sabiendo que: Log3300 = m Calcule: Log3 a) m + 1 b) 2/m c) 2/(m+1) d) 2/(m-1) e) m2 08. Calcular el producto de las raíces de la ecuación: 6xxLog LogxLog2 x =+ a) 105 b) 10-2 c) 10-3 d) 10-4 e) 10-1 09. Si: Logmnm= 4; Calcular: n m Log 3 mn a) -3 b) 13/12 c) 17/6 d) 4/3 e) 17/16 10. Hallar el valor de: 2LogLogLogLog 28 9 416 a) -1/4 b) -1/8 c) -1/2 d) 1/4 e) 1/8 11. Resolver: Log2Log3Log2Log3x = 0 a) 1 b) 3 c) 243 d) 6 561 e) 1 024 12. Resolver: )1x)(7x(125Log.8Log 2 1x 5 ++=+ a) C.S. = {-1} b) C.S. = {2} c) C.S. = {2; 3} d) C.S. = {-1;2] e) C.S. = {-7; 2} 13. Si: F(x+Logx)= x - Logx. Hallar: F(11) a) 2 b) 3 c) 7 d) 9 e) 11 14. Considerando a > 1 indique el menor valor de “x” que cumple: 2 aaa xLog4LogxLog a3aa =+ a) 1/2 b) -1/2 c) 1 d) -1 e) 4/3 15. Indicar la menor solución de: 2 )1x(Log41 5 )1x(Log45 1 = ++ + +− a) 8 b) 9 c) 10 d) 10 +1 e) 10 -1 16. Reducir: 7Log.2Log214Log 7Log2Log 55 2 5 2 3 2 3 − + a) Log 6 b) Log 15 c) Log35 d) 1 e) Log53 17. Sean: a; b y c tres números en progresión geométrica en ese orden 2 Logc3Loga3 Logb − = Calcular la razón de la progresión a) c b) a c) b d) 3 c e) 2 c− 18. Indicar la suma de valores de “y” luego de resolver: )II.(..........yLog4x5 )I.....(....................y2 4 2 x −= = a) 2 b) 1 024,25 c) 1 024 d) 4 096,25 e) 256 19. Hallar el valor de “m” si: S5AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S5AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
  27. 27. 01 02COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Año Secundaria ALGEBRA 5to Año Secundaria )]4logAnti(logCo[logAntim 885= a) 1/5 b) 2 c) 1/4 d) 1/25 e) N.a. 20. Calcular: 3 55 2Antilo04,0logCoE += a) 2 b) 4 c) 3 d) 5 e) 1 AUTOEVALUACIÓN 01.CEPUNT 96: III SUMAT. AREA “A” Al resolver la ecuación: ( ) ( ) 2Log5,0xlog6log x6x2 =+ Una de sus raíces es : a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0 02.UNT - 96: AREA “A” La expresión: xLog 1 xLog 1 xLog 1 rqp ++ Es equivalente a : a) xLogpqr b) xLog.xLog.xLog rqp c) 3 pqr xLog d) xLog 1 pqr e) 3 pqr xLog 1 03.UNT - 96: AREA “A” y “B” El conjunto solución de la ecuación: ( ) ( ) xLog82logco2loganti 4xx −= es : a) {-2} b) {-2 ; 2} c) {2} d) {-2 ; 4} e) {2 ; 4} 04.UNT - 96: AREA “B” En la expresión: N5 10Loga = ; se cumple la siguiente relación : 1) El valor de “N” es el doble del valor de “a” 2) El valor de “N” es igual que el valor de “a” 3) El valor de “N” es el cuadrado del valor de “a” 4) El valor de “N” es mayor que el valor de “a” 5) El valor de “N” es menor que el valor de “a” Son ciertas: a) 1 y 4 b) 2 y 4 c) 3 y 4 d) 5 e) N.A 05.UNT - 97: AREA “B” El valor de “x” que satisface la ecuación: 01 x x Log 2 xLog =+         es: a) 010 b) - 010 c) 110 d) - 110 − e) 210 06. UNT - 99: AREA “B” Al simplificar la expresión: x Lnx e ex − . Se obtiene: a) -1 b) 0 c) 1 d) xe ex − e) xe− 07.UNT - 99: AREA “A” La suma de las raíces de la ecuación: 2x15xLog 2 =     − es : a) 25 b) 20 c) 15 d) 10 e) 5 08.UNT - 99: AREA “A” El valor de x en la ecuación: 25LogxLog x5 =+ ; es : a) 1 b) 5 c) 5 d) 25 e) 125 09.CEPUNT 1999 - 2000: AREA “A” El valor de “x” en la ecuación:      −−+=−+ 3x3xlog)4x(log1 22 Es: a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 10.CEPUNT 2000 - I SUMATIVO AREA “A” Al efectuar: 5162)1( 4log 2log6 ++      − Se obtiene: a) 19 b) 4 c) 11 d) 2/1 7 e) 7 S5AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S5AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
  28. 28. 01 02COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Año Secundaria ALGEBRA 5to Año Secundaria I. PROGRESIONES ARITMETICAS (P.A.) DEFINICIÓN: Se llama progresión aritmética o por diferencia, a una sucesión de números, en la cual cada término siguiente después del primero, se obtiene sumándoles al anterior una cantidad constante llamada razón o diferencia de la Progresión. Símbolos: t1 = 1er término tn = término de lugar “n” o último término r = razón o diferencia n = número de términos, S = suma de términos NOTACION DE UNA PROGRESION ARITMETICA ÷ t1, t2 , t3 , ......tn-1 . tn La razón de una P.A. se obtiene restando de un término cualquiera su inmediato anterior. • Si : r > 0, la P.A. es creciente Ejemplo: ÷ 3, 8, 13, 18, i = 8 - 3 = 5 > 0 • Si: r < 0, la P.A. es decreciente Ejemplo: ÷ 7, 4, 1, - 2,........ r = 4 - 7 = - 3 > 0 La progresión se llama limitada cuanto tiene un número FINITO de términos,, llamándose al primer y último término extremos. Ejemplo   extremos n21 t,.......t,t÷ : La progresión es ilimitada cuando tiene infinitos término: Ejemplo: n21 t,.....t.t÷ PROPIEDADES 1. En una P.A., un término cualquiera es igual al primer término más tantas la razón como términos le preceden. Tn = t1 + (n - 1) r 1.1 Una progresión aritmética se compone de 50 términos. Si el primero es 81 y la razón - 3. Hallar el último término. ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... 1.2. Una P.A. se compone de 15 términos. La razón es 0,5 y el último es 8. ¿ Cuánto vale el primero? ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... 1.3. En una P.A. el primer término es -6 y el último es 30. Si la razón es 4. ¿De cuántos términos se compone la progresión? ................................................................... ................................................................... ................................................................... 1.4 Una P.A. se compone de 6 términos el primero de los cuales es 2 y el último es 4. Hallar la razón. ................................................................... ................................................................... ................................................................... 02. En una P.A., la suma de dos términos equidistantes de los extremos es constante e igual a la suma de los extremos. En efecto, sea la P.A. de razón “r”:   los extremosde equidistantestérminos .x  términos)1k( nt.....c,y +  términos)1k( 1 b.....t + ÷ . . . . . 03. En una P.A. de un número impar de términos, el término central es igual a la semisuma de los extremos. En efecto, sea P.A. de un número impar de términos de razón “r”.    términos"n" n1 a...........x..........,a÷ término Central extremos Si n = impar, entonces: 2 tt x n1 + = 04.La suma de los términos de una P.A. LIMITADA, es igual a la semisuma de los extremos multiplicada por él número de términos. n 2 )tt( S n1 n + = Ejemplo: 4.1 En una P.A. de 10 términos la razón es 1,5 y la suma de sus términos vale 92,5. Hallar el primero y el último término. ................................................................... 4.2 En una P.A., la razón y el número de términos son iguales, la suma de los términos es 156 y la diferencia de los extremos es 30. Calcular el último término. ................................................................... ................................................................... ................................................................... 4.3 Calcular el término que ocupa el lugar 17 en una P.A. CRECIENTE de 18 términos, sabiendo que la suma de todos estos términos vale 549 y que los términos extremos tienen por producto 280. ................................................................... ................................................................... ................................................................... MEDIOS ARITMETICOS O DIFERENCIALES Son los términos de una P.A. comprendido entre sus extremos: t 2 n-1 t 1 , . . . . . . . . . . . . . . . "m" medios aritmeticos "n" términos tn, . ._ t Donde: 2mn += 03.INTERPOLAR MEDIOS ARITMETICOS O DIFERENCIALES Es formar una P.A., cuyos extremos sean precisamente los números dados: Ejemplo: 3.1 Interpolar “m” medios aritméticos o diferenciales entre a1 y an. Se debe formular la P.A. t , (t + r) , (t + 2r) , (t + 2r) . . . . . . t1 1 1 1 n "n" términos "m" medios aritméticos * Se debe calcular la razón de: r)1n(tt 1n −+= 1n tt r 1n − − = Pero: n = m + z Luego: 1m tt r 1n + − = 3.2 Interpolar 5 medios diferenciales entre 32 y 80. .............................................................. .............................................................. .............................................................. S5AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S5AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
  29. 29. 01 02COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Año Secundaria ALGEBRA 5to Año Secundaria II. PROGRESIONES GEOMETRICAS 01. DEFINICION Se denomina progresión geométrica o por cociente a una sucesión de números en la cual el primer término es distinto de cero y cada una de los términos siguientes se obtiene multiplicando al anterior por una cantidad constante, distinta de cero, llamada razón de la progresión. Símbolos 1t =primer término nt =término de lugar “n” o último término R = razón n = número de términos s = suma de términos p = producto de términos Notación de una progresión geométrica n)1n(321 t:t.....,t:t:t, −÷÷ La razón de una P.G. , se obtiene dividiendo un término cualquiera entre su inmediato anterior. (*) Si: R > 1, la P.G. es CRECIENTE ÷÷ 5, 20, 80,. . . . ., R = 14 5 20 >= (**) Si: O < R <1, la progresión geométrica es DECRECIENTE ÷÷ 48, 12, 3,. . . . . ., R = 1 4 1 48 12 <= (***) Si: R <O, la P.G. es OSCILANTE ÷÷ 6, -12, 24, -48, . . . R = 02 6 12 <−= − 02. PROPIEDADES 1. En una P.G., un término cualquiera es igual al primer término multiplicado por la razón elevada al número de términos que le preceden. 1n 1n R.tt −= Ejemplos: De la siguiente progresión: ÷÷ 2; 4; 8;. . Calcular: 6 9 t t ................................................................... ................................................................... ................................................................... 2. En una P.G. el producto de 2 términos equidistantes de los extremos es constante e igual al producto de los extremos. 1 t . . . . . . . . a , x . . . . . . . . y , b . . . . . . . . t n "K" términos equidistante de los extremos "K" términos "K" términos n1 t.txy = 3. En una P.G. de un número impar de términos, el término central es igual a la raíz cuadrada del producto de los extremos. En efecto, sea la P.G. de un número impar de términos de razón :”R” . 1t , . . . . . . . x . . . . . nt termino central n1 t.tx = 4. En una P.G. limitada el producto de sus términos es igual a la raíz cuadrada del producto de sus extremos, elevada al número de términos de la progresión. n n1 )t.t(P = 5. La suma de los términos de una P.G. imitada es igual al último término, multiplicada por la razón menos el primer término, dividido todo esto entre la diferencia de la razón y la unidad. 1R tR.t S 1n − − = Si no se diera el último término (tn) como dato, la fórmula sería: 1R )1R(t S n 1 − − = Ejemplo: 1. De la siguiente (P.G.) 1 ; 3 ; 9 ; . . . . Calcular: 20S E indique en cifra termina dicha suma. ................................................................... .... ............................................................... .... ............................................................... 2. Sea la P.G. 7 ; 21 ; 63 ; . . . . . . . Hallar 2 términos consecutivos de dicha progresión geométrica cuya suma sea 2268, indicando como respuesta el producto de las posiciones de dichos términos. ................................................................... .... ............................................................... .... ............................................................... 3. Encontrar cuatro números en una P.G., sabiendo que la suma del primer y último término es 140; y la suma del segundo y tercero 60. Dar como respuesta el mayor de estos números. ................................................................... .... ............................................................... .... ............................................................... 4. El límite de la suma de los términos de una P.G. decreciente ilimitada es igual al primer término dividido entre la diferencia de la unidad y la razón. R1 t SLim 1 − = Para una P.G. decreciente: O < q < 1 Ilimitada n → 0 Ejemplos: 1. Calcular la siguiente suma: ...... 7 2 7 1 7 2 7 1 S 432 ++++= .................... ......................................... .................... ......................................... .................... ......................................... MEDIOS GEOMÉTRICOS O PROPORCIONALES Son términos de una P.G. comprendidas entre sus extremos. ÷÷ n cosgeométrimedios 1n21 t,t......,t,t    − INTERPOLAR MEDIOS GEOMETRICOS ENTRE DOS NUMEROS DADOS Es formar una P.G., cuyos extremos sean precisamente los números dados. Ejemplo: 1. interpolar “m” medios geométricos o proporcionales entre n1 tyt . Solución Se sabe formar P.G. t ; t . R ; t R , . . . . . . t1 n 2 1 1 "m" medios geométricos "n" términos Para lo cual se debe calcular la razón. De: 1n 1 n1n 1n t t RR.tt −− =⇒= . . . . . (*) Pero : n = m + 2 n - 1 = m + 1 +1 +1 . . . (**)= Reemplazando: 1m 1 n t t R += Llamada Razón de interpolación PRÁCTICA DE CLASE S5AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S5AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
  30. 30. 01 02COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Año Secundaria ALGEBRA 5to Año Secundaria 01. La suma del segundo y quinto término de una progresión aritmética es 14 y la suma del 3ro. Y 7mo. es 8. Halla el primer término aumentado en la razón. a) 12 b) -2 c) 10 d) 14 e) 15 02. En una progresión aritmética el primero y el último término son: 47 y 207 respectivamente. hallar el término de lugar 12, si la suma de dicha serie es 2667. a) 225 b) 135 c) 155 d) 235 e) 145 03. Dada la siguiente progresión aritmética: ÷a2 (b + c). b2 (a + c). c2 (a + b) Calcular: ca b M + = a) 2 b) -2 c) 1/2 d) -1/2 e) 1 04. De una progresión aritmética se sabe que: Sn - Tn = (n + 3) (n - 1). Donde: Sn = Suma de los “n” primeros términos Tn = Término general Si “n” es impar, indique el término central. a) n + 1 b) n + 2 c) n + 3 d) n + 4 e) n + 5 05. En una progresión aritmética se cumple: 2 2 n m n m S S = ; Entonces: n m a a es igual a: Nota: Sm = suma de los “m” primeros términos Sn = suma de los “n” primeros términos a) m/n b) n/m c) n2/m2 d) 1n2 1m2 − − e) 1m2 1n2 − − 06.Se tiene: ÷a . b . c. d, que verifican: a +b + c + d = 48 35 27 bc ab = . ¿Cuál es el número mayor? a) 16 b) 17 c) 18 d) 20 e) 21 07. La suma de los términos de una progresión aritmética creciente es 16 y el valor del último término es “u” y de la razón “r” están determinados por las ecuaciones: u3 - r3 = 335; u2r - ur2 = 70 Hallar el número de términos de la progresión. a) 3 b) 5 c) 6 d) 7 e) 4 08. Dada la progresión aritmética: ÷ a1; a2 ................................. an. Calcular: nn433221 a1a 1 ... aa 1 aa 1 aa 1 S − ++++= a) n - 1 b) 1a 1n − c) n1aa 1n − d) na 1n − e) 1 n a a)1n( − 09. Si los términos de lugares: m; n; p de una progresión aritmética son: a, b y c respectivamente. Calcular: (n - p) a + (p - m) b + (m - n) c a) -1 b) 1 c) 0 d) -2 e) 2 10. Una compañía comercial decide poner 20 avisos separados por intervalos iguales a partir del kilómetro 50 hasta el kilómetro 164 de la Panamericana Norte. ¿En qué kilómetro estará ubicado el duodécimo aviso? a) 116 b) 117 c) 118 d) 119 e) 120 11. Se han interpolado “m” medios aritméticos entre 4 y 18; además “m+2” medios aritméticos entre 10 y 24 de tal manera que la razón de la progresión aritmética formada en el primer caso es a la razón de la segunda como 9 es a 7. Halle el número de términos de la segunda progresión. a) 10 b) 11 c) 12 d) 14 e) 18 12. Dados los números: x; y; z; w; se observa que los tres primeros están en progresión aritmética y los 3 últimos en progresión geométrica siendo la suma de los extremos 14 y la suma de los medios igual a 12. Señale un valor que adopta “x”. a) 3/4 b) 4/3 c) 12 d) 1/2 e) 18 13. Sabiendo que “s” es la suma de los “n” primeros términos de una progresión geométrica y “T” la suma de las recíprocas de estos términos. Hallar el producto de los “n” primeros términos de dicha progresión: a) 1n T S +       b) n T S       c) 2 1n T S +       d) 2 n T S       e) 2 n S T       14. Sumar: ... 3 2 4 3 2 3 3 2 2 3 2 S 8642 +      +      +      +      = a) 36/25 b) 25/26 c) 1/4 d) 4 e) 20 15. Sí U1; U2; U3; U4, ...................., están en progresión geométrica, donde: U1 + U2 + U3 + U4 + U5 = 31 U2 + U3 + U4 + U5 + U6 = 62 Calcular: 2 4 2 3 1 2 2 1 UUUU +++ a) 85 b) 90 c) 95 d) 100 e) 105 16. Se interpolan cuatro medios geométricos entre 160 y 5. Hallar la suma de los dos últimos términos de la progresión geométrica formada. a) 240 b) 200 c) 60 d) 35 e) 15 17. Se tiene dos sucesiones, una geométrica cuyo primer término es distinto de cero y otra aritmético con primer término igual a cero; si se suman los términos correspondientes de ambas se logra obtener una tercera sucesión: 1; 1; 2; ......... sobre la base de ello halle la sumatoria de los diez primeros términos de esta nueva sucesión. a) 1078 b) 979 c) 1079 d) 279 e) 978 18. Si los términos de lugares p; q; r; s de una progresión aritmética están en progresión geométrica. Entonces los números: (p - q); (q - r); (r - s) a) Están en progresión aritmética b) Están en progresión geométrica c) Están en progresión armónica d) Son iguales e) No se puede afirmar nada 19. Dada una progresión geométrica de un número impar de términos, el producto de los términos de lugar impar es 65 536 y el producto de los términos de lugar par 4 096. Determine el número de términos y el término central. a) 4, 15 b) 8; 17 c) 3; 16 d) 7; 16 e) 5; 17 20. Sí; S1; S2; S3; .. ;Sp son las sumas de unas series geométricas infinitas; cuyos primeros términos son 1, 2, 3 .... p; y cuyas razones son: 1p 1 ;.......; 4 1 ; 3 1 ; 2 1 + respectivamente. Calcular: S = S1 + S2 + S3 + ... + Sp a) 3 1p2 + b) 3 2p2 + c) )2p( 3 p + d) )3p( 2 p + e) )2p( 2 p − 21. La suma de los 6 primeros términos de una progresión geométrica es igual a 9 veces la suma de los tres primero términos. Hallar la razón: a) 1/2 b) 4 c) 3 d 2 e) 1/3 S5AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S5AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."

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