ΟΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΣΚΟΠΙΑ

1. ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΙΓΑΔΙΚΗΣ
ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ
ΤΟΥ
Κ ΝΣΤΑΝΤΙΝΟΥ ΚΑΡΑΘΕΟ∆ ΡΗ
ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ
ΟΙ ΜΙΓΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΣΚΟΠΙΑ
physicsgg.wordpress.com - physicsgg.blogspot.com

2. -1- ΟΙ ΜΙΓΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΣΚΟΠΙΑ physicsgg.wordpress.com
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ
ΟΙ ΜΙΓΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΠΟ ΤΗΝ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΣΚΟΠΙΑ
Η Ανακάλυψη των Μιγαδικών Αριθµών (§ 1)
1. Οι αλγεβριστές ανακάλυψαν τους µιγαδικούς αριθµούς αρκετά νωρίς (συγκεκριµένα στις
αρχές του 16ου αιώνα) και αυτό συνέβη σχεδόν µε έναν εντελώς φυσικό τρό̟ο, ̟αρότι η ̟ιο
α̟λούστερη έννοια του αρνητικού αριθµού δεν είχε εισαχθεί µέχρι τότε. Και οι δύο έννοιες
̟ροκύ̟τουν α̟ό το γεγονός ότι η άλγεβρα, καθώς εκφράζεται µε γράµµατα - σύµβολα, οδηγεί σε
εκφράσεις χωρίς νόηµα όταν τα γράµµατα - σύµβολα έχουν οριστεί εξαρχής να έχουν µια
συγκεκριµένη σηµασία, µολονότι µια διαφορετική θεώρηση των ίδιων συµβόλων θα αναιρούσε
όλες τις ανωµαλίες.
Για ̟αράδειγµα, η εξίσωση
ax+b = k (1.1)
µ̟ορεί να λυθεί αν τα γράµµατα a , b, k και x ̟αριστάνουν συνήθεις θετικούς αριθµούς, υ̟ό τον
όρο ότι a > 0, b < k . Αλλά η ίδια εξίσωση δεν έχει λύση στην ̟ερί̟τωση b ≥ k . Ωστόσο αν τώρα
αυτά τα ίδια σύµβολα a , b, k και x θεωρηθούν ότι ̟αριστάνουν ο̟οιοδή̟οτε ̟ραγµατικό αριθµό
– θετικό, µηδέν ή αρνητικό – η εξίσωση (1.1) έχει ̟άντοτε µια λύση, αρκεί µόνο να ισχύει a ≠ 0 .
Συναντούµε εντελώς ̟αρόµοιες καταστάσεις όταν διερευνούµε την δευτεροβάθµια εξίσωση
ax 2 − 2 bx + c = 0
(a ≠ 0) (1.2)
αν θεωρήσουµε µόνον ̟ραγµατικές τιµές (θετικές ή αρνητικές) για τα a , b, c και x . Για τις ρίζες
αυτής της εξίσωσης έχουµε
b ± b 2 − ac
x= (1.3)
a
και µ̟ορούν συνε̟ώς να υ̟ολογιστούν όταν
b2 − ac ≥ 0 .
Αν ωστόσο οι συντελεστές της εξίσωσης (1.2) ε̟ιλεχθούν µε τέτοιο τρό̟ο ώστε
ac − b 2 > 0 ,
τότε ενώ µ̟ορούµε ασφαλώς να γράψουµε στην θέση της (1.3),
b ac − b 2
x= ± −1
a a
αυτή η τελευταία έκφραση στερείται νοήµατος διότι δεν υ̟άρχει ούτε θετικός ούτε αρνητικός
αριθµός του ο̟οίου το τετράγωνο να ισούται µε −1 .
physicsgg.blogspot.com

3. -2- ΟΙ ΜΙΓΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΣΚΟΠΙΑ physicsgg.wordpress.com
Τώρα ό̟ως ακριβώς φτάνει κανείς στο σύνολο των ̟ραγµατικών αριθµών α̟ό αυτό των
θετικών ̟ραγµατικών αριθµών µε ̟ροσάρτηση στους τελευταίους του αριθµού −1 , έτσι κά̟οιος
µ̟ορεί να θεωρήσει το σύµβολο −1 ως νέο α̟οδεκτό αριθµό ο ο̟οίος ̟ρέ̟ει να ̟ροσαρτηθεί
στους ̟ραγµατικούς αριθµούς. Οι µαθηµατικοί του 17ου και 18ου αιώνα το έκαναν αυτό εντελώς
α̟λοϊκά, και οδηγήθηκαν σε ̟άρα ̟ολύ ̟ερίεργα α̟οτελέσµατα στους υ̟ολογισµούς τους,
ωθούµενοι έτσι να ε̟εκτείνουν την µέθοδο ̟εραιτέρω εφαρµόζοντάς την και σε άλλα ̟ροβλήµατα.
Ωστόσο, ̟οτέ δεν έγιναν όλα ξεκάθαρα, έτσι ώστε η νέα µέθοδος υ̟ολογισµού να µ̟ορεί να
εφαρµόζεται χωρίς αντιφάσεις, και για τον λόγο αυτό ονόµασαν το −1 «ο φανταστικός
αριθµός». Ο C. F. Gauss (1777-1855) ήταν ̟ιθανώς ο ̟ρώτος ̟ου έθεσε τη θεωρία των µιγαδικών
αριθµών σε µια στέρεα βάση. Παρόλα αυτά διατήρησε όχι µόνο τον όρο «φανταστικός αριθµός»
αλλά ε̟ίσης και το σύµβολο i το ο̟οίο εισήγαγε ο L. Euler (1707-1783) για να συµβολίζει το −1
και αυτός ο συµβολισµός του Euler και του Gauss χρησιµο̟οιείται ως ε̟ί το ̟λείστον µέχρι
σήµερα1.
Ορισµός των Μιγαδικών Αριθµών (§§ 2-9)
2. Στην στοιχειώδη αριθµητική ̟ρώτα εισάγουµε τους φυσικούς αριθµούς, δηλαδή το σύνολο
των θετικών ακεραίων αριθµών: p , q , … , και στη συνέχεια ̟ροχωρούµε στην µελέτη των
κλασµάτων p q ως διατεταγµένα ζεύγη των φυσικών αριθµών µε αριθµητικές ̟ράξεις κατάλληλα
ορισµένες. Ο W. R. Hamilton (1805-1865) χρησιµο̟οίησε τον ίδιο τρό̟ο ̟ροσέγγισης για να δώσει
µια θεµελίωση της θεωρίας των µιγαδικών αριθµών2.
Ας συµβολίσουµε τους ̟ραγµατικούς αριθµούς µε µικρά ελληνικά γράµµατα α1 , α 2 , β1 , β 2 ,… .
Θα θεωρούµε µε τον µιγαδικό αριθµό a , το ζεύγος α1 , α 2 των ̟ραγµατικών αριθµών, γραµµένο µε
αυτή τη σειρά. Έτσι µ̟ορούµε να γράψουµε
a = (α1 , α 2 ), b = ( β1 , β 2 ), c = (γ 1 , γ 2 ) κλ̟. (2.1)
Προκύ̟τει ότι η µια ισότητα
a=b (2.2)
µεταξύ δυο µιγαδικών αριθµών είναι ισοδύναµη µε δύο ισότητες
α1 = β1 , α 2 = β 2 . (2.3)
3. Ορίζουµε τώρα το άθροισµα δυο µιγαδικών αριθµών a , b µε την σχέση
a + b = (α1 + β1 , α 2 + β 2 ) (3.1)
Τότε µ̟ορούν να α̟οδειχθούν οι ̟αρακάτω ισότητες:
a + b = (α1 + β1 , α 2 + β 2 ) = ( β1 + α1 , β 2 + α 2 ) = b + a (3.2)
( a + b ) + c = ( (α1 + β1 ) + γ 1 , (α 2 + β 2 ) + γ 2 ) = (α1 + β1 + γ 1 , α 2 + β 2 + γ 2 ) .
Α̟ό την συµµετρία στο δεξιό µέλος της τελευταίας έκφρασης ̟ροκύ̟τει ε̟ίσης ότι
( a + b ) + c = a + (b + c ) . (3.3)
Ε̟οµένως η ̟ρόσθεση, ό̟ως ορίστηκε ̟αρα̟άνω, είναι µεταθετική και ̟ροσεταιριστική.
Στη συνέχεια, ορίζουµε το γινόµενο a b των µιγαδικών αριθµών a και b µε τον τύ̟ο3
a b = (α1β1 − α 2 β 2 , α1β 2 + α 2 β1 ) (3.4)
και µ̟ορούµε ταυτόχρονα να συµ̟εράνουµε α̟ό την συµµετρία των δυο συνιστωσών στην
̟αρένθεση του δεξιού µέλους ότι ισχύει
ab = ba (3.5)
1
Εκτός α̟ό ̟ολλούς φυσικούς και ηλεκτρολόγους µηχανικούς ̟ου ̟ροτιµούν να χρησιµο̟οιούν το j αντί του i .
2
W. R. Hamilton Trans. Roy. Irish Acad. 17, 393, (1837)
3
Χωρίς να εγείρεται το ερώτηµα γιατί έ̟ρε̟ε να ε̟ιλεχθεί ακριβώς αυτός ο συγκεκριµένος τύ̟ος.
physicsgg.blogspot.com

4. -3- ΟΙ ΜΙΓΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΣΚΟΠΙΑ physicsgg.wordpress.com
Ως εκ τούτου ο ̟ολλα̟λασιασµός είναι µια µεταθετική ̟ράξη.
Αν τώρα σχηµατίσουµε το γινόµενο του αριθµού ( a b ) µε έναν τρίτο µιγαδικό αριθµό c ,
βρίσκουµε
( a b ) c = (α1β1γ 1 − α1β 2γ 2 − α 2 β1γ 2 − α 2 β 2γ 1 ,
α 2 β1γ 1 + α1β 2γ 1 + α1β1γ 2 − α 2 β 2γ 2 ).
(3.6)
Σηµειώνοντας ότι οι συνιστώσες του δεξιού µέλους ̟αραµένουν αναλλοίωτες αν εναλλάξουµε
το α1 µε το γ 1 και το α 2 µε το γ 2 , και κάνοντας χρήση της (3.5), ̟αίρνουµε
( a b) c = (c b) a = a (b c) . (3.7)
Τελικά, µ̟ορούµε να α̟οδείξουµε ̟αροµοίως ότι οι δυο µιγαδικοί αριθµοί a ( b + c ) και
( a b) + ( a c) ̟αριστάνονται α̟ό το ίδιο διατεταγµένο ζεύγος ̟ραγµατικών αριθµών.
Έτσι ο ̟ολλα̟λασιασµός δεν είναι µόνο µεταθετικός, αλλά ε̟ίσης και ̟ροσεταιριστικός και
ε̟ιµεριστικός.
4. Αν a και b δυο ο̟οιοιδή̟οτε µιγαδικοί αριθµοί, τότε ̟άντοτε υ̟άρχει ένας µιγαδικός
αριθµός
x = (ξ1 , ξ 2 ) (4.1)
̟ου ικανο̟οιεί την εξίσωση
a+x =b, (4.2)
η ο̟οία είναι ισοδύναµη µε τις δυο εξισώσεις
α1 + ξ1 = β1 , α 2 + ξ2 = β 2 . (4.3)
Για το x βρίσκουµε
x = ( β1 − α1 , β 2 − α 2 ) (4.4)
και γράφουµε
x =b−a (4.5)
Ο αριθµός b − a ονοµάζεται η διαφορά των αριθµών a και b .
Το γεγονός ότι ̟άντοτε η (4.2) έχει µια λύση δείχνει ότι ως ̟ρος την ̟ρόσθεση, οι µιγαδικοί
αριθµοί µ̟ορούν να θεωρηθούν ως τα στοιχεία µιας αβελιανής οµάδας. Το «µοναδιαίο στοιχείο»
n αυτής της οµάδας ̟ροκύ̟τει θέτοντας b = a και x = n στην (4.2), η ο̟οία δίνει
n = (0, 0) . (4.6)
Ονοµάζουµε το n το µηδενικό(null), ή το µηδέν των µιγαδικών αριθµών.
Αν
ab = n (4.7)
τότε ̟ροκύ̟τει α̟ό την (3.4) ότι οι ισότητες
α1β1 − α 2 β 2 = 0, α1β 2 + α 2 β1 = 0
ισχύουν και οι δυο, και ως εκ τούτου ε̟ίσης
(α1β1 − α 2 β2 ) + (α1β 2 + α 2 β1 ) = (α12 + α 2 )( β12 + β 22 ) = 0 .
2 2 2
Τουλάχιστον ένας α̟ό τους δυο ̟αράγοντες α12 + α 2
2
( ) (
και β12 + β 22 ) ̟ρέ̟ει να είναι µηδέν, και
αυτό συνε̟άγεται ότι τουλάχιστον ένας α̟ό τους a και b ισούται µε n . Έτσι έχουµε α̟οδείξει το
εξής:
Αν το γινόµενο a b δυο µιγαδικών αριθµών ισούται µε n , τότε τουλάχιστον ο ένας α̟ό αυτούς
τους αριθµούς ̟ρέ̟ει να ισούται µε n .
5. Ας βρούµε τώρα την συνθήκη ώστε η εξίσωση
ax = b (5.1)
να έχει τουλάχιστον µια λύση x = (ξ1 , ξ 2 ) .
Αυτή η εξίσωση είναι ισοδύναµη µε το σύστηµα των γραµµικών εξισώσεων
α1ξ1 − α 2ξ 2 = β1 , α 2ξ1 + α1ξ 2 = β 2 (5.2)
physicsgg.blogspot.com

5. -4- ΟΙ ΜΙΓΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΣΚΟΠΙΑ physicsgg.wordpress.com
και αυτό το σύστηµα έχει µια και µόνο µια λύση υ̟ό τον όρο ότι α12 + α 2 > 0 ή, ισοδύναµα a ≠ n .
2
Λύνοντας το σύστηµα κάτω α̟ό αυτή την υ̟όθεση, βρίσκουµε
b  α β1 + α 2 β 2 α1β 2 − α 2 β1 
= (ξ1 , ξ 2 ) =  1 2 , . (5.3)
 a1 + α 2 α12 + α 22 
2
a
Αν θέσουµε b = a στην (5.3), ̟αίρνουµε έναν µιγαδικό αριθµό ανεξάρτητο α̟ό το a ,
συγκεκριµένα
a
e= = (1, 0) (a ≠ n)
a
ο ο̟οίος ̟αριστάνει την µονάδα ή το ένα, του συστήµατος των µιγαδικών αριθµών, ακριβώς ό̟ως
το n ̟αριστάνει τον µιγαδικό αριθµό «µηδέν».
Μ̟ορούµε να ανακεφαλαιώσουµε τα α̟οτελέσµατά µας ως εξής: Οι µιγαδικοί αριθµοί είναι τα
στοιχεία ενός µεταθετικού σώµατος στο ο̟οίο όλοι οι στοιχειώδεις νόµοι της άλγεβρας αληθεύουν.
6. Αυτοί οι µιγαδικοί αριθµοί των ο̟οίων η δεύτερη συνιστώσα µηδενίζεται, και συνε̟ώς είναι
της µορφής
a = (α1 , 0) (6.1)
̟αίζουν έναν ειδικό ρόλο. Περιλαµβάνουν το n = (0, 0) , καθώς ε̟ίσης και το e = (1, 0) . Τέτοιοι
αριθµοί θα ονοµάζονται ̟ραγµατικοί αριθµοί στο µιγαδικό ̟εδίο. Αυτή η ορολογία δικαιολογείται
α̟ό τις εκφράσεις ̟ου ̟ροκύ̟τουν όταν εφαρµόζονται σ’ αυτούς οι στοιχειώδεις ̟ράξεις, δηλαδή
αν δίνονται οι
a = (α1 , 0), b = ( β1 , 0 ) (6.2)
τότε έχουµε
b  β1 
a ± b = (α1 ± β1 , 0 ) , a b = (α1β1 , 0 ) , =  ,0 . (6.3)
a  α1 
Ό̟ως δείχνουν τα ̟αρα̟άνω, όταν ο̟οιεσδή̟οτε αριθµητικές ̟ράξεις εφαρµόζονται σε
̟ραγµατικούς αριθµούς στο µιγαδικό ̟εδίο, τα α̟οτελέσµατα είναι ̟άντοτε ε̟ίσης ̟ραγµατικοί
αριθµοί στο µιγαδικό ̟εδίο, και ε̟ι̟λέον, αυτοί οι αριθµοί συνιστούν ένα σώµα ̟ου είναι
ισοµορφικό µε αυτό των συνηθισµένων ̟ραγµατικών αριθµών α , β ,… .
Το σώµα των µιγαδικών αριθµών µ̟ορεί συνε̟ώς να θεωρηθεί ως µια ε̟έκταση του σώµατος
των ̟ραγµατικών αριθµών, ακριβώς ό̟ως τα κλάσµατα p q φαίνονται ως η ε̟έκταση του ̟εδίου
των ακεραίων p 1 . Στην ̟ερί̟τωση των κλασµάτων ̟αραλεί̟ουµε την γραµµή του κλάσµατος
και τον ̟αρονοµαστή αν αυτός ισούται µε 1, γράφοντας p στη θέση του p 1 . Παροµοίως, δεν
υ̟άρχει κίνδυνος σύγχυσης αν ο ̟ραγµατικός αριθµός (α , 0) στο µιγαδικό ̟εδίο συµβολίζεται
α̟λά µε α , α̟λο̟οιώντας στο µέγιστο την εµφάνιση των ̟ερισσότερων τύ̟ων. Θα κάνουµε αυτή
την συµφωνία, και ̟ιο συγκεκριµένα θα γράφουµε 0 για n = (0, 0) και 1 για e = (1, 0) .
7. Παραµένει ακόµη να δειχθεί ότι έχουµε ̟ραγµατο̟οιήσει τον στόχο τον ο̟οίο θέσαµε
αρχικά στην εισαγωγή των µιγαδικών αριθµών, δηλαδή ότι για κάθε µιγαδικό αριθµό a = (α1 , α 2 )
µ̟ορεί να ̟ροσδιοριστεί τουλάχιστον ένας µιγαδικός αριθµός x = (ξ1 , ξ 2 ) το τετράγωνο x 2 του
ο̟οίου ισούται µε a . Τώρα α̟ό την (3.4), έχουµε
x 2 = (ξ12 − ξ 22 , 2ξ1ξ 2 ) (7.1)
και η εξίσωση
x2 = a (7.2)
είναι ισοδύναµη µε το σύστηµα των εξισώσεων
physicsgg.blogspot.com

6. -5- ΟΙ ΜΙΓΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΣΚΟΠΙΑ physicsgg.wordpress.com
ξ12 − ξ 22 = α1 , 2ξ1ξ 2 = α 2 (7.3)
Α̟ό αυτή ̟ροκύ̟τει ότι
α12 + α 22 = (ξ12 − ξ 22 ) + 4ξ12ξ 22 = (ξ12 + ξ 22 ) ,
2 2
και συνε̟ώς έχουµε
ξ12 + ξ 22 = α12 + α 22 . (7.4)
Συγκρίνοντας την τελευταία σχέση µε την (7.3), βρίσκουµε
α12 + α 22 + α1 α12 + α 22 − α1
ξ12 = , ξ 22 = .
2 2
Έτσι οι µόνες δυνατές τιµές των ξ1 και ξ2 είναι της µορφής
α12 + α 22 + α1 α12 + α 22 − α1
ξ1 = ± , ξ2 = ± (7.5)
2 2
Οι ̟αρα̟άνω σχέσεις δείχνουν σαν να εµφανίζονται τέσσερις λύσεις στο σύστηµά µας. Ωστόσο αν
α 2 > 0 , τότε η δεύτερη α̟ό τις εξισώσεις (7.3) δείχνει ότι τα ξ1 και ξ2 , ̟ρέ̟ει να έχουν το ίδιο
̟ρόσηµο, έτσι ώστε σ’ αυτή την ̟ερί̟τωση ο µόνος δυνατός συνδυασµός ̟ροσήµων στην (7.5) να
είναι ( +, + ) και ( −, − ) . Παροµοίως στην ̟ερί̟τωση α 2 < 0 ο µόνος δυνατός συνδυασµός
̟ροσήµων στην (7.5) είναι ( +, −) και ( −, + ) .
Τελικά, αν α 2 = 0 , δηλαδή αν ο δεδοµένος αριθµός a είναι ̟ραγµατικός, τότε αν a > 0
̟αίρνουµε
ξ1 = ± a , ξ2 = 0 (7.6)
και αν a < 0 ̟αίρνουµε
ξ1 = 0, ξ2 = ± −a (7.7)
Μ̟ορούµε να α̟οδείξουµε µε αντικατάσταση ότι οι µιγαδικοί αριθµοί ̟ου βρέθηκαν ̟αρα̟άνω
ικανο̟οιούν την εξίσωση (7.2), και να συµ̟εράνουµε ότι σε όλες τις ̟ερι̟τώσεις ̟ου θεωρήθηκαν
̟αρα̟άνω, αυτή η εξίσωση έχει δυο αντίθετες λύσεις, δηλαδή δυο λύσεις ̟ου το άθροισµά τους
είναι µηδέν. Και τελικά, βλέ̟ουµε ότι στην ̟ερί̟τωση a = 0 , η µόνη ̟ερί̟τωση ̟ου α̟οµένει,
υ̟άρχει ακριβώς µια λύση, η x = 0 .
8. Ό̟ως φαίνεται α̟ό την (7.7), ο µιγαδικός αριθµός
i = (0,1) (8.1)
ονοµάζεται φανταστική µονάδα, είναι µια λύση της εξίσωσης
x 2 = −1 . (8.2)
Τώρα εφόσον
iα 2 = (0,1)(α 2 , 0) = (0, α 2 ) ,
̟ροκύ̟τει ότι κάθε αριθµός
a = (α1 , α 2 ) = (α1 , 0) + (0, α 2 )
µ̟ορεί να γραφεί στην µορφή
a = α1 + i α 2 . (8.3)
Αν ̟άρουµε υ̟όψη τις εξισώσεις
i 2 = −1, i 3 = −i, i 4 = +1, ⋯⋯ (8.4)
physicsgg.blogspot.com

7. -6- ΟΙ ΜΙΓΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΣΚΟΠΙΑ physicsgg.wordpress.com
βλέ̟ουµε ότι όλοι οι υ̟ολογισµοί µε µιγαδικούς αριθµούς µ̟ορούν τώρα να ̟ραγµατο̟οιηθούν
̟ολύ ευκολότερα. Έτσι για ̟αράδειγµα, βρίσκουµε, α̟οδεικνύοντας την εξίσωση (3.4) για άλλη
µια φορά, ότι
a b = (α1 + iα 2 )( β1 + i β 2 ) (8.5)
= α1β1 + i α1β 2 + i α 2 β1 − α 2 β 2
= (α1β1 − α 2 β 2 ) + i (α1β 2 + α 2 β1 )
ή α̟οδεικνύοντας ̟άλι την (5.3),
a β1 + i β 2 ( β1 + i β 2 )(α1 − iα 2 ) α1β1 + α 2 β 2 α β 2 − α 2 β1
= = = +i 1 2 (8.6)
b α1 + iα 2 (α1 + iα 2 )(α1 − iα 2 ) α1 + α 2
2 2
α1 + α 22
Στην εξίσωση (8.3), ονοµάζουµε το α1 , ̟ραγµατικό µέρος και το α 2 φανταστικό µέρος του a , και
γράφουµε
α 1 = ℜa , α 2 = ℑa (8.7)
9. Τώρα ̟ου έχουµε ορίσει όλους τους µιγαδικούς αριθµούς, ως στοιχεία ενός σώµατος ̟ου
̟εριέχει τους ̟ραγµατικούς αριθµούς, καθώς ε̟ίσης και τον αριθµό i , δεν α̟οµένει καµιά α̟ό τις
δυσκολίες ̟ου ̟ροκάλεσαν τόσους ̟ονοκεφάλους στους µαθηµατικούς του 18ου αιώνα. Όλες αυτές
οι δυσκολίες οφείλονταν στο γεγονός ότι στο ̟αρελθόν ̟ροσ̟αθούσαν, να ̟ροσθέσουν στους
στοιχειώδεις ̟ραγµατικούς αριθµούς έναν αριθµό i , ο ο̟οίος όµως δεν ταίριαζε ̟ουθενά.
Σε όλα όσα ακολουθούν θα έχουµε ως κανόνα να χρησιµο̟οιούµε µόνο µιγαδικούς αριθµούς σε
όλους τους τύ̟ους ̟ου θα γράφονται, και όταν θα µιλούµε για έναν ̟ραγµατικό αριθµό θα
εννοούµε έναν ̟ραγµατικό αριθµό στο µιγαδικό ̟εδίο. Αυτό θα εννοείται, για ̟αράδειγµα, για το
2 στην έκφραση 2a , κ.λ.̟. Οι µόνες εξαιρέσεις ως ̟ρος αυτό θα είναι για γράµµατα τα ο̟οία
φανερά ̟αριστάνουν φυσικούς αριθµούς, ό̟ως διάφοροι δείκτες, ή εκθετικά ̟ου
χρησιµο̟οιούνται στον σχηµατισµό ακεραίων αριθµών. (βλέ̟ε § 254).
Έτσι, για ̟αράδειγµα, γράφοντας
a0 x n + a1 x n −1 + ⋯ + an −1 x + an = 0 (9.1)
σηµαίνει ότι καθορίζουµε το ̟αρακάτω ̟ρόβληµα: Με a0 ≠ 0, a1 ,⋯ , an να ̟αριστάνουν
δεδοµένους µιγαδικούς αριθµούς, αναζητούµε τον ̟ροσδιορισµό ενός µιγαδικού αριθµού x για
τον ο̟οίο η (9.1) ισχύει. Θα α̟οδειχθεί αργότερα (βλέ̟ε § 170) ότι για ο̟οιαδή̟οτε δεδοµένη τιµή
του φυσικού αριθµού n , η εξίσωση (9.1) έχει ̟άντοτε λύσεις και ότι η διαδικασία ε̟έκτασης του
̟εδίου των αριθµών, ό̟ως ̟εριγράφεται στην § 1 για τις ̟ρώτες δυο ̟ερι̟τώσεις n = 1 και n = 2 ,
δεν χρειάζεται να γίνει τί̟οτε ̟αρα̟άνω. Αυτό το σηµαντικό α̟οτέλεσµα είναι γνωστό ως το
Θεµελιώδες Θεώρηµα της Άλγεβρας, ̟ου ̟ρώτος διατύ̟ωσε ο d’ Alembert (1717-1783), αλλά
̟ρώτος α̟έδειξε ο Gauss το 1799.
physicsgg.blogspot.com

8. -7- ΟΙ ΜΙΓΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΣΚΟΠΙΑ physicsgg.wordpress.com
Μιγαδικοί Συζυγείς (§ 10)
10. Μαζί µε τον µιγαδικό αριθµό
z = x + iy (10.1)
̟ου έχει το x ως το ̟ραγµατικό του µέρος και το y ως το µιγαδικό του µέρος, θεωρούµε τον
αριθµό
z = x − iy (10.2)
̟ου ονοµάζεται µιγαδικός συζυγής του z .
Η διαδικασία του ̟εράσµατος α̟ό τον z στον z ορίζει µια α̟εικόνιση του συνόλου των
µιγαδικών αριθµών στον εαυτό του. Η α̟εικόνιση είναι ένας αυτοµορφισµός του σώµατος των
µιγαδικών αριθµών, γεγονός ̟ου σηµαίνει τα ακόλουθα: Αν
w = u + iυ ( u, υ πραγµατικοί ) (10.3)
είναι ο̟οιοσδή̟οτε µιγαδικός αριθµός, τότε
( z + w ) = z + w, ( z w ) = z w (10.4)
Αυτός ο αυτοµορφισµός είναι δεύτερης τάξης (ή ενειλιγµένος), διότι έχουµε
z=z (10.5)
Σύγκριση των (10.1) και (10.2) δείχνει ότι το z είναι ̟ραγµατικός αν και µόνο αν
z=z (10.6)
Αν f ( z , z ) είναι ο̟οιαδή̟οτε ρητή συνάρτηση των z και z µε ̟ραγµατικούς συντελεστές, τότε
ο µιγαδικός συζυγής της f ( z , z ) ̟ροκύ̟τει µε εναλλαγή των z και z στην δεδοµένη έκφραση. Ως
εκ τούτου αν η f ( z , z ) είναι συµµετρική στα z και z , τότε η συνάρτηση f ( z , z ) έχει µόνο
̟ραγµατικές τιµές.
Αλλά αν η f ( z , z ) ̟εριέχει ε̟ίσης και µιγαδικούς συντελεστές, τότε η f ( z , z ) ̟ροκύ̟τει µε
εναλλαγή των z και z και την αντικατάσταση των συντελεστών µε τους µιγαδικούς συζυγείς τους.
Για ̟αράδειγµα, οι εκφράσεις
(z + z )
2
z + z = 2 x, = 4 x2 , z z = x2 + y 2 (10.7)
όλες ̟αίρνουν ̟ραγµατικές τιµές, ενώ η
( z − z ) = 2iy (10.8)
είναι είτε καθαρά µιγαδική είτε µηδέν. Αλλά η
( z − z ) 2 = −4 y 2 . (10.9)
όντας µια συµµετρική συνάρτηση, είναι ̟άντοτε ̟ραγµατική.
Σηµειώνεται ότι οι ̟αρακάτω ανισότητες εξυ̟ακούονται ταυτοτικά
( z + z ) ≥ 0, ( z − z ) ≤ 0 . (10.10)
Α̟όλυτες Τιµές (§§ 11-12)
11. Με την α̟όλυτη τιµή ή µέτρο ενός µιγαδικού αριθµού z , ̟ου συµβολίζεται µε z , θα
εννοούµε τον µη αρνητικό του ο̟οίου το τετράγωνο ισούται µε z z . Έτσι
2
z = z z = x2 + y2 , z = + x2 + y 2 . (11.1)
Αν z = 0 τότε z = 0 , και αντιστρόφως, αν z = 0 τότε z z = 0 , το ο̟οίο µε τη σειρά του
2
συνε̟άγεται z = 0 . Αν z ≠ 0 και z 2 = z , τότε ̟ροκύ̟τει ότι z = z και ως εκ τούτου ο z είναι
̟ραγµατικός, και τότε έχουµε z = z ή z = − z , ανάλογα µε το αν ο z είναι θετικός ή αρνητικός.
physicsgg.blogspot.com

9. -8- ΟΙ ΜΙΓΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΣΚΟΠΙΑ physicsgg.wordpress.com
Για δυο ο̟οιουσδή̟οτε µιγαδικούς αριθµούς a και b , βρίσκουµε ότι
2 2 2
ab = (ab)(a b ) = (aa )(bb ) = a b .
Α̟ό την ̟αρα̟άνω σχέση ̟ροκύ̟τει
ab = a b . (11.2)
Τότε αν
c
a ≠ 0, ab = c, b= ,
a
̟αίρνουµε ε̟ίσης
c c
= ( a ≠ 0, c αυθαίρετος ) (11.3)
a a
12. Ας συγκρίνουµε τώρα τις α̟όλυτες τιµές a + b , a , b , ό̟ου a και b δυο ο̟οιοιδή̟οτε
µιγαδικοί αριθµοί. Αρχίζουµε µε το ότι µ̟ορούµε να γράψουµε
2
a + b = (a + b)(a + b )


= aa + bb + (ab + ab)  (12.1)

= a + b + ( ab + ba ) 
2 2

Παρατηρώντας ότι οι δυο αριθµοί ab και a b είναι µιγαδικοί συζυγείς, α̟ό την (10.10) ̟αίρνουµε
ότι
( ab + ba ) ( ab − ba ) ≤ 0 .
2
≥ 0, (12.2)
Εξαιτίας της ταυτότητας
( ab + b a ) = ( ab − ba )
2 2 2 2
+4 a b (12.3)
συνε̟άγεται ότι ανεξάρτητα α̟ό το ̟ρόσηµο του ̟ραγµατικού αριθµού ab + ba ισχύει ̟άντοτε
ab + ba ≤ 2 a b (12.4)
Τώρα συγκρίνοντας τις (12.1) και (12.4) ̟ροκύ̟τει η ανισότητα
a+b ≤ a + b (12.5)
Ε̟ι̟λέον χρησιµο̟οιώντας την τελευταία σχέση βρίσκουµε ότι
a = (a + b) − b ≤ a + b + −b = a + b + b , (12.6)
και ̟αρόµοια ότι
b ≤ a+b + a ,
έτσι ώστε τελικά µ̟ορούµε να γράψουµε
a − b ≤ a+b ≤ a + b (12.7)
Κλείνοντας, ας θεωρήσουµε ότι ισχύει το σηµείο της ισότητας στην (12.5). Προφανώς ισχύει αν
a = 0 , και αν a ≠ 0 , τότε φαίνεται α̟ό τον ̟αρα̟άνω υ̟ολογισµό ότι το σηµείο της ισότητας θα
ισχύει στην (12.5) αν και µόνο αν και οι δυο ακόλουθες σχέσεις αληθεύουν
ab − ba = 0, ab + ba ≥ 0 . (12.8)
Θέτοντας b = ac, b = a c η (12.8) µετασχηµατίζεται σε δυο ισοδύναµες σχέσεις
c =c ≥0, (12.9)
η ο̟οία καθορίζει ότι ο
c=b a (12.10)
είναι ̟ραγµατικός και µη αρνητικός.
physicsgg.blogspot.com

10. -9- ΟΙ ΜΙΓΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΣΚΟΠΙΑ physicsgg.wordpress.com
Μοναδιαίοι Αριθµοί (§§ 13-14)
13. Αν z δεν είναι ̟ραγµατικός, τότε η διαφορά z − x του z και του ̟ραγµατικού του µέρους
x ονοµάζεται γνήσιος φανταστικός αριθµός iy . Τώρα ας στρέψουµε την ̟ροσοχή µας στον αριθµό
u ο ο̟οίος ̟ροκύ̟τει, κά̟ως ̟αρόµοια, α̟ό τον σχηµατισµό του ̟ηλίκου ενός αριθµού a ≠ 0 και
της α̟όλυτης τιµής του a .
Α̟ό την εξίσωση
a= au (a ≠ 0) (13.1)
̟ροκύ̟τει ότι
uu = 1, u =1 (13.2)
Οι αριθµοί u για τους ο̟οίους η (13.2) ισχύει ονοµάζονται µοναδιαίοι (δηλαδή µε µέτρο ένα). Αν
θέσουµε
u = x + i y, u = x − i y , (13.3)
τότε βρίσκουµε
x2 + y 2 = 1, (13.4)
έτσι ώστε οι µοναδιαίοι αριθµοί να µ̟ορούν να χαρακτηριστούν α̟ό την εξίσωση (13.4). Ο
µοναδιαίος αριθµός −1 ικανο̟οιεί την εξίσωση
i i
−1 = = . (13.5)
−i i
Ε̟ι̟λέον κάθε µοναδιαίος αριθµός u ικανο̟οιεί την
u (1 + u ) = u + uu = 1 + u
Έ̟εται ότι αν u είναι ο̟οιοσδή̟οτε µοναδιαίος αριθµός εκτός α̟ό το −1 , µε άλλα λόγια αν
a = 1 + u ≠ 0, a = 1 + u ≠ 0 ,
τότε ισχύει η ισότητα
1+ u a
u= = (1 + u ≠ 0 ) (13.6)
1+ u a
Έτσι κάθε µοναδιαίος αριθµός µ̟ορεί να ̟αρασταθεί ως το ̟ηλίκο δυο µιγαδικών συζυγών, και
κάθε τέτοιο ̟ηλίκο ̟αριστάνει έναν µοναδιαίο αριθµό.
Σηµειώνεται ότι αν u και υ είναι µοναδιαίοι, τότε είναι ε̟ίσης µοναδιαίοι και οι αριθµοί
u , 1 u , uυ , u υ (13.7)
14. Αν a και x είναι δυο ο̟οιοιδή̟οτε διαφορετικοί µιγαδικοί αριθµοί, τότε ο αριθµός
x−a
(14.1)
x −a
είναι µοναδιαίος. Αν, ε̟ι̟ροσθέτως, x = 1 , τότε ο −1 x είναι µοναδιαίος, ο̟ότε το ίδιο ισχύει και
για τον
−1 x − a a − x
y= ⋅ = . (14.2)
x x − a 1− a x
Σε όλα όσα ακολουθούν, θα υ̟οθέσουµε ότι ισχύει
a ≠1 (14.3)
Τότε αν συγκρίνουµε την εξίσωση
a−x
y= (14.4)
1− a x
µε την λύση της ως ̟ρος x ,
a− y
x= (14.5)
1− a y
physicsgg.blogspot.com

11. - 10 - ΟΙ ΜΙΓΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΣΚΟΠΙΑ physicsgg.wordpress.com
και ̟αρατηρήσουµε ότι η κάθε µια α̟ό τις δυο τελευταίες εξισώσεις ̟ροκύ̟τει η µια α̟ό την άλλη
µε εναλλαγή των x και y , βρίσκουµε ότι οι (14.4) και (14.5) δίνουν µια α̟εικόνιση ένα ̟ρος ένα
του συνόλου των µοναδιαίων αριθµών στον εαυτό του.
Α̟ό την (14.4) ε̟ι̟λέον ̟αίρνουµε, για κάθε µιγαδικό αριθµό x διάφορο του 1 a :
2 (a − x)(a − x )
y = (14.6)
(1 − a x)(1 − a x )
και
1− y
2
=
(1 − a )(1 − x )
2 2
(14.7)
2
1− a x
Συνε̟ώς αν
a <1 (14.8)
(
οι δυο αριθµοί 1 − x
2
) και (1 − y ) θα έχουν το ίδιο ̟ρόσηµο. Έτσι οι εξισώσεις (14.4) και (14.5)
2
α̟εικονίζουν κάθε αριθµό x του ο̟οίου το µέτρο είναι ≤ 1 σε έναν αριθµό y ̟ου έχει την ίδια
ιδιότητα, και µ̟ορούµε µε τον τρό̟ο αυτό να ̟άρουµε κάθε y για τον ο̟οίο y ≤ 1 .
Θα δούµε στα ε̟όµενα ότι ο µετασχηµατισµός ή η α̟εικόνιση (14.4) ε̟ιδέχεται µια α̟λή
γεωµετρική ερµηνεία. Στην σύνδεση αυτή θα είναι σηµαντικό να έχουµε µια εκτίµηση του y
συναρτήσει των a και x . Για να ̟άρουµε µια τέτοια εκτίµηση, αντικαθιστούµε τους αριθµούς a
και x στην (14.4) µε a και ± x αντίστοιχα, εισάγουµε τους συµβολισµούς
a−x a+x
y1 = , y2 = (14.9)
1− a x 1+ a x
και βρίσκουµε
1 − y12 =
(1 − a )(1 − x ) ,
2 2
1 − y2
2
=
(1 − a )(1 − x ) .
2 2
(14.10)
(1 − a x ) (1 + a x )
2 2
Αλλά α̟ό την (12.7), έχουµε
1− a x ≤ 1− a x ≤ 1+ a x ,
έτσι ώστε µια σύγκριση των (14.10) µε την (14.7) δίνει τις σχέσεις
y1 ≤ y ≤ y2 ≤ 1 ,
η ο̟οία µ̟ορεί ε̟ίσης να γραφεί ως εξής:
a−x a−x a+ x
1− a x
≤ ≤
1− a x 1+ a x
≤ 1, ( a < 1, 0 ≤ x ≤ 1) . (14.11)
Το Όρισµα ενός Μιγαδικού Αριθµού (§§ 15-17)
15. Οι µοναδιαίοι αριθµοί µ̟ορούν να εκφραστούν συναρτήσει µιας ̟ραγµατικής ̟αραµέτρου.
Όσον αφορά την ανα̟αράσταση
a + ib
u=
a − ib
( a, b πραγµατικοί, a 2
+ b2 > 0) (15.1)
physicsgg.blogspot.com

12. - 11 - ΟΙ ΜΙΓΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΣΚΟΠΙΑ physicsgg.wordpress.com
ενός µοναδιαίου αριθµού u , ο αριθµός a είναι µηδέν αν και µόνο αν u = −1 . Έτσι αν υ̟οθέσουµε
u ≠ −1 , µ̟ορούµε να εισάγουµε τον συµβολισµό
b
t= (t πραγµατικός) (15.2)
a
και ̟ροκύ̟τει
1 + it 1 − t 2 2t
u= = +i . (15.3)
1 − it 1 + t 2
1+ t2
Αν ο
1 + it ′
u′ = (15.4)
1 − it ′
̟αριστάνει έναν τέτοιο µοναδιαίο αριθµό, βρίσκουµε
2i (t − t ′)
u − u′ = , (15.5)
(1 − it )(1 − it ′)
η ο̟οία δείχνει ότι u′ = u αν και µόνο αν t ′ = t . Συνε̟ώς οι µοναδιαίοι αριθµοί εκτός του −1
µ̟ορούν να α̟εικονιστούν ένας ̟ρος έναν ε̟ί του ̟ραγµατικό άξονα t .
16. Αν ̟ροϋ̟οθέσουµε την θεωρία των τριγωνοµετρικών συναρτήσεων στο ̟ραγµατικό ̟εδίο,
µ̟ορούµε να ̟άρουµε µια ̟ιο χρήσιµη α̟εικόνιση των µοναδιαίων αριθµών ε̟ί του ̟ραγµατικού
άξονα αντιστοιχίζοντας σε κάθε τιµή του t έναν ̟ραγµατικό αριθµό ϑ ̟ου ορίζεται α̟ό την
εξίσωση
ϑ
= arctgt (−π < ϑ < π ) (16.1)
2
Τούτο δίνει
ϑ
t = tg , (16.2)
2
ϑ ϑ
1 − tg 2 2tg
1− t2 2 = cos ϑ , 2t 2 = sin ϑ
= = (16.3)
1 + t 2 1 + tg 2 ϑ 1 + t 2 1 + tg 2 ϑ
2 2
και η εξίσωση (15.3) ̟αίρνει την µορφή
u = cos ϑ + isin ϑ . (16.4)
Αντιστρόφως µ̟ορούµε να α̟οδείξουµε ότι το δεξιό µέλος της τελευταίας εξίσωσης ̟αριστάνει
έναν µοναδιαίο αριθµό για κάθε τιµή του ϑ . Ο αριθµός ϑ ονοµάζεται µέτρο (amplitute) ή όρισµα
(argument), του µιγαδικού αριθµού u .
Αν ϑ0 είναι το όρισµα του µοναδιαίου αριθµού u , τότε εξαιτίας της ̟εριοδικότητας των
τριγωνοµετρικών συναρτήσεων, ο αριθµός u έχει ά̟ειρο ̟λήθος ε̟ι̟λέον ορισµάτων,
συγκεκριµένα τους αριθµούς
ϑ = ϑ0 + 2kπ , (k = 0, ±1, ±2,…) . (16.5)
Μεταξύ αυτών, υ̟άρχει ακριβώς ένα «̟ρωτεύον όρισµα», µε το ο̟οίο εννοούµε το όρισµα ̟ου
̟εριέχεται στο ηµι – ανοικτό διάστηµα
−π < ϑ ≤ π . (16.6)
17. Όταν ̟ολλα̟λασιάζουµε µοναδιαίους αριθµούς, ̟ροσθέτουµε τα ορίσµατά τους. Έτσι ώστε
αν
u1 = cos ϑ1 + isin ϑ1 , u2 = cos ϑ2 + i sin ϑ2 , (17.1)
τότε
physicsgg.blogspot.com

13. - 12 - ΟΙ ΜΙΓΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΣΚΟΠΙΑ physicsgg.wordpress.com
u1u2 = (cos ϑ1 cos ϑ2 − sin ϑ1 sin ϑ2 ) + i (sin ϑ1 cos ϑ2 + sin ϑ2 cos ϑ1 )
= cos(ϑ1 + ϑ2 ) + i sin(ϑ1 + ϑ2 ) (17.2)
Στο ε̟όµενο κεφάλαιο αυτού του βιβλίου (α̟ό §234 και µετά) θα ορίσουµε τις συναρτήσεις
z
e , cos z, sin z για αυθαίρετες µιγαδικές τιµές του z και θα α̟οδείξουµε την ταυτότητα
eiz = cos z + i sin z . (17.3)
∆εν υ̟άρχει τί̟οτε ̟ου να µας α̟οτρέ̟ει στο σηµείο αυτό α̟ό την εισαγωγή του συµβόλου e iz ως
µια βολική συντόµευση για τον µοναδιαίο αριθµό cos ϑ + i sin ϑ . Στον συµβολισµό αυτό, η
συναρτησιακή σχέση ̟ου εκφράζεται α̟ό τις (17.1) και (17.2) ̟αίρνει την µορφή
ei (ϑ1 +ϑ2 ) = eiϑ1 eiϑ2 . (17.4)
Ρίζες (§§ 18-19)
18. Έστω a ένας αυθαίρετος µιγαδικός αριθµός ≠ 0 , και έστω n ένας αυθαίρετος φυσικός
αριθµός. Προτιθέµεθα να υ̟ολογίσουµε όλες τις ρίζες της εξίσωσης
zn = a . (18.1)
Αν θέσουµε
a = a eiϑ = a ei (ϑ + 2 kπ ) (k = 0,1,…) (18.2)
και
z = z eiϕ , (18.3)
τότε ̟ρέ̟ει να ισχύουν οι
n
z = a και n ϕ = ϑ + 2 kπ (18.4)
Η ̟αρα̟άνω ̟ροσδιορίζει µοναδικά το
z = n a (18.5)
Μεταξύ των αριθµών
ϑ 2k π
ϕk = + (k = 0,1,⋯) (18.6)
n n
υ̟άρχουν ωστόσο n αριθµοί διαφορετικοί µεταξύ τους, συγκεκριµένα οι
ϕ0 , ϕ1 , ϕ2 , ⋯ , ϕn−1 (18.7)
οι ο̟οίοι όταν αντικαθίστανται στην θέση του ϕ στην (18.3) δίνουν n διαφορετικές λύσεις της
(18.1). Έτσι εύκολα α̟οδεικνύει κανείς ότι η (18.1) δεν έχει ε̟ι̟λέον λύσεις.
19. Αν θέσουµε a = 1 στην (18.1), ̟αίρνουµε την εξίσωση
zn = 1 , (19.1)
κάθε ρίζα της ο̟οίας, εκτός του ίδιου του 1, ονοµάζεται ρίζα της µονάδας. Α̟ό τις (18.5) και (18.6)
έχουµε
2k π
z = 1, ϕk = , (19.2)
n
έτσι ώστε
2k π i
z=e n
, (k = 1, 2,⋯ , n − 1) (19.3)
physicsgg.blogspot.com

14. - 13 - ΟΙ ΜΙΓΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΣΚΟΠΙΑ physicsgg.wordpress.com
Ο̟ότε για n = 2, 4,8 και k = 1 , βρίσκουµε
iπ iπ
1+ i
eiπ = −1, e 2 = i, e4 = . (19.4)
2
Για n = 3 , έχουµε
z 3 − 1 = ( z − 1)( z 2 + z + 1) (19.5)
Έτσι οι τρίτες ρίζες της µονάδας είναι α̟λά οι ρίζες της δευτεροβάθµιας εξίσωσης
z2 + z +1 = 0 .
Α̟ό αυτή, και χρησιµο̟οιώντας τις σχέσεις (19.4), υ̟ολογίζουµε διαδοχικά τις ̟οσότητες
2 iπ
−1 + i 3 
e 3
= , 
2 
iπ
iπ −
2 iπ
1+ i 3 
e3 =e 3 = , 
2 
iπ iπ iπ  (19.6)
− ( 3 + 1) + i ( 3 − 1) 
e =e
12 3 4
=
2 2 
iπ

3 +i 
e6 = 
2 
physicsgg.blogspot.com