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Jacobianos e Integrales Múltiples

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  1. 1. UNIVERSIDAD CENTROAMERICANA “JOSÉ SIMEÓN CAÑAS” MATEMATICA IV SECCIÓN 01 CICLO 01-2015 “JACOBIANOS E INTEGRALES MULTIPLES” Profesor: Ing. Eduardo Escapini Peñate Jefe de Instructores: Jonathan Landaverde.  Para los sistemas de funciones implícitas dados a continuación, responder a la pregunta planteada: 1) Si { 𝑥2 𝑦 − 𝑧𝑥𝑦 + 5𝑢2 − 5 = 0 𝑥𝑦𝑧 − 𝑢𝑒 𝑥2 𝑦𝑧 + 𝑒 − 𝑦3 𝑢 = 0 ln(𝑥𝑦) − ln(𝑧𝑢2) + ln(𝑥) = 0 Hallar 𝜕𝑦 𝜕𝑧 ∧ 𝜕𝑥 𝜕𝑢 en el punto { 𝑥 = 1 𝑦 = 1 𝑧 = 1 𝑢 = 1 2) Si { 𝑣 − 𝑦𝑒 𝑣 + 𝑢5 + 𝑢 = −1 𝑢 + 𝑥𝑒 𝑢 + 𝑣 = −1 Hallar 𝜕𝑥 𝜕𝑢 | 𝑣 ∧ 𝜕𝑦 𝜕𝑣 | 𝑢 en el punto { 𝑥 = −1 𝑦 = 1 𝑢 = 0 𝑣 = 0 3) Si { (𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 1)2 + (𝑧 − 2)2 = 1 𝑒 𝑥𝑦 + 𝑥2 − 𝑧2 = 1 Hallar 𝜕𝑥 𝜕𝑦 ∧ 𝜕𝑦 𝜕𝑧 en el punto { x = 2 y = 0 z = 2 4) Si { tan ( 2 √ 𝑧𝑥 ) − 𝑒 𝑥𝑦 = 5 √ 𝑧 𝑤 3 − √ 𝑦 𝑤 = √𝑥 𝑦 Hallar 𝜕𝑧 𝜕𝑥 | 𝑦 ∧ 𝜕𝑤 𝜕𝑥 5) Si { 3𝑥2 𝑦𝑧 − 5𝑦𝑢2 + 2𝑥𝑦 ln(𝑢𝑧2) = −16 sin(𝑥 + 𝑧) − 4𝑒 𝑢𝑦 + cos(𝑤2 𝑢𝑦) = −4𝑒2 + cos(2) ln(𝑥𝑦) − ln(𝑧2 𝑢2) + ln(𝑥) = ln 2 Hallar 𝜕𝑦 𝜕𝑧 en el punto { 𝑥 = 1 𝑦 = 2 𝑧 = −1 𝑢 = 1 𝑤 = 2 6) 𝑆𝑖 {𝑥3 𝑠𝑒𝑛(𝑢𝑣) + 𝑦2 cos(𝑧𝑢) − 𝑣2 − 3 = 0 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝜕𝑢 𝜕𝑣 ∧ 𝜕𝑦 𝜕𝑧 7) 𝑆𝑖 { 𝑥3 𝑦𝑧 + 𝑧𝑢𝑣2 = 𝑢3 𝑥𝑦 + 3 𝑥3 + 𝑦3 𝑧 = 𝑧3 𝑢𝑣 + 𝑣2 + 2 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝜕𝑢 𝜕𝑧 8) 𝑆𝑖 { 𝑥3 + 𝑦3 − 2𝑧2 + 𝑢𝑣 = 9 𝑥𝑦𝑧 + 𝑢2 𝑥𝑣 − ln(𝑦𝑢𝑣) = 2 − ln(4) 𝑠𝑒𝑛(𝑢𝑥𝑦2) − cos(𝑢2 𝑣𝑧) − 2𝑧 = 𝑠𝑒𝑛(8) − cos(−4) + 2 Hallar 𝜕𝑧 𝜕𝑥 | 𝑣 en el punto { 𝑥 = 1 𝑦 = 2 𝑧 = −1 𝑢 = 2 𝑣 = 1
  2. 2. Recordatorio sobre el cálculo de áreas y volúmenes.  Calcular por integración doble, el área de la región descrita: 1) La región entre la curva 𝑟 = 3 + 𝑐𝑜𝑠 𝜃 y la curva 𝑟 = 1 + 𝑠𝑖𝑛 𝜃. 2) La región comun a los circulos 𝑟 = 2𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝜃 y 𝑟 = 2𝑎 sin 𝜃. 3) La región externa a 𝑟 = 1 − cos 𝜃 e interna a 𝑟 = 1. 4) La región interna a 𝑟 = 3 cos 𝜃 y externa a 𝑟 = 1 2 . 5) La región que encierran las curvas: 𝑦 = 𝑥2 + 1 ˄ y = 2x + 4. 6) La región que encierran las curvas: 𝑦 = √𝑥 − 1; (𝑦 − 1)2 = 6 − x ˄ 𝑥 + 𝑦 = 1 7) La región que encierran la curvas: 𝑦 = 𝑒 𝑥 , x = 2 ˄ y = 1 2 . 8) La región que encierran las curvas: 𝑦 = 𝑒 𝑥 , y = √𝑥 − 1, y = 1 ˄ y = 2. 9) La región que encierran las curvas: 𝑥𝑦 = 1, 𝑥 + 4𝑦 − 5 = 0, 4𝑥 + 4𝑦 − 17 = 0. 10)La región que encierran las curvas:𝑦 = 𝑥2 ˄ y = 8 − 𝑥2 .  Calcular el volumen de la región indicada: 1) La región que es interior de manera simultanea a los sólidos 2𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 y 𝑥2 + 𝑦2 + (𝑧 − 11)2 = 25. 2) La región acotada por las superficies 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 y 𝑧 = 10 − 2𝑥2 − 𝑦2 . 3) La región limitada por las esferas 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑎2 , 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑏2 y el cono 𝑥2 + 𝑦2 − 𝑧2 = 0, donde 0 < 𝑎 < 𝑏 y 𝑧 > 0. 4) El área limitada por el solido 𝑧 = 4𝑥2 + 4𝑦2 , donde 2 ≤ 𝑧 ≤ 4 . 5) La región entre los conos 𝑧2 = 𝑥2 + 𝑦2 ∧ 3𝑧2 = 𝑥2 + 𝑦2 , y bajo la semiesfera 𝑧 = √4 − 𝑥2 − 𝑦2 . 6) La región interior al cilindro 𝑥2 + 𝑦2 = 2𝑦, y al interior de la esfera 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 4. 7) La región de la parte interior común de los cilindros 𝑥2 + 𝑦2 = 4 y 𝑥2 + 𝑧2 = 4. 8) Debajo de: 𝑧 = √𝑥2 + 𝑦2, sobre z=0, y dentro de:𝑥2 + 𝑦2 = 4. 9) Debajo de: 𝑧 = √1 − 𝑥2 − 𝑦2, sobre el plano xy, y dentro de:𝑥2 + 𝑦2 = 1 4 . 10)Debajo de: 𝑧 = 4 − 𝑥2 − 𝑦2 , sobre el plano xy, entre 𝑦 = 𝑥 ˄ 𝑦 = 4𝑥.
  3. 3. Aplicaciones.  En el plano cartesiano se utilizan dos tipos de coordenadas: las rectangulares (𝑥, 𝑦) y las polares (𝑟, 𝜃). Para representar sistemas en el espacio se hace uso de tres sistemas coordenadas diferentes; dos de ellos son el sistema de coordenadas rectangulares (𝑥, 𝑦, 𝑧) y el sistema de coordenadas cilíndricas (𝑟, 𝜃, 𝑧). Demostrar que el jacobiano de transformación para el cambio de coordenadas rectangulares a polares es equivalente a calcular el jacobiano de transformación para el cambio de coordenadas rectangulares a cilíndricas, donde: { 𝑥 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑦 = 𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝜃 ; en el sistema de coordenadas polares { 𝑥 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑦 = 𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑧 = 𝑧 ; en el sistema de coordenadas cilindricas  A partir de un Jacobiano de Transformación demuestre que el diferencial de volumen cartesiano 𝑑𝑉 = 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 se representa en coordenadas esféricas como 𝑑𝑉 = 𝜌2 𝑠𝑖𝑛 𝜙 𝑑𝜌𝑑𝜙𝑑𝜃.  Resolver la integral doble: 𝐴 = ∬ 𝑒 𝑥2−𝑦2 𝑥−𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑅 , efectuando el siguiente cambio de variable: u = y – x , v = x + y. Donde la región R es la que está limitada en el primer cuadrante por la recta: x + y = 2.  Calcular el área limitada por las curvas: 𝑦 = 𝑥2 , 𝑦 = 2𝑥2 , 𝑦2 = 𝑥, 𝑦2 = 2𝑥, utilizando la siguiente sustitución: 𝑥2 = 𝑢𝑦, 𝑦2 = 𝑣𝑥.  Calcular el área limitada por las curvas: 𝑥𝑦 = 1, 𝑥𝑦 = 2, 𝑥𝑦3 = 1, 𝑥𝑦3 = 2, mediante el siguiente cambio de variables:𝑥𝑦 = 𝑢, 𝑥𝑦3 = 𝑣.  En un sistema de coordenadas cartesianas, el plano xy sabemos que su diferencial de área se define como 𝑑𝐴 = 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝑑𝑦𝑑𝑥. Si transformamos los pares ordenados (x , y) al sistema de coordenadas polares el 𝑑𝐴 = 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃. Supóngase que definimos un nuevo sistema de coordenadas al cual llamaremos “sistema coordenado New Math (NM)”, en el cual 𝑥 = 𝑛2 , 𝑦 = 𝑚3 . Calcular el diferencial de área de este sistema coordenado.  Calcular el volumen del solido limitado por el elipsoide: 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 + 𝑧2 𝑐2 = 1 Con el resultado anterior demuestre que el volumen de una esfera es 4 3 𝜋𝑟3 . (Considere que la esfera es un caso especial de elipsoide, donde su radio r es constante)  Hallar el área de la región limitada por las curvas: 𝑦 = √ 𝑥, 𝑦 = √2𝑥, 𝑦 = 𝑥2 3 , 𝑦 = 𝑥2 4 ; utilizando el cambio de variables siguiente: 𝑥 = 𝑢 1 3 𝑣 2 3 ˄ 𝑦 = 𝑢 2 3 𝑣 1 3.
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