Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Guia int de_superficie_teo_de_gauss_y_stokes_02_15

618 views

Published on

Cálculo Vectorial

Published in: Education
  • Be the first to comment

Guia int de_superficie_teo_de_gauss_y_stokes_02_15

  1. 1. Matemática IV. Ciclo 02/2015 Sección: 03 Guía-Problemas Jonathan λGreen. UNIVERSIDAD CENTROAMERICANA “JOSÉ SIMEÓN CAÑAS” MATEMATICA IV SECCIÓN 03 CICLO 02-2015 “INTEGRALES DE SUPERFICIE, TEOREMA DE GAUSS Y STOKES” Profesor: Ing. Eduardo Escapini Peñate Jefe de Instructores: Jonathan Landaverde. Instructores de Células: Silvania Aragón, David Alberto, Jorge Gómez, Sofía García, Jorge Girón. Área de una superficie. 1) Calcular las áreas de las siguientes superficies: i) 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 , 0 ≤ 𝑧 ≤ 4. 𝑹𝒕𝒂: 𝝅 𝟔 (𝟏𝟕√𝟏𝟕 − 𝟏) ii) 𝑦 = 𝑥2 + 𝑧2 − 1, 0 ≤ 𝑦 ≤ 3. 𝑹𝒕𝒂: 𝝅 𝟔 (𝟏𝟕√𝟏𝟕 − 𝟓√𝟓) iii) 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑎2 , 𝑧 ≥ 0. 𝑹𝒕𝒂: 𝟐𝝅𝒂 𝟐 2) Hallar las áreas de las superficies siguientes: a) El tronco del cono con ecuación 𝑧 = 𝑎√𝑥2 + 𝑦2 correspondiente a bases de radios 𝑏, 𝑐 con 𝑏 < 𝑐. 𝑹𝒕𝒂: 𝝅√𝟏 + 𝒂 𝟐(𝒄 𝟐 − 𝒃 𝟐 ) b) La superficie esférica 𝑥2 +𝑦2 + 𝑧2 = 9 limitada por el cilindro 𝑥2 +4𝑦2 = 9. 𝑹𝒕𝒂: 𝟏𝟐𝝅 3) Hallar el área del toro circular obtenido al girar una circunferencia de radio 𝑅 alrededor de un eje situado en el plano en el que se encuentra la circunferencia a una distancia 𝑎 > 𝑅 de su centro. 𝑹𝒕𝒂: 𝟒𝝅 𝟐 𝒂𝑹 4) Calcule el área de la porción de superficie conica 𝑥2 +𝑦2 = 𝑧2 , situada por encima del plano 𝑧 = 0 y limitada por la esfera 𝑥2 +𝑦2 + 𝑧2 = 2𝑎𝑥. 𝑹𝒕𝒂: √𝟐𝝅 𝒂 𝟐 𝟒 5) Dado el recinto limitado por los planos 𝑧 = 𝑦 y 𝑧 = 0 y el cilindro 𝑥2 +𝑦2 = 𝑎2 . Calcule el área de la porción de superficie cilindrica comprendida entre los dos planos. 𝑹𝒕𝒂: 𝟒𝒂 𝟐
  2. 2. Matemática IV. Ciclo 02/2015 Sección: 03 Guía-Problemas Jonathan λGreen. Integral de superficie de campos escalares. 1) Evaluar ∬ 𝑥𝑦𝑧 𝑑𝑠𝑆 , donde S es el triángulo de vértices (1,0,0), (0,2,0), (0,1,1). 𝑹𝒕𝒂: √𝟔 𝟑𝟎 2) Evaluar ∬ 𝑧2 𝑑𝑠𝑆 , siendo S la frontera del cubo 𝑆 = [−1, 1] × [−1, 1] × [−1, 1]. 𝑹𝒕𝒂: 𝟒𝟎 𝟑 3) Calcular ∬ (𝑥2 + 𝑦2)𝑑𝑠𝑆 , siendo S la superficie del cono 𝑧2 = 3(𝑥2 + 𝑦2), 0 ≤ 𝑧 ≤ 3. 𝑹𝒕𝒂: 𝟗𝝅 4) Sea S la semiesfera 𝑥2 +𝑦2 + 𝑧2 = 𝑎2 , 𝑧 ≥ 0. Hallar ∬ (𝑥2 +𝑦2 )𝑆 𝑑𝑠. 𝑹𝒕𝒂: 𝟒𝝅𝒂 𝟒 𝟑 5) Calcular ∬ (𝑥4 − 𝑦4 + 𝑦2 𝑧2 − 𝑧2 𝑥2 + 1)𝑑𝑠𝑆 , donde S es el cilindro 𝑥2 +𝑦2 = 2𝑥 que recorta una porción del cono 𝑥2 +𝑦2 = 𝑧2 . 𝑹𝒕𝒂: √𝟐𝝅 Teorema de Gauss. 1) Hallar ∬ ∇ ∙ 𝐹 𝑑𝑠𝑆 , donde S es el elipsoide 𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑧2 = 10 y 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥𝑦)𝑖 + 𝑒 𝑥 𝑗 − 𝑦𝑧𝑘. 𝑹𝒕𝒂: 𝟎 2) Sea V un sólido de volumen 13 unidades, limitado por la superficie cerrada S. Sea 𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘. Hallar ∮ 𝑅 ∙ 𝑑𝑠𝑆 . 𝑹𝒕𝒂: 𝟑𝟗 3) Se considera el campo vectorial 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑧𝑖 + 3𝑥𝑦𝑗 − 2𝑧𝑘 y la superficie S, que es el contorno: 𝑉 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3 : 𝑥2 +𝑦2 ≤ 1, 0 ≤ 𝑧 ≤ 3}. Calcular el flujo. 𝑹𝒕𝒂: − 𝟑𝝅 𝟐 4) Se considera el casquete del paraboloide S: 𝑧 = 4 − 𝑥2 − 𝑦2 , 𝑧 ≥ 0 y el campo vectorial 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 (𝑥2+𝑦2+𝑧2) 3 2 𝑖 + 𝑦 (𝑥2+𝑦2+𝑧2) 3 2 𝑗 + 𝑧 (𝑥2+𝑦2+𝑧2) 3 2 𝑘, Hallar el flujo de F a través de S hacia el exterior del paraboloide. 𝑹𝒕𝒂: 𝟐𝝅 5) Sea 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑦𝑖 + 𝑧𝑗 + 𝑥𝑧𝑘. Evaluar ∬ 𝐹 ∙ 𝑁 𝑑𝑠𝑆 , para cada una de las siguientes regiones S: a) 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 𝑧 ≤ 1. 𝑹𝒕𝒂: 𝟎 b) 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 𝑧 ≤ 1, 𝑥 ≥ 0. 𝑹𝒕𝒂: 𝟒 𝟏𝟓 c) 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 𝑧 ≤ 1, 𝑥 ≤ 0. 𝑹𝒕𝒂: − 𝟒 𝟏𝟓
  3. 3. Matemática IV. Ciclo 02/2015 Sección: 03 Guía-Problemas Jonathan λGreen. 6) Calcular ∬ 𝐹 ∙ 𝑁 𝑑𝑠𝑆 , donde 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 3𝑥𝑦2 𝑖 + 3𝑥2 𝑦𝑗 + 𝑧3 𝑘 y S es la esfera cuyo radio es la unidad. 𝑹𝒕𝒂: 𝟏𝟐𝝅 𝟓 7) Evaluar ∬ 𝐹 ∙ 𝑁 𝑑𝑠𝑆 , donde 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑖 + 𝑗 + 𝑧(𝑥2 + 𝑦2 )2 k y S es la superficie del cilindro 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 1, 0 ≤ 𝑧 ≤ 1. 𝑹𝒕𝒂: 𝝅 𝟑 8) Sea 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑦𝑧𝑖 + (−𝑥 + 3𝑦 + 2)𝑗 + (𝑥2 + 𝑧)𝑘. Calcular ∬ (∇ × 𝐹) ∙ 𝑁 𝑑𝑠𝑆 , donde S es el cilindro 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 𝑎2 , 0 ≤ 𝑧 ≤ 1. a) Incluyendo las bases. 𝑹𝒕𝒂: 𝟎 b) Excluyendo las bases. 𝑹𝒕𝒂: 𝟐𝝅𝒂 𝟐 9) Halle el flujo del campo 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥3 𝑖 + 𝑦3 𝑗+𝑧3 𝑘 a través de la superficie del cono 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧2 , 𝑐𝑜𝑛 0 ≤ 𝑧 ≤ 𝐻. a) Directamente. 𝑹𝒕𝒂: 𝟏 𝟏𝟎 𝝅𝑯 𝟓 b) Aplicando el Teorema de la Divergencia. 𝑹𝒕𝒂: 𝟏 𝟏𝟎 𝝅𝑯 𝟓 10) Calcule directamente y utilizando el teorema de la divergencia el flujo del campo vectorial 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑧𝑖 − 𝑦2 𝑗 + 𝑥𝑧𝑘 a través de la superficie que limita el cilindro 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 𝑅2 , 0 ≤ 𝑧 ≤ 3. 𝑹𝒕𝒂: 𝟗 𝟐 𝝅𝑹 𝟐 Teorema de Stokes. 1) Calcular ∮ 2𝑦𝑑𝑥 + 3𝑥𝑑𝑦 − 𝑧2 𝑑𝑧𝑆 , siendo S la circunferencia de ecuaciones paramétricas 𝑥 = 3 cos(𝛾) , 𝑦 = 3𝑠𝑒𝑛(𝛾), 𝑧 = 0, para 0 ≤ 𝛾 ≤ 2𝜋. 𝑹𝒕𝒂: 𝟗𝝅 2) Sea el triángulo de vértices (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1). Comprobar el Teorema de Stokes para 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑦𝑧𝑖 + 𝑥𝑧𝑗 + 𝑥𝑦𝑘. 𝑹𝒕𝒂: 𝑪𝒐𝒎𝒑𝒓𝒖𝒆𝒃𝒆 3) Evaluar ∬ (∇ × 𝐹) ∙ 𝑑𝑆𝑆 , donde 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥2 + 𝑦 − 4)𝑖 + 3𝑥𝑦𝑗 + (2𝑥𝑧 + 𝑧2)𝑘 y S es la superficie 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 16, 𝑧 ≥ 0. a) Directamente. 𝑹𝒕𝒂: − 𝟏𝟔𝝅 b) Mediante el Teorema de Stokes. 𝑹𝒕𝒂: − 𝟏𝟔𝝅 4) Evaluar ∬ (∇ × 𝐹) ∙ 𝑑𝑆𝑆 , donde 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = [(𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘) × (𝑖 + 𝑗 + 𝑘)] y S es la porción de la superficie esférica 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 1 tal que 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ≥ 1. 𝑹𝒕𝒂: − 𝟒𝝅 √𝟑
  4. 4. Matemática IV. Ciclo 02/2015 Sección: 03 Guía-Problemas Jonathan λGreen. 5) Calcule, aplicando el teorema de Stokes, la integral: ∫ (𝑦 − 1)𝑑𝑥 + 𝑧2 𝑑𝑦 + 𝑦𝑑𝑧𝐶 , donde 𝐶: { 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧2 2 𝑧 = 𝑦 + 1 . 𝑹𝒕𝒂: − √𝟐𝝅 6) Calcule, utilizando el teorema de Stokes, la integral curvilínea: ∫ (2𝑥 + 𝑦 −𝐶 𝑧)𝑑𝑥 + (2𝑥 + 𝑧)𝑑𝑦 + (2𝑥 − 𝑦 − 𝑧)𝑑𝑧, siendo C una parametrización de la curva intersección de las superficies: 4𝑥2 + 4𝑦2 + 𝑧2 = 4 ˄ 2𝑥 − 𝑧 = 0. 𝑹𝒕𝒂: 𝟓𝝅 √𝟐 7) Calcule la integral ∫ 𝑦2 𝑑𝑥 + 𝑥𝑦𝑑𝑦 + 𝑥𝑧𝑑𝑧𝐶 , siendo C la curva intersección del cilindro 𝑥2 + 𝑦2 = 2𝑦 y el plano 𝑦 = 𝑧. a) Directamente. 𝑹𝒕𝒂: 𝟎 b) Aplicando el teorema de Stokes. 𝑹𝒕𝒂: 𝟎 8) Calcule el trabajo realizado por la fuerza 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑦 − 𝑧)𝑖 + (𝑧 − 𝑥)𝑗 + (𝑥 − 𝑦)𝑘, para trasladar un punto material sobre la curva cerrada C, siendo C una parametrización de la curva dada por las ecuaciones: 𝐶: { 𝑥2 + 𝑦2 = 4 𝑥 = 2 − 2𝑧 .Compruebe el resultado utilizando el teorema de Stokes. 𝑹𝒕𝒂: − 𝟏𝟐𝝅 9) Calcule la integral ∫ 2𝑦𝑧2 𝑑𝑥 + 𝑥𝑧2 𝑑𝑦 + 3𝑥𝑦𝑧𝑑𝑧𝐶 , siendo C la curva intersección de la esfera 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 4 y el paraboloide 𝑥2 + 𝑦2 = 3𝑧. a) Utilizando integral de línea. b) Aplicando el teorema de Stokes. 𝑹𝒕𝒂: 𝑪𝒐𝒎𝒑𝒓𝒖𝒆𝒃𝒆 10) Halle el flujo del rotacional del campo 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑧𝑖 + 𝑦𝑧𝑗 − (𝑥2 + 𝑦2 )𝑘, a través de la porción de la superficie 𝑧 = arctan ( 𝑦 𝑥 ) que se halla dentro del cono 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧2 , entre los planos 𝑧 = 0 𝑦 𝑧 = 3. a) Directamente. b) Utilizando el teorema de Stokes. 𝑹𝒕𝒂: 𝑪𝒐𝒎𝒑𝒓𝒖𝒆𝒃𝒆 Aplicaciones: flujo a través de una superficie. 1) Sea S la superficie cerrada formada por la semiesfera 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 1, 𝑧 ≥ 0 y su base 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 1, 𝑧 = 0. Sea también 𝐸(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑥𝑖 + 2𝑦𝑗 + 2𝑧𝑘 un campo eléctrico definido en ℝ3 . Hallar el flujo a través de S. 𝑹𝒕𝒂: 𝟒𝝅 2) Supongamos que el campo de velocidad de un fluido viene dado por 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑖 + 𝑥𝑗 + 𝑧𝑘, medido en metros por segundo. Calcular cuántos metros cúbicos de fluido por segundo cruzan la superficie descrita por 𝑥2 + 𝑦2 +𝑧2 = 1, 𝑧 ≥ 0. 𝑹𝒕𝒂: 𝟐𝝅 𝟑 𝒎 𝟑 𝒔
  5. 5. Matemática IV. Ciclo 02/2015 Sección: 03 Guía-Problemas Jonathan λGreen. 3) Determine el flujo térmico que ocurre en el cilindro dado por la ecuación 𝑥2 + 𝑦2 = 4, entre los planos 𝑧 = 1 ˄ 𝑧 = 4, si la temperatura del cuerpo en un momento dado esta dada por 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧. 𝑹𝒕𝒂: − 𝟒𝟖𝝅 4) Determine el flujo de fluido hacia afuera (alejándose del eje z) del campo de velocidades dado por 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘 , si además se sabe que la densidad de dicho fluido es 𝜌 = 𝑘, a través de la superficie del paraboloide 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 que se encuentra por debajo del plano 𝑧 = 1. 𝑹𝒕𝒂: − 𝟒𝒌𝝅 𝟑 5) Considere una carga puntual 𝑞, cuyo campo eléctrico está definido por 𝐸(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑞 4𝜋𝜀𝑟2 (𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘), cuando la carga se encuentra concéntrica con la superficie esférica. Determine el flujo eléctrico, hacia afuera, a través de la esfera de radio a. 𝑹𝒕𝒂: 𝒒 𝜺 Aplicaciones: circulación a través de una superficie. 1) Un fluido de densidad constante gira alrededor del eje z con velocidad 𝑉(𝑥, 𝑦) = 𝜔(−𝑦𝑖 + 𝑥𝑗), donde ω es una constante positiva llamada rapidez angular, muestre que la circulación del campo de velocidades es: ∮ 𝑽 ∙ 𝒅𝒓 = 𝟐𝝅𝝎𝒓 𝟐 𝑪 2) Calcular el trabajo producido por la fuerza 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = −𝑦3 𝑖 + 𝑥3 𝑗 − 𝑧3 𝑘, sobre la trayectoria recorrida en el sentido positivo, dada por la intersección de las superficies 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑎 ˄ 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑎2 . 𝑹𝒕𝒂: 𝟔𝝅𝒂 𝟒 𝟒 3) Calcular y comprobar la circulación del campo de velocidades de un fluido dado por 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) = arctan(𝑥2) 𝑖 + 3𝑥𝑗 + 𝑒3𝑧 tan(𝑧) 𝑘, a lo largo de la intersección de la esfera 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 4 ˄ 𝑥2 + 𝑦2 = 1, 𝑧 > 0. 𝑹𝒕𝒂: 𝟑𝝅 4) Sea el campo de fuerzas 𝐹(𝑥, 𝑦) = (2𝑥𝑦2 + 𝑦)𝑖 + (2𝑥2 𝑦 + 𝑥2 2 + 𝑥) 𝑗. Demostrar que en cualquier camino cerrado simétrico con respecto al eje y, la circulación es cero.

×