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V Bienal da SBMSociedade Brasileira de Matem´tica                             aUFPB - Universidade Federal da Para´       ...
Agradecimentos   Agrade¸o aos Deuses que inventaram os N´meros e as Formas.         c                                u    ...
Sum´rio   a1 Aritm´tica em Retas        e                                                                                 ...
Introdu¸˜o       caAs primeiras preocupa¸˜es matem´ticas do ser humano diziam respeito aos n´meros e `s formas. A Aritm´ti...
Observamos que os problemas lineares indeterminados que foram estudados desde a antiguidade, algebricamente, a            ...
1     Aritm´tica em Retas           eConsideremos os trˆs problemas a seguir, como motiva¸˜o inicial:                  e  ...
(xk , yk ) s˜o pontos inteiros da reta e a verdade ´ que estes s˜o todos os pontos inteiros da reta l.            a       ...
satisfazendo:                                                     b = cq + r.´ aE f´cil mostrar que:                      ...
yk−2 tais que bxk−2 + cyk−2 = rk−2 e tamb´m conhecemos xk−1 e yk−1 tais que bxk−1 + cyk−1 = rk−1 .                        ...
1.4.1    ´         Area de um paralelogramoUm paralelogramo no plano pode ser definido a partir de dois vetores v, w ∈ R2 ....
Se dois pol´              ıgonos simples possuem uma aresta de mesmo m´dulo e dire¸˜o, ent˜o podemos obter, a partir      ...
Todo triˆngulo horizontal ´ formado por concatena¸˜o de quadrados 1 × 1. Assim, se verificamos a f´rmula de           a    ...
4. (Proposto por Euler) Uma pessoa comprou cavalos e bois. Foram pagos 31 escudos por cavalo e 20 escudos    por boi e sab...
2     Aritm´tica em Cˆnicas           e         o2.1     Introdu¸˜o               caUma curva alg´brica plana em R2 ´ dada...
Podemos sumarizar o M´todo das Secantes e das Tangentes de Fermat da seguinte forma:                                 e  Se...
y   A parametriza¸˜o que queremos ´ φ−1 e para encontr´-la, basta fazer x+1 = t ⇒ y = t(x + 1) e lembrar                 c...
a procurar solu¸˜es que n˜o s˜o m´ltiplos, logo, na classe de solu¸˜es existe uma unica solu¸˜o inteira sem fatores       ...
Observa¸˜o 2.8. Poderia tamb´m ocorrer de m, n serem ambos ´        ca                   e                                ...
Teorema 2.10 (Hasse-Minkowski). Seja C ∈ R2 uma cˆnica com coeficientes racionais e C ⊂ P2 a curva                         ...
2.5.3     Hip´rboles             e (i) Existˆncia de ponto(s) racional(is).          e        Pelo Princ´                 ...
6. Mostre que se uma cˆnica com coeficientes racionais possuir uma reta tangente com coeficientes racionais,                ...
3     Reticulados no plano3.1     Reticulados e seus Dom´                              ınios FundamentaisA teoria de retic...
=< v >= {λv|λ ∈ R} (n˜o contido na reta). Afirmamos que G =< v, w >= {av + bw|a, b ∈ Z}. Com efeito, seja                  ...
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  1. 1. V Bienal da SBMSociedade Brasileira de Matem´tica aUFPB - Universidade Federal da Para´ ıba18 a 22 de outubro de 2010 ´ ˆ aritmetica em retas e conicas Rodrigo Gondim ∗ ∗ UFRPE, DM, Recife-PE, Brasil, e-mail: rodrigo.gondim.neves@gmail.com
  2. 2. Agradecimentos Agrade¸o aos Deuses que inventaram os N´meros e as Formas. c u Agrade¸o aos homens, de todas as civiliza¸˜es, que inventaram a Aritm´tica e a Geometria a `queles que desco- c co e abriram as conex˜es entre essas. o Agrade¸o ao Profesor Marcos Miguel, quem primeiramente me fez ver os N´meros e as Formas. c u Agrade¸o professor Antonio Carlos, quem me fez descobrir o fant´stico mundo da Aritm´tica. c a e Agrade¸o ao Professor Francesco Russo, quem me fez apaixonar pela Geometria e pela Geometria Aritm´tica. c e Agrade¸o ao Estudante Marco Mialaret Jr pelo empenho em estudar esses temas e por escrever, junto a mim, ca monografia que me levou a escrever essas notas. Agrade¸o aos amigos Hebe Cavalcanti, Tiago Duque, Gabriel Guedes e Gersonilo Silva pela leitura, cr´ c ıticas esugest˜es sobre o texto. o
  3. 3. Sum´rio a1 Aritm´tica em Retas e 6 1.1 Pontos Inteiros em Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 O Algoritmo Estendido de Euclides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Equa¸˜es diofantinas lineares . . . . co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 ´ 1.4 Areas VS Pontos Inteiros em Regi˜es o Poligonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 ´ 1.4.1 Area de um paralelogramo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4.2 O Teorema de Pick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.5 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Aritm´tica em Cˆnicas e o 14 2.1 Introdu¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2 O M´todo das Tangentes e das Secantes de Fermat . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3 Homogeneiza¸˜o e Deshomogeneiza¸˜o: Curvas Projetivas ca ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.4 O Princ´ ıpio Local-Global para as Cˆnicas . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.5 Uma vis˜o geral sobre a aritm´tica das cˆnicas . . . . . . a e o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.5.1 Elipses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.5.2 Par´bolas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.5.3 Hip´rboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.6 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 Reticulados no plano 22 3.1 Reticulados e seus Dom´ ınios Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.2 O Toro Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.3 Reticulados Inteiros no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.4 Teorema de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.5 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 Soma de dois Quadrados 28 4.1 Introdu¸˜o . . . . . . . . . ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.2 Pontos Inteiros VS Pontos Racionais em C´ ırculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.3 Inteiros de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4.4 Soma de Dois Quadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4.5 problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315 Equa¸˜es de Pell-Fermat co 32 5.1 Introdu¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 5.2 Inteiros Quadr´ticos de Pell-Fermat a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 5.3 Solu¸˜es da Equa¸˜o de Pell-Fermat co ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 5.4 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
  4. 4. Introdu¸˜o caAs primeiras preocupa¸˜es matem´ticas do ser humano diziam respeito aos n´meros e `s formas. A Aritm´tica (do co a u a egrego αριθµ´ς = n´mero) foi concebida como o estudo dos n´meros, em especial dos n´meros inteiros. A geometria ´ ø u u u(do grego γ ωµτ ρ´α = medi¸˜es da terra) ´ o estudo das formas - s˜o casos especiais as retas, os pol´ ι co e a ıgonos e ascˆnicas. Vamos tentar explicar do que se trata Aritm´tica em Retas e Cˆnicas. o e o H´ ind´ a ıcios hist´ricos de que os problemas aritm´ticos ocupavam um lugar central entre o conhecimento o ematem´tico em v´rias civiliza¸˜es antigas e medievais. Na ´ a a co India destacamos os matem´ticos Baudhayana (800 aAC), Apastamba (600 AC), Aryabhata e Bhaskara I (s´culo VI), Brahmagupta (s´culo VII), Mahaviara (s´culo e e eIX) e Bhaskara II (s´culo XII). Na Gr´cia antiga (per´ e e ıodo helen´ ıstico): Pit´goras (500 AC), Arquimedes (300 AC), aEuclides (300 AC), Diofanto (250). Na China Zhou Bi Suan (300 AC) e Ch’in Chiu-Shao. Citamos ainda osmatem´ticos Mul¸umanos Ibn al-Haytham (s´culos X-XI ), Kamal al-Dim al-Farisi (s´culos XIII-XIV). Todos esses a c e ematem´ticos estavam intensamente preocupados com quest˜es aritm´ticas e contribu´ a o e ıram para o desenvolvimentodeste ramo da Matem´tica. Os principais livros desse per´ a ıodo s˜o Os Elementos de Euclides (300 AC), Jiuzhang aSuanshu “Os nove cap´ ıtulos da Arte Matem´tica”(autor chinˆs desconhecido-300 AC), Aritm´tica de Diofanto(250) a e e ´e Brahma Sphuta Siddhanta de Brahmagupta(628) traduzido em Arabe(773) e Latin(1123). A motiva¸ao inicial do estudo da aritm´tica estava centrada em problemas concretos com solu¸˜es inteira. Os c˜ e comais dif´ ıceis desses problemas ficaram famosos por serem (ou parecerem ser) indeterminados. Consideremos, porsimplicidade, o seguinte exemplo:(Problema proposto por Euler) Um grupo de homens e mulheres gastaram, em uma taverna, 1000 patacas. Cadahomem gastou 19 patacas e cada mulher 13. Quantos eram os homens e quantas eram as mulheres? Nos s´culos XVII e XVIII nasce uma nova fase a partir dos trabalhos de Fermat, Euler, Gauss, Lagrange, Leg- eendre. Gauss, em seu memor´vel Disquisitiones Arithmeticae (1801) escreve : aThe celebrated work of Diophantus, dedicated to the problem of indeterminateness, contains many results whichexcite a more than ordinary regard for the ingenuity and proficiency of the author, because of their difficulty and thesubtle devices he uses, especially if we consider the few tools that he had at hand for his work... The really profounddiscoveries are due to more recent authors like those men of immortal glory P. de Fermat, L. Euler, L. Lagrange,A. M. Legendre (and a few others). Nessa nova fase foi o interesse intr´ ınseco na Aritm´tica que impulsionou as novas descobertas. eDe maneira parnasiana, a Aritm´tica passa a fazer “Matem´tica pela Matem´tica”e muitos de seus problemas, e a ade enunciado simples e intrigantes, n˜o tˆm conex˜o alguma com quest˜es concretas. Alguns desses problemas a e a oduraram s´culos at´ serem solucionados. Como, por exemplo o famoso e e ´ ´(Ultimo Teorema de Fermat, 1637) E imposs´ para um cubo ser escrito como a soma de dois cubos ou uma quarta ıvelpotˆncia ser escrita como a soma de duas quartas potˆncias ou, em geral, para qualquer n´mero que ´ uma potˆncia e e u e emaior que a segunda ser escrito como a soma de duas potˆncias com o mesmo expoente(demonstrado por Wiles, A. eem 1995) Dentro desse contexto, n˜o nos propomos fazer contextualiza¸˜es “artificiais”, uma vez que as mesmas parecem a coter efeito negativo, como dizia, hiperbolicamente, Maiakoviski em sua auto biografia “Eu mesmo”:Meus estudos: Mam˜e e primas de v´rios graus ensinavam-me. A aritm´tica parecia-me inveross´ a a e ımil. Era precisocalcular peras e ma¸˜s distribu´ ca ıdas a garotos. Contudo, eu sempre recebia e dava sem contar, pois no C´ucaso h´ a afrutas ` vontade. Foi com gosto que aprendi a ler. a
  5. 5. Observamos que os problemas lineares indeterminados que foram estudados desde a antiguidade, algebricamente, a ıceis, mas tamb´m milenares s˜o z 2 = x2 + y 2s˜o escritos da forma ax + by = c, com a, b, c ∈ Z. Outros, mais dif´ e a(estudados na India, China e Gr´cia) e x2 − dy 2 = 1 (estudados na ´ e India) ou xn + y n = z n (de Fermat). Elespossuem uma caracter´ ıstica em comum: todos s˜o “polinomiais”em v´rias vari´veis. a a a Chamamos Equa¸˜o Diofantina (em homenagem ao matem´tico Diofanto de Alexandria) uma equa¸˜o polino- ca a camial (em v´rias vari´veis) com coeficientes inteiros e da qual procuramos obter solu¸˜es inteiras (ou racionais). a a co O nosso enfoque ´ a liga¸˜o entre a Geometria e Aritm´tica, assim, para n´s, uma Equa¸˜o Diofantina em duas e ca e o cavari´veis representa uma curva no plano. Solu¸˜es inteiras (ou racionais) da Equa¸˜o Diofantina correspondem a a co capontos com coordenadas inteiras (ou racionais) na curva que chamaremos ponto inteiro (ou racional). O casamentoentre a Aritm´tica e a Geometria foi muito bem sucedido e Fermat foi um dos pioneiros na utiliza¸˜o de m´todos e ca egeom´tricos para resolver Equa¸˜es Diofantinas. e co Importantes quest˜es aritm´ticas de car´ter qualitativo s´ foram resolvidas gra¸as ` utiliza¸˜o de m´todos o e a o c a ca egeom´tricos (cada vez mais sofisticados). As principais quest˜es qualitativas que podem ser feitas neste contexto e os˜o: a (i) Existˆncia de pontos racionais; e (ii) Decis˜o entre a finitude ou infinitude do conjunto dos pontos racionais; a(iii) Existˆncia de pontos inteiros; e(iv) Decis˜o entre a finitude ou infinitude do conjunto dos pontos inteiros. a No caso das curvas as quest˜es (i), (ii) e (iv) j´ foram praticamente respondidas para grau menor ou igual a trˆs. o a eNo caso geral apenas as quest˜es (ii) e (iv) est˜o solucionadas, mas a matem´tica envolvida ´ muito avan¸ada. Para o a a e ccitar o importanto teorema de Faltings, G. que implica, em particular, que toda curva plana lisa com coefcientesinteiros e grau maior que 3 possui somente um n´mero finito de pontos racionais(1983). u Estaremos interessados em tratar alguns problemas aritm´ticos cl´ssicos com uma abordagem geom´trica el- e a eementar. Os problemas espec´ ıficos que abordaremos envolvem a procura de solu¸˜es inteiras (ou racionais) em coequa¸˜es polinomiais a duas vari´veis (com coeficientes inteiros) de graus um e dois. Geometricamente essas s˜o as co a aRetas e as Cˆnicas (da´ o nome do minicurso, Aritm´tica em Retas e Cˆnicas). o ı e oDaremos um tratamento um pouco mais geom´trico ao estudo das retas. No caso das cˆnicas, al´m de resultados e o egerais, faremos um estudo detalhado de dois problemas cl´ssicos espec´ a ıficos: Inteiros que s˜o Soma de dois Quadra- ados x2 + y 2 = n e as equa¸˜es de Pell-Fermatx2 − dy 2 = 1. Para tratar esses problemas introduziremos a teoria code Minkowski no plano, de maneira auto contida. Daremos referˆncias que seguem essa linha de racioc´ e ınio paraaqueles que quiserem dar continuidade ao estudo da assim chamada Geometria Aritm´tica. e
  6. 6. 1 Aritm´tica em Retas eConsideremos os trˆs problemas a seguir, como motiva¸˜o inicial: e caExemplo 1.1. Uma crian¸a afirma que suas 1000 bolinhas de gude puderam ser guardadas algumas em latas cgrandes com 65 bolinhas cada uma e outras em latas menores com 26 bolinhas cada uma, de modo que todas aslatas estavam completas. Reflita sobre a afirma¸˜o da crian¸a, procurando descobrir a quantidade de latas grandes ca ce a quantidade de latas pequenos.Exemplo 1.2. Um pai, no come¸o do ano letivo, teve que comprar livros e cadernos para seus filhos. Cada livro ccustou R$50, 00 e cada caderno R$17, 00. Sabendo que o pai gastou R$570, 00 determine a quantidade de livros ecadernos comprados.Exemplo 1.3. Um general decide dividir seu batalh˜o em colunas de 31 soldados e percebe que sobram 4 ent˜o a atentou dividi-los em colunas de 50 soldados cada, desta vez sobrou um unico soldado. Determine o n´mero de ´ usoldados deste batalh˜o sabendo que tal n´mero ´ menor que 1500. a u e Os trˆs s˜o problemas similares nos quais os m´todos alg´bricos elementares para resolvˆ-los, via equa¸˜es, se e a e e e codepara com um grande inconveniente: ¸˜ ´ UMA EQUACAO, DUAS INCOGNITAS Esse tipo de problema comumente ´ dito ser INDETERMINADO. Entretanto, o tipo de inc´gnita impl´ e o ıcitanestes problemas ´ inteira (e positiva)... e Geometricamente, uma equa¸˜o linear em duas inc´gnitas representa uma reta no plano, ou seja, todas as ca osolu¸˜es de um problema desses, no conjunto dos n´meros reais, correspondem a uma reta no plano. Se procuramos co usolu¸˜es inteiras destas equa¸˜es lineares, ent˜o estamos buscando pontos desta reta que est˜o situados sobre o co co a a 2 2reticulado inteiro do plano, Z ⊂ R .Problema 1.1. Mostre que o problema do exemplo 1.1 n˜o possui solu¸˜o inteira, ou seja, a crian¸a n˜o falava a a ca c averdade.1.1 Pontos Inteiros em RetasConsidere uma reta = {(x, y) ∈ R2 |bx + cy = a} com coeficientes inteiros a, b, c ∈ Z. Supondo que essa reta possuialgum ponto (x0 , y0 ) ∈ Z2 com coordenadas inteiras, ent˜o podemos concluir que a mesma possui uma infinidade ade pontos inteiros. Com efeito, se v = (c, −b) ´ um vetor diretor desta reta, ent˜o os pontos (xk , yk ) = (x0 + kc, y0 − kb) com k ∈ Z e as˜o pontos inteiros da reta. O problema consiste em determinar se esses s˜o todos os pontos inteiros da reta. E a a ´claro que se mdc(b, c) = d = 1, ent˜o devemos ter que d|a pois d|b e d|c implica que d|bx0 + cy0 = a. Em outras apalavras, as equa¸˜es em que d |a n˜o possuem solu¸˜o inteira. co a ca No caso em que d|a podemos escrever b = dβ, c = dγ e a = dα e encontrar uma nova equa¸˜o (simplificada) ca βx + γy = αque ´ uma equa¸˜o da mesma reta que possui um ponto inteiro (x0 , y0 ) ∈ Z2 . Um vetor diretor simplificado para e caesta reta ´ w = (γ, −β). Redefinindo (xk , yk ) = (x0 + kγ, y0 − kβ) em que k ∈ Z, conclu´ e ımos que todos os pontos
  7. 7. (xk , yk ) s˜o pontos inteiros da reta e a verdade ´ que estes s˜o todos os pontos inteiros da reta l. a e a Poder´ıamos pensar nesse processo como uma simplifica¸˜o do vetor diretor inteiro da reta . Com efeito, o vetor cadiretor de uma reta est´ definido a menos de m´ltiplo escalar (n˜o nulo) e, portanto, a menos de sentido, existe um a u aunico vetor diretor cujas coordenadas s˜o inteiros coprimos (supondo a existˆncia de um vetor diretor inteiro). Tal´ a evetor ser´ chamado o vetor inteiro irredut´ a ıvel.Proposi¸˜o 1.2. Seja l = {(x, y) ∈ R2 |bx + cy = a} uma reta com coeficientes inteiros a, b, c ∈ Z2 . Suponhamos caque a reta possua um ponto inteiro (x0 , y0 ) ∈ Z2 . Seja w = (−γ, β) o vetor diretor inteiro e irredut´ da reta l, ıvelent˜o todos os pontos inteiros da reta s˜o: a a (xk , yk ) = (x0 + kγ, y0 − kβ)em que k ∈ Z.Prova: ´ E claro que todos esses pontos s˜o pontos inteiros da reta, pois, a menos de sinal, w = v em que a d c bv = (c, −b) e d = mdc(b, c). Logo, bxk + cyk = bx0 + cy0 + b d − c d = bx0 + cy0 = 0, pois (x0 , y0 ) ∈ l. S´ nos resta omostrar que esses s˜o todos os pontos inteiros da reta. a Suponhamos, por absurdo, que exista um outro ponto inteiro em l, Q = (x∗ , y ∗ ) ∈ ∩ Z2 . Digamos que,no sentido de nossa parametriza¸˜o, esse ponto esteja entre os pontos inteiros Pk e Pk+1 . Isso d´ origem a dois ca atriˆngulos retˆngulos semelhantes com hipotenusa sobre a reta e catetos nas dire¸˜es horizontal e vertical. a a co P(k+1) Q P(k) J I O cateto horizontal do menor triˆngulo tem comprimento inteiro h < |γ| e o cateto vertical do menor triˆngulo a atem comprimento inteiro s < |β|. Por outro lado, pela proporcionalidade, temos que h |γ| = s |β| |γ|e isso ´ um absurdo pois os valores h, s, |γ| e |β| s˜o todos inteiros positivos e a fra¸˜o e a ca |β| ´ irredut´ pois, por e ıvelhip´tese, mdc(γ, β) = 1. oProblema 1.3. Encontre uma solu¸˜o particular do segundo problema, exemplo 1.2, e use a proposi¸˜o anterior ca capara encontrar todas as solu¸˜es inteiras e positivas do mesmo. (Ap´s parametrizar vocˆ deve impor que x > 0 e co o ey > 0.)1.2 O Algoritmo Estendido de EuclidesPrimeiramente, vamos relembrar o algoritmo de Euclides para o c´lculo de mdc de dois n´meros inteiros. Sejam a ub e c dois n´meros inteiros e suponhamos que b ≥ c > 0. Dividindo b por c obtemos quociente q e resto r, r < c u
  8. 8. satisfazendo: b = cq + r.´ aE f´cil mostrar que: mdc(b, c) = mdc(c, r).Mais precisamente, o conjunto dos divisores comuns de b e c coincide com o conjunto dos divisores comuns de ce r. De fato, se d|b e d|c, ent˜o d|r = b − cq e, reciprocamente, se d|c e d|r, ent˜o d|b = cq + r. Se procedermos, a aiteradamente, com este m´todo, como os restos v˜o diminuindo, ap´s um n´mero finito de itera¸˜es obtemos resto e a o u coigual a zero e ent˜o o algoritmo p´ra. Quando o resto for igual a zero, obtemos uma rela¸˜o de divisibilidade e|f a a caneste caso, mdc(e, f ) = e ´ igual ao ultimo divisor obtido. e ´Teorema 1.4. Algoritmo de Euclides Sejam b > c > 0 dois n´meros inteiros. Existe um algoritmo efetivo para encontrar o mdc(b, c) a partir de (um un´mero finito de) sucessivas divis˜es com resto. u oProva: Algoritmo Sejam r−1 = b, r0 = c e fa¸amos as divis˜es sucessivas de rk por rk+1 em que k = −1, 0, ..., n (em que n ´ o c o epasso em que o resto ´ zero). e rk = rk+1 qk+1 + rk+2 .Pelo anteriormente exposto mdc(rk , rrk+1 ) = mdc(rk+1 , rrk+2 ). O algoritmo funciona bem pois sempre temosrk > rk+1 e, como todos s˜o n˜o negativos(rk ≥ 0), ent˜o rn+1 = 0 para algum n. Nesse caso rn−1 = rn qn e, a a aportanto, mdc(rn−1 , rn ) = rn . Logo, mdc(b, c) = ... = mdc(rk , rk+1 ) = ... = mdc(rn−1 , rn ) = rn O algoritmo estendido de Euclides ´ um m´todo interativo de obter, para cada um dos restos encontrados no e ealgoritmo de Euclides, uma express˜o do tipo: a rk = bxk + cykna qual xk e yk s˜o inteiros. a O algoritmo estendido de Euclides nos permite demonstrar o seguinte teorema conhecido por Lema de B`zout: eTeorema 1.5. Algoritmo Estendido de Euclides - Lema de B`zout e Sejam b e c n´meros inteiros, b > c > 0, e seja d = mdc(b, c). Ent˜o existem inteiros x e y tais que: u a bx + cy = d.Al´m disso, os inteiros x e y podem ser efetivamente calculados a partir de um algoritmo finito. eProva: Com as mesmas nota¸˜es estabelecidas no teorema anterior, vamos proceder interativamente para de- coterminar xk e yk de modo que bxk + cyk = rk . Claramente, se k = −1, ent˜o podemos escolher x−1 = 1 e y−1 = 0 pois 1.b + 0.c = b. Se k = 0 podemos aescolher x0 = 0 e y0 = 1, pois 0.b + 1.c = c. Agora, suponhamos que k ≥ 1 e suponhamos que j´ conhecemos xk−2 , a
  9. 9. yk−2 tais que bxk−2 + cyk−2 = rk−2 e tamb´m conhecemos xk−1 e yk−1 tais que bxk−1 + cyk−1 = rk−1 . e Como rk ´ obtido a partir da divis˜o de rk−2 por rk−1 , temos: e a rk−2 = rk−1 qk−1 + rksubstituindo as express˜es anteriores para rk−2 e rk−1 , obtemos: o rk = b(xk−2 − qk−1 xk−1 ) + c(yk−2 − qk−1 yk−1 ).Assim, podemos escolher xk = xk−2 − qk−1 xk−1 e yk = yk−2 − qk−1 yk−1 . O algoritmo vai parar quando rn+1 = 0, e no passo anterior, temos, pelo teorema 1.4, que d = mdc(b, c) = rn = bxn + cyn .1.3 Equa¸oes diofantinas lineares c˜O teorema que exibiremos a seguir responde de uma vez por todas `s indaga¸˜es sobre a aritm´tica das retas e sua a co edemonstra¸˜o ´ uma leitura das se¸˜es anteriores. ca e coTeorema 1.6 (Euclides). Sejam a, b e c n´meros inteiros e defina d = mdc(b, c). Considere a equa¸ao diofantina u c˜linear: bx + cy = aEnt˜o temos: a 1. (i) Se d a, ent˜o a equa¸˜o dada n˜o tem solu¸˜o inteira; a ca a ca 2. (ii) Se d | a, ent˜o a equa¸˜o dada tem infinitas solu¸˜es inteiras e, al´m disso, o conjunto de pontos inteiros a ca co e pode ser parametrizado a partir de um ponto particular. Precisamente, fazendo a = dα, b = dβ e c = dγ a equa¸˜o fica da forma: ca βx + γy = α e dada uma solu¸˜o particular (x0 , y0 ) nos inteiros, ent˜o todas as outras solu¸˜es inteiras da equa¸˜o s˜o da ca a co ca a forma: x = x = x0 + γk k∈Z y = y0 − βkProva: A primeira parte ´ trivial. A segunda parte segue da proposi¸˜o 1.2 e do teorema 1.5. De fato, do e cateorema 1.5 conclu´ımos que a reta possui um ponto inteiro (um ponto inteiro pode ser determinado pelo algoritmoestendido de Euclides) e, pela proposi¸˜o 1.2, sabemos que se uma reta com coeficientes inteiros possui um ponto com cacoordenadas inteiras, ent˜o possui uma infinidade de pontos inteiros parametrizados a partir do ponto particular acom m´ltiplos inteiros do vetor diretor irredut´ u ıvel.1.4 ´ Areas VS Pontos Inteiros em Regi˜es Poligonais oExistem muitas formas de calcular a ´rea de um pol´ a ıgono no plano. Vamos apresentar duas delas: a primeiravia determinantes e a segunda, ser´ o teorema de Pick, que fornece uma maneira combinat´ria de calcular ´rea a o a ıgonos no plano cujos v´rtices pertencem ao “reticulado padr˜o” Z2 ⊂ R2 , ou seja, seus v´rtices possuemde pol´ e a ecoordenadas inteiras. A f´rmula de Pick fornece uma rela¸˜o entre a ´rea de um pol´ o ca a ıgono simples e o n´mero de upontos inteiros em seu interior e em sua fronteira.
  10. 10. 1.4.1 ´ Area de um paralelogramoUm paralelogramo no plano pode ser definido a partir de dois vetores v, w ∈ R2 . Seus v´rtices ser˜o 0, v, w e e av + w. Se considerarmos estes vetores como vetores espaciais (com a ultima coordenada nula), estamos fazendo a ´ 2 ∼identifica¸˜o R = {(x, y, z) ∈ R |z = 0}. Agora, podemos usar o produto vetorial do R3 para calcular a ´rea do ca 3 aparalelogramo, verifica-se facilmente que ˆ v × w = det(v, w)k = (0, 0, det(v, w)).Ou seja, a ´rea de um paralelogramo no plano gerado pelos vetores v e w ´ a e A = ||v × w|| = | det(v, w)|. Nessa nota¸ao, det(v, w) ´ o determinante da matriz quadrada de ordem 2 cujas linhas s˜o, respectivamente, as c˜ e acoordenadas de v e w. Sejam v ∈ Z2 ⊂ R2 , v = (a, b) e d = mdc(a, b). Vamos dar uma interpreta¸˜o geom´trica do n´mero d em ca e u 2termos de ´rea de parelogramos no plano. Considere o seguinte conjunto ∆(v) = {det(v, w)|w ∈ Z }, ent˜o temos a ao seguinteTeorema 1.7. Sejam v ∈ Z2 ⊂ R2 , v = (a, b), d = mdc(a, b) e ∆(v) = {det(v, w)|w ∈ Z2 }. Ent˜o: a ∆(v) = dZ = {dm|m ∈ Z}.Ou seja, o mdc entre as coordenadas do vetor v representa a menor ´rea de um paralelogramo com v´rtices inteiros a etendo v como um dos lados.Prova: Ora, ∆(v) = {det(v, w)|w ∈ Z2 } = {ax + by|x, y ∈ Z} = dZO resultado segue diretamente do lema de B`zout, 1.5. e1.4.2 O Teorema de PickO teorema de Pick fornece uma maneira combinat´ria de calcular a ´rea de um pol´ o a ıgono simples com v´rtices einteiros. A f´rmula de Pick envolve o n´mero de pontos inteiros na fronteira do pol´ o u ıgono e o n´mero de pontos uinteiros no interior do pol´ ıgono. No presente contexto a f´rmula de Pick pode ser interpretada como uma forma de oencontrar o n´mero de pontos inteiros no interior do pol´ u ıgono.Defini¸˜o 1.8. Um pol´ ca ıgono plano ´ dito ser simples se n˜o possuir “furos”e se suas arestas s´ se intersectarem e a onos v´rtices. Um pol´ e ıgono simples pode ser cˆncavo ou convexo. oTeorema 1.9. (Pick) Sejam P ⊂ R2 um pol´ ıgono simples cujos v´rtices pertencem a Z2 (pontos do plano com ecoordenadas inteiras). Defina F o n´mero de pontos inteiros na fronteira de P (v´rtices e arestas) e I o n´mero u e ude pontos inteiros no interior de P. Ent˜o a ´rea do pol´ a a ıgono P ´e 1 A(P) = F +I −1 2Prova: Defina o n´mero de Pick de um pol´ u ıgono simples P com v´rtices inteiros por: e 1 P ick(P) = F + I − 1. 2
  11. 11. Se dois pol´ ıgonos simples possuem uma aresta de mesmo m´dulo e dire¸˜o, ent˜o podemos obter, a partir o ca adeles, um novo pol´ ıgono identificando essa aresta e deletando-a, o pol´ ıgono assim obtido ´ o que chamaremos a econcatena¸˜o dos pol´ ca ıgonos iniciais P = P1 P2 . P2 P1 Vamos mostrar que o n´mero de Pick ´ aditivo por concatena¸˜o. Sejam Pi , i = 1, 2 dois pol´ u e ca ıgonos simplescom v´rtices inteiros e com uma aresta de mesmo m´dulo e dire¸˜o. E sejam Fi e Ii , respectivamente, o n´mero de e o ca upontos inteiros na fronteira e no interior do pol´ ıgono Pi , i = 1, 2. Digamos que o segmento comum, na concatena¸˜o capossui k + 2 pontos inteiros. O n´mero de pontos inteiros no interior da concatena¸˜o ´ u ca e I = I1 + I2 + kpois, ap´s a concatena¸˜o, os k v´rtices (n˜o terminais) da aresta deletada v˜o pertencer ao interior do pol´ o ca e a a ıgonoP = P1 ⊕ P2 . O n´mero de pontos inteiros na fronteira da concatena¸˜o ´ u ca e F = F1 + F2 − 2(k + 2) + 2pois somando os pontos de fronteira de P1 e P2 e subtraindo duas vezes os pontos inteiros da aresta deletada s´ ofaltam os terminais da aresta deletada para completar os pontos inteiros na fronteira de P. Calculando o n´mero de Pick de P, temos: u 1 P ick(P) = (F1 + F2 − 2(k + 2) + 2) + I1 + I2 + k = P ick(P1 ) + P ick(P2 ). 2 Agora note que todo pol´ ıgono simples no plano pode ser subdividido em triˆngulos de modo que o v´rtice de a ecada triˆngulo seja algum v´rtice do pol´ a e ıgono. Assim, todo pol´ıgono com v´rtices inteiros pode ser subdividido em etriˆngulos com v´rtices inteiros. Pelo resultado de aditividade por concatena¸˜o, podemos nos reduzir ao caso de a e catriˆngulos com v´rtices inteiros para provar o teorema de Pick. a e Todo triˆngulo com v´rtices inteiros pode ser inscrito em um retˆngulo horizontal com v´rtices inteiros. Assim a e a epodemos nos reduzir aos triˆngulos retˆngulos horizontais ou melhor, aos pr´prios retˆngulos horizontais. a a o a
  12. 12. Todo triˆngulo horizontal ´ formado por concatena¸˜o de quadrados 1 × 1. Assim, se verificamos a f´rmula de a e ca oPick em quadrados 1 × 1, ent˜o vale o teorema de Pick em geral a Para um quadrado 1 × 1 temos: A = 1, F = 4, I = 0, e efetivamente, 1 1 A=1= .4 + 0 − 1 = F + I − 1. 2 2Observa¸˜o 1.10. Ver, por exemplo, Lages Lima, E. [9]. A se¸˜o intitulada Como calcular a ´rea de um pol´ ca ca a ıgonose vocˆ sabe contar e Como hav´ ıamos dito queremos olhar para a f´rmula de Pick de outra forma: o 1 I =A− F +1 2E sabemos que a ´rea pode ser calculada de v´rias formas. Gostar´ a a ıamos de terminar essa se¸˜o mostrando como cacalcular F de maneira instantˆnea. aProposi¸˜o 1.11. Seja P = A0 A1 A2 ...An−1 An , com An = A0 , um pol´ ca ıgono simples no plano com v´rtices inteiros, e −−→ −−isto ´, Ai ∈ Z. Defina vi = Ai−1 Ai = (ai , bi ) e di = mdc(ai , bi ). Ent˜o o n´mero de pontos inteiros na fronteira de e a u nP ´F = e di . i=1Prova: Primeiramente lembramos que, a partir do argumento utilizado na proposi¸˜o 1.2, um segmento de ca − −→reta P Q com P, Q ∈ Z2 tal que v = P Q = (a, b) com mdc(a, b) = 1, ent˜o n˜o existe ponto inteiro no interior do a asegmento. Verifique na figura!!! − −→ Sejam P, Q ∈ Z2 ⊂ R2 e v = P Q = (a, b) dois v´rtices consecutivos do pol´ e ıgono, ent˜o o n´mero de pontos a uinteiros na aresta P Q ´ igual a d+1 em que d = mdc(a, b). Com efeito, basta dividir o segmento P Q em d segmentos ecujo vetor que o representa tenha coordenadas inteiros coprimos. Para concluir note que cada aresta Ai−1 Ai do pol´ıgono vai possuir, em seu interior(sem contar os v´rtices), edi − 1 pontos inteiros. Logo o n´mero de pontos inteiros na fronteira do pol´ u ıgono ser´ a n di − n + n i=1−n corresponde a −1 para cada aresta e +n corresponde aos v´rtices do pol´ e ıgono.1.5 Problemas 1. Vocˆ possui muitos palitos com 6cm e 7cm de comprimento. Qual o n´mero m´ e u ınimo de palitos que vocˆ e precisa utilizar para fazer uma fila de palitos com comprimento total de 2 metros? 2. (Problema proposto por Mahavira, 850) 5 pilhas de frutas mais duas frutas foram divididas (igualmente) entre 9 viajantes; seis pilhas mais quatro foram divididas por 8; quatro pilhas mais 1 foram divididas por 7. Determine o menor n´mero poss´ de frutas em cada pilha. u ıvel 3. (Problema proposto por Bhaskara 1; S´culo VI) Encontre o menor n´mero natural que deixa resto 1 quando e u dividido por 2,3,4,5,6 mas ´ exatamente divis´ por 7. e ıvel
  13. 13. 4. (Proposto por Euler) Uma pessoa comprou cavalos e bois. Foram pagos 31 escudos por cavalo e 20 escudos por boi e sabe-se que todos os cavalos custaram 7 escudos a mais do que todos os bois.Quantos cavalos e quantos bois foram comprados? 5. (Problema do s´culo XVI) Um total de 41 pessoas entre homens, mulheres e crian¸as foram a um banquete e e c juntos gastaram 40 patacas. Cada homem pagou 4 patacas, cada mulher 3 patacas e cada crian¸a um ter¸o c c de pataca. Quantos homens, quantas mulheres e quantas crian¸as havia no banquete? c 6. Na Russia a moeda se chama rublo. Existem notas de 1, 3 e 5 rublos. Mostre que n˜o ´ poss´ pagar 25 a e ıvel rublos com exatamente 10 notas com os valores citados. 7. Prove que toda quantia inteira maior ou igual a R$4, 00 pode ser paga utilizando notas de R$2, 00 e R$5, 00. 8. Sejam a, b, c ∈ Z n´meros inteiros positivos e suponha que a ≥ bc. Mostre que a equa¸˜o u ca bx + cy = a possui solu¸˜o inteira n˜o negativa (m, n) ∈ Z, m, n ≥ 0 ca a 9. Dado v ∈ Z2 ⊂ R2 , v = (a, b), com mdc(a, b) = 1, mostre que existe w = (c, d) ∈ Z2 ⊂ R2 tal que o paralelogramo gerado por v e w n˜o possui ponto inteiro em seu interior. a10. Prove que todo pol´ ıgono simples com v´rtices inteiros possui ´rea cujo dobro ´ um n´mero inteiro. e a e u11. Mostre que um triˆngulo plano com v´rtices inteiros tem ´rea m´ a e a ınima A = 1 se, e somente se, o triˆngulo 2 a n˜o possui ponto inteiro no seu interior. Mostre que de fato essa ´ a ´rea m´ a e a ınima. 112. Mostre que no plano existem triˆngulos com v´rtices inteiros de ´rea m´ a e a ınima A = 2 com per´ ımetro arbitrari- amente grande.13. Um agricultor possui um terreno poligonal e deseja plantar p´s de milho em seu interior. Suponhamos que, e ap´s uma escolha de eixos coordenados os v´rtices do pol´ o e ıgono e os p´s de milho v˜o corresponder a pontos e a com coordenadas inteiras. Determinar o n´mero de p´s de milho que podem ser plantados supondo que os u e v´rtices do pol´ e ıgono s˜o: A = (0, 0, ), B = (8, 0), C = (15, 10), D = (12, 20), E = (10, 15) e F = (0, 10). a
  14. 14. 2 Aritm´tica em Cˆnicas e o2.1 Introdu¸˜o caUma curva alg´brica plana em R2 ´ dada como o conjunto solu¸˜o de uma equa¸˜o polinomial em duas vari´veis. e e ca ca a C = {(x, y) ∈ R2 | f (x, y) = 0} E consideramos que esse conjunto ´ n˜o vazio e n˜o consiste de um n´mero finito de pontos. Chamamos cˆnica e a a u oa uma curva alg´brica plana definida por um polinˆmio de grau dois. N˜o estaremos interessados no caso em que e o ao polinˆmio seja redut´ o ´ ıvel, pois, nesse caso seu conjunto de zeros ser´ um par de retas. E muito conhecido, da ageometria anal´ ıtica b´sica, que as unicas cˆnicas irredut´ a ´ o ıveis s˜o: par´bola, hip´rbole e elipse. a a e As formas canˆnicas com coeficientes inteiros das cˆnicas s˜o as seguintes: o o a 1. Par´bolas a C = {(x, y) ∈ R2 | ax2 + by = 0} a=0eb=0 2. Hip´rboles e C = {(x, y) ∈ R2 | ax2 − by 2 = c} a, b, c > 0 3. Elipses C = {(x, y) ∈ R2 | ax2 + by 2 = c} a, b, c > 0 4. C´ ırculos S˜o elipses especiais para as quais a = b a C = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 = r2 }Observa¸˜o 2.1. Quando estamos interessados no conjunto de pontos racionais de uma cˆnica, ent˜o podemos ca o aefetivamente nos reduzir ` sua forma canˆnica. De fato, o m´todo de diagonaliza¸˜o de uma forma quadr´tica a o e ca afunciona sobre qualquer corpo de caracter´ ıstica diferente de 2. Entretanto n˜o ´ verdade o mesmo sobre os inteiros! Estaremos, de fato, fazendo uma simplifica¸˜o ao supor a e cauma cˆnica na forma canˆnica para tratar de quest˜es sobre seu conjunto de pontos inteiros. o o o2.2 O M´todo das Tangentes e das Secantes de Fermat eNessa Se¸˜o vamos apresentar o M´todo das Tangentes e das Secantes de Fermat. Tal m´todo foi utilizado por ca e eFermat em cˆnicas e c´bicas, por motiva¸˜es aritm´ticas. Explicaremos o m´todo somente para as cˆnicas. o u co e e o Para encontrar a interse¸˜o de uma reta e uma cˆnica devemos resolver o sistema de equa¸˜es em duas vari´veis ca o co aconsistindo de uma equa¸˜o linear e uma quadr´tica. Substituindo y = mx + n, a equa¸˜o da reta, na equa¸˜o da ca a ca cacˆnica, o sistema fica reduzido a uma equa¸˜o do segundo grau em uma unica vari´vel. Digamos que a equa¸˜o do o ca ´ a casegundo grau seja ax2 + bx + c = 0. Se a reta e a cˆnica possuem coeficientes racionais, ent˜o a, b, c ∈ Q. Sabemos que as ra´ o a ızes da equa¸˜o do casegundo grau fornece abcissas dos pontos de interse¸˜o. Se temos uma raiz racional, ent˜o a outra raiz ser´ tamb´m ca a a e cracional (pois o produto das ra´ ´ igual a a , que ´ racional). Verifique!!! ızes e e
  15. 15. Podemos sumarizar o M´todo das Secantes e das Tangentes de Fermat da seguinte forma: e Sejam C uma cˆnica, P ∈ C e uma reta que n˜o passa por P = P1 . Seja ˜ a reta paralela a o a passando por PeC∩ ˜ = {P1 , P2 } (n˜o necessariamente distintos) ent˜o a fun¸˜o: a a ca φ : C {P1 , P2 } −→ Q → P Q ∩ = R(Q) ´ invers´ e ıvel, sendo sua inversa a seguinte fun¸˜o: ca φ−1 : −→ C {P1 , P2 } R → P R ∩ C = Q(R) R(Q) Q P Q(R) RTeorema 2.2. Seja C ⊂ R2 uma cˆnica com coeficientes racionais. Suponhamos que o conjunto dos pontos oracionais de C seja n˜o vazio, ent˜o a cˆnica C possui uma infinidade de pontos racionais. a a oProva: Basta utilizar o M´todo das Tangentes e das Secantes de Fermat. e Consideremos, agora dois exemplos: o primeiro fornece uma parametriza¸˜o do c´ ca ırculo unit´rio (sem usar senos ae cossenos).Exemplo 2.1. Seja C = {(x, y) ∈ R2 | x2 +y 2 = 1}. Usaremos o ponto P0 = (−1, 0) e a reta = OY = {(0, t)|t ∈ R}para aplicar o M´todo de Fermat: e φ : C {P } −→ Q → PQ ∩ y (x, y) → (0, x+1 ) t y 1 x
  16. 16. y A parametriza¸˜o que queremos ´ φ−1 e para encontr´-la, basta fazer x+1 = t ⇒ y = t(x + 1) e lembrar ca e aque x2 + y 2 = 1. Da´ segue que (t2 + 1)x2 + (2t2 )x + (t2 − 1) = 0 e como x0 = −1 ´ uma raiz desta equa¸˜o ı e ca 2 2(correspondente ao ponto P0 = (−1, 0)) e o produto das ra´ ızes ´ t2 −1 obtemos para a outra raiz xt = 1−t2 e t +1 1+t 2tsubstituindo temos yt = 1+t2 . Logo, φ−1 : −→ C {P } Q → PQ ∩ C 1−t2 2t (0, t) → ( 1+t2 , 1+t2 )Exemplo 2.2. Considere agora o c´ ırculo C = {(x, y) ∈ R2 |x2 + y 2 = 2}. Um ponto racional nesse c´ ırculo ´ (1, 1). eConsidere a fam´ de retas passando por esse ponto: t : y − 1 = t(x − 1), se t ∈ Q, ent˜o cada uma dessas retas ´ ılia a esecante ao c´ ırculo em um outro ponto racional Pt . Mostre que todos os outros pontos racionais desse c´ ırculo s˜o: a t2 − 2t − 1 −t2 − 2t + 1 ( , ). t2 + 1 t2 + 1Teorema 2.3. Seja C ⊂ R2 a cˆnica de equa¸˜o ax2 + by 2 = c com a, b, c ∈ Q. Se P0 = (x0 , y0 ) ´ um ponto o ca eracional de C, ent˜o todos os outros pontos racionais de C s˜o da forma a a bt2 x0 − 2bty0 − ax0 −bt2 y0 − 2atx0 + ay0 ( , ) bt2 + a bt2 + aem que t ∈ Q, bt2 + a = 0, exceto (x0 , −y0 ). Ou seja, o conjunto dos pontos racionais de C pode ser parametrizadoa partir de P0 .Prova: Considere a fam´ de retas passando por P0 , t : y − y0 = t(x − x0 ). Para cada parˆmetro racional ılia at ∈ Q, a reta t possui coeficientes racionais e, portanto, essa reta ser´ secante ` cˆnica C em um outro ponto a a oracional Pt = (xt , yt ) (argumento de Fermat). Substituindo a equa¸˜o da reta y = y0 + t(x − x0 ) na equa¸˜o da ca cacˆnica obtemos uma equa¸˜o do segundo grau: o ca (a + bt2 )x2 + ( )x + x0 (bt2 x0 − 2bty0 − ax0 ) = 0o produto das ra´ ızes dessa equa¸˜o ´: ca e x0 (bt2 x0 − 2bty0 − ax0 ) x0 xt = , a + bt2da´ seguem as express˜es de xt e yt . ı oObserva¸˜o 2.4. A partir do teorema acima podemos obter uma parametriza¸˜o de qualquer cˆnica utilizando, ca ca oapenas, fun¸˜es racionais. O ponto central em nossa abordagem era encontrar solu¸˜es racionais. Caso o objetivo co coseja encontrar uma parametriza¸˜o utilizando fun¸˜es racionais, ent˜o o ponto inicial pode ser tomado como um ca co aponto qualquer (x0 , y0 ) ∈ R2 . Observamos ainda que as par´bolas s˜o triviais uma vez que sua equa¸˜o fornece a a caimediatamente uma parametriza¸˜o. ca2.3 Homogeneiza¸˜o e Deshomogeneiza¸˜o: Curvas Projetivas ca caUm polinˆmio em mais de uma vari´vel ´ dito ser homogˆneo se todos os seus monˆmios s˜o de mesmo grau, digamos o a e e o a nn. Sua propriedade fundamental ´ que F (λP ) = λ F (P ), assim sendo, se λ = 0 ent˜o: F (P ) = 0 ⇔ F (λP ) = 0. e a Suponhamos, agora, que o polinˆmio F possua coeficientes racionais e vamos nos concentrar em procurar solu¸˜es o coracionais. Pelo exposto, quando estamos procurando solu¸˜es de um polinˆmio homogˆneo, podemos nos reduzir co o e
  17. 17. a procurar solu¸˜es que n˜o s˜o m´ltiplos, logo, na classe de solu¸˜es existe uma unica solu¸˜o inteira sem fatores co a a u co ´ cacomuns(a menos de sinal). ´ E bastante natural considerar a seguinte rela¸˜o de equivalˆncia em R3 {0}: v ≡ w ⇔ v = λw com λ = 0. ca eDefini¸˜o 2.5. O Plano projetivo P2 (R) ´ definido como o conjunto quociente do R3 pela rela¸˜o de equivalˆncia ca e ca ede m´ltiplos n˜o nulos. Se a classe de v = (X, Y, Z) possuir z = 0, ent˜o (X, Y, Z) ≡ (x, y, 1) caso contr´rio dizemos u a a aque o mesmo representa um ponto no infinito, assim P2 (R) = R2 ∪ ∞em que ∞ representa a “reta no infinito”(dos pontos no infinito) que corresponde a P1 (R). Se f (x, y) ´ um polinˆmio em duas vari´veis de grau (m´ximo) n podemos a partir de f obter um polinˆmio e o a a o X Yhomogˆneo F (X, Y, Z) fazendo x = Z e y = Z e cancelando denominadores. Observe que como estamos interessados eem fazer F (X, Y, Z) = 0 ´ permitido cancelar denominadores. eDefini¸˜o 2.6. Seja f (x, y) um polinˆmio em duas vari´veis com coeficientes reais e C ⊂ R2 a curva associada. O ca o apolinˆmio homogˆneo F , associado a f ´ chamado homogeneiza¸˜o de f e C ⊂ P2 a curva projetiva associada. o e e caProposi¸˜o 2.7. Seja f (x, y) um polinˆmio com coeficientes racionais e F (X, Y, Z) a homogeneiza¸˜o de f . Existe ca o cauma bije¸˜o entre as solu¸˜es racionais de f e as solu¸˜es inteiras, sem fator comum e com Z = 0 de F (a menos ca co code sinal).Prova: Observe que a cada solu¸˜o racional em f (x, y) = 0 obtemos uma unica solu¸˜o em inteiros coprimos de ca ´ caF (X, Y, Z) = 0 (a menos de sinal). Basta multiplicar (x, y, 1) pelo mmc das fra¸˜es irredut´ co ıveis que determinam x, y. Reciprocamente, se F (X, Y, Z) ´ um polinˆmio homogˆneo em trˆs vari´veis, podemos a partir de F obter um e o e e apolinˆmio f (x, y) fazendo X = xZ e Y = yZ e cancelando Z n . Observamos que a a cada solu¸˜o em inteiros de o caF (X, Y, Z) = 0, com Z = 0, obtemos uma solu¸˜o racional de f (x, y) = 0. caExemplo 2.3. Ternas Pitag´ricas o Um problema milenar, conhecido por “ternas pitag´ricas”, consiste em encontrar solu¸˜es em inteiros para a o coequa¸˜o de Pit´goras, a2 = b2 + c2 , isto ´, encontrar triˆngulos retˆngulos com lados inteiros. Inicialmente vamos ca a e a aconsiderar o caso em que a, b e c s˜o coprimos, isto ´, mdc(a, b, c) = 1 que implica, por sua vez, mdc(a, b) = a emdc(a, c) = mdc(b, c) = 1. Para encontrar a solu¸˜o geral basta multiplicar por um inteiro arbitr´rio. ca a 2 Dividindo a equa¸˜o por a2 , quando a = 0, obtemos a + a 2 = 1, isto ´, x2 + y 2 = 1. Desta feita, procuramos, ca b c eagora, pontos racionais no c´ ırculo unit´rio. Sabemos que todos os pontos racionais no c´ a ırculo unit´rio, exceto a 1−t2 2t(−1, 0), podem ser parametrizados da forma ( 1+t2 , 1+t2 ) conforme visto no exemplo 2.1. m Suponhamos, agora que t = n, com mdc(m, n) = 1. Substituindo, obtemos: b n2 − m 2 c 2mn = 2 , = 2 . a n + m2 a n + m2 ımpares, temos mdc(n2 − m2 , n2 + m2 ) = 1 (m, n Como mdc(a, b) = mdc(a, c) = 1, e b e c n˜o podem ser ambos ´ atem paridades distintas) nesse caso a = m2 + n2 , b = n2 − m2 , c = 2mn.Alguns exemplos de ternas pitag´ricas s˜o (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25), ... o a
  18. 18. Observa¸˜o 2.8. Poderia tamb´m ocorrer de m, n serem ambos ´ ca e ımpares. Nesse caso mdc(n2 − m2 , n2 + m2 ) = 2e da´ ı m2 + n2 n2 − m 2 a= ,b = , c = mn. 2 2Fazendo m + n = 2u e n − m = 2v (que ´ sempre poss´ pois a soma e a diferen¸a de dois ´ e ıvel c ımpares ´ sempre par), eobtemos a = u2 + v 2 , b = 2uv, c = u2 − v 2 .2.4 O Princ´ ıpio Local-Global para as Cˆnicas oO princ´ıpio Local-Global, de Hasse-Minkowski, fornece uma caracteriza¸˜o das formas quadr´ticas (homogˆneas) ca a ecom coeficientes racionais (inteiros) que possuem algum ponto racional (n˜o nulo). Ap´s tal caracteriza¸˜o ´ poss´ a o ca e ıvelresolver o problema algoritmicamente, isto ´, dada uma forma quadr´tica ´ poss´ e a e ıvel, ap´s um n´mero finito de pas- o usos, descobrir quando a mesma possui algum ponto racional. A formula¸˜o geral do princ´ ca ıpio exige a defini¸˜o de can´meros p-´dicos e n˜o ´ nosso objetivo. Vamos primeiramente mostrar, com um exemplo, que existem cˆnicas que u a a e on˜o possuem pontos racionais e enunciar, posteriormente uma vers˜o do princ´ a a ıpio local-global para as cˆnicas. o Analisemos o seguinte exemplo, pr´ximo ao exemplo das ternas pitag´ricas. Vamos ver que uma ligeira modi- o ofica¸˜o nos coeficientes de uma cˆnica pode trazer resultados catastr´ficos (mas interessantes). Nesse caso a cˆnica ca o o oem quest˜o n˜o possui ponto racional. a aExemplo 2.4. Analisemos o conjunto dos pontos racionais do c´ ırculo C = {(x, y) ∈ R2 |x2 + y 2 = 3}ou equivalentemente, as solu¸˜es n˜o nulas, em inteiros, da equa¸˜o homogeneizada: co a ca X 2 + Y 2 = 3Z 2 ,podemos supor que se houver solu¸˜o em inteiros mdc(X, Y, Z) = 1. Fazendo a divis˜o euclidiana (com resto) de ca acada um deles por 3, obtemos   X ˜ = 3X + a  Y ˜ = 3Y + b   Z ˜ = 3Z + c. Substituindo na equa¸˜o original notamos que a2 + b2 − 3c2 deve ser m´ltiplo de 3 mas como a, b, c ∈ {0, 1, 2} ca uchegamos a conclus˜o (ap´s alguns testes) que a = b = 0 e, portanto, X e Y deveriam ser m´ltiplos de 3 mas isso a o uobrigaria que 3Z 2 fosse m´ltiplo de 9 e isto s´ seria poss´ se Z fosse tamb´m m´ltiplo de 3 e isto ´ um absurdo u o ıvel e u euma vez que supomos que mdc(X, Y, Z) = 1. Esta contradi¸˜o foi proveniente da nossa (falsa) hip´tese de existˆncia de alguma solu¸˜o em inteiros n˜o ca o e ca a 2 2 2nulos de X + Y = 3Z , assim podemos concluir que tal equa¸˜o n˜o possui solu¸˜o n˜o nula em inteiros e ca a ca aconseq¨entemente, a nossa curva C n˜o possui ponto racional. u aObserva¸˜o 2.9. A estrat´gia utilizada para mostrar que a equa¸˜o n˜o possui solu¸˜o inteira n˜o nula ´ chamada ca e ca a ca a eDescida Infinita de Fermat. Essa estrat´gia ´ baseada no princ´ e e ıpio da Boa Ordena¸˜o. A filosofia geral da “descida cainfinita de Fermat”´ a seguinte: se supomos que existem solu¸˜es inteiras positivas, podemos escolher uma minimal e co(em um sentido a determinar) e, a partir desta encontrar outra “menor”, ent˜o n˜o existe solu¸˜o inteira. No nosso a a cacaso a minimalidade dizia respeito a n˜o existir fator comum entre as coordenadas da solu¸˜o. a ca Em geral temos o seguinte teorema de Hasse-Minkowski que determina quando uma cˆnica possui ponto racional. o
  19. 19. Teorema 2.10 (Hasse-Minkowski). Seja C ∈ R2 uma cˆnica com coeficientes racionais e C ⊂ P2 a curva oprojetiva associada (com coeficientes inteiros). Uma condi¸˜o necess´ria e suficiente para a existˆncia de um ponto ca a eracional em C ´ que a sua equa¸˜o homogeneizada possua solu¸˜o m´dulo pe para todo natural primo p e para cada e ca ca oe > 0.2.5 Uma vis˜o geral sobre a aritm´tica das cˆnicas a e o2.5.1 Elipses (i) Existˆncia de ponto(s) racional(is). e Pelo Princ´ ıpio Local-Global para as Cˆnicas, Teorema 2.10 o problema ´ algor´ o e ıtmico. Daremos uma descri¸˜oca completa para as circunferˆncias, independente do Teorema de Hasse-Minkowski, no cap´ e ıtulo intitulado Soma de Dois Quadrados. (ii) Decis˜o entre a finitude ou infinitude do conjunto dos pontos racionais. a Pelo teorema 2.2, se a cˆnica C possui um ponto racional, ent˜o possui infinitos. Al´m disso, se co-nhecemos o a e um deles, ent˜o ´ poss´ parametrizar todos, pelo teorema 2.3. a e ıvel(iii) Existˆncia de ponto(s) inteiro(s) e Muito dif´ em geral, faremos uma an´lise detalhada do caso do c´ ıcil, a ırculo no cap´ ıtulo intitulado Soma de Dois Quadrados.(iv) Decis˜o entre a finitude ou infinitude do conjunto dos pontos inteiros. a Esse conjunto ´ sempre finito, pela compacidade das elipses. Verifique!!! e2.5.2 Par´bolas a (i) Existˆncia de ponto(s) racional(is); e Toda par´bola possui uma infinidade de pontos racionais. a (ii) Decis˜o entre a finitude ou infinitude do conjunto dos pontos racionais; a Toda par´bola possui uma infinidade de pontos racionais. a(iii) Existˆncia de ponto(s) inteiro(s); e Existem par´bolas que possuem e outras que n˜o possuem pontos inteiros. a a(iv) Decis˜o entre a finitude ou infinitude do conjunto dos pontos inteiros. a A an´lise de exemplos mostrar´ que n˜o h´ um padr˜o geral. a a a a a
  20. 20. 2.5.3 Hip´rboles e (i) Existˆncia de ponto(s) racional(is). e Pelo Princ´ ıpio Local-Global para as Cˆnicas, Teorema 2.10 o problema ´ algor´ o e ıtmo. Faremos uma an´lise a detalhada de uma classe especial de Hip´rboles denominadas de Pell-Fermat na se¸˜o homˆnima. e ca o (ii) Decis˜o entre a finitude ou infinitude do conjunto dos pontos racionais. a Pelo teorema 2.2, se a cˆnica C possui um ponto racional, ent˜o possui infinitos. Al´m disso, se conhecemos o a e um deles, ent˜o ´ poss´ parametrizar todos, pelo teorema 2.3. a e ıvel(iii) Existˆncia de ponto(s) inteiro(s). e Muito dif´ em geral, faremos uma an´lise de um caso cl´ssico chamadas Equa¸˜es de Pell-Fermat no cap´ ıcil, a a co ıtulo homˆnimo. o(iv) Decis˜o entre a finitude ou infinitude do conjunto dos pontos inteiros. a A an´lise de exemplos mostrar´ que n˜o h´ um padr˜o geral, isto ´, existem hip´rboles que possuem infinitos a a a a a e e pontos inteiros e outras que possuem somente um n´mero finito de pontos inteiros. u2.6 Problemas 1. Seja m ∈ Z um inteiro positivo. Mostre que as par´bolas y 2 = mx possuem uma infinidade de pontos inteiros. a 2. Mostre que as par´bolas a seguir n˜o possuem pontos inteiros a a (a) y 2 = 4x + 2 (b) y 2 = 4x + 3 (c) y 2 = 3x + 2 3. Encontre uma infinidade de pontos inteiros nas hip´rboles e (a) x2 − 3y 2 = 1 (b) x2 − 5y 2 = 1 (c) x2 − 7y 2 = 1 4. Seja n ∈ Z um inteiro positivo. Mostre que a curva 1 1 1 + = x y n ´ uma hip´rbole. Mostre que tal hip´rbole tem um n´mero finito de pontos inteiros qualquer que seja n. e e e u 5. Encontre todos os pontos inteiros e positivos da curva 1 1 1 + = x y n nos casos em que n = p ´ primo, n = p2 ´ o quadrado de um primo e n = pq ´ o produto de dois primos. e e e
  21. 21. 6. Mostre que se uma cˆnica com coeficientes racionais possuir uma reta tangente com coeficientes racionais, o ent˜o o ponto de tangˆncia ´ racional. a e e 7. Mostre que a equa¸˜o ca 3x2 + y 2 = 2z 2 n˜o possui solu¸˜o inteira n˜o nula. a ca a 8. Determine todos os pares de inteiros (x, y) tais que 9xy − x2 − 8y 2 = 2005. 9. Mostre que n˜o existem pontos racionais na cˆnica x2 + xy + y 2 = 2. a o10. Encontre todos os pontos racionais a cˆnica x2 + xy + y 2 = 1. o11. Mostre que as solu¸˜es inteiras coprimos da equa¸˜o co ca x2 + 2y 2 = z 2 s˜o x = ±(u2 − 2v 2 ), y = 2uv e z = u2 + 2v 2 , com u, v inteiros primos entre si. a
  22. 22. 3 Reticulados no plano3.1 Reticulados e seus Dom´ ınios FundamentaisA teoria de reticulados ´ bem desenvolvida e um leitor com uma maior familiaridade a teoria de grupos (abelianos) eapreciar´ a leitura de Stewart [1]. Nosso objetivo ´ apresentar a teoria em um caso muito especial, reticulados no a eplano; pois, nesse caso, muitas constru¸˜es e demonstra¸˜es se simplificam. Em particular utilizaremos o m´ co co ınimoposs´ de ´lgebra linear. ıvel aDefini¸˜o 3.1. Sejam v1 , v2 ⊂ R2 dois vetores n˜o m´ltiplos. Um reticulado (de dimens˜o 2) no plano R2 , ca a u acom conjunto de geradores os vetores {v1 , v2 }, consiste do conjunto das combina¸˜es (lineares) inteiras desses dois covetores, ou seja L = {v ∈ R2 |v = m1 v1 + m2 v2 , mi ∈ Z}.Defini¸˜o 3.2. Dados, um reticulado L no plano com conjunto de geradores {v1 , v2 } , o conjunto dos pontos caa1 v1 + a2 v2 ∈ R2 para pos quais 0 ≤ a1 < 1 ´ chamado o dom´ e ınio fundamental do reticulado L associado aoconjunto de geradores {v1 , v2 }. Vamos abrir um parˆnteses para conectar a no¸˜o de reticulado e a no¸˜o alg´brica de grupos. O leitor que e ca ca en˜o est´ familiarizado com a no¸˜o de grupos pode, simplesmente utilizar a defini¸˜o acima, ou ler um pouco do a a ca caapˆndice sobre grupos abelianos. O fato ´ que se v, w ∈ L, ent˜o v = m1 v1 + m2 v2 e w = n1 v1 + n2 v2 e, portanto, e e av + w = (m1 + n1 )v1 + (m2 + n2 )v2 ∈ L e −v = (−m1 )v1 + (−m2 )v2 ∈ L e estas s˜o as condi¸˜es para que L seja a coum subgrupo aditivo de R2 . Entretanto um reticulado no plano L ⊂ R2 n˜o ´ qualquer tipo de subgrupo. Como conjunto de R2 um reticulado a e´, sempre, um subconjunto discreto!!!eDefini¸˜o 3.3. Um subconjunto de X ⊂ R2 ´ discreto se todos os seus pontos s˜o isolados, isto ´, se dado p ∈ X, ca e a e 2existir δ > 0 tal que o unico ponto da interse¸˜o do disco aberto D(p, δ) = {q ∈ R | ||q − p|| < δ} com X for o ´ capr´pio p. Ou seja, o D(p, δ) ∩ X = {p}Observa¸˜o 3.4. Lembramos que os unicos subgrupos discretos da reta real s˜o isomorfos a Z (e todos s˜o retic- ca ´ a aulados da reta!!!). De fato, seja G ⊂ R um subgrupo aditivo discreto e seja m o menor elemento positivo de G (talelemento existe pois G ´ discreto), ent˜o G = mZ. (Verifique os detalhes!) e a Subgrupos de R n˜o discretos s˜o bem mais complicados, por exemplo, Q ⊂ R ´ um subgrupo aditivo que ´ a a e edenso!!!Proposi¸˜o 3.5. Seja G ⊂ R2 um subgrupo aditivo. Ent˜o s˜o equivalentes: ca a a 1. G ´ um reticulado; e 2. G ⊂ R2 ´ discreto. eProva: Seja G ⊂ R2 um reticulado com conjunto de geradores {v, w}. Vamos mostrar que G ´ um conjunto ediscreto. Vamos mostrar que 0 ´ um ponto isolado e o resultado segue, por transla¸˜o. Claramente n˜o existe e ca aponto reticulado no conjunto int(D) = {u ∈ R2 |u = αv + βw} com 0 < α < 1 e 0 < β < 1. Assim, tome 1δ = 2 min{||v||, ||w||, ||v + w||}. Claro que G ∩ D(0, δ) = 0. Reciprocamente, seja G ⊂ R2 um subgrupo aditivo discreto. Para mostrar que G ´ um reticulado devemos eencontrar geradores. Seja v ∈ G o vetor n˜o nulo de menor norma. Seja w ∈ G o ponto mais pr´ximo da reta a o
  23. 23. =< v >= {λv|λ ∈ R} (n˜o contido na reta). Afirmamos que G =< v, w >= {av + bw|a, b ∈ Z}. Com efeito, seja au ∈ G, e considere os pontos u − mw ∈ G com m ∈ Z. O ponto mais pr´ximo da reta deve pertencer a mesma, ocaso contr´rio encontrar´ a ıamos um ponto mais pr´ximo que w. Assim u − mw = λv e λ = n ∈ Z, logo u = mv + nw. o A partir da proposi¸˜o acima vemos que ´ poss´ exibir um reticulado intrinsecamente, isto ´, sem explicitar ca e ıvel eum conjunto de geradores. Por um lado ´ mais f´cil tratar um reticulado quando conhecemos um conjunto de e ageradores, por outro lado, muitas vezes ´ mais f´cil provar que um dado conjunto ´ um reticulado observando que e a eo mesmo ´ um subgrupo aditivo e discreto do plano R2 . eExemplo 3.1. Considere o reticulado padr˜o do plano, ou seja, L = Z2 ⊂ R2 . Temos v´rios poss´ a a ıveis conjuntosde geradores para tal reticulado. Por exemplo B1 = {(1, 0), (0, 1)} ´ um conjunto de geradores para L e B2 = e{(2, 1), (1, 1)} tamb´m ´ um conjunto de geradores para L (fa¸a um esbo¸o dos reticulados associados a estes e e c cconjuntos de geradores e verifique que ambos coincidem com Z2 ). De fato, (2, 1) = 2.(1, 0) + 1.(0, 1), (1, 1) = 1.(1, 0) + 1.(0, 1)logo o reticulado associado a B2 est´ contido no reticulado associado a B1 (combina¸˜es inteiras dos vetores de B2 a cos˜o combina¸˜es inteiras dos vetores de B1 pois os pr´prios vetores de B2 o s˜o) e, reciprocamente a co o a (1, 0) = 1.(2, 1) − 1.(1, 1) (0, 1) = −1.(2, 1) + 2.(1, 1).Ou seja, os reticulados associados s˜o o mesmo e, claramente, tal reticulado ´ Z2 ⊂ R2 . a eObserva¸˜o 3.6. A no¸˜o de dom´ fundamental depende do conjunto de geradores, como mostramos no exemplo ca ca ınioanterior. Por outro lado, a ´rea de um dom´ a ınio fundamental independe do conjunto de geradores. Verifique comexemplos expl´ıcitos.Proposi¸˜o 3.7. Sejam L ⊂ R2 um reticulado, D e E dom´ ca ınios fundamentais associados, respectivamente, aosconjuntos de geradores {v1 , v2 } e {u1 , u2 }. Ent˜o as ´reas dos dom´ a a ınios fundamentais s˜o iguais, a A(D) = A(E).Prova: Sabemos que existem inteiros a1 , a2 , b1 , b2 ∈ Z tais que u1 = a1 v1 + a2 v2 u2 = b1 v1 + b2 v2pois u1 , u2 pertencem ao reticulado, logo, s˜o combina¸˜o inteira de v1 , v2 e reciprocamente. Assim, a matriz de a ca a1 b1mudan¸a de base M = c ´ invers´ e sua inversa N ´ tamb´m uma matriz de coeficientes inteiros(dados e ıvel e e a2 b2pelas coordenadas de v1 , v2 escritos como combina¸˜o inteira de u1 , u2 ). Como M.N = I2 , det(M ). det(N ) = 1 e cacomo s˜o ambos inteiros, det(M ) = ±1. a A ´rea do dom´ a ınio fundamental E ´ e A(E) = | det M | · A(D) = A(D).

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