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EM2D-11-34
Matemática 112 249
Capítulo 5
A figura, com medidas em metros, mos-409.	
tra a sala, com um depósito, que Ferna...
250
Ao elaborar um projeto, o paisagista413.	
dividiu a área reservada para o jardim em
três canteiros triangulares e um c...
EM2D-11-34
Matemática 112 251
300 km
300 km
1,2 milhões.a)	
1,6 milhões.b)	
1,5 milhões.c)	
1,8 milhões.d)	
1,4 milhões.e)...
252
Um comício deverá ocorrer num ginásio425.	
de esportes, cuja área é delimitada por um
retângulo, mostrado na figura.
3...
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Matemática 112 253
No quadrilátero ABCD representado abaixo,430.	
os ângulos BAD e BCD são retos, AB = BC = 5...
254
Na figura abaixo, A, B e C são vértices438.	
de hexágonos regulares justapostos, cada um
com área 8.
C
A
B
Segue-se qu...
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Matemática 112 255
Sabendo que
4
1 2
2 32
�
� �
�3
e 6= = , em que
l 1, l 2 e l 3 são, respectivamente, os lado...
256
Se em um painel retangular foi afixado um452.	
cartaz de formato triangular, como mostra a fi-
gura, a área S ocupada ...
EM2D-11-34
Matemática 112 257
A figura seguinte apresenta um retângu-464.	
lo ABCD e um triângulo equilátero ECD. A área
d...
258
Determine a área de cada um dos setores469.	
circulares abaixo.
a)	
60°
R = 3 cm
b)	
30°
R = 3 cm
c)	
R = 3 cm
d)	
120...
EM2D-11-34
Matemática 112 259
Uma metalúrgica utiliza chapas de aço474.	
quadradas de 8 m x 8 m para recortar formas
circu...
260
(Unifesp) Na figura, são exibidas sete cir-480.	
cunferências. As seis exteriores, cujos centros
são vértices de um he...
EM2D-11-34
Matemática 112 261
O cancro cítrico, causado por uma bactéria,485.	
é uma das mais graves doenças da citricultu...
262
No setor circular da figura,491.	 a = 60° e M, N
e P são pontos de tangência. Se o raio do setor
é 12, a área do círcu...
EM2D-11-34
Matemática 112 263
Seja o prisma reto da figura abaixo. Sua497.	
base é um trapézio isósceles. Considerando as
...
264
Uma caçamba para recolher entulho, sem503.	
tampa, tem a forma de um prisma reto, con-
forme mostra a figura, em que o...
EM2D-11-34
Matemática 112 265
Na figura abaixo, está representada a509.	
planificação de um prisma hexagonal regular
de al...
266
Sejam dois prismas regulares de mesma516.	
altura h, o primeiro de base triangular e o se-
gundo de base hexagonal. Em...
EM2D-11-34
Matemática 112 267
Observe o bloco retangular da figura 1,523.	
de vidro totalmente fechado e com água den-
tro...
268
(Vunesp) Considere o sólido da figura527.	
(em amarelo), construído a partir de um pris-
ma retangular reto.
A
B
C
E
F...
EM2D-11-34
Matemática 112 269
Considere a figura abaixo, que represen-538.	
ta a planificação de um cubo.
Qual dos cubos a...
270
Um tanque em forma de paralelepípedo546.	
tem por base um retângulo cujos lados medem
90 cm e 18 dm. Uma pessoa, ao me...
EM2D-11-34
Matemática 112 271
Dado um cubo de aresta 8 cm, determine553.	
a distância entre os centros A e B das faces
adj...
272
Considere o cubo ABCDEFGH de aresta559.	
medindo 40 cm. Seja P um ponto da aresta
AB do cubo, que está localizado a 10...
EM2D-11-34
Matemática 112 273
Calcule a área total de um cubo cuja dia-573.	
gonal mede 1 cm.
Aumentando-se de 1 m cada ar...
274
Anotações
Resoluções 275
EM2D-11-34
Matemática 112
Capítulo 5
B409.	
4
3
36
7 S = 6 · 7 = 42 m2
9 m2
 S = 42 + 9 = 51 m2
C410.	
20
1...
276
S m
x
x
x m
∆ =
⋅
= ⇒ = ⇒
⇒ =
6
3
2
6 3 12
4
2
Área de todos os canteiros juntos:
S = x(x + 3) = 4 · 7 ⇒ S = 28 m2
Sej...
Resoluções 277
EM2D-11-34
2
x y a x t 9
z t 2a y z 8
xyzt 2a xyzt 72
⋅ = ⋅ = 
 
⋅ = ⋅ = 
= =
⇒
a)421.	 	
10
10 8
18
...
278
f)	
h
x y
3 3
4
4
6
60° 30°
sen
h
h
x
x
tg
y
y
A
x y
h
A
60
6
3 3
60
6
3
30
3 3
9
4 4
2
20
3
º
cos º
º
=
=
=
=
=
=
=
+...
Resoluções 279
EM2D-11-34
S
S
S m
= ⋅ +
⋅
⇒
⇒ = + ⇒
⇒ =
50 20
60 40
2
1 000 1 200
2 200 2
. .
.
Se 1
8
da área é reservado...
280
2
3 S = 2 · 3 = 6 cm2
Assim, S = 2 · 24 + 2 · 6 = 48 + 12 ⇒
⇒  S = 60 cm2
D430.	
B S
5
5
10
S
A P
C
D
10
SABCD = 2 · S...
Resoluções 281
EM2D-11-34
E432.	
Lembre-se de que um losango é um pa-
ralelogramo. Então, podemos determinar sua
área faze...
282
A437.	
BA
C
BA
C
Como a área do hexágono é 6, temos que
a área sombreada é S = =
6
6
1.
B438.	
CA
B
A área de cada hex...
Resoluções 283
EM2D-11-34
E441.	
1 1
�2 2
3 2 1 3 3
S 2 S
4 4 2
⋅ ⋅
= ⋅ = ⇒ =
D442.	
Como a figura pode ser fracionada em ...
284
S
S
S
= −( ) −( ) −( )
= ⋅ ⋅ ⋅
=
9 9 5 9 6 9 7
9 4 3 2
6 6
Há uma fórmula que dá a área, em função448.	
da circunferên...
Resoluções 285
EM2D-11-34
α
1
3 x
x
x
sen
x
2 2 23 1 10
10
3 3
10
= + = ⇒
⇒ =
∴ = =α
Área do triângulo:
S
sen
cm
=
⋅ ⋅
=
⋅...
286
461.	
5
h
7
8
S
H
H
H cm
=
⋅
⇒
⇒ = ⇒
⇒ =
8
2
10 3 4
5 3
2
A CB
45°
45°
135°
x
x
α
α
462.	
a)	 No
a a
No ABD temos
a b ...
Resoluções 287
EM2D-11-34
A467.	
30°
30°
A B
C
D
SI
SI
4
4
a
No ABC, temos:∆
° = ⇒ = ⇒ =
= ⋅ = ⋅
⋅
= ⋅
tg
a a
a
S S
a
ABCD...
288
Assim, a área em destaque é:
S
R R R
S
S
S
S
=
⋅ − ⋅ − ⋅
⇒
=
⋅ − ⋅ − ⋅
=
⋅ − ⋅ −
=
⋅
=
π π π
π π π
π π π
π
2
1
2
2
2
2...
Resoluções 289
EM2D-11-34
B478.	
Rxx
x C = 2πR
Como o círculo tem o mesmo perímetro
que o triângulo equilátero, temos:
2pR...
290
C483.	
10
10
10
5
S = Shex. – Scír.
S = ⋅
⋅
− ⋅6
10 3
4
5
2
2π ⇒
⇒ S = −150 3 25π ⇒
⇒ S m= −( )25 6 3 2π
B484.	
60°
R
...
Resoluções 291
EM2D-11-34
A488.	
A B
O
30°
30°
120°
6 6
6
S S S
S
sen
S sen
S
setor= −
=
⋅
−
⋅ ⋅
⇒
⇒ = ⋅ − ⋅ ⇒
⇒ = −
∆
π 6...
292
Capítulo 6
SB =
+( )⋅10 4 4
2
= 28 cm2
b)	 SL = 10 · 15 + 5 · 15 + 4 · 15 + 5 · 15
SL = 150 + 75 + 60 + 75 ⇒ SL = 360 ...
Resoluções 293
EM2D-11-34
3
2
2
2
3 3
70
50
501.	
Vamos determinar o volume dos seis ca-
nais e descontar o volume hachura...
294
Seja x a medida da aresta da base.506.	
ST = 48 m2
2 · SB + SL = 48 ⇒
⇒ 2x2 + 20x – 48 = 0 ⇒
⇒ x2 + 10x – 24 = 0
Soma:...
Resoluções 295
EM2D-11-34
Assim:
SL = 3 · a · h
SL = 3 · 4 · 3 ⇒ SL = 36 m2
V = SB · H ⇒ V = 4 3 · 3 ⇒
⇒ V = 12 3 m2
A513....
296
D521.	
18 – 2x
x
x
x
x
x
x
x
x
18 – 2x
18 – 2x
x
18 – 2x
V = 400 cm3
(18 – 2x)(18 – 2x) · x = 400 ⇒
⇒ 2(9 – x) · 2(9 –...
Resoluções 297
EM2D-11-34
S
S
S
= ⋅
⋅
− ⋅
⋅( )⇒
⇒ =
⋅
− ( )


 ⇒
⇒ = ⋅ −( ) ⇒
6
6 3
2
6
3 3 3
4
6 3
2
6 3 3
3 3
2
36...
298
A área total do cubo é dada por:
AT = 6 · Ab ⇒ AT = 6 · a2 ⇒
⇒ AT = 6 · 22 ⇒ AT = 24 m2
B534.	
A = 6a2 ⇒ 6a2 = 72 ⇒ a2...
Resoluções 299
EM2D-11-34
D545.	
A razão pela qual esse tanque recebe
água é:
3 3 10
5
18 3⋅ ⋅
= m hora/
D546.	
18 dm = 1,...
300
E551.	
x
20 dm
10 dm
V = 360 l
20 · 10 x = 360 ⇒ x = 1,8 dm ⇒
⇒ x = 18 cm
A552.	
V = 30 · 40 · 20
V = 24.000 dm3
V = 2...
Resoluções 301
EM2D-11-34
x2 = 32 + (4 2 )2 ⇒
⇒ x2 = 9 + 42 · 22 ⇒
⇒ x2 = 9 + 32 = 41 ⇒
⇒ x = 41 cm
c)	 A
D
4
3
4
4
4
4 2
...
302
B561.	
a
a
a
a
c
c
c
c
bb
b b
4a + 4b + 4c = 140 ⇒
⇒ a + b + c = 35 ⇒
(a + b + c)2 = D2 + ST
352 = 212 + ST ⇒
⇒ ST = 3...
Resoluções 303
EM2D-11-34
566.	
2
2
2 3
3
3
2 3
3 3
Assim, sendo x esse aumento, temos:
2 3 3 3 3 3 2 3
3
+ = ⇒ = − ⇒
⇒ =
...
304
• = ⇒
⇒ = ⇒
⇒
⋅
=
⇒ =
D a
a
a
a
3
6 3
2 3
3
2
572.	 • = ⇒
⇒ = ⇒
⇒ = ⋅ ⇒
⇒ =
V a
V
V
V cm
3
3
2
3
2
2 2
2 2
• = ⇒
⇒ = ⇒...
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Prismas e áreas

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Prismas e áreas

  1. 1. EM2D-11-34 Matemática 112 249 Capítulo 5 A figura, com medidas em metros, mos-409. tra a sala, com um depósito, que Fernanda alugou para montar uma loja. Sabendo-se que o depósito é quadrado e tem 9 m2 de área, pode-se concluir que a área total alugada por Fernanda tem: 6 m 4 m Sala Depósito 9 m2 42 ma) 2 51 mb) 2 54 mc) 2 58 md) 2 60 me) 2 De um retângulo de lados 20 cm e 14 cm,410. foram retirados dois quadrados iguais, como mostra a figura a seguir: 20 14 Se o perímetro da figura acima é de 92 cm, sua área é igual a: 152 cma) 2 182 cmb) 2 208 cmc) 2 230 cmd) 2 248 cme) 2 Uma quadra retangular de esportes de uma411. escola, medindo 12 m por 24 m, foi ampliada em 96 m2, com acréscimo de uma faixa retangular de largura L, como mostra a figura abaixo. O valor aproximado do comprimento, ex- pressso em metros, é: 24 m 12 m L L 10a) 2,5b) 20c) 40d) 60e) Um feirante dispõe de uma área retan-412. gular de medidas 2 m por 3,5 m, para armar sua barraca. A fim de dar melhor atendimento aos seus fregueses, ele quer mandar fazer uma barraca retangular, com balcões de larguras iguais, em todo o contorno, reservando, na parte interna, uma área também retangular, para a circulação dos empregados que atende- rão aos compradores. 3,5 m x x 2 m Balcão Área de circulação dos empregados Para que a área de circulação dos emprega- dos seja igual a 2,5 m2, a largura x dos balcões deve ser de: 2,25 ma) 1,5 mb) 1 mc) 0,75 md) 0,5 me)
  2. 2. 250 Ao elaborar um projeto, o paisagista413. dividiu a área reservada para o jardim em três canteiros triangulares e um canteiro quadrado, como mostra a figura. Se a área do canteiro triangular sombreado na figura é de 6 m2, então a área de todos os canteiros juntos é: 3 m x m Então, é correto afirmar que, nessa com- pra, a fração correspondente à quantidade de sorvete do sabor chocolate foi: 28 ma) 2 32 mb) 2 37 mc) 2 38 md) 2 42 me) 2 João quer colocar azulejos em uma das414. paredes do banheiro de sua casa. Se essa pare- de tem uma área de 54.000 cm2 e cada azulejo é um retângulo de 20 cm x 30 cm, quantos azulejos são necessários? No projeto de reforma de uma casa, pre-415. tende-se fazer um jardim em forma de triângulo numa área retangular de dimensões 15 m x y m. Qual deve ser o valor de y, de modo que o jardim tenha uma área de 23 m2? 15 m 8 m Jardim y m y m 2 4,0 ma) 1,5 mb) 3,0 mc) 1,0 md) 3,5 me) (UFMG) Paula comprou dois potes de416. sorvete, ambos com a mesma quantidade do produto. Um dos potes continha quantidades iguais dos sabores chocolate, creme e morango; e o outro, quantidades iguais dos sabores choco- late e baunilha. a) 2 5 b) 3 5 c) 5 12 d) 5 6 Dois vizinhos tinham, em frente de suas417. casas, gramados quadrados com área S. O pri- meiro aumentou 5 m em uma das dimensões do seu gramado e diminuiu 5 m na outra, transfor- mando-o em um retângulo. O segundo manteve a forma quadrada, mas diminuiu em 1 m o ta- manho do lado. Com essas modificações, os dois gramados permaneceram com a mesma área. Observe as figuras e calcule o valor de S. O comprimento de uma parede retangu-418. lar é o dobro de sua largura. Se a parede tiver 55 cm a menos de comprimento e 55 cm a mais de largura, será quadrada. Então, a área da parede é de: 2,42 ma) 2 2,45 mb) 2 1,21 mc) 2 1,22 md) 2 2,24 me) 2 Para calcular o valor aproximado da área419. da região do aquifero Guarani, representada na figura a seguir, pode-se utilizar o seguinte procedimento: 1o) Conta-se o número de unidades da malha contida totalmente pela região desejada. 2o) Conta-se o menor número de unidades da malha que envolve totalmente a região que será calculada. 3o) Calcula-se a média aritmética entre as duas quantidades contadas. 4o) Conhecendo a área de uma unidade da ma- lha, determina-se, então, o valor aproximado da área da figura em questão, cujo valor em km2 é:
  3. 3. EM2D-11-34 Matemática 112 251 300 km 300 km 1,2 milhões.a) 1,6 milhões.b) 1,5 milhões.c) 1,8 milhões.d) 1,4 milhões.e) A figura representa um retângulo subdi-420. vidido em 4 outros retângulos com as respec- tivas áreas. a 8 9 2a O valor de a é: 4a) 6b) 8c) 10d) 12e) 6 30° 6 4 3e) 4 6 60° 30° f) Na figura,422. ABCD é um trapézio isósceles, em que AD = 4, CD = 1, Â = 60º e a altura é 2 3 A área desse trapézio é: A B CD 60° Determine a área do trapézio nos casos a421. seguir, sendo o metro a unidade das medidas indicadas. 10 18 17 a) 10 20 1313 b) 3 3 5 2 13 c) 6 10 60° d) 4a) b) 4 3 3 c) 5 3 d) 6 3 e) 3 Obtenha as diagonais de um losango de423. lados medindo 5 cm, equivalente a um qua- drado de lado 2 6 cm. A figura, cujas medidas estão em metros,424. mostra um terreno destinado à plantação de um certo tipo de flor. Sabe-se que 1 8 dessa área será reservada para circulação de equipamentos e materiais, e que as mudas serão plantadas na área restante. 80 m 50 m 20 m 10 m A área plantada terá: 1.925 ma) 2 2.025 mb) 2 2.975 mc) 2 3,025 md) 2 3.215 me) 2
  4. 4. 252 Um comício deverá ocorrer num ginásio425. de esportes, cuja área é delimitada por um retângulo, mostrado na figura. 30 m 18 m12 m 6 m Por segurança, a coordenação do evento limitou a concentração no local a 5 pessoas para cada 2 m2 de área disponível. Excluindo- se a área ocupada pelo palanque, com a forma de um trapézio (veja as dimensões da parte hachurada na figura), quantas pessoas, no máximo, poderão participar do evento? A figura seguinte representa a planta428. baixa de uma sala de estar cujas paredes con- tíguas são perpendiculares entre si, com exce- ção da parede AI. Sabe-se ainda que AB = 2 m, BC = 1,5 m, CD = 3 m, DE = 4,5 m, EF = 1 m, FG = 1 m, GH = 5 m e HI = 5,5 m. A área dessa sala de estar é, em metros quadrados: A B C D E F GH I 2.700a) 1.620b) 1.350c) 1.125d) 1.050e) Um cliente encomendou uma lâmina de vi-426. dro em forma de paralelogramo, com perímetro de 50 cm, devendo um dos lados ter 5 cm de diferença em relação ao outro e com o menor ângulo interno igual a 15°. Para fazer o orça- mento, o vidraceiro precisa calcular a área dessa lâmina de vidro. Dados: sen 15° = 0,26; cos 15º = 0,96; tg 15º = 2,70 A área da lâmina, em cm2, é: 40,5a) 26b) 39c) 144d) 96e) Um terreno tem forma de um trapézio427. ABCD, com ângulos retos nos vértices A e D, como mostra a figura. Sabe-se que AB = 31 m, AD = 20 m e DC = 45 m. Deseja-se construir uma cerca, paralela ao lado AD, dividindo esse terreno em dois terrenos de mesma área. A distância do vértice D a esta cerca deve ser, em metros, igual a: D C A B 12a) 19b) 20c) 22d) 26e) 34,75a) 35,75b) 37,50c) 37,75d) 38,50e) (Ufla-MG) A letra429. M foi escrita com fai- xas com as dimensões apresentadas na figura. A área total das faixas é: 2 cm 2 cm2 cm 6 cm 10 cm 12 cm 2 cm 2 cm 64 cma) 2 30 cmb) 2 32 cmc) 2 60 cmd) 2
  5. 5. EM2D-11-34 Matemática 112 253 No quadrilátero ABCD representado abaixo,430. os ângulos BAD e BCD são retos, AB = BC = 5 cm e AD = DC = 10 cm. B A P C D Se CP é perpendicular a AD, então as áreas do quadrilátero ABCP e do triângulo CDP, em cm2, valem, respectivamente: Determine as áreas:433. de um triângulo equilátero de lado iguala) a 6 cm; de um hexágono regular de lado igual ab) 4 cm. Para realizar uma competição de vale-434. -tudo, os organizadores precisam montar um “hexagon” (ringue em forma de um hexágono regular). De acordo com as especificações, o ringue deve ter um diâmetro de 12 m. Assim, qual será a área do “hexagon”? 22 e 28.a) 24 e 26.b) 25 e 25.c) 26 e 24.d) 28 e 22.e) Calcule a área do trapézio em destaque431. na figura, assumindo que os valores numéricos no plano cartesiano estão em centímetros. 1 10 2 4 y x reta 3 Um losango possui 24 m432. 2 de área e 3 m de distância entre dois lados paralelos. O períme- tro do losango mede, em metros: 16a) 20b) 24c) 28d) 32e) a) 48 3 2m b) 54 3 2m c) 24 2 2m d) 36 2 2m 96 me) 2 Um hexágono regular ABCDEF tem lado435. igual a 4 cm. A área do trapézio ADEF, em cm2, é igual a: a) 4 3 b) 2 3 4+ 12c) d) 8 4 3+ e) 12 3 Na figura, ABCDEF é um hexágono regu-436. lar de lado 1 cm. A área do triângulo BCE, em cm2, é: BA DE F C a) 2 3 b) 3 2 c) 3 2 d) 2 3 e) 3 (Fuvest-SP) Os pontos A, B e C são vérti-437. ces consecutivos de um hexágono regular de área igual a 6. Qual a área do triângulo ABC? 1a) 2b) 3c) d) 2 e) 3
  6. 6. 254 Na figura abaixo, A, B e C são vértices438. de hexágonos regulares justapostos, cada um com área 8. C A B Segue-se que a área do triângulo cujos vértices são os pontos A, B e C é: As abelhas constroem seus favos na for-443. ma de recipientes aglomerados de cera que se propagam um ao lado do outro. Depois de vá- rios experimentos em uma colmeia, verificou- -se que o corte transversal de um favo apre- senta uma das configurações abaixo: 8a) 12b) 16c) 20d) 24e) O hexágono cujo interior aparece destaca-439. do em alaranjado na figura é regular e origina-se da sobreposição de dois triângulos equiláteros. Se k é a área do hexágono, a soma das áre- as desses dois triângulos é igual a: ka) 2kb) 3kc) 4kd) 5ke) A razão440. Área H Área K S S = = 18 6 3, em que H é o hexágo- no regular ABCDEF (com vértices nomeados no sentido horário) e K é o hexágono obtido pela intersecção dos triângulos ACE e BDF, é igual a: 2a) 2,5b) 3c) 3,5d) 4e) (Fuvest-SP) A figura representa sete he-441. xágonos regulares de lado 1 e um hexágono maior, cujos vértices coincidem com os cen- tros de seis dos hexágonos menores. Então, a área do pentágono hachurado é igual a: d1 d2 d3 a) 3 3 b) 2 3 c) 3 3 2 d) 3 e) 3 2 Júlia construiu um losango, mostrado na442. figura abaixo, usando 16 peças com a forma de triângulos equiláteros. As peças claras têm todas o mesmo tamanho, o mesmo ocorrendo com as peças escuras. Se a área do losango montado por Júlia é 64 3, então as áreas de uma peça clara e de uma peça escura valem, respectivamente: a) 3 3 9 3e . b) 3 3 11 3e . c) 2 3 6 3e . d) 2 3 18 3e . e) 3 25 3e .
  7. 7. EM2D-11-34 Matemática 112 255 Sabendo que 4 1 2 2 32 � � � �3 e 6= = , em que l 1, l 2 e l 3 são, respectivamente, os lados do quadrado, do triângulo equilátero e do hexá- gono e que A , A e A são as áreas dos respec- tivos polígonos, podemos afirmar que: Aa) ≠ A ≠ A . somente Ab) = A . Ac) = A = A . somente Ad) = A . somente Ae) = A . O octógono regular de vértices ABCDEFGH,444. cujos lados medem 1 dm cada um, está inscrito no quadrado de vértices PQRS, conforme mos- trado nesta figura: S F E R D C G H P A B Q Então, é correto afirmar que a área do qua- drado PQRS é: a) 1 2 2 2+ dm b) 1 2 2+ dm c) 3 2 2 2+ dm d) 3 2 2+ dm e) 2 2 2+ dm A área de um triângulo de lados a, b e c é447. dada pela fórmula S p p a p b p c= ⋅ −( )⋅ −( )⋅ −( ) , em que p é o semiperímetro (2p = a + b + c). Qual a área do triângulo de lados 5, 6 e 7? 15a) 21b) c) 7 5 d) 210 e) 6 6 (Fuvest-SP) Um triângulo tem 12 cm de448. perímetro e 6 cm2 de área. Quanto mede o raio da circunferência inscrita nesse triângulo? Num triângulo isósceles, os lados de449. mesma medida medem 2, e o ângulo for- mado por eles mede 120°. A área desse tri- ângulo é: 2a) 1b) c) 1 2 d) 1 4 e) 3 Preocupado com a falta de área verde em450. sua cidade, um prefeito resolveu aproveitar um terreno triangular, localizado no cruza- mento de duas ruas, para construir uma pra- ça, conforme representado na figura abaixo: 150º 30 m 40 m Praça A área da praça a ser construída, em m2, é: 250a) b) 250 3 300c) d) 300 3 500e) Dois lados de um triângulo medem, res-451. pectivamente, 15 cm e 20 cm e formam um ân- gulo de 30°. A área deste triângulo é igual a: 150a) 3 cm2 150 cmb) 2 300 cmc) 2 75d) 3 cm2 75 cme) 2 Dois lados de um paralelogramo medem445. 3 cm e 6 cm e formam um ângulo de 45°. De- termine a área desse paralelogramo. Um losango com lado 20 cm e um ângulo446. interno de 30° tem área de: 57 cma) 2 87 cmb) 2 200 cmc) 2 346 cmd) 2 400 cme) 2
  8. 8. 256 Se em um painel retangular foi afixado um452. cartaz de formato triangular, como mostra a fi- gura, a área S ocupada pelo cartaz é igual a: 4 m S 120º 5 m a) 5 2 3 2m 10 mb) 2 5 mc) 2 d) 10 3 2m e) 5 3 2m Num triângulo qualquer, dois lados me-453. dem 10 cm e 8 cm, respectivamente, e o ân- gulo por eles formado é de 30°. A área deste triângulo mede: 20 cma) 2 10 cmb) 2 c) 80 3 2cm d) 60 2 2cm 80 cme) 2 Qual dos dois triângulos tem área maior:454. o de lados 5, 5 e 6 ou o de lados 5, 5 e 8? Cada lado congruente de um triângulo455. isósceles mede 10 cm, e o ângulo agudo definido por esses lados mede a graus. Se sen a = 3 cos a, a área desse triângulo, em cm2, é igual a: a) 15 10 b) 12 10 c) 9 10 d) 15 3 e) 12 3 Na figura, um octógono regular e um456. quadrado estão inscritos na circunferência de raio r = 2. A área da região sombreada é: a) 4 2 1⋅ −( ) b) 2 2 1+ c) 4 2 1 5 ⋅ +( ) Determine a457. área do triângulo retângulo. 7 cm 4 cm Determine a área do triângulo isósceles.458. 10 cm 10 cm 6 cm Determine a medida do raio da circun-459. ferência inscrita no triângulo de lados com medidas 5 cm, 7 cm e 8 cm. Determine a medida do raio da circunfe-460. rência circunscrita ao triângulo do exercício anterior. Determine a medida da altura relativa461. ao lado de medida 8 cm do triângulo do exer- cício 459. Na figura, os triângulos ABD e BCD são462. isósceles. O triângulo BCD é retângulo, com o ângulo C reto, e A, B, C estão alinhados. A B C D Dê a medida do ângulo BÂD em graus.a) Se BD = x, obtenha a área do triângulob) ABD em função de x. Tem-se um triângulo equilátero em que463. cada lado mede 6 cm. O raio do círculo circuns- crito a esse triângulo, em centímetros, mede: a) 3 2b) 3 4c) 3d) 2 3e) 3 d) 8 2 7 e) 2 11 8 +
  9. 9. EM2D-11-34 Matemática 112 257 A figura seguinte apresenta um retângu-464. lo ABCD e um triângulo equilátero ECD. A área da região sombreada será: D C 4 m A E B a) 5 3 2 2m 2b) 3 m2 3c) 3 m2 5d) 3 m2 4e) 3 m2 Numa esquina cujas ruas se cruzam,465. formando um ângulo de 120°, está situado um terreno triangular com frentes de 20 m e 45 m para essas ruas, conforme representado na figura abaixo. 20 m 45 m 120º A área desse terreno, em m2, é: Na figura abaixo, os ângulos ABC = ADC são467. retos. É correto afirmar que a área do quadrilá- tero ABCD, em metros quadrados, é igual a: 60° A B C D 4 m 4 m 225a) 225b) 2 225c) 3 450d) 2 450e) 3 A área do triângulo ABC da figura se-466. guinte, em cm2, quando m(CD) = 40 cm, é: 120° 30° A C D B 1.200a) 3 1.200b) 800c) 3 800d) 600e) 3 a) 16 3 b) 12 2 16c) 12d) e) 24 6 A figura indica um triângulo equilátero468. ABC de lado unitário. Sabe-se ainda que r, s e t são retas paralelas, com A e B pertencentes a t e C pertencente a r. t A B C r s x Admitindo-se que s esteja se deslocando de r até t e que x seja a distância entre r e s, a área sombreada na figura, em função de x, será igual a: a) − + +     x x2 1 3 2 b) − + 3 2 5 4 2x x c) − + 3 3 2x x d) − + 1 2 2x x e) 1 2 x
  10. 10. 258 Determine a área de cada um dos setores469. circulares abaixo. a) 60° R = 3 cm b) 30° R = 3 cm c) R = 3 cm d) 120° R = 3 cm Determine a área de cada um dos seg-470. mentos circulares abaixo. Na figura abaixo, a relação entre a área ha-472. churada e a área do círculo maior é de: a) 60° R = 3 cm b) R = 3 cm c) R = 3 cm 120° 471. Na figura 3 abaixo apresentada, temos três circunferências com centros colineares cujo diâ- metro AB da circunferência maior foi dividido em 6 partes iguais de 1 centímetro cada. Sabendo- -se que C e D são os centros das circunferências menores, calcule a área da região sombreada. A B C D a) p cm2 1 cmb) 2 2c) p cm2 4d) p cm2 2 cme) 2 a) 1 5 b) 1 4 c) 1 3 d) 2 5 e) 1 2 Uma circunferência intercepta um triân-473. gulo equilátero nos pontos médios de dois de seus lados, conforme a figura, sendo que um dos vértices do triângulo é o centro da cir- cunferência. Se o lado do triângulo mede 6 cm, a área da região destacada na figura é: a) 9 2 3 6 2−     π cm b) 9 3 18 2−     π cm c) 9 3 2−( )π cm d) 9 3 3 2−     π cm e) 9 3 6 2−     π cm
  11. 11. EM2D-11-34 Matemática 112 259 Uma metalúrgica utiliza chapas de aço474. quadradas de 8 m x 8 m para recortar formas circulares de 4 m de diâmetro, como mostrado na figura abaixo. Dado: considere p = 3,14. A área da chapa que resta após a operação é de, aproximadamente: 50 (2a) 3 – p) 100b) 3 – 2p 100 (c) 3 – p) 50d) 3 – 3p 100e) 3 – 3p 7,45 ma) 2 13,76 mb) 2 26,30 mc) 2 48 md) 2 56 me) 2 Na figura a seguir, sabe-se que cada um475. dos quatro arcos AB, BC, CD e DA é um quarto de uma circunferência de raio 2 cm. Sabe-se ainda que os pontos A, B, C e D são pontos de tangência entre arcos. A C D B Então, considerando p @ 3,14, a área da figura será, aproximadamente: 3,44 cma) 2 0,86 cmb) 2 12,56 cmc) 2 6,28 cmd) 2 1,72 cme) 2 (Fameca-SP) O triângulo BIA da figura é476. equilátero, de lado igual a 20. Os arcos de circun- ferência MN, NP e PM têm centros, respectivamen- te, nos vértices B, I e A. As medidas desses raios são todas iguais à metade da medida do lado. A área da região delimitada pelos três arcos é: M N P I B A Considere uma circunferência de diâmetro477. L e centro C, conforme a figura. C Calcule a razão entre a área do círculo e área da região sombreada. Considere um triângulo equilátero de478. lado medindo x e um círculo de mesmo perí- metro que o triângulo equilátero. Calcule, em função de x, a área do círculo em questão. a) x2 6π b) 9 4 2x π c) 36 2x π d) πx2 16 e) πx2 9 Na figura abaixo, o ângulo BAC mede 60°479. e AB = AC. Se a circunferência tem raio 6, qual é a área da região destacada? Dados: use as aproximações: p @ 3,14, 3 1 73≅ , . 60° A B C
  12. 12. 260 (Unifesp) Na figura, são exibidas sete cir-480. cunferências. As seis exteriores, cujos centros são vértices de um hexágono regular de lado 2, são tangentes à interna. Além disso, cada circunferência externa é também tangente às outras duas que lhe são contíguas. A área da figura no interior do retângulo não ocupada pelos círculos, em cm2, está entre: Nestas condições, calcule: a área da região sombreada, apresentadaa) em destaque à direita; o perímetro da figura que delimita a re-b) gião sombreada. Na praia, ao meio-dia, com o Sol a pino,481. um guarda-sol cobre perfeitamente uma mesa quadrada de 1 metro de lado. A área de som- bra fora da mesa, em m2, conforme mostra a figura, é igual a: a) p – 1 b) π − 2 2 2c) p – 1 0,5d) 10 –e) p Os dois círculos sombreados da figura são482. iguais, tangentes entre si e tangenciam o re- tângulo LIMA. A menor das dimensões do re- tângulo mede 4 cm. L I A M 8 e 10.a) 6 e 8.b) 4 e 6.c) 2 e 4.d) 0 e 2.e) (Vunesp) Um salão de festas na forma de483. um hexágono regular, com 10 m de lado, tem ao centro uma pista de dança na forma de um círculo, com 5 m de raio. A área, em metros quadrados, da região do salão de festas que não é ocupada pela pista de dança é: a) 25 30 3 −( )π b) 25 12 3 −( )π c) 25 6 3 −( )π d) 10 30 3 −( )π e) 10 15 3 −( )π A figura abaixo mostra um círculo sobre484. o qual estão desenhados um triângulo equilá- tero e um retângulo, cada um com um vértice no centro do círculo. A área da figura hachu- rada em cinza mede 21p cm2. A medida do raio do círculo é: a) 21 cm 6 cmb) c) 105 cm 10,5 cmd) 18 cme)
  13. 13. EM2D-11-34 Matemática 112 261 O cancro cítrico, causado por uma bactéria,485. é uma das mais graves doenças da citricultura brasileira. O seu controle é regulado por lei, que determina a erradicação (plantas arrancadas pela raiz) em um raio (r) de 30 metros em torno do foco de contaminação, sendo que um produ- tor consciente coloca em rigorosa observação as plantas localizadas em um raio (R) de até 90 metros desse foco, conforme mostra a figura, em que as circunferências concêntricas determinam a região erradicada e a região em observação. Foco r Região erradicada Região em observação R A área da região em observação, em torno do foco de contaminação, tem: Na figura, o raio488. OA da circunferência mede 6 cm. Adotando-se p = 3, a área da região sombreada, em cm2, é igual a: A B 0 30° 2.400a) p m2 5.200b) p m2 6.400c) p m2 7.200d) p m2 8.100e) p m2 A área do anel entre dois círculos con-486. cêntricos é 25π cm2. O comprimento da corda do círculo maior, que é tangente ao menor, em centímetros, é: a) 9 2 3 −( )π b) 6 3 3 −( )π c) 12 3π −( ) d) 8 2 3π −( ) e) 6 3 2 3π −( ) a) 9 4 3⋅ −( ) b) 9 3− c) 4 3⋅ d) 9 3⋅ e) 4 9 3⋅ −( ) (Fuvest-SP) Na figura seguinte, estão re-489. presentados um quadrado de lado 4, uma de suas diagonais e uma semicircunferência de raio 2. Então, a área da região hachurada é: a) π 2 2+ b) p + 2 pc) + 3 d) p + 4 2e) p + 1 Sobre a figura abaixo, calcule:490. A B C 60° 12 a área do setor circular ABC;a) a área do círculo inscrito.b) a) 5 2 5b) c) 5 2 10d) e) 10 2 Os dois arcos da figura abaixo têm o mes-487. mo raio igual a 6 cm e seus centros são os pon- tos B e C. A área hachurada mede, em cm2: C A D B
  14. 14. 262 No setor circular da figura,491. a = 60° e M, N e P são pontos de tangência. Se o raio do setor é 12, a área do círculo de centro O é: N P M O α Em uma cidade do interior, a praça prin-492. cipal, em forma de um setor circular de 180 metros de raio e 200 metros de comprimento do arco, ficou lotada no comício político de um candidato a prefeito. Admitindo uma ocupação média de 4 pessoas por metro quadrado, a melhor esti- mativa do número de pessoas presentes no comício é: 70 mila) 30 milb) 100 milc) 90 mild) 40 mile) 18a) p 16b) p 9c) p 4d) p 12e) p Capítulo 6 É dado o prisma reto de base triangular493. da figura abaixo. Sabendo que a área da base S vale 6 cm2, determine seu volume. 9 cm S A figura abaixo nos mostra um prisma494. reto cuja base é o triângulo retângulo de cate- tos 3 cm e 4 cm. Determine: 7 cm Determine o volume do prisma reto mos-495. trado a seguir. a área da base;a) a área lateral;b) a área total;c) o volume.d) Dica: para calcular a área de um triângulo retângulo, devemos multiplicar os catetos e dividir por 2. 10 cm 2 cm 3 cm 60° Dica: conhecendo dois lados de um tri- ângulo e o ângulo por eles formado, podemos determinar sua área: multiplica-se os lados pelo seno do ângulo e divide-se por 2. Um reservatório na forma de um prisma496. reto de altura 20 cm apresenta a base em for- mato de um triângulo isósceles de base 12 cm e lados congruentes de medida igual a 10 cm cada um. 20 cm 10 cm10 cm 12 cm Determine a área da base, a área lateral, a área total e o volume desse reservatório.
  15. 15. EM2D-11-34 Matemática 112 263 Seja o prisma reto da figura abaixo. Sua497. base é um trapézio isósceles. Considerando as medidas indicadas, determine: 4 cm 5 cm 5 cm 15 cm 10 cm a área do trapézio, ou seja, a área da basea) desse prisma; a soma das áreas de cada um dos retângu-b) los que compõem a lateral do prisma, ou seja, a área lateral; a capacidade desse prisma, ou seja, seuc) volume. Observe o formato da parte de um te-498. lhado de uma loja. Determine o volume desse sólido. 4 cm5 cm 5 cm 10 cm 21 cm Um galpão de mantimentos tem a forma do499. sólido ilustrado abaixo. Determine seu volume. 4 m 4 m 6 m 3 m Com uma folha de zinco retangular de500. dimensões 40 cm por 3 m, constrói-se uma ca- lha em forma de “V”, conforme ilustra a figura abaixo. 3 m 20 cm 120° Considerando-se que seja possível encher totalmente a calha de água, o volume da água acumulada, em m3, é de: 0,03a) 3 0,04b) 3 0,05c) 3 0,06d) 3 0,07e) 3 Um sistema de irrigação é formado por501. seis canais que se cruzam como na figura. As dimensões das seções transversais dos canais são apresentadas abaixo. 3 m 2 m 2 m 2 m 3 m 3 m 70 m 50 m 1 m 3 m 1 m 2 m Calcule o volume de água armazenado no sistema. A figura abaixo mostra a seção transver-502. sal de uma piscina com 20 m de comprimento por 15 m de largura, cuja profundidade varia uniformemente de 1 m a 3 m. 20 m 1 m 3 m Considerando-se que o volume dessa piscina é o produto da área da seção exibida pela largu- ra da piscina, é correto afirmar que sua capaci- dade, em litros, é igual a: 600a) 6.000b) 60.000c) 600.000d) 6.000.000e)
  16. 16. 264 Uma caçamba para recolher entulho, sem503. tampa, tem a forma de um prisma reto, con- forme mostra a figura, em que o quadrilátero ABCD é um trapézio isósceles. A B C D E F H G As dimensões da caçamba, dadas em me- tros, são AB = 2, CD = 3,2, BC = 1 e CG = 1,5. Calcule a capacidade dessa caçamba, ema) metros cúbicos. As chapas de aço que compõem a caçambab) devem ser protegidas com tinta anticorrosiva, tanto na parte interna quanto na parte ex- terna. Calcule a área a ser pintada, em metros quadrados. Uma película de cromo é depositada504. por evaporação, de maneira uniforme, sobre uma placa de vidro que possui o formato de um trapézio isósceles, conforme a figura a seguir. Considerando que a massa de Cr de- positada é de 0,357 g, qual é a espessura (al- tura) aproximada da película depositada? (Dados: densidade do cromo = 7,14 g · cm−3) 45º 14 cm 4 cm Na figura abaixo, temos um prisma regu-505. lar triangular de aresta da base 4 cm. Se sua altura mede 11 cm, determine: a área da base;a) a área lateral;b) a área total;c) o volume.d) Uma caixa de acondicionamento na for-506. ma de um prisma regular quadrangular possui área externa total igual a 48 m2. Sendo sua altura igual a 5 m, determine seu volume. Observe o prisma regular hexagonal ilus-507. trado na figura a seguir. A medida da aresta da base é 6 cm e a me- dida da altura é 10 cm. Assim, qual é o valor de sua área total e de seu volume? O perímetro da base de um prisma trian-508. gular regular mede 21 cm e a área lateral mede 105 cm2. A medida, em cm, da altura do sólido é: a) 1 900 cm b) 1 1 800. cm c) 1 90 cm d) 1 180 cm e) 1 450 cm 11a) 9b) 7c) 5d) 3e)
  17. 17. EM2D-11-34 Matemática 112 265 Na figura abaixo, está representada a509. planificação de um prisma hexagonal regular de altura igual à aresta da base. Se a altura do prisma é 2, seu volume é: 648a) 3 m3 216b) 3 m3 108c) 3m3 96d) 3 m3 72e) 3 m3 4a) 3 6b) 3 8c) 3 10d) 3 12e) 3 O volume de um prisma regular reto he-510. xagonal, com 2 m de altura, é 3 m3. A medi- da da área lateral deste prisma é: Considere um prisma hexagonal regular,511. com as características: altura de 4 3 cm e área lateral o dobro da área de sua base, e as seguintes afirmativas: A área da base do prisma é 96I. 3 cm2. O volume do prisma é 1.152 cmII. 3. O prisma tem 18 arestas e 12 vértices.III. É correto o que se afirma em: I, II e III.a) II e III apenas.b) I e III apenas.c) I e II apenas.d) III apenas.e) A área da base de um prisma triangular512. regular é 4 3 m2 e sua altura é 3 m. A área lateral e o volume do prisma são, respectiva- mente: 8a) 3 m2 e 16 3 m3. 36 mb) 2 e 4 3 m2. 12 mc) 2 e 12 3 m3. (36 + 8d) 3)m2 e 24 3 m3. 36 me) 2 e 12 3 m3. Num prisma hexagonal regular reto, a513. área lateral é igual ao triplo da área da base, e a aresta lateral mede 9 cm. O volume desse prisma é: Uma peça feita de ferro maciço tem a514. forma de um prisma reto com 4 3 cm de al- tura. Sabendo-se que a base dessa peça é um triângulo equilátero de 5 cm de lado e que a densidade do ferro é 7,8 g/cm3, podemos afirmar que a massa da peça em gramas é igual a: 585a) 525b) 625c) 685d) 700e) Um recipiente, na forma de um prisma515. reto de base quadrada, cuja área lateral é igual ao sêxtuplo da área da base, contém um determinado medicamento que ocu- pa 3 4 de sua capacidade total. Conforme prescrição médica, três doses diárias desse medicamento, de 50 m l cada uma, deve- rão ser ministradas a um paciente durante seis dias. Nessa condições, é correto afir- mar que, para ministrar a quantidade total prescrita, o medicamento contido nesse re- cipiente será: 15 cm x x insuficiente, faltando 125 ma) l. insuficiente, faltando 100 mb) l. suficiente, não faltando nem restando me-c) dicamentos. suficiente, restando ainda 125 md) l. suficiente, restando ainda 225 me) l. 3a) m2 2b) 3 m2 3c) 3 m2 4d) 3 m2 5e) 3 m2
  18. 18. 266 Sejam dois prismas regulares de mesma516. altura h, o primeiro de base triangular e o se- gundo de base hexagonal. Em ambos os pris- mas, a aresta da base mede a. A razão entre o volume do prisma triangular e o volume do prisma hexagonal é: a) 1 2 b) 1 3 c) 1 4 d) 1 6 e) 1 9 (UFV-MG) Uma piscina de 12 m de compri-519. mento, 6 m de largura e 3 m de profundidade está cheia até os 5 8 de sua capacidade. Quantos litros de água ainda cabem na piscina? 81.000a) 27.000b) 54.000c) 84.000d) 42.000e) Um reservatório de água inicialmente520. vazio possui sua base com o formato retan- gular medindo 10 metros de comprimento por 5 metros de largura. Uma torneira é aberta para enchê-lo e, em alguns minutos, o nível da água no interior do reservatório atinge 10 cm. Para atingir esse nível foram necessários: 12.000 litros.a) 50.000 litros.b) 10.000 litros.c) 5.000 litros.d) 500 litros.e) Em cada canto de uma folha quadrada521. de papelão, cujo lado mede 18 cm, é cortado um pequeno quadrado de lado medindo 4 cm. Dobrando-se estes lados, formamos uma caixa sem tampa de volume 400 cm3. Existe um ou- tro valor da medida do lado do quadrado a ser recortado em cada canto, para que o volume da caixa resultante também seja de 400 cm3. Esse valor é: 7a) b) 6 6− c) 7 d) 7 2 6− e) 6 A figura é um prisma oblíquo cuja base é522. um triângulo equilátero de perímetro 18 cm. 60° 10 cm O volume desse prisma, em centímetros cúbicos, é igual a: 270a) 135b) c) 45 3 d) 45 2 45e) Se um prisma triangular reto é tal que517. cada uma de suas arestas mede 2 m, então a medida do seu volume é: 3a) 2 m3 2b) 3 m3 6 mc) 3 8 md) 3 e) 3 m3 Um recipiente, com a forma de um pris-518. ma reto retângulo, cujas dimensões estão mostradas na figura, contém 60 litros de água: 40 cm 50cm 70 cm Para que esse recipiente fique totalmente cheio, será necessário colocar, de água, mais: Dado: 1 dm3 = 1 litro 220 litros.a) 180 litros.b) 140 litros.c) 100 litros.d) 80 litros.e)
  19. 19. EM2D-11-34 Matemática 112 267 Observe o bloco retangular da figura 1,523. de vidro totalmente fechado e com água den- tro. Virando-o, como mostra a figura 2, pode- mos afirmar que o valor de x é: Figura 1 20 cm 10 cm 40 cm 6 cm Figura 2 20 cm 10 cm x cm 40 cm da na figura, apresentava a forma de um he- xágono regular. Por razões técnicas, o projeto original precisou ser modificado. Para tanto, o arquiteto uniu os pontos médios de cada lado do hexágono ABCDEF, estabelecendo um novo hexágono regular GHIJLM, base do novo re- servatório, que terá 2 metros de largura. A G C H I F M L B E J 6 m D Determine: a diferença entre a área da base do reser-a) vatório original e a área da base do novo re- servatório; a capacidade do novo reservatório, queb) tem a forma de um prisma reto de base hexa- gonal regular. O sólido da figura I foi obtido retirando-526. -se de um prisma triangular regular três pris- mas iguais, também triangulares e regulares, cada um deles representado pela figura II. Se d = 5 8 x e o volume de cada cada prisma re- tirado é 3, então o volume desse sólido é igual a: Figura I d 3 d d d x x 2 Figura II x x 2 12 cma) 11 cmb) 10 cmc) 5 cmd) 6 cme) A estrutura de um telhado tem a forma524. de um prisma triangular reto, conforme o es- quema abaixo. Sabendo que são necessárias 20 telhas por metro quadrado para cobrir esse telhado, assinale a alternativa que mais se aproxima da quantidade de telhas necessárias para construí-lo. (Use 3 =1,7.) 10 m30º 30º 18 m 4.080a) 5.712b) 4.896c) 3.670d) 2.856e) Um projeto original previa a construção525. de um reservatório, cuja base ABCDEF, mostra- 12a) 3 14b) 3 15c) 3 16d) 3 19e) 3
  20. 20. 268 (Vunesp) Considere o sólido da figura527. (em amarelo), construído a partir de um pris- ma retangular reto. A B C E F D G Se AB = 2 cm, AD = 10 cm, FG = 8 cm e BC = EF = x cm, o volume do sólido, em cm3, é: Calcule o volume, em litros, de um cubo531. cuja área total vale 54 cm2. A diagonal de um cubo mede 6532. 3 cm. Determine a área total desse cubo. A área total de um cubo de aresta igual533. a 2 m é: 4x (2x + 5)a) 4x (5x + 2)b) 4 (5 + 2x)c) 4xd) 2 (2 + 5x) 4xe) 2 (2x + 5) Uma metalúrgica que fabrica componentes528. para um estaleiro deverá produzir uma peça ma- ciça de cobre, conforme a figura abaixo. 85° 35° 2 m 4 m 7m Com base nos textos e em seus conheci- mentos, é correto afirmar que o volume de co- bre necessário para a produção dessa peça é: 12a) 3 m3 3b) 3 m3 6c) 2 m3 12d) 2 m3 6e) 3 m3 Considere um cubo de aresta medindo529. 4 cm. Determine: a medida da diagonal de uma face;a) a medida da diagonal do cubo;b) a área total;c) o volume.d) Sabe-se que 1 dm530. 3 = 1 l. Determine a capacidade, em litros, de um cubo de aresta igual a 5 dm. 12 ma) 2 16 mb) 2 20 mc) 2 22 md) 2 24 me) 2 Um cubo tem área total igual a 72 m534. 2; sua diagonal vale: a) 2 6 m 6 mb) 6 mc) d) 12 m e) 2 24 m A soma dos comprimentos de todas as535. arestas de um cubo é igual a 60 metros. A dia- gonal, em metros, mede: a) 3 3b) 3 5c) 3 7d) 3 9e) 3 Uma caixa d’água, completamente cheia,536. de formato cúbico, aresta L e volume de 4.096.000 litros foi usada na fabricação de va- silhame PET de 1 litro. A medida da aresta L, em metros, está compreendida no intervalo: 15a) < L < 20 20b) < L < 25 25c) < L < 30 30d) < L < 35 35e) < L < 40 Flávia possui um jogo com 216 cubos537. iguais, com as dimensões mostradas na figura I, que ficam guardados em uma caixa (figura II), também cúbica, preenchendo-a totalmente. 5 cm xcm x cmx cm 5 cm 5 cm Figura I Figura II A medida x da caixa é igual a: 0,65 ma) 0,50 mb) 0,45 mc) 0,40 md) 0,30 me)
  21. 21. EM2D-11-34 Matemática 112 269 Considere a figura abaixo, que represen-538. ta a planificação de um cubo. Qual dos cubos apresentados nas alternativas pode corresponder ao desenho da planificação? Considere um paralelepípedo reto retân-541. gulo de dimensões iguais a 3 cm, 7 cm e 10 cm. Determine desse sólido: a área total;a) o volume;b) a diagonal;c) Sabe-se que 1 dm542. 3 = 1 l. Determine a capacidade, em litros, de um reservatório na forma de um paralelepípedo reto retângulo de dimensões 3 m, 5 dm e 80 cm. Um certo tipo de sabão em pó é vendido543. em caixas com a forma de um paralelepípedo reto retângu]o. Antigamente, essa caixa media: 6 cm x 15 cm x 20 cm Por questões de economia do material da embalagem, a mesma quantidade de sabão passou a ser vendida em caixas que medem 8 cm x 15 cm x a. Assim, o valor de a, em cm, é igual a: a) b) c) d) e) Ao desdobrar um cubo, obteve-se a figu-539. ra plana abaixo. Se o montarmos novamente, a face oposta à face B será a face: A B F E C D Aa) Cb) Dc) Ed) Fe) Uma formiga move-se na superfície de540. um cubo de aresta a. O menor caminho que ela deve seguir para ir de um vértice ao vérti- ce oposto tem comprimento: a) a 2 b) a 3 3 ac) d) 1 2+( )a e) a 5 12a) 15b) 18c) 20d) 24e) A figura abaixo é a representação de um544. tabuleiro. B 5 cm 12 cm 9 cm C F E D A Qual o comprimento de uma linha esticada da extremidade A à extremidade D do tabuleiro? 15 cma) b) 10 5 cm c) 5 10 cm d) 10 2cm 15 2 cme) Um tanque tem a forma de um parale-545. lepípedo de dimensões 3 m, 3 m e 10 m. Para enchê-lo de água, são necessárias 5 horas. Esse tanque recebe água à razão de: 30 ma) 3 por hora. 6 mb) 3 por hora. 15 mc) 3 por hora. 18 md) 3 por hora. 35 me) 3 por hora.
  22. 22. 270 Um tanque em forma de paralelepípedo546. tem por base um retângulo cujos lados medem 90 cm e 18 dm. Uma pessoa, ao mergulhar to- talmente nesse tanque, faz o nível da água su- bir 0,15 m. O volume dessa pessoa, em m3, é: (UEMG) Observe o desenho a seguir:550. I II 12 cm 10 cm 40 cm O vasilhame I é cúbico com a medida da aresta igual a 10 cm. O vasilhame II tem a forma de um paralelepípedo retangular com dimensões 10 cm, 12 cm e 40 cm. Enchendo o vasilhame I de água e despejan- do esse líquido em II, que está vazia, esta terá sua capacidade ocupada em, aproximadamente: 20,8%a) 28%b) 22,2%c) 12,5%d) Um reservatório de água tem a forma de551. um paralelepípedo reto retangular cujos lados da base medem 1 m e 2 m. Se forem retirados 360 litros desse reservatório, então a altura do nível da água diminui: 30 cma) 27 cmb) 24 cmc) 21 cmd) 18 cme) O reservatório de água de um prédio tem552. a forma de um paralelepípedo reto retângulo de dimensões 3 m, 4 m e 2 m. Se o prédio tem 10 apartamentos e, devido ao racionamento, ficou estabelecido que o tanque só seria cheio uma vez por dia, pode-se afirmar que o gasto médio de água diário por apartamento será: 2.400 litros.a) 1.500 litros.b) 2.500 litros.c) 3.000 litros.d) 1.800 litros.e) 0,183a) 0,196b) 0,25c) 0,243d) 0,190e) Para fazer refresco, a merendeira de uma547. escola utilizou um recipiente com a forma de um paralelepípedo reto retângulo, com medi- das internas iguais a 30 cm, 40 cm e 60 cm, que estava completamente vazio. Ela colocou nesse recipiente uma quantidade de água igual à metade da sua capacidade total e, em seguida, colocou 5 litros de suco concentrado. A quantidade total de refresco preparado pela merendeira foi: 36 litros.a) 41 litros.b) 48 litros.c) 49 litros.d) 51 litros.e) (UEG-GO) Uma indústria deseja fabricar548. um galão no formato de um paralelepípedo retângulo, de forma que duas de suas arestas difiram em 2 centímetros e a outra meça 30 centímetros. Para que a capacidade desse ga- lão não seja inferior a 3,6 litros, a menor de suas arestas deve medir, no mínimo: 11 cma) 10,4 cmb) 10 cmc) 1,6 cmd) Medidas de áreas de superficíes e de vo-549. lume são utilizadas com frequência em várias atividades humanas, destacando-se o seu uso na construção civil. Admite-se que uma lata de tinta pinte 80 m2, que a área de um piso seja 1.600 cm2 e que um tijolo tenha as dimensões da face lateral de 10 cm x 20 cm. Para se construir um galpão de base retangular, de dimensões 10 m x 20 m x 3 m (altura), pintando internamente e externa- mente as paredes laterais, exceto o teto, com piso colocado completamente no chão, neces- sita-se de: 6,0 latas de tinta, 800 pisos e 12.000 tijolos.a) 4,5 latas de tinta, 1.250 pisos e 12.000 tijo-b) los. 4,5 latas de tinta, 1.250 pisos e 9.000 tijolos.c) 6,0 latas de tinta, 800 pisos e 8.000 tijo-d) los.
  23. 23. EM2D-11-34 Matemática 112 271 Dado um cubo de aresta 8 cm, determine553. a distância entre os centros A e B das faces adjacentes mostradas abaixo. A B Observe o cubo de volume 27 cm554. 3 dese- nhado abaixo. Sabe-se que AB = 2 cm. Nessas condições, determine: A B C D F E a medida da aresta desse cubo;a) a distância entre os pontos A e C;b) a distância entre os pontos A e D;c) a distância entre os pontos A e E;d) a distância entre os pontos A e F.e) O hexaedro regular (cubo) representado555. a seguir possui 96 cm2 de área total. Sendo igual a 3 cm a medida de AB, determine: A B C D a medida de sua aresta;a) a distância AC;b) a distância AD.c) Na figura abaixo, A e G são vértices opostos556. de um cubo de lado a, P é um ponto da semirreta EA tal que AP = a e Q é um ponto da semirreta BF tal que FQ = a. As distâncias do ponto G ao ponto P e do ponto G ao ponto Q são, respectivamente. No cubo representado na figura,557. A C B 4 4 4 a área do triângulo ABC é: 4a) 2 8b) 2 4c) 3 8d) 3 8e) O cubo de vértices ABCDEFGH, indica-558. do na figura, tem arestas de comprimento a. Sabendo-se que M é o ponto médio da aresta AE, então a distância do ponto M ao centro do quadrado ABCD é igual a: A P E F Q B G aa) 2 e a 3 ab) 2 e a 5 ac) 6 e a 2 ad) 3 e a 6 ae) 2 e a 3 A C B E H D M G F a) a 3 5 b) a 3 3 c) a 3 2 d) a 3 e) 2a 3
  24. 24. 272 Considere o cubo ABCDEFGH de aresta559. medindo 40 cm. Seja P um ponto da aresta AB do cubo, que está localizado a 10 cm do vértice A. Calcule a distância do ponto P ao ponto de intersecção das diagonais do cubo. Determine a diagonal de um paralelepí-560. pedo, sendo 62 cm2 sua área total e 10 cm a soma de suas dimensões. (FGV-SP) A soma das medidas das 12561. arestas de um paralelepípedo reto retângulo é igual a 140 cm. Se a distância máxima entre dois vértices do paralelepípedo é 21 cm, sua área total, em cm2, é: A partir das leituras acima, considerando 3 = 1,7 e a profundidade dessa caixa d’água que é igual à diagonal de um cubo, é correto afirmar que a aresta do referido cubo é de: 776a) 784b) 798c) 800d) 812e) Foram construídos dois aquários cúbi-562. cos, sem a tampa, utilizando-se em cada um deles 5 placas de vidro de 2 dm e de 4 dm de lado cada uma, respectivamente. A capacidade e a área do cubo maior superam a capacidade e a área do cubo menor, respectivamente, em: 52 litros e 54 dma) 2. 54 litros e 58 dmb) 2. 56 litros e 60 dmc) 2. 60 litros e 62 dmd) 2. 563. A charge acima ilustra uma campanha de conscientização da população sobre a necessi- dade de se evitar o desperdício de água. Os do- micílios são campeões do desaproveitamento de água. A mangueira da ilustração, ligada a uma torneira com vazão constante, enche em 34 mi- nutos uma caixa d’água cujas medidas internas são 0,80 m de comprimento, 1 m de largura e “x” m de profundidade. www.saaej.so.gob.br/ambiente/desperdicio/ htn-acessado em 6.4.2008(adaptado). 0,85 ma) 0,50 mb) 0,37 mc) 0,22 md) 0,26 me) 36 litros de água estão no interior de uma564. caixa em forma de paralelepípedo, totalmen- te fechada. Conforme a face que fica apoiada numa mesa horizontal, a altura do líquido na caixa pode ser de 15 cm, 20 cm ou 30 cm. A capacidade total dessa caixa é de: 48 litros.a) 54 litros.b) 64 litros.c) 72 litros.d) 86 litros.e) Calcule a medida da aresta de um cubo,565. sabendo que a diagonal dele excede em 2 cm a diagonal da face. A aresta de um cubo mede 2 cm. Em566. quanto se deve aumentar a diagonal desse cubo de modo que a aresta do novo cubo seja igual a 3 cm? Calcule o volume de um cubo cuja área567. total mede 600 cm2. O segmento de reta que liga um dos vérti-568. ces de um cubo ao centro de uma das faces opos- tas mede 60 cm. Calcule o volume desse cubo. Calcule o comprimento da aresta de um569. cubo equivalente a um paralelepípedo retân- gulo de dimensões 8 cm, 64 cm e 216 cm. As faces de um paralelepípedo retângulo570. têm por área 6 cm2, 9 cm2 e 24 cm2. O volume desse paralelepípedo é: 1.296 cma) 3 48 cmb) 3 39 cmc) 3 36 cmd) 3 6e) 6 cm3 A diagonal da face de um cubo mede d.571. Calcule, em função de d, a medida da diagonal do cubo. Calcule o volume de um cubo cuja diago-572. nal mede 6 cm.
  25. 25. EM2D-11-34 Matemática 112 273 Calcule a área total de um cubo cuja dia-573. gonal mede 1 cm. Aumentando-se de 1 m cada aresta de um574. cubo, a sua área lateral aumenta de 164 m2. O volume do cubo original é: 6.000 ma) 3 7.000 mb) 3 8.000 mc) 3 12.000 md) 3 16.400 me) 3 Duas das três dimensões de um parale-575. lepípedo reto retângulo são iguais. Calcule o volume desse paralelepípedo, sabendo que as medidas, em metros, das arestas desse parale- lepípedo são números inteiros, sua área é 10 m2 e que uma de suas diagonais mede 6 m. Um cubo de aresta de comprimento576. a vai ser transformado num paralelepípedo reto-re- tângulo de altura 25% menor, preservando-se, porém, o seu volume e o comprimento de uma de suas arestas. A diferença entre a área total (a soma das áreas das seis faces) do novo sólido e a área total do sólido original será: a) 1 6 2a b) 1 3 2a c) 1 2 2a d) 2 3 2a e) 5 6 2a
  26. 26. 274 Anotações
  27. 27. Resoluções 275 EM2D-11-34 Matemática 112 Capítulo 5 B409. 4 3 36 7 S = 6 · 7 = 42 m2 9 m2 S = 42 + 9 = 51 m2 C410. 20 14 x x x x x x x x 2p = 92 cm 14 + 20 + 14 + 20 + 4x = 92 ⇒ ⇒ 68 + 4x = 92 ⇒ 4x = 24 ⇒ ⇒ x = 6 cm S = 20 · 14 – 2 · x2 ⇒ ⇒ S = 280 – 2 · 62 ⇒ S = 280 – 72 ⇒ ⇒ S = 208 cm2 B411. 24 24 + L 12 L 12 L L (24 + L) · L + 12 L = 96 ⇒ ⇒ L2 + 36 L – 96 = 0 D = 362 – 4 · 1 · (– 96) = 1.680 Observe que 1 681 41. = . Como o texto pede um valor aproximado para a largura L, temos: 1 2 L 2,5 36 41 L 772 L (não convém) 2 ≅ ≅ − = − ± L @ 2,5 m E412. 3,5 x xxx 2 – 2x2 3,5 – 2x (3,5 – 2x) (2 – 2x) = 2,5 ⇒ ⇒ 7 – 7x – 4x + 4x2 = 2,5 ⇒ ⇒ 4x2 – 11x + 4,5 = 0 Multiplicando por 10, temos: 40x2 – 110x + 45 = 0 Dividindo por 5, temos: 8x2 – 22x + 9 = 0 D = (– 22)2 – 4 · 8 · 9 = 196 x x m x m = ± ⋅ = ± = = = = − = = = 22 196 2 8 22 14 16 36 16 9 4 2 25 22 14 16 8 16 1 2 0 5 1 2 , , Como 2x < 2 ⇔ x < 1, a resposta é x = 0,5 m. A413. 3 3 xx x x
  28. 28. 276 S m x x x m ∆ = ⋅ = ⇒ = ⇒ ⇒ = 6 3 2 6 3 12 4 2 Área de todos os canteiros juntos: S = x(x + 3) = 4 · 7 ⇒ S = 28 m2 Seja 2 L (L em cada um) a quantidade total de sorvete. No pote 1, temos L 3 de chocolate e, no pote 2, temos L 2 . Assim, a fração correspondente à quan- tidade de sorvete de sabor chocolate é: L L L L L L L L 2 3 2 3 2 6 2 5 6 1 2 5 12 + = + = ⋅ = Seja x o lado do quadrado original. Para417. que, após as modificações, as áreas permane- çam iguais, devemos ter: (x – 5) (x + 5) = (x – 1)2, o que dá x = 13. A área S do quadrado original é x2 = 169. A418. 2x 2x – 55 x x + 55Quadrado 2x – 55 = x + 55 ⇒ x = 110 cm S = 2x · x = 2x2 = 2 · 1102 = 2 · 12.100 = = 24.200 cm2 ⇒ ⇒ S = 2,42 cm2 A419. 1o passo: 6 unidades da malha 2o passo: 20 unidades da malha 3o passo: 20 6 2 13 + = 4o passo: S = 13 ·300 ·300 = 1.170.000 km2, aproximadamente 1,2 milhões de km2 B420. x z y a 8 y t 9 2a t x z 54.000 cm2 414. 30 20 S = 20 · 30 = 600 cm2 Quantidade de azulejos necessária: n = = 54 000 600 90 . azulejos A415. 15 8 7 S = 23 m2 SIII SI SII y y 2 y 2 Área do retângulo é igual à soma das áre- as triangulares. 15 2 15 2 2 8 2 7 2 23 15 15 4 8 4 7 2 23 15 23 4 7 ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⇒ ⇒ = + + + ⇒ ⇒ = + y y y y y y y y y y yy 2 23+ Multiplicando por 4, temos: 60y = 23y + 14y + 92 ⇒ ⇒ 23y = 92 ⇒ ⇒ y = 4 m C416. Pote 1 Pote 2 chocolate chocolate creme baunilha morango
  29. 29. Resoluções 277 EM2D-11-34 2 x y a x t 9 z t 2a y z 8 xyzt 2a xyzt 72 ⋅ = ⋅ =    ⋅ = ⋅ =  = = ⇒ a)421. 10 10 8 18 17h 172 = h2 + 82 h = 15 A h A A m = + ⋅ = ⋅ = 10 18 1 28 2 15 210 2 b) h 10 10 20 1313 5 5 132 = h2 + 52 h = 12 A h A A m = + ⋅ = ⋅ = 20 10 2 30 2 12 180 2 c) 3 3 3 x 5 4h 2 13 52 = h2 + 32 h = 4 2 13 4 2 2 2 ( ) = + x x = 6 A x h A m = + +( ) + ⋅ = +( ) + ⋅ = ⋅ ⇒ = 3 3 3 2 6 6 3 2 4 15 2 4 30 2 d) 10 h 6 6 4 60° tg h h A h A A m 60 4 4 3 10 6 2 16 2 4 3 32 3 2 º = = = + ⋅ = ⋅ = e) h x x 6 30° 6 4 3 4 3 h sen h x x A x x h A A m = = = = = + +( )⋅ ⇒ ⇒ = ⋅ ⇒ ⇒ = 3 30 6 30 6 3 3 4 3 2 14 3 2 3 21 3 2 º cos º
  30. 30. 278 f) h x y 3 3 4 4 6 60° 30° sen h h x x tg y y A x y h A 60 6 3 3 60 6 3 30 3 3 9 4 4 2 20 3 º cos º º = = = = = = = + +( ) + ⋅ ⇒ ⇒ = ⋅⋅ ⇒ ⇒ = 3 3 30 3 2A m D422. A B 44 C1 1x D 60° 2 3 x cos60 4 1 2 4 2 4 2 5 1 2 3 2 6 3  = ⇒ = ⇒ ⇒ = ⇒ = = +( )⋅ ⇒ = x x x x S S 55 55 d 2 D 2 423. 2 6 2 6 Losango equivalente a um quadrado sig- nifica que esses dois polígonos possuem mes- ma área. S = S 2 6 2 48 2 ( ) = ⋅ ⇒ ⋅ = D d D d Teorema de Pitágoras: S D d D d Assim vamos resolver o siste 2 2 2 2 2 2 2 100 =     +     ⇒ ⇒ + = , mma D d D d d D D D D D : 2 2 2 2 2 100 48 48 48 100 2 304 + = ⋅ = ⇒ =      +     = ⇒ ⇒ + . 22 4 2100 100 2 304 0= ⇒ − + =D D . Fazendo D x temos x x x 2 2 100 2 304 0 10 000 9 216 784 100 7 = − + = = − = = ± , . . . : ∆ 884 2 100 28 2 128 2 64 72 2 36 1 2 = ± = = = = x x Substituindo os valores acima em D2 = x, temos: D2 = 64 D2 = 36 D = 8 cm D = 6 cm Assim, as diagonais do losango medem 8 cm e 6 cm. A424. 80 20 40 60 50 20 10
  31. 31. Resoluções 279 EM2D-11-34 S S S m = ⋅ + ⋅ ⇒ ⇒ = + ⇒ ⇒ = 50 20 60 40 2 1 000 1 200 2 200 2 . . . Se 1 8 da área é reservado para circulação de equipamentos e materiais, 7 8 é reservado para o plantio. Assim, S mp = ⋅ = 7 8 2 200 1 925 2. . D425. Área do ginásio de esportes: 30 · 18 = 540 m2 Área do palanque: 18 12 6 2 90 2 +( )⋅ = m Área a ser ocupada pelo público: 540 – 90 = 450 m2 Número de pessoas = 450 2 5 1 125⋅ = . C426. x + 5 15° x + 5 xx h 2p = x + 5 + x + 5 + x + x 50 = 4x + 10 ⇒ x = 10 cm sen h x h h cm A A cm 15 0 26 10 2 6 15 2 6 39 2 ° = = ⇒ = ∴ = ⋅ = , , , B427. AADEF = AFBCE 20 45 31 20 2 ⋅ = −( ) + −( )  ⋅x x x 20x = (76 – 2x) · 10 2x = 76 – 2x x = 19 m D C A F E 20 m 31 m x 45 m B B428. A SI SII SIII C B2 3 1 1 5 3 5,5 1,5 4,5 D EF GH I S S S S S S S I II III= + + = +( )⋅ + ⋅ + ⋅ ⇒ ⇒ = + + ⇒ = 3 2 1 5 2 5 5 5 1 4 5 3 75 27 5 4 5 3 , , , , , , 55 75 2, m D429. 2 2 2 2 233 2 233 10 12 A área total é igual à área de dois retân- gulos mais a área de dois paralelogramos. 2 12 S = 12 · 2 = 24 cm2
  32. 32. 280 2 3 S = 2 · 3 = 6 cm2 Assim, S = 2 · 24 + 2 · 6 = 48 + 12 ⇒ ⇒ S = 60 cm2 D430. B S 5 5 10 S A P C D 10 SABCD = 2 · SDABD = 2 · 10 5 2 ⋅ ⇒ ⇒ SABCD = 50 cm2 B A 5 5 10 Y x 10 – xP C D y x x y+( )⋅ + −( )⋅5 2 10 2 = 50 xy + 5x + 10y – xy = 100 ⇒ x + 2y = 20 ⇒ x = 20 – 2y (I) e 102 = y2 + (10 – x)2 ⇒ ⇒ 100 = y2 + 100 – 20x + x2 ⇒ ⇒ x2 + y2 – 20x = 0 (II) Substituindo (I) em (II), temos: (20 – 2y)2 + y2 – 20 (20 – 2y) = 0 ⇒ ⇒ 400 – 80y + 4y2 + y2 – 400 + 40y = 0 ⇒ ⇒ 5y2 – 40y = 0 ⇒ ⇒ 5y (y – 8) = 0 y = 0 ou y = 8 Para y = 8 ⇒ x = 20 – 2 · 8 ⇒ x = 4 Assim, as áreas do quadrilátero e do tri- ângulo são: B A 5 5 8 4 6P C D S cm S cm ABCP CDP = +( )⋅ = = ⋅ = 8 5 4 2 26 8 6 2 24 2 2 ∆ Inicialmente, precisamos encontrar uma431. equação da reta. Usando a equação reduzida da reta, temos: y = ax + b (0, 1) ∈ à reta y = ax + 1 1 3,( ) x y ∈ à reta 3 = a + 1 ⇒ a = 2 y = 2x + 1 Para x = 4, temos: y = 2 · 4 + 1 ⇒ y = 9 Para x = 2, temos: y = 2 · 2 + 1 ⇒ y = 5 1 10 2 4 y x 3 5 5 9 2 9 S = 9 5 2 2 +( )⋅ ⇒ ⇒ S = 14 cm2
  33. 33. Resoluções 281 EM2D-11-34 E432. Lembre-se de que um losango é um pa- ralelogramo. Então, podemos determinar sua área fazendo base x altura. x 24 m2 3 m x x x S = 24 m2 ⇒ x · 3 = 24 ⇒ ⇒ x = 8 m 2p = 4x = 4 · 8 ⇔ 2p = 32 m a)433. 6 cm 6 cm 6 cm S cm = ⋅ ⋅ = = l2 2 2 3 4 6 3 4 36 3 4 9 3 = S = 9 3 2cm b) 4 cm 2 2 2 3 S 6 4 4 3 S 6 4 S 6 4 3 S 24 3 cm ⋅ = ⇒ ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = � B434. 6 m 12 m �2 2 2 3 S 6 4 6 3 S 6 4 S 6 9 3 S 54 3 m = ⋅ ⇒ ⇒ = ⋅ ⇒ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ ⇒ = E435. 4 cm BA DE F C �2 ADEF 2 ADEF ADEF 2 ADEF 3 S 3 4 4 3 S 3 4 S 3 4 3 S 12 3 cm = ⋅ ⇒ ⇒ = ⋅ ⇒ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ ⇒ = B436. BA D1 cmE F C BA DE F C Assim: �2 2 23 1 3 3 S 2 2 S cm 4 4 2 = = ⋅ ⇒ =
  34. 34. 282 A437. BA C BA C Como a área do hexágono é 6, temos que a área sombreada é S = = 6 6 1. B438. CA B A área de cada hexágono regular é 8. Então, cada um dos 6 triângulos equilá- teros em que o hexágono se divide tem área igual a 8 6 4 3 = . Note que a área do triângulo ABC é igual a 9 desses triângulos equiláteros. Assim: S SABC ABC= ⋅ ⇒ =9 4 3 12 C439. Com base no texto, temos a figura: P U ABT C F A S EDQ R Chamando de S a área da região desta- cada e sendo k a área do hexágono ABCDEF, temos: S K = 6 Decompondo a figura anterior, têm-se os dois triângulos equiláteros, PQR e STU: P RQ k 6 k 6 k 6 k 6 k 6 k 6 k 6 k 6 k 6 U T S k 6 k 6 k 6 k 6 k 6k 6 k 6 k 6 k 6 Logo, a soma das áreas dos triângulos equiláteros PQR e STU é: 18 6 3⋅ = k k C440. S S S S S S S S S S S S S S S S S S A D F B E C Área H Área K S S = = 18 6 3
  35. 35. Resoluções 283 EM2D-11-34 E441. 1 1 �2 2 3 2 1 3 3 S 2 S 4 4 2 ⋅ ⋅ = ⋅ = ⇒ = D442. Como a figura pode ser fracionada em 32 triângulos de mesma área (sendo 14 brancos e 18 escuros), temos: A Logo A A branco = = = = ⋅ =     64 3 32 2 3 2 3 9 2 3 18 3preto C443. � � � � 4 1 2 2 3 3 2 6  =    =   Assumiremos que A = A e que A = A . A = A 2 2 3 2 2 3 2 3 6 6 6 = = ⇔ = � � � � � � 2 2 3 23 3 6 4 4 ⋅ ⋅ = � � ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ A = A � � � � � � 2 22 1 4 4 2 1 1 2 3 4 3 3 2 2 = = ⇔ =⇒ ⇒ A = A = A C444. S Fa 1 1 1 a aa E R D C G H P A B Q 12 = a2 + a2 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 a a a a cm S S cm = ⇒ = ⇒ ⇒ = ⋅ ⇒ = = +( ) = + + ⇒ ⇒ = +( )   9 2 2cm445. 3 6 45° SI SI S S S sen S S cm I= ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ° ⇒ ⇒ = ⇒ = 2 2 6 3 45 2 18 2 2 9 2 2 C446. 20 20 30° SI SI S S S sen S cm S cm I= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ° ⇒ ⇒ = ⋅ ⇒ = 2 2 20 20 30 2 400 1 2 2002 2 E447. 2p = 5 + 6 + 7 = 18 ⇒ p = 9 S p p a p b p c= ⋅ −( )⋅ −( )⋅ −( )
  36. 36. 284 S S S = −( ) −( ) −( ) = ⋅ ⋅ ⋅ = 9 9 5 9 6 9 7 9 4 3 2 6 6 Há uma fórmula que dá a área, em função448. da circunferência inscrita e do semiperíme- tro: S = p · r. No caso, 12 = perímetro ⇒ p = 6 r S p r r cm= ⇒ = ⇒ = 6 6 1 . E449. 2 2 120º A b c sen A A sen = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ° = = ⋅ = ∴ = = ⋅ ⋅ cos α α 2 2 2 120 2 2 3 2 3 3 2 Dica: use l l C450. praça 2 30 40 sen 150 S 600 sen 30 2 1 600 300 m 2 ⋅ ⋅ ° = = ⋅ ° = = ⋅ = E451. 20 15 30° S sen cm= ⋅ ⋅ ° = ⋅ = 15 20 30 2 150 1 2 75 2 E452. S sen sen m = ⋅ ⋅ ° = ⋅ ° = = = 4 5 120 2 10 60 10 3 2 5 3 2 A453. 10 8 30° S sen cm= ⋅ ⋅ ° = ⋅ = 10 8 30 2 40 1 2 20 2 Os triângulos são equivalentes.454. 5 5 6 P1 5 5 6 2 8= + + = S S S S S 1 1 1 1 1 8 8 5 8 5 8 6 8 3 3 2 16 9 4 3 12 = ⋅ −( ) −( ) −( ) ⇒ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ ⇒ = ⋅ ⇒ = 5 5 8 P2 5 5 8 2 9= + + = S S S S S 2 2 2 2 2 9 9 5 9 5 9 8 9 4 4 1 16 9 4 3 12 = ⋅ −( )⋅ −( )⋅ −( ) ⇒ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ ⇒ = ⋅ ⇒ = A455. 1010 α sen sen tg α α α α α = ⇒ ⇒ = ⇒ ⇒ = 3 3 3 1 cos cos
  37. 37. Resoluções 285 EM2D-11-34 α 1 3 x x x sen x 2 2 23 1 10 10 3 3 10 = + = ⇒ ⇒ = ∴ = =α Área do triângulo: S sen cm = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = = = 10 10 2 50 3 10 10 10 150 10 10 15 10 2 α A456. 45° 45° A C B 2 2 O Note que a área sombreada é igual à diferen- ça entre duas vezes a área do DAOC e o DAOB. S sen = ⋅ ⋅ ° ⋅ − ⋅ = = − = − 2 2 45 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 Assim, a área pedida é: Spedida = 4 · S = 4 ( 2 – 1) S cm= ⋅ = 4 7 2 14 2457. 10 3 3 h 458. 10 3 100 9 91 91 6 91 2 3 91 2 2 2 2 2 2 = + ⇒ ⇒ − = ⇒ ⇒ = ⇒ ⇒ = = ⋅ = h h h h S S cm 5 7 8 459. p S p p a p b p c S S = + + = = −( ) −( ) −( ) = ⋅ −( ) −( ) −( ) ⇒ ⇒ = 5 7 8 2 10 10 10 8 10 7 10 5 10 ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = = ⋅ = ⋅ ⇒ = 2 3 5 10 10 3 10 3 10 3 10 3 2 S S cm S p r r r Agora, usamos . ccm 7 3 4 10 3 5 7 8 4 10 3 70 70 10 3 7 3 2 cm S abc R R R R R cm = = ⋅ ⋅ ⇒ ⇒ = ⇒ ⇒ = ⇒ ⇒ = 460.
  38. 38. 286 461. 5 h 7 8 S H H H cm = ⋅ ⇒ ⇒ = ⇒ ⇒ = 8 2 10 3 4 5 3 2 A CB 45° 45° 135° x x α α 462. a) No a a No ABD temos a b b b ∆ + = ⇒ = ∆ = ⇒ = ⇒ = BCD, temos: : 2 90 180 45 2 2 45 2 º º º , º 22 30º ’ b) No ABD, temos:∆ ∆ ∆ A x x sen a A x sen ABD ABD = ⋅ ⋅ −( ) ⇒ ⇒ = ⋅ − 180 2 180 452 º º ºº º ( ) ⇒ ⇒ = ⋅ ⇒ ⇒ = 2 135 2 2 4 2 2 A x sen A x ABD ABD ∆ ∆ B463. 6 6 6 R S abc R R R = ⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⇒ 4 6 3 4 6 6 6 4 3 62 ⇒ = ⋅ ⇒ ⇒ = ⇒ = R R R cm 6 3 3 3 6 3 3 2 3 E464. D C A E 4 4 4 2 2 H H H B 2 3 H (altura de triângulo equilátero) 2 4 3 H 2 H 2 3 m Assim 2 H S 2 2 2 3 S 4 3 m 2 = = = ⋅ = ⋅ = ⋅ ⇒ = 2 H (altura de triângulo equilátero) 2 4 3 H 2 H 2 3 m Assim: 2 H 2 = = = ⋅ � ⇒ C465. S sen sen S m = ⋅ ⋅ ° = ⋅ ° = = ⋅ ⇒ = 20 45 120 2 450 60 450 3 2 225 3 2 E466. 120° 30° 30° 40 40 30° A C D a b B No ABC, temos:∆ sen a a a cm e b b b 30 40 1 2 40 20 30 40 3 2 40 20 ° = = = ° = = = cos 33 40 2 20 3 60 2 600 3 2 cm S b a S cm Área do ABC:∆ = +( ) = ⋅ ⇒ =
  39. 39. Resoluções 287 EM2D-11-34 A467. 30° 30° A B C D SI SI 4 4 a No ABC, temos:∆ ° = ⇒ = ⇒ = = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ tg a a a S S a ABCD I 30 4 3 3 4 12 3 2 2 4 2 12 3 4 == = ⋅ = ⇒ = 48 3 3 3 48 3 3 16 3 2S mABCD C468. t A B 1 Cr s x y 3 2 3 2x 2 − 1 2 1 2 Por semelhança de triângulo, temos: 1 2 3 2 3 2 2 3 3 2 2 3 2 2 3 3 3 3 2 3 6 y x y x y x y x = − ⇒ = − ⇒ ⇒ = − ⋅ ⇒ ⇒ = − Área sombreada em função de x: A x x A x x x x x A x x S S S = ⋅ + − ⋅ ⇒ ⇒ = + − ⋅ = + − ⇒ ⇒ = − + 2 1 2 3 2 3 6 2 3 3 2 3 6 3 3 2 3 6 3 3 2 2 a)469. S R cm= ⋅ = ⋅ = = π π π π2 2 2 6 3 6 9 6 3 2 b) S R cm= ⋅ = ⋅ = = π π π π2 2 2 12 3 12 9 12 3 4 c) S R cm= ⋅ = ⋅ = π π π2 2 2 4 3 4 9 4 d) S R cm= ⋅ = ⋅ = π π π 2 2 2 3 3 3 3 470. a) S R R R sen S cm = ⋅ − ⋅ ⋅ ° = = ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒ ⇒ = − π π π 2 2 2 6 60 2 3 6 3 3 2 3 2 3 2 9 3 4 b) S R R R S cm = ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ ⇒ ⇒ = − π π π 2 2 2 4 2 3 4 3 3 2 9 4 9 4 c) S R R R sen sen S S = ⋅ − ⋅ ⋅ ° = = ⋅ − ⋅ ⋅ ° ⇒ ⇒ = − − ⇒ = − π π π π 2 2 3 120 2 3 3 3 3 60 2 3 9 2 3 2 3 9 33 4 2cm C471. A 1 1 1 B C D Note que a circunferência maior tem raio R = 3 cm e as duas circunferências menores têm raios R1 = 2 cm e R2 = 1 cm.
  40. 40. 288 Assim, a área em destaque é: S R R R S S S S = ⋅ − ⋅ − ⋅ ⇒ = ⋅ − ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ − = ⋅ = π π π π π π π π π π 2 1 2 2 2 2 2 2 2 3 2 1 2 9 4 2 4 2 2⋅⋅ π cm2 B472. r r r r A r r r A r r r círculo maior hachurada = ( ) = = = − = π π π π π π 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . == = = = π π π r razão A A r r hachurada círculo maior 2 2 2 4 1 4 E473. 3 3 660° S S S S S S cm setor= − = ⋅ − ⋅ ⇒ ⇒ = − ⇒ ⇒ = −     ∆ 6 3 4 3 6 9 3 9 6 9 3 6 2 2 2 π π π B474. 2 2 2 8 8 2 S = 82 – 4 · p · 22 ⇒ ⇒ S = 64 – 16 · 3,14 ⇒ ⇒ S = 16(4 – 3,14) ⇒ ⇒ S = 16 · 0,86 ⇒ ⇒ S = 13,76 m2 A475. 2 2 2 2 22 22 S S S S S cm = − ⋅ ⋅ ⇒ ⇒ ≅ − ⋅ ⇒ ⇒ ≅ −( ) ⇒ ⇒ ≅ ⋅ ⇒ ⇒ ≅ 4 4 2 4 16 4 3 14 4 4 3 14 4 0 86 3 44 2 2π , , , , 22 A476. M N P 10 10 10 10 10 10 60° 60° 60° I B A S S S S = ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒ ⇒ = − ⇒ ⇒ = − ⇒ = −( ) 20 3 4 3 10 6 100 3 100 2 100 3 50 50 2 3 2 2π π π π x x S 477. Seja L = 2x • Área do círculo: p · x2 •S x x x x x x = ⋅ − ⋅ = − = −( )π π π2 2 2 2 4 2 4 2 4 2 4 Assim, a razão pedida fica: π π π π π π x x x x 2 2 2 22 4 4 2 4 2−( ) = ⋅ −( ) = −
  41. 41. Resoluções 289 EM2D-11-34 B478. Rxx x C = 2πR Como o círculo tem o mesmo perímetro que o triângulo equilátero, temos: 2pR = 3x ⇒ R x x = 3 2 Assim, a área do círculo fica: S R x x x = ⋅ = ⋅     = =π π π π π π 2 2 2 2 23 2 9 4 9 4 60° 60° 60° A B CM O 3 6 479. O DABC é equilátero. O ponto O é o baricentro do DABC, então OA = 6 ⇒ OM = 3 e a altura do DABC, de lado d, vale AM = 9, mas: 3 9 6 3 2 = ⇒ = A área da região destacada, AD, vale: A A AD c rculo ABC= ⋅ −( )2 3 í ∆ 2 2 D 2 3 A r 3 4   = ⋅ π −    AD = −( )2 12 9 3π AD = −( )2 12 9 3π , usando 3 1 73≅ , e π = 3,14. Temos: AD @ 2 (12 · 3,14 – 9 · 1,73) AD @ 44,22 Do enunciado, temos a figura:480. 120° 1 11 1 1 1 a) A área S pedida pode ser obtida fa- zendo-se a área do hexágono regular menos a área de seis setores circulares de ângulo cen- tral 120° e raio unitário, cada um. Logo: S S S = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒ ⇒ = − ∴ = ⋅ −( ) 6 2 3 4 6 1 3 6 3 2 2 3 3 2 2π π π b) O perímetro pedido é igual a 6 2 1 3 2 ⋅ ⋅π , ou seja, 4p. B481. Seja r o raio da circunferência: r r 1 m 1 m (2r)2 = 12 + 12 r m2 1 2 = a área de sombra, As, vale: As = Acírculo – Aquadrado As = pr2 – 12 = p · 1 2 – 1 ⇒ ⇒ As m= −π 2 2 2 B482. L I A M 2 2 2 2 2 4 8 Área pedida: A = 4 · 8 – 2 · p · 22 ⇒ ⇒ A = 32 – 8p ⇒ ⇒ A @ 32 – 8 · 3,14 ⇒ ⇒ A @ 6,88 cm
  42. 42. 290 C483. 10 10 10 5 S = Shex. – Scír. S = ⋅ ⋅ − ⋅6 10 3 4 5 2 2π ⇒ ⇒ S = −150 3 25π ⇒ ⇒ S m= −( )25 6 3 2π B484. 60° R R R R S = 21 p cm2 π π π πR R R2 2 2 6 4 21− − = Multiplicando-se por 12, vem: 12 pR2 – 2pR2 – 3pR2 = 12 · 21 · p ⇒ ⇒ 7pR2 = 12 · 21 · p ⇒ ⇒ R2 = 12 · 3 ⇒ ⇒ R2 = 36 ⇒ R = 6 cm D485. 30 90 S = pR2 – pr2 ⇒ ⇒ S = p · 902 – p · 302 ⇒ ⇒ S = p · 90 · 90 – p · 900 ⇒ ⇒ S = p · 900 · 9 – p · 900 ⇒ ⇒ S = 900 p (9 – 1) ⇒ ⇒ S = 900 p · 8 ⇒ ⇒ S = 7.200 p m2 D486. Seja AB a corda: A B C O R r a a S = 25p cm2 pR2 – pr2 = 25p ⇒ ⇒ p(R2 – r2) = 25p ⇒ ⇒ R2 – r2 = 25 No DOAC, temos: R2 = r2 + a2 R2 – r2 = a2 ⇒ ⇒ a2 = 25 ⇒ ⇒ a = 5 a corda AB mede 2a = 2 · 5 = 10 cm. A487. C A D B 6 6 6 6 α β12 x No DABC, temos: sen AB BC α = = = 6 12 1 2 a = 30° e b = 60° cos cos α = = ⇒ ⇒ = ⇒ = ⇒ = AC BC x x x x cm 30 12 3 12 12 3 6 6 3  Assim, a área hachurada mede: S S S S S S S = − − = ⋅ − ⋅ − ⋅ ⇒ ⇒ = − − ⇒ ⇒ = − ⇒ ∆ 30 60 2 26 3 6 2 6 12 6 6 18 3 3 6 18 3 9   π π π π π SS cm= −( )9 2 3 2π
  43. 43. Resoluções 291 EM2D-11-34 A488. A B O 30° 30° 120° 6 6 6 S S S S sen S sen S setor= − = ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒ ⇒ = ⋅ − ⋅ ⇒ ⇒ = − ∆ π 6 3 6 6 120 2 12 3 18 60 36 18 2   ⋅⋅ ⇒ ⇒ = − ⇒ ⇒ = −( ) 3 2 36 9 3 9 4 3 2 S S cm B489. 2 I II 2 2 Área = AI + AII, em que A e AI II= ⋅ = = ⋅2 2 2 2 2 4 2π π, Área = 2 + p 490. A B C 60° 30° 12 R R 12 – R O M a) A A setor setor = = π π ·12 6 24 2 b) 2 círculo círculo No BOM temos : R sen 30 R 4 12 R A 4 A 16 ∆ ° = ⇒ = − ∴ = π⋅ = π A491. Do enunciado, temos a figura, onde r é a medida do raio do círculo de centro O: N P M O r r12 – r 30° 30° No triângulo retângulo LMO, temos: sen r r r r r 30 12 1 2 12 4  = − = − ∴ = Logo, a área pedida é igual a π · 42, ou seja, 16π. A492. 180 d = 200 π π π π R R S S R R 2 2 2 200 200 2 = ⋅ ⋅ ⇒ ⇒ S = 100 R ⇒ ⇒ S = 100 · 180 ⇒ ⇒ S = 18.000 m2 Assim, o número de pessoas presentes no comício é: n = 4 · 18.000 ⇒ ⇒ n = 72.000
  44. 44. 292 Capítulo 6 SB = +( )⋅10 4 4 2 = 28 cm2 b) SL = 10 · 15 + 5 · 15 + 4 · 15 + 5 · 15 SL = 150 + 75 + 60 + 75 ⇒ SL = 360 cm2 c) V = SB · H V = 28 · 15 ⇒ V = 420 cm3 Note a presença de um prisma reto de498. altura 21 cm. É o trapézio com as mesmas di- mensões do exercício anterior. 3 4 4 55 4 3 10 S cmB = +( )⋅ = 10 4 4 2 28 2 Assim, V = SB · H = 28 · 21 = 588 cm3 1 33 64 4 499. A área da base é dada pela soma das áre- as de um retângulo e de um triângulo. V = SB · H V = ⋅ + ⋅    ⋅3 4 4 1 2 6 ⇒ V = 14 · 6 V = 84 m3 A500. Considerando-se que seja possível encher totalmente a calha de água, temos um prisma de base triangular. V sen V V m = ⋅ ⋅ ° ⋅ ⇒ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = 0 2 0 2 120 2 3 0 02 3 2 3 0 03 3 3 , , , , V = S493. B · H V = S · H ⇒ V = 6 · 9 ⇒ ⇒ V = 54 cm3 5 43 43 7 494. a) SB = 3 4 2 ⋅ = 6 cm2 b) SL = 4 ­· 7 + 3 · 7 + 5 · 7 = 84 cm2 c) ST = 2SB + SL = 2 · 6 + 84 = 96 cm2 d) V = SB · H = 6 · 7 = 42 cm3 V = SB · H495. V sen V V cm = ⋅ ⋅ ° ⋅ ⇒ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = 2 3 60 2 10 3 3 2 10 15 3 3 h 12 1010 66 496. 102 = h2 + 62 ⇒ h2 = 64 ⇒ h = 8 cm S• B = 12 2 ⋅ h = 6 · 8 = 48 cm2 S• L = 10 · 20 + 10 · 20 + 12 · 20 = 640 cm2 S• T = 2 · SB + SL = 2 · 48 + 640 = = 96 + 640 = 736 cm2 V = S• B · H = 48 · 20 = 960 cm3 a497. ) 3 4 h 55 4 3 10 52 = h2 + 32 ⇒ h = 4 cm
  45. 45. Resoluções 293 EM2D-11-34 3 2 2 2 3 3 70 50 501. Vamos determinar o volume dos seis ca- nais e descontar o volume hachurado. V = 3 (2 · 70 · 1 + 30 · 50 · 1) – 9 · 2 · 3 · 1 ⇒ ⇒ V = 3 · 290 – 54 ⇒ V = 870 – 54 ⇒ ⇒ V = 816 m3 D502. A área da base é igual à área da seção, que, por sua vez, coincide com a área de um trapézio retângulo. V S H V B= ⋅ = +( )⋅ ⋅ = ⋅ = 3 1 20 2 15 40 15 = 600 m3 = 600.000 l 0,6 2 h 1 BA D C 1 2 0,6 3,2503. 1 0 6 1 6 10 1 36 100 1 36 100 64 100 8 10 2 2 2 2 2 2 2 2 = + = +     = + = − = = h h h h h h , hh m= 0 8, a) V S H V h CG V V V B= ⋅ = +( )⋅ ⋅ ⇒ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ ⇒ = 3 2 2 2 5 2 0 8 2 1 5 2 6 0 8 1 5 3 , , , , , , , ,112 3m V S H V h CG V V V B= ⋅ = +( )⋅ ⋅ ⇒ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ ⇒ = 3 2 2 2 5 2 0 8 2 1 5 2 6 0 8 1 5 3 , , , , , , , ,112 3m b) A área a ser pintada é dada pelo do- bro das seguintes áreas: trapézio ABCD• trapézio EFGH• retângulo BCGF• retângulo AEHD• retângulo ABEF• Assim, S = ⋅ +( )⋅ + +( )⋅ + + ⋅ + ⋅ + ⋅           2 3 2 2 0 8 2 3 2 2 0 8 2 1 1 5 1 1 5 2 1 5 , , , , , , , ⇒⇒ ⇒ =S m20 32 2, A504. 45º 45º 55 4 4 a 14 d m V V V V cm = = ⇒ = ⇒ =7 14 0 357 0 357 7 14 0 05 3, , , , , Assim, V S H H H H H B= ⋅ = +( )⋅ ⋅ ⇒ ⇒ = ⇒ ⇒ = ⇒ = = = 0 05 14 4 5 2 0 05 45 0 05 45 5 100 45 1 20 45 , , , 11 900 cm a)505. S cmB = ⋅ = 4 3 4 4 3 2 2 b) SL = 3 · 4 · 11 = 132 cm2 c) S S S cm T B L= ⋅ + = ⋅ + = = + = +( ) 2 2 4 3 132 8 3 132 4 2 3 33 2 d) V S H cmB= ⋅ = ⋅ =4 3 11 44 3 3
  46. 46. 294 Seja x a medida da aresta da base.506. ST = 48 m2 2 · SB + SL = 48 ⇒ ⇒ 2x2 + 20x – 48 = 0 ⇒ ⇒ x2 + 10x – 24 = 0 Soma: Produto: S P = − = − −( ) 10 24 12 2, x = 2 m Assim, o volume fica: V = SB · H V = x2 · 5 ⇒ V = 22 · 5 ⇒ ⇒ V = 20 m3 S cm V cmT = +( ) =36 3 3 10 540 32 3;507. Área total: S S S S S T B L T T = + = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⇒ ⇒ = ⋅ ⋅ + = + ⇒ ⇒ = 2 2 6 6 3 4 6 6 10 12 9 3 360 108 3 360 36 3 2 33 10 2+( )cm Volume: V S H V V V cm B= ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = 6 6 3 4 10 6 9 3 10 540 3 2 3 D508. a h a a E509. Área da base: S Volume V S H B B = ⋅ ⋅ = = ⋅ = ⋅ = 6 2 3 4 6 3 6 3 2 12 3 2 : 2p = 21 cm 3a = 21 ⇒ a = 7 cm SL = 105 cm2 3 · a · h = 105 ⇒ ⇒ 3 · 7 · h = 105 ⇒ ⇒ h = 105 21 ⇒ h = 5 cm D510. V m S H a a a a a Assim S B L = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⇒ = ⇒ ⇒ = ⇒ = ⋅ ⇒ ⇒ = = 3 3 6 3 4 2 3 3 1 1 3 1 3 3 3 3 2 3 2 2 2 : 66 6 3 3 2 12 3 3 4 3 2 ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⇒ ⇒ = a h S S S m L L L A511. SL = 2 · SB 6 · a · h = 2 6 3 4 2 ⋅ ⋅ ⋅a ⇒ ⇒ 6 · a · 4 · 3 = 3 · a2 · 3 ⇒ ⇒ 24a = 3a2 ⇒ 8 = a ⇒ a = 8 cm2 I. S a S S cm B B B = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ ⇒ = 6 3 4 6 8 3 4 96 3 2 2 2 II. V = SB · H = 96 3 · 4 3 ⇒ ⇒ V = 96 · 3 · 4 ⇒ V = 1.152 cm3 III. 12 vértices 18 arestas E512. 3 aa a S a a a m B = ⋅ = ⇒ ⇒ = ⇒ = 4 3 3 4 4 3 16 4 2 2
  47. 47. Resoluções 295 EM2D-11-34 Assim: SL = 3 · a · h SL = 3 · 4 · 3 ⇒ SL = 36 m2 V = SB · H ⇒ V = 4 3 · 3 ⇒ ⇒ V = 12 3 m2 A513. S S a h a a a a a a a L B= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ ⇒ = ⇒ = ⇒ ⇒ 3 6 3 6 3 4 6 9 3 6 3 4 36 3 3 12 3 2 2 2 == = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = 12 3 6 3 4 9 6 4 144 3 9 3 648 3 2 3 cm As V S H a V V cm B sim: A514. V S H V V V cm As d m V m m g B= ⋅ = ⋅ ⇒ ⇒ = ⋅ ⇒ = = ⇒ = ⇒ = 5 4 3 4 25 3 75 7 8 75 585 2 3 sim: , E515. SL = 6 · SB 4 · x · 15 = 6 · x2 ⇒ ⇒ 60x = 6x2 ⇒ 10 = x Volume de medicamento: V = 3 4 · SB · H = 3 4 · 102 · 15 = = 3 · 25 · 15 = 1.125 cm3 = 1.125 ml Três doses durante seis dias totalizam 18 doses. Assim: 18 · 50 = 900 ml O medicamento será suficiente, restando ainda 1.125 – 900 = 225 ml no recipiente. D516. Volume do prisma triangular regular: V a hT = ⋅ 2 3 4 Volume do prisma hexagonal regular: V a h A V V a h a h H T H = ⋅ ⋅ ∴ = ⋅ ⋅ ⋅ = 6 3 4 3 4 6 3 4 1 6 2 2 2 B517. V S H mB= ⋅ = ⋅ ⋅ = 2 3 4 2 2 3 2 3 E518. Volume do recipiente, em dm3: V = 7 · 4 · 5 V = 140 dm3 V = 140 l Assim, serão necessários mais 140 – 60 = 80 l de água. A519. Capacidade da piscina, em dm3: V = 120 · 60 · 30 V = 216.000 dm3 V = 216.000 l Quantidade de água que ainda cabe na piscina: 3 8 · 216.000 = 81.000 l D520. 1 50 100 V = 100 · 50 · 1 V = 5.000 dm3 V = 5.000 l
  48. 48. 296 D521. 18 – 2x x x x x x x x x 18 – 2x 18 – 2x x 18 – 2x V = 400 cm3 (18 – 2x)(18 – 2x) · x = 400 ⇒ ⇒ 2(9 – x) · 2(9 – x) · x = 400 ⇒ ⇒ (9 – x)2 · x = 100 ⇒ ⇒ (81 – 18x + x2) · x = 100 ⇒ ⇒ x3 – 18x2 + 81x – 100 = 0 Sabemos que x = 4 é uma das raízes, então: 4 1 – 18 81 – 100 1 – 14 25 0 x2 – 14x + 25 = 0 D = (–14)2 – 4 · 1 · 25 D = 196 – 100 = 96 x x x = ± ⋅ = ± = ± ∴ = + = − 14 6 16 2 14 4 6 2 14 2 4 6 2 7 2 6 7 2 6 1 2 Como 2x deve ser menor que 18, temos: 2x < 18 x < 9 Assim, 7 2 6− B522. 60° 10 h 6 66 sen h h h cm Assi V S h cmB 60 10 3 2 10 5 3 6 3 4 5 3 9 5 3 135 2  = ⇒ = ⇒ ⇒ = = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = m: 22 A523. Note que os volumes são iguais: 40 · 10 · 14 = 20 · 10 · (40 – x) ⇒ ⇒ 4 · 14 = 2 (40 – x) ⇒ 40 – x = 28 ⇒ ⇒ x = 12 cm A524. 1030º 30º a 9 9 cos 30 9 3 2 9 18 3  = ⇒ = ⇒ ⇒ = a a a m Quantidade de telhas necessária: n a n = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ ⇒ = ⋅ = ≅ 2 10 20 400 18 3 7 200 1 7 4 235 3 . , . , O valor mais próximo é 4.080 telhas. A G CO H I F x x x M L B E J 6 m D 525. x x m= ⋅ ⇒ = 6 3 2 3 3 Observe que OJ é altura do triângulo equilátero OED e também é o lado do hexágo- no GHIJLM. a) S S S = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅( )⇒ ⇒ = ⋅ − ( )    ⇒ ⇒ = ⋅ −( ) ⇒ 6 6 3 2 6 3 3 3 4 6 3 2 6 3 3 3 3 2 36 27 2 2 2 2 ⇒⇒ = ⋅ ⇒S 3 3 2 9
  49. 49. Resoluções 297 EM2D-11-34 S S S = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅( )⇒ ⇒ = ⋅ − ( )    ⇒ ⇒ = ⋅ −( ) ⇒ 6 6 3 2 6 3 3 3 4 6 3 2 6 3 3 3 3 2 36 27 2 2 2 2 ⇒⇒ = ⋅ ⇒ ⇒ = ⋅ S S m 3 3 2 9 27 3 2 2 b) V S H V V V m B= ⋅ = ⋅ ( ) ⋅ ⋅ ⇒ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ ⇒ = 6 3 3 3 4 2 3 2 9 3 2 3 81 3 2 3 C526. Volume do prisma da figura II: V x x x x II = ⋅ ⋅ = ⇒ = ⇒ = 3 3 4 2 3 8 2 2 3 Volume do sólido total: V S H d x x x V B= ⋅ = ⋅ ⋅ +     = = ⋅ ⋅ +     ⇒ ⇒ = ⋅ ⋅ 3 3 4 4 3 2 9 3 4 4 5 8 3 2 9 3 4 20 2 2 88 3 2 2 9 3 4 8 18 3+ ⋅    = ⋅ = Volume do sólido da figura I: VI = V – 3 VII ⇒ ⇒ VI = 18 3 – 3 · 3 ⇒ ⇒ VI = 15 3 A527. A B 2 x x x 8 C E F D G 10 S V = S · x, em que S = 2 · 10 + 8 · x = 8x + 20 V = (8x + 20) x ⇒ V = 4x (2x + 5) E528. 85° 35°60° 2 a 7 7 2 2 2 60 7 4 4 1 2 2 3 0 2 3 1 3 2 2 2 2 2 = + − ⋅ ⋅ ⋅ ° ⇒ ⇒ = + − ⋅ ⇒ ⇒ − − = = = − −( a a a a a a S P cos , )) ∴ =a m3 Assim, o volume fica: V S H sen m B= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = = ⋅ = 2 3 60 2 4 3 3 2 4 6 3 3 º a)529. d = 4 2 cm b) D = 4 3 cm c) ST = 6 · 42 = 96 cm2 d) V = 43 = 64 cm3 V = 5530. 3 V = 125 dm3 V = 125 l S531. T = 54 cm2 6 · a2 =54 ⇒ a = 3 cm ⇒ a = 0,3 dm V = a3 = (0,3)3 = 3 10 27 1 000 3 3    = . dm ⇒ ⇒ V = 0,027 l D = 6532. 3 a 3 = 6 3 a = 6 cm ST = 6a2 = 6 · 62 = 63 = 216 cm2 E533. 2 m 2 m 2 m
  50. 50. 298 A área total do cubo é dada por: AT = 6 · Ab ⇒ AT = 6 · a2 ⇒ ⇒ AT = 6 · 22 ⇒ AT = 24 m2 B534. A = 6a2 ⇒ 6a2 = 72 ⇒ a2 = 12 ⇒ ⇒ a = 2 3 D a D D= ⇒ = ⋅ ⇒ =3 2 3 3 6 m C535. E540. B B' a aaA No desenho destacado: AB’2 = (2a)2 + a2 AB’2 = 5a2 AB’ = a 5 a)541. ST = 2(3 · 7 + 3 · 10 + 7 · 10) = = 2 · (21 + 30 + 70) ⇒ ⇒ ST = 2 · 121 = 242 cm2 b) V = 3 · 7 · 10 = 210 cm3 c) D cm = + + = + + = = 3 7 10 9 49 100 158 2 2 2 542. 5 dm 3 m = 30 dm 80 cm = 8 dm V = 8 · 5 · 30 V = 1.200 dm3 V = 1.200 l B543. 6 · 15 · 20 = 8 · 15 · a ⇒ ⇒ 6 · 20 = 8 · a ⇒ 8a = 120 ⇒ ⇒ a = 15 cm C544. D D cm = + + = + + = ⇒ ⇒ = ⋅ = 5 9 12 25 81 144 250 25 10 5 10 2 2 2 a a a 12 60 5 3 5 3 ·a a m D a D m = ⇒ = = ⇒ = A536. � 3 3 33 12 4 V 4.096.000 V 4.096 m L 4.096 L 2 L 16 m = = ⇒ = ⇒ ⇒ = ⇒ = E537. 216 = 63 cubos como o da figura I. Assim, temos 6 camadas de cubinhos de aresta 5 cm. x = 6 · 5 = 30 cm = 0,3 m A538. Observando atentamente, marcamos a alternativa A. C539. Considere na figura uma representação da nova montagem do cubo: A B F E C D Logo, a face oposta à face é a face D.
  51. 51. Resoluções 299 EM2D-11-34 D545. A razão pela qual esse tanque recebe água é: 3 3 10 5 18 3⋅ ⋅ = m hora/ D546. 18 dm = 1,8 m 0,15 m 90 cm = 0,9 m Note que o volume da pessoa é igual ao volume de água deslocado. V = 0,9 · 1,8 · 0,15 = 0,243 m3 B547. 40 cm = 4 dm 30 cm = 3 dm 60 cm = 6 dm � 6 3 4 V 5 36 5 V 41 2 ⋅ ⋅ = + = + ⇒ = C548. a + 0,2 dm a 30 cm = 3 dm V ≥ 3,6 d 3 · a · (a + 0,2) ≥ 3,6 ⇒ ⇒ a(a + 0,2) ≥ 1,2 ⇒ ⇒ 10 a (a + 0,2) ≥ 12 No mínimo, a menor aresta medirá: 10a (a + 0,2) = 12 ⇒ ⇒ 10 a2 + 2a – 12 = 0 ⇒ ⇒ 5a2 + a – 6 = 0 ∆ = 12 – 4 · 5 (–6) = 121 1 121 a 2 5 − ± = ⇒ ⋅ a 1 2 1 11 10 a 1 1 11 10 10 10 − + = = = − ± 1 11 12 10 10 −− não convém      a = = ∴ a menor aresta mede 1 dm = 10 cm. C549. 3 m 20 m 10 m Galpão • 1 lata → 80 m2 • área de um piso → 1.600 cm2 • tijolo → 10 20 I. Quantidade x de pisos no chão: x = ⋅ = = 10 20 0 16 200 0 16 1 250 , , . II. Quantidade y de tijolos nas paredes: y = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = + = = = 2 10 3 2 20 3 0 1 0 2 60 120 0 02 180 0 02 9 000 , , , , . III. Quantidade z de latas de tinta nas paredes (dentro e fora): z = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = = + = = 4 10 3 4 20 3 80 120 240 80 360 80 4 5, A550. • VI = 103 ⇒ • VII = 40 · 10 · 12 ⇒ ⇒ VI = 1.000 cm3 ⇒ VII = 4.800 cm3 A água ocupará 1.000 cm3 no vasilhame II, que possui 4.800 cm3 de capacidade. Assim, temos: 1 000 4 800 10 48 5 24 0 2083 20 8 . . , , %= = ≅ ou
  52. 52. 300 E551. x 20 dm 10 dm V = 360 l 20 · 10 x = 360 ⇒ x = 1,8 dm ⇒ ⇒ x = 18 cm A552. V = 30 · 40 · 20 V = 24.000 dm3 V = 24.000 l Gasto médio por apartamento G = = 24 000 10 2 400 . . l 4 4 A B x 553. x2 = 42 + 42 = 2 · 42 ⇒ ⇒ x = 4 2 cm a)554. V = 27 cm3 a3 = 27 ⇒ a = 3 cm b) C BA 2 3x x2 = 22 + 32 = 4 + 9 = 13 ⇒ x = 13 cm c) B 3A 2 y D 3 5 y2 = 52 + 32 = 25 + 9 = 34 ⇒ ⇒ y = 34 cm d) B 3 A 2 z E z2 = 22 + 32 = 4 + 9 = 13 ⇒ ⇒ z = 13 cm e) β 3 A 2 t 3 F 3 2 t2 = 22 + (3 2)2 = 4 + 9 · 2 ⇒ t2 = 4 + 18 = t2 = 22 ⇒ ⇒ t = 22 cm a)555. ST = 96 cm2 6 · a2 = 96 ⇒ a2 = 16 ⇒ a = 4 cm b) A B C 4 4 3 x 4 2
  53. 53. Resoluções 301 EM2D-11-34 x2 = 32 + (4 2 )2 ⇒ ⇒ x2 = 9 + 42 · 22 ⇒ ⇒ x2 = 9 + 32 = 41 ⇒ ⇒ x = 41 cm c) A D 4 3 4 4 4 4 2 y 7 y2 = 72 + (4 2)2 ⇒ ⇒ y2 = 49 + 16 · 2 ⇒ ⇒ y2 = 49 + 32 ⇒ ⇒ y2 = 81 ⇒ y = 9 cm C556. A a P E F Q G a a a x y aa 2 x2 = a2 + a2 = 2a2 ⇒ x = a 2 y2 = (2a)2 + (a 2 )2 ⇒ y2 = 4a2 + 2a2 = 6a2 ⇒ ⇒ y = a 6 B557. A C B 4 4 4 4 2 S SABC ABC∆ ∆= ⋅ ⇒ = 4 4 2 2 8 2 C558. A a a C B E H DM G F a 2 x a 2 2 x a a x a a a x a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 4 3 4 3 2 =     +       ⇒ ⇒ = + = ⇒ = 559. A C B E H D M N RP 10 G F Sejam N o ponto de intersecção das dia- gonais do cubo, M o encontro das diagonais do retângulo ABCD e R o ponto médio do lado AB. Queremos calcular a medida do segmento NP. Temos que PR = 10 cm e MR = 20 cm. O triângulo MPR é retângulo. Logo, MP2 = PR2 + RM2 = 100 + 400 = 500 O triângulo NMP também é retângulo. Portanto, NP2 = MP2 + MN2 ⇔ ⇔ NP2 = 900 + 400 ⇒ NP2 = 900 ⇒ ⇒ NP = 30 cm (a + b + c)560. 2 = D2 + ST 102 = D2 + 62 ⇒ ⇒ D2 = 100 – 62 ⇒ ⇒ D2 = 28 ⇒ ⇒ D = 28 ⇒ ⇒ D = 2 7 cm
  54. 54. 302 B561. a a a a c c c c bb b b 4a + 4b + 4c = 140 ⇒ ⇒ a + b + c = 35 ⇒ (a + b + c)2 = D2 + ST 352 = 212 + ST ⇒ ⇒ ST = 352 – 212 ⇒ ⇒ ST = (35 + 21) · (35 – 21) ⇒ ⇒ ST = 56 · 14 ⇒ ⇒ ST = 784 cm2 C562. 4 dm I VI = 43 = 64 dm3 = 64 l SI = 5 · 42 = 5 ·16 = 80 dm2 2 dm II VII = 23 = 8 dm3 = 8 l SII = 5 · 22 = 5 · 4 = 20 dm2 Assim, I supera II em 64 l – 8 l = 56 l e 80 – 20 = 60 dm2. B563. 0,8 m = 8 dm 1 m = 10 dm =x a 3 a a a D = a 3 = x 300 l ________ 15 minutos 8 · 10 · x ________ 34 80 x · 15 = 300 · 34 ⇒ ⇒ m= ⋅ ⋅ = ⋅ = = = 300 34 15 2 34 8 34 4 17 2 8 5, 80 Assim: 0,85 = a 3 ⇒ 0,85 = a · 1,7 ⇒ ⇒ a = 0 85 1 7 , , ⇒ a = 0,5 m D564. 1,5 a b b c 2 a c 3 a b b c a b ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =      1 5 36 2 36 3 36 , Multiplicando-se as equações, vem: a2 · b2 · c2 · 9 = 36 · 36 · 36 ⇒ ⇒ a2b2c2 = 4 · 36 · 36 ⇒ ⇒ (abc)2 = 4 · 36 · 36 ⇒ ⇒ abc = 4 36 36⋅ ⋅ ⇒ ⇒ abc = 2 · 6 · 6 ⇒ ⇒ V = 72 l a a a a 2 a 3 565. D d a a a a a a cm = + ⇒ ⇒ = + ⇒ − = ⇒ ⇒ −( )= ⇒ = − 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 2 3 2
  55. 55. Resoluções 303 EM2D-11-34 566. 2 2 2 3 3 3 2 3 3 3 Assim, sendo x esse aumento, temos: 2 3 3 3 3 3 2 3 3 + = ⇒ = − ⇒ ⇒ = x x x cm S567. T = 600 cm2 ⇒ ⇒ 6a2 = 600 ⇒ a2 = 100 ⇒ a = 10 cm ⇒ V = a3 ⇒ V = 103 ⇒ V = 1.000 cm3 Seja A o vértice e C o centro de uma das568. faces opostas. A D B C 2a 60 a a a NO ∆ABD, temos: A D B 2a x a x2 = (2a)2 + a2 = 4a2 + a2 = 5a2 ⇒ ⇒ x = a 5 No ∆ABC, temos: A B C 60 a a 5 60 = a2 + (a 5)2 ⇒ ⇒ 3.600 = a2 + 5a2 ⇒ 6 a2 = 3.600 ⇒ ⇒ a2 = 600 ⇒ a = 10 6 cm ∴ a aresta desse cubo mede 2a = 20 6 cm e seu volume vale: V = a3 = (20 6)3 = 203 · 63 = 8.000 · 6 6 ⇒ ⇒ V = 4.800 6 cm3 Se o cubo e o paralelepípedo são equiva-569. lentes, então eles possuem mesmo volume. Vcubo = Vparalelepípedo a3 = 8 · 64 · 216 a a a a a cm = ⋅ ⋅ ⇒ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ ⇒ = 8 64 216 8 64 36 6 8 64 6 2 4 6 48 3 3 3 3 33 D570. a a · b a · c b · c b c ab ac bc a b c abc V V = = =      ⇒ ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ ⇒ 6 9 24 6 9 24 6 9 6 4 6 3 2 2 2 2 == 36 3cm 571. a a a a 2 a 3 d a a d a d D a D d D d = ⇒ = ⋅ ⇒ ⇒ = = ⇒ = ⋅ ⇒ ⇒ = 2 2 2 2 2 2 3 2 2 3 6 2
  56. 56. 304 • = ⇒ ⇒ = ⇒ ⇒ ⋅ = ⇒ = D a a a a 3 6 3 2 3 3 2 572. • = ⇒ ⇒ = ⇒ ⇒ = ⋅ ⇒ ⇒ = V a V V V cm 3 3 2 3 2 2 2 2 2 • = ⇒ ⇒ = ⇒ ⇒ = D cm a a cm 1 3 1 1 3 573. • = ⇒ ⇒ = ⋅ = ⋅ = ⇒ ⇒ = S a S S cm T T T 6 6 1 3 6 1 3 6 3 2 2 2 2 C574. a a a a + 1 a + 1 a + 1 S aL1 4 2= S aL2 4 1 2 = +( ) Assim, de acordo com o texto: 4(a + 1)2 = 4a2 + 164 ⇒ ⇒ (a + 1)2 = a2 + 41 ⇒ ⇒ a2 + 2a + 1 = a2 + 41 ⇒ ⇒ 2a = 40 ⇒ a = 20 m V = a3 ⇒ V = 203 ⇒ V = 8.000 m3 a a b 6 575. • = + + = ⇒ + = D m a a b a b 6 6 2 62 2 2 2 2 e • ST = 10 m2 2(a · a + a · b + a · b) = 10 ⇒ ⇒ a2 + 2ab = 5 Veja as opções para a e b inteiros: a = 1 e b = 2 2a2 + b2 = 6 ⇒ ⇒ 2 · 12 + 22 = 6 ⇒ ⇒ 6 = 6 e a2 + 2ab = 5 ⇒ ⇒ 12 + 2 · 1 · 2 = 5 ⇒ ⇒ 5 = 5 Assim, as dimensões são 1 m, 1 m e 2 m. V = 1 · 1 · 2 ⇒ ⇒ V = 2 m3 A576. a c a a a b Seja a dimensão b 25% menor que a ares- ta a do cubo. Assim: b a b a = ⋅ ⇒ =75 3 4 % Sabemos que os dois volumes são iguais. Então: a a b c a a a c c a 3 3 3 4 4 3 = ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ ⇒ = · · Assim, a diferença entre as áreas totais do sólido novo (paralelepípedo) e do cubo é: D a a a a a a a D a = ⋅ + ⋅ + ⋅     − ⇒ =2 3 4 4 3 3 4 4 3 6 6 2 2

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