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Solucionario: Geometría analítica de Lehmann

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La solución de todos los ejercicios de Geometría analítica de Lehmann.

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Solucionario: Geometría analítica de Lehmann

  1. 1. "Muullc th); gchrvo gdntar 13' Hugboral Marcadcre: Haremxengzs Aygda f(‘w - Q vL- _¡tp/ fcivilurhevzlwardwezsmonu I httpwdvtmnhemworiprcncorl. ’ x = = Deposit Fila Nh cuarta v híovració de bla; v O ñrbscribe v mlïln ¡.621 n? FFIIFHA y -- I. ¡_— . 5| DESEAS PLDLICAR ADM. SJGICR R. PRIZGUNTAR AL AUI UK PUR IAVUK HIV-A UH EMA L CON U PSEUDONIMO AL SKSUIEIITE CORREL‘: ImrK‘ 3‘ [HWHÍNÍI EN a Siguiulc . . Alluiul s Eeaallalwun __ Luiuid: ¡Lia JuvayLEuIn/ nuinúanu a Espuanw a gucslZm CCLKLUIVJZ. Vi’, Jr a dzxulg: IJÍI! (23 IIIÍVILLU) ¡c: lavIl: Í
  2. 2. ‘ l lo. . ‘ Y)‘. la! « i «I. ,Í o B . ‘ . n il i. —. _ I'll . .¡ v4! Í / l . . R1 . i, ‘¡w fi). .t , ._ - . ’ _ ‘Í ‘ 1 ï L ‘ v! 3.. i, a I‘. I. . 1| II l! ‘ ‘ ‘ ‘tal. Í. ¡l r l ’ ‘ w? | I «l á II’:
  3. 3. l Gcaneiaia Analítica Febrero 1983 Octubre 1985 Abril 1987 PRIMERA EDICION: SEGUNOfl EDICION: ÏERCERA EDICION: Relupresiín de la «menu Eoxcxou: Octubrl 1990 J. y El Iétoúo de pllntcar y salvar los prnblcnas, así como la áingr 16 y disposición dal 11- hi bra son de propia l dal gu}3r. A b Todos los DERECHOS RESER A008 en culfillnientg 5 - 451-o¡g¡gzo-Lgy ul #9437; quefa hechb el dep5Á 1 alta, en la Bibuotéra Nácxonax. ¿equ N“ ou, ' scgfin Ley u°— 13714. ï Se hrohlïz €ern1nant4nentc La rnnrodáociíl to- tal o parcial de la abra, sin paraiso expreso ¡del autor. —4 1:: PRO LOGO A1 Pühlíüar E519 Ïíbroy ha sida mi intención. centri- buir 4 dssperiar el fntarés y la ari: fin del estudiante por al estudio de Va Gecmctrïa Analf*; ca. Debo ndvs air de anismeno que nata trabajo no tiene pretensión alguna fia ser un lihfo didáctico o de anseñasza tsórlct. Considero qua al libro de GH. E. manta áidácticc, par ella le permití extraer, en cada cg Lehaarn es eai: énte- pítulo, algunos tcorenas, y domosfrarlas. nara después rg solver las proilemas da cuán grupo. Particularmente na he e5’orzado para que los problamas Ïuesan resueltos en forma clara y nnnctlla. dc ilnora que no sean astorhados por operauionoa sritm6ticni. ángo: :a: ss. A1 final de cada capítujnéincluyo problemas resueltos, 59'10: propuestos en el toxic de las hermanos De La Bor- balïa, por eonsidsrarlos, ‘É mayor grado de dificultad q' las de Lehmann. En indud2_% diante adquirir mayor de ‘ qua esto permitirá al estu- za part resolver otros tipos presentar en el daaarrnllo tu’ ' i. AÏ ient '% todas 155 persnnaa, _q' a de p: ;blema: que se pudíe del curso de Geometría. Éinr1men6c. Lm1‘agrgEed con eng valios = iugerenci ción de esta aPna, an asp tu deseo de adquirir mayo dom tncí5n que de fin parte mstescn ¡ I iarcn posíhle la : :al1za- a tí, joven eatufiiante, a o en al tuna y a la ¿ces este modesto trabajo. ¿ 1 ! El untar . ... ..-. ..-. .
  4. 4. P". E34; p") E P F. v‘ :2 f 3 5;‘ ¿un i" "Í "u l. .. L: ¡‘sf-Í ¡El s‘) j i. .. a 1 t»! ¿r ' . 2.0-; fi‘ p . h, ‘ "d a " . ‘r2. ", . . r :4 C " a" ‘ __ v; - . y ' 2-, t . - ‘ " ‘ v ‘— - (‘2 _r_ A} ‘"1 N: ' -_ . _—. ‘ ‘o ' f ‘ D—: t, _ Iv ‘ V. , __ J Z _ _- .71 v; x. .. : - 4¿_n-r-—. Soiucionsïic» ¿ge raw’ v: s. "L A13 a- ' "EL ‘. ."’: ‘ma. .; ..«. =;-; > H. *_, -_-, ;—, ,.¡, g ¿nchwe una Seleccion de Ï3fO‘J‘3rfl&S_Ï-fesue| {g3 cv: á 0G . ._ “flv: 44.. U I. .'li¡no « de! Iiio FnJÁD-a La Zïïorbofla un»; 1:: u-F- - TERCERA EDICION R. FIGUEROA G. ¡su
  5. 5. I ‘I ggoutala final “¿Mi Quién uu; ummáto a “aun” “M” ¡[alla/ ná (c4 nedioóv Quién no ¿maga ganaz- de hacmlo. MCM tau-má ¿nm rliaculfiflá- i uM_¡ 2.7 2.5 3.2 3-3 3.1. INDICE GENERAL 1. Sistemas de Coordanadas Sagmento Rnctïlíneo Dirigido Sistema coordenada Lineal sistemas de Coordenadas en el plano PROBLEMAS RESUELTOS. Grupo 1. Distancia entra dos punta: División de 1m segmento en una razón dada. PROBLEMAS RESUELTOS. Grupo Z. Pendiente de una recta. Angulo entre dos rectal. PROBLEMAS RESUELTOS. Grupo 3. Demostraciones de teorema: geométricos por el método analítica. PROBLEMAS RESUELÏOS. (¡tuyo A. ‘,2. Gráflcá de una Ecuación Gráfica de una ecuación. Interceptos . Sinetríra Extensión . Aaintotas. ‘ PRÜDLEMASMESÜELTOS. ¡’Mp0 6. Ecuncioneá factor-hab ea nnoaLzuAsyazsusLïos. cuan; 1. 4 Ecuaa15n (¡a un Lugar Geon trico. PROBLEMAS RESUELTOS. Grup B. a, La Línea Recta; Formas de la ecuación de una línea recta. PROBLEMAS RESÜÉLÏÜS. CII) o 9. Forme. General de 1p seua "ón de una recta. Posiciones relativas de a rectas. PROBLEMAS RESUELTOS. Gr n ID. Forma Normal de la eeuu: ón do una recta. Ouvñh: 12 13 23 23 25 32 [.0 46 57 6C 67 68 '76 76 77 87
  6. 6. 4.2 ¿:4 5.. 5 x. v- . Bj’e Radical . gamma la Analítica Reducción a la. Forma Normal Pnoaums nssusnos. Grupo u. Aplicaciones. rie la Fox-mn líos-nal. ‘PROBLEMAS RESUELTOS. Grupo‘ .12. Area de un Triángulo. Fauilta ás rectas. PROHLEHÁS RESUELTOS. Grupo 13 PROBLÉHÁS RÉSUÉLÏÜS. Grupa l‘ PRODLÉHKS ÁDICIONÁLES (Texte: ï". De La Earbolla) 47-. La circunfernncin Deünicjoïn y Ecuacianes. _ PROBLÉHRS RÉSIELTOS. Grupo n15. Fórna General de la. ecuucifiá de una Circunferencí PROBLEIAS RESUELTOS. " Grupbh-IS. Familia de circunferencia: - mnmcms ncsueuos. crupá. 7 _ . , i, {v ‘ i Teorema: y Problemas fic ‘jugara: geométricos Tuxgentwe e un: Circiznfárencié. PROBLEMAS ncsusnos. cupo ¿m v . , relatiña a la cireunfeflsnahi. PRQÜLEHÁS RESUELTOS. 84m0 19 ‘ PFDBLEHAS ADICIONALES. ‘ (texto: r. _ Dc: La Bon-thalia“ ' I 5. Transformación ¡‘le (¿nor-donadas - i x Definición. _ Traslacián de Ejczfi Guard-grados. PHOBLÍMAS RESUFLÏOS. Cr! c 20. 1Ï°t3i3i¿n_ db‘ Ejea Connie: ‘ns. 105 106 107 11k 121 730 131 T38 139 751 151 161 182 1a? ‘CN U‘; ru 5.; «x max ¿su 6.5 8.1 Contenido 1 PROBLEMAS RESUELTOS. Grupo ZÍ 188 Simplificacián de una ecuación por transforma- ción de coordenadas. V 196 PROBLEMAS RSUELTDS. Grupo 2? 197 é. La Paráboia Definicíán 205 Ecuacíín ¿a la parábola con vértice en el origen 205 PROBLEMAS RESUELTOS. Grupo 23 2'16 Ecuación de La pnrébalp con vértice ón (21,24). 214 Ecuaciín General do una-Paráboln. V 215 PROBLEMAS nssvmros. Gijupo 24 . _ J 215 Ecuación de Ja tengan: a una, parábola . 221 PROBLEMAS FEESUELTOSHlÓrAUpQ 25 ' . ' 4 223 PiioillfÉiiAs ao1cxcmx/ uLevsgl > - _ _. ' (rextb: r. Dc La Bovggllal y ' 234 - ni‘ 7. La Eiípse ' ión de la elipse. ¡‘Crgupio 27 Definición. i 7.72 Eh, PÏDBI. EMAS: RESUELTÏ)S' Tixzzuacián efe. ccnÍVÉx-¿iïíee en Unid. ‘ 257 Ecuación genaraldc a el ¡me - N) q" 259 . i . n PR03LEHAS¡‘RESUELTOS. ‘Gruiso 2a i‘ I _ 259 ’ . i - i i ‘ , . Ecuación ¡de la tangente v una elipaetn: F F69. ¿í ¡’anular-r s; RESUELTOS. Gr po 29 . . ‘ "" 427g " Panam-m s‘ ADICIONAL ES. ' y ¿' ¡l (Texto: F. De La Borbollg) "I . ,7 Í‘279‘_" 8. La Hiporbolnv ¿ . ' Defínicifin. Elsmgnfins dauznáhipézjbola. _ DE? ‘ PROBLEMA; Rssueqáas. cciupo, 3o , ,1. l ¡.225 , , . 4. i , ¿_ i :5 i
  7. 7. 2 Contenido 8.: . ntotas de una hípérmïñ 5.7; Lpérbcla ¿un Late-ra. 8.6 Hipérbol as conjugadas PROBLEMAS aauzurus. Grupo 31 s_7 segunda eanzacián ordinaria de una Hipéz-bsla PRUSLUMS RESUELTOS. {Irupo 32 Ecuación ‘i la tangente a una ‘nipérboïa. PROBLEMAS RESUÍLÏÜS. Crupc 33 PROBlFN/ ES ¿OECIOÏLÁLES (Texto: F. 1): ‘ La Dal-bulla) m 4: 9: Ecuocáún janozaLdee. ‘edoCgtad o 9.’! Introducción. 9.2 Transformación por Rotación. 9.3 Tipus de Cónicas. 9.4 Invnriantes. PROBLÉHAS RESUELTOS. Grupo 35 9.5 Definición general de la cóníca. PROBLEMÁS RESUELÏOS. Grupo 35 9.6‘ Targenta a 1a eónion general. PHOSLEMAS RESUELTOS. Grupo 35 - 10 . En uds ¡ya a}. .- En}: r o s: 10.1 Sistema de coordenadas pcvïmïes. 13.2 Pares de zcordenadae paia punto. 1.5‘. Pasa de coordenadas polares É rectangulares y ‘ eversa. ‘ PHOBLENAS RESUELTOS. Gryno 37 l 1.0.: Trazaáo de curva. - an cocïéanadas polares ‘ PROBLEMAS RESUELTOS. cráapa 35 10.5 Iatersecciones de cm-vas‘ l‘. coordenadas polares. . ..:2 Distancia entre dosfpuntos. PRGSLEHÁS ÑÉSUELTOS. Gropo 39 u uncíín de una recta en coordenadas pelares. 1’ m ¿uacivín rie mas kircrsníarencia s‘): acera. solares Z Ïillïúïán gener-Jl. de las cénicas en eoord. polares FRGBLEHAS RESUELTOS. Grupo RD a . y 39D 1 Sistemas de Coordenadas 1.1 SEGHEf-¡TÚ RECTILINEO DIRIGIDD Por le geometría elemental sabemos que la pcrei6n de una lia-aa racts. conpreadido entro dos puntos y E sonas: 64g- nenáo. Pero en ella no se hacía la distinción entre los seg- mentos A3 y BA. pofque nos interaanba solamente la longitud del segmento. En el satudio de la Ggometría Analítica eeïzecg sarta considerar tanto la longitud como ol sentido. cuando 2:35 refiruos 9. la longitud de un Sagunto, lo consiáoraremos com: una cantidad aglutina. cuando nos rsfirazos tanto ¿’la longízud como el sentido ¿e unisagañto‘ de_ yecta, la llamars- mec- ¿aguanto oaiuziado. Informes. exyxïendgmzs por segmento o- rientaáo aquel cayo senbfiopoaitivo ha_si>do elegido. EI sen- . . ¿“lago-gta colocando aula flecha un a; ido positivo se indico u gi’; lugar del siguente’: Figura 1 Así, la recta I. csti orientada como 1a Jmdica la flecha ¿a cual sigaifiba que ‘cual-quier longitud medida de izquierís. a darecha sobre 1a recta se considera. en sentido positivo. Dec; mos entonces ¿me el segmento IF es positivo, su tanto que el sagaeota ÉÏ es negativo. E1 sentido de un segmento será indi- caño por e]. orden an que se ‘escribia las‘ extrema del segmen- to. Por tanto, tanonoshla relacifgn: - TE = - A ases: ÍÏ+BÏ= Ü
  8. 8. - 1.2 SISTEMA CODRGEHADO LINEAL ¿ (¡armenia Ancilïnïca ¡’Zona Consideramos ls. posición de un tercer punto‘ G, sobre el seg- miento orienta-fio, con relación e los puntos A y B. ng h 0.13 A B C . _.. _.. .__. .,. __ _. ._. .—-e—p FigXITE 2 ' Figure 3 Figur 4 D9 la figura 2, tenemos: _ 4 ¡F = i? + cï <1) De la figura. 3: e ' E. = ¿í y-EE «o = T5 4* fi De le. figura L: Eem. m 9 FÉ- = ÏÏÏ. + ÏJÏ Por tanto, para las tres paniciomeo ilustradas, es yálida le. misma relación entre los segmentos. 3st: relación ‘puede aser; biree en la forma, ‘más conveniente: Ñáüefiao Fi gore. 5 Si A es un punto de ‘¡PI situado a la derecha de 0, tud OA puede considerarse cone unidad 83 Himno P, situado también a la d: e - 1 Ja longi- de longitud. Entonces racha ás D, contiene x ve" L ¡aca que c1 pinto " . Análugztmcnje si P; es el a la izouiorde’, de ü entonces diremos que al . - ceauzseyvamü; el númexn .2., ,yut'¿uo x2. a; humos onnsï-rluidu un wmquuna pcr medio ¿gl (¿n31 ¿“won ¿»cía ÏÁLHÏVOÜG en‘! ¡es ¿sitúe ao ‘mu co: re puntws . - una ¿’Minha d: Confirmada 5 recta y los números reales. Tal esquema se llene. un ¿intensa cantada-ando liruai. con referencia a 1a figura 5. 1a fecha I'll se llum eje y al ‘pontfü cs el a/ ¿Igcn del sistema coordenada lineal. P com au coordenada‘. (x) ee la. representación geométr- gráfics del número real x. E1 punta ice o y la coordenada (x) es la Aume- amtaoión analítica del punto P. Juntos se escribe: 17(1). Teorema 1. En un sistema coordenada lineal, la longitud del segmento dirigido que une dos puntos dados se cb- tieno. en magnitud y signo, reetando le coordenada de]. ari- gan de la coordenada del extrano. Bemastzcczfin : En efecto, sae la recta orientada. ¡’X X, o ‘r. r. X (D) (xx) (xx) Según la relación (1) de]. artículo 1.1. tenemos: 0-9: 7 F11’: = m: + z¡ + )¡p¡ = x; de donde: FEF; = x; - ¡¡ ‘Gonzo 17m2: «P2P. 6- P513; - x; - se; En ambos casos, 1a longitud dei segmento dirigido ao obtie- ne restondo le coordenada del punto inicial ¡ie la coordenada del punto final. ’ Si ‘representamos por d la dastancia no aint gida entre P. 3/ P; nncríbiremas: ¡Í ' ]P¡Pz"= Ílz - X1] o hien: d-= llum]: [su - xal 1.3 SISÏEHA COORDENADO EN EL PLÁNÜ La estructura del sistema de coordenadas en el plano consiste en un par de rectas orientadas perpendiculares. 11g nados ejes coordinados. La recta horizontal es el aJe X. la
  9. 9. f Gunuxizic finauiéca Plana vartiaal c1 ¿Ja 1', 3; su intersección c1 c/ Ligtzn Las rqatro partes en G”° el P15n° queda dividido por 10:7 0505 09471" donados se llaman ¿manta Y 39 539153“; par I. II, III y IV en sentido contraria el de lee nane- eillan del reloj. (Figura 6) Un punto se indica dende eu sentí- da y distancia respecto e los ejes uOOTIÍGIISÉDE. El segmento orientado b-Azfi se ‘representa por x y se 11g un ahciaa del punto P. El segmen- to orientado ÜÉQA-P ee represente por y y ee llama mduzada de P. Eg tas dos egntidedea ae denominan caonduzadu del punto P y se representa por (my). Si un yunta esti n. la derecha del eje Y. au nbeciea es posi- uva, si está e la izquierda del eje I, su abseise en neget; va. Si el punto está arriba del eje X, su ordenada en poeit; va, ¡i está abajo del eje X, su ordenada. es negativa. EJERCICIOS. Grupo l 9. Hallar la iietencie entre los puntas cuya: coordenada: son: (-5) y (6); (3) Y (-7): (-8) y (-12)- Pigure 6 Solución. Por el teorema 1 se tiene: Para 105 Punt°i ? z(-5) Y 92(5)! ÓÍPx. P:)= Í¡z-XzÍ= ÍÑ(-5JÍ=11 si mu) y P2(-7) » d(1>; .ru)= Ix; -xxl= ](-7)-3I= I-1oI=1o rut-a) y M42) v» d(P¡. Pa)= Ixz-x¡! =I(-1z)-(-s>l= l-u= ¿ 5. La distancia entre due puntos es 9. Si uno de los punto: es (-2). hallaz- el otro punta. (Das casos. ) Solución. Supongamos que P, (-2) y P, (x¡) Patentes. si d(P¡. P,)=9 H [X¡'(‘2)l=9 Jiatenua de Coandenadrm -1 * Ix¡+2-I=9 G ïgi2=9 6 x¡+2f-9 4-‘ xg=7 ó x¡--11 Por tanta. los puntos buscados son: P¡(7) 6 P¿(-11) a. En ur. eisteme coordenada lineal. Pflxfl ‘J Pflxa] son los gun-Atos czctrnncs dudas de ur. segnento éirigido. Demostrar qua le ccordanada (x) de un punto P que divide e HP; en lu razón r= (P¡? ):(PP¡). ' es: x = ¿Lïéïïli I #4 Dencmtgggidn. En efecto. por el teorema 1 se tiene: P-xï = x-x¡ ; .' FT’: : Xg-X . Luego, ei r = ggï - ¡- = i"; .¡ 2- _ _ _ 4 de donde. a - x‘ nf)“ , xf-‘l 7. Enciende r=1 en ln fórmula obtenida en el ejercicio 6, d; mostrar qüe le coordenada del punto medio de un segmento rectilíneo c: la media eri tmétice de las coordenadas de lun puntos extremos. . En efecto. al r=1. en le fóruule anterior _ x¡+x _ x 4x * ' ‘r1’ ‘ 4T‘ g: E1115!‘ lea puntos de trisecnión y el punto meáic del seg mento dirigido cuyos extremos son los pumas U7) y (-19) jolueión. ' Ï 7 seen m-v) . P, (-19) y "Ï. ._. ____. ________* " " ° ___-a 10s puntos de triaecciñn ('73 h“) Ü‘) h‘) ('19) ¡‘(MJ y Nx. ) Si P y Q dividen el ‘segmento 19,172 en ‘bres partes iguales. un. . y D 1 - - ‘W059i ‘f " H-9-_(%= g , de dozde: x; =-11 es punto zz-zfiio de P-P‘; * xn: “i” '19) = .15 31 es punta ‘edio dc P}, - x = LElÉ : .13 se tiene: 2 n Por lo tanta: ?(—11) , Q(-15) y M43)
  10. 10. begin la fórmula de- de dnnde: 10. Los extremos de un segmenfn ¿’rigido son y P¡(-2). Hallar le r¿: ón (P: ÏA: (55Í) en ü r: IL ÍÏIIïÜIIejs Y, luegn, la nbscisa de A y @ es a. (derecha del eje Y) y la de B y C es -a (izquierda del aja Y) ÍÉÍÍÜÍlIeje K, lucgc, la ordenada de la dc bajo del eje K). A y 4 es a (sabre el eje X} 9 [n u: _ú_>n ' nada uul otro ,4.“ Snlucéán. Seat y 7¿(r; J x¡=7 ¡”(7) divide ju (ación. S; ¿ 2 >sïr u : 7?: _ -—1fi3l . de donde: ;’-3 Un cuadrado, de lado igual a 2a. rigen y sus lados son paralelos a los ejes coordenadas. ncgmencs. entonces por el éiafilzécu Pfunn Hallar las coordenadas de sus cuatro vértices. Saggggóg. En la interpretación gráfica del problema poda- mos observar que: es -a (" año, xérzícc: del cuadrado son: A(a. c) . B(-3,5) , C las caordenadas de los A (-a. -3 ) y D(a, -2) L2. Tres vért¿ce: de un rPctánguln son las puntos Pm“ H ! m ¡v Sc Euuión. al . —7) y Teorema uíE-mz: ác : 7»x . , dc dcndc: x=2 7.3). ïa11¿r 21 cuarto vértinc y su Scan A(2.-1), B{7,-1}. C(7,3) y D(x. y) teorema 1: r m “qué ‘se; ¡v e los puntos P1(¿) k punto tiene su centro en el o— ! ¡4ta¡a¿ dz CaoAd¿nada¡ ¡é = 34-1) = A Ü = y-(-1) = v+1 Si ¡ER + L= w1 . de donde: y=3 Por lo que: D(2,3) auacn) = [ñmíñ] = su, = Análogamentes z 413. Los vértices de un triíngulo rectángulo son A(1,-2) , B(Á. -2) y C(4.2). Determinar las longitudes do los cate- tos. el área del A y la longitud de la hipotennsa. ¿2ÉES¿É5- Pür el Teorema 1, se tiene: ¡EL = Ixs- gl = 14-1! = 3 IBÏI = ¡yc - ya] = I2-(—2)I = 4 Entancan abuso) = ¿umyxnscn = a u‘ Por Pitágoras: IÁEI'= IÍÉI*+[ÉEl‘= 9616 ¡Fc! = 5 14. En el triángulo ractángulo del ajercieio 13, dotsrmingr primero las puntos medios de los cntatoa y, después. el punto medio de la hipotennaan olución. 1 Á s1 M(x. y) es Punto medio de ¡ñ + x ' ÏHH‘? = 2 Y = ¡(-2-2) --2 ¿(un = 4 . _ X “ N(x, y) es punto medio de HC * 1 y = 3-24) . O = 1 1 = Í P(x. y) es punto nadie de ¡E * X 2‘ í‘) 2 y = -21(-2+2) = o Por 1o tVanto: Más) , n(¿. o) y 145.0) 15. Hnllar la distancia del orígen u. punto P(a, b). ¿g¿¿¿¿¿¿. En la figura se tiene: OA = nbscisa da P = a AP = ordenada de P b
  11. 11. 73‘ r . . . ¡amante finaf. '¿¿¿m¡ ¡»una En c1 triéngula rectíncrulo DAP I-ïlk- i541“ ¿zw- . por al teorema ¿e ¡s¿t¿go¡_as_ ahh’, de donde: e(o, p) = ,/ ¿z""+¡¿ ls. Hallar ls. dimuciá “, - . _ mare los punt, “ H5,” y H CL-B). . En la figura vemos qua- Y L Or‘. = ¿hacian de A = 5 o x 05 = ordenada de B . -. ¡“al . . 5 Por Pitágoras: IEP: [Ñ¡‘; ¿!O—BI¡ . " (5-"+!8)'=1oo -- ¿mama Las vértices de un ¿nadal 23m3). cms) y Dima). n 55 ‘m Piïuelagrnmmy (¿ale ¿cera so]: los autos ¿U 3) . , ' °n°strar que s1 cuadrilátez-o “la? su área. ¿«mandé-z- su afecta, bastaú Pïfb” 9* ! _l= l_c ‘ = 7 ¡Áfilghcgïxflraïïfllïél y m»! la] lmu= ¡xc-, nï, .¡g_34gé} ¡mana Las pmyeccimïnsie D i 0 sabre c1 lado ¡.3 san: 243.-? ) y c493) peetlvmenta. ' ref‘. En el AAIFD: láï= l=}s-‘1[= z y ¡m¡—. ¡=¡s_ ántancafl. ¡ïtir Pitágoras: [BP ïn el AEKNC; Lïfiv} ‘¡wmey ¡gvfïïífiïsïw + [Ïílsfiïí ‘N960. por 3m; . _ . _ '15 3' 31'88‘. WEP- ¿’.25 = 29 » rana/ E -- ¡EL-Im Por la tanto . Quen d ' . Darulclaíramz’). a Bkostradlque el cuaurflíuï“ l-S. Do * r . A a ue los variantes ds u: triángulo og Punt” “VU” l’ 60.1). Hallar 1m, cer Vértifi- (D0! cauca) 151i! ’ S5 M ‘es purta nadia «ha donde: .'4('¡,1). con c-IH ¡Je I. la ¡hanna de c y c‘ es x=1. lÏBI-D-C-‘HFÁ " | DH=2 81 a1 MEC es equílítero. entonces: Sldcnu da Con-domino lmHñl-L su el Ante: |fizl= =|m| i+| rïci= o (4)*-(2)*+I! T=I* +lfil-lfi'l= zfi Luego. las ordenadas de los vértices G y c‘ son: 11-25 Y 1-2/3 . c(1,1+2/3J y c'(1.1-2/7) 19. Dncntrar que las puntos M-LO). N03) y ‘¡(0.4) WB los ñzfyicas dama 1:59:91» y calcular uu in: - nn erecto: > | ¡'6l-lo-(-5)I=5 . Ifihlz-ul-z yuïchlo-t-zn-z nn al nom‘. |ñ| *=| ¡()| '+| óï3¡= «minar-ze o ¡BI-IW n .1 uan: ¡ÉP-Iñlulfll‘ = I 5) “(ZP-Ü * “¿i459 Por lo tanto, ‘c1 una u ¿vinculan 20. Dnostrar que los puto: o(o, o), 10.4). Btgqïé) y (¡(5,0) son lo: viruses la un rolbo. y cnlaulnr Ill fina". Dunuaacéfin. Buen-i dnonnr que lfl| =lñ| n|fil= lfil In efecto: |ÏB| -| fl-3li5 lcït= l>ol= s “¡(4:36) = ¿{Emmy {i496} = to’ -= Lu proyecciones de A y B sobre c1 aja X son: A'(3.0) y B'(8,0). htancan: lói-l-Is-ol-a y ¡enviale-sha Luce“ | ñ|‘= (3)‘*(L)'-25 + Im-s | ñ|-= (3)-3(I. )==25 . ¡cTa¡=5 Por 1o tanto. el cuañrilitero OABC el Im rombo. Mouse) = ¡fimnq . mu. ) = 20 u‘ ‘a
  12. 12. 12 Qeametnla -alítica Plana '.5TAHCIA ENTRE DOS PUNTOS QADQS ícorena 2. La distenci: catre ¿os puntos P¿(x¡, y¡) y Pflxhy‘) es“ ¿“de Por 1:; fórmula: «Mmm = Ücmoáiaación: E“ "Ïcctm Por 14,? » tracemns las Is-‘¿rpenáiculurcs 27H}. y m, v. . . 31h06 95'55 ‘¿Úïrïenadv-‘u; JI sea r. su pm. no ¿e intersecciézz, Las coordens- dc: di los pie: de las pg¡p°n4icE 13:9’ a 1'35 3.195 cocrdenados son: A(: <¡. CÍ‘. B(0,y¡)n ¿(xa-OL M0,“) P; ——_D-r'_"'¿5 7 l t P0? el teorema 1, se ti5ne, 5:: “X¡-X2 . É? ¡=ÜÉ= y¡-, ¿ m». e; AP EP . 1 1 2- P01‘ —1 teorea-a de Pitágoras se tiene; “HP? ” = “TH: * N71“. de donde: ¿(P1.P¡) = (X1-x¡)’4(y¡_y; )2 1.; DIV1SIOH az un sscusmo cn um RAZON DADA Teorema 3. Si P [ ' ¡"yn 3’ piÜïz-Ya) son los extremos de D Q * - 1. z. ¿as acordar ad ‘ Dhnlo P qua divide G Ustg J as (x. y) de un un Segmgnzc segmento en le razón r= ñ;fiz 2 = 511512 . N V +r" 1+; - b‘ -“-L—¡. ‘¿ . rf-ï ¿»JizzacM-n: En efrr-tu, por 1.72 puntas Php y p, ’ izqzarof paralelas a , 1°5 Pi es coo: - irnacns, gug - Se í”t°7°9Ptan %n los : LJÍ N 7 - _ ‘ , . 0»- k. lr R. La] LGIO es ifldlca """ ‘L3 fiEura adjunta (u) En! » fin %' En e Coro Obse (2) (3) l. IÏII Iii-cl sauna. d. ‘ Conudumdu 13 nun. por el teorema 1 se tiene: ¡r + = r n de donde: x = , rf-1 = r 9 %f%= r,dedonde: y=. ÏJ-fig. r#-1 1 cue particular en que t-‘t tenemos el siguiente lante. Las coordenadas de] punto medio de un segmento di. - rigido du extrenos hüpy. ) y P, (x, ,y, ) son: v5.92, “¿HLAL naciones. (1) Las razones de lu fórmula: del teorema 3 deben ser considerados con su signo. ya que estamos trátando con segmentos rectilíneoa dirigidos. A1 usu- lal fórmula: de]. teorema 3, deba cuidarse de que la nustitueián de las coordenadas sen correcta. Por esta razón rrecuéntenente es prsferible no sustituir en estan fárnulah sino sacrtlbír dit-netamente los valora; de las r5 zones. tal como se d: en (u). Si a1 punto de división P en uterina al segmento dirigido ñ“ ln nión r el nngntivn. Ealltr al parímctro del cundrultern cuyos vil-hice; son A(-3.-1). B(Ü.3.). COM) y DUn-T). Jolucifig. Por la Mrnuh dal turna 2: = = JF? = = 533-5 = n53 = lxD — xAI = IA-(-3)I = 1 A . '. perímetro w 12 + [111 + fi: = 20.26
  13. 13. 1¿ áponcinla Analítica Piano » . Eatostrar que Jcs puntos A(-2.-1), B[2,2) y CÍ5,-2] sur ¡os Vériicea de uu triángulo isáscelns. Dzno¿¿aac¿dn. En efecnc, las longitudes de 10: lados del triángulo son: IEEE - / (2+2)‘+(2+1)* = /16+9 < 5 ¡E61 = /(s—2)2+(-2-2)‘ = /9+16 = ¡El = ./ (5+2)*+(-2+1)‘ = ./ 49*7 = A. Sienío HÏÉFIÏÓÍ, el ¿ABC es isóscslea. ' xn 3. Demostrar que los puntos A(2.—2), 3(—8.¿) y 06.3) son los L-árticen de un A rectángulo. y hallar s1; área. Ü¿l0ot¿ac¡6n. En efecto. las lan __. ________ IA’! - u/ (-8-2)‘*(4+2)‘ = /ÉZ 3 , In’: = / (5-2J*+(3+2)‘ = f3? v = /(5+8)‘+(3—4)’ - m gitudes de cada lado son: I J Ahor: bien, (IBP: 136 , 153.1% 3: y IÉÜH: 17o =136+3¿ = ¡Aclzuaclï que el 41.3.56 s2 rec- = g-(fiïóH/ ÏZ) > 34 Demostrar que los tres puntos A( 12.1). B(-3.-2J y c(2.—1) son calinnales . es decir, que están sobre una misma recta. Denoaiaacéón. Según la relación (7) del artículo 1.1. pg ra cualquier posición de las C puntos A, B y sobre una lfnea recta. H í »- / (-3-12)'+(-2—1)= = = 3/2? Im = N242)‘ 4-1-1)‘ -. /""1oo+¿ = 2/53 0-5 ' / (2*3)‘+(—1+2)* -— Jïsïv Mi? Í’- COIG Í: ÉÍ= I¡EÍ*]ÜÏÍ. los cres puntos son c:1i¡e¿1gL 15 ¿ï-¿gaag Cao-atada ) y D(¿: -2) m, ¡(o, ¡), _s(3.5). cH-Z 5, Deloatrat ‘¡W 1°‘ P“ ¡un loa vfirüoeo de un cuadrado. _ B ta a prgbgr que las longitudes de los 19 - 4° "“ 1 t'b1én. dos son iguales y las diagona es ¡m mi: = (a-OFHS-Ü‘ = 5 Ita-cl = (7.3) +<2—s>‘ = 5 ¡El = (4-7) +(-2-2>’ = 5 ¡En = = 5 ¡El = (7-0) N24)‘ = ‘¡fi n75: = M311757227 = ¡s1 . ‘¡cg gg un cuadrado. Por lo tanto, el cuadrilatero - ) y c(6.-1) ' 1o son 513.3)» Bu’ 1 f» L” véflúces de un trim“ la longitud . 1 lado BC. Edad” s1 n aa el 901133 “d” d‘ de la nediana AD. ' a ïc. ¿Mim- S" M“) d Pm: M“ a - r 1) - W246) = l. . Y = ï(-1—1)- -1 -- 9 "' hamacas: I - 5 Luego. |55| = a fu? ) ¿(1,1). s(3 s). 601.6 7° nuestra. que los cuatro Pr“: aralalaeraxlno. H y p(9_2) son los vértices e Il P = "| y IIÏII-IIÏH . . . . ¡”j proba! ‘ que IÏÉI IW - B" En efecto : sm = "(s-nws-H’ = “Ñ Im (n-vffló-z? ’ = m’ ¡ga = (11-3)‘4(6-5?’ ‘ a; Iñl = Jïfií = v“ _ - 1 queda damoatrado ÏÉPÍÜÏÏÍ Y IÑÍ-IADI. con 1o cua Luego; nlzuadrilitero ABCD en un parI1°1°8""°' que a u
  14. 14. 16 financial: Analítica Plana Calcular el área del triángulo cuyos vértices s tos ¿(o, c). B(1,2) 3' c(J. -4). del semiperínetro). on los pu; (Sugsstión. Use la fórmula Salugffig. Ï-‘or la fórmula de distancias obtenemos: fscl= e : 2/171’ , 5.55% b = 5. Hi1: c s f5 Luego, p = ‘¿C-fiarfi/ ÏÜVS‘) i p-s. = %(»Ï5‘+5-2/TU) p-s » ¿(xsemv-¿ï- : p-n = -;-(5+2F1U-/3) Entonces, ai aMABC) = , se tiene: Jmmc) = eMAEC) = 5 u‘ 9. Uno de los extremoa de un segmento rectilíne 5 es el punto >'-(3.-2] 5, hallar su ordenada o de longitud . Si la abécisa del otro extremo as . (Doo soluciones. ) iihgiáfl- Si ML-Z). B(5.y). y ÍÜI=5 , se tiene: /(6-J)‘+(y+2)‘ r 5 + 9+Iy_+2)*=25 H (y+2)¡=16*-*yf2=/ . 6 y+2:. ¿ ¡»ya 5 y= -5 10. Determinar la tc rie que el B(7.—9). ïalucafón. uacfi ón algebraica que expresa el hecho punto Pony) equidista dc los puntos A(—3.5) y Si P equidista de A y B entoncgs: H7’! = IB? ! c- »’€x+3J‘+(y-5)’ -/ (x-7J‘+(y+9)‘ ** r‘*6zi9+y‘-10y+2s = x’-14x+49+y= +1ay+a1 H 5x-7y-2¿= g Ln ecuación resultante co la mediatriz de [H]. 11. Hallar 1o: . puntos de trísecsián y el punto medio dal ság mento cuyos extremos son P¡(-2,3) 3- P¡(6,.3)_ - Notación. Sean I‘ y Q los puntos de trincción y 3€ el s4íatenaa de Caondznuclaa 17 1 ‘l . 1 Punto medio del S98E33“ Fm" "¿tía? p, 1= H Q ¡’a . 2 . . ? (3.1) Q ee punto medio de PP: * {y , %(1-3) = -1 — -*6h2 . 2a M es punto medio de P1P, + lflíï, 2 ) «o ‘H a ) 12 Los puntos extremos de un scgïflent° 5°“ PJQ") y Pimp“ ' Hallar el Punto row) que 517i“ 5 5”“ “°5"'“t° en dos portas tales Mi“ (ïqflïïlk-z" lïtfi’ 32%. : -2 + x= -L _ p y Ó _ . '. PFÁÜÚ) slfiïgú ï—‘= -2 + y=12 d 1 unica extremos de ‘un 5999”“ H el (ha) y 13. Uno 9 05 P ). Hallar el otro extrema- su punto medio es (¿.3 Solución. Sean P. (7,s). M(4.3) y Pa(xz-yz) Si Mïizul segmento ñ: '* 5 ' ¿”fica á x111 + 3 s %(8+yz) ’ Y2=‘2 P, (1.-2) 14. Los extremos de un 5095”‘? 3°“ 1°’ punt“ Pda“ Y ¡ T na s1 punto Pz(-1.-L). - Hallar la razón (Pa! ) (P 1X9" 9 141,2) divida .1 saga-nio- ¿again? x-x _ 1-7 ¡g g :3 31%; , r. _.. lxl_x_—1—f__ .60 done r 15 L s puntas medina de los lados de “U tïïánï-‘u’ 5°“ (añ) ' o ) I1 1) Hallar las coordenadas de los 3 "¿Tücah (4.2 y ¡ - >
  15. 15. 18 Qeouuíata Analítica Plana 42226.62 593" ¿(Xx-yx). Bu, y ) 5 Z 2-’ Chïhya) loa vértices ¿in? ¿‘ífiïula S1‘4(2.5), n . ' ‘ ‘ medio: 5.. * f4,“ y PHJ) 5°“ Puntos ' ' L“ 13'35. entonces: H = >«'¡+x; =2(2}= ¿ (1 = xz+x. =2(¿)= s M; C= x1+x¡=2(1)=2 ‘L ' (3) ¡n Almendra esta. qfle v . s ecuaciones qe t- * lsnez "I lá’! E? ! m 2(x¡+x, +x, ):1¿ da s donde: x +x t _ Resolvie a 1) ' ‘ ""7 n o ( . (2). (3) con m resulta; (L) ¡‘a1 v X225 , x¡=3 Procediandn a1 forma " “¿han P&ra n; ,, ¿ —— > e da - _ y¡= ¿ J y2=6 ' yF-E na s, obtenemos. Par lo tanto: H-LA) , 5(5_5) y c” a? ) 15- Los vértices d m e - triéu 1 Ku o son A013), “L” y Svlucián si D es 4:" ‘ Punto medi d ‘ enigma“: Mii 5:2 o e AB. a 2 ' 2 ¡ "* Mu) E "““‘° “N” de Tc * v<i, :' m) "0-9 < Luego. ,72); wie“: ,27, _ 2/3 , A G tri’ . g‘: “Ïïulg “Wánsulo dni e - punta mania de = ¿ “Put * - ñnusn ¿’intutmxc-‘ó e. En afecto, .' ¡q , . ’ entonces: “p.841 ¿s2 3 ‘:3. es ¿tanto media de e? ’ 2 ’ " “ "(-53 Luego. nm. . r BÜ/ ZVvH-v/ a)‘ = s’ a/ ïñ Sintenaá 44 Coouiumdaa 19 | fil = /Ï2+3/2)*+(-2—7/2)* = %./ -11o ¡nm = /(5+3/2S¡_+(3-v72F* = g 11%‘ “nos que [fihmfislflb], por 1o qua, el punto M equidista de los tren via-tines . 18. Demostrar que los segmentos que unen los puntos medios de los lados sucesivos del cuadrílátero del ejercicio 1 for- man un pnralelograno. Dauoaiuzción. Tenemos A(-3.-1)- N03): CBA). num) Si MJLP y R son los puntas medios de los lados ¿el cundrilátero. en- mcea: Muga). mgag». n43) y ‘ R(%. -1) . Demostraremca que: A ‘ y IN-RIHWI. En efecto: ¡mu = /(}i32u= +(g—n= = g la : ¡ïu- frg-¡ruïz +1>= Iñl - A3‘ +32>*+<—1-n* = ¡s : IïPl= /(Ï, -Ï2)= +(g-Z>= = «a llenos demostrado que IÏÏIFIÍÏI y [HI-IW]. por 1o tanto el cuadrilitero MNPR es un paralelogruno. Ji»: 19. Los vértices de un triángulo son A(2,-1). B(-I. .’7) y (¡(8.0) Hallar. para. cada una de las medianas. el punta dc trieeg ción más cercano a1 punto medio del lado correspondiente. Demostrar que este punto es el mino ¿ara cada una de las medianas y. por lo tanto, que las medianas concurren en un punto. Este punto se llana luaicuxtno del triángulo. Dancuuac ¡‘fin . ll y P las puntos medica de los ladus dal triángula y G su baricentro. Para le mediana E: , LA? = J. -! l‘i-1 _ "m'ï‘ -1-7 2 En efecto. sean l. l 2 de donde: x=2 . y=2
  16. 16. 20 ficomztata finalliica Plena Para la mediana ÉÑ: = E_1 x-__1 41/2- r ce‘-2‘TF%‘2’ - ' Para le mediana ÜÏ: : PG=1 +1 1 - 1 1' ‘¿r5 3 * íï= ï y-5-_—3=-2-. dadonde: x-2,y=2 Quedo demostrado que el punto G(2,2) es el una de lee medianas. 20. En el triángulo cuyos vértices son A(x¡, y¡). B(x¡, y¿) y C(x, ,y, ), demostrar que lee coordenadas del baricentra 50H! (fl%‘¿__*"= _l_g_l* “la; ¿ggggufi- En efecto. sean G(x. y) las coordenadas del Por Geometría elamentnl sabemos que las nedianee de un triángulo se co; han en un mismo punto situado A 2/3 del vértice y a 1/3 de la base de ende mediana. Luego. para la mediana BK. ee tiene: A brioentro. Si H se punto medio de ¡E + H(5J%ïJ, XJ%l¿) B y É , de donde: x=2. y-2 mismo pero cede ‘-1?’ - * ‘¿all — , , 1 de donde. x — ï(x¡+x¡+x¡) ; y = %(y¡; y¡+y, ) .2 a<I¿1;zi5:,1¿: ¿z11;) Comprobación pere el ejercicio 19: x = ¿(z-ym = 2 ; y = -%(—1+7oa) = 2 (¡(2,2) Y S¿4l¿ma¿ de Cooada1:da4 27 EJERCICIOS ADICIONALES (Texto: FJ. De La Sarbolla) 1. Calcular la distancia entre los punto: ÁÍfl. n) Y WP- “—*; -¿">- Saluc¿6n. Por la fórzulu de distancias se tiene: (m-3/7 _ n)z+(H*3 _ H)! = % / (.n/ É—m)‘+(m/ Í-n)’ V(3n¡42mn/ Ï+m') 4 (3m‘-2m"/ Ï*D¡) ‘ % “¿m= *4“2 ¡m = ¡Fw ï ITM = nn- 2. A(3,1) y a(-1.-1) son vértices de un triángulo equi1ítero« c¿1c¡1¡p el ; a:cer vértice y el lado del triángulo. Solucion. Seen C(x, y) las coordenadas del tercer vértice. Para un triángulo OQUÍIÉLGIQ se debe verificar: IÏEI= IÉEÍ= l¡ÉÍ 51 ¡¡6I= Já6I » «ïx-3>= +<y—1>*= /<x+1>‘+<r+1>‘ : 2 de donde x+y-2=Ü + y=2-2! (13 mmm » / (x+1)1+(y+1)‘ = u/ (3+1)‘+(1+1)“ de donde: x‘+y’+2x+2y-1E=0 (2) sustituyendo (1) en (2). obtenemos: x‘-2x-2:5 +* x=1 3 /3 o bien: x, =1+/ j 6 xm-fs . en (1): yF-“f? 6 ¡‘F273 ctu/ ï-z/ ï) é Chu/ LINE) 3. A(-5,-2) y B(4s-5) son dos vértice: de un triángulo. El ¿ercer vértice C(x, y) ee tal quo: I5ÏÍ= Á/3 ï IÉÏÍ=5/Í. Determinar C. Íalucifin. Si ¡RIM-G * = 4/3 Elevando al cuadrado obtenemos: x‘+y‘+ï0x+4y—51=D (1) Si lÉÉl=5/Ï ‘ / Ï;: ;ÏïÏÏ; Ï3Ïï = 5/5 + x’+y‘-8x+10y-9=D (2) Rostando (ï)—(2) ae tiene: 3x—y-7:0 * y=3x—7 (3)
  17. 17. 22 ggnmz¿ala Anulltica Plana Sustitui, (3) su (2) y ¿implicar cn: u1tn= x’—2x—}’9 ** X1=3 5 x1'"1 . . yl:2 6 yz= -‘Ü J. u(3,2) 5 b -'-'79’ C Ñ 1 P 6- C¿r, u,c. nt¡g Q‘ y el radio ie la circunfersno A. ‘ ¿’CH H _‘ A r ita al triángulo dc vértices A(12.2), B(-3,5) c‘a circug F c(8,S). Solucitn El clrcu ? ?ntro áe un ‘ jln en La interseccián Hi los lndns y se ls: es vértices. .'B ss iiana: .2): : , ¿x+33‘+(y-5)‘ 5¿_y.1,; ñ (1) « »TZ33>“+(y-5)’ = #(x-8)’*fy-8)’ — 7=3 (2) (2) cbteneuss: x= L . y=1 . I. 0'(4y1) cnníerencla: r= I5TÏÍ= /(¿*3)1+(¡-5): = / E3 Radio Ge l¿ c 5. G(2,3) es e; üaricentrc ce un zríáugulu ABC. G¡(A.6) y G¡(= .13 = —r los barícentroa de iad triángulcs Íarmados . «. . ——- u, ía¿¿, G LJL 10; vérgjggs ¿, a,u, gatsralnar estos vérti- Scan A(x, ,y¡>. B(x2.y2J 2 C(x, .ys) Para :1 AADC: x¡»x¿+x, =%(? ‘—ú (1) 3 y¡! yz‘ï, :ï'3J*9 (33 ¿L el AABG: x¡¡K¡+2=3Í¿)=13 (3) «LJ vA L (2) . AÍ"! HI""" vean] . ' 7 - -ï «(-Ü-"5) C En 31 AAGG: x¡Fx; *2=3(3)=9 * X¡’11 ; Y)*E! +3=3(-Ï; “*3 * Y¡’0 ¿(11_o¡_ gn (3) Y (¿)¡ x, =-1 . Yz=1S .2 B(-1.15) Sintenaa da Cnoadzuaíaa 23 1.8 PENDIENTE DE UNÁ RECTA Se denonina penáiente o coeficiente angular de una rec- ta a la tangente de su ángulo de inclinación. Se denota por I. de tal moda que: m : Tga Observaclnnes. (1) El intervalo de variación del Ángulo de inclinación de una recta esta dada por: D<a<180° Según esta la pandientc puede tomar todos los valores reales. (2) Si H es agudo, la pendiente cs 4 positiva como para la recta L¡ de la figura (Tgu¡>0) (3) S1 a es optusc, como para L2. la pendients es negativa. (Tga¡<0) (A) cuando u=90°. la pendiente nn esti definida. ya que Tg90°= u cuya significado no es un número. Ïcorena b. Si P1(x¡, y¡} y ? :(xa. y:) son dos puntos diferen- tea cualesquiera de una recta, la pendiente de la rocta os: m ; i¿_; _Z¿ , ¡¡; x¡ X1 - X: Qggoatguzión. En afecto. proyectnncs F1 y P2 sobre el eje X de ta] moi: que A¡(x¡,0) y A¡(x¡,0). Por P; trazamos una paralela al eje X que lntercepca a 15'17; cn B. entonces B(X), y¿). Luego. por el Teorema 1: ¡ÉTÉ= xn-xz y ÉF¡= yx-yz En el APfllPnTga= gÉÉ -> m= l¿Ï-! -¡, máx;
  18. 18. 2L Gcoutnta nautica "un L7 ANGULO DE D05 RECTAS ‘¡antena 5. Un ángulo especificado 6 feriado por dun _ tech está dad: por la fórmula TH! a . Intl: í‘ -1 un donde p; es 1a pendiaaha lniciAl y I; ‘en la vendin- te final corrcwponuonh n). ¡ando 8. Duoguagón. Por geometría Blalozihl anhelo! q” 1°! “ ¿angulo oxtnrio: a un crtlngulo u Y igunl n la ¡una 6o los (¡plan xy ï taz-intra no adyacentes. Satanas: en al MEC: un No; o nu B a quan Aplicando tnnganws ¡e cional Tee _ T30: -' TEM 1+ ‘Igaflgug Para nwïgux y “anda. luego: T39 = . una: F1 Cnrularlu 1. LA cnndinifin neeaauía y Iuficicnte para que rica nun ¡un pauauu ca que uuu pendientes ¡wen igualan. esta es. a1 L¡IIL¡ N m t n Zn afecto. dos tacto; ¡tm paralalu cuando a1 Íngulo formado pu: aïlu n: 0‘? 5 150°, entonees si en ln (¿mula h}. teorema 5 banano: 920° tsníremeuz u; - m¡ a 0 o una, Curolarln 2. LA «caución Macau-ia y ¡uïzcienta pan qua dos ractu scan pemendécutuu entre si. ea quo el producto de sus premisas“ lea igual a -1| nato se! Lg¿X. ¡ ** li¡. :filg U -1 En Ofectn. si dos rentas son perpendlcuhrer al ángulo con- pnndddo ante una: e: 90°. maracas para que ¡ge no ent‘ dlfinidl ¡n Ia Mrzaulu dal tunemn 5. ¡e Beba cumplir gun Huan. - 0 4-6 In. “ s a1 Insane‘; d: Coo/ Ldcnadaa h. ‘ un b. Los vértices de un triángulo son los puntos A(2,-. '-3}, ÏW-LLÏ 2/ C(Á.5). Calcular la pendient: d: cada una de sus lados. ¿‘LÜ-fifig. Por el teorema 4. se tiene: Pendiente de FT): m; = 554.127). : .2 Pendiente de 3-: m; -— fi = Pendiente de AT}: m; -- 5 ( 2 NH mL. S. Demostrar por medio de pendientes que los puntos A(9,2), M135): (¡(3.5) Y DÜ-U son vértices de ‘un paralslog. » En efecto. probar-emos que A-BIIÜÏÏ . ÏÏÉHÏÁ _ 6-2_ , 5-1 “A3‘1'ïT9‘2"“nc‘F'=2 Si mAB = mDC + m = ií= .1-, =ï_1 cs 11-3 8’ m -1‘s Si mas = m“ + HHH Por lo tanta, el cuadrilátero ABCD aa un parnlelogramo, 7- Una recta de pendiente 3 pasa. por a1 punto (3,2). La abs- “53 di‘ “¿T0 Punta de la recta ea L. Hallar su ordenada. 114m2:- Sean A(3,2). BÍLy) y m=3 Poz- definición: 1 = Ï-ÏZ- + 3 = "2 4, 3.: ; 43 ‘s. Una recta de pendfimnte -2 pasa por el punto (2,7) y par los puntos A y B. Si la ordenada de A res 3 y la gbgcisa dG B 65 6, nuél es ¿a absoisa de A y 421.14€]. la ordenada de B? @c¿ó_n- Sean I= =-2 . Hen). A(x.3) y Bus”)
  19. 19. 16 ¡unida Aaa-uuu n. .. lindo lo: punto; celia-nen, n daba vsritieu- que: ‘¡u ‘ ' ’ a, ‘ -1 . dc donde: ¡IL IPB’! c&¡-2; ¡L1 9. T , ' un vlrfioen de un pu-alolognno son H-LL). HL-U y Cad). 31 ln ordenada del unan-to vórtice u 6 cua, 5 su ordnadn? ' a infigfig. Se: el vértice D(x.6) . H . _ . 6-1 "su rh- 3 » “cn “r5 G o _ g ono ¡nuca ¡gs da donde! xq, w. lu], _ ¡r lo: ángulal interior“ del tricíngulo cuyas “pu. uu ¡an la: punto’: A(-2.1), su, “ , 53,2)‘ compraba, lo: rouultndos. ¿Musik- Primennnu urfigntuog ln dirección ponitivn (¡una “tun, rudo) dll (ngulu do cada viruta h Ilcuida daaignama. por) ¡“ía n Calla‘ . ¡aa-mn n-fi i’. TgA n n a H . ¡‘, ¿¿ ‘v ¡_5¿o1°' ""' 1-9/35 T B I ‘l , ‘ - I s pu, 2' 4.5 o sn77°g3r ‘¡c ' ': 'Ïfgí%‘ í ' 1.125 o c. ¿¿°¡¡u G V . oIPlOlcad6I¡ Aoaoa N ¡¿o, o, ¡ 77,2.‘ ’ ‘S922’ S 180° SKA/ Jana»! (le (condenada; 2'. ’ ll. Denostrar que los puntos ACLÜ; BÍEJ). (¡(5.0) .7 Nin-Z) son vsycjces de un paralelagrano, y hallaz- su ángulo oh- tuso. kigifiggifi. En efecto. damostrereaoa que EHÉÏ» y D-Allfi. - 3-1 - .1 . , M = ‘Aa ' -1’ 2 ' “DC 8-4 Si m“ = una + ¡filma 1+2 _ _ "m ‘TJ " ‘1 ' “ca Si m“ - mcB <> ÑHÉÉ Para determinar el ángulo obtuao B. designemns por man“ y un“ , entonces. par el Teorenn 5 se tiene: m = ¿i? = íï: -3 , n(«tn)= n({D)=1os°26' 1+1I2 12. Demostrar que los puntos A(1,1). M5,” y C(6¡'Ío) San V63‘ tine: de un trifingulu isósoolel y hallar cada una de los Ángulo: igualan. . Eastará probar que 3 En efecto: ¡mln Í(6-1)‘f(-L-1)' = ¡fi ¡En / (s—s>""“’= +c—4—a>= = «s7» Luego, el AABC es 1369136103. = = -v Entonces: TgB = rï-ÏIJÏL = = 3 * "HB)-nHA)=7]o3Á' 13. Hallar las ángulos del cuadrílátez-a cuyas vértices son las puntos MLS). B[7.3). C(6.1). Duna). Comptukar Jon resultadas. Solucüg. La. orientación positiva del ézgulv de cada vértice ae muestre. sn la figura. “"“ac’%: %“"“cs= ’2'“"“9¿‘3.: —3"55 mama}. =g . Luego, por el Teorema 5 ke tiene:
  20. 20. 28 Ülovutala Ána_l[g¿¿a ¡que . W ' . TED : g á; a “¿k7 1+5/12 . '. D=5B°¿u TC= '“'“ _1/6.2 1 g Ï: m|—¡'¡. m¡ Tn“ - - 1: - 4.375 J. c=12s°2v ru& 3 ïgfiígáï . Ïjïfí . 1, . 5_¿5o, ¿, cama m. .m. =-1. entonces: A.9o° A¿B+C4D a 9°o¿¿, o1¿, ¡1¡¿o¡, ¿55gA¿¡_360° C°3Proban16nx 14. Doe rectas se aq van Tv ioraandc un Án 1 4 0 . dc que la renta final viano una pcn: :o: td135 . Sabxan. la Fnudiente ag ll r. Et. iniginl e -J. calcular ¿¿Á5s¿fig. Tenonog- 9.1 ° ' 35 Y '¡"3 7 Por al Teorema 5; TgI35° = %3-m¡ _ _ - -. ' N1 * 1 ï%3¡á - dl dando: m¡n.1/2 15. Boa refitan se cortan * I inicial Pasa Por las P: :Ï: :d: (u: lntulc de ‘so’ L. recta final 9,5‘ Par al punfic ¿(J 9). .1) V Q(9.7) y ln recta cian es -2. Hallar la nrdengdn Z “Z; el punto A cuya ¿be e . ¿guia- se. ¡(.244 Paniiente de pq. m¡ _ 7-1 t . m: . fi Penixnnts de Ma: ¡u Hg“? _ i? 1 T245“ = 7{¿ig%¡ . 1 . (É-‘J/5‘-.6/11 _ 99.1,I_,0 59 donde: yhg .51) syíhóy o. 16. Hallar el ¿rea u el tfiángu] _ B(3'3) Y C(5--1) annleandc Ïlouycg v6rt1e" 5°“ A(1D'3)I . ¡eno del ínguln Bac_ iïéaséég. 5ean- ¡ L “""A3 ' H ‘3 J ¡Jn-mw = ;E4 , % uago_ ¡g¿ = m —m a 3_2/ J *“l-la 1737; ‘ *% . onzonceal 8anA = .12. 260 . .__. ___¡- J¿4¿¿ua¿ ce Cooadanadaa , pr: r: IÑPIÍÏISenA y Entonces: u AAEC)= ¿[A lIIÉ]Se: A (1) }"' ¡rca- r «i; : n1= Jïïïïïïïïíïïïï — 2/ïñ ) :5 tiene: n‘ - 1 wn - - 13 = . 5(üABC) A 2(/ ÍÏ)2/10){JÉ; ó) 13 41 pendientes úezuésbrese que los iras ; un: :s 17. Por nedío de C(—2, L) son calinenles . A(6,-2). B(2:1) 3 DemaA¿ngn¿6n. Bastará probar que las pcnd puntos tomados dns a dns son ientes de ; on ‘ 51313:. En afecto: _1+2_ _ . A+2_'. J‘ “Ac‘“I-’6"Ï’ “AB “ 1:3 Por lo tanto. los puntos A. E y C son culinsalss. nar los puntos A(-2.-J). B(L,1). S1 un KB. Una recta pasa 3 10 pertenece A la recta, uuél es punto de abacís ¿amada? fiofiugflén. ma recta, entonues: m¿B = mAP *+ É}? -= ï%f%— - y=5 su or- Si ú(-2.-3). B(L,1) y P(10.y) están en un: mig 19. Halle la ecuación debe satisfncar : ual1uier punto que pertenezca u ls recta que puse por laa punLos y B(7.3}. Solución. 5. Luv; si muy). A(2,-1) y B(7.3) pertevnweñ misma tanta. entonces: v 3+1 ' 'I m¿B - IA? üú 7:5 - íÉ¡ . de dondn: Ax-Sy-13=O 21. Dsmcsbrar que 1: recta quo pasa por Los puntos l(«2.; } 5 UC“ B(L.1) as perpendicular n la recta que paifi por 105 T nos c{«1.1)y 13h51). n tn. Ssa L, Jn recta qua pasa per A 7 M. Dcmaat
  21. 21. 30 ggouinla ¿nautica Plana» Entoncel: m 1 = . . 7- 2 s1 L, e. 1. recta que pau WrCv D ° I: = T = g . a Luego, Inn-ll! = f-ÉNÉ) ‘ '1 por tanto, por 31 corolnrio 2 del santana 5: L¡J. L¡. 22. Una recta L¡ pana por los puntal (3.2) Y (-4.-6) Y Otrü recta L, pasa por el punto (-7.1) y al punto A cuya ardg una, g] -6. Hallar ll abacin de A, sabiendo que L¡ es perpendioullr a Lg. ¡qeucifip . Sea Mx, -6) Pendiente de Lx: Bu‘ fi ‘P; Pendiente de L¡: n: = : É%% = i%7 51 ¿“h . ¡¡_m¡a. | 4-4 53m5}? = .1 , de donde! x-1 Z3. Demostrar que los tran yuncas A(2.5]. B(H. -1) Y C('? -1’ nan loá vértican de un triángulo ruotángulc. y hallar sus ingulos agudos. Bcno4¿4ac¿¿¿. En efecto. pendiente de CA: n¡- ¿{É = 1 Pendiente de BA: m; I ‘Ei; = -1 Cono una; = -1 4 (ÏAAÉ-A Luego. al ¿ABC es raatánguln on A. Fendi-ante de FC: ¡n = fi = -% - ___________ __ * U - ¡rcTg(1.5) = S6°19' T53 ° 155+. ’ ¡"F-gg = É ‘ Havanna/ z) s Wu’ zu. Damostror que los cuatro puntas A(2,L), B(7.3), C(6.-2) y D(1.-1) son v6rt1ces de un cuadrado y que nus dingong las son porpandioúlarin y se dividen ¡utunente en partes igualan. ljeoreztala ¿Ratifica ¡‘(una 31 Bmw. a ‘fin. Probaranos primeramente que dns: de los L 135195 son ‘gun Enefacto, 1ñyÁ = /2‘6 IcïnrwUTwWEFm/ a? lñI= =/ ï6 Ahora denostraranos que sus lados son perpendiculares. ¡k1 afecto: “m’%Ï"}-’5=°n’3Ï‘É‘"É‘"2ïc= Como rumana = -1 y nïfimc » Por lo tanto, el. cuudrilfitero ¿BCD oa un cuadrado. Finalmente, las pendienoes de las diagonales son: --2- _ .2. - +1_; “Ac“6-'Í“2"n3‘ —1’3 Vemos que m¿C. mDB= -1 , entonces: AÏLIÏÉ. Si. H es punto uadio de A-G + M[%, Á—5g) <--> HUHU s1 u" es punto medio de EE + M'(%,35—1)++ wun) Como M= M', las diagonales se hisecnn mutuamente. 25. Demostrar que las l. puntos A(2.2). B{5.6), C{9.9) y D(6,5) son vértices de un rombo y que sus diagonales son perpeg diculares. Üenoatznación. En afecto, po! ‘ 13361-211113 de distancias se demuestra que: "H íïl= s ¡¡ = 9'6 = « u - _ un 9-5 5 ' AD EI? ¿ LuBsu= ¡E1153 ? ÏÏÍIIÉ. Por tanto el ouaddlácero ABC} es un rombo.
  22. 22. 32 gcanaxnia Analiáica ¡’luna 1.8 DEMOSTNAÉION DE TEOREHAS GEOHEÏRICOS POR EL MEÏODO ANA. L1 ÏICO. EJERCICIGS. Grupo lo J. Las diagamslE-s ¿e un paralelograno sa dividen mutuamente en partes iguales. Dzuoaafiaacün. La posición más ser- ____í_ silla, con ral-ación a los ejes coaríe- 3' natïoe, para un parclelograno cualquiera es el de la figura uzíjunía. Empezamos por asignar los vértices A(. :.U) :1 C(b. c). como CH os paralelo a igual a o 0A, entonces. la. ordenuia do B es igual l a la ordenada de L‘ y su ¿hacian es a nz- nidades mayor que ln abscisa de L‘ Para demostrar que las diagonales- taz-á determinar que los puntos med COIECÍZÏCIJ. En efecto: ï luego. Bíafiam). se biaacan uunuusws, ha; ios de dichas diltgunalna Ïflntü M6510 de 55! fNkzflïf) . Punto medio de E: Mflïb qunda demostrado el teorema. Como Hsbf’. ¿7¿Iga_4‘¿g: _¿gr¿. E: afecta. sea el paralnlogrsmc OABC, cu- yas coordenadas de sus vértices ac determinan como cn el eherciclo 1. ñ(a+b. cJ Pendiente de (ÏÉ: m; zfi l Pendiente de ÏZÏ: m¡ s 37°- «"8 Z o I¡. m¡ a ¡,37 (1) vean’. .. ïiáianan de Caosnlc-‘rul/ fl-ü v" _ _ a 4D i ‘7 _‘ CÏHJE sustituyendo er. ’ï)= 11-M “ "-11 ¡‘a s ‘Á. d: Punto nadia de. mu: ¡((95-1) . Pur a me o _ f V i a ¿e l“ diaganelcs soi ¡emos que 105 P"“'°3 "Pd o V _ z uunuc medio. ¿‘mi ¿emueggrg que éstas sa cortan cm su . , í da rica la tr. que una las; puntos nauLos . ¿h 31 segmento de rec _ W Á dos c-ualeaqïliara de un triángulo es paralela a; fauna! ‘ lado e igual a su mitad. ¿ 59a el MME Amnistia» — - 2 Pandimto de 0B: m1 < b Pendiente de Ñï: m, : ‘J g = Luego. si mfifl: "’ ¡E51 . line‘ t, dia do la hiputanusa de un triángulo rectángg 5. El un 0 ¡’e la Zouidists de los tras VÓPMGH- Q¡¿g¿¿¿¡aci6n Debemos probar GW‘ mïhïñhmï“ . . En efecto designan» loa vértices Amo) y a(2b. o). __ si H ya punto medio de OE * HÜhÜ) Luego; Iñïhlo-bl-flv = IHBFIZb-bifl’ ¡, ,—A, =,--——(, _—, ,,uc= = m Pero: [Elzflafllflñl Entonces: n‘= a(2b-l)=25b‘51 sustituyendo en (1): n75] . /¡, z_jnb+baïfab-ni ; b F r 1o ¿una H equidiatn de los tras vértices. o ,
  23. 23. 34 Gzvnctaie Analítica Plane 6. Los ángulos epuestoa 1 los lados iguales de un triángulo ieásceles son iguales. flenn¿t¿ac¿6n. Debemos proper que a= B En efecto. deeignemos los vértices A(2a, O) y B(uyb)- b Pundicntv do DB: n; = Tgu = 3 (1) Pnndianta de AE: m; = T56 = ¿a = -E Pero: s-w-e * TgB = TgÜ-Ü) = 4'89 Entonces: Tgfi = -(- É) = % (2) De (1) y (2) se deduce que: Tgc = T38 * u= B B. SJ. las diagonales de un paralelngreuo son iguales. la I; gun u un rectángulo. Duoátaagidn. Se; el paralolograno cuyas vfirticaa se ig dicnn en 1a figura. [59] = /(u+b)'*c¡ Y I¡¡| = ¡(a-h)'4C¡ B(¡+b. c) s1 | oTa| =|E| + / (a+h)’+c‘ - l(a—h)'+c‘ do donde: ab = 0 como ¡f0 +b=0 . Si este ocurre. m- tonces lun coordenadas de C y B anrín: C(O, c) y B(a, c). es decir. las lados del paralelogramo serán paralelos y coincidentes con las ejes coordenadas. Por tanta, la figura resultante es un rectángulo. 9. Ésa medianas correspondientes I los lados iguales de un trifingulo iaóscnlen son iguales. Dencstrgclég. Sea el ¿DAB cuyos vértices se indican en la figura. Decenas probar que: [CJ-MFIÏIÏI En efecto: H es punto medio de ¡É'» H(ga. b) ¡om = “(32B)¡fb¡ = (349.12, b’ (1) 5¿4ieAa¿ de Cooadtnadua 35 ¡EN! = / (2a - ffiflb-o)‘ = lga‘ + b‘ (2) De (1) y (2) se deduce que: IÜÍIKIÍÏI 11. Los dos segmentos que se obtienen uniendo dos vértices o- puestos ¿a un pnralolograno con los puntos medios de dns lados opuestos son iguales y paralelos. D¿uo¿tnag¿6n. San el perulelogrema OABC cuyos vértices se dun en la figure. Punto nadia de AB: nfiiglïg) Y Pimto medio do oc: M; , f) hTcI = 47M‘ - tam; - c)‘ = Maflufiych-¿ab o IATWI ¡(a - Erugw - g ¡uübfichub -'- IÑÜI = IÜI Bennett-Atenea akon que: ¡El IÜI Cflhc) Bhflhc) En afecta. pandiente de E: n; = = TSE b _ . Pendiente de ü: n. -2¿3—'—9 = r} h/2 - A ' g s1 m¡= mz o ¡EMI! 12. El segmento que una los puntos medios de los lados no pg raloloe de un trapecio es paralelo A las bases 9 igual a su aeniluln. Sea el trapecio OABG cuyos lados paralelas miden a y b unidades, y cuyas coordenadas de sus vértices se indican en ln figura. Las coordenadas de los puntas medios de loa lados 55 y I; con: ¡«(g-gh y ¡nif-gisfi) Ïimd) (bflnd) . . x Vence que la ordenada de M y H son J A.0)
  24. 24. 36 aeouetua . m¿z¿¿aa , =¿a, .,. , ws . g> y ncagag; ' » 1 . lemas que las ardenndas ae H y l. ’ son Lguglgg. por lo que la pendiente ie MH es cero. o sea qua fi es paralelo al aja z, resto es: fiufiufi Finalmente: IH-IH = “l? ” _ É . _. ¿‘b 13. El eagïento que une los puntos medios da 135 cuagcna‘ — ¿es de un trapecio es igual a 1a mitad de 1a «ya ¿m 1 d . . -4 r c a e las longitudes de los lados paralelag gflouacción. Se: el Chips-sia ¿“Ec “u as o d fi d " -'- -4- . «Y cor una as e 5'15 vértices se inMNar. en 1a figura Debemos probar que; ¡ffi¡ t a-b A‘ T y En efecto: CÍC i) B(h+ d) _ v‘ 7 c. Las aoordenadae de los puntos medios 5€ las diagonales san; MÜLÉÏÉ) y “¿Q E) 2 'Z . , _ A( .0 " Entonces. ¡WI - 1221 , L? ‘ _ ¿gp u ) Us. La suma de las cuadrados de los lados de un cualquiera as igugl a gonnles. pnnlelagranc la suma de los cuadradas de sus 41a Brunei/ zación Sea el >- ‘ . a‘ r‘"'°*51°S! 'aao OABC cuyos várzic" se indicar; en la figura, Enñormes: J_A| =|5'5¡, ¿ I0‘c¡= ¡ïsI= Fra: * ftï-l‘*lxí: l‘*lfi| um¡z= - aubflclvaubucz . uaHtucn ¿demfiflï ÍÜÉÍ’ ’(aíb)¡#cz y | R3= ¿‘(fiwzmz J o IÜINÏÁÏH: a (¡+b): ,c2+(¿_b)2¿cz , Nnhbha) Canparand g , o on la lgualdpd anterior. se deduce qu” ¡ | Ü7Ï'*I»ÏBf'+¡E-2I’+]o‘(; ¡= : Ifigpflïé” Sil/ atenta»; de Cacadumdaa 37 15. Los segmentos que unen los punt-as nadia‘: de cada do: 12- ios apuestas de ur. cnndrilátero se buscan entre s1. Dmo/ st/ muán. San c1 cuadrilítero CABO. cuyas coordena- das ÉL’ susvértíces a: indicar. en la figura. Debemos proba: - que los Y segmentos É 5 Ñ se cortan 2:1 un mismo p-mto. En e to, las coordenadas de los puntos mezïioa de las lado: del cu; drilétarn son: “mm ' 2+: bí-d c ' g b 3‘ 957.7) f M515) . “¡.53 . efe Si 'v" cs puntolnedio rin Ïs o en}: b+d+f N‘ (-7 .7) Cono 1’. =H', los segmentos P-Q y É se bisecan entre si. 1B. Los ángulos de 3.a base de un {rspecio isósceles sm igug Las. auuuimcmu. Sea el trapecio isósceles mac. cuyas 1:: - dcs peralelos mide: a y b unidades. Sea E. vértice ¿(LDL Como y entonces la ordanaaia ria C sa la U5 6"”) MH”) ma de E. fi=0-D+Ñ+É7n «r a= x¡+b+x, v x¡= 5% cms-mm . n: gb + n - M: Lg! Por 1: tanta: Ha-Sgm) y B(%’. c) Pendiente Ec É: n¡ — Tge 2%! : (1) Pendante de El: m; = THC = e = g-Éf- - 178%- (2) De (1) 3' (2) se -156 — -Tg(n—E) = ha B
  25. 25. 36 agent/ ua anauuca ma“, M? . á-J y M2523) Vemos que las ordenadas de M y tí san Lguglag. po, ¿a qu! la : .11 l: y _ . _. - _e' an e ie WH es pero, o usa que pm .33 paralelo al EJB Z. este es: fiufiufi Finalmente: ¡En = “S” _ f , vb ' u‘ El segmento que u" l“ Fw“! "Wïios de las diagonales de un trapecio s: igual a 1a mitad de la a. “ en“ d 4; : - 3 g las longitudes «¡e las lados paralelqg ïaatacción. Se: el €rape"‘o 043g «mas co d d d "' °" *- o a or ene as e sus vértices s: in-Ngan En h figura Debemos probar qua: [Win = %. b En efecto: Las coordenadas de los puntas medios de las diagonnlas sen; Hi3 "Í + d M 2 -z> y "re-sw Entonces: ¡WTI n ¡FJ , 173.5‘ _ B-b 2 2 ' UA. La suma de los cuadradas cualquiera es igual a 1.3 gvnalas. ¿9 105 lados de un pnrnlelagranc suma de los cuadradas de ¡uu a1; Denominación Sea el A ‘ L‘ yflnfilüsvano OABG cuyos virus” se indicar; en la figura” Enñonues: Hïflqfih, s/ bhc’ - IüWl/ fiiülfivqomz; 3(! *b. :) ,1‘ ‘ “'“’“°"a'*b’*= ‘ = ÉÍRHENH) x . ' : "' T — . “EN” |03|’ (Aib)¡¡c2 y [Ac]: Juflwïqcz ’ IÜÉIHHÉP = (8*h)'*c’+(a-h)‘+e¡ x Maia-bue! ) Ii Comparando con la Lgualdpd anterior. se deduce que: H; | ÑI’*IA—B| '+| E_BI’+]ïc[-‘ : Ifigpflïé“ Siáiemua de Cacadumúu 37 15. Los segmentos qua unen los punt-os nedlos de cada das la- dos opuestas da un cnadrilátero se buscan entre s1. Duuoataación. San cl cuadrilituro ULBC, cuyas coordena- das de ausvértices se indicar. en la figura. Debemos proba; - que las Y scgmcntos É y ñ se corten 2:1 un mismo punto. En efazto, las coordenadas de los puntos meúios da los lados del cu; drilétarn son: chi) 9533.? ) l. mgá) . Hi3) . x ¿Le L! S( 2 . 2 ) ! ( ' ) , ,.(¿i%ü_‘= _*g) Si . ‘{ :5 punto medio de ITC * S‘. Tv" es puntaje/ lio de "s o Como M= H', los segmentos 135 y FÏS ss bisacu entre si. 18. Los ángulos de 2.a base de un tï-specio isósceles san igug H m m Demaakaación. Sea el trapecio isósceles OABC, cuyos 1e- dns paralelas miden a y h unidades. Sea el vértice . -‘. (a,0). como cïnñï. y entonces la ordenada sia C es la n15 CH“) MH”) ma de B. fi-oïfiáafi . a= x¡+b+x¡ . w 55-” fiúïnñï: + x1: ‘Eb + n -— x, = 5-? a bla) Por 1: tuto: Mágica) y uf 2. X1 Pendiente tic Ñ: n¡ — Tgt: z = V2? (1) m De (1) 3' (2) sc deduce que Tgu = 4'56 - -Tg(n—E) = Tgs . ‘. c: B Pendscïe de A-S: m; = ‘Ig? ! =
  26. 26. 38 Qcvnetaía Annllbïca Plana 19. Las puntos medios d: dos lados opuestos da cualqler cun- fiúlábsro y las puntas nedias de las diagonales son vér- tines de un paralslogruo. Qguombzacigg. Sea el cuadrilétnra OABC. cuyas coordena- das da sus vérttcaa ge indica un 3 :1 1a figura. y h’ ) Debemos probar que: fill (Ñ: y Q-HHW ¡Q En efecto, las caordenadas de los b a puntos ¡adios de los lados y las diagonales del cuadrilátcrc. son: C(e. f) 3°m° “Fm: Y 03,4753}: . uniones: ÏÏÏ] [IW y ÓÏHW 23. La Suma dc las aunar-Atlas de ha ¿ganancias (¡a cualquier punto de un plano n das ïórtiacs opuestos de cualquiu: ¡‘Wtififiulfl 93 181ml l la suma de lo: cuadrados de añ: distancias n los otro: dos vértices. San el rectángulo ABGD y 2' un punto gual- qulera dal plano P Por 1a. fóimuln de distancias: . y Í ¡(x. y) A [Ñ] = /x: +(y_h)z'¡ ¡fi| E D(u. b ‘ (mb) *' IFFI‘+IÉ? I‘= x'+(y-b)= +(x-a)= +,= = 2x*+2y'+. *+a= -2(a¿+b, ) m” ¿V12? s [CNA / (x-a)= _+(y. b)= "' ¡HÍ‘*ICPI‘= r‘+y‘&x’—2ax+a*+y¿.2by+hi - 2x‘+2y’+a*+b= -2(ux+by) _ n(a. n)x Séatuu ¡iz Caodanadna 39 compu-nudo las dos igualdad}; ¡,0 ¡induce que: IÜFPHWI‘ - IÉPHÑP Z5. s1 0.A, B y c non las virtua: sueeuivoa dawn: pnralelogrg nn, y D y B los puntos ¡odios de los 1:40: ¡Ü y Ñ}, ras- pectinnnnte. los ngnontoo Ñ y Ü! triaeean a la. diago- nnl É. . La figura. nuestra el pnralelognnn OLEO junto con las coordnnnflnu de nu vértices. y 0 hac) 3 3(I¡*b-G) 1: punto nun de C-B o ntifilfle) n punto nadia da 61 o v3.0) Duncan-arena: que V! bríoabn a la diagonal ÍÏ). ü: «tacto. sea‘P(x. y) lu «continuan de un punto tam. ¿. _n__2 __ _z+b Sigï-Z , ‘S: x . ‘. r-(g-¡‘ÉÁ-g) EFE: _, W - “LI-fl! a; . . 3.3 cone nubes pzmton coincidan. antena“ P es punto de trine- ción de 1a diagonal E. Análognnonte se denuutrs que Q n ¡nmtc de inyección «le ñ. ía»
  27. 27. 2 Gráfica de una Ecuación W 2' Lugares Geoméfricos 2.1 DOS PROELEHAS FUNDAHENÏALES DE LA GEOHETRIA ANALIYICA I. Dndn una sanación Lntorprotatlg geamánricamente. es decir, construir ll grfifiea currelpondiente. IX. Dadn'un¡ figura geométrica. o la condición que de- ben cumplir las puntas de ln ligan. daterninnr su acunción. 2.2 PHXNER PROBLEMA FUNDAMENTAL. GRAFICA DE VMA ECUACION En ln diIcuI16n y al trnsado de la gráfica de unn ecua- ción de dos Vnrilhlsa x s y, de 1: forma t(x. y) = 0 iniervinnen Inn alguivnteu pasean 1. Intarcapeionan con las ejes coordenada: 2. Silotrín con runpeucu n los ejes coardenadon y con al origan. 3. Dcterninnclón de 1: extons16n de la curva. Á. Detarlinnnión dv ln: scuacionaa de lun aaíntotao var- . horizontales u oblicuaa que 11 curva puede 5. Tabulneifin da un número suficiente de puntos plrn ob- tolar han grltian adseuadn. 6. ! rasnde de ln eurvn. Gallica da Inc Cauaaáón ¿1 2.3 Intercapcloncu cun los Ejes Coordenadas a) gg; ¡1 ej; L. Se obtiene haciendo y= D en la ecuación de la curva y resolviendo la ecuación resultante ! (x, D)-0. Por ejemplo. dada la ecuncián f(u, y): x’4y’-Zx-2y-14:0. hallar las interceptos con al eje X. Solucián. Para y= O se tiene f(x. D): x‘—2x-14-0 * (x-7)(x+2)=0 +4 x¡=7 6 x¡= -2 Por tanto. las puntos sobre el eje I donde la ordenada en ce- ro san: P¡(7.0) y P¡(—2,0) b) Qgg g} gja Y. Se obtlone hneienda en la ecuación x=0 y resolviendo la ecuación f(D, y)=0 Por ejemplo. hallar las intarcepcioncs da la curva de ecue- ción y‘-2x-8y&1g=0 con el eje Y. Solución. Para x=0 * f(0.y)= y‘-8y+12-D -> (y-2)(y—6)=0 H yx= ï 5 ysé Por tanto, los puntos subte el aja 1 donde la ahscisa es cern son: P¡(0.2) y Pa(0.6) 2.b 51netría. a) Slnetrfa cun respecto al eje X. Si la ecuación de una curva no se al- tera cuando la variable y es recvplazado par —y, esta es, !(x, y)= f(¡. -7). la curva es simétrica con respec- to al eje X. Por ejemplo, sea la ecuación f(x, y):4x’+3y’-12 Haciendo y= -y le tiene f(x, -y):4x¡+3(-y)’-¿x‘+3y’=12 Cano f(x, -y)= f(x. y). ln curva es ninítrica respecto al eje X. b) simetría con respecta al eje V. Si le ecuación de una curva no se altera cuando la variable x ss reem- plnsedu yet -x, esta es, !(x. y)= t(-xav). la turva 9* simétricn can respecto al eje X.
  28. 28. I. ..‘ yeorzzinia ánaliiica Firma: fiadiiea dc una Ecuación 43 ’ o ay o» -4x’f8'x_+12>0 4-0 x‘-2¡-3fi0 H (x-1)‘SL 4* ¿sx-NZ ¿Je y_ w 46x‘! _ __ _ Por 1o tanto. ¡l dominio = [-1.3] La fiCfldClCÏfl CIE lili , (2) Hallar el rango de 1a ecuncián: y‘-9x’-18x-By-2=D curva no se altera al reemplazar las var1ahLas x por -X Solución. Debemos despejar x= g(y) Dredannndo la. ecuación en tiene: 9x’+18x-(y‘-8y-2)-0 —"fi——, , x _ »9 2 / a1+9( -3 —2 :1 2 r——-y. _sy¿, » 3x H y‘-8y+'h0 w (y—l. )‘z9 w y-Las 6 y-Lc-s - w y>7 6 yn un: <--.1] u e y por -y, esto es. f(x. y)= i(-x, -ïl. la curva a: simé- triaa renuncio al origen. Por ejemplo, sea 1" ecuación f(x.7):8x‘-y=0 Haciendo x= -X e y y se tiene fí-x. -y):8(-Z)'-(-y}= -8x’+y=0 * f(-1.-ï):8x‘-y=0 Como Ï(x. yÍ<f(-K, -y), la curva es simítrica respecto al ori- gen. 2.5 Mediante este pase se determina el intervalo n los intervalos de variacién para los cuales los valores da x e y son reales. Esta infarnación es útil por las siguientes ru- zones" ' Luego. el ¡’Ingo de 1a ec 2.6 Asíntutaa. Si para una curva dada. existe un: recta tal? que. a medida que un punto ia 1a aux-vn ¡e a- to n. l: recta decrece continuamente y tiende n cera. di- cha recta se llama ulgtota da la curva. . Existen tres clase: ü naíntotas: a) . Son rectas pnralelnn o coincidan- zu can el eje X. y tienen por a- cuanión: _ Para duterlinnr lu aaíntotaa horilontaleo ae ordena ln e- ngañen pctenuiua deere. de x y- Bjelplo. Hallar las nsíntotas horizontales de 1a ecuación xÏyÏ-yz-bfiizxvóso. ' Solución. Oi-danuon 1a ecuncáón en potencian docrecientcs de xt (y*-4)x'o2:-(y= +¿)= o LI. ¡anuncia ¡in alta de x en x‘. y ¡u conficianto u y‘-L. Enhancer: y'-4-0 w y-z 6 y--2 , Ian las aaíntotaa hot-izan tale: de 1a muva duda. íjsmplcs. HI Élella: el dominio de Ja ecuación x¡+¿yF-2x-. I!; y-r1.3:a Solución. Debemos ds: ,ajqr: y= f{x) Drdcnnndo la ecuación se zicn= : ¿yz-16y+(x2-2x+13)75 . 8 e /6A—¿(x¿—2r—13) ñ__: _/—4x= +ax+12 ’ _T"_ J’ -—- -‘- lcjn indefinidamente del origen. ln distancia de en pu; '
  29. 29. 41. ‘a vlrfclli z m; ¡‘muy ¡” 5'51’. rectas paralela o coitrídcntes 1 I, y 312mm‘. por cncneción c) Para (later-Dinar las asíntotne veriicales se ordena 3a ccug ción en pvtenciae decracicntes de y. Eiemplo, Hallar las aeíntotna verticales de le. cuz-ve ¿e ecuación: xzyz-yz-ÁXHZY- V0 Snlnción. Ordohamns la ecuación en pntencias dccrecíentes de y: (x2—1)yz-(417'-2X*1)= Ü La potencia más alta de y es y’, y su coeficiente es xz-‘l. Luego, 11-129 H ¡a1 6 x= -1 , son las asíntotas verticales de le curva dada. g Asínmns Dhllcuas. San recLes que no son. paralelas a mig ' guzm de los ejes coordenadas y tienen yor ecuación: y= nx+k . Iuaéo Para datan-aunar lea «¿síntomas oblicuna. se reemplaza al v; lor y= lx4>k en la ecuución daña; se ordena la ecuación re- sultante en potencian ¿setecientos de x. luego, se iguala a cero las dos ‘potencian nie altas de x. Ejenpla. Hallar las aníntotes objicugg de 1a cuna, de c- ‘ cuación x’-xy2f2y-‘=0. Solución. sustituyendo y= xfk en lu ecuecián dede: x”-x(ux+k)'+2y‘=0 de donde: (tm‘)x‘-2n1ex‘-k‘x+2y‘=06.‘ - Las pote ans más altea de z son ¡("p Luego. eagúxpla regla: '| —m‘=0 w ¡F31 -2mk=0 * k=0 Por tanto. las asíntotas oblicuae son: y=2x H) Simca-ía; ¿IU Extensión _ V) Tabla de vana, “ 3 _ VÏ) Trazado de la ggáfica ’ ‘ 7.3 Si x>2 a y ,5 h) x<2 + ¿s eg (.1 “¿lira de Ccuacmn“ EJERCICIOS. Grupo 5 Solución. e 58a ¡’(24) : xy-2y-3=o ¿S xy-Zy-Bso Ï) In tercepciones. n) c" el “Je J“ 5‘ r0 + o 2m) 3 _ _ _ :0 * ‘ke N° Mi‘ interaeccifin b) Con el ej y e * y= -3/2 P(O’—3/2) I Si x=0 -> . ¿>y_3__0 a) Can el Eje X. - flx w. “ ' " ' ’l')-3(-y)= -xy+2y_3=o + r(x. -y) , ¿ tu, ” . . Ho es simétric; b) Con el eje 1': N-x ny): (-x))--2y-3=. ¡¡_2y_3=° * YFX-r) .4 r(x. y) c) Gon el origen: f(. .x__ï)¿(_x)( 4 . ‘. No es simétrica WI-N-‘¡J-B: _+2 -3: ÍÍ-xwï) í {hay} . '. No aewsiïátrfca a) Dominic de la ecuación ¡‘un / ,. i’ = ._ . fi 9 xfl (2) . . Daninío = <. ..,2>u Qfim, b) ¡“la ne ls ecuación- pu” z x = En: , Y * “L”; " ¡“Em = <-°. o> u<o, +e. > ÏV) Asíntotas. a) Ásíntotas Farizonta‘! ‘ . * -"= yx-2y-3=o + Fa e, un a LH. bïksíntams Ver“ - ulcslps: (x-2)y_3:0 _, x =2 es uns A. V_ l I I I 13---. “ l . l l
  30. 30. ¡’(7 Qcamcixzía Analítica Plana . . fikuluza de An Ecuación xï"3)"«‘= ° 7' “Y'¿*-2y¿2=0 w Sclución. San IÍ¡. y)= ï}"3ï-*‘° ¿LQLQA- Sea f(x. y)sxy-g¡_zy', z_o I) Interssccionee. I. ‘latex-secciones. a) COL e], age X: Si 3=O + 0-0-x=0 + x=0 b) Can el eje z: s1 x=0 + o-3y-0=0 + y=0 La curva pasa. pa: al origen e; Con el eje X: s1 ¡Hg , ¿“zw ‘ 1 3' Con ' . . , » " ““ A e; nie y. s. no . ¿“ha * P’ (1.0) u. Simetría. B(0.1) Shen‘! u . E) Gun el eje ¡_ ¿(x , ; n) Con .1. eje x: fiin-y): x(-}’)-3í-! )"S"‘Y*3ï""‘° ")""V’2‘**Y*2=0 . ._ * fl’ -v- ' o f(x, -y) # f(x, y) . . No es einen-ica b) con al eje Y 4x. ¡Í i! {(1.3) _. _ ¡o n simétrica b) cuan sie Y: muuy): c—x>y-3y—t—x)= -xy-3y+x=0 ; (;x: ’g= "’. *2*-2y+2=o -> r(—x. y) i tiny) . ‘. No es simétrica ' V Í‘ fímy) 5- ÏO en alnát u c) con al i Ïlvfi c) con al arigen. fl-x,1!)= (-x)(-v)-3(-ï)-(-x)= ïv*3v+x= o m. gm t(-"-y)'"+2-¡*2Y+2=0 . . "' f(- . —> i‘(—x, -y) ¡t f-(sny) . . No es almétricl III. Extensián. fi y) i “X-y) ,2 lo es ailÍtrícs III) Extensión- a) Duminjg de l. se“. 61,6 . = y , zx-z n ’ u“ k-Z b) ¡"'30 de ll ¡magia = 9 -2 y x f}. * ytlutlz} Iv. Asíntotaa, a) Dominio de la acuacián. y=2{x) v = á + XER-l? ) * “b”? xsfly) x = fi <> ycR-H! .'. IV) Asíntotas . Doninío = <-°'.3>u<3.+f-> Douin1o= <-»,2>u(2_. ,> b) Rengo de 1a asunción. ‘fu? ’ . ¡“go . <. =,1>u<1,4o> _', Rango a <_. ._2>u<¿'+_> s) ksíntates Hutízouteles. b) Ash-states Verticales. a) Ashton‘ ¡‘uimlïdnn i! (y_1)x.3y= o + y=1 aa una AJ. b) Auíntotas Sin-neu" -2) _ _ , ( 3h x o + x-Jos una A v I ¡’+2 o ’ "h" ‘ y-z x. _ . _ . . ¡X-Zh-zxgzaa + ¿. ¿ V. Tabln d. y 1 VI) Trazado de la gráfica ‘a ore! ’ V) Tabla do valores. VI. fraude da la gï-áfice ‘x y ' x-É Si D3, la curva es extlep de encima da la recta y=1 SL x<3, la curva an exueg de debajo de 1a recta y=1 W "I í I I _ 1__ . v -—-——- J (4. nacía.
  31. 31. ‘a g‘a. d4¿a Anazltéca pla": ÉIiálÍEu (I: una ¿nuncián L‘) I 9 x¡+2xy+y’ozx-2y-l= o 11. xHf-ïaph-O . ' _ _ g 1 “. u; :0 ¡”Mmmm San ¿(xdd: x¡+2xy{_y¿+2x_2y_1=o - Gas fíx Y) x +_« 4; L . I. T: .: :"c 5. I. Intersecc1onee. ¡ta S “ 103° n) Con el eje X. Si y= D + x‘+2x. .1=o ¡huyz b) Gon el eje y. Bi x=0 a y= .2y-1=o o» ¿una - _a7 Con el eje x. 513m0 , x*+¿= o » xJf-Z AHF/ HD) b) Cor. c1 eje ï. Si x= s o yt/ mun + ¿»:2 "¿(0,2) II. simetría. ".1. simetría. n) Can el aje X. f(x. -y): x‘»2xy+y¿+2x+2y-1=o + f(x. -3) 4 t(x. y) .2 No es simétrica b) Can el eje Y. f(-x, y): x1-2xy+y= .z¡-2y_1=o “‘ 55%)’) í‘- Hay) . ‘. No es simétrica n) Gon el eje X. 1‘(x, -;. '): x°+y"+. '.3-= D -> f(x, -‘_r) f [buy] No es nimétrlse b) Con el eje T. f(—x. ï): -x’+y‘—l. )'+¿= J * f(-x. y) # f(x, y) .2 No es simétrica c) Con al origen. f(-x. «y): x‘+2xy+y‘-2x+2y_1=o ‘ N-xny) 75 flaca) . ‘. No es ninguna c) Gon el origen. I(-x, -y]: -x’+y’GAy+L'-0 -> _’(-x, -;¡) f HLy) . ‘. No es m H a m. ¿I- .4 , .. o sv TÏÏ- ïxtnflsiín- ïII. Extensión. E. ) Dominio de la ecuación. y‘+2(x-1)y+x’+2x--1a0 * Y = 42M)! /(z-1)’-(x= +2x—1) = (huy-zz; a) Dominio de le ecuación. y=1‘(_x) (y-2)¡= -x’ -> y=22x/ -—x * ¡y °* Z-¿xau «v ¡‘1/2 Damm-u, . <-. ,_-, ¡2] a Ey -—- -x>O 4-» x<0 Dominio = <-w. c] b) Rango de le ecuación. x‘+2(yf1)x+y1-2y-1=o h) Rango de la ecuación. x= f(y) * x = 4x41): -/ (y+1)‘—Íy‘-2y-1) = 43m1): Iïyfi x = ‘¡Ly-yï-A 4 ‘ly. x es rsal- ïanso = P- ‘ 3*‘ “ WW? “ ‘r vz-Vz nanga'e[.1/z, +w> Iv. Aaínmas. IV. Aaíntotns. Cnno las coeficientes de x‘ a y’ son congt a! . E98. la curva de ecuación dada no tiene aníg tots: horizontales y vsrticalea. ‘ l VI. Trazado de la Gráfica como los coeficientes de los variehlns x3 e y‘ non con; tantos, 1a curva no tiene ¿síntotes hcrlzontslos ni ve; 1:1 calas. V. " b . , La la de velar“ V. Table de Valores. VI. TÏuZEdO de le grafica y = 21:05:?
  32. 32. 5o ggongmta rlnalláica Plana 12. y ’-K2+iy2+2x+)y= fl Sotuuáón. La ecuación podemos transformarla del si. gulsnta finds: (yusylnyn). (x3.2x+1)= U * r(x. y): (y‘1)’= (‘x-1)‘ I) "Intersaccionés. al Con ‘al eje X. 51 11:9 * ÍX-1)“= '7— *"" ¡”:1 0 e» x-Z 6 x=0 ¿’(2.0) y ocam? b) Con el aja z. Si x=0 » (¿num » y=0 No.0) II . simetría. 4» a) con el eje I. i‘(x, -y): (-r*1)"= (X-1)‘ v 1‘(x. -y) i‘ f(x, y) . ‘. No es simétrica h) con el aja T. f(-x. y): (y+1)'= (-K-1)‘ v í‘(-x, y) í Hay’) ' . ’. No es simétrica e) kon al arigen. t(—x, ->¡)‘: (.y+1)'= (-x-1)‘ o thu-y, ‘ f Nxa/ J ¿‘Ha es simétrica III. Extensión. s) Dominio de la‘ ecuación. y= t‘(x) ynsfl/ ÏÏÍÍTÏ‘ a ¡yfifixea Dominio = a b) Ring; de ln sanación. xnfly) x-h/ GÏÏÏ’ o sx w ¡¡+1>, .a 9-» y; -1 nnngo-[--1.+w> IV. Asíntotca. coma loa caaflcienhea ds x‘ e y’ son canatag tes, le curva no tiene aaíntota: hcrizcntzlsa y venia. V. ‘ Tahla dr Vaina-ds U. Trazado de la gráfica y-WHH/ (x-‘ÍÏ! 0-58 g/ zd/ Ïica ¿Ze una ¿caución . ,1 m. xzyJby-xJ) Mnifig. Sea I’(x, y): w‘y-¿y. x=n Í) Intersnnnionqs. n} San el b) 17cm nl a_, I. Si x= O »> yáo 7-3- K-“JÍVB Pasa per" e. ‘ origen. II. simetría. a) ‘Jon el efe sz. 5 '* Ï 2-2!) 34 fÍJiaY} No es simétrica b, ‘- cor. e] eje I. f(—x, y}: x¡y. ¿y+x, g " N492!) ,5 11m3‘) -'. ¡‘lo en simétrica c} (ion. - al crigen. f(-x. —y, ‘:-x'vfllz«“x = XZJ-¿Y-FÜ -> f(-x, -y} = f(x, y) . ’. en aiuÍéaricafi IL. Extensión. a) Dominic la ecunnién. yuiÜc) 4 ¡_¡ m '> 3;‘ w x v5 x2 'nems. -.1¿o= s.¿. g_g3 U‘ Rango de 1:. ecuación. xq-(ï) . , yxnbhfig 12 -/1-76v2 —__¿Ñ_¿_ 4 x z "‘ 5x H yaíií. ïéugo = R40} IV. Anínto Las. n) Lsíntotna Horizontales: yafi-x-¿ypa 4. b) Aaíntcbas Verticales. {xï/ jy-xso + x1 V. Tabla lic Vnlnres V1 T“3Z1'ÍG ¡‘le la áfiga‘ . . . .. ¿y _ . . . _ x "' ' X14, ¡ Y ‘wa. .. -2
  33. 33. III. IV. ‘I. g¿¿"¿¿¿{¿ únalítica P¿fl"” x7y-K! "ÏY‘1=° . . _ - -1="‘ saazrxahxfir iv 2V “ Tntersaccioncn. _ _ _ ió! v - = c + —1=0 . . No hay intnr. cec l K) Con el eje A. S1 1 _ . - ’ - /2) _ ‘__ _2y_1_o . _, ,.1/2 . . ¿(L1, 1 b) Jon el 919 Y- i ‘ 0 * simetría. r) Fun R, eje g_ f(x, —‘ : -x’y+xyf2y-1=0 A f(x, —y) # f(x. y) . . No es = inétr-ca L) Cm. al eje Í: 11"“? ”‘z7""'2"1=0 . . w. + f(_x_y) g f{x, y) .2 Hu es sxmotrzca 3) con el srígen. f(-X-'&)= '12Y’XY*2y'1=P 6 _ f(_x__y) g 3(x_y) .3 Ho es sin trlcn Extensión. 1 a) Dominio de la ecuación. y= fK) ‘ 7 5 ix-2)Íx+1Í Q 5, ,4 x¿2 , x¿_1 J. Dominio = R-(2.-1} E} Rango ds Ja acuación. x= f(yÏ * Y¡2'yx'(2Ï+1J=0 De donde: x -—ÏÏ_Lg%íÍÁX + ax ** 9Y¡*¿Y3° ‘ Vfic Hgm 6 yS-IJG .1 Rango = <-“: :1/9]u‘Ür*”’ Asíntntas. a) Aaíntcta: Horizontales. yx‘-yx-3ï'1=° * y’° ‘JJ Ésíntatns vcvaicezps. (x‘. x-2)y--1=0 " ¿“X445 «v? K= -Ï 5 X92 Tabla de Valores; VI; Trazado de la grÉÏ1C3 y I I I I I 1 Í ¡ I gaátiru dc una Écgucifin -ea i(x, y): x’-xy+5y= O I. Int€FS€Cu1JJ85. Cama la ecuación marca: de t¿rminñ ín- firgendíenbe. Ja curva pana yor el cr’ gon. II. Simenrín. _ a) Con el ejc X. {(1,-y): x‘%xy-5y= C + f(x. -y) f Í(x, y) No en simétrica b) Can a1 eje Y. 1'(—x_y); x*+xy+5¡, -=c * fl-Kyy) f f(x. y) c) Con 01 origen. f(-x. —y): x‘-xy—5y=0 + J. No es simétrica ïÍ-x, -y) fi f(x. y) ,1 No es 5'mátricn III. Extensién. K) Dnminin de la ecuación. y= I(x) * X y = ___ x. n: m » áy. -'v‘xf5 ílominio e x453 b) Rango de la ecuación. x= f(y) + x = %(y! Vy’-2Üí) V» 3x «o yi-zoyzo «—> ym .3 ¡n20 . Rango = <--b,0_‘| u[2fl, 'w> IV. Aaínhntas. 3) Asíntoias Horizontales. Yo tiene b) Asíntotas Verticales. (5-x)y+x‘= O » 5—x: U > x=5 c) Asínbctas Ohlicuas: y= mx+k (1) sustituyendo en la ecuac;6n dada y_nrdwnando términcs ae tinne: (1-m)x’+(5n—k)x+5k= D y ' 4 * ‘-m=0 w m=1 y 5n-k= o 4 k:5 ' 1 Luego, un (1): y= x+5 2a
  34. 34. 54 Ú¿°m¿¿, ¡¡a ¿, m¿¿¿¿¿¡ Ptflna Gaásïicrt dx. - mu. ¿canción 55 19. x‘y-x= —‘Ixy+4y= D 423- K‘. v‘-’+><‘-“: "*” snzuaae. Se‘: r(: c.; .v). -x= y-x‘-1.xy+/ _y-—-o , ‘ ¿oír San +'(K. ï)= >:‘ï‘—4x’-/ .v‘= G I. Intersecc‘! (iras. I) Tntcrsecciones. Cama la ecuacíát. carece da térníno in- ‘i, _S¡ y= Ü — -/ .:<2=0 4 x-O J ‘Con e; aja r. s: x= o a 43:24‘! + ÏI) Efuetrta. - A ' 1 a) Ccu el age H. f(x, -y): —x’y-x‘+l. xy-‘ "O (Hb es Sin. ) U :1) Cc-n el ajo ‘f. f(-x. yJ: x’y-x’+¿xy+ y . '> Ï(-X. Y) . ‘. fila) No es siméhiua c) Con el origen. ¡“(uh-U: -x’y-x’-4x5-4y= ü - . '(-x, -y) = !(x,5;) Ho es simétrica 13;, gxtgngíón. - w r‘ . * dependienta, la curva pasa por el origen. 3/ “m 3- ¿ w Á E1 egigen es nn punto que pa: - . 3:: a la gráfica. = -- ción daña Sima-mía. Cum hadas let: áármizms se le c —‘ sun de grada par. la curva. o": .. .trica«r&_ peste sin ‘as ¡jes X e X, y aï origen. TII) Extensión. a) Jcmlnio dc: h: scuzzciátz. ¿máx a) Dominio de 1.2 ecuación. y= f(x) v) y = x; (x-N’ + :5- Hj-Lp: o x61, +4- x>2 6 . . Dcnnini a -> aymuéz Dominio = R-IZ} b) Range de la ecuacién. x= f(y) + (y-ïbfi-¿yx-Mymo + x v ¿’yt v’! ..’-íy-1){L'y)= 2,1 2/9‘ + 3x 4-? - yzü . ‘. Rango = [Üfinfi : b‘) Rango‘ de la ecuación. x= f(ï, ’) — ,9 5x a» yZ-wu + fu, u y>2 6 ‘ .1. Rango = <-c«x-, —2?u<2r5‘°> Iv. Asíntotss. - ‘ a), ¿síntoma Horizontales. (y-1)x‘ LyxHv-O + y=1 b) Asíntotas Varücalea. (x-ZFy-xko + x _. —o + x=2 ‘ IV. zisihtctas, _, y ‘ ‘ a a) ¿síntoma Horizontales. (yz-Uxa-Áïa-‘Ü * 3"-.4=Ü H 2I=2 c‘ ‘¿H-E ü- T3518? 519 ‘FU-DNS ‘f2. Trezedn de la gráfica h) Asíntotas Verticales. (¡cz-Uyj-¿XHÜ ' + xz—¿= C -* á=2 ó x= --2 ‘. ’. Tabla de Valores, VI. Tramx 4 de la KTÜÏM" ‘JJ/ LÍ- .
  35. 35. 56 Gua-«Lala Annltiica Ptana _ ' Z4. x3—xy¡+2y’=0 Jolgnión. Sea ! (x, y): x’-xy¡+2y3=0 I. Interaencianos. a) Gon el eje X. Si y=0 + x’=0 á x= D b) con el eje Y. Si x=0 * 2y’= G + y=0 .1 La curva pasa por el origen. II. Sinetrín. Cono la variable y en de grado par. la curva es simétrica sólo cen el eje X. III. Éxtansión. a) Dolinis du la ocuación. y= f(x) * y = » a, «o ¿ya ++ xsa a ¡>2 ". ’. Don = <-. ._o]u<2.+n> IV. Aníntotas. a) Asíntctae Horizontales. No tiene. b) Asíntotaa Vcrticulea. (2-x)y‘+x’= D * 2-xno w ¡:2 c) Asíntotns Oblicuas. y= nx+k (1) sustituyendo en la ecuación daña y ordenando términos se tiene: (1-m‘)x’+2(n‘-mk)x‘-(ktuïnxmkkzo Entonces: 1-m*= D v+ u¡=1 6 m¡= —1 n'-mk= u «v k, =1 6 '): ¡=-1 Luego. en (I), las naíntotas oblicuun de la curva son Iu: y=x*1 y ïuryhx-‘l r V. Tabla de Valnres y Gráfica. v J finálica dz una Ecuación 2.7 ECUACIONES FACTORIZABLES San aquellas ecuaciones que pueden eacrinirse en forme del producto de dos b más factores variables igualados a cai-a. Esto es: Si F(x. y) = u. v.z . y si P(x. y)=0 . entonces: n = f(x. y) = 0 v - t(x. y) = O z = f(x. ’y)- = O La gráfica de F(x, y)= D constaéé de lea gráficas de las acunciónes obtenidas al igualar a caro cada uno de los tautoros. EJERCICIOS. Gnupc 7 ln ‘onda uno do los ejercicios del 1-10, factctizar la ecua- e16n uortaspondionta y trun- ¡u griflcn. o 1. Akyfiso . San F(x. y) = x‘—l. y‘- Á (xfZyNz-zy) 31 F(x Hank» ¡”yaa - m y a ‘ x-2y= O (2) 1) (2 Tablas de Valarnl y GrÁf1c1 u ¡u 3. x’—x‘y-2xy‘=0 (1) Solución. se; 17(x, y-)-k'-x¡y-2xy'= xÍïüï) (x-2y) {no (ade Y) (1) y s1 F(x. y)= o-> “Fa (2) zézy= o (3) (2) (3 Tabla de valoro: y gráfica.
  36. 36. 58 gzonatoda Analítica Plana a, xuzxy+y’=1 Solución Sea F(X-Y)‘(X*Y)¡'1=° * (x‘yfl)(x*y'1)= o x+yH= D (1) 2) y x+y-1=0 (3) (1) 1,1,1; de Valores y Gráficas. (1) E2’ "m" Im 5_ 5x= ¿xy-2y¡+7x+7y-3=ÍJ s1 170m7) * 9 "‘{ Iolggján. Sea r(x. y)=6x'fxy-2ï‘+7!*7Y'3’° zntances F(x. y)= (3X*2Y-1H3*'Y*3) Y 3x+2y—1-o (1) (2) Si F(x. yJ=0 -'{ (2) (1) 2x-yf3=0 Tabla de Valores y Gtíficli (1) (2) 5, ¡’gy'+x‘y+xy’-kx-Ay=0 Sa tación. Soa F(x. y)= x “y '*x’>’*¡>’"¿*' ‘Y + r(x. y) = (My)(xïxz/ w’)*xy(x+ï)-“‘fï)‘ = (‘Ïy““*"") x+y= O (1) IO s1 F(x, y) + xafyaa (2) Tabla de Veloz-és y Gráficas (1) (2) REI] El] QIuiJ-íua de una ¿cuncün Í 7. X= "X‘: r-Xy 1.90 Solución. Sea F(x, y)= x’-x‘y—xy+y2=x¿(nyj-y(by) HX-YNK - ‘3 — o 1) - Si F(x, y)-O +{x F ( y x‘-y= D (2) (2) Tabla de Valores y Gráficas (7) (1) (2) X 8. x’y’-kx’+kxy’-y"=0 ¿üuïm- Sea F‘(x. y)= x‘(y‘—I. x)-y‘(y‘-¿x)= (x‘—yZ)(y’-¿xJ = (x+v)(x-y)(y‘-Lx) x+y= a (1) y (3 s1 F(x, y)-O +. x-y. -.o (2) (1) 3'-Ax-0 (3) Tablas de Valore: y Gráficas X (1) (2) (3) (2) 10. x ‘exüzxyüzyïhx-Imo agus. Sea Füny) - x’4x‘+2ry*+2y‘-Lx-¿ = x°cx+1)r2y’(xs1)-4(x+1) = (x+1)(x*+2y'—4) +1=O ' Si F(x. y)=0 -> x m ‘y — x‘*2y*-4=o (2) Tabla da Valorna de (2) ' x n ll v! :5‘)
  37. 37. ¿“gugg ggmaazo; T51 60 fica-ninia Anauum Ma“ Un punto 5o mueva de tal manera que su distancia al uri- gen 95 ¿jenpye igual a 2. Hallar la asunción de su lugar . . É ' . - gegmátflco y dar su intmpratïaclón geolutmca , y A ; a¿uc¿¿. . 1) sea P(x. :> un P"n¿° 391 L-“— / /"Ï'f r . / 1 ‘¡j ¡ u. 2.3 ¿cummu DE uN LUGAR GEOMETRICO Se llana ecuación de un lugar geométrico plano a una e- evasión da la forma: r(x. y)= o ' (1; cuyll Süluciüflefi fell-CS Para Valores carreapondisnteu ii) Ifivl‘? ———+——e_—)-—vx 111) / x‘+y' = 2 + x‘*y’= ¿ x, x1 lugar geométrico e: una. circunferencia. Í de x a y son todas las coordenadas de aqusllas puntos que satisfacen le condición o condiciones geométricas dadas que definen el lugar geométrico. El procedimiento para obtener la ecuacián de un lugar geométrico es como sigue: Uh punto a9 mueve de tal manera ‘que su distancia al puntío ¡{(2,3) es siempre igual a 5. Hallar ln. ecumïxón da su lu- gar geométrica y dar su interpretación geometrïca. i) 33 SWPDM’ 111W 01 Punto P. de coordenadas [x, y)_ es un punto cualquiera que uazísface la cundición a ccndicío mas dadas, y, por lu tanto. un punto ¿al L. G. - Sviución. .1) su P(x. y) un punto del ING. i“ 35 exprülño Sflnlïhifiamente. la condición a condiciones u) L? ! ‘ 5 1 Eecmátficñfl ¿milla Por medio de una. ucunción o e ' i“), hardy-” B 5 °“a°¡9 * de'aonae» x’+y‘-Lx-6y-12=° ne: m: la: coordenadas variables x e y. ' , sm El LG. es una ciz-cunrernncïa da ‘í——/ iii) 38 simplifica. si es noconnrio, 1a ecuación obtenida en 91 Puan 1:) de tal manera que bone lu forme. (1). sasncrcros. Grupo a 3' un Punto se nueve de tal manera que su distancia al eje I disminuida en 3 es siempre igual al doble de su 6151,”; ¡Ïiaal eje X. Hallar la ecuación de su lugarjeonétri co y aer uu interpretación geométrica. ¿Hagam- i) 59H Why) un punto del LG. 11) ññ - 3«= 2 Fi iii) x . 3 = gy o» ¡_2y_3__o La ecuación de]. LG. es una recta. ragio 5 y centra M293)- 6. Hallar la ecuación delïuü. de un P1111“ 911° 5° ‘WEV’ d’ ¿a1 manera que aa conserva sinpre equidistante de 1°! pu“, ¿(1,-2) y B(5.¡¿). ’Iden;1{1car el L. G. y construig lo grafícuonto. ¿Ugald- i) Sen P(x.7) un punto flñl L-Ü- u) [XP]= |EF| (Condición de equidistancia) iii) ¡? x-1)= +cy+2)* = /(x-5)‘r<y—4)’ De donde: 2xJ-3y—9=0 _ _ 31 L. G. ss una recta medintria del segmento AE. 7. Una recta contiene u los puntos A(-1,5) y E(1.3)< E"? ?? áar nnalfticunente, a1 hecho de que un punto eualqlfie" P(x. y) está ¡abra la recta. Deducir lu ecuación de ln ¡'92 ta. « JL. ’
  38. 38. ó? geowañ/ Lla flnaiitflia , :-¿¿.1‘_, A‘ T ‘nr ¡aun .0 k P son cnï “ ' . 1+. . de dende; x¡y_¿15 ‘ X 5. Hill w n . u vw‘ ; . a’ l’ r“‘“l°” "al 1'55” Eeonetricc de un punLa que ‘Q ¿El WRWQTE iva el cuadrain de su distntfiía se uuu» 31 Punt” l4;1) 2: siempre igual a su distancia dew 5.8 Y So¿gc¿¿n. ‘ “J - . Ï 1’ 5°E FÍK»ïi uz nante del L n — ¿¿¡ ¿¡p¡z _ ¿gñi R P(x. y) iii) C (x-4)¡+{y_1)1;1 = ¿ A de donde: x‘+y= -9x_2., .,-. ¡7:. Ü 0 " 9. v. t . ula rec a L, que pasa por c-L punt-z- . (.5,1)_ Cnlar a otra racha de pendiente 1/2 mente, ez hgg sobre la es perpendi- - Eïbrsaar analítica. H d . . - ‘° ° ! “° un punto p4alqu1era P(x. y) está ta L, y daflucir, de ¿¿u¿_ ¿H seua ción. ¿2üa¿_u 1) Sea P(x¿ ii) nui“, = iii) Entonces. "¡farmacia de 7‘ ' ' v. . adxo 5 .1.ue gn contra en 31 p¡n. . - A gartir ds la def1ni.1¿n hsll r_]& H. » _ v . 2 seua- —1cn de esta c1rcunrerenu¿n_ Jglucióg. > 395 PÍLS’) un punto de] L_5_ ’ 4" cualquier Füsicián ic P: (5'; iii) * / (x+3)‘+(yL2)= , 3 de ¿andar x‘+y*+6¡+¿y+¿,0 1 ii Lugaatc Gzoaltaicoa 6) 11. Un punto se nueve de tal inner: qua su distancia al ejx X es gieupre igual A uu distancia del punto AÏO, L). Ea- llar la ecuación de uu lugar geolótrico. Saluc¿6n. i) Sen P(X. y) un punto del L. G. 11) Iñïl - Iíïl 111) y = /x‘*(y-L)‘ «e :3-8y+16-0 El LG. es una parábola. 12. Hallar la ecuación del lugar geolétrico de un punta que se nueve de tal manera quo ln sul: de los cuadrados de sus distancias a los dos puntos MLS) J IN-In? ) 08 81°! pro igual a 30. Solución. 1) San P(x, y) un punto del L. G. 11) I¡? I‘+JiFI‘= ao 111) (¡(2-3)'*ÍY-5)‘)'+(V(x*L)'*(Y-2)')'=30 de donde: x'+y‘+x—7yf12-0 13. Knllnr la ecuación del lugar gaumítrino da un punto que ¡e nueva de tal ¡unen qua la diferencia de los cuadra- do: de sus distancias a lo: puntos A(2.-2) y B(¿.1J es siempre igual a 12. (Doe casos) Salucióg. i) Sen P(x. y) un punto del L. G. 11) | ¡P| ’-IÉPI’=12 (Primer caso) | ÉÏ| *-[A_PI‘=12 (Sagundo caso) iii) (J(x-2)‘+(y+2)? )‘-(/ (x-¿)‘*(y-1)’ ‘-12 «* Ax+6y-21=0 (/ (x-¿)‘+(y-1)‘)‘-(/ (x—2)’+(y+2)’)*=12 +— Lx+6y+3-0 15. Un {mato ue nueve de tal ¡unen que au distancia ¡l pun- to A(2,L) es nielpro igual 1 lu distancia del ajo Y nu- mentnda en 3. Hallar 1a ecuación de ¡u lugnr geoiétrico- jglugión.
  39. 39. a’ Gaona/ ala Anrztitkza Plana s y i) se: ï'(x. y_)_ un gïunta de; L. G. Q P u) 1.. | = IPQILI A 511) / Ïz—2)‘+(y>a>’ = N3 donde: y‘-‘1Dz—Ey+‘.1=0 0 x 15. Hallar 1a ecuación dal lugar geométrico de un punto que 8:- nuevc de La? refiera que la suma de sus distancias e lo: daa punto“ , [; .0) ¿a E(-3,0) es siempre igual a S. Solución. i) Sea Phny} un zuntu: cualquier-e del LG. .11)[A—PÍ*ÍB7Í= "- 111) J(x«35¡+y* 4 -/ rx>+3)‘+y‘ = 8 * ¡(x-üfly‘ r 8—/ (x+3)‘+y' Elevando el cuadrado y simplificando resulta: . I/ x2+éxf9i-y¡ = 3x+16 Elevando nuevamente al cuadrado y simplificado se obtig Le: 7x2+16y1=112 1.7. Un punto sn mueve de tal manera que la diferencia ds sus distancias a los dos puntos A(0,3) y B(0,-3) es siempre igual :4 Á. Hallar la ecuación de su lugar geométrico. Snlggjflg. i) Sea P(x, y) un punto del MG, u) ¡El - Isï: =¿ 11;) 47373? — u/ (_>ï+3_Jï7F= 4 * / (ÏÏ37T+7= L+/ (x+3)‘+y= ïllevudo nl cuadrado y simpliflcandu resulta: 2 ¿FET-yz = ¿{ix Elcvsndo al cuadrado se vbtinne finalmente: 5x‘-6y’=20 l‘). Ur, círculo ds radio A tiene su centro cn el punto C(1,-1,‘ 3.21731‘ 1a ncnccién del lugxr geométrica de los pam riios de todas sus radica. 5o ¿unión . ï) Ses ? (x. y) un ptlnto del LJ}. Laguna izanlttulaoa 6 5 ii) Si ü es un punto de 1a circunferencia de centro C(1,-1) entonces: lcïñl= a : luagoalíïïlaz 111)/ (x-1)‘+(y+1)"= 2 de donde: xHyHZxQy-Z-D PD. Un punto se nueve de zal manera que su distancia al punto A(3.1) ee siempre igual a la sltad de su distancia a]. eje I. Hallar 1a ecuación de su lugar geunátricn. Solución. i) Sea P(x. y) un punto del L. G. n) ¡A77! = %ltïï’l m) / (x-3J*+(y-1)¡ = f de donde: JaHLfi-zu-syuoa) 21. Un punto se mueve de tal muera que su distancia al punto A(-1,2) es siempre el dable da su distancia el eje X. Hu- llar 1a eelmcián de su lugar gennétrico. Solución. i) Sea ? (x. y) un punto de] LG. ii) IATI = ZIÑI m) -/ (x+1)‘+(y—2)’ = 2y de donde: x‘-3y‘+2x- ¿yd-O Z2. Un segmento rectilíneu de longitud L se suave dc tal ma- nera que una dc los puntos extremas , armzmecc siempre ag bre el eje X y el atro permanece siempre sobre s1 eje ! . Hallar la ecuación del Inn. del punto media del segmento. Solugfi n. i) Sea . "(x. y) un punto del 1.. .5. y Sim Aman) y 30m0) ii) ÍMÏÍ ‘ 4 iii) Jxfiy; = . ‘. 1 pero: x¡=2x , y¡=2y _ -- u/ (2x)‘4(2y)‘ = ¿ 4- x‘+y¡= ¿ 9 B ‘
  40. 40. 56 Geonaiala Analítica Plana 23. Dos de los vértices de un triángulo son los puntos fijos ¡(.1_3) y B(5.1). Hallar la ecuación del LJ}. del tercer vértice G si se ¡nave de tal manera que la pendiente del del lado F6. lada AC es s1sm; re el doble de la ¡glu; ¿6n, i) ses C(x, y) un punto del LA}. C(x. y) i“ “Ac ‘ 2 “no m) {Sá = zfxfj) de donde: xy+x+7y-1'7=D vértices de un triángulo son los puntos fijos del tercer 21a. Dos de los A(1,0) y B(5,0). Eallar la acuacifin del L. G. Vin-tica G si se nueve de ta]. maneraque le diferencia eg tre las longitudes de loa lados Tc y É-Ó es siempre igual a la mitad ¿e la longitud del lado KS. gglugiñn. ,1) Sea c(x, y} un punto del 13.0. y u) ¡mx-IE! = ¿n31 111) / (1-1)‘*ï‘ - / r.x-s)= +y= - {dani ¿ Jn‘-2x#1+y‘ = 2+Mx‘-1D: +25fy' A E 1 'de dando: dx’-10xf25+y! '= 2:-7 ¡lavando a1 cuadrado resulta: .3x‘-y‘-18x+2L=0 c(z. y) Z5. Los oxtreuca dgla ‘nue de un triángulo son los puntos 1110.0) y 58,0). Hallar la ecuación del L. G‘. del vértice ¡‘agusto C si. ae nuavé de tal ¡unan que el ángulo da 1|. base GAB es siempre igual al doble de]. ángulo en la bean C3A. c(¡'y) . lugión. i) Sea Chuy) un punto del IyG. u) s1 5:2‘: + Tge; -TÏ—'{%; ‘¡ (1) 5.11) ‘Igfl’ = un = 1'; mac = Tge= —1ga= —x{—¡ -¿ Suatituyendu en (1) rasu1ta: .3X'-y‘-12xÍ9=o JH X 67 3 La Línea Recta 3.1 ronms us u ¡emma nc un. un“ REC" (I) Force Punta-Pendiente Lg rgn ’ ¿l ‘¡"6 pen por un pu; 5° 513° PIÜH-Yï) y tians 1a Pendiente data n. tinc por ocuacián: ïíïfl? (2) Fama Pendiente-ordenada en el. origen La recta cuyn pendiente es n y una animada m‘ l . o rige" ‘F ha tiene por ecuación: Q lllllllllhp (3) Recta qua pasa pm- dos puntos La r tu ez: ¡lu-e P” M! ‘ del puntos dados P¡(X¡¡y¡) y PtÜH-h) tune por ecuación: y ' y’ “fi” ‘ "l, - ¡hfxa La . "M615! (B) Puade aecnbirue también en fox-n de dota-ninguno: i: H La recta cuyu interrupciones con fl u. . plcti Vnmt" “"9 Pur ecunció : ' ' (‘I Forma Sllétrlcn.
  41. 41. GB x. » acumulada finatliica ¡’lana EJERCICIOS. GrIIPÜ 9 Hallar le ecuación de la rectü Q“e F35“ 9°’ el 9““t° ¿(1_5) y tiene pendiente 2- . V ' - ) la ecuación de la racha ¿o¿uc¿¿n. Segun la forma (1 v—5r? (!-1) «» L;2x—ï*3=" es: ¿e 1;. recta qué pasa por al Puan‘ Halle la ecuaviÓ2 ' 0 ángulo de incllnacian de 45 - 1.1.5.3) ¿r hule m‘ O_ . ¡ Sníución. Como n= Tga + u= ‘1‘s¿5 - - Según la torna (7): 7*3’1(**5) +* L: X'y+3=U flgllgr la ecuación dc la recta cuya pendïehïs °5.'3 V D9 ya intersección con el eJ° Ï 55 '2' Sufunión. Tenemos: m= -3 Y b= ‘2 ‘ïegúq la forma (2): y= -3X-2 w L=3x+v*2=° Halle 1a ecuación de la renta que P553 9°! ‘ 1°’ P“‘°“’“ ama) s B(-5.'! ). _ u _ 2-7 _ Sotgggán. Según la forma (3)? !'4 - Zï3(X ¿) de donde: L:5X*9Y'33=Ü Las vértices de un cuadrilátero son A(fl. Ü). 5(2,4)oC(5-7) y 3(s G) Ha‘1e las ecuaciones de sus laáus , . _ Sblucgfin. ,4 = áfigfiuü) ++ AB:2x-y=11 Según la fórmula (3) 53 33939‘ 5B: 3C, ¿_, _w = H’x—6) w nc:3x—¡, y+1c= o en: 3.o : ggzha-s) w CD:7x+2y-56=Í) AD: y= U (Ecuac‘6n del eje X) 1 6. L 8. 9. 10. La ¿inca Recio 69 Ds segmentos que una recta detsrmina sobre los ejes X 5 . son 2 y -3 reapecCivnnunte. Hallar su ecuación. ¿ELKELZL- Tenenos: a=2 y b= -3 , entonnca por la farme (_¿): %+-X=1 _3 *+ L:3x-2y-6=0 Uni recta paan por 1os. puntcs A(-3,-1) y B(2,-6). Halle su ecuación en la forma simétrica. Jolucifin. Sugún la forma (3): y+1 = :g%%(x&3) de donde: L:1+y= -L Dividiendu entra -L se tians, L: rí + ¿{m1 Una recta de pendiente -2 pana por el puto A(-1,L). Hn- lls su asunción an la terna simétrica. ; g¿gg¿¿g. Por la forln (1): yL¿= —2(x+1) *+ L:2x+y=2 Dívidienflu entre 2 se tiene, 1.: {- + f = 1 Halle ln ecuación de la medietriz del aagnento A(-3,2), B(1.6). ígjugfifia. Si P(x, y) es un punto de la medintrin. en cuulquiar poa1eL6n. de P se debe verificar que: ¡KH-IEP! * NxfíÜWhr-Q)‘ = /(x'-1)= +(y—6)¡ de donde: x+y—3=O una recta paIl. por el punto A(7.8) y es paralela u la rqg ha q“° P¡'5 P°T c('2¡2) Y DÍ3--4)» Hallar Au ecuación. ÁEEESIÉS. S1 L; es la recta que pasa por c y D, antoncug “Wir”? si LÍÍL1 * U'l¡'-6/5 . luego: y-8 = de donde: L:6x+5y_52=o -gíx-7)
  42. 42. 7G konataíu inuittioa Plana u. Hullu- la asunción de la recta que pasa por al pUDH , ’x(-2,L) y determina sobre el u}: X el següents -9. 12. IL Los son 1%; Sogggión. La recta buscada pana por ¡H-ÁZJ. ) r! B(-9.'3 Luz-go. por la roms (3) su ecuación n: y-L = __-É-; —g(x+i’) ie sonda. L¡Ax-7y036=0. K Llaman-ar qu: los pintas A053), EUA. ) y CU. ” 5D! 09 lineales hallmdo la ecuaatón de la recta que pue por 2 du estos puntas. Sctnsión. Hnllenoe la ecuación de la recta que pana par A y a. Sagúv m: y-2 = films) w L= ==-3:I+H=0 s: ¡.5 y c son collnealea. unn-i probar que CcL- En atenta. s1 ccL 4 L-MSHHPÜ ° A-15*1IIU 0* U'0 Par tanta. ¿.3 y c son connules. Hallar la ecuación de la ntaálatriz del segmento que lo! eje: coordenadas determinan en la recta Lnázfly-‘SWD. ¿gg-qm- Luego. ¡s3 y b=5 + ¡«(Lvl y B(U.5) Si P es: u. " punto da la mount-il. se deba verificar que: 11-5485?‘ * ¡(x-Nïi? ’ = ¡“fly-EF de donde, L:3xo5y+B-0 Pnnndo L; a su torna simétrica aa tiene: L1: É + % 2 1 L¡ ejercicios 14-21 se tsfiaren ll triángulo cuyas vñnicon At-zn) . num y Cuca). Hallar lu acunclón de sus lados. gamuan. Aplicando 1a fórmula (3) par: end: lndo su u; ns: n: yA-‘I- I íighii’) ‘á n| X'Y‘3'° La Llama )z¿¿¿¡ ¡(.21 1-7 = fi/ (x-Q 4+ mgkfi-zv-O ¡cz y-1 = —’%—; (x+2) . .. m, ,,_, ,,, o 71 u‘ hu" 1° °W8°Í5n de 1; recta que y ea paralela al lado opuesto É 51 "ón. . LG‘? Tenemos. A(-2.1) . nun” x “sw” p - —_. _7 endlente de 3a, m , Z3: _5 Luego. 1a eeuació d 1. . _ n e recta LHÉÜ y que pasa por A es y-1 - -s(x+2) . .. “¡www 16- llanu- la: acuscione d 1 a ° “ ""“" ‘¡"6 pasan por el vá: tine 8 y trisccan al lado opuesto E, Liam. 102,1) _ ¡¡(¿—_-¡) y ¿“fin s P ‘ . 9“ q 1°5 ¡’union ¿Ltnaeadfin de AC ¡+2 s1 “’ = 1 W 5 * -1 1 p -1 35-“, = 3 * v= -1/3 é’ 3’ 0 es punto medio de fi. Entonces: QEÁÉLÉLÏIÏE}; h, “lg”? A P Q c. 7°’ la forma <2). FP: y-7 = dis-vw fi: - g 7* IJ 2/3.‘ Y 7 ÉÜI-á) v» fq¡13¡_y_¿5=° Á) "‘* ÏÏ’:11x—5y.9=o , _- y-1=—5(x+2) -- L¡=5x_+y+9=o Recta que __ Pasa por B y es paz-alta; a Ag, y_7 : .‘. L, :x+2y-13=a y es paralela a ta: yügubó’ 1 - ¡(nu ¡"ta q“ P“? ! po: c 32; = :1 * x=2/3 ‘
  43. 43. 72 ÉJ-Drv/ ¿Latla ¿nautica ¡’lana L¡ax«y-9-O Luego: ¡un 1444.11) o L¡AL¡= (O. -9): L.¡AL. -(12.3) 16. Hnllnr Inn oaueclonon da las medianas 7 lan coordenadas de su punto de intersección. íglución. M-zn). sus! ) 7 C(6.-3) Lea coordenadas de 10: puntal medial de cada lado son: . P H(1.L) . n(2,.1) y v0.2). Luego. las ecuaciones de las medianas. según ln ráruuln (J), acne A H G B Mediana ñ: ¡.1 n finge) o» ¡Pxx-vyw-o nadan. 91h y-7.- Hoz-U w FSHLx-y-v-o Mediana fis 1+3 z-figlx-ó) n üí-Ïflifiy-ZTID Coordenadas del btrieentroz (t-7y+9n0) A(4x¿y-9=0) - G(%. ;) como conprob-eión pedazos hallar las confinados del bcriaen- tr: aplicando la tárnuln del Ejercicio 20. Grape 2: °<iá‘-"*%’¿> " MM l! . Hallar lau ecuaciones ds las mediatrlcea de loa lndaa y lc: eootdanudta de su punto de incarncccián. Este punto te llnnn ci4:un: ant4o. ((42.1). num y c(6.-3) scan (xny) las coordenadin dc cada una ie los punto: P. O y R de las nedintrioos dal triíngulo ABC. Por definición de nsdittrln. la tiene: ¡HI-JET! o ¡(x-¿flny-n'-/ (:-6)*+(y+3)'- d‘ dvndn r-Sns-o (Humana del nao ü) ¡lil-INI + «¡urna-n- - ¡(x-ernus)- da donde. 1. ‘nunca-u au nao ¡é es: 2¡-y.5.¡0 La ¿lazo Recta 73 Hïhlñl . /“(x+2>= +<y-n= = / <x-t>*é<v-7>’ ¿s ¿("M9, la ¡curación de le mediutriz del lada ¡ÏÉ en: x+y-5=D _ _ 0 .5 mag“ ¡¡, _,.5.o) Ahrfy-E-O) — 195.3) Éo_ 33113, 135 ecuaciones de las alturas y su punto du inter- aeccifin. Este punta se llama aazioceníuto. &_¿¿¡_¿g¿. M-LÜ» 5Ün7) y C(6.-3> 3 las pendientes de cada lado son: ¿‘f1 _ "¡Beni y mAc= -1/2 F Lvsgg, las pendientes de las alturas correspondientes a cada lado son: r: ¿¡= -1 , n¿-D=1/5 y mgf? A E c « sus ecuaciones. según la torna (1), non: Altura fi: y43=-1(x-6) “' EÏ¡X+Y"3'O Altura ñ; _y-1=1/5(X+2) ++ ¡ïhx-Syfl-O Altura Si’: y--7-2(x-¿) w Bfiazx-y-“O Por lo tanto. (: +y-3=O)A(2xñy-‘1-0) - nrgá) 21. Hallar las coordenada: del pie de la altura correspondían te nl lado KE. A pártír de estan coordenadas hállese la longitud de la altura y luego al área del trián5“1°- ¿Lim-Lim A(-2.1). Bu. ” y Cíéw? ) Ecuación de A_G: x+2y= D (21.14) Ecuación de B-Eúhy-ho (E330) * (: +2y=0) A (2x-y-1-0) = Mini50 E c h= ]ÉÉ[= /(4-2/sJ'+(v+1/s)*= i355; IEI= /(6+2)‘+<-3-1)‘= L/3 Luego. sMABC) = = %(LÏ5)(B%Ï = 36 u: ZZ. Hallar ln ecuación de la recta. de pendiente -I. y que pa. - rn por el punto da intcraección de las rectas L¡:2x+y=8 y La=3x-2y+9=O.

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