Tesis

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Tesis

  1. 1. P. Fire invento los llamados fire codes, cuales son códigos cíclicos binarios diseñados específicamente para corregir singulares burst de errores.<br />DISEÑO: sea p(x) un polinomio irreducible de grado m sobre 6f (2). U p ser el mas pequeño entero tal que p(x) divide Xp -1 p es llamado el periodo de p(x). sea 1 un entero positivo tal que 1≤m y pX2p-1 . Sea g(x) el polinomio general definido por<br />gx=x21-1 ±1(px)<br />Observar que lao partes p(X) y x21-1+1 son primos relativos la longitud n del código es el menor común múltiple de 21-1 y el periodo <br />n=LCM(21-1,p)<br />Y la dimensión de los códigos es K=n-m-21+1 <br />especificaciónPara un polinomio irreducible p(x) de grado tLongitud n=LCM(21-1,p) donde p es el periodo de p(X)Símbolos de informaciónK=n-3t+1Polinomio generador gx=x2t-1-1p(X)Capacidad de control de erroresCorrige burst de longitud t<br />Ejemplo: con pX=1+x+x4 como polinomio primitivo, y entonces p=24-1=15 sea 1=4 y notar que 21-1=7 y 7 no es divisible por 15. Por lo tanto el código de fuego tiene generador. <br />gX=x7-11+x+x4=1+x+x4+x7+x8+x11<br />Con longitud y dimensión <br />n=LCM7,15=105y K=94<br />Definición: un polinomio p(X) sobre un campo es dicho tener periodo p tal que p es el mas pequeño tal que p(X) divide xp-1 (tomar en cuenta que p(X) genera un código cíclico d e longitud n) <br />Definición: un fire code es un código cíclico con un polinomio generador<br />gx=x2t-1-1p(X)<br />Para algún polinomio irreducible p(X) de grado a lo menos t y un periodo no divisible por 2t-1 la longitud del código es el menor común múltiplo de 2t-1 y el periodo.<br />Teorema: el fire code es generado por gx=(x2t-1)p(X) y corrige errores burst de longitud t.<br />Un código reed-salomon<br />En 6F (q) es un código BCH de longitud N=q-1. Por su puesto, por su puesto que nunca es 2. También es un código cíclico con polinomio generador gX=(x-∝bx-∝b+1⋯(x-∝b+s-2 ), donde ∝ es un elemento primitivo de 6F (Q). La dimensión es K=N-S+1 y la mínima distancia es S. (frecuentemente b=1) el código Red-salomón es un MDS (máxima distancia separable). Pueden ser extendidas a los siguientes códigos [q+1,k,q-k+2] y si q=2m [2m+2,3,2m] y [2m+2,2m-1,3], los códigos Reed-Salomón son importantes por unas razones:<br />Son códigos naturales que se usan que se usan cuando se requiere una longitud menor que el tamaño del campo. Por ser MDS tienen las mas altas posible distancia mínima.<br />Son convenientes para construir otros códigos. (como veremos) pueden ser transportados a códigos binarios con una gran distancia mínima. Son usados para construir códigos concatenados y tustesen.<br />Son muy útiles para corregir errores en forma de burst.<br />Teorema: supóngase que F es un campo de orden 2n, sea C un código Red-Salomón (2n-1,t) en F[x]. Entonces c(X) t F(X) de grado menor que 2n-1 esta en C si y únicamente si Cai=0 para i=1,2,……,2t. <br />METODO DE CORRECION DE ERRORES REED-SALOMON<br />Si F es un campo 2ny sea C un código RS(2n-1,t) en F[x]. Cuando c(X)tc es trasmitido y se recibe r(X) donde r(X)=c(X)+e(X) para cualquier error polinomial e(X) en F(X) de grado menor que 2n-1, nosotros podemos utilizar los siguientes pasos para determinar c(X). <br />Calcular los syndromes de r(X), de la siguiente manera s1=ra,s2=ra2,…..,s2t=r(a2t). Después formar el polinomio syndrome Sz=s1+s2z+s3z2+…+s2tz2t-1.<br />Construir la tabla del algoritmo euclidiano para el polinomio z2t y S(z) en F[z] y detenerse hasta que el primer renglón j donde grad (rj)<t. ( donde R(z)=rj y Ѵ (z)=Ѵj ).<br />Encontrar la posición del error en r(x) encontrando las raíces de Ѵ(Z). si las raíces de Ѵ(Z) son ai1,ai2,ai3,…aik entonces las posiciones del error contenidas en r(X) seran x-i1,x-i2,…x-in.<br />Para encontrar los coeficientes de e(X) en dichas posiciones del error usaremos el termino x-i en e(X) en la siguiente formula:<br />e-i=r(ai )Ѵ1 (ai )<br />Teorema: sea C un codigo Redd-Salomon en f2m donde n=2m-1, entonces <br />⊘*C≔{(⊘(C0) ,…, ⊘(Cn-1):C0,…,Cn-1EC}<br />Es un código binario [mn,mk] con distancia mínima de al menos n-k+1.<br />Para un código Reed-Salomón C, el código ⊘*C no puede correguir demaciados errores aleatoriamente debido a que la distancia no es muy grande. Sin embargo, puede corregir mucho mas errores en forma de burst.<br />Teorema: sea C un código reed-salomon en F2m entonces el código *(C) puede corregir m [(n-k)2]-m+1 errores en forma de burst, donde n=2m-1 es la longuitud del código.<br />POTENCIAELEMENTO DEL CAMPO4-TUPLEa1a0100a2a20010a3a30001a4a+11100a5a2+a0110a6a3+a20011a7a3+a+11101a8a2+11010a9a3+a0101a10a2+a+11110a11a3+a2+a0111a12a3+a2+a+11111a13a3+a2+11011a14a3+11001a1511000000000<br />Para construir un código Reed-Salomón, comenzamos por elegir primero un polinomio primitivo p(X). similar a los códigos BCH, las palabras códigos de un Reed-Salomón son polinomios de grado menor que 2n-1, sin embargo en un BCH los elementos están en z2[x] y las palabras código de un Reed-Salomón son elementos en F[x] y además, F=z2x/p(x).<br />Para construir un código Reed-Salomón que corrija t errores usamos el siguiente polinomio generador gx=x-ax-a2…(x-a2t) en f[x]. <br />Ejemplo: para diseñar un código Reed-Salomón que corrija 2 errores primero elegimos el polinomio generador con px=x4+x+1 E z2[x]. Usando el campo F donde F=z2x/p(x), se obtiene el siguiente polinomio generador:<br /> gx=x-ax-a2x-a3(x-a4)<br /> =(x2+a2+ax+a3)(x2+a4+a3x+a7)<br /> =x2+a5x+a3(x2+a7x+a7)<br /> =x4+a7+a5x3+a7+a12+a3x2+a12+a10x+a10<br /> =x4+a13x3+a6x2+a3x+a10<br />Existe un método para convertir una palabra código Reed-Salomón en un vector binario. Por únicamente tomar las coeficicientes de la palabra código y transformarlos en elementos del campo finito del orden 2n. Estos coeficientes podrán ser expresados como polinomios de grado menor que n con coeficientes en z2. <br />Para nuestro ejercicio hay 17592186044416 palabras código.<br />Una palabra código C es trasmitido y el vector binario recibido es el siguiente:<br />(0000 0000 0000 1111 0110 0001 1011 0111 0100 0111 0010 1001 1010 1110 0000)<br />rx=1+a+a2+a3x3+a+a2x4+a3x5+1+a2+a3x6+a+a2+a3x7+ax8+a+a2+a3x9+a2x10+1+a3x11+1+a2x12+(1+a+a2)x13<br />Siguiente paso es expresar los exponentes polinomiales de r(x) como una simple potencia de a <br />rx=a12x3+a5x4+a3x5+a13x6+a11x7+ax8+a11x9+a2x10+a14x11+a8x12+a10x13<br />

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