Numeros naturales

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Numeros naturales

  1. 1. NUMEROS NARUTALES WILSONTAPIA SANTOYA EDWARD GARCIA HURTADO ANGREYS SIERRA JONNYS MARTINEZ 10-1 DOCENTE SURAYA PEREZA INSTITCUCION EDUCATIVAAGUSTIN CODAZZI JORNADATARDE CODAZZI 2010
  2. 2. 1. NUMEROS NATURALES 2. EL CERO Y LA DEFINICIÓN DE LOS NÚMEROS NATURALES 3. HISTORIA 4. CONSTRUCCIONES AXIOMATICAS 5. DEFINICION EN TEORIA DE CONJUNTOS 6. USO DE LOS NUMEROS NATURALES CON CLUCIONES BIBLIOGRAFIA ANEXOS CONTENIDO
  3. 3. El presente trabajo se realizo con el fin de aprender un poco mas sobre los números naturales, para dar a ver todos sus usos, operaciones, su historia, sus construcciones, teorías entre otras muchas cosas que pueden ser hechas o realizados con estos, considerados muy importantes en esta sociedad. INTRODUCCION
  4. 4. Un número natural es cualquiera de los números que se usan para contar los elementos de un conjunto. Reciben ese nombre porque fueron los primeros que utilizó el ser humano para contar objetos. Definiciones La Real Academia Española los define como "Cada uno de los elementos de la sucesión 0, 1, 2, 3..." Es el conjunto de los números enteros no negativos. Un número es un símbolo que indica una cantidad. El conjunto de los números naturales se representa por y corresponde al siguiente conjunto numérico: Los números naturales son un conjunto cerrado para las operaciones de la adición y la multiplicación, ya que al operar con cualquiera de sus elementos, resulta siempre un número perteneciente a N . NUMEROS NATURALES
  5. 5. Existe una controversia acerca de la inclusión del cero dentro del conjunto de los números naturales. De ahí que no exista acuerdo en la literatura y coexistan definiciones contradictorias de los números naturales. De hecho, algunos matemáticos (especialmente los de laTeoría de Números) prefieren no reconocer el cero como un número natural; otros, especialmente los deTeoría de conjuntos, Lógica e Informática, sostienen la postura opuesta. Históricamente, el cero no se consideraba número natural. Entre otros motivos porque no tenía una representación natural: cero dedos, cero vacas, etc. podrían considerarse puros constructos mentales. Más recientemente, desde el punto de vista de los fundamentos lógicos de las matemáticas y de algunas aplicaciones, la situación adquirió una perspectiva nueva que hizo más natural la inclusión del cero dentro del conjunto de los números naturales. Por ejemplo, desde el punto de vista de la teoría de conjuntos, el cero se relaciona con el número de elementos del conjunto vacío. Y en informática, con un estado de la memoria en que todos los bits se encuentran en estado off. De ahí que la inclusión del cero dentro del conjunto de los números naturales sea cuestión de contexto y de convenio, observándose una tendencia creciente a considerarlo parte de él. El cero y la definición de los números naturales
  6. 6. Antes de que surgieran los números para la representación de cantidades, el ser humano usó otros métodos para contar, utilizando para ello objetos como piedras, palitos de madera, nudos de cuerdas, o simplemente los dedos. Más adelante comenzaron a aparecer los símbolos gráficos como señales para contar, por ejemplo marcas en una vara o simplemente trazos específicos sobre la arena (Véase hueso de Ishango). Pero fue en Mesopotamia alrededor del año 4.000 a. C. donde aparecen los primeros vestigios de los números que consistieron en grabados de señales en formas de cuñas sobre pequeños tableros de arcilla empleando para ello un palito aguzado. De aquí el nombre de escritura cuneiforme. Este sistema de numeración fue adoptado más tarde, aunque con símbolos gráficos diferentes, en la Grecia Antigua y en la Antigua Roma. En la Grecia antigua se empleaban simplemente las letras de su alfabeto, mientras que en la antigua Roma además de las letras, se utilizaron algunos símbolos. Quien colocó al conjunto de los números naturales sobre lo que comenzaba a ser una base sólida, fue Richard Dedekind en el siglo XIX. Este los derivó de una serie de postulados (lo que implicaba que la existencia del conjunto de números naturales se daba por cierta), que después precisó Peano dentro de una lógica de segundo orden, resultando así los famosos cinco postulados que llevan su nombre. Frege fue superior a ambos, demostrando la existencia del sistema de números naturales partiendo de principios más fuertes. Lamentablemente la teoría de Frege perdió, por así decirlo, su credibilidad y hubo que buscar un nuevo método. Fue Zermelo quien demostró la existencia del conjunto de números naturales, dentro de su teoría de conjuntos y principalmente mediante el uso del axioma de infinitud que, con una modificación de este hecha por Adolf Fraenkel, permite construir el conjunto de números naturales como ordinales según von Neumann. Historia
  7. 7. Históricamente, se han realizado propuestas para axiomatizar la noción habitual de números naturales, de entre las que destacan las de Peano y la construcción a partir de la teoría de conjuntos. [editar] Axiomas de Peano Los axiomas de Peano rigen la estructura números naturales sin necesidad de otra teoría (por ejemplo, la de conjuntos) ni de las nociones aritméticas de suma o equivalencia. Requiere, eso sí, de la noción previa de sucesor. Los cinco axiomas de Peano son: 1. El 1 es un número natural. 2. Si n es un número natural, entonces el sucesor de n también es un número natural. 3.El 1 no es el sucesor de ningún número natural. 4.Si hay dos números naturales n y m con el mismo sucesor, entonces n y m son el mismo número natural. 5. Si el 1 pertenece a un conjunto de números A, y además siempre se verifica que: dado un número natural cualquiera que esté en A, su sucesor también pertenece a A; entonces A es precisamente el conjunto de todos los números naturales. Éste es el axioma de inducción, que captura la idea de inducción matemática. Construcciones axiomáticas
  8. 8. En teoría de conjuntos se define al conjunto de los números naturales como el mínimo conjunto que es inductivo. La idea es que se pueda contar haciendo una biyección desde un número natural hasta el conjunto de objetos que se quiere contar. Es decir, para dar la definición de número 2, se requiere dar un ejemplo de un conjunto que contenga precisamente dos elementos. Esta definición fue proporcionada por Bertrand Russell, y más tarde simplificada porVon Neumann quien propuso que el candidato para 2 fuera el conjunto que contiene solo a 1 y a 0. Formalmente, un conjunto x se dice que es un número natural si cumple Para cada , La relación es un orden total estricto en x Todo subconjunto no vacío de x tiene elementos mínimo y máximo en el orden Se intenta pues, definir un conjunto de números naturales donde cada elemento respete las convenciones anteriores. Primero se busca un conjunto que sea el representante del 0, lo cual es fácil ya que sabemos que no contiene elementos. Luego se definen los siguientes elementos de una manera ingeniosa con el uso del concepto de sucesor. Se define entonces que el conjunto vacío es un número natural que se denota por 0 y que cada número natural n tiene un sucesor denotado como n + . Estas ideas quedan formalizadas mediante las siguientes expresiones: Definición en teoría de conjuntos
  9. 9. De esta manera, cada elemento de algún número natural es un número natural; a saber, un antecesor de él. Por ejemplo: Por definición 0 = {} (lo cual refuerza el hecho de que 0 no tiene antecesores) 1 es el sucesor de 0, entonces 2 es el sucesor de 1, pero 1 es {0}, entonces y en general Esto permite establecer una relación de orden entre los elementos del conjunto a pesar de que un conjunto es por naturaleza un agregado de elementos desordenados. Se define esta relación mediante la expresión es decir que un número a es menor o igual que b si y sólo si b contiene a todos los elementos de a. También se puede usar otra definición más inmediata a partir del hecho de que cada número natural consta de sus antecesores. Así si y sólo si . Ésa es la construcción formal de los naturales que garantiza su existencia como conjunto a la luz del desarrollo axiomático Zermelo-Fraenkel. El postulado de los conjuntos infinitos asegura la validez de la técnica de demostración conocida como inducción matemática. Un teorema demuestra que cualquier conjunto que sea inductivo contiene a todos los números naturales, es decir que si A es un conjunto inductivo, entonces . Esto significa que, en efecto, es el mínimo conjunto inductivo.
  10. 10. Se define la suma por inducción mediante: Lo que convierte a los números naturales en un monoide conmutativo con elemento neutro 0, el llamado Monoide Libre con un generador. Este monoide satisface la propiedad cancelativa y por lo tanto puede incluirse en un grupo matemático. El menor grupo que contiene a los naturales es el de los números enteros. De manera análoga, la multiplicación × se define mediante las expresiones Esto convierte (esto es, ℕ con esta nueva operación), en un monoide conmutativo. Otra forma de construcción de es la siguiente: Sea la clase de todos los conjuntos y definiremos una relación binaria R "ser equipotente" de la siguiente manera DadosA y B∈ se dice que A R B Existe una aplicación biyectiva de A sobre B,es decir,existe biyectiva. Claramente se puede demostrar que esta relación verifica las propiedades reflexiva,simétrica y transitiva luego es una relación de equivalencia al conjunto cociente los llamaremos cardinales y a los cardinales finitos se les llamará números naturales.Las operaciones de suma y producto de cardinales se definen como el cardinal de la unión y el producto cartesiano de los conjuntos representantes y verifica todas las propiedades para que sea un semianillo conmutativo y unitario.
  11. 11. Los números naturales, son usados para dos propósitos fundamentalmente: para describir la posición de un elemento en una secuencia ordenada, como se generaliza con el concepto de número ordinal, y para especificar el tamaño de un conjunto finito, que a su vez se generaliza en el concepto de número cardinal. En el mundo de lo finito, ambos conceptos son coincidentes: los ordinales finitos son iguales a N así como los cardinales finitos.Cuando nos movemos más allá de lo finito, ambos conceptos son diferentes. Uso de los números naturales
  12. 12. Con este trabajo aprendimos que estos fueron descubiertos en Mesopotamia alrededor de el año 4.000 a.c. Quien colocó al conjunto de los números naturales sobre lo que comenzaba a ser una base sólida, fue Richard Dedekind en el siglo XIX . En el mundo de lo finito, ambos conceptos son coincidentes: los ordinales finitos son iguales a N así como los cardinales finitos. Cuando nos movemos más allá de lo finito, ambos conceptos son diferentes. CONCLUCIONES
  13. 13. BIBLIOGRAFIA http://es.wikipedia.org/wiki/Numerosnaturales
  14. 14. ANEXO A: clasificación de los números
  15. 15. Anexo B: Los números naturales pueden usarse para contar (una manzana, dos manzanas, tres manzanas, …).

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