taller

1. MATEM´ATICAS B´ASICAS
Autores: Margarita Ospina Pulido
Lorenzo Acosta Gempeler
Edici´on: Jeanneth Galeano Pe˜naloza
Rafael Ballestas Rojano
Universidad Nacional de Colombia
Departamento de Matem´aticas
Sede Bogot´a
Febrero de 2014
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas F. exponenciales 1 / 27

2. Parte I
Funciones Exponenciales y Logar´ıtmicas
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas F. exponenciales 2 / 27

3. Funciones exponenciales
Definamos una nueva funci´on en R as´ı:
f (x) = 2x
.
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4. Funciones exponenciales
Definamos una nueva funci´on en R as´ı:
f (x) = 2x
.
Para hacer la gr´afica construimos la siguiente tabla:
x 0 1 -1 2 -2 3 -3 4 -4
f (x)
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas F. exponenciales 3 / 27

5. Funciones exponenciales
Definamos una nueva funci´on en R as´ı:
f (x) = 2x
.
Para hacer la gr´afica construimos la siguiente tabla:
x 0 1 -1 2 -2 3 -3 4 -4
f (x) 1
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas F. exponenciales 3 / 27

6. Funciones exponenciales
Definamos una nueva funci´on en R as´ı:
f (x) = 2x
.
Para hacer la gr´afica construimos la siguiente tabla:
x 0 1 -1 2 -2 3 -3 4 -4
f (x) 1 2
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas F. exponenciales 3 / 27

7. Funciones exponenciales
Definamos una nueva funci´on en R as´ı:
f (x) = 2x
.
Para hacer la gr´afica construimos la siguiente tabla:
x 0 1 -1 2 -2 3 -3 4 -4
f (x) 1 2 1
2
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8. Funciones exponenciales
Definamos una nueva funci´on en R as´ı:
f (x) = 2x
.
Para hacer la gr´afica construimos la siguiente tabla:
x 0 1 -1 2 -2 3 -3 4 -4
f (x) 1 2 1
2 4
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas F. exponenciales 3 / 27

9. Funciones exponenciales
Definamos una nueva funci´on en R as´ı:
f (x) = 2x
.
Para hacer la gr´afica construimos la siguiente tabla:
x 0 1 -1 2 -2 3 -3 4 -4
f (x) 1 2 1
2 4 1
4
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10. Funciones exponenciales
Definamos una nueva funci´on en R as´ı:
f (x) = 2x
.
Para hacer la gr´afica construimos la siguiente tabla:
x 0 1 -1 2 -2 3 -3 4 -4
f (x) 1 2 1
2 4 1
4 8
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11. Funciones exponenciales
Definamos una nueva funci´on en R as´ı:
f (x) = 2x
.
Para hacer la gr´afica construimos la siguiente tabla:
x 0 1 -1 2 -2 3 -3 4 -4
f (x) 1 2 1
2 4 1
4 8 1
8
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas F. exponenciales 3 / 27

12. Funciones exponenciales
Definamos una nueva funci´on en R as´ı:
f (x) = 2x
.
Para hacer la gr´afica construimos la siguiente tabla:
x 0 1 -1 2 -2 3 -3 4 -4
f (x) 1 2 1
2 4 1
4 8 1
8 16
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13. Funciones exponenciales
Definamos una nueva funci´on en R as´ı:
f (x) = 2x
.
Para hacer la gr´afica construimos la siguiente tabla:
x 0 1 -1 2 -2 3 -3 4 -4
f (x) 1 2 1
2 4 1
4 8 1
8 16 1
16
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14. Funciones exponenciales
Ayudados por los datos obtenidos y notando que:
si n es natural f (n) = 2n (aumenta su valor si n aumenta)
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15. Funciones exponenciales
Ayudados por los datos obtenidos y notando que:
si n es natural f (n) = 2n (aumenta su valor si n aumenta)
y que f (−n) = 2−n =
1
2n
(cada vez m´as peque˜no
pero siempre mayor que cero)
tenemos la siguiente gr´afica
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16. Funci´on exponencial f (x) = 2x
x
y
-3 -2 -1 1 2
1
2
4
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17. Funci´on exponencial f (x) = 2x
x
y
-3 -2 -1 1 2
1
2
4
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas F. exponenciales 5 / 27

18. Funci´on exponencial f (x) = 2x
x
y
-3 -2 -1 1 2
1
2
4
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19. Funciones exponenciales
¿C´omo es la gr´afica de y = 2−x ?
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20. Funciones exponenciales
¿C´omo es la gr´afica de y = 2−x ?
Sabemos que se obtiene de la anterior haciendo una
simetr´ıa con respecto al eje y.
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21. Funci´on exponencial f (x) = 2−x
x
y
-2 -1 1 2 3
1
2
4
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22. Funci´on exponencial f (x) = 2−x
x
y
-2 -1 1 2 3
1
2
4
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas F. exponenciales 7 / 27

23. Funci´on exponencial f (x) = 2−x
x
y
-2 -1 1 2 3
1
2
4
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas F. exponenciales 7 / 27

24. Funciones exponenciales
¿Qu´e es 2−x ?
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25. Funciones exponenciales
¿Qu´e es 2−x ?
2−x
= (2−1
)x
=
1
2
x
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26. Funciones exponenciales
¿Qu´e es 2−x ?
2−x
= (2−1
)x
=
1
2
x
Luego hemos construido la gr´afica de la funci´on exponencial
f (x) =
1
2
x
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27. Funciones exponenciales
Generalicemos:
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28. Funciones exponenciales
Generalicemos:
Llamamos funci´on exponencial de base a, con a > 0, a la funci´on
definida por:
f (x) = ax
.
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29. Funciones exponenciales
Generalicemos:
Llamamos funci´on exponencial de base a, con a > 0, a la funci´on
definida por:
f (x) = ax
.
La gr´afica de la funci´on depender´a del valor de a.
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30. Funci´on exponencial f (x) = ax
x
y
1
1
a > 1

31. Funci´on exponencial f (x) = ax
x
y
1
1
a > 1
x
y
1
1
0 < a < 1
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32. Funciones exponenciales
N´otese que para a < 0 no se define la funci´on exponencial ya que por
ejemplo (a)1/2 no es un n´umero real.
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33. Funciones exponenciales
N´otese que para a < 0 no se define la funci´on exponencial ya que por
ejemplo (a)1/2 no es un n´umero real.
Para a = 1, como 1x = 1 para todo x real, “la funci´on exponencial de base
1” ser´ıa simplemente la funci´on constante de valor 1.
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34. Propiedades de las funciones exponenciales
Sea f (x) = ax . Entonces:
Dom(f ) = R
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35. Propiedades de las funciones exponenciales
Sea f (x) = ax . Entonces:
Dom(f ) = R
Im(f ) = (0, ∞)
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36. Propiedades de las funciones exponenciales
Sea f (x) = ax . Entonces:
Dom(f ) = R
Im(f ) = (0, ∞)
f es inyectiva
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37. Propiedades de las funciones exponenciales
Sea f (x) = ax . Entonces:
Dom(f ) = R
Im(f ) = (0, ∞)
f es inyectiva
Si a > 1 los valores f (x) aumentan a medida que x aumenta.
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38. Propiedades de las funciones exponenciales
Sea f (x) = ax . Entonces:
Dom(f ) = R
Im(f ) = (0, ∞)
f es inyectiva
Si a > 1 los valores f (x) aumentan a medida que x aumenta.
Si 0 < a < 1 los valores de f (x) disminuyen a medida que x aumenta.
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39. Propiedades de las funciones exponenciales
Sea f (x) = ax . Entonces:
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40. Propiedades de las funciones exponenciales
Sea f (x) = ax . Entonces:
f (x + y) = ax+y = ax ay = f (x)f (y)
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41. Propiedades de las funciones exponenciales
Sea f (x) = ax . Entonces:
f (x + y) = ax+y = ax ay = f (x)f (y)
(f transforma sumas en productos)
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42. Propiedades de las funciones exponenciales
Sea f (x) = ax . Entonces:
f (x + y) = ax+y = ax ay = f (x)f (y)
(f transforma sumas en productos)
f (x − y) = ax−y =
ax
ay
=
f (x)
f (y)
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43. Propiedades de las funciones exponenciales
Sea f (x) = ax . Entonces:
f (x + y) = ax+y = ax ay = f (x)f (y)
(f transforma sumas en productos)
f (x − y) = ax−y =
ax
ay
=
f (x)
f (y)
(f transforma restas en cocientes)
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44. Propiedades de las funciones exponenciales
Sea f (x) = ax . Entonces:
f (x + y) = ax+y = ax ay = f (x)f (y)
(f transforma sumas en productos)
f (x − y) = ax−y =
ax
ay
=
f (x)
f (y)
(f transforma restas en cocientes)
f (kx) = akx = (ax )k = (f (x))k
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45. Propiedades de las funciones exponenciales
Sea f (x) = ax . Entonces:
f (x + y) = ax+y = ax ay = f (x)f (y)
(f transforma sumas en productos)
f (x − y) = ax−y =
ax
ay
=
f (x)
f (y)
(f transforma restas en cocientes)
f (kx) = akx = (ax )k = (f (x))k
(f transforma coeficientes en exponentes)
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46. Funciones inyectivas e inversas
Observaci´on
Sea f una funci´on inyectiva. La gr´afica de f est´a determinada por la
ecuaci´on y = f (x).
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47. Funciones inyectivas e inversas
Observaci´on
Sea f una funci´on inyectiva. La gr´afica de f est´a determinada por la
ecuaci´on y = f (x).
Si intercambiamos las variables x e y obtenemos la ecuaci´on x = f (y)
cuya gr´afica se obtiene de la anterior mediante una simetr´ıa con
respecto a la recta y = x.
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48. Funciones inyectivas e inversas
x
y
y = f (x)
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49. Funciones inyectivas e inversas
x
y
y = f (x)
x = f (y)
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50. Funciones inyectivas e inversas
Como f es inyectiva, la gr´afica obtenida corresponde a la de una nueva
funci´on g.
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51. Funciones inyectivas e inversas
Como f es inyectiva, la gr´afica obtenida corresponde a la de una nueva
funci´on g.
¿Qu´e relaci´on hay entre f y g?
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52. Funciones inyectivas e inversas
Como f es inyectiva, la gr´afica obtenida corresponde a la de una nueva
funci´on g.
¿Qu´e relaci´on hay entre f y g?
y = f (x) ⇐⇒ x = g(y)
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas F. exponenciales 16 / 27

53. Funciones inyectivas e inversas
Como f es inyectiva, la gr´afica obtenida corresponde a la de una nueva
funci´on g.
¿Qu´e relaci´on hay entre f y g?
y = f (x) ⇐⇒ x = g(y)
Al componerlas tenemos:
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54. Funciones inyectivas e inversas
Como f es inyectiva, la gr´afica obtenida corresponde a la de una nueva
funci´on g.
¿Qu´e relaci´on hay entre f y g?
y = f (x) ⇐⇒ x = g(y)
Al componerlas tenemos:
f ◦ g(y)
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55. Funciones inyectivas e inversas
Como f es inyectiva, la gr´afica obtenida corresponde a la de una nueva
funci´on g.
¿Qu´e relaci´on hay entre f y g?
y = f (x) ⇐⇒ x = g(y)
Al componerlas tenemos:
f ◦ g(y) = f (g(y))
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas F. exponenciales 16 / 27

56. Funciones inyectivas e inversas
Como f es inyectiva, la gr´afica obtenida corresponde a la de una nueva
funci´on g.
¿Qu´e relaci´on hay entre f y g?
y = f (x) ⇐⇒ x = g(y)
Al componerlas tenemos:
f ◦ g(y) = f (g(y)) = f (x)
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas F. exponenciales 16 / 27

57. Funciones inyectivas e inversas
Como f es inyectiva, la gr´afica obtenida corresponde a la de una nueva
funci´on g.
¿Qu´e relaci´on hay entre f y g?
y = f (x) ⇐⇒ x = g(y)
Al componerlas tenemos:
f ◦ g(y) = f (g(y)) = f (x) = y
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas F. exponenciales 16 / 27

58. Funciones inyectivas e inversas
Como f es inyectiva, la gr´afica obtenida corresponde a la de una nueva
funci´on g.
¿Qu´e relaci´on hay entre f y g?
y = f (x) ⇐⇒ x = g(y)
Al componerlas tenemos:
f ◦ g(y) = f (g(y)) = f (x) = y
g ◦ f (x)
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas F. exponenciales 16 / 27

59. Funciones inyectivas e inversas
Como f es inyectiva, la gr´afica obtenida corresponde a la de una nueva
funci´on g.
¿Qu´e relaci´on hay entre f y g?
y = f (x) ⇐⇒ x = g(y)
Al componerlas tenemos:
f ◦ g(y) = f (g(y)) = f (x) = y
g ◦ f (x) = g(f (x))
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas F. exponenciales 16 / 27

60. Funciones inyectivas e inversas
Como f es inyectiva, la gr´afica obtenida corresponde a la de una nueva
funci´on g.
¿Qu´e relaci´on hay entre f y g?
y = f (x) ⇐⇒ x = g(y)
Al componerlas tenemos:
f ◦ g(y) = f (g(y)) = f (x) = y
g ◦ f (x) = g(f (x)) = g(y)
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas F. exponenciales 16 / 27

61. Funciones inyectivas e inversas
Como f es inyectiva, la gr´afica obtenida corresponde a la de una nueva
funci´on g.
¿Qu´e relaci´on hay entre f y g?
y = f (x) ⇐⇒ x = g(y)
Al componerlas tenemos:
f ◦ g(y) = f (g(y)) = f (x) = y
g ◦ f (x) = g(f (x)) = g(y) = x
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas F. exponenciales 16 / 27

62. Funciones inyectivas e inversas
Como f es inyectiva, la gr´afica obtenida corresponde a la de una nueva
funci´on g.
¿Qu´e relaci´on hay entre f y g?
y = f (x) ⇐⇒ x = g(y)
Al componerlas tenemos:
f ◦ g(y) = f (g(y)) = f (x) = y
g ◦ f (x) = g(f (x)) = g(y) = x
La funci´on g se llama la inversa de f y se acostumbra a notar f −1.
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas F. exponenciales 16 / 27

63. Funciones inyectivas e inversas
Resumamos ahora la relaci´on entre f y f −1:
y = f (x) ⇐⇒ x = f −1
(y)
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas F. exponenciales 17 / 27

64. Funciones inyectivas e inversas
Resumamos ahora la relaci´on entre f y f −1:
y = f (x) ⇐⇒ x = f −1
(y)
Adem´as,
Dom(f −1
) = Im(f ) e Im(f −1
) = Dom(f )
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas F. exponenciales 17 / 27

65. Funciones exponenciales y logar´ıtmicas
Ejemplo
La funci´on exponencial de base 2 tiene su inversa que es la funci´on
logar´ıtmica de base 2:
y = 2x
⇐⇒ x = log2 y
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas F. exponenciales 18 / 27

66. Funciones exponenciales y logar´ıtmicas
Ejemplo
La funci´on exponencial de base 2 tiene su inversa que es la funci´on
logar´ıtmica de base 2:
y = 2x
⇐⇒ x = log2 y
o bien:
y = log2 x ⇐⇒ x = 2y
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas F. exponenciales 18 / 27

67. Funciones exponenciales y logar´ıtmicas
Ejemplo
La funci´on exponencial de base 2 tiene su inversa que es la funci´on
logar´ıtmica de base 2:
y = 2x
⇐⇒ x = log2 y
o bien:
y = log2 x ⇐⇒ x = 2y
Esta funci´on tendr´a la siguiente gr´afica:
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas F. exponenciales 18 / 27

68. Funci´on logaritmo f (x) = log2 x
x
y
1 2 4
-3
-2
-1
1
2
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas F. exponenciales 19 / 27

69. Funciones logar´ıtmicas
En general, la inversa de la funci´on exponencial de base a es la funci´on
logar´ıtmica de base a.
y = loga x ⇐⇒ x = ay
Su gr´afica es de la forma:
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70. Funci´on logaritmo f (x) = loga x
x
y
1
1
a > 1

71. Funci´on logaritmo f (x) = loga x
x
y
1
1
a > 1
x
y
1
1
0 < a < 1
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas F. exponenciales 21 / 27

72. Funciones logar´ıtmicas
De las propiedades de la funci´on exponencial y su relaci´on con la funci´on
logar´ıtmica se obtienen las siguientes propiedades.
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas F. exponenciales 22 / 27

73. Funciones logar´ıtmicas
De las propiedades de la funci´on exponencial y su relaci´on con la funci´on
logar´ıtmica se obtienen las siguientes propiedades.
Si g(x) = loga x entonces:
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas F. exponenciales 22 / 27

74. Funciones logar´ıtmicas
De las propiedades de la funci´on exponencial y su relaci´on con la funci´on
logar´ıtmica se obtienen las siguientes propiedades.
Si g(x) = loga x entonces:
Dom(g) = (0, ∞)
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas F. exponenciales 22 / 27

75. Funciones logar´ıtmicas
De las propiedades de la funci´on exponencial y su relaci´on con la funci´on
logar´ıtmica se obtienen las siguientes propiedades.
Si g(x) = loga x entonces:
Dom(g) = (0, ∞) Im(g) = R.
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas F. exponenciales 22 / 27

76. Funciones logar´ıtmicas
De las propiedades de la funci´on exponencial y su relaci´on con la funci´on
logar´ıtmica se obtienen las siguientes propiedades.
Si g(x) = loga x entonces:
Dom(g) = (0, ∞) Im(g) = R.
g(xy) = loga(xy)
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas F. exponenciales 22 / 27

77. Funciones logar´ıtmicas
De las propiedades de la funci´on exponencial y su relaci´on con la funci´on
logar´ıtmica se obtienen las siguientes propiedades.
Si g(x) = loga x entonces:
Dom(g) = (0, ∞) Im(g) = R.
g(xy) = loga(xy)= loga(x) + loga(y)
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas F. exponenciales 22 / 27

78. Funciones logar´ıtmicas
De las propiedades de la funci´on exponencial y su relaci´on con la funci´on
logar´ıtmica se obtienen las siguientes propiedades.
Si g(x) = loga x entonces:
Dom(g) = (0, ∞) Im(g) = R.
g(xy) = loga(xy)= loga(x) + loga(y)= g(x) + g(y).
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas F. exponenciales 22 / 27

79. Funciones logar´ıtmicas
De las propiedades de la funci´on exponencial y su relaci´on con la funci´on
logar´ıtmica se obtienen las siguientes propiedades.
Si g(x) = loga x entonces:
Dom(g) = (0, ∞) Im(g) = R.
g(xy) = loga(xy)= loga(x) + loga(y)= g(x) + g(y).
(g transforma productos en sumas)
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas F. exponenciales 22 / 27

80. Funciones logar´ıtmicas
De las propiedades de la funci´on exponencial y su relaci´on con la funci´on
logar´ıtmica se obtienen las siguientes propiedades.
Si g(x) = loga x entonces:
Dom(g) = (0, ∞) Im(g) = R.
g(xy) = loga(xy)= loga(x) + loga(y)= g(x) + g(y).
(g transforma productos en sumas)
g
x
y
= loga
x
y
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas F. exponenciales 22 / 27

81. Funciones logar´ıtmicas
De las propiedades de la funci´on exponencial y su relaci´on con la funci´on
logar´ıtmica se obtienen las siguientes propiedades.
Si g(x) = loga x entonces:
Dom(g) = (0, ∞) Im(g) = R.
g(xy) = loga(xy)= loga(x) + loga(y)= g(x) + g(y).
(g transforma productos en sumas)
g
x
y
= loga
x
y
= loga(x) − loga(y)
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas F. exponenciales 22 / 27

82. Funciones logar´ıtmicas
De las propiedades de la funci´on exponencial y su relaci´on con la funci´on
logar´ıtmica se obtienen las siguientes propiedades.
Si g(x) = loga x entonces:
Dom(g) = (0, ∞) Im(g) = R.
g(xy) = loga(xy)= loga(x) + loga(y)= g(x) + g(y).
(g transforma productos en sumas)
g
x
y
= loga
x
y
= loga(x) − loga(y)= g(x) − g(y).
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas F. exponenciales 22 / 27

83. Funciones logar´ıtmicas
De las propiedades de la funci´on exponencial y su relaci´on con la funci´on
logar´ıtmica se obtienen las siguientes propiedades.
Si g(x) = loga x entonces:
Dom(g) = (0, ∞) Im(g) = R.
g(xy) = loga(xy)= loga(x) + loga(y)= g(x) + g(y).
(g transforma productos en sumas)
g
x
y
= loga
x
y
= loga(x) − loga(y)= g(x) − g(y).
(g transforma cocientes en diferencias)
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas F. exponenciales 22 / 27

84. Funciones logar´ıtmicas
De las propiedades de la funci´on exponencial y su relaci´on con la funci´on
logar´ıtmica se obtienen las siguientes propiedades.
Si g(x) = loga x entonces:
Dom(g) = (0, ∞) Im(g) = R.
g(xy) = loga(xy)= loga(x) + loga(y)= g(x) + g(y).
(g transforma productos en sumas)
g
x
y
= loga
x
y
= loga(x) − loga(y)= g(x) − g(y).
(g transforma cocientes en diferencias)
g(xk) = loga(xk)
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas F. exponenciales 22 / 27

85. Funciones logar´ıtmicas
De las propiedades de la funci´on exponencial y su relaci´on con la funci´on
logar´ıtmica se obtienen las siguientes propiedades.
Si g(x) = loga x entonces:
Dom(g) = (0, ∞) Im(g) = R.
g(xy) = loga(xy)= loga(x) + loga(y)= g(x) + g(y).
(g transforma productos en sumas)
g
x
y
= loga
x
y
= loga(x) − loga(y)= g(x) − g(y).
(g transforma cocientes en diferencias)
g(xk) = loga(xk)= kloga(x)
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas F. exponenciales 22 / 27

86. Funciones logar´ıtmicas
De las propiedades de la funci´on exponencial y su relaci´on con la funci´on
logar´ıtmica se obtienen las siguientes propiedades.
Si g(x) = loga x entonces:
Dom(g) = (0, ∞) Im(g) = R.
g(xy) = loga(xy)= loga(x) + loga(y)= g(x) + g(y).
(g transforma productos en sumas)
g
x
y
= loga
x
y
= loga(x) − loga(y)= g(x) − g(y).
(g transforma cocientes en diferencias)
g(xk) = loga(xk)= kloga(x)= kg(x).
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas F. exponenciales 22 / 27

87. Funciones logar´ıtmicas
De las propiedades de la funci´on exponencial y su relaci´on con la funci´on
logar´ıtmica se obtienen las siguientes propiedades.
Si g(x) = loga x entonces:
Dom(g) = (0, ∞) Im(g) = R.
g(xy) = loga(xy)= loga(x) + loga(y)= g(x) + g(y).
(g transforma productos en sumas)
g
x
y
= loga
x
y
= loga(x) − loga(y)= g(x) − g(y).
(g transforma cocientes en diferencias)
g(xk) = loga(xk)= kloga(x)= kg(x).
(g transforma exponentes en coeficientes)
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas F. exponenciales 22 / 27

88. Las funciones exponencial natural y logaritmo natural
La funci´on exponencial natural es aquella que tiene como base el n´umero
irracional e llamado la constante de Euler y que podemos aproximar con
cuatro cifras decimales a 2, 7183.
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas F. exponenciales 23 / 27

89. Las funciones exponencial natural y logaritmo natural
La funci´on exponencial natural es aquella que tiene como base el n´umero
irracional e llamado la constante de Euler y que podemos aproximar con
cuatro cifras decimales a 2, 7183.
La notamos:
y = ex
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas F. exponenciales 23 / 27

90. Las funciones exponencial natural y logaritmo natural
La funci´on exponencial natural es aquella que tiene como base el n´umero
irracional e llamado la constante de Euler y que podemos aproximar con
cuatro cifras decimales a 2, 7183.
La notamos:
y = ex
La funci´on logaritmo natural es la inversa de la funci´on exponencial
natural y tiene una notaci´on muy particular:
loge x = ln x
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas F. exponenciales 23 / 27

91. Funciones logar´ıtmicas
Ejercicio 1
Calcular:
(a) log2 128 (b) log3 81
(c) log10 10000 (d) log4 256
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92. Funciones logar´ıtmicas
Ejercicio 2
Halle el dominio de las siguientes funciones:
(a) g(x) = log3(x2
− 1) (b) h(x) = log2
x + 1
x2 − 9
(c) u(x) = log2(|x|) (d) v(x) = ln(x + 3)
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93. Funciones logar´ıtmicas
Ejercicio 3
Haga la gr´afica de las siguientes funciones:
(a) u(x) = log2(|x|) (b) v(x) = 2 + ln(x + 3)
(c) w(x) = 1 − 2x
(d) g(x) = 5 −
1
2
x
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94. Funciones exponenciales y logar´ıtmicas
Las funciones exponenciales y logar´ıtmicas tienen m´ultiples y muy variadas
aplicaciones, algunas de ellas son:
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95. Funciones exponenciales y logar´ıtmicas
Las funciones exponenciales y logar´ıtmicas tienen m´ultiples y muy variadas
aplicaciones, algunas de ellas son:
Crecimiento bacteriano
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas F. exponenciales 27 / 27

96. Funciones exponenciales y logar´ıtmicas
Las funciones exponenciales y logar´ıtmicas tienen m´ultiples y muy variadas
aplicaciones, algunas de ellas son:
Crecimiento bacteriano
Crecimiento y decrecimiento de poblaciones
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas F. exponenciales 27 / 27

97. Funciones exponenciales y logar´ıtmicas
Las funciones exponenciales y logar´ıtmicas tienen m´ultiples y muy variadas
aplicaciones, algunas de ellas son:
Crecimiento bacteriano
Crecimiento y decrecimiento de poblaciones
C´alculo de intereses compuestos
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas F. exponenciales 27 / 27

98. Funciones exponenciales y logar´ıtmicas
Las funciones exponenciales y logar´ıtmicas tienen m´ultiples y muy variadas
aplicaciones, algunas de ellas son:
Crecimiento bacteriano
Crecimiento y decrecimiento de poblaciones
C´alculo de intereses compuestos
Vida media de sustancias radioactivas
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas F. exponenciales 27 / 27

99. Funciones exponenciales y logar´ıtmicas
Las funciones exponenciales y logar´ıtmicas tienen m´ultiples y muy variadas
aplicaciones, algunas de ellas son:
Crecimiento bacteriano
Crecimiento y decrecimiento de poblaciones
C´alculo de intereses compuestos
Vida media de sustancias radioactivas
Fechado de f´osiles con carbono
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