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A Fisica No Violino
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  • 1. Revista Brasileira de Ensino de F´ ısica, v. 30, n. 2, 2305 (2008) www.sbfisica.org.br A f´ ısica do violino (The physics of the violin) Jos´ Pedro Donoso1∗ , Alberto Tann´s1 , Francisco Guimar˜es1 e Thiago Corrˆa de Freitas2 e u a e 1 Instituto de F´ ısica de S˜o Carlos, Universidade de S˜o Paulo, S˜o Carlos, SP, Brasil a a a 2 Departamento de F´ ısica, Universidade Federal do Paran´, Curitiba, PR, Brasil a Recebido em 28/9/2007; Revisado em 15/2/2008; Aceito em 14/4/2008; Publicado em 21/7/2008 Neste artigo apresentamos uma descri¸ao geral da f´ c˜ ısica do violino, analisando os conceitos que lhes d˜o sus- a tenta¸ao f´ c˜ ısica e que revelam toda a riqueza e o potencial pedag´gico do assunto. Destacamos as contribui¸oes o c˜ de f´ ısicos como Helmholtz, Savart, Raman e Saunders no esfor¸o para descrever a vibra¸ao produzida pelo arco c c˜ nas cordas, e por compreender as propriedades ac´sticas do instrumento. Descrevemos a fun¸ao de cada uma u c˜ das componentes do instrumento e discutimos a importˆncia dos modos normais de vibra¸ao dos tampos e do a c˜ cavalete na resposta ac´ stica do violino. A ressonˆncia ac´stica da caixa do violino (ressonˆncia de Helmholtz) u a u a ser´ discutida fazendo-se um paralelo entre osciladores mecˆnico, el´trico e ac´stico. Discutiremos a resposta a a e u ac´stica do violino e descreveremos a produ¸˜o de seu som carater´ u ca ıstico, que resulta da forma de onda originada pela excita¸ao das cordas pelo arco, influenciada pelas vibra¸oes e ressonˆncias do corpo do violino, seus tampos c˜ c˜ a e o cavalete. Palavras-chave: violino, ac´stica, ressonˆncia, instrumentos musicais, Helmholtz. u a In this work we present a general description of the physics of the violin. We examine the concepts which provide the physical support and reveal the richness and the pedagogical potential of the subject. We remark the contributions of physicists such as Helmholtz, Savart, Raman and Saunders to the undesrtanding of the way in which a bowed string vibrates, and the comprehension of the acoustical properties of the instrument. The role of each component of the violin is described in details. We also discuss the importance of the bridge, the plates and the body normal modes of vibration for the acoustical response of the instrument. The air-resonance of the enclosed air in the violin body (Helmholtz resonance) is disscussed using the equivalent fomalism between mechanical, electrical and acoustic oscillating systems. The production of the characteristic sound of the violin, which results from the vibrational waveform of a bowed string, is also described. Keywords: violin, acoustics, resonance, musical instruments, Helmholtz. 1. Introdu¸˜o ca deira e do cavalete, e o problema das vibra¸˜es pro- co duzidas numa corda friccionada por um arco. Este A F´ ısica dos instrumentos musicais ´ uma ´rea de estu- e a ultimo t´pico resulta tamb´m numa interessante an´lise ´ o e a dos fascinante e de grande potencial pedag´gico pe- o da transferˆncia de energia entre os modos de vibra¸˜o e ca las aplica¸˜es pr´ticas das oscila¸˜es & ondas, e do co a co naturalmente estimulados pelo arco (torsionais) e aque- fenˆmeno de ressonˆncia. Embora a maioria dos tex- o a les que efetivamente acoplam com o meio em que a per- tos de f´ ısica b´sica discuta as propriedades e a pro- a turba¸˜o ac´stica se propaga. ca u paga¸˜o das ondas sonoras, a produ¸˜o dos sons nos ca ca Os f´ ısicos sempre se sentiram cativados por este instrumentos musicais n˜o ´ abordada em profundi- a e instrumento t˜o delicado e sofisticado, seja para estu- a dade. Um instrumento que ilustra bem a riqueza da dar suas propriedades ou apenas como instrumento f´ ısica que se encontra na ac´stica musical ´ o violino. u e para executar m´sica. O pr´prio Albert Einstein era u o Seu estudo envolve um consider´vel conhecimento de a violinista. Em Berlin, Einstein tocava sonatas com f´ ısica b´sica, tais como o entendimento do fenˆmeno a o Max Planck e em Princenton costumava reunir-se se- de ressonˆncia na caixa ac´stica do violino, a fun¸˜o a u ca manalmente com colegas e amigos para tocar m´sica u dos orif´ıcios em forma de “f ” que permitem considerar de cˆmara [1]. Muitos f´ a ısicos contribu´ ıram com suas o violino como um ressoador de Helmholtz, o estudo pesquisas para a compreens˜o das propriedades f´ a ısicas dos modos normais de vibra¸˜o dos tampos de ma- ca e ac´sticas do instrumento. A hist´ria destas pesqui- u o 1 E-mail: donoso@if.sc.usp.br. ∗ Membro da Orquestra Experimental da Universidade Federal de S˜o Carlos, S. Carlos, SP, Brasil. a Copyright by the Sociedade Brasileira de F´ ısica. Printed in Brazil.
  • 2. 2305-2 Donoso et al. sas foi documentada por C.M. Hutchins [2-4]. A f´ ısica a for¸a m´ c ınima necess´ria para manter um movimento a do violino tem sido objeto tamb´m de artigos de di- e est´vel nas cordas depende da velocidade da arcada e do a vulga¸˜o na revista Scientific American [5-7] e na Phy- ca inverso do quadrado da distˆncia do ponto de contato a sics World [8]. Na internet, destacam-se as p´ginas da a na corda at´ o cavalete [2,6,13,23]. e University of New South of Wales, Australia [9] e a do O f´ısico Frederick Saunders (1875-1963), conhecido Prof. E. Jansson de Estocolmo [10]. pelo acoplamento Russell & Saunders da f´ ısica atˆmica, o Em rela¸˜o `s pesquisas sobre a f´ ca a ısica do violino, estudou tamb´m as propriedades ac´sticas de instru- e u o f´ısico franc´s F´lix Savart (1791-1841) ´ considerado e e e mentos de corda. Saunders, que tocava violino e um dos pioneiros. Conhecido pela proposi¸˜o, jun- ca viola, desenvolveu um m´todo para analisar a resposta e tamente com Jean-Baptiste Biot (1774-1862), sobre o ac´stica dos instrumentos utilizando um analisador he- u campo magn´tico produzido por elementos de corrente e ter´dino para registrar a amplitude e as freq¨ˆncias o ue (Lei de Biot-Savart), destacou-se tamb´m pelas suas e dos tons parciais (harmˆnicos). Trabalhando em co- o contribui¸˜es na ´rea de ac´stica. Entre outras coisas, co a u labora¸˜o com a fabricante de violinos e pesquisadora ca estudou o limiar de audi¸˜o em altas freq¨ˆncias, uti- ca ue Carleen M. Hutchins, ele estudou os efeitos ac´sticos nou lizou o m´todo de Ernst F. Chladni (1756-1827) para e instrumento quando se mudam, por exemplo, a forma, visualizar os modos de vibra¸˜o de tampos de violi- ca o tamanho e a localiza¸˜o dos “efes”, a altura das il- ca nos, estudou a fun¸˜o do cavalete e da alma e observou ca hargas, etc. O objetivo das pesquisas de Saunders e que as vibra¸˜es que o arco produz na corda s˜o ricas co a Hutchins era descobrir parˆmetros ac´sticos que carac- a u em harmˆnicos. Savart colaborou tamb´m com o fa- o e terizassem os bons instrumentos. Estes dois pesquisa- moso luthier Jean Baptiste Vuillaume (1798-1895) no dores, conjuntamente com o qu´ ımico e violoncelista Ro- desenvolvimento de novos instrumentos da fam´ dos ılia bert Fryxell (1924-1986) e o engenheiro John Schelleng violinos, como o octobasse de 3.5 metros de altura e, (1892-1979), fundaram em 1963 a Catgut Acoustical tamb´m na constru¸˜o de instrumentos experimentais, e ca Society reunindo profissionais envolvidos na fabrica¸˜o ca com corpos de formato diferenciado, dos quais chegou e pesquisas de instrumentos de cordas [2,12,22-26]. at´ n´s um violino de formato trapezoidal [2,5,7,11-14]. e o Novas tecnologias e equipamentos eletrˆnicos sur- o Mais foi o fisiologista e f´ ısico alem˜o Hermann von a gidos neste s´culo permitiram contribui¸˜es significati- e co Helmholtz (1821-1894) que elucidou o tipo de vibra¸˜o ca vas no estudo das propriedades ac´sticas do violino e u que distingue a corda excitada por um arco (bowed no desenvolvimento de novas metodologias para avaliar string) da corda tangida (plucked string). Helmholtz qualidades de instrumentos musicais [2,13,14]. Destaca- foi um cientista particularmente vers´til que fez im- a se em particular a obra de Lothar Cremer (1905-1990) portantes contribui¸˜es no campos da medicina (como a co The Physics of the Violin publicada em 1981, que re- transmiss˜o de impulsos nervosos, a fisiologia da vis˜o, a a sume o conhecimento sobre a ac´stica dos instrumentos u o mecanismo de audi¸˜o, a inven¸˜o do oftalmosc´pio), ca ca o de corda desde o s´culo XIX, apresentando toda a ela- e da f´ısica (formalizou o princ´ de conserva¸˜o da ener- ıpio ca bora¸˜o matem´tica da vibra¸˜o das cordas, dos modos ca a ca gia, contribui¸˜es na mecˆnica dos fluidos e na teoria co a de vibra¸˜o dos tampos e da ressonˆncia ac´stica do ca a u eletrodinˆmica) e da ac´stica (vibra¸˜o de colunas de a u ca violino [27]. Na atualidade, numerosos pesquisadores ar, freq¨ˆncias de ressonˆncia de cavidades, tempera- ue a trabalham na caracteriza¸˜o e modelagem das proprie- ca mento das escalas musicais) [15-19]. Utilizando um en- dades ac´sticas do violino, tais como George Bissinger u genhoso instrumento que permitia observar vibra¸˜es co e Robert Schumacher (EUA), Erik Jansson (Su´cia), e ac´sticas a n´ microsc´pico (que originou posterior- u ıvel o Collin Gough e Jim Woodhouse (Gr˜ Bretanha), Xa- a mente o harmon´grafo) idealizado pelo f´ o ısico francˆs e vier Boutillon (Fran¸a), John McLennan (Australia) e c Jules A. Lissajous (1822-1880), Helmholtz observou a Akihiro Matsutani (Jap˜o). a forma de onda particular que resulta da vibra¸˜o de ca O presente artigo est´ organizado da seguinte ma- a uma corda friccionada pelas crinas de um arco [2,13,20- neira: na primeira parte daremos uma descri¸˜o ge- ca 23]. ral do instrumento. Em seguida discutiremos a res- Lord Rayleigh (John William Strutt, 1842-1919) ex- posta ac´stica do violino analisando a ressonˆncia do u a plorou as carater´ ısticas vibracionais de membranas, pla- ar na cavidade (ressonˆncia de Helmholtz) e os mo- a cas e sinos, estudou a propaga¸˜o das ondas de som e ca dos de oscila¸˜o dos tampos, do cavalete e do corpo do ca estabeleceu as bases da pesquisa moderna da ac´stica u instrumento. Faremos uma analogia entre osciladores de instrumentos musicais [2,11]. As vibra¸˜es resultan- co mecˆnico, el´trico e ac´stico com o objetivo de para- a e u tes da corda excitada por um arco foram estudadas em metrizar as freq¨ˆncias de ressonˆncia e as express˜es ue a o detalhe pelo f´ ısico indiano Chandrasekhara V. Raman de impedˆncias. Na se¸˜o 4 apresentaremos o arco e a ca (1888-1970), Prˆmio Nobel por seu trabalho sobre es- e a arcada e descreveremos o movimento ondulat´rio da o palhamento da luz (o efeito Raman). Utilizando um corda friccionada pelo arco (oscila¸˜o de Helmholtz) e ca mecanismo para controlar a arcada (ato de excitar a concluiremos discutindo como ´ produzido o som do e corda por meio de um arco), Raman mediu os efeitos violino. Na ultima se¸˜o consideraremos os problemas ´ ca da velocidade e da posi¸˜o da arcada e verificou que ca da afina¸˜o, dedilhado e intensidade relativa do instru- ca
  • 3. A f´ ısica do violino 2305-3 mento. muito fina (seu diˆmetro ´ muito menor que o compri- a e mento da onda ac´stica envolvida), ´ necess´rio trans- u e a ferir a vibra¸˜o da mesma para uma superf´ grande ca ıcie 2. O instrumento de forma que esta, ao vibrar, desloque uma maior quan- tidade de ar, conseguindo-se assim uma boa intensidade 2.1. Lutheria de som. Esta ´ a primeira evidˆncia da necessidade de e e O violino surgiu na It´lia no come¸o do s´culo XVI, a c e um bom acoplamento ac´stico entre as partes vibrantes u como uma evolu¸˜o de instrumentos de corda friccio- ca do instrumento e o meio propagador da perturba¸˜o at´ ca e nada, o rebec, a vielle e a lira da braccio. Gasparo Da o ouvido. No violino, a pe¸a que transfere as vibra¸˜es c co Salo (1542-1609), Andr´a Amati (1505-1578) e Gaspard e das cordas para a caixa ac´stica (e para o ar encerrado u Duiffoprugcar (1514-c. 1571) s˜o considerados os no- a nela) ´ o cavalete (bridge, em inglˆs). Como os tampos e e mes essenciais do artesanato (ou lutheria) do violino. s˜o grandes (aprox. 500 cm2 cada) eles s˜o bastante efi- a a Com De Salo e Amati surgem as duas c´lebres esco-e cientes para colocar em movimento o ar das vizinhan¸as c las de lutheria, a de Brescia e a de Cremona. Nesta e transmitir o som, garantindo aquele acoplamento. O ultima, a dinastia dos Amati atinge sua supremacia som emitido pelo instrumento resulta basicamente da com Nicola Amati, neto de Andr´a e mestre de Anto- e vibra¸˜o das tampos superior e inferior e, tamb´m, da ca e nio Stradivari (1644-1737). Um outro renomado luthier vibra¸˜o do ar dentro da caixa do violino (ver se¸˜o 3). ca ca foi Guarnerius (1698-1744), chamado “del Ges´”. Na u Fran¸a, a lutheria do violino est´ associada ` cidade de c a a Mirecourt e aos nomes de Nicolas Lupot (1758-1824) e Jean-Baptiste Vuillaume (1798-1875) [28-30]. A forma do instrumento constitui um exemplo de desenho do renacimento italiano, com as considera¸˜es co de equil´ ıbrio de superf´ ıcies e de volumes t´ ıpicas da ´poca [14,31]. Aparentemente, as dimens˜es dos vio- e o linos e violoncelos seguem a rela¸˜o de propor¸˜es ma- ca co tem´ticas conhecidas como “propor¸˜o ´urea” [22,32]. a ca a Tudo indica por´m que a evolu¸˜o do instrumento se e ca deteve depois da morte de Stradivari. Algumas mu- dan¸as menores foram feitas no s´culo XIX, como na c e extens˜o do bra¸o, no ˆngulo do espelho e na altura a c a do cavalete, com o objetivo de produzir um som mais intenso e brilhante [2,3,7]. O fato de o instrumento pra- ticamente n˜o ter mudado em mais de 250 anos ilustra a bem o extraordin´rio n´ a ıvel art´ıstico e tecnol´gico al- o can¸ado pelos luthier italianos do s´culo XVI [2,33]. c e O efeito do clima nas madeiras, assim como o tra- tamento qu´ ımico utilizado para protegˆ-las tˆm sido e e apontados como fatores respons´veis pelo som ini- a gual´vel dos instrumentos fabricados por Stradivari e a por Guarneri. Os invernos europeus excepcionalmente frios do per´ ıodo de 1645 a 1715 teriam afetado as madeiras utilizadas pelos mestres italianos para a fa- brica¸˜o dos instrumentos, deixando-as mais fortes e ca densas [34,35]. Os vernizes utilizados para permear a Figura 1 - Vista frontal e lateral de um violino indicando as madeira e proteger o instrumento do suor e da umi- principais partes. A figura mostra a disposi¸ao das cordas e c˜ dade, tamb´m tˆm sido objeto de an´lises e discuss˜es e e a o dos orif´ıcios na forma de “f ” estilizados no tampo superior. [36,37]. O corte mostra a disposi¸ao do cavalete sobre o tampo su- c˜ A Fig. 1 mostra as principais partes de um vio- perior e a posi¸ao da alma no interior da caixa ac´ stica do c˜ u lino. O instrumento est´ constitu´ por um conjunto a ıdo instrumento. O comprimento do violino ´ de aproximada- e de quatro cordas acopladas a uma caixa ac´stica. Estas u mente 60 cm. O arco tem 75 cm de comprimento. A caixa cordas s˜o colocadas em vibra¸˜o pela for¸a impulsiva a ca c ac´stica tem 36 cm de comprimento e cerca de 4 cm de al- u produzida pelo atrito entre elas e as cerdas, normal- tura. O volume de ar encerrado na cavidade ´ de cerca de e mente feitas de crina ou cauda de cavalo, que consti- 2.4 litros. tuem o arco. Como uma corda vibrante-considerada A caixa ac´stica esta formada por um tampo supe- u como uma fonte dipolar linear-´ um p´ssimo transmis- e e rior e um tampo inferior separados por ilhargas. A qua- sor de energia sonora para o ar devido ao fato dela ser lidade de um violino depende das propriedades f´ ısicas
  • 4. 2305-4 Donoso et al. das madeiras utilizadas na sua constru¸˜o, como a den- ca sidade, a elasticidade, a dureza e a velocidade de pro- paga¸˜o do som na madeira [22]. A madeira tradicio- ca nalmente utilizada para a constru¸˜o do tampo supe- ca rior ´ o abeto (Picea abies. Spruce, em inglˆs). Esta e e madeira se caracteriza por ser muito el´stica (m´dulo a o de Young Y ∼ 9 GPa), de densidade e dureza relati- vamente baixa (ρ ∼ 0.45 g/cm3 , hardness: 2200 N). A estrutura em espiral das mol´culas de celulose, por e outra parte, conferem ao abeto uma consider´vel fir- a meza e resistˆncia [36]. A elevada velocidade do som e ao longo das fibras (c = (Y /ρ)1/2 ≈ 4500 m/s) favore- ce a r´pida propaga¸˜o das vibra¸˜es por todo o vio- a ca co lino. Para o tampo inferior se emprega o bordo, ´rvore a da fam´ das acer´ceas, de boa elasticidade (m´dulo ılia a o de Young Y ∼ 11 GPa) e maior densidade e dureza (ρ ∼ 0.6-0.7 g/cm3 , hardness: 4226 N). O corte das madeiras e o controle da espessura dos tampos seguem procedimentos espec´ ıficos [22,28,38,39]. Na montagem da caixa ac´stica, as madeiras dos tampos s˜o arquea- u a das para o exterior dando essa t´ ıpica forma arredon- dada. Esta forma resulta num aumento significativo nas freq¨ˆncias dos modos normais de vibra¸˜o dos tampos ue ca (se¸˜o 3.1 e 3.3) [14]. ca No tampo superior da caixa ac´stica h´ dois orif´ u a ıcios na forma de “f ” estilizados, localizados simetricamente em ambos os lados do cavalete. A forma destes “f ” pode ter sido influenciada pela tipologia cursiva (ou it´lico, como ´ mais conhecida hoje) inventada pelo a e tip´grafo italiano Aldo Manuzio (1450-1515) [40]. Es- o tes orif´ıcios comunicam para o exterior as vibra¸˜es do co ar dentro do violino e tˆm uma grande influˆncia no e e ´ timbre do violino. E importante salientar que a ´rea a destes orif´ ıcios ´ bastante significativa, 13 cm2 , ou seja e 2.5% da ´rea do tampo superior. As cordas assentam a no cavalete sobre o qual exercem uma for¸a consider´vel c a (se¸˜o 2.3). O cavalete, fabricado de bordo, ´ uma pe¸a ca e c Figura 2 - Notas e freq¨ˆncias das quatro cordas do violino: ue de importˆncia crucial para o violino pois ´ atrav´s dele a e e Sol3 (196 Hz), Re4 (293.66 Hz), L´4 (440 Hz) e Mi5 (659.26 a que se faz o acoplamento entre a corda e o corpo do Hz). A figura indica tamb´m as notas das oitavas centrais do e instrumento. Gera¸˜es de luthiers descobriram que a co teclado de um piano assim como a correspondente nota¸ao c˜ forma e a geometria do cavalete influencia a resposta musical no pentagrama (desde a nota Sol3 at´ a Do# ). A e 5 ac´stica do violino [13,22]. Ele atua como um transdu- u figura mostra tamb´m a posi¸ao do dedilhado das notas-na e c˜ tor mecˆnico, acoplando os modos de vibra¸˜o trans- a ca chamada “primeira posi¸ao”- no espelho do instrumento. A c˜ regi˜o do espelho destacada na figura tem aproximadamente a versais das cordas em modos vibracionais da caixa de 10 cm de comprimento. A separa¸ao entre duas notas-nesta c˜ ressonˆncia. Ele atua tamb´m como filtro ac´stico, su- a e u primeira posi¸ao-´ de aproximadamente 1.4 cm (a separa¸˜o c˜ e ca primindo certas freq¨ˆncias indesej´veis (se¸˜o 3.4). ue a ca entre dois dedos da m˜o esquerda). a O violino tem quatro cordas, confeccionadas em a¸o c e recobertas de prata ou alum´ ınio. A tens˜o das cordas a Assim, o L´4 indica a nota L´ da quarta oitava, com a a pode ser ajustada por meio das cravelhas e dos micro- freq¨ˆncia de 440 Hz, chamada de L´ -concertino, pois ue a afinadores (Fig. 1) at´ que a freq¨ˆncia de vibra¸˜o e ue ca ´ a nota utilizada para a afina¸˜o dos instrumentos de e ca atinja o valor desejado. As cordas do violino est˜o afi- a uma orquestra. A corda M´ - que ´ a mais fina de to- ı e nadas em quintas (uma quinta ´ o intervalo entre duas e das - ´ uma corda simples enquanto que as cordas L´, e a notas cujas freq¨ˆncias est˜o numa raz˜o 3:2). As no- ue a a R´ e Sol s˜o compostas, com uma corda central e um e a tas e as freq¨ˆncias correspondentes `s quatro cordas ue a bord˜o em forma de fita enrolado por cima. A natureza a do violino s˜o: Sol3 (196 Hz), Re4 (293.66 Hz), L´4 a a composta das cordas Re e L´ aparecem claramente nas a (440 Hz) e Mi5 (659.26 Hz). O sub-´ ındice da nota indica imagens mostradas nas Figs. 3(a) e 3(b), obtidas com a oitava correspondente na escala temperada (Fig. 2). um microsc´pio eletrˆnico. o o
  • 5. A f´ ısica do violino 2305-5 Figura 3 - Imagem de microscopia eletrˆnica de (a) uma corda R´ de 780 ± 10 µm de diˆmetro (amplia¸ao 90×); (b) uma o e a c˜ corda L´-quebrada-de 645 ± 10 µm de diˆmetro (amplia¸ao 200×) e (c) de um fio da crina de um arco, de 160 ± 10 µm de a a c˜ diˆmetro (amplia¸ao 1000×). Podemos observar a natureza composta das cordas L´ e R´ do violino, com uma corda central a c˜ a e e um bord˜o em forma de fita enrolado por cima. Este artif´ ´ utilizado para aumentar a densidade linear de massa, sem a ıcio e no entanto perder flexibilidade, nas corda destinada a produzir sons graves. As imagens foram obtidas num equipamento Zeiss do Laborat´rio de Microscopia Eletrˆnica, IFSC, USP. o o 2.2. Outros instrumentos de cordas s˜o realmente instrumentos com caracter´ a ısticas sonoras pr´prias [13,38]. O contrabaixo (double bass), embora o A fam´ dos instrumentos de cordas (friccionadas por ılia possua forma semelhante a do violino, n˜o pertence a a um arco) ´ formada por quatro instrumentos, o violino, e esta fam´ılia, pois ´ origin´rio da fam´ das violas da e a ılia a viola, o violoncelo e o contrabaixo. A viola ´ um e gamba. As cordas deste instrumento s˜o afinadas em a instrumento em que cada uma das cordas est´ afinada a intervalos de quartas, ou seja as freq¨ˆncias das no- ue uma quinta abaixo das respectivas cordas do violino, ou tas (Mi1 : 41.2 Hz; La1 : 55 Hz; Re2 : 73.4 Hz e Sol2 : seja: Do3 : 130.8 Hz; Sol3 : 196 Hz; Re4 : 293.7 Hz e L´4 : a 97.99 Hz) est˜o em uma raz˜o de 4:3. a a 440 Hz. Como num intervalo de quinta as freq¨ˆnciasue Em 1957, o compositor Henry Brant sugeriu ` fabri- a das notas est˜o numa raz˜o 3:2, poder´ a a ıamos pensar que, cante e pesquisadora de violinos Carleen Hutchins cons- para fabricar uma viola bastaria ent˜o aumentar as di- a truir uma fam´ de oito instrumentos de corda com ılia mens˜es de um violino num fator 1.5. Como o vio- o tamanhos em escala, de forma que a afina¸˜o entre um ca lino tem 60 cm de comprimento, a viola “ideal” teria instrumento e o seguinte fosse exatamente meia oitava. ent˜o cerca de 90 cm. Por´m esta viola seria um ins- a e Hutchins aceitou o desafio e, com ajuda de J. Schel- trumento demasiado grande para ser apoiado sobre o leng e do f´ısico F. Saunders, constru´ ıram uma fam´ ılia ombro. O tamanho de uma viola moderna ´ de 71 cm, e de oito novos instrumentos, desde um contrabaixo de ou seja cerca de 17% maior que um violino, mas suas quase dois metros de altura at´ um pequeno violino de e ressonˆncias principais s˜o de 20% a 40% mais baixas a a 48 cm de comprimento afinado uma oitava acima do vio- ´ que as do violino (Tabela 1). E importante salientar lino normal. A empreitada demorou cerca de 10 anos que este aumento na dimens˜o da viola cobre apenas a em ser completada. A id´ia da fam´ de instrumentos e ılia uma parte da diminui¸˜o da freq¨ˆncia da cavidade, ca ue n˜o era nova. Michael Praetorius descreve em sua obra a sendo o restante conseguida utilizando-se cordas mais de 1619 Syntagma Musicum, uma fam´ de sete vio- ılia grossas. linos com aproximadamente as mesmas afina¸˜es que co Com o violoncelo ocorre a mesma coisa. A afina¸˜o ca Hutchins e seus colegas estavam construindo. O pri- de suas cordas (Do2 : 65.4 Hz; Sol2 : 97.99 Hz; Re3 : meiro concerto p´blico do octeto de cordas foi realizado u 148.8 Hz e L´3 : 220 Hz) ´ exatamente uma oitava mais a e em 1962 na cidade de New York. Por este trabalho Car- grave que as da viola. Um violoncelo “ideal”, ou seja leen Hutchins recebeu um doutorado honor´rio e um a um instrumento com o mesmo timbre do violino, de- prˆmio da Acoustical Society of America. O trabalho e veria ter o dobro do tamanho da viola “ideal”, ou seja descrevendo a constru¸˜o do octeto foi publicado na re- ca 180 cm. Na pr´tica o tamanho do violoncelo ´ de cerca a e vista Journal of Acoustical Society of America [2,3] e de 124 cm. Assim, apesar de pertencer a mesma fam´ ılia na revista Physics Today [41]. Uma amostra do som de instrumentos, a viola e o violoncelo n˜o podem ser a deste curioso conjunto de cordas pode ser encontrada considerados apenas “violinos grandes”, sen˜o que eles a na p´gina web do Hutchins Consort [42]. a
  • 6. 2305-6 Donoso et al. Tabela 1 - Afina¸ao das quatro cordas dos instrumentos da fam´ do violino e do contrabaixo; comprimento t´ c˜ ılia ıpico dos instrumentos e o fator de escala entre eles considerando o violino como dimens˜o unit´ria; e freq¨ˆncia de ressonˆncia da a a ue a cavidade do instrumento (modo A0 ). I Afina¸˜o ca Comprimento (cm) Fator de escala Freq¨ˆncia de ressonˆncia ue a Violino I Sol3 , Re4 , L´4 , Mi5 a 59-60 1.00 270-280 Hz Viola Do3 , Sol3 , Re4 , L´4 a 70-71 1.17 ∼ 220 Hz Violoncelo Do2 , Sol2 , Re3 , L´3 a 124 2.13 ∼ 100 Hz Contrabaixo Mi1 , L´1 , Re2 , Sol2 a 178-198 3.1-3.4 ∼ 60 Hz 2.3. For¸as est´ticas e tens˜o das cordas c a a forma arqueada. O instrumento possui tamb´m uma e ripa de madeira, a barra harmˆnica (bass bar ) colada o As cordas se estendem desde as cravelhas at´ a extre- e ´ por baixo do tampo superior logo abaixo da perna di- midade do violino (Fig. 1). E importante salientar que reita do cavalete (no lado correspondente as cordas mais o unico ponto de contato entre as cordas e o tampo ´ graves) e orientada no sentido das cordas (Fig. 1). Esta superior do instrumento ´ o cavalete. Esta disposi¸˜o e ca barra harmˆnica tem uma fun¸˜o ac´stica, transmitir o ca u das cordas no violino resulta numa for¸a consider´vel c a as vibra¸˜es a todo o corpo do violino, fazendo com que co sobre a superf´ do tampo superior (Fig. 4). Podemos ıcie uma grande ´rea do tampo oscile em fase, o que ´ espe- a e estimar o valor desta componente vertical utilizando a cialmente importante para os sons graves que possuem express˜o da freq¨ˆncia de vibra¸˜o de uma corda ten- a ue ca comprimentos de onda grandes. A barra harmˆnica o sionada descoberta por Mersenne em 1636 [43-45] tem tamb´m uma fun¸˜o estrutural fornecendo suporte e ca mecˆnico ` estrutura do instrumento. a a 1 T f= , (1) A alma do violino (sound post), um palito cil´ ındrico 2L µ como um l´pis ´ colocado entre os dois tampos logo a e onde f ´ a freq¨ˆncia, T ´ a tens˜o, L ´ o comprimento e ue e a e abaixo da perna esquerda do cavalete (Fig. 1). As pes- e µ ´ a densidade linear da corda. e quisas desenvolvidas por Savart no s´c. XIX mostraram e que a fun¸˜o da alma n˜o se limita a transmitir as vi- ca a bra¸˜es do tampo superior para o inferior. Ela tamb´m co e altera os modos vibracionais de ambos os tampos ao impor um ponto nodal praticamente estacion´rio nos a pontos de contato entre eles [2]. A alma tamb´m ajuda e Figura 4 - Diagrama de for¸as utilizado para calcular a re- c a suportar a for¸a exercida pelas cordas sobre o tampo c sultante vertical sobre o tampo superior do violino. A figura indica as distˆncias desde o cavalete at´ as extremidades do a e superior, distribuindo parte do esfor¸o ao tampo infe- c ´ rior. E importante salientar que a alma n˜o est´ colada a a instrumento (seguindo o comprimento das cordas) e a altura do cavalete. nos tampos, ela apenas se mant´m em sua posi¸˜o de- e ca vido ` for¸a exercida pelas cordas sobre o cavalete e o a c Como a freq¨ˆncia da nota L´ ´ 440 Hz, o compri- ue ae tampo superior. mento da corda do violino ´ 32.5 cm e sua massa por e Sim´trico em aparˆncia externa, o violino tem suas e e unidade de comprimento ´ ∼10−2 g/m, a tens˜o dessa e a propriedades ac´sticas fortemente influenciadas por es- u corda ´ T ≈ 80 N. Supondo que a tens˜o das outras e a tes dois elementos ocultos no seu interior, a alma e a cordas ´ da mesma ordem de grandeza - o qual ´ ver- e e barra ac´stica. De fato, a alma tem uma importˆncia u a dade apenas para as duas cordas centrais [10] - a tens˜o a primordial no instrumento sendo que pequenas mu- total resultante das quatro cordas no instrumento ser´ a dan¸as em sua posi¸˜o, na sua forma ou na qualidade c ca cerca de 250-300 N. Para calcular a for¸a vertical sobre c da madeira podem alterar significativamente o timbre o tampo superior do violino devido a tens˜o das cordas a e a sonoridade do instrumento [Fig. 7.10 na Ref. 22]. resolvemos o diagrama de for¸as mostrado na Fig. 4 c O seu posicionamento ´ uma das tarefas mais delicadas e ´ do trabalho de um luthier. E importante salientar que TA cos θ1 − TB cos θ2 = 0, se a alma for removida da caixa ac´stica, o timbre do u violino fica semelhante ao de um viol˜o.a TA senθ1 − TB senθ2 + F = 0. (2) Os valores dos ˆngulos θ1 e θ2 dependem da altura a 2.4. Elasticidade das cordas do cavalete. No violino do autor (JPD), por exemplo, θ1 ∼ 6◦ e θ2 ∼ 13◦ [46]. Supondo TA = TB ≈ 260 N, Finalizamos esta se¸˜o fazendo algumas considera¸˜es ca co obtemos a for¸a vertical, F ≈ 90 N. Este valor equivale c sobre a elasticidade, ou melhor, a pouca elasticidade a uma carga de 9 kg sobre o delicado tampo superior das cordas de violino, j´ que estas s˜o confeccionadas de a a [5,22,36]. Para distribuir esta carga, de forma que o c ´ a¸o. E surprendente para n´s, violinistas, a facilidade o tampo n˜o ceda com o passar do tempo, ele recebe uma a com que se rompem as cordas quando afinamos o instru-
  • 7. A f´ ısica do violino 2305-7 mento apertando as cravelhas. Como mencionado ante- pos dos violinos, os chamados modos 1, 2 e 5. Por causa riormente, as cordas s˜o afinadas ajustando-se a tens˜o a a da forma das linhas nodais, os luthiers chamam o modo delas com as cravelhas at´ o valor da freq¨ˆncia dese- e ue 2 de modo-X e o modo 5 de modo-O (ring mode). Es- jada (Eq. (1)). As cordas do violino s˜o confeccionadas a tes modos resultam da combina¸˜o dos modos (2,0) e ca em a¸o. O coeficiente de elasticidade do a¸o (m´dulo c c o (0,2) de uma placa rectangular [13]. As freq¨ˆncias des- ue de Young) vale Y = 200 GPa (contra Y ≈ 3 GPa tes modos 1, 2 e 5, medidas no tampo superior de um do nylon!). A tens˜o de ruptura ou resistˆncia de a e violino s˜o 89 ± 10, 165 ± 24 e 304 ± 34 Hz, respecti- a tra¸˜o do a¸o ´ (F/A) = 520 MPa. Considerando-se, ca c e vamente [10]. Estes valores correspondem aproximada- por exemplo, a corda M´ do violino, cujo diˆmetro ´ ı a e mente a rela¸˜o 1:2:4, uma seq¨ˆncia harmˆnica muito ca ue o aproximadamente 0.2 mm (´rea da se¸˜o transversal: a ca apreciada em m´sica. De fato, quando a raz˜o entre u a πr2 ∼ 3 × 10−8 m2 ), e supondo-se uma tra¸˜o apli- ca as freq¨ˆncias corresponde ` raz˜o entre dois n´meros ue a a u cada de F ≈ 63 N, ` deforma¸˜o tolerada pela corda a ca inteiros pequenos, os sons produzidos s˜o agrad´veis a a pode ser estimada atrav´s da express˜o [44,45] e a [43, 44 47]. As freq¨ˆncias correspondentes aos modos ue 1, 2 e 5 no tampo inferior s˜o 112 ± 12, 171 ± 20 e a ∆L F/ 369 ± 36 Hz, respectivamente. Neste caso, observa-se = A. (3) L Y que a raz˜o 171:369 corresponde aproximadamente a a Substituindo estes parˆmetros na Eq. 3, obtemos a uma raz˜o 1:2 (uma oitava). A experiˆncia tem mos- a e (∆L/L) ∼ 1%. Isto significa que a corda Mi vai estourar trado que, nos violinos de boa qualidade, os modos 2 se a deforma¸˜o relativa for maior que 1%. Como o ca e 5 de ambos os tampos se encontram separados por comprimento da corda do violino, desde a cravelha at´ e uma oitava (ou seja, um fator dois na freq¨ˆncia). Os ue o microafinador, ´ de cerca de 34 cm, basta uma volta e luthier utilizam plainas para trabalhar as madeiras dos na cravelha para atingir esse 1% de tolerˆncia. De fato, a tampos, e testam estes trˆs modos retorcendo os re- e como o diˆmetro do eixo da cravelha ´ de 0.5 cm, uma a e feridos tampos com as m˜os e dando batidinhas com a volta na cravelha encurta a corda em aproximadamente os dedos em lugares determinados [7,14,38]. Uma des- 3 mm, chegando-se assim pr´ximo ` tens˜o de ruptura o a a cri¸˜o das t´cnicas modernas utilizadas para testar os ca e do a¸o. Ao apertar-se um pouco mais a cravelha, a c tampos pode ser encontrada na obra Acoustics for Vio- corda rompe-se (Fig. 3). Por isso que os violinistas lin and Guitar Makers [10]. Estes modos vibracionais n˜o costumam afinar seus instrumentos girando as cra- a tamb´m tˆm sido estudados pelo m´todo matem´tico e e e a velhas, preferindo fazˆ-lo atrav´s dos micro-afinadores e e de an´lise de elementos finitos [48]. a colocados nas extremidades das cordas (se¸˜o 5.1). ca 3. Resposta ac´ stica do violino u 3.1. Modos de vibra¸˜o dos tampos ca Os tampos dos violinos n˜o s˜o meras pe¸as de ma- a a c deira. Elas precisam se comportar como verdadeiras t´buas harmˆnicas, com modos normais de vibra¸˜o cu- a o ca jas freq¨ˆncias formam uma seq¨ˆncia harmˆnica (ou ue ue o seja, que as freq¨ˆncias dos sobretons sejam m´ltiplos ue u inteiros de uma freq¨ˆncia fundamental). Nos cursos de ue Figura 5 - Configura¸ao das linhas nodais para os modos c˜ gradua¸˜o descreve-se o movimento da corda em termos ca de vibra¸ao 1, 2 e 5 do tampo inferior de um violino obti- c˜ de ondas estacion´rias, que correspondem aos modos a das pelo m´todo de Chladni. As figuras caracter´ e ısticas para normais de vibra¸˜o [43]. Da mesma forma se podem ca cada freq¨ˆncia correspondente a um modos normal apare- ue descrever as ondas estacion´rias bidimensionais esta- a cem ao colocar-se em vibra¸ao um tampo no qual foi espa- c˜ belecidas numa placa vibrante. Cada uma destas on- lhada areia fina na sua superf´ ıcie. Esta areia se acumula das estacion´rias corresponde a um modo normal de vi- a formando mont´ ıculos sobre as linhas nodais, onde a ampli- bra¸˜o (ou ressonˆncia), sendo que a menor freq¨ˆncia ca a ue tude de vibra¸ao ´ nula, permitindo a visualiza¸ao das li- c˜ e c˜ ´ chamada de fundamental e as demais s˜o sobretons e a nhas nodais e a identifica¸ao dos modos normais de vibra¸˜o c˜ ca ou harmˆnicos. Estes modos normais de vibra¸˜o po- o ca [14,43]. Figura adaptada das Refs. [7] e [38]. dem ser colocados em evidˆncia pelo m´todo de Chladni e e Uma vez prontos os tampos, procede-se a montagem mencionado anteriormente. Foi este o m´todo utilizado e da caixa ac´stica. As placas s˜o coladas `s ilhargas, u a a por Savart em 1830 para determinar a diferen¸a tonal c colocam-se a alma e a barra ac´stica, e se perfuram os u na freq¨ˆncia fundamental das placas superior e inferior ue dois orif´ ıcios - os “f ” - no tampo superior. Tudo isto dos violinos [7]. altera significativamente os modos normais de vibra¸˜o ca A Fig. 5 mostra os diagramas de Chladni para os dos tampos al´m de aparecerem novas ressonˆncias de- e a trˆs modos mais importantes da afina¸˜o tonal dos tam- e ca vido ao acoplamento entre os tampos atrav´s das ilhar- e
  • 8. 2305-8 Donoso et al. gas e da alma, assim como pelo acoplamento entre a madeira da caixa e os modos de vibra¸˜o do ar den- ca BA A tro dela. Um exemplo documentado [27] mostra que o ωo = =c . (5) V ρl lV tampo ´ primeiramente afinado em uma freq¨ˆncia ao e ue redor de 377 Hz, depois de serem feitos os “f ” esse valor cai para cerca de 311 Hz, por´m depois de colocada a e barra harmˆnica e devidamente ajustada, a freq¨ˆncia o ue do tampo muda para 376 Hz. A caixa ressoar´ em a maior ou menor grau dependendo da semelhan¸a entrec as freq¨ˆncias transmitidas pelo cavalete e as freq¨ˆncia ue ue naturais de vibra¸˜o da pr´pria caixa. Uma das primei- ca o ras descobertas de F. Saunders foi que nos bons ins- trumentos existem duas ressonˆncias cujas freq¨ˆncias a ue correspondem as notas das duas cordas centrais (R´ e e L´ ) do violino. A primeira ressonˆncia corresponde a a a um modo de vibra¸˜o do tampo superior (chamado ca modo T1 ; se¸˜o 3.3) coincide com a freq¨ˆncia da nota ca ue L´ (440 Hz). A segunda ressonˆncia correspondente a a a freq¨ˆncia natural de vibra¸˜o do ar encerrado na caixa ue ca ac´stica (chamado modo A0 ) coincide com a nota R´ u e (294 Hz). Uma das caracter´ ısticas dos bons instrumen- Figura 6 - O ressoador de Helmholtz e a curva de ressonˆncia a tos ent˜o, ´ que estas duas ressonˆncias estejam sepa- a e a do ar dentro da caixa ac´stica do violino. A medida foi u radas por um intervalo de quinta [5,14,41]. realizada com as duas f abertas no violino do autor [46] seguindo o procedimento experimental descrito no Quadro 1. O gr´fico mostra o quadrado da amplitude do sinal cap- a 3.2. Ressonˆncia de Helmholtz a tado pelo microfone em fun¸ao da freq¨ˆncia de excita¸ao c˜ ue c˜ do gerador. Os dois orif´ ıcios em forma de “f ” permitem - em pri- meira aproxima¸˜o - considerar a caixa do violino como ca Cremer e Vardergrift aplicaram esta express˜o para a um ressoador de Helmholtz. Este ressoador consiste de o caso do violino [27,53]. Neste caso, as “f ” repre- uma cavidade de volume V cheia de ar e conectada ao sentam a boca da cavidade, l a espessura do tampo exterior por um tubinho de comprimento l e ´rea da a superior e V ´ o volume do ar encerrado no corpo do e se¸˜o reta A (Fig. 6). Quando este ressoador oscila, ca instrumento (V ≈ 2400 cm3 ). A forma das “f ” pode as colunas de ar se movimentam atrav´s das aberturas e ser aproximada por elipses de ´rea A = πab/4, com a a produzindo oscila¸˜es na press˜o interna da cavidade. co a = 8.5 cm e b = 0.5 cm. Considerando o fato de que, nos Helmholtz, e mais tarde Lord Rayleigh, investigaram violinos, o comprimento efetivo l ´ tipicamente da or- e as freq¨ˆncias de ressonˆncia desta cavidade. Quando ue a dem de1.8b [53], a Eq. (5) fornece ωo ≈ 229 Hz. Este o comprimento de onda da oscila¸˜o λ >> l, o ar no ca valor est´ de acordo com a freq¨ˆncia de ressonˆncia a ue a tubo se comporta como a massa num sistema massa- medida por Vandegrift, que posicionou um altofalante mola enquanto a press˜o ac´stica dentro da cavidade a u num dos orif´ ıcios e um microfone no outro orif´ ıcio. A atua como o elemento el´stico do oscilador [50-52]. A a freq¨ˆncia de ressonˆncia medida com as duas f aber- ue a massa do ar dentro do tubo (Fig. 6) ´ m = ρAl, onde e tas no violino do autor (JPD) ´ de 270 ± 3 Hz (Fig. 6). e ρ ´ a densidade do ar (ρ = 1.3 kg/m3 ). A varia¸˜o de e ca Esta ressonˆncia de Helmholtz ´ chamada tamb´m de a e e press˜o provocada pelo deslocamento da massa de ar a f-hole resonance, cavity resonance, breathing mode ou no tubo ´ dada pela express˜o [44,45] e a main air resonance. Na nomenclatura ac´stica, ela ´ u e rotulada Ao (first air mode) de freq¨ˆncia 270-280 Hz ue ∆V [13,54,55]. Este modo vibracional foi estudado tamb´m e ∆p = −B , (4) pelo m´todo matem´tico de an´lise de elementos fini- e a a V tos [48,56]. Com rela¸˜o ` aproxima¸˜o, de considerar- ca a ca onde ∆V ´ a varia¸˜o de volume resultante do des- e ca se a caixa do violino como um ressoador de Helm- locamento x da massa de ar no tubo, B = ρc 2 ´ o e holtz, Bissinger discutiu recentemente a corre¸˜o na ca m´dulo de elasticidade volumar do ar (B = 1.5 × o freq¨ˆncia deste modo por causa da compliˆncia das ue a 105 N/m2 ), e c ´ a velocidade do som no ar. Como e paredes (an´logo ac´stico da capacitˆncia no oscilador a u a ∆ V = −Ax, a for¸a restauradora que atua sobre a c el´trico, e do inverso da constante da mola num os- e massa m ´ F = −B(A2 /V )x, e a constante el´stica do e a cilador mecˆnico). Esta compliˆncia ´ provocada pela a a e oscilador ´ k = ρc 2 (A/V ). Assim, fazendo-se a analo- e press˜o que atua contra as paredes (n˜o mais consi- a a gia com oscilador massa-mola obtemos a freq¨ˆncia de ue deradas r´ıgidas) reduzindo o amortecimento do sistema ressonˆncia a compreendido pela cavidade e as paredes da cavidade
  • 9. A f´ ısica do violino 2305-9 [22,50,57]. = 0, na ressonˆncia, e a impedˆncia ser´ igual a re- a a a A Tabela 2 ilustra a analogia que existe entre um sistˆncia ac´stica, |Zo | = RA . Desta condi¸˜o obtemos e u ca oscilador mecˆnico, um oscilador el´trico e um sistema a e a freq¨ˆncia de ressonˆncia desta cavidade (Eq. (5)). ue a ac´stico. No caso de um oscilador massa-mola for¸ado u c A express˜o do fator de qualidade, ou fator Q no caso a e amortecido, o m´dulo da impedˆncia ´ o a e ac´stico ´ u e |Z| = b2 + (mω − k/ω)2 , (6) ωo ρl 2ωo ρ onde m ´ a massa, k a constante de for¸a e b a cons- e c Q= ≈ , (9) tante de amortecimento do oscilador. Como a rea- ARA aRA tˆncia mecˆnica ´ nula na freq¨ˆncia de ressonˆncia, a a e ue a (mω − k/ω) = 0, e |Zo | = b. Desta condi¸˜o se obt´m ca e onde, como mencionado anteriormente para o caso do a freq¨ˆncia de ressonˆncia do oscilador (Tabela 2). No ue a violino, A = πab/4 e l ≈ .8b. Da mesma forma que caso do oscilador el´trico - um circuito RLC em s´rie, e e no caso el´trico, o fator Q ac´stico mede tamb´m a e u e por exemplo - o m´dulo da impedˆncia ´ o a e raz˜o entre a energia ac´stica dos modos ressonantes e a u a energia dissipada por ciclo nos elementos dissipativos |Z| = R2 + (ωL − 1/ωC)2 . (7) mecˆnicos, caracterizados por RA . Este n´mero ´ quem a u e vai determinar quanto efetivamente de energia ac´stica u Na freq¨ˆncia de ressonˆncia, a reatˆncia el´trica ue a a e gerada pelo movimento do arco vai ser transformada em ´ nula, (ωL-1/ωC ) = 0, e a impedˆncia ser´ pura- e a a som aud´ ıvel, caracterizando assim a eficiˆncia do instru- e mente resistiva, |Zo | = R. Desta condi¸˜o obtemos a ca 2 mento e conseq¨entemente o conforto na sua execu¸˜o. u ca freq¨ˆncia de ressonˆncia deste circuito, ωo = 1/LC. O ue a O valor de Q da ressonˆncia da Fig. 6, determinado a fator de qualidade ou fator Q, que ´ uma medida da e a partir da largura de linha a meia altura, ∆ω, ´ e seletividade da ressonˆncia vale Q = ω o L/R. Um valor a Q = ωo /∆ω ≈ 14 ± 1. Valores de Q entre 11 e 20 tem de Q alto indica uma curva de ressonˆncia mais aguda. a sido medidos para o modo Ao em violinos [53,58]. Sub- Al´m disso, o fator de qualidade Q caracteriza tamb´m e e stituindo este valor de Q = 14 na Eq. (9), calculamos o o quanto a tens˜o nos componentes reativos (capacitor a valor da resistˆncia ac´stica, obtendo RA ≈103 kg/m3 s. e u ou indutor) ´ maior que a tens˜o no elemento dissipa- e a Como o volume do ar encerrado na caixa ac´stica do u tivo (resistor), e por isso ´ tamb´m chamado de “coe- e e violino ´ V ≈ 2.4 × 10−3 m3 , o valor da impedˆncia e a ficiente de sobretens˜o”. No caso do sistema ac´stico, a u ac´stica na ressonˆncia ´ |Zo | ∼ 3 kg/s. Este va- u a e especificamente uma cavidade ressonante, o m´dulo da o lor esta de acordo com o obtido por Jansson que, num impedˆncia ´ a e estudo de 25 violinos de alta qualidade, achou um valor 2 m´dio da impedˆncia para o modo Ao , de Zo ≈ 2.4 kg/s e a 2 ρl B ´ [59]. E importante salientar que a abordagem utilizada |Z| = RA + ω − . (8) A Vω nesta an´lise da ressonˆncia ac´stica da caixa do vio- a a u Da mesma forma como nos sistemas mecˆnico e a lino permitiu obter todos os parˆmetros da express˜o a a el´trico, a reatˆncia ac´stica ´ nula, (ωρl/A-B/ωV ) e a u e da impedˆncia ac´stica na Tabela 2. a u Tabela 2 - Equa¸ao dinˆmica, m´dulo da impedˆncia e freq¨ˆncia de ressonˆncia de um oscilador mecˆnico (sistema massa- c˜ a o a ue a a mola), um oscilador el´trico (circuito RLC ) e um sistema ac´stico (cavidade ressonante). Parˆmetros: m indica a massa, k a e u a constante de for¸a e b a constante de amortecimento do oscilador mecˆnico; L a indutˆncia, R a resistˆncia, C a capacitˆncia c a a e a e q a carga el´trica no sistema el´trico; ρ indica a densidade do ar, l o comprimento do tubo, A a ´rea do orif´ e e a ıcio, RA a resistˆncia ac´stica (R ≡ RA /A), Bo m´dulo volumar (bulk modulus) do ar, V o volume da cavidade de Helmholtz e x o e u o deslocamento do ar. OsciladorI Equa¸˜o dinˆmica ca a Impedˆncia a Freq¨ˆncia de ressonˆncia ue a I d2 x dx k Mecˆnico I a m 2 +b + kx = F (t) |Z| = b2 + (mω − k/ω)2 ω2 = dt dt m d2 q dq q 1 Circuito el´trico e L +R + = ε(t) |Z| = R2 + (ωL − 1/ωC)2 ω2 = dt2 dt C LC 2 d2 x dx BA ρl B BA Sistema ac´ stico u ρl +R + x = P (t) |Z| = 2 RA + ω − ω2 = dt2 dt V A Vω V ρl 3.3. Modos de vibra¸˜o do corpo ca receram as t´cnicas ´pticas de interferometria e de ho- e o lografia [13,14,60]. Estes modos foram rotulados pelo As pesquisas sobre os modos de vibra¸˜o dos violinos ca Prof. Erik Jansson de Estocolmo, de acordo com o prin- ganharam for¸a a partir da d´cada dos 70, quando apa- c e cipal elemento vibrante. Assim, os modos do ar s˜o a
  • 10. 2305-10 Donoso et al. identificados como A0 e A1 . Estes modos foram visua- 3.4. O cavalete lizados atrav´s de t´cnicas hologr´ficas [13,54] e foram e e a Como mencionado anteriormente, a principal fun¸˜o doca identificados tamb´m em experiˆncias espec´ e e ıficas, nas cavalete ´ transformar o movimento da vibra¸˜o das e ca quais se introduz h´lio, di´xido de carbono e outros e o cordas - paralela ao tampo superior - em for¸as apli- c gases no corpo do violino. Devido a diferen¸a na velo- c cadas a cada um dos dois p´s, as quais atuam per- e cidade do som destes gases em rela¸˜o ao ar (259 m/s ca pendiculares ao tampo superior do instrumento. Em no CO2 e 965 m/s no He, contra 331 m/s no ar a 0 ◦ C) outras palavras, sua fun¸˜o ´ “girar” a for¸a trans- ca e c observou-se que a introdu¸˜o destes gases na cavidade ca versal da corda vibrante em for¸as normais aplicadas c deslocava a freq¨ˆncia do modo A0 , de 270 Hz (no ar) ue ao corpo do instrumento. Observa¸˜es feitas por Min- co para 218 Hz no CO2 e 820 Hz no H´lio [55,61]. e naert & Vlam em 1937 mostraram que o cavalete tem Os modos do corpo s˜o rotulados C1 , C2 , etc. No a seus pr´prios modos de vibra¸˜o, e que estes n˜o est˜o o ca a a modo mais baixo (C1 ) o violino vibra num modo seme- apenas limitados a seu plano, sen˜o que compreendem a lhante ao da flex˜o de uma barra livre (bending mode) a vibra¸˜es longitudinais e de tor¸˜o [13,23]. Nos anos co ca com uma linha nodal perto do cavalete. Nos modos ro- 70, a t´cnica de interferometria hologr´fica permitiu e a tulados C3 e C4 , os tampos se movimentam em fase e visualizar seus modos normais de vibra¸˜o (Fig. 8) ca s˜o muito semelhantes - na sua forma - aos tres modos a [27]. As duas ressonˆncia principais foram observadas a de vibra¸˜o dos tampos livres, os modos 2 e 5 (modos ca em ∼3000 Hz e ∼4500 Hz (alguns autores a situam X e O) mencionados anteriormente (se¸˜o 3.1). Por ca em 6000 Hz) [13,27]. Estas ressonˆncias est˜o dentro a a ultimo, os modos dos tampos s˜o rotulados T1 , T2 , etc. ´ a da regi˜o de freq¨ˆncias de interesse para a sonoridade a ue O modo T1 ´ um modo de vibra¸˜o do tampo superior e ca musical do violino [62,63]. A ressonˆncia em 3000 Hz, a e envolve tamb´m o movimento do ar pelas “f ”. Este e que coincide com a regi˜o de maior sensibilidade do ou- a modo, assim como o C3 , ´ considerado muito eficiente e vido, vai-se refletir na resposta ac´stica do instrumento u para a radia¸˜o de som [54]. A vibra¸˜o ´ assim´trica ca ca e e que apresenta um pico nessa regi˜o (se¸˜o 3.5). a ca por causa da alma do violino, que est´ localizada numa a linha nodal de T1 e num n´ de A1 (Fig. 7). o Figura 8 - Modos normais de vibra¸ao do cavalete visua- c˜ lizados por t´cnica de interferometria hologr´fica. A pri- e a meira ressonˆncia, observada em 3000 Hz, ´ devida a os- a e cila¸oes no plano do cavalete semelhantes a um balan¸o so- c˜ c bre as pernas. A segunda ressonˆncia, observada em 4.5 a kHz, se deve a movimentos sim´tricos verticais. Nesta os- e cila¸ao a parte superior do cavalete se move verticalmente c˜ enquanto a parte inferior se flexiona para cima e para baixo. Estes movimentos n˜o seriam poss´ a ıveis sem os orif´ ıcios la- terais (os ouvidos) do cavalete. Adaptado das Refs. [13] e Figura 7 - (a) Admitˆncia ac´stica em fun¸ao da freq¨ˆncia a u c˜ ue [27]. de um violino Guarneri del Gesu, mostrando as posi¸oes das c˜ Um dos primeiros esfor¸os por descrever fisicamente c ressonˆncias do ar (Ao ), do corpo (C3 e C4 ) e do tampo su- a perior (T1 ). (b) Desenho dos modos de vibra¸ao C3 , C4 e T1 c˜ o comportamento vibracional do cavalete foi realizado visualizados por t´cnicas hologr´ficas. As linhas mais gros- e a por Hacklinger, que propˆs um modelo simples de os- o sas no desenho indicam linhas nodais enquanto os s´ ımbolos cilador mecˆnico massa-mola simples, caracterizado por a +/-indicam a dire¸ao dos movimentos de oscila¸ao. Adap- c˜ c˜ uma freq¨ˆncia de ressonˆncia de 2850 Hz, uma massa ue a tado das Refs. [10] e [13]. efetiva de 0.5 g e uma constante de for¸a k = 1.66 × c
  • 11. A f´ ısica do violino 2305-11 105 N/m [64]. Cremer descreveu o cavalete por meio de modelos mecˆnicos que combinam osciladores massa- a mola e osciladores de tor¸˜o [27]. Boutillon carate- ca rizou a dinˆmica do cavalete nas trˆs dimens˜es do a e o espa¸o em termos da admitˆncia mecˆnica tridimen- c a a sional. Esta admitˆncia mecˆnica corresponde ` raz˜o a a a a entre velocidade e for¸a de excita¸˜o (se¸˜o 3.5) [31]. c ca ca Num interessante trabalho publicado em 2002, o f´ ısico japonˆs Matsutani visualizou por m´todos fotoel´sticos e e a as tens˜es geradas pelas cordas e pela arcada num ca- o valete de violino. As experiˆncias foram realizadas em e cavaletes de pl´stico, moldados com e sem os orif´ a ıcios (o cora¸˜o e os ouvidos). O autor conclui que os ouvi- ca dos do cavalete refor¸am as freq¨ˆncias corresponden- c ue tes ao 3◦ harmˆnico da nota Mi5 assim como o 2◦ e 6◦ o harmˆnico da nota L´4 , enquanto o cora¸˜o refor¸a o o a ca c ◦ ◦ 3 e 6 harmˆnicos desta ultima nota [65]. o ´ Uma outra importante fun¸˜o do cavalete ´ de atuar ca e como filtro ac´stico, suprimindo certas freq¨ˆncias in- u ue desej´veis. Enquanto as ressonˆncias em 3000 Hz e a a 4500 Hz refor¸am o som do instrumento nessas fre- c q¨ˆncias, a depress˜o entre as duas ressonˆncias reduz ue a a o tom nasal indesej´vel na regi˜o entre elas [8]. Uma a a outra manifesta¸˜o da fun¸˜o de filtro ac´stico do ca- ca ca u valete ocorre na regi˜o entre 1300 e 1800 Hz. Em 1978, a Figura 9 - (a) Amplitude do som de um violino no intervalo Hacklinger observou que at´ os 1200 Hz, o som do vio- e de 1 a 4 kHz, mostrando a regi˜o de som nasal indesej´vel a a lino ´ cheio e muito valorizado; acima dos ∼2000 Hz e (adaptado de ref. [64]). (b) Modelo mecˆnico massa-mola a o som ´ claro e brilhante, mais entre 1300 e 1800 Hz e para o cavalete, consistente numa massa (m) suportada por aparecem sons nasais, indesej´veis, que precisam ser a duas molas de constante de for¸a k. Este sistema tem dois c suprimidos [64]. A Fig. 9 mostra que efetivamente a modos normais de vibra¸˜o, de freq¨ˆncias ω 2 = 2k/m e ca ue 1 ω 2 = 6k/m, respectivamente. 2 amplitude do som tem uma redu¸˜o na regi˜o de 1300 ca a a 1800 Hz num violino. Modificando o cavalete, o autor O parˆmetro b, a constante de amortecimento do a verificou que esta pe¸a atua como um verdadeiro filtro c oscilador, pode ser obtido das medidas da admitˆncia a ac´stico passa baixas nessa regi˜o, bloqueando as altas u a da ressonˆncia que se estende dos 1.8 kHz at´ os a e freq¨ˆncias. Podemos parametrizar o comportamento ue 3.5 kHz-regi˜o chamada de bridge hill, Y = 0.22 s/kg a [57]. Como o m´dulo da impedˆncia na ressonˆncia o a a deste filtro fazendo uma analogia com o bem conhe- ´ exatamente o valor de b (em terminologia el´trica, e e cido filtro el´trico passa baixas estudado nos cursos de e esta impedˆncia ´ puramente resistiva) temos ent˜o, a e a F´ısica B´sica. Neste filtro el´trico - uma combina¸˜o a e ca |ZBH | = b ≈ 4.5 kg/s. A freq¨ˆncia de corte calcu- ue de um resistor (resistˆncia R) e um indutor (indutˆncia e a lada com a Eq. (10) ´, fc ≈ 1.3 kHz, o que corresponde e L) - verifica-se que a tens˜o no resistor (VR ) ´ atenu- a e bem com a atenua¸˜o observada na amplitude do sinal ca ada para freq¨ˆncias acima da chamada freq¨ˆncia de ue ue do violino nessa freq¨ˆncia (Fig. 9). A fun¸˜o do cava- ue ca corte, fc = R/L [34,36]. Adotamos o modelo mecˆnicoa lete como filtro ac´stico ´ bem mais complexa do que u e massa-mola da Fig. 9 para o cavalete, consistindo de foi abordada nesta se¸˜o. Para mais detalhes sobre este ca uma massa efetiva (m) suportada em duas molas de t´pico, recomendamos os trabalhos publicados por G. o constante de for¸a k. Considerando as freq¨ˆncias de c ue Bissinger [57] e J. Woodhouse [63]. ressonˆncia do cavalete, em 3060 Hz e 4500 Hz, obte- a mos k ≈ 3 × 105 N/m e m ≈ 1.65 g para o oscilador. A 3.5. A resposta ac´ stica do violino u express˜o para a freq¨ˆncia de corte do filtro mecˆnico a ue a fc , ´ obtida da analogia entre os osciladores mecˆnico e a A impedˆncia mecˆnica de um sistema f´ a a ısico sujeito a e el´trico (Tabela 2) e for¸as motrizes ´ definida como a raz˜o da for¸a mo- c e a c triz pela velocidade associada ao deslocamento. Sua unidade, no sistema internacional, ´ kg/s [66]. Ela lem- e 1 3b bra, no an´logo el´trico, a rela¸˜o entre a for¸a ele- a e ca c fc = . (10) 2π m tromotriz ε e a corrente I por ela gerada em uma re-
  • 12. 2305-12 Donoso et al. sistˆncia R. Uma das formas de representar a resposta e ac´stica de 25 violinos de alta qualidade fabricados u em freq¨ˆncia (ou resposta espectral) de um oscilador ue entre 1730 e 1894 por luthiers de It´lia, Fran¸a, Ho- a c mecˆnico ´ registrar a admitˆncia mecˆnica em fun¸˜o a e a a ca landa e Alemanha. Ele identificou as ressonˆncias Ao , a da freq¨ˆncia. Esta admitˆncia mecˆnica, o inverso ue a a C2 , C3 e T1 em quase todos os instrumentos e conclui da impedˆncia, corresponde ` raz˜o entre velocidade a a a que a ressonˆncia C3 e a presen¸a de um bridge hill pro- a c e for¸a de excita¸˜o. A parte real da admitˆncia tem c ca a nunciado seriam as maiores caracter´ ısticas na resposta um valor m´ximo na ressonˆncia, enquanto que a im- a a ac´stica de um violino de alta qualidade [59]. u pedˆncia fica igual ao termo dissipativo determinado a pela constante de amortecimento, b [13]. A metodologia da medida de admitˆncia (tamb´m a e 4. Movimento ondulat´rio da corda o chamada de mobilidade) como resposta ac´stica de vio- u friccionada pelo arco linos foi estabelecida nos anos 90. Nestas medidas, o cavalete ´ excitado por uma pequena batida no canto e 4.1. O arco superior do cavalete, feita por um martelinho padr˜o a O arco de violino ´ feito de fios de crina de cavalo presos e disposto como um pˆndulo. A vibra¸˜o do cavalete e ca a extremidades de uma pe¸a de madeira longa e curva c ´ registrada atrav´s do sinal gerado por um pequeno e e (Fig. 1). Observadas no microsc´pio se distinguem as o im˜ colado no canto oposto do cavalete. Este sinal a pequenas escamas orientadas que determinam a fric¸˜o ca ´ detectado por um sensor magn´tico posicionado a e e da crina com a corda (Fig. 3). Como a fric¸˜o gerada ca poucos mil´ ımetros do im˜. Um analisador registra o a depende da orienta¸˜o destas escamas, metade das cri- ca pulso da for¸a de excita¸˜o e o sinal resultante da ve- c ca nas ´ orientada com as escamas numa dire¸˜o e a outra e ca locidade da vibra¸˜o. A magnitude e a fase da admi- ca metade orientada na outra dire¸˜o, de forma a obter a ca tˆncia s˜o ent˜o calculadas em fun¸˜o da freq¨ˆncia a a a ca ue mesma fric¸˜o nas arcada para cima ou para baixo. As ca [10,54,59]. Este ´ um m´todo pulsado, e tem como prin- e e crinas s˜o tensionadas com ajuda de um parafuso loca- a cipal vantagem o tempo reduzido do experimento, for- lizado no tal˜o do arco. Costuma-se afrouxar a tens˜o a a temente influenciado pelo desenvolvimento de m´todos e quando o arco n˜o est´ sendo usado para preservar a a a de an´lise de problemas ac´sticos baseados no forma- a u flexibilidade da madeira. Originalmente de curvatura ´ lismo de Fourier. E conveniente notar que os proble- cˆncava, o arco passou por uma silhueta quase retil´ o ınea mas de ac´stica, propaga¸˜o de sons e reconhecimento u ca at´ a incorpora¸˜o da forma atual, convexa. Foi o fa- e ca de pron´ncia foram as molas propulsoras do desenvol- u bricante de arcos francˆs Fran¸ois Tourte (1747-1835) e c vimento das t´cnicas de an´lise baseadas no formalismo e a que vergou a madeira do arco em sentido contr´rio, de a de Fourier discreto, que culminou com a proposi¸˜o ca forma que a tens˜o das crinas se mantivesse inalterada a da formula¸˜o r´pida da transformada de Fourier dis- ca a quando o executante pressionasse o arco contra as cor- creta, na d´cada de 1960, hoje conhecida como FFT e das. Dessa forma o executante consegue um som firme (do inglˆs Fast Fourier Transform). Isso permitiu que e e homogˆneo em qualquer lugar do arco em que esteja e essas an´lises pudessem ser feitas de forma num´rica, a e tocando. Foi Tourte tamb´m que fixou as dimens˜es e o utilizando-se computadores. ideais para o arco, que no violino variam entre 74 e A Fig. 7 mostra a resposta ac´stica (admitˆncia) u a 75 cm de comprimento, com o ponto de equil´ ıbrio (fiel) de um violino Guarneri del Gesu, mostrando as res- a cerca de 19 cm do tal˜o. Algumas inova¸˜es do arco a co sonˆncias do ar (Ao ), as do corpo (C3 e C4 ) e uma do a s˜o atribu´ a ıdas igualmente ao ingles John Dodd (1752- tampo superior (T1 ) [13]. Como mencionado anterior- 1839) [28] mente, estes modos s˜o considerados os mais impor- a A madeira mais utilizada na fabrica¸˜o de arcos ca tantes na regi˜o de baixas freq¨ˆncias de um violino. a ue para instrumentos de corda ´ o pau-brasil ou Pernam- e A ressonˆncia do ar na cavidade, em 270-280 Hz, com- a buco (Caesalpinia echinata). Foram os irm˜os Tourte a pensa a incapacidade de um tampo dessas dimens˜es o em Paris, que consagraram o pau-brasil como material emitir radia¸˜o sonora eficientemente nessa regi˜o. ca a ideal para a confec¸˜o de arcos, pois este re´ne carac- ca u A ressonˆncia entre 1.8 kHz e 3.5 kHz - chamada a ter´ısticas ideais de densidade, rigidez, flexibilidade, ca- de bridge hill - ´ atribu´ a movimentos cooperativos e ıda pacidade de manter a curvatura e beleza. A colora¸˜o ca entre o tampo superior do violino e o cavalete. Este alaranjada do seu cerne decorre da presen¸a de brasi- c bridge hill coincide com as ressonˆncias pr´prias do ca- a o lina (C16 H14 O5 ) que oxida com a exposi¸˜o ao ar, as- ca valete, em 3 kHz e 4.5 kHz (se¸˜o 3.4). O pico apre- ca sumindo a colora¸˜o vermelha-coral. Atualmente existe ca sentado pela admitˆncia nesta regi˜o corresponde a um a a uma preocupa¸˜o com a extra¸˜o desta madeira e os es- ca ca m´ximo na sonoridade radiada, e depende da trans- a for¸os est˜o direcionados ` procura de outras esp´cies c a a e ferˆncia de energia do cavalete ao tampos do instru- e apropriadas para a fabrica¸˜o de arcos. A pesquisadora ca mento [14]. A natureza desta ressonˆncia est´ sendo a a Edenise Segala Alves do Instituto de Botˆnica de S˜o a a o foco de muitas pesquisas atualmente [57,62,63,67]. Paulo, em colabora¸˜o com o arqueteiro Daniel R. Lom- ca Uma outra evidˆncia da importˆncia destes modos to- e a bardi estudou as propriedades estruturais de amostras dos foi fornecida por Jansson, que estudou a resposta de pau-brasil e relacionou parˆmetros que devem pos- a
  • 13. A f´ ısica do violino 2305-13 suir as madeiras consideradas como boas alternativas na impregnar a madeira, afetando a resposta ac´stica do u confec¸˜o de arcos [68]. Uma das madeiras considerada ca instrumento. promissora ´ a ma¸aranduba (Manikara). Ambas as e c Com rela¸˜o ` posi¸˜o em que se passa o arco no ca a ca madeiras, pau-brasil e ma¸aranduba, s˜o madeiras pe- c a violino, lembremos que em 1788 Broadwood, um co- sadas (densidades ρ ∼ 1 g/cm3 ), duras, compactas, re- nhecido construtor de pianos, modificou o desenho dos sistentes e dur´veis. Elas s˜o tamb´m compar´veis em a a e a instrumentos de forma que os martelos percutissem as rela¸˜o a capacidade de curvatura [68,69]. ca cordas (de comprimento L) a uma distˆncia L/9 de uma a de suas extremidades. Esse ponto de contato n˜o foi es- a 4.2. A arcada colhido aleatoriamente. As notas correspondentes aos harmˆnicos das cordas vibrantes s˜o consideradas, do o a Usa-se uma resina comumente designada de breu (n˜o a ponto de vista musical, como agrad´veis ou como desa- a confundir com o breu de hulha extra´ do carv˜o mi- ıdo a grad´veis ` audi¸˜o. Certos harmˆnicos, como o nono a a ca o neral) para aumentar a capacidade de fric¸˜o entre a ca e o und´cimo s˜o desagrad´veis ao ouvido. A pureza e a a crina do arco de instrumentos de cordas. Formalmente do timbre de uma corda exige que sejam suprimidos es- chamado de colofone, ´ uma forma s´lida da resina obti- e o ses harmˆnicos, cujas freq¨ˆncias s˜o dissonantes com a o ue a da de pinheiros e de outras plantas con´ ıferas. O pro- fundamental e que possuem, precisamente, um n´ nesse o duto final ´ um s´lido quebradi¸o, semitransparente, de e o c lugar. A forma da onda, y = f(x, t) de uma corda fixa cor amarelo escuro. Podemos determinar o coeficiente nas duas extremidades, que ´ excitada a uma distˆncia e a de atrito est´tico (µe ) entre a superf´ formada pe- a ıcie a de uma delas ´e las crinas e a superf´ da corda met´lica, medindo-se ıcie a o ˆngulo de inclina¸˜o (θ) no qual um pequeno objeto a ca y= gn (x)An cos(2nπf, t), (12) posicionado sobre as crinas come¸a a deslizar. Neste c n caso se cumpre a rela¸˜o ca onde µe = tgθ. (11) 1 nπa An ∝ 2 sen . (13) n L Os resultados da experiˆncia foram θ ≈ 20◦ para o e A excita¸˜o da corda num dado ponto a suprime os ca arco sem breu e θ ≈ 30◦ para o arco com breu, dando harmˆnicos n tais que o coeficiente de atrito de µe ≈ 0.36 e ≈ 0.6 para o arco sem e com breu, respectivamente. Estes valores est˜o a nπa sen = 0. (14) de acordo com os encontrados na literatura, µe = 0.56 L nos arcos com breu, e 0.21 nos sem breu [70]. Estes De acordo com esta condi¸˜o, para evitar a audi¸˜o ca ca resultados indicam que o coeficiente de atrito est´tico a do nono harmˆnico no violino, ou seja eliminar o n´ o o aumenta cerca de 60% com a aplica¸˜o do breu. ca correspondente, basta passar-se o arco no ponto L/9. O coeficiente de atrito est´tico ´ importante para a e Nesse lugar ser´ produzido um ventre de vibra¸˜o, anu- a ca descrever a fase de aderˆncia entre arco e corda. O e lando assim o harmˆnico dissonante Na pr´tica, o arco o a coeficiente de atrito dinˆmico (µd ), que depende da ve- a ´ passado entre 2 e 4 cm de distˆncia do cavalete. Como e a locidade, ´ utilizado para descrever e parametrizar as e o comprimento da corda L ´ da ordem de 32 a 33 cm, e fases de escorregamento do arco na corda. Quando duas a posi¸˜o da arcada corresponde bem com a distˆncia ca a superf´ ıcies est˜o em movimento, o coeficiente de atrito a (L/9) desejada. Na realidade, o timbre do som emitido dinˆmico ´ sempre menor que o est´tico. Estudos do a e a por um violino n˜o ´ t˜o sens´ a e a ıvel ao lugar em que se comportamento do coeficiente de atrito em fun¸˜o da ca aplica o arco como ´ no caso da corda pulsada ou per- e velocidade de escorregamento do arco indicam que este cutida. O motivo disto ´ que as vibra¸˜es geradas na e co coeficiente se estabiliza em µd ≈ 0.2 quando a veloci- corda s˜o transmitidas ao tampo superior atrav´s do a e dade relativa arco-corda atinge 0.5 m/s [22,31]. cavalete, e ao tampo inferior atrav´s da alma, o que faz e Como durante a execu¸˜o musical, tanto a corda ca que o ar encerrado na caixa tamb´m seja colocado em e como a crina ficam impregnadas com as micropart´ ıculas vibra¸˜o [38]. ca de breu (10-20 µm de diˆmetro), a fric¸˜o fica determi- a ca O som gerado ao passar um arco pelas cordas de- nada pela afinidade das duas superf´ ıcies, a de “breu na pende essencialmente de trˆs vari´veis: a velocidade do e a corda” e a de “breu na crina”. Quando as duas su- arco, a posi¸˜o do arco (distˆncia ao cavalete) e a for¸a ca a c perf´ıcies est˜o em movimento uma relativa a outra, a a com que se pressiona o arco contra as cordas. A si- resina sofre uma deforma¸˜o termo-pl´stica e come¸a ca a c tua¸˜o n˜o ´ t˜o simples quanto parece porque existe ca a e a amolecer, e o atrito resultante ´ relativamente pequeno e uma correla¸˜o entre estas grandezas. Se desejamos , ca [31,36,70]. O tampo superior do violino tamb´m fica co- e por exemplo, passar o arco lentamente (como ocorre no berto de part´ ıculas de breu depois de tocar-se durante caso de notas longas e ligadas), a for¸a perpendicular c um certo tempo. Por isso que ao final de cada concerto com que o m´sico pressiona as cordas dever´ ter um va- u a ou ensaio, o executante limpa o instrumento com um lor m´ınimo, para que resulte um som firme de boa qua- pano seco. Se n˜o o fizer, as part´ a ıculas de breu podem lidade. Uma press˜o muito leve provoca instabilidade a
  • 14. 2305-14 Donoso et al. no deslocamento e na velocidade da arcada (o arco n˜o a consegue “capturar” a corda) e o resultado ser´ um som a inseguro. Pelo contr´rio, se a for¸a for muito grande, a c a corda seguir´ presa ao arco, destruindo o movimento a peri´dico da corda, resultando um som arranhado [38]. o Schelleng, em 1973, estudou a for¸a perpendicular c que tem que ser aplicada na arcada em fun¸˜o da velo- ca cidade do arco, da posi¸˜o do arco e dos coeficientes de ca atrito est´tico e dinˆmico entre o arco e as cordas . Ele a a estabeleceu que para cada posi¸˜o do arco h´ uma for¸a ca a c de arcada m´ ınima e uma m´xima, dentro das quais o a executante pode conseguir um som est´vel bem contro- a lado [6,13,71]. Este problema voltou a ser tratado por Schumacher em 1994, que expressou a for¸a tangencial c entre o arco e a corda em fun¸˜o da velocidade da corda, ca os coeficientes de atrito e as impedˆncias translacional a e rotacional da corda (o arco gera tamb´m oscila¸˜es e co de tor¸˜o na corda) [72]. Mais recentemente, Piteroff ca e Woodhause propuseram um modelo f´ ısico para deter- minar a for¸a m´xima na arcada levando em conta a c a largura do arco, a capacidade de flex˜o das cordas e a a raz˜o entre a impedˆncia do movimento transversal a a (definida na superf´ da corda) e impedˆncia do movi- ıcie a mento rotacional. De acordo com estes autores, a for¸a c m´xima do arco que permite a gera¸˜o da oscila¸˜o a ca ca de Helmholtz nas cordas ´ da ordem de 1 N [73], valor e que est´ de acordo com os relatados por outros autores, a entre 0.5 e 1.5 N [13]. 4.3. Vibra¸˜o da corda friccionada por um arco ca Como foi mencionado na Introdu¸˜o, o primeiro a estu- ca dar o problema da vibra¸˜o produzida numa corda fric- ca cionada por um arco foi Helmholtz que, utilizando um arranjo experimental com a objetiva de um microsc´pioo acoplada a um diapas˜o, observou o movimento de uma a part´ıcula colada na corda do violino e concluiu que esta vibra¸˜o ´ muito diferente da vibra¸˜o senoidal obser- ca e ca vada nas cordas estacion´rias. A posi¸˜o da part´ a ca ıcula Figura 10 - Movimento de uma corda excitada por um arco. em fun¸˜o do tempo assemelha-se ` um zig-zag com ca a A seq¨ˆncia de quadros mostra as diferentes posi¸oes do mo- ue c˜ um per´ ıodo igual ao inverso da freq¨ˆncia de oscila¸˜o ue ca vimento durante um ciclo de vibra¸ao. O movimento trans- c˜ da corda [21]. Esta vibra¸˜o particular de uma corda ca versal da corda ´ formado por dois segmentos retos unidas e friccionada por um arco ´ conhecida como “movimento e num ponto de dobra, o qual percore a corda, refletindo-se de Helmholtz” [22,23,74]. Tocar o violino consiste em na sua extremidade (Adaptado das Refs. [13] e [22]). obter e em manter os “movimentos de Helmholtz” a o ´ partir de condi¸˜es transit´rias muito diferentes. E isso co Na seq¨ˆncia, a for¸a restauradora aplicada na ue c que estabelece a essˆncia da express˜o musical [31]. e a corda fica muito grande, e conseq¨entemente ela estala, u A Fig. 10 mostra a evolu¸˜o temporal do movi- ca ou seja, deixa de estar aderida ao arco e desliza na mento de uma corda friccionada por um arco deslocan- dire¸˜o contr´ria ao seu deslocamento, at´ ser “captu- ca a e do-se a velocidade constante [13]. Esta vibra¸˜o envolve ca rada” de novo pelo arco, recome¸ando o ciclo (quadros c um mecanismo do tipo “prende-desliza” (stick-slip, na 1 a 3 da Fig. 10). Quando a corda est´ deslizando na a designa¸˜o inglesa). Na primeira parte do movimento, ca dire¸˜o contr´ria ao deslocamento do arco, ela escor- ca a o arco “captura” a corda e a leva consigo. O ponto rega facilmente por debaixo das crinas do arco. A na- de contato entre o arco e uma corda se movimenta, ini- tureza do mecanismo de atrito (est´tico ou cin´tico) in- a e cialmente, no mesmo sentido que o arco e com a mesma tervem de forma decisiva na estabilidade do movimento velocidade com que o executante o movimenta (quadros pois na fase de escorregamento o arco apresenta uma 3 a 8 da Fig. 10). resistˆncia dinˆmica negativa a corda [74]. Quando o e a
  • 15. A f´ ısica do violino 2305-15 ciclo recome¸a, a corda se movimenta novamente acom- c panhando o arco [13,22,33]. O movimento transversal da corda, em todo instante, ´ formado por dois seg- e mentos retos unidas num ponto, o qual se desloca na corda, refletindo-se na extremidade desta. Quando a in- flex˜o volta ao ponto de contato com o arco, a tens˜o da a a corda atua de forma a desprendˆ-la do arco. Devido a e velocidade com que o ponto de dobra percorre a corda, n˜o ´ poss´ a e ıvel vˆ-la. Observa-se apenas a envolvente e desse movimento, na forma de dois arcos parab´licos o (linha pontilhada na Fig. 10). Anima¸˜es mostrando co o movimento da corda friccionada por um arco podem ser encontradas nas p´ginas web da University of New a South of Wales [9] e do Prof. Woodhause [75]. Figura 11 - Deslocamento do arco (linha pontilhada) e da Vamos analizar o movimento da parte da corda corda no ponto de contato, em tempos sucessivos. A nu- pr´xima ao cavalete, porque ´ justamente essa vibra¸˜o o e ca mera¸ao segue a seq¨ˆncia dos quadros da Fig. 10. De (3) c˜ ue que o cavalete transfere para o corpo do violino. Con- a (8) a corda adere ao arco e desloca-se no mesmo sentido e sideremos o ponto da corda, localizado a uma curta com a mesma velocidade do arco. De (1) a (3), a corda des- distˆncia D do cavalete. Podemos analizar o movimento a liza rapidamente - quase como se estivesse livre - no sentido deste ponto calculando os tempos de “subida” e de “des- contr´rio do arco. Em (3) a corda volta a ser prendida pelo a arco extremidade (Adaptado das Refs. [13] e [22]). cida” em cada ciclo. Se L ´ o comprimento da corda e (tipicamente de 33-34 cm), o ponto P divide a corda O som musical emitido por uma corda vibrante em dois segmentos, de comprimentos D e (L − D), res- ´ determinado pelo tom fundamental e seus parciais, e pectivamente. Quando a arcada ´ realizada no sentido e ou harmˆnicos. A quantidade e a intensidade dos o para “cima”, o tempo que o ponto P despende na des- harmˆnicos presentes na vibra¸˜o da corda dependem o ca cida (TF ) ´ proporcional a D, e o despendido na subida e da forma como ela for excitada. A vibra¸˜o da corda ca (TR ) ´ proporcional a (L − D) e friccionada por um arco ´ diferente da vibra¸˜o de uma e ca corda tangida, ou seja, puxada e depois solta. Ao belis- car uma corda os parciais produzidos s˜o ligeiramente a TF D inarmˆnicos, mas quando a corda ´ friccionada a os- o e = . (15) TR L−D cila¸˜o ´ auto-sustentada e a rela¸˜o entre o tom fun- ca e ca damental e seus parciais praticamente harmˆnica [27]. o O tempo total do ciclo ´ T = TF + TR . Como e Por este motivo seus timbres tamb´m s˜o diferentes. A e a a posi¸˜o da arcada no violino ´ a aproximadamente ca e forma da onda da corda excitada pelo arco (Fig. 11) 3 cm do cavalete, a posi¸˜o do ponto P correspon- ca pode ser descrita por uma onda “dente-de-serra” mo- der´ a D ≈ 0.05L, e se verifica que: TR = 0.95 T . a dificada. Esta forma de onda, muito encontrada em Este resultado indica que em 95% de cada per´ ıodo a eletrˆnica, pode ser representada como uma s´rie de o e corda esta “subindo” (tempo de aderˆncia), e nos ou- e Fourier de ondas senoidais e tem como caracter´ ıstica tros 5% ela est´ “descendo” (tempo de escorregamento) a um espectro de som rico em harmˆnicos [43,44,47]. Am- o [49]. A Fig. 11 mostra a posi¸˜o de um ponto de ca bos os harmˆnicos pares e os ´ o ımpares est˜o presentes no a contato entre a corda e o arco em fun¸˜o do tempo, ca espectro de som, e suas intensidades decaem bem mais acompanhando a seq¨ˆncia dos quadros (1) a (8) da ue lentamente que as intensidades dos harmˆnicos produ- o Fig. 10 [13,22]. O movimento deste ponto de con- zidos numa corda tangida. Para uma corda friccionada tato ´ peri´dico, mas n˜o ´ precisamente um movimento e o a e por um arco, a intensidade do n-´simo harmˆnico ´ 1/n e o e harmˆnico simples - indo e vindo regularmente - sen˜o o a da intensidade do tom fundamental. Para uma corda que reflete a alternˆncia entre aderˆncia e escorrega- a e tangida, a intensidade dos harmˆnicos decai muito mais o mento do movimento da corda friccionada durante um rapidamente, como 1/n2 [49]. Como veremos na se¸˜o ca ciclo de vibra¸˜o e que acaba determinando a sonori- ca 4.4, o grande n´mero de harmˆnicos da corda excitada u o dade do instrumento [13,27,49]. Esta onda ´ conhecida e pelo arco tem grande importˆncia na produ¸˜o do som a ca tamb´m como Raman wave, em reconhecimento ao tra- e do violino. balho te´rico e experimental de C.V. Raman sobre a o O arco permite ao violinista fornecer energia de ´ corda excitada por um arco [14,74]. E importante sa- forma continua e manter a intensidade da nota. A vi- lientar por´m que nesta descri¸˜o da corda friccionada e ca bra¸˜o da corda se mant´m tanto quanto o executante ca e n˜o participa nenhum elemento dissipativo. O modelo a mantenha o movimento do arco. Cabe tamb´m salien- e ´ compat´ com a presen¸a do “movimento de Helm- e ıvel c tar que os instrumentos de corda tem in´meras possibi- u holtz” na corda mais ´ insuficiente no sentido que este e lidades sonoras, que n˜o se limitam apenas a melodias a movimento n˜o ser´ est´vel neste contexto [31]. a a a sustentadas tocadas pelo movimento lento do arco sobre
  • 16. 2305-16 Donoso et al. as cordas. Outros efeitos s˜o conseguidos quando, por a I ≈ 4 × 10−5 W/m2 . Admitindo uma radia¸˜o sonora ca exemplo, tangimos a corda com os dedos (o chamado uniforme em todas as dire¸˜es, calculamos a potˆncia co e pizzicatto), ou quando movimentamos rapidamente o irradiada como o produto da intensidade pela ´rea de a arco sobre a corda (tremolo). Tamb´m podemos fa- e uma esfera de raio r, P ≈ I(4πr2 ) ≈ 13 mW. Assim, zer um glissando deslizando um dedo da m˜o esquerda a a eficiˆncia da convers˜o da energia mecˆnica da ar- e a a pela corda, ou podem-se criar uma sonoridade diferen- cada em energia da onda sonora no violino ´ da ordem e ciada percutindo as cordas com a madeira do arco, mo- de 5%. Este resultado est´ de acordo com o relatado a vimento este chamado de col legno. Cada uma dessas pela Dra. C.M. Hutchins, de que apenas 2% da ener- formas de ataque `s cordas constitui uma condi¸˜o de a ca gia mecˆnica exercida pelo executante aparece efetiva- a contorno diferente quando se busca a solu¸˜o para a ca mente como som do instrumento [5]. Nosso resultado equa¸˜o de evolu¸˜o, e a conseq¨ente riqueza espectral ca ca u deve ser considerado apenas numa ordem de grandeza do som produzido. porque neste caso a hip´tese da uniformidade da ra- o dia¸˜o n˜o ´ muito boa, dado que o comprimento de ca a e 4.4. O som do violino onda para essa nota (λ ∼ 0.52 m) n˜o ´ suficiente- a e mente grande diante das dimens˜es dos tampos do ins- o Agora estamos em condi¸˜es de discutir como ´ pro- co e trumento. Essa ´ uma condi¸˜o de “fonte pr´xima”, na e ca o duzido o som do violino. Helmholtz mostrou que a qual o padr˜o de irradia¸˜o da energia sonora ainda ´ a ca e forma da onda da vibra¸˜o que o arco produz na corda ca influenciado pela natureza e forma da fonte, ou seja, o n˜o ´ senoidal sen˜o uma fun¸˜o do tipo “dente de a e a ca instrumento. De fato, a radia¸˜o sonora do violino ´ ca e serra”, uma forma de onda que produz um espectro omnidireccional apenas entre 200 a 500 Hz. Entre 350 de som rico em harmˆnicos. A an´lise espectral do o a e 1000 Hz ela ´ parcialmente omnidireccional, e de 1000 e som do violino ao se tocar a corda Sol por exem- a 5000 Hz ela ´ bastante direccional [13,22]. e plo, revela a presen¸a de cerca de 15 harmˆnicos in- c o Este baixo ´ ındice de eficiˆncia pode estar ligado e tensos [22, 38]. Sons com muitos harmˆnicos soam o tamb´m a dif´ transferˆncia de energia numa inter- e ıcil e cheios e musicalmente mais ricos [76]. No violino, es- face de dois materiais diferentes, como ´ o caso da corda e tes harmˆnicos s˜o afetados pelas respostas ac´sticas o a u met´lica e o cavalete de madeira. O problema da trans- a do cavalete e do corpo do instrumento. Como men- ferˆncia de energia quando uma onda passa de um meio e cionado anteriormente, o cavalete possui dois modos para outro pode ser estudado atrav´s do conceito da im- e normais de vibra¸˜o, ou ressonˆncias, em 3000 Hz e ca a pedˆncia do meio f´ a ısico. O estudo do comportamento 4500 Hz. Elas refor¸am as componentes do som com c da onda quando encontra uma interface entre dois meios freq¨ˆncias nessas regi˜es e, ao mesmo tempo, redu- ue o cujas impedˆncias s˜o diferentes pode ser utilizado para a a zem o tom (indesej´vel) na regi˜o da depress˜o entre a a a calcular a energia transmitida e a energia refletida de elas. A seguir temos a influˆncia das ressonˆncias do ar e a uma onda que se propaga numa corda formada por duas dentro do instrumento, as ressonˆncias do corpo e dos a se¸˜es de diferentes densidades [78]. Considerando que co tampos. O som produzido pelas cordas ´ modulado e o meio no qual a onda se propaga apresenta uma im- por estas ressonˆncias, que refor¸aram as componentes a c pedˆncia a essa onda, a resposta da onda frente a uma a (harmˆnicos) cujas freq¨ˆncias coincidam com as dos o ue mudan¸a de meio pode ser calculada a partir das im- c modos normais. O resultado ´ um espectro de som cu- e pedˆncias caracter´ a ısticas dos meios envolvidos. A ex- jas componentes ter˜o diferentes intensidades como re- a press˜o da energia transmitida na interface entre um a sultado da influˆncia de todas estas multirressonˆncias. e a meio de impedˆncia caracter´ a ıstica Z1 e um outro de O som do violino ent˜o, resulta da forma de onda ori- a impedˆncia Z2 ´ a e ginada pela excita¸˜o das cordas pelo arco modulada ca pelas vibra¸˜es e ressonˆncias do corpo do violino, seus co a 4Z1 Z2 tampos e o cavalete [8,14,77]. Et = 2, (16) (Z1 + Z2 ) 4.5. Eficiˆncia da convers˜o de energia e a e a energia refletida Quando um violinista puxa o arco sobre as cordas, o es- Z1 − Z2 2 for¸o que ele faz ´ da ordem de 0.5 N. Como a potˆncia c e e Er = . (17) Z1 + Z2 proporcionada por uma for¸a ´ a taxa temporal com c e que a for¸a efetua trabalho, ent˜o P = Fv b ≈ 0.25 W, c a Quando uma onda incide sobre a interface de um onde vb ≈ 0.5 m/s ´ a velocidade da arcada. Esta ener- e outro meio, ela se transmite eficientemente se as im- gia ´ introduzida no cavalete e se transfere atrav´s de e e pedˆncias dos dois meios possu´ a ırem valores iguais ou uma cadeia passando pelos p´s do cavalete, o corpo do e muito pr´ximos, ou seja, se Z1 ≈ Z2 . Neste caso n˜o o a instrumento e a radia¸˜o sonora. Um ouvinte a 3 m ca haver´ energia refletida e dizemos que as impedˆncias a a do instrumento percebe um som com um n´ ıvel de in- est˜o casadas (condi¸˜o de impedance matching). Por a ca tensidade de ≈ 76 dB quando se toca forte na corda outro lado, quando h´ uma grande diferen¸a entre os a c Mi do violino. O n´ de intensidade correspondente ´ ıvel e valores destas duas impedˆncias caracter´ a ısticas, a onda
  • 17. A f´ ısica do violino 2305-17 ter´ dificuldade para se transmitir entre os dois meios a instrumento desafinado. O nosso ouvido ´ ruim para e devido a falta de acoplamento das impedˆncias (mis- a afinar notas puras e sua sensibilidade para distinguir match). No violino, assim como no piano, a energia entre dois sons de freq¨ˆncias diferentes tamb´m ´ limi- ue e e deve ser transferida de uma corda vibrante para os tada. Para sons entre 400 Hz e 4000 Hz, ele s´ consegue o tampos de madeira (uma t´bua ac´stica, no caso do a u distinguir dois sons que diferem em 0.3% do valor da piano). Consideremos, no violino, a interface entre a freq¨ˆncia. Na pr´tica isso significa que ele s´ reconhece ue a o corda (impedˆncia caracter´ a ıstica Z1 ) e o cavalete (Z2 ). uma nota como desafinada se a freq¨ˆncia estiver errada ue Se Z1 ≈ Z2 toda a energia ser´ transferida da corda ao a em 3 ou 4 Hz. A resolu¸˜o de um afinador eletrˆnico ´ ca o e cavalete e praticamente nada ser´ refletida pelo cava- a de 1 Hz. Ele acusa uma desafina¸˜o ent˜o se a nota esti- ca a lete. Mas isso n˜o ´ desej´vel neste caso, pois sem essas a e a ver errada em mais de 1 Hz. Para corrigir a desafina¸˜o, ca reflex˜es n˜o se gera uma onda estacion´ria na corda. o a a os violinistas ajustam a tens˜o das cordas utilizando os a A impedˆncia ac´stica caracter´ a u ıstica de uma onda que micro afinadores, que s˜o parafusos microm´tricos de a e se propaga num material de densidade ρ ´ Z = ρc, e 0.8 mm de diˆmetro e que possuem um ganchinho para a onde c´ a velocidade do som no meio [78]. Para os ma- e puxar (ou afrouxar) a corda (Fig. 1). Dessa forma, teriais da corda e do cavalete no violino, ou seja, a¸o c aumenta-se (ou diminui-se) a freq¨ˆncia de vibra¸˜o da ue ca e madeira, temos Z1 ≈ 4.7 × 107 kg/m2 -s e Z2 ≈ 2.4 corda at´ alcan¸ar o valor desejado. Uma volta do pa- e c × 106 kg/m2 -s, respectivamente. Nesta aproxima¸˜o, ca rafuso do micro afinador permite alterar a freq¨ˆncia ue a raz˜o entre estas impedˆncias caracter´ a a ısticas ´, Z1 : e em cerca de 7 Hz (tocando em primeira posi¸˜o). Por ca Z2 ≈ 16:1, indicando que apenas 20% da energia da ar- isso que os violinistas corrigem uma nota levemente de- cada ser´ transmitida. A grande diferen¸a entre as im- a c safinada dando apenas meia volta no parafuso do micro pedˆncias caracter´ a ısticas do a¸o e da madeira faz que c afinador. apenas uma fra¸˜o da energia ondulat´ria das cordas ca o Muitas vezes se observa que o violinista afina pri- seja transmitida. Isto est´ de acordo com as estimati- a meiro a corda L´ utilizando um afinador eletrˆnico, e a o vas de Cremer, de que o corpo do violino remove, em depois toca duas cordas vizinhas no violino prestando cada ciclo, 10% da energia armazenada da corda [27]. aten¸˜o aos batimentos. Como as cordas do violino ca Como qualquer perda de energia ´ preocupante, o e est˜o afinadas em quintas, as freq¨ˆncias de suas notas a ue cavalete precisa ser leve e de tamanho adequado. E ne- ´ est˜o numa raz˜o 3:2. Quando o violinista ent˜o toca a a a cess´ria uma consider´vel quantidade de energia para a a duas cordas vizinhas, o terceiro harmˆnico da primeira o fazˆ-lo vibrar, com seus movimentos de balan¸o e de e c corda coincidir´ com o segundo harmˆnico da segunda a o tor¸˜o, em uma e em outra dire¸˜o. Como a energia uti- ca ca corda. Assim, se a corda L´ estiver desafinada, por a lizada para se colocar o cavalete em vibra¸˜o se obt´m ca e exemplo, ao tocar-se simultaneamente as cordas L´ e a da energia da corda, quanto maior a massa do cava- Mi, ocorrer´ batimento entre o terceiro harmˆnico do a o lete, maior a perda de energia. Para reduzir massa, o L´ (3 × 440 = 1320 Hz) e o segundo harmˆnico do Mi a o topo do cavalete ´ trabalhado para ser mais estreito que e (2 × 659.3 = 1318.6 Hz). Desta forma, uma desafina¸˜o ca a base. Os orif´ ıcios (os ouvidos e o cora¸˜o) tamb´m ca e menor de 2 Hz entre as duas cordas ser´ acusada. Este a ajudam a reduzir sua massa [36]. A massa do cavalete m´todo de afinar tocando duas cordas vizinhas simul- e do violino do autor [46], por exemplo, ´ de apenas 3.4 e taneamente n˜o ´ t˜o preciso como afinar cada corda a e a gramas. separadamente com ajuda do afinador eletrˆnico, mas o ele ´ empregado para checar rapidamente a afina¸˜o no e ca intervalo de uma execu¸˜o musical. ca 5. Tocando o violino Em rela¸˜o ` digita¸˜o das notas numa corda do ca a ca 5.1. Afina¸˜o e dedilhado ca violino, a Eq. (1) indica que, para tocarem-se notas mais altas na mesma corda, o executante precisa de- Quando um instrumento est´ bem afinado, seu som se a dilhar para diminuir o comprimento L da corda. Con- mistura perfeitamente com o som dos outros instru- sideremos a terceira corda violino, afinada na nota L´ a mentos do naipe. Mas quando ele est´ desafinado, n´s a o (440 Hz). A massa por unidade de comprimento dessa escutamos uma desagrad´vel modula¸˜o no som, cha- a ca corda ´ µ ≈ 10 mg/cm e a tens˜o ´ T = 82 N. Para e a e mada de “batimento” [76]. A superposi¸˜o de ondas ca tocar, por exemplo, a nota Si4 (493.8 Hz) nesta ter- indica que dois sons de freq¨ˆncias pr´ximas - mas n˜o ue o a ceira corda, a Eq. (1) indica que o comprimento da coincidentes - d˜o origem a batimentos cuja freq¨ˆncia a ue corda deve ser reduzido de 32.5 cm para L ≈ 29 cm. aumenta quando o intervalo entre as freq¨ˆncias cor- ue Para tocar essa nota ent˜o, o executante dever´ dedi- a a respondentes aumenta [43-45]. Se um violino de uma lhar a uma distˆncia de (32.5-29.0) ≈ 3.5 cm da extre- a orquestra estiver desafinado, por exemplo, ele vai pro- midade do espelho. Da mesma forma se pode calcular duzir um som ligeiramente mais alto ou mais baixo que a posi¸˜o do dedilhado para tocar todas as notas da ca a nota desejada. Ao tocar simultaneamente com os de- corda L´. O procedimento ent˜o se repete para as ou- a a mais violinos, a superposi¸˜o vai aparecer na forma de ca tras cordas. A Fig. 2 mostra o dedilhado - na chamada um batimento de alguns Hertz, caracter´ ıstico de um “primeira posi¸˜o” - das notas no violino. Na verdade, ca
  • 18. 2305-18 Donoso et al. o dedilhado requer certa pr´tica porque o espelho do a Estando o arco a um ˆngulo θ com a corda, ocorre a instrumento n˜o tem trastes como no viol˜o, ou seja a a que tamb´m a for¸a de atrito que transfere energia e c n˜o h´ marca¸˜es de referˆncia para as notas. a a co e para a corda vai estar orientada de mesmo ˆngulo com a rela¸˜o a ela. ca 5.2. Intensidade relativa Podemos decompor esta for¸a em termos dos verso- c res paralelo e perpendicular ` corda, escrevendo-a como a A intensidade do som de um violino ´ relativamente e fraca frente a intensidade dos instrumentos de me- tal. Cabe ent˜o perguntar-se: Quantos violinos s˜o a a F = |F| cos θˆ|| + |F| senθˆ⊥ . e e (20) necess´rios para “balancear” o som dos instrumentos a de metal numa orquestra? Como a sensa¸˜o sonora ca Sendo a componente em e⊥ respons´vel pelo des- ˆ a est´ relacionada de uma forma aproximadamente lo- a locamento transversal da corda gerando o movimento gar´ıtmica ao fluxo de energia incidente no ouvido, o que j´ estudamos. Assim, para que seja transmitida a a n´ de intensidade de um som, α, ´ definido como ıvel e maior quantidade de energia para a vibra¸˜o transver-ca sal da corda, devemos maximizar esta componente da I α = 10 log , (18) for¸a. Isso ´ conseguido fazendo θ = 90◦ , o que mecani- c e Io camente corresponde ao fato de manter o arco perpen- onde I ´ a intensidade do som e Io ´ o limiar de audi- e e dicular ` corda (ou paralelo ao cavalete, como preferem a bilidade (a intensidade de som mais fraco que pode ser dizer os violinistas) durante todo o movimento. Desta ouvido) [43, 45]. Seja α2 o n´ de intensidade de um ıvel forma al´m de maximizar a energia que excita as os- e trompete e α1 o de um violino. Queremos saber quantos cila¸˜es transversais, minimizam-se as oscila¸˜es longi- co co violinos s˜o necess´rios para “balancear” o som de um a a tudinais. Se o ˆngulo θ n˜o for exatamente 90◦ , apare- a a trompete. Se I1´ a intensidade do som de um violino, e ceram oscila¸˜es longitudinais, as quais s˜o indesejadas co a a intensidade de n violinos ser´ nI 1 . Ent˜o a a pelos m´sicos, pois suas freq¨ˆncias n˜o s˜o harmoni- u ue a a camente relacionadas com as freq¨ˆncias transversais ue nI1 da corda (ou seja, as freq¨ˆncias das ondas transver- ue α2 − α1 = 10 log = 10 log (n) . (19) I1 sais n˜o podem ser expressas como m´ltiplos inteiros de a u O n´ de som de um trompete na altura da nota ıvel freq¨ˆncias das ondas transversais que correspondem `s ue a Do5 ´ aproximadamente α2 ≈ 70 dB. O de um violino e notas tocadas). Como resultado disto aparece um som nessa mesma nota ´ de cerca de α1 ≈ 55 dB [79]. Subs- e indesejado emitido junto com o som que realmente se tituindo estes valores na Eq. (19), obtemos n ≈ 32. deseja tocar, o qual, al´m de diminuir a intensidade e Este resultado indica que precisamos de cerca de 32 deste, ainda faz com que ocorram batimentos, resul- violinos para “balancear” os metais de uma orquestra. tando em um som final de baixa qualidade tonal. Este Este ´, efetivamente, o n´mero de violinos numa or- e u ultimo fato ´ ainda agravado devido `s freq¨ˆncias dos ´ e a ue questra sinfˆnica convencional. o modos longitudinais se encontrarem numa regi˜o onde o a ouvido humano ´ bastante sens´ e ıvel, 1-5 kHz. Lee e Ra- ferty [82] mediram as freq¨ˆncias dos primeiros modos ue 5.3. O ˆngulo entre o arco e a corda a das cordas sol e r´ de um violino, encontrando respecti- e Para a obten¸˜o de um som de boa qualidade, ´ ne- ca e vamente os valores de 1350 Hz e 2700 Hz, estes valores cess´rio que o arco siga o seu curso mantendo uma linha a variam para cada tipo de corda. que deve ser estritamente perpendicular ` corda em que a A existˆncia de ondas de tor¸˜o nas cordas ´ uma e ca e se est´ tocando [80,81]. Quando toca, o violinista faz a conseq¨ˆncia direta do fato delas possu´ ue ırem um raio fi- com que o arco exer¸a uma for¸a normal sobre a corda. c c nito, o que faz com que o arco sendo friccionado sobre a O movimento do arco sobre a corda ´ governado pelas e sua superf´ e n˜o em seu centro, produza um torque ıcie a for¸as de atrito est´tico e cin´tico as quais s˜o dadas c a e a que gera uma rota¸˜o at´ o limite da for¸a de atrito. ca e c pelos respectivos coeficiente de atrito entre a crina e Depois a corda gira escorregando em sentido contr´rio a a corda multiplicado pelo m´dulo da for¸a normal. A o c e o processo tem in´ ıcio novamente, sendo este seme- energia transferida para a corda ser´ igual ao trabalho a lhante ao deslocamento transversal da corda. Estes ti- realizado por esta for¸a menos as dissipa¸˜es t´rmicas. c co e pos de onda ainda foram pouco estudados [72, 83], mas Esta parcela da energia que realmente p˜e a corda em o j´ existe um consenso de que elas n˜o s˜o respons´veis a a a a movimento divide-se de maneira desigual na excita¸˜o ca por muita irradia¸˜o de som atrav´s do corpo do instru- ca e de trˆs tipos de oscila¸˜es da corda, a transversal, a lon- e co mento, pois estas somente podem exercer um pequeno gitudinal e as oscila¸˜es de tor¸˜o. A maior parte da co ca torque sobre o cavalete, determinado pelo diˆmetro a energia corresponde a oscila¸˜o transversal, a qual ´ a ca e da corda. As freq¨ˆncias dos modos tor¸˜o de vibra- ue ca geradora do som musical. As oscila¸˜es longitudinais e co ¸˜o n˜o possuem nenhuma rela¸˜o harmˆnica com as ca a ca o as de tor¸˜o da corda s˜o respons´veis de uma pequena ca a a freq¨ˆncias das ondas transversais, que s˜o as notas ue a fra¸˜o da energia. ca realmente tocadas.
  • 19. A f´ ısica do violino 2305-19 6. Conclus˜es o formas de interferˆncia nos ramos da ac´stica foram in- e u troduzidos nos modelos te´ricos apenas recentemente, o o As id´ias abordadas neste trabalho mostram uma apli- e que deu lugar a interessantes desenvolvimentos nos dis- ca¸˜o pr´tica de conceitos dados em cursos intro- ca a positivos destinados ` reprodu¸˜o de sons gravados, po- a ca dut´rios de f´ o ısica b´sica e em cursos de oscila¸˜es e a co pularmente conhecidos como “caixas ac´sticas”. O elo u ondas. Nesse sentido, acreditamos que a discuss˜o apre- a entre a f´ ısica e a m´sica constitui um importante fator u sentada em nosso trabalho venha a dar uma contri- motivador para o aprendizado, pois estimula os estu- bui¸˜o no sentido de melhorar a motiva¸˜o dos alu- ca ca dantes a encararem a f´ ısica atrav´s de uma vis˜o mais e a nos para estudar conceitos f´ısicos e relacion´-los com a ampla e interdisciplinar. Acreditamos tamb´m que oe aplica¸˜es pr´ticas. H´, naturalmente, muitas ou- co a a ensino da f´ ısica dos instrumentos musicais em cursos tras quest˜es ` serem aprofundadas sobre o assunto, o a de forma¸˜o de professores de Ensino M´dio contribuir´ ca e a quest˜es estas que o reduzido espa¸o deste artigo n˜o o c a para abordagem did´ticas mais ricas e abrangentes. A a nos permite abordar. Falta considerar, por exemplo, aproxima¸˜o entre ciˆncia e arte presente neste artigo ca e toda uma gama de efeitos relacionados ` difra¸˜o so- a ca oferece uma experiˆncia desafiadora e possibilitam uma e nora produzida pelo corpo do instrumento no momento discuss˜o estimulante para estudantes e professores. a da produ¸˜o do som. Os efeitos de difra¸˜o e outras ca ca 7. Apˆndice 1 e Procedimento experimental para a medida da ressonˆncia de Helmholtz a A figura mostra a montagem experimental utilizada para medir a curva de ressonˆncia da cavidade do violino. O a instrumento ´ excitado por uma caixa de som (Premier, SP 690) ligada a um oscilador de ´udio (Function Generator e a BK Precission, modelo 3026). A resposta ac´stica ´ coletada por um microfone de eletreto posicionado dentro da u e caixa ac´stica do instrumento. Este microfone deve ser suficientemente pequeno de forma a passar pelo espa¸o dos u c “f ” do violino (∼7 mm de diˆmetro). O circuito utilizado na liga¸˜o do microfone ´ mostrado tamb´m na figura. O a ca e e sinal captado pelo microfone foi analisado num oscilosc´pio digital (Tektronix, 60 MHz, mod. TDS 210), equipado o com um kit de FFT. As medidas foram realizadas numa sala de 330 m2 do Laborat´rio de Ensino do IFSC-USP. E o ´ importante salientar de que a sala n˜o disp˜e de tratamento ac´stico espec´ a o u ıfico. A curva de ressonˆncia foi levantada a de duas maneiras. No primeiro procedimento variou-se a freq¨ˆncia de excita¸˜o no gerador de 200 Hz at´ 320 Hz, ue ca e registrando a intensidade de som captada pelo microfone. A ressonˆncia do violino foi observada em 270 ± 3 Hz e o a fator de qualidade, determinado a partir da largura de linha a meia altura da curva de ressonˆncia, foi Q = 14 ± 1 a (Fig. 6). Este procedimento foi aplicado tamb´m para um violoncelo, observando-se a ressonˆncia A0 em 96 ± 3 Hz e a com um fator Q = 27 ± 2. No segundo procedimento, aplicou-se um pulso curto, de dura¸˜o definida na freq¨ˆncia ca ue de ressonˆncia e registrou-se o decaimento do sinal captado pelo microfone. A curva de ressonˆncia ´ obtida da a a e transformada de Fourier do sinal captado. Os fatores de qualidade neste caso foram de Q = 17 para o violino e Q = 21 para o violoncelo.
  • 20. 2305-20 Donoso et al. Agradecimentos [21] H. Helmholtz, On the Sensations of Tone (Dover, Nova Iorque, 1954). Os autores gostariam de expressar o seu agradecimento [22] L.L. Henrique. Ac´stica Musical (Funda¸ao Calouste u c˜ aos Profs. Claudio J. Magon, Renˆ Ayres Carvalho e Gulbenkian, Lisboa, 2002). e Eduardo Castellano pelo incentivo; ao Prof. Xavier [23] R.A. Smith and D.M.A. Mercer, Report Progress Phy- Boutillon (Paris) pelo material, a Nelson G.H. Gallo sics 42, 1085 (1979). pelas imagens de microscopia eletrˆnica; a Samuel Al- o [24] H. Davies, J. Acous. Soc. Amer. 26, 874 (1954). varez pelos desenhos e Verˆnica Donoso pela ajuda; a o [25] P.R. Laird, Ars Musica Denver 6 (1993), dispon´ em ıvel Cl´udio B. Bretas e Antenor Fabbri Petrilli pelo aux´ a ılio http://www.catgutacoustical.org. nas demonstra¸˜es no Laborat´rio de Ensino. Um dos co o autores (J.P.D.) agradece tamb´m o apoio de Ilza Zen- e [26] D.R. Raichel, The Science and Applications of Acou- stics (Springer-Verlag, Nova Iorque, 2006), 2nd ed. ker Leme Jolly (regente da Orquestra Experimental da UFSCar). Um outro autor (T.C.F) agradece o incen- [27] L. Cremer, The Physics of the violin (MIT Press, tivo dos Profs. Vicente Dumke, Evaldo Ribeiro e Max Massachusetts, 1984). Scheffler (professor de violino). [28] S.M. Nelson, The Violin and Viola (Dover Publicati- ons, Nova Iorque, 2003). [29] L.L. Henrique, Instrumentos Musicais (Funda¸ao Ca- c˜ Referˆncias e louste Gulbenkian, Lisboa, 1988). [1] P. White, The Physics Teacher 43, 286 (2005). [30] Yves Guilloux, Le Monde de la Musique 197, 50 (1996). [31] X. Boutillon, Actes de Acoustics 93, 143 (1993); [2] C.M. Hutchins, Journal Acoustical Society of America M´canique Industrie 1, 609 (2000). e 73, 1421 (1983). [32] C.B. Boyer, Hist´ria da Matem´tica (Editora Edgard o a [3] C.M. Hutchins, J. Acous. Soc. Amer. 92, 639 (1992). Blucher, S˜o Paulo, 1974). a [4] C.M. Hutchins and V. Benade (eds) Research Papers [33] I. Johnston, Measured Tones (The Institute of Physics in Violin Acoustics 1975-1993, with an Introductory IOP, Nova Iorque, 1989), p. 124. Essay 350 Years of Violin Research (Acoustical Society [34] L. Wright, Scientific American 290, 22 (2004); of America, Nova Iorque, 1996). L.Burckle and H.D. Grissino-Mayer, Dendrochronolo- [5] C.M. Hutchins, Scientific American 207, 78 (1962). gia 21, 41 (2003). [6] J.C. Schelleng, Scientific American 230, 87 (1974). [35] J. Nagyvary, J.A. DiVerdi, N.L. Owen and H.D. Tolley, [7] C.M. Hutchins, Scientific American 245, 126 (1981). Nature 444, 565 (2006). [36] J. Beament, The Violin Explained (Oxford University [8] C. Gough, Physics World 13, 27 (2000) Press, Nova Iorque, 2000). [9] University of New South of Wales, Australia, http: [37] J.P. Echard, C. Benoit, J.P. Vicente, V. Malecki, J.V.J. //www.phys.unsw.edu.au/music/violin. Adelantado and S. Vaiedelich, Analytica Chimica Acta [10] E. Jansson, Acoustics for Violin and Guitar Makers 584, 172 (2007). (KTH Institute, Suecia, 2002), 4th ed. Disponivel em [38] H. Massmann and R. Ferrer Instrumentos Musicales: http://www.speech.kth.se/publications. Artesania y Ciencia (Dolmen, Chile, 1993). [11] R.T. Beyer, Sounds of Our Times (AIP Press and [39] Th.D. Rossing, The Science of Sound (Addison Wesley, Springer Verlag, Nova Iorque, 1999). Massachusetts, 1990), 2nd ed. [12] C.M. Hutchins (ed.), Musical Acoustics (Dowden, [40] N. Marcolin, Revista Pesquisa Fapesp 116, 10 (2005). Hutchinson & Ross, Nova Iorque, 1976). [41] C.M. Hutchins, Physics Today 20, 23 (1967). [13] N.H. Fletcher e T.D. Rossing The Physics of Musical [42] Hutchins Consort, http://www.hutchinsconsort.org Instruments (Springer, Nova Iorque, 2005), 2nd ed. e http://www.newviolinfamily.org. [14] C. Gough, The European Physical Journal; Special To- [43] H. Moys´s Nussenzveig, Curso de F´ e ısica B´sica (Edi- a pics 145, 77 (2007). tora E. Bl¨cher, S˜o Paulo, 2006), 6a ed., v. 2 e 3. u a [15] A.C. Crombie, Scientific American 198, 94 (1958). [44] R. Resnick, D. Halliday and K.S. Krane, F´ ısica (LTC, Rio de Janeiro, 2003), 5a ed., v. 2. [16] J.F. Mulligan, Am. J. Phys. 57, 68 (1989). [45] P.A. Tipler e G. Mosca, F´ ısica (LTC, Rio de Janeiro, [17] P. Bailhache, Revue Histoire des Sciences 39, 301 2006), v. 1. (1986). [46] Violino 4/4, modelo Estudante, Atelier Musikantiga, [18] J.M. Bassalo, Crˆnicas da F´ o ısica (Editora UFPA, S˜o Paulo, SP (2002). a Bel´m 1987 e 1992), tomos 1 e 3. e [47] R.M. Eisberg e L.S. Lerner, F´ ısica, (McGraw Hill do [19] L. Koenigsberger, Hermann Von Helmholtz (Dover, Brasil, Rio de Janeiro, 1983), v. 2. Nova Iorque, 1965). [48] J. Bretos, C. Santamaria and, J. Alonso Moral, J. [20] R.T. Beyer, Sounds of Our Times (AIP & Springer, Acoust. Soc. Amer. 105, 1942 (1999); Acustica 85, 584 Nova Iorque, 1999). (1999).
  • 21. A f´ ısica do violino 2305-21 [49] J.S. Rigden, Physics and the Sound of Music (Wiley, [68] V. Angyalossy, E. Amano e E. Segala Alves, Acta Bo- Nova Iorque, 1985), 2nd ed. tanica Bras. 19, 819 (2005). [50] L.E. Kinsler and A.R. Frey, Fundamentals of Acoustics [69] M. Matsunaga and K. Minato, J. Wood Science 44, (Wiley, Nova Iorque, 1962), 2nd ed., se¸ao 8.4. c˜ 142 (1998). [51] M.J. Moloney, Am. J. Phys. 72, 1035 (2004). [70] A. Matsutani, Japan Journal Applied Physics 41, 1618 [52] A. Guiguet and R. Welti, Revista Brasileira Ensino de (2002). F´ ısica 25, 287 (2003), Anexo 1. [71] J.C. Schelleng J. Acoust. Soc. Amer. 53, 26 (1973). [53] G. Vandergrift, Am. J. Phys 61, 415 (1993). [72] R.T. Schumacher, J. Acoust. Soc. Amer. 96, 1985 [54] H.O. Saldner, N.E. Molin and E.V. Jansson, J. Acous. (1994). Soc. Amer. 100, 1168 (1996); 95; 1100 (1994). [73] R. Piteroff and J. Woodhouse, Acustica 84, 543, 744, [55] J.M. McLennan, Acta Acustica 89, 176 (2003). e 929 (1998). [56] A. Isaksson, H.O. Saldner and N.E. Molin, J. Sound [74] J. Woodhouse and P.M. Galluzo, Acta Acustica & and Vibrations 187, 451 (1995). Acustica 90, 579 (2004). [57] G. Bissinger, J. Acous. Soc. Amer. 120, 482 (2006). [75] Prof. J. Woodhouse, www2.eng.cam.ac.uk∼jw12. Anima¸ao da oscila¸ao da corda fricionada: c˜ c˜ [58] J.A. Moral, E.V. Jansson, Acustica 50, 329 (1982). http://plus.maths.org. [59] E. Jansson, Acustica 83, 337 (1997). [76] Flo Menezes, A Ac´stica Musical em Palavras e Sons u [60] A. Runnemalm, N.E. Molin and E. Jansson, J. Acous. (Ateli´ Editorial, S˜o Paulo, 2003). e a Soc. Amer. 107, 3452 (2000). [77] R.T. Schumacher, Physics Today 59, 10 (2006). [61] E.B. Dale, American Journal of Physics 44, 1077 [78] H.J. Pain, The Physics of Vibrations and Waves (Wi- (1976). ley, Nova Iorque, 2000), 5th ed. [62] E.V. Jansson, Applied Acoustics 65, 1197 (2004). [79] B. Patterson, Scientific American 231, 78 (1974). [63] J. Woodhouse, Acustica 91, 155 (2005). [80] L. Capet, La Technique Sup´rieure de l’Archet (Ed. M. e [64] M. Hacklinger, Acustica 39, 323 (1978). Senart, Paris, 1916), 1a ed. [65] A. Matsutani, Japan J. Applied Physica 41, 6291 [81] M. Crickboom, The Violin: Theory and Practice (2002). (Schott Freres, Brussels, 1950). [66] A.P. French, Vibra¸˜es e Ondas (Editora UNB, co [82] A.R. Lee and M.P. Raferty, J. Acoust. Soc. Am. 73, Bras´ ılia, 2001). 1361 (1983). [67] F. Durup and E. Jansson, Acta Acustica & Acustica [83] J. Woodhouse and A.R. Loach, Acta Acustica & Acus- 91, 206 (2005). tica 85, 734 (1999).