Curvas y superficies en la arquitectura

Curvas y superficies en la arquitectura

Ramón J. Zoido Zamora
rj.zoido@upm.es

RESUMEN

Las invenciones de muchos grandes arquitectos están implícitamente reguladas por la
geometría pero en las obras de algunos de ellos el predominio de ésta es muy explícito y
notorio. Particularmente el estudio de las curvas y superficies dentro de la Geometría
Diferencial nos puede facilitar la comprensión de algunos elementos singulares de un cierto tipo
de arquitectura o de ciertas artes aplicadas y nos puede servir no solo para entender y analizar
estos elementos sino también para poder generalizarlos estableciendo modelos que pueden ser
utilizados como nuevos objetos arquitectónicos. Aquí vamos a esbozar este análisis y
generalización sobre hallazgos e innovaciones de dos arquitectos cuyas obras manifiestan de
forma patente sus fundamentos geométricos.

Palabras claves:
Curvas, Superficies. Geometría diferencial.

Segundo Congreso Internacional de Matemáticas en la Ingeniería y la Arquitectura 87


1.- LAS SINUSOIDES CILÍNDRICAS Y LAS SUPERFICIES DE
GUIMARD

Hector Guimard (Lyon,1867 - Nueva
York, 1942) es el representante más
significativo y personal del Art Nouveau
francés. Si bien es verdad que siempre se
valoraron los elementos decorativos de sus
obras, este arquitecto innovador, curioso,
brillante y sorprendente fue olvidado después
de su muerte y redescubierto a partir de la
segunda mitad del siglo pasado. Como no es
nuestro interés entrar a valorar ahora lo
estrictamente arquitectónico de sus trabajos,
hemos seleccionado solamente dos
fragmentos significativos de algunas de sus
obras más representativas para mostrar su
personalidad y el contexto estilístico en el
que
se
desarrollaron. Unos de ellos es el fascinante
diseño de la puerta principal del Castel
Béranguer, en París, obra terminada en 1898
y la primera que le dio fama aunque una fama
no exenta de polémica. La segunda pertenece
a la maison Coilliot en Lille, acabada en 1900
sobre la que puede observarse también el
diseño de las letras con una geometría peculiar
que después se convertirá también en
representativa de un estilo.

88 Segundo Congreso Internacional de Matemáticas en la Ingeniería y la Arquitectura


Pero la obra que hizo famoso el nombre de Guimard fue el diseño completo y la
decoración de las entradas y edículos del metro de Paris. Desde 1890 se habían
presentado numerosas ideas a la Société Centrale des Architectes, pero fueron
finalmente estos diseños de Guimard completamente innovadores y personalísimos los
que fueron aceptados. Guimard diseñó íntegramente estas entradas con una decoración
distinta para cada estación: líneas curvas, tallos nervados, motivos florales, mástiles,
faros flexibles y en general una exuberante explosión de formas que supuso el triunfo
del llamado "ornamento estructural". Estos accesos que se convertirían en símbolo del
"estilo Guimard", se convertirán también, de alguna manera, en símbolo del Paris de
final de siglo y de la Belle Époque o de su preludio. Estas entradas, muchas de ellas
perdidas, fueron en su día muy admiradas por la mayor parte de los artistas innovadores
y vanguardistas.

Entre las entradas de Guimard que, más o menos, de una u otra manera han
sobrevivido, hay básicamente 11 tipos distintos de los que tres son pabellones cubiertos.
Teniendo en cuenta que el tejado del edículo de Châtelet fue reconstruido en el 2000
siguiendo otro modelo, destacamos aquí solamente dos tipos de accesos cubiertos:
Abbesses y Porte Dauphine. Este último, que es monumento histórico desde 1978,
posee la cubierta invertida que puede ser objeto de análisis y generalización.

Se puede reconstruir circunstancialmente la cubierta invertida de la Porte
Dauphine con mejor o peor fortuna pero lo importante no es tratar de imitarla sino
captar su estructura básica y analizar cuales son las características fundamentales de tal
superficie. El resultado del primer análisis nos muestra que puede asimilarse a una



superficie reglada generada con dos directrices una de las cuales es un segmento
rectilíneo y la otra una curva que podemos situar en un cilindro recto de sección elíptica
de manera que una de las generatrices que une un extremo de la directriz recta se alinee
con ella, en tanto la directriz del extremo opuesto marque una línea de cumbrera. Todo
ello es consecuencia de su funcionalidad ya que es un recipiente que dispone de una
lima-hoya corrida para permitir la salida de las aguas.

Siendo el recorte superior un aspecto ornamental circunstancial. La génesis de
tal depósito se muestra en la siguiente imagen donde se ha tomado un segmento situado
en el eje OX como directriz. Mientras un extremo de cada generatriz sigue sobre el
segmento un movimiento sinusoidal rectilíneo ( 3 cos u, 0, 0 ) el otro extremo debe
recorrer un movimiento de proyección elíptica o circular sobre la segunda directriz
trazada sobre un cilindro que puede ser simplemente una sección plana. Se trata ahora
de ajustar esta segunda directriz de manera que la generatriz en un extremo se alinee
con el segmento directriz para formar la línea de desagüe en tanto la opuesta forme la

cumbrera: ( 6 cos u, 4 sen u, 1.5 ( 1 + sen ( u - π/2) ) ). Aquí se ha realizado la
parametrización con una circunferencia auxiliar cuyo diámetro sea justamente el
segmento directriz, en base al ángulo "u" recorrido por la proyección de la generatriz
sobre el plano XOY. En estas condiciones, la parametrización de esta "superficie de
Guimard" resulta ser:

( ( 3+ 3 v ) cos u, 4 v sen u, 1.5 v ( 1 + sen ( u - π/2) ) ).



Para tratar de generalizar este modelo vamos ahora a describir las curvas
sinusoidales que se pueden trazar sobre un cilindro cuya sección normal a sus
generatrices puede ser elíptica pero que aquí por simplicidad hemos tomado circular.
Denominamos a estas curvas "sinusoides cilíndricas" y son consecuencia simplemente
del arrollamiento de una curva seno o coseno sobre un cilindro. Su representación
paramétrica es muy elemental y no requiere muchas explicaciones adicionales: ( cos u,
sen u, a sen n u ) . El orden de la sinusoide "n" es el número de máximos que presenta
la curva. En la imagen se muestran como ejemplos las sinusoides cilíndricas de ordenes
1 y 3 para a = 0.5.

Estas curvas, por otra parte, permiten generar diferentes superficies muy
interesantes y algunas muy notorias. Aquí se muestran algunos ejemplos de conoides
utilizando como directriz curva diferentes sinusoides cilíndricas n =1, 2, 3 y 4; uno de
ellos es un conoide de Plücker pero varios presentan pinzamientos o singularidades de
Whitney. De los conoides se hablará aquí posteriormente así que tendremos ocasión de

recordar las características de este tipo de superficies. Estos pinzamientos de las
superficies, puntos singulares aislados o "pinzas" de distintos órdenes, se encuentran o
se producen sobre las superficies, dicho sea de paso, con infinidad de variantes. Es decir
la superficie misma se puede extender alrededor de la pinza de múltiples maneras lo que
indica que es la estructura de la forma y no la forma misma lo esencial de la



singularidad. Las superficies generadas en estos ejemplos sugioeren las posibilidades
potenciales de estas singularidades en el campo del diseño con valores simbólicos o
plásticos muy notables. Con estas curvas podemos generar modelos de apariencia muy
sencilla que resultan tan intrigantes como puede serlo una cinta de Möebius.

Antes de generalizar el modelo de Guimard resulta imprescindible situar
perfectamente los puntos de mínimos de las sinusoides cilíndricas descritas por la
parametrización r = { cos u, sen u, sen n u } sobre su proyección circular con el fin de
introducir la corrección necesaria que alinee el segmento directriz con una de las
generatrices formando la lima-hoya de desagüe como ocurre en la superficie de la Porte
Dauphine. El cálculo de la situación exacta de estos máximos y mínimos puede
simplificarse, si se quiere, buscando sobre la curva alabeada los puntos de torsión nula,
lo que implica anular el producto mixto de las tres primeras derivadas de la función
vectorial r que nos sirve de representación paramétrica. El resultado del cálculo es el
esperado ya que coinciden con las soluciones de las ecuaciones cos n u = 0. En la figura
se muestran estas posiciones para n = 1, 3 y 5.

Situado el segmento directriz sobre el eje OX podemos ahora corregir la
posición correcta de la sinusoide cilíndrica para alinear el segmento con una de las
generatrices y obtener una parametrización adecuada de la superficie de Guimard que



nos sirva para describir vectorialmente las características de forma de tal superficie.
Aquí se muestra este proceso de corrección para n = 1 y n = 3 junto a un fragmento más
amplio del cual la superficie de Guimard es la fracción superior; las parametrizaciones
resultantes son respectivamente:
( (1 + v) cos u, 2 v sen u, 0.5 v ( 1 + sen ( u- π/2) ) y ( (1 + v) cos u, 2 v sen u,
0.5 v ( 1 + sen 3 ( u + π/2) )

Este análisis y la corrección correspondiente en función de la posición de uno de
sus mínimos puede hacerse ahora de la misma manera sobre la sinusoide cilíndrica para
cualesquiera valores enteros de n proporcionando variantes de la superficie de Guimard
en la que para valores de n pares, la lima-hoya generada por el segmento directriz más
dos de las generatrices, atraviesan de parte a parte la superficie en tanto los valores de n
impares son los que en realidad permiten generalizar el modelo de la Porte Dauphine



con líneas impares de desagües. Estrictamente las superficies de Guimard descritas se
deben corresponder, por lo tanto, con valores de n impares. Se representan
complementariamente las primeras generalizaciones para n = 2 y 5 en las siguientes
imágenes habiendo ya incluido una pequeña pendiente hacia el exterior de las
correspondientes lima-hoyas que resulta imperceptible en las figuras y que, respecto a
su representación paramétrica, no requiere más que una pequeña traslación de la
sinusoide directriz.

Con todo lo dicho, el replanteo de tales superficies resulta sencillo. Se establece
en el plano de planta, por una parte, el segmento directriz y la correspondiente
circunferencia auxiliar con centro "O" en el punto medio del segmento y, por otra, la
proyección de la sinusoide correspondiente sea una circunferencia concéntrica – el caso
representado - o, en su caso, una elipse. Cualquier semirrecta con centro el origen "O"
que corte a ambas circunferencias en "A" y "B" determinan respectivamente los puntos
"P" y "Q" que definen la generatriz correspondiente. El punto "P" es la proyección
simple en el plano de planta del punto "A" sobre el segmento y el "Q" se obtiene por
elevación del correspondiente valor de la sinusoide cilíndrica desde "B". La figura
corresponde al caso n = 3.



2.- LOS CONOIDES Y LAS SUPERFICIES PLEGADAS DE
CALATRAVA

Entramos ahora en la Arquitectura de Santiago Calatrava. No parece necesario
extendernos demasiado en la presentación de este arquitecto valenciano que cursó sus
estudios en la Politécnica de Valencia y se doctoró posteriormente como ingeniero civil
en el Instituto Federal de Tecnología de Zurich con una tesis cuyo título “Acerca de la
Plegabilidad de las Estructuras" resulta muy significativo. Es tal vez uno de los
arquitectos actuales españoles más conocido y admirado internacionalmente y
seguramente uno de los arquitectos en los que su preparación en el campo de la
geometría resulta más evidente.

Merece la pena recordar la
relación de su obra menos conocida
como son sus esculturas con su
arquitectura posterior y subrayar la
relación de ambas con la generación de
superficies y con la geometría. En una
de las figuras hemos elegido uno de sus
"pájaros", esculturas realizadas desde mediados de los años 80. En la otra mostramos la
estación del aeropuerto de Lyon-St Exupéri, obra terminada en 1994 y el auditorio de

Santa Cruz de Tenerife comenzado en 1991 y terminado en el 2003. Casi toda la obra
significativa de este arquitecto gira alrededor de exploraciones previas en el campo de
las curvas y las superficies.



Podemos generar algunas variantes básicas −independientes del fragmento o
recorte del mismo− de este tipo de superficies sobre una directriz o "espina" parabólica.
En la figura se presentan algunos ejemplos; a la izquierda, trivialmente, como una
superficie de traslación y a la derecha dos alternativas regladas, una con fragmentos
cilíndricos −centro− y la otra formada por generatrices vinculadas a rectas que dependen
de direcciones asociadas a la propia directriz.

Finalmente, otros ejemplos
enlazan directamente sus esculturas
con sus edificaciones posteriores. Esa
superficie de "sinusoides
contrapuestas" resulta ser un conoide
muy elemental y sencillo de generar y
está presente en varias exploraciones
del arquitecto. Tendremos ocasión de
volver a encontrarnos con ella. La podemos relacionar directamente con la cubierta del
proyecto de las bodegas Ysios en La Rioja. No podemos dejar de hacer referencia a que



esta geometría de las sinusoides contrapuestas fue ya experimentada, aunque más
modestamente, por Gaudi en las escuelas de la Sagrada Familia de 1909, pequeño
edificio que fascinó a Le Corbusier en su visita a Barcelona de 1928.
Para un arquitecto, tal vez la característica más importante de las superficies
regladas es reconocer si es de doble curvatura ("anticlásticas" o de puntos hiperbólicos)
o bien de curvatura simple, denominadas también de "curvatura nula" haciendo
referencia al valor nulo que toma la curvatura de Gauss en todos sus puntos. En el

ámbito de la Geometría Diferencial nosotros conocemos a estas últimas como
superficies "desarrollables" en tanto las primeras, no desarrollables, las venimos
denominando "alabeadas". Aunque trivialmente todas las superficies no planas se
alabean, el término "alabeadas" tiene una cierta lógica como veremos. Esta distinción
trasciende la pura clasificación académica. Después es también importante, entre las
alabeadas, reconocer cuales de todas sus generatrices se comportan localmente como si
de una desarrollable se tratara pero entrar en este tema nos alejaría tal vez de la cuestión
que aquí tratamos. En superficies descritas por parametrizaciones es muy conveniente
disponer de su forma "propia" o "reglada" privativa de estas superficies.
Afortunadamente, los procedimientos de construcción o generación de estas superficies
a través de la elección de una curva directriz y de imponer las condiciones para expresar
la dirección de las generatrices nos ofrecen directamente la superficie en su forma
propia. En estas condiciones el cálculo necesario para saber si una superficie es o no
desarrollable es completamente elemental y lo mismo reconocer las generatrices
"cilíndricas" o de puntos parabólicos de las superficies no desarrollables.



Dentro del campo del diseño, entre las superficies regladas, destacan de manera
notable los conoides y cilindroides, superficies en las que una de sus tres directrices se
convierte en un plano director; es decir: son superficies generadas por rectas que se
apoyan en dos líneas directrices permaneciendo paralelas a un plano. En la figura, cada
una de las generatrices P-Q deberá ser paralela a un plano que es el llamado plano
director. Cuando una de las directrices es una recta es cuando denominamos a la
superficie un "conoide" como son los
mostrados en las figuras: unas superficies
omnipresentes en la arquitectura y
también en multitud de útiles de la vida
diaria que tal vez nos hayan podido pasar
desapercibidos. Una familia de conoides
especialmente interesante en todas las ramas de la ingeniería y la arquitectura lo
constituyen los fragmentos de conoides rectos generados con una curva plana y una
recta en un plano paralelo a ella. Este es, con alguna variante, el primer modelo
experimental que utilizó Félix Candela en la fábrica Fernández en 1950 pero existen
infinidad de ejemplos de este tipo de conoides desde los puramente decorativos a los
diseños industriales junto a una gran cantidad de cubiertas y paneles de recubrimiento
arquitectónico. Algunos conoides rectos y oblicuos constituyen importantes superficies
regladas clásicas como la "cuña de Wallis" el "helicoide recto" o el mismo paraboloide
hiperbólico.



Es sencillo demostrar que un conoide que no degenera en un plano es
necesariamente una superficie no desarrollable y por lo tanto de doble curvatura.

Consideramos las superficies flexibles pero inextensibles; esto es: los cambios
de forma de cualquier superficie sometida a esfuerzos no pueden convertirla en otra
superficie si existen extensiones o contracciones se sus secciones constitutivas. Este tipo
de deformación es posible en una pelota de hule o goma pero no lo es en las superficies
que aquí consideramos.

El caso es que entre las regladas, una superficie no desarrollable supuesta
flexible pero inextensible no puede cambiar de forma ya que este cambio implicaría
alargamientos y acortamientos de las líneas que nos sirvan de referencia; es decir: en las
superficies alabeadas o de doble curvatura la geometría permanece inmutable. Para
deformar una superficie de doble curvatura por presión superior es necesario destruir el
modelo y lo mismo ocurriría con determinadas tracciones que tiendan a estirarlo.

En las superficies desarrollables puede haber sin embargo cambio de forma bajo
presión sobre el modelo sin alargamiento ni acortamiento de cualquier tipo de curvas
que tracemos sobre ellas es decir: sin cambio de longitud y lo mismo ocurriría con las
tracciones. Es decir: en estas transformaciones estaríamos en un proceso general de
flexión matemática. La flexión matemática es resultado de aplicaciones isométricas
entre superficies aunque no todas las transformaciones isométricas son necesariamente
el resultado de una flexión. La flexión de la superficie es mucho más restrictiva ya que
implica la continuidad de todos los estados intermedios de una trasformación, en tanto
la isometría solamente atiende a los estados inicial y final. La aplicación isométrica
entre superficies es una correspondencia biunívoca que conserva idéntica la longitud de
cualquier arco de curva regular trazado en una de ellas. Es conveniente precisar que este



tipo de aplicaciones deben contemplarse siempre entre fragmentos de superficie y no
entre superficies “en su totalidad”. Esto nos permite obviar algunas de las propiedades
de la aplicación misma y la consiguiente literatura matemática derivada, que podría a
veces confundir más que aclarar el hecho esencial de la conservación de la métrica entre
ambas. En una transformación entre dos fragmentos de distintas superficies, sean
regladas o no lo sean, la flexión matemática general se verifica si se puede definir entre
ellas una isometría. En una deformación de este tipo, las longitudes de los arcos de las
curvas trazadas, así como los ángulos entre estas curvas, permanecerán fijos, y también
será invariable el área de las regiones correspondientes.

Esta importante diferencia entre superficies alabeadas o de doble curvatura y
superficies desarrollables o de curvatura nula podíamos explicarlo a través de una
analogía al considerar, por ejemplo un triángulo y un cuadrado tales que sus vértices
permitan el giro de sus lados adyacentes. En estas condiciones el cuadrado puede
cambiar de forma manteniendo la longitud de sus lados en tanto el triángulo es una
figura indeformable y la articulación de sus vértices no permite cambio de forma si no
hay cambio en la longitud de sus lados.

Lo siguiente es que todas las superficies desarrollables son isométricas con el
plano. Es una peculiaridad básica privativa de estas superficies que son, en realidad,
simples envolventes de un haz de planos, no paralelos ni con una recta común. Si
consideramos, por ejemplo, una familia de planos con una dirección común
obtendremos como envolvente un cilindro; si tienen un punto común, obtendremos un
cono, y si consideramos la familia de planos osculadores de una curva alabeada
cualquiera obtendremos una superficie de desarrollo tangencial. Todas estas superficies
pueden extenderse en un plano y, según lo dicho anteriormente, este proceso se puede
realizar por flexión matemática.



Una de las consecuencias simples, pero importante, es que de todas las
superficies posibles, solamente las desarrollables pueden transformarse por simple
flexión en un plano. Recíprocamente, ninguna superficie inextensible que no sea
desarrollable (sea reglada o no) puede transformarse por flexión en un plano sin
romperse. Y puesto que los conoides son todos ellos superficies alabeadas, no es posible
transformar un conoide en un plano mediante cualquier sistema de tracciones o
flexiones.

Esto no excluye la posibilidad
de generar paramétricamente familias
de fragmentos de superficies
dependientes de forma continua de un
tercer parámetro que incluyen el plano
−o un fragmento del mismo− aunque
este proceso no sea posible
elásticamente ni quede definido por
una flexión matemática. En la imagen
se muestra, por ejemplo, la familia de
conoides de doble curvatura:

r (u, v, a) = { u, v, a v u2 } para a < 0,

y la familia de cilindros:
r (u, v, a) = { v, u, a u2 } para a > 0,



ambas contienen el plano ( a = 0 ) sin ningún tipo de anomalías.

Para entrar ahora en el tema de
nuestro interés dentro de la obra de Santiago
Calatrava podemos contemplar, en primer
lugar, la fuente de la plaza central de Alcoy
en Alicante. Esta es una configuración que
permite la transformación de superficies con
plano director. En la siguiente figura una
maqueta muestra las posiciones más relevantes de la secuencia del movimiento y la
consiguiente sucesión de los pares de cilindroides que pueden convertirse en dos
fragmentos de un mismo plano que es el que permite la cubrición y protección total del
recinto de la fuente.

Es un ejemplo de las que podemos denominar "superficies plegables", una
ingeniosa combinación que Calatrava ha explotado ampliamente como veremos. Las
generatrices se mueven en el plano director de la sucesión del par de "superficies" que
se interceptan en una curva charnela. Este ejemplo nos sirve para ilustrar el que
podíamos denominar "género estructural" que requiere conocimientos de la geometría,
de la mecánica y del comportamiento estructural y que analizaremos más tarde con
detalle. Aquí se trata del movimiento en mayor o menor escala de estructuras
arquitectónicas utilizando superficies regladas previa substitución de las mismas por sus
sistemas de generatrices que se materializan en la construcción como barras de
secciones constantes o variables. Los distintos movimientos que podemos provocar en
este sistema de generatrices nos permiten describir de manera aparente o, si se quiere,
de forma discreta, diferentes superficies y esta transformación entre "superficies" debida
al movimiento de las generatrices parece poner en cuestión aspectos básicos de la



Geometría Diferencial como son el de las transformaciones de las superficies en un
plano por flexión.
Este hallazgo
supone la superación de
una imposibilidad. Lo
vemos sobre la familia de
conoides descritos
anteriormente que se
transforman uno en otro
en un proceso inviable en superficies inextensibles e imposible desde el punto de vista
matemático dentro de un proceso de flexión o conservación de las longitudes. En la
figura de la derecha, el conoide inferior no puede convertirse en un plano pero si su
substitución por un sistema de generatrices que puedan girar en su punto de contacto
articulado con la
directriz rectilínea.
Por otra parte estas
generatrices pueden
"sustituir"
aparentemente a la
superficie de
manera tan precisa
como nos permita la
independencia de cada una de ellas. El conoide queda así reemplazado por un conjunto
de generatrices tan próximas unas a otras como deseemos y que al girar un ángulo
adecuado que depende de su posición pueden transformar el conoide en un plano de
manera sencilla y natural. Algo simple y genial al mismo tiempo. Esto no es más que
llevar a la práctica constructiva el propio concepto matemático de superficie reglada
como el lugar geométrico de una recta en el espacio que se mueve con determinada
regularidad y donde prescindimos simplemente del aspecto continuo que aquí es
solamente una apariencia. Apariencia, escenografía o quizás magia.



Aquí nos
volvemos a encontrar
con la familia de
conoides "de ondas
contrapuestas" de las
que ya hemos hablado.
Calatrava que ya la
había explorado en
diferentes esculturas,
algunas de ellas
animadas, transformó
esta simple idea en una
gigantesca escultura móvil de 250 m de longitud y 20 m de altura que denominó "Muro
de las Naciones" diseñado para el Complejo Olímpico de Atenas. Las generatrices
tubulares de acero substituyen a cada una de las superficies transformadas entre las que
se incluye naturalmente el plano. Asociado a la directriz rectilínea central, un
dispositivo permite el giro de las generatrices. La sencillez de la idea no resta mérito a
la construcción y puesta a punto de un objeto que puede tener algo de símbolo mágico.

Esta vinculación entre la generación de curvas y superficies y las construcciones
arquitectónicas constituye un campo fascinante que liga el Arte, la Construcción y las
Matemáticas y que ha dado lugar a diseños y proyectos muy significativos. El resultado
final en gran escala de todo lo dicho anteriormente podría ser el de la extraordinaria
pantalla solar plegable del museo Milwaukee, a orillas del lago Michigan, del propio
Calatrava, que en su posición desplegada parece imitar el vuelo de un pájaro. Los
pájaros y la apariencia del vuelo son otro de los motivos recurrentes de este arquitecto.
En la cubrición móvil, 36 placas de acero cuya longitud varía entre los 8 m y los 32 m
articuladas al mástil central substituyen a la familia de conoides configurando
simbólicamente las gigantescas alas de un pájaro. El espinazo o mástil es la directriz
invariable de la transformación. Toda una tecnología adicional hace posible este "brise-
soleil" que cuando la velocidad del viento es superior a un determinado valor debe
cerrarse automáticamente.



Las estructuras plegadas aparecen en la tesis doctoral de Calatrava y en sus
cuadernos de dibujo y notas en los años 80. Estas ideas se materializan por primera vez
en el diseño de las puertas de la factoría Ernsting en Alemania, obra realizada entre
1983 y 1985. Este es, entre sus proyectos iniciales, representativo de lo que hemos
denominado "género estructural" y los principios explorados en este proyecto serán
después desarrollados en mayor escala por el propio Calatrava como ya hemos visto.
Por otra parte este diseño de las puertas Ernsting presenta con mucha naturalidad, sin

artificio, con sencillez y, si se quiere, hasta con modestia, la gran novedad de sus



estructuras plegables. Estas son las razones que lo convierten, en mi opinión, en uno de
sus diseños más apreciables dentro de este estilo.

El proyecto al que hacemos referencia consistió en recubrir con una fachada
envolvente un edificio ya construido como almacén. Aparte e independientemente del
interés artístico o puramente arquitectónico de la solución adoptada y de los materiales
empleados, el rasgo más sobresaliente en lo que respecta a su interés geométrico es el
de las tres grandes puertas del muelle de carga de la fachada sur constituida por laminas
de aluminio cada una de ellas articulada en tres partes: la parte superior e inferior sobre
largueros que se deslizan sobre los carriles laterales y la intermedia que actúa a modo de
charnela. La fachada sur de la factoría con la secuencia de la apertura de las puertas
junto a los detalles de las lamas articuladas pueden verse en la imagen.

La novedad en el diseño, ya se ha visto, consiste en que la articulación media no
pertenece a una recta inicialmente contenida en el plano de la puerta cerrada lo que
proporcionaría simplemente dos planos desplegados en el proceso de apertura, lo que
sería característica completamente habitual ( diseño de la izquierda en la imagen ) sino
que conforma inicialmente una curva en este mismo plano lo que proporciona en cada
una de sus posiciones de apertura dos conoides ( en la imagen, a la derecha ). Si desde
el punto de vista arquitectónico la solución es sumamente ingeniosa y representa toda
una novedad, desde el punto de vista de la geometría diferencial constituye, como ya
hemos visto, toda una provocación ya que, a cierta distancia, podemos visualizar una
construcción en la que pueden verse una sucesión de pares de conoides rectos, el



inferior y el superior, que se transforman en un plano − que es el de la puerta cerrada −,
lo que aparentemente contradice todo lo explicado anteriormente.

Consideremos la puerta de vano rectangular. Al eje de simetría vertical –entre
jambas− lo denominamos eje central y a la línea intermedia entre el umbral y el dintel o
cabezal, línea media. Colocamos los ejes coordenados de manera que el vano
permanezca en el plano YOZ con el eje OY a lo largo del umbral y el eje OZ en el eje
central.

Como se ha dicho, el mecanismo consiste básicamente en dos varillas o lamas
articuladas en uno de sus extremos al cabecero fijo y al umbral móvil respectivamente y
entre sí en sus extremos libres por una charnela de manera que al abrirse la puerta, el
punto de charnela describe un arco y es el diseño de la línea de charnela en la puerta
cerrada la que determina la transformación de los planos superior e inferior en sendos
conoides de plano director XOZ cuyas generatrices se conservan normales al eje OY.



Elegida cualquier curva continua z = f (y) −simétrica respecto al eje central y de
aspecto semejante a la curva de la fábrica de Coesfeld, si se quiere− que será la curva
charnela de las articulaciones medias inicialmente contenida en el plano de la puerta, el
sistema de ecuaciones correspondiente nos permitirá obtener la curva charnela para cada
valor z = f e y = u, siendo "a" la altura de abertura de la puerta y "h" la altura total del
hueco. La parametrización puede venir expresada por:

1 ( 2f − a ) a (a − 2h ) ( 2f − 2h + a ) 2 f h − a2
r (u, a) = ( , u, ),
2 (a − h ) 2 2 (h − a )

que constituirá una parametrización de la superficie de charnelas de Calatrava.

Existe una limitación básica en la apertura de la puerta, determinada por
el menor de dos valores –uno para la "hoja" inferior y otro para la superior− que hacen
imposible su progreso según se refleja en las figuras. Complementariamente, pueden
existir otras restricciones de tipo estético o formal que limiten, por ejemplo, la posición
de la lamas inferiores y superiores pero estos son factores en los que no entramos aquí.

El parámetro "a" deberá variar entre cero y el menor de ambos valores a max. Para que
estas limitaciones no reduzcan excesivamente el uso de la puerta, la curva charnela
inicial debe trazarse en las proximidades de la línea media. Esto se pondrá de manifiesto
en ejemplos posteriores



Para cada valor del parámetro "a", apertura de la puerta, los conjuntos de
conoides superior e inferior pueden venir representados por las parametrizaciones:

1 ( 2f − a ) a (a − 2h ) ( 2f − 2h + a ) 2fh − a 2
r (u, v, a) = ( v , u, h + v( −h ) )
2 (a − h ) 2 2 (h − a )

1 ( 2f − a ) a (a − 2h ) ( 2f − 2h + a ) 2fh − a 2
r (u, v, a) = ( v , u, a + v( −a ) )
2 (a − h ) 2 2 (h − a )

que para a = 0 se transforman en el plano. Las líneas coordenadas de ambas
series de conoides entre los valores de a = 0 y a = a max se conservan ortogonales.

Finalmente, en las figuras siguientes mostramos diferentes ejemplos
representativos sobre una puerta de altura h = 4 m y ancho 6 m para diferentes
funciones de la curva charnela inicial −curva plana, puerta cerrada− que muestra las
posibilidades expresivas del modelo. En todos los casos hemos respetado la continuidad
−
de la curva en el intervalo [−3, 3].

En el ejemplo 1º la curva charnela inicial es una parábola suave de aspecto
semejante a la original de Calatrava y en el 2º es una parábola mucho más curvada.
Pueden compararse los valores máximos de apertura que habilitan en mayor o menor
medida el modelo. En el ejemplo 3º se utiliza una curva charnela de tipo senoidal de dos
ondas.

Ya se ha dicho que para una suficiente apertura de la puerta, y la consecuente
utilidad del modelo, la curva inicial debe de tener valores próximos a los de la línea
media mientras que, por otro lado, criterios de tipo puramente estético nos inclinan a la
elección de curvas simétricas – pares − respecto al eje central. La elección de la curva
charnela del ejemplo 4º no tienen en cuenta estos criterios y se muestran diferentes
posiciones del par de conoides hasta su apertura máxima; la altura útil de vano se reduce
aquí a la mitad de la altura total de la puerta. En el ejemplo 5º se utiliza como charnela
una línea quebrada con un vértice en el eje central; pueden observarse algunas de las
posiciones representativas entre la apertura cero y máxima.



En las figuras que ilustran estos ejemplos, además de señalar la altura de
apertura máxima se muestra, en primer lugar, la superficie de charnelas cuyas curvas
coordenadas "a" o curvas u= y= cte son, trivialmente, arcos de circunferencia, lo que
hace que su estructura tenga cierto interés geométrico. Después se presentan la posición
inicial − de la puerta cerrada − y la de apertura máxima, estableciendo unas cuantas
posiciones significativas entre ambas. Los dos conjuntos de conoides en función del
parámetro "a" para cada "h" y "f" resultan interesantes desde el punto de vista
geométrico pero la secuencia de la aparente "deformación" entre todos ellos hasta la
posición plana tiene algo de magia escénica.


Curvas y superficies en la arquitectura

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