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Un vistazo a lo que son series ...
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Un vistazo a lo que son series ...

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  • 1. UN VISTAZO A LO QUE SON SERIES Y TODO EN GENERAL CALCULO INTEGRAL
  • 2. Una serie es la generalización de la noción de suma a los términos de una sucesión infinita. Informalmente, es el resultado de sumar los términos: a1 + a2 + a3 + · · lo cual suele escribirse en forma más compacta con el símbolo de sumatorio: 𝑎 𝑛 Una serie es la suma de los términos de una sucesión. Se representa una serie con términos “an” como donde n es el índice final de la serie. Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales, es decir: 𝑖 = 1,2,3, … 𝑖=1 𝑛 𝑎𝑖
  • 3. Una serie numérica es un conjunto de números ordenados que siguen un patrón. El patrón es la relación que existe entre los números que forman la serie.
  • 4. Una serie de potencias alrededor del punto x=x0 es una expresión de la forma 𝑛=0 ∞ 𝐶𝑛 (𝑋 − 𝑋𝑜) 𝑛 Donde las Cn son números reales que dependen de n.
  • 5. Dada una serie de potencias 𝑛=0 ∞ 𝐶𝑛 (𝑋 − 𝑋𝑜) 𝑛 , el conjunto de números reales para los cuales la serie convergente se denomina intervalo de convergencia, se denota como IC y puede ser de tres formas distintas: 1. Un solo punto; a saber, él único punto donde converge la serie es en xn 2. El conjunto de todos los números reales, Ic = R 3. Un intervalo de la forma (xo – r, xo + r), donde r es un número real.
  • 6. El radio de convergencia de una serie de potencias, denotado por rc es la mitad de la longitud del intervalo de convergencia. De los puntos dados en el caso anterior: En el 1. el radio de convergencia es cero; es decir, rc = 0. En el 2. el radio de convergencia es infinito; es decir, rc = ∞; y en 3. el radio de convergencia es r; es decir, rc = r.
  • 7. Sea f(x) una función que tiene derivada de todos los órdenes en x=a. La serie de Taylor en torno a “a” es 𝑛=0 ∞ 𝑓 𝑛 𝑎 𝑛! (𝑥 − 𝑎) 𝑛 Donde 𝑓 0 𝑎 = 𝑓(𝑎) y como se sabe, 0! = 1
  • 8. 1ER. EJEMPLO: ESCRIBA LA SERIE DE TAYLOR DE F(X) = 𝑒 𝑥 EN TORNO A X = 1 SOLUCION: 𝑛=0 ∞ 𝑓 𝑛 1 𝑛! (𝑥 − 1) 𝑛 Como f(x) = 𝑒 𝑥 , se sabe que 𝑓 𝑛 𝑥 = 𝑒 𝑥 . Por lo tanto,𝑓 𝑛 1 = 𝑒 𝑥 , de donde la serie es 𝑛=0 ∞ 𝑒 𝑛! (𝑥 − 1) 𝑛 Se puede demostrar que en este caso lim 𝑛→∞ 𝑅𝑛 𝑥 = 0 Lo cual significa que 𝑒 𝑥 = 𝑛=0 ∞ 𝑒 𝑥 (𝑥 − 1) 𝑛 para toda x ∈ R
  • 9. 2DO EJEMPLO: ESCRIBA LA SERIE DE TAYLOR DE 𝑓 𝑥 = LN 𝑥 EN TORNO A X=1 SOLUCION: 𝑛=0 ∞ 𝑓 𝑛 1 𝑛! (𝑥 − 1) 𝑛
  • 10. Como 𝑓 𝑥 = ln 𝑥 , se tiene 𝑓 0 𝑥 = ln 𝑥 𝑓 0 1 = 0 𝑓 1 𝑥 = 1 𝑥 𝑓 1 1 = 0 𝑓 2 𝑥 = − 1 𝑥2 𝑓 2 1 = −1
  • 11. 𝑓 3 𝑥 = 2 𝑥3 𝑓 3 1 = 2 𝑓 4 𝑥 = −6 𝑥4 = − 3! 𝑥4 𝑓 4 1 = −3! = −6 𝑓 5 𝑥 = 2(−3)(−4) 𝑥5 = 4! 𝑥5 𝑓 5 1 = 4! = 24 𝑓 6 𝑥 = 2(−3)(−4)(−5) 𝑥6 = − 5! 𝑥6 𝑓 6 1 = −5! = −120
  • 12. De aquí es fácil ver que la n-ésima derivada es 𝑓 𝑛 𝑥 = (−1) 𝑛+1 𝑛 − 1 ! 𝑥 𝑛 𝑓 𝑛 1 = −1 𝑛+1 𝑛 − 1 ! Por tanto, 𝑛=0 ∞ 𝑓 𝑛 1 𝑛! (𝑥 − 1) 𝑛 = 𝑛=0 ∞ (−1) 𝑛+1 𝑛 − 1 ! 𝑛! (𝑥 − 1) 𝑛 = 𝑛=0 ∞ (−1) 𝑛+1 𝑛 (𝑥 − 1) 𝑛
  • 13. En este caso puede demostrarse que esta serie convergente a ln(x) en el intervalo (0,2); es decir: ln(𝑥) = 𝑛=0 ∞ (−1) 𝑛+1 𝑛 (𝑥 − 1) 𝑛 En el intervalo (0,2).
  • 14. 𝑥3 + 8𝑥 + 4 (𝑥 − 1)100 𝑑𝑥 (𝑥 − 1)100 = 0 𝑥 − 1 = 0 𝑥 = 1 𝑃 𝑥 = 𝑥3 + 8𝑥 + 4 , 𝑃 1 = 1 + 8 + 4 = 13 𝑃′ 𝑥 = 3𝑥2 + 8 , 𝑃′ 1 = 3 + 8 = 11 𝑃′′ 𝑥 = 6𝑥 , 𝑃′′ 1 = 6 𝑃´´´ 𝑥 = 6 , 𝑃′′′ 1 = 6
  • 15. 𝑥3 + 8𝑥 + 3 = 13 + 11 1! 𝑥 − 1 + 6 2! (𝑥 − 1)2+ 6 3! (𝑥 − 1)3 = 13 + 11 𝑥 − 1 + 3(𝑥 − 1)2+1(𝑥 − 1)3 𝑥3 + 8𝑥 + 4 (𝑥 − 1)100 𝑑𝑥 = 13 + 11 𝑥 − 1 + 3(𝑥 − 1)2+(𝑥 − 1)3 (𝑥 − 1)100 13 𝑑𝑥 (𝑥 − 1)100 + 11 𝑑𝑥 (𝑥 − 1)99 + 3 𝑑𝑥 (𝑥 − 1)98 + 𝑑𝑥 (𝑥 − 1)97
  • 16. Fórmula: 𝑣 𝑛 𝑑𝑥 = 𝑣 𝑛+1 𝑛+1 + 𝐶 13 (𝑥 − 1)−99 (−99) + 11 (𝑥 − 1)−98 (−98) + 3 (𝑥 − 1)−97 (−97) + (𝑥 − 1)−96 (−96) + 𝐶 − 13 99 𝑥 − 1 99 − 11 98 𝑥 − 1 98 − 3 97 𝑥 − 1 97 − 1 96 𝑥 − 1 96 + 𝐶
  • 17. BIBLIOGRAFIA  AGUILAR Sánchez, Gerardo y CASTRO Pérez, Jaime, “Problemas de Cálculo integral” 1ra Edición, Tec de Monterrey, México, DF., Julio 2003, 127 págs.  COQUILLAT, Fernando, “Cálculo integral, Metodología y Problemas”, 2da Edición, Alfaomega, México, DF., Octubre 1999, 381 págs.  AGUILAR, Gerardo y Castro, Jaime, “PROBLEMARIOS DE CÁLCULO INTEGRAL”, 1ra edición, División Iberoamericana, Julio 2003, págs. 38-47.
  • 18. INFORMACION POR INTERNET  https://es.wikipedia.org/wiki/Serie_matem%C3%A1tica  http://boards5.melodysoft.com/canalingenio/que-es-una-serie- numerica-1267.html  http://calculoint-roblesd.blogspot.mx/2011/06/serie-finita-criterio- dalembert-y.html  http://matematica.50webs.com/sucesiones.html