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# Metodos de integracion sustitucion algebraica

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### Metodos de integracion sustitucion algebraica

1. 1. METODOS DE INTEGRACION: *SUSTITUCION ALGEBRAICA* CALCULO INTEGRAL
2. 2. 1er METODO Si una integral implica una expresiΓ³n de segundo grado de tres tΓ©rminos (ππ₯2 + ππ₯ + π) o de dos tΓ©rminos (ππ₯2 + ππ₯), Γ©sta puede reducirse a una expresiΓ³n de dos tΓ©rminos (π£2 Β± π2) y (π2 β π£2) completando el cuadrado (sustituciΓ³n algebraica).
3. 3. ππ₯ π₯2 + 16π₯ β 17 SOLUCION: AL TOMAR EL DENOMINADOR TENEMOS LA EXPRESION π₯2 + 16π₯ + 3 Y ESTA LA DEBEMOS DE TRANSFORMAR EN UN BINOMIO AL CUADRADO: π₯2 + 16π₯ β 17 = π₯2 + 16π₯ β 17 + 16 2 2 β 16 2 2 = π₯2 + 16π₯ β 17 + 82 β82 = π₯2 + 16π₯ β 17 + 64 β 64 = π₯2 + 16π₯ + 64 β 17 β 64 = π₯2 + 16π₯ + 64 β 17 β 64 = π₯ + 8 2 β 81
4. 4. ππ₯ π₯2 + 16π₯ + 3 = ππ₯ π₯ + 8 2 β 81 π£2 = π₯ + 8 2 π2 = 81 π£ = π₯ + 8 π = 9 ππ£ ππ₯ = 1 ππ£ = ππ₯
5. 5. REDORDANDO LA FORMULA: ππ£ π£2 β π2 = 1 2π ln π£ β π π£ + π + πΆ SUSTITUYENDO: ππ₯ π₯ + 8 2 β 81 = 1 2(π₯ + 8) ln π₯ + 8 β 9 π₯ + 8 + 9 + πΆ = 1 2(π₯ + 8) ln π₯ β 1 π₯ + 17 + πΆ ASI QUE: ππ₯ π₯2 + 16π₯ + 3 = 1 2(π₯ + 8) ln π₯ β 1 π₯ + 17 + πΆ
6. 6. ππ₯ 6π₯ β π₯2 β 1 AL TOMAR EL DENOMINADOR TENEMOS LA EXPRESION 6π₯ β π₯2 β 1 Y ESTA LA DEBEMOS DE TRANSFORMAR EN UN BINOMIO AL CUADRADO: 6π₯ β π₯2 β 1 = βπ₯2 + 6π₯ β 1 = βπ₯2 + 6π₯ β 1 + 6 2 2 β 6 2 2 = βπ₯2 + 6π₯ β 1 + 3 2 β 3 2 = βπ₯2 + 6π₯ β 1 + 9 β 9 = βπ₯2 + 6π₯ β 9 + 9 β 1 = βπ₯2 + 6π₯ β 9 + 9 β 1 = β π₯2 β 6π₯ + 9 + 9 β 1 = β π₯ β 3 2 + 8 = 8 β π₯ β 3 2
7. 7. ASI QUE: ππ₯ 6π₯ β π₯2 β 1 = ππ₯ 8 β π₯ β 3 2 π£2 = π₯ β 3 2 π2 = 8 π£ = π₯ β 3 π = 8 ππ£ ππ₯ = 1 ππ£ = ππ₯
8. 8. RECORDANDO LA FORMULA: ππ’ π2 β π£2 = 1 2π ln π + π£ π β π£ + πΆ Y SUSTITUYENDO VALORES: ππ₯ 8 β π₯ β 3 2 = 1 2 8 ln 8 + π₯ β 3 8 β π₯ + 3 + πΆ POR LO TANTO, EL RESULTADO ES: ππ₯ 6π₯ β π₯2 β 1 = 1 2 8 ln 8 + π₯ β 3 8 β π₯ + 3 + πΆ = 1 4 2 ln 8 + π₯ β 3 8 β π₯ + 3
9. 9. ππ₯ 5 + π₯2 + 2π₯ AL TOMAR EL DENOMINADOR TENEMOS LA EXPRESION 5 + π₯2 + 2π₯ Y AL MOMENTO DE ESTRAER LO QUE ESTA DENTRO DE LA RAIZ (ES DECIR 5 + π₯2 + 2π₯ ) LA DEBEMOS DE TRANSFORMAR EN UN BINOMIO AL CUADRADO: 5 + π₯2 + 2π₯ = π₯2 + 2π₯ + 5 = π₯2 + 2π₯ + 5 + 2 2 2 β 2 2 2 = π₯2 + 2π₯ + 5 + 1 2 β 1 2 = π₯2 + 2π₯ + 5 + 1 β 1 = π₯2 + 2π₯ + 1 + 5 β 1 = π₯2 + 2π₯ + 1 + 5 β 1 = π₯ + 1 2 +4
10. 10. DONDE: ππ₯ 5 + π₯2 + 2π₯ = ππ₯ π₯ + 1 2 + 4 π£2 = π₯ + 1 2 π2 = 4 π£ = π₯ + 1 π = 2 ππ£ ππ₯ = 1 ππ£ = ππ₯
11. 11. RECORDANDO LA FORMULA: ππ’ π£2 + π2 = ln π£ + π£2 + π2 + πΆ = arg π ππβ π£ π + πΆ Y SUSTITUYENDO VALORES: ππ₯ π₯ + 1 2 + 4 = ln π₯ + 1 + π₯ + 1 2 + 4 + πΆ = arg π ππβ π₯ + 1 2 + πΆ POR LO TANTO, EL RESULTADO ES: ππ₯ 5 + π₯2 + 2π₯ = ln π₯ + 1 + π₯ + 1 2 + 4 + πΆ = arg π ππβ π₯ + 1 2 + πΆ
12. 12. ππ₯ 9 + 5π₯2 β π₯ ANTES DE INICIAR VEMOS QUE EN EL DENOMINADOR HAY UN TRINOMIO EN DONDE NO LA CONSTANTE NO TIENE RAIZ CUADRADA, ASI QUE, SE MULTIPLICARΓ Y SE DIVIDIRΓ POR EL VALOR DEL COEFICIENTE EN DONDE ESTA ACOMPAΓANDO π₯2 PARA OBTENER UN TRINOMIO CUADRADADO PERFECTO: ππ₯ 9 + 5π₯2 β π₯ = ππ₯ 9 + 5π₯2 β π₯ 5 5 = 5 ππ₯ 5 9 + 5π₯2 β π₯ = 5 ππ₯ 45 + 25π₯2 β 5π₯ AHORA OBTUVIMOS UN TRINOMIO DE LA FORMA ππ₯2 + ππ₯ + π PERO NO ES PERFECTO, POR LO TANTO, HAREMOS QUE: 45 + 25π₯2 β 5π₯ = 25π₯2 β 5π₯ + 45 = 25π₯2 β 5π₯ + 45 + 5 10 2 β 5 10 2
13. 13. = 25π₯2 β 5π₯ + 45 + 1 2 2 β 1 2 2 = 25π₯2 β 5π₯ + 45 + 1 4 β 1 4 = 25π₯2 β 5π₯ + 1 4 + 45 β 1 4 = 25π₯2 β 5π₯ + 1 4 + 45 β 1 4 = 5π₯ β 1 2 2 + 179 4 NOTA: EN LOS EJEMPLOS ANTERIORES AL MOMENTO DE REALIZAR EL TRINOMIO CUADRADO PERFECTO SE HIZO UNA DIVISION ENTRE 2 DEBIDO AL DICHO DEL BINOMIO AL CUADRADO: EL DOBLE PRODUCTO DEL PRIMER TERMINO POR EL SEGUNDO TERMINO; PERO COMO HAY UN 5 EN EL PRIMER TERMINO ESE VALOR DEL COFICIENTE SE DIVIDE ENTRE EL PRODUCTO DE ESOS DOS TERMINOS, ES DECIR: 5 2 ββ 5 2 5 = 5 10 = 1 2
14. 14. VOLVIENDO: ππ₯ 9 + 5π₯2 β π₯ = ππ₯ 5π₯ β 1 2 2 + 179 4 π£2 = 5π₯ β 1 2 2 π2 = 179 4 π£ = 5π₯ β 1 2 π = 179 4 = 179 2 ππ£ ππ₯ = 5 ππ£ = 5ππ₯
15. 15. COMO NOS FALTA EL NUMERO 5 EN LA DIFERENCIAL LO QUE SE HARΓ ES MULTIPLICAR Y DIVIDIR EL NUMERO 5 PARA NO ALTERAR LA INTEGRAL: ππ₯ 5π₯ β 1 2 2 + 179 4 = ππ₯ 5π₯ β 1 2 2 + 179 4 5 5 = 1 5 5ππ₯ 5π₯ β 1 2 2 + 179 4 RECORDANDO LA FORMULA: ππ’ π£2 + π2 = ln π£ + π£2 + π2 + πΆ = arg π ππβ π£ π + πΆ
16. 16. SUSTITUYENDO LOS VALORES SE OBTIENE EL RESULTADO FINAL: 1 5 5ππ₯ 5π₯ β 1 2 2 + 179 4 = 1 5 ln 5π₯ β 1 2 + 5π₯ β 1 2 2 + 179 4 + πΆ = 1 5 arg π ππβ 5π₯ β 1 2 179 2 + πΆ = ln 5π₯ β 1 2 + 5π₯ β 1 2 2 + 179 4 1 5 + πΆ = 1 5 arg π ππβ 10π₯ β 1 179 + πΆ
17. 17. ππ₯ 9 + 5π₯2 β π₯ = ln 5π₯ β 1 2 + 5π₯ β 1 2 2 + 179 4 1 5 + πΆ = 1 5 arg π ππβ 10π₯ β 1 179 + πΆ ln 5 5π₯ β 1 2 + 5π₯ β 1 2 2 + 179 4 + πΆ = 1 5 arg π ππβ 10π₯ β 1 179 + πΆ
18. 18. 2do METODO CUANDO EL INTEGRANDO ES UNA FRACCION CUYO NUMERADOR ES UNA EXPRESION DE PRIMER GRADO, MIENTRAS QUE EL DENOMINADOR ES UNA EXPRESION DE SEGUNDO GRADO O LA RAIZ CUADRADA DE TAL EXPRESION, LA INTEGRAL DADA PUEDE REDUCIRSE A UNA INTEGRAL INMEDIATA.
19. 19. π₯ + 8 ππ₯ π₯2 + 9 SOLUCION: SE MULTIPLICARA EL NUMERADOR DE LA INTEGRAL POR SU DIFERENCIAL (ES DECIR dx): π₯ + 8 ππ₯ π₯2 + 9 = π₯ππ₯ π₯2 + 9 + 8ππ₯ π₯2 + 9 Y OBTENEMOS DOS INTEGRALES MAS. COMENCEMOS CON LA PRIMERA: 1 2
20. 20. AL ANALIZAR LA PRIMERA INTEGRAL VEMOS QUE ES IDENTICA A LA DE LA FORMULA SIGUIENTE: ππ£ π£2 + π2 Y VAMOS OBTENIENDO LO SIGUIENTE: π₯ππ₯ π₯2 + 9 π£ = π₯2 + 9 ππ£ = 2π₯ππ₯
21. 21. Y COMO NOS FALTA UN NUMERO 2, ESE NUMERO LO MULTIPLICAREMOS Y LO DIVIDIREMOS: π₯ππ₯ π₯2 + 9 2 2 = 1 2 2π₯ππ₯ π₯2 + 9 Y SUSTITUYENDO VALORES SE OBTIENE EL RESULTADO FINAL: 1 2 2π₯ππ₯ π₯2 + 9 = 1 2 ln π₯2 + 9 + πΆ = ln π₯2 + 9 + πΆ
22. 22. AHORA NOS VAMOSCON LA SEGUNDA INTEGRAL: 8ππ₯ π₯2 + 9 = 8 ππ₯ π₯2 + 9 Y VEMOS QUE ES IDENTICA A LA FORMULA SIGUIENTE: ππ£ π£2 + π2 = 1 π πππ π‘π π£ π + πΆ Y OBTENGAMOS ALGUNOS VALORES:
23. 23. 8 ππ₯ π₯2 + 9 Y SUSTITUYENDO ESTOS VALORES, SE OBTIENE LO SIGUIENTE: 8 ππ₯ π₯2 + 9 = 8 1 3 πππ π‘π π₯ 3 + πΆ = 8 3 πππ π‘π π₯ 3 + πΆ π£2 = π₯2 π2 = 9 π£ = π₯ π = 3 ππ£ = ππ₯
24. 24. UNA VEZ YA OBTENIDO LOS RESULTADOS DE LAS INTEGRALES 1 Y 2, AL UNIRLOS SE OBTIENE EL RESULTADO FINAL Y DEFINITIVO: π₯ + 8 ππ₯ π₯2 + 9 = ln π₯2 + 9 + 8 3 πππ π‘π π₯ 3 + πΆ
25. 25. 4π₯ β 1 ππ₯ 49 β π₯2 SOLUCION: 4π₯ β 1 ππ₯ 49 β π₯2 = 4π₯ππ₯ 49 β π₯2 β 1ππ₯ 49 β π₯2 = 4 π₯ππ₯ 49 β π₯2 β 1ππ₯ 49 β π₯2 COMENCEMOS CON LA INTEGRAL 1: 4 π₯ππ₯ 49 β π₯2 1 2 π£ = 49 β π₯2 ππ£ = β2π₯ππ₯
26. 26. COMO NOS FALTA UN 2 Y NEGATIVO SE MULTIPLICARA Y SE DIVIDIRA A LA VEZ EN LA INTEGRAL: 4 π₯ππ₯ 49 β π₯2 = 4 π₯ππ₯ 49 β π₯2 β2 β2 = 4 β2 β2π₯ππ₯ 49 β π₯2 = β2 β2π₯ππ₯ 49 β π₯2 Y SUSTITUYENDO VALORES SE OBTIENE LO SIGUIENTE: β2 β2π₯ππ₯ 49 β π₯2 = β2 β2π₯ππ₯ 49 β π₯2 1 2 = β2 (49 β π₯2 )β 1 2 β2π₯ππ₯ = β2 49 β π₯2 β 1 2 +1 β 1 2 + 1 + πΆ = β2 49 β π₯2 1 2 1 2 + πΆ = β2 2 49 β π₯2 1 2 + πΆ = β4 49 β π₯2 1 2 + πΆ = β4 49 β π₯2 + πΆ
27. 27. AHORA NOS VAMOS CON LA SEGUNDA INTEGRAL: β 1ππ₯ 49 β π₯2 = β ππ₯ 49 β π₯2 π£2 = π₯2 π2 = 49 π£ = π₯ π = 7 ππ£ = ππ₯
28. 28. Y VEMOS QUE ESTA INTEGRAL ES IDENTICA A LA SIGUIENTE: ππ£ π2 β π£2 = πππ π ππ π£ π + πΆ = 1 π arg π‘πβ π£ π + πΆ SUSTITUYENDO VALORES SE OBTIENE LO SIGUIENTE: β ππ₯ 49 β π₯2 = βπππ π ππ π₯ 7 + πΆ = β 1 7 arg π‘πβ π₯ 7 + πΆ
29. 29. CAPTURANDO LOS RESULTADOS DE LAS DOS INTEGRALES, SE OBTIENE LE RESULTADO FINAL: 4π₯ β 1 ππ₯ 49 β π₯2 = β4 49 β π₯2 β πππ π ππ π₯ 7 + πΆ = β4 49 β π₯2 β 1 7 arg π‘πβ π₯ 7 + πΆ
30. 30. π₯ + 2 ππ₯ 4π₯ β π₯2 π₯ + 2 ππ₯ 4π₯ β π₯2 = π₯ππ₯ 4π₯ β π₯2 + 2 ππ₯ 4π₯ β π₯2 Y NOS VAMOS CON LA PRIMERA INTEGRAL: π₯ππ₯ 4π₯ β π₯2 1 2 π£ = 4π₯ β π₯2 ππ£ = (4 β 2π₯)ππ₯
31. 31. NO TENEMOS TANTO PROBLEMA DEBIDO A QUE YA HAY UNA VARIABLE, LO QUE NOS FALTA ES REALIZAR ES AGREGAR UN COEFICIENTE Y UNA DIFERENCIA: π₯ππ₯ 4π₯ β π₯2 = π₯ππ₯ 4π₯ β π₯2 β2 β2 = 1 β2 β2π₯ππ₯ 4π₯ β π₯2 = 1 β2 4 β 4 β 2π₯ππ₯ 4π₯ β π₯2 = 1 β2 4 β 2π₯ ππ₯ 4π₯ β π₯2 + β4 β2 ππ₯ 4π₯ β π₯2 = β 1 2 4 β 2π₯ ππ₯ 4π₯ β π₯2 + 2 ππ₯ 4π₯ β π₯2 Y VEMOS QUE SE OBTUVIERON DE ESA INTEGRAL DOS MAS. CONTINUEMOS CON LA INTEGRAL 1Βͺ: 1a 1b
32. 32. β 1 2 4 β 2π₯ ππ₯ 4π₯ β π₯2 = β 1 2 ln 4π₯ β π₯2 + πΆ AHORA, SI SON ANALITICOS VEMOS QUE LA INTEGRAL 1b Y 2 SON IDENTICAS, LA UNICA DIFERENCIA ESTA EN LOS COEFICIENTES, POR LO TANTO, SE REALIZA UNA SUMA: 2 ππ₯ 4π₯ β π₯2 + 2 ππ₯ 4π₯ β π₯2 = 4 ππ₯ 4π₯ β π₯2 1b 2
33. 33. Y CONTINUEMOS CON LA SOLUCION DESARROLLANDO EL TRINOMIO CUADRADO PERFECTO Y LUEGO EL BINOMIO AL CUADRADO: 4 ππ₯ 4π₯ β π₯2 4π₯ β π₯2 = β β4π₯ + π₯2 = β β4π₯ + π₯2 + β 4 2 2 β β 4 2 2 = β β4π₯ + π₯2 + β2 2 β β2 2 = β β4π₯ + π₯2 + 4 β 4 = 4π₯ β π₯2 β 4 + 4 = β β4π₯ + π₯2 + 4 + 4 = β π₯ β 2 2 + 4 = 4 β π₯ β 2 2
34. 34. 4 ππ₯ 4π₯ β π₯2 = 4 ππ₯ 4 β π₯ β 2 2 Y AL SER ANALITICOS SE OBSERVA QUE ΓSTA INTEGRAL ES IDENTICA A LA SIGUIENTE: ππ’ π2 β π£2 = 1 2π ln π + π£ π β π£ + πΆ π£2 = π₯ β 2 2 π2 = 4 π£ = π₯ β 2 π = 2 ππ£ = ππ₯
35. 35. SUSTITUYENDO VALORES, SE OBTIENE EL SIGUIENTE RESULTADO: 4 ππ₯ 4 β π₯ β 2 2 = 4 1 2 2 ln 2 + π₯ β 2 2 β π₯ + 2 + πΆ = 4 1 4 ln π₯ 4 β π₯ + πΆ = ln π₯ 4 β π₯ + πΆ Y RECOPILANDO LOS RESULTADOS DE TODAS LAS INTEGRALES, SE OBTIENE EL RESULTADO FINAL DEFINITIVO: π₯ + 2 ππ₯ 4π₯ β π₯2 = β 1 2 ln 4π₯ β π₯2 + ln π₯ 4 β π₯ + πΆ = ln π₯ 4 β π₯ β 1 2 ln 4π₯ β π₯2 + πΆ
36. 36. BIBLIOGRAFIAS ο΄ Garza Olvera, BenjamΓ­n, CΓ‘lculo Integral, MatemΓ‘ticas V, DGETI, 1ra EdiciΓ³n, pΓ‘gs. 388 ο΄ W. SWOKOWSKI, Earl, CΓ‘lculo con GeometrΓ­a AnalΓ­tica, 2da. EdiciΓ³n, Panamericana, Colombia, 1989, 1097 pΓ‘gs
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