METODOS DE INTEGRACION:
*SUSTITUCION ALGEBRAICA*
CALCULO INTEGRAL
1er METODO
Si una integral implica una expresiΓ³n de segundo grado
de tres tΓ©rminos (π‘Žπ‘₯2 + 𝑏π‘₯ + 𝑐) o de dos tΓ©rminos (π‘Žπ‘₯2 +...
𝑑π‘₯
π‘₯2 + 16π‘₯ βˆ’ 17
SOLUCION:
AL TOMAR EL DENOMINADOR TENEMOS LA EXPRESION π‘₯2
+ 16π‘₯ + 3 Y ESTA LA
DEBEMOS DE TRANSFORMAR EN U...
𝑑π‘₯
π‘₯2 + 16π‘₯ + 3
=
𝑑π‘₯
π‘₯ + 8 2 βˆ’ 81
𝑣2
= π‘₯ + 8 2
π‘Ž2
= 81
𝑣 = π‘₯ + 8 π‘Ž = 9
𝑑𝑣
𝑑π‘₯
= 1
𝑑𝑣 = 𝑑π‘₯
REDORDANDO LA FORMULA:
𝑑𝑣
𝑣2 βˆ’ π‘Ž2
=
1
2π‘Ž
ln
𝑣 βˆ’ π‘Ž
𝑣 + π‘Ž
+ 𝐢
SUSTITUYENDO:
𝑑π‘₯
π‘₯ + 8 2 βˆ’ 81
=
1
2(π‘₯ + 8)
ln
π‘₯ + 8 βˆ’ 9
π‘₯ + 8 ...
𝑑π‘₯
6π‘₯ βˆ’ π‘₯2 βˆ’ 1
AL TOMAR EL DENOMINADOR TENEMOS LA EXPRESION 6π‘₯ βˆ’ π‘₯2
βˆ’ 1 Y ESTA LA
DEBEMOS DE TRANSFORMAR EN UN BINOMIO AL ...
ASI QUE:
𝑑π‘₯
6π‘₯ βˆ’ π‘₯2 βˆ’ 1
=
𝑑π‘₯
8 βˆ’ π‘₯ βˆ’ 3 2
𝑣2 = π‘₯ βˆ’ 3 2 π‘Ž2 = 8
𝑣 = π‘₯ βˆ’ 3 π‘Ž = 8
𝑑𝑣
𝑑π‘₯
= 1
𝑑𝑣 = 𝑑π‘₯
RECORDANDO LA FORMULA:
𝑑𝑒
π‘Ž2 βˆ’ 𝑣2
=
1
2π‘Ž
ln
π‘Ž + 𝑣
π‘Ž βˆ’ 𝑣
+ 𝐢
Y SUSTITUYENDO VALORES:
𝑑π‘₯
8 βˆ’ π‘₯ βˆ’ 3 2 =
1
2 8
ln
8 + π‘₯ βˆ’ 3
8 ...
𝑑π‘₯
5 + π‘₯2 + 2π‘₯
AL TOMAR EL DENOMINADOR TENEMOS LA EXPRESION 5 + π‘₯2 + 2π‘₯ Y AL
MOMENTO DE ESTRAER LO QUE ESTA DENTRO DE LA R...
DONDE:
𝑑π‘₯
5 + π‘₯2 + 2π‘₯
=
𝑑π‘₯
π‘₯ + 1 2 + 4
𝑣2
= π‘₯ + 1 2
π‘Ž2
= 4
𝑣 = π‘₯ + 1 π‘Ž = 2
𝑑𝑣
𝑑π‘₯
= 1
𝑑𝑣 = 𝑑π‘₯
RECORDANDO LA FORMULA:
𝑑𝑒
𝑣2 + π‘Ž2
= ln 𝑣 + 𝑣2 + π‘Ž2 + 𝐢 = arg π‘ π‘’π‘›β„Ž
𝑣
π‘Ž
+ 𝐢
Y SUSTITUYENDO VALORES:
𝑑π‘₯
π‘₯ + 1 2 + 4
= ln π‘₯ + ...
𝑑π‘₯
9 + 5π‘₯2 βˆ’ π‘₯
ANTES DE INICIAR VEMOS QUE EN EL DENOMINADOR HAY UN TRINOMIO EN
DONDE NO LA CONSTANTE NO TIENE RAIZ CUADRAD...
= 25π‘₯2 βˆ’ 5π‘₯ + 45 +
1
2
2
βˆ’
1
2
2
= 25π‘₯2 βˆ’ 5π‘₯ + 45 +
1
4
βˆ’
1
4
= 25π‘₯2 βˆ’ 5π‘₯ +
1
4
+ 45 βˆ’
1
4
= 25π‘₯2
βˆ’ 5π‘₯ +
1
4
+ 45 βˆ’
1
4
= ...
VOLVIENDO:
𝑑π‘₯
9 + 5π‘₯2 βˆ’ π‘₯
=
𝑑π‘₯
5π‘₯ βˆ’
1
2
2
+
179
4
𝑣2
= 5π‘₯ βˆ’
1
2
2
π‘Ž2
=
179
4
𝑣 = 5π‘₯ βˆ’
1
2
π‘Ž =
179
4
=
179
2
𝑑𝑣
𝑑π‘₯
= 5
𝑑𝑣 =...
COMO NOS FALTA EL NUMERO 5 EN LA DIFERENCIAL LO QUE SE HARÁ ES
MULTIPLICAR Y DIVIDIR EL NUMERO 5 PARA NO ALTERAR LA INTEGR...
SUSTITUYENDO LOS VALORES SE OBTIENE EL RESULTADO FINAL:
1
5
5𝑑π‘₯
5π‘₯ βˆ’
1
2
2
+
179
4
=
1
5
ln 5π‘₯ βˆ’
1
2
+ 5π‘₯ βˆ’
1
2
2
+
179
4
...
𝑑π‘₯
9 + 5π‘₯2 βˆ’ π‘₯
= ln 5π‘₯ βˆ’
1
2
+ 5π‘₯ βˆ’
1
2
2
+
179
4
1
5
+ 𝐢 =
1
5
arg π‘ π‘’π‘›β„Ž
10π‘₯ βˆ’ 1
179
+ 𝐢
ln
5
5π‘₯ βˆ’
1
2
+ 5π‘₯ βˆ’
1
2
2
+
179
...
2do METODO
CUANDO EL INTEGRANDO ES UNA FRACCION CUYO NUMERADOR ES
UNA EXPRESION DE PRIMER GRADO, MIENTRAS QUE EL DENOMINAD...
π‘₯ + 8 𝑑π‘₯
π‘₯2 + 9
SOLUCION:
SE MULTIPLICARA EL NUMERADOR DE LA INTEGRAL POR SU DIFERENCIAL (ES
DECIR dx):
π‘₯ + 8 𝑑π‘₯
π‘₯2 + 9
=
...
AL ANALIZAR LA PRIMERA INTEGRAL VEMOS QUE ES IDENTICA A LA DE LA
FORMULA SIGUIENTE:
𝑑𝑣
𝑣2 + π‘Ž2
Y VAMOS OBTENIENDO LO SIGUI...
Y COMO NOS FALTA UN NUMERO 2, ESE NUMERO LO MULTIPLICAREMOS Y LO
DIVIDIREMOS:
π‘₯𝑑π‘₯
π‘₯2 + 9
2
2
=
1
2
2π‘₯𝑑π‘₯
π‘₯2 + 9
Y SUSTITUYE...
AHORA NOS VAMOSCON LA SEGUNDA INTEGRAL:
8𝑑π‘₯
π‘₯2 + 9
= 8
𝑑π‘₯
π‘₯2 + 9
Y VEMOS QUE ES IDENTICA A LA FORMULA SIGUIENTE:
𝑑𝑣
𝑣2 + π‘Ž...
8
𝑑π‘₯
π‘₯2 + 9
Y SUSTITUYENDO ESTOS VALORES, SE OBTIENE LO SIGUIENTE:
8
𝑑π‘₯
π‘₯2 + 9
= 8
1
3
π‘Žπ‘Ÿπ‘ 𝑑𝑔
π‘₯
3
+ 𝐢 =
8
3
π‘Žπ‘Ÿπ‘ 𝑑𝑔
π‘₯
3
+ 𝐢...
UNA VEZ YA OBTENIDO LOS RESULTADOS DE LAS INTEGRALES 1 Y 2, AL UNIRLOS
SE OBTIENE EL RESULTADO FINAL Y DEFINITIVO:
π‘₯ + 8 𝑑...
4π‘₯ βˆ’ 1 𝑑π‘₯
49 βˆ’ π‘₯2
SOLUCION:
4π‘₯ βˆ’ 1 𝑑π‘₯
49 βˆ’ π‘₯2
=
4π‘₯𝑑π‘₯
49 βˆ’ π‘₯2
βˆ’
1𝑑π‘₯
49 βˆ’ π‘₯2
= 4
π‘₯𝑑π‘₯
49 βˆ’ π‘₯2
βˆ’
1𝑑π‘₯
49 βˆ’ π‘₯2
COMENCEMOS CON LA...
COMO NOS FALTA UN 2 Y NEGATIVO SE MULTIPLICARA Y SE DIVIDIRA A LA VEZ EN LA
INTEGRAL:
4
π‘₯𝑑π‘₯
49 βˆ’ π‘₯2
= 4
π‘₯𝑑π‘₯
49 βˆ’ π‘₯2
βˆ’2
βˆ’2
...
AHORA NOS VAMOS CON LA SEGUNDA INTEGRAL:
βˆ’
1𝑑π‘₯
49 βˆ’ π‘₯2
= βˆ’
𝑑π‘₯
49 βˆ’ π‘₯2
𝑣2 = π‘₯2 π‘Ž2 = 49
𝑣 = π‘₯ π‘Ž = 7
𝑑𝑣 = 𝑑π‘₯
Y VEMOS QUE ESTA INTEGRAL ES IDENTICA A LA SIGUIENTE:
𝑑𝑣
π‘Ž2 βˆ’ 𝑣2
= π‘Žπ‘Ÿπ‘ 𝑠𝑒𝑛
𝑣
π‘Ž
+ 𝐢 =
1
π‘Ž
arg π‘‘π‘”β„Ž
𝑣
π‘Ž
+ 𝐢
SUSTITUYENDO VALO...
CAPTURANDO LOS RESULTADOS DE LAS DOS INTEGRALES, SE OBTIENE LE
RESULTADO FINAL:
4π‘₯ βˆ’ 1 𝑑π‘₯
49 βˆ’ π‘₯2
= βˆ’4 49 βˆ’ π‘₯2 βˆ’ π‘Žπ‘Ÿπ‘ 𝑠𝑒𝑛
π‘₯...
π‘₯ + 2 𝑑π‘₯
4π‘₯ βˆ’ π‘₯2
π‘₯ + 2 𝑑π‘₯
4π‘₯ βˆ’ π‘₯2 =
π‘₯𝑑π‘₯
4π‘₯ βˆ’ π‘₯2 + 2
𝑑π‘₯
4π‘₯ βˆ’ π‘₯2
Y NOS VAMOS CON LA PRIMERA INTEGRAL:
π‘₯𝑑π‘₯
4π‘₯ βˆ’ π‘₯2
1 2
𝑣 = 4π‘₯...
NO TENEMOS TANTO PROBLEMA DEBIDO A QUE YA HAY UNA VARIABLE, LO
QUE NOS FALTA ES REALIZAR ES AGREGAR UN COEFICIENTE Y UNA D...
βˆ’
1
2
4 βˆ’ 2π‘₯ 𝑑π‘₯
4π‘₯ βˆ’ π‘₯2 = βˆ’
1
2
ln 4π‘₯ βˆ’ π‘₯2
+ 𝐢
AHORA, SI SON ANALITICOS VEMOS QUE LA INTEGRAL 1b Y 2 SON IDENTICAS,
LA UNI...
Y CONTINUEMOS CON LA SOLUCION DESARROLLANDO EL TRINOMIO
CUADRADO PERFECTO Y LUEGO EL BINOMIO AL CUADRADO:
4
𝑑π‘₯
4π‘₯ βˆ’ π‘₯2
4π‘₯ ...
4
𝑑π‘₯
4π‘₯ βˆ’ π‘₯2 = 4
𝑑π‘₯
4 βˆ’ π‘₯ βˆ’ 2 2
Y AL SER ANALITICOS SE OBSERVA QUE Γ‰STA INTEGRAL ES IDENTICA A LA SIGUIENTE:
𝑑𝑒
π‘Ž2 βˆ’ 𝑣2 =
...
SUSTITUYENDO VALORES, SE OBTIENE EL SIGUIENTE RESULTADO:
4
𝑑π‘₯
4 βˆ’ π‘₯ βˆ’ 2 2
= 4
1
2 2
ln
2 + π‘₯ βˆ’ 2
2 βˆ’ π‘₯ + 2
+ 𝐢 = 4
1
4
ln
...
BIBLIOGRAFIAS
ο‚΄ Garza Olvera, BenjamΓ­n, CΓ‘lculo Integral, MatemΓ‘ticas
V, DGETI, 1ra EdiciΓ³n, pΓ‘gs. 388
ο‚΄ W. SWOKOWSKI, Ear...
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Metodos de integracion sustitucion algebraica

  1. 1. METODOS DE INTEGRACION: *SUSTITUCION ALGEBRAICA* CALCULO INTEGRAL
  2. 2. 1er METODO Si una integral implica una expresiΓ³n de segundo grado de tres tΓ©rminos (π‘Žπ‘₯2 + 𝑏π‘₯ + 𝑐) o de dos tΓ©rminos (π‘Žπ‘₯2 + 𝑏π‘₯), Γ©sta puede reducirse a una expresiΓ³n de dos tΓ©rminos (𝑣2 Β± π‘Ž2) y (π‘Ž2 βˆ’ 𝑣2) completando el cuadrado (sustituciΓ³n algebraica).
  3. 3. 𝑑π‘₯ π‘₯2 + 16π‘₯ βˆ’ 17 SOLUCION: AL TOMAR EL DENOMINADOR TENEMOS LA EXPRESION π‘₯2 + 16π‘₯ + 3 Y ESTA LA DEBEMOS DE TRANSFORMAR EN UN BINOMIO AL CUADRADO: π‘₯2 + 16π‘₯ βˆ’ 17 = π‘₯2 + 16π‘₯ βˆ’ 17 + 16 2 2 βˆ’ 16 2 2 = π‘₯2 + 16π‘₯ βˆ’ 17 + 82 βˆ’82 = π‘₯2 + 16π‘₯ βˆ’ 17 + 64 βˆ’ 64 = π‘₯2 + 16π‘₯ + 64 βˆ’ 17 βˆ’ 64 = π‘₯2 + 16π‘₯ + 64 βˆ’ 17 βˆ’ 64 = π‘₯ + 8 2 βˆ’ 81
  4. 4. 𝑑π‘₯ π‘₯2 + 16π‘₯ + 3 = 𝑑π‘₯ π‘₯ + 8 2 βˆ’ 81 𝑣2 = π‘₯ + 8 2 π‘Ž2 = 81 𝑣 = π‘₯ + 8 π‘Ž = 9 𝑑𝑣 𝑑π‘₯ = 1 𝑑𝑣 = 𝑑π‘₯
  5. 5. REDORDANDO LA FORMULA: 𝑑𝑣 𝑣2 βˆ’ π‘Ž2 = 1 2π‘Ž ln 𝑣 βˆ’ π‘Ž 𝑣 + π‘Ž + 𝐢 SUSTITUYENDO: 𝑑π‘₯ π‘₯ + 8 2 βˆ’ 81 = 1 2(π‘₯ + 8) ln π‘₯ + 8 βˆ’ 9 π‘₯ + 8 + 9 + 𝐢 = 1 2(π‘₯ + 8) ln π‘₯ βˆ’ 1 π‘₯ + 17 + 𝐢 ASI QUE: 𝑑π‘₯ π‘₯2 + 16π‘₯ + 3 = 1 2(π‘₯ + 8) ln π‘₯ βˆ’ 1 π‘₯ + 17 + 𝐢
  6. 6. 𝑑π‘₯ 6π‘₯ βˆ’ π‘₯2 βˆ’ 1 AL TOMAR EL DENOMINADOR TENEMOS LA EXPRESION 6π‘₯ βˆ’ π‘₯2 βˆ’ 1 Y ESTA LA DEBEMOS DE TRANSFORMAR EN UN BINOMIO AL CUADRADO: 6π‘₯ βˆ’ π‘₯2 βˆ’ 1 = βˆ’π‘₯2 + 6π‘₯ βˆ’ 1 = βˆ’π‘₯2 + 6π‘₯ βˆ’ 1 + 6 2 2 βˆ’ 6 2 2 = βˆ’π‘₯2 + 6π‘₯ βˆ’ 1 + 3 2 βˆ’ 3 2 = βˆ’π‘₯2 + 6π‘₯ βˆ’ 1 + 9 βˆ’ 9 = βˆ’π‘₯2 + 6π‘₯ βˆ’ 9 + 9 βˆ’ 1 = βˆ’π‘₯2 + 6π‘₯ βˆ’ 9 + 9 βˆ’ 1 = βˆ’ π‘₯2 βˆ’ 6π‘₯ + 9 + 9 βˆ’ 1 = βˆ’ π‘₯ βˆ’ 3 2 + 8 = 8 βˆ’ π‘₯ βˆ’ 3 2
  7. 7. ASI QUE: 𝑑π‘₯ 6π‘₯ βˆ’ π‘₯2 βˆ’ 1 = 𝑑π‘₯ 8 βˆ’ π‘₯ βˆ’ 3 2 𝑣2 = π‘₯ βˆ’ 3 2 π‘Ž2 = 8 𝑣 = π‘₯ βˆ’ 3 π‘Ž = 8 𝑑𝑣 𝑑π‘₯ = 1 𝑑𝑣 = 𝑑π‘₯
  8. 8. RECORDANDO LA FORMULA: 𝑑𝑒 π‘Ž2 βˆ’ 𝑣2 = 1 2π‘Ž ln π‘Ž + 𝑣 π‘Ž βˆ’ 𝑣 + 𝐢 Y SUSTITUYENDO VALORES: 𝑑π‘₯ 8 βˆ’ π‘₯ βˆ’ 3 2 = 1 2 8 ln 8 + π‘₯ βˆ’ 3 8 βˆ’ π‘₯ + 3 + 𝐢 POR LO TANTO, EL RESULTADO ES: 𝑑π‘₯ 6π‘₯ βˆ’ π‘₯2 βˆ’ 1 = 1 2 8 ln 8 + π‘₯ βˆ’ 3 8 βˆ’ π‘₯ + 3 + 𝐢 = 1 4 2 ln 8 + π‘₯ βˆ’ 3 8 βˆ’ π‘₯ + 3
  9. 9. 𝑑π‘₯ 5 + π‘₯2 + 2π‘₯ AL TOMAR EL DENOMINADOR TENEMOS LA EXPRESION 5 + π‘₯2 + 2π‘₯ Y AL MOMENTO DE ESTRAER LO QUE ESTA DENTRO DE LA RAIZ (ES DECIR 5 + π‘₯2 + 2π‘₯ ) LA DEBEMOS DE TRANSFORMAR EN UN BINOMIO AL CUADRADO: 5 + π‘₯2 + 2π‘₯ = π‘₯2 + 2π‘₯ + 5 = π‘₯2 + 2π‘₯ + 5 + 2 2 2 βˆ’ 2 2 2 = π‘₯2 + 2π‘₯ + 5 + 1 2 βˆ’ 1 2 = π‘₯2 + 2π‘₯ + 5 + 1 βˆ’ 1 = π‘₯2 + 2π‘₯ + 1 + 5 βˆ’ 1 = π‘₯2 + 2π‘₯ + 1 + 5 βˆ’ 1 = π‘₯ + 1 2 +4
  10. 10. DONDE: 𝑑π‘₯ 5 + π‘₯2 + 2π‘₯ = 𝑑π‘₯ π‘₯ + 1 2 + 4 𝑣2 = π‘₯ + 1 2 π‘Ž2 = 4 𝑣 = π‘₯ + 1 π‘Ž = 2 𝑑𝑣 𝑑π‘₯ = 1 𝑑𝑣 = 𝑑π‘₯
  11. 11. RECORDANDO LA FORMULA: 𝑑𝑒 𝑣2 + π‘Ž2 = ln 𝑣 + 𝑣2 + π‘Ž2 + 𝐢 = arg π‘ π‘’π‘›β„Ž 𝑣 π‘Ž + 𝐢 Y SUSTITUYENDO VALORES: 𝑑π‘₯ π‘₯ + 1 2 + 4 = ln π‘₯ + 1 + π‘₯ + 1 2 + 4 + 𝐢 = arg π‘ π‘’π‘›β„Ž π‘₯ + 1 2 + 𝐢 POR LO TANTO, EL RESULTADO ES: 𝑑π‘₯ 5 + π‘₯2 + 2π‘₯ = ln π‘₯ + 1 + π‘₯ + 1 2 + 4 + 𝐢 = arg π‘ π‘’π‘›β„Ž π‘₯ + 1 2 + 𝐢
  12. 12. 𝑑π‘₯ 9 + 5π‘₯2 βˆ’ π‘₯ ANTES DE INICIAR VEMOS QUE EN EL DENOMINADOR HAY UN TRINOMIO EN DONDE NO LA CONSTANTE NO TIENE RAIZ CUADRADA, ASI QUE, SE MULTIPLICARÁ Y SE DIVIDIRÁ POR EL VALOR DEL COEFICIENTE EN DONDE ESTA ACOMPAΓ‘ANDO π‘₯2 PARA OBTENER UN TRINOMIO CUADRADADO PERFECTO: 𝑑π‘₯ 9 + 5π‘₯2 βˆ’ π‘₯ = 𝑑π‘₯ 9 + 5π‘₯2 βˆ’ π‘₯ 5 5 = 5 𝑑π‘₯ 5 9 + 5π‘₯2 βˆ’ π‘₯ = 5 𝑑π‘₯ 45 + 25π‘₯2 βˆ’ 5π‘₯ AHORA OBTUVIMOS UN TRINOMIO DE LA FORMA π‘Žπ‘₯2 + 𝑏π‘₯ + 𝑐 PERO NO ES PERFECTO, POR LO TANTO, HAREMOS QUE: 45 + 25π‘₯2 βˆ’ 5π‘₯ = 25π‘₯2 βˆ’ 5π‘₯ + 45 = 25π‘₯2 βˆ’ 5π‘₯ + 45 + 5 10 2 βˆ’ 5 10 2
  13. 13. = 25π‘₯2 βˆ’ 5π‘₯ + 45 + 1 2 2 βˆ’ 1 2 2 = 25π‘₯2 βˆ’ 5π‘₯ + 45 + 1 4 βˆ’ 1 4 = 25π‘₯2 βˆ’ 5π‘₯ + 1 4 + 45 βˆ’ 1 4 = 25π‘₯2 βˆ’ 5π‘₯ + 1 4 + 45 βˆ’ 1 4 = 5π‘₯ βˆ’ 1 2 2 + 179 4 NOTA: EN LOS EJEMPLOS ANTERIORES AL MOMENTO DE REALIZAR EL TRINOMIO CUADRADO PERFECTO SE HIZO UNA DIVISION ENTRE 2 DEBIDO AL DICHO DEL BINOMIO AL CUADRADO: EL DOBLE PRODUCTO DEL PRIMER TERMINO POR EL SEGUNDO TERMINO; PERO COMO HAY UN 5 EN EL PRIMER TERMINO ESE VALOR DEL COFICIENTE SE DIVIDE ENTRE EL PRODUCTO DE ESOS DOS TERMINOS, ES DECIR: 5 2 βˆ’β†’ 5 2 5 = 5 10 = 1 2
  14. 14. VOLVIENDO: 𝑑π‘₯ 9 + 5π‘₯2 βˆ’ π‘₯ = 𝑑π‘₯ 5π‘₯ βˆ’ 1 2 2 + 179 4 𝑣2 = 5π‘₯ βˆ’ 1 2 2 π‘Ž2 = 179 4 𝑣 = 5π‘₯ βˆ’ 1 2 π‘Ž = 179 4 = 179 2 𝑑𝑣 𝑑π‘₯ = 5 𝑑𝑣 = 5𝑑π‘₯
  15. 15. COMO NOS FALTA EL NUMERO 5 EN LA DIFERENCIAL LO QUE SE HARÁ ES MULTIPLICAR Y DIVIDIR EL NUMERO 5 PARA NO ALTERAR LA INTEGRAL: 𝑑π‘₯ 5π‘₯ βˆ’ 1 2 2 + 179 4 = 𝑑π‘₯ 5π‘₯ βˆ’ 1 2 2 + 179 4 5 5 = 1 5 5𝑑π‘₯ 5π‘₯ βˆ’ 1 2 2 + 179 4 RECORDANDO LA FORMULA: 𝑑𝑒 𝑣2 + π‘Ž2 = ln 𝑣 + 𝑣2 + π‘Ž2 + 𝐢 = arg π‘ π‘’π‘›β„Ž 𝑣 π‘Ž + 𝐢
  16. 16. SUSTITUYENDO LOS VALORES SE OBTIENE EL RESULTADO FINAL: 1 5 5𝑑π‘₯ 5π‘₯ βˆ’ 1 2 2 + 179 4 = 1 5 ln 5π‘₯ βˆ’ 1 2 + 5π‘₯ βˆ’ 1 2 2 + 179 4 + 𝐢 = 1 5 arg π‘ π‘’π‘›β„Ž 5π‘₯ βˆ’ 1 2 179 2 + 𝐢 = ln 5π‘₯ βˆ’ 1 2 + 5π‘₯ βˆ’ 1 2 2 + 179 4 1 5 + 𝐢 = 1 5 arg π‘ π‘’π‘›β„Ž 10π‘₯ βˆ’ 1 179 + 𝐢
  17. 17. 𝑑π‘₯ 9 + 5π‘₯2 βˆ’ π‘₯ = ln 5π‘₯ βˆ’ 1 2 + 5π‘₯ βˆ’ 1 2 2 + 179 4 1 5 + 𝐢 = 1 5 arg π‘ π‘’π‘›β„Ž 10π‘₯ βˆ’ 1 179 + 𝐢 ln 5 5π‘₯ βˆ’ 1 2 + 5π‘₯ βˆ’ 1 2 2 + 179 4 + 𝐢 = 1 5 arg π‘ π‘’π‘›β„Ž 10π‘₯ βˆ’ 1 179 + 𝐢
  18. 18. 2do METODO CUANDO EL INTEGRANDO ES UNA FRACCION CUYO NUMERADOR ES UNA EXPRESION DE PRIMER GRADO, MIENTRAS QUE EL DENOMINADOR ES UNA EXPRESION DE SEGUNDO GRADO O LA RAIZ CUADRADA DE TAL EXPRESION, LA INTEGRAL DADA PUEDE REDUCIRSE A UNA INTEGRAL INMEDIATA.
  19. 19. π‘₯ + 8 𝑑π‘₯ π‘₯2 + 9 SOLUCION: SE MULTIPLICARA EL NUMERADOR DE LA INTEGRAL POR SU DIFERENCIAL (ES DECIR dx): π‘₯ + 8 𝑑π‘₯ π‘₯2 + 9 = π‘₯𝑑π‘₯ π‘₯2 + 9 + 8𝑑π‘₯ π‘₯2 + 9 Y OBTENEMOS DOS INTEGRALES MAS. COMENCEMOS CON LA PRIMERA: 1 2
  20. 20. AL ANALIZAR LA PRIMERA INTEGRAL VEMOS QUE ES IDENTICA A LA DE LA FORMULA SIGUIENTE: 𝑑𝑣 𝑣2 + π‘Ž2 Y VAMOS OBTENIENDO LO SIGUIENTE: π‘₯𝑑π‘₯ π‘₯2 + 9 𝑣 = π‘₯2 + 9 𝑑𝑣 = 2π‘₯𝑑π‘₯
  21. 21. Y COMO NOS FALTA UN NUMERO 2, ESE NUMERO LO MULTIPLICAREMOS Y LO DIVIDIREMOS: π‘₯𝑑π‘₯ π‘₯2 + 9 2 2 = 1 2 2π‘₯𝑑π‘₯ π‘₯2 + 9 Y SUSTITUYENDO VALORES SE OBTIENE EL RESULTADO FINAL: 1 2 2π‘₯𝑑π‘₯ π‘₯2 + 9 = 1 2 ln π‘₯2 + 9 + 𝐢 = ln π‘₯2 + 9 + 𝐢
  22. 22. AHORA NOS VAMOSCON LA SEGUNDA INTEGRAL: 8𝑑π‘₯ π‘₯2 + 9 = 8 𝑑π‘₯ π‘₯2 + 9 Y VEMOS QUE ES IDENTICA A LA FORMULA SIGUIENTE: 𝑑𝑣 𝑣2 + π‘Ž2 = 1 π‘Ž π‘Žπ‘Ÿπ‘ 𝑑𝑔 𝑣 π‘Ž + 𝐢 Y OBTENGAMOS ALGUNOS VALORES:
  23. 23. 8 𝑑π‘₯ π‘₯2 + 9 Y SUSTITUYENDO ESTOS VALORES, SE OBTIENE LO SIGUIENTE: 8 𝑑π‘₯ π‘₯2 + 9 = 8 1 3 π‘Žπ‘Ÿπ‘ 𝑑𝑔 π‘₯ 3 + 𝐢 = 8 3 π‘Žπ‘Ÿπ‘ 𝑑𝑔 π‘₯ 3 + 𝐢 𝑣2 = π‘₯2 π‘Ž2 = 9 𝑣 = π‘₯ π‘Ž = 3 𝑑𝑣 = 𝑑π‘₯
  24. 24. UNA VEZ YA OBTENIDO LOS RESULTADOS DE LAS INTEGRALES 1 Y 2, AL UNIRLOS SE OBTIENE EL RESULTADO FINAL Y DEFINITIVO: π‘₯ + 8 𝑑π‘₯ π‘₯2 + 9 = ln π‘₯2 + 9 + 8 3 π‘Žπ‘Ÿπ‘ 𝑑𝑔 π‘₯ 3 + 𝐢
  25. 25. 4π‘₯ βˆ’ 1 𝑑π‘₯ 49 βˆ’ π‘₯2 SOLUCION: 4π‘₯ βˆ’ 1 𝑑π‘₯ 49 βˆ’ π‘₯2 = 4π‘₯𝑑π‘₯ 49 βˆ’ π‘₯2 βˆ’ 1𝑑π‘₯ 49 βˆ’ π‘₯2 = 4 π‘₯𝑑π‘₯ 49 βˆ’ π‘₯2 βˆ’ 1𝑑π‘₯ 49 βˆ’ π‘₯2 COMENCEMOS CON LA INTEGRAL 1: 4 π‘₯𝑑π‘₯ 49 βˆ’ π‘₯2 1 2 𝑣 = 49 βˆ’ π‘₯2 𝑑𝑣 = βˆ’2π‘₯𝑑π‘₯
  26. 26. COMO NOS FALTA UN 2 Y NEGATIVO SE MULTIPLICARA Y SE DIVIDIRA A LA VEZ EN LA INTEGRAL: 4 π‘₯𝑑π‘₯ 49 βˆ’ π‘₯2 = 4 π‘₯𝑑π‘₯ 49 βˆ’ π‘₯2 βˆ’2 βˆ’2 = 4 βˆ’2 βˆ’2π‘₯𝑑π‘₯ 49 βˆ’ π‘₯2 = βˆ’2 βˆ’2π‘₯𝑑π‘₯ 49 βˆ’ π‘₯2 Y SUSTITUYENDO VALORES SE OBTIENE LO SIGUIENTE: βˆ’2 βˆ’2π‘₯𝑑π‘₯ 49 βˆ’ π‘₯2 = βˆ’2 βˆ’2π‘₯𝑑π‘₯ 49 βˆ’ π‘₯2 1 2 = βˆ’2 (49 βˆ’ π‘₯2 )βˆ’ 1 2 βˆ’2π‘₯𝑑π‘₯ = βˆ’2 49 βˆ’ π‘₯2 βˆ’ 1 2 +1 βˆ’ 1 2 + 1 + 𝐢 = βˆ’2 49 βˆ’ π‘₯2 1 2 1 2 + 𝐢 = βˆ’2 2 49 βˆ’ π‘₯2 1 2 + 𝐢 = βˆ’4 49 βˆ’ π‘₯2 1 2 + 𝐢 = βˆ’4 49 βˆ’ π‘₯2 + 𝐢
  27. 27. AHORA NOS VAMOS CON LA SEGUNDA INTEGRAL: βˆ’ 1𝑑π‘₯ 49 βˆ’ π‘₯2 = βˆ’ 𝑑π‘₯ 49 βˆ’ π‘₯2 𝑣2 = π‘₯2 π‘Ž2 = 49 𝑣 = π‘₯ π‘Ž = 7 𝑑𝑣 = 𝑑π‘₯
  28. 28. Y VEMOS QUE ESTA INTEGRAL ES IDENTICA A LA SIGUIENTE: 𝑑𝑣 π‘Ž2 βˆ’ 𝑣2 = π‘Žπ‘Ÿπ‘ 𝑠𝑒𝑛 𝑣 π‘Ž + 𝐢 = 1 π‘Ž arg π‘‘π‘”β„Ž 𝑣 π‘Ž + 𝐢 SUSTITUYENDO VALORES SE OBTIENE LO SIGUIENTE: βˆ’ 𝑑π‘₯ 49 βˆ’ π‘₯2 = βˆ’π‘Žπ‘Ÿπ‘ 𝑠𝑒𝑛 π‘₯ 7 + 𝐢 = βˆ’ 1 7 arg π‘‘π‘”β„Ž π‘₯ 7 + 𝐢
  29. 29. CAPTURANDO LOS RESULTADOS DE LAS DOS INTEGRALES, SE OBTIENE LE RESULTADO FINAL: 4π‘₯ βˆ’ 1 𝑑π‘₯ 49 βˆ’ π‘₯2 = βˆ’4 49 βˆ’ π‘₯2 βˆ’ π‘Žπ‘Ÿπ‘ 𝑠𝑒𝑛 π‘₯ 7 + 𝐢 = βˆ’4 49 βˆ’ π‘₯2 βˆ’ 1 7 arg π‘‘π‘”β„Ž π‘₯ 7 + 𝐢
  30. 30. π‘₯ + 2 𝑑π‘₯ 4π‘₯ βˆ’ π‘₯2 π‘₯ + 2 𝑑π‘₯ 4π‘₯ βˆ’ π‘₯2 = π‘₯𝑑π‘₯ 4π‘₯ βˆ’ π‘₯2 + 2 𝑑π‘₯ 4π‘₯ βˆ’ π‘₯2 Y NOS VAMOS CON LA PRIMERA INTEGRAL: π‘₯𝑑π‘₯ 4π‘₯ βˆ’ π‘₯2 1 2 𝑣 = 4π‘₯ βˆ’ π‘₯2 𝑑𝑣 = (4 βˆ’ 2π‘₯)𝑑π‘₯
  31. 31. NO TENEMOS TANTO PROBLEMA DEBIDO A QUE YA HAY UNA VARIABLE, LO QUE NOS FALTA ES REALIZAR ES AGREGAR UN COEFICIENTE Y UNA DIFERENCIA: π‘₯𝑑π‘₯ 4π‘₯ βˆ’ π‘₯2 = π‘₯𝑑π‘₯ 4π‘₯ βˆ’ π‘₯2 βˆ’2 βˆ’2 = 1 βˆ’2 βˆ’2π‘₯𝑑π‘₯ 4π‘₯ βˆ’ π‘₯2 = 1 βˆ’2 4 βˆ’ 4 βˆ’ 2π‘₯𝑑π‘₯ 4π‘₯ βˆ’ π‘₯2 = 1 βˆ’2 4 βˆ’ 2π‘₯ 𝑑π‘₯ 4π‘₯ βˆ’ π‘₯2 + βˆ’4 βˆ’2 𝑑π‘₯ 4π‘₯ βˆ’ π‘₯2 = βˆ’ 1 2 4 βˆ’ 2π‘₯ 𝑑π‘₯ 4π‘₯ βˆ’ π‘₯2 + 2 𝑑π‘₯ 4π‘₯ βˆ’ π‘₯2 Y VEMOS QUE SE OBTUVIERON DE ESA INTEGRAL DOS MAS. CONTINUEMOS CON LA INTEGRAL 1Βͺ: 1a 1b
  32. 32. βˆ’ 1 2 4 βˆ’ 2π‘₯ 𝑑π‘₯ 4π‘₯ βˆ’ π‘₯2 = βˆ’ 1 2 ln 4π‘₯ βˆ’ π‘₯2 + 𝐢 AHORA, SI SON ANALITICOS VEMOS QUE LA INTEGRAL 1b Y 2 SON IDENTICAS, LA UNICA DIFERENCIA ESTA EN LOS COEFICIENTES, POR LO TANTO, SE REALIZA UNA SUMA: 2 𝑑π‘₯ 4π‘₯ βˆ’ π‘₯2 + 2 𝑑π‘₯ 4π‘₯ βˆ’ π‘₯2 = 4 𝑑π‘₯ 4π‘₯ βˆ’ π‘₯2 1b 2
  33. 33. Y CONTINUEMOS CON LA SOLUCION DESARROLLANDO EL TRINOMIO CUADRADO PERFECTO Y LUEGO EL BINOMIO AL CUADRADO: 4 𝑑π‘₯ 4π‘₯ βˆ’ π‘₯2 4π‘₯ βˆ’ π‘₯2 = βˆ’ βˆ’4π‘₯ + π‘₯2 = βˆ’ βˆ’4π‘₯ + π‘₯2 + βˆ’ 4 2 2 βˆ’ βˆ’ 4 2 2 = βˆ’ βˆ’4π‘₯ + π‘₯2 + βˆ’2 2 βˆ’ βˆ’2 2 = βˆ’ βˆ’4π‘₯ + π‘₯2 + 4 βˆ’ 4 = 4π‘₯ βˆ’ π‘₯2 βˆ’ 4 + 4 = βˆ’ βˆ’4π‘₯ + π‘₯2 + 4 + 4 = βˆ’ π‘₯ βˆ’ 2 2 + 4 = 4 βˆ’ π‘₯ βˆ’ 2 2
  34. 34. 4 𝑑π‘₯ 4π‘₯ βˆ’ π‘₯2 = 4 𝑑π‘₯ 4 βˆ’ π‘₯ βˆ’ 2 2 Y AL SER ANALITICOS SE OBSERVA QUE Γ‰STA INTEGRAL ES IDENTICA A LA SIGUIENTE: 𝑑𝑒 π‘Ž2 βˆ’ 𝑣2 = 1 2π‘Ž ln π‘Ž + 𝑣 π‘Ž βˆ’ 𝑣 + 𝐢 𝑣2 = π‘₯ βˆ’ 2 2 π‘Ž2 = 4 𝑣 = π‘₯ βˆ’ 2 π‘Ž = 2 𝑑𝑣 = 𝑑π‘₯
  35. 35. SUSTITUYENDO VALORES, SE OBTIENE EL SIGUIENTE RESULTADO: 4 𝑑π‘₯ 4 βˆ’ π‘₯ βˆ’ 2 2 = 4 1 2 2 ln 2 + π‘₯ βˆ’ 2 2 βˆ’ π‘₯ + 2 + 𝐢 = 4 1 4 ln π‘₯ 4 βˆ’ π‘₯ + 𝐢 = ln π‘₯ 4 βˆ’ π‘₯ + 𝐢 Y RECOPILANDO LOS RESULTADOS DE TODAS LAS INTEGRALES, SE OBTIENE EL RESULTADO FINAL DEFINITIVO: π‘₯ + 2 𝑑π‘₯ 4π‘₯ βˆ’ π‘₯2 = βˆ’ 1 2 ln 4π‘₯ βˆ’ π‘₯2 + ln π‘₯ 4 βˆ’ π‘₯ + 𝐢 = ln π‘₯ 4 βˆ’ π‘₯ βˆ’ 1 2 ln 4π‘₯ βˆ’ π‘₯2 + 𝐢
  36. 36. BIBLIOGRAFIAS ο‚΄ Garza Olvera, BenjamΓ­n, CΓ‘lculo Integral, MatemΓ‘ticas V, DGETI, 1ra EdiciΓ³n, pΓ‘gs. 388 ο‚΄ W. SWOKOWSKI, Earl, CΓ‘lculo con GeometrΓ­a AnalΓ­tica, 2da. EdiciΓ³n, Panamericana, Colombia, 1989, 1097 pΓ‘gs
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