Las derivadas con sus parametros
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    Las derivadas con sus parametros Las derivadas con sus parametros Presentation Transcript

    • DERIVADAS CON SUS PARAMETROS CALCULO VECTORIAL
    • Si una curva está dada por las ecuaciones x=f(t) y y=g(t), entonces la pendiente de esa curva en (x,y) es: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑡 En donde 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ≠ 0
    • Hallar 𝑑𝑦 𝑑𝑥 PARA LA FUNCION 𝑥 = 𝑡2 Y 𝑦 = 5 − 4𝑡 SOLUCION: Las funciones son: 𝑥 = 𝑡2 Y 𝑦 = 5 − 4𝑡 Por lo tanto sus derivadas son: 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 2𝑡 y 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = −4
    • Y al sustituir estas derivadas a la fórmula, se obtiene los siguiente: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = −4 2𝑡 = − 2 𝑡 Y como resultado final: 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = − 2 𝑡
    • Hallar 𝑑𝑦 𝑑𝑥 PARA LA FUNCION 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 Y 𝑦 = cos2 𝜃 SOLUCION: Las funciones son: 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 Y 𝑦 = cos2 𝜃 Por lo tanto sus derivadas son: 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 2 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 y 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = −2 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃
    • Y al sustituir estas derivadas a la fórmula, se obtiene los siguiente: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = −2 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 2 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 = −1 Y como resultado final: 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = −1
    • Para obtener la segunda derivada, la tercera y así sucesivamente, se obtiene lo siguiente: 𝑑2 𝑥 𝑑𝑦2 = 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑥 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒𝑟𝑐𝑖𝑐𝑖𝑜 = 𝑑 𝑑𝑡 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑑3 𝑥 𝑑𝑦3 = 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑥 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒𝑟𝑐𝑖𝑐𝑖𝑜 = 𝑑 𝑑𝑡 𝑑2 𝑥 𝑑𝑦2 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑑 𝑛+1 𝑥 𝑑𝑦 𝑛+1 = 𝑑 𝑑𝑡 𝑑 𝑛 𝑥 𝑑𝑦 𝑛 𝑑𝑥 𝑑𝑡
    • En ocasiones las derivadas representan cosas importantes, tales como: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑙𝑎 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 = 𝑚 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 = 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑎𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑
    • Hallar la pendiente y la concavidad de la función 𝑥 = 𝑡 + 1 𝑦 𝑦 = 𝑡2 + 3𝑡 cuyo valor para t=-1 Primero encontraremos la primera derivada, ya que pertenece a la pendiente: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑚 = 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑑 𝑑𝑡 𝑡2 + 3𝑡 𝑑 𝑑𝑡 𝑡 + 1 = 2𝑡 + 3 1 = 2𝑡 + 3 𝑑2 𝑥 𝑑𝑦2 = 𝑑 𝑑𝑡 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑑 𝑑𝑡 2𝑡 + 3 𝑑 𝑑𝑡 𝑡 + 1 = 2 1 = 2 =⇒ 2 > 0 (𝐴𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎)
    • En este caso, solo sustituiremos el valor de t para encontrar la pendiente, ya que la concavidad ya tiene su propio valor: 𝑚 = 2𝑡 + 3 = −2 + 3 = 1 Y por lo tanto tenemos los resultados de: 𝑚 = 1 𝐶𝑜𝑛𝑐𝑎𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑒𝑠 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎 𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 12 > 0
    • Hallar la pendiente y la concavidad de la función x=2t y y=3t-1 cuyo valor para t=3 SOLUCION: Primero encontraremos la primera derivada, ya que pertenece a la pendiente: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑚 = 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑑 𝑑𝑡 3𝑡 − 1 𝑑 𝑑𝑡 2𝑡 = 3 2 𝑑2 𝑥 𝑑𝑦2 = 𝑑 𝑑𝑡 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑑 𝑑𝑡 3 2 𝑑 𝑑𝑡 2𝑡 = 0 2 = 0
    • Como resultado se puede decir que: 𝑚 = 3 2 Y la concavidad se considerará que no hay, debido a que las funciones son lineales, y la concavidad solo se da en funciones no lineales, es decir, que sean curvas.
    • Hallar la pendiente y la concavidad de 𝑥 = 𝑡 y 𝑦 = 1 4 𝑡2 − 4 t ≥ 0 CUYO PUNTO ES DE (2,3) SOLUCION: Encontraremos la primera derivada, ya que pertenece a la pendiente: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑚 = 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑑 𝑑𝑡 1 4 𝑡2 − 4 𝑑 𝑑𝑡 𝑡 = 2 4 𝑡 1 2 𝑡− 1 2 = 𝑡 𝑡− 1 2 = 𝑡 ∙ 𝑡 1 2 = 𝑡1+ 1 2 = 𝑡 3 2 𝑑2 𝑥 𝑑𝑦2 = 𝑑 𝑑𝑡 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑑 𝑑𝑡 𝑡 3 2 𝑑 𝑑𝑡 𝑡 = 3 2 𝑡 1 2 1 2 𝑡− 1 2 = 3 𝑡 1 2 ∙ 𝑡 1 2 = 3𝑡 1 2+ 1 2 = 3𝑡
    • Antes de obtener el valor de t, necesitamos realizar despejes, es por eso que en el ejemplo nos da el punto dado: Con la coordenada (2,3), se puede sustituir a cualquiera de las dos ecuaciones: 𝑥 = 𝑡 𝑦 = 1 4 𝑡2 − 4 2 = 𝑡 3 = 1 4 𝑡2 − 4 2 2 = 𝑡 12 = 𝑡2 − 4 4 = 𝑡 16 = 𝑡2 4 = 𝑡 4 = 𝑡
    • Vemos que ambos valores dan el mismo resultado, y eso es correcto, ya que si alguno de ellos es diferente, quiere decir que el punto dado no pertenece a la función (o se puede decir que está fuera de ella). Ahora, al sustituir el valor de “t” para las derivadas que se obtuvieron anteriormente, obtenemos el resultado final: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑚 = 𝑡 3 2 = 4 3 2 = 8 𝑑2 𝑥 𝑑𝑦2 = 3 4 = 12
    • Por lo tanto, los resultados finales son: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑚 = 8 𝑑2 𝑥 𝑑𝑦2 = 12 𝑒𝑠 𝐶𝑜𝑛𝑐𝑎𝑣𝑎 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎, 𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 12 > 0
    • Hallar la pendiente y concavidad de las siguiente funciones 𝑥 = 2 cos 𝜃 𝑦 𝑦 = 2𝑠𝑒𝑛𝜃 con 𝜃 = 𝜋 4 SOLUCION: 𝑥 = 2 cos 𝜃 𝑦 𝑦 = 2𝑠𝑒𝑛𝜃 Realicemos las derivadas de ambas funciones: 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = −2 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 2𝑐𝑜𝑠𝜃 Y sustituyendo a la fórmula, tenemos: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑚 = 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑑 𝑑𝑡 2𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑 𝑑𝑡 2 cos 𝜃 = 2𝑐𝑜𝑠𝜃 −2 𝑠𝑒𝑛 𝜃 =− − 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = − cot 𝜃
    • Y para la segunda derivada: 𝑑2 𝑥 𝑑𝑦2 = 𝑑 𝑑𝑡 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑑 𝑑𝑡 − cot 𝜃 𝑑 𝑑𝑡 2 cos 𝜃 = − − csc2 𝜃 −2 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = − 1 2 csc3 𝜃 = − 1 2𝑠𝑒𝑛3 𝜃 Continuando con el problema, solo nos falta sustituir el valor de 𝜃 para obtener la pendiente y la concavidad: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑚 = − cot 𝜋 4 = −1 𝑑2 𝑥 𝑑𝑦2 = − 1 2𝑠𝑒𝑛3 𝜃 = − 1 2 𝑠𝑒𝑛 𝜋 4 3 = − 1 2 2 2 3 = − 1 2 3 4 = − 2 2 = − 2
    • Asi que el la pendiente y la concavidad es: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑚 = −1 𝑑2 𝑥 𝑑𝑦2 = − 2 𝐸𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑎𝑣𝑜 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜, 𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 − 2 < 0
    • BIBLIOGRAFIAS LARSON, HOSTETLER y EDWARDS, “Cálculo de varias variables. Matemáticas 3”, 1ra Edición, 2009, Editorial Mc Graw Hill 352 págs. Swokowski, Earl, “Cálculo con geometría analítica”, 1989, Grupo Editorial Iberoamericana, 2da Edición, Estados Unidos de América, 1097