Gradiente

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Gradiente

  1. 1. GRADIENTE CALCULO VECTORIAL
  2. 2. DEFINICION Sea 𝑓 una funciΓ³n de dos variables. El gradiente de 𝑓 (o de 𝑓 π‘₯, 𝑦 ) es una funciΓ³n vectorial dada por: βˆ‡π‘“ π‘₯, 𝑦 = 𝑓π‘₯ π‘₯, 𝑦 𝑖 + 𝑓 𝑦 π‘₯, 𝑦 𝑗
  3. 3. EJEMPLO: HALLAR LA GRADIENTE DE LA FUNCION 𝒇 𝒙, π’š = π’š 𝒍𝒏 𝒙 + π’™π’š 𝟐 EN EL PUNTO (1,2) SOLUCION: PRIMERO HALLEMOS LA DERIVADA DE PRIMER ORDEN CON RESPECTO A β€œx” Y β€œy”: π’š 𝒇 𝒙 𝒙, π’š = 𝒙 + π’š2 𝒇 𝒙, π’š = π’š 𝒍𝒏 𝒙 + π’™π’š 𝟐 𝒇 π’š 𝒙, π’š = 𝒍𝒏 𝒙 + πŸπ’™π’š
  4. 4. DE ACUERDO CON LA FORMULA DE LA GRADIENTE, COMENZAMOS A SUSTITUIR ESOS RESULTADOS DE LA DERIVADA: 𝛻𝑓 π‘₯, 𝑦 = 𝑓π‘₯ π‘₯, 𝑦 𝑖 + 𝑓 𝑦 π‘₯, 𝑦 𝑗 𝛻𝑓 π‘₯, 𝑦 = π’š + π’š2 𝑖 + 𝒍𝒏 𝒙 + πŸπ’™π’š 𝑗 𝒙
  5. 5. AHORA SUSTITUIMOS ESE RESULTADO EN EL PUNTO (1,2) 𝛻𝑓 π‘₯, 𝑦 = 𝛻𝑓 1,2 = π’š + π’š2 𝑖 + 𝒍𝒏 𝒙 + πŸπ’™π’š 𝑗 𝒙 𝟐 + 𝟐2 𝑖 + 𝒍𝒏 𝟏 + 𝟐 𝟏 𝟏 𝟐 = 𝟐+4 𝑖+ 𝟎+ πŸ’ 𝑗= 6 𝑖+ πŸ’ 𝑗 𝑗
  6. 6. ASI QUE EL RESULTADO FINAL ES: 𝛻𝑓 1,2 = 6 𝑖 + πŸ’ 𝑗
  7. 7. DERIVADA DIRECCIONAL (EN TERMINOS DE LA GRADIENTE) 𝐷 𝑒 𝑓 π‘₯, 𝑦 = 𝛻𝑓 π‘₯, 𝑦 βˆ™ 𝑒 𝛻𝑓 π‘₯, 𝑦 = 𝑓π‘₯ π‘₯, 𝑦 𝑖 + 𝑓 𝑦 π‘₯, 𝑦 𝑗 𝑒 = 𝑒1 𝑖 + 𝑒2 𝑗
  8. 8. EJEMPLO: HALLAR LA DERIVADA DIRECCIONAL CUYA FUNCION ES 𝒇 𝒙, π’š = πŸ‘π’™ 𝟐 βˆ’ πŸπ’š 𝟐 , EN LA DIRECCION DE P(-3/4, 0) A Q(0,1) SOLUCION: NECESITAMOS DERIVAR LA FUNCION (PRIMER ORDEN): 𝒇 𝒙 𝒙, π’š = πŸ”π’™ 𝒇 𝒙, π’š = πŸ‘π’™ 𝟐 βˆ’ πŸπ’š 𝟐 𝒇 π’š 𝒙, π’š = βˆ’πŸ’π’š
  9. 9. LUEGO, NOS DAN 2 PUNTOS, ASI QUE, NECESITAMOS TRANSFORMARLO EN UN VECTOR: 3 𝑃 βˆ’ ,0 4 𝑦 𝑄 0, 1 3 3 𝑣 = 0 + ,1 βˆ’ 0 = ,1 4 4 𝑣= 3 𝑖+1𝑗 4
  10. 10. Y LUEGO, TRANSFORMAR ESE VECTOR EN UN VECTOR UNITARIO: 𝑒= 3 3 3 3 𝑖+1𝑗 𝑖+1𝑗 𝑖+1𝑗 4 4 4 4 𝑖+1𝑗 = = = = 𝑣 3 9 9 16 25 𝑖+1𝑗 +1 + 16 4 16 16 16 𝑣 3 4 𝑖 + 1𝑗 = 3𝑖 + 4𝑗 = 3 𝑖 + 4 𝑗 = 5 5 5 5 4 𝑒 = 𝑒1 𝑖 + 𝑒2 𝑗
  11. 11. SUSTITUYENDO ESTOS VALORES EN LA FORMULA, ENCONTRAMOS EL RESULTADO: 𝐷 𝑒 𝑓 π‘₯, 𝑦 = 𝛻𝑓 π‘₯, 𝑦 βˆ™ 𝑒 𝐷 𝑒 𝑓 π‘₯, 𝑦 = 𝑓π‘₯ π‘₯, 𝑦 𝑖 + 𝑓 𝑦 π‘₯, 𝑦 𝑗 βˆ™ 𝑒1 𝑖 + 𝑒2 𝑗 3 4 18 16 = 6π‘₯ 𝑖 βˆ’ 4𝑦 𝑗 βˆ™ 𝑖 + 𝑗 = π‘₯βˆ’ 𝑦 5 5 5 5
  12. 12. NOS DAN DOS PUNTOS, ASI QUE, TOMAREMOS EL PUNTO INICIAL, ES DECIR, P (-3/4, 0) Y POR LO TANTO LO SUSTITUIREMOS EN EL RESULTADO DE LA DERIVADA DIRECCIONAL: 𝐷 𝑒 𝑓 π‘₯, 𝑦 = 18 16 π‘₯βˆ’ 𝑦 5 5 3 18 3 16 54 54 𝐷𝑒 𝑓 βˆ’ ,0 = βˆ’ βˆ’ 0 =βˆ’ βˆ’0=βˆ’ 4 5 4 5 20 20
  13. 13. POR LO TANTO EL RESULTADO DE LA DERIVADA DIRECCIONAL ES: 54 27 𝐷 𝑒 𝑓 π‘₯, 𝑦 = βˆ’ =βˆ’ = βˆ’2.7 20 10
  14. 14. BIBLIOGRAFIAS οƒΌ LARSON, HOSTETLER y EDWARDS, β€œCΓ‘lculo de varias variables. MatemΓ‘ticas 3”, 1ra EdiciΓ³n, 2009, Editorial Mc Graw Hill 352 pΓ‘gs. οƒΌ Swokowski, Earl, β€œCΓ‘lculo con geometrΓ­a analΓ­tica”, 1989, Grupo Editorial Iberoamericana, 2da EdiciΓ³n, Estados Unidos de AmΓ©rica, 1097

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