Capítulo 3B - Vectores Presentación PowerPoint de Paul E. Tippens, Profesor de Física Southern Polytechnic State Universit...
Actividad Previa <ul><li>Analiza las siguientes oraciones, identifica las cantidades de las que se habla en cada una de el...
Actividad Previa: <ul><li>¿Qué son las magnitudes físicas? Da 3 ejemplos. </li></ul><ul><li>¿Qué son las cantidades escala...
Vectores Los topógrafos usan mediciones precisas de magnitudes y direcciones para crear mapas a escala de grandes regiones.
¿Qué son las magnitudes físicas? ¿Cuál es la diferencia entre cantidad vectorial y escalar? En nuestra vida cotidiana nos ...
¿Cómo se representan las cantidades escalares y cómo las cantidades vectoriales? Se representa mediante una flecha con una...
El vector esta comprendido por los siguientes elementos: <ul><ul><li>La Dirección:  esta determinada por la recta de sopor...
Clasificación de vectores
Vector deslizante Es el vector que se puede trasladar a lo largo de su dirección a un punto arbitrario de la recta  en que...
Vector fijo Es el vector que está ligado al origen o punto de aplicación  que permite localizar un punto o un objeto en el...
La física es la ciencia  de la medición Comience con la medición de longitud:  su magnitud y su dirección. Longitud Peso T...
Distancia o Trayectoria: cantidad escalar Una cantidad  escalar : Sólo contiene  magnitud  y consiste de un  número  y una...
Desplazamiento-Cantidad vectorial Una cantidad  vectorial : Contiene  magnitud  Y  dirección , un  número,   unidad y ángu...
¿Trayectoria o desplazamiento?
Sistema de coordenadas
Distancia y desplazamiento Desplazamiento neto: ¿Cuál es la distancia recorrida? ¡¡ 10 m !! D   = 2 m, W <ul><li>Desplazam...
Identificación de dirección <ul><li>Una forma común de identificar la dirección es con referencia al este, norte, oeste y ...
Identificación de dirección <ul><li>Escriba los ángulos que se muestran a continuación con referencias al este, sur, oeste...
Vectores y coordenadas polares Las coordenadas polares ( R ,   ) son una excelente forma de expresar vectores. Considere,...
Vectores y coordenadas polares ( R ,   ) = 40 m, 50 o ( R ,   ) = 40 m, 120 o   ( R ,   ) = 40 m, 210 o ( R ,   ) = 40...
Coordenadas rectangulares La referencia se hace a los ejes  x   y  y ,  y los números  +  y  –   indican posición en  el e...
Acertijo <ul><li>Un oso camina 10 kilómetros hacia el sur, 10 kilómetros hacia el este y 10 kilómetros hacia el norte, vol...
Solución: Los únicos lugares donde se cumple la condición de regresar al punto de partida son el Polo Norte y cualquier pu...
Repaso de trigonometría <ul><li>Aplicación de trigonometría a vectores </li></ul>y = R  sen     x = R  cos   R 2  = x 2 ...
Ejemplo 1:   Encuentre la altura de un edificio si proyecta una sombra de  90 m  de largo y el ángulo indicado es de  30 o...
Cómo encontrar componentes  de vectores Un  componente  es el efecto de un vector a lo largo de otras direcciones. A conti...
Ejemplo 2:   Una persona camina  400 m  en una dirección  30 o  N del E .  ¿Cuán lejos está el desplazamiento al este y cu...
Ejemplo 2 (cont.):  Una caminata de  400 m  en una dirección a  30 o  N del E . ¿Cuán lejos está el desplazamiento del est...
Ejemplo 2 (cont.):  Una caminata de  400 m  en una dirección a  30 o  N del E .  ¿Cuán lejos está el desplazamiento del es...
Ejemplo 2 (cont.):  Una caminata de  400 m  en una dirección a  30 o  N del E . ¿Cuán lejos está el desplazamiento del est...
Signos para coordenadas rectangulares Primer cuadrante: R  es positivo ( + )  0 o  >    <  90 o x  =  + ;   y  =  + + + ...
Signos para coordenadas rectangulares Segundo cuadrante: R  es positivo ( + )  90 o  >    <  180 o x  =  -  ;   y  =  + ...
Signos para coordenadas rectangulares Tercer cuadrante: R  es positivo ( + ) 180 o  >    <  270 o x  =  -   y  =  - - R ...
Cuarto cuadrante: R  es positivo ( + ) 270 o  >    <  360 o x  =  +   y  =  - 360 o + R  270 o Signos para coordenadas ...
Resultante de vectores perpendiculares Encontrar la resultante de dos vectores perpendiculares es como cambiar de coordena...
Ejemplo 3:  Una fuerza de  30 lb  hacia el sur y una de  40 lb  hacia el este actúan sobre un burro al mismo tiempo. ¿Cuál...
Cómo encontrar la resultante (cont.) Encontrar ( R,   ) a partir de ( x, y ) dados = (+40, -30) R R y R x    = -36.9 o ...
Cuatro cuadrantes (cont.)    = 36.9 o ;    = 36.9 o ; 143.1 o ; 216.9 o ; 323.1 o 40 lb 30 lb R   R y R x 40 lb 30 lb ...
Notación vector unitario ( i, j, k ) Considere ejes 3D ( x ,  y ,  z ) Defina vectores unitarios  i, j, k Ejemplos de uso:...
Ejemplo 4:   Una mujer camina  30 m, W ; luego  40 m, N . Escriba su desplazamiento en notación  i, j   y en notación  R ,...
Ejemplo 4 (cont.):   A continuación se encuentra su desplazamiento en notación  R ,   .
Ejemplo 6:   La ciudad  A  está 35 km al sur y 46 km al oeste de la ciudad  B . Encuentre la longitud y dirección de la au...
Ejemplo 7. Encuentre los componentes de la fuerza de 240 N que ejerce el niño sobre la niña si su brazo forma un ángulo de...
Ejemplo 8. Encuentre los componentes de  una fuerza de  300 N  que actúa a lo largo del manubrio de una podadora. El ángul...
Método de componentes 2.  Dibuje la resultante desde el origen hasta la punta del último vector y note el cuadrante de la ...
Ejemplo 9.  Un bote se mueve  2.0 km  al este, luego  4.0 km  al norte, luego  3.0 km  al oeste y finalmente  2.0 km  al s...
Ejemplo 9 (cont.)  Encuentre el desplazamiento resultante. 3.   Escriba cada vector en notación  i, j : A  = +2  i B  =  +...
Ejemplo 9 (cont.)  Encuentre desplazamiento resultante. Ahora encuentre  R ,   E N 2 km, E A 4 km,  N B 3 km, O C 2 km, S...
Recordatorio de unidades significativas: En el ejemplo anterior, se supone que las distancias son 2.00 km, 4.00 km y 3.00 ...
Dígitos significativos para ángulos    = 36.9 o ; 323.1 o Puesto que una  décima  de grado  con frecuencia puede ser sign...
Ejemplo 10:  Encontrar  R ,    para los tres desplazamientos vectoriales siguientes:  1. Primero dibuje los vectores  A ,...
Ejemplo 10:  Encuentre  R ,    para los tres desplazamientos vectoriales siguientes. (Puede ser útil una tabla.) Vector ...
Ejemplo 10 (cont.):  Encuentre  i, j  para tres vectores:  A  = 5 m, 0 0 ;  B  = 2.1 m, 20 0 ;  C  = 0.5 m, 90 0 . 4. Sume...
Ejemplo 10 (cont.):  Encuentre  i, j  para tres vectores:  A  = 5 m, 0 0 ;  B  = 2.1 m, 20 0 ;  C  = 0.5 m, 90 0 .
Ejemplo 11:   Un ciclista viaja  20 m, E  luego  40 m  a  60 o  N del W , y finalmente  30 m  a  210 o . ¿Cuál es el despl...
A continuación se proporciona una comprensión gráfica de los componentes y la resultante: Nota:  R x  = A x  + B x  + C x ...
Ejemplo 11 (cont.)  Use el método de componentes para encontrar la resultante .
Ejemplo 11 (cont.)  Método de componentes Sume algebraicamente: A  = 20 i B  = -20 i + 34.6 j C  = -26 i - 15 j R   = -26 ...
Ejemplo 11 (cont.)  Encuentre la resultante.
Ejemplo 12.   Encuentre A + B + C para los vectores que se muestran a continuación.
Ejemplo 12 (cont.).   Encuentre A + B + C
Diferencia vectorial Para vectores, los signos indican la dirección. Por tanto, cuando se resta un vector, antes de sumar ...
Diferencia vectorial Para vectores, los signos indican la dirección. Por tanto, cuando se resta un vector, antes de sumar ...
Suma y resta R  =  A  +  B R ’ =  A  -  B Comparación de suma y resta de  B B A B R A B - B R’ A La resta resulta en un di...
Ejemplo 13.   Dados  A = 2.4 km N  y  B = 7.8 km N : encuentre  A – B  y  B – A . A - B (2.43 N – 7.74 S) 5.31 km, S B - A...
Resumen para vectores <ul><li>Una  cantidad escalar  se especifica completamente sólo mediante su magnitud. ( 40 m ,  10 g...
Continúa resumen: <ul><li>Encontrar la  resultante  de dos vectores perpendiculares es como convertir de coordenadas polar...
Método de componentes  para vectores <ul><li>Inicie en el origen y dibuje cada vector en sucesión para formar un polígono ...
Diferencia vectorial Para vectores, los signos indican dirección. Por tanto, cuando se resta un vector, antes de sumar se ...
Conclusión del Capítulo 3B - Vectores
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Vectores (versión alumnos)

  1. 1. Capítulo 3B - Vectores Presentación PowerPoint de Paul E. Tippens, Profesor de Física Southern Polytechnic State University © 2007
  2. 2. Actividad Previa <ul><li>Analiza las siguientes oraciones, identifica las cantidades de las que se habla en cada una de ellas y compara las de la columna izquierda con las de la columna de la derecha. </li></ul>Comenta con tu equipo y escribe la respuesta El área del piso del salón de clases es de 25m 2 La ciudad de Monterrey se encuentra a 590km al norte de la Ciudad de México. El agua hierve a 100ºC. Un automóvil recorre la autopista a 100km/h hacia Acapulco. El volumen de un tanque de gas es de 40 litros. La aceleración de un ciclista es de 2m/s 2 cuando se mueve sobre una pendiente de 30º hacia debajo de la horizontal. La velocidad del sonido es de 340m/s. José patea el balón con una fuerza de 1 Newton hacia arriba
  3. 3. Actividad Previa: <ul><li>¿Qué son las magnitudes físicas? Da 3 ejemplos. </li></ul><ul><li>¿Qué son las cantidades escalares? </li></ul><ul><li>¿Qué son las cantidades vectoriales? </li></ul><ul><li>Cuál es la diferencia entre ambas? </li></ul><ul><li>¿Cómo se representan las cantidades escalares y cómo las cantidades vectoriales? </li></ul><ul><li>Menciona algunas aplicaciones de los vectores en nuestra vida cotidiana </li></ul><ul><li>¿Cuáles son las características o componentes de un vector? </li></ul><ul><li>¿Cómo se clasifican los vectores? </li></ul><ul><li>¿Qué es el desplazamiento? </li></ul>
  4. 4. Vectores Los topógrafos usan mediciones precisas de magnitudes y direcciones para crear mapas a escala de grandes regiones.
  5. 5. ¿Qué son las magnitudes físicas? ¿Cuál es la diferencia entre cantidad vectorial y escalar? En nuestra vida cotidiana nos referimos y hablamos de diversas magnitudes físicas
  6. 6. ¿Cómo se representan las cantidades escalares y cómo las cantidades vectoriales? Se representa mediante una flecha con una escala establecida previamente.
  7. 7. El vector esta comprendido por los siguientes elementos: <ul><ul><li>La Dirección:  esta determinada por la recta de soporte y puede ser vertical, horizontal e inclinada u oblicua. </li></ul></ul><ul><ul><li>La orientación o sentido: esta determinada por la flecha y puede ser horizontal hacia la derecha o hacia la izquierda, vertical hacia arriba o hacia abajo e inclinada ascendente o descendente hacia la derecha o hacia la izquierda. </li></ul></ul><ul><ul><li>El punto de aplicación:  esta determinado por el punto origen del segmento que forma el vector. </li></ul></ul><ul><ul><li>La longitud o módulo:  es el número positivo que representa la longitud del vector. </li></ul></ul>
  8. 8. Clasificación de vectores
  9. 9. Vector deslizante Es el vector que se puede trasladar a lo largo de su dirección a un punto arbitrario de la recta en que se encuentra
  10. 10. Vector fijo Es el vector que está ligado al origen o punto de aplicación que permite localizar un punto o un objeto en el plano o en el espacio con respecto al origen del sistema de coordenadas cartesianas.
  11. 11. La física es la ciencia de la medición Comience con la medición de longitud: su magnitud y su dirección. Longitud Peso Tiempo
  12. 12. Distancia o Trayectoria: cantidad escalar Una cantidad escalar : Sólo contiene magnitud y consiste de un número y una unidad. (20 m, 40 mi/h, 10 gal) <ul><li>Distancia es la longitud de la ruta tomada por un objeto. </li></ul>s = 20 m A B
  13. 13. Desplazamiento-Cantidad vectorial Una cantidad vectorial : Contiene magnitud Y dirección , un número, unidad y ángulo. (12 m, 30 0 ; 8 km/h, N) <ul><li>Desplazamiento es la separación en línea recta de dos puntos en una dirección especificada. </li></ul>A B D = 12 m, 20 o 
  14. 14. ¿Trayectoria o desplazamiento?
  15. 15. Sistema de coordenadas
  16. 16. Distancia y desplazamiento Desplazamiento neto: ¿Cuál es la distancia recorrida? ¡¡ 10 m !! D = 2 m, W <ul><li>Desplazamiento es la coordenada x o y de la posición. Considere un auto que viaja 4 m E, luego 6 m W. </li></ul>x = +4 x = -2 4 m, E 6 m, W D
  17. 17. Identificación de dirección <ul><li>Una forma común de identificar la dirección es con referencia al este, norte, oeste y sur. (Ubique los puntos abajo.) </li></ul>40 m, 50 o N del E 40 m, 60 o N del W 40 m, 60 o W del S 40 m, 60 o S del E Longitud = 40 m E W S N 50 o 60 o 60 o 60 o
  18. 18. Identificación de dirección <ul><li>Escriba los ángulos que se muestran a continuación con referencias al este, sur, oeste, norte. </li></ul>Clic para ver las respuestas... 50 0 S del E 45 0 W del N E W S N 45 o E W N 50 o S
  19. 19. Vectores y coordenadas polares Las coordenadas polares ( R ,  ) son una excelente forma de expresar vectores. Considere, por ejemplo, al vector 40 m, 50 0 N del E . R es la magnitud y   la dirección . 40 m 0 o 180 o 270 o 90 o  0 o 180 o 270 o 90 o R 50 o
  20. 20. Vectores y coordenadas polares ( R ,  ) = 40 m, 50 o ( R ,  ) = 40 m, 120 o ( R ,  ) = 40 m, 210 o ( R ,  ) = 40 m, 300 o Se dan coordenadas polares ( R ,  ) para cada uno de los cuatro posibles cuadrantes: 50 o 60 o 60 o 60 o 0 o 180 o 270 o 90 o 120 o 210 o 300 0
  21. 21. Coordenadas rectangulares La referencia se hace a los ejes x y y , y los números + y – indican posición en el espacio. Derecha, arriba = (+, +) Izquierda, abajo = (-, -) ( x, y) = (?, ?) x y (+3, +2) (-2, +3) (+4, -3) (-1, -3) + + - -
  22. 22. Acertijo <ul><li>Un oso camina 10 kilómetros hacia el sur, 10 kilómetros hacia el este y 10 kilómetros hacia el norte, volviendo al punto del que partió. </li></ul>¿De qué color es el oso?
  23. 23. Solución: Los únicos lugares donde se cumple la condición de regresar al punto de partida son el Polo Norte y cualquier punto situado a 10 km al norte de los paralelos que midan 10 km de circunferencia, puesto que al hacer los 10 km al este volveremos al punto de partida. En cualquiera de estos casos estaremos en uno de los Polos, por lo que el oso será blanco .
  24. 24. Repaso de trigonometría <ul><li>Aplicación de trigonometría a vectores </li></ul>y = R sen  x = R cos  R 2 = x 2 + y 2 Trigonometría y x R  sen y R  
  25. 25. Ejemplo 1: Encuentre la altura de un edificio si proyecta una sombra de 90 m de largo y el ángulo indicado es de 30 o . h 90 m 30 0
  26. 26. Cómo encontrar componentes de vectores Un componente es el efecto de un vector a lo largo de otras direcciones. A continuación se ilustran los componentes x y y del vector ( R ,   . x = R cos  y = R sen  Cómo encontrar componentes: Conversiones de polar a rectangular x y R 
  27. 27. Ejemplo 2: Una persona camina 400 m en una dirección 30 o N del E . ¿Cuán lejos está el desplazamiento al este y cuánto al norte? El componente y ( N ) es OP : El componente x ( E ) es ADY : x = R cos  y = R sen  E N x y R  x = ? y = ? 400 m   E N
  28. 28. Ejemplo 2 (cont.): Una caminata de 400 m en una dirección a 30 o N del E . ¿Cuán lejos está el desplazamiento del este y cuánto del norte?
  29. 29. Ejemplo 2 (cont.): Una caminata de 400 m en una dirección a 30 o N del E . ¿Cuán lejos está el desplazamiento del este y cuánto del norte? x = ? y = ? 400 m   E N
  30. 30. Ejemplo 2 (cont.): Una caminata de 400 m en una dirección a 30 o N del E . ¿Cuán lejos está el desplazamiento del este y cuánto del norte?
  31. 31. Signos para coordenadas rectangulares Primer cuadrante: R es positivo ( + ) 0 o >   < 90 o x = + ; y = + + + 0 o 90 o R  x = R cos  y = R sen 
  32. 32. Signos para coordenadas rectangulares Segundo cuadrante: R es positivo ( + ) 90 o >   < 180 o x = - ; y = + + R  180 o 90 o x = R cos  y = R sen 
  33. 33. Signos para coordenadas rectangulares Tercer cuadrante: R es positivo ( + ) 180 o >   < 270 o x = - y = - - R  180 o 270 o x = R cos  y = R sen 
  34. 34. Cuarto cuadrante: R es positivo ( + ) 270 o >   < 360 o x = + y = - 360 o + R  270 o Signos para coordenadas rectangulares x = R cos  y = R sen 
  35. 35. Resultante de vectores perpendiculares Encontrar la resultante de dos vectores perpendiculares es como cambiar de coordenadas rectangulares a polares . R siempre es positivo;  es desde el eje + x x y R 
  36. 36. Ejemplo 3: Una fuerza de 30 lb hacia el sur y una de 40 lb hacia el este actúan sobre un burro al mismo tiempo. ¿Cuál es la fuerza NETA o resultante sobre el burro?
  37. 37. Cómo encontrar la resultante (cont.) Encontrar ( R,  ) a partir de ( x, y ) dados = (+40, -30) R R y R x  = -36.9 o  = 323.1 o 40 lb 30 lb 40 lb 30 lb   R = x 2 + y 2 R = (40) 2 + (30) 2 = 50 lb tan   = -30 40
  38. 38. Cuatro cuadrantes (cont.)  = 36.9 o ;  = 36.9 o ; 143.1 o ; 216.9 o ; 323.1 o 40 lb 30 lb R   R y R x 40 lb 30 lb R   R y R x 40 lb 30 lb R  R y R x  40 lb 30 lb R  R y R x R = 50 lb R = 50 lb
  39. 39. Notación vector unitario ( i, j, k ) Considere ejes 3D ( x , y , z ) Defina vectores unitarios i, j, k Ejemplos de uso: 40 m, E = 40 i 40 m, W = -40 i 30 m, N = 30 j 30 m, S = -30 j 20 m, out = 20 k 20 m, in = -20 k x z y i j k
  40. 40. Ejemplo 4: Una mujer camina 30 m, W ; luego 40 m, N . Escriba su desplazamiento en notación i, j y en notación R ,  .
  41. 41. Ejemplo 4 (cont.): A continuación se encuentra su desplazamiento en notación R ,  .
  42. 42. Ejemplo 6: La ciudad A está 35 km al sur y 46 km al oeste de la ciudad B . Encuentre la longitud y dirección de la autopista entre las ciudades.
  43. 43. Ejemplo 7. Encuentre los componentes de la fuerza de 240 N que ejerce el niño sobre la niña si su brazo forma un ángulo de 28 0 con el suelo.
  44. 44. Ejemplo 8. Encuentre los componentes de una fuerza de 300 N que actúa a lo largo del manubrio de una podadora. El ángulo con el suelo es de 32 0 .
  45. 45. Método de componentes 2. Dibuje la resultante desde el origen hasta la punta del último vector y note el cuadrante de la resultante. 3. Escriba cada vector en notación i, j . 4. Sume algebraicamente los vectores para obtener la resultante en notación i, j . Luego convierta a ( R ,  ). 1. Inicie en el origen. Dibuje cada vector a escala con la punta del 1o a la cola del 2o, la punta del 2o a la cola del 3o, y así para los demás.
  46. 46. Ejemplo 9. Un bote se mueve 2.0 km al este, luego 4.0 km al norte, luego 3.0 km al oeste y finalmente 2.0 km al sur. Encuentre el desplazamiento resultante. 1. Inicie en el origen. Dibuje cada vector a escala con la punta del 1o a la cola del 2o, la punta del 2o a la cola del 3o, y así para los demás. 2. Dibuje la resultante desde el origen hasta la punta del último vector y note el cuadrante de la resultante. Nota: La escala es aproximada, pero todavía es claro que la resultante está en el cuarto cuadrante. E N 2 km, E A 4 km, N B 3 km, O C 2 km, S D
  47. 47. Ejemplo 9 (cont.) Encuentre el desplazamiento resultante. 3. Escriba cada vector en notación i, j : A = +2 i B = + 4 j C = -3 i D = - 2 j 4. Sume algebraicamente los vectores A , B , C , D para obtener la resultante en notación i, j . E N 2 km, E A 4 km, N B 3 km, O C 2 km, S D 5. Convierta a notación R ,  Vea página siguiente.
  48. 48. Ejemplo 9 (cont.) Encuentre desplazamiento resultante. Ahora encuentre R ,  E N 2 km, E A 4 km, N B 3 km, O C 2 km, S D La suma resultante es: R = -1 i + 2 j R 
  49. 49. Recordatorio de unidades significativas: En el ejemplo anterior, se supone que las distancias son 2.00 km, 4.00 km y 3.00 km. Por tanto, la respuesta se debe reportar como: E N 2 km A 4 km B 3 km C 2 km D Por conveniencia, siga la práctica de suponer tres (3) cifras significativas para todos los datos en los problemas.
  50. 50. Dígitos significativos para ángulos  = 36.9 o ; 323.1 o Puesto que una décima de grado con frecuencia puede ser significativa, a veces se necesita un cuarto dígito. Regla: Escriba los ángulos a la décima de grado más cercana. Vea los dos ejemplos siguientes: 40 lb 30 lb R   R y R x 40 lb 30 lb R  R y R x
  51. 51. Ejemplo 10: Encontrar R ,  para los tres desplazamientos vectoriales siguientes: 1. Primero dibuje los vectores A , B y C a escala aproximada y los ángulos indicados. (Dibujo burdo) 2. Dibuje la resultante desde el origen hasta la punta del último vector; note el cuadrante de la resultante. ( R ,  ) 3. Escriba cada vector en notación i, j . (continúa...)
  52. 52. Ejemplo 10: Encuentre R ,  para los tres desplazamientos vectoriales siguientes. (Puede ser útil una tabla.) Vector   componente x ( i ) componente y ( j ) A = 5 m B = 2.1 m 20 0 B C = 0.5 m R  Para notación i, j , encuentre los componentes x , y de cada vector A , B , C .
  53. 53. Ejemplo 10 (cont.): Encuentre i, j para tres vectores: A = 5 m, 0 0 ; B = 2.1 m, 20 0 ; C = 0.5 m, 90 0 . 4. Sume los vectores para obtener la resultante R en notación i, j . componente x ( i ) componente y ( j )
  54. 54. Ejemplo 10 (cont.): Encuentre i, j para tres vectores: A = 5 m, 0 0 ; B = 2.1 m, 20 0 ; C = 0.5 m, 90 0 .
  55. 55. Ejemplo 11: Un ciclista viaja 20 m, E luego 40 m a 60 o N del W , y finalmente 30 m a 210 o . ¿Cuál es el desplazamiento resultante gráficamente?
  56. 56. A continuación se proporciona una comprensión gráfica de los componentes y la resultante: Nota: R x = A x + B x + C x B A C R y = A y + B y + C y B y 60 o 30 o R   A x B x R x C x 0 R y C y
  57. 57. Ejemplo 11 (cont.) Use el método de componentes para encontrar la resultante .
  58. 58. Ejemplo 11 (cont.) Método de componentes Sume algebraicamente: A = 20 i B = -20 i + 34.6 j C = -26 i - 15 j R = -26 i + 19.6 j  = 143 o 60 30 o R   A x B B x R x A C C x R y B y C y R -26 +19.6  R = (-26) 2 + (19.6) 2 = 32.6 m tan   = 19.6 -26
  59. 59. Ejemplo 11 (cont.) Encuentre la resultante.
  60. 60. Ejemplo 12. Encuentre A + B + C para los vectores que se muestran a continuación.
  61. 61. Ejemplo 12 (cont.). Encuentre A + B + C
  62. 62. Diferencia vectorial Para vectores, los signos indican la dirección. Por tanto, cuando se resta un vector, antes de sumar se debe cambiar el signo (dirección). R = A + B Considere primero A + B gráficamente: B A B R A B
  63. 63. Diferencia vectorial Para vectores, los signos indican la dirección. Por tanto, cuando se resta un vector, antes de sumar se debe cambiar el signo (dirección). Ahora A – B : primero cambie el signo (dirección) de B , luego sume el vector negativo. B A B - B A - B R ’ A
  64. 64. Suma y resta R = A + B R ’ = A - B Comparación de suma y resta de B B A B R A B - B R’ A La resta resulta en un diferencia significativa tanto en la magnitud como en la dirección del vector resultante. |( A – B )| = | A | - | B |
  65. 65. Ejemplo 13. Dados A = 2.4 km N y B = 7.8 km N : encuentre A – B y B – A . A - B (2.43 N – 7.74 S) 5.31 km, S B - A (7.74 N – 2.43 S) 5.31 km, N R R A 2.43 N B 7.74 N A – B; B - A +A -B +B -A
  66. 66. Resumen para vectores <ul><li>Una cantidad escalar se especifica completamente sólo mediante su magnitud. ( 40 m , 10 gal ) </li></ul><ul><li>Una cantidad vectorial se especifica completamente mediante su magnitud y dirección. ( 40 m, 30 0 ) </li></ul>R x R y R  Componentes de R: R x = R cos  R y = R sen 
  67. 67. Continúa resumen: <ul><li>Encontrar la resultante de dos vectores perpendiculares es como convertir de coordenadas polares ( R ,  ) a rectangulares ( R x , R y ). </li></ul>R x R y R  Resultante de vectores:
  68. 68. Método de componentes para vectores <ul><li>Inicie en el origen y dibuje cada vector en sucesión para formar un polígono etiquetado. </li></ul><ul><li>Dibuje la resultante desde el origen hasta la punta del último vector y note el cuadrante de la resultante. </li></ul><ul><li>Escriba cada vector en notación i, j ( R x , R y ). </li></ul><ul><li>Sume algebraicamente los vectores para obtener la resultante en notación i, j . Luego convierta a ( R   </li></ul>
  69. 69. Diferencia vectorial Para vectores, los signos indican dirección. Por tanto, cuando se resta un vector, antes de sumar se debe cambiar el signo (dirección). Ahora A – B : primero cambie el signo (dirección) de B, luego sume el vector negativo. B A B - B A - B R’ A
  70. 70. Conclusión del Capítulo 3B - Vectores
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