Metodo de la tangente

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Metodo de la tangente

  1. 1. METODO DE LA TANGENTEEl método de la tangente también conocido como el método de newton-raphson. Es unprocedimiento para encontrar la raíz de una función. Empezando por un punto inicial estimado, elcual se acerca al valor exacto en cada aproximación hacia la raíz, por medio de las rectastangentes a la función.El método de la tangente pertenece al concepto de métodos abiertos, ya que se basan en unaformula y que requiere únicamente un solo valor para encontrar la solución, pero que no existe lacondición de que deben de contener a la raíz.Por lo que es recomendable como en todos los métodos de aproximación de tener un máximo deveces de convergencias o un valor que determine el error de la solución encontrada.Para explicar el método de la tangente, ver la gráfica, donde dada una función f(x) que cruza eleeje de la x (raíz de la función), y un punto inicial que llamaremos x0 evaluamos este punto inicialen la curva descrita por la función, para encontrar la intersección, este punto de intersección seráel valor de la ordenada, la cual l llamaremos f(x0).Con lo anterior se ha encontrado un punto dado por las coordenadas( x0,f(x0)), el cual es elpunto donde cruza el punto inicial con la función. Ahora trazar una recta tangente a este punto,hasta cruzar con el eje de la x, por lo que este nuevo punto se llamara x1, es un punto que seacerca as a la raíz de la función.A partir del punto x1 sustituir dicho punto en la función, con el que se obtiene f(x1).Trazar nuevamente en el punto f(x1) una recta tangente hasta cruzar ele eje de la x obteniéndoseun punto x2.Se puede repetir n veces, los pasos anteriores, hasta alcanzar la exactitud deseada.
  2. 2. FORMULA DEL METODO DE LA TANGENTELa expresión de una recta tangente que pasa por un punto (x0 f(x0)), el cual intercepta a lafunción f(x) es:g(x)= f (x0)(x1-x0)+f(x0)por lo que la raíz de g(x)=0 dada por x1 establece la igualdad siguiente.F(x0)(x1-x0)+f(x0)=0Reordenando la expresiónDonde f’(x0) es la derivada de la función.Generalizando esta expresión para las aproximaciones sucesivas de cada recta tangente sededuce la fórmula del método de la tangente.Donde i=1 hasta n aproximaciones, según la exactitud deseadaEJEMPLOUse el método de la tangente para encontrar la raíz de la ecuación , con unpunto inicial p,=8 con un error de aproximación Ea=0.01 y con un máximo de 10 iteraciones.Datos:*Ecuación*Derivación*Punto inicial p=8*Error de aproximación deseadoEa=0.01
  3. 3. *Formula del método de la tangente*Error calculado E=Solución: con la finalidad de conocer cuál es la raíz exacta de la ecuación, se usara la fórmula pararesolver una ecuación de segundo grado, cuya forma general es:Sustituyendo en la ecuación cuadrática:X1=5 , x2=1Usando el procedimiento del método de la tangente, se obtiene la raíz de la función f(x), como semuestra en la siguiente tabla,No. De Punto F(xi) F’(X) Siguiente punto Ea=0.01iteración inicial E=1 8 12.6 6 539 2.12 5.9 2.646 3.48 5.1396 0.76043 5.1396 0.3467 2.5675 5.0045 0.13504 5.0045 0.0108 2.4054 5.00001 0.0044La raíz aproximada es 5.00001 con un error aproximado de Ea=0.01 encontrada con 4 iteraciones

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