Upcoming SlideShare
×

# Barisan dan deret

• 3,836 views

• Comment goes here.
Are you sure you want to
Be the first to comment
Be the first to like this

Total Views
3,836
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
1

Shares
345
0
Likes
0

No embeds

### Report content

No notes for slide

### Transcript

• 1. 2) BARISAN DAN DERET ARITMETIKA 3) BARISAN DAN DERET GEOMETRI 1) NOTASI SIGMA
• 2. STANDAR KOMPETENSI Menggunakan konsep barisan dan deret dalam pemecahan masalah
• 3. 2.Menentukan suku ke-n barisan dan jumlah n suku deret aritmetika dan geometri 1.Menggunakan notasi sigma dalam deret dan induksi matematika dalam pembuktian KOMPETENSI DASAR 3.Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan deret 4.Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan deret dan penafsirannya
• 4. Sigma Notation and Mathematic Induction A. Basic Meaning The process of writing the sum from sequence or sum of number series can be used with sigma notation, for example the sum from ∑= =+…+++ +…+++ n k kU 1 n321 n321 U.UUU :writtenbecan U.UUU 3333 n 1j 3 2 2i 22322 5 1i 2 ....321c. 2][3(2)2][3(1)2][3(0)2]1)[3(2]2)[3(2)(3ib. 54321ia. :onIllustrati nj ++++= +++++++−++−=+ ++++= ∑ ∑ ∑ = −= =
• 5. 1.NOTASI SIGMA ∑ sumataujumlahdibaca"" ∑ ∑ = = =+++ =+…+++ +…+++ n 1i in321 n 1k kn321 n321 aa....aaa UU.UUU :ditulisdapat U.UUU
• 6. 3333 n 1j 3 22322 5 1i 2 5 1i n....321jc. 54321i.b 2][3.52][3.42][3.32]2.[32]1.[32)(3ia. :Contoh ++++= ++++= +++++++++=+ ∑ ∑ ∑ = = = [ ] [ ]222225.34.33.32.31.3 2i3 2][3.52][3.42][3.32]2.[32]1.[32)(3i acontohDari 5 1i 5 1i 5 1i +++++++++= += +++++++++=+ ∑∑ ∑ == =
• 7. [ ] ∑∑∑ ∑ ∑ === = += ++++== 5 3i 2 1i 5 1i 5 1i 5 1 i3i3i3Dari 543213i3i3Dari Mengubah batas pada notasi sigma ( ) ( )∑ ∑ ∑ −= = = ++++=+ − ++++=− ++++= 3 1i 7 3i 5 1i 5.34.33.32.31.32i3 1digantibawahbatasJika 5.34.33.32.31.32i3 3digantibawahbatasJika 5.34.33.32.31.3i3
• 8. ( ) ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑∑∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = + += − = − −= + = = += = == === = = = = = = += << ±=±       == +=+ =+++= n mk pn pmk pkk n mk pn pmk pkk n 1k m 1k n 1mk kkk n 1k n 1k k2k1 n 1k k2k1 n 1k k n 1k kk n 1k n 1k n 1k n 1k kkkk n 1k aab. aa6a. aaa nm1If5. bcacb.ca.c4. acaca.c3. ba)ba(2. ncc....ccc1. sigmanotasisifat-Sifat
• 9. B. The Basic Characteristic of Sigma Notation ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )018. ,....,3,2,1forbaIf7. b. 6a. nm1If5. ..4. ..3. )(2. ....1. :appliedalwaysnandm,k,numberoddpositiveanddandcnumbereveryFor SumforFormulaandNotationSigmaofsticCharacteriBasicThe 1 11 kk 1 1 1 1 11 11 n 1k n 1 1 1 n 1k FnFiFiF ba nk aa aa aaa bdacbdac caacac baba nccccc n i n k k n k k n mk pn pmk pkk n mk pn pmk pkk n k m k n mk kkk n k n k kk n k kk n k k n k kk k n k n k kkkk −=−− ≤ =≤ = = += << ±=±       == +=+ =+++= ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑∑∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = == = + += − = − −= + = = += = == === = = = =
• 10. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2574b3a2 257 20063-120 50421360.2 4b3a2)4b3a2( :Jawab 4b3a2:Hitung .21bdan60aDiketahui :Contoh1 50 1i ii 50 1i 50 1i 50 1i 50 1i iiii 50 1i ii 50 1i i 50 1i i =+−∴ = += +−= +−=+− +− == ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑ = == = = = ==
• 11. Contoh 2: Nyatakan bentuk berikut dengan notasi sigma 262320171411852)a1 ++++++++ Jawab: ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )∑∑ ∑∑ ∑ == == = −=−− +=−+ −= ++++++++ 10 2i 10 2i 8 0i 8 0i 9 1i 4i311i3 2digantibawahbatasJika 2i311i3 0digantibawahbatasJika 1i3 262320171411852
• 12. ∑= − = +++++= +++++= +++++ 6 1k 1k 543210 2 k 2 6 2 5 2 4 2 3 2 2 2 1 32 6 16 5 8 4 4 3 2 2 1 1 32 6 16 5 8 4 4 3 2 2 1)b1
• 13. Contoh 3: Nyatakan dengan batas bawah 1 ( ) ( )∑∑ == −+− 9 4k 2 6 1k 2 1k5k Jawab: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑∑ ∑∑ ∑∑ ∑∑ = == == == == ++= +++−= −+++−= −++−= −+− 6 1k 2 6 1k 2 6 1k 2 6 1k 2 6 1k 2 6 1k 2 6 1k 2 9 4k 2 6 1k 2 3k6k2 8k6k5k 19k6k5k 13k5k 1k5k
• 14. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 451311975 35.234.233.232.231.23i2)a2 5 1i =++++= +++++++++=+∑= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 33516910049161 1310741 5.324.323.322.321.32i32)b 22222 22222 5 1i 2 =++++= −+−+−+−+−= −+−+−+−+−=−∑= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 08044 2.40.32241 684663642621 6i2i)c 4 1i =++−−= ++−+−= −+−+−+−= −∑= CONTOH 4:
• 15. ( ) ( ) ( ) ( ) 33549518020 55.915.1220 2516941954321124.5 i9i124 i9i124 i32 5 1i 2 5 1i 5 1i 5 1i 2 5 1i 2 =+−= +−= +++++++++−= +−= +−= − ∑∑∑ ∑ ∑ === = =
• 16. ( ) ( )( ) ( ) ( )∑ ∑ ∑ ∑ = = = = += −+= −+= − 14 1i 14 1i 14 1i 20 7i 8i3 1018i3 106i3 10i3)a 3.Ubah dengan batas bawah 1 CONTOH 5:
• 17. ( )∑= ++ 10 3i 2 8i6i)b Ubah dengan batas bawah 1 Jawab: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )∑ ∑ ∑∑ = = == ++= +++++= ++++=++ 8 1i 2 8 1i 2 8 1i 2 10 3i 2 24i10i 812i64i4i 82i62i8i6i
• 18. ( ) ( )( ) ( ) ( )∑ ∑ ∑ ∑ = = = = += −++= −+= − 8 1i 2 8 1i 2 8 1i 2 11 4i 2 i6i 99i6i 93i 9i)c Ubah dengan batas bawah 1
• 19. Barisan aritmetika adalah barisan yang selisih suatu suku dengan suku sebelumnya selalu tetap(konstan) Yang disebut beda dan diberi simbol dengan b =beda Barisan aritmetika baku a, a + b, a + 2b, a + 3b,...,a+(n-1)b Dengan suku pertama a dan beda=b Maka suku ke-n barisan aritmetika adalah: dengan Un= suku ke-n a = suku pertama b =beda n = banyaknya suku bnaUn )1( −+=
• 20. Perhatikan barisan bilangan berikut: a)2,5,8,11,14,… b)-1,1,3,5,7,.. c)15,11,7,3,-1,… Barisan aritmetika U1,U2,U3,U4,….,Un-1,Un Dinamakan barisan aritmetika jika selisih suatu suku dengan suku sebelumnya selalu tetap(konstan) , disebut dengan beda=b
• 21. ( )b1naU aritmetikabarisannkesukuRumus . . b3aU b2aU baU aU dituliskanDapat b3abUUbUU b2abUUbUU babUUbUU aU n 4 3 2 1 3434 2323 1212 1 −+= − += += += = +=+=⇒=− +=+=⇒=− +=+=⇒=− =
• 22. Deret aritmetika adalah jumalah dari barisan aritmetika Secara umum deret aritmetika dapat dinyatakan sbb: Dengan Sn= Jumlah n suku deret aritmetika a = suku pertama b =beda n = b nyaknya suku Un= Suku ke-n [ ]( ) ( )Ua 2 n S ataub1na2 2 n S nn n += −+=
• 23. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Unan 2 1 S AritmetikaDeretpertamasukunjumlahRumus Unan 2 1 S UnanS2 abab2a....b2UbUUS UbUb2U....b2abaaS n n n nnnn nnnn += += += +++++++−+−+= +−+−++++++= atau ( ) ( )[ ]b1na2n 2 1 S b1naan 2 1 S n U n n −+=         −++= 
• 24. Suku tengah barisan aritmetika ( )1n 2 1t 7t 6t 5t UUtengahsukuMaka . . UU13n UU11n UU9n + = =→= =→= =→=
• 25. ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )[ ] [ ]nt t t t t 1n 2 1t Ua 2 1 U b1naa 2 1 U b1na2 2 1 U b21n 2 1 aU b11n 2 1 aU UU += −++= −+=     −++=       −++= = + ( ) ( ) tn nn nn U.nS Ua 2 1 .nS Uan 2 1 S = += +=
• 26. Suku tengah dari barisan aritmetika yang banyaknya suku ganjil Dapat dirumuskan sbb: Jika n = bilangan ganjil ( ) ( )( ) ( )nt nnt UaU bnaa b n a b n a b n a UUU += −++=       − +=       −+ +=       − + += == ++ 2 1 1 2 1 2 21 1 2 1 2 1 2 1)1( 2 1
• 27. Suku tengah dari barisan aritmetika yang banyaknya suku ganjil Dapat dirumuskan sbb: Jika n = bilangan ganjil ( ) ( )( ) ( )nt nnt UaU bnaa b n a b n a b n a UUU += −++=       − +=       −+ +=       − + += == ++ 2 1 1 2 1 2 21 1 2 1 2 1 2 1)1( 2 1
• 28. 1nnn 545 43214 543215 SSU Rumus USS UUUUS UUUUUS −−= =− −+++= ++++=
• 29. ( ) ( ) 1k b 'b 'b1kb 'b12kaba UUmaka'bbeda denganbaruAritmetikaBarisanmembentuksehingga bilangankdisisipkanUdanUdiantaraJika 2k2 21 + = += −++=+ = +
• 30. If between U1 and U2 be inserted k number. So forms arithmatic sequence with common difference b’. Find the formula b’ )1( ' ')1( ')12( 22 2 1 + = += −++=+ =⇒ += = + k b b bkb bkaba UUnew baU aU k
• 31. RUMUS-RUMUS BARISAN DAN DERET ARITMETIKA ( ) ( ) ( )( ) ( ) bx,x,bx:denganMisalkan BAmembentukbil3jumlahJika)6 UUU2berlakuBAmakaU,U,U)5 1k b 'bSisipan)4 SSU)3 Ua 2 1 U U.nS)c b1na2n 2 1 S)b Uan 2 1 S)a2 b1naU.1 312321 1nnn nt tn n nn n +− +=⇒ + = −= += = −+= += −+= − 12 112 12 122 11 S2Sb SSSb UUb SSU SU −= −−= −= −= =
• 32. CONTOH 3 : Tentukan jumlah bilangan diantara 1 dan 100 yang habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5 CONTOH 4 : Diantara bilangan 1 dan 65 disisipkan 15 bilangan sehingga membentuk barisan aritmetika.Tentukan bedanya CONTOH 1 : Diketahui barisan aritmetika dengan U3=-3 dan U10=11.Tentukan nilai suku pertama( a) dan beda =b CONTOH 2: Diketahui deret aritmetika dengan Sn=n(5n+8) Tentukan U10 CONTOH 5: Tiga bilangan membentuk barisan aritmetika. Jika jumlahnya 21 dan hasilkalinya adalah 168. Tentukan ketiga bilangan tersebut
• 33. CONTOH : 1.Diketahui barisan aritmetika dengan U3=-3 dan U10=11.Tentukan nilai suku pertama( a) dan beda =b 2.Diketahui deret aritmetika dengan Sn=n(5n+8) Tentukan U10
• 34. 2b 147b 3b2a3U 11b9a11U)1 3 10 = = −−=+→−= =+→= 7a 43a 32.2a 3b2a −= −−= −=+ −=+
• 35. 103 477-580 SSU SSU 477580 9(53))58(10 )89.5(9S)810.5(10S )8n5(nS a)2 91010 1nnn 910 n = = −= −= == == +=+= += −
• 36. Tiga bilangan membentuk barisan aritmetika. Jika jumlahnya 21 dan hasilkalinya adalah 168. Tentukan ketiga bilangan tersebut
• 37. Misalkan : x-b , x , x+b 3x=21 x=7 (7-b)(7)(7+b)=168 49-b2 =24 b2 =25 b= ±5 Jika b=5 maka bilangan tsb 2,7,12 b=-5 maka bilangan tsb 12,7,2
• 38. 1)Tiga bilangan membentuk barisan aritmetika. Jika jumlahnya 21 dan hasilkalinya adalah 168. Tentukan ketiga bilangan tersebut
• 39. 1)Misalkan : a-b,a,a+b 3a=21 a=7 (7-b)(7)(7+b)=168 49-b2 =24 b2 =25 b= ±5 Jika b=5 maka 2,7,12 b=-5 maka 12,7,2
• 40. Diketahui deret aritmetika dengan jumlah n suku yang pertama adalah Sn= n(5n +8).Tentukan U10 dan rumus untuk Un. Jawab: U10= S10-S9 Un=n(5n+8)-(n-1)(5(n-1)+8) =10(50+8) – 9(45+8) = 5n2 +8n-(n-1)(5n+3) =10.58-9.53 = 5n2 +8n-5n2 +5n-3n+3 = 580 – 477=103 = 10n+3
• 41. CONTOH 3: Tentukan jumlah bilangan diantara 1 dan 100 yang habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5 Jawab: Bilangan yang habis dibagi 2 2+4+6+…+98 n=49 Sn=1/2n{a+Un} =1/2.49{2+98} =1/2.49.100 =49.50=2450 Bilangan yang habis dibagi 2dan 5 10+20+30+…+90 n=9 Sn= 1/2n{a+Un} = 1/2.9{10+90} = 1/2.9.100=9.50=450 Maka jumlah bilangan diantara 1 dan 100 yang habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5 =2450-450=2000
• 42. CONTOH 6: Sisi-sisi segitiga siku-siku membentuk barisan aritmetika. Jika sisi miringnya 25 tentukan panjang sisi lainnya. JAWAB: 20dan15adalahlainyangSisi 5x 25x5 x5,x4,x3 bilanganketigaMisal = =
• 43. CATATAN: S5= U1 +U2 +U3 +U4 +U5 S4 =U1 +U2 +U3 +U4 S5- S4 = U5 Secara umum Un = Sn- S n-1 CONTOH 4: Diketahui deret aritmetika dengan jumlah n suku yang pertama adalah Sn= n(5n +8),.Tentukan U10 dan rumus untuk Un. Jawab: U10= S10-S9 Un=n(5n+8)-(n-1)(5(n-1)+8) =10(50+8) – 9(45+8) = 5n 2 +8n-(n-1)(5n+3)
• 44. CONTOH 6: Diantara bilangan 1 dan 65 disisipkan 15 bilangan sehingga membentuk barisan aritmetika Tentukan : a) beda b) Jumlah deret aritmetika c) Suku tengah Jawab: a) k=15 maka b’= b/ (k+1) =64/16=4 b. Sn= 1/2n{a+ Un} = ½.17{1+65} =1/2.17.66 = 17.33=561 c. Ut= ½(a+Un) = ½(1+65) =1/2.66=33
• 45. CONTOH 7 : Three number form arithmetic sequence. The sum of its = 21 and the multiplication of its =168.Find the three number. Answer: Suppose that the three number are a - b ,a, a + b 3a=21 then a=7 (a-b) a (a + b) = 168 (7-b)7(7+b)=168 49-b2 = 24 then b2=25 b = -5 or b=5 For b=-5 The three number are: 12,7,2 Meinwhile for b=5 The three number are: 2,7, 12
• 46. EXAMPLE: A pentagon has side which form arithmetic sequence. If the smallest angle is 66o then find the biggest angle. Answer: The sum of angles pentagon is 540o . Suppose that the angles are a-2b , a-b , a , a + b , a+2b So 5a=540o a= 108o a – 2b = 66o 108o – 2b = 66o 2b = 108o – 66o 2b = 42o The biggest angle is 108o + 42o = 150o
• 47. EXAMPLE 9: An arithmetic series, prove a. Un+m +Un-m = 2Un b. Sn+3-3Sn+2 + 3Sn+1-Sn=0 c. Sn+2-Sn=2a+b(2n+1) Proof: a) a+(n+m-1)b+a+(n-m-1)b =2a+(n+m-1+n-m-1)b =2a+(2n-2m-2)b =2{a+(n-1)b} =2Un b)Sn+3-Sn+2-2(Sn+2 – Sn+1)+Sn+1-Sn =(Un+3-Un+2) –(Un+2- Un+1)=b – b =0 c)Sn+2-Sn+1+Sn+1-Sn =Un+2 + Un+1 = a+(n+2-1)b + a + (n+1-1)b =2a+(n+1+n)b
• 48. Contoh 10: Semua bilangan genap dikelompokkan menjadi (2),(4,6),(8,10,12),.... Tentukan suku tengah pada kelompok ke-15 Jawab: Banyaknya bilangan sampai kelompok ke-14 ½.14.15=105 Maka bilangan pertama kelompok ke-15 = U106= 212 Sehingga suku tengah pada kelompok ke-15 = U113= 226
• 49. Barisan Geometri adalah barisan yang perbandingan suatu suku dengan suku sebelumnya selalu tetap. Secara umum dapat dinyatakan Dengan suku pertama adalah a, dan rasio r, Maka suku ke-n adalah: Dengan Un= suku ke-n a = suku pertama r = rasio n = banyaknya suku 1− = n n arU 132 ,...,,, −n ararara
• 50. BARISAN GEOMETRI CONTOH: a)1 , 2 , 4 , 8 , … b)1 , 3 , 9 , 27 , …. c) 1 , -2 , 4 , -8 , … d)2 , -6 , 18 , -54,…. rrasiopembandingtankonstetap U U .... U U U U U U Jika GeometriBarisandikatakanU,U,...U,U,U 1n n 3 4 2 3 1 2 n1n321 ===== ==== − −
• 51. Suku ke-n barisan geometri 32 34 3 4 2 23 2 3 12 1 2 1 arr.arr.UUr U U arr.arr.UUr U U arr.UUr U U Dari aUMisalkan ===⇒= ===⇒= ==⇒= = Dapat dituliskan 1n n 3 4 2 3 2 1 arU BGnkesukurumusmaka dstarU arU arU aU − = − = = = =
• 52. Jumlah n suku pertama deret geometri ( ) ( ) ( ) 1runtuk r1 r1a S r1ar1S ararSS ararar....arararrS arar....araraS n n n n n nn n1n2n32 n 1n2n2 n < − − = −=− −=− −++++++= +++++= −− −−
• 53. ( ) ( ) ( ) 1runtuk 1r 1ra S 1ra1rS aarSrS arar....araraS ararar....arararrS n n n n n nn 1n2n2 n n1n2n32 n > − − = −=− −=− − +++++= ++++++= −− −−
• 54. Deret Geometri Jumlah n suku pertama deret geometri untuk r < 1 untuk r > 1 r ra Sn n − − = 1 )1( 1 )1( − − = r ra Sn n
• 55. 455 545 43214 543215 SSU USS UUUUS UUUUUS Dari −= =− −+++= ++++= RUMUS 1nnn SSU −−= 1 12 1 2 122 11 S SS U U r SSU SU :Catt − == −= = Rumus suku ke-n:
• 56. Suku tengah Barisan Geometri ( )1n 2 1t 7t 6t 5t UUtengahsukuMaka . . UU13n UU11n UU9n + = =→= =→= =→=
• 57. Suku tengah barisan geometri ( ) ( ) ( ) ( ) n1t nt 1n t 1n2 1n 2 1 t 21n 2 1 t 11n 2 1 t 1n 2 1t U.UU U.aU ar.aU r.aarU arU arU UU = = = == = = = − − − −+ −+ + 65432 432 2 ar,ar,ar,ar,ar,ar,a7n ar,ar,ar,ar,a5n ar,ar,a3n ⇒= ⇒= ⇒=
• 58. Suku tengah barisan geometri ( ) ( ) ( ) ( ) nt 1n t 1n2 t 1n 2 1 t 21n 2 1 t 11n 2 1 t 1n 2 1t U.aU ar.aU raU arU arU arU UUmakaganjilnJika = = = = = = = − − − −+ −+ +
• 59. Suku tengah barisan geometri Suku tengah barisan geometri yang banyaknya suku ganjil dapat ditentukan sbb Barisan Geometri: a, U2, U3, . . . , Ut , . . . , Un Jika n= 2t-1 , maka barisan geometri dapat ditulis sbb a, U2, U3, . . . , Ut , . . . , U2t-1
• 60. Sisipan pada Barisan Geometri Jika diantara U1 dan U2 disisipkan k bilangan sehingga membentuk barisan geometri dengan rasio r’ U2 = U k+2 a r = a .( r’) k+1 ( ) 1k 1k r'r 'rr + + = =
• 61. CONTOH 1: Diketahui barisan geometri dengan U2=6 dan U5=162 Tentukan suku pertama dan rasionya. Jawab: 2a 63.a 6ar 3r 27r 6 162 r.a r.a U U 3 4 2 5 = = = = = ==
• 62. Diketahui deret geometri dengan U1 + U2= 9 dan U3+U4=36 Tentukan keempat bilangan tersebut Jawab; 2atau2r 4r 4 )ara( )ara(r 9 36 UU UU 2 2 21 43 −= = = + + = + + Untuk r=-2 maka a + ar=9 Untuk r=2 maka a+ar=9 a-2a=9 a+2a=9 a=-9 3a=9 maka a=3 Keempat bilangan adalah -9,18,-36,72 atau 3,6,12,24 CONTOH 2
• 63. Diketahui deret geometri dengan S2 = 4, S4 = 40 Tentukan rasio dan suku pertama Contoh 3: 4 40 2 4 = S S 10 1 )1( 1 )1( 2 4 = − − − − r ra r ra ( )( ) ( ) 3r 9r 101r 10 1r 1r1r 2 2 2 22 ±= = =+ = − +−JAWAB 2a4a2 4a3a3r 1a4a4 4a3a3r −=⇒=− =−⇒−= =⇒= =+⇒=
• 64. CONTOH 4: Diantara 2 dan 162 disisipkan 3 bilangan sehingga membentuk barisan geometri Tentukan a) rasio deret geometri yang baru b) suku ke-n dari barisan geometri yang baru Suku pertama barisan geometri: U1 = 2, U2 = 162 dengan rasio : r = = 81 disisipkan = k = 3 a)Rasio yang baru = r’= 2 162 3381 4 413 ==+ 1n1n n 3.2r.aU −− ==
• 65. CONTOH 5: Diketahui barisan geometri dengan U1+U3=p and U2+U4=q Nyatakan U4 dalam p dan q Jawab: 22 3 3 3 22 3 4 22 3 2 2 2 2 2 3 31 42 qp q p q x qp p U qp p ap) p q 1(apara p q r p q ara )ara(r p q ara arar maka p q UU UU 2 + = + = + =⇒=+⇒=+ =⇒= + + = + + = + +
• 66. Contoh 6: Diketahui deret geometri a)1+3+9+… Tentukan S8 b)16+8+4+…Tentukan S10 Jawab: a) a=1, r=3 3280 2 16561 13 )13(1 S 1r )1r(a S 8 8 n n = − = − − = − − =
• 67. 2 1 r,16a)b == 32 31 31 32 1023 1024 1023 .32 ] 1024 1 1[32 2 1 1 ]) 2 1 (1[16 S r1 )r1(a S 10 10 n n === −= − − = − − =
• 68. c)Hitunglah jumlah 8 suku yang pertama deret geometri .... 9 2 3 2 26 ++++ 3 1 6 2 U U r 6Ua 1 2 1 === == JAWAB: 1 1 1 ,r r )ra( S n n < − − = ( )[ ] 729 728 8 729 6560 6561 16561 9 3 1 19 3 1 1 2 3 .6 3 2 3 1 16 S 1 16 S 8 8 8 8 3 1 8 3 1 8 ==      − =       −=       −=       − = − − = CONTOH 6:
• 69. Contoh 7: Tentukan banyaknya suku jika a)3+6+12+…=93 b)2+6+18+…=728 Jawab: 5n322 3112 93 12 )12(3 93S 2r,3a)a n n n n =⇔=⇔ =−⇔ = − − ⇔= ==
• 70. 6n7293 72813 728 13 )13(2 728S 3r,2a)b n n n n =⇔=⇔ =−⇔ = − − ⇔= == JAWAB:
• 71. Contoh 8: Tiga bilangan membetuk barisan geometri. Jika jumlahnya 21 dan hasilkalinya adalah 216 Tentukan ketiga bilangan tersebut JAWAB: Misalkan ketiga bilangan adalah 6216a216a 216ar.a. r a 216hasilkali ar,a, r a 33 ==⇒= = =
• 72. Jawab: 3,6,12bilanganketigamaka 2 1 runtuk 12,6,3bilanganketigamaka2rUntuk 2ratau 2 1 r 0)2r)(1r2( 02r5r2 0 r 6 15r6 21r66 r 6 2 = = ==⇔ =−−⇔ =+−⇔ =+−⇔ =++⇒ 3 r x→
• 73. Tiga bilangan p,q,r merupakan tiga bilangan yang membentuk barisan geometri naik dengan jumlah 26 Apabila bilangan kedua ditambah 4 akan membentuk barisan aritmetika .Tentukan ketiga bilangan tersebut. JAWAB: 10x 30x3 26bx4xbx 26Jumlah bx,4x,bx:BG bx,x,bx:BA = = =++−+− = +−− +−
• 74. ( ) ( )( ) ( ) 18,6,2naikBG8b 8b 6436100b b10036 b10b106 UUU U U U U 2 2 2 31 2 2 2 3 1 2 ⇒= ±= =−= −= +−= = =
• 75. Contoh 9: Diketahui barisan geometri dengan U1=x dan U11=y Nyatakan U6 dalam x dan y y.x U.UU 1116 = = JAWAB:
• 76. PENERAPAN BARISAN GEOMETRI BUNGA MAJEMUK ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )43 3 334 32 2 223 2 1 112 1 %p1M%p1%p1M%p1M M%pMMtahun4setelahModal %p1M%p1%p1M%p1M M%pMMtahun3setelahModal %p1M%p1%p1M%p1M M%pMMtahun2setelahModal %p1MM%pMMtahun1setelahModal MawalModal +=++=+= +== +=++=+= +== +=++=+= +== +=+== = CONTOH: Modal sebesar M disimpan di bank dengan bunga majemuk p% per tahun. Hitung modal setelah disimpan selama n tahun.
• 77. ( )n n %p1MM tahunnsetelahModal tahunper%pMajemukBunga MModal +== = = KESIMPULAN
• 78. CONTOH 1: Deni menyimpan uang Rp 1000.000,00 di bank dengan bunga majemuk 10% per tahun .Hitung uang Deni setelah disimpan selama 5 tahun JAWAB: ( ) ( ) ( ) ( ) 510.610.161051,1.000.000.1M 1,1000.000.1M 1,01000.000.1M %101000.000.1M %p1MM %10%p 000.1000M 5 5 5 5 5 5 5 5 5 == = += += += = = Jadi setelah disimpan lima tahun uang menjadi Rp 1.610.510,00
• 79. CONTOH 2: Pada setiap awal tahun Deni menyimpan uang Rp 1000.000,00 di bank dengan bunga majemuk 10% per tahun.Hitung uang Deni pada akhir tahun ke-5 JAWAB:
• 80. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( ) 610.715.6 61051,0.000.000.11 161051,1000.000.11 1,0 11,11,1 .000.1000 11,1 11,11,1 .000.1000 1,11,11,11,11,1000.1000 seluruhnyauangJumlah 1,1000.10005ke000.1000 1,1000.10004ke000.1000 1,1000.10003ke000.1000 1,1000.10002ke000.1000 1,1000.10001ke000.1000 5 5 54321 1TAHUN1 2TAHUN2 3TAHUN3 4TAHUN4 5TAHUN5 = = −= − = − − = ++++= + →−  →−  →−  →−  →−
• 81. PENERAPAN BARISAN GEOMETRI PENYUSUTAN ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )43 3 334 32 2 223 2 1 112 1 %p1M%p1%p1M%p1M M%pMMtahun4setelahaargH %p1M%p1%p1M%p1M M%pMMtahun3setelahaargH %p1M%p1%p1M%p1M M%pMMtahun2setelahaargH %p1MM%pMMtahun1setelahaargH MawalaargH −=−−=−= −== −=−−=−= −== −=−−=−= −== −=−== = CONTOH: Sebuah barang dibeli dengan harga M dengan penyusutan p% per tahun. Hitung harga barang setelah dipakai selama n tahun. JAWAB:
• 82. KESIMPULAN Harga awal=M Penyusutan =p% per tahun Harga setelah n tahun=Mn=M(1-p%)n
• 83. CONTOH: Sebuah laptop dibeli dengan harga Rp 5.000.000,00 Faktor penyusutan 15% per tahun Tentukan harganya setelah digunakan selama 3 tahun. Jawab: ( ) ( ) ( ) ( ) 625.070.3M 85,0000.000.5M 15,01000.000.5M %151000.000.5M %p1MM 3 3 3 3 3 3 3 3 3 = = −= −= −=
• 84. EXAMPLE 2 Given that geometric series with S2 = 4, S4 = 40 4 40 2 4 = S S 10 1 )1( 1 )1( 2 4 = − − − − r ra r ra 10 1 1 2 4 = − − r r ( )( ) 10 1r 1r1r 2 22 = − +− 3r9r 101r 2 2 ±=⇐= =+ 3=r
• 85. Definition of Infinite geometric series Geometric series is called convergent 0and1if ≠< ar r a S − = 1 ~ Geometric series is called divergent 0and1if ≠> ar ~~ =S
• 86. 1r11rjika konvergengeometriDeret <<−⇒< 0625,0 16 1 2 1 125,0 8 1 2 1 25,0 4 1 2 1 5,0 2 1 2 1 :Contoh 4 3 2 1 ==      ==      ==      ==      DERET GEOMETRI TAK HINGGA 0rlim n ~n = →
• 87. ( ) ( ) r1 a ~S r1 01a ~S r1 r1a lim~S Slim~S 0rlimmaka1r1untuk arararara UUUUUS hinggatakgeometrideretJumlah n ~n n ~n n ~n 432 54321~ − =⇒ − − = − − = = =<<− +++++= +++++= → → →   1r1Untuk <<−
• 88. Jumlah suku bernomor ganjil dan genap Terdiri atas Deret Geometri tak hingga:  +++++=+++++= 432 54321~ ararararaUUUUUS  +++=+++= 42 531ganjil~ araraUUUS(i)  ++=++= 3 42genap~ ararUUS(ii) 2ganjil~ 2 r1 a Sehinggasrrasiodengan − == 2genap~ 2 r1 ar Sdanrrasiodengan − ==
• 89. ( ) ( ) ( )( ) ~genap~ganjil~ 2 22genap~ganjil~ SSS r1 a r1r1 r1a r1 r1a r1 ar r1 a SS =+ − = +− + = − + = − + − =+
• 90. CTT: S∞ ganjil =U1 + U3 + U5 +… = a + ar2 + ar4 +… 2 1 r a − = S∞ genap =U2 +U4+U6 + … = ar + ar3 +ar5 +… 2 1 r ar − = S∞ ganjil+S∞ genap= 2 1 r a − 2 1 r ar − + = )1)(1( 1( rr ra +− + ) S r a = −1 = ∞
• 91. ganjil~S genap~S r r ganjil~S genap~S a r1 . r1 ar r1 a r1 ar ganjil~S genap~S 2 2 2 2 = = − − = − −=
• 92. CONTOH 1: Tentukan jumlah deret geometri tak hingga , jumlah suku-suku bernomor ganjil dan bernomor genap: +++ 9 1 3 1 1a) 2 3 3 2 1 1 1 r1 a ~S 3 1 r,1a)a 3 1 == − = − = == JAWAB: −+− 9 1 3 1 1b) ( ) 8 9 9 8 1 9 1 1 1 1 1 r1 a ganjil~S 3 1 r,1a)ai 2 3 1 2 == − = − = − = ==
• 93. ( ) 8 3 8 9 . 3 1 9 8 3 1 9 1 1 3 1 1 3 1 .1 r1 ar genap~S 3 1 r,1a)aii 2 3 1 2 === − = − = − = ==
• 94. ( ) 4 3 3 4 1 1 1 ~S 3 1 r,1a)b 3 1 == −− = −== ( ) 8 9 9 8 1 9 1 1 1 1 1 ganjl~S 3 1 r,1a)bi 2 3 1 == − = −− = −== ( ) 8 3 8 9 . 3 1 9 8 3 1 9 1 1 3 1 1 3 1 1 genap~S 3 1 r,1a)bii 2 3 1 −=−= − = − − = −−       − = −==
• 95. Jumlah deret geometri tak hingga adalah 20. Jika a = 4 Tentukan r. 5 4 20 16 r 16r20 420r20 4r2020 r1 4 20 r1 a S~ == = −= =− − = − = Jawab: CONTOH 2:
• 96. CONTOH 3; genapS)c ganjilS)b S)a :Hitung ....248:GeometriDeret ~ ~ ~ +++ JAWAB: 3 2 10 3 32 3 4 .8 4 3 8 4 1 1 8 r1 a ganjilS 4 1 r,8a)b 162.8 2 1 8 2 1 1 8 r1 a S)a 2 1 r,8a ....248:GeometriDeret 2~ 2 ~ ==== − = − = == === − = − = == +++ 3 1 5 3 16 3 4 .4 4 1 1 4 r1 ar S 2genap~ === − = − =
• 97. Diketahui jumlah deret geometri tak hingga CONTOH 4 3 8 ganjil~3 4 ~ S,S −=−= Tentukan U5 JAWAB: 8 1 16 1 .2 2 1 2arU 2. 2 3 a 2 1 1 a 2 1 S S r SSS S,S 4 4 5 3 4 3 4 3 8 3 4 ganjil~ genap~ 3 4 3 8 3 4 ganjil~~genap~ 3 8 ganjil~3 4 ~ −=−=      −−== −=−=⇒−=       −− −= − == =+−=−= −=−=
• 98. CONTOH 5: Tentukan batas x jika deret geometri dengan rasio r=3 logx merupakan deret konvergen JAWAB: 3x 3 1 3logxlog 3 1 log 3logxlog3log 1xlog1 1r1 konvergenDeret 333 13313 3 <<⇒ << << <<− <<− −
• 99. CONTOH 6: b)Tentukan batas x jika deret geometri dengan rasio r=2 log(2x-1) merupakan deret konvergen JAWAB: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 x 4 3 3x2 2 3 12x21 2 1 21x2 2 1 2log1x2log 2 1 log 2log1x2log2log 11x2log1 1r1 konvergenDeret 222 12212 2 <<⇒ <<⇒ +<<+⇒ <−<⇒ <−< <−< <−<− <<− −
• 100. CONTOH 7: b)Tentukan batas x jika deret geometri dengan rasio merupakan deret konvergen JAWAB: 1x2 1 r − = 1 1x2 1 dan 1x2 1 1 1 1x2 1 1 < −− <− < − <−
• 101. 0 1x2 x2 0 1x2 1x21 01 1x2 1 1x2 1 1 1 1x2 1 1 > − > − −+ >+ − − <− < − <− dan 0 1x2 x22 0 1x2 1x21 01 1x2 1 1 1x2 1 < − − < − +− <− − < − +-+ 0 2 1 -+- 1 2 1
• 102. 1xatau0xadalahxbatas >< +-+ 0 2 1 -+- 1 2 1
• 103. CONTOH: Nyatakan dalam bentuk b a ....0191919,0190,0)f ....52525252,152,1)e ....143143143143,0314,0)d ....31313131,031,0)c ....444444,04,0)b ....333333,03,0)a = = = = = =
• 104. 3 1 9 3 10 9 10 3 10 1 1 10 3 r1 a 10 1 r, 10 3 adengan~S .... 10000 3 1000 3 100 3 10 3 ....333333,03,0)a === − = − = == ++++= =
• 105. 99 31 100 99 100 31 100 1 1 100 31 r1 a 100 1 r, 100 31 adengan~S .... 1000000 31 10000 31 100 31 ....31313131,031,0)c == − = − = == +++= =
• 106. 999 314 1000 999 1000 314 1000 1 1 1000 314 r1 a 1000 1 r, 1000 314 adengan~S .... 000.000.1000 314 000.1000 314 1000 314 ....143143143143,0314,0)d == − = − = == +++= =
• 107. 99 151 99 5299 99 52 1 ...52525252,01 ...52525252,152,1)e = + =+= += = 990 19 190,0 990 19 p 99 19 p10p1019,0 p190,0 ....01919191,0190,0)f =∴ =⇒=⇒= = =
• 108. Sebuah bola dijatuhkan ke lantai dari ketinggian a meter dan setiap mengenai lantai bola mencapai ketinggian tinggi sebelumnya.Hitung lintasan bola sampai berhenti. q p CONTOH: JAWAB: dst ( ) ( )       − + =       −       + =       −       + = − + = − +− = − −− = −      − = pq pq a q pq q pq a q p 1 q p 1a r1 r1a r1 araa2 r1 r1aa2 a r1 a 2 bolaasanintlJumlah
• 109. EXAMPLE 2 The sum of infinite geometric series is 20. If a = 4, find r! r a S − = 1 ~ r− = 1 4 20 042020 =−− r 1620 =r 5 4 =r
• 110. CONTOH 3 Diketahui jumlah deret geometri tak hingga Tentukan U53 8 ganjil~3 4 ~ S,S −=−= r1 S S ganjil~ ~ += r+= − − 1 3 8 3 4 r+=− 12 1 2 1 −=r r a S − = 1 ~ 2 13 4 1+ =− a 2−=a ( ) 8 1 4 2 1 4 5 2 −= ⋅−= = arU Jawab
• 111. Expention Formula of Infinite geometric series Consist of General from of infinite geometric series:  +++++=+++++= 432 54321~ ararararaUUUUUS  +++=+++= 42 531odd~ araraUUUS(i)  ++=++= 3 42even~ ararUUS(ii) 2odd~ 2 r1 a Sandrratiowith − == 2even~ 2 r1 ar Sandrratiowith − ==
• 112. PENERAPAN JUMLAH DERET GEOMETRI TAK HINGGA A B C a a 2a B1B2 B3B4 45o 45o Diketahui segitiga ABC samakaki dan siku-siku di B dengan AB= a Dari B dibuat BB1 tegak lurus AC. Dari B1 dibuat B1B2 tegak lurus AB dst.Hitung AC+AB+BB1+B1B2+ …. JAWAB a 2 1 2 2 1 .2 2 1 .a45sinBBBB 2 2 1 .a45sinABBB 2aAC aAB o 121 o 1 === == = = CONTOH 4:
• 113. ( )12a2 12 12 . 12 a2 2 2 . 2 2 1 1 2a r1 2a S 2 2 1 45sinrRatio ...2a 2 1 a2a ...BBBBABAC Diperoleh 211 += + + − = − = − =∞ === +++= ++++
• 114. a2S 2 1 1 a S ...a 4 1 a 2 1 a ...BBBBAB siku-sikusisiJumlah ~ ~ 4321 = − = +++= +++ A B C a a 2a B1B2 B3B4 45o 45o
• 115. a2S 2 1 45sinrRatio ...45sina45sinaa or ...a 4 1 a 2 1 a or ...BBBBAB sidesuprightofSeries 2 42 4321 =∞ === +++ +++ +++ A B C a a 2a B1B2 B3B4 45o 45o
• 116. A B C A2 C1 B1 A1 B2 C2 a2 2 1 1 a r1 a S Diperoleh 2 1 rratio ....a 4 1 a 2 1 a samasisisegitigasisiJumlah ~ = − = − = == +++ CONTOH 2: Diketahui segitiga samasisi ABC Melalui titik tengah ketiga sisi-sisinya dibuat segitiga samasisi A1B1C1 dan melalui titik tengah segitiga A1B1C1 dibuat segitiga A2B2C2 dst Hitung jumlah a)AB+A1B1+A2B2+…. b)L.ABC+L.A1B1C1+L.A2B2C2+…. JAWAB:
• 117. A B C A2 C1 B1 A1 B2 C2 22 2 ~ 222 222111 a3 3 1 3 4 .a3 4 1 4 1 1 a3 4 1 S ...a3 64 1 a3 16 1 a3 4 1 ....CBA.LCBA.LABC.L segitigaluasJumlah == − = +++= +++= 2 0 a.3 4 1 3 2 1 .a.a. 2 1 60sin.a.a. 2 1 samasisiLuas == = ∆
• 118. CONTOH 3: Diketahui bujursangkar ABCD dengan sisi a cm. Melalui titik tengah sisi- Sisinya dibuat bujursangkar A1B1C1D1 dan seterusnya Hitung jumlah luas bujursangkar yang terjadi seluruhnya. A B C D A1 B1 C1 D1 A2 B2 C2D2 2 2 22 a2 2 1 1 a ...a 2 1 aluasJumlah = − = ++= x x 2x 2 2 2 a 2 1 a2 2 1 Luasa2 2 1 IIpersegisisi aLuasaIpersegisisi =      =⇒= =⇒=
• 119. x x 2x x 2 x 2 x
• 120. a Diketahui lingkaran I berjari-jari a cm .Di dalam lingkaran dibuat bujursangkar dengan diagonalnya adalah diameter lingkaran. Dibuat lingkaran II yang menyinggung sisi-sisi bujursangkar I dan seterusnya. Hitung jumlah luas lingkaran seluruhnya dan luas bujursangkar seluruhnya. JAWAB:
• 121. 2 22 2 2 2 22 111 1 2 1 aIIpersegiLuas as2a2s 2a2 2 1 a.2IIpersegiDiameter a 2 1 2 2 aIIlingkLuas a2 2 1 RIIlingkjariJari a2sIpersegiLuasa2sa22s sIpersegisisia2IpersegiDiameter aLuasaRIlingkjariJari = =⇒= == π=        π= ==− ==⇒=⇒= =⇒= π=⇒==− a
• 122. 2 2 2 2 a4 2 1 1 a2 persegiluasJumlah a2 2 1 1 a lingkaranluasJumlah = − = π= − π =
• 123. ( ) ( )22a2 22 24 a4 22 22 . 22 a4 2 2 1 1 a2 lingkarankellJumlah +π= + − π = + + − π = − π =
• 124. ( ) ( )22a22 22 24 a24 22 22 . 22 a24 2 2 1 1 a24 persegikellJumlah += + − = + + − = − =
• 125. C.Application of Unlimited Geometric Series 1. Field Geometric i. Equilateral Triangle 2aS :formedthatsidesallofSum 2 1 rratio ....a 4 1 a 2 1 a TrianglelEquilateraofsideofSeries =∞ == +++
• 126. Suku Tengah (Ut) : Kesimpulan : Suku Tengah : Ut = nUa ⋅ n 1n 1n2 2 1n 2 21n 1 2 1n 2 1nt U.a r.a.a r.a r.a r.a r.aUU = = = = = == − − − −+ − + +
• 127. CONTOH Tentukan nilai n jika (n+1), n, (n-3) membentuk barisan geometri Jawab: (U2)2 = U1. U3 n2 = (n+1)(n-3) n2 = n2 – 2n – 3 2n = -3 n = - 2 3
• 128. 3 3 1 S :formedthatareaofSum 4 1 ....3 64 1 3 16 1 3 4 1 TrianglelEquilateraofareaofSeries 2 22 a rratio aaa =∞ == +++ 6aS :formedthatgssurroundinallofSum 2 1 rratio ....a 4 3 a 2 3 a3 TrianglelEquilateraofgssurroundinofSeries =∞ == +++
• 129. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2232122 12 12 . 12 122 2 2 . 2 1 1 122 2 2 1 1 122 1 :formedthatgssurroundinofSum 2 2 1 45sin ...122 2 1 12122 ... gssurroundinofSeries 2 211 +=+=∞∴ − − − + = − + = − + = − ∆ =∞ === ++++++ +∆+∆+∆ aaS aaa r ABCK S rRatio aaa or BCBKCBBKABCK 2 2 222 211 2 1 45sin ... 8 1 4 1 2 1 ... SeriesArea aS rRatio aaa or BCBLCBBLABCL =∞ === +++ +∆+∆+∆
• 130. 3. Some Special Series Sum Formula ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 30 1nn9n61nn i.4 2 1nn i.3 6 1n21nn i.2 2 1nn i.1 23n 1i 4 2n 1i 3 n 1i 2 n 1i −+++ =     + = ++ = + = ∑ ∑ ∑ ∑ = = = =
• 131. Buktikan dengan induksi Matematika INDUKSI MATEMATIKA ( )1nn 2 1 i n 1i +=∑= Bukti: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] terbukti2k1k 2 1 1k1kk 2 1 1kk....321i :Bukti 2k1k 2 1 1kk....321i 1knuntukberlakuDibuktikan 1kk 2 1 k....321i knuntukberlakuMisal Benar336. 2 1 3122. 2 1 212n Benar112. 2 1 1111. 2 1 11n 1nn 2 1 n....321i 1k 1i 1k 1i k 1i n 1i ++= +++= ++++++= ++=++++++= += +=++++= = =⇒=⇒+=+⇒= =⇒=⇒+=⇒= +=++++= ∑ ∑ ∑ ∑ + = + = = =
• 132. Buktikan dengan induksi Matematika INDUKSI MATEMATIKA ( )( )1n21nn 6 1 i n 11 2 ++=∑= Bukti: ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )( )( )terbukti3k22k1k 6 1 6k7k21k 6 1 6k6kk21k 6 1 1k61k2k1k 6 1 1k1k21kk 6 1 1kk....941i :Bukti 3k22k1k 6 1 1kk....941i 1knuntukberlakuDibuktikan 1k21kk 6 1 k....941i knuntukberlakuMisal Benar5530. 6 1 514122. 6 1 412n Benar116. 6 1 112111. 6 1 11n 1n21nn 6 1 n....941i 2 2 2 22 1k 11 2 22 1k 11 2 k 11 2 2 n 11 2 +++= +++= ++++= ++++= ++++= ++++++= +++=++++++= += ++=++++= = =⇒=⇒++=+⇒= =⇒=⇒++=⇒= ++=++++= ∑ ∑ ∑ ∑ + = + = = =
• 133. Buktikan dengan induksi Matematika INDUKSI MATEMATIKA ( ) 2n 1i 3 2 1nn i       + =∑= Bukti: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( )( ) terbukti 2 2k1k 2k1k 4 1 4k4k1k 4 1 1k4k1k 4 1 1k 2 1kk 2 2k1k 1kk....2781i :Bukti 2 2k1k 1kk....2781i 1knuntukberlakuDibuktikan 2 1kk k....2781i knuntukberlakuMisal Benar11. 2 2 1 2 111 11n 2 1nn n....2781i 2 22 22 22 3 2 2 33 k 1i 3 2 33 1k 11 3 2 3 k 11 3 22 2 2 n 11 3       ++ = ++= +++= +++= ++      + =       ++ =++++++=       ++ =++++++= +=       + =++++= = =⇒      =⇒      + =⇒=       + =++++= ∑ ∑ ∑ ∑ = + = = =
• 134. The proven from special series sum formula, can be done with mathematics induction. Now, we’ll prove it directly for formula 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 1 2 2 ...4321 termsofamounttheand,,1withseriesaritmathicwasThat total nfirsttheofsumtheare...4321 1 1 + =∴ + = += == =+++++ === +++++= ∑ ∑ = = nn i nn n n Ua n S Sn nnUa ni n i nn n n n i INDUKSI MATEMATIKA
• 135. Example: Prove with using mathematics induction 1 +2 +3 + …+n=1/2n(n+1) Proof: For n=1 then 1=1/2.1.2 1= 1(true) Supposed that fulfilled for n=k 1+2+3+…+k= ½.k(k+1) Prove that fulfilled for n=k+1 1+2+3+…+k+(k+1)=1/2(k+1)(k+2) Proof Left side =1+2+3+…k+(k+1) =1/2.k.(k+1)+ (k+1) =1/2(k+1)(k+2) = right side=proved
• 136. 3=r
• 137. Rumus suku ke-n:
• 138. THAT’s ALL!!!!!!! thAnkS foR yoUr AtTenTioN!!!