REMEMBER VI
                                        COD. 955

                                                            ...
então, três descontos sucessivos de 40%, 5% e 5%                                 e) apenas b é negativo e a e c são positi...
43. Os pares de valores x e y que são soluções comuns das
equações y = (x + 1)² e xy + y = 1 são:
a) 3 pares reais b) 4 pa...
x² - 6x – 7 = 0.
10(A) Iniciando com o cálculo do tempo (∆t1) do trem em
velocidade média de 40 km/h ( V = 40 km/h) no per...
Fazendo ]BPA = ]BPR + ]RPA (que são dois ângulos                                    dos minutos possui velocidades 12 veze...
i) O ∆OBC (é isóscele), pois OB = BC = r (raio) ∴
               1/3 a  b  c  d  29                                   ...
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Matematica remember exercicios resolvidos

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Matematica remember exercicios resolvidos

  1. 1. REMEMBER VI COD. 955 b) todas as pessoas lentas em aprender não freqüentam esta 01. Qual dos valores a seguir não equivale a 0,000 000 357? escola a) 3,75 . 10 -7 b) 3 ¾ . 10 -7 c) 375 . 10 -9 c) algumas pessoas lentas em aprender freqüentam esta -7 –6 d) 3 / 8 . 10 e) 3 / 8 . 10 escola d) algumas pessoas lentas em aprender não freqüentam esta 02. O menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio escola quando são 12h e 25 min é: e) nenhuma pessoa lenta em aprender freqüenta esta escola a) 132°30’ b) 137°30’ c) 150° d) 137°32’ e) 137° 12. A solução de 5x  1  x  1  2 é: 03. Se cada número em um conjunto de dez números é aumentado de 20 unidades, então a média aritmética dos dez a) { 2,1 } b) { 2/3 } c) { 2 } d) { 1 } e) { 0 } números originais: a) permanece a mesma b) é aumentada em 20 unidades c) é aumentada em 200 unidades d) é aumentada em 10 a4 b 4 unidades e) é aumentada em 2 unidades 13. A fração a2 b 2 é igual a: a) a  b 6 6 b) a 2  b 2 c) a 2  b 2 04. A igualdade 1 x1  1 x2 é satisfeita: d) a 2  b 2 d) a 2  b 2 a) por nenhum valor real de x b) por x1 ou x2 c) apenas x  1 d) apenas x  2 e) apenas x  0 14. O comprimento de um retângulo R é 10% maior que o lado de um quadrado Q. A largura do retângulo é 10% 05. y varia com o inverso do quadrado de x. Quando y = 16, menor que o lado do quadrado. A razão entre as áreas de R e x = 1. Quando x = 8, y é igual a: Q é: a) 2 b) 128 c) 64 d) 1 / 4 e) 1024 a) 99 : 100 b) 101 : 100 c) 1 : 1 d) 199 : 200 e) 201 : 200 06. Um feirante compra certa quantidade de laranjas à base de 3 por 10 centavos, e igual quantidade à base de 5 por 20 15. A razão entre as áreas de dois círculos concêntricos é de centavos. Para não ter lucro nem prejuízo, ele deve vender à 1: 3. Se o raio do círculo menor é r, então a diferença entre base de: os raios é aproximadamente: a) 8 por R$ 0,30 b) 3 por R$ 0,11 c) 5 por R$ 0,18 a) 0,41 r b) 0,73 c) 0,75 d) 0,73 r e) 0,75 r d) 11 por R$ 0,40 e) 13 por R$ 0,50 16. O valor de 3 / (a + b) quando a = 4 e b = -4 é: 07. Se um trabalhador recebe um corte de 20% no seu a) 3 b) 3 / 8 c) 0 d) qualquer número finito salário, ele só vai readquirir o salário original se tiver um e) não definida aumento de: a) 20% b) 25% c) 22,5% d) R$ 20,00 e) R$25,00 17. Se log x – 5 log 3 = -2, então x é igual a: a) 1,25 b) 0,81 c) 2,43 d) 0,8 e) 0,8 ou 1,25 08. O gráfico de x² - 4y² = 0 é: a) é uma hipérbole que corta apenas o eixo dos x 18. O discriminante da equação x² + 2x√3 + 3 = 0 é zero. b) é uma hipérbole que corta apenas o eixo dos y Portanto, suas raízes são: c) é uma hipérbole que não corta nenhum dos eixos a) reais e iguais b) racionais e iguais c) racionais e d) é um par de retas distintas d) irracionais e distintas e) imaginárias e) não existe 19. Dois números cuja soma é 6 cujo valor absoluto da 09. Um círculo é inscrito em um ∆ de lados 8, 15 e 17. O diferença é 8 são as raízes da equação: raio do círculo é: a) x² - 6x + 7 = 0 b) x² - 6x - 7 = 0 c) x² + 6x – 8 = 0 a) 6 b) 2 c) 5 d) 3 e) 7 d) x² - 6x + 8 = 0 e) x² + 6x – 7 = 0 10. Quantas horas demoram um trem que viaja a velocidade 20. A expressão √25 – t² +5 se anula para: média de 40 km/h, para que percorra a quilômetros se a) em nenhum valor real ou imaginário de t durante o trajeto ele faz n paradas de m minutos cada uma? b) em nenhum valor real de t, mas para alguns valores a) (3 a + 2mn) / 120 b) 3 a + 2mn c) (3 a + 2mn) / 12 imaginários c) em nenhum valor imaginário de t, mas d) (a + mn) / 40 e) (a + 40 mn) / 40 para alguns valores reais d) t = 0 e) t = ±5 11. A negação da afirmação “Nenhuma pessoa lenta em 21. Seja c a hipotenusa de um ∆ retângulo e A sua área. aprender freqüenta esta escola” é: Então altura relativa à hipotenusa mede: a) todas as pessoas lentas em aprender freqüentam esta a) A / c b) 2A / c c) A / 2c d) A² / c e) A / c² escola 22. Para pagamento de R$ 10.000,00 um cliente pode optar entre três descontos sucessivos de 20%, 20% e 10% ou 1
  2. 2. então, três descontos sucessivos de 40%, 5% e 5% e) apenas b é negativo e a e c são positivos Escolhendo a proposta mais vantajosa ele economiza: a) absolutamente nada b) R$ 400,00 c) R$ 330,00 33. Carine inicia uma viagem quando os ponteiros do d) R$ 345,00 e) R$ 360,00 relógio estão sobrepostos (apontam para a mesma direção e sentido) entre 8h e 9h da manhã. Ela chega a seu destino 23. Ao rever o cálculo de moedas do caixa, o atendente entre 2h e 3h da tarde quando os ponteiros do relógio contou q moedas de 25 centavos, d de 10 centavos, n de 5 e formam um ângulo de 180°. O tempo de duração da viagem c moedas de 1 centavo. Mais tarde Mais tarde ele descobre é: que a moedas de 5 centavos foram contadas como moedas a) 6h b) 6h 43 7/11 min c) 5h 16 4/11 min d) 6h 30 min de 25 centavos e que x moedas de 10 centavos, contadas e) nra como sendo de 1 centavo. Para corrigir o total o atendente deve: 34. Uma estaca de 6 cm e outra a) deixar o total inalterado b) subtrair 11 centavos de 18 cm de diâmetro dão c) subtrair 11x centavos d) somar 11 x centavos colocadas lado a lado como e) somar x centavos mostra a figura, e amarradas com um arame. O menor 24. A função 4x² - 12x – 1: comprimento de arame que a) sempre cresce à medida que x cresce contorna as duas estacas em cm é: b) sempre decresce à medida que x decresce a) 12√3 + 16 b) 12√3 + 7 c) 12√3 + 14 c) não se pode anular d) 12 + 15 e) 24 d) tem um valor máximo quando x é negativo e) tem um valor mínimo em -10. 35.Três meninos concordam em dividir um saco de bolinhas de gude da seguinte maneira: o primeiro fica com a metade 25. Um dos fatores de x4 + 2x² + 9 è : das bolinhas mais uma. O segundo fica com um terço das a) x² + 3 b) x + 1 c) x² - 3 d) x² -2x – 3 e)n.r.a. restantes. O terceiro descobre que desta forma ele fica com o dobro das bolas do segundo. O número de bolas é: 26. Édio tem uma casa que vale R$ 10.000,00. Ele vende a a) 8 ou 38 b) não podem ser deduzidos por esses dados casa para Camila com 10% de lucro. Camila vende a casa de c) 20 ou 26 d) 14 ou 32 e) nra volta para Édio com 10% de prejuízo. Então: a) Édio nem perde nem ganha b) Édio lucra R$ 100,00 36. Um tanque de óleo cilíndrico, em posição horizontal, c) Édio lucra R$ 1.000,00 d) Camila perde R$ 100,00 tem um comprimento interno de 10m e um diâmetro interno e) Édio lucra R$ 1.100,00 de 6m. Se a superfície retangular do óleo dentro do tanque tem área de 40m², então a profundidade do óleo, em metros, 27. Se r e s são raízes da equação x² - px + q = 0 então r² + é: s² é igual a: a) √5 b) 2√5 c) 3 - √5 d) 3 + √5 e) 3 ± √5 a) p² + 2q b) p² - 2q c) p² + q² d) p² - q² e) p² 37. Um número de três dígitos tem, da esquerda para a 28. Em um mesmo sistema de eixos são traçados o gráfico direita, os dígitos h, t e u, sendo h > u. Quando o número de y = ax² + bx + c e o gráfico da função obtida substituindo com os dígitos em posição reversa é subtraído do número x por –x na função dada. Se b 0 e c 0 então esses original, o dígito da unidade da diferença é 4. Então os dois gráficos interceptam-se: dígitos seguintes, da direita para a esquerda, são: a) em dois pontos, um no eixo dos x e um no eixo dos y a) 5 e 9 b) 9 e 5 c) impossível calcular d) 5 e 4 b) em um ponto localizado fora dos eixos e) 4 e 5 c) somente na origem d) em um ponto no eixo dos x e) em um ponto no eixo dos y 38. São dados quatro números inteiros. Escolha três inteiros quaisquer dentre eles e calcule a média aritmética destes, 29. Na figura, PA é depois some este resultado ao quarto inteiro. Desta forma se tangente ao consegue os números 29, 23, 21 e 17. Um dos números semicírculo SAR; originais é: PB é tangente ao a) 19 b) 21 c) 23 d) 20 e) 17 semicírculo RTB; SRT é um segmento 39. Se y = x² + px + q, então se o menor valor possível de y de reta e os arcos é zero, q deve então valer: estão indicados na a) 0 b) p² / 4 c) p / 2 d) – p / 2 e) p²/4 - q figura. O ângulo APB mede: 40. Se b d, então as frações ax + b e b são distintas se: a) ½ (a – b) b) ½ (a + b) c) (c - a) - (d – b) cx + d d d) a – b e) a + b a) a = c = 1 e x 0 b) a = b = 0 c) a = c = 0 30. Cada uma das equações 3x 2 2  25; 2x 1 2  x 1 2 e x 2 7  x 1 têm : d) x = 0 e) ad = bc a) duas raízes inteiras b) nenhuma raíz maior que 3 c) nenhuma raíz nula d) apenas uma raíz 41. Um trem partindo da cidade A até a cidade B encontra e) uma raíz negativa e ooutra positiva um acidente depois de 1 hora. Se ele parasse por meia hora e depois prosseguisse a 4 / 5 da sua velocidade usual, chegaria 31. Um ∆ eqüilátero de lado 2 é dividido em um triângulo e à cidade B com 2 horas de atraso. Se o trem tivesse em um trapézio por uma linha paralela a um de seus lados. percorrido 80 km mais antes do acidente, teria chegado Se a área do trapézio é igual à metade da área do triângulo atrasado uma hora apenas. A velocidade usual do trem, em original, o comprimento da mediana do trapézio é: km/h, é: a) √6 / 2 b) √2 c) 2 + √2 d) (2 + √2) / 2 a) 20 b) 30 c) 40 d) 40 e) 50 e) (2√3 - √6) / 2 42. Se a, b e c são inteiros positivos, os radicais √(a + b/c) e 32. Se o discriminante de ax² + 2bx + c = 0 é zero, então a.√(b /c) são iguais se e somente se: outra afirmação verdadeira sobre a, b e c é: a) a = b = c = 1 b) a = b e c = a = 1 c) c = [b(a²-1)] / a a) eles formam uma progressão aritmética d) a = b e c qualquer valor e) a = b e c = a – 1. b) eles formam uma progressão geométrica c) eles são distintos d) eles são números negativos 2
  3. 3. 43. Os pares de valores x e y que são soluções comuns das equações y = (x + 1)² e xy + y = 1 são: a) 3 pares reais b) 4 pares reais c) 4 pares imaginários 01.D 11.C 21.B 31.D 41.A d) 2 pares reais e 2 pares imaginários 02.B 12.D 22.D 32.B 42.C e) 1 par real e 2 pares imaginários. 03.B 13.C 23.C 33.A 43.E 44. Em um círculo de centro O é traçado uma corda AB de 04.E 14.A 24.E 34.C 44.A tal forma que BC é igual ao raio do círculo. CO é traçada e estendida até D. CO é traçada e estendida até D e AO é 05.D 15.D 25.E 35.B 45.A traçada. Qual das expressões abaixo expressa a relação entre 06.B 16.E 26.E 36.E 46.B x e y? 07.B 17.C 27.B 37.B 47.C a) x = 3y b) x = 2y 08.D 18.A 28.E 38.B 48.B c) x = 60° 09.D 19.B 29.E 39.B 49.C d) não existe nenhuma 10.A 20.A 30.B 40.A 50.C relação especial entre x e y e) x = 2y ou x = 3y, dependendo do comprimento de AB. 45.Dadas uma série geométrica com primeiro termo não GABARITO nulos e razão não nula e uma série aritmética com primeiro termo nulo. É formada a 3ª seqüência 1, 1, 2, . . . pela soma 01(D) Trata-se de uma questão que envolve números dos termos correspondentes das duas séries. A soma dos dez decimais. Temos então que: primeiros termos da terceira seqüência é: 3/8 = 0,375 e que 3/8x10-6 = 0,000 000 375 ∴ (D) é a a) 978 b) 557 c) 467 d) 1 068 e) n.r.a. alternativa correta. 46. Os gráficos de 2x + 3y – 6 = 0; 4x – 3y – 6 = 0; x = 2 e 02(B) Em 25 minutos temos os deslocamentos: y = 2 / 3 se interceptam em: O ponteiro Grande (dos minutos) desloca-se: 5 x 30° = 150°. a) 6 pontos b) 1 ponto c) 2 pontos d) nenhum ponto O ponteiro pequeno (das horas) desloca-se: 1/12 do e) em um número não limitado de pontos deslocamento do ponteiro dos minutos = 1/12 (150°) = 12,5° ∴ ângulo = 150° - 12,5° = 137,5° = 137°30’. 47. As expressões a + bc e (a + b) (a + c) são: a) sempre iguais b) nunca iguais c) iguais quando a + b +c=1 d) iguais a + b + c = 0 e) iguais somente 03(B) Seja x1, x2, . . . , xn os n números cuja média quando a = b = c = 0. aritmética é A. Então A = (x1 + x2 + . . . + xn) / n. Os n números aumentados de 20 unidades cada um terão 48. Dado um ∆ uma média aritmética M tal que: ABC com M = [(x1 + 20) + (x2 + 20) + . . . + (xn + 20) ] / n = medianas AB, BF e = (x1 + x2 + . . . + xn) / n + ( 20 + 20 + ... + 20 ) / n = CD; com FH = A + 20.n / n = A + 20. Portanto B é a alternativa certa. paralela a AF e de igual comprimento. 04(E) Multiplicando os dois membros da equação por (x – Traça-se BH e HE 1)(x – 2), temos : 2x – 2 = x – 2 ∴ x = 0. e estende-se FE até encontrar BH em G. Qual das afirmações a seguir não é 05(D) Temos: y / (1/x²) = k ∴ y = k / x². necessariamente correta? Para y = 16 e x = 1 → 16 = k / 1² → k = 16. a) AEHF é um paralelogramo b) HE = HG c) BH = DC Então para x = 8 temos: y = 16 / 8² = 1 / 4. d) FG = ¾ AB e) FG é a mediana do ∆BGF 06(B) Considerando as duas compras temos dois preços: 49. Os gráficos de y = x² - 4 e y = 2x se interceptam em: 1ª) Compra de n laranjas a 3 por R$ 0,10 →(10 / 3) e vender x–2 por x, temos: n.x = (10 / 3) n a) um ponto cuja abscissa é 2 b) um ponto cuja 2ª) Compra de n laranjas a 5 por R$ 0,20 →(20 / 5) e vender abscissa é 0 por x, temos: n.x = (20 / 5) n. c) nenhum ponto d) dois pontos distintos e) Para o cálculo da venda: 1ª + 2ª → 2n. x = 10n /3 + 20n /5 dois pontos distintos ∴ x = 11 / 3, ou seja, 3 laranjas por R$ 0,11. 50. Para 07(B) Considere Sn (novo salário) e S (salário original). poder Temos que: Sn = S – 20%S = S – 1/5 S = 4/5 S ∴ ultrapassar B S = 5/4 Sn. O aumento necessário é Sn / 4, ou seja, 25% de que corre a Sn. 40 Km/h em uma estrada 08(D) Fatorando o dado, temos: de pista x² - 4y² = (x + 2y)(x – 2y) = 0 ∴ x + 2y = 0 e x – 2y = 0. simples, A Cada uma dessas equações representa uma reta. que corre a 50 km/h deve adiantar-se a B 8m. Ao mesmo tempo 09(D) O triângulo de lados 8, 15 e 17 é retângulo. Para C, que corre em direção a A com velocidade de 50 qualquer ∆ retângulo pode-se mostrar (veja REMEMBER I km/h. Se B e C mantêm suas velocidades, para poder – Problema 35) que: a – r + b – r = c ∴ 2r = a + b – c = 8 + ultrapassar com segurança A deverá aumentar sua 15 – 17 = 6 ∴ r = 3. (Considerar no ∆: c → hipotenusa; a e velocidade de: b → catetos e r = raio do círculo inscrito). a) 30 km/h b) 10 km/h c) 5 km/h d) 15 km/h e) 3 km /h. 3
  4. 4. x² - 6x – 7 = 0. 10(A) Iniciando com o cálculo do tempo (∆t1) do trem em velocidade média de 40 km/h ( V = 40 km/h) no percurso de 20(A) A equação √ 25 - t² nunca pode ser igual a zero um a km (∆x = a km) → V = ∆x / ∆t1 ∴ ∆t1 = ∆x / V = a / 40 vez que é a soma de um número positivo com um número horas. não negativo.(Para √ 25 – t² estamos querendo nos referir Cálculo do tempo das n paradas de m minutos (∆t2): somente à raiz positiva). Logo (A) é a opção correta. ∆t2 = (n. m) min = (n. m) / 60 horas. 21(B)Como A = ½ h . c ∴ h = 2 a / c. Nº. de horas de demora = ∆t1 + ∆t2 = a / 40 + (n.m) / 60 = ( 3 a + 2mn)/120 . 11(C) A negação consiste em dizer que é falso que “ nenhuma pessoa lenta em aprender freqüenta esta escola”, o 22(D) Temos um problema de descontos. Vamos operar cada que é o mesmo de dizer: “algumas pessoas lentas em desconto único da forma D = 1 – (1 – i 1)(1 – i2)(1 - i3) onde aprender freqüentam esta escola”. i1, i2 e i3 representam a taxa centesimal de cada desconto sucessivo. Vejamos o desconto de cada proposta: 12(D) Trata-se de uma equação irracional. Não se pode 1ª Proposta: Descontos sucessivos de 20%; 20% e 10%. esquecer no final de fazer à verificação para cada raiz. D1 = 1 – (1 – 0,2)(1 – 0,2)(1 – 0,1) = A princípio transfere-se √x - 1 para o segundo membro e = 1 – (0,8)(0,8)(0,9) = 1 – 0,576 = 0,424 = 42,4% 2ª Proposta: Descontos sucessivos de 40%; 5% e 5%. quadra-se a equação, ou seja: D2 = 1 – (1 – 0,4)(1 – 0,05)(1 – 0,05) 5x  1  2  x  1 quadrando) = 1 – (0,6)(0,95)² = 1 – 0,5415 = 0,4585 = 45,85%. Verifica-se então que a 2ª proposta é mais vantajosa e temos 5x  1  2  4 x  1  x  1 4x  4  4 x  1 como economia em relação a 1ª de: x  1   x  1 quadrando-se x²  2x  1  x  1 (D2 – D1). 10.000 = (3,45%). 10.000 = R$ 345,00. x²  3x  2  0 x  1 e x"  2. (Veja também outra maneira de resolução modelo Verificação: Para x  1 5.1  1  1 1  4  0 2 REMEMBER I – problema 22). 22 V x  1 é raiz. Para x  2 5.2  1  2 1  9  1 4 23(C) A quantia contada em centavos = 25q + 10c + 5n + c. 42 F x  2 não é raiz.Logo a opção certa é a D . Valor correto = 25(q – x) + 10(c + x) + 5(n + x) + (c – x). A diferença = -25x + 10x + 5x – x = -11x ∴ 11x centavos devem ser subtraídos. 13(C) Usando uma das propriedades dos produtos notáveis, a² - b² = (a + b)(a – b) , temos: 24(E) A função y = 4x² -12x -1 possui como gráfico uma parábola com concavidade voltada para cima, pois a = 4 > 0 a4  4 a2  b 2 a2  2 b b   a2  b 2 . cujo ponto vértice V (xv, yv) = (-b /2a; -∆ / 4 a) ∴ xv = 3/2 a2  2 b a2  2 b = 1,5 e yv = - 10 (mínimo). (Veja REMEMBER I- Problema 4) . 14(A) As dimensões do retângulo R são: Comprimento = 1,1L e Largura = 0,9L ∴ Áret. = 1,1 . 0,9 = 0,99 L². 25(E) Trata-se de uma questão sobre complementar A área do quadrado de lado L = Aq. = L². Daí então: quadrado perfeito e regra dos produtos notáveis. Fazendo: Aret. / Aq = 0,99L² / L² = 0,99 = 99 / 100. x4  2x 2  9  x4  2x 2  9  4x 2  4x 2  x 4  6x 2  9  4x 2   x2  3  2x  x 2  3  2x x 2  3  2x  2 2 1 1 R  r 3. Área Círc.menor r2 Área Círc. maior 3 R² 3 x4 9  x 2  2x  3 x 2  2x  3 . Então a diferença entre os raios   R  r  r 3 r  r 3  1 r 1,73  1 0,73r x2 2.x2 . 3 3 6x2 15(D) Seja R o raio do círculo maior, temos: 26(E) Édio vende com lucro de 10% = 16(E) Quando a = 4 e b = -4 temos que: a + b = 0. Logo a = 10.000 + 10%.10.000= 10.000 + 1.000 = R$ 11.000,00 expressão não tem sentido para esses valores, pois não se Camila vende com prejuízo de 10% sobre preço de compra= divide por zero. = 10.000 – 10%.11.000 = 11.000 – 1.100 = R$ 9.900,00. A opção correta é (E), pois na transação Édio ganhou: logx  5 log3  2 logx log3 5  2 11.000 – 9.900 = R$ 1.100,00. log 5  2 x x 243  10 2 x  2, 43 (que satisfaz (Veja REMEMBER II - Problema 5) 3 a condição do log x, que é x  0). 27(B) Da equação x² - px + q = 0 temos como coeficientes: 17(E) Na resolução do problema usaremos a propriedade do a = 1; b = - p e c = q; como soma das raízes (r e s) : r + s = quociente entre logarítmos (log a – log b = log a / b); a -b / a = p e como produto: r . s = c / a = q. Para o cálculo de propriedade do expoente (a log b = log b a) e a definição de r² + s², vamos partir de que r + s = p, quadrar a igualdade, logarítmos (logx a = b → x b = a) Lembrar que: a > 0; b > 0 e fazer uso de substituições e isolar o pedido do problema. 0 < x 1, sendo todos reais. Vejamos como é fácil: (r + s)² = p² ∴ r² +2rs + s² = p² ∴ r² + s² = p² - 2rs = p² - 2q. 18(A) O discriminante valendo zero (∆ = 0) significa que as raízes são reais e iguais desde que os coeficientes da 28(E) Para x 0, temos: y = ax² + bx + c ax² - bx +c. equação sejam números reais. Para x = 0, temos: y = ax² + bx + c = ax² - bx + c ∴ existe um ponto de interseção (0, c) ∴ (E) é a alternativa 19(B) Denominando os números de a e b temos: correta. a + b = 6 e !a – b ! = 8 onde a – b = 8 ou a – b = -8. Formamos então os sistemas: 29(E) Trata-se de uma questão que envolve ângulos a+b=6 e a+b=6 replementares, ou seja, ]APB + ]BPA = 360° ∴]APB = a- b=8 a - b = - 8 cujas soluções são: a= -1 e 360° - ]BPA (veja sempre a figura para acompanhar b = 7 . Então a equação do 2º grau que admite estas raízes cálculos). Vamos ao problema: em que Soma = 6 e produto das raízes P = -7 é: 4
  5. 5. Fazendo ]BPA = ]BPR + ]RPA (que são dois ângulos dos minutos possui velocidades 12 vezes maior no mesmo excêntricos exteriores) temos: intervalo de tempo, então: 12y = 240° + y ∴ y = 240°/11 = a cx c  a 43,6min. (i) RPA  ABAR   2cx 2 2 2 Daí então, a CHEGADA = 2 h 43,6 min. b b d  bx ii BPR  BRBM  2 2  2d2 x Logo o tempo da viagem = 2h 43,6min (14h 43,6min) – 8hs Então: BPA  2cx 2  2d2 x  c  d. 43,6 min = 6 h. Como APB  360°  BPA  360°  c  d APB  180°  c  180°  d  a  b. 34(C) O menor comprimento consiste nas duas tangentes Nota:a)No semi-círculo SAR: a  c  180° a  180°  c externas T e nos dois arcos A1 e A2 ∴ m.C = 2T + A1 + A2. b)No semi-círculo RMT: x  b  x  d  180° b  180°  d Na figura temos: 0102 = 12 cm; No ∆ABC (retângulo) temos: BC // 0102 ∴ BC = 12 cm; AB = (9 – 3)cm = 6 cm ∴ 12² = 6² + T² ∴ T = 6 √3. Logo 2 T = 12 √3 cm No ∆DCO2 ≈ ∆DAO1 → DC / O2C = DA / O1A ∴ DC / 3 = DC + 6√3 / 9 ∴ DC = 3√3 cm ∴ tg α = CO2 / DC = √3 / 3 → α = 30° ∴ Arco CE = A1 = 120°/ 360°. 2 .3 = 2 ∴ A1 = 2 30(B) Resolvendo individualmente cada equação encontram-se os seguintes conjuntos soluções: Para : i 3x²  2  25 x 3 Si  3 ii) (2x – 1)²  (x – 1)² 2x – 1  x 1 ² 2x  1  x  1 onde: 2x – 1  x – 1 x  0 e o arco AGB = A2 = 240°/ 360 . 2 .9 = 12 ∴ A2 = 12 e 2x – 1  - (x – 1) x  2 / 3 Sii  {0, 2 / 3} iii) x²  7  x  1 (quadrando a equação, temos) ∴ m.C = 12√3 + 14 . x² - 7  x – 1 x² - x – 6  0 x’  -2 e x”  3. Como se trata de equação irracional deve-se fazer a verificação 35(B) Considerando que o número total de bolas = b, temos com as raízes encontradas, ou seja: que cada menino pega: Parax  2 2 ²  7  2  1 3  3 , F poisnãoexistereal comraizquadrada negativa. Então  2nãosatisfaz. 1ºmen.  b 2  1 b 2 2 ; 2ºmen.  1 b2  b2 3 2 6 e Parax  3 3²  7  3  1 2 2, V 3ºmen.  2 b2  b2 .Podemos então armar a Siii  { 3 }. 6 3 Observando os três conjuntos soluções, temos que a opção correta é a (B). equação: b  b22  b2  b2 6 3 0b  0. 31(D) Sejam Am; Ao e Atrap as áreas do triângulo menor; Portanto o valor de b é indeterminado, podendo assumir do ∆original e do trapézio. Pelo enunciado Atrap = ½ Ao. qualquer valor inteiro da forma 2  6b para b  1, 2, ... Veja pela figura que então: Am = Atrap = ½ Ao, pois Am + Atrap = Ao ∴ Am / Ao = 1 36(E)A área da superfície retangular é dada por: / 2. Área = comprimento x largura ∴ 40 = 10.2x ∴ x = 2. No Usando o teorema das áreas, ∆retângulo raio² = y² + x² ∴ 3² = y² + 2² ∴ y = √5 . temos: A profundidade é : 3 - √5 ou 3 + √5 (veja as figuras). Am / Ao = DE²/ 2² = 1 / 2 ∴ DE = √2. A mediana m de um trapézio é a média aritmética de seus lados paralelos (suas bases) ∴ m = ( DE + 2) / 2 = = (√2 + 2) / 2. 32(B) Se ∆= 0 temos: (2b)² - 4 a.c = 0 ∴ 4b² - 4 a.c = 0 (:4) ∴ b² - ac = 0 ∴ b² = a.c . Temos que b é média geométrica 37(B) O número original é 100c + 10 d + u. Quando o de a e c, logo (a,b,c) formam uma progressão geométrica. número é revestido temos 100u +10 d + c. Como c > u, para subtrairmos, é necessário acrescentar 10 a u (transformar 1 d 33(A) Seja x o número de graus que o = 10 ). O mesmo acontece com as centenas e dezenas, ou ponteiro das horas se move entre 8 seja, 10 a d (transformar 1c = 10 d) ∴ horas e o começo da viagem e por sua 100(c – 1) + 10(d + 9) + u + 10 vez é 240° + x o deslocamento em 100u + 10 d +c graus do ponteiro dos minutos. Como o ponteiro dos minutos é 12 vezes mais 100( c – 1 – u ) + 10( d + 9 – d) + ( u + 10 – c ) = rápido que o das horas, em qualquer = 100(c – 1 – u) + 10 .9 + u + 10 – c. intervalo de tempo, temos: Pelo enunciado do problema: u + 10 – c = 4 ∴ c – u = 6. 12x = 240°+ x ∴ x = 240° / 11 21,82° Então: 100(6 – 1) + 9.10 + 4 = 5.100 + 9.10 + 4 ∴ 43,6 minutos ∴ as dezenas d = 9 e as centenas c = 5. Horário da saída 8h 43,6minutos. 38(B) Considerando os quatro números inteiros e positivos Para a CHEGADA, entre 2 e 3 horas como a, b, c e d e escolhendo sempre três para executar a da tarde, vamos considerar que: (i) seja y = deslocamento do média aritmética adicionada ao quarto número, formamos o ponteiro das horas entre 2 e 3 horas e (ii) seja 240° + y o sistema de equações abaixo, que resolvendo por deslocamento do ponteiro dos minutos. Como o ponteiro escalonamento temos: 5
  6. 6. i) O ∆OBC (é isóscele), pois OB = BC = r (raio) ∴ 1/3 a  b  c  d  29 a  b  c  3d  87 ] O = ] C = y. ii) O ∆OBC (é isóscele), pois AO = OB = r e ] OBA = 1/3 b  c  d  a  23 3a  b  c  d  69 ] OAB 1/3 c  d  a  b  21 a  3b  c  d  63 = 2y pois ] 1/3 d  a  b  c  17 a  b  3c  d  51 OBA é externo ao a  b  c  3d  87 ∆OBC. a  b  3c  d  51 iii) Então ] a  3b  c  d  63 x = ] OAC + y ( ]x é 3a  b  c  d  69 externo ∆OAC ) ∴ Escalonando o sistema, temos: ] x = 2y + y = 3y. a  b  c  3d  87 a  b  c  3d  87 a  b  c  3d  87 2c  2d  36 c  d  18 b  d  12 2b  2d   24 b d   12 c d   18 2b  2c  8d  192 b  c  4d  96 b  c  4d  96 Fazendo L2 L4 e finalmente L3  L4, temos: 45(A) Sendo a PG (a, aq, aq², . . . ) e a PA ( 0, r, 2r, . . . ) a  b  c  3d  87 a  b  c  3d  87 d  21 onde PA + PG (1, 1, 2, . . . ), logo: a + 0 = 1 ∴ a = 1 (i); b  d  12 b  d  12 c 3 aq + r = 1 ∴ q + r = 1 (ii); aq² + 2r = 2 ∴ q² + 2r = 2 (iii). Logo B é a opção c d   18 c  d   18 b9 Em (ii), r = 1 – q que substituído em (iii), temos: c  5d  108 6d  126 a  12 q² + 2 – 2q = 2 ∴ q(q – 2) = 0 ∴ q = 0 (não satisfaz) e q = 2. e então r = 1 – 2 = 1. Logo PG ( 1, 2, 4, ... ) ∴ Sn = a1 (qn – 1) / (q – 1) S10 = 1.(210 – 1) / (2 – 1) ∴ S10 ‘= 1 023. 39(B) y min    0   0 p²  4. 1. q  0 q 4. p² a PA (0, -1, -2, . . . ) ∴Sn = n (a1 + a n) / 2 =n(a 1+(n –1)r)/2 4a ∴ S10 = 10( 0 + 9.(-1)) = -45 ∴ S10 “ = - 45. Veja REMEMBER I, problema 41) Assim: S10’ + S10” = 1 023 +(-45) = 978. 40(A) Se diferenciado as frações dadas, temos: ax b b 1 cx d a adx  bd bcx  bd x adbc 46(B) Temos que resolver o sistema abaixo, para determinar ad  bc 0 ad bc b a  1 d c o ponto interseção das quatro retas. b d ; a  c e x 0. 2x  3y  6 A fração terá seu valor alterado somando-se qualquer valor x não 4x  3y  6 nulo ao seu numerador e ao denominador. Logo (A) é a opção. 41(A) Sendo x a distância do ponto do acidente ao final da x 2 viagem, e v a velocidade do trem antes do acidente. O tempo y 1 2 normal da viagem, em horas, é dado por: x/v + 1 = (x + v) / v . Considerando o tempo em cada viagem temos: Pode-se verificar que x = 2 e y = ½ é solução do sistema. a) 1  1 2  x 4v  x v v  2 4v 2v 5x 4v  4x 4v 8v 4v x  6v i Logo (B) é a opção correta. 5 b 1 80 v  1 2  x80 4v  x v v  1 320 2v 5x400 4v  4x 4v 4v 47(C) Para que a + bc = a² + ab + ac + bc → a = a²+ ab + ac 5 ∴ a + b + c = 1. 80  x  2v x  2v  80 (ii). 42(C) Fazendo (i)  (ii),temos: 6v  2v  80 v  20km/h. 48(A) Analisado cada opção, verifica-se: (A) é verdadeira porque FH é paralela a AE. Devemos considerar nas operações abaixo a, b e c sempre (C) é verdadeira porque, quando se estende HE, que é números inteiros e positivos. paralela a CA, esta encontra AB em D. DC e BH são lados correspondentes dos ∆s congruentes ACD e HDB. Temos: a  b c a b c quad rand o a b c  a² b c (D) é verdadeira FG = FE + EG = AD + ½ DB = ¾ AB.  ac  a²b  b c ac b a²b b a²1 c c a (E) é verdadeira porque G é o ponto médio de HB. (B) não pode ser provada a partir da informação dada. Um 43(E) Armando um sistema com as duas equações, temos desafio: que informação é necessária para provar (B)? 49(C) Sendo y = (x²- 4) / (x – 2) = (x – 2)(x + 2) / (x – 2) = x + 2 ( para x 2, ou então y 4; que é a condição de domínio da função) , é uma reta excluindo no ponto (2, 4). A reta y = 2x cruza a reta anterior no ponto que não faz parte do gráfico. Logo (C) é a opção correta. Para melhor entendimento faça os gráficos das funções no mesmo plano. 50(C) : 44(A) Um modo de resolução do problema usando a propriedade do ângulo externo de um ∆.Na figura, temos: 6

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