Guia de matematicas

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Guia de matematicas

  1. 1. Matem´ticas Pre-Universitarias a Omar Yam1, Norma Palacios Verano-20081 Universidad de Quintana Roo, Divisi´n de Ciencias e Ingenir´ o ıa
  2. 2. ii
  3. 3. ´Indice ´1 ALGEBRA 3 1.1 Los N´ meros Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u . . . . . . . . 3 1.1.1 Leyes de los signos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2 Operaciones con Fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.3 Valor Absoluto de un N´ mero Real . . . . . . . u . . . . . . . . 7 1.1.4 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Exponentes y Radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.1 Leyes de los Exponentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.2 Ra´ n-´sima Real de un N´ mero Real. . . . . . ız e u . . . . . . . . 9 1.2.3 Propiedades de las Ra´ n-´simas . . . . . . . ıces e . . . . . . . . 9 1.2.4 Definici´n de Exponentes Racionales . . . . . . o . . . . . . . . 10 1.2.5 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Factorizaci´n y Productos Notables . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . 11 1.3.1 Productos Notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.2 F´rmulas de Factorizaci´n . . . . . . . . . . . . o o . . . . . . . . 12 1.3.3 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4 Ecuaciones de Primero y Segundo Grado: una Variable . . . . . . . . 13 1.4.1 Ecuaciones de Primer Grado con una Variable . . . . . . . . . 13 1.4.2 Guias para Resolver Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.3 La Ecuaci´n Cuadr´tica . . . . . . . . . . . . . o a . . . . . . . . 16 1.5 Sistemas de Ecuaciones de dos Variables . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.5.1 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 GEOMETR´ IA 25 2.1 ´ Angulos y Cantidades Medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ´ 2.1.1 Angulos Agudos, Rectos y Obtusos . . . . . . . . . . . . . . . 26 ´ 2.1.2 Angulos Complementarios y Suplementarios . . . . . . . . . . 26 2.2 Tri´ngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a . . . . . . . . . . 27 2.2.1 Rectas Notables en el Tri´ngulo . . . . . . . a . . . . . . . . . . 27 2.2.2 Clasificaci´n de los Tri´ngulos . . . . . . . . o a . . . . . . . . . . 27 2.2.3 El Teorema de Pit´goras . . . . . . . . . . . a . . . . . . . . . . 28 2.3 Paralelogramos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 iii
  4. 4. iv ´ INDICE 2.4 Circunferencia y C´ırculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.5 Vol´ menes . . . . . . . . . . . . . . u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.5.1 Paralelep´ıpedo Rectangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.5.2 Cil´ındro Circular Recto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.5.3 Cono Circular Recto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.5.4 Esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.6 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353 TRIGONOMETR´ IA 37 3.1 Funciones Trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.1.1 Signos de las Funciones Trigonom´tricas . . e . . . . . . . . . . 37 3.1.2 Funciones Trigonom´tricas de 0 ◦ , 90 ◦ , 180 ◦ , e 270 ◦ y 360 ◦ . . . 38 3.1.3 Funciones Trigonom´tricas de 30 ◦ , 45 ◦ y 60 ◦ e . . . . . . . . . . 40 3.2 Soluci´n de Tri´ngulos Rect´ngulos . . . . . . . . . o a a . . . . . . . . . . 41 3.3 Leyes de Senos y Cosenos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.3.1 Resolviendo Tri´ngulos Generales . . . . . a . . . . . . . . . . . 42 3.4 Identidades y Ecuaciones Trigonom´tricas . . . . e . . . . . . . . . . . 43 3.4.1 Funciones Pares e Impares y Periodicidad . . . . . . . . . . . 44 o o ´ 3.4.2 F´rmulas de Adici´n de Angulos . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.4.3 Ecuaciones Trigonom´tricas . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . 45 3.5 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
  5. 5. ´INDICE v El presente material ha sido dise˜ ado para cubrir las ´reas b´sicas, de las matem´ticas, n a a aque se requieren para poder cursar con exito los programas acad´micos del ´rea de e aIngenier´ que se ofrecen en la Divisi´n de Ciencias e Ingenier´ de la Universidad ıa o ıasde Quintana Roo. El material se dividi´ en tres cap´ o ıtulos que corresponden a las´reas de: ´lgebra, geometr´ y trigonometr´ A pesar de no ser un tratado profundoa a ıa ıa.de cada uno las ´reas mencionadas. Cada cap´ a ıtulo contiene el material necesariopara un breve repaso de conceptos y m´todos que sin duda han sido cubiertos con eanterioridad. Finalmente, se pretende que el contenido sirva como material de apoyopara cursos posteriores.Omar YamDivisi´n de Ciencias e Igenier´ o ıaUniversidad de Quintana Roo
  6. 6. vi ´ INDICE
  7. 7. ´INDICE 1
  8. 8. 2 ´ INDICE
  9. 9. CAP´ ITULO 1´ALGEBRA a ´La palabra ´lgebra proviene del libro Arabe Hisˆb al-Jabr w’al-Muqabala escrito apor al-Khowarizmi. El t´ ıtulo se refiere a la transposici´n y combinaci´n de t´rminos, o o edos procesos usados en la resoluci´n de ecuaciones. La traducci´n latina del t´ o o ıtulofue acortada a Aljabr de donde se deriva la palabra ´lgebra. a1.1 Los N´ meros Reales uGeneralment en los cursos de ´lgebra de bachillerato se cominenza con el conjunto de alos n´meros naturales, N = {1, 2, 3, . . . }. Este conjunto est´ asociado con la primera u aoperaci´n que se cre´ realiz´ el hombre: el conteo. Con este enfoque surge de manera o e ol´gica la necesidad de representar la ausencia de elementos: surge el cero. As´ el con- o ı,junto de los n´ meros naturales junto con el cero forman el conjunto de los n´ meros u uenteros no-negativos. Si a este ultimo conjunto le agregamos los enteros negativos ´obtenemos el conjunto de los n´meros enteros Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . . }. M´s u atarde se observ´ el problema de poder expresar fracciones de una unidad. La o asoluci´n para este problema fue la aparici´n de los n´meros racionales Q = { : a y o o u bb son enteros y b es distinto de cero}. Con la aprici´n de los racionales se cre´ que o ıacualquier operaci´n propuesta se pod´ resolver. Sin embargo, el problema de hayar o ıaun n´ mero tal que elevado al cuadrado de como resultado dos no ten´ soluci´n en u ıa o 2los racionales, es decir, la soluci´n de x = 2, es un n´ mero irracional. La aparici´n o u ode estos n´ meros vino a completar un conjunto de n´ meros m´s extenso que es u u aconocido como el conjundo de los n´meros reales el cual es denotado por R. uPropiedades de los N´ meros reales. Si a y b son n´ meros reales, tenemos: u u • Propiedad de cerradura para la suma: a + b ∈ R Para cada par de n´ meros reales a, b existe un n´ mero real u nico a + b, u u ´ llamado la suma de a y b Ejemplo: 3 + 6 es un n´ mero real u 3
  10. 10. 4 CAP´ ´ ITULO 1. ALGEBRA • Propiedad de cerradura para la multiplicaci´n: ab ∈ R o Para cada par de n´ meros reales a, b existe un n´ mero real unico ab, llamado u u ´ el producto de a y b Ejemplo: 4 · 7 es un n´ mero real u • Propiedad conmutativa de la adici´n: a + b = b + a o Cuando dos n´ meros son sumados, el orden no importa. u Ejemplo: 7 + 3 = 3 + 7 • Propiedad conmutativa de la multiplicaci´n: ab = ba o Cuando dos n´ meros son multiplicados el orden no importa. u Ejemplo: 3 · 5 = 5 · 3 • Propiedad asociativa de la suma: (a + b) + c = a + (b + c) Cuando tres n´ meros son sumados, no importa cuales dos son sumados primero. u Ejemplo: (2 + 4) + 7 = 2 + (4 + 7) • Propiedad del elemento identidad para la suma: a + 0 = a El cero es el elemento identidad para la suma Ejemplo: 3 + 0 = 3 • Propiedad del elemento identidad para la multiplicaci´n: a · 1 = a o El uno es el elemento identidad para la multiplicaci´n o Ejemplo: 9 · 1 = 9 • Propiedad del inverso aditivo: a + (−a) = 0 Para cada n´ mero real a, existe un n´ mero real (−a) llamado el inverso aditivo u u de a Ejemplo: 3 + (−3) = 0 1 • Propiedad del inverso multiplicativo: a · a =1 1 Para cada n´ mero real a, distinto de cero, existe un n´ mero real ( a ) llamado u u el inverso multiplicativo de a 1 Ejemplo: 5 · 5 =1
  11. 11. ´1.1. LOS NUMEROS REALES 5 • Propiedad asociativa de la multiplicaci´n: (ab)c = a(bc) o Cuando tres n´ meros son multiplicados, no importa cuales dos son mutiplica- u dos primero. Ejemplo: (3 · 7) · 5 = 3 · (7 · 5) • Propiedad distributiva: a(b + c) = ab + ac Cuando se multiplica un n´ mero con la suma de otros dos n´ meros, se tiene u u el mismo resultado que al multiplicar el n´ mero con cada uno de los t´rminos u e y despu´s sumar los resultados. e Ejemplo: 2 · (3 + 5) = 2 · 3 + 2 · 51.1.1 Leyes de los signosSi a y b son dos n´ meros reales cualesquiera, se tienen las siguientes leyes de los usignos • (−1)a = −a Ejemplo: (−1)5 = −5 • −(−a) = a Ejemplo: −(−5) = 5 • (−a)b = a(−b) = −(ab) Ejemplo: (−5)7 = 5(−7) = −(5 · 7) • (−a)(−b) = ab Ejemplo: (−4)(−3) = 4 · 3 • −(a + b) = −a − b Ejemplo: −(3 + 5) = −3 − 5 • −(a − b) = b − a Ejemplo: −(5 − 8) = 8 − 5
  12. 12. 6 CAP´ ´ ITULO 1. ALGEBRA1.1.2 Operaciones con FraccionesDados a, b, c y d, n´ meros reales con b y d diferentes de cero se cumplen las siguientes upropiedades. a c • Igualdad de fracciones: = , si y solo si, ad = bc b d Dos fracciones son iguales si y solamente si son iguales sus productos cruzados. 2 6 Ejemplo: = , entonces 2 · 9 = 3 · 6 3 9 a c ac • Multiplicaci´n de fracciones: o · = b d bd Para multiplicar fracciones se multiplican los numeradores y denominadores. 2 5 2·5 10 Ejemplo: · = = 3 7 3·7 21 a c a d • Divisi´n de fracciones: o ÷ = · b d b c Para dividir fracciones, se invierte el divisor y se procede como en la multipli- caci´n. Nota: En este caso, puesto que el divisor debe ser distinto de cero, se o requiere que tanto c como d sean distintos de cero. 2 5 2 7 14 Ejemplo: ÷ = · = 3 7 3 5 15 a b a+b • Suma de fracciones con el mismo denominador: + = c c c Para sumar fracciones con el mismo denominador se suman los numeradores y se mantine el mismo denominador. 2 7 2+7 9 Ejemplo: + = = 5 5 5 5 a c ad + bc • Suma de fracciones con diferentes denominadores: + = b d bd Para sumar fracciones con diferentes denominadores, el numerador es la suma de los productos cruzados y el denominador es la multiplicaci´n de los denom- o inadores. 2 3 2·7+3·5 29 Ejemplo: + = = 5 7 35 35 • Cancelaci´n de n´ meros con factores comunes en el numerador y el denomi- o u ac a nador: = bc b Es posible cancelar factores comunes en el numerador y el denominador y el resultado no se altera. 2·5 2 Ejemplo: = 3·5 3
  13. 13. ´1.1. LOS NUMEROS REALES 71.1.3 Valor Absoluto de un N´ mero Real u • Si a es un n´ mero real, entonces el valor absoluto de a es u a si a ≥ 0 |a| = −a si a < 0 Ejemplos: i) | 3 |= 3 ii) | −11 |= 11 Nota: El valor absoluto siempre es positivo1.1.4 ProblemasRealizar las siguientes operaciones 3 2 1. + 5 3 17 2. − 20 19 a 3. +b 2b −2 4. +1 3 2 2 5. · 3a 3a 7 5 6. · 8 6 a 7. ÷ b b −9 −10 8. ÷ 5 27 9. Verificar las siguientes expresiones −13 −143 a) = 17 187 −3a 6ab b) = 2 b 2b 10. Simplifique las siguientes expresiones
  14. 14. 8 CAP´ ´ ITULO 1. ALGEBRA x 1+ y a) x+y 1− x y b) x+y x+y b) 1+ x y 11. Resolver para n las ecuaciones siguientes a) |n| = 9 b) |n + 1| = 9 3 2 c) 2n − 5 = 3 12. Hallar los valores m´s simples de las siguientes expresiones si a = −2, b = 1, a 1 c=2yd= 2 a) (a − b) (c − a2 ) b) 2ab (a − 4d)1.2 Exponentes y RadicalesSi a es cualquier n´ mero real y n es un entero positivo, entonces la n-´sima po- u etencia de a es an = a · a · · · · · a n factores El n´ mero a es llamado la base y n es llamado el exponente. u Si a = 0 es cualquier n´ mero real y n es un entero positivo, entonces u a0 = 1 1 a−n = n a1.2.1 Leyes de los Exponentes • Multiplici´n de potencias con la misma base: am an = am+n o Para multiplicar dos potencias con la misma base, se conserva la base y se suman los exponentes. Ejemplo: a2 a5 = a2+5 = a7 am • Divisi´n de potencias con la misma base: o n = am−n a Para dividir dos potencias con la misma base, se conserva la base y se restan los exponentes.
  15. 15. 1.2. EXPONENTES Y RADICALES 9 a7 Ejemplo: 2 = a7−2 = a5 a • Potencia de una potencia: (am )n = amn Para elevar una potencia a una nueva potencia, se conserva la base y se mul- tiplican los exponentes. 2 Ejemplo: (a7 ) = a7·2 = a14 • Potencia de un producto: (ab)n = an bn Para elevar un producto a una potencia, cada factor debe ser elevado a la potencia. Ejemplo: (ab)8 = a8 · b8 a n an • Potencia de una fracci´n: o = n b b Para elevar una fracci´n a una potencia se elevan ambos, el numerador y el o denominador, a la potencia. a 7 a7 Ejemplo: = b b71.2.2 Ra´ n-´sima Real de un N´ mero Real. ız e uSi n es cualquier entero positivo, entonces cualquier n´ mero real tal que cuando se ueleva a la n-´sima potencia, da el n´ mero real a, es una ra´ n-´sima de a. e u ız e Si n es cualquier entero positivo, entonces la n-´sima ra´ z principal de a es e ıdefinida como: √n a = b significa bn = a.Si n es par, se debe tener a ≥ 0 y b ≥ 0.1.2.3 ıces n-´simas Propiedades de las Ra´ e √ √ √ • n ab = n anb √ √ √ Ejemplo: 3 −8 · 27 = 3 −8 3 27 = (−2) (3) = −6. √ √ √ √ √ Ejemplo: 250 = 25 · 10 = 25 10 = 5 10 √ a n a • n = √ b n b √ 4 4 16 16 2 Ejemplo: = √ = 81 4 81 3 √ 100 100 10 Ejemplo: = √ = =2 25 25 5
  16. 16. 10 CAP´ ´ ITULO 1. ALGEBRA √ √ • m n a= mn a √√ 3 Ejemplo: 729 = 6 729 = 3 √ • n an = a si n es impar. Ejemplo: 3 (−5)3 = −5 √5 Ejemplo: 25 = 2 √ • n an = |a| si n es par. Ejemplo: 4 (−3)4 = |−3| = 31.2.4 Definici´n de Exponentes Racionales o mPara cualquier exponente racional , donde m y n son enteros y n > 0, se define n m √ m an = n ao, equivalentemente, √ m an = n amSi n es par, entonces se debe tener a ≥ 0.1.2.5 ProblemasEfectuar las operaciones indicadas 1. a4 · a2 · a3 2. (a + b)3 (a + b)4 3. a (a + 3)3 a3 (a + 3)6 3 (3x2 ) 4. (2x4 )2 10m6 n e) 15m3 n (m + n)15 5. (m + n)3 4m5 8m5 6. ÷ 5n4 15n3
  17. 17. ´1.3. FACTORIZACION Y PRODUCTOS NOTABLES 11 25 7. 49 √ 8. 4m2 √ 9. 3 −8m3 1/2 16 10. a2 b4 −1/3 −27 11. a6 b61.3 Factorizaci´n y Productos Notables oUna variable es una letra que puede representar culquier n´ mero de un conjunto ude n´ meros dado. Una constante representa un n´ mero fijo. El dominio de una u uvariable es√ conjunto de valores que la variable puede tomar. Por ejemplo en la elexpresi´n x el dominio de x es el conjunto de todos los n´ meros reales mayores o uo igual a cero, en simbolos {x | x ≥ 0}. Las expresiones algebraicas se obtienende variables y constantes relacionadas usando sumas, restas, multiplicaciones, di-visiones, exponenciaci ´n y radicaci´n. Las expresiones algebraicas, m´s simples, o o aobtenidas usando s´lo sumas, restas y multiplicaciones son llamadas polinomios. La oforma general de un polinomio de grado n en la variable x es an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0donde a0 , a1 , . . . , an son constantes y an = 0. El grado del polinomio es la m´xima apotencia de la variable. Cualquier polinomio es la suma de t´rminos de la forma e kax , llamados monomios, donde a es una constante y k es un entero no-negativo.Un binomio es la suma de dos monomios, un trinomio es la suma de tres monomios,y as´ sucesivamente. Con esto, 7x6 + 4x es un binomio de grado 6, mientras que ı173x5 es un monomio de grado 5.1.3.1 Productos Notables • (A − B) (A + B) = A2 − B 2 • (A + B)2 = A2 + 2AB + B 2 • (A − B)2 = A2 − 2AB + B 2 • (A + B)3 = A3 + 3A2 B + 3AB 2 + B 3 • (A − B)3 = A3 − 3A2 B + 3AB 2 − B 3
  18. 18. 12 CAP´ ´ ITULO 1. ALGEBRA1.3.2 F´rmulas de Factorizaci´n o o • Diferencia de cuadrados: A2 − B 2 = (A − B) (A + B) • Cuadrado perfecto: A2 + 2AB + B 2 = (A + B)2 • Cuadrado perfecto: A2 − 2AB + B 2 = (A − B)2 • Diferencia de cubos: A3 − B 3 = (A − B) (A2 + AB + B 2 ) • Suma de cubos: A3 + B 3 = (A + B) (A2 − AB + B 2 )1.3.3 ProblemasEfectuar las siguientes operaciones 2 3 2 3 1. x + y x − y 2 2. (2x + 3y 2 ) 3. (x + 2 − y)3 4. Factorizar las siguientes expresiones a) 8a3 + 1 1 b) x2 − x + 4 c) 8 − (m − n)3 5. Hallar las soluciones de las siguientes ecuaciones cuadr´ticas a a) 2x2 + 5x + 2 = 0 b) x2 − 12 = x 6. Hallar dos n´ meros cuya suma sea 8 y cuyo producto sea −33. u 7. Una pista de patinaje mide 100 m de largo por 70 m de ancho. El propietario desea aumentar el ´rea a 1300 m2 agregando franjas de igual ancho a un lado y a a un extremo y mantener su forma rect´ngular. Hallar el ancho de las franjas a que deben a˜ adirse. n
  19. 19. 1.4. ECUACIONES DE PRIMERO Y SEGUNDO GRADO: UNA VARIABLE 131.4 Ecuaciones de Primero y Segundo Grado: una Variable1.4.1 Ecuaciones de Primer Grado con una VariableUna ecuaci´n de primer grado, de una variable es una ecuaci´n en la cual cada o ot´rmino es una constante o una constante distinta de cero multiplicando a la variable. eEstas son ecuaciones de primer grado con una variable: 4x − 5 = 3 1 2x = x−5 2Estas ecuaciones se resuelven utilizando las propiedades de las igualdades para trans-formarlas en ecuaciones equivalentes de la forma x =?Es decir, se realizan pasos en los cuales se suma el mismo n´mero en ambos lados uo se multiplica ambos lados con el mismo n´mero hasta que la variable quede sola uen un lado de la ecuaci´n. oEjemplo 1 Resolver la ecuaci´n: o 7x − 4 = 3x + 8Sumando 4 a cada lado: (7x − 4) + 4 = (3x + 8) + 4Simplificando: 7x = 3x + 12Restando 3x a cada lado: 7x − 3x = 3x + 12 − 3xSimplificando: 4x = 12 1Multiplicando cada lado con 4 : 1 1 · 4x = · 12 4 4Simplificando: x=3
  20. 20. 14 CAP´ ´ ITULO 1. ALGEBRAEjemplo 2 Resolver la ecuaci´n: o x 2 3 + = x 6 3 4El m´ınimo comun multiplo (MCM) de 6, 3, y 4 es 12. Reescribiendo las fraccionescon el comun denominador: 2x 8 9 + = x 12 12 12Multiplicando cada lado con 12: 2x 8 9 12 + = 12 x 12 12 12Simplificando: 2x + 8 = 9xRestando 2x a cada lado: (2x + 8) − 2x = 9x − 2xSimplificando: 8 = 7x 1Multiplicando cada lado con 7 : 8 =x 71.4.2 Guias para Resolver Problemas 1. Identificar la variable. Identificar, en el problema, la cantidad que se est´a pidiendo encontrar. Esta cantidad puede ser determinada leyendo cuidadosa- mente la pregunta, que generalmente se hace al final del problema. Nombrar esta cantidad con una varible, x, por ejemplo. Escribir con precisi´n lo que o representa esta variable. 2. Exprese todas las cantidades desconocidas en t´rminos de la vari- e able. Lea cada oraci´n en el problema de nuevo y exprese todas las cantidades o mencionadas en t´rminos de la variable definida en el paso 1. Algunas veces e realizar un bosquejo del problema es de ayuda en este paso. 3. Relacione las cantidades. Encuentre las palabras claves en el problema que relacionan dos o m´s xpresiones listadas en el paso dos. Estas palabras claves a son usualmente: “es”, “igual a”, “es lo mimo que”, “es el doble de”, entre otras. 4. Escriba una ecuaci´n. Escriba una ecuaci´n que exprese los hechos cruciales o o encontrados en el paso tres, en forma algebraica.
  21. 21. 1.4. ECUACIONES DE PRIMERO Y SEGUNDO GRADO: UNA VARIABLE 15 5. Resuelva el problema y verifique su respuesta. Resuelva la ecuaci´n yo verifique que su respuesta satisface el problema original planteado.Ejemplo 3 Inter´s en una inversi´n. Mar´ hered´ $100, 000 y lo invert´ en dos e o ıa o o 1certificados de dep ´sito. Un certificado pag´ el 6% y el otro pag´ el 4 2 % de inter´s o o o eanual simple. Si Mar´ obtiene un inter´s total de $5025, por a˜ o, cuanto dinero ıa e nfue invertido en cada tasa de inter´s? e 1. Puesto que se pide encontrar cuanto fue invertido en cada tasa de interes, podemos representar con x la cantidad invertida con el 6% de interes, es decir, x = cantidad invertida con el 6% de inter´s e 1 2. Ahora representamos la cantidad invertida con el 4 2 % en t ´rminos de x, es e decir: 1 cantidad invertida con el 4 % de inter´s = 100, 000 − x e 2 Para x pesos invertidos al 6%, el inter´s anual pagado es 6% de x: e interes anual pagado por el certificado al 6% = 0.06x Similarmente, el inter´s pagado al otro certificado es: e 1 inter´s anual pagado por el certificado al 4 % = 0.045 (100, 000 − x) e 2 Por lo tanto, el inter´s total anual que recibi´ Mar´ por los dos certificados e o ıa es: inter´s anual total = 0.06x + 0.045 (100, 000 − x) e 3. Buscando el hecho que relaciona cantidades, vemos en el problema la oraci´n o “ Mar´ obtiene un inter´s total de $5025, por a˜ o. . . ”, as´ que podemos decir: ıa e n ı inter´s anual total ganado por Mar´ = $5025 e ıa 4. Traduciendo estas dos ultimas expresiones, para el inter´s anual total, en una ´ e sola ecuaci´n: o 5025 = 0.06x + 0.045 (100000 − x) 5. Finalmente, resolviendo la ecuaci´n: o 5025 = 0.06x + 4500 − 0.045x 5025 − 4500 = 0.015x + 4500 − 4500 525 = 0.015x 525 0.015x = 0.015 0.015 rad35000 = x Por lo tanto Mar´ invirti´ $35, 000 al 6% y los restantes, $65, 000, fueron ıa o 1 invertidos al 4 2 %.
  22. 22. 16 CAP´ ´ ITULO 1. ALGEBRA1.4.3 La Ecuaci´n Cuadr´tica o aUna ecuaci´n de segundo grado o cuadr´tica es una ecuaci´n de la forma o a o ax2 + bx + c = 0donde a, b y c son n´ meros reales y a = 0. Para las ecuaciones cuadr´ticas es posible u aencontrar una f´rmula general usando la t ´cnica de completar cuadrados. Esto o esignifica sumar una constante a una expresi´n para obtener un cuadrado perfecto oy despues usar la t ´cnica de tomar ra´ e ıces cuadradas en cada lado de la ecuaci´nocomo se muestra a continuaci´n. o b 2 Para hacer x2 + bx un cuadrado perfecto, sumar 2 : 2 2 2 b b x + bx + = x+ 2 2 A continuaci´n usaremos la t´cnica de completar cuadrados para resolver la o eecuaci´n general de segundo grado. o ax2 + bx + c = 0Primero, dividimos cada lado con a b c x2 + x + = 0 a a cA continuaci´n restamos el t´rmino o e a a cada lado de manera que el t´rmino constante eaparecer´ s´lo en el lado derecho: a o b c x2 + x = − a a bAhora acompletamos el cuadrado; el coeficiente de x es , as ´ que debemos sumar ı a 2 2 b a b ´ o a cada lado: 2 2a 2 2 b b c b x2 + x + =− + a 2a a 2a
  23. 23. 1.4. ECUACIONES DE PRIMERO Y SEGUNDO GRADO: UNA VARIABLE 17Entonces se simplifica para obtener la expresi´n final: o 2 b −c b2 x+ = + 2 2a a 4a 2 b −4ac + b2 x+ = 2a 4a2 √ b b2 − 4ac x+ = 2a 2a √ √ b b2 − 4ac b b2 − 4ac x+ = ´ x+ o =− 2a 2a √ 2a 2a √ b b2 − 4ac b b2 − 4ac x = − + ´x=− − o 2a √ 2a 2a 2a −b ± b 2 − 4ac x = f´rmula cuadr´tica o a 2a Debido a la naturaleza de la f´rmula general, es posible determinar cuando, la o 2ecuaci´n ax + bx + c = 0 tiene o no soluciones y cuando tiene una unica soluci´n, o ´ o 2examinando la cantidad D = b − 4ac. Esta cantidad es llamada el discriminantede la ecuaci´n cuadr´ tica y tiene las siguientes propiedades: o a • Si D > 0, entonces la ecuaci´n tiene dos ra´ reales y distintas. o ıcesEjemplo 4 Resolver la siguiente ecuaci´n usando la f´rmula cuadr´tica o o a x2 + x − 1 = 0 En este caso, a = 1, b = 1 y c = −1, por lo que: −1 +12 − 4 (1) (−1) −1 − 12 − 4 (1) (−1) x = o ´x= 2 (1) 2 (1) √ √ −1 + 5 −1 − 5 x = o ´x= 2 2 • Si D = 0, entonces la ecuaci´n tiene exactamente una soluci´n real. o oEjemplo 5 Resolver la siguiente ecuaci´n usando la f´rmula cuadr´tica o o a x2 + 2x + 1 = 0En este caso, a = 1, b = 2 y c = 1, por lo que: 22 − 4 (1) (1) −2 + −2 − 22rad − 4 (1) (1) x = o ´x= 2 (1) 2 (1) −2 + 0 −2 − 0 x = o ´x= 2 2 x = −1 ´ x = −1 o
  24. 24. 18 CAP´ ´ ITULO 1. ALGEBRA • Si D < 0, entonces la ecuaci´n no tiene souci´n real. Sus ra ´ son complejas. o o ıcesEjemplo 6 Resolver la siguiente ecuaci´n usando la f´rmula cuadr´tica o o a x2 + x + 1 = 0En este caso, a = 1, b = 1 y c = 1, por lo que: −1 +12 − 4 (1) (1) −1 − 12 − 4 (1) (1) x = o ´x= 2 (1) 2 (1) √ √ −1 + −3 −1 − −3 x = o ´x= 2 2Pero, como no existe un real cuyo cuadrado es −3, esta ecuaci´n no tiene soluci´n o oreal.radEjemplo 7 Lanzamiento de un proyerctil: Un objeto es disparado hacia arriba con ftuna velocidad inicial de v0 alcanzando una altura de hft despues de ts, donde h y st est´n relaciondos por la f´rmula a o h = −16t2 + v0 t ftsi v0 = 800 cuando caer´ de regreso el proyectil al suelo? a s Que el proyectil este en el suelo significa h = 0, por lo que se debe resolver laecuaci´n o 0 = −16t2 + 800t En este caso a = −16, b = 800 y c = 0, por lo que: −800 + 8002 − 4 (−16) (0) −800 − 8002 − 4 (−16) (0) t = ´t= o 2 (−16) 2 (−16) −800 + 800 −800 − 800 t = ´t= o −32 −32 t = 0 ´ t = 50 oPor lo tanto la altura es 0 en t = 0, cuando es disparado inicialmente y en t = 50;cuando cae de nuevo al suelo despues de 50 segundos.
  25. 25. 1.5. SISTEMAS DE ECUACIONES DE DOS VARIABLES 191.5 Sistemas de Ecuaciones de dos VariablesUna ecuaci´n lineal en x y y es una ecuaci´n de la forma: o o Ax + By + C = 0, donde A, B, y C son constantes y A y B no son 0 simultaneamente La gr´fica de cualquier ecuaci´n lineal es una l´ a o ınea. Reciprocamente, toda l´ ıneaes la gr´fica de una ecuaci´n lineal. a oEjemplo 8 Bosquejar la gr´fica de la ecuaci´n a o 4x − 3y = 5 (1.1)rad Puesto que es una ecuaci´n lineal, su gr´fica es una l´ o a ınea recta por lo que sepuede dibujar conociendo cualesquiera dos puntos pertenecientes a la recta. Porejemplo si x = 0, 4 (0) − 3y = 5 −3y = 5 5 y = − 3Si x = 2 4 (2) − 3y = 5 8 − 3y = 5 −3y = −3 y = 1 5 As´ que los puntos 0, − 3 y (2, 1) pertenecen a la recta. Graficandolos y dibu- ıjando una l´ ınea que pase por ellos obtenemos el bosquejo de la ecuaci´n(1.1) el cual ose presenta en la Figura (1.1). rad Un conjunto de ecuaciones con variables comunes es llamado un sistema de ecua-ciones. La elecci´n de valores para las variables los cuales hacen que todas las ecua- ociones en el sistema se satisfagan es llamada una soluci´n simult´nea o simplemente o asoluci´n del sistema. En particular, considere el sistema de dos ecuaciones lineales o ax + by = c dx + ey = fdonde a, b, c, d, e y f son constantes y x, y son las variables comunes del sistema.Una soluci´n de este sistema es un par ordenado de n´ meros (x0 , y0 ) que satisfacen o usimultaneamente ambas ecuaciones, cuando x0 sustituye a x y y0 a y; por lo tanto ax0 + by0 = c
  26. 26. 20 CAP´ ´ ITULO 1. ALGEBRA Figura 1.1: Gr´fica dela ecuaci´n 4x − 3y = 5. a oy ax0 + ey0 = fson ambas satisfechas. Esto significa que el punto coordenado (x0 , y0) cae en ambasl´ ıneas las cuales son las gr´ ficas de las ecuaciones. Puesto que dos l´ a ıneas s´lo pueden ointersectarse en un punto (si acaso), no puede haber otra soluci´n, a menos que se otrate de la misma l´ ınea. Es decir, un sistema de dos ecuaciones lineales tiene: una soluci´n o si las dos l´ ıneas se intersectan infinitas soluciones si se trata de la misma l´ ınea ninguna soluci´n o si las l´ ıneas son paralelas Existen dos m´todos b´sicos para la soluci´n del sistema de ecuaciones lineales e a ocon dos variables: sustituci´n y eliminaci´n. Para usar el m´todo de sustituci´n o o e opara resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incognitas, primero se debe usaruna ecuaci´n para expresar una de las variables en t´rminos de la otra. Despu´s, o e esustituir esta expresi´n en la otra ecuaci´n, la cual se convertir´ en una ecuaci´n de o o a ouna sola variable. Se resuelve esta ecuaci´n para obtener un valor para esta variable oy usando la expresi ´n para la otra variable obtenemos su valrador. oEjemplo 9 Resolver el sistema 2x + 13y = 17 x − 6y = −4usando el m´todo de sustituci´n. e o Usando la segunda ecuaci´n expresamos la variable x en t´rminos de y (esta o eelecci´n es debida a que es la m´s simple para despejar una de las variable, x en o aeste caso) x = 6y − 4
  27. 27. 1.5. SISTEMAS DE ECUACIONES DE DOS VARIABLES 21Despu´s esta expresi´n para x, se sustituye en la primera ecuaci´n e o o 2 (6y − 4) + 13y = 17y resolvemos para y 12y − 8 + 13y = 17 25y − 8 = 17 25y = 25 y = 1Finalmente, puesto que tenemos la expresi´n para x = 6y − 4 y ya tenemos el valor o1 para y, sustituimos para obtener el valor de x x = 6 (1) − 4 x = 2As´ (2, 1) es una soluci´n para el sistema. De hecho, se puede verificar que satisface ı oambas ecuaciones y que por lo tanto es el punto de intersecci´n de las dos l´ o ıneas. Para usar el m´todo de eliminaci´n para resolver un sistema de dos ecuaciones e ocon dos variables, se deben trabajar, algebraicamente, las dos ecuaciones paraobtener una forma tal que se pueda eliminar una de las variables sumando ambasecuaciones. De esta manera, se obtiene una ecuaci´n de una variable. Resolviendo opara la variable resultante y sustituyendo el valor encontrado en cualquiera de lasecuaciones originales obtenemos el valor de la otra variable.radEjemplo 10 Resolver el sistema 6x − 5y = 14 3x + 7y = 2usando el m´todo de eliminaci´n. e o La variable x puede ser eliminada de este par de ecuaciones si multiplicamosambos lados de la segunda ecuaci´n con −2 o 6x − 5y = 14 −6x − 14y = −4y sumamos ambas ecuaciones para obtener la ecuaci´n o 0x − 19y = 10Resolviendo para y: −19y = 10 10 y = − 19
  28. 28. 22 CAP´ ´ ITULO 1. ALGEBRAAhora sustituimos este valor en cualquiera de las ecuaciones originales, la primerapor ejemplo, 10 6x − 5 − = 14 19 50 6x + = 14 19 14 · 19 − 50 6x = 19 216 6x = 19 36 x = 19Algunas veces es de utilidad usar la otra ecuaci´n para checar la respuesta o 3x + 7y = 2 ? 36 10 3 +7 − = 2 ? 19 19 108 − 70 = 2 ? 19 38 = 2 19 Mientras que el m´todo de sustituci´n es m´s obvio y parece ser m ´s f´cil, e o a a aresulta que, en sistemas de m´s ecuaciones y m´s variables el m´todo de eliminaci´n a a e oes una t´cnica mucho mejor. e1.5.1 Problemas 1. Resolver para x: ax = bx + c, donde a = b. 2. Un terreno rect´ngular tiene un per´ a ımetro de 500 m. Su longitud es 30 m mayor que el doble de su ancho. Encontrar sus dimensiones. 3. Un chofer conduce diariamente a una velocidad promedio de 60 km /h en carretera y 24 km/h en ciudad o caminos vecinales. Si el tiempo invertido para un recorrido de 330 km fue de 7 h. Cu´nto tiempo condujo sobre carretera y a cu´nto sobre otros caminos? a 4. Un n´ mero es 8 veces mayor que otro. La suma de ambos n´ meros es 20. u u Cu´les son los n´ meros? a u 5. Un radiador de autom´vil de 8 l, contiene 6 litros de agua y dos de anti- o congelante. Cu´ntos litros de esta mezcla hay que drenar y remplazar con a anticongelante para lograr una mezcla que tenga la mitad de anticongelante?
  29. 29. 1.5. SISTEMAS DE ECUACIONES DE DOS VARIABLES 23 6. Resolver el siguiente sistema para x y y a) 2x − 5y = 10 3x + 2y = −4 b) x = y x+y =1 1 1 c) x + y =5 2 3 x − y = −5
  30. 30. 24 CAP´ ´ ITULO 1. ALGEBRA
  31. 31. CAP´ ITULO 2GEOMETR´ IA2.1 ´ Angulos y Cantidades MediblesUna semi-recta o rayo desde un punto O, es el conjunto de puntos consistente deO y de todos los puntos en un lado de O de una l´ ınea que pasa por P . Figura 2.1: Rayo con origen en 0 y que pasa por el punto P . Un ´ngulo es generado al rotar un rayo o semi-recta alrededor de su punto inicial allamado v´rtice del ´ngulo. La posici´n original del rayo es llamado lado inicial, y e a ola posici´n final es llamado lado terminal. Si O es el v´rtice y P y Q son puntos o edistintos de O en los lados del ´ngulo, el ´ngulo es llamado ´ngulo QOP y se escribe a a acomo ∠QOP (Figura 2.2). Los ´ngulos pueden ser medidos en grados ( ◦) o radianes (rad). Un ´ngulo de un a a 1grado, denotado por 1 , es igual a 360 de toda una revoluci´n completa, en sentido ◦ ocontrario al de las manecillas del reloj. Esta divisi´n tuvo como origen el hecho de oque el a˜ o tiene aproximadamente 360 d´ Con esta definici´n se obtiene el grado n ıas. osexagesimal. A su vez, el grado se divide en 60 minutos de arco donde un minuto 25
  32. 32. 26 CAP´ ITULO 2. GEOMETR´ IA ´ Figura 2.2: Angulo QOP .de arco, denotado por 1 ′ , se divide en 60 segundos de arco. El segundo de arco esdenotado por, 1 ′′ . Cuando se usan radianes, como medida angular, s´lo se debe indicar la cantidad. oLa relaci´n entre grados y radianes la obtenemos de la siguiente forma. Puesto que ouna vuelta completa tiene 360 ◦ y equivalentemente es igual a 2π, tenemos 360 ◦ =2π. Con esto tenemos π 1◦ = rad ≈ 0.01745 rad (2.1) 180 180 ◦ 1 rad = ≈ 57.2958 (2.2) π2.1.1 ´ Angulos Agudos, Rectos y ObtusosUn ´ngulo es un: a a) ´ngulo recto si su medida es igual a 90 ◦ ( π rad), a 2 b) ´ngulo agudo si su medida es mayor que 0 ◦ y menor que 90 ◦ ( π rad), a 2 c) ´ngulo obtuso si su medida es mayor que 90 ◦( π rad) y menor que 180 ◦(π rad). a 2 Ejemplos de estos ´ngulos se muestran en la Figura (2.3) de abajo. a2.1.2 ´ Angulos Complementarios y SuplementariosDos ´ngulos de medidas positivas son complementarios si la suma de sus medidas aes 90 ◦ ( π rad). Dos ´ngulos de medidas positivas son suplementarios si la suma de 2 asus medidas es 180 (πrad). Ejemplos de estos ´ngulos se muestran en la Figura (2.4). ◦ a
  33. 33. ´2.2. TRIANGULOS 27 ´ Figura 2.3: Angulos obtuso (izquierda), agudo(en medio) y recto(derecha). ´ Figura 2.4: Angulos suplementarios (izquierda) y complementarios(derecha).2.2 Tri´ngulos aUn tri´ngulo es una figura geom´trica cerrada con tres lados, de los cuales cada a elado es un segmento de l´ınea recta. Para los tri´ngulos tenemos que la suma de sus a´ngulos interiores es igual a dos rectos.a2.2.1 Rectas Notables en el Tri´ngulo a • La mediana es el segmento trazado desde un v´rtice hasta el punto medio del e lado opuesto. Con esto en un tri´ngulo hay tres medianas, una correspondiente a a cada lado. • La altura es la perpendicular trazada desde un v´rtice al lado opuesto o a e su prolongaci´n. Consecuentemente, hay tres alturas, una correspondiente a o cada lado. • La bisectriz es la recta que bisecta a un ´ngulo interior, es decir, lo divide en a dos ´ngulos iguales. Hay tres bisectrices, una para cada ´ngulo. a a • La mediatriz es la recta perpendicular de cada lado. Hay tres mediatrices, una para cada lado.2.2.2 Clasificaci´n de los Tri´ngulos o aA su vez los tri´ngulos se clasifican de acuerdo a sus ´ngulos en: a a a) tri´ngulo agudo si todos sus ´ngulos son menos que 90 ◦ , a a
  34. 34. 28 CAP´ ITULO 2. GEOMETR´ IA b) tri´ngulo obtuso si uno de sus ´ngulos es mayor que 90 ◦ , y a a c) tri´ngulo rect´ngulo si uno de sus ´ngulos es igual a 90 ◦ . El lado opuesto a a a al ´ngulo recto se llama hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos. a De acuaerdo a las medidas de sus lados los tri´ngulos se clasifican en: a a) tri´ngulo equilatero si tri´ngulo es equilatero si todos sus lados son de igual a a longitud. Con esto, un tri´ngulo es equilatero si y s´lo si sus tres ´ngulos son a o a iguales, en cuyo caso todos los ´ngulos son de 60 ◦ a b) tri´ngulo is´seles si dos de sus lados son de igual longitud. Los ´ngulos a o a base son aquellos opuestos a los lados iguales. c) tri´ngulo escaleno si sus tres lados son de diferentes longituds entre si. a Para los tri´ngulos rect´ngulos se tiene el siguiente teorema el cual es amplia- a amente usado.2.2.3 El Teorema de Pit´goras aTheorem 11 ( Teorema de Pit´goras) El ´rea del cuadrado superior de la hipotenusa a ade un tri´ngulo rect´ngulo es igual a la suma de las ´reas de los cuadrados de sus a a acatetos. Este teorema se establece mediante la ecuaci´n o c2 = a2 + b2donde c es la longitud de la hipotenusa del tri´ngulo rect´ngulo y a y b son las a alongitudes de los catetos como se muestra en la Figura (2.5). Figura 2.5: Tri´ngulo rect´ngulo con hipotenusa c y catetos a y b. a a Si denotamos por a, b y c los lados de un tri´ngulo y por h la altura entonces atenemos que el ´rea del tri´ngulo ser´ un medio de la base por la altura, es decir, a a a
  35. 35. ´2.2. TRIANGULOS 29 1 A = bh (2.3) 2el perimetro del tri´ngulo ser´ la suma de sus lados, es decir, a a P =a+b+c (2.4)Ejemplo 12 El per´ ımetro de un tri´ngulo con lados a = 2, b = 4, y c = 3 es aP = 2 + 4 + 3 = 9. 1Ejemplo 13 El ´rea de un tri´ngulo con base b = 4 y altura h = 2 es A = 2 ×4×2 = a a4 Para encontrar el ´rea de un tri´ngulo con s´lo las longitudes de sus tres lados, a a odebemos aplicar el teorema de Pitagoras para encontrar la altura. Por ejemplo, paraencontrar la altura de un tri´ngulo con lados a = 2, b = 4, y c = 3, observemos en ala Figura (2.6)Figura 2.6: Tri´ngulo en general. h denota la altura y divide al lado b en dos asegmentos de tama˜ o x y b − x. nque la l´ ınea que representa la altura divide al tri´ngulo en dos tri´ngulos rect´ngulos. a a aLlamemos x a la base del tri´ngulo de la derecha. As´ el tri´ngulo de la derecha a ı atiene catetos de longitudes x y h y la hipotenusa es a = 2. Con esto la base deltri´ngulo de la izquierda es b − x (= 4 − x ). As´ el tri´ngulo de la izquierda tiene a ı acatetos de longitudes 4 − x y h y la hipotenusa es c = 3. Ahora usando el teoremade Pit´goras para ambos tri´ngulos tenemos a a x2 + h2 = 22 (4 − x)2 + h2 = 32 11 3 √Este sistema de ecuaciones tiene como soluci´n x = o 8 , h= 8 15 as´ que el ´rea es ı a 1 1 3√ 3√ A = bh = 4 15 = 15 ≈ 2. 905 2 2 8 4
  36. 36. 30 CAP´ ITULO 2. GEOMETR´ IA2.3 ParalelogramosUn paralelogramo es una figura cerrada de cuatro lados, en los cuales cada ladoes un segmento de l´ ınea recta con los lados opuestos paralelos. Sean a y b laslongitudes de los lados de un paralelogramo y sea h la altura (la distancia entre doslados paralelos) como se muestra en la Figura (2.7), entoncesFigura 2.7: Paralelogramo de lados a y b. h denota la distancia entre dos ladosparalelos. • El per´ ımetro de un paralelogramo es la suma de las longitudes de sus lados. P = 2a + 2b • El ´rea de un paralelogramo es el producto de la base con la altura. a A = bhEjemplo 14 El per´ ımetro de un paralelogramo con dos lados de longitud 2 y doslados de longitud 5 es P = 2 + 2 + 5 + 5 = 14 Un rect´ngulo es una figura geom´trica cerrada de cuatro lados, cada lado es a eun segmento de l´ ınea recta y todos los ´ngulos interiores son rectos. Un cuadrado aes un rect´ngulo en el cual todos sus lados son iguales. Sean l = longitud, w = aancho y d = diagonal, como se muestra en la Figura (2.8), entonces. • El per´ ımetro del rect´ngulo es la suma de las longitudes de sus lados. a P = 2l + 2w • El ´rea de un rect´ngulo es el producto de la base con la altura. a a A = lw
  37. 37. 2.4. CIRCUNFERENCIA Y C´ IRCULO 31Figura 2.8: Rect´ngulo de lados l y w (izquierda) y cuadrado de lado w. En ambos acasos d representa la diagonal. • La diagonal de un rect´ngulos tiene como longitud la ra´ cuadrada de la suma a ız de los cuadrados de la longitud y el ancho del rect´ngulo. a √ d = l2 + w 2Ejemplo 15 La diagonal de un rect´ngulo de longitud 2 y ancho 5 es a √ √ d = 22 + 52 = 292.4 Circunferencia y C´ ırculoCircunferencia es el conjunto de todos los puntos de un plano que equidistande otro punto llamado centro. La distancia fija entre el centro y un punto de lacircunferencia es el radio (Figura 2.9). El diametro de la circunferencia es igual ados veces el radio. Figura 2.9: Circunferencia de radio r Un c´ırculo es el conjunto de todos los puntos de la circunferencia y de losinteriores a la misma. La circunferencia de un c´ ırculo es π veces el diametro y el´rea del c´a ırculo es π veces el cuadrado del radio.
  38. 38. 32 CAP´ ITULO 2. GEOMETR´ IAEjemplo 16 Hallar el diametro, circunferencia y ´rea de un c´ a ırculo con radio 5.Soluci´n 17 Sean: r = radio, C = circumferencia, D = di´metro y A = area o a D = 2 × 5 = 10 C = 10π ≈ 31. 416 A = π × 52 = 25π ≈ 78. 54 Un ´ngulo central de un c´ a ırculo es un ´ngulo cuyo v´rtice esta en el centro a edel c´ ırculo. Sean θ un ´ngulo central medido en radianes y s la longitud de arco asubtendida por θ . Si r es el radio de la circunferencia, entonces s = rθ y el ´rea adel sector A (sector) acotado por el arco s y los lados del ´ngulo θ es A (sector) = a12 rs = 1 r 2 θ. 22.5 Vol´ menes u2.5.1 Paralelep´ ıpedo RectangularUn paralelep´ ıpedo rectangular (o caja) es una figura geom´trica cerrada con seis elados, en los cuales cada lado es un segmento plano rectangular, los lados opuestosson paralelos y todos los ´ngulos interiores son rectos. Un cubo es un paralelep´ a ıpedorectangular en el cual todos sus lados son iguales. En la Figura (2.10) presentamosun ejemplo de un paralelep´ ıpedo. Si a, b y c son tres aristas que convergen en unmismo v´rtice, h representa la altura, θ es el ´ngulo entre las dos aristas de la base e a(c y b) y α es el ´ngulo entre la tercera arista (a) y la altura entonces a Figura 2.10: Paralelep´ ıpedo rectangular o caja. • El ´rea superficial S, de la base es a S = bc sin θ
  39. 39. ´2.5. VOLUMENES 33 Figura 2.11: Cil´ ındro circular recto de altura h y radio de la base r. • El volumen es el producto del ´rea de la base con su altura a V = hbc sin θEjemplo 18 Si una caja tiene tiene longitud a = 10, ancho b = 6 y altura h = 5entonces su ´rea superficial y volumen son a S = 2 × (10 × 6) + 2 × (10 × 5) + 2 × (5 × 6) = 280 V = 10 × 6 × 5 = 3002.5.2 Cil´ ındro Circular RectoUn superficie de revoluci´n es la superficie generada por una figura plana que ogira alrededor de una recta llamada eje. La porcion del espacio limitada por unasuperficie de revoluci´n genera un cuerpo de revoluci´n o s´lido de revoluci´n. o o o o Un cil´ ındro circular recto es un s´lido de revoluci´n generado por la revoluci´n o o ocompleta de un rect´ngulo alrededor de uno de sus lados. Como resultado, se tienen ados superficies circulares llamadas bases del cil´ındro. La distancia entre las basesse llama altura. Si denotamos la altura con h y el radio de una base con r, comose muestra en la Figura (2.11), entonces • El ´rea superficial de un cill´ a ındro es el ´rea de la superficie cil´ a ındrica que lo limita m´s dos veces el ´rea de la base. a a S = (2πr) h + 2πr 2 = 2rπ (h + r) • El volumen de un cil´ ındro es el producto del ´rea de la base con la altura. a V = πr 2 hEjemplo 19 Si un cill´ ındro tiene altura h = 10 y radio r = 5, entonces su ´rea asuperficial y su volumen son S = 2 × 5 × π (10 + 5) = 150π ≈ 471. 24 V = π (5)2 × 10 = 250π ≈ 785. 4
  40. 40. 34 CAP´ ITULO 2. GEOMETR´ IA2.5.3 Cono Circular RectoUn cono circular recto o cono de revoluci´n es un s´lido de revoluci´n gener- o o oado por la revoluci´n completa de un tri´ngulo rect´ngulo alrededor de uno de sus o a acatetos. Como resultado, la hipotenusa genera la superficie lateral del cono, elcateto usado como eje de revoluci´n es la altura del cono y el otro cateto genera ola base del cono y es a su vez el radio de la base. Si denotamos con r el radio dela base y con h la altura, entonces • El ´rea supercial de un cono recto circular es el ´rea de la base m´s un a a a medio del producto del per´ımetro de la base con la hipotenusa del tri´ngulo a rect´ngulo. a 1 √ √ S = πr 2 + 2 2πr r 2 + h2 = πr 2 + πr r 2 + h2 • El volumen de un cono es un tercio del ´rea de la base con la altura. a 1 V = 3 πr 2 h.Ejemplo 20 Si un cono circular recto tiene como radio de la base r = 5 y alturah = 10 entonces el ´rea superficial y el volumen son a √ √ S = π (5)2 + π (5) 52 + 102 = 25π 1 + 5 ≈ 254. 16 1 250 V = π × 52 × 10 = π ≈ 261. 8 3 32.5.4 EsferaUna esfera es un s´lido de revoluci´n generado por la rotaci´n de una circunferencia o o oalrededor de uno de sus di´metros. Si r denota el radio de la esfera entonces a • El ´rea superficial de de una esfera es cuatro veces π por el cuadrado del radio. a S = 4πr 2 • El volumen de una esfera es cuatro tercios de π por el cubo del radio. 4 V = 3 πr 3Ejemplo 21 Considere una esfera de radio r = 4000. Entonces el ´rea superficial ay el volumen son S = 4π (4000)2 = 64 000 000π ≈ 2. 010 6 × 108 4 256 000 000 000 V = π (4000)3 = π ≈ 2. 680 8 × 1011 3 3
  41. 41. 2.6. PROBLEMAS 352.6 Problemas 1. Expresar los siguientes ´ngulos en grados a a) 1.57 rad b) 2.0 rad 2. Expresar los siguientes ´ngulos en radianes a a) 45 ◦ b) 135 ◦ 3. Hallar los complementos de los siguientes ´ngulos a a) 36 ◦ 52 ′ b) 48 ◦ 30 ′ 15 ′′ 4. Hallar los suplementos de los siguientes ´ngulos a a) 92 ◦ 15 ′ b) 123 ◦ 9 ′ 16 ′′ 5. Puede ser obtuso un ´ngulo de la base de un tri´ngulo isoseles? a a 6. Dos ´ngulos de un tri´ngulo miden 40 ◦ y 30 ◦ , respectivamente. Cu´nto mide a a a el tercer ´ngulo? a 7. Los ´ngulos de la base de un tri´ngulo isoseles miden 40 ◦. Cu´nto mide el a a a ´ngulo opuesto a la base? a 8. Hallar el ´ngulo que es igual a su suplemento. a 9. Hallar el ´ngulo que es igual a la mitad de su complemento. a 10. Cu´l es la amplitud, en grados, del ´ngulo que subtiende una longitud de arco a a de 5.23 cmsi pertenece a una circunferencia de 20 cmde radio? 11. Hallar la longitud de arco subtendido por un ´ngulo de 5 ◦2 ′ 8 ′′ si pertenece a a una circunferencia de 2 mde radio. 12. Hallar el lado de un cuadrado cuya ´rea vale 28.09 m2 . a 13. La diagonal de un rect´ngulo mide 10 m y su altura 6 m. Hallar su ´rea. a a 14. Hallar la diagonal de un cubo cuya arista mide 3 cm. √ 15. La diagonal de un cubo mide 2 3 cm. Hallar la arista.
  42. 42. 36 CAP´ ITULO 2. GEOMETR´ IA 16. Hallar el ´rea lateral de un cil´ a ındro circular recto, si el radio de la base mide 4 cm y la altura mide 10 cm. 17. Hallar el ´rea total de un cil´ a ındro circular recto si el radio de la base mide 20 cm y la altura mide 30 cm. ındro circular recto es 410 cm2 y su altura es el doble 18. El ´rea total de un cil´ a del radio de la base. Hallar la altura y el radio de la base. 19. Hallar el ´rea lateral de un cono sabiendo que el radio de la base mide 6 cm a y la altura mide 8 cm. 20. Hallar el ´rea total de un cono sabiendo que el radio de la base mide 3 cm y a la altura mide 4 cm. √ 21. Hallar la altura de un cono sabiendo que el ´rea lateral mide 16 5π cm2 y el a radio de la base mide 4 cm. 22. Dos esferas de metal de radios 2a y 3a se funden juntas para hacer una esfera mayor. Calcular el radio de la nueva esfera. 23. Se tiene una esfera situada dentro de un cil´ ındro de manera que al cil´ ındro tiene como altura y di´metro, el di´metro de la esfera. Determinar la relaci´n a a o entre el ´rea de la esfera y el ´rea lateral del cil´ a a ındro.
  43. 43. CAP´ ITULO 3TRIGONOMETR´ IA3.1 Funciones Trigonometricas3.1.1 Signos de las Funciones Trigonom´tricas eSea θ un ´ngulo cuyo lado inicial cae en la parte positiva del eje x, y cuyo v´rtice a ecoincide con el origen (0, 0) y sea (x, y) cualquier punto en el lado terminal del´ngulo. Sea r la distancia positiva desde el origen hasta el puunto (x, y), como seaobserva en la Figura (3.1.1). Figura 3.1: Tri´ngulo rect´ngulo con hipotenusa r = a a x2 + y 2 y catetos x, y. y • seno θ =sen θ = r x • coseno θ = cos θ = r sen θ y • tangente θ = tan θ = = , si x = 0 cos θ x cos θ x • cotangente θ = cot θ = = , si y = 0 sen θ y 37
  44. 44. 38 CAP´ ITULO 3. TRIGONOMETR´ IA 1 r • secante θ = sθ = = , si x = 0 cos θ x 1 r • cosecante θ = csc θ = = , si y = 0 sen θ y Signos de las Funciones Trigonom´tricas e Quadrante sen cos tan cot s csc I + + + + + + II + – – – – + III – – + + – – IV – + – – + –3.1.2 Funciones Trigonom´tricas de 0 ◦ , 90 ◦ , 180 ◦ , 270 ◦ y e ◦ 360 .Para θ = 0 ◦ , tenemos y = 0 por lo que r = x, as´ las funciones trigonom´tricas de ı e0 son ◦ 0 • sen0 ◦ = =0 r r • cos 0 ◦ = = 1 r sen 0 ◦ • tan 0 ◦ = =0 cos 0 ◦ cos 0 ◦ • cot 0 ◦ = =∞ sen0 ◦ 1 • sec 0 ◦ = =1 cos 0 ◦ 1 • csc 0 ◦ = =∞ sen0 ◦ Para θ = 90 ◦ , tenemos x = 0 por lo que r = y, as´ las funciones trigonom´tricas ı ede 90 ◦ son r • sen90 ◦ = =1 r 0 • cos 90 ◦ = =0 r sen 90 ◦ • tan 90 ◦ = =∞ cos 90 ◦
  45. 45. 3.1. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS 39 cos 90 ◦ • cot 90 ◦ = =0 sen90 ◦ 1 • sec 90 ◦ = =∞ cos 90 ◦ 1 • csc 90 ◦ = =1 sen90 ◦ Para θ = 180 ◦, tenemos y = 0 y x es negativo por lo que r = −x, as´ las ıfunciones trigonom´tricas de 180 son e ◦ 0 • sen180 ◦ = =0 r −r • cos 180 ◦ = = −1 r sen180 ◦ • tan 180 ◦ = =0 cos 180 ◦ cos 180 ◦ • cot 180 ◦ = =∞ sen180 ◦ 1 • sec 180 ◦ = = −1 cos 180 ◦ 1 • csc 180 ◦ = =∞ sen180 ◦ Para θ = 270 ◦ , tenemos x = 0 y y es negativo por lo que r = −y, as´ las ıfunciones trigonom´tricas de 270 ◦ son e −r • sen270 ◦ = = −1 r 0 • cos 270 ◦ = =0 r sen 270 ◦ • tan 270 ◦ = =∞ cos 270 ◦ cos 270 ◦ • cot 270 ◦ = =0 sen270 ◦ 1 • sec 270 ◦ = =∞ cos 270 ◦ 1 • csc 270 ◦ = = −1 sen180 ◦ Para θ = 360 ◦ , las funciones trigonom´tricas coinciden con las de 0 ◦ e
  46. 46. 40 CAP´ ITULO 3. TRIGONOMETR´ IA3.1.3 Funciones Trigonom´tricas de 30 ◦ , 45 ◦ y 60 ◦ eConsidere un tri´ngulo equilatero con lados de longitud 2. Cada uno de sus ´ngulos a amide 60 ◦ ( π rad). La mediana de un v´rtice bisecta el ´ngulo de ese v´rtice, es decir 3 e a ees simultaneamente la bisectriz. Con esto tenemos dos tri´ngulos rect´ngulos con √ a acatetos 1 y 3 y con hipotenusa 2. El ´ngulo opuesto al cateto de longitud 1 mide √a60 ◦y el opesto al cateto de longitud 3 mide 30 ◦. As´ las funciones trigonom´tricas ı edel el ´ngulo θ = 30 son, por definici´n a ◦ o 1 • sen 30 ◦ = 2 √ 3 • cos 30 ◦ = 2 1 • tan 30 ◦ = √ 3 √ • cot 30 ◦ = 3 2 • sec 30 ◦ = √ 3 • csc 30 ◦ = 2 Ahora para θ = 60 ◦ tenemos √ 3 • sen 60 ◦ = 2 1 • cos 60 ◦ = 2 √ • tan 60 ◦ = 3 1 • cot 60 ◦ = √ 3 • sec 60 ◦ = 2 2 • csc 60 ◦ = √ 3 Para θ = 45 ◦ consideremos un tri´ngulo rect´ngulo isoseles de lados (catetos) √ a a1. Con esto la hipotenusa mide 2 y los ´ngulos de la base miden 45 ◦ , por lo que atenemos 1 • sen 45 ◦ = √ 2 1 • cos 45 ◦ = √ 2 • tan 45 ◦ = 1 • cot 45 ◦ = 1 √ • sec 45 ◦ = 2
  47. 47. ´ ´ ´3.2. SOLUCION DE TRIANGULOS RECTANGULOS 41 √ • csc 45 ◦ = 2 En la tabla siguiente presentamos las funciones trigonom´tricas de estos ´ngulos e aespeciales. Grados 0◦ 30 ◦ 45 ◦ 60 ◦ 90 ◦ 180 ◦ 270 ◦ 360 ◦ π π π π 3π Radianes 0 π 2π 6 4 3 2 2 √ √ 1 2 3 sen 0 1 0 −1 0 2 √ √2 2 3 2 1 cos 1 0 −1 0 1 2 2 2 1 √ tan 0 √ 1 3 ∞ 0 ∞ 0 3 √ √ 3 cot ∞ 3 1 0 ∞ 0 ∞ 3 2 √ sec 1 √ 2 2 ∞ −1 ∞ 1 3 √ √ 2 3 csc ∞ 2 2 1 ∞ −1 ∞ 33.2 Soluci´n de Tri´ngulos Rect´ngulos o a aUsaremos la notaci´n que sigue: a los v´rtices de un tri´ngulo rect´ngulo se le o e a adenotar´ con las letras may´ sculas A, B y C, los ´ngulos en A, B y C, por α, β y a u aγ y los lados opuestos a los v´rtices A, B y C, por a, b y c respectivamente. En eun tri´ngulo rect´ngulo si se conocen uno de sus ´ngulos agudos y un lado o dos de a a asus lados, se pueden encontrar las partes restantes, es decir, el otro ´ngulo agudo ay el o los lados restantes. Al proceso de encontrar las partes restantes se le llamaresolver el tri´ngulo. aEjemplo 22 En un tri´ngulo rect´ngulo se tiene α = 34 ◦ y b = 10.5. Resolver el a atri´ngulo. a Tenemos α + β = 90 ◦ por lo que β = 90 ◦ − α = 90 ◦ − 34 ◦ = 56 ◦. Ahoratan 34 ◦ = a , de donde a = b tan 34 ◦ = (10.5) tan 34 ◦ = 7.0823. Por ultimo el lado b ´c lo podemos calcular √ medio del teorema de Pit´goras o por medio de funciones por atrigonom´tricas. c = 10.52 + 7.08232 = 12.6653. eEjemplo 23 Resolver el tri´ngulo rect´ngulo con lados a = 15 y b = 7. Por el a √ateorema de Pit´goras tenemos c = 152 + 72 = 16.5529. tan α = a de donde a bα = arctan( a ) = tan−1 ( a ) = tan−1 ( 15 ) = 64 ◦58 ′ 59 ′′. Con esto podemos calcular b b 7β = 90 ◦ − 64 ◦ 58 ′59 ′′ = 25 ◦ 1 ′11 ′′ .

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