ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

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ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES UNIVERSIDAD OLMECA 4TO SEMESTRE, ECUACIONES DIFERENCIALES

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ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

  1. 1. ÍNDICEOBJETIVO…………………………………………………………………………………………………….. 3INTRODUCCIÓN…………………………………………………………………………………………..… 3ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES HISTORIA……………………………………………………………………………………………. 4 DEFINICIÓN…………………………………………………………………………………….. 4 - 5 CLASIFICACIÓN………………………………………………………………………….……. 5 - 6 ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS…………………………………………………........ 7 CLASIFICACIÓN DE LAS EDP DE SEGUNDO ORDEN…………………………………….. 7 - 9 EDP DE ORDEN SUPERIOR………………………………………………………………………... 9 SOLUCIÓN DE ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES LINEALES…………….…. 10 - 11 APLICACIONES……………………………………………………………………...……… 11 - 12EJEMPLO CON EL MÉTODO DE SEPARACIÓN DE VARIABLES…………………….……………….….3CONCLUSIÓN……………………………………………………………………………………………… 13BIBLIOGRAFÍA…………………………………………………………………………………………….... 14
  2. 2. OBJETIVO:Al concluir con este trabajo espero obtener los conocimientos teóricos necesariosde este tema y de la misma forma ponerlos en práctica logrando desarrollar losproblemas o ejercicios aplicando las ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES. INTRODUCCIÓN:Las ecuaciones diferenciales son algo nuevo para nosotros. Sin embargo yaestamos familiarizados con el problema de resolver ecuaciones y sistemas deecuaciones algebraicas, y también tenemos una idea clara de lo que es unasolución aún cuando en muchos casos no podemos encontrarla, como es el casode las ecuaciones de alto grado o que involucran funciones trascendentes.En las ecuaciones que ya conocemos pueden aparecer una o más variables.Una ecuación diferencial es una ecuación que contiene una funcióndesconocida de una o más variables y sus derivadas parciales respecto a estasvariables. El orden de una ecuación diferencial parcial es el de la derivada demayor orden que aparezca en dicha ecuación. Ejemplo:Es una ecuación diferencial parcial de orden 2, o una ecuación diferencial desegundo orden.Una solución de una ecuación diferencial parcial es cualquier función queverifica idénticamente la ecuación. La solución general particular es una soluciónque se puede obtener de la solución general cuando se hace una selecciónparticular de las funciones arbitrarias.Clasificación de ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden eshiperbólica, parabólica o elíptica si el término: es positivo, cero o negativo,respectivamente. Sin embargo, esta definición puede ser confusa en algunasocasiones. Otra forma de identificar las ecuaciones diferenciales, aunque no esformal pero si practica, es observando el orden de las derivadas con respecto altiempo. Cuando no se tienen derivadas cruzadas, las ecuaciones con segundaderivada con respecto al tiempo son usualmente hiperbólicas, las que tieneprimera derivada con respecto al tiempo son parabólicas y las que no tienenderivada con respecto al tiempo son elípticas. 2
  3. 3. ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES HISTORIAEl estudio de las Ecuaciones Diferenciales es tan viejo como el del Cálculo mismo.En 1671 Newton (1643-1729) trabajó sobre la teoría de “Fluxiones”. Su investigación serelacionó con “Ecuaciones Fluxionales” que ahora llamaríamos ecuaciones diferenciales.Él dividió a las ecuaciones diferenciales en tres categorías.  En la primera, estas tendrían a forma dy/dx = f(x) o dy/dx = f(y).  En la segunda, tendrían la forma dy/dx = f(x, y).  Y en la tercera categoría están las ecuaciones diferenciales parciales. DEFINICIÓNUna ecuación diferencial parcial para una funciónCon derivadas parcialesEs una relación de la formaDondees una función de las variables, enDonde solamente ocurrirán un número finito de derivadas. 3
  4. 4. Es decir:Son aquellas ecuaciones que contienen derivadas parciales dependientes de dos o másvariables independientes. CLASIFICACIÓNAsí como las ecuaciones diferenciales ordinarias, las ecuaciones diferenciales parciales seclasifican en función a: • Orden • Grado • Linealidad ORDEN:Se llama orden de una ecuación diferencial al orden de la derivada superior queintervieneen la ecuación.Es decir, la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación. 4
  5. 5. GRADO:Si F es un polinomio, se define grado de la ecuación diferencial como el grado de y(x) ysus derivadas. LINEALIDAD:Una ecuación se dice lineal si:Donde los ai no todos son cero.En el caso de la ecuación diferencial la linealidad es caracterizada por la forma:Donde an(x) es una función de x no cero.Se observan dos características en dicha forma: la variable dependiente, en este caso lavariable y, junto todas sus derivadas son de primer grado, es decir, la potencia en y es 1;por otro lado, cada coeficiente depende solo de la variable dependiente de x. 5
  6. 6. ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS  Se dice queuna forma diferencial P(x, y) dx +Q(x, y) dy es exacta en un dominio D, si existe una función U(x, y) cuya diferencial es dicha forma en D, es decir: ∂U ∂U dU = dx + dy = P( x, y ) dx + Q( x, y ) d ∂x ∂y  Si P(x, y) dx + Q(x,y) dy es exacta, entonces la ecuación diferencial P dx + Q dy = 0 se denomina ecuación diferencial exacta, o ecuación en diferenciales totales. CLASIFICACIÓN DE LAS EDP DE SEGUNDO ORDENLas EDP de segundo orden se clasifican habitualmente dentro de cuatro tipos de EDP queson de interés fundamental, a continuación se dan ejemplos de estos cuatro tipos:Con mayor generalidad, si se tiene una ecuación de segundo orden del tipo: 6
  7. 7. ELÍPTICAS  Elípticas: Las que no tienen derivada con respecto al tiempo son elípticas.Ejemplo. Laplace ElípticaEsta es una ecuación bidimensional, de segundoorden, lineal, homogénea y decoeficientesconstantes. PARABÓLICAS  Parabólicas: las que tiene primera derivada con respecto al tiempo son parabólicas.Ejemplo: Difusión Parabólicas.Es la ecuación unidimensional de difusión delcalor, de segundo orden, lineal, homogéneayde coeficientes constantes. 7
  8. 8. HIPERBÓLICAS  Hiperbólicas: Las ecuaciones con segunda derivada con respecto al tiempo son usualmente hiperbólicas.Ejemplo: Onda Hiperbólica.Es la ecuación de onda unidimensional, que describe fenómenos de tipo oscilatorios y esde segundo orden, lineal, homogénea y de coeficientes constantes. EDP DE ORDEN SUPERIORSi bien las EDP de segundo orden se aplican a una inmensa cantidad de fenómenosfísicos; otra cantidad menor de procesos físicos hallan solución en EDP de órdenessuperiores, como ejemplos podemos citar:Flexión mecánica de una placa elástica:Vibración flexional de una viga: 8
  9. 9. SOLUCIÓN DE ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES LINEALES La solución de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales lineales, resulta más complejo que la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias debido a que no existen métodos generales de resolución efectivos sino para un diverso grupo de ecuaciones. Existen 3 tipos de soluciones para las Ecuaciones Diferenciales Parciales. • Solución General • Solución Completa • Métodos De Laplace SOLUCIÓN GENERALToda ecuación en derivadas parciales de primer orden posee una solución dependientede una función arbitraria, que se denomina usualmente solución general de la EDP. Enmuchas aplicaciones físicas esta solución general es menos importante que las llamadassoluciones completas. SOLUCIÓN COMPLETAUna solución completa es una solución particular de la EDP que contiene tantasconstantes arbitrarias independientes como variables independientes intervienen en laecuación. Por ejemplo la integración de las ecuaciones del movimiento de un sistemamecánico mediante el método basado en el ecuación de Hamilton-Jacobi requiere unaintegral completa, mientras que la solución general resulta menos interesante desde elpunto de vista físico. 9
  10. 10. MÉTODOS DE LAPLACELa transformada de Laplace se puede utilizar para la solución de ecuaciones diferencialesparciales de forma similar que la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias.Regularmente este método se emplea para solucionar ecuaciones con condicionesiníciales, es decir cuando las ecuaciones tienen derivadas con respecto al tiempo.El método consiste en aplicar la transformada de Laplace a la ecuación diferencialparcial y a las condiciones de borde, resolver la ecuación resultante y obtener latransformada inversa APLICACIONESLas ecuaciones diferenciales son muy utilizadas en todas las ramas de la ingeniería para elmodelamiento de fenómenos físicos.Ecuación de la conducción del calor. La constante C, llamada difusivilidad, es igual a 1donde la conductividad térmica K, el calor específico, la densidad (masa por unidad devolumen) se toman como constantes.Esta ecuación es aplicable a las pequeñas vibraciones transversales de una cuerdaflexible y tensa como la cuerda de un violín, que inicialmente se ha colocado sobre el ejey se ha hecho vibrar. La función es la elongación de un punto cualquiera de la cuerda enel instante . La constante , donde c la tensión (Cte.) de la cuerda. 10
  11. 11. Ejemplo:Encontrar la superficie solución de la E.D.PQue tenga la propiedad de contener la curva intersección de la superficie z = y 2 con elplano x = 0. 11
  12. 12. CONCLUSIÓNEl método variacional es una herramienta muy útil para elestudio cualitativo deecuaciones diferenciales parciales por permitir estudiar lassoluciones en unambiente muy general, y así superar la problemática presentadapor los métodosclásicos. Además, su fácil adaptabilidad a diversas situaciones,expuesta demanera parcial en el presente trabajo, ha permitido que sea latécnicapreponderante para el análisis de problemas de ecuaciones diferencialesparciales. 12
  13. 13. BIBLIOGRAFÍA Libro: Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales: Con métodos de variable compleja y de transformaciones integrales... Escrito por Hans F. Weinberger Libro: Métodos de Solución de Ecuaciones Diferenciales Y Aplicaciones…Escrito por Maria Del Carmen Cornejo,Pedro Alberto Quintana Hernández,Eloisa B. Villalobos,Pedro Quintana Libro: Fundamentos de métodos matemáticos para física e ingeniería… Escrito por EvgueniiKurmyshev http://www.dynamics.unam.edu/DinamicaNoLineal/CursosNotas/NotasED-I.pdfhttp://es.scribd.com/doc/38283634/Introduccion-a-Las-Ecuaciones-Diferenciales- Parciales 13

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