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ICC-04 Sistemas Numéricos
 

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Números e Sistemas Numéricos (binário, octal e hexadecimal). Ponto Fixo, Ponto Flutuante, Aritmética Binária e Códigos de Caracteres Decimais.

Números e Sistemas Numéricos (binário, octal e hexadecimal). Ponto Fixo, Ponto Flutuante, Aritmética Binária e Códigos de Caracteres Decimais.

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    ICC-04 Sistemas Numéricos ICC-04 Sistemas Numéricos Presentation Transcript

    • Números e Aritmética Binária
    • Introdução Computador manipula/armazena informação na forma de números Info = instruções, dados Sistema numérico padrão decimal (0,..., 9) Computador sistema binário Vantagens: Necessidade de apenas 2 níveis de tensão nos circuitos eletrônicos Programas expressões algébricas representadas pela álgebra booleana, que é baseada em sistema binário Introdução à Ciência Eduardo Nicola F. Zagari 2 da Computação
    • O Conceito de Número Número Expressa quantidade em relação à uma unidade Numeral Símbolos que representam números Sistemas Numéricos: Algarismos: “numerais de valor próprio” Usados para gerar os numerais para todos os números Base: quantidade de algarismos Introdução à Ciência Eduardo Nicola F. Zagari 3 da Computação
    • Sistema Decimal Posicional Numeral Base 6903 = 6 x 103 + 9 x 102 + 0 x 101 + 3 x 100 6903 = 6.000 + 900 + 0 + 3 Algarismo Introdução à Ciência Eduardo Nicola F. Zagari 4 da Computação
    • Sistema Binário Posicional Algarismos: 0 e 1 Base: 2 101b = 1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 101b = 4 + 0 + 1 = 5d Introdução à Ciência Eduardo Nicola F. Zagari 5 da Computação
    • Correspondência entre entre os dezesseis primeiros numerais decimais e binários DECIMAL BINÁRIO DECIMAL BINÁRIO 0 0 8 1000 1 1 9 1001 2 10 10 1010 3 11 11 1011 4 100 12 1100 5 101 13 1101 6 110 14 1110 7 111 15 1111 Introdução à Ciência Eduardo Nicola F. Zagari 6 da Computação
    • Números Reais e Conversões de Bases Decimal fracionário: 1,8125 1,8125 = 1 x 100 + 8 x 10-1 + 1 x 10-2 + 2 x 10-3 + 5 x 10-4 1,8125 = 1 + 0,8 + 0,01 + 0,002 + 0,0005 Binário fracionário: 1,1101 1,1101 = 1 x 20 + 1 x 2-1 + 1 x 2-2 + 0 x 2-3 + 1 x 2-4 Introdução à Ciência Eduardo Nicola F. Zagari 7 da Computação
    • Conversão entre Binário e Decimal Representações binária e decimal não alteram quantidade representada Conversão para Decimal Ex.1: 1001b = 1 x 23 + 0 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 = 8 + 0 + 0 + 1 = 9d Ex.2: 1,0110b = 1 x 20 + 0 x 2-1 + 1 x 2-2 + 1 x 2-3 + 0x2-4 Introdução à Ciência = 1 + 0 + 0,25 + 0,13 + 0 = 1,38d Eduardo Nicola F. Zagari 8 da Computação
    • Conversão para Binário Caso N seja inteiro: p.ex., 19 19 2 1 9 2 1 4 2 0 2 2 0 1 2 1 0 19d = 10011b Introdução à Ciência Eduardo Nicola F. Zagari 9 da Computação
    • Conversão para Binário Caso N seja menor que 1: p.ex., 0.69 0,69 x 2 = 1 ,38 0,38 x 2 = 0,76 0,76 x 2 = 1,52 0,52 x 2 = 1,04 0,04 x 2 = 0,08 0,08 x 2 = 0,16 0,69d = 0,101100...b Introdução à Ciência Eduardo Nicola F. Zagari 10 da Computação
    • Conversão para Binário Caso N seja fracionário e maior que 1? Ex.: Converter o decimal 19,69 para a base 2: • Converter a parte inteira 19d = 10011b, conforme visto anteriormente. • Converter a parte fracionária 0,69d = 0,101100b, conforme visto anteriormente • Unir as partes 19,69d = 10011,101100b Introdução à Ciência Eduardo Nicola F. Zagari 11 da Computação
    • Outras Bases Numéricas Sistema Octal Base: 8 Algarismos: 0, 1, 2, 3, ..., 7 Sistema Hexadecimal Base: 16 Algarismos: 0, 1, 2, ..., 9, A, B, C, D, E, F 3 dígitos binários 8 (23) números 4 dígitos binários 16 (24) números Introdução à Ciência Eduardo Nicola F. Zagari 12 da Computação
    • Conversão do Sistema Hexadecimal Correspondência das bases 2, 8 e 16: 2 3 7 4 , 6 4 5 2 => octal ---- ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 , 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 => binário ------ -------- --------- -------- -------- -------- 4 F C , D 2 A => hexa Introdução à Ciência Eduardo Nicola F. Zagari 13 da Computação
    • De Hexadecimal para Decimal 7AB016 = 7 x 163 + 10 x 162 + 11 x 161 + 0 x 160 = 28.672 + 2.560 + 176 + 0 = 31.40810 Introdução à Ciência Eduardo Nicola F. Zagari 14 da Computação
    • De Decimal para Hexadecimal 1989 16 5 124 16 12 7 => ou seja, 198910 = 7C516 Introdução à Ciência Eduardo Nicola F. Zagari 15 da Computação
    • De Hexadecimal para Octal 1 F ----- ------ 0001 1111 = 00 011 111 --- ----- ---- 0 3 7 ==> 1F16 = 378 Introdução à Ciência Eduardo Nicola F. Zagari 16 da Computação
    • De Octal para Hexadecimal 5 5 ---- ---- 101 101 = 10 1101 --- ------ 2 D => 558 = 2D16 Introdução à Ciência Eduardo Nicola F. Zagari 17 da Computação
    • Tipos de Informação Representadas por seqüências binárias 4 bits “nibble” 8 bits “byte” Pode ocupar 1 ou + palavras (word) na memória Introdução à Ciência Eduardo Nicola F. Zagari 18 da Computação
    • Tipos de Informação Depende do fabricante do processador Instruções Ponto Fixo Informação Numéricos Dados Ponto Flutuante Padrões de Representação Não-numéricos (caracteres e outros) Introdução à Ciência Eduardo Nicola F. Zagari 19 da Computação
    • Dados Numéricos Definidos com base nos fatores: Tipos de números Faixa de valores possíveis Precisão do número Custo do hardware Introdução à Ciência Eduardo Nicola F. Zagari 20 da Computação
    • Números em Ponto Fixo Dígitos para representar: Parte inteira Parte fracionária Cada dígito tem um peso de acordo com sua posição relativa à vírgula decimal (Notação Posicional) Introdução à Ciência Eduardo Nicola F. Zagari 21 da Computação
    • Números em Ponto Fixo 1,1101 é representado como: 00000001 (parte inteira) 11010000 (parte fracionária) Vírgulas (ou pontos) não são representadas Cabe à instrução (processador) reconstituí-lo Introdução à Ciência Eduardo Nicola F. Zagari 22 da Computação
    • Números em Ponto Fixo Números com sinal: Bit mais a esquerda = 1. Número negativo Bit mais a esquerda = 0. Número positivo xn-1xn-2...x2x1x0 sinal magnitude (partes inteira e fracionária) Introdução à Ciência Eduardo Nicola F. Zagari 23 da Computação
    • Números em Ponto Fixo Faixa de representação de números inteiros com “n” bits: -2n <= N <= 2n - 1 Faixa de representação de frações com “n” bits: 0 <= |N| <= 1 - 2-n Introdução à Ciência Eduardo Nicola F. Zagari 24 da Computação
    • Números em Ponto Flutuante Para representar números muito grandes ou muito pequenos com, relativamente, poucos dígitos: 1,0 x 1018 = 1.000.000.000.000.000.000 pto. flutuante ponto fixo Um número ponto flutuante tem a forma M x BE onde M = mantissa; B = base e E = expoente Em 1,0 x 1018 => M = 1,0; B = 10 e E = 18 Introdução à Ciência Eduardo Nicola F. Zagari 25 da Computação
    • Números em Ponto Flutuante Número em ponto flutuante é armazenado na memória como o par: Uma Mantissa M (fração/inteiro) Um Expoente E (inteiro) A base é constante (potência de r: 2, 10) Precisão: número de bits de M Faixa de valores possíveis: determinada por B e E (máximo 2n) Introdução à Ciência Eduardo Nicola F. Zagari 26 da Computação
    • Números em Ponto Flutuante 1,0 x 1018, 0,1 x 1019, 1000000 x 1012, e 0,000001 x 1024 são equivalentes Normalização: Só a parte fracionária da mantissa é representada Intenção garantir o máximo de bits possíveis da mantissa para representar o número Introdução à Ciência Eduardo Nicola F. Zagari 27 da Computação
    • Números em Ponto Flutuante • Padrão IEEE 754 – normalizado, expoente em excesso 127 N = (-1)S x 1.M x 2E • precisão simples 31 30 23 22 0 S EXPOENTE EM EXECESSO MANTISSA • precisão dupla 63 62 52 51 32 S EXPOENTE EM EXECESSO MANTISSA 31 0 MANTISSA Introdução à Ciência Eduardo Nicola F. Zagari 28 da Computação
    • Números em Ponto Flutuante Exemplo -0,7510 = -0,112 Normalizando 1,12 2 -1 31 30 23 22 0 1 01111110 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Exemplo: Qual o decimal correspondente ? 31 30 23 22 0 1 10000001 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (129-127) N= - ( 1+0.5) x 2 = -1,5 x 4 = -6,0 Introdução à Ciência Eduardo Nicola F. Zagari 29 da Computação
    • Números em Ponto Flutuante A normalização restringe a magnitude |M| de uma mantissa fracionária à faixa (para números com B = 2): 0,5 <= |M| < 1 ou M = 0 0,1000000...0 = 0,5 0,1111111...1 < 1,0 Introdução à Ciência Eduardo Nicola F. Zagari 30 da Computação
    • Números em Ponto Flutuante Qual seria a precisão e a faixa de valores possíveis para um número representado em ponto flutuante? Precisão Mantissa: se tem 24 bits, então precisão é de 224 = 16.777.216 Faixa Base e expoente: 8 bits -28 a + 28 –1 = -256 até +255 Logo, faixa fica de 2-256 a 2+255 Introdução à Ciência Eduardo Nicola F. Zagari 31 da Computação
    • Números em Ponto Flutuante Como se representaria o número zero? 0 x BE = 0 para todos os valores de E Mas nem sempre a mantissa é exatamente zero... “E” deve ser um número negativo grande Introdução à Ciência Eduardo Nicola F. Zagari 32 da Computação
    • Números em Ponto Flutuante Para efeitos de comparação com zero: Expoente codificado em excesso -2k-1 (polarizador), assim Expoente 0000 representa número –8 Expoente 0001 representa número -7 Introdução à Ciência Eduardo Nicola F. Zagari 33 da Computação
    • Aritmética Binária - Adição ADENDO AUGENDO RESULTADO “VAI-UM” 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 3510 001000112 7110 + 010001112 + 10610 011010102 Introdução à Ciência Eduardo Nicola F. Zagari 34 da Computação
    • Aritmética Binária - Subtração MINUENDO SUBTRAENDO RESULTADO “EMPRESTA- UM” 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 7110 010001112 3510 + 001000112 + 3610 001001002 Introdução à Ciência Eduardo Nicola F. Zagari 35 da Computação
    • Aritmética Binária – Multiplicação MUTIPLICANDO MULTIPLICADOR RESULTADO 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 4 ...................... 1 0 0 3 ...................... 0 1 1 x ------------- 100 100 + -------------- 12 ................. 1 1 0 0 Introdução à Ciência Eduardo Nicola F. Zagari 36 da Computação
    • Aritmética Binária – Divisão DIVIDENDO DIVISOR QUOCIENTE 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 / 101 110010 101 - 101 1010 ____ 0010 1 - 10 1 ________ 0000 Introdução à Ciência Eduardo Nicola F. Zagari 37 da Computação
    • Complementos Resolver a desvantagem do desperdício de 1 bit para armazenamento do sinal Bit mais significativo é usado ao mesmo tempo para representação do sinal e de parte do número Introdução à Ciência Eduardo Nicola F. Zagari 38 da Computação
    • Complemento de 1 É o que falta para chegar ao valor máximo da cadeia de bits Ex.: Complemento de 0101 é o que falta para chegar a 1111. Basta subtrair de 1111 1111 0101 0101 – pois 1010 + 1010 1111 Introdução à Ciência Eduardo Nicola F. Zagari 39 da Computação
    • Complemento de 1 Para simplificar, basta inverter os bits: 0101 0 1 1 0 1010 Complemento de 1 Mas apresenta problemas para a (dupla) representação do zero (0000 e 1111) e na soma de 2 números negativos Introdução à Ciência Eduardo Nicola F. Zagari 40 da Computação
    • Complemento de 2 Calcular o complemento de 1 Somar 1 Ex.: 0101 Complemento de 1 = 1010 1+ 1011 - 5 em complemento de 2 Introdução à Ciência Eduardo Nicola F. Zagari 41 da Computação
    • Complemento de 2 Elimina a necessidade de subtrações Bit carry deve ser desprezado 7110 010001112 3510 – 110111012 + 3610 1 001001002 = 3610 Quando o resultado é negativo, o que se obtém é seu complemento de 2: 3510 001000112 7110 – 101110012 + -3610 1110111002 = DC16 Introdução à Ciência Eduardo Nicola F. Zagari 42 da Computação
    • Soma usando Complemento de 2 Ex.: 4 bits faixa de –8 a +7 +1+1 +1 +2 0010 -3 1101 +3 0011 -4 1100 +5 0101 -7 11001 OK +1 +1 +4 0100 -5 1011 +5 0101 -6 1010 +9 1001 -11 11001 OVERFLOW Introdução à Ciência Eduardo Nicola F. Zagari 43 da Computação
    • Caracteres Armazenamento e transmissão de info textuais Definição de códigos em que combinações de bits representam letras, algarismos usados em textos, pontuação, etc. caracter Introdução à Ciência Eduardo Nicola F. Zagari 44 da Computação
    • Códigos de Caracteres Decimais Conversão de binário-decimal de números decimais no formato texto: BCD: Binary Coded Decimal Representado pelo seu equivalente de 4 bits EBCDIC: Extended BCD Interchange Code Igual ao BCD + 4 bits (campo zonado) que não são usados para dados numéricos ASCII: Princípio igual ao do EBCDIC Introdução à Ciência Eduardo Nicola F. Zagari 45 da Computação
    • Códigos de Caracteres Decimais Excesso-3: Igual ao BCD mais 0011 (3) 2-entre-5: Cada dígito decimal é representado por uma seqüência de 5 bits contendo dois 1`s e três 0`s. Introdução à Ciência Eduardo Nicola F. Zagari 46 da Computação
    • Códigos de Caracteres Decimais Dígito CÓDIGO DECIMAL Decimal BCD EBCDIC ASCII Excesso-3 2-entre-5 0 0000 11110000 00110000 0011 11000 1 0001 11110001 00110001 0100 00011 2 0010 11110010 00110010 0101 00101 3 0011 11110011 00110011 0110 00110 4 0100 11110100 00110100 0111 01001 5 0101 11110101 00110101 1000 01010 6 0110 11110110 00110110 1001 01100 7 0111 11110111 00110111 1010 10001 8 1000 11111000 00111000 1011 10010 9 1001 11111001 00111001 1100 10100 Introdução à Ciência Eduardo Nicola F. Zagari 47 da Computação
    • Paridade Paridade de um caractere é um bit extra usado para detecção de erro simples (como no caso do código 2- entre-5). Paridade par: número de 1`s do caractere é par bit de paridade par = 0 Paridade ímpar: número de 1`s do caractere é par bit de paridade ímpar = 1 Introdução à Ciência Eduardo Nicola F. Zagari 48 da Computação
    • Introdução à Ciência Eduardo Nicola F. Zagari 49 da Computação