Sistemas fluidomecânicos
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    Sistemas fluidomecânicos Sistemas fluidomecânicos Document Transcript

    • Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul - PUCRS Faculdade de Engenharia - FENG Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica Prof. Jorge A. Villar Alé Março - 2010
    • Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul - PUCRS Faculdade de Engenharia - FENG Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica Prof. Jorge A. Villar Alé Março - 2010
    • Sistemas Fluidomecânicos Sumário Nesta apostila são abordados os principais conteúdos de Bombas e Sistemas deBombeamento. O material é uma recopilação das aulas dadas no Departamento de EngenhariaMecânica e Mecatrônica da Faculdade de Engenharia da PUCRS. Especificamente as disciplinas deMáquinas de Fluxo, do curso de Engenharia Mecânica, e de Sistemas Fluidomecânicos, do curso deEngenharia de Controle e Automação, utilizam este material. Nas aulas são abordados os conteúdose fornecidas adicionalmente listas de exercícios resolvidos e propostos, complementando assim oconteúdo da apostila. O material que aborda o estudo de máquinas axiais e sistemas de ventilaçãoindustrial é fornecido adicionalmente. O Cap.1 apresenta uma introdução às máquinas de fluxo. No Cap.2 é apresentada a equaçãogeral de turbomáquinas aplicada a bombas centrífugas incluindo o estudo da influência do númerode pás e sua espessura assim como o efeito do ângulo de curvatura das pás são estudadas. No Cap.3são apresentadas as curvas características de bombas relacionado a energia absorvida pelasmáquinas e a energia cedida pelo rotor ao fluido. Potência e rendimentos são apresentados assimcomo os tipos de conexão em serie e em paralelo das bombas e seu efeito. No Cap.4 são abordadasas leis de similaridade e coeficientes adimensionais de máquinas de fluxo assim como os conceitosde rotação específica. No Cap. 5 abordam-se conceitos relativos a curvas operacionais de sistemasde bombeamento assim como estratégias de controle para regulação da vazão. A energia transferidanos sistemas de bombeamento é estudada no Cap.8. Dimensionamento de sistemas debombeamento e importância da perda de carga nestes sistemas é visto no Cap.9. Finalmente ofenômeno de cavitação em sistemas de bombeamento é discutido no Cap.9. O material tambéminclui um anexo com propriedades dos fluidos e outras informações complementares para facilitaras atividades de aprendizado. Na metodologia de ensino das disciplinas lecionadas com o presente material, os alunosdevem realizar uma leitura prévia e reconhecimento das equações utilizadas nos capítulos, de talforma que o professor possa esclarecer as dúvidas e realizar exercícios para explicar os conteúdos. A primeira versão desta apostila foi lançada em 2001, modificada posteriormente em agostode 2003 e sendo lançada em 2010 esta nova versão. Os capítulos foram re-estruturados. Cadacapítulo teve uma nova formatação, novas figuras e exercícios resolvidos foram incluídos. Forampreparadas listas adicionais de exercícios seguindo a estrutura de esta nova versão. Esperamos queeventuais erros possam ser detectados no andamento das aulas com a finalidade de realizar ascorreções e modificações que forem necessárias para aperfeiçoar o presente material. Porto Alegre, março 2010Prof. Jorge Villar Alévillar@ee.pucrs.brLaboratório de Sistemas Fluidomecânicos – LSFMCentro de Energia Eólicawww.pucrs.br/ce-eolica I
    • Sistemas Fluidomecânicos Sumário II
    • Sistemas Fluidomecânicos Sumário SISTEMAS FLUIDOMECÂNICOS Sistemas de Bombeamento SUMÁRIOCapítulo 1 - Introdução às Máquinas de FluxoCapítulo 2 – Teoria de Bombas CentrifugasCapítulo 3 – Curvas Características e Associação de Bombas Serie ParaleloCapítulo 4 – Coeficiente Adimensionais e Leis de SemelhançaCapítulo 5 – Curvas Operacionais de Sistemas de BombeamentoCapítulo 6 - Sistemas de BombeamentoCapítulo 7 - Perda de Carga em Sistemas de BombeamentoCapítulo 8 – CavitaçãoREFERENCIAS BIBLIOGRÁFICASANEXOS – TABELAS E PROPRIEDADES DOS FLUIDOS III
    • Sistemas Fluidomecânicos Sumário Capítulo 1 - Introdução às Máquinas de FluxoCap.1 Introdução às Máquinas de FluxoItem Conteúdo Pag. Introdução 31. Máquinas de Fluxo 41.1 Máquinas Motrizes 51.2 Máquinas Geratrizes ou Operatrizes 51.3 Ventiladores e Compressores 61.4 Turbinas 71.4.1 Turbinas de Impulsão (Turbinas Pelton, Turbinas Turgo) 71.4.2 Turbinas de Reação (Francis, Kaplan,) 81.4.3 Turbinas Segundo a Direção do Escoamento 81.4.4 Turbinas a Vapor e Turbinas a Gás 91.5 Bombas Hidráulicas 91.6 Bombas Volumétricas 101.6.1 Bombas de Deslocamento Positivo 101.6.2 Bombas Rotativas 101.7 Turbobombas 111.7.1 Bombas Centrífugas 121.7.2 Bombas Axiais 13 IV
    • Sistemas Fluidomecânicos Sumário Capítulo 2 – Teoria de Bombas CentrifugasCap.2 Teoria de Bombas Centrífugas Item Conteúdo Pag.2.1 Introdução 32.2 Equação do Momento da Quantidade para Turbomáquinas (Axial - Radial ) 42.2.1 Simplificações 42.3 Potência e Energia Específica 72.4 Equação de Euler 72.5 Aplicação das Equações para Bombas Centrífugas 82.6 Polígono de Velocidades num Rotor de Bomba Centrífuga 92.6.1 Caso Simplificado - Fluido entrando no Rotor Radialmente 122.7 Parcelas de Energia na Equação de Euler para Turbomáquinas 132.8 Relação da Equação de Euler e a Equação de Energia 142.9 Grau de Reação 152.10 Influência da Curvatura das Pás 16 Caso 1 - Pás Voltadas para Trás 17 Caso 2 - Pás Radiais na Saída 18 Caso 3 - Pás Voltadas para Frente 18 Resumo Gráfico dos Resultados. 19 Recomendações para Ângulo das Pás 192.11 Efeito da Curvatura das Pás na Altura Teórica de Elevação (Ht-Q) 202.12 Efeito da Curvatura da Pás na Curva de Potência (P - Q) 22 Resumo das curvas H-Q e P-Q 232.13 Representação da Curva Carasterístistica Teórica 242.14 Importância do Número Finito de Pás 25 Escoamento com Número Finito de Pás 25 Desvio da Velocidade Relativa 26 Dependência do Número de Pás 262.15 Altura Teórica para Número Finito de Pás 27 Fator de Correção do número finito de pás 272.16 Influencia da Espessura das Pás no Polígono de Velocidades 28 Análise na entrada do canal das pás 28 Análise na saída do canal das pás: 292.17 POLIGONO DE VELOCIDADES - FORMULARIO EXEMPLO 312.18 Exemplos Resolvidos 33 V
    • Sistemas Fluidomecânicos Sumário Capítulo 3 – Curvas Características e Associação de Bombas Serie ParaleloCap.3 Curvas Características e Associação de Bombas Série e em Paralelo Item Conteúdo Pag.3.1 Fluxo de Energia e Rendimentos 33.2 Rendimentos 3 Rendimento Mecânico 3 Rendimento Hidráulico Rendimento Volumétrico Rendimento Total ou Global Potência de acionamento3.3 Curvas Reais de Altura - Vazão (H-Q) 53.4 Curvas Reais de Altura - Vazão (H-Q) 63.5 Curvas Características de Bombas Centrífugas 63.6 Efeito do Tipo de Pás nas Curvas Reais (H-Q) e (P-Q) 73.7 Ponto de Operação das Bombas 83.8 Outras Representações de Curvas Características 93.9 Identificação Variáveis nas Curvas Características. 103.10 Equações Especificas Para Corte de Rotores 123.10.1 Determinação do Diâmetro de Corte de Uma Bomba Centrífuga 133.10.2 Método Gráfico para Determinar novo Diâmetro 153.10.3 Correção do Diâmetro de corte Método de Stepanoff 163.10.4 Exemplo para Determinar Diâmetro de Corte – Método Gráfico. 173.11 Associação de Bombas em Série 193.11.1 Curva característica de bombas em serie 203.11.2 Rendimento de duas bombas em série 213.12 Associação de Bombas em Paralelo 223.12.1 Curva Característica de Bombas em Paralelo: 233.12.2 Rendimento de Duas Bombas em Paralelo 243.13 Exemplo – Bombas Conexão em Serie e em Paralelo 253.14 Exemplo - Conexão Paralelo 263.15 Exemplo - Conexão Série 273.16 Outros Exemplos 283.17 Atividade de Aprendizado - 1 – Proposta 293.18 Atividade de Aprendizado – 2 - Resolvida 303.19 Problemas Propostos 34 VI
    • Sistemas Fluidomecânicos Sumário Capítulo 4 – Coeficiente Adimensionais e Leis de SemelhançaCap.4 Coeficientes Adimensionais e Leis de Similaridade Item Conteúdo Pag.4.1 Coeficientes Adimensionais 34.1.1 Número de Reynolds 44.1.2 Número de Mach 44.1.3 Rugosidade Relativa 54.1.4 Coeficiente de Pressão ou Altura Específica 54.1.5 Coeficiente de vazão ou Capacidade Especifica 54.1.6 Coeficiente de Potência 54.2 Efeitos de Escala 84.2.1 Efeito do Número de Reynolds 84.2.2 Efeito do Número de Mach 84.2.3 Efeito da Rugosidade Relativa 84.2.4 Efeito de Espessura 84.3 Leis de Similaridade 94.3.1 Leis de Similaridade para Duas Máquinas Semelhantes 94.4 Utilizando as Leis de Similaridade 104.5 Modificação do Tamanho da Bomba 124.6 Curva Característica de Bomba Variando a Rotação: 134.7 Rendimento Global Variando a Rotação 144.8 Determinação da Rotação Especifica 144.9 Rotação Específica Característica - nq 154.10 Número Específico de Rotações por Minuto 174.10.1 Relação entre ns - nq 174.11 Velocidade Específica em Bombas de Múltiplos Estágios 184.11.1 Bombas com entradas bilaterais (Rotor Geminado) 184.11.2 Bombas com vários estágios e entrada bilateral 184.11.3 Rotação Específica - Unidades Americanas 184.11.4 Número Específico de RPM em Função da Potência 194.11.5 Outras Relações 194.11.6 Relação entre Coeficiente de Pressão e Número Específico de Rotações 204.12 Exemplos Resolvidos 204.13 Atividade de Aprendizado 27 o4.14 Atividade Proposta N 1 31 o4.15 Atividade Proposta N 2 32 VII
    • Sistemas Fluidomecânicos Sumário Capítulo 5 – Curvas Operacionais de Sistemas de BombeamentoCap.5 Curvas Operacionais De Sistemas de BombeamentoItem Conteúdo Pag.5.1 Curvas Características de Sistemas de Bombeamento 35.1.1 Sistema com Altura Estática Nula 45.1.2 Sistema com Altura Perda de Carga Nula 45.1.3 Sistema com Altura Estática Positiva 55.1.4 . Sistema com Altura Estática Negativa 55.1.5. Sistema com Baixa Perda de Carga 65.2 Controle de Desempenho das Bombas. 75.2.1 Controle do Sistema por Regulação ou Estrangulamento de Válvula 85.2.2 Controle de Sistema de Utilização de uma Linha de Recirculação (Bypass) 95.2.3 Controle de Sistema por Ajuste da Rotação 105.2.4 Controle de Sistema por Mudança no Diâmetro do Rotor 125.2.5 Controle por Ajuste do Angulo de Passo das Pás 145.2.6 Comparativos de Estratégias de Controle da Vazão 155.2.7 Operaçao de Sistemas com Bombas em Paralelo 175.3 Parametrização de Curvas Características de Bombas Centrífugas 195.3.1 Equação Característica Real de Bombas Centrífugas 195.3.2 Perdas Hidráulicas nas Bombas 205.4 Método para Parametrização das Curvas de Bombas 215.5 Exemplo do Procedimento 225.6 Equações Complementares 27 VIII
    • Sistemas Fluidomecânicos Sumário Capítulo 6 - Sistemas de BombeamentoCap.6 Sistemas de Bombeamento Item Conteúdo Pag. 6.1 Equação da Energia: Sistemas de Fluidomecânicos 4 6.1.1 Potência Adicionada ou Absorvida por Dispositivos Mecânicos 5 6.2 Equacionamento dos Sistemas de Bombeamento 6 6.3 Definição de Alturas Estáticas 7 6.4 Alturas Totais ou Dinâmicas 8 6.4.1 Altura Total de Aspiração ou Manométrica de Aspiração - Ha 8 6.4.2 Altura Total de Recalque ou Manométrica de Recalque – Hr 9 6.5 Altura Manométrica 10 6.5.1 Bomba Acima do Nível do Reservatório de Aspiração 12 6.5.2 Bomba Abaixo do Nível do Reservatório de Aspiração - Afogada 12 6.5.3 Altura Útil de Elevação 13 6.5.4 Leitura Instrumental da Altura Manométrica em Bombas 13 6.6 Principais Elementos de um Sistema de Bombeamento 15 6.7 Resumo das Principias Equações nos Sistemas de Bombeamento 16 6.8 Curva Característica dos Sistemas de Bombeamento 17 6.8.1 Leitura Instrumental da Altura Manométrica em Bombas 18 Exemplo de Curva Característica de Bomba e Curva Característica do 6.8.2 Sistema 19 6.9 Exemplos Resolvidos 20 6.10 Atividade de Aprendizado 25 6.11 Folha Modelo para Dimensionamento de Sistemas de Bombeamento 26 6.12 Exemplo de Resultados 27 IX
    • Sistemas Fluidomecânicos Sumário Capítulo 7 - Perda de Carga em Sistemas de Bombeamento Cap. 7 Perda de Carga em Sistemas de Bombeamento Item Conteúdo pag7.1 Perda de Pressão no Escoamento em Tubulações 37.2 Perda de Carga Total 37.3 Perda de por Tubulações 47.4 Diagrama de Moody 57.5 Método para Determinar a Perda de Carga Secundaria 87.5.1 Método do comprimento equivalente 87.5.2 Método do coeficiente de perda de carga 97.6 Perda de Carga nos Sistemas de Bombeamento 107.7 Resumo das Principias Equações nos Sistemas de Bombeamento 117.8 Velocidades Típicas nos Sistemas de Bombeamento 127.9 Exemplos Resolvidos de Sistemas de Bombeamento. 137.10 Dimensionamento de Sistema de Bombeamento 15 Capítulo 8 – CavitaçãoCap. 8 Conceitos de CavitaçãoItem Conteúdo Pag. Introdução 38.1 Determinação do NPSH (Net Positive Suction Head) Disponível 58.1.1 Caso Geral de (NPSH) Disponível 78.1.2 Casos Específicos de Sistemas para Determinar o NPSH Disponível 88.2 Altura Positiva Líquida de Sucção (NPSH) Requerida pela Bomba 98.3 Limite da Altura Estática de Aspiração 108.4 Determinação do Fator de Cavitação ou Fator de Thoma 118.4.1 Velocidade Específica de Aspiração 118.4.2 Margem prática de segurança 128.5 Exemplos de Cavitação 13 X
    • Capítulo 1: Introdução às Máquinas de Fluxo Introdução às Máquinas de FluxoPUCRS – FENG - 2010 1-1
    • Sistemas Fluidomecânicos Introdução às Máquinas de Fluxo SUMÁRIOINTRODUÇÃO .............................................................................................................................................. 31. MÁQUINAS DE FLUXO...................................................................................................................... 4 1.1 MÁQUINAS MOTRIZES ............................................................................................................................ 5 1.2 MÁQUINAS GERATRIZES OU OPERATRIZES ............................................................................................ 5 1.3 VENTILADORES E COMPRESSORES ......................................................................................................... 6 1.4 TURBINAS ............................................................................................................................................. 7 1.4.1 Turbinas de Impulsão (Turbinas Pelton, Turbinas Turgo) ........................................................... 7 1.4.2 Turbinas de Reação (Francis, Kaplan,) ....................................................................................... 8 1.4.3 Turbinas Segundo a Direção do Escoamento ............................................................................. 8 1.4.4 Turbinas a Vapor e Turbinas a Gás............................................................................................. 9 1.5 BOMBAS HIDRÁULICAS ........................................................................................................................... 9 1.6 BOMBAS VOLUMÉTRICAS ..................................................................................................................... 10 1.6.1 Bombas de Deslocamento Positivo ........................................................................................... 10 1.6.2 Bombas Rotativas ...................................................................................................................... 10 1.7 TURBOBOMBAS.................................................................................................................................... 11 1.7.1 Bombas Centrífugas ................................................................................................................. 12 1.7.2 Bombas Axiais .......................................................................................................................... 131-2 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Capítulo 1: Introdução às Máquinas de FluxoIntrodução Na indústria existe uma série de sistemas e equipamentos que utilizam máquinas para movimentaçãoe transporte de fluidos. Todos estes processos estão relacionados com a energia e seus processos detransformação. A energia contida nos fluidos em movimento pode ser utilizada para acionamento demáquinas de fluxo denominadas turbinas. A energia elétrica gerada pelas turbinas pode ser utilizada paraacionamento de motores elétricos, os quais podem acionar bombas, ventiladores, compressores paramovimentação e transporte de fluidos com diferentes finalidades, segundo o processo industrial em queesteja inserido. As turbinas hidráulicas recebem energia do fluido (água) que transformada em energia mecânicapossibilita sua transformação final em energia elétrica. As turbinas eólicas recebem energia dos ventos quepode ser transformada em energia mecânica. As turbinas a vapor são máquinas movimentadas pela elevadaenergia cinética de vapores em processos de expansão as quais possibilitam o acionamento de geradoreselétricos, bombas, compressores, ventiladores. As bombas e ventiladores são máquinas que recebem trabalhomecânico através de motores e possibilitam transportar líquidos (bombas) e gases (ventiladores) vencendodesníveis energéticos. Os compressores são utilizados em processo frigoríficos ou em instalações com gasesou ar comprimido para acionamento de máquinas e ferramentas pneumáticas. Trabalham com gases compressões superiores às utilizadas em ventiladores, levando em consideração as mudanças significativas davariação da massa específica pelas mudanças de temperatura e pressão. Um curso de sistemas fluidomecânicos possibilita o estudo das equações que governam omovimento das turbomáquinas como turbinas, bombas, ventiladores e compressores. A equação do momentoda quantidade de movimento permite determinar a energia obtida ou recebida pelas máquinas; o estudo dasleis de semelhança permitem avaliar o funcionamento das turbomáquinas em diferentes condições deoperação. O estudo da dissipação de energia no escoamento nas máquinas de fluxo leva o aluno a reconheceras diferentes perdas hidráulicas, volumétricas, mecânicas que devem ser levadas em conta para se ter umanoção da eficiência de tais máquinas. Com toda esta informação o aluno estará capacitado para selecionar otipo de máquina mais apropriada em diferentes processos industriais, assim como avaliar a potênciarequerida de tais máquinas e realizar uma interpretação gráfica das curvas características verificando o pontode operação entre as máquinas de fluxo e os sistemas onde estão inseridas. O presente capítulo apresenta uma revisão das principais máquinas de fluxo, e pela complexidade doassunto e pela extensão do tema apresenta basicamente uma classificação geral, os princípios defuncionamento e as aplicações deste tipo de máquinas. Para aprofundar o tema específico de alguma famíliaou tipo de máquina de fluxo o leitor deverá pesquisar a bibliografia consultada ou bibliografia maisespecializada.PUCRS – FENG - 2010 1-3
    • Sistemas Fluidomecânicos1. Máquinas de Fluxo As máquinas de fluxo são utilizadas para adicionar ou retirar energia de um fluido. Podem serdinâmicas (turbomáquinas) ou volumétricas. Nas dinâmicas o aumento da pressão do fluido é contínua. Nasvolumétricas o aumento da pressão se produz reduzindo o volume do fluido confinado hermeticamente nacâmara de compressão. As máquinas volumétricas podem ser alternativas com descarga intermitente dofluido, ou rotativas com descarga continua do fluido. Já as máquinas dinâmicas podem ser classificadassegundo a trajetória percorrida pelo fluido ao passar pelo rotor como radial, axial ou mista. Na Fig.1.1apresenta-se uma classificação de máquinas de fluxo. Máquinas de Fluxo Volumétricas Turbomáquinas Alternativas Rotativas Bombas Ventiladores Turbinas Pistão Parafuso Centrífugas Centrífugas Hidráulicas Diafragma Palhetas Axiais Axiais Vapor Lóbulos Mistas Mistas Gás Engrenagens Eólicas Figura 1.1 Esquema dos tipos de máquinas de fluxoAs turbomáquinas direcionam o escoamento através de lâminas, aletas ou pás solidárias ao rotor.• Numa turbomáquina o fluido nunca permanece confinado no interior da máquina, esta sempre circulando.• Numa máquina volumétrica o fluido permanece periodicamente confinado no interior da máquina.• Todas as interações de trabalho entre fluido-rotor de uma turbomáquina resultam dos efeitos dinâmicos do rotor sobre a corrente de fluido.• As turbomáquinas podem ser máquinas motrizes (ex: turbinas) ou geratrizes (ex: bombas)As turbomáquinas apresentam os seguintes componentes básicos.• Boca de entrada (Bombas: boca de aspiração ou de sucção)• Rotor Impulso ou Impelidor• Fileira de pás, lâminas, álabes solidárias ao rotor.• Corpo, voluta ou coletor em caracol• Boca de saída (Bombas: boca de recalque ou de descarga) Tabela 1.1 Máquinas de Fluxo Designação Fluido de trabalho Turbina hidráulica e bomba centrífuga Líquido Ventilador, turbocompressor Gás (neutro) Turbina a vapor, turbocompressor frigorífico Vapor (água, freon, etc) Turbina a gás, motor de reação Gás de combustão Tabela 1.2. Máquinas de Deslocamento Designação Fluido de trabalho Bombas (alternativa, engrenagens, parafuso) Líquido Compressor (alternativo, rotativo) Gás (neutro) Compressor (alternativo, rotativo) Vapor (freon, amônia) Motor alternativo de pistão Gás de combustão1-4 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Capítulo 1: Introdução às Máquinas de Fluxo1.1 Máquinas Motrizes Transformam a energia recebida por um fluido em energia mecânica para um aproveitamentoposterior, como por exemplo, na geração de energia elétrica.Tabela 1.3 Quadro resumo dos tipos de máquinas motrizes Máquinas Motrizes Característica Exemplos Turbinas hidráulicas • Transformam a energia hidráulica em • Turbinas Francis, Propeller, trabalho mecânico. Kaplan, Dériaz • A energia potencial se obtém por um desnível • Rodas hidráulicas ou rodas de natural ou por embalse. água. • Utilizadas para gerar energia elétrica. Turbinas a vapor • Transformam a energia recebida por um • Turbinas a vapor. vapor em trabalho mecânico. • Turbinas a gás. • Utilizadas para gerar energia elétrica. • Máquinas a vapor de descolamento positivo. Turbinas eólicas • Transforma a energia cinética dos ventos • Turbinas eólicas (eólica) em trabalho mecânico. • Turbinas Darreius • Utilizadas para gerar energia elétrica. • Turbinas Savonius.1.2 Máquinas Geratrizes ou Operatrizes Recebem trabalho mecânico, fornecido por uma máquina motriz (motor elétrico, diesel) e otransformam em energia de pressão.Tabela 1.4 Quadro resumo dos tipos de máquinas operatrizesMáquinas Operatrizes Característica ClassificaçãoBombas Hidráulicas • Bombas são máquinas utilizadas para transporte Turbobombas de líquidos vencendo a resistências de tubulações • Centrífugas e acessórios. • Helicocentrífugas • Axiais • Bombas de deslocamento positivo • Alternativos • Altas pressões • RotativosVentiladores • Fluido incompressível com gases a baixas Turboventiladores pressões. • Geralmente o fluido utilizado é ar. • Centrífugos • Transportam o gás por tubulações vencendo as • Helicocentrífugos resistências de dutos e elementos da instalação. • Axiais • Utilizados em sistemas de exaustão ou em sistemas diluidores. • Para compressões superiores a 2,5 atm se utilizam os turbocompressores.Compressores • Trabalha com gases compressíveis a altas Turbocompressores pressões e temperaturas • Centrífugos • Elevam a pressão de uma gás desde 1,0 atm até • Helicocentrífugos milhares de atmosferas. • Axiais • Compressores de deslocamento positivo • Alternativos • RotativosPUCRS – FENG - 2010 1-5
    • Sistemas FluidomecânicosTabela 1.5 Comparação entre máquinas de Fluxo e de Deslocamento Máquinas de fluxo Máquinas de deslocamento • Alta rotação • Baixas e médias rotações • Potência específica elevada (potência/peso) • Potência específica média p/ baixa (potência/peso) • Não há dispositivos com movimento alternativo • Várias têm dispositivos com movimento alternativo • Médias e baixas pressões de trabalho • Altas e muito altas pressões de trabalho • Não operam eficientemente com fluidos de • Adequadas para operar com fluidos de viscosidade elevada viscosidade elevada • Vazão contínua • Na maior parte dos casos vazão intermitente • Energia cinética surge no processo de • Energia cinética não tem papel significativo no processo de transformação de energia transformação de energia • Na maioria dos casos, projeto hidrodinâmico e • Na maioria dos casos, projeto hidrodinâmico e características construtivas mais complexas que características construtivas mais simples que as máquinas as máquinas de deslocamento. de fluxo.1.3 Ventiladores e Compressores Os ventiladores e compressores são máquinas muito semelhantes já que trabalham com gases,contudo, os ventiladores são utilizados para movimentar gases enquanto que os compressores são utilizadospara aumentar a pressão dos gases. Os compressores causam uma variação significativa da massa específicado gás. Os ventiladores são utilizados para ventilação residencial e industrial, sistemas de exaustão einsuflamento de ar e sistemas de climatização. Os compressores são utilizados para aplicações de arcomprimido acionando equipamentos a pressão de ar como transporte pneumático, acionadores de êmbolo.Também são utilizados em equipamentos de jato de ar como resfriadores ou aquecedores, jateamento deareia, equipamentos e máquinas de percussão como martelos de ar comprimido, ou também paraacionamento de máquinas ferramentas fixas e portáteis como furadeiras, aparafusadeiras. Os compressores eos ventiladores podem ser máquinas dinâmicas ou volumétricas. Entre as máquinas dinâmicas podem terrotores centrífugos, axiais ou mistos. Os compressores volumétricos podem ser de êmbolo onde omovimento linear do pistão é produzido por um sistema biela-manivela. Também os compressores podem serrotativos como os de palhetas, lóbulos e de parafuso. Figura 1.2 Ventiladores (a) centrífugo e (b) axial1-6 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Capítulo 1: Introdução às Máquinas de Fluxo1.4 Turbinas As turbinas são máquinas que extraem energia de uma corrente de fluido. O conjunto de lâminasintegrantes do eixo da turbina é chamado de roda ou rotor. São utilizadas para acionar sistemas mecânicos oupara acionar geradores de energia elétrica. Segundo o fluido de trabalho podem ser turbinas hidráulicas(água), turbinas eólicas (ar) ou turbinas a vapor e a gás. Na Fig. 1.3. mostra-se turbinas eólicas de eixovertical e de eixo horizontal. O escoamento pode ser compressível como no caso das turbinas a vapor e gásou incompressível como no caso das turbinas eólicas e turbinas hidráulicas. Podem ter rotores axiais,centrífugos ou helicocentrífugos. . (b) (c) (a) Figura 1.3 Turbina eólicas de eixo vertical (a) e de eixo horizontal (b).1.4.1 Turbinas de Impulsão (Turbinas Pelton, Turbinas Turgo) Transformam toda a energia disponível do escoamento em energia cinética à pressão atmosféricapor meio de um bocal.• São acionadas por um o mais jatos livres de alta velocidade.• A velocidade e a pressão se mantém praticamente constante quando atravessam as pás do rotor.• A expansão do fluido de alta para baixa pressão ocorre em bocais externos ao rotor da turbina.• O rotor trabalha parcialmente submerso no fluido.• As turbinas Pelton (Fig. 1.4) possuem um distribuidor e um receptor. O distribuidor é um bocal que permite guiar o jato de água, proporcionando um jato cilíndrico sobre a pá. O rotor é formado por pás com forma de concha. As turbinas Pelton podem ter um ou vários jatos. Figura 1.4 Turbina hidráulica PeltonPUCRS – FENG - 2010 1-7
    • Sistemas Fluidomecânicos1.4.2 Turbinas de Reação (Francis, Kaplan,)• Nas turbinas de reação parte da expansão do fluido ocorre externamente e parte na superfície das pás.• A aceleração externa é imposta e o fluido é conduzido para o rotor na direção adequada através de um conjunto de pás estacionárias chamadas aletas guias do distribuidor.• A combinação do conjunto de pás fixas do distribuidor e das móveis do rotor é chamado de um estágio da turbina.• Os rotores trabalham totalmente submersos no fluido produzindo maior potência para um dado volume do que as turbinas de impulsão.• As turbinas hidráulicas axiais ou de hélice são apropriadas para baixas quedas (da ordem de 30m) e grandes descargas. O receptor tem forma de hélice de propulsão com pás perfiladas aerodinamicamente.• As turbinas Kaplan (Fig.1.5) são semelhantes às turbinas de hélice que apresentam a possibilidade de variar o passo das pás de acordo com a descarga, permitindo maiores rendimentos. Figura 1.5 Turbina hidráulica Kaplan• Nas turbinas Francis (Fig. 1.6) o receptor fica internamente ao distribuidor. Seu rotor é tipo radial de fluxo misto. Possuem um difusor ou tubo de aspiração. As turbinas Francis possuem um distribuidor constituído por um conjunto de pás móveis em volta do receptor, orientadas por sistema de controle permitindo mudar o ângulo para diferentes descargas para minimizar as perdas. Podem trabalhar com alturas de 5m a 500m. Figura 1.6 Turbina hidráulica Francis1.4.3 Turbinas Segundo a Direção do Escoamento As turbinas podem ser também classificadas segundo a direção do escoamento através do rotor: Turbinas radial (Centrífugas) Turbinas axiais (Hélice, Kaplan, Straflo, tubular, bulbo), Turbinas tangenciais (Pelton, Michell, Banki) Turbinas com escoamento misto ou diagonal (Francis, Deriaz).1-8 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Capítulo 1: Introdução às Máquinas de Fluxo1.4.4 Turbinas a Vapor e Turbinas a Gás As turbinas a vapor aproveitam a energia do vapor saturado ou sobreaquecido a altas pressões. Oescoamento é compressível e desta forma a massa especifica do fluido de trabalho varia significativamente.A maioria é do tipo de fluxo axial. São empregadas nas termoeléctricas para acionamento de geradoreselétricos. Podem também ser utilizadas para propulsão de barcos ou para movimentar máquinas rotativas,bombas, compressores e ventiladores. Podem ser de impulsão ou de reação. Nas turbinas de impulsão ou deação o vapor é completamente expandido em um ou vários bocais fixos antes de atingir as pás do rotor. Nasturbinas de reação o vapor também se expande sendo a pressão do vapor na entrada do rotor maior que apressão na saída. As turbinas a gás são uma tecnologia mais recente das máquinas a vapor. Operam comgases a alta pressão produzidos numa câmara de combustão, a qual por sua vez é alimentada com arcomprimido. São de tamanho reduzido comparado com a potência gerada. Utilizadas na indústriaaeronáutica, em motores marinhos e trens de alta velocidade. Apresentam alto torque e são silenciosas.1.5 Bombas Hidráulicas Bombas são máquinas utilizadas para transporte de líquidos. São máquinas de fluxo semelhantes aosventiladores. A designação corrente no meio profissional discrimina bombas de ventiladores de acordo como fluido de trabalho. As bombas promovem o deslocamento de líquidos, os ventiladores propiciam amovimentação de gases, ambos transferindo energia a estes fluidos de trabalho. As turbinas hidráulicasretiram energia do fluido de trabalho. As bombas classificam-se como turbobombas e volumétricas. Turbobombas Radiais Axias e Mistas (centrífugas) Aspiração simples Rotor Aspiração dupla aberto fechado Rotor Pás aberto fixas semi-aberto variáveis fechado Bombas Volumétricas Alternativas Rotativas Pistão Diafragma Palhetas Lóbulos Engrenagem Parafuso Figura 1.7 Classificação de bombas hidráulicasPUCRS – FENG - 2010 1-9
    • Sistemas Fluidomecânicos1.6 Bombas Volumétricas1.6.1 Bombas de Deslocamento Positivo Estas bombas são empregadas para trabalhar com altas pressões. A descarga do fluido é pulsante. Noseu movimento o êmbolo se afasta do cabeçote provocando a aspiração do fluido através de uma válvula deadmissão. Na etapa de retorno o fluido é comprimido obrigando o fluido a sair pela válvula de descarga. Seufuncionamento é pulsante já que o fluido fica confinado no cilindro durante a aspiração. Estas bombaspodem ter um ou vários cilindros. A pulsação diminui conforme aumenta o número de cilindros.1.6.2 Bombas Rotativas Operam pela ação um rotor. Diferentemente das bombas de descolamento positivo estas nãoapresentam válvulas que permitam controlar o fluido na aspiração e na descarga. Podem trabalhar comlíquidos muito viscosos e com sólidos em suspensão. Conseguem atingir pressões muito elevadas até de3500 mca. Podem transportar fluidos tais como graxas, óleos vegetais e minerais, melaço, tintas e vernizes,argamassas e outros.( a ) Bomba de EngrenagemA Fig. 1.8 mostra o funcionamento típico de uma bomba de engrenagem. As rodas dentadas trabalham nointerior da carcaça com mínima folga. O fluido confinado é deslocado pelos dentes e forçado a sair pelatubulação de descarga. Para uma determinada rotação a descarga e a pressão são praticamente constantes. Figura 1.8 Bomba de Engrenagem( b ) Bombas de LóbulosAs bombas de lóbulos (Fig.1.9) são mais apropriadas para mover e comprimir gases, sendo utilizadas paramovimentar líquidos viscosos. Existe um lóbulo motor e outro livre montados ortogonalmente. A bolsa delíquido aprisionada na sução é conduzida até o recalque. Figura 1.9 Bombas de Lóbulos( c ) Bombas de PalhetasAs bombas de palhetas (Fig.1.10) deslizantes tem palhetas radiais (4 a 8) que pela ação centrífuga deslocam-se em direção a carcaça, sobre a qual deslizam. O rotor é montado excentricamente e sua velocidade élimitada a 300 rpm. para mover gases sendo utilizada também para bombeamento de líquidos. Figura 1.10 Bombas de Palhetas1-10 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Capítulo 1: Introdução às Máquinas de Fluxo1.7 Turbobombas Nestas máquinas o fluido é aspirado pela boca de entrada até atingir o rotor denominado impulsorou impelidor. O rotor conta com uma fileira de pás, lâminas, álabes, sendo envolvido por um corpodenominado voluta ou coletor em caracol. A voluta transforma a energia cinética adquirida pelo fluido aopassar pelo rotor em energia de pressão. O fluido abandona a bomba pela boca de saída denominada boca derecalque ou de descarga. Segundo o tipo de rotor podem ser radiais (bombas centrífugas) axiais (bombasaxiais) ou mistas (bombas hélico-centrífugas). O rotor pode ser de simples aspiração ou de aspiração dupla oqual permite aumentar a vazão fornecida. Para aumentar a pressão as turbobombas podem ter vários estágios.Os rotores podem ser fechados, abertos semi-abertos. Podem transportar fluidos limpos ou com partículas emsuspensão. Figura 1.11 Tipos bombas hidráulicas Figura 1.12 ( a ) Rotor de bomba centrífuga ( b ) Corte de Voluta ( c ) Corte rotor com dupla aspiração Figura 1.13 ( a ) Bomba centrífuga e ( b ) Bomba axialPUCRS – FENG - 2010 1-11
    • Sistemas Fluidomecânicos1.7.1 Bombas Centrífugas As bombas centrifugas são amplamente utilizadas na indústria de processos químicos. Apresentamcapacidade de 0,5 m3/h até 20.000 m3/h e trabalham com alturas manométricas entre 1,5 a 5000 mca (metrosde coluna de água). Caracterizam-se por ausência de pulsação em serviço contínuo. Apresentam um rotorcom pás montado em um eixo girando no interior da carcaça. O fluido chega ao centro do rotor através deuma boca de aspiração sendo forçado através de pás do rotor para a periferia onde atinge uma velocidadeelevada. Saindo da ponta das pás o líquido passa para a voluta onde ocorre a transformação da energiacinética em energia de pressão. Figura 1.14 Componentes de bombas centrífugas Figura 1.15 Detalhe de elementos de uma Bomba CentrífugaAs bombas centrífugas podem trabahar com água limpa, água do mar, condensados, óleos com pressões atéde 160 mca. e temperatura de até 1400C. Na indústria química e petroquímica podem ser utilizadas paratrabalhar com água até 3000C e pressões de até 250 mca. Bombas de processo podem operar comtemperaturas de até 4000C e pressões de até 450 mca. O material da carcaça depende do tipo de serviço. Paralíquidos com temperatura de até 2500C utiliza-se ferro fundido. Para óleos soluções e produtos químicoscom temperaturas de trabalha de até 4500C utiliza-se aço fundido. Para pressões elevadas (acima de 10 MPa)emprega-se aço forjado. Produtos químicos corrosivos requerem emprego de bronze, inox e em casosespeciais vidro ou materiais plásticos. O alumínio é utilizado para bombear formol. O eixo da bombacentrífuga é fabricado de aço ou liga de alta resistência mecânica. Utiliza-se aço SAE 1035, SAE 4414, eSAE 2340, e ligas contendo 11 a 13 % de cromo.1-12 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Capítulo 1: Introdução às Máquinas de Fluxo Os rotores das bombas centrífugas podem ser fechados ou abertos (Fig.1.16). Os rotores fechadostêm paredes laterais minimizando o vazamento entre a aspiração e descarga. São utilizados parabombeamento de líquidos limpos. O rotor semi-aberto é fechado só na parte traseira. Os rotores abertos nãoapresentam paredes laterais. Ambos são utilizados para bombear líquidos viscosos ou contendo sólidos emsuspensão. Os rotores de bombas são fundidos numa única peça, podendo ser de ferro fundido, bronze ouinox. Também são fabricados em material plástico ou borracha. Figura 1.16 Tipos de rotores de bombas centrífugas1.7.2 Bombas Axiais Os rotores axiais são utilizados para trabalhar com grandes vazões e pequenas alturas manométricas.Tipicamente 500 m3/h ou mais e alturas manométricas inferiores a 15mca. Operam com velocidade maioresque os radiais. Nos rotores de escoamento misto ou tipo turbina as pás tem curvatura dupla, (formahelicoidal) desta forma o escoamento é parcialmente axial e parcialmente radial. Operam com velocidadesmenores que os axiais. Trabalham tipicamente com capacidade acima de 20m3/h e altura manométrica até 30mca. Figura 1.17 Rotor de bomba axial e detalhe em corte de bomba axialPUCRS – FENG - 2010 1-13
    • Sistemas Fluidomecânicos Capítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas Teoria de Bombas CentrífugasPUCRS – FENG - 2010 2-1
    • Sistemas Fluidomecânicos Teoria de Bombas Centrífugas SUMÁRIO 2.1 INTRODUÇÃO ......................................................................................................................................... 3 2.2 EQUAÇÃO DO MOMENTO DA QUANTIDADE PARA TURBOMÁQUINAS (AXIAL - RADIAL )................................. 4 2.2.1 Simplificações.................................................................................................................................... 4 2.3 POTÊNCIA E ENERGIA ESPECÍFICA ......................................................................................................... 7 2.4 EQUAÇÃO DE EULER .............................................................................................................................. 7 2.5 APLICAÇÃO DAS EQUAÇÕES PARA BOMBAS CENTRÍFUGAS ...................................................................... 8 2.6 POLÍGONO DE VELOCIDADES NUM ROTOR DE BOMBA CENTRÍFUGA ......................................................... 9 3.6.1 Caso Simplificado - Fluido entrando no Rotor Radialmente...................................................... 12 2.7 PARCELAS DE ENERGIA NA EQUAÇÃO DE EULER PARA TURBOMÁQUINAS ............................................... 13 2.8 RELAÇÃO DA EQUAÇÃO DE EULER E A EQUAÇÃO DE ENERGIA .............................................................. 14 2.9 GRAU DE REAÇÃO ............................................................................................................................... 15 2.10 INFLUÊNCIA DA CURVATURA DAS PÁS ................................................................................................... 16 CASO 1 - PÁS VOLTADAS PARA TRÁS .............................................................................................................. 17 CASO 2 - PÁS RADIAIS NA SAÍDA ..................................................................................................................... 18 CASO 3 - PÁS VOLTADAS PARA FRENTE.......................................................................................................... 18 RESUMO GRÁFICO DOS RESULTADOS. ............................................................................................................ 19 RECOMENDAÇÕES PARA ÂNGULO DAS PÁS ...................................................................................................... 19 2.11 EFEITO DA CURVATURA DAS PÁS NA ALTURA TEÓRICA DE ELEVAÇÃO (HT-Q) ......................................... 20 2.12 EFEITO DA CURVATURA DA PÁS NA CURVA DE POTÊNCIA (P - Q) ........................................................... 22 RESUMO DAS CURVAS H-Q E P-Q ................................................................................................................. 23 2.13 REPRESENTAÇÃO DA CURVA CARASTERÍSTISTICA TEÓRICA................................................................... 24 2.14 IMPORTÂNCIA DO NÚMERO FINITO DE PÁS ............................................................................................ 25 Escoamento com Número Finito de Pás.................................................................................................. 25 Desvio da Velocidade Relativa................................................................................................................. 26 Dependência do Número de Pás ............................................................................................................. 26 2.15 ALTURA TEÓRICA PARA NÚMERO FINITO DE PÁS ................................................................................... 27 Fator de Correção do número finito de pás ............................................................................................. 27 2.16 INFLUENCIA DA ESPESSURA DAS PÁS NO POLÍGONO DE VELOCIDADES ................................................... 28 Análise na entrada do canal das pás ....................................................................................................... 28 Análise na saída do canal das pás:.......................................................................................................... 29 2.17 POLIGONO DE VELOCIDADES - FORMULARIO EXEMPLO ......................................................... 31 2.18 EXEMPLOS RESOLVIDOS ...................................................................................................................... 332-2 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Sistemas Fluidomecânicos Capítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas2.1 Introdução As turbomáquinas são máquinas cuja principal finalidade é transferir energia. Bombas, ventiladorese compressores atuam transferindo energia do rotor para o fluido. No caso de turbinas hidráulicas, turbinas agás e turbinas eólicas trabalham recebendo energia dos fluidos. A equação teórica fundamental querepresenta esta transferência desta energia é denominada Equação de Euler. Tal equação na verdade é umcaso específico da equação do momento da quantidade do movimento. A dedução da mesma é realizada comsimplificações não levando em consideração efeitos de dissipação de energia. A Eq. de Euler nos mostra quetal transferência de energia depende da velocidade do rotor e do fluido que escoa pelo rotor. Rotores axiais,semi-axiais e rotores centrífugos podem ser avaliados com tal equação. A dissipação de energia no rotor, éoriginada por efeitos de atrito rotor-fluido e por efeitos de recirculação do fluido no interior do rotor. Taisefeitos modificam os denominados polígonos de velocidades e desta forma a energia transferida. No presentecapítulo são abordados estes tópicos permitindo avaliar a energia transferida no caso específico de bombascentrífugas. Mostra-se qual o efeito do número de pás e da curvatura das mesmas na energia transferida dorotor ao fluido. Rotor axial Rotor helico centrífugo Rotor centrífugo (a) Tipos de rotores de turbomáquinas (b) Bomba centrífuga ( c ) Rotor de bomba centrífuga Figura 2.1. Rotores de máquinas de fluxo.PUCRS – FENG - 2010 2-3
    • Sistemas Fluidomecânicos2.2 Equação do Momento da Quantidade para Turbomáquinas (Axial - Radial )A equação vetorial para o momento da quantidade de movimento para um volume de controle inercial é dadapor: r r r r r r r r r r r r × Fs + ∫ r × Bd∀ + Teixo = ∂ ∫vc r ×Vρd∀ + ∫sc r ×VρVdA vc ∂t Para analisar as reações de torque se escolhe um volume de controle fixo (Fig.2.2) envolvendo oelemento de fluido em rotação, junto com o rotor ou hélice. O rotor esta girando com uma velocidadeangular constante (ω).2.2.1 Simplificações(1) Torques devido a forças de superfície são considerados desprezíveis. rxFs=0(2) Torques devido a forças de campo consideram-se desprezíveis. rxB=0 (por simetria)(3) Escoamento em regime permanente, V=V(x,y,z)(4) Eixo z alinhado com o eixo de rotação da máquina.(5) Fluido atravessa as fronteiras do v.c. em duas seções, na entrada (subíndice 1) e a saída ( subíndice 2).(6) Escoamento uniforme nas seções de entrada e saída do fluido.Não existe restrição quanto à geometria já que o fluido pode entrar e sair em diferentes raios Figura 2.2. Representação de um rotor de turbomáquina e seu volume de controle.2-4 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Sistemas Fluidomecânicos Capítulo 2: Teoria de Bombas CentrífugasCom as simplificações: 0 (2) 0 (1) 0 (3) r r r r r r r r r r r r × Fs + ∫ r × Bd∀ + Teixo = ∂ ∫vc r ×Vρd∀ + ∫sc r ×VρVdA vc ∂t r r r r r Teixo = ∫sc r ×VρVdANo sistemas de coordenadas fixas, o eixo da máquina encontra-se alinhado com o eixo-z. O torque serárTeixo = Tz o qual denominamos Teixo (escalar). Desta forma: r r r r Teixo = ∫sc (r ×V ) z ρ (VdA) rO fluido entra no rotor (Fig 2.3) na posição radial r1 com velocidade absoluta uniforme V1 e sai na posição rradial r2 com velocidade absoluta V 2 . O vetor da velocidade absoluta pode ser representado no plano x-y rcomo V = uiˆ + vˆ , onde u é a componente em x da velocidade e v a componente em y. Também pode ser j rdado como V = Vt tˆ + Vn n onde Vt é a componente na direção tangencial ao raio e Vn a componente na ˆdireção normal ao raio. Figura 2.3. Componente da velocidade absoluta no volume de controleAplicamos a equação considerando as regiões de entrada (1) e saída do fluido (2): (rrxVr ) ρVrdA = ∫ (rr xVr ) ρ Vr dA + ∫ (rr xVr ) ρ Vr dA r r r ∫ sc z A1 1 1 z 1 1 1 A2 2 2 z 2 2 2PUCRS – FENG - 2010 2-5
    • Sistemas FluidomecânicosAs integrais de área das seções de (1) e (2) podem ser resolvidas de maneira simplificada com as seguintesconsiderações: (r ) r• O produto vetorial r xV z é um vetor que pode ser representado na forma escalar e independente da integral de área, já que estamos considerando velocidades uniformes na entrada e saída do rotor. (rr × Vr ) = (r v − r u )kˆ = rV z x y t• Da equação da conservação da massa sabemos que: r r ∫ ρ VdA = ± m A & &onde fluxo de massa ( m ) é positivo (+) se o fluido está saindo do volume de controle e negativo (-) se ofluido esta entrando v.c. Desta forma. ∫ (r xV ) ρ V dA ∫ (r xV ) ρ V dA r r r r r r r r 1 1 z 2 1 1 = − r1Vt1 m & 2 2 z 2 2 2 = + r2Vt 2 m & A1 A2Com as considerações acima obtemos: ∫ (r xV ) (r ) r r r r r r r 1 1 z ρ1V1 dA1 + ∫ r2 xV2 z ρ 2V2 dA2 = −r1Vt1 m + r2Vt 2 m & & A1 A2Introduzindo tal expressão na Eq. da quantidade de movimento obtemos finalmente: Teixo = (r2Vt 2 − r1Vt1 )m &Também sabemos que o fluxo de massa é dada por m = ρQ , onde ρ é a massa específica do fluido e Q a &vazão. Desta forma a representação escalar do momento em torno do eixo-z é dado como: Teixo = (r2Vt 2 − r1Vt1 )m = (r2Vt 2 − r1Vt1 )ρQ &  kg   m   kgm Unidades (torque):   ( m)  =  2  ( m) = N . m = Joule  s   s  s 2-6 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Sistemas Fluidomecânicos Capítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas2.3 Potência e Energia Específica W = ωTeixo = ω (r2Vt 2 − r1Vt1 )m & & πDnConsiderando as velocidades tangenciais atuando no rotor: U = ωr ou também U = 60U Velocidade periférica ou tangencial do rotor. (m/s)ω Velocidade angular do rotor (rad/s)D, R Diâmetro e raio do impelidor respectivamente (m).n Rotação do rotor (rpm)mantendo os índices “1” para a entrada e “2” para a saída temos que: W = (U 2Vt 2 − U 1Vt1 )m & &  kg   m   m   kgm   m   m JUnidades (potência):       =  2    = ( N )  = = Watts  s  s  s   s  s   s s2.4 Equação de EulerPara turbomáquinas existe também outra expressão para a potência definida como: Wt∞ = ρgQH t∞Htoo é a altura teórica de elevação ou altura de carga teórica para número infinito de pás dada em metros decoluna de fluido.  kg   m   m  3  kgm   m   m JUnidades (potência):  3   2    ( m) =  2    = ( N )  = = Watts  m  s  s   s  s   s s Desta forma, a transferência de energia por unidade de massa se pode obter para uma turbomáquinaconhecida como altura de carga teórica: & Wt∞ 1 H t∞ = = (U 2Vt 2 − U 1Vt1 ) & mg gTal equação é conhecida como Equação de Euler (deduzida em 1754) para turbomáquinas. A equação édada em metros de coluna de fluido e se conhece também como energia específica. Tal equação é válidapara o caso de rotores radiais (centrífugos) axiais e semi-axiais. Independe também das características dotipo de fluido (líquido ou gás), do seu peso específico e não é afetada por efeitos de viscosidade do fluido.PUCRS – FENG - 2010 2-7
    • Sistemas Fluidomecânicos2.5 Aplicação das Equações para Bombas Centrífugas Na nomenclatura especializada em turbomáquinas a velocidade absoluta é denominada pela letra C. r rDesta forma o vetor da velocidade absoluta V1 é dada como C , a componente tangencial da velocidade rabsoluta ( Vt ) é dada por Cu e a componente normal (Vn) é dada por Cm. Na forma vetorial C = C u t + C m n . ˆ ˆUtilizando tal nomenclatura a Eq. de Euler á dada por: H t∞ = 1 (U 2 Cu 2 − U 1Cu1 ) gA Equação de Euler representa as condições ideais do desempenho de uma turbomáquina no pontooperacional para a qual foi projetada.Aproximações feitas para obter a Eq. de Euler:• Número Infinito de álabes (pás, palhetas).• Espessura das pás desprezível.• Simetria central do escoamento.• Velocidade relativa do fluido (W) é sempre tangencial às pás.• Escoamento em regime permanente.• Escoamento uniforme nas seções de entrada e saída do fluido.• Efeitos de atrito desprezíveis.Da mesma forma o Torque no eixo é dado por: Teixo = (r2 C u 2 − r1C u1 )m &e a Potência Teórica como: Wt∞ = ωTeixo = m(U 2 C u 2 − U 1C u1 ) & &Para Bombas/Ventiladores/Compressores: Representa a energia adicionada ao fluido. H t∞ = 1 (U 2 Cu 2 − U 1Cu1 ) gPara Turbinas: Representa a energia fornecida pelo fluido ao eixo do rotor.Neste caso U1Vt1 > U2Vt2 desta forma é dada como H t∞ = 1 (U 1Cu1 − U 2 Cu 2 ) g2-8 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Sistemas Fluidomecânicos Capítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas2.6 Polígono de Velocidades num Rotor de Bomba Centrífuga A determinação do polígono ou triângulo de velocidades permite obter a informação necessária parao cálculo da potência absorvida ou liberada pela turbomáquina. O polígono pode ser aplicado para máquinasradiais, axiais ou mistas. Devemos lembrar que a velocidade num duto estacionário tal como a entrada esaída do fluido numa tubulação, em pás guias ou diretrizes, em difusores, em bocais convergentes edivergentes é medida num sistema fixo na terra. Estas são denominadas velocidades absolutas que têm comonomenclatura a letra, C para uma velocidade ideal e C’ para uma velocidade real. Corpo Pás guias Pás Figura 2.4 Desenho esquemático de bomba centrífuga com pás guias e detalhe de rotorNo impelidor ou rotor (Fig.2.4) o movimento do fluido pode ser considerado pela sua velocidade absoluta,C,ou por sua velocidade relativa, W. O sistema de coordenadas da velocidade relativa gira com o impelidorcom uma velocidade angular ω=U/r, onde U é a velocidade periférica do rotor. A velocidade absoluta podeser considerada como a resultante da velocidade relativa e da velocidade periférica local. r r r C = W +UPara determinar as componentes da velocidade na entrada e saída do rotor analisamos seus polígonos develocidade (Fig. 3.5). O subíndice “1” representa as variáveis envolvidas na entrada do rotor. O subíndice“2” representa as variáveis envolvidas na saída do rotor.As componentes normais da velocidade absoluta (C ) e da velocidade relativa ( W ) são denominadacomponente meridianas (Cm, Wm). As componente tangenciais da velocidade absoluta e da velocidaderelativa são denominadas velocidades periféricas (Cu, Wu).O ângulo α, representa o ângulo formado entre a velocidade absoluta C, e a velocidade periférica U rotor.O ângulo β é ângulo formado entre a velocidade relativa (W) e o sentido contrário da velocidade periféricado rotor (-U). É denominado ângulo da pá.PUCRS – FENG - 2010 2-9
    • Sistemas Fluidomecânicos Figura 2. 5 Detalhe dos polígonos de velocidades num rotor de bomba centrífugaNa Fig. 2.6 se observa que a componente meridiana da velocidade absoluta é igual à componente meridianada velocidade relativa (Cm=Wm). Ambas apontam radialmente em relação ao rotor e são perpendiculares àvelocidade periférica (U). Figura 2.6. Representação dos polígonos de velocidade na entrada e saída do rotor.2-10 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Sistemas Fluidomecânicos Capítulo 2: Teoria de Bombas CentrífugasA componente periférica da velocidade absoluta ( Cu ) e a componente periférica da velocidade relativa ( Wu )são respectivamente projeções tangenciais da velocidade absoluta e da velocidade relativa. Isto significa quesão velocidades paralelas à direção da velocidade periférica do rotor (U).Variáveis Envolvidas nos Polígonos de VelocidadesD Diâmetro do rotorb Largura do canalC Velocidade absoluta do fluidoCu Componente de C na direção da velocidade tangencial UCm Componente meridional de C (na direção radial)W Velocidade relativa do fluido em relação ao rotorWu Componente de W na direção da velocidade tangencial U.U Velocidade tangencial do rotor no ponto de análise do álabeα ângulo entre (C,U)β ângulo entre (W, -U) conhecido como ângulo de inclinação da páA área da superfície cilíndrica na entrada e na saída é dada por: A1 = πD1b1 A2 = πD2 b2Pela equação da conservação da massa temos que: m = ρ 1πD1b1Cm1 = ρ 2πD2 b2 Cm 2 &Para fluido incompressível a vazão na entrada e na saída do impelidor é dada por: Q = πD1b1Cm1 = πD2 b2 Cm2Da mesma forma pode-se definir a velocidade periférica em função da velocidade angular do rotor. πD1n πD2 n U1 = U2 = 60 60Onde n é a rotação do impelidor (rotor) em rpm.Observa-se que com o polígono de velocidades e as relações complementares podemos determinar a energiatransferida pelo rotor ao fluido considerando número infinito de pás.Tabela 2.1 Resumo de Equações BásicasTermo Equação UnidadesAltura teórica = (U 2 C u 2 − U 1C u1 ) 1 H t∞ m gTorque teórico Teixo = (r2 C u 2 − r1C u1 )m & JoulePotência teórica Wt∞ = ωTeixo = m(U 2 C u 2 − U 1C u1 ) & & WattPUCRS – FENG - 2010 2-11
    • Sistemas Fluidomecânicos3.6.1 Caso Simplificado - Fluido entrando no Rotor Radialmente Os filetes de fluido que deveriam entrar tangenciais às pás sofrem um desvio devido a que as pás seestendem até uma certa distância na boca da bomba em direção ao tubo de aspiração. Para reduzir o efeito depré-rotação se utiliza, por exemplo, um indutor, que é uma peça helicoidal colocada antes do rotor, tal comomostra a Fig. 2.7 (b)Como mostra a Fig.3.7 (a), na condição do fluido com entrada ideal, (sem pré-rotação) C1=Cm1 e ânguloformado entre (C1,U1) será α1=900 . Em tal condição Cu1=0.Os rotores com escoamento ideal (sem pré-rotação) são conhecidos também como rotores com entradaradial.Nestas condições ideais (α1=900) a resistência ao escoamento será mínima, já que não existe momentoangular na entrada porque Cm1=C1 e Cu1=0 e, portanto r x Cu1 =0 desta forma a Equação de Euler ficasimplificada dependendo das condições de saída do rotor. Equação de Euler para entrada ideal 1 (entrada radial ou sem pré-rotação) H t∞ = U 2 Cu 2 g (b) Bomba com indutor (a ) Polígono com entrada radial. Figura 2.7 Polígono de velocidades e detalhe de indutor em bomba centrífuga2-12 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Sistemas Fluidomecânicos Capítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas2.7 Parcelas de Energia na Equação de Euler para Turbomáquinas Pode-se estudar as parcelas de energia na forma de energia de pressão (potencial) e na forma deenergia cinética que se manifestam nas turbomáquinas, a partir da Eq. de Euler que representa a energia totalou altura de carga teórica: H t∞ = 1 (U 2 Cu 2 − U 1Cu1 ) gDo polígono de velocidades, a componente Cm da velocidade absoluta pode ser determinada como:C m = C 2 − Cu2 2ou também como:C m = W 2 − Wu2 2 = W 2 − (U − C u ) 2 = W 2 − U 2 + 2UC u − C u2Igualando os termos: Figura 2.8 Polígono e velocidades na entradaW 2 − U 2 + 2UCu − Cu2 = C 2 − Cu2 1 2UCu = (C + U 2 − W 2 ) 2Substituindo estes termos na Eq. de Euler se obtém: H t∞ = 1 (U 2 Cu 2 − U 1Cu1 ) g 1 2 1 H t oo = (C 2 + U 2 − W22 ) − (C12 + U 12 − W12 ) 2 2 2  C − C1  U 2 − U12  W12 − W22  2 2 2 H t∞ =  2 + +   2g   2g   2g  {1} + {2} + {3}(1): Variação da energia cinética do fluido ao escoar no interior da turbomáquina pela variação davelocidade absoluta.(2): Variação da energia de pressão devido à força centrífuga dando às partículas do fluido um movimentocircular em torno do eixo.(3): Variação da energia de pressão provocada pela redução da velocidade relativa ao passar pelo canaldivergente (difusor)do rotor. Representa a variação de pressão estática dentro do rotor.PUCRS – FENG - 2010 2-13
    • Sistemas Fluidomecânicos2.8 Relação da Equação de Euler e a Equação de EnergiaAplicando a forma geral da Eq. da Energia na entrada e saída do rotor: p1 u12 p u2 + + z1 + H A − h L = 2 + 2 + z 2 ρg 2 g ρg 2 gHA Energia adicionada ao fluido pela bomba.hL Energia dissipada pelo sistema devido ao atrito no interior da turbomáquina.Considerando a energia teórica adicionada pela bomba (HA=Ht00), as velocidades absolutas na entrada e saídado rotor ( C ) e fazendo desprezível o atrito no interior da turbomáquina (hL=0): p1 C12 2 p2 C 2 + + z1 + H t∞ = + + z2 ρg 2 g ρg 2 gexplicitando desta Eq. a energia teórica adicionada pela bomba:  p − p1   C 2 − C12  H t∞ =  2 +( z 2 − z1 ) +  2   ρg   2g Observamos que a altura teórica pode ser representada por uma parcela de energia de pressão e outra deenergia cinética: H t∞ = H p + H cOnde Hp é a altura representativa da energia de pressão e Hc a altura representativa da energia cinética.Por comparação da Eq. de Euler  C 2 − C12  U 2 − U 12 W12 − W22  2 2H t∞ = + +   2g   2g 2g   C 2 − C12 Hc =  2   2g  U 2 − U12 W12 − W22  p2 − p1Hp =  2 + = + ( z 2 − z1 )  2g 2g  g2-14 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Sistemas Fluidomecânicos Capítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas2.9 Grau de ReaçãoA relação entre a energia de pressão e a pressão total é denominada grau de reação. Hp G= H t∞G é maior quanto maior for a parcela de energia de pressão (Hp) fornecida pelo rotor ao fluido.O grau de reação de uma turbomáquina está relacionado com a forma do rotor, e com a eficiência noprocesso de transferência de energia: Ângulo da pá na saída Grau de reação β2 < 90º G>½ β2 = 90º G=½ β2 > 90º G<½ O conceito do grau de reação é utilizado, inclusive, para classificar máquinas de fluxo.Turbomáquinas de Reação: Uma bomba, ou máquina de fluxo em geral, é denominada "de reação" se o seu grau de reação émaior que zero (G > 0), isto é, se a pressão de saída do escoamento é maior que a pressão de entrada.Representa o caso geral das bombas.Turbomáquinas de Ação:Quando o processo de transferência de energia ocorre a pressão constante, (G=0 ), a máquina de fluxo édenominada "de ação" como o caso das turbinas Pelton.PUCRS – FENG - 2010 2-15
    • Sistemas Fluidomecânicos2.10 Influência da Curvatura das PásA energia teórica cedida pelo rotor ao fluido, em bombas centrífugas, pode ser analisada em função doângulo das pás na saída (β2) com as seguintes relações e simplificações:• Escoamento com entrada radial: α1=900• Seções iguais na entrada e saída com o qual Cm1=Cm2 e também Cu1=0, como é mostrado na Fig.2.9.As relações obtidas com tais simplificações são:H t∞ = H P + H c 1H t∞ = U 2 Cu 2 g C u22Hc = 2gH p = H t∞ − H cObs: Em anexo encontra-se a dedução de Hc .Htoo: Altura teórica de elevação para número infinito de pás. Representa a energia cedida ao fluido que atravessa uma bomba ideal.Hp: Altura de pressão que representa a energia cedida pelo rotor ao fluido em forma de pressão.Hc: Altura que representa a energia cedida pelo rotor ao fluido em forma de energia cinética. Figura 2.9 Polígono de velocidades num rotor de bomba centrífuga - caso específico.No procedimento serão analisados três casos de curvatura da pá (Fig. 2.10) designados em relaçãoao sentido de rotação do rotor.2-16 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Sistemas Fluidomecânicos Capítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas Figura 2.10 Tipo de pás num rotor de bomba centrífuga.(1) Pás voltadas para trás: (2) Pás radiais na saída: (3) Pás voltadas para frente:Caso em que β2 < 900 Caso em que β2=900 Caso em que β2 > 900Situação limite Cu2=0. Desta forma: Cu2=U2. Situação limite: Cu2=2U2Caso 1 - Pás Voltadas para Trás Considerando que β2 é menor que 900 e na situação limite em a componente periférica da velocidadeabsoluta seja nula (Cu2=0). Para satisfazer esta condição α2=900. H t∞ = H P + H c 1 H t∞ = U 2Cu 2 = 0 g C u22 Hc = =0 2g H p = H t∞ − H c = 0 Figura 2.11 Polígono de velocidade na saída do rotor (α2=900)Conclusão: Quando, β2 < 900 tal que α2=900, e observa que as parcelas de energia na forma de pressão e deenergia cinética são ambas nulas. Portanto a energia cedida pela bomba ao fluido é nula. • Em tal situação β2 se conhece como ângulo critico inferior.Do livro de Macintyre: “Não é prático e não se devem projetar pás com β 2 < 900 para as quais α2=900 já queo líquido, ao deixar o rotor não possui energia para o desejado escoamento”.PUCRS – FENG - 2010 2-17
    • Sistemas FluidomecânicosCaso 2 - Pás Radiais na SaídaQuando β2 = 900 se obtém um polígono de velocidades em que Cu2=U2. Neste caso: H t∞ = H P + H c 1 U2 H t∞ = U 2 Cu 2 = 2 g g C u22 U 2 2 Hc = = 2g 2g 2 U2 H p = H t∞ − Hc = 2g Figura 2.12 Polígono de velocidade pás radiais na saída (β2=900)Conclusão: Na situação em que β2 = 900 a componente periférica da velocidade absoluta na saída Cu2 torna-se a velocidade tangencial do rotor (Cu2=U2). • Isto faz com que a energia cedida pela bomba ao fluido seja da 50% na forma de energia de pressão e 50% na forma de energia cinética.Caso 3 - Pás Voltadas para FrenteEscolhemos na análise um valor de β2 > 900 na condição limite em que torne CU2=2U2.H t∞ = H P + H c 1 U2H t∞ = U 2 Cu 2 = 2 2 g g C u22 U2Hc = =2 2 2g gH p = H t∞ − H c = 0 Figura 2.13 Polígono de velocidades- pás voltadas para frente (β2 > 900)Conclusão: Na situação em que β2 >900 de tal forma que torne Cu2=2U2 a energia de pressão é nula, e aenergia total é igual a energia cinética. Em tal situação β2 : ângulo crítico superior2-18 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Sistemas Fluidomecânicos Capítulo 2: Teoria de Bombas CentrífugasResumo Gráfico dos Resultados.Com auxílio da Fig.2.14 podemos observar resumo dos resultados obtidos:(1) Pás voltadas para Trás: β 2 < 900[Hp > Hc] a energia cedida pela bomba ao fluido predomina na forma de energia de pressão.(2) Pás Radiais na Saída: β 2= 900[Hp= Hc]: A energia cedida pela bomba ao fluido se faz igualmente na forma de energia de pressão e energiacinética.(3) Pás voltadas para Frente. β 2 > 900[Hc > HP]: A energia cedida pela bomba ao fluido predomina na forma de energia cinética. Figura 2.14 Energia teórica cedida por um rotor com diferentes tipos de pás.Recomendações para Ângulo das Pás• As bombas são empregadas para vencer desníveis energéticos. Isto deve ser obtido às expensas da energia de pressão e não da energia cinética.• Pás com β2 > 900 (curvadas para frente) fazem com que a energia predominante seja do tipo cinética, o que envolve altas velocidades e portanto maiores perdas de carga.• Recomenda-se sempre pás inclinadas para trás (β2 < 900) encontradas nas seguintes faixas:Bombas Centrífugas Ventiladores Faixa de Operação: 15 ≤ β 2 ≤ 40 0 0 Normalmente: 40 0 ≤ β 2 ≤ 450 Normalmente: 20 0 ≤ β 2 ≤ 250Para bombas o ângulo da pá na entrada β1 pode ter a seguinte faixa: 150 ≤ β 1 ≤ 50 0Macintyre: “Esses motivos levaram a fabricantes a adotar pás para trás na quase totalidade das bombascentrífugas, estando β2 compreendido entre 170 e 300, sendo aconselhado como regra o valor de 22,30”PUCRS – FENG - 2010 2-19
    • Sistemas Fluidomecânicos2.11 Efeito da Curvatura das Pás na Altura Teórica de Elevação (Ht-Q)Considerando um rotor com velocidade angular constante (ω=cte) e com entrada radial (α1=900) a equaçãode Euler é dada de maneira simplificada: 1Ht ∞ = U 2 Cu 2 gdo polígono de velocidades:Cu 2 = U 2 − Wu 2 Cm 2Wu2 = tan β 2Substituindo Wu2 em Cu2: Cm2 Figura 2.15 Polígono de velocidade na saída do rotorCu 2 = U 2 − tan β 2Onde: QCm2 = πD2 b2Substituindo Cu2 e U2 em Htoo 1 Q H t∞ = U 2 − U 2 g gπD2 b2 tan β 2  2 U2 U2H t∞ = − Q g gπD2 b2 tan β 2A expressão pode ser simplificada considerando U2 proporcional à rotação, n, que é constante. D2 e b2também são valores constantes, podendo a expressão depender somente da vazão (Q) e do ângulo da pá β2.H t∞ = k1 − k 2 QOnde: 2 U2 U2 k1 = k1 = g gπD2 b2 tan β 2Com auxilio de esta última expressão da altura teórica é possível realizar um estudo da influencia das pásquando são estas radiais, inclinadas para trás e inclinadas para frente.2-20 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Sistemas Fluidomecânicos Capítulo 2: Teoria de Bombas CentrífugasRotor com pás radiais na saídaβ2=900 o termo 1/tanβ2 tende a zero sendo assim k2=0. Desta forma: H t∞ = k1Htoo torna-se independente da vazão, sendo representado graficamente por uma reta que corta o eixo de H 2no ponto U 2 / g .Rotor com pás inclinadas para trásβ2 <900 o termo 1/tanβ2 dá um valor positivo (+). Desta forma: H t∞ = k1 − k 2 QHtoo diminuirá com o aumento da vazão, sendo representada como uma reta inclinada para baixo, cruzando 2pela ordenada no ponto U 2 / g .Rotor com pás inclinadas para frenteβ2 >900 o termo 1/tanβ2 dá um valor negativo (-). Desta forma: H t∞ = k1 + k 2 QHtoo aumenta com o aumento da vazão, sendo representada como uma reta ascendente (Fig.2.16) que cruza 2na origem o ponto U 2 / g . Figura 2.16 Efeito do tipo de pá na altura teórica de elevação.• Observamos que as pás inclinadas para frente (β2 >900) cedem mais energia cinética que energia de pressão.• Da curva Htoo - Q mostra-se outra inconveniência deste tipo de curvatura das pás.• O aumento de Htoo apresenta o fenômeno de instabilidade de funcionamento quando realizados ensaios em bancadas de laboratório.• A instabilidade do funcionamento para pás com β2>900 é outro motivo para evitar trabalhar com bombas centrífugas com pás voltadas para frente.PUCRS – FENG - 2010 2-21
    • Sistemas Fluidomecânicos2.12 Efeito da Curvatura da Pás na Curva de Potência (P - Q)Considerando a potência teórica:Wt = ρgQH t∞ &onde a altura teórica é dada por: 2 U2 U2H t∞ = − Q g gπD2 b2 tan β 2A qual como foi visto pode ser simplificadaH t∞ = k1 − k 2 QIntroduzida esta última expressão da altura naequação de potência se tem: Figura 2.17 Curva teórica da potênciaWt = ρgk1Q − ρgk 2 Q 2 &desta forma considerando novas constantes: Wt = k1*Q − k 2 Q 2 & *Considerando Pás com Saída Radial• Pás com saída radial implica que β2= 900 desta forma tan(900)=∞• Desta forma K2=0 e a potência neste caso fica dada por:Wt = k1*Q − k 2 Q 2 = k1*Q & *Isto significa que a potência varia linearmente com a vazão (Fig.2.16).Considerando Pás Voltadas para Trás• Neste caso β2 < 900 e Tan β2 toma valores (+). Por tanto k2 toma um valor positivo (+)Wt = k1*Q − k 2 Q 2 & *Aumentando a vazão (com n=cte) a potência descreve uma parábola tangente à reta anterior na origem esempre com valor menor a esta quando Q aumenta (Fig. 2.17).Considerando Pás Voltadas para Frente• Com β 2 > 900 e portanto Tan β2 toma valores negativos (-). Portanto k2 toma um valor (-)Wt = k1*Q − k 2 Q 2 & *2-22 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Sistemas Fluidomecânicos Capítulo 2: Teoria de Bombas CentrífugasGraficamente é representada por uma parábola que passa pela origem quando Q=0, e é tangente à reta naorigem, aumentando o valor em função do aumento da vazão (Fig. 2.17).Observa-se que tanto as pás voltadas para frente como as pás radiais na saída apresentam maioresrequerimentos de potência para a mesma vazão de trabalho. Também se observa neste tipo de rotores que amedida que aumenta a vazão a potência requerida aumenta.No caso dos rotores com pás voltadas para trás a potência requerida aumenta até um certo ponto eposteriormente decresce. Geralmente neste tipo de bombas o rendimento máximo ocorre quando a potênciade acionamento atinge o máximo. Desta forma a bomba poderia trabalhar com vazões maiores que a vazãode projeto sem prejudicar o funcionamento do motor elétrico que aciona a bomba.Resumo das curvas H-Q e P-Q Figura 2.18. Resumo de altura teórica e potência teórica para diferentes tipos de pásTabela 2.2 Resumo das expressões de altura teórica e potência.Tipo de pás Altura teórica Potência teóricaPás com saída radial (β2= 900) H t∞ = k1 Wt = k1*Q &Pás voltadas para trás (β2 < 900) H t∞ = k1 − k 2 Q Wt = k1*Q − k 2 Q 2 & *Pás voltadas para frente (β2 > 900) H t∞ = k1 + k 2 Q Wt = k1*Q + k 2 Q 2 & * A energia total num rotor aumenta com o aumento do ângulo de ataque. Poderíamos supor então que rotores de pás voltadas para frente podem transferir maior energia ao fluido. Contudo a experiência mostra que nos rotores com pás voltadas para frente ocorre um menor rendimento devido a grande dissipação de energia (perdas por atrito) entre o rotor e o fluido. Desta forma a energia útil transferida ao fluido é maior em rotores com pás voltadas para trás.PUCRS – FENG - 2010 2-23
    • Sistemas Fluidomecânicos2.13 Representação da Curva Característistica TeóricaPodemos obter uma expressão para a curva característica da altura teórica a partir da expressão da Eq. deEuler:H t∞ = 1 (U 2 Cu 2 − U 1Cu1 ) gTal equação pode ser expressa em função da vazão obtendo-se a expressão: U 2 2 U2  U 12 U1 H t∞ = − Q −  − Q  g gπD2 b2 tan( β 2 )   g gπD1b1 tan( β 1 ) Definimos a partir da expressão anterior as constantes da equação:H t∞ = {k1 − k 2 Q} − {k 3 − k 4 Q}Agrupando os termos:H t∞ = {k1 − k 3 } − {k 2 − k 4 }QDe modo compacto.H t∞ = k A − k B QA Eq. mostra que a curva característica pode ser representada pela Eq. de uma reta que na origem, isto epara vazão nula atinge uma altura teórica igual a kA. U 2 − U 12 2kA = gO termos da constante kB = (k2 – k4) são determinados pela relações. U2 U1k2 = K4 = gπD2 b2 tan( β 2 ) gπD1b1 tan( β 1 )Considerando numero finito de pás a Eq. que representa a curva e dada por: H t∞ k A − k BQH t≠ = H t≠ = K pfl K pflNo caso de entrada radial, Cu1=0 se obtém a expressão já conhecida:H t∞ = k1 − k 2 Q2-24 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Sistemas Fluidomecânicos Capítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas2.14 Importância do Número Finito de PásNa teoria utilizada (Eq. de Euler) a consideração de número infinitode pás permite supor que não existe variação da velocidade epressão das partículas de fluido que escoam na fase frontal e dorsaldas pás. Desta forma o fluido sempre escoa tangencialmenteacompanhando a curvatura da superfície das pás como mostrado naFig.2.19. Figura 2.19 Escoamento num rotorEscoamento com Número Finito de Pás• Numa turbomáquina real não acontece efetivamente tal comportamento.• O número de pás afeta a natureza das velocidades e da pressão no rotor, modificam-se os polígonos de velocidades e desta forma a energia cedida pelo rotor ao fluido (no caso de bombas e ventiladores) ou a energia cedida pelo fluido a rotor (no caso de turbinas).Num rotor de bomba centrífuga podemos supor que a corrente de fluido é composta por:• Uma corrente de fluido seguindo as pás. O fluido entra e tende a sair do canal formado pelas pás (Fig.2.20a).• Uma corrente de circulação. Originada pela diferença de velocidades e pressão ao girar o rotor (Fig.2.20b). Se considerarmos o espaço entre pás como um canal fechado o fluido tenderia a girar entre as pás quando o rotor começa a girar. a)escoamento sem rotação b) Escoamento com rotação c) resultado dos escoamentos Figura 2.20 Escoamento num rotor real.• A composição das correntes especificadas acima gera um escoamento com a distribuição de velocidades mostrada na Fig.2.20c.Utilizando o teorema de Bernoulli, verifica-se que adistribuição de pressão será maior onde a distribuição develocidades é menor e vice-versa. Desta forma se obtémuma distribuição de pressão tal como mostrado na Fig.2.21. Figura 2.21 Distribuição de pressões no rotor.PUCRS – FENG - 2010 2-25
    • Sistemas FluidomecânicosDesvio da Velocidade RelativaO número finito de pás provoca um aumento da velocidade relativa (W’2 ) reduzindo o ângulo de saída da pá(β‘2) tal como observado na Fig. 2.22. Figura 2.22 Desvio da velocidade relativa e do ângulo da pá pelo número finito de pásUm exemplo do polígono de velocidades para número infinito e finito de pás é representado na Fig.2.23. Figura 2.23 Polígono de velocidades para número finito e infinito de pásDependência do Número de PásEm geral o número de pás depende de: Velocidade de rotação, Altura de elevação, Tipo de fluido (partículasem suspensão). Número pequeno de pás Grande número de pás• Reduz as superfícies de atrito. • Diminui a perda de energia nas zonas em que o• O fluido tem dificuldade para ser conduzido. fluido abandona o rotor.• Canais largos implicam numa maior perda de • Aumenta as superfícies de atrito. carga diminuindo a altura manométrica. • Reduz a energia na entrada da bomba.• Redução do rendimento da bomba.Rotores de menor porte e de alta velocidade apresentam maiores perdas de carga evitando-se rotorespequenos com muitas pás.2-26 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Sistemas Fluidomecânicos Capítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas2.15 Altura Teórica para Número Finito de PásComo se observa na Fig.2.23 o número finito de pás reduz a componente periférica da velocidade absoluta edesta forma diminuí também a altura teórica que a bomba pode transferir ao fluido. O fator de deslizamentoµ relaciona estas velocidades: CU 2 # H µ= ou também µ = # CU 2∞ H∞Tal fator depende da relação de diâmetros do rotor, (D1/D2), do número de pás (z) e do ângulo da pá na saída(β2o). Na literatura vários métodos são fornecidos para avaliar µ, entre eles o representado pelo seu inverso(1/µ) e denominado coeficiente de Pfleiderer (Kpfl ).Fator de Correção do número finito de pás A altura teórica de elevação para número infinito de pás (Htoo) pode ser corrigida para obter a alturateórica com número finito de pás Ht#H t∞ = H t # K pfl ψ 2 R2 8ψK pfl = 1 + 2 K pfl = 1 + ( z R2 − R12 2 ) no caso em que R2=2R1 3 zR1: raio do rotor na entrada R2 : raio do rotor na saída. ψ: fator de correção de Pfleiderer (Tab.2.3), dependeda forma do rotor e do ângulo da pá na saída (β2); e z representa o número de pás.Como se observa Kpfl é sempre maior que 1, já que em relação à energia cedida pelo rotor ao fluido, o valorteórico com número infinito de pás é sempre maior que o valor da energia cedida ao fluido com rotor denúmero finito de pás:H t∞ > H t #Tabela 2.3 Fator de correção de Pfleiderer ( ψ ) em função do ângulo da pá (β2)Ângulo da pá 200 230 250 300 350 400ψ (pás com guias) 0,76 0,80 0,81 0,85 0,90 0,94ψ (pás sem guias) 0,86 0,90 0,91 0,95 1,00 1,04Obs. Na atualidade a maioria das bombas possuem uma carcaça ou corpo sem pás guias.Expressão de Pfleiderer para determinar o número de pás  D + D1   β 1 + β 2 z = kz  2  sin   D2 − D1   2 onde kz é o coeficiente empírico dependendo da rugosidade, espaço entre as pás, .• Para rotores fundidos kz=6,5• Para rotores de chapa fina conformada kz=8,0Como aproximação para o número de pás:• Rotores de médias e grandes dimensões z= (6 a 14)• Rotores de pequenas dimensões z= (4 a 6)PUCRS – FENG - 2010 2-27
    • Sistemas Fluidomecânicos2.16 Influencia da Espessura das Pás no Polígono de VelocidadesA nomenclatura:• [0]: Ponto da corrente situado imediatamente antes da entrada do canal de pás, fora da influência da contração provocada pela espessura das pás.• [1] :Ponto imediatamente após a entrada do canal formado pelas pás.• [2]: Ponto imediatamente antes da saída do canal formado pelas pás.• [3]: Ponto da corrente de fluido situada imediatamente após a saída do canal formado pelas pás.Análise na entrada do canal das pásA corrente no ponto “1” imediatamente após a entrada tem uma velocidade absoluta C1 , que, devido àcontração da seção provocado pela espessura S1 da pá, é maior que velocidade absoluta C3 antes de entrarno canal formado pelas pás. Figura 2.24 Detalhe de rotor em corte e passagem do fluido na entrada do rotor. Identificamos a área real de passagem do fluido pelas pás. Para isto com a figura mostrada acimadistinguimos o arco de passagem do fluido que é dado em função ao arco entre pás (t1) e pela projeção noarco (Su1) da espessura formada pelas pás (S1) na região de entrada. S1 πD1S u1 = t1 = sin β1 zA componente meridiana da velocidade absoluta antes de entrar no canal das pás pode ser expressa como: t1 − S u1 Cm1Cm0 = Cm1 = t1 ϕ1 t1ϕ1 = t1 − S u1Também podemos definir um fator de contração (Fc1) de tal forma que:C m 0 = C m1 Fc1 S u1 S1 zFc1 = 1 − = 1− t1 πD1 sin β12-28 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Sistemas Fluidomecânicos Capítulo 2: Teoria de Bombas CentrífugasDesta forma a vazão é dada por:Q = t1b1 zC m 0Q = (t1 − S u1 )b1 zC m1O polígono de velocidades pode ser observado na figura abaixo. Figura 2.25 Polígono de velocidades com influência do número finito de pásAnálise na saída do canal das pás:A corrente no ponto “2” tem uma velocidade C2 que, devido à contração da seção provocado pela espessuraS2 da pá é maior que a velocidade C3, mediada imediatamente após a saída do canal. Figura 226 Detalhe da área de passagem do fluido na entrada do rotor. Identificamos a real área de passagem do fluido pelas pás. Para isto, com a figura mostrada acima,distinguimos o arco de passagem do fluido que é dado em função ao arco entre pás (t2) e pela projeção noarco (Su2) da espessura formada pelas pás (S2) na região de entrada. S2Su2 = sin β 2 πD2t2 = zPUCRS – FENG - 2010 2-29
    • Sistemas FluidomecânicosA componente meridional da velocidade absoluta antes de entrar no canal das pás é dada como: t 2 − S u 2 Cm2Cm3 = Cm2 = t2 ϕ2 t2ϕ2 = t2 − S u2Também podemos definir um fator de contração (FC1) de tal forma que:C m3 = C m 2 Fc 2 Su2 S2 zFc 2 = 1 − = 1− t2 πD2 sin β 2O polígono de velocidades pode ser observado na Fig. 2.27. Figura 2.27 Polígono de velocidades na saída.Desta forma a vazão é dada por:Q = t 2 b2 zC m3Q = (t 2 − S u 2 )b2 zC m 2Considerando o fator de contração, a vazão pode ser dada como:Q = t 2 b2 zC m 3Q = πD2 b2 C m 2 Fc 22-30 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Sistemas Fluidomecânicos Capítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas2.17 POLIGONO DE VELOCIDADES - FORMULARIO EXEMPLOQ [m3/s] Nome:___________________________________n [rpm]ω [rad/s]&m [kg/s]ρ [kg/m3]A1 [m2]D1 [m]R1 [m]b1 [m]α1 [º]β1 [º]U1 [m/s]C1 [m/s]W1 [m/s]Cu1 [m/s]Wu1 [m/s]Cm1 [m/s] Polígono de velocidades na entrada do RotorA2 [m2]D2 [m]R2 [m]b2 [m]α2 [º]β2 [º]U2 [m/s]C2 [m/s]W2 [m/s]Cu2 [m/s]Wu2 [m/s] Polígono de velocidades na saída do RotorCm2 [m/s]H t∞ [m]Teixo [Nm]W& [W ou kW]PUCRS – FENG - 2010 2-31
    • Sistemas Fluidomecânicos Teoria de Bombas Centrífugas Exercícios Resolvidos e Propostos2-32 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Sistemas Fluidomecânicos Capítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas2.18 Exemplos ResolvidosExemplo – 2.1Uma bomba centrífuga com entrada radial trabalha com água com vazão de 0,3m3/s. O diâmetro doimpelidor é de 250mm e as pás tem 30 mm de largura na saída. Considere que as pás são radiais na saída.Determine a altura teórica considerando número infinito de pás e a potência necessária quando a bombatrabalha com 1000rpm.SoluçãoDados: Q=0,3m3/s. D2=250mm b2=30mm n=1000rpm. – Entrada radialA água entra no impelidor com direção axial, portanto a componente tangencial da velocidade absoluta énula e desta forma α1=900. Portanto temos a simplificação de que: 1H t∞ = U 2 Cu 2 gNa saída a pá é radial, portanto β2=900. Desta forma CU2=U2 tendo simplificada a equação da altura: 1 2H t∞ = U2 g πD 2 n πx 250 x1000Determinamos velocidade tangencial do rotor na saída. U2 = = = 13,1m / s 60 1000 x60Desta forma a altura teórica de elevação é dada por: H t∞ = 1 (13,1)2 = 17,5m 9,81A potência pode então ser determinada: 1000 x9,81x0,3 x17,5Wt∞ = ρgQH t∞ = & = 51,5kW em HP dividindo por 0,7457 se obtém P=69 HP. 1000Podemos determinar o torque exercido pela bomba: Teixo = m(r2 C u 2 − r1C u1 ) &Neste problema Cu1=0 e Cu2=U2 e desta forma: Teixo = m(r2U 2 ) &o fluxo de massa é m=ρQ=1000x0,3=300kg/s. o raio do rotor na saída é R2=D2/2=125mm e velocidadetangencial do rotor na saída é U2=13,1m/s . Desta forma:  125 Teixo = m(r2U 2 ) = 300 x &  x13,1 = 491,25 Nm  1000 A potência do rotor pode ser então verificada como: Wt∞ = ωTeixo & 2πn 2π 1000Onde a velocidade angular é dada por: ω= = = 104,72rad / s 60 60Wt∞ = ωTeixo = 491,25 x104,72 = 51,5kW &PUCRS – FENG - 2010 2-33
    • Sistemas FluidomecânicosExemplo – 2.2 (a) Determinar o polígono de velocidades na entrada e na saída de uma bomba centrífuga que apresenta escoamento com entrada radial. O diâmetro interno do rotor é de 50mm e o diâmetro externo do rotor é de 250mm. A largura da pá na entrada é igual a 10mm e a largura da pá na saída é igual a 5mm. O ângulo da pá na entrada é igual a 200 e na saída igual a 230. Considere que a bomba gira com uma rotação de 1300 rpm (b) Determinar a altura teórica, potência e torque da bomba, assim como as parcelas de energia cinética e energia de pressão.SoluçãoDados: n=1300rpm D1=50mm D2=250mm b1=10mm b2=5mm β1=200 β2=2301. Polígono de velocidades na EntradaA entrada radial implica que ângulo α1=900Velocidade periférica ou tangencial do rotor na entrada: πD1n π 0,05x1300U1 = = = 3.4 m / s 60 60 C1tan β 1 = U1Velocidade absoluta do fluido na entrada:C1 = U1 tan β 1 = 3.4 tan(20 0 ) = 1,24 m / sVelocidade relativa do fluido na entradaW1 = C12 + U12 = (1,24) 2 + (3,4) 2 = 3,62 m / sDo triângulo de velocidade temos que: Cm1=C1=1,24m/s:2-34 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Sistemas Fluidomecânicos Capítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas2. Triângulo de velocidades na SaídaObs: para obter informação do segundo triângulo de velocidade podemos utilizar a equação da vazão:Q = πD1b1Cm1 = πD2 b2 Cm 2Do polígono de velocidades: Cm1=C1=1,24m/s:Q = πD1b1Cm1 = π (0,05)(0,01)(1,24 ) = 0,00195m3 / s (117 litros/min.)Componente meridiana da velocidade absoluta na saída: Q 0,00195Cm2 = = = 0,496m / s πD2 b2 π (0,25)0,005)Componente periférica da velocidade relativa: Cm 2tan β 2 = Wu 2 C 0,497Wu 2 = m2 = = 117 m / s , tan β 2 tan( 230 )Velocidade relativa na saídaW2 = Cm2 + Wu2 = 2 2 (0,497) 2 + (117) 2 , = 1,271m / sVelocidade periférica na saída: πD2 n π ( 0,25)(1300)U2 = = = 17,017m / s 60 60Componente periférica da velocidade absolutaCu 2 = U 2 − Wu 2 = 17,017 − 117 = 15,85m / s ,Velocidade absoluta:C2 = Cu2 + Cm2 = (15,85)2 + (0,497 )2 = 15,86 m / s 2 2 Cm2 0,497tan α 2 = = => α 2 = 1, 79 Cu 2 15,85 Cm2=0,497m/s valor dado β2=230 Wu2=1,17m/s W2=1,271m/s U2=17,017m/s Cu2=15,85m/s C2=15,86m/s α2=1,79Obs: Continuar o problema determinando a Altura teórica de elevação, Potência e Torque da bomba, assimcomo as parcelas de energia cinética e energia de pressão. (Htoo=27,5m) (T=3,85Nm) (Wt00=524W) (Hp=14,76m; Hc=12,74).PUCRS – FENG - 2010 2-35
    • Sistemas FluidomecânicosExemplo – 2.3Um rotor de bomba centrifuga de 200mm de diâmetro gira a 3500 rpm. O ângulo das pás na saída é igual a220 e a componente meridiana da velocidade absoluta é igual a 3,6m/s. Determinar a altura teórica paranúmero infinito de pás. Considere escoamento com entrada radial.SoluçãoDados: D2=200mm n=3500rpm β2=220 Cm2=3,6m/sTratando-se de uma bomba com entrada radial: U 2 Cu 2H t∞ = g πD 2 n πx0,2 x3500 mU2 = = = 36,65 60 60 sCU 2 = U 2 − W u 2 Cm2 3,6Wu 2 = = = 8,91m / s tan gβ 2 tan g (22)CU 2 = 36,65 − 8,91 = 27,74m / s U 2 C u 2 36,65 x 27,74H t∞ = = = 103,64m g 9,812-36 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Sistemas Fluidomecânicos Capítulo 2: Teoria de Bombas CentrífugasExemplo 2.4: Mostre aplicando a Eq. de energia que a variação de pressão num rotor de bomba centrífuga é dado por: p 2 − p1 ρg = 1 2g 2 ( C m1 + U 2 − C m 2 cos ec 2 β 2 2 2 )SoluçãoAplicando a Eq. da Energia entre os pontos 1 e 2, considerados estes com na entrada e na saída da bomba:p1 C12 p C2 + + z1 + H A = 2 + 2 + z 2ρg 2 g ρg 2 g U 2 Cu 2Considerados os pontos 1 e 2 na mesma elevaçã0 (z1=z2) e uma bomba com entrada radial. H t∞ = g p 2 − p1 C12 C 2 U 2 C u 2 2 = − + ρg 2g 2g gPara entrada é radial: C1=Cm1 Cm2Cu 2 = U 2 − tan β 2C 2 = C m 2 + C u22 2 2 2 2  C  C  C C =C 2 2 + U 2 − m 2   = C m 2 + U 2 − 2U 2 m 2 +  m 2  2 2  tan β 2 tan β 2  tan β 2  2 m2     2 2 ( )C 2 = C m 2 1 + cot 2 β 2 + U 2 − 2U 2 2 Cm2 tan β 2C 2 = C m 2 cos ec 2 β 2 + U 2 − 2U 2 C m 2 cot β 2 2 2 2Substituindo esta expressão de C2 e C1 na expressão simplificada de Bernoulli, se obtém: p 2 − p1 C m1 ( ) 2 C m 2 cos ec 2 β 2 + U 2 − 2U 2 C m 2 cot β 2 + U 2 (U 2 − C m 2 cot β 2 ) 1 1 = − 2 2 ρg 2g 2g g p 2 − p1 C m1 ( ) ( ) 2 1 1 2 2 = − C m 2 cos ec 2 β 2 + U 2 − 2U 2 C m 2 cot β 2 + U 2 − U 2 C m 2 cot β 2 2 2 ρg 2g 2g g 2 p 2 − p1 C m1 U 2 C m 2 cos ec 2 β 2 2 2 2 = + − ρg 2g 2g 2gcom o qual finalmente se obtém: p 2 − p1 ρg = 1 2g 2 ( C m1 + U 2 − C m 2 cos ec 2 β 2 2 2 )PUCRS – FENG - 2010 2-37
    • Sistemas FluidomecânicosExemplo 2.5: Uma bomba centrífuga tem as seguintes características. Vazão 0,005m3/s. Diâmetro do rotor naentrada 100mm. Diâmetro do rotor na saída 200mm; rotação 1500rpm. A altura manometrica é igual a 22m.A largura da pá na entrada e saída é igual a 10mm e 5mm respectivamente. Fazendo desprezíveis as perdasdetermine a energia de pressão em termos de altura equivalente. Considere pás voltadas para trás com ângulona saída igual a 300.Dados:Q=0,005m3/s D1=100 D2=200 n =1500rpm b1=10m e b2=5mm Hman=20m. β2=300.SoluçãoPodemos utilizar a equação deduzida anteriormente:p 2 − p1 ρg = 1 2g 2 ( C m1 + U 2 − C m 2 cos ec 2 β 2 2 2 ) πD1 n π 0,1x1500U1 = = = 7,85m / s 60 60 πD2 n π 0,2 x1500U2 = = = 15,7 m / s 60 60 Q 0,005Cm2 = = = 1,59m / s πD2 b2 πx0,2 x0,05 Q 0,005C m1 = = = 1,59m / s πD1b1 πx0,1x0,01Substituindo os valores encontrados:p 2 − p1 ρg = 1 2g ( ) 1,59 2 + 15,7 2 − 1,59 2 cos ec 2 30 0 = 12,36m2-38 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Sistemas Fluidomecânicos Capítulo 2: Teoria de Bombas CentrífugasExemplo 2.6:Um rotor de bomba centrifuga tem as seguintes características: Diâmetro do rotor na entrada 150mm, largurada pá na entrada 75mm ângulo da pá na entrada 200. Diâmetro do rotor na saída 300mm, largura da pá nasaída 50mm ângulo da pá na saída 250. A bomba tem uma rotação de 1450rpm. Determinar: (a) A altura teórica para número infinito de pás e sua respectiva potência considerando que bomba trabalha com água com massa especifica igual a 1000kg/m3. (b) Considerando que a bomba tem 7 pás determine a altura teórica para número finito de pás e sua respectiva potência.Obs. Considere escoamento com entrada radial, isto é α1=900.Solução πD 2 n πx0,3x1450 mU2 = = = 22,78 60 60 s 2 U2 U2H t∞ = − Q g gπD2 b2 tan β 2H t∞ = (22,78)2 − 22,78 Q 9,81 9,81πx0,3 x0,05 x tan 25 0H t∞ = 52,9 − 105,68QVazão: πD1 n πx0,15 x1450 mU1 = = = 11,39 60 60 sc m1 = u1 tan β 1 = 11,39 x tan 20 0 = 4,15m / sQ = πD1b1c m1 = πx0,15 x0,075 x 4,15 = 0,147 m 3 / sAlturaH t∞ = 52,9 − 105,68Q]H t∞ = 52,9 − 105,68 x0,147 = 37,4mPotência TeóricaWt∞ = ρgHQ = 1000 x9,81x37,4 x0,147 = 53,93kW &Altura teórica para número finito de pás 8 0,9no caso em que R2=2R1 K pfl = 1 + x = 1,34 3 7Para o ângulo de 25 temos que Ht00=37,4m H t∞ 37,4H t# = = = 27,91m K pfl 1,34Wt # = ρgH t # Q = 1000 x9,81x 27,91x0,147 = 40,234kW &PUCRS – FENG - 2010 2-39
    • Sistemas FluidomecânicosExemplo 2.7: Uma bomba com escoamento com entrada radial trabalha com uma vazão de 2,0m3/min e1200rpm. A largura do canal de saída do rotor é de 20mm, sendo que o ângulo de saída da pá é igual a 250. Acomponente meridiana da velocidade absoluta na saída é igual a 2,5m/s. a)Determine a altura e potênciateórica da bomba nas condições dadas. b)Determine as equações características de H=f(Q) e P=f(Q). Com asequações características grafique as curvas H-Q e P-Q desde uma vazão nula até uma vazão máxima de4,0m3/min. Utilize água com massa específica igual a 1000kg/m3.Htoo=? Pot=? Q=2,0m3/min n = 1200rpm b2=20mm Cm2=2,5m/s β2=250(a ) Altura teórica e potência teórica para número infinito de pás com entrada radial é dada por: 1 H t∞ = U 2 Cu 2 g 20 Q 60 πD 2 n πx 212 x1200D2 = = = 0,212m = 212mm U2 = = = 13,32m / s πb2 C m 2  20  60 1000 x60 π 2,5  1000 C u 2 = U 2 − WU 2 Cm 2 2,5Wu 2 = = = 5,36m / s tan( β 2 ) tan(25)C u 2 = 13,32 − 5,36 = 7,96m / s 1 1H t∞ = U 2 Cu 2 = 13,32 x7,96 = 10,80m g 9,81  2,0  1000 x9,81x10,8 x Wt∞ = ρgQH t∞ & =  60  = 3,5kW 1000(b) Equação da altura teórica e da potência teórica para número finito de pás 2 U2 U2 1H t ∞ = K1 − K 2 Q com K1 = e K2 = g gπD2 b2 tan β 2 2 U2 = (13,32) = 18,10m U2 1 13,32K1 = K2 = = = 218,6 2 g g gπD2 b2 tan β 2 9,81xπx0,212 x0,02 x tan 25 0H t ∞ = K1 − K 2 QH t∞ = 18,1 − 218,6Q com vazão em m3/s para obter altura em metros. 18,1x100 x9,81k1* = k1 ρg = = 177,56 (Dividido por 1000 para trabalhar em kW) 1000 218,6 x1000 x9,81k 2 = k 2 ρg = * = 2145 (Dividido por 1000 para trabalhar em kW) 1000Wt∞ = K 1*Q − K 2 Q 2 & *Wt∞ = 177,56Q − 2145Q 2 Com vazão em m3/s para obter kW. &2-40 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Sistemas Fluidomecânicos Capítulo 2: Teoria de Bombas CentrífugasExemplo 2.8:Uma bomba trabalha com uma altura manometrica igual a 22m e uma vazão igual a 20litros/s. O impelidorgira a 1500rpm. O diâmetro do rotor na entrada é de 135mm e na saída de 270mm. A largura da pá saída é de10mm. O ângulo da pá na saída é de 300. Considere um rotor com 7 álabes. A espessura da pá é de 3mm. Orendimento volumétrico igual a 97% e o rendimento mecânico é de 95%.Determinar: a) O rendimento global b) a potência da bomba. c) a rotação especifica e tipo de bomba.Considerando entrada radial: (e rotor com pás sem guias) 1H t∞ = U 2 Cu 2 Cu 2 = U 2 − Wu 2 Wu2 é função de Cm2 g πD2 n πx0,27 x1500U2 = = = 21,2m / s 60 60Fator ou coeficiente de contração Su2 S2 z 0,003 x7Fc 2 = 1 − = 1− portanto : Fc 2 = 1 − = 0,95 t2 πD2 sin β 2 πx0,27 sin(30)Da expressão da vazão pode ser obtido Cm2 Q 0,02Q = πD2 b2 C m 2 Fc 2 Cm2 = = = 2,48m / s πD2 b2 Fc 2 πx0,27 x0,01x0,95Pela relação do polígono de velocidades: Cm2 Cm2 2,48tan β 2 = ⇒ Wu 2 = = = 4,3m / s Wu 2 tan β 2 tan(30)Cu 2 = U 2 − Wu 2 = 21,2 − 4,3 = 16,9m / s 1 1H t∞ = U 2 Cu 2 = 21,2 x16,9 = 36,52mca g gcomo R2=2R1 e considerando pás sem guias da Tab.2.3 para β2=300 obtemos ψ=0,95. 8ψ 8 0,95K pfl = 1 + = 1+ = 1,36 3 z 3 7H t∞ = H t # K pfl Implica que Ht#=36.52/1,36=26,82mca. H man 22ηh = = = 82% H t# 26,82O rendimento global é dado como: η G = η mη vη h = 0,95 x0,97 x0,82 = 0,755 ≈ 76% ρgH man Q 1000 x9,81x 22 x0,02Wac = & = = 5,72kW ηG 0,755 Q 0,02ns = n 3/ 4 = 1500 = 21rpm Conforme Cap.4 Tab.4.2 Corresponde a uma bomba tipo radial. H maa 22 3 / 4PUCRS – FENG - 2010 2-41
    • Capítulo 3: Curvas Características de Bombas Centrífugas Curvas Características e Associação de Bombas em Serie e em ParaleloPUCRS – FENG- 2010 3-1
    • Sistemas Fluidomecânicos Curvas Características e Associação de Bombas Série e em Paralelo SUMÁRIO 3.1 Fluxo de Energia e Rendimentos........................................................................................................ 3 3.2 Rendimentos ....................................................................................................................................... 3 Rendimento Mecânico................................................................................................................................ 3 Rendimento Hidráulico ............................................................................................................................... 3 Rendimento Volumétrico ............................................................................................................................ 4 Rendimento Total ou Global....................................................................................................................... 4 Potência de acionamento........................................................................................................................... 5 3.3 Curvas Reais de Altura - Vazão (H-Q)................................................................................................ 5 3.4 Curvas Reais de Altura - Vazão (H-Q)................................................................................................ 6 3.5 Curvas Características de Bombas Centrífugas................................................................................. 6 3.6 Efeito do Tipo de Pás nas Curvas Reais (H-Q) e (P-Q) ..................................................................... 7 3.7 Ponto de Operação das Bombas ........................................................................................................ 8 3.8 Outras Representações de Curvas Características............................................................................ 9 3.9 Identificação Variáveis nas Curvas Características.......................................................................... 10 3.10 Equações Especificas Para Corte de Rotores.................................................................................. 12 3.10.1 Determinação do Diâmetro de Corte de Uma Bomba Centrífuga................................................. 13 3.10.2 Método Gráfico para Determinar novo Diâmetro .......................................................................... 15 3.10.3 Correção do Diâmetro de corte Método de Stepanoff .................................................................. 16 3.10.4 Exemplo para Determinar Diâmetro de Corte – Método Gráfico. ................................................. 17 3.11 Associação de Bombas em Série ..................................................................................................... 19 3.11.1 Curva característica de bombas em serie..................................................................................... 20 3.11.2 Rendimento de duas bombas em série......................................................................................... 21 3.12 Associação de Bombas em Paralelo ................................................................................................ 22 3.12.1 Curva Característica de Bombas em Paralelo: ............................................................................. 23 3.12.2 Rendimento de Duas Bombas em Paralelo .................................................................................. 24 3.13 Exemplo – Bombas Conexão em Serie e em Paralelo.................................................................... 25 3.14 Exemplo - Conexão Paralelo ............................................................................................................ 26 3.15 Exemplo - Conexão Série ................................................................................................................. 27 3.16 Outros Exemplos............................................................................................................................... 28 3.17 Atividade de Aprendizado - 1 – Proposta ......................................................................................... 29 3.18 Atividade de Aprendizado – 2 - Resolvida ....................................................................................... 30 3.19 Problemas Propostos ........................................................................................................................ 343-2 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Capítulo 3: Curvas Características de Bombas Centrífugas3.1 Fluxo de Energia e Rendimentos Considerando o fluxo de energia transferido da bomba para o fluido, se observa que existem diversasformas de dissipação de energia, desde a energia inicial do motor que aciona a bomba até a energia finalabsorvida pelo fluido (Fig.3.1). O motor apresenta uma energia motriz (Hm) que deve ser transferida ao rotor.Como o sistema mecânico de acoplamento e transmissão não é perfeito existirá uma dissipação mecânica deenergia quantificada como perda mecânica (∆hm). A energia efetivamente absorvida pelo rotor édenominada energia de elevação (Ht#) sendo relacionada com a energia motriz pelo rendimento mecânico(ηm). Devido à dissipação de energia no interior da bomba (por atrito e recirculação de fluxo) a energia dorotor (Ht#) não é transferida totalmente ao fluido sendo as perdas quantificadas como perdas hidráulicas(∆hh). A energia transferida do rotor ao fluido é relacionada pelo rendimento hidráulico. Além disto, parte davazão que entra na bomba recircula na mesma e escapa por má vedação. Isto se quantifica considerando umrendimento volumétrico (ηv). A energia realmente absorvida pelo fluido é denominada altura manométrica(Hman), reconhecida como a energia final do fluxo energético do sistema de bombeamento. O rendimentoglobal (ηG) quantifica a relação entre energia final (Hman) (absorvida pelo fluido) e a energia motriz paraacionamento da bomba (Hm). Figura 3.1 Relações entre rendimentos e alturas de uma bomba.3.2 RendimentosRendimento Mecânico Relação entre a altura de elevação e altura motriz. Também relaciona a potência de elevação e apotência motriz. Esta última conhecida como potência de acionamento do motor da bomba. Ht #ηm = (1) Hmvalores típicos de 92 a 95% encontram-se nas bombas modernas, sendo que os valores maiorescorrespondem às bombas de maiores dimensões.Rendimento Hidráulico A altura teórica de elevação (Ht#) não é aproveitada totalmente na elevação do fluido (Hman). Umaparte é perdida para vencer as resistências ou perdas hidráulicas denominadas ∆hh .PUCRS – FENG- 2010 3-3
    • Sistemas Fluidomecânicos H t # = H man + ∆hh (2)O rendimento hidráulico é definido como a relação entre a altura manométrica (Hman), que representa aenergia absorvida pelo fluido, e a altura teórica de elevação para número finito de pás (Ht#), que representaa energia cedida pelo rotor ao fluido: H man H man ηh = desta forma ηh = k pfl (3) Ht # H tooValores estimados do Rendimento Hidráulico.50 a 60%: Bombas pequenas, sem grandes cuidados de fabricação com caixa tipo caracol.70 a 85% : bombas com rotor e coletor bem projetados, fundição e usinagem bem feitas.85% a 95% : Para bombas de dimensões grandes, bem projetadas e bem fabricadas.Pode ser utilizada a seguinte expressão de Jekat considerando a vazão em m3/s. 0,071ηh = 1 − (4) Q 0.25Obs. Em fase de projeto pode ser estimado entre 85% a 88%.Rendimento Volumétrico Existe no rotor uma pequena quantidade de fluido que recircula na carcaça (q) e que pode escaparpor má vedação. O rendimento volumétrico relaciona a vazão que efetivamente escoa pelo recalque (Q) e avazão que passa pelo rotor, recircula e escapa por deficiência na vedação (Q´=Q+q). ηv=Q/Q´. As bombascentrífugas podem ter um ηv na faixa de 85 a 99%.Rendimento Total ou Global Relação entre a energia realmente cedida pelo rotor ao fluido (útil) e a energia necessária paramovimentar o rotor. Relaciona de forma equivalente a potência útil com a potência motriz. H manηG = (5) HmQuando se consideram perdas volumétricas, o rendimento total é dado como: η G = η mη vη h Caso contrário fica como: η G = η mη h (6)• Em bombas de grande porte o rendimento global pode ultrapassar 85%.• Nas bombas pequeno porte, dependendo do tipo e condições de operação, pode cair até menos de 40%.• Uma estimativa razoável é considerar 60% em bombas pequenas e 75% em bombas medias.Rendimento Global (%) – O rendimento global depende da bomba sendo uma informação dada pelofabricante. Pode-se utilizar como ordem de grandeza a seguinte expressão:ηG = 80 − 0,9367H + 5,46x10−3 QH − 1,514x10−5 Q2 H + 5,802x10−3 H 2 − 3,028x10−5 QH2 + 8,346x10−8 Q2 H 2 (7 ) 3Onde: Q: vazão (m /h ); H: altura manométrica (m) Validade: 20 < Q < 250 15 < H < 1003-4 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Capítulo 3: Curvas Características de Bombas CentrífugasPotência de acionamentoA potência requerida para o acionamento da bomba é dada pela expressão: ρgH man Q Wac = & (8) ηGNota1: A altura útil de elevação foi definida (no texto de Macintyre) como: V32 − V02H u = H man + 2gse os diâmetros das tubulações de entrada D0 e de saída D3 na bomba são iguais, então podemos considerarque Hu=Hman.3.3 Curvas Reais de Altura - Vazão (H-Q)Foi analisada teoricamente a importância da curvatura das pás na curva característica de H-Q. Contudo estascurvas reais sofrem modificações devido aos efeitos do número finito de pás e à dissipação da energia.As curvas reais de H-Q são diferentes devido aos seguintes efeitos:Número finito de pásA espessura das pás provoca um desvio das trajetórias das velocidades à saída das pás, variando acomponente meridiana da velocidade. Isto faz com que Hreal seja menor do que Ht00 . Desta forma, na origemo valor de Hreal, é menor que o termo U2/g iniciando as curvas numa ordenada inferior a U2/g. (Fig.3.2).2. Dissipação de EnergiaDevido ao atrito do fluido no rotor por:• Imperfeita condução das veias de fluido• Transformação da elevada parcela de energia cinética em energia de pressão.Choques: Mudanças bruscas de direção do escoamento na entrada e saída do fluido.Fugas: Do fluido nos interstícios, labirintos e espaços entre o rotor e o difusor e coletor. Figura 3.2 Altura de elevação para diferentes tipos de pá com dissipação de energia.PUCRS – FENG- 2010 3-5
    • Sistemas Fluidomecânicos3.4 Curvas Reais de Altura - Vazão (H-Q) A Fig. 3.3 representa uma curva característica de H-Q de bomba centrífuga onde se mostram osdiferentes efeitos provocados pela turbulência, atrito e pelo efeito de recirculação do escoamento. Devido aisto, a curva teórica modifica-se se transformando numa curva real. Figura 3.3 Curva característica de bomba centrífuga.3.5 Curvas Características de Bombas Centrífugas Representam o comportamento real das bombas mostrando o relacionamento de interdependência entre asgrandezas características (Fig. 3.4). Os fabricantes fornecem estas curvas obtidas experimentalmente emlaboratório. Os principais gráficos apresentados são:• Hman-Q : Variação da altura manométrica em função da vazão• η-Q: Variação do rendimento global em função da vazão• W-Q: Relação entre a potência requerida no acionamento e a vazão.• NPSH-Q Variação do Net Posistive Suction head (altura líquida positiva de sucção) e a vazão.Obs: NPSH representa a energia que a bomba requer para aspirar o líquido.O fabricante pode fornecer esta informação numa curva única tal como representado na Fig.3.4. Figura 3.4 Conjunto de curvas características apresentadas por fabricantes.3-6 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Capítulo 3: Curvas Características de Bombas Centrífugas3.6 Efeito do Tipo de Pás nas Curvas Reais (H-Q) e (P-Q)• O efeito do ângulo da pá na saída é mostrado através do gráfico abaixo (Fig.3.5), onde se observam curvas reais dos diferentes tipos de pá estudados.• Observa-se que pás voltadas para frente geram grandes alturas para um certo volume, contudo, deve ser lembrado que uma parte substancial desta altura total é devida à contribuição de energia cinética.• As curvas de potência também são fundamentalmente diferentes para os diferentes tipos de rotores. Nos rotores com pás voltadas para trás a potência máxima ocorre próximo do ponto de máximo rendimento e qualquer aumento da vazão após este ponto resulta numa diminuição da potência. Desta forma, um motor elétrico usado para mover tal bomba pode alcançar com segurança o ponto de máxima potência sem perigo de trabalhar com vazões maiores que as obtidas a partir deste ponto.• Isto não ocorre para o caso de pás radiais na saída e pás voltadas para frente, nas quais a potência aumenta continuamente devendo-se ter muito cuidado na escolha da potência do motor.• Por outro lado se trabalhamos com um motor pequeno que opere no ponto de máxima potência será perigoso já que acidentalmente pode-se exceder a vazão no ponto de máxima eficiência e encontramos que requeremos maior potência para o acionamento, danificando o motor. Figura 3.5 Curvas de altura e potência de diferentes tipo de pás.PUCRS – FENG- 2010 3-7
    • Sistemas Fluidomecânicos3.7 Ponto de Operação das BombasTipo de Curva (H-Q) Ascendente.A Fig.3.6 mostra como varia a altura manométrica (Hman), a potência no eixo (Peixo) e o rendimento global deuma bomba que opera numa dada rotação em função da vazão (Q). Se observa que a curva de Hman aumentaquando a vazão diminui. Isto caracteriza uma bomba com curva de carga ascendente. Bombas com curvasopostas a esta se denominam curvas de carga descendentes.Altura ou Carga de ShutoffDenomina-se a carga (altura) desenvolvida quando a vazão é nula (Q=0), e representa a carga de pressãocom a válvula de descarga fechada. Como não há escoamento a eficiência é nula (η=0) e a potênciafornecida à bomba é totalmente dissipada em forma de calor. É uma situação que pode ocorrer e deve serevitada no funcionamento de bombas. Figura 3.6 Ponto de operação de bomba centrífuga.Ponto Ótimo de Funcionamento Observa-se que quando a vazão aumenta a partir da vazão nula, a potência de acionamento da bombaaumenta, atinge um máximo e apresentando uma queda nas proximidades da descarga máxima. A Fig.3.6mostra que o rendimento da bomba é função da vazão e que atinge um máximo numa determinada vazãodenominada vazão de projeto, (QProjeto) , vazão de normal (Qnormal) ou vazão ótima (Qotima) Por isto é muitoimportante que a bomba, sempre que possível, opere numa condição próxima do rendimento máximo.3-8 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Capítulo 3: Curvas Características de Bombas Centrífugas3.8 Outras Representações de Curvas Características Diferentes tipos de rotores podem ser utilizados num determinado corpo. Por isto os fabricantes debombas fornecem as curvas do comportamento de vários conjuntos de rotores (para um mesmo corpo) numúnico gráfico, tal como mostrado na Fig.3.7. Observa-se que a bomba, dependendo do diâmetro, apresentacurvas H-Q diferentes. Também mostra que o rendimento da bomba apresenta faixas de valores diferentes(curvas de iso-rendimento) dependendo da solicitação do sistema, isto é da H-Q requerido. Na Fig.3.7também é representada a curva NPSH (altura positiva liquida de aspiração) e a curva de potência deacionamento da bomba. A Fig.3.8 mostra um gráfico com toda a faixa de operação de famílias de bombascentrífugas de determinado fabricantes. Se o ponto de operação requerido num sistema de bombeamento estádentro da área demarcada significa que uma das bombas de este fabricantes pode suprir tal necessidade deoperação. Figura 3.7. Curva de bomba para diferentes diâmetros do rotor Figura 3.8 Exemplo de faixa de operação de famílias de bombas centrífugasPUCRS – FENG- 2010 3-9
    • Sistemas Fluidomecânicos3.9 Identificação Variáveis nas Curvas Características.A Fig. 3.9 mostra as curvas típicas de bombas centrifugas. Observa-se no gráfico superior que existem 05curvas de altura manométrica (Head) versus vazão (flow rate) correspondente a 05 rotores (impeller) comdiâmetros diferentes. Mostram-se também na mesma figura as curvas de iso–rendimento. Na figura inferioras respectivas 05 curvas de potência de acionamento para os 05 rotores. Na figura intermediaria mostra-se acurva de NPSH que representa a altura positiva liquida de aspiração condição para não ocorrer cavitaçãocujo detalhamento será abordado no Cap.8. Figura 3.9 Exemplo de faixa de operação de famílias de bombas centrífugas3-10 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Capítulo 3: Curvas Características de Bombas CentrífugasUtilizando os gráficos da Fig.3.9 podemos realizar algumas considerações. Se por exemplo um sistema deveoperar com uma vazão de 150 m3/h e uma altura manométrica de 62m, então a o rotor com diâmetro de 219mm satisfaz tal operação. Neste ponto o rendimento global da bomba é um pouco menor que 80%. Observa-se que para esta vazão o rotor de diâmetro de 219mm requer uma potencia de acionamento de pouco mais de32 kW. Os fabricantes apresentam as curvas características levantadas utilizando água com massa especificapadrão (ρ=1000 kg/m3); desta forma podemos verificar a potência utilizando a expressão: kg m 150 m 3 1000 x9,81 2 x62mx ρgH manQ m3 s 3600 s = 31,68kWWac = & = ηG 0,8 x1000 Observamos que este valor é muito próximo ao especificado pelo fabricante. Tomemos outroexemplo em que se deseje operar um sistema com uma vazão de 200m3/h e altura manométrica de 44m.Utilizando o mesmo gráfico da Fig.3.9 observa-se que o ponto de operação desejado se encontra entre ascurvas dos rotores com diâmetro de 199mm e de 208mm. Observa-se que rotor de 199mm não consegueatender esta demanda já que a sua altura manométrica (43m) é inferior a altura manométrica requerida. Nocaso do rotor de 208mm este consegue atender com muita folga já que para esta vazão sua alturamanométrica é de 50m. No caso em que o ponto de operação não coincide com um ponto na curvacaracterística de um determinado rotor os fabricantes podem apresentar alternativas de realizar corte nosrotores a fim de ajustar o ponto de operação desejado. Existem fabricantes que apresentam esta informação em catálogos iterativo na internet nos quais ousuário precisa fornecer os dados requeridos para o sistema (altura,vazão) sendo o resultado mostrado comgráficos que apresentam o ponto de operação com o respectivo rotor cortado para a demanda especifica. Porexemplo, desejamos que um sistema opere com uma vazão de 50m3/h e uma altura manométrica de 20m. Oresultado do processo iterativo é mostrado na Fig.3.10 onde a bomba com corte do rotor apropriado deveráutilizar um rotor com diâmetro de 229mm motor, potência de 7,5HP, apresentando um rendimento de 67%.Desta forma o diâmetro de 229mm corresponde ao diâmetro de corte do rotor proporcionado pelo fabricantepara ajustar-se ao ponto de operação desejado. Figura 3.10 Exemplo de seleção de bomba centrífugaPUCRS – FENG- 2010 3-11
    • Sistemas Fluidomecânicos3.10 Equações Especificas Para Corte de Rotores Na indústria de bombas os fabricantes podem oferecer varias opções de diâmetros do rotor mantendoo mesmo corpo da bomba. Com este procedimento é possível maior versatilidade e opções para ajustar-se ademandas especificas. Como vantagens o procedimento permite economia no custo de fabricação, aumentoda capacidade substituindo o rotor, padronizar a base da instalação. O procedimento do corte do rotorconsiste em, a partir de um determinado diâmetro realizar a redução do diâmetro externo numa operação deusinagem mecânica, sem alterar outros componentes da bomba (Fig.3.11). O procedimento é mais fácil derealizar em bombas centrifugas radiais, onde as fases laterais do rotor são paralelas. Existe um compromissoentre o percentual de redução do rotor com o desempenho da bomba já que resulta numa queda norendimento da bomba. Existem vários métodos que permitem relacionar as conduções da máquina com o diâmetro originale o diâmetro após o corte do rotor. Quando o rotor possui um corte menor que 10% podem ser utilizadas asleis de semelhança para levantar as novas condições de funcionamento.Equações de Especificas para Corte do Rotor 2 2 3 D  D  & D Q2 = Q1  2  D  H 2 = H1  2  W2 = W1  2  & D   1  D1   1 2 Q2 H2 Q D2 = D1 D2 = D1 H 2 = H1  2  Q1 H1 Q   1 Figura 3.11 Detalhe do diâmetro de corte e diâmetros do rotor3-12 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Capítulo 3: Curvas Características de Bombas Centrífugas3.10.1 Determinação do Diâmetro de Corte de Uma Bomba Centrífuga Consideremos o exemplo em que temos uma curva de uma bomba com diâmetro de 208mm extraídada Fig.3.9 além de ter também a sua respectiva equação característica aproximada por: H man = 60 + 0,0421Q − 0,0004Q 2 Se deseja determinar o diâmetro que deve ser reduzido o rotor de 208mm para que possa operar juntocom o sistema com vazão de 200m3/h e altura manométrica de 44m, ponto também representado no gráficoda Fig.3.12. 70 Diâmetro do rotor D=208mm 60 50 Altura manometrica (m) 40 30 20 10 0 0 50 100 150 200 250 vazão (m3/h) Figura 3.12 Curva de bomba com diâmetro do rotor de 208mm Primeiro determinamos com os valores de Hman=44m e Q=200m3/h a equação de uma curvaparabólica que passa pela origem e por este ponto dada pela expressão: H c = kQ 2 . Neste caso a constantek=44/(200)2= 0,0011. Desta forma a equação que representa a curva parabólica é dada por H c = 0,0011Q 2 Igualando as duas equações determinamos o ponto de interseção da curva parabólica com a curva dabomba. Pela igualdade das equações se obtém uma equação resultante de 20 grau do tipo aQ 2 + bQ − c = 0 ,com as constantes a=-0,0015 b=0,0421 c=60. Resolvendo a mesma se obtém Q0=214,5 m3/h. Com tal vazão se obtém aaltura manométrica H0=50,62m. A figura mostra este ponto na interseção das duas curvas. 70 Diâmetro do rotor D=208mm 60 50 Altura manometrica (m) 40 30 20 Curva parabolica 10 0 0 50 100 150 200 250 Vazão (m3/h) Figura 3.13 Curva parabólica e curva da bombaPUCRS – FENG- 2010 3-13
    • Sistemas Fluidomecânicos Tendo o ponto correspondente ao rotor de 208mm podemos agora determinar o diâmetro necessáriopara o ponto de operação requerido: Qr 200 Dr = D0 Dr = 208 = 201mm Q0 214,5 Utilizando as relações: 2 Q  D H r = H 0  r  e Qr = Q0 r Q   0 D0 Podemos apresentar graficamente a nova curva da altura manométrica 70 D=208mm 60 50 Altura manometrica (m) D=201mm 40 30 20 Curva parabolica 10 0 0 50 100 150 200 250 Vazão (m3/h) Figura 3.14 Resultado da nova curva com rotor de 201mm que passa pelo ponto de operação3-14 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Capítulo 3: Curvas Características de Bombas Centrífugas3.10.2 Método Gráfico para Determinar novo Diâmetro O método consiste em determinar um novo diâmetro (D2) a partir de uma bomba que possui um rotorcom diâmetro D1 com sua curva característica de altura vazão conhecida. Deseja-se, portanto que a bombaopere no ponto 2 com uma vazão Q2 e altura manométrica H2. Figura 3.15 Curva da bomba com diâmetro conhecido e ponto de operação requerido. Neste procedimento se escolhe um ponto A próximo e acima da curva com diâmetro D1 para o qualse determina a vazão e altura manométrica. HA e QA. Se demarca uma linha reta unindo os pontos A e 2interceptando assim a curva com diâmetro D1 determinando-se a vazão Q1 e H1. Tendo os valores de Q1 e H1e os dados iniciais de Q2 e H1 determina-se com as relações de semelhança o diâmetro D1 que deve sercortado o rotor da bomba para atender a demanda especifica. (a) (b) (c ) Figura 3.16 Etapas para determinar graficamente o novo diâmetro de corte.PUCRS – FENG- 2010 3-15
    • Sistemas Fluidomecânicos3.10.3 Correção do Diâmetro de corte Método de StepanoffO procedimento que permite determinar o diâmetro de corte do rotor para atender uma determinada condiçãode operação pode ser corrigido utilizando o método de Stepanoff. Dcalculado DcorrigidoRcal = Rcor = Doriginal DoriginalConforme gráfico mostrado o método propõe uma correção dada por uma relação linear:Rcor = 0,1225 + 0,875RcalA tabela mostra alguns valores desta relação.Observa-se que a correção do diâmetro tende ao valor calculado quando o diâmetro de corte é muito próximodo diâmetro original. Por exemplo, na para Rcal > 0,95 temos que Rcal=Rcor e desta forma Dcor=Dcal. Rcal Rcor 1,00 0,65 0,69 0,70 0,74 Método de correção de Stepanoff Relaçao de diâmetro corrigido (Rcor) 0,95 0,75 0,78 0,80 0,82 0,90 0,85 0,87 0,90 0,91 0,85 0,95 0,95 1,00 1,00 0,80 0,75 0,70 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00 Relaçao de diâmetro calculado (Rcal) Figura 3.17 Método de Stepanoff para correção do diâmetro de corte.3-16 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Capítulo 3: Curvas Características de Bombas Centrífugas3.10.4 Exemplo para Determinar Diâmetro de Corte – Método Gráfico. 1. Contamos com uma curva de altura vazão de uma bomba com diâmetro original igual a D1=208mm. Consideremos que temos um ponto 2 com dados de operação de altura manométrica e vazão conhecidos para os quais desejamos determinar o diâmetro de corte D2. H 2 = 44m Q2 = 200m3 / h D2 = ? Figura 3.18 Curva característica da bomba e pontos para determinar o novo diâmetro 2. Escolhemos um ponto A ligeiramente superior a curva da bomba e determinamos os valores de altura manométrica e vazão. H A = 53,2m QA = 220m3 / h 3. Unindo o ponto A com o ponto 2 com uma linha reta que intercepta a curva da bomba com diâmetro D1, determinamos a sua altura e vazão. H1 = 50,6m Q1 = 214,5m3 / h D1 = 208mm 4. Com os valores do ponto 1 conhecido determina-se o diâmetro do rotor. Q2 200 D2 ≅ 201mm D2 = D1 D2 = 208 = 200,8mm Q1 214,5 Desta forma podemos verificar os resultados utilizando as relações de altura e vazão: 2 2 Q   200  H 2 = H1  2  = 50,6 Q   ≅ 40m  1  214,5  2 2 D   200,8  Q2 = Q1  2  = 214,5    ≅ 200m / h 3  D1   208 PUCRS – FENG- 2010 3-17
    • Sistemas Fluidomecânicos Também podemos supor que conhecemos o rendimento no ponto 1 e assim determinamos a potencia: & ρgH1Q1 = 1000 x9,81x50,6 x(214,5 / 3600) = 36,1kW W1 = η1 0,82 Com esta informação podemos avaliar a potencia e o rendimento do ponto 2 da bomba neste ponto deoperação, observando-se que o rendimento é inferior ao do ponto 1. 3 3 & D   200,8  W2 = W1  2  = 36,1  = 32,48kW D  &  1  208  ρgH 2Q2 1000 x9,81x 44 x(200 / 3600) η2 = = x100 = 74% W2 32,48 x1000 Podemos aplicar a correção de Stepanoff Dcalculado 201 Rcal = = = 0,966 Doriginal 208 Rcor = 0,1225 + 0,875Rcal = 0,1225 + 0,875x0,966 = 0,968 Dcorrigido Rcor = Dcor = Rcor Doriginal = 0,698 x 208 = 201,3mm Doriginal Observa-se que a correção para esta relação de diâmetros é muito pequena. Este procedimento pode ser realizado para outros pontos obtendo-se a curva que representa a faixa deoperação da bomba com diâmetro D2 Figura 3.19 Resultado mostrando a curva com novo diâmetro do rotor.3-18 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Capítulo 3: Curvas Características de Bombas Centrífugas3.11 Associação de Bombas em Série• São utilizadas em instalações que requerem resolver problemas de alturas elevadas.• Empregadas em condições de alta pressão ou quando se requer grandes mudanças de altura manométrica.• As bombas utilizadas podem ser iguais ou diferentes• Neste tipo de conexão as bombas trabalham com a mesma vazão, sendo que a altura manométrica é determinada pela contribuição das altura manométricas de cada uma das bombas.• Bombas em estágio são consideradas bombas em série e utilizadas quando Hman é maior que 50m.Para obter a curva resultante de uma conexão em série de duas bombas A e B devemos conhecer suas curvascaracterísticas. Considerando uma série de n pontos podemos determinar para ponto de igual vazão a alturamanométrica de cada bomba podendo ser elaborada uma tabela com representado a seguir.Para determinar curva característica das duas bombas conectadas em série adicionam-se as alturasmanométricas de cada bomba H para cada vazão considerada. Por exemplo, para um ponto i QSi = Q Ai = QBi H Si = H Ai + H Bi η1η 2 (H 1 + H 2 )Rendimento de duas bombas em série: ηT = H 1η 2 + H 2η1 Figura 3.20 Conexão de Bombas em SérieCurva característica:01 Bomba H A = H 0 − AQ 202 bombas A e B iguais associadas em série: H S = H A + H B = 2 H A H S = 2 H o − 2 AQ 2PUCRS – FENG- 2010 3-19
    • Sistemas Fluidomecânicos3.11.1 Curva característica de bombas em serieConsideremos duas bombas diferentes A e B.H A = a 0 − a1Q A − a 2 Q A 2H B = b0 − b1Q B − b2 Q B 2Para conexão em série:HS = H A + HB QS = Q A = Q B = QDesta forma obtemos:H S = (a 0 + b0 ) − (a1 + b1 )Q − (a 2 + b2 )Q 2Duas bombas iguaisH s = 2a 0 − 2a1Q − 2a 2 Q 2H S = 2(a 0 − a1Q − a 2 Q 2 )H S = 2H APara duas bombas iguais um caso simplificado é dado por:a0 = H 0a1 = 0a2 = AH s = 2a 0 − 2a1Q − 2a 2 Q 2H s = 2 H 0 − 2 AQ 23-20 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Capítulo 3: Curvas Características de Bombas Centrífugas3.11.2 Rendimento de duas bombas em sérieConsideremos o caso de duas bombas diferentes A e B conectadas em serie:Na conexão em série a potencia total é a soma das potencias parciais de cada bomba:WS = W A + W A & & &onde: ρgH S QS ρgH A Q A ρgH B QB WS = & WA = & WB = & ηS ηA ηBcomo:QS = Q A = Q B = QρgH S Q ρgH A Q ρgH B Q = + ηS ηA ηBHS HA HB = +ηS ηA ηBcomo:HS = H A + HBDesta forma:(H A + H B ) = H A + HB ηS ηA ηB(H A + H B ) = H Aη B + H Bη A ηS η Aη BFinalmente de obtém:ηS = (H A + H B )η Aη B H Aη B + H Bη APUCRS – FENG- 2010 3-21
    • Sistemas Fluidomecânicos3.12 Associação de Bombas em Paralelo• Utilizada em sistemas onde se requer aumentar a vazão e tendo flexibilidade em relação à demanda podendo conectar ou desligar unidades em funcionamento.• Devido à existência de perdas de carga, a vazão resultante da associação de bombas em paralelo é sempre menor que a soma algébrica da vazão de cada uma das bombas funcionando isoladamente.• Recomenda-se utilizar bombas iguais para evitar recirculação de correntes desde a bomba de maior potência para a de menor potência.• Bombas de aspiração dupla ou de entrada bilateral (rotor germinado) trabalham como bombas em paralelo.Conhecida a curva característica das duas bombas associadas em paralelo pode ser determinada a curvacaracterística das bombas trabalhando separadas. Para um ponto “i” vazão e altura pode ser determinadacomo: QPi Q Ai = QBi = 2 H Ai = H Bi = H PiRendimento de duas bombas em paralelo: η1η 2 (Q1 + Q2 )ηT = Q1η 2 + Q2η1 Figura 3.21 Conexão de Bombas em ParaleloCurva característica:01 Bomba H A = H 0 − AQ A 2 2 Q A 202 bombas A e B iguais associadas em paralelo: H P = H 0 − A  ou HP = H0 − Q 2 43-22 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Capítulo 3: Curvas Características de Bombas Centrífugas3.12.1 Curva Característica de Bombas em Paralelo:Consideremos duas bombas diferentes A e B conectadas em paralelo.H A = a 0 − a1Q A − a 2 Q A 2H B = b0 − b1Q B − b2 Q B 2Para conexão em paralelo:QP = Q A + QB HP = HA = HBConsiderando a bomba A:H P = a 0 − a1Q A − a 2 Q A 2Duas bombas iguais:QP = 2Q A e desta forma: Q A = Q p / 2Substituindo na equação da altura: a1 a 2H P = a0 − Qp − 2 Qp 2 4Para duas bombas iguais um caso simplificado é dado por:a0 = H 0a1 = 0a2 = A A 2HP = H0 − Qp 4PUCRS – FENG- 2010 3-23
    • Sistemas Fluidomecânicos3.12.2 Rendimento de Duas Bombas em ParaleloConsideremos o caso de duas bombas diferentes A e B conectadas em paralelo:Na conexão em paralelo a potência total é dada por:WP = W A + W A & & &onde: ρgH P Q p ρgH A Q A ρgH B QB Wp = & WA = & WB = & ηp ηA ηBcomo as bombas estão conectadas em paralelo:HP = HA = HB = H e QP = Q A + QBDesta forma:ρgHQP ρgHQ A ρgHQ A = + ηS ηA ηBQP QA QA = +ηP ηA ηB(Q A + QB ) = Q A + QB ηP ηA ηB(Q A + QB ) = Q Aη B + QBη A ηS η Aη BFinalmente de obtém:ηP = (Q A + QB )η Aη B Q Aη B + QBη A3-24 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Capítulo 3: Curvas Características de Bombas Centrífugas3.13 Exemplo – Bombas Conexão em Serie e em ParaleloA tabela abaixo fornece os dados de altura manométrica e vazão da curva característica de uma bombacentrifuga. A partir destes dados tabele e grafique o resultado de 02 bombas iguais conectadas em serie e de02 bombas iguais conectadas em paralelo. 3 Q (m h) 0 40 80 120 160 200 H (m) 32,5 32 30,5 28 24,5 20Solução: No caso da conexão em serie somamos as alturas e mantemos a vazão. Por exemplo, para umavazão de 80 m3/h e altura de 30,5m temos Qs=Q=80m3/h e para altura Hs=2H=2*30,5m=61m. No caso daconexão em paralelo a vazão é adicionada mantendo a mesma altura. Para o mesmo exemploQp=2*Q=2x80=160 m3/h sendo que HP=H=30,5m. O mesmo pode ser realizado para os demais pontos databela. O resultado gráfico mostra-se na figura abaixo. 3 3 3 Q (m h) H (m) Qs (m h) Hs (m) Qp (m h) HP (m) 0 32,5 0 65 0 32,50 40 32 40 64 80 32,00 80 30,5 80 61 160 30,50 120 28 120 56 240 28,00 160 24,5 160 49 320 24,50 200 20 200 40 400 20,00 80 Duas Bombas Iguais em Serie 70 60 Altura Manometrica (m) 50 40 30 20 10 0 0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 Vazão (m3/h) 40 Duas Bombas Iguais em Paralelo 35 Altura manometrica (m) 30 25 20 15 10 5 0 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 Vazão (m3/h) Figura 3.22 Resultado da conexão de 02 bombas iguais em serie e em paraleloPUCRS – FENG- 2010 3-25
    • Sistemas Fluidomecânicos3.14 Exemplo - Conexão ParaleloConsidere que a figura abaixo representa a curva característica resultante de duas bombas iguais conectadasem paralelo. Grafique a curva característica de uma única bomba junto com a conexão das duas em paralelo. 18 H (m) 02 16 Bombas 14 12 10 8 6 4 2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 Q (L/s) Figura 3.23 Duas bombas iguais conectadas em paraleloPontos da curva característica de 2 bombas iguaisQ (L/s)H (m)Pontos da curva característica de uma única bombaQ (L/s)H (m) 18 H (m) 02 Bombas 16 01 Bomba 14 12 10 8 6 4 2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 Q (L/s) Figura 3.24 Resultado gráfico do problema3-26 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Capítulo 3: Curvas Características de Bombas Centrífugas3.15 Exemplo - Conexão SérieNa Fig. 3.15 se apresentam as curvas características de duas bombas. a)Graficar a curva resultante daconexão em série destas bombas. b) Determinar o rendimento global da conexão em série para uma vazão de4,0 m3/s na qual o rendimento da bomba A é de 50% e da bomba B é de 60%. 7 Bomba 1 6 5 Bomba 2 4 H(m) 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Q (m3/s) Figura 3.25 Gráfico de duas bombasPontos da curva característica da bomba B-1Q (m3/s)H (m)Pontos da curva característica da bomba B-2Q(m3/s)H(m)Pontos da curva característica - conexão em sérieQ(m3/s)H(m) Figura 3.26 Resultado gráfico do problema de bombas em serie.PUCRS – FENG- 2010 3-27
    • Sistemas Fluidomecânicos3.16 Outros ExemplosExemplo 3.1:Uma bomba centrifuga apresenta as seguintes equações de características de altura manometrica erendimento global: Hman= 30 - 300Q2 e ηG= 10Q - 40 Q2 quando tem uma rotação de 1750rpm. Determinar: (a) Eq. Característica da Hman considerando duas bombas idênticas conectadas em paralelo (b) Eq. Característica da Hman considerando duas bombas idênticas conectadas em série (c) Eq. Característica da Hman e ηG da bomba quando a rotação muda para 3500rpm. Obs: A questão ( c ) deve ser resolvida com os conceitos das equações de semelhança (Cap.5).Solução (a) Bombas conectadas em série (Q2S =Q1) H 1 = 30 − 300Q 2 H 2 S = 2 H 1 = 2(30 − 300Q 2 ) H 2 s = 60 − 600Q 2 (b) Bombas conectadas em paralelo (H2p=H1) (Q2s=2Q1) 2 Q H 2s = 30 − 300  2 H 2s = 30 − 75Q 2 (c) Bomba n2=3500 bomba n1=1750rpm 2 n  n  Q2 = Q1  2  = 2Q1 n  H 2 = H1  2   = 4H 1   1  n1  H 1 = 30 − 300Q12 onde: Q1=Q2/2.   Q2  H 2 = 4 H 1 = 4 30 − 300 2   = 120 − 300Q 2   2     2  Q2  Q  η G = 10  − 40 2  = 5Q − 10Q 2  2   2  Obs. Continuar o problema graficando as curvas características.3-28 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Capítulo 3: Curvas Características de Bombas Centrífugas3.17 Atividade de Aprendizado - 1 – PropostaBomba centrífuga Diâmetro do rotor (mm) Largura da pá (mm) Ângulo da pá (graus)Entrada 150 75 200Saída 300 50 250OBS: Fluido: água a 200C. Rotor com entrada radial. Numero de pás: 7. Rotação: 1450 rpm. & Wac Q Q Hman Rendimento Ht00 Ht# Hman 3 (m /s) (L/s) (m) (kW) (%) (m) (m) 40 32,0 34,2 80 30,5 39,2 120 28,0 45,0 160 24,5 52,5 200 20,0 64,5 1. Eq. que representa a curva da altura teórica para numero infinito de pás: Ht00 = 2. Eq. que representa a curva da altura teórica para numero finito de pás: Ht# = 3. Eq. que representa a curva da altura manométrica da bomba Hman= 60 58 56 54 52 50 48 46 44 42 40 an ) Hm (m 38 36 34 32 30 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 Vazao (L/s)PUCRS – FENG- 2010 3-29
    • Sistemas Fluidomecânicos3.18 Atividade de Aprendizado – 2 - Resolvida Num laboratório é testado um modelo de bomba de 100mm de diâmetro e 1440rpm. O resultado éapresentado na Tabela. Q H Rendimento 3 (m /h) (m) (%) 35 18 72 40 17.4 77 45 16.6 82 50 15.7 83 55 14.6 84 60 13.4 82 65 12 77 70 10.5 70 75 8.8 60 80 7 50Atividades 1. Graficar a informação dada na tabela. 2. Determinar e graficar a curva de potencia da bomba. 3. Determinar a Eq. que representa a altura manométrica por ajuste no Excel. 4. Determinar a Eq. que representa a curva de rendimento por ajuste no Excel. 5. Determinar a vazão de projeto, altura manométrica de projeto e rendimento neste ponto. 6. Determinar a rotação especifica característica para o ponto de máximo rendimento. 7. Graficar o resultado de duas bombas iguais conectadas em serie. 8. Graficar o resultado de duas bombas iguais conectadas em paralelo. 9. Considerando que será construída uma bomba semelhante de 200mm diâmetro que trabalhara com 1750rpm, Graficar: H − Q η − Q Pot − Q da bomba.3-30 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Capítulo 3: Curvas Características de Bombas CentrífugasSolução:1. Graficar a informação dada na tabela. 20 200 18 Bomba de 100mm e 1440rpm 180 16 160 Altura Manometrica Rendimento (%) 14 140 12 2 120 H = -0.003Q + 0.1002Q + 18.179 (m) 10 100 8 80 6 60 4 40 Rendimento = -0.0439Q2 + 4.5718Q - 34.842 2 20 0 0 30 40 50 60 70 80 90 Vazao (m3/h)2. Determinar e graficar a curva que representa a potencia da bomba.A Tabela-1 mostra os dados resultados da potencia sendo graficados na figura abaixo. 3.5 Curva de Potência Bomba de 100mm e 1440rpm 3.0 2.5 Potência (kW) 2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 35 45 55 65 75 Vazao (m3/h)3. Eq. que representa a altura manométrica por ajuste no Excel. H = 18.179 + 0.1002Q - 0.003Q24. Eq. que representa a curva de rendimento por ajuste no Excel. η = - 34.842 + 4.5718Q - 0.0439Q2.5. Determinar a vazão de projeto e altura manométrica de projeto. A vazão de projeto é determinada derivando a expressão do rendimento e igualando a zero, destaforma encontra-se a vazão para o rendimento máximo. Com esta vazão determina-se a altura manométrica. Q=52,07 m3/h η=84,2% H=15.3m6. Determinar a rotação especifica característica para o ponto de máximo rendimento. Q 52,071 / 3600 nq = n = 1440 * = 22,27 rpm H man 3/ 4 (15,4)3 / 47. Graficar o resultado de duas bombas iguais conectadas em serie.O resultado das duas bombas conectadas em serie mostra-se na Tabela-2PUCRS – FENG- 2010 3-31
    • Sistemas Fluidomecânicos 40 2 Bombas em Serie D=100mm 35 Altura Manometrica (m) 30 25 20 15 10 5 0 30 40 50 60 70 80 90 Vazao (m3/h)8. Graficar o resultado de duas bombas iguais conectadas em paralelo.O resultado das duas bombas conectadas em paralelo mostra-se na Tabela-2 20 18 2 Bombas Paralelo D=100mm 16 Altura Manometrica (m) 14 12 10 8 6 4 2 0 30 50 70 90 110 130 150 170 Vazao (m3/h)8. Graficar: H − Q η −Q Pot − Q Bomba de 200mm e 1750rpm 120 200 Bomba de 200mm e 1750rpm 180 100 160 Altura Mnometrica 140 Rendimento (%) 80 120 60 100 80 40 60 40 20 20 0 0 300 400 500 600 700 800 Vazao (m3/h) 190 Curva de potência Bomba de 200mm e 1750rpm 170 150 Potência (kW) 130 110 90 70 50 300 400 500 600 700 800 Vazao (m3/h)3-32 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Capítulo 3: Curvas Características de Bombas Centrífugas RESULTADOS DOS DADOS TABELADOS Tabela – 1 Q H Rend Potência 3 (m /h) (m) (%) kW 35 18 72 2.4 40 17.4 77 2.5 45 16.6 82 2.5 50 15.7 83 2.6 55 14.6 84 2.6 60 13.4 82 2.7 65 12 77 2.8 70 10.5 70 2.9 75 8.8 60 3.0 80 7 50 3.1 Tabela – 2 2 Bombas - Série 2 Bombas - Paralelo 3 Qs Hs (m) Qp (m /h) Hp (m) 35 36.0 70.0 18.0 40 34.8 80.0 17.4 45 33.2 90.0 16.6 50 31.4 100.0 15.7 55 29.2 110.0 14.6 60 26.8 120.0 13.4 65 24.0 130.0 12.0 70 21.0 140.0 10.5 75 17.6 150.0 8.8 80 14.0 160.0 7.0 Tabela – 2 Bomba semelhante n2=1750 D2=200mm Q H Rend Potência 3 (m /h) (m) (%) kW 340.28 106.34 72 136.9 388.89 102.79 77 141.5 437.50 98.07 82 142.6 486.11 92.75 83 148.0 534.72 86.25 84 149.6 583.33 79.16 82 153.5 631.94 70.89 77 158.5 680.56 62.03 70 164.3 729.17 51.99 60 172.2 777.78 41.35 50 175.3PUCRS – FENG- 2010 3-33
    • Sistemas Fluidomecânicos3.19 Problemas PropostosProblema 3.1:Considere os seguintes dados de uma bomba centrífuga com entrada radial. D1=150mm D2=300mm N=1450rpm b1=75mm b2=50mm α1=900 β1=200 β2=250 ρ=1000 kg/m3Determinar os polígonos de velocidades da bomba considerando número infinito de pás.Determinar o grau de reação da bomba.Determinar a equação da altura teórica para número infinito de pás versus a vazão da bomba (Htoo-Q)Graficar a curva característica para número infinito de pás. Htoo = k1 - k2QDeterminar a altura teórica para número finito de pás ( Ht# ) considerando 7 pás.Graficar a curva característica para número finito de pás. Ht# = k*1 - k*2QQ m3/sQ L/s 0 40 80 120 160 200Htoo MHt# MProblema 3.2Considere que a bomba definida no Problema 1 foi fabricada sendo levantada a sua curva característica em laboratório.Os resultados da curva real são dados a seguir:Q L/s 40 80 120 160 200Hman m 32 30,5 28 24,5 20W& kW 34,2 39,2 45 52,5 64,5 acGraficar as curvas de altura-vazão e potência-vazão 2Determinar a curva característica da bomba considerada do tipo H = k1 - k2QDeterminar para a bomba fabricada a altura manométrica máxima (Hmax) e a vazão máxima (Qmax).Determinar a rotação específica característica da bomba. (nq)Problema 3.3Graficar a curva da altura manométrica versus a vazão. (Hman-Q)Determinar o rendimento correspondente a cada ponto levantado no laboratório.Determinar a equação do rendimento considerando que é do tipo η=k1Q + k2Q 2Determinar a vazão de projeto (Qp) e altura manométrica de projeto (Hp).Q L/sHman m &Wac KWη %Problema 3.4Graficar a curva característica (Hman-Q) ( P-Q) (η-Q) considerando uma rotação n=1300rpm.Q L/sHman mW& kW acProblema 3.5A bomba é utilizada para elevar água num sistema com altura estática de elevação igual a 15m. A tubulação tem umcomprimento de 2750m. Considere que o fator de atrito na tubulação é igual a f=0,02. Determine a curva do sistema. Determine o ponto de funcionamento bomba-sistema considerando interseção das curvas. Determine rendimento no ponto de funcionamento3-34 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Capítulo 3: Curvas Características de Bombas Centrífugas Determine a potência da bomba para as condições do sistema.O resultado gráfico do Problema 1 ao 3 é mostrado na Fig. 3.27 Figura 3.27 – Curva característica– Resultados gráficos dos problemas propostos.Comentário Final:Com este material o aluno deverá estar capacitado para estudar: qual é a influência da curvatura das pás embombas centrífugas, quais os tipos de pás e como é transferida, teoricamente, a energia do rotor ao fluidocom os diferentes tipos de pás. Foram apresentadas as curvas teóricas e as curvas reais das bombascentrífugas. Nas aplicações de engenharia o aluno deverá lidar com as curvas reais já que são estas asfornecidas pelos fabricantes. Com tal informação o aluno poderá selecionar, dos fabricantes existentes nomercado, o tipo de bomba mais apropriada para uma determinada aplicação. A informação e definiçõescomplementares de altura manométrica, rendimento global, potência de acionamento e NPSH das bombas,são abordados nos capítulos seguintes.PUCRS – FENG- 2010 3-35
    • Capítulo 4: Coeficientes Adimensionais e Leis de Similaridade Coeficientes Adimensionais e Leis de SimilaridadePUCRS – FENG - 2010 4-1
    • Sistemas Fluidomecânicos Coeficientes Adimensionais e Leis de Similaridade SUMÁRIO 4.1 COEFICIENTES ADIMENSIONAIS ...............................................................................................................3 4.1.1 NÚMERO DE REYNOLDS ......................................................................................................................4 4.1.2 NÚMERO DE MACH..............................................................................................................................4 4.1.3 RUGOSIDADE RELATIVA ......................................................................................................................5 4.1.4 COEFICIENTE DE PRESSÃO OU ALTURA ESPECÍFICA .............................................................................5 4.1.5 COEFICIENTE DE VAZÃO OU CAPACIDADE ESPECIFICA ..........................................................................5 4.1.6 COEFICIENTE DE POTÊNCIA .................................................................................................................5 4.2 EFEITOS DE ESCALA ...............................................................................................................................8 4.2.1 EFEITO DO NÚMERO DE REYNOLDS ..........................................................................................................8 4.2.2 EFEITO DO NÚMERO DE MACH.................................................................................................................8 4.2.3 EFEITO DA RUGOSIDADE RELATIVA..........................................................................................................8 4.2.4 EFEITO DE ESPESSURA ...........................................................................................................................8 4.3 LEIS DE SIMILARIDADE ............................................................................................................................9 4.3.1 LEIS DE SIMILARIDADE PARA DUAS MÁQUINAS SEMELHANTES ...................................................................9 4.4 UTILIZANDO AS LEIS DE SIMILARIDADE ...................................................................................................10 4.5 MODIFICAÇÃO DO TAMANHO DA BOMBA .................................................................................................12 4.6 CURVA CARACTERÍSTICA DE BOMBA VARIANDO A ROTAÇÃO: .................................................................13 4.7 RENDIMENTO GLOBAL VARIANDO A ROTAÇÃO .......................................................................................14 4.8 DETERMINAÇÃO DA ROTAÇÃO ESPECIFICA ............................................................................................14 4.9 ROTAÇÃO ESPECÍFICA CARACTERÍSTICA - NQ .........................................................................................15 4.10 NÚMERO ESPECÍFICO DE ROTAÇÕES POR MINUTO.................................................................................17 4.10.1 RELAÇÃO ENTRE NS - NQ ...............................................................................................................17 4.11 VELOCIDADE ESPECÍFICA EM BOMBAS DE MÚLTIPLOS ESTÁGIOS ............................................................18 4.11.1 BOMBAS COM ENTRADAS BILATERAIS (ROTOR GEMINADO) .................................................................18 4.11.2 BOMBAS COM VÁRIOS ESTÁGIOS E ENTRADA BILATERAL......................................................................18 4.11.3 ROTAÇÃO ESPECÍFICA - UNIDADES AMERICANAS ...............................................................................18 4.11.4 NÚMERO ESPECÍFICO DE RPM EM FUNÇÃO DA POTÊNCIA ..................................................................19 4.11.5 OUTRAS RELAÇÕES ..........................................................................................................................19 4.11.6 RELAÇÃO ENTRE COEFICIENTE DE PRESSÃO E NÚMERO ESPECÍFICO DE ROTAÇÕES ...........................20 4.12 EXEMPLOS RESOLVIDOS .......................................................................................................................20 4.13 ATIVIDADE DE APRENDIZADO ................................................................................................................27 O 4.14 ATIVIDADE PROPOSTA N 1 ...................................................................................................................31 O 4.15 ATIVIDADE PROPOSTA N 2 ...................................................................................................................324-2 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Capítulo 4: Coeficientes Adimensionais e Leis de Similaridade4.1 Coeficientes Adimensionais A performance das máquinas de fluxo deve ser determinada por testes experimentais, sendo quediferentes máquinas apresentam características diferentes. Podem existir máquinas da mesma família (mesmo desenho porém fabricadas com diferentestamanhos), as quais constituem uma série de máquinas geometricamente semelhantes ou similares, podendofuncionar com diferentes rotações dentro de limites práticos. Trabalhando com as grandezas reais de cadamáquina seria impossível caracterizar uma família de máquinas semelhantes pela grande quantidade devariáveis envolvidas. O problema é resolvido aplicando análise adimensional às variáveis envolvidas, formando gruposadimensionais. Desta forma, os grupos adimensionais fornecem leis de similaridade que governam asrelações entre uma família de máquinas geometricamente semelhante. A Tab. 4.1, apresentada a seguir,mostra as variáveis envolvidas em turbomáquinas.Tabela 4.1 Variáveis Envolvidas em TurbomáquinasSímbolo Variável Dimensões Unidades W& Potência transferida. (entre o impelidor e fluido) ML2T-3 Watts Q Vazão através da máquina L3T-1 m3/s H Energia a ser vencida ou extraída pela máquina L M n Rotação do impelidor T-1 rad/s D Diâmetro do impelidor L M ρ Massa específica do fluido ML-3 kg/m3 µ Viscosidade absoluta do fluido ML-1T-1 Ns/m2 K Módulo de elasticidade volumétrico ML-1T-2 N/m2 ε Rugosidade absoluta interna da máquina L MComo H é a energia por unidade de peso do fluido, é preferível utilizar como variável o termo (gH), querepresenta a energia por unidade de massa, ou também chamada energia específica (Y=gH), que é maisfundamental, já não depende da aceleração da gravidade. Consideramos a energia específica como a variável dependente. A relação entre as variáveisenvolvidas é expressa como:gH = φ (Q, n, D, ρ , µ , K , ε )Utilizando método indicial, a série de potência se reduz para:gH = CQ a , n b , D c , ρ d , µ e , K f , ε ionde C é uma constante de proporcionalidade.Substituindo as dimensões de cada variável envolvida: a b d e fL2  L3   1  c M   M   M  =     ( L)  3      ( L) iT 2  T  T  L   LT   LT 2 PUCRS – FENG - 2010 4-3
    • Sistemas FluidomecânicosAs equações indiciais:Para:[ M ]:0 = d + e + f ⇒ d = −e − f[T ]:−2 = −a − b − e − 2 f ⇒ b = −2 − a − e − 2 f[L] : 2 = 3a + c − 3d − e − f + i ⇒ c = 2 − 3a − 2e − 2 f − iSubstituindo nas equações originais: (2 − a − e − 2 f )gH = K c Q a , n , D ( 2 −3 a − 2 e − 2 f −i ) , ρ ( − e − f ) , µ e , K f , ε i e f  µ   K  ε  a i  Q gH = Cn D  2 3  2   nD 2 ρ    2 2    n D ρ D  nD        gH  Q   µ   K   ε  = φ  ; 3   ;  2 2 ;      nD   nD ρ   n D ρ   D  2 2 2n D Da expressão apresenta diferentes parâmetros característicos que serão definidos a seguir.4.1.1 Número de ReynoldsSabemos que velocidade periférica é dada como U=ωR. Podemos também expressar que U é proporcional anD isto é U ∝ nD desta forma na expressão: µ µ Podemos substituir: n=U/D com o qualnD ρ 2 UDρ 1 µo qual representa: = Re nD 2 ρa viscosidade cinemática é dada como ν=ρ/ µ e desta forma a expressão representa o número de Reynoldsdefinido como: UDRe = ν4.1.2 Número de Mach kA velocidade do som pode ser dada como: c = onde k=ρc2 é o módulo elasticidade volumétrico. A ρvelocidade periférica n=U/D. K ρK c2 1 = = 2 =n D ρ U  2 2 2 2 U Ma   D ρ  D4-4 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Capítulo 4: Coeficientes Adimensionais e Leis de Similaridade4.1.3 Rugosidade RelativaO último termo e/D é definido como rugosidade relativa.Desta forma, o coeficiente de pressão é representado em função dos seguintes parâmetros adimensionais. [C H = φ C Q , Re, Ma, ε / D ]Da mesma forma, com auxilio da análise dimensional, considerando a vazão como variável independente se (obtém o coeficiente de potência ( CW ). Ambos são função das variáveis φ C Q , Re, Ma, ε / D & )4.1.4 Coeficiente de Pressão ou Altura EspecíficaPara trabalhar em unidades coerentes as expressões dos coeficientes são apresentadas em função davelocidade angular ω (rad/s) e não da rotação n (rpm). gHCH = ω 2D24.1.5 Coeficiente de vazão ou Capacidade Especifica QCQ = ωD 34.1.6 Coeficiente de Potência W&CW = ω 3D5 ρ &As relações funcionais entre CH, CW , WQ são determinadas experimentalmente e constituem um conjunto &característico que representam a performance de uma família de máquinas geometricamente semelhantes, eque são idênticas para todas aquelas máquinas em que Re, Ma, ε/D são as mesmas.Pode ser demonstrado que o rendimento global é função destas variáveis adimensionais. CQ C Hη= CW&Podemos representar as curvas características das turbomáquinas em função destes coeficientes. Porexemplo, vamos supor que temos a informação de uma bomba de um fabricante com diâmetro do rotor de200mm a qual opera com rotação de 1750rpm sendo fornecidos os dados de altura, vazão e rendimentoconforme tabela abaixo. A partir de estes dados, utilizando a planilha de Excel obtemos a potência epodemos graficar as curvas respectivas da altura manométrica rendimento e potencia como mostra a figura.PUCRS – FENG - 2010 4-5
    • Sistemas FluidomecânicosTabela 4.2 Dados de bomba Q H η 20 100 m3/h m % 18 10 18 32 Altura manometrica 16 Rendimento 80 Altura (m) e Potência (kW) 20 18,5 54 14 30 18 70 Rendimento (%) 40 16,5 79 12 60 50 14 79 10 60 10 66 8 40 70 5,4 38 6O resultado mostra que a bomba apresenta 4 20 Potênciaseu rendimento máximo (80%) para uma 2vazão de 46m3/h fornecendo uma altura 0 0manométrica em torno de 15,3m.Para 0 10 20 30 40 50 60 70 80cada um dos pontos podemos determinar Vazão (m3/h)os respectivos coeficientes de vazão,altura e potência, resultado mostrado natabela e gráficos dados abaixo. Figura 4.1 Curvas características da bomba 3Por exemplo, para Q=50m /h temos: Q 50 / 3600CQ = = = 0,0095 ωD 3 183,3 x0,2 3 gH 9,81x14CH = = = 0,102 ω D 2 2 183,3 2 0,2 2 W& 2414,6CW = = = 0,0012 ρω D & 3 5 1000 x183,33 0,2 5Observa-se que para graficar (Fig.4.2) em escalas apropriadas os coeficientes de vazão e potência forammultiplicados por 100 e o coeficiente de altura por 10. Tabela 4.3 Resultados dos coeficientes adimensionais da bomba Q H η W CQx100 CHx10 CWx100 m3/h m % Watts 10 18 32 1532,8 0,19 1,31 0,08 20 18,5 54 1867,1 0,38 1,35 0,09 30 18 70 2102,1 0,57 1,31 0,11 40 16,5 79 2276,6 0,76 1,20 0,12 50 14 79 2414,6 0,95 1,02 0,12 60 10 66 2477,3 1,14 0,73 0,13 70 5,4 38 2710,7 1,33 0,39 0,14Para verificar o resultado podemos utilizar para a vazão de 50m3/h a expressão do rendimento global.4-6 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Capítulo 4: Coeficientes Adimensionais e Leis de Similaridade CQ C H 0,0095 x0,102η= = = 0,79 (79% conforme dado origina do fabricante) CW& 0,0012O mesmo pode ser realizado para cada ponto fornecido pelo fabricante. Cabe assinalar que o valor 0,79 éobtido quando se trabalha com todo o numero de casas que utiliza a planilha Excel. 2,0 100 1,8 90 Rendimento 1,6 80 1,4 70 Rendimento (%) 1,2 60 CHx10 1,0 50 0,8 Coeficiente de altura 40 0,6 30 0,4 20 Coeficiente de potência 0,2 10 0,0 0 0,0 0,5 1,0 1,5 CQx100 Figura 4.2 Coeficiente adimensionais da bomba.PUCRS – FENG - 2010 4-7
    • Sistemas Fluidomecânicos4.2 Efeitos de Escala Quando se utilizam as leis de similaridade se assume que todos os critérios de similaridadedinâmica são satisfeitos. Quando se analisam os grupos adimensionais que representam o número deReynolds, o número de Mach e a rugosidade relativa se observa que isto não ocorre na realidade.4.2.1 Efeito do Número de Reynolds Sabemos que o Re para turbomáquinas é definido como Re=UD/ν . Toda mudança de rotação oudiâmetro altera o valor de Re, e por isto não pode ser considerado como um valor constante. Contudo, paraágua e ar este efeito é pequeno já que geralmente Re é muito alto, e o fluxo é geralmente turbulento.4.2.2 Efeito do Número de Mach. O aumento da rotação ou o diâmetro do rotor faz com que o número de Mach aumente. Desta formaisto faz não é satisfeita a condição de similaridade e os efeitos de compressibilidade poderão ser importantesafetando a performance da máquina. Os efeitos de compressibilidade devem ser estudados cuidadosamenteno caso de compressores e ventiladores quando se trabalha com as leis de similaridade.4.2.3 Efeito da Rugosidade Relativa A rugosidade absoluta (e) é um valor médio das alturas das perturbações superficiais quepermanecem as mesmas para um certo material e processo de fabricação, utilizado numa máquina (bomba,turbina, ventilador, compressor, etc) independente de seu tamanho. Porém, qualquer modificação detamanho da máquina e, portanto do impelidor implicará numa modificação da sua rugosidade relativa.Bombas maiores apresentam menor rugosidade relativa. Nas máquinas maiores isto tende a fazer perdas deatrito, pequenas e menos importantes.4.2.4 Efeito de Espessura Na prática é difícil manter similaridade geométrica devido ao efeito de interstícios (tamanhos). Amesma bitola de chapa, por exemplo, pode ser utilizada para uma ampla faixa de tamanhos de rotores.Todos estes efeitos são conhecidos como efeitos de escala. Em geral, o efeito de escala tende a melhorar aperformance das máquinas de maior porte.Nas equações de semelhança são desprezados os efeitos de viscosidade e rugosidade superficial. Quando otamanho da turbomáquina diminuí, como por exemplo no caso de modelos e protótipos, tais efeitos podemse tornar significativos. No caso de bombas pode ser utilizada a seguinte relação que considera a variação daeficiência em função da semelhança geométrica da bomba. 1/ 51 − η1  D1  = 1 − η 2  D2   4-8 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Capítulo 4: Coeficientes Adimensionais e Leis de Similaridade4.3 Leis de SimilaridadeTodas as máquinas de uma mesma família operam sob condições dinamicamente semelhantes. Desta formaos coeficientes adimensionais são os mesmos em pontos correpondentes de suas características. Isto implicaque as leis de similaridade, que governam as relações entre tais pontos correspondentes, podem serrelacionadas como:Coeficiente de vazão: QCQ = = cte ou também Q ∝ nD 3 nD 3Coeficiente de altura gHCH = 2 2 = cte ou também gH ∝ n 2 D 2 n DCoeficiente de potência: PCW = = cte ou também W ∝ ρn 3 D 5 & n D ρ & 3 5Devendo também satisfazer que Re, Ma ε/D sejam os mesmos. Tais máquinas apresentam um rendimentoconstante η=cte.4.3.1 Leis de Similaridade para Duas Máquinas Semelhantes 3Q2  n2   D2  =   Q1  n1   D1  2 2H 2  n2   D2  =   H1  n1   D1  3 5W2  n 2   D 2   ρ 2 &  =     W1  n1   D1   ρ1 &       η 2 = η1 (mesmo rendimento)Q1,Q2: vazões das bombasn1,n2: rotações das bombasH1,H2, alturas de elevação manométrica do líquido bombeado. & &W1 W2 : potência das bombas.Casos particulares:a) Mesmo Rotor b) Mesmo Fluido c) Mesma Rotação.PUCRS – FENG - 2010 4-9
    • Sistemas Fluidomecânicos4.4 Utilizando as Leis de Similaridade Consideremos uma bomba, com rotação n1 e diâmetro D, que apresenta curvas características dealtura vazão, H-Q rendimento vazão η-Q e potência vazão P-Q. Desejamos determinar nova curvacaracterística quando se modifica a rotação para um valor n2 tal que n2 > n1. Quando a bomba está operandonum ponto x (Fig.4.3) fornece uma altura manométrica Hx para uma vazão Qx e consome uma potência Pxcom um rendimento ηx. n2 Figura 4.3 Modificação da curva da altura-vazão em função da rotação.Quando trabalha numa rotação n2 maior que n1 se obtém pelas leis de similaridade um novo ponto quedenominaremos x’, com a nova vazão e altura que fornecerá a bomba: n Qx = Qx  2   n1  2 n H x = H x  2 n    1 Na Fig.4.3 mostra-se o ponto x´. Aplicando tal método a outros pontos podemos determinar a curva dabomba para a rotação n2. Da mesma forma pode-se determinar a potência consumida na nova rotação egraficar a curva de potência da bomba para a nova rotação n2 3 & n Wx = Wx  2  & n   14-10 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Capítulo 4: Coeficientes Adimensionais e Leis de SimilaridadeNa Fig.4.4 mostra-se o resultado gráfico da mudança de rotação para vários pontos da curva. Observa-se queexistem uma relação de curvas parabólicas do tipo H=cQ2 que passam pelos pontos com mudança derotação. 100 90 80 Altura Manometrica 70 60 50 40 30 20 10 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 Vazão Figura 4.4 Modificação da curva da altura-vazão em função da rotação.A continuação será demonstrada que quando um ponto se modifica para uma nova altura manométrica evazão o rendimento permanece constante. Isto significa que no caso anterior para qualquer ponto η x = η x O rendimento global é definido como a razão entre a potência hidráulica e a potência mecânicafornecida (potencia de acionamento: ρgQHη= & WacAplicando a expressão de rendimento global para as rotações n1 e n2. ρgQ x H x ρgQ x H x ηx = η x = & Wx & Wx dividindo as duas expressões; ρgQ x H xηx Px Q H W & = = x x xη x ρgQ x H x Q x H x W& x Px Utilizando as relações de similaridade:PUCRS – FENG - 2010 4-11
    • Sistemas Fluidomecânicos 2 3η x  n1  n1   n2  =      =1 Desta forma se obtém que ηx=ηx’η x  n2  n2     n  1  Apesar de ηx=ηx’ quando se graficam mostram-se como sendo curvas diferentes já que: ηx é plotada contra Qx ηx’ é plotada contra Qx’O procedimento visto pode ser aplicado a outros pontos, obtendo-se a nova curva de rendimento da bomba.A Fig.4.5 mostra o resultado gráfico de duas curvas de alturas manométricas com seus respectivosrendimentos. Observa-se que para um ponto qualquer na mudança de rotação o rendimento se mantémconstante. Figura 4.5 Modificação da curva da altura-vazão em função da rotação.4.5 Modificação do Tamanho da BombaA modificação do diâmetro do rotor pode fornecer novas curvas características quando trabalhamos com asleis de similaridade para uma bomba com a mesma rotação. (n1=n2) 3 D Q2 = Q1  2   D1  2 D H 2 = H1  2   D1  5 & D W2 = W1  2  & D   1η 2 = η14-12 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Capítulo 4: Coeficientes Adimensionais e Leis de Similaridade4.6 Curva Característica de Bomba Variando a Rotação:Consideremos uma bomba A com rotação nAH A = a 0 − a1Q A − a 2 Q A 2Pelas relações de semelhança se a bomba muda de rotação a altura e vazão da curva é modificadapelas relações: 2 n  n  n HB = H A B    QB = Q A  B  QB = Q A  B  n  n   nA   A  A n  2 n  2   nA  2  nA  2 HB =  B  HA =  B  n  n  a 0 − a1  QB − a 2   QB n  n    A  A    B  B     n 2 2  nB   n A  2 2  nB   n A  2 H B = a 0   − a1    QB − a 2     QB B       n  n     nA    n A   nB   A  B     n 2 n  H B = a 0  B  − a1  B QB − a 2 QB n  n  2    A   A  Denominado a relação de rotações por: n rn =  B  n   AObtemos a relação: H B = a 0 rn2 − a1rn QB − a 2 QB 2Também podemos escrever a Eq. como: H B = b0 − b1QB − b2 QB 2onde : n  n  onde: rn =  B  e considerando que QB = Q A  B  = Q A rn n  n b 0 = a 0 rn2  A  Ab1 = a1rnb2 = a 2PUCRS – FENG - 2010 4-13
    • Sistemas Fluidomecânicos4.7 Rendimento Global Variando a RotaçãoPara determinar o rendimento global de uma bomba que muda de rotação utilizamos as equações desemelhança. Estas relações são válidas para máquinas semelhantes de igual rendimento.Consideremos uma bomba A com rotação nA a qual apresenta um rendimento global dado pelaexpressão do tipo:η A = a1Q A − a 2 Q A 2onde a1 e a2 são constantes.Quando a bomba muda de rotação (nB ) a vazão é modificada considerando a equação desemelhança: n  QB = Q A  B  n   ADesta forma a curva do rendimento o rendimento: 2 n  n  2η B = a1  B QB − a 2  B n  n  QB   A  A η B = a1 rn QB − a 2 rn2 QB 2Também podemos escrever a Eq. como:η B = b1QB − b2 QB 2onde :b1 = a1 rnb2 = a1 rn24.8 Determinação da Rotação Especifica Consideremos duas bombas semelhantes. Uma com diâmetro do rotor igual a D1 e outra comdiâmetro do rotor igual a D2 3Q1  n1  D1  =   Q2  n 2  D2    4-14 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Capítulo 4: Coeficientes Adimensionais e Leis de Similaridade 2 2H 1  n1   D1  =   H 2  n2    D  2  explicitando a relação de diâmetros 2D1 H1  n2  =  n  D2 H2  1 Substituindo esta equação na equação da vazão que relaciona as vazões: 3/ 2Q1  n1   H 1  2  n2  =     Q2  n 2   H 2   n  1     3/ 2 3 3/ 2 2Q1  n1  H 1   n2  H   n2  =      = 1   Q2  n 2  H 2     n  1   H   2   n1   2 3/ 2 n2  Q H n  = 1 2   1  Q2  H 1    3/ 2n2 Q1  H2  Q1 H 2 / 4 3 =  H   = 3/ 4n1 Q2  1  Q2 H 1n1 Q1 n 2 Q2 3/ 4 = H 1 H2 / 4 3Admitindo que uma destas bombas seja uma bomba padrão com uma altura unitária H=1m e vazão unitáriaQ=1m3/s, tal bomba terá uma rotação denominada rotação específica característica. n Qnq = 3/ 4 H manCada família de bombas apresenta uma faixa de nq . Observa-se que ns tem como unidades rpm já que tantoa vazão como a altura manométrica foram adimensionalisadas.4.9 Rotação Específica Característica - nqRotação específica é a rotação na qual deverá operar uma bomba geometricamente semelhante à bombaconsiderada, capaz de elevar 1m de altura a uma vazão de 1m3/s com o máximo rendimento.PUCRS – FENG - 2010 4-15
    • Sistemas Fluidomecânicos n Q n: número de rpm da bomba.nq = 3/ 4 (rpm) Q: vazão ou descarga da bomba (m3/s) H man Hman : Altura útil ou manométrica (m)Obs: Os valores de (Q,Hman) considerados correspondem ao ponto de máximo rendimento.• Cada família ou classe de bombas apresenta uma faixa particular de rotação específica.• O conceito é muito útil para engenheiros e projetistas, já que é possível selecionar o tipo de bomba mais eficiente para uma determinada aplicação.• As bombas centrífugas, por exemplo, trabalham com vazões baixas e grandes elevações, por isto apresentam baixas rotações específicas.• A Tab. 4.2 mostra velocidades específicas para diversos tipos de rotores.Tabela 4.2 Faixa de valores da rotação especifica (nq) para diferentes tipos de bombas hidráulicas. Bombas Centrífugas Hélico Centrifugas Helicoidal Axial Lenta (radial) Normal Rápida Tipo Francis Fluxo Misto < 25 25 - 35 35 - 70 70 - 120 120 - 160 > 140A Fig. 4.6 mostra o resultado equivalente ao dado na Tab. 4.2 incluindo a representação gráfica do tipo derotor e a aplicação em quanto a altura manométrica. Figura 4.6 Faixa de rendimentos para bombas centrífugas em função da rotação específica (nq)Utilizando por exemplo a Fig 4.1 a bomba opera a 1750rpm e apresenta no seu rendimento máximo umavazão de 46m3/h fornecendo uma altura manométrica em torno de 15,3m. Desta forma: 46 / 3600n q = 1750 = 25,57 rpm o que pode representar o caso de um rotor centrifugo normal. 15,33 / 4 man4-16 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Capítulo 4: Coeficientes Adimensionais e Leis de Similaridade4.10 Número Específico de Rotações por MinutoRepresenta o número de rpm de uma bomba geometricamente semelhante à bomba considerada que eleva75litros de água a uma altura de 1 metro em 1 segundo, e demanda uma potência de 1CV.Obs: Desta forma se trabalha com uma vazão de Q=0,0075m3/s. n Q n: número de rotações da bomba (rpm)n s = 3,65 3/ 4 (rpm) Q: vazão ou descarga da bomba (m3/s) H man H: altura útil ou manométrica (m)• Com ns podemos determinar o tipo de bomba mais apropriado a ser utilizado.• A caracterização do tipo de rotor depende não apenas de Q e H mais também da sua rotação (n).• Maiores valores de ns representa menores dimensões das bombas.• A equação de ns mostra que quanto maior Q e menor H maior será a velocidade específica ns.A figura abaixo mostra diferentes rotores com os respectivos valores de ns. Figura 4.7 Faixa do número específico de rpm - ns• A bomba ideal geometricamente semelhante à bomba considerada a qual tem uma rotação de ns denomina-se bomba unidade da bomba dada.• Todas as bombas geometricamente semelhantes entre si terão uma única bomba unidade o que implica que todas elas terão uma única velocidade específica.4.10.1 Relação entre ns - nqO número específico de rpm se relaciona com a rotação específica característica pela seguinte expressão:ns = 3,65nqUtilizando os dados do exemplo anterior ns=3,65x25,57=93,7, confirmando que trata-se de um rotor debomba norma de bomba centrifuga já que esta na faixa entre 90rpm e 130 rpm.PUCRS – FENG - 2010 4-17
    • Sistemas Fluidomecânicos4.11 Velocidade Específica em Bombas de Múltiplos EstágiosPara determinar a rotação específica em bombas de múltiplos estágios divide-se a altura útil pelo número deestágios (i) da bomba: n Q n: número de rotações da bomba (rpm)n s = 3,65 3/ 3 Q: vazão ou descarga da bomba (m /s)  H man  H: altura útil ou manométrica (m)    i  i : número de estágios da bomba.Número de Estágios:• Como primeira aproximação pode-se admitir que para alturas até 50m pode-se trabalhar com 01 estágio (i=1).• Se a altura for maior que 50m se utilizam vários estágios cada um proporcionando uma altura entre 20 a 30m H man (m)i= (20...30)m4.11.1 Bombas com entradas bilaterais (Rotor Geminado)• Trata-se de 2 rotores de costas um ao outro, fundidos numa única peça. Neste caso a vazão se divide metade em cada lado do rotor para se obter a rotação específica: Q n n s = 3,65 2 3/ 4 H man Figura 4.8 Detalhe de rotor com entrada bilateral4.11.2 Bombas com vários estágios e entrada bilateral Q n n s = 3,65 2 3/ 4  H man     i  Figura 4.9 Detalhe de bomba com estágios4.11.3 Rotação Específica - Unidades AmericanasNo sistema americano a rotação específica é dada por: n Q n: rotação da bomba (rpm)ns (americano) = 3 / 4 Q: vazão da bomba (galões/min) H man H: altura manométrica da bomba (pé)4-18 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Capítulo 4: Coeficientes Adimensionais e Leis de SimilaridadeExpressões utilizadas para conversão do sistema americano ao métrico: ns ( americano )ns = 14,15ou utilizando a rotação específica ns ( americano ) ns ( americano)nq = = 14,15 x 3,65 51,74.11.4 Número Específico de RPM em Função da PotênciaPara água com γ=1000 kgf/m3, considerando a potência útil. 1000QH manWu = & 75podemos fazer1000Q & Wu = 75 H mancomo: n Q n 1000Q n & Wun s = 3,65 3/ 4 = 3,65 = 3,65 H man H man 75 H man H man H man H man & Wun s = 3,65 3/ 4 H man• A utilização de ns em função da potência supõe considerar um valor de rendimento. No caso ns em função de vazão isto não é necessário e por isto é a expressão mais utilizada.4.11.5 Outras Relações 2 2 H 1  n1   D1 Da relação de maquinas semelhantes =    definimos a rotação unitária das bombas H 2  n2    D  2  semelhantes (nu) fazendo n1=nu H1=1m e D1=1m. Desta forma se obtém: nDnu = H manPara bombas radiais pode ser utilizada a relação entre a rotação especifica (nq) e rotação de bomba unitária(nu) de bombas semelhantes.nu = 0,5n q + 75 (rpm)Com a equação acima pode ser estimado o diâmetro ótimo de um rotor radial.PUCRS – FENG - 2010 4-19
    • Sistemas Fluidomecânicos4.11.6 Relação entre Coeficiente de Pressão e Número Específico de RotaçõesAlguns textos definem coeficiente de pressão (ψ) 2 gH manψ = U2e o coeficiente de vazão como 4Qϕ= πD 2UOnde D e U representam respectivamente odiâmetro e velocidade tangencial do rotor.A Figura 4.8 mostra como é relacionada a rotaçãoespecifica (nq) com o coeficiente de pressão. Figura 4.10 Coeficiente de pressão4.12 Exemplos ResolvidosExemplo-4.1Uma bomba com rotor de 343mm opera no seu ponto de máxima eficiência com uma vazão de 115 m3/h euma altura manométrica de 50m. A bomba trabalha com 1750rpm. (a) Determinar o tipo de bomba (b)Determinar o coeficiente de pressão e de vazão.SoluçãoDados: D=343mm Q=115 m3/h Hman=50m n=1750 rpm. 115 1750 x n Q 3600nq = 3/ 4 = ≅ 16,6 Da Tab. 4.2 se obtém que trata-se de uma bomba centrífuga radial. H man 50 3 / 4Para avaliar o coeficiente de pressão e de vazão devemos calcular inicialmente a velocidade periférica dorotor: πD 2 n πx343x1750U2 = = = 31,43m / s 60 1000 x60 2 gH man 2 x9,81x50ψ = = ≅ 0,99 Obs. Pela Fig. 4.8 se obtém um valor muito próximo. U2 (31,43)2 115 4x 4Q 3600ϕ= = = 0,011 πD U πx(0,343) 2 x32,43) 24-20 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Capítulo 4: Coeficientes Adimensionais e Leis de SimilaridadeExemplo-4.2Uma bomba centrífuga com rotor de 0,5m de diâmetro e uma rotação de 750rpm apresentando dadosfornecidos na tabela abaixo.Grafique a curva H-Q e η-Q da bomba original e de uma bomba geometricamente semelhante com diâmetrode 0,35m e opera com uma rotação de 1450rpmQ (m3/min) 0 7 14 21 28 35 42 49 56H (m) 40 40.6 40.4 39,3 38 33.6 25.6 14.5 0η (%) 0 41 60 74 83 83 74 51 0Solução:Dados: n1=750 D1=0,5m n2=1450 D2=0,35m 3Q2  n2   D2  =   Q1  n1   D1  2 2H 2  n2   D2  =   H1  n1   D1 Utilizando as equações de similaridade se obtém a seguinte tabela:Q (m3/min) 0 4.64 9.28 13.92 18.56 23.21 27.85 32.50 37.0H (m) 73.2 74.30 73.90 72.0 69,6 61.50 46.85 26.54 0η (%) 0 41 60 74 83 83 74 51 0Os resultados podem então ser plotados e comparados com os iniciais como se mostra na figura abaixo. 80 90 70 80 70 60 Altura Manometrica (m) 60 50 Rendimento (%) 50 40 40 30 Bomba 1 n=750rpm e D=0,50m 30 Bomba 2 n=1450rpm e D=0,35m 20 Bomba 1 (H-Q) 20 Bomba 2 (H-Q) 10 Bomba 1 - Rendimento Bomba 2 Rendimento 10 0 0 0 10 20 30 40 50 60 Vazão Q(m^3/min) Figura 4.11 Resultado utilizando equações de similaridadePUCRS – FENG - 2010 4-21
    • Sistemas FluidomecânicosExemplo – 4.3Uma bomba com 1450rpm apresenta os seguintes dados obtidos do catálogo da bomba:Q (L/s) 40 80 120 160 200Hman (m) 32 30,5 28 24,5 20P (kW) 34,2 39,2 45 52,5 64,5(a) Graficar as curvas de Altura-Vazão e Rendimento-vazão(b) Determinar e graficar a curva de H-Q quando a rotação diminui para 1400rpm.Solução:(a) Graficar as curvas de Altura-Vazão e Rendimento-vazãoO rendimento é determinado para cada vazão e altura pela expressão de potência: ρgH man Q ρgH man Q Wac = & ηG = ηG & WacQ (L/s) 40 80 120 160 200Rend (%) 36,72 61,06 73,25 73,25 60,84 (b) Determinar e graficar a curva de H-Q quando a rotação diminui para 1400rpm.Utilizando os dados da bomba com 1450rpm e as relações de semelhança: 2H 2  n2  Q2  n2  =  = H 1  n1    Q1  n1   com as quais obtemos a seguinte tabelaQ L/s 37,29 74,58 111,87 149,16 186,44Hman m 28,80 27,45 25,20 22,05 18,00 40 80 35 70 30 60 Rendimento (%) 25 50 H (m) 20 40 15 30 10 20 5 10 0 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 Q (L/s) Figura 4.12 Resultados da curva de bomba modificando a rotação.4-22 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Capítulo 4: Coeficientes Adimensionais e Leis de SimilaridadeExemplo – 4.4Na figura representa-se a curva H-Q de uma bomba operando numa instalação com uma rotação de n (rpm).Um manômetro e um vacuômetro são instalados na saída e entrada da bomba, indicam respectivamente1,8kgf/cm2 e 0,4kgf/cm2. Em tais condições a bomba tem uma rotação específica (nq) igual a 53,99rpm.i)Determinar a vazão, altura manométrica e rotação da bomba. ii)Se mantemos a mesma vazão na instalaçãoqual a nova altura manométrica que poderá fornecer a bomba quando se modifica a rotação para n’ (rpm).Determine esta nova rotação nas condições de operação. (Fluido: água)Solução Hman (m)i) Altura manométrica do sistema: Hman= HV + HMOnde HM é a altura representativa da pressão registradapelo manômetro (PM=1,8kfg/cm2) equivalente em colunade água a HM=18,0mca; A altura representativa dapressão registrada pelo vacuômetro (Pv=0,4kfg/cm2)equivalente em coluna de água a Hv=4mca. Por tanto, aaltura total de elevação é dada por: nHman= HM + HV = 18,0m + 4,0m = 22,0mCom Hman=22m na curva da bomba com rotação n seencontra uma vazão igual a Q=24litros/s ou 0,024m3/s. Q(l/s) Figura 4.13 Curvas de Bomba centrifuga n QA rotação da bomba pode ser conhecida com a rotação específica: nq = 3/ 4 H manResolvendo para a rotação real se encontra: 3/ 4 n q H man 53,99 x 22 3 / 4n = = = 3540rpm Q 0,024ii) Com Q=24,0 lit/s se encontra na curva de rotação n’ uma altura total de elevação de Hman=12,0m.Utilizando as relações de semelhança para a bomba quando se modifica a rotação se tem: 2H1  n2  = H 2  n1  1/ 2 1/ 2 H   12 n 2 = n1  1  = 3540x  = 2614rpm  H2   22 PUCRS – FENG - 2010 4-23
    • Sistemas FluidomecânicosExemplo – 4.5Uma bomba centrífuga trabalha com água com uma vazão de 68,4m3/hora. O rotor de 320mm gira a 1500rpm e apresenta escoamento radial na entrada do rotor e pás radiais na saída. (a) Determine potência teórica da bomba para número infinito de pás. (b) Determine as condições de operação de uma bomba geometricamente semelhante com diâmetro de 380mm e rotação de 1750rpm.Solução:n=1500rpm Q=68,4m3/s D2=320mm πD 2 n πx320 x1500U2 = = = 25,13m / s 60 1000 x60H t∞ = 1 2 U2 = 1 (25,13)2 = 64,4m g 9,81Determinar:Wt∞ = ρgQH t∞ = 1000 x9,81x 0,019 x64,4 = 12kW &Q1=68,4m3/h n1=1500rpm n2=1750rpm D1=320mm D2=380mm 3 3  n  D   1750  380 Q2 = Q1  2  2  = 68,4  n  D    = 133,6m / hora 3  1  1   1500  320  2 2 2 2 n   D2   1750   380 H 2 = H1  2 n    D  = 64,4 1500   320  = 123,6m    1   1     3 5  ρ2 3 5 & & nW2 = W1  2    D2       1750   380   = 12    = 45kW n  D  ρ   1   1   1   1500   320 4-24 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Capítulo 4: Coeficientes Adimensionais e Leis de SimilaridadeExemplo – 4.6Os parâmetros da bomba são: rotação 400rpm; vazão 1,7m3/s e altura manométrica 36,5m e potência720kW. Um modelo geometricamente semelhante com escala 1:6 desta bomba será testado. Se o modelo étestado com altura manométrica de 9,0m, determine a rotação e descarga que deverá funcionar assim como aa potência requerida para o mesmo.Solução: Consideramos com sub índice 1 o protótipo (bomba) e sub índice 2 o modelo.Protótipo: Q1=1,7m3/s H1=35,5m P1=720kW D2=1/6D1 n1=400rpm H2=9,0m n2=? W2=? 3 2 2 n  D2  n   D2 Q2 = Q1 2  D   H 2 = H1  2 n    D   n1  1   1   1 2  D1 n2 = n1 H2  D  = 400  9 (6 )2 = 1192rpm H1  2  36,5 3 1192  1 Q2 = 1,7   = 0,0235m / s 3 400  6  3 5 3 5 & nW2 = W1  2   D2   1192   1     D  = 720 400   6  = 2,45kW  &    n1   1    Exemplo – 4.7Um sistema deve bombear água através de uma tubulação de 150mm de diâmetro interno com 460m decomprimento. Considere o coeficiente de atrito igual a 0,025. A altura estática de elevação é igual a 12mconsiderando nulas todas as perdas localizadas e hvel=0. Determinar e a equação característica do sistema.Qual a altura manométrica do sistema quando a vazão requerida é igual a 80m3/h. Qual a nova vazão e alturaque poderia operar uma bomba quando muda a rotação de 1750rpm para 2000rpm.Solução: Dados: D=150mm L=460m f=0,025 he=12m 2  4Q    L v 2 L  πD 2  16 L Q 2hL = f = f = f 2 5 D 2g D 2g π D 2g L 460 2hL = 0,0826 f 5 Q 2 = 0,0826 x0,025 Q = 12513Q 2 D 0,15 5A equação da curva característica da bomba é dada por:H man = he + hL = 12 + 12513Q 2 com Q (m3/s)com Q=80m3/h (0,022m3/s) se obtém H=18,2m. 2 2 n 2000 m3 n   2000 Q2 = Q1 2 = 80 = 91,43 H 2 = H1  2 n  = 18,2   = 23,75m n1 1750 h  1   1750 PUCRS – FENG - 2010 4-25
    • Sistemas FluidomecânicosExemplo – 4.8Uma bomba com diâmetro de 75mm opera com uma rotação de 3450rpm. A bomba fornece uma vazão de 60m3/h e desenvolve uma altura manométrica de 20m requerendo uma potência de acionamento de 10 kW.Determinar a rotação, vazão e potência necessária para o acionamento de uma bomba semelhante com100mm de diâmetro e deve operar com uma altura manométrica de 30mSolução: D1 = 75mm n1=3450 rpm. Q1 = 60 m3/h H1=20m P1=10kW. D2 = 100mm n2=? rpm. Q2 = ? m3/h H2= 30m P2= ? kW.Utilizando as equações de semelhança: 3 2 2 3 5 n  D2  n   D2  n   D2 Q2 = Q1 2  D   H 2 = H1  2 n    D   P2 = P1  2 n    D   n1  1   1   1  1   1  D  100Denominado a relação de diâmetros: λ =  2  =  D  75 ≅ 1,33  1 H2n2 = n1 λ = 3170rpm H1 n2 3 m3Q2 = Q1 λ = 130,6 n1 h 3 & nW2 = W1  2 &  5  λ = 32,7 kW n   1 Exemplo – 4.9Especificar o tipo de bomba e determinar o diâmetro externo do rotor, a qual deve trabalhar com uma vazãode 75 m3/h desenvolvendo uma altura manométrica de 22m operando com rotação de 1500 rpm.Solução:Dados: Q = 75 m3/h H=22m n1=1500 rpm. 75 1500 n Q 3600Utilizando a expressão de número de rotações especifico: 3/ 4 = nq = = 21,3rpm H man 22 0, 75Como nq esta entre 10 e 70 deve ser utilizada uma bomba centrifuga radial.A rotação de uma máquina unitária: nu = 0,5n q + 75 com o que se obtém nu=87,5rpm. nD nu H man 87,5 22nu = e assim obtemos o diâmetro: D = = = 0,268 ≅ 270mm H man n 15004-26 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Capítulo 4: Coeficientes Adimensionais e Leis de Similaridade4.13 Atividade de AprendizadoO gráfico representa as curvas características de uma bomba centrifuga do fabricante Goulds Pumpsutilizada para serviços gerais com água. (a) Determine a Eq. da curva característica Hman-Q para o rotor B (5 ¾” ) representada por um polinômio de 2º grau e graficar a mesma junto os pontos da curva original. (b) Determine a Eq. da curva característica de duas bombas iguais operando em serie e em paralelo. Grafique a curva original mais as curvas em serie e em paralelo. (c) Determine a Eq. da curva de Hman como função de vazão e rotação: Hman= f(Q,n)PUCRS – FENG - 2010 4-27
    • Sistemas Fluidomecânicos (a) Determine a Eq. da curva característica Hman-Q para o rotor B (5 ¾” ) representada por um polinômio de 2º grau.Solução:Primeiro podemos fazer uma tabela com os dados da vazão em galões por minuto (gpm) e a altura em pés etransformamos respectivamente para m3/h e m. Q (gpm) Hman (pés) Q (m3/h) Hman (m) 0 123 0,0 37,5 10 121 2,3 36,9 20 115 4,5 35,1 30 105 6,8 32,0 40 90 9,1 27,4 50 72 11,4 21,9 60 49 13,6 14,9Sabemos que a curva característica da bomba pode ser aproximada por uma equação do tipoH man = a 0 + a1Q + a 2 Q 2Com auxilio da planilha Excel plotamos os pontos da tabela anterior e realizamos um ajuste polinomial de 2ºgrau cujo resultado mostra-se na figura abaixo. 40 H man = 37,483 + 0,024Q - 0,1231Q 2 35 30 25 H (metros) 20 15 10 5 0 0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 3 Q (m /h)Assim obtemos os coeficientes da Eq. são ao=37,483 a1=0,024 e a2=-0,1231. Desta forma a Eq. da curvacaracterística da bomba para o rotor de B (5 ¾” ) é dada por:H man = 37,483 + 0,024Q − 0,1231Q 24-28 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Capítulo 4: Coeficientes Adimensionais e Leis de Similaridade (b) Determine a Eq. da curva característica de duas bombas iguais operando em serie e em paralelo. Grafique a curva original mais as curvas em serie e em paralelo.As Equações para as duas bombas iguais operando em serie e em paralelo são dadas por; Eq. Curva bombas em serie: Eq. Curva bombas em paralelo: ( H S = 2 a0 + a1QS + a2QS 2 ) H P = a0 + a1 a 2 QP + 2 QP 2 4Utilizando as constantes anteriormente determinadas se obtém:H s = 2 * (37,483 + 0,024Q − 0,1231Q 2 ) H p = 37,483 + 0,024 Q− 0,1231 2 Q 2 4H s = 74,966 + 0,048Q − 0,2462Q 2 H p = 37,483 + 0,012Q − 0,030775Q 2Desta forma podemos obter com os dados originais de altura e vazão as respectivas associações de bombasiguais em serie e em paralelo conforme tabela abaixo junto com o resultado gráfico das respectivas curvascaracterísticas. 3 3 3 Q (m /h) Hman (m) Qs (m /h) Hs (m) Qp (m /h) Hp (m) 0,0 37,5 0,0 75,0 0,0 37,5 2,3 36,9 2,3 73,8 4,5 36,9 4,5 35,1 4,5 70,1 9,1 35,1 6,8 31,9 6,8 63,9 13,6 31,9 9,1 27,5 9,1 55,1 18,2 27,5 11,4 21,9 11,4 43,8 22,7 21,9 13,6 14,9 13,6 29,9 27,3 14,9 80 70 60 50 H (metros) 40 30 20 10 0 0,0 5,0 10,0 15,0 20,0 25,0 30,0 3 Q (m /h)PUCRS – FENG - 2010 4-29
    • Sistemas Fluidomecânicos(c) Determine a Eq. da curva de Hman como função de vazão e rotação: Hman= f(Q,n)Podemos determinar a expressão da Eq. que representa a curva da bomba que originalmente opera numarotação nA e muda para uma rotação nB. A curva da bomba com rotação nB pode ser determinada pelaexpressão: b0 = a0 rn2 nB H B = b0 + b1QB + b2QB 2 onde b1 = a1rn com rn = considerando que Q B = Q A rn nA b2 = a2Da questão (a) temos que os coeficientes: ao=37,483 a1=0,024 e a2=-0,1231. Considerando quenA=3500rpm, podemos por exemplo reduzir a rotação para nB=3200rpm, obtendo-se rn=0,91. Destaforma encontramos que b0=31,33 b1=0,03 b2=-0,1231. Assim temos as duas curvas características quepodem ser plotadas como mostra a figura abaixo.Para a rotação nA H A = 37,483 + 0,024Q A − 0,1231Q A 2Para a rotação nB H B = 31,3 + 0,03QB − 0,1231QB 2 QA (m3/h) HA (m) QB m3/h) HB(m) 0,0 37,5 0,0 31,3 2,3 36,9 2,1 30,9 4,5 35,1 4,2 29,3 6,8 31,9 6,2 26,8 9,1 27,5 8,3 23,1 11,4 21,9 10,4 18,4 13,6 14,9 12,5 12,6 40 35 30 25 H (m) 20 15 10 5 0 0,0 2,5 5,0 7,5 10,0 12,5 15,0 Q (m3/h)4-30 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Capítulo 4: Coeficientes Adimensionais e Leis de Similaridade4.14 Atividade Proposta No1A tabela abaixo as especificações de uma bomba de um determinado fabricante:Q (m3/h) 0 144 288 432 576 720Hman (m) 33 32 30,5 28 24,5 20Wac (kW) 32 34,2 39,2 45 52,5 64,5Rend (%)Curva Característica Hman =Hman (m)Determine: (a) O rendimento global (%) da bomba para cada ponto (b) Determine a Eq. que representa acurva característica da bomba nas unidades dadas na tabela acima. (c) Graficar a altura manométrica (m), apotencia (kW), o rendimento global (%) assim como a altura manométrica obtida pela curva característicadeterminada no item (b). (d) Considerando a Eq. obtida em (b) apresente as Eqs. resultantes da associaçãode bombas em serie em paralelo para duas bombas iguais. 40 160 35 140 30 120 Potência (kW) Rend (%) 25 100 Hman (m) 20 80 15 60 10 40 5 20 0 0 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 Q (m3/h)Obs. Nas equações principais apresente a dedução de unidades no sistema internacional. Isto será levado emconta na avaliação das questões.PUCRS – FENG - 2010 4-31
    • Sistemas Fluidomecânicos4.15 Atividade Proposta No2Um sistema requer operar com uma vazão de 22,5 m3/h e altura manométrica de 24,2m ATIVIDADES ResultadosSelecione a bomba apropriada especificando o diâmetro (mm) do rotorDetermine a velocidade tangencial do rotor.Determine a potencia de acionamento da bomba no ponto de operação.Determine a potencia fornecida pelo fabricante (compare com a potencia anterior)Elabore uma tabela Q-H com pelo menos 5 pontos da curva correspondente a bomba) Tabela 1Elabore uma tabela Q-H associando duas bombas em serie Tabela 2Elabore uma tabela Q-H associando duas bombas em paralelo Tabela 3Tabela 1 Q (m3/h)01 bomba H (m)Tabela 2 Q (m3/h)02 bombas em Serie H (m)Tabela 3 Q (m3/h)02 bombas em H (m)ParaleloDetermine a Eq. que representa a curva característica da bomba. (Grafique) H =Determine a Eq. que representa 02 bombas associadas em serie. (Grafique) Hs =Determine a Eq. que representa 02 bombas associadas em paralelo. (Grafique) H p=4-32 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Capítulo 5: Curvas Operacionais de Sistemas de Bombeamento Curvas Operacionais De Sistemas de BombeamentoPUCRS – FENG – 2010 5-1
    • Sistemas Fluidomecânicos Curvas Operacionais de Sistemas de Bombeamento SUMÁRIO5.1 Curvas Características de Sistemas de Bombeamento...............................................3 5.1.1 Sistema com Altura Estática Nula .........................................................................4 5.1.2 Sistema com Altura Perda de Carga Nula..............................................................4 5.1.3 Sistema com Altura Estática Positiva ......................................................................5 5.1.4 . Sistema com Altura Estática Negativa ..................................................................5 5.1.5. Sistema com Baixa Perda de Carga ......................................................................65.2 Controle de Desempenho das Bombas. ......................................................................7 5.2.1 Controle do Sistema por Regulação ou Estrangulamento de Válvula .....................8 5.2.2 Controle de Sistema de Utilização de uma Linha de Recirculação (Bypass) ........9 5.2.3 Controle de Sistema por Ajuste da Rotação........................................................10 5.2.4 Controle de Sistema por Mudança no Diâmetro do Rotor ...................................12 5.2.5 Controle por Ajuste do Angulo de Passo das Pás ...............................................14 5.2.6 Comparativos de Estratégias de Controle da Vazão ...........................................15 5.2.7 Operaçao de Sistemas com Bombas em Paralelo...........................................175.3 Parametrização de Curvas Características de Bombas Centrífugas .........................19 5.3.1 Equação Característica Real de Bombas Centrífugas ..........................................19 5.3.2 Perdas Hidráulicas nas Bombas ..........................................................................205.4 Método para Parametrização das Curvas de Bombas................................................215.5 Exemplo do Procedimento.........................................................................................225.6 Equações Complementares.......................................................................................275-2 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Capítulo 5: Curvas Operacionais de Sistemas de Bombeamento5.1 Curvas Características de Sistemas de Bombeamento A curva característica do sistema é formada pela contribuição da altura estática de elevação he maisa contribuição da perda de carga da tubulação e dos acessórios. A perda de carga dos acessórios incluiválvulas, registros perdas por entrada ou saída do fluido nos reservatórios assim como a perda de carga porelementos na tubulação que permitem mudança de diâmetro da tubulação tais como bocais convergentes ebocais divergentes. A altura estática de elevação é determinada pela contribuição da altura estática deaspiração mais a altura estática de recalque. Considerando como referencia o centro da bomba a alturaestática de elevação pode ser a soma o diferença das alturas de aspiração (ha) e altura estática de recalque(hr) A perda de carga da tubulação é proporcional ao quadrado da velocidade (v2) e, portanto proporcionalao quadrado da vazão (Q2). Desta forma a curva característica do sistema é dada por uma Eq. do tipo: H man = he + kQ 2Quando temos um sistema de bombeamento emque o nível da superfície da água doreservatório de aspiração esta abaixo do centroda bomba a altura estática de elevação, é dadapor: he = ha + hr Fig.5.1 Sistema convencionalQuando no sistema de bombeamento o nível dasuperfície da água do reservatório de aspiraçãoesta acima do centro da bomba, a altura estáticade elevação é dada por:he = ha − hr Fig.5.2 Sistema bomba afogadaQuando no sistema de bombeamento o nível dasuperfície da água do reservatório de aspiraçãoesta acima do centro e o nível da água doreservatório de recalque abaixo do centro dabomba, a altura estática de elevação torna-senegativa e é dada por:he = −(ha + hr ) Fig.5.3 Sistema bomba gravidadePUCRS – FENG – 2010 5-3
    • Sistemas Fluidomecânicos5.1.1 Sistema com Altura Estática Nula Quando a altura de aspiração e de recalque são iguais, a altura estática de elevação é nula. Nestecaso (Fig.5.4) a curva do sistema é determinada unicamente em função da perda de carga da tubulação. Oponto de operação é a intercessão da curva da bomba com a curva do sistema. Nestes sistemas a vazão podeser reduzida pelo fechamento de uma válvula de registro. H man = kQ 2 Fig.5.4 Sistema bomba gravidade5.1.2 Sistema com Altura Perda de Carga Nula Quando a altura de aspiração a perda de carga do sistema é muito pequena ou desprezível a curva dosistema é uma reta paralela ao eixo da vazão sendo determinada unicamente em função altura estática deelevação (Fig.5.5). O ponto de operação é a intercessão da curva da bomba com a curva do sistema. H man = he Fig.5.5 Sistema com perda de carga nula5-4 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Capítulo 5: Curvas Operacionais de Sistemas de Bombeamento5.1.3 Sistema com Altura Estática Positiva Neste sistema (Fig.5.6) a altura manométrica é determinada pela soma da contribuição da altura estática de elevação mais a perda de carga da tubulação e acessórios. Da mesma forma que no sistema anterior na intercessão das curvas encontra-se o ponto de operação. Também pode ser mudada a vazão com regulação de uma válvula de registro. H man = he + kQ 2 Fig.5.6 Sistema com altura estática positiva5.1.4 . Sistema com Altura Estática Negativa Neste sistema (Fig.5.7) o resultado da soma altura estática da aspiração e de recalque tornam a altura estática de elevação negativa. Parte da energia do sistema é transferida por gravidade e parte adicionada pela bomba. Da mesma forma que no sistema anterior na intercessão das curvas encontra-se o ponto de operação. A vazão pode ser mudada com regulação de uma válvula de registro. H man = −he + kQ 2 Fig.5.7 Sistema com altura estática negativaPUCRS – FENG – 2010 5-5
    • Sistemas Fluidomecânicos5.1.5. Sistema com Baixa Perda de Carga Em sistemas de este tipo (Fig.5.8) a perda de carga da instalação é muito pequena, o que pode serdevido a velocidades baixas na tubulação, poucos acessórios na instalação ou diâmetros grandes assim comotubulações muito lisas. Desta forma na altura manométrica do sistema predomina a altura estática deelevação. Sendo assim a curva do sistema torna-se bastante plana o que significa que com o aumento davazão a altura manométrica aumenta pouco mais do que a altura de elevação. H man = he + kQ 2 ≅ he Fig.5.8 Sistema com baixa perda de carga5-6 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Capítulo 5: Curvas Operacionais de Sistemas de Bombeamento5.2 Controle de Desempenho das Bombas. O ponto de operação (Fgi.5.9) da vazão e altura manométrica é dado pela interseção da curva dabomba com a curva do sistema. Para mudar este ponto de operação poder ser modificada a curva da bombaou a curva do sistema. Fig.5.9 Ponto de operação bomba-sistemaA curva do sistema pode ser modificada:Modificando a resistência do escoamento, por exemplo, utilizando o fechamento de um registro, instalandoum sistema de recirculação da vazão (bypass), modificando ou trocando o diâmetro da tubulação ou tambémpode ocorrer naturalmente devido ao próprio envelhecimento da tubulação.A curva da bomba pode ser modificada:Mudando o diâmetro do rotor, realizando um corte para diminuir o diâmetro do rotor, ativando oudesativando bomba, operando um conjunto de bombas em serie ou em paralelo. Também pode ser mudada acurva da bomba através modificando a rotação procedimento o qual a vazão, altura manométrica e potênciamodificam-se regidas pelas leis de semelhança das bombas. Em bombas axiais pode ser mudada a curva dabomba mudando o ângulo de passo das pás do rotor.PUCRS – FENG – 2010 5-7
    • Sistemas Fluidomecânicos5.2.1 Controle do Sistema por Regulação ou Estrangulamento de Válvula O controle da vazão pode ser realizado por regulação de uma válvula de registro a fim de ajustar avazão para uma nova condição de operação (Fig.5.10). Se tivermos uma bomba em funcionamento com umdeterminado ponto de operação e desejamos diminuir a vazão, então é realizado o procedimento defechamento do registro (estrangulamento) para atingir a vazão requerida. Esta obstrução do escoamento como registro produz um aumento de perda de carga o que modifica a curva do sistema original deslocando oponto de operação até a interseção da curva da bomba com a curva do sistema modificada. Esteprocedimento é de baixo custo, contudo pouco eficiente já que o aumento da perda de carga se traduz numaenergia dissipada (perdida) transformada em calor (Fgi.5.11). Desta forma a potência consumida podeaumentar para suprir o aumento da perda de carga. Cabe assinalar que neste procedimento a curva da bombase mantém a mesma e desta forma não é modificada nem a rotação nem o diâmetro do rotor. Fig.5.10 Sistema com estrangulamento de registro Fig.5.11 Energia dissipada pelo fechamento de registro5-8 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Capítulo 5: Curvas Operacionais de Sistemas de Bombeamento5.2.2 Controle de Sistema de Utilização de uma Linha de Recirculação (Bypass) O controle da vazão é realizado abrindo um registro que permite por uma linha de recirculação dofluido (bypass) aumentar a vazão com o qual ocorre uma modificação na curva do sistema deslocando oponto de operação (Fig.5.12). Em sistemas onde a altura estática é dominante o controle por bypass pode sermais eficiente que a regulação por fechamento de registro ou por ajuste da rotação. ] Fig.5.12 Sistema de controle por recirculação de vazão (bypass) Fig.5.13 Curvas de operação de sistema de controle por recirculação de vazãoPUCRS – FENG – 2010 5-9
    • Sistemas Fluidomecânicos5.2.3 Controle de Sistema por Ajuste da Rotação Pelas leis de semelhança temos conhecimento que uma determinada bomba com diâmetro especificopode apresentar diferentes curvas de altura vazão quando é modificada sua rotação. Conhecendo ascondições de operação (vazão e altura manométrica) para uma determinada rotação n1 podemos determinaras novas condições de operação para uma nova rotação n2. A Fig.5.14a mostra a modificação da curva deuma bomba que opera com rotação n1 no ponto de máximo rendimento. Pelas leis de semelhança a mudançada vazão é diretamente proporcional a mudança da rotação Q α n , a altura manométrica muda proporcionalao quadrado da rotação ( H α n2 ) e a potência muda com o cubo da rotação ( W α n3 ). Por exemplo para umaredução de 50% da rotação a bomba fornece a metade da vazão, uma altura manométrica de 25% da suaaltura original e absorvendo 12,5% da potência. Observa-se que reduzindo a rotação podem ser geradasfamílias de curvas de esta mesma bomba. Também se mostra na Fig.5.14b que o rendimento global podepermanecer alto se quando a vazão se mantém entre 60 a 100% da vazão de projeto. (a) (b) Fig.5.14 Curvas de operação de bombas com mudança de rotação Os principais benefícios do controle de rotação é que permite com facilidade modificar o ponto deoperação adequando a curva da bomba para a curva do sistema. O procedimento também permite otimizar aenergia do sistema eliminado as perdas por controle de registro assim como permite uma funcionamentosuave no processo de partida do motor da bomba. Observa-se na Fig.5.15 que o ponto de operação terá um rendimento levemente diferente que o pontode operação original já que a curva do sistema de bombeamento é uma expressão quadrática que não corta aorigem e o deslocamento dos pontos da a curva altura-vazão da bomba seguem uma expressão do tipo curvaparabólica que segue as leis de semelhança em função da mudança de rotação. A figura abaixo mostra comoisto acontece.5-10 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Capítulo 5: Curvas Operacionais de Sistemas de Bombeamento Fig.5.15 Curvas de operação de sistema com bomba com mudança de rotação Nos casos em que o sistema não possui altura estática, a curva característica é representada por umacurva do tipo parabólica que passa pela origem (Fig.5.16). Nestes casos a variação da rotação, tal comomostra a Fig.5.16 pouco afeta o rendimento. Já que o ponto de operação para a nova rotação paraticamenteacompanha a curva de rendimento. Nos casos em que a altura estática é significativa a mudança de rotaçãoafeta o rendimento que terá o novo ponto de operação. Fig.5.16 Curvas de operação com mudança de rotação para sistemas diferentesPUCRS – FENG – 2010 5-11
    • Sistemas Fluidomecânicos5.2.4 Controle de Sistema por Mudança no Diâmetro do Rotor A curva da bomba pode ser modifica trocando de rotor ou utilizando diminuindo (corte) o diâmetrodo rotor original. Os dois procedimentos permitem adequar o desempenho da bomba para um determinadoponto de operação. A Fig.5.17 mostra de esquerda a direita um rotor de bomba centrifuga original comdiâmetro de 213mm e 04 rotores com diferentes diâmetros de corte. A tabela mostra a relação entre odiâmetro original e o diâmetro de corte (Rc) assim como o percentual do corte em relação ao diâmetrooriginal. A Fig.5.18 mostra o resultado das curvas de altura-vazão rendimento global e potência da bomba.Observa-se que a medida que o diâmetro do rotor é reduzido existe uma redução do rendimento da bombaassim como da potencia requerida para a operação da bomba. Fonte: Experiments on impeller trim of a commercial centrifugal oil pump - Wen-Guang LI (2004) Rotor Rotor 1 Rotor 2 Rotor 3 Rotor 4 Diâmetro (mm) 213 205 195 185 175 Rc 1,00 0,96 0,92 0,87 0,82 % corte 0% 3,8% 8,5% 13,1% 17,8% Fig.5.17 Exemplo de rotores com diminuição do diâmetro Fig.5.18 Desempenho da potencia altura e rendimento de rotores com diminuição do diâmetro5-12 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Capítulo 5: Curvas Operacionais de Sistemas de Bombeamento Fig.5.19 Ajuste do ponto de operação por redução do diâmetro do rotor. A Fig. 5.19 mostra como a mudança do ponto de operação para um rotor com diâmetro D1 reduzidoa um diâmetro D2. Como se observa na Fig.5.20 para sistemas em que a altura estática de aspiração épequena, o rendimento do novo ponto de operação se mantém aproximadamente constante; enquanto quepara sistemas com uma grande altura estática de elevação o novo ponto de operação pode apresentar umadiminuição significativa do rendimento. Fig.5.20 Variação do rendimento em função do tipo de curvas do sistema.PUCRS – FENG – 2010 5-13
    • Sistemas Fluidomecânicos5.2.5 Controle por Ajuste do Angulo de Passo das Pás Este procedimento é realizado nas bombas axiais nas quais suas pás podem ser reguladas mudando oângulo do passo. A Fig.5.21 mostra a altura de operação e vazão de operação adimensionalizadas pelo pontoótimo de operação no qual o rendimento é máximo. Observa-se, por exemplo, que quando a máquina operacom ângulo de passo das pás de 160 a bomba trabalha nas condições ótimas. Quando se deseja por exemplooperar a bomba num sistema com uma vazão de 80% em relação a vazão ótima (Q=0,8Qopt) , então o ângulodas pás deverão ser modificados para 110. Neste ponto o rendimento ficara em torno de 0,91 ηoptconseguindo uma altura manométrica em torno de 0,95 Hopt Fig.5.21 Mudança do ângulo de passo em pás de bombas axiais5-14 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Capítulo 5: Curvas Operacionais de Sistemas de Bombeamento5.2.6 Comparativos de Estratégias de Controle da Vazão A Tab. 51. mostra um comparativo das estratégias de controle utilizando válvula de regulação, cortedo diâmetro do rotor e variação da rotação utilizando inversor de freqüência. No exemplo a bomba comdiâmetro do rotor de 430mm deve operar com uma vazão de 80 m3/h; Observa-se que o sistema deregulação por válvula trabalha com uma grande altura manométrica devido a perda de carga pelo fechamentodo registro para poder atender a vazão especificada. O sistema por corte do rotor mostra que para atender ademanda da vazão o diâmetro devera ser de 375mm o que corresponde a uma relação de corte de Rc=0,87correspondendo a uma diminuição 13% do diâmetro original. Nesta condição o rotor operara com umaaltura manométrica de 42m, sendo que o rendimento é um pouco inferior ao rendimento alcançado nosistema de regulação com válvula. Também observa-se que com a redução do diâmetro do rotor a potênciaconsumida é equivalente a 60% da potencia consumida no sistema de regulação por registro. A tabela mostraque o sistema de variação por rotação apresenta o melhor desempenho em termos de eficiência energéticacom o maior rendimento, a altura manométrica menor (34,5m) e requer a metade da potência que requer osistema de regulação com válvula. Cabe assinalar que trata-se de um exemplo especifico e que tal resultado não pode ser generalizado,contudo pela em termos de eficiência energética o sistema que opera por variação de rotação é o maisapropriado e esta sendo utilizado como a melhor alternativa para redução do consumo de energia e operarcom sistemas de bombeamento de maneira otimizada. Tabela 5.1 Comparação de estratégias de operaçãoParâmetro Regulação de válvula Corte no rotor Variação da rotaçãoDiâmetro do rotor 430 mm 375 mm 430 mmAltura manométrica 71.7 m 42 m 34.5 mRendimento da bomba 75.1% 72.1% 77%Vazão de operação 80 m3/hr 80 m3/hr 80 m3/hrPotência consumida 23.1 kW 14 kW 11.6 kW A Fig.5.22 mostra uma outro tipo de comparativo no qual mostra-se o percentual de energiaconsumida pela bomba em função do percentual de redução da vazão a partir de um determinado ponto deoperação. A partir da condição original (100% da vazão) observa-se o que acontece quando é reduzida avazão de modo percentual. Mostra-se que o sistema de recirculação da vazão (bypass) a redução da vazãonão possui redução percentual do consumo de energia. O sistema por estrangulamento de válvula permite adiminuição da vazão assim como a energia consumida pela bomba conforme diminui a vazão. O melhordesempenho em quando a redução da energia é obtida com o sistema de velocidade variável. Neste sistema adiminuição da vazão permite uma redução da energia proporcional ao cubo da rotação da máquina.PUCRS – FENG – 2010 5-15
    • Sistemas Fluidomecânicos Fig.5.22 Comparação da variação percentual A Fig.5.23 mostra outro comparativo das estratégias anteriores. Mostra-se a curva características dosistema e a curva característica da bomba observando-se que em termos de energia perdida o método derecirculação da vazão (bypass) é o menos eficiente seguido do método de estrangulamento de válvula.Observa-se que o método de mudança de rotação é ótimo já que para atingir o ponto de operação modifica-semuda a rotação ajustando a da bomba para a demanda da curva do sistema. Fig.5.23 Comparativo de estratégias de controle da vazão.5-16 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Capítulo 5: Curvas Operacionais de Sistemas de Bombeamento5.2.7 Operaçao de Sistemas com Bombas em Paralelo Quando uma única bomba não consegue atender uma determinada vazão é possível conseguir talrequerimento utilizando um conjunto de bombas conectadas em paralelo. O uso de bombas conectadas empode trazer benefícios em termos de redução do consumo de energia. As bombas em paralelo devem serutilizadas de forma que ambas operem próximos do rendimento máximo. O sistema possuirá flexibilidade,redundância no caso de falha de uma das bombas e capacidade de vazão para atender novas necessidades deforma eficiente. O procedimento é recomendado em sistemas que possuem uma alta altura estática deelevação. Em sistemas onde predomina a perda de carga a alternativa de rotação variável torna-se maiseficiente e, portanto mais apropriada. Opta-se pela utilização de bombas iguais para disponibilizar uma alturamanométrica equilibrada quando funcionando em conjunto. O uso de bombas diferentes poderia ocasionaruma perda de equilíbrio do funcionamento, no qual a bomba de maior capacidade tenderá a dominar ofuncionamento do sistema forçando as outras bombas a trabalhar com menor eficiência. Consideremos um sistema (Fig.5.24) com sua curva característica mostrada na figura e operandojunto com duas bombas iguais conectadas em paralelo. Na operação com as 2 bombas conectadas emparalelo o sistema encontra-se trabalhando no ponto Bp com uma vazão Qp = Q1 + Q2 . Se uma das bombasfica fora de funcionamento a bomba operará no ponto B com uma vazão QB. Observa-se que esta vazão ésuperior a vazão fornecem cada uma das bombas (QB > Q1+Q2). No caso inverso quando entra emfuncionamento a segunda bomba o sistema opera no ponto Bp sendo que a vazão não duplica e sim atinge avazão Qp, ponto no qual as duas bombas contribuem com a metade da vazão, isto é QBp = Q1 + Q2. Fig.5.24 Comparativo de estratégias de controle da vazão.PUCRS – FENG – 2010 5-17
    • Sistemas Fluidomecânicos Parametrização de Curvas Características de Bombas Centrifugas5-18 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Capítulo 5: Curvas Operacionais de Sistemas de Bombeamento5.3 Parametrização de Curvas Características de Bombas Centrífugas Neste capítulo é apresentada uma metodologia que permite obter uma recuperação dos parâmetros deprojeto a partir das características operacionais de uma bomba centrífuga. Com a informação da curvacaracterística da altura-vazão, fornecida pelo fabricante, podemos obter, pelo procedimento deparametrização, outras curvas que apresentam em detalhe a altura teórica para número infinito de pás, aaltura teórica para número finito de pás, e as curvas que representam as perdas ou dissipação de energia porchoque e por atrito.5.3.1 Equação Característica Real de Bombas Centrífugas A equação característica real de uma bomba centrífuga é definida por: A altura de elevação real desenvolvida pela bomba (altura manométrica) é a altura teórica paranúmero finito de pás subtraída das perdas hidráulicas: H = H t # − (h1 + h2 )Onde Ht# é a altura teórica para número finito de pás, h1 perdas hidráulicas por atrito e h2 perdas hidráulicaspor choque. A curva característica real de uma bomba centrífuga é mostrada na Fig.5.25 junto com as curvas dasperdas hidráulicas e perdas por choque. Somando suas ordenadas obtemos a curva da perda hidráulica total.Subtraindo de Ht# a perda hidráulica total, como indica a equação, se obtém a curva característica real. Amáxima altura de elevação de uma bomba é desenvolvida para uma vazão menor que Qo. Isto significa que aperda hidráulica mínima não corresponde à altura de elevação máxima. Podemos derivar as curvas, emrelação a Q, e achar os respectivos pontos de derivada nula. Figura 5.25 - Curva real de uma bomba incluindo as perdas hidráulicasPUCRS – FENG – 2010 5-19
    • Sistemas Fluidomecânicos5.3.2 Perdas Hidráulicas nas Bombas As perdas hidráulicas da bomba podem ser consideradas como a superposição das perdashidráulicas com as perdas por choque. As perdas hidráulicas dependem da dissipação viscosa doescoamento do fluido nos canais formados pelas aletas, difusores, aletas diretrizes de entrada e saída dorotor, e da dissipação viscosa que ocorre na parte posterior do rotor (atrito de disco). Tais perdas sãoproporcionais ao quadrado da vazão e podem ser expressas por: h1 = k1Q 2sendo a constante de proporcionalidade k1 função de características construtivas e dimensionais da bombatais como tipo de máquina (radial,axial) e do tipo de acabamento superficial do rotor. Numa máquina real existirá perturbação no escoamento, com a formação de vórtices e regiõesde recirculação, descolamento da camada limite. A dissipação de energia devido a estes fenômenos éconhecida como perdas por choque e pode ser equacionada como: h2 = k 2 (Q − Q0 ) 2onde Q-Qo representa o desvio da vazão normal. Isto é, Q é a vazão atual da bomba, e Qo é a vazão deprojeto (aquela que não induz perdas por choque). As perdas hidráulicas de uma bomba são então calculadas somando-se as perdas hidráulicas comas perdas por choque: H = µH t∞ − k1Q 2 − k 2 (Q − Q0 ) 2  Q ⋅ ctgβ 2   − K 1 ⋅ Q 2 − K 2 (Q − Q0 )2 U2 H =µ⋅ ⋅ U 2 −   g  2 ⋅ π ⋅ r2 ⋅ b2  A razão entre a altura real de elevação e a altura teórica de elevação define o rendimento hidráulicoηh . Então e pela definição de altura teórica para número finito de pás: H ηh = µ ⋅ H t∞onde µ representa o fator de deslizamento, que é o inverso do coeficiente de Pfleiderer (kpfl). Depende darelação de diâmetros do rotor, (D1/D2), do número de pás (z) e do ângulo da pá na saída (β2o):     1 a β   2  k pfl = = 1 + 1 + 2   µ z 60   D   2 1− D   1    2 O coeficiente "a" leva em consideração a interação do difusor com o impelidor, sendo dado para diferentestipos de volutas como Tipo de Voluta Coeficiente “a” Voluta simples 0,65 a 0,85 Difusor com pás guias 0,6 Difusor sem pás guias 0,85 a 1,05-20 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Capítulo 5: Curvas Operacionais de Sistemas de Bombeamento5.4 Método para Parametrização das Curvas de Bombas A parametrização de bombas centrífugas trata da recuperação dos parâmetros de projeto. Oequacionamento permite obter a curva real junto com as curvas de perdas quando são conhecidas suascaracterísticas operacionais. Apesar de ser uma formulação para escoamento unidimensional, ela representamuito bem o comportamento das máquinas reais.Sabemos que a equação característica real de uma bomba centrífuga é representada como:   ⋅ ctgβ 2  − k1 ⋅ Q 2 − k 2 ⋅ (Q − Q0 ) U2 Q H =µ⋅ ⋅ U 2 − 2 g  2π ⋅ r2 ⋅ b2   Na forma adimensional esta equação é dada por: ( ) ( ) 2 gH   Q  1   Q   Q − Q0  = µ 1 −   ctgβ 2  − gr2 b2 k1   − gr2 2 b2 2 k 2   2 2 2   2π U r b  U r b  u2   U 2 r2 b2    2 2 2   2 2 2 Para simplificar a equação acima definimos H ∗ como a altura adimensionalizada, a qual é denominadacoeficiente de pressão. Também trabalhamos com uma vazão adimensionalizada, Q* a qual é denominadacoeficiente de vazão. g⋅H Q H∗ = Q∗ = U2 2 U 2 ⋅ r2 ⋅ b2Desta forma a equação adimensionalizada e utilizada para o procedimento de parametrização é dada como:   1 H ∗ = µ 1 − Q ∗  2π  ( ) ( ctgβ 2  − gr2 b2 k1Q ∗ − gr2 b2 k 2 Q ∗ − Q0 2 2 2 2 2 ∗ ) ( ) 2    Os produtos (k1r22b22) e ( k2r22b22) são adimensionais, o que implica que as constantes k1 e k2 têmdimensão. A equação também pode ser dada como: (H ∗ = − gr2 b2 2 2 )(k k 1 2 )Q ∗2 + 2(gr2 2 b2 2 )k 2 Q0 ∗ − µ   1 2π  [ ( ctgβ 2 Q ∗ + µ − gr2 b2 k 2 Q0  2 2 ∗2 ) ]Para determinar os parâmetros de projeto podemos aproximar a curva por um polinômio, um polinômio de 2°grau, na forma: 2 H * = a0 + a1Q * + a2Q *onde ao, a1 e a2 são constantes do polinômio determinadas facilmente na planilha do Excel.. Igualando-se, termo a termo, a equação da curva característica adimensional da bomba com aequação polinomial de segundo grau, obtém-se o seguinte conjunto de equações:PUCRS – FENG – 2010 5-21
    • Sistemas Fluidomecânicos ( ) − gr22b2 (k1 + k 2 ) = a2 2   ( ) 2 gr22b2 k 2Q0 * − µ 2 1 2π  ctgβ 2  = a1   µ − (gr22b22 )k 2Q0 2 = a0 *Como existem 3 equações e 4 incógnitas (k1, k2, µ, Q*), para resolver o sistema deve-se estipular valores parauma das incógnitas, e por procedimento iterativo chegar a solução como apresentado no exemplo dado. Odiâmetro do rotor na saída, (D2) largura da pá na saída (b2) e ângulo da pá na saída (β2) devem ser fornecidospelo fabricante ou estimados por metodologia apropriada.5.5 Exemplo do Procedimento Fazer a parametrização da curva característica da bomba comercial KSB, modelo ETANORM 32-125, com as seguintes características: O rotor da bomba tem diâmetro D2=139mm, e largura na saída igual ab2=10mm. O ângulo da pá na saída é β2 = 30°. Da curva fornecida no catálogo pelo fabricante, para 3500rpmse tem a seguinte tabela: Tabela 5.2 Dados fornecidos pelo fabricante Q (m3/h) H (m) η(%) 7,5 40 40 22 37,5 64 28,7 35 67 34 32,5 67 38 30 65,5Inicialmente se graficar a curva da bomba com os dados fornecidos pelo fabricante (Fig.5.26). Curvas Características de Bombas 80 Centrífugas 70 60 50 H (m) 40 30 Curva do Fabricante Rendimento 20 10 0 0 10 Q(m3/h)20 30 40 Figura 5.26 – Curva da altura manométrica (m) e rendimento global (%)5-22 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Capítulo 5: Curvas Operacionais de Sistemas de Bombeamento O próximo passo é utilizar a equação real das bombas centrífugas mostrando-se a aplicação damesma na recuperação dos parâmetros de projeto de equipamentos existentes, desde de que se conheça ascaracterísticas operacionais da bomba.A Equação característica real da bomba centrífuga é escrita dessa maneira:   ⋅ ctgβ 2  − k1 ⋅ Q 2 − k 2 ⋅ (Q − Q0 ) U2 Q H =µ⋅ ⋅ U 2 − 2 g  2π ⋅ r2 ⋅ b2   Para facilitar a análise adimensionam-se a altura e vazão utilizando as expressões do coeficiente de pressão ecoeficiente de vazão: g⋅H Q H∗ = Q∗ = U2 2 U 2 ⋅ r2 ⋅ b2 πD2 nA velocidade periférica do rotor na saída é obtida pela relação: u 2 = 60Neste caso, com n=3500rpm e D2=139mm se obtém u2=25,5m/sDesta forma pode-se encontrar os valores de Q* e H*, apresentados na Tab.5.3. Tabela 5.3 Dados da Curva adimensionalizada Q* H* 0,118 0,603 0,345 0,566 0,45 0,528 0,533 0,49 0,596 0,453 Com os dados da curva adimensionalizada pode-se graficar a curva característica adimensionalizadamostrada na Fig. 5.27(a). Curvas Características de Bombas Centrífugas Curvas Características de Bombas Centrífugas 0,7 0,7 2 y = -0,6004x + 0,1163x + 0,5976 0,6 0,6 0,5 0,5 0,4 H* Curva da Bomba 0,4 0,3 H* Adimensionalizada 0,2 0,3 Curva Real da Bomba Adimensionalizada 0,1 0,2 0 Polinômio (Curva Real da Bomba Adimensionalizada) 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,1 Q* 0 0 0,1 0,2 0,3 Q* 0,4 0,5 0,6 0,7 Figura 5.27 (a) Gráfico da curva adimensionalizada e (b) ajuste por polinômio de 20 grauPUCRS – FENG – 2010 5-23
    • Sistemas FluidomecânicosCom auxílio do Excel, pode-se parametrizar a curva adimensional, através de um polinômio de 2° grau. Como ajuste da curva tem-se o polinômio: 2 H * = a0 + a1Q * + a2Q *A Fig. 6.3(b) mostra a curva da bomba parametrizada através do polinômio de 2° grau. Utilizando-se os coeficientes de ajuste da curva fornecidos pelo Excel, se pode montar uma outratabela (Tab.5.4) para a curva adimensionalizada, utilizando a expressão polinomial. Tabela 5.4 Dados obtidos através do Polinômio Q* H* 0,118 0,595 0,345 0,557 0,45 0,518 0,533 0,478 0,596 0,442Os coeficientes obtidos pelo polinômio foram os seguintes: Ver equação Fig. 6.3 a0 = 0,5976 a1 = 0,1163 a2 = -0,6004A equação do polinômio é equivalente a: ( ) (  )  [ ( ) H* = − g r22 b2 (k1 + k2 )Q*2 +2 g r22 b2 k2 Q0 − µ ctg 2 Q*+ µ − g r22 b2 k2Q02 2 2 * 1 2π β 2 * ]   ( ) − gr22b22 (k1 + k 2 ) = −0,6004  ( ) 1  2 gr2 b2 k 2 Q0 * − µ 2π ctgβ 2  = 0,1163 2 2   µ − (gr22b22 )k 2Q0 2 = 0,5976 *Substituindo-se nestas equações os valores dos parâmetros conhecidos: R2=69,5mm, b2=10mm, β2=30°.Tem-se o seguinte: (k1 + k2 ) = 1,26 ×105 k 2Q0 − 2,908 × 10 4 µ = 11,61 × 10 3 * k 2Q0 2 − 2,11×105 µ = −1,26 ×105 *5-24 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Capítulo 5: Curvas Operacionais de Sistemas de Bombeamento Como existem 3 equações e 4 incógnitas (k1, k2, µ, Q), para resolver o sistema deve-se estipularvalores para uma das incógnitas. Para tal pode-se observar a última equação (coeficiente de grau zero), enotar que µ deve ser superior a 0,5976, para que a equação seja satisfeita. Observando-se o gráfico dado pelo fabricante, conclui-se que vazão para a eficiência máxima dabomba é aproximadamente 30m3/h. Assim, determina-se o valor de µ de tal forma que se obtenha a vazão omais próximo possível do valor de eficiência máxima. Para µ=0,65 se obtém: k2=8,35x104 k1=4,25x104 Q0*=0,365 Q=23,31m3/h Para µ=0,66 se obtém: k2=7,15x104 k1=5,44x104 Q0*=0,431 Q=27,5m3/h Para µ=0,665 se obtém: k2=6,69x104 k1=5,91x104 Q0*=0,463 Q=29,51m3/hObs: Para encontrar o valor de Q basta utilizar a equação da vazão adimensional (Q*). Com o último valor µ=0,665 a vazão encontrada (29,51m3/h) é bem próxima do valor ótimo(30m /h). Desta forma adotamos os coeficientes k2=6,69x104 k1=5,91x104. 3 Com os coeficientes podemos gráfica as curvas de atrito e choque, utilizando-se as equações abaixo:h1 = k1Q 2 (Eq.de perdas por atrito) h2 = k 2 (Q − Q0 ) (Eq. de perdas por choque) 2O termo (Q-Q0) representa o desvio da vazão normal. Isto é, Q é a vazão atual da bomba, e Q0 é a vazão deprojeto, aquela que não induz perdas por choque. Q0 é a vazão calculada e escolhida, ou seja, a vazão maispróxima a eficiência máxima. No nosso caso Q0=29,51m3/h.Além dessas curvas também pode-se utilizar a equação da altura teórica para número finito de pás U2  Q.ctg.β 2  H t # = µ. .U 2 − 2.π .R2 .b2  (Equação da altura teórica) g  Com tais equações são geradas as tabelas do atrito (Tab.5.5), choque (Tab. 5.6) e da curva teórica da bomba(Tab.5.7). A Fig.5.4 mostra o gráfico construído com esses dados. Tabela 5.5 Resultados da curva de atrito Q (m3/s) h1 (m) 0,0021 0,2565 0,0061 2,2071 0,0080 3,7562 0,0094 5,2716 0,0106 6,5849PUCRS – FENG – 2010 5-25
    • Sistemas Fluidomecânicos Tabela 5.6 Resultados da curva de choque Q (m3/s) (Q-Q0) (m3/s) h2 (m) 0,0021 -0,0061 2,5005 0,0061 -0,0021 0,2911 0,0080 -0,0002 0,0034 0,0094 0,0012 0,1041 0,0106 0,0024 0,3722 Tabela 5.7 Resultados da curva teórica (influência das aletas) Q (m3/s) Ht# (m) 0,0021 42,65 0,0061 39,89 0,0080 38,61 0,0094 37,60 0,0106 36,84Desta forma a equação característica real, com todos os parâmetros de projeto da bomba, é determinada. AFig 5.28 mostra a composição desta curva real, a partir da identificação dos termos de perda e desvio emrelação à idealização inicial. Parametrização da Curva da Bomba 45 40 35 Atrito 30 Choque Altura h e Ht# 25 20 15 10 5 0 0,000 0,002 0,004 0,006 0,008 0,010 0,012 Vazão (Q(m3/s)) Figura 5.28. Curva de bomba centrífuga obtida com o método aplicado.5-26 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Capítulo 5: Curvas Operacionais de Sistemas de Bombeamento5.6 Equações ComplementaresComo visto no presente Capitulo, para aplicar o método de parametrização devemos contar os dados de H-Qe H-η da bomba assim como n, D2 β2 e b2. No caso de bombas comerciais podemos ter dificuldades deobter do catalogo do fabricante o ângulo da pá e largura da pá na saída do rotor já que são parâmetros deprojeto. Nessa situação devemos utilizar equacionamentos adicionais obtidos de referencias bibliográficaspara o projeto de bombas centrífugas. Neste caso utilizamos as equaciones de Jekat (Centrifugal PumpTheory).Dados do catalogo H, Q, D2 n Determinar: β2 e b2(H e Q correspondem ao ponto de máximo rendimento)Determinar a rotação especifica característica nq n Q nq = H 3/ 4Com nq CEstimar o coeficiente de velocidades kv = m2 U2 O qual pode ser obtido pela aproximação k v = 0,0077 + 0,0029n qCom nq Para nq < 20Estimar o ângulo da pá na saída (β2) β 2 = 60 − 2,71nq − 0,0643nq − 0,0005nq 2 3 Para nq > 20 β2 = 250Determinar a velocidade periférica do rotor πD 2 n U2 = 60Determinar Cm2 Cm2 = Kv U2 QCom Cm2 determinar a largura da pá (b2) b2 = πD 2 C m 2Adotar uma relação de diâmetros. Pode-se adotar D1/D2=0,5 Adotar z entre 4 a 8 para nq < 80Selecionar o número de pás (z) (ou determinar com equação do Cap.3 )Equações para verificação dos resultados 0,071Rendimento hidráulico (ηH) em função de Q ηH = 1 − (Q em m3/s ) Q 0, 25(*) Coeficiente de Altura (ψ). ψ = 2µη h (1 − k v cot β 2 )Conhecido ψ determinar a velocidade tangencial na saída do 2 gHrotor e comparar com a do fabricante. Numa boa U2 =parametrização ambas devem ser muito próximas. ψ(*) O fator de deslizamento (µ) pode ser obtido com β2 D1/D2 e z utilizando a Eq. dada neste capítulo.PUCRS – FENG – 2010 5-27
    • Capítulo 6: Sistemas de Bombeamento Sistemas de BombeamentoPUCRS – FENG - 2010 6-1
    • Sistemas Fluidomecânicos Sistemas de Bombeamento SUMÁRIO 6.1 Equação da Energia: Sistemas de Fluidomecânicos ..................................................................... 3 6.1.1 Potência Adicionada ou Absorvida por Dispositivos Mecânicos ...................................................... 4 6.2 Equacionamento dos Sistemas de Bombeamento ......................................................................... 5 6.3 Definição de Alturas Estáticas ....................................................................................................... 6 6.4 Alturas Totais ou Dinâmicas ........................................................................................................... 7 6.4.1 Altura Total de Aspiração ou Manométrica de Aspiração - Ha......................................................... 7 6.4.2 Altura Total de Recalque ou Manométrica de Recalque – Hr ........................................................... 8 6.5 Altura Manométrica ......................................................................................................................... 9 6.5.1 Bomba Acima do Nível do Reservatório de Aspiração................................................................... 11 6.5.2 Bomba Abaixo do Nível do Reservatório de Aspiração - Afogada ................................................. 11 6.5.3 Altura Útil de Elevação.................................................................................................................... 12 6.5.4 Leitura Instrumental da Altura Manométrica em Bombas .............................................................. 12 6.6 Principais Elementos de um Sistema de Bombeamento.............................................................. 14 6.7 Resumo das Principias Equações nos Sistemas de Bombeamento ........................................... 15 6.8 Curva Característica dos Sistemas de Bombeamento ................................................................. 16 6.8.1 Exemplo de Aplicação de Curva Característica de Sistema ........................................................ 17 6.8.2 Exemplo de Curva Característica de Bomba e Curva Característica do Sistema ....................... 18 6.9 Exemplos Resolvidos.................................................................................................................... 19 6.10 Atividade de Aprendizado ............................................................................................................. 24 6.11 Folha Modelo para Dimensionamento de Sistemas de Bombeamento ....................................... 25 6.12 Exemplo de Resultados ................................................................................................................ 266-2 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Capítulo 6: Sistemas de Bombeamento6.1 Equação da Energia: Sistemas de Fluidomecânicos Sabemos que a equação de Bernoulli não assume perdas de energia por atrito ou ganhos deenergia (por exemplo de uma bomba) ao longo da linha de corrente. Podemos considerar a equação geralda energia como uma extensão da Eq. de Bernoulli que pode ser utilizada, nestes casos, incluindo ostermos de energia apropriados. Uma análise de energia entre duas seções (Fig.6.3) que incluem dissipaçãoe/ou ganhos adicionais de energia, pode ser representada como:Energia ponto 1 + Energia adicionada - Energia removida - Energia por perdas = Energia ponto 2p1 v12 p2 v22 + + z1 + H A − H R − h L = + +z2 (1)ρg 2 g ρg 2 g HA Energia adicionada ao fluido mediante um dispositivo mecânico, como por exemplo bombas. HR Energia removida ou retirada do fluido mediante um dispositivo mecânico, como por exemplo turbinas. hL Perdas de energia pelo sistema devido ao atrito nas tubulações (perda de carga por comprimento de tubulação) ou perdas de carga localizadas devido à presença de válvulas e conectores e outros acessórios inseridos na rede. Figura 6.1 Sistema que representa a equação geral da energia.A equação de energia deve estar escrita na direção do fluxo. Desde o ponto de referência na parte esquerdaaté ao ponto correspondente no lado direito. Os sinais algébricos estabelecem que um elemento de fluidoque tem uma certa quantidade de energia por unidade de peso na seção 1 pode ter uma adição de energia(+HA) ou uma perda de energia (-hL) antes de alcançar a seção 2. Num problema em particular nem todosos termos de energia são utilizados. Por exemplo se não existem dispositivos mecânicos os termos HA e HRpodem ser eliminados. Da mesma forma se a perda de energia é muito pequena o termo hL pode serdesprezível. PUCRS – FENG - 2010 6-3
    • Sistemas Fluidomecânicos6.1.1 Potência Adicionada ou Absorvida por Dispositivos Mecânicos A potência provinda da energia adicionada ou absorvida por sistemas mecânicos (bombas,ventiladores, turbinas) pode ser determinada multiplicando-se a energia transferida por unidade de pesode fluido pelo fluxo de peso de fluido escoando através do sistema. Sabemos que o fluxo de massaescoando através do sistema é dado por:m = ρvA ou m = ρQ& &desta forma o peso de fluido escoando é dado comofluxo de peso de fluido escoando = mg = ρgvA ou ρgQ &A potência teórica adicionada por uma bomba ao fluido pode ser determinada como:W A = H A ρgQ (W) & (2)onde ρ é a massa específica do fluido e Q a vazão. No SI a unidade resultante é Watts.A eficiência da bomba é definida como a relação entre o potencial adicionado pela bomba ao fluido e apotência subministrada à bomba. potência adicionada pela bomba ao fluido potência útilη Bomba = = potência fornecida para a bomba potência de acionamentoNo caso da energia subministrada a uma dispositivo mecânico como turbina a Potência transmitida pelofluido ao motor é dada por:WR = H R ρgQ (W) & (3)Nestes dispositivos mecânicos também existem perdas de energia por atrito mecânico e de fluido. Aeficiência mecânica é definida como a relação entre a potência de saída do motor e a potência transmitidapelo fluido. potência de saída da turbinaη turbina = potência transmitida pelo fluido6-4 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Capítulo 6: Sistemas de Bombeamento6.2 Equacionamento dos Sistemas de Bombeamento A altura de elevação ou altura manométrica representa a quantidade de energia específica(potência útil por unidade de peso do fluido em escoamento) que a bomba transfere ao fluido de trabalho.Tal conceito se aplica às máquinas de fluxo que operam com líquidos. No caso das turbinas hidráulicasrepresentaria a quantidade de energia específica que a água em escoamento transfere ao rotor da turbina.Na operação de ventiladores a energia específica transferida aos gases é denominada pressão total. Para determinar a altura manométrica, em termos das características físicas e operacionais de umsistema de bombeamento, utilizamos a Fig.6.2. O sistema de bombeamento é constituído de reservatóriosde aspiração e descarga (recalque), da bomba, de tubulações que conectam a bomba aos reservatórios, evários acessórios complementares como: cotovelos de tubulação, válvulas de bloqueio ou controle dofluxo, suportes, etc. Figura 6.2 Esquema de sistema de bombeamentoConvenção de subíndices:[0]: Ponto da superfície livre no reservatório de aspiração.[1]: Ponto da seção de entrada da bomba.[2]: Ponto da seção de saída da bomba.[3]: Ponto na superfície livre do reservatório de recalque ou maior altura da saída do fluido no recalque.[a]: Elementos no sistema de aspiração do fluido[r]: Elementos do sistema de recalque do fluidoAs principais variáveis que devem ser determinadas num sistema de bombeamento são: • Pressão na entrada da bomba e sua altura equivalente em metros de coluna de fluido. • Pressão na saída da bomba e sua altura equivalente em metros de coluna de fluido. • Pressão total solicitada na bomba e sua altura equivalente em metros de coluna de fluido. PUCRS – FENG - 2010 6-5
    • Sistemas Fluidomecânicos6.3 Definição de Alturas EstáticasAltura Estática de Aspiração - haRepresenta a diferença de cotas entre o nível do centro da bomba e o nível da superfície livre doreservatório de captação do fluido.Altura Estática de Recalque - hrRepresenta a diferença de cotas entre os níveis onde o fluido é abandonado ao sair pela tubulação derecalque no meio ambiente (ou outro) e o nível do centro da bomba.Altura Estática de Elevação - heDiferença de cotas entre os níveis em que o fluido é abandonado no meio ambiente (ou outro meio), aosair pelo tubo de recalque, e o nível livre no reservatório de captação. Também denominada alturatopográfica ou altura geométrica. (he=ha+hr)Na Fig. 7.1 também se representa a instalação de um vacuômetro na entrada da bomba em um manômetrona saída da bomba. A altura ∆h. representa a diferença entre centros destes instrumentos.Variáveis com subíndices a identificam elementos da tubulação de aspiração e variáveis com subíndice rcomponentes da tubulação de recalque.Para determinar as principais variáveis num sistema de bombeamento seguimos a seguinte metodologia: • Aplicando a Eq. de energia entre o plano (0-0) e (1-1) se obtém uma expressão da pressão relativa na entrada da bomba. • Aplicando a Eq. da Energia entre o plano (2-2) e (3-3) obtemos uma expressão da pressão relativa na saída da bomba. • Aplicando a Eq. de Energia no Plano (1-1) e (2-2) se obtém uma expressão da variação de pressão entre estes pontos. • Relacionado as equações anteriormente deduzidas se obtém uma expressão que representa a altura manométrica do sistema.Os sistemas de bombeamento podem ter um ou mais reservatórios pressurizados. Nesses casos a pressãoabsoluta dos mesmos dependerá do valor da pressão atmosférica local. Na Fig. 6.3 a pressão absoluta noreservatório de aspiração será igual soma da pressão manométrica (po) medida pelo instrumento mais apressão atmosférica local. (p0(abs)=p0 + patm). Na mesma figura o reservatório de recalque este esta aberto aatmosfera e, portanto a pressão absoluta nesse reservatório será a própria pressão atmosférica. Figura 6.3. Exemplo de com reservatório pressurizado na aspiração6-6 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Capítulo 6: Sistemas de Bombeamento6.4 Alturas Totais ou Dinâmicas6.4.1 Altura Total de Aspiração ou Manométrica de Aspiração - HaPara avaliar tal altura aplicamos a Eq. de Energia ao sistema da Fig. 6.2 entre os planos (0-0) e (1-1) 2p0 v0 p v2 + + z 0 − hL ( 0−1) = 1 + 1 + z1 (4)ρg 2 g ρg 2 ghLa(0-1): representa a perda de carga na tubulação de aspiração sendo denominada hLa .No plano (0-0)O plano (0-0) de referência está na superfície livre do reservatório z0=0. Considerando o reservatóriomuito maior que o da tubulação de aspiração, a velocidade v0 é muito pequena e, portanto, o termo deenergia da mesma é desprezível (v02/2g=0). Com tais simplificações a equação é descrita como:[ p 0 = p atm ] [v0 ≅ 0] [z 0 ≅ 0] [h L( 0 −1 ) = hL a ]No plano (1-1)[ p1 = pabs1 ] [v1 = va ] [z1 = ha ]Substituindo na Eq. (1) 2 p atm p abs1 va = + + ha + hLa (5) ρg ρg 2 g p atm − p abs1  v2  = ha + a + hLa  (6) ρg  2go termo entre colchetes representa a Pressão Relativa na entrada da bomba em relação a pressãoexistente na superfície livre do reservatório de aspiração (po). Se o reservatório é aberto a atmosfera comonesta caso po é igual a pressão atmosférica (patm). Se o reservatório for pressurizado po≠patm. Geralmente apressão relativa na entrada da bomba é medida com um vacuômetro. Expressa em metros de coluna defluido representa a pressão relativa na entrada da bomba e é denominada Altura Total de Aspiração:  p − p abs1 H a =  atm    (7)  ρg • Na fase de projeto de um sistema de bombeamento, isto é, quando o sistema ainda não foi instalado, podemos determinar Ha pela Eq.3 determinando a altura estática de aspiração e a perda de carga na tubulação de aspiração.• Num sistema de bombeamento em operação pode-se determinar a altura total de aspiração utilizando um vacuômetro que fornece a pressão relativa na entrada da bomba.pV = H a ρg (8)Ha representa a energia que cada kg de fluido deve receber para atingir a entrada da bomba. Com tal nívelenergético o líquido escoa penetrando na bomba. PUCRS – FENG - 2010 6-7
    • Sistemas Fluidomecânicos6.4.2 Altura Total de Recalque ou Manométrica de Recalque – HrPara avaliar tal altura aplicamos a Eq. de Energia ao sistema da Fig. 6.1 entre os planos (2-2) e (3-3)considerando o centro da bomba como a linha de referência: 2 2p2 v2 p3 v3 + + z 2 − hL ( 2 − 3) = + + z3 (9)ρg 2 g ρg 2 ghL(2-3): representa a perda de carga na tubulação de recalque denominada hLr.No plano (2-2)[ p 2 = pabs 2 ] [v2 = v r ] [z 2 = 0 ] [h L ( 2 − 3) = hLr ]No plano (3-3)A energia cinética na saída da tubulação de recalque é absorvida pelo fluido no reservatório, desta forma otermo é considerado desprezível ( v23/2g=0).[ p3 = p abs 3 = p atm ] [v 2 3 / 2g ≅ 0 ] [z 3 = h3 − ∆h]p abs 2 v r2 p + = atm + hr − ∆h + hLr ( 10 ) ρg 2g ρg p abs 2 − p atm  v2  = hr − ∆h − r + hLr  ( 11 ) ρg  2go termo entre colchetes representa a pressão pelativa na saída da bomba em relação a pressão existente nasuperfície livre do reservatório de recalque (p3). Se o reservatório é aberto a atmosfera como, nesta caso,p3 é igual a pressão atmosférica (patm). Se o reservatório for pressurizado p3≠patm. A pressão relativa nasaída é medida com um manômetro. Expressa em metros de coluna de fluido a pressão relativa na saída dabomba é denominada altura manométrica de recalque: p − p atm H r =  abs 2    ( 12 )  ρg • Na fase de projeto de um sistema de bombeamento, Hr pode obtida pela Eq. 8 determinando-se a altura estática de aspiração e a perda de carga na tubulação de recalque.• No caso de um sistema de bombeamento em operação, pode ser obtida pela leitura direta do manômetro.p M = H r ρg6-8 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Capítulo 6: Sistemas de Bombeamento6.5 Altura ManométricaA altura de elevação ou altura manométrica representa a quantidade de energia específica (potência útilpor unidade de peso do fluido em escoamento) que a bomba transfere ao fluido de trabalho. Figura 6.4 Detalhe do plano 1-1 e plano 2-2Para avaliar tal altura aplicamos a Eq. da Energia entre os planos (1-1) e (2-2) considerando o centro dabomba como a linha de referência:p1 v12 p2 v22 + + z1 + H man = + + z2 ( 13.1 )ρg 2 g ρg 2 g p 2 − p1 v 2 − v12 2H man = + + ( z 2 − z1 ) ( 13.2 ) ρg 2gO termo (z2 - z1) representa a altura entre centros dos instrumentos, portanto (z2 - z1)=∆h. Avelocidade v1 corresponde à velocidade na tubulação de aspiração (va). A velocidade v2 representaa velocidade na tubulação de recalque (vr). Desta forma:No plano (1-1)[ p1 = p1Abs ] [v1 = va ] [z1 = 0]No plano (2-2)[ p 2 = p2 Abs ] [v2 = vr ] [z 2 = ∆h] p 2 Abs − p1 Abs v r2 − v a 2H man = + + ∆h (14 ) ρg 2gPelas equações deduzidas anteriormente: p1 Abs  p atm p 2 Abs p ρg  = ρg − H a  = H r + atm  ρg ρg p 2 Abs − p1 Abs   = Hr + Ha  ( 15 ) ρg  v r2 − v a 2H man = Ha + Hr + + ∆h ( 16 ) 2g PUCRS – FENG - 2010 6-9
    • Sistemas FluidomecânicosTambém: 2 v r2 vaH r = hr − ∆h − + hL r H a = ha + + hLa 2g 2gSubstituindo as definições de Hr e Ha na Eq.13: v r2 − v a 2H man = H a + H r + + ∆h 2g  v2   v2  v 2 − va 2H man =  ha + a + hLa  +  hr − ∆h − r + hLr  + r    + ∆h  2g   2g  2gH man = ha + hr + hL a + hL r ( 17 )A Eq. Acima pode ser verificada aplicando a Eq. de Energia entre o Plano (0-0) e o plano (3-3).[ p 0 = p atm ] [vo ≅ 0] [z 0 = 0] [h L ( 0 −3 ) = hLa + hLr ][ p3 = p atm ] [v 2 3 / 2g ≅ 0 ] [z 3 = ha + hr ]A Eq. Deduzida é valida para bombas instaladas acima do nível do reservatório sendo que o fluido éconduzido pela tubulação para o reservatório superior (Fig. 6.5a) absorvendo toda a energia cinéticadevido a velocidade com que sai da tubulação. Figura 6.5 : Sistema absorvendo energia cinética (a) e sem absorção de energia cinética (b)Quando a tubulação de recalque abandona o fluido livremente (Fig. 6.5b) à pressão atmosférica a AlturaManométrica pode ser determinada aplicando a Eq. da Energia entre o plano (0-0) e (3-3):[ p 0 = p atm ] [vo ≅ 0] [z 0 = 0] [h L ( 0 −3 ) = hLa + hLr ][ p3 = p atm ] [v3 = vr ] [z 3 = ha + hr ] 2po v0 p v2 + + z1 + H man − hL ( 0−3) = 3 + 3 + z 3ρg 2 g ρg 2 g v r2H man = ha + hr + hLa + hLr + ( 18 ) 2g6-10 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Capítulo 6: Sistemas de Bombeamento6.5.1 Bomba Acima do Nível do Reservatório de AspiraçãoNeste caso existe a necessidade de uma válvula de retenção com crivo no inicio da tubulação de aspiração,chamada válvula de pé, a qual impede o escoamento do fluido do tubo do reservatório quando a bombaestá parada ou pára de funcionar. Figura 6.6 Esquema de bombeamento normal.A altura manométrica neste sistema é representada na Fig.6.6 e deduzida anteriormente. v r2H man = ha + hr + hLa + hLr + (19 ) 2g6.5.2 Bomba Abaixo do Nível do Reservatório de Aspiração - Afogada Figura 6.7. Esquema de bomba afogada.A altura manométrica neste caso (Fig.6.7) é similar, contudo, o sinal da altura estática de aspiração énegativo (-). v r2H man = −ha + hr + hLa + hLr + ( 20 ) 2gNão há necessidade de válvula de pé com crivo, desde que o nível do fluido permita encher todo o corpoda bomba. PUCRS – FENG - 2010 6-11
    • Sistemas Fluidomecânicos6.5.3 Altura Útil de ElevaçãoPor definição a altura útil é dada como: va2 − v r2H u = H man + ( 21 ) 2gRepresenta a energia por unidade de massa que o fluido adquire em sua passagem pela bomba. Se odiâmetro de entrada e de saída da bomba forem iguais v3=v0 e portanto Hu=Hman. Em termos práticos seutiliza diretamente Hman como Hu sem erros sensíveis.6.5.4 Leitura Instrumental da Altura Manométrica em BombasA altura manométrica de uma bomba centrífuga pode serdeterminada num sistema em operação utilizandoinstrumentos de medição da pressão.A Eq. de Energia aplicada entre os pontos ( 1 ) e ( 2 ) nosfornece a expressão: p 2 − p1 v 2 − v12 2H man = + + ( z 2 − z1 ) Figura 6.8 medição de pressão na bomba ρg 2gConsiderando desprezível a variação da energia cinética p 2 − p1H man = + ( z 2 − z1 ) ρgTal simplificação é valida quando as tubulações deaspiração e recalque têm o mesmo diâmetro ou apresentamuma pequena diferençaSendo z 2 − z1 = ∆h e considerando que ∆h representa diferença de cotas entre os centros dos respectivosinstrumentos: p 2 − p1H man = + ∆h ρgPara facilitar o levantamento de tal grandeza os instrumentos são instalados na mesma altura (∆h=0) de talforma que a altura manométrica se obtém pela leitura direta da pressão de instrumentos colocados naentrada e na saída da bomba. p 2 − p1H man = ( 22 ) ρg6-12 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Capítulo 6: Sistemas de BombeamentoCaso I: Entrada do fluido na bomba com pressão menor que a pressão atmosféricaConforme a Fig. 6.6 a altura manométrica pode ser obtida pela leitura do vacuômetro e pela leitura domanômetro instalados respectivamente na entrada e saída da bomba, mais a diferença de cotas entre oscentros dos respectivos instrumentos. Os valores medidos nestes instrumentos devem respeitar os sinaisque indicam a pressão menor que a pressão atmosférica (-) e maior que a pressão atmosférica (+). Destaforma para utilizar Ana equações acima, as pressões dos instrumentos são definidas como:Vacuometro : p1 = − pVManometro : p 2 = + p MSubstituindo na equação: p 2 − p1 p M − (− pV ) p M + pVH man = = = ρg ρg ρgPara facilitar podemos escrever a expressão acima em termos do valor absoluto: p M + pVH man = ( 23 ) ρgDesta forma a altura manométrica (Hman) do sistema é determinada a partir da soma dos valores absolutosmedidos pelos instrumentos.Caso II: Entrada do fluido na bomba com pressão maior que a pressão atmosféricaExistem sistemas de bombeamento onde a bomba encontra-se afogada (Fig.6.5) ou pode estarpressurizada na aspiração. Neste caso a pressão na tubulação de aspiração pode ser maior que a pressãoatmosférica. O instrumento instalado na tubulação de poderá ser um manômetro. Desta forma o valor dapressão lida pelo instrumento deve der inserida na Eq. como um valor negativo. Assim, Hman representa adiferença das duas parcelas de pressão medidas pelos instrumentos.Manometro : p1 = p M 1Manometro : p 2 = p M 2 p 2 − p1 p M 2 − p M 1H man = = ρg ρg pM 2 − pM 1H man = ( 24 ) ρg PUCRS – FENG - 2010 6-13
    • Sistemas Fluidomecânicos6.6 Principais Elementos de um Sistema de Bombeamento Dependendo da finalidade os sistemas de bombeamento podem apresentar diversas configurações.Um sistema típico de bombeamento é apresentado na figura abaixo. Geralmente o conjunto moto-bomba éinstalado numa casa de máquinas protegido contra intempérie. Para o acionamento da bomba podem serutilizado motores elétricos, motores de combustão interna, acionado por turbinas a gás ou utilizadotomadas de força como eixo de tratores. Em geral predomina o uso de acionamento com motores elétricos. Figura 6.9 Componentes de um sistema de bombeamento.Válvula de pé com crivo:Tem como finalidade a passagem unidirecional do fluido no sentido ascendente. Quando ocorredesligamento do motor esta válvula permite que o corpo da bomba e a tubulação de aspiração permaneçamcheia de líquido impedindo seu retorno ao reservatório de aspiração. A válvula mantém assim a bombaescorvada. O crivo é o elemento que impede a aspiração de partículas sólidas depositadas no reservatóriode aspiração.Redução Excêntrica:Utilizada com a finalidade de evitar a formação de bolsas de ar na entrada o que dificultaria ofuncionamento normal da bomba.Válvula de Retenção:Válvula unidirecional instalada na saída da bomba e antes do registro de recalque. Impede que o peso dacoluna de recalque seja sustentado pelo corpo da bomba o que pode ocacionar vazamentos. Impede quepor alguma defeito da válvula de pé exista refluxo trabalhando o rotor da bomba como uma turbina,podendo provocar danos a bomba.Registro de Recalque:Permite controlar a vazão através do fechamento e abertura do registro.Tubulação de aspiração:Recomenda-se que a tubulação de aspiração seja o mais curta possível e vedada contra entrada de ar. Nocaso de linhas longas deve ser previsto uma declividade contínua da entrada da bomba para o reservatórioeliminando a formação de pontos com bolsões de ar. Para uniformizar o fluido na entrada da bombarecomenda-se quando possível, prever um trecho com comprimento mínimo de 10 diâmetros da boca deaspiração da bomba.6-14 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Capítulo 6: Sistemas de Bombeamento6.7 Resumo das Principias Equações nos Sistemas de BombeamentoNo capitulo 7 é a apresentado o detalhamento de como determinar a perda de carga das tubulações e dosacessórios. A seguir apresenta-se um resumo das principais equações utilizadas no dimensionamento desistemas de bombeamento.Altura Manométrica em Sistemas de Bombeamento (reservatórios a pressão atmosférica.) H man = ha + hr + hLa + hLr + hvel Conforme caso da Fig. 6.5b Hman: Altura manométrica do sistema (m)_________________________________ ha: altura estática de aspiração (m) H man = ha + hr + hLa + hLr hr: altura estática de recalque (m) hLa: perda de carga na tubulação de aspiração (m) Conforme caso da Fig. 6.5a h : perda de carga na tubulação de recalque (m)_________________________________ Lr 2 hvel: perda de carga dinâmica pela velocidade na tubulação (m) vrH man = −ha + hr + hLa + hLr + 2g Bomba afogada (Fig.6.7)Altura equivalente a pressão dinâmica ou perda de carga dinâmica. v2 v: velocidade média do fluido na tubulação (m/s)hvel = g: aceleração da gravidade (9,81m/s2) 2gPerda de Carga nos Acessórios – método do comprimento equivalente L : comprimento de canalização retilínea. (m) L v 2 f: Fator de atrito da tubulação função da rugosidade e numero de Reynoldsh LD = f (Cap.7 pag.7-6) D 2gPerda de Carga nos Acessórios – método do coeficiente de perda de carga v2 k : coeficiente de perda de carga dos acessóriosh Lk = Σ k Tabelado segundo tipo de acessórios. (Cap.7 Tab.7.3) 2g Obs. Também pode ser utilizado o conceito de comprimento equivalente.Perda de Carga Total (tubulações + acessórios):h L = h LD + h Lk hLD: Perda de carga na tubulação de aspiração (m) hLk : Perda de carga dos acessórios (m)Altura estática de elevação he : altura estática de elevação (m)he = h a + hr ha: altura estática de aspiração (m) hr: altura estática de recalque (m)Eq. da Curva característica do sistemaH man = k 1 + k 2 Q 2 k1; k2 : Constantes da curva do sistema.Potência de acionamento da bomba (potência motriz) ρgH man Q Hman: altura manométrica (m)Wac = & (W) Q: vazão (m3/s) ηG ηG: rendimento global do sistema ρ: massa específica do fluido (kg/m3) PUCRS – FENG - 2010 6-15
    • Sistemas Fluidomecânicos6.8 Curva Característica dos Sistemas de BombeamentoA altura manométrica em sistemas de bombeamento conforme Fig.6.6 é dada por:H man = ha + hr + hLa + hLr + hvela qual pode ser escrita de forma simplificada como:H man = he + hLa + hLr + hvelonde he =ha + hr é denominada altura total de elevação. Numa instalação de bombeamento este termo seconsidera como constante, e aqui denominamos he=k1.Considerando um sistema no qual o diâmetro da tubulação é igual na aspiração e no recalque: L v2 v2 v2H man = he + f + Σk + D 2g 2g 2g  L v 2H man = he +  f + Σk + 1  D  2gComo se observa a perda de carga é função do quadrado da velocidade, portanto do quadrado da vazão.Com tais considerações se obtém: Podemos utilizar substituir a expressão da velocidade em função davazão: 2 Q    L  AH man = he +  f + Σk + 1  D  2g  L  1H man = he +  f + Σk + 1 2 Q2  D  2 gADesta forma podemos obter uma expressão que representa a curva característica do sistema considerandocomo uma constante k2 a todos os termos que multiplicam o quadrado da vazão.H man = k1 + k 2 Q 2Se um sistema de bombeamento trabalha com determinada vazão Q e uma altura manométrica Hmanpodemos determinar as constantes k1 e k2. Para vazão nula Q=0 temos que k1=he. Para a vazão e alturamanométrica de trabalho determinamos k2 . Desta forma encontra-se a equação característica do sistema,que pode ser graficada junto com a curva da bomba selecionada.6-16 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Capítulo 6: Sistemas de Bombeamento6.8.1 Exemplo de Aplicação de Curva Característica de SistemaNum sistema debombeamento a alturaestática de elevação é iguala 15 metros. Sabemos que abomba trabalha com umavazão de 450 m3/h e umaaltura manométrica de 45metros de coluna de água.Determine a equaçãocaracterística do sistema egrafique a mesma. Figura 6.10 Exemplo de curva da bomba e curva do sistemaA equação é dada por: H man = k1 + k 2 Q 2Do enunciado he = 15m por tanto k1 = 15m H man − k1 45 − 15 mk2 = = = 1,48 x10 − 4 Q 2 450 2 3 m /h ( )2H man (m) = 15 + 1,48 x10 −4 Q 2 com Q (m3/h)A figura mostra o resultado da curva que representa o sistema junto com a curva da bomba. 75 Hman (Bomba) Hman(Sistema) 60 Altura Manometrica (m) 45 30 15 0 0 150 300 450 600 750 Vazão (m3/h) Figura 6.11 Exemplo de curva da bomba e curva do sistema PUCRS – FENG - 2010 6-17
    • Sistemas Fluidomecânicos6.8.2 Exemplo de Curva Característica de Bomba e Curva Característica do SistemaUma bomba possui uma curva característica ajustada pela Eq. H man = H 0 − AQ 2 especificamente comH man = 16 − 0,00111Q 2 onde Hman (m) e Q(m3/h). O sistema possui uma curva característica do tipoH man = k1 + k 2 Q 2 , especificamente H man = 8 + 0,00111k 2 Q 2 . Grafique a curva da bomba junto com acurva do sistema mostrando o ponto de operação.Solução:Curva do sistema H man = 8 + 0,00111Q 2Curva da Bomba H man = 16 − 0,00111Q 2Igualando: 816 − 0,00111Q 2 = 8 + 0,0011Q 2 se obtém 0,00222Q 2 = 8 Q= = 60m 3 / h 0,00222Substituindo a vazão de Q=60m3/h em qualquer das duas expressões (do sistema ou da bomba) se obtém:Hman=12m. A figura abaixo mostra o resultado gráfico das equações assim como o ponto de operação. 20 18 Curva do Sistema 16 Ponto de operação 14 12 H (m) 10 8 Curva da Bomba 6 4 2 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 Q (m3/h) Figura 6.12 Resultado do exemplo de curva da bomba e curva do sistema6-18 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Capítulo 6: Sistemas de Bombeamento6.9 Exemplos ResolvidosExemplo 6.1: Num sistema de bombeamento de água (Fig. 7.1) é utilizada uma bomba centrifuga com asseguintes características. Diâmetro externo do rotor igual a 380mm; largura da pá na saída igual a 25mm.Rotação igual a 1200rpm e ângulo da pá na saída igual a 380. Rendimento hidráulico igual a 80%.Considere fluido com entrada radial. O sistema trabalha com uma altura total estática de elevação igual a36m e uma altura estática de aspiração igual a 4,0m. A tubulação de aspiração e recalque apresentamdiâmetro interno de 150mm. A perda de carga na tubulação de aspiração é igual a 1,5m e no recalque iguala 7,0m. Determinar ( a ) Altura manometrica do sistema. (b) Altura teórica para número infinito de pás (c)A vazão que opera a bomba (d) A velocidade na tubulação (e) A altura total de aspiração e a altura total derecalque. (f) A pressão equivalente das alturas totais de aspiração e de recalque. Obs. Considere kpfl=1.Dados:he=36m ha=4,0m D=0,15m hLa=1,5m hLr=7,0m D2=380mm b2=25mm.n=1200rpm. β2=380 ηH=0,8Solução:(a ) A altura manométrica do sistema:H man = ha + hr + hLa + hLr = 36 + 1,5 + 7,0 = 44,5mca(b) Altura teórica para número finito de pás considerando entrada radial é dada por: 1H t∞ = U 2 Cu 2 g πD2 n π 0,38 x1200U2 = = = 23,88m / s 60 60Considerando número infinito de pás: Ht#=Ht00 desta forma o rendimento hidráulico é dado por: H man H manηh = = H t# H t∞ H 44,5H t∞ = man = = 55,63mca ηh 0,8( c ) Vazão: Q = πD2 b2 C m 2 gH t∞ 9,81x55,63 Cm2Cu 2 = = = 22,85m / s tan β 2 = U2 23,88 U 2 − Cu 2C m 2 = (U 2 − C u 2 ) tan β 2 = (23,88 − 22,85) tan(38) = 0,8m / sQ = πD2 b2 C m 2 = πx0,38 x0,025 x0,8 = 0,0239m 3 / s(d) Velocidade na tubulação de aspiração 4Q 4 x0,0239 va = = = 1,35m / s πD 2 0,15 2 2 va(e) Altura total de aspiração: H a = ha + hLa + = 4,0 + 1,5 + 0,093 = 5,59m 2g Altura total de recalque H r = hr + hLr = 32 + 7,0 = 39,0m PUCRS – FENG - 2010 6-19
    • Sistemas FluidomecânicosExemplo 6.2: Num sistema de bombeamento com bomba afogada o manômetro instalado na saída dabomba indica uma pressão de 5,0 kgf/cm2. Na entrada da bomba um instrumento indica uma pressão de1,5 kgf/cm2. Determinar a altura manométrica do sistema. Considere que os instrumentos estão numamesma altura e que a pressão atmosférica é equivalente a 10,33mca.SoluçãoA pressão na saída da bomba é PM1=5,0kgf/cm2. A pressão entrada da bomba é PM1=1,5kgf/cm2 o quecorresponde a uma pressão maior que a pressão atmosférica (Patm=1,0kgf/cm2). Desta forma a alturamanométrica pode ser determinada pela diferença das pressões na entrada e saída. p M2 − pM1 5 − 1,5 9,81H man = = x = 50 − 15 = 35m ρg 1000 x9,81 (1 / 100)2Obs: No caso de uma bomba que a pressão na entrada é inferior a pressão atmosférica a leitura deveria serfeita com um vacuômetro e a altura manométrica seria dada pela soma do valor absoluto de cada uma daspressões medidas. Por mantendo se na entrada o vacuômetro indica -0,5kgf/cm2 então: p M + pV 5 + 0,5 9,81H man = = x = 50 − 5 = 55m ρg 1000 x9,81 (1 / 100 )2Exemplo 6.3: Um sistema de bombeamento trabalha com uma vazão de 1100m3/h. O diâmetro datubulação de aspiração é igual a 400mm e o da descarga igual a 380mm. Um manômetro situado a 0,70macima do eixo da bomba indica uma pressão de 2,2kgf/cm2 e o vacuômetro instalado 0,25m abaixo do eixoda bomba indica uma pressão de 0,30 kgf/cm2. Determinar a altura manométrica e a altura útil em m.c.a.Se o rendimento global for igual a 68% determinar a potência de acionamento da bomba.Solução: p M + pVH man = + ∆h ρgNeste caso ∆h =0,7 + 0,25=0,95m. PM =2,2kgf/cm2 ou PM /γ=22mca. PV=0,30 kgf/cm2 ou PV /γ=3,0mca p M + pVH man = + ∆h = 22 + 3,0 + 0,95 = 25,95mca ρgPor definição a altura útil é dada como: v3 − v0 2 2 v 2 − va 2H u = H man + que pode ser aproximada por H u = H man + r 2g 2gonde v3=vr velocidade da tubulação de recalque. v0=va velocidade da tubulação de aspiração. 4Q 4 x0,306 4Q 4 x0,306va = = = 2,43m / s vr = = = 2,7 m / s πDa πx(0,40)2 2 πDr πx(0,38)2 2 vr2 − va2 2,7 2 − 2,44 2H u = H man + = 25,95 + = 25,95 + 0,068 = 26,01mca 2g 2g ρgH man Q 1000 x9,81x 25,95 x0,306Wac = & = = 115kW ηg 0,686-20 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Capítulo 6: Sistemas de BombeamentoExemplo 6.4: A Fig. mostra o sistema empregado no teste de uma bomba centrifuga com rotação nominalde 1750 rpm. O líquido é água a 80oF, os diâmetros dos tubos de aspiração e descarga são de 6 polegadas.Os dados medidos durante um teste são apresentados no quadro. O motor é de 460V trifásico, com fator depotência de 0,875 e rendimento igual a 90%. Determinar a altura manometrica e o rendimento de umabomba para uma vazão de 1000 gpm. A distancia do centro da bomba ao centro do vacuômetro é igual a1,0 pé e a distância do centro da bomba ao centro do manômetro é igual a 3,0 pé.Graficar a altura manometrica, rendimento e potência da bomba. Figura 6.13– Esquema de sistema de bombeamento. Vazão Pressão Aspiração Pressão na descarga Corrente do Motor Rotação da bomba (gpm) (psig) (psig) (A) (rpm) 0 -3,7 53,3 18 1750 500 -4,2 48,3 26,2 1745 800 -4,7 42,3 31,0 1749 1000 -5,7 34,3 36,0 1750 1100 -6,2 31,3 37,0 1747 1200 -6,7 27,3 37,3 1752 1400 -7,7 15,3 39,0 1750 1500 -8,4 7,3 41,5 1753 Conversões: (1 Galão = 3,785 litros) (1 Atm=101,32 kPa = 14,7 psi. )Solução: A modo de exemplo resolvemos o problema para uma vazão de 1000 gpm. O mesmo processopode ser repetido para as outras vazões.Q=1000gpm=1000x3,785=3785 l/min=0,0631m3/s (227,1 m3/h)Da figura temos que: ∆h= zM – zV =3 - 1= 2pé ou ∆h= 2,0 x12 x0,0254 =0,61mA massa específica da água a 800F é igual a 62,47lbf/ft3 ou ρ≅1000kg/m3A altura manométrica pode ser determinada pela leitura direta do manômetro e do vacuômetro mais adiferença de alturas entre os centros dos instrumentos. p M + pVH man = + ∆h ρg PUCRS – FENG - 2010 6-21
    • Sistemas Fluidomecânicos ( 34,3 + 5,7 )  101,32 x1000 H man =   + 0,61 = 28,10 + 0,61 = 28,71m 1000 x9,81  14,7 Determinado a potência útil:Wu = ρgH man Q = 1000 x9,81x 28,7 x0,0631 = 17765,61Watts & ou Wu = 17,77 kW &A potência fornecida pelo motor dado por:Wac = η 3FpVI = 0,9 3 x0,875 x 460 x36,0 = 22587,67Watts ou Wac = 22,59kWRendimento global da bomba poderá ser determinado pela expressão: ρgH manQ ρgH man Q 1000 x9,81x 28,71x(227,1 / 3600)Wac = & ηg = ηg = x100 = 78,65% ηg & Wac 22,59 x1000Para graficar altura manométrica, potência e rendimento da bomba em função da vazão, podemosinicialmente elaborar uma planilha no Excel com o seguinte formato: A Fig.6.11mostra o resultadográfico. Q pvac pman ∆h Hman & Wu I V & Wac ηmotor ηg (volts) (%) (%)(m3/h) (kPa) (kPa) (m) (m) (kW) (A) (kW) 18 460 90 26,2 460 90 31,0 460 90 227,1 -39,28 236,37 0,61 28,71 17,77 36,0 460 22,59 90 78,65 37,0 460 90 37,3 460 90 39,0 460 90 41,5 460 90 60 90 80 50 70 Hman (m) - Potência (kW) 40 60 Rendimento (%) 50 30 40 20 30 20 10 10 0 0 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 Vazão (m3/h) Figura 6.14 Resultados das curvas características da bomba.6-22 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Capítulo 6: Sistemas de BombeamentoExemplo 6.5Uma bomba centrífuga trabalha em uma instalação onde as alturas estáticas de aspiração e recalque sãorespectivamente 2 e 41m. A tubulações apresentam uma perda de carga dada pela equações: hLa = 0,10 Q2;hLr = 0,70 Q2 onde h [mca] e Q[l / s]. O manômetro indica uma pressão de 47 mca enquanto ovacuômetro indica 3 mca, estando os dois instrumentos no mesmo nível. Desprezando a variação deenergia cinética do fluido determine a vazão e potência da bomba para um rendimento global de 75 %.Solução:Dados: Hvac= 3,0 mca Hman= 47mca ha = 2 m hr = 41 η = 75% hLa= 0,10 Q2 hLr = 0,70 Q2Vazão. H = H man + H vac + ∆h = 47 + 3 + 0 = 50 mca l H = ha + hr + hLa + hLr = 2 + 41 + 0,1Q 2 + 0,7Q 2 ⇒ Q = 2.96 sPotência de eixo. ρgH man Q 1000 x9,81x(2,96 / 1000) x50 Wac = & = = 1,95 kW ηg 0,75 x1000Exemplo 6Considerando escoamento com entrada radial, a altura manométrica de uma bomba pode ser dada como: U 2 Cu 2 C2 H =µ −k 2 g 2gonde o termo -k( ) representa a fração da energia dissipada no interior da bomba. Demonstre que a partirda expressão anterior que altura manométrica para uma bomba com uma vazão Q e rotação n, pode serrepresentada pela equação: H = An 2 + BnQ + CQ 2Solução: πD2 n Q Cm2U2 = = an Cm2 = = bQ Cu 2 = U 2 − = an − cQ 60 πD2 b2 tan β 2H =µ (an )(an − cQ ) − k [(an )2 + (an − cQ )2 ] g 2gH =µ (an 2 − acnQ −k ) [ (an ) + an 2 − acnQ + (cQ ) 2 2 ] g 2g µan 2 µacnQ k 2an 2 kacnQ k (cQ ) 2H= − − + − g g 2g 2g 2gH= (µ − k ) an 2 − (µ − 0.5k ) acnQ − k (cQ )2 g g 2gque finalmente pode ser representada como:H = An 2 + BnQ + CQ 2 PUCRS – FENG - 2010 6-23
    • Sistemas Fluidomecânicos6.10 Atividade de Aprendizado No sistema de bombeamento de água (300C) mostrado na figura a bomba deve trabalhar com uma vazãode 100 m3/h. A tubulação é PVC. A altura estática de aspiração é igual a 4,0m e altura estática de recalque igual a25m. O comprimento da tubulação de aspiração é igual a 12m e a tubulação de recalque igual a 50m. Na tubulaçãode aspiração se utiliza uma válvula de pé com crivo e uma curva de 900. No recalque se utiliza uma válvula deretenção, um registro de gaveta aberto e 02 curvas de 900.Determinar: • Os diâmetros comerciais das tubulações. • A altura manométrica do sistema. • Potência de acionamento. (calculada e fornecida pelo fabricante). • A equação da curva característica do sistema. • Selecione uma bomba comercial para o sistema. • Graficar a curva da bomba comercial selecionada junto com a curva do sistema. • O NPSH disponível pelo sistema. • O NPSH requerido pela bomba. (calculado e fornecido pelo fabricante) • A altura de aspiração limite para não ocorrer cavitação.OBS: Montar a planilha de calculo no Excel para dimensionar sistemas de bombeamento, utilizando como referenciaeste problema. Completar a planilha para ficar mais genérica utilizando outros fluidos e reservatórios abertos efechados.Utilize a folha modelo para realizar o trabalho. • Tabela 1: Dados iniciais • Tabela 2: Perda de carga do sistema • Tabela 3: Potência de acionamento • Tabela 4: Curva característica do sistema • Tabela 5: Verificação da cavitação. • Tabela 6: Relação de acessórios. • Tabela 7: Formulário com Equações Básicas.6-24 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Capítulo 6: Sistemas de Bombeamento6.11 Folha Modelo para Dimensionamento de Sistemas de BombeamentoTabela 1: Dados Iniciais ValoresVazão Q m3/sAltura estática de aspiração ha mAltura estática de recalque hr mComprimento da tubulação de aspiração La mComprimento da tubulação de recalque Lr mMaterial da tubulação Tabela 8.1Rugosidade ε mmFluido Tabelas ou Eqs. oTemperatura T CMassa especifica ρ kg/m3Viscosidade cinemática (µ /ρ) ν m2/sTabela 2: Perda de Carga Aspiração RecalqueDiâmetro da tubulação – Eq. Bresse Da Dcal:_____ Dr Dcal:_____ mm(Cal: Calculada e Com: Comercial) Dcom: Dcom:Velocidade da tubulação Va Vr m/sNo de Reynolds da tubulação Ra Rr -Rugosidade relativa ε/Da ε/Dr -Fator de atrito – Eq. Explicita fa fr -Perda de carga da tubulação hLDa hLDr mPerda de carga dos acessórios hLka hLkr mPerda de carga (Tubulação + Acessórios) hLa hLr mPerda de carga total (Aspiração + Recalque) hL= mTabela 3: Potência de acionamentoAltura total de elevação he mAltura manométrica Hman mVazão Q m3/sRendimento global estimado ηG %Potência de acionamento W kWTabela 4: Curva Característica do SistemaAltura total de elevação he mAltura manométrica Hman mVazão Q m3/hConstante k1=he k1 mConstante k2= (Hman - k1)/Q2 k2Equação da Altura Manométrica Hman= k1 + k2Q2Tabela 5: Verificação da Cavitação ( OK se NPSH Disp > NPSH Req)NPSH disponível pelo sistema NPSHDisp. mNPSH requerido pela bomba NPSH req mAltura de aspiração limite para não ocorrer cavitação. haLim mTabela 6: Perda de Carga dos acessórios: (Apostila Tab. 8.3) Item Elemento (acessórios) Coeficiente k Quantidade Total Quantidade Total Aspiração Aspiração Recalque Recalque 1 2 3 4 5 6 Total ΣKa= Σ Kr = PUCRS – FENG - 2010 6-25
    • Sistemas Fluidomecânicos6.12 Exemplo de ResultadosTabela 1: Dados Iniciais Valores UnidadesVazão Q 0,045 m3/sAltura estática de aspiração ha 2,0 mAltura estática de recalque hr 28 mComprimento da tubulação de aspiração La 15 mComprimento da tubulação de recalque Lr 3000 mMaterial da tubulação Ferro fundido novoRugosidade ε 0,16 mmFluido Água oTemperatura T 20 CMassa especifica ρ 998,15 kg/m3Viscosidade dinâmica ν 1,008x10-6 m2/sTabela 2: Cálculos Perda de Carga Aspiração RecalqueDiâmetro da tubulação Da 223mm Dr 223mm 250mm 200mmVelocidade da tubulação Va 0,917 m/s Vr 1,43 m/sNo de Reynolds da tubulação Ra 2,29x105 Rr 2,86x105Rugosidade relativa ε/Da 0,00064 ε/Dr 0,008Fator de atrito fa 0,01969 fr 0,02030Perda de carga por comprimento de tubulação hLDa 0,05 hLDr 31,85Perda de carga dos acessórios hLka 0,12 hLkr 0,37Perda de carga (Tubulação + Acessórios) hLa 0,17 hLr 32,22Perda de carga total (Aspiração + Recalque) hL =32,39mTabela 3: Cálculo da Potência de acionamentoAltura total de elevação he 30 mAltura manométrica Hman 62,39 mVazão Q 0,045 m3/sRendimento global estimado ηG 63,97 %Potência de acionamento W 42,97 kWTabela 4: Curva Característica do SistemaAltura total de elevação he 30 mAltura manométrica Hman 62,39 mVazão Q 162 m3/hConstante k1=he k1 30 mConstante k2= (Hman - k1)/Q2 k2 0,01234Equação da Altura Manométrica Hman= 30 + 0,001234Q2Tabela 6: Perda de Carga dos acessórios: (Apostila Tab.8.3) Item Elemento (acessórios) Coeficiente k Quantidade Total Quantidade Total Aspiração Aspiração Recalque Recalque 1 Válvula de pé 1,75 1 1,75 1,75 0 2 Crivo 0,75 1 0,75 0,75 0 3 Curva de 900 0,40 1 0,4 0,4 0,8 4 Válvula de retenção 2,50 0 0 0 2,5 5 Registro de gaveta 0,20 0 0 0 0,20 Total ΣKa=2,9 ΣKr =3,56-26 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Capítulo 7: Perda de Carga em Sistemas de Bombeamento Perda de Carga em Sistemas de BombeamentoPUCRS – FENG - 2010 7-1
    • Sistemas de Bombeamento Perda de Carga em Sistemas de Bombeamento SUMÁRIO 7.1 PERDA DE PRESSÃO NO ESCOAMENTO EM TUBULAÇÕES ......................................................................... 3 7.2 PERDA DE CARGA TOTAL ....................................................................................................................... 3 7.3 PERDA DE POR TUBULAÇÕES ................................................................................................................. 4 7.4 DIAGRAMA DE MOODY ........................................................................................................................... 5 7.5 MÉTODO PARA DETERMINAR A PERDA DE CARGA SECUNDARIA ............................................................... 8 7.5.1 Método do comprimento equivalente ................................................................................................ 8 7.5.2 Método do coeficiente de perda de carga......................................................................................... 9 7.6 PERDA DE CARGA NOS SISTEMAS DE BOMBEAMENTO ........................................................................... 10 7.7 RESUMO DAS PRINCIPIAS EQUAÇÕES NOS SISTEMAS DE BOMBEAMENTO .............................................. 11 7.8 VELOCIDADES TÍPICAS NOS SISTEMAS DE BOMBEAMENTO ................................................................... 12 7.9 EXEMPLOS RESOLVIDOS DE SISTEMAS DE BOMBEAMENTO. .................................................................. 13 7.10 DIMENSIONAMENTO DE SISTEMA DE BOMBEAMENTO............................................................................. 157-2 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Capítulo 7: Perda de Carga em Sistemas de Bombeamento7.1 Perda de Pressão no Escoamento em TubulaçõesA variação de pressão num duto resulta da variação da elevação, da velocidade e do atrito e pode serdeterminada aplicando a Eq. da Energia:p1 u12 p u2 + + z1 − h L = 2 + 2 + z 2ρg 2 g ρg 2 gDesta forma:∆P → f ( Z , V , hL ) O atrito origina uma diminuição da pressão. Causa uma perda de pressão comparada com o caso de escoamento sem atrito. Figura 7.1 Perda de carga em sistema de bombeamento7.2 Perda de Carga TotalA perda de carga em tubulações é dada por duas parcelas.hL = hLD + hLKPerda de Carga pelos Dutos ou Tubulações: (hLD) Devido ao atrito no escoamento plenamente desenvolvido entre pontos da tubulação com área constante.Perda de Carga por Acessórios - (hLK) Devido ao escoamento através de acessórios como válvulas, joelhos, registros e em porções do sistema de área variável tais como saídas de reservatórios, bocais convergentes e divergentes. A perda de carga na entrada ou saída de uma tubulação é considerada como perda de carga secundária.Obs: A nomenclatura de hL para perda de carga é usualmente utilizada nos textos de mecânica dos fluidos.Nos textos de máquinas de fluxo, a perda de carga é denominada por J. Por exemplo, a perda de carga nastubulações é designada por JL e perda de carga nos acessórios por Jacc,.PUCRS – FENG - 2010 7-3
    • Sistemas de Bombeamento7.3 Perda de por TubulaçõesTransformação da energia cinética para energia térmica por efeitos viscosos. Consideremos um escoamentoplenamente desenvolvido numa tubulação de comprimento L. Analisando uma tubulação com área constanteA1=A2 e desta forma pela Eq. da continuidade u1=u2 . No caso de uma tubulação horizontal (z1=z2). Assim aequação da energia é reduzida para: ( p1 − p 2 ) ∆PhLD = = ρg ρgPerda de Carga Principal - Escoamento Turbulento No caso de escoamento turbulento não existem expressões que permitam avaliar analiticamente a queda de pressão. Utiliza-se análise dimensional e correlações de dados experimentais.Analisando o caso de escoamento turbulento plenamente desenvolvido a queda de pressão é função dasseguintes variáveis:∆P = φ ( D, L, ε , V , ρ , µ )Mostra-se que a perda de carga é diretamente proporcional a L/D.hL L  ε 2 = φ Re, V D  D2gA função φ é conhecida como fator de atrito ou coeficiente de atrito.  εf = φ Re,   DOnde Re é o número de Reynolds e e/D a rugosidade relativa.Número de Reynolds VD V: velocidade média do fluido (m/s)Re = D: diâmetro interno da tubulação (m) ν ν: viscosidade cinemática do fluido (m2/s)Tipos de regimes de escoamento: Re < 2000 Laminar Re > 4000 Turbulentodesta forma se obtém a equação da perda de carga que representa a energia dissipada por unidade de peso dofluido escoando. L V2hLD = f Equação de Darcy-Weisbach. D 2gO fator de atrito determina-se experimentalmente. Utiliza-se o Diagrama de Moody.7-4 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Capítulo 7: Perda de Carga em Sistemas de Bombeamento7.4 Diagrama de Moody7.4.1 Rugosidade Absoluta e Rugosidade RelativaPara determinar o fator de atrito se utiliza o Diagrama de Moody. Para tal deve-se ter o valor do número deReynolds e a rugosidade relativa ε/D. A rugosidade absoluta ε depende do tipo de material da tubulação edo seu acabamento. Representa o valor médio das alturas da rugosidade da parede interna da tubulação. ATabela dada mostra os valores da rugosidade absoluta para os materiais típicos de tubulações industriaisutilizadas para o escoamento de fluidos. Figura 7.2 Representação da rugosidade absoluta em tubulações Tabela 7.1 Rugosidade absoluta (mm) de tubulações industriais Material Rugosidade absoluta ε (mm) Aço, revestimento asfalto quente. 0,3 a 0,9 Aço, revestimento esmalte centrifugado. 0,011 a 0,06 Aço enferrujado ligeiramente 0,15 a 0,3 Aço enferrujado 0,4 a 0,6 Aço muito enferrujado 0,9 a 2,4 Ferro galvanizado novo, com costura. 0,15 a 0,2 Ferro galvanizado novo, sem costura. 0,06 a 0,15 Ferro fundido revestido com asfalto 0,12 a 0,20 Ferro fundido com crostas 1,5 a 3,0 PVC e Cobre 0,015 Cimento-amianto novo 0,05 a 0,10 Fonte: - Equipamentos Industriais e de Processo - (Macintyre)PUCRS – FENG - 2010 7-5
    • Sistemas de Bombeamento7.4.2 Descrição do Diagrama de MoodyO diagrama de Moody apresenta uma zona laminar (Re < 2300), uma zona crítica (Re de 2300 e 4000) umazona de transição e uma zona inteiramente rugosa. Nestas zonas o fator de atrito f apresenta diferentesdependências em relação ao número de Reynolds (Re) e em relação a rugosidade relativa ε/D as quais sãoresumidas a seguir:1. Na zona laminar fator de atrito f é independente da rugosidade ε/D e inversamente proporcional ao número de Re2. Na zona crítica o fator de atrito apresenta aumentos bruscos.3. Na zona de transição para um determinado Re o fator de atrito f diminui conforme a rugosidade relativa ε/D diminui.4. Na zona de transição, para uma determinada rugosidade relativa ε/D o fator de atrito f diminui ao aumentar o Re até alcançar a região inteiramente rugosa.5. Dentro da zona inteiramente rugosa, para uma determinada rugosidade relativa ε/D, o fator de atrito f, se mantém praticamente como um valor constante independente do Re.6. Na zona de transição, conforme diminui a rugosidade relativa ε/D o valor do Re no qual inicia a região plenamente turbulenta começa a aumentar Figura 7.3 Representação do Diagrama de MoodyPodemos utilizar o site http://www.lmnoeng.com/moody.htm para determinar a perda de carga emtubulações ou o site http://grumpy.aero.ufl.edu/gasdynamics/colebrook.html. Também podemos utilizar oaplicativo hidrotec disponível no site http://planeta.terra.com.br/servicos/hidrotec7-6 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Capítulo 7: Perda de Carga em Sistemas de BombeamentoI - Escoamento LaminarO fator de atrito para escoamento laminar pode ser obtido igualando a equação L V2 64 L V 2hLD = f com a equação da perda de carga laminar hL D = se obtém: D 2g Re D 2 g 64f = válido para Re < 2300 Re No escoamento laminar o fator de atrito ( f ) é função somente do número de Reynolds. Independe da rugosidade da tubulação.II - Escoamento com Tubos Hidraulicamente LisosNesta região pode utilizar-se a Eq. de Blasius ou a Eq. de Drew Koo e McAdams 0,316f = Eq. de Blasius 4000 < Re < 105 (Re )1/ 4f = 0,0056 + 0,5 Re −0,32 Eq. de Drew Koo e McAdams 105 < Re < 3x106III - Escoamento Turbulento com Tubos Hidraulicamente Semi-RugososPermite determinar o fator de atrito para escoamento turbulento: 1 ε / D 2,51  = −2,0 log +  Equação de Colebrook 5,0x103 < Re < 1x108 f  3,7 Re f   Como tal equação é do tipo transcendente deve ser utilizado um procedimento iterativo para determinar f.Uma alternativa é utilizar uma equação explícita: −2   ε / D 5,74 f = 0,25log + 0 ,9  Equação Explícita 5,0x103 < Re < 1x108   3,7 Re Utilizando a Eq. acima se encontram valores de f com margem de erro de +-1% comparados com os obtidoscom a Eq. de Colebrook, para: ε/D de 1,0x10-4 (0,0001) até 1,0x10-6 (0,000001)IV - Escoamento Turbulento com Tubos Hidraulicamente RugososO fator de atrito depende unicamente da rugosidade relativa e pode ser determinado pela equação: 1 ε /D = −2 log  Equação de Von Karman f  3,7 PUCRS – FENG - 2010 7-7
    • Sistemas de Bombeamento7.5 Método para Determinar a Perda de Carga Secundaria7.5.1 Método do comprimento equivalenteOs acessórios são todos aqueles elementos que existem numa tubulação através dos quais o fluido escoa, taiscomo curvas, bocais, registros e válvulas. Cada um destes elementos produz uma dissipação de energia que éavaliada pela perda de carga (hac) definida como: L eq V 2h Lk = f (m) D 2gO comprimento equivalente em metros de canalização retilínea (Leq) é tabelado segundo o tipo de acessório,o material utilizado e o diâmetro da tubulação. Se substituirmos um certo acessório por uma tubulaçãoretilínea com o comprimento igual ao comprimento equivalente (com igual material e diâmetro) ambosoriginariam a mesma perda de carga. A tabela abaixo mostra o comprimento equivalente adimensional(Leq/D) de diversos acessórios. Figura 7.4 Representação do comprimento equivalente em acessórios Tabela 7. 2 Perda de carga localizada Tipo de Acessório Comprimento Equivalente (Leq/D) Válvula de globo aberta 340 Válvula de gaveta aberta 8 3/4 aberta 35 1/2 aberta 160 1/4 aberta 900 Válvula tipo borboleta aberta 45 Válvula de esfera aberta 3 Válvula de retenção tipo globo 600 Válvula de retenção tipo em ângulo 55 Válvula de pé com crivo: de disco móvel 75 Cotovelo padronizado 900 30 Cotovelo padronizado 450 16 Te padronizada fluxo direto 20 Te padronizada fluxo ramal 60 Válvulas tipo borboleta Te com flanges Válvula globo Figura 7.5 acessórios utilizados em instalações industriais7-8 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Capítulo 7: Perda de Carga em Sistemas de Bombeamento7.5.2 Método do coeficiente de perda de cargaUma outra forma de representar a perda de carga nos acessórios (hac) é definindo a mesma na forma: V2h LK = k (m) 2gOnde k é o coeficiente de perda de carga e V a velocidade média. O coeficiente de perda de carga será maiorquanto mais abruto seja o elemento originando zonas de recirculação de fluxo e altos níveis de turbulência,aumentando desta forma a energia dissipada. A tabela mostra o coeficiente de perda e carga de diversoselementos. Tabela 7. 3 Coeficiente de perda de carga de acessórios Tipo de Acessório k Tipo de Acessório k Ampliação Gradual 0,20* Junção 0,40 Bocais 2,75 Medidor venturi 2,5 Comporta aberta 1,00 Redução gradual 0,15 Controlador de vazão 2,50 Registro de ângulo aberto 5,0 Cotovelo 900 0,9 Registro de gaveta aberto 0,20 Cotovelo 450 0,4 Registro de globo aberto 10,0 Crivo 0,75 Saída de canalização 1,00 Curva 90 0,4 Tê passagem direta 0,6 Curva 45 0,20 Tê saída de lado 1,30 Curva 22,5 0,10 Tê saída bilateral 1,80 Entrada normal em canalização 0,50 Válvula de pé 1,75 Entrada de borda 1,0 Válvula de retenção 2,50 Existência de pequena derivação 0,03 Velocidade 1,0 * com base na velocidade maior (seção menor) ** Relativa à velocidade de canalizaçãoIgualando as equações de perda de carga por acessórios se obtém: L eqk= f Dmostrando a relação entre o coeficiente de perda de carga (k) e o comprimento equivalente (Leq). Curva de 900 Joelho de 900 Registro de gaveta Válvula de pé com crivo Figura 7.6 Exemplo de diversos acessórios utilizados em instalações industriaisPUCRS – FENG - 2010 7-9
    • Sistemas de Bombeamento7.6 Perda de Carga nos Sistemas de BombeamentoPara determinar a energia útil transferida do rotor ao fluido deve-se determinar total as alturas físicas deaspiração e de recalque assim como todos os comprimentos das tubulações e todos os acessórios existentesna tubulação. Basicamente um sistema de bombeamento fica especificado quando determina-se a alturamanométrica e a vazão do sistema. A vazão é uma informação especifica do projeto. As velocidades nastubulações de aspiração e recalque podem ser determinadas a partir de recomendações e posteriormentedeterminar o diâmetro das tubulações. O diâmetro comercial imediatamente superior será o diâmetro datubulação de aspiração (Da) e diâmetro inferior será o diâmetro de recalque (Dr). Sistemas com velocidadesmuito baixas requerem de tubulações com diâmetros maiores e, portanto, eleva-se o custo do sistema.Sistemas com velocidades muito altas envolvem diâmetros menores, contudo, apresentam grandes perdas decarga e, portanto, aumenta o custo da potência de acionamento do sistema. Recomendam-se velocidadesinferiores na tubulação de aspiração para evitar problemas de altas perdas de carga o qual pode trazerproblemas de cavitação. Para auxiliar em projetos podem ser utilizadas expressões ou tabelas que apresentamfaixas de velocidades recomendadas segundo o tipo de fluido. Figura 7.7 Esquema de sistemas de bombeamento.7-10 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Capítulo 7: Perda de Carga em Sistemas de Bombeamento7.7 Resumo das Principias Equações nos Sistemas de BombeamentoAltura Manométrica em Sistemas de Bombeamento (reservatórios a pressão atmosférica.) Hman: Altura manométrica do sistema (m) ha: altura estática de aspiração (m) H man = ha + hr + hLa + hLr + hvel hr: altura estática de recalque (m) hLa: perda de carga na tubulação de aspiração (m)Obs: Conforme Figura 7.7 hLr: perda de carga na tubulação de recalque (m) hveloc: perda de carga dinâmica pela velocidade na tubulação (m)Perda de Carga nas Tubulações: f: coeficiente de atrito ou fator de atrito L v 2 L: comprimento da tubulação (m)h LD = f v: velocidade média do fluido na tubulação (m/s) D 2g D: diâmetro interno da tubulação (m) g: aceleração da gravidade (9,81m/s2)Perda de Carga nos Acessórios – método do comprimento equivalente Leq : comprimento equivalente em metros de canalização retilínea. (m) L eq v 2 Tabelado segundo tipo de acessórios, material e diâmetro da tubulação.h Lk = f D 2gPerda de Carga nos Acessórios – método do coeficiente de perda de carga k : coeficiente de perda de carga dos acessórios v 2 Tabelado segundo tipo de acessórios.h Lk = Σ k 2gPerda de Carga Total (tubulações + acessórios):h L = h LD + h LkPotência de acionamento da bomba (potência motriz) ρ: massa específica do fluido (kg/m3) & = ρgH man QWac (W) Hman: altura manométrica (m) ηG Q: vazão (m3/s) ηG: rendimento global do sistema (motor-bomba: 50% a 75%)Rendimento Global (%) - (Eq. aproximada)ηG = 80− 0,9367H + 5,46x10−3 QH −1,514x10−5 Q2 H + 5,802x10−3 H 2 − 3,028x10−5 QH2 + 8,346x10−8 Q2 H 2Q: (m3/h ); Hman: (m) Validade: 20 (m3/h ) < Q < 250 (m3/h ) 15 (m) < H < 100 (m) Tabela 7.5 Acréscimo de segurança da potência do motor Potência (kW) Potência (kW) Margem de segurança Até 2 Até 1,5 50% de 2 a 5 de 1,5 a 3,7 30% de 5 a 10 de 3,7 a 7,4 20% de 10 a 20 de 7,4 a 15 15% Acima de 20 Acima de 15 10%PUCRS – FENG - 2010 7-11
    • Sistemas de Bombeamento7.8 Velocidades Típicas nos Sistemas de Bombeamento Na literatura encontramos diferentes recomendações para as velocidades a serem adotadas emsistemas de bombeamento. Reproduzimos aqui algumas que podem ser adotadas como critério dedimensionamento preliminar, as quais podem ser modificadas segundo o tipo de fluido e instalaçõesespecíficas.Velocidades econômicas em geral : vasp < 1,5m/s (máximo: vasp = 2,0m/s) vrecal < 2,5m/s (máximo vrecal = 3,0m/s).7.7.1 Velocidades na Tubulação de aspiração• Quando o fluxo provém de um poço de sucção em regime uniforme: v ≤ 1,5m/s• Quando o fluxo provém de uma tubulação geral v ≤ 0,9m/s• Velocidade mínima a ser adotada em qualquer situação nas tubulações de aspiração v=0,6m/s. Fonte: Sistemas de bombeamento: (Jardim)7.7.2 Velocidades na Tubulação de Recalque em Função de Diâmetros• Recomenda-se para D < 300mm v (entre 1,0m/s e .2,65m/s )• Para D > 300mm recomenda-se vmax =3,0m/s (Macintyre) Fonte: Sistemas de bombeamento: (Jardim)7.7.3 Fórmula de Bresse:• Para tubulações em sistemas de pequeno porte fluxo contínuo (24h/dia): D=k Q (m) D : diâmetro da tubulação (m) k : coeficiente que varia entre 0,9 a 1,2 Q : vazão (m3/s )• Para tubulações em sistemas com regime operacional intermitente: hrs de operacao por dia X =D = 1,3 X 1/ 4 Q (m) 24horas Q : vazão (m3/s) Fonte: Equipamentos Industriais de Processo (Macintyre)Obs: Com a equação de Bresse pode ser determinado um diâmetro D. O diâmetro comercial imediatamentesuperior será o diâmetro da tubulação de aspiração (Da) e diâmetro inferior será o diâmetro de recalque (Dr).6.6.4 Velocidades Típicas (regime turbulento)As seguintes relações podem ser utilizadas como referências.Líquidos Velocidades Limites Líquidos limpos não corrosivosV = 5,214D 0 ,304 (m/s) 36,886 v max = (m/s)D: diâmetro interno da tubulação (m) ρ 1/ 3 ρ: massa específica (kg/m3) Obs: utilizar a metade do valor para fluidos corrosivos e/ou erosivos. Fonte: Operações com Fluidos (Gomide)7-12 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Capítulo 7: Perda de Carga em Sistemas de Bombeamento7.9 Exemplos Resolvidos de Sistemas de Bombeamento.Exemplo 7.1 Numa propriedade agrícola se requeruma estação de irrigação captando 40 litros/s de águade um canal. A figura ao lado representa o esquemada instalação de bombeamento a ser utilizada.Considere que a água 200C. Os diâmetros internos datubulação de aspiração e de recalque são iguais a175mm. Utilize uma tubulação de pvc comrugosidade absoluta igual a 0,015mm. Determinar aaltura manométrica e potência de acionamento dabomba considerando um rendimento global de 75%.Dados:Aspiração: 01 válvula de pé: Leq =43,4m 01 curva de 900 Leq =2,1mDescarga: 01 curva de 900 : Leq =2,1m 1 válvula de retenção Leq =13,9mSolução:Para água a 200C: Viscosidade cinemática á igual a: ν=1,127x10-6m2/s. Massa específica: ρ=1000 kg/m3Vazão: Q=40 l/s (0,040 m3/s). Pela Eq. da continuidade achamos: Velocidade na tubulação: V=1,65m/sSomando os comprimentos da tubulação (160m) mais o comprimento equivalente dos acessórios (61,5m)determinado o comprimento total: Ltotal = 160 + 61,5=221,5m (Aprox. 222m.) A altura manométrica é dadapor:H man = ha + hr + hLa + hLr como a tubulação é do mesmo diâmetro H man = ha + hr + hLAltura estática de aspiração: ha=3,0m; Altura estática de recalque: hr= 14,0m. VD 1,65 x0,175Re = = = 256211 (2,56 x10 5 ) (Escoamento em regime turbulento). ν 1,127 x10 −6   ε 10 6   1/ 3   0,015 10 6   1/ 3f = 0,00551 +  20.000 +    = 0,00551 +  20.000 +   ≅ 0,0153   D Re        175 256211      Neste exemplo, a tubulação de aspiração e recalque tem o mesmo diâmetro. Desta forma a perda de cargatotal da instalação é dada como:hL = hLD + hLk = f ( L + Leq ) v 2 = 0,0153 (160 + 61,5)x 1,65 2 = 2,94m D 2g 0,16 2 x9,81H man = ha + hr + hL = 3 + 14 + 2,94 = 19,94m ρgH man Q 1000 x9,81x19,94 x0,04Wac = & = = 10432,61W ou 10,43kW ηG 0,75PUCRS – FENG - 2010 7-13
    • Sistemas de BombeamentoExemplo 7.2Uma bomba de um catálogo do fabricante opera a 1750rpm e apresenta uma curva característica H-Q comomostrado na figura abaixo. Grafique a curva da bomba para uma rotação de 2000rpm. Um sistema devebombear água através de uma tubulação de 150mm de diâmetro com 460m de comprimento. Considere ocoeficiente de atrito da tubulação igual a 0,025. A altura estática de elevação é igual a 12m considerandonulas todas as perdas dos acessórios. Determinar e a equação característica do sistema. Graficar a curvacaracterística do sistema (com pelo menos 09 pontos) mostrando as condições de operação [H(m),Q(m3/h)]na interseção com a curva de bomba quando trabalha com 1750rpm.D=150mm L=460m f=0,025 he=12m 2  4Q    L v 2 L  πD 2  16 L Q 2hL = f = f = f 2 5 D 2g D 2g π D 2g L 2 460 2hL = 0,0826 f 5 Q = 0,0826 x0,025 Q = 12513Q 2 D 0,15 5A equação da curva característica da bomba é dada por:H = he + hL = 12 + 12513Q 2Curva Característica do Sistema: Q (m3/h) 0 40 60 80 100 120 140 Q (m3/s) 0 0,011 0,01667 0,0222 0,0277 0,0333 0,0388 H (m) 12 13,55 15,5 18,2 21,67 25,9 31,0Curva Característica da Bomba - 1750rpm Q (m3/s) 0 20 40 60 80 100 120 140 160 H (m) 26,7 26,5 26,2 25,8 24,4 23 21,6 19 17Curva Característica da Bomba - 2000rpm Q (m3/s) 0 22,86 45,72 68,6 91,40 114 137,2 160,0 182,8 H (m) 34,9 34,6 34,2 33,7 31,87 30 28,2 24,8 22,2 2 2 n 2000 n   2000 Q2 = Q1 2 = Q1 x = 1,143Q1 H 2 = H1  2 n  = H 1 x   = 1,306 H 1 n1 1750  1   1750  40 40 35 30 30 25 20 20 15 10 10 5 0 0 0 50 100 150 200 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180Resposta: Condições de operação do sistema Aprox.: Q=105 m3/h e H=23m7-14 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Capítulo 7: Perda de Carga em Sistemas de Bombeamento7.10Dimensionamento de Sistema de BombeamentoFonte: (Equipamentos Industriais e de Processo - Macintyre)Determinar a altura manométrica, potência com os seguintes dados. Utilize o catálogo de uma bombacomercial para graficar a curva característica do sistema junto com a curva característica da bombamostrando o ponto de funcionamento.Vazão: Q=5l/sAltura estática de aspiração ha=2,60m Tubulação: Ferro galvanizado novo sem costuraComprimento da tubulação de aspiração: Fluido: água fria a 150CLa=5,4mAltura estática de recalque: hr=42,50m Rendimento global estimado: 50%Comprimento da tubulação de recalque Lr=60m Aspiração Elemento Quantidade Válvula de pé com crivo 01 Cotovelo 900 raio médio 01 Registro de gaveta 02 Tê com saída lateral 02 Recalque Elemento Quantidade Registro de gaveta 01 Válvula de retenção (tipo 01 pesada) Tê de saída lateral 01 Cotovelo 450 01 Cotovelo de 900 raio médio 07PUCRS – FENG - 2010 7-15
    • Sistemas de BombeamentoSoluçãoPara determinar a altura manométrica devemos conhecer as perdas de carga da instalação, já que as alturasestáticas de aspiração e recalque são dadas no problema.H man = ha + hr + hLa + hLr + hvel1. Diâmetros e velocidades das tubulações1.1 Tubulação de aspiração:com Q=5l/s no gráfico de Sulzer se obtém: Da=75mm e va=1,30m/s (diâmetro comercial)• Utilizando a Eq. Bresse para fluxo continuo com k=1,05 se obtém: D=74mm (superior 75mm)1.2 Tubulação de recalque:com Q=5l/s no gráfico de Sulzer se obtém: Dr= 63mm e vr=1,45m/s (diâmetro comercial)• Utilizando a Eq. Bresse com k=1,05 se obtém D=74mm (D inferior comercial: 63mm)2. Comprimento equivalente dos acessóriosConsiderando as tubulações de ferro fundido, podemos obter a perda de carga dos acessórios (para ferrofundido e aço) com seus os respectivos diâmetros das tubulações (aspiração e descarga).2.1 Tubulação de aspiração:Diâmetro: 75mm (3”)Velocidade: 1,3m/s Item Elemento Quantidade Comprimento Comprimento Equivalente Equivalente unitário total 1 Válvula de pé com crivo 01 20,0 20,00 2 Cotovelo 900 raio médio. 01 2,10 2,10 3 Registro de gaveta 02 0,50 1,00 4 Te - com saída lateral 02 5,20 10,40 Total 33,50Tubulação de aspiração: LTa=La + Leqa= 5,4 + 33,50 = 38,9mca2.2 Tubulação de recalqueDiâmetro: 63 mm (21/2”)Velocidade: 1,45m/s Item Elemento Quantidade Comprimento Comprimento Equivalente Equivalente unitário total 1 Registro de gaveta (21/2”) 01 0,4 0,4 2 Válvula de retenção (tipo pesada) 01 8,1 8,1 3 Te - saída lateral 01 4,3 4,3 4 Cotovelo 450 01 0,9 0,9 5 Cotovelo de 900 raio médio 07 1,7 11,9 Total 25,60Tubulação de recalque : LTr=Lrealr + Leqr= 60,0 + 25,6 = 85,6mca.Para água fria a 150C, em tabela: encontramos ν=1,127x10-6 (m2/s).Rugosidade Absoluta da tubulação7-16 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Capítulo 7: Perda de Carga em Sistemas de BombeamentoConsiderando ferro galvanizado novo sem costura obtemos em tabela o valor da rugosidade absoluta igual aε =0,10mm. (valor médio)4. Perda de Carga na Tubulação de aspiraçãoNúmero de Reynolds da aspiração: Da=75mm va=1,30m/s ν=1,127x10-6 (m2/s) v a Da 1,30x 0, 075Re a = = = 86.513 ≈ 8,7x10 4 ν 1127x10 , −6Coeficiente de atrito: Utilizando o diagrama de Moody ou a expressão aproximada de Moody:A rugosidade relativa ε/Da= 0,10/75=0,001334   ε 10 6   1/ 3   10 6   1/ 3f = 0,00551 +  20.000 +   = 0,00551 +  20.000( 0,001334) +   = 0,024    D Re       86513   38,90 (1,3) 2 L v2hLDa = f = 0,024 = 1,076m D 2g 0,075 2 x9,815. Perda de Carga na Tubulação de DescargaDa=63mm va=1,45m/s ν=1,127x10-6 m2/sNúmero de Reynolds da aspiração: v r Dr 1, 45x 0, 0063Re r = = = 81056 ≈ 8,1x10 4 ν 1127x10 −6 ,Coeficiente de atrito:Utilizando o diagrama de Moody ou a expressão aproximada de Moody:A rugosidade relativa ε/Dr= 0,10/63=0,0016   ε 10 6   1/ 3   10 6   1/ 3f = 0,00551 +  20.000 +   = 0,00551 +  20.000( 0,0016) +   = 0,025    D Re       81056    85,6 (1,45) 2 L v2hLDr = f = 0,025 = 3,64 D 2g 0,063 2 x9,81 v2 1,3 2hvel = = = 0,086m 2 g 2 x9,81PUCRS – FENG - 2010 7-17
    • Sistemas de Bombeamento6. Altura Manométrica H man = ha + hr + hLa + hLr + hvelH man = 2,6 + 42,5 + 1,08 + 3,64 + 0,086 ≈ 50m7. Potência de acionamento da bomba ρgHQ 1000 x9,81x 50 x 0,005Pot = = = 4,12 kW ≈ 5kW ≈ 6,5CV ηG 0,5Com Hman=51mca e Q=5l/s (18m3/h ) podemos determinar o tipo de bomba comercial.Poderíamos verificar a perda de carga utilizando diretamente o Diagrama de Moody.Aspiração: com Re=8,7x104 com ε/Da= 0,00133 f= 0,025 (valor obtido pela equação f=0,024)Descarga: com Re=8,1x104 ε/Dr= 0,10/63=0,0016 f=0,025 (valor obtido pela equação f=0,025 )Continuar o problema: • Selecionar uma bomba comercial em catalogo de fabricante. • Determinar a Eq. que representa a curva característica do sistema e graficar junto a curva do fabricante.7-18 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Capítulo 8: Conceitos de Cavitação Conceitos de CavitaçãoPUCRS – FENG - 2010 8-1
    • Sistemas Fluidomecânicos Conceitos de Cavitação SUMÁRIO INTRODUÇÃO .................................................................................................................................................... 3 8.1 DETERMINAÇÃO DO NPSH (NET POSITIVE SUCTION HEAD) DISPONÍVEL..................................................... 5 8.1.1 CASO GERAL DE (NPSH) DISPONÍVEL ..................................................................................................... 7 8.1.2 CASOS ESPECÍFICOS DE SISTEMAS PARA DETERMINAR O NPSH DISPONÍVEL............................................ 8 8.2 ALTURA POSITIVA LÍQUIDA DE SUCÇÃO (NPSH) REQUERIDA PELA BOMBA ................................................... 9 8.3 LIMITE DA ALTURA ESTÁTICA DE ASPIRAÇÃO .............................................................................................. 10 8.4 DETERMINAÇÃO DO FATOR DE CAVITAÇÃO OU FATOR DE THOMA .............................................................. 11 8.4.1 VELOCIDADE ESPECÍFICA DE ASPIRAÇÃO ................................................................................................ 11 8.4.2 MARGEM PRÁTICA DE SEGURANÇA.......................................................................................................... 12 8.5 EXEMPLOS DE CAVITAÇÃO..................................................................................................................................... 138-2 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Capítulo 8: Conceitos de CavitaçãoIntrodução Os fluidos podem passar do estado líquido para o gasoso dependendo das condições de pressão etemperatura a que estão submetidos. A pressão na qual se da este processo é denominada pressão de vapor oude vaporização (Pv). A Fig. 8.1 mostra a pressão de vaporização da água em função da temperatura.Sabemos que, a pressão atmosférica, a água vaporiza (ferve) quando a temperatura atinge em torno de 1000C.Nestas condições a pressão de vaporização da água é 101,33kPa. Observamos no gráfico que pode-se obtervaporização do fluido para pressões inferiores a pressão atmosférica. Por ex. água a 600C pode vaporizarquando a pressão de vapor é de 20kPa.Pressão de vapor (pvap)• Propriedade do fluido que varia com a temperatura, aumentando com a elevação da mesma. Pressão de Vapor de Água (kPa) 100 80 60 40 20 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Temperatura (oC) Figura 8.1 Pressão de vapor de água (kPa) em função da temperatura (oC) As bombas em operação aspiram o fluido, e nesse processo, a pressão diminui até atingir um valormínimo na boca de entrada da bomba. Se esta pressão atinge a pressão de vapor do fluido, o fluido vaporizae inicia um processo de formação de bolhas as quais são arrastadas no interior da bomba, provocando dadosirreparáveis. Desta forma o estudo de cavitação permite avaliar, se nas condições de operação do sistema, apressão na boca de entrada da bomba pode atingir pressões inferiores à pressão de vaporização.Cavitação: Processo de vaporização do fluido quando a pressão absoluta baixa até alcançar a pressão devapor (pvap) do líquido na temperatura em que se encontra.O fenômeno de cavitação provoca:• Corrosão.• Remoção de pedaços de rotor e tubulação junto à entrada da bomba.• Afeta o rendimento.• Provoca trepidação e vibração máquina• Presença de ruídos e implosão.• No caso da água, a cavitação tem maiores efeitos para acima dos 450C.Materiais que resistem à corrosão por cavitação:• Ferro Fundido, Alumínio, Bronze, Aço Fundido, Aço doce laminado. Figura 8.2 Cavitação em bomba centrífugaPUCRS – FENG - 2010 8-3
    • Sistemas Fluidomecânicos A Fig.8.3 mostra claramente o efeito causado pelo fenômeno de cavitação principalmente na regiãode entrada das pás. Figura 8.3 Exemplos de rotores de bombas deteriorados pelo fenômeno de cavitação A Figura 8.4 mostra que a cavitação ocorre quando a pressão na entrada do rotor é inferior a pressãode vapor do fluido. Desta forma no caso da figura a direita o fluido vaporiza dentro do rotor. Figura 8.4 Gráfico esquemático mostrando a cavitação de bombas8-4 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Capítulo 8: Conceitos de Cavitação8.1 Determinação do NPSH (Net Positive Suction Head) Disponível Para analisar o fenômeno de cavitação utilizamos o esquema representado na Fig. 8.5. Para nãoocorrer cavitação a energia total na entrada na bomba deve ser maior que a energia de vaporização. Define-se a energia disponível pelo sistema como sendo a diferença entre a energia total absoluta e a energia dapressão de vapor do líquido. Esta energia disponível pelo sistema é conhecida como NPSH (Net PositiveSuction Head), que representa a altura positiva líquida de aspiração. Figura 8.5 Alturas características para analisar a cavitação em bombas.Aplicando a Eq. da energia a superfície livre do líquido no reservatório de captação (plano 0-0) e na boca deentrada da bomba (plano 1-1). 2p0 v0 p v2 + + z 0 − hL ( 0−1) = 1 + 1 + z1 (1)ρg 2 g ρg 2 gO plano de referência (0-0) está na superfície livre do reservatório z0=0. Considerando o reservatório muitomaior que o da tubulação de aspiração, a velocidade v0 é muito pequena e, portanto, o termo de energia damesma é desprezível (v02/2g=0). Com tais simplificações a equação é descrita como:[ p 0 = p atm ] [v0 ≅ 0] [ z 0 ≅ 0] [h L ( 0 −1) = hLa ] No plano (1-1):[z1 = ha ]p atm p v2 = 1 + 1 + ha + hLa (2)ρg ρg 2 gDa Eq. anterior explicitamos os termos que representam a pressão total na entrada da bomba:PUCRS – FENG - 2010 8-5
    • Sistemas Fluidomecânicos P1 v12  +  = H atm − ha − hLa  (3) ρg 2 g A qual é agora definida como Energia total absoluta na entrada da bomba:  p1 v12 ET 1 =  ρg + 2 g   (4)  Definimos também a energia de pressão de vapor como: p E vap =  v   ρg  (5)  Para não ocorrer cavitação a energia total na entrada na bomba deve ser maior que a energia de vaporização,desta forma ET1 > Evap. Como segurança define-se a energia disponível pelo sistema como sendo a diferençaentre a energia total absoluta e a energia da pressão de vapor do líquido.E Disp = ET 1 − E vap (6) Figura 8.6 Representação gráfica da energia disponível.Representa a disponibilidade da energia com que o líquido penetra na boca de entrada da bomba. Nossistemas de bombeamento denomina-se Altura Positiva Líquida de Aspiração (NPSH) Disponível. Trata-se da energia de segurança do sistema para não ocorrer cavitação.  p1 v12  (7)NPSH Disp =  ρg + 2 g  − hvap   Em termos das variáveis do sistema é dado por:NPSH Disp = H atm − ha − hLa − hvap (8)8-6 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Capítulo 8: Conceitos de Cavitação8.1.1 Caso Geral de (NPSH) DisponívelNum caso mais geral a pressão absoluta no reservatório de aspiração (H1=P/ρg) pode ser diferente dapressão atmosférica (Hatm), e a bomba pode estar cima ou abaixo do reservatório de aspiração. Neste caso aequação de NPSH disponível é dada por: p absNPSH Disp ≥ m ha − hLa − hvap (9) ρgha (-) Bomba acima do reservatório de aspiração. (Bomba instalada na forma normal)ha (+) Bomba abaixo do reservatório de aspiração. (Bomba instalada na forma afogada)No caso de sistemas com reservatório de aspiração aberto a atmosfera.NPSH Disp ≥ H Atm m ha − hLa − hvap ( 10 ) Figura 8.7 Tipos de sistemas afogado e normal.PUCRS – FENG - 2010 8-7
    • Sistemas Fluidomecânicos8.1.2 Casos Específicos de Sistemas para Determinar o NPSH Disponível A Fig.8.8 mostra quatro casos que podem ser considerados para determinar o NPSH disponível pelosistema. No Caso 1 trata-se de um reservatório aberto sendo que a superfície livre da água no reservatórioesta por baixo do centro da bomba. Observe-se que neste caso a pressão no reservatório é a pressãoatmosférica (Hatm). No Caso 2 é semelhante ao caso 1, contudo a diferença esta em que o reservatóriofechado (pressurizado) e desta forma a pressão a ser considerada é a pressão absoluta dentro do reservatório(Habs). No Caso 3 trata-de de um reservatório aberto, contudo a superfície livre do líquido esta por cima dabomba tratando-se de uma bomba afogada pelo qual a altura estática de aspiração considera-se com sinalnegativo dentro do equacionamento do NPSHD. O Caso 4 é semelhante ao Caso 3, já que é uma bombaafogada, contudo com reservatório fechado e, portanto deve ser considerada a pressão absoluta noreservatório (Habs). A Fig. 8.8 apresenta a seguinte nomenclatura:NPSHD: Altura positiva liquida de aspiração disponívelha: Altura estática de aspiraçãohLa: Perda de carga na tubulação de aspiraçãohvap: Altura equivalente a pressão de vaporHabs: Altura equivalente a pressão absoluta no reservatório fechado (pressurizado)HAtm: Altura equivalente a pressão atmosférica no reservatório aberto. Figura 8.8 Tipos de sistemas afogado e normal.8-8 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Capítulo 8: Conceitos de Cavitação8.2 Altura Positiva Líquida de Sucção (NPSH) Requerida pela BombaPara definir NPSH requerido pela bomba devemos identificar as parcelas de energia envolvidas: v12NPSH Re q = ∆h + ( 11 ) 2gonde ∆h é a parcela de energia necessária para vencer as perdas de energia provindas da variação davelocidade relativa (W1) e perdas de energia devido ao atrito e à turbulência do líquido entre a boca deentrada na bomba e a entrada das pás devido ao aumento de velocidade absoluta C1  W2 C2 ∆h =  λ 1 1 + λ 2 1  ( 12 )  2g 2g Onde λ1, λ2 são coeficientes empíricos (0,3 e 1,2 respectivamente).  W2 C 2  v2NPSH Re q =  λ1 1 + λ 2 1  + 1  2g  2g ( 13.1 )  2g  v12Geralmente o termo é pequeno e desta forma se adota a equação: 2g  W2 C2 NPSH Re q =  λ1 1 + λ 2 1   2g 2g  (13.2)  Assim, o NPSHreq depende das características construtivas da bomba. O NPSHreq é dado graficamente pelofabricante. Figura 8.9 Representação da curva do NPSH num gráfico de bomba comercial.PUCRS – FENG - 2010 8-9
    • Sistemas Fluidomecânicos8.3 Limite da Altura Estática de AspiraçãoPara evitar a cavitação, a energia disponível pelo sistema deve ser maior que a energia requerida pela bomba:NPSH Disp ( sistema ) > NPSH Re q (bomba ) ( 14 )Ou também: NPSH Re q < NPSH DispNPSH Re q < H atm − ha − hLa − hvapDesta forma podemos determinar altura estática de aspiração que deve ser colocada a bomba em relação aonível do líquido para não ocorrer cavitação: 2 vaha < H atm − (hLa + hvap + + NPSH req ) ( 15 ) 2gPara evitar que ocorra cavitação devemos colocar a bomba numa altura menor que o valor limite dado pelaequação anterior. Como a dedução foi realizada para um sistema normal e não afogado, devemos observarque o resultado numérico de tal equação nos fornece a seguinte informação: • Se o valor de ha é positivo, (por ex. 3,0m) significa que a bomba deverá ser instalada acima do nível do líquido. Bomba com Aspiração Normal. • Se o valor de ha é negativo, (por ex. -3,0m) significa que a bomba deverá ser instalada abaixo do nível do líquido. Bomba Afogada.Observa-se que tal altura depende das seguintes variáveis: • Pressão atmosférica local. O valor de ha será maior em instalações a nível do mar. • Perda de carga na tubulação de aspiração. Maior perda de carga menor será o valor de ha. • Pressão dinâmica na boca de aspiração da bomba. Maior velocidade menor será ha • Pressão de vaporização do fluido. Quanto menor a temperatura do fluido menor será hv e assim maior o valor de ha. • Energia requerida pela bomba na boca de aspiração. Bombas com menor dissipação de energia interna apresentaram um menor valor o NPSH requerido permitindo um maior valor de haAnalisemos o caso de uma situação teórica: • Consideremos uma instalação de bombeamento a nível do mar (Hatm=10,33m). • O sistema não apresenta perda de carga (hLa0) • Velocidade muito baixa (v2/2g =0) • Temperatura muito baixa (hvap=0). • Utilizamos uma bomba ideal sem dissipação de energia interna (NPSHreq=0). • Nestas condições idealizadas, o limite teórico de ha será de 10,33m• A máxima altura de aspiração admissível de uma bomba diminui com ao aumento da temperatura.8-10 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Capítulo 8: Conceitos de Cavitação8.4 Determinação do Fator de Cavitação ou Fator de ThomaO Fator de Thoma é um número característico adimensional para cavitação definido como: ∆hσ= ( 16 ) H ManO valor de σ depende da rotação específica nq Qσ = φ (nq ) 4 / 3 = φ (n 3/ 4 )4/3 ( 17 ) H manBombas Hélico-axiais. 0,7ϕ = 0,0013. 0,6 Fator de ThomaBombas Axiais. 0,5ϕ = 0,00145. 0,4 0,3Para bombas centrífugas em geral 0,2podemos utilizar: ϕ = 0,0011. 0,1 0 Qσ = 0,0011(n 3/ 4 ) 4/3 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 H man Rotação Específica - nq (rpm)Representada graficamente na Fig. 8.9. Figura 8.10 - Curva do fator de Thoma.Uma vez determinado o fator de Thoma podemos avaliar o NPSHReq pela relação: NPSHreq= ∆h = σH Manonde Hman é altura manométrica do sistema. Também podemos determinar altura máxima de aspiração: 2 vaha < H atm − (hLa + hvap + + σH man ) ( 18 ) 2g8.4.1 Velocidade Específica de AspiraçãoA velocidade específica de aspiração (S) e utilizada para definir ou caracterizar as condições de aspiração deuma bomba e para estabelecer analogias de funcionamento de bombas semelhantes do ponto de vista daaspiração. A velocidade especifica de Aspiração é definida adimensionalmente como: n QS= ( 19 ) NPSH 0, 75onde n é a rotação (rpm) Q a vazão (m3/s) e NPSH a altura positiva liquida de sução (m). Um valor típico davelocidade especifica de aspiração igual a S=174 pode ser encontrado em bombas de boa fabricaçãoapresentam um ângulo da pá em torno de 170. Com aproximadamente 5 a 7 alabes. Bombas comerciais têmbaixo S na faixa de 97 a 136. Por outro lado as bombas para alimentação de caldeiras, especialmente bombasde condensado requerem S maiores entre 232 a 348. Para alcançar tais valores o ângulo de fluxo é tomadotão baixo quanto 100 e o numero de pás é reduzido até 4. Um número pequeno de alabes com espessura finasão favoráveis já que diminuem o efeito de bloqueio.PUCRS – FENG - 2010 8-11
    • Sistemas Fluidomecânicos8.4.2 Margem prática de segurançaO NPHS disponível e requerido pode ser representado graficamente. Sabemos que para não ocorrer cavitaçãoo NPSHDisp > NPSHReq. De forma prática adota-se uma margem entre ambos os valores: M arg em = NPSH Disp − NPSH Re q ≥ 1,5mA margem prevista visa garantir que não ocorra cavitação no sistema evitando assim a vaporização do fluidono interior da bomba. Figura 8.11 – Representação do NPSH disponível e requerido8.4.3 Variação de NPSH com a RotaçãoSe a bomba apresenta um determinado NPSH, este é válido para a rotação dada pelo fabricante. Se a bombaopera com uma nova rotação, o NPSH deverá ser determinado utilizando as relações: 2NPSH 1  n 2  =  ( 20 )NPSH 2  n1   onde NPSH1 representa o valor de catálogo e NPSH2 representa o valor para a rotação desejada.8-12 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Capítulo 8: Conceitos de Cavitação8.5 Exemplos de CavitaçãoEXEMPLO–8.1Na Fig. ao lado considere a bomba com uma vazão de 9,0litros/s. O fluido é gasolina a 25oC. Do catalogo dofabricante se obtém que a bomba apresenta um NPSHigual a 1,9m. Considere um tubo de aço com rugosidadeabsoluta de 4,3x10-4m.Determinar (a) a altura máxima de aspiração (b) o NPSHdo sistema verificando se existe risco de cavitação. Obs.Considere o coeficiente de perda de carga de cada curvade 900 igual a 0,4 e da válvula de pé igual a 1,75.Propriedades da gasolina a 25oCPeso especifico: 7800N/m3Viscosidade cinemática: 6x10-6 m2/s.Pressão de vapor da gasolina: 32,5 kPa. Figura 8.12- Sistema de bombeamentoSolução:Utilizando a Eq. de Bresse D=k Q1/2 com k=1,1 obtemos D=100mm. Com a vazão se acha v=1,15m/s. vD 1,15 x0,1   ε 10 6  1/ 3 Re = = = 19167(turbulento) f = 0,00551 +   20000 +    ν 6,0x10 -6   D Re       4,3x10 − 4 10 6   1/ 3 f = 0,00551 +  20000 x  +   = 0,0334   0,1 1,9 x10 4      v 2 (1,15) 2 L v2hLD = f onde L=59,5+2,3=61,8m hvel = = = 0,067 m D 2g 2g 2ghLa = hLD + hLk  L v 2hLa =  f + 2k curva + k valvula   D  2g  (61,8) hLa =  0,0334 + 2 x0,4 + 1,75  x0,067 = 23,19 x0,067 = 1,55m  0,1   v2 ha max < H atm −  hLa + hvap + o + NPSH bomba     2g  101,33kPax1000 32,5kPax1000onde H atm = ≅ 13mca e hv = ≅ 4,17 mca 7800 7800(a) ha max < 13 − (1,55 + 4,17 + 0,067 + 1,9 ) = 5,31m  v2 NPSH Dips = H atm −  ha + hLa + hvap +    2g  NPSH Dips = 13 − (2,6 + 1,55 + 4,17 + 0,067 ) = 4,61m( b ) NPSHDisp (4,61m) > NPSHReq (1,9m) (portanto não ocorre cavitação)PUCRS – FENG - 2010 8-13
    • Sistemas FluidomecânicosEXEMPLO–8.2O sistema de bombeamento da Figura ao ladotrabalha com a bomba de 2 HP de 3500 rpm ediâmetro do rotor 138mm (5 7/16”) representada naFigura abaixo. O sistema trabalha na interseção dacurva da bomba com a curva do sistema no ponto defuncionamento para uma vazão de 100 litros/min. Oreservatório é um tanque fechado com pressãoabsoluta igual a 80kPa contendo água a temperaturade 500C. O nível de água no tanque é 2,0m acima docentro do eixo da bomba. A tubulação de aspiraçãotem um diâmetro de 40mm. O coeficiente de perda decarga localizado do joelho é igual kac1=1,0 e ocoeficiente de perda de carga da válvula de globo Figura 8.13 - Sistema de bombeamentoaberta é igual kac2= 7,0. Considere o fator de atrito datubulação igual a 0,025. O comprimento da tubulação Determinar:de aspiração é igual a 12m. A pressão atmosférica 1. A pressão relativa dentro do tanque.local é igual a 101 kPa. 2. O NPSH disponível para o sistema. 3. Compare o NPSH disponível com o NPSH requerido e verifique se o sistema cavita. Figura 8.13 – Curva característica de bomba centrifuga comercial8-14 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Capítulo 8: Conceitos de CavitaçãoSolução: (EXEMPLO–8.2)Q=100 litros/min ptanque=80kPa T=500C ha=205mca D=40mm kac1=1,0 kac2= 7,0. L=12m f=0,025(a) Pressão relativa dentro do tanque p tan que 80 x1000H tan que = = = 8,25m Pressão relativa no tanque (101kPa – 80kPa = 21kPa) ρg 988 x9,81(b) NPSH disponível para o sistema. p tan que  v  2NPSH Dips = −  ± ha + hLa + hvap + a   ρg  2g  va = 4Q = 4 x0,001666 = 1,32m / s hvel = va 2 = (1,32)2 = 0,0888 πD 2 πx0,04 2 2 g 2 x9,81com T=500C Pv=0,1255kgf/cm2 ρ=988kg/m3 2 kgf N 2 cm pvap 12,31x1000pvap = 0,1255 2 x9,81 x100 = 12,31kPa . hvap = = = 1,27m cm kgf m2 ρg 988 x9,81Perda de carga por tubulação e acessórios: 2 2 2 2 L va v v  v + 1 + 7,0  a = (7,5 + 1 + 7 )x0,0888 = 1,38m 12hLa = f + k ac1 a + k ac 2 a =  0,025 D 2g 2g 2g  0,04  2gComo a bomba está afogada ha é negativo.com H=8,25m ha=-2,0m hLa=1,38m hvap=1,27m  v  2NPSH Dips = H tan que −  − ha + hLa + hvap + a    2g  NPSH Dips = 8,25 − (− 2,0 + 1,38 + 1,27 + 0,0888) = 7,5m(c) Compare o NPSH disponível com o NPSH da bombaCom Q= 100 litro/min da Figura da bomba determinamos Hman= 35m 4/3  Q  Q 0,001666σ = φ n  A velocidade específica ns = n = 3500 ≅ 10rpm  H 3/ 4  H man 3/ 4 35 3 / 4  man com φ=0,0011 σ = 0,0011(10)4 / 3 = 0,0235NPSH Re q = σH man = 0,0235 x35 = 0,82mDesta forma como NPSHReq < NPSHDisp a bomba não entrará em cavitação.PUCRS – FENG - 2010 8-15
    • Sistemas FluidomecânicosEXEMPLO–8.3O sistema da figura trabalha em operação de fluxocontínuo com vazão igual a 23,6 l/s. A perda de cargada tubulação e acessórios na aspiração é igual a 5m.A perda de carga da tubulação e acessórios derecalque é igual a 7,5m. Considere hvel=0. Comauxílio da curva da bomba fornecida: (a) Selecione odiâmetro do rotor da bomba apropriado para osistema. (b) Determine a Eq. da curva característicado sistema e grafique a mesma. (c) Determine oNPSH do sistema considerando a temperaturamáxima da água igual a 600C. (d) Determine oNPSH da bomba pelo fator de Thoma e o NPSH dabomba especificada pelo fabricante. Verifique se abomba cavita. (e) Calcule a potência de acionamentoda bomba nas condições de operação considerando orendimento especificado pelo fabricante. Comparecom a potência dada pelo fabricante. Obs. Considerea pressão atmosférica padrão. Para 600C massaespecífica da água igual a 984 kg/m3 Figura 8.14 - Sistema de bombeamento Figura 8.15 – Curva característica de bomba centrifuga comercial8-16 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Capítulo 8: Conceitos de CavitaçãoSolução: (EXEMPLO–8.3)( a ) Altura manométrica do sistema v2H = he + J a + J r + = 37,5 + 5 + 7,5 = 50m 2gCom Q=23,6 l/s (85 m3/h) e H=50m no site: http://appserver.ittind.com/software/plus/Plusespl.htmSelecionamos a bomba centrífuga de diâmetro de 178mm maquinada para 175mm. (Fig. 8.12)( b ) Grafique a curva característica do sistema mostrando o ponto de operação da bomba-sistema: Q=23,6l/s (85 m3/h) πD 2 m3 H − k1 50 − 37,5Vazão: Q = v = 0,0236 k2 = = = 22443,3 4 s Q2 (0,0236)2Curva característica: H = k1 + k 2 Q 2 = 37,5 + 22443,3Q 2( c ) NPSH do sistema considerando a temperatura máxima da água igual a 600C.NPSPH Disp = H atm − ha − hLa − hvapPara T=600C ρ=984 kg/m3 e Pv=19,9 kPa. (equivalente a 2,06m)NPSH Disp = 10,33 − 2,5 − 5 − 2,06 = 0,77 m( d ) NPSH da bomba determinado utilizando o fator de Thoma e o NPSH da bomba especificado pelofabricante. n=3500rpm Q 0,0236 4 / 3σ = φ (n 3/ 4 ) 4 / 3 = 0,0011(3500 ) = 0,096 H Man 50 3 / 4NPSH = σH man = 0,096 x50 = 4,8mdo gráfico do fabricante com Q=85 m3/h e H=50m temos NPSHReq ≅ 7,0m.Como NPSHReq (7,0m) > NPSHDisp (0,77m) a bomba cavita. ρgH man Q 1000 x9,81x50 x0,0236(e ) Wac = & = = 14,66kW ηG 0,79Obs. Continue o problema determinando a altura de aspiração limite para não existir cavitação.PUCRS – FENG - 2010 8-17
    • Sistemas FluidomecânicosEXEMPLO – 8.4Num sistema de bombeamento de água o manômetro indica uma pressão equivalente a 3,5kgf/cm2 e ovacuômetro indica uma pressão equivalente de 368mmHg. A altura estática total de elevação é igual a 25m.A vazão da instalação é igual a 0,75m3/min. Considere pressão atmosférica padrão 1atm e temperatura de250C. A perda de carga na aspiração é igual a 1,2mca. Densidade do mercúrio 13,6. Determinar:a) A equação que representa a curva característica do sistema.b) A altura máxima de aspiração do sistema verificando se a bomba deverá trabalhar afogada.Obs. Considere que do catalogo do fabricante HPSHReq=1,8m.c.a.Solução: (EXEMPLO–8.4)Dados: HM=35m HV=5,0m he=25m Q=45m3/s hatm=10.301m Ja=1,2mc.aA Eq. que representa a curva característica do sistema é dada por:H = k1 + k 2 Q 2Sabemos que k1=he=25m.Avaliando a equação no ponto de operação determinamos a constante k2: H − he 40 − 25k2 = = = 0,00741 Desta forma H = k1 + k 2 Q 2 = 25 + 0,00741Q 2 Q2 45 2Determine a altura máxima de aspiração do sistema verificando se a bomba deverá trabalhar afogada.Hatm=10,33m hLa=1,2m com T=250C se obtém hvap=0,31m. Do catalogo HPSHReq=1,8m.c.a.ha < H atm − (hLa + hvap + NPSH req )ha < 10,33 − (1,2 − 0,31 + 1,8) = 7,02mA bomba pode operar em condições normais. A bomba poderá ser instalada acima do reservatório deaspiração numa altura menor que 7m.8-18 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé
    • Sistemas Fluidomecânicos Bibliografia Referências BibliográficasPUCRS – FENG - 2010
    • Sistemas Fluidomecânicos BibliografiaPUCRS – FENG - 2010
    • Sistemas Fluidomecânicos Bibliografia Referências Bibliográficas1. Bombas e Instalações de Bombeamento Macintyre, J,A; Ed. Guanabara, 1987.2. Equipamentos Industriais e de Processo - Macintyre, A.J.; Ed. LTC, 1997.3. Fundamentos da Mecânica dos Fluidos, Munson B. R., Young D.F. Okiishi T.H.. Ed. Edgard Blucher Ltda, 1997.4. Fundamentos Hidráulicos para Instalaciones con Bombas Centrífugas Sulzer, Ed. Sulzer.5. Hidráulica, Provenza F. e Souza H., Ed. Provenza, Protec, 1976.6. Instalações Elevatórias - Carvalho, D.F.; Ed. FUMARC; 1992.7. Introdução à Mecânica dos Fluidos, Fox. W.R., McDonald. A T. Quarta Edição LTC Editora. 1992.8. Material de Sistemas Fluidomecânicos UNICAMP (1998).9. Operações com Fluidos - Gomide, R; Ed. do Autor, 1996.10. Sistemas Fluidomecânicos, Apostila. UNICAMP, 1997, França, F. A.11. Sistemas de Bombeamento, Jardim, S.B., Ed. Sagra-DC-Luzzato, 1992.12. Termotecnía Teoría y Métodos en Termodinámica Aplicada, Ignacio Lira C. Ediciones Universidad Católica de Chile, 1992.13. Máquina de Fluido, Érico Lopes Henn, Editora UFSM, 2001., 474 pag.14. Pump Life Cicle Costs: A guide to LCC Analysis for Pumping Systems. Europump and Hydraulic Institute, Belgian , 2001.194 pag.15. Fundamentos de Engenharia Hidráulica, Márcio Baptista, Márcia Lara. Editora UFMG., Belo Horizonte, 2002., 435 pag.16. Tubulações Industriais – Cálculo. Pedro C. Silva Telles. Ed. LTC 9a Edição, 1999. 163pag.17. Analysis and Desing of Energy Systems, Hodge B;K.; Taylor P. Robert., 3a edição Prentice Hall, New Jersey, 1998. 483pag.18. Reducing Water Pumping Costs In the Steel Industry – Good Practique Guide – 199619. Introduction to Pump Curves Goulds Pumps – 2001, www.goulds.com20. Energy Efficient Motor Driven Systems, Published by European Copper Institute, 200421. Improving Pumping Systems performance: A Source book for Industry 2 Edition – US Department of Energy e Hydraulic Institute, 2006. www.eere.energy.gov/industry22. Selecting Centrifugal Pumps - KSB 4th edition 2005PUCRS – FENG - 2010
    • Sistemas Fluidomecânicos Anexo Tabelas e GráficosPUCRS – FENG – 2010 A 1
    • Sistemas Fluidomecânicos AnexoSistema Internacional de Unidades - SIDenominam-se dimensões as quantidades físicas. No SI, as dimensões fundamentais são comprimento, massae tempo. As unidades são nomes consignados às dimensões primárias adotadas como padrões para medição.As unidades correspondentes das dimensões fundamentais no SI são o metro (m), quilograma (kg) e segundo(s). Em termos destas três unidades, a unidade de volume é o m3, a unidade de aceleração é o m/s2, e a massaespecífica é o kg/m3.A unidade de força no SI é o Newton (N) e derivada a partir da Segunda lei de Newton:Força (N) =(massa em kg)x(aceleração em m/s2) Assim 1 N= 1 kg.m/s2 .No SI as temperaturas são expressas em graus Celcius (oC) e a unidade de temperatura absoluta é o Kelvin(K). A transformação de Celcius para Kelvin é dada pela relação:T(K) =T( oC) + 273No sistema inglês de unidades se utiliza o grau Fahrenheit T(F) = 8/9T(oC) + 32 e o grau Rankine paratemperatura absoluta: T( R ) = T(F) + 459,67.Na Tabela A.1 são dadas unidades no SI. Tabela A.1 Unidades básicas e derivadas no SI Unidades fundamentais no SI Quantidade Unidade Símbolo Fórmula Comprimento Metro M - Massa Quilograma Kg - Tempo Segundo S - Temperatura Kelvin K - Unidade suplementar SI Ângulo plano radiano rad - Unidades derivadas SI Quantidade Unidade Símbolo Dimensão Energia Joule J Nm Força Newton N kg m/s2 Potência Watt W J/s Pressão Pascal Pa N/m2 Trabalho Joule J NmAceleração da GravidadeA massa da terra exerce uma força gravitacional dirigida para seu centro originando uma aceleraçãodenominada aceleração da gravidade (g). Seu valor depende da posição em que nos encontramos na terra.Varia portanto segundo a latitude e longitude do lugar. Adota-se como valor normal g=9,8066 m/s2 o qualcorresponde a uma altitude de 00 (nível do mar) e uma latitude de 450. Para efeitos de cálculos nósconsideramos a aceleração da gravidade igual a g=9,81m/s2.PUCRS – FENG – 2010 A 2
    • Sistemas Fluidomecânicos AnexoTabelas de Propriedades de FluidosTabela A.2 Propriedades da Água Temperatura Massa Específica Peso Específico Viscosidade Viscosidade Dinâmica Cinemática ρ γ µ ν (0C) (kg/m3) (kN/m3) (Pa.s) ou (N.s/m2) (m2/s) 0 1000 9.81 1.75 x10-3 1.75 x10-6 -3 5 1000 9.81 1.52 x10 1.52 x10-6 10 1000 9.81 1.30 x10-3 1.30 x10-6 -3 15 1000 9.81 1.15 x10 1.15 x10-6 -3 20 998 9.79 1.02 x10 1.02 x10-6 -4 25 997 9.78 8.91 x10 8.94 x10-7 -4 30 996 9.77 8.00 x10 8.03 x10-7 -4 35 994 9.75 7.18 x10 7.22 x10-7 40 992 9.73 6.51 x10-4 6.56 x10-7 -4 45 990 9.71 5.94 x10 6.00 x10-7 -4 50 988 9.69 5.41 x10 5.48 x10-7 -4 55 986 9.67 4.98 x10 5.05 x10-7 -4 60 984 9.65 4.60 x10 4.67 x10-7 -4 65 981 9.62 4.31 x10 4.39 x10-7 70 978 9.59 4.02 x10-4 4.11 x10-7 -4 75 975 9.56 3.73 x10 3.83 x10-7 -4 80 971 9.53 3.50 x10 3.60 x10-7 -4 85 968 9.50 3.30 x10 3.41 x10-7 -4 90 965 9.47 3.11 x10 3.22 x10-7 -4 95 962 9.44 2.92 x10 3.04 x10-7 100 958 9.40 2.82 x10-4 2.94 x10-7 Fonte: R. Mott Mecánica de Fluidos Aplicada 4a edição,1996.Tabela A.3 Propriedades do Ar à Pressão Atmosférica Temperatura Massa Específica Peso Específico Viscosidade Viscosidade Dinâmica Cinemática ρ γ µ ν (0C) (kg/m3) (N/m3) (Pa.s) ou (N.s/m2) (m2/s) -40 1.514 14.85 1.51 x10-5 9.98 x10-6 -30 1.452 14.24 1.56 x10-5 1.08 x10-5 -20 1.394 13.67 1.62 x10-5 1.16 x10-5 -10 1.341 13.15 1.67 x10-5 1.24 x10-5 0 1.292 12.67 1.72 x10-5 1.33 x10-5 10 1.247 12.23 1.77 x10-5 1.42 x10-5 20 1.204 11.81 1.81 x10-5 1.51 x10-5 30 1.164 11.42 1.86 x10-5 1.60 x10-5 40 1.127 11.05 1.91 x10-5 1.69 x10-5 50 1.092 10.71 1.95 x10-5 1.79 x10-5 60 1.060 10.39 1.99 x10-5 1.89 x10-5 70 1.029 10.09 2.04 x10-5 1.99 x10-5 80 0.9995 9.802 2.09 x10-5 2.09 x10-5 90 0.9720 9.532 2.13 x10-5 2.19 x10-5 100 0.9459 9.277 2.17 x10-5 2.30 x10-5 110 0.9213 9.034 2.22 x10-5 2.40 x10-5 120 0.8978 8.805 2.26 x10-5 2.51 x10-5PUCRS – FENG – 2010 A 3
    • Sistemas Fluidomecânicos Anexo Tabela A.4 Propriedades de Líquidos Temperatur Massa Viscosidade Tensão Pressão de Módulo de a Específico Dinâmica Superficial Vapor Elasticidade T ρ µ σ Pv Ev o LÍQUIDOS C kg/m3 Pa.s N/m N/m2 N/m2 Água 15,6 999 1,12x10-3 7,34x10-2 1,77x103 2,15x109 Tetracloreto de 20 1590 9,58x10-4 2,69x10-2 1,3x104 1,31x109 carbono Álcool etílico 20 789 1,19x10-3 2,28x10-2 5,9x103 1,06x109 Gasolina 15,6 680 3,1x10-4 2,2x10-2 5,5x104 1,3x109 Glicerina 20 1260 1,5 6,33x10-2 1,4x10-2 4,52x109 Mercúrio 20 13600 1,57x10-3 4,66x10-1 1,6x10-1 2,85x109 Óleo SAE 30 15,6 912 3,8x10-1 3,6x10-2 1,5x109 Água do mar 15,6 1030 1,2x10-3 7,34x10-2 1,77x103 2,34x109 Tabela A.5 Propriedades de Gases Temperatura Massa Viscosidade Constante do Expoente Específico Dinâmica Gás Adiabático T ρ µ R K o GÁS C kg/m3 Pa.s J/kg K Ar 15 1,23 1,79x10-5 286,9 1,4 Dióxido de carbono 20 1,83 1,47x10-5 188,9 1,3 Hélio 20 1,66x10-1 1,94x10-5 2077 1,66 Hidrogênio 20 8,38x10-2 8,84x10-6 4123 1,41 Metano (Gás natural) 20 6,67x10-1 1,10x10-5 518,3 1,31 Nitrogênio 20 1,16 1,76x10-5 296,8 1,4 Oxigênio 20 1,33 2,04x10-5 259,8 1,4PUCRS – FENG – 2010 A 4
    • Sistemas Fluidomecânicos Anexo VISCOCIDADE CINEMÁTICA DE FLUIDOS Figura A.1 Viscosidade cinemática em função da temperaturaPUCRS – FENG – 2010 A 5
    • Sistemas Fluidomecânicos Anexo VISCOCIDADE ABSOLUTA DE FLUIDOS Figura A.2 Viscosidade dinâmica em função da temperaturaPUCRS – FENG – 2010 A 6
    • Sistemas Fluidomecânicos AnexoEquações para Determinar as Propriedades da Água em Função da TemperaturaMassa Específica (kg/m3) Viscosidade Dinâmica - (cP) - Fórmula de Binghamρ = C1 + C 2T + C 3T 2 (kg/m 3 ) onde T ( 0 C )C1 = 1000,6 C 2 = −0,0624 C 3 = −0,0037 1 µ [ ( ≅ 0,021482 Z + Z 2 + 8078,4 ) 1/ 2 ]− 1,2 onde : Z = T ( 0 C ) − 8,435 µ = cP(centipoise) µ (cP ) * 0,001 para converter em (kg /m.s)Equações de Popiel e Wojtkowiak (*)Massa Específica (kg/m3)ρ = a + bT + cT 2 + dT 2,5 + eT 3 (kg/m 3 ) onde T ( 0 C )a = 999,79684 b = 0,068317355 c = −0,010740248 d = 0,00082140905 e = -2,3030988x10 -5Viscosidade Dinâmica (kg/ms) (µ ≅ 1 / a + bT + cT 2 + dT 3 ) (kg/(ms)) onde : T ( 0 C )a = 557,82468 b = 19,408782 c = 0,1360459 d = −3,1160832 x10 − 4(*) Journal of Fluid Eng. June 2000 Vol. 122 Pag.260-263.PUCRS – FENG – 2010 A 7
    • Sistemas Fluidomecânicos Anexo Tabela A.6 Perda de Carga Localizada - Tubulações de Ferro Fundido e Aço (Comprimento equivalente em metros de tubulação retilínea) Tabela A.7 Perda de Carga Localizada - Tubulações de PVC Rígido (Comprimento equivalente em metros de tubulação retilínea)PUCRS – FENG – 2010 A 8
    • Sistemas Fluidomecânicos Anexo Tabela A.8 Estimativa do consumo predial Prédio Consumo Unidade (litros/dia) Alojamentos provisórios 80 Por pessoa Casas Populares Residências 120 Por pessoa Residências 150 Por pessoa Apartamentos 200 Por pessoa Hotéis (s/cozinha s/lavanderia) 120 Por hospede Hospitais 250 Por leito Escolas Internatos 150 Por pessoa Escolas semi-internatos 100 Por pessoa Escolas externatos 50 Por pessoa Quartéis 150 Por pessoa Edifícios públicos ou comerciais 50 Por pessoa Escritórios 50 Por pessoa Cinemas e teatros 2 Por lugar Templos 2 Por lugar Restaurantes e similares 25 Por refeição Garagens 50 Por automóvel Lavanderia 30 Kg de roupa seca Mercados 5 M2 de área Matadouros – animais de grande porte 300 Por cabeça abatida Matadouros animais de pequeno porte 150 Por cabeça abatida Fábricas em geral (uso pessoal) 70 Por operário Postos de serviços para automóvel 150 Por Veículo Cavalariças 100 Por Cavalo Jardins 1,5 M2 de área Orfanato, asilo, berçário 150 Por pessoa Ambulatório 25 Por pessoa Creche 50 Por pessoa Oficina de costura 50 Por pessoa As tabelas mostram valores típicos utilizados, contudo, a experiência em diferentes processos comfluidos podem exigir velocidades maiores o menores que estas. Velocidades menores podem ser utilizadaspara levar em conta aumentos futuros de capacidade, corrosão e formação de crostas. Velocidades maiorespodem ser utilizadas para prevenir decantação e entupimento. Tabela A.9 Velocidades Práticas Recomendadas Tipo de aplicação Velocidades recomendadas (m/s) Sucção de bombas e drenos 0,4 a 2,0 Recalque e tubulações de uso geral 1,5 a 3,0 Alimentação de caldeiras 2,4 a 4,0PUCRS – FENG – 2010 A 9
    • Sistemas Fluidomecânicos Anexo Tabela A.10 Velocidades Práticas Recomendadas Tipo de Serviço e tipos de Fluido Velocidade (m/s) Aspiração em bombas Líquido finos (água, álcool) 0,4 – 2,0 Líquidos viscosos (acima de 0,01Pa s) 0,1 – 0,4 Recalque e linhas de uso geral Líquidos finos 1,2 – 3,0 Líquidos viscosos 0,2 – 1,2 Escoamento por gravidade 0,3 – 1,5 Drenos 1–2 Água industrial e de serviços 1,7 – 3,5 Alimentação de caldeiras 2,5 – 4,0 Vapor Saturado 12 – 40 Super-aquecido 25 – 60 de alta pressão 50 – 100 Ar comprimido Troncos 6,0 – 8,0 Ramais 8,0 – 10,0 Mangueira 15,0 – 30,0 Gases industriais Em alta pressão (acima de 1 MPa) 30 – 60 Baixa pressão (dutos de ventilação) 10 – 20 Em alto vácuo 100 - 120 Chaminés Tiragem natural 3–5 Tiragem forçada 10 – 20 Tubovias Conduzindo líquidos finos 1,5 – 2,0 Bombeamendo líquidos viscosos (oleodutos) 0,4 – 1,0 Por gravidade 0,1 0,3 Linhas subterrâneas de esgoto Manilhas cerâmicas 5 Tubos de concreto 4 Tubos de cimento-amianto 3 Tubos de ferro fundido 6 Tubos de PVC 5 Fonte: Operações com Fluidos (Reynaldo Gomide) 3 Tabela A. 11 Diâmetros (mm) Típicos Utilizando as Equações Anteriores - Q (m /h) Fonte: Operações com Fluidos (Gomide)PUCRS – FENG – 2010 A 10
    • Sistemas Fluidomecânicos AnexoPUCRS – FENG – 2010 A 11
    • Sistemas Fluidomecânicos Anexo Pressão de Vapor para Diferentes fluidos Figura A.4 Pressão de vapor em função da temperaturaPUCRS – FENG – 2010 A 12
    • Sistemas Fluidomecânicos Anexo MASSA ESPECIFICA DE FLUIDOS Figura A.5 Pressão de vapor em função da temperaturaPUCRS – FENG – 2010 A 13
    • Sistemas Fluidomecânicos Anexo Tabela A.12 CONVERSÃO DE UNIDADES Para converter de Para Multiplique por CV HP 0,6863 C.F.M. (pé cúbico/min) Litro/seg 0,472 Centímetro quadrado pé 2 1076 x 10 -3 Galão (amer) Centímetro cúbico 3.785 Galão (amer.) Litro 3,785 Galão (amer.) Metro cúbico 3,785x 10 -3 Galão/min Litro/seg 0,06308 Grau Celsius Grau Fahrenheit ( o C x 9/5 ) + 32 Horse Power Btu/h 33.479 HP CV 1,014 Hp Kcal/hora 641,2 HP Kwatt 0,7457 HP . h Btu 2.544 Kcal/h . m 2 ( 0 C/m) Btu/h. pé 2 ( 0 F/pe) 0,671 Libra*pé/seg CV 1,843 x 10 -3 Libra* . pé/seg HP 1,818 x 10 -3 Libra* . pé/seg kw 1,356 x10 -3 Libra* /polegada 2 Atmosfera 0,06804 Libra* / polegada 2 kg*cm 2 0,07301 Libra* . pé/min kw 2,260 x 10 -5 Litro Galão 0,2642 Libra* / pé 2 Atmosfera Física 4,725 x10 -4 Libra* / pé 2 kg* / m 2 4,882 Metro Jarda 1,094 Metro Milha marítima 5,396 x 10 -4 Metro Milha terrestre 6,124 x 10 -4 Metro Pé 3,281 Metro Polegada 39,37 Metro cúbico Galão (amer.) 264,2 Metro/min Milha/h 0,03728 Milibar Libra*/pol 2 0,0145 Milha (marítima) Jarda 2.027 Milha (marítima) km 1,853 Milha (marítima) Milha terrestre 1,516 Milha quadrada Quilômetro quadrado 2,59 Milha terrestre Metro 1.609 Newton Dina 10 5 Pé Metro 0,3048 Pé Centímetro 30,48 Pé cúbico Galão (líq.) 7,4805 Pé cúbico Litro 28,32 Pé cúbico m3 0,02832 Polegada cúbica Litro 0,01639 Polegada cúbica Pé cúbico 5,787 x 1C -4 Polegada de Hg Kg*/cm 2 0,03453 Fonte http://www.tratamentodeagua.com.brPUCRS – FENG – 2010 A 14
    • Sistemas Fluidomecânicos Anexo Tabela A.12 CONVERSÃO DE UNIDADES (Continuação) Para converter de Para Multiplique por Quilograma*/cm 2 Polegada de Hg 28,96 Quilômetro Jarda 1.094 Quilo caloria CV . h 1,581 x 10 -3 Quilo caloria Libra*. Pé 3,088 Quilowatt HP 1,341 Quilowatt Btu 3.413 Quilowatt . hora HP . h 1,341 Quilowatt . h Libra* . pé 2,655 x 10 6 Radiano Grau 57,3 Radiano Minuto 3.438 Rotação por minuto (rpm) Grau/segundo 6 Ton Libra 2.000 Tonelada Libra 2,205 Tonelada (refrigeração) HP 4,717 Watt Btu / hora 3,4192 Watt Btu/minuto 0,05688 Watt C.V. 1,360 x 10 -3 Watt HP 1,341 x 10 -3 Watt . h HP . h 1,341 x 10 -3 Fonte http://www.tratamentodeagua.com.br CONVERSÃO DE PRESSÕESPUCRS – FENG – 2010 A 15
    • Sistemas Fluidomecânicos AnexoPERDA DE CARGA DE CONEXÕES PVC – (em metros de tubulação equivalente) Fonte: Alpina Manual de aquecimento Solar PERDA DE CARGA DE CONEXÕES TUBOS NOVOS DE FERRO FUNDIDO OU GALVANIZADO E TUBOS DE PVC (em metros de tubulação equivalente) CONEXÕES 3/4" 1" 1 1/4" 1 1/2" 2" 2 1/2" 3" 4" 5" 6" 8" 10" 12"registro gaveta 0,10 0,12 0,18 0,20 0,28 0,34 0,46 0,65 0,83 1,10 1,50 1,80 2,37registro globo 5,00 6,80 9,70 11,80 16,00 20,00 26,00 37,00 48,00 60,00 83,00 103,00 135,00válvula de retenção 1,10 1,50 2,10 2,50 3,40 4,30 5,50 7,70 10,20 12,60 17,60 21,70 28,60curva - 90º 0,30 0,40 0,60 0,70 1,00 1,20 1,50 2,00 2,80 3,50 4,90 6,00 7,90cotovelo - 45º 0,30 0,40 0,50 0,60 0,90 1,10 1,40 1,90 2,50 3,20 4,40 5,40 7,10cotovelo - 90º Tee 0,60 0,80 1,10 1,30 1,80 2,20 2,90 4,00 5,20 6,50 9,00 11,30 14,80válvula de pé 10,80 14,90 21,00 26,00 35,00 44,00 57,00 79,00 100,00 130,00 180,00 225,00 300,00 Fonte: Thebe Bombas Hidráulicas Ltda.PUCRS – FENG – 2010 A 16
    • Sistemas Fluidomecânicos Anexo TABELAS DE PERDAS DE PRESSÃO EM 100 METROS DE TUBOS NOVOS DE FERRO FUNDIDO OU GALVANIZADO E TUBOS DE PVC Fonte: Thebe Bombas Hidráulicas Ltda.Os valores acima estão de acordo com a NBR-5626OBS: Em se tratando de tubos Galvanizados ou FºFº usados, deve-se acrescentar 3% aos valores acima para cada anode uso da tubulação.PUCRS – FENG – 2010 A 17