Bab 2 membahas berbagai jenis fungsi dan grafiknya. Fungsi didefinisikan sebagai himpunan pasangan terurut (x,y) dimana nilai y bergantung pada nilai x. Ada beberapa jenis fungsi seperti fungsi linear, polinomial, eksponensial, logaritma, dan trigonometri. Setiap jenis fungsi memiliki daerah asal, daerah hasil, dan grafik yang khas.

1. 2.1 Fungsi
BAB 2. FUNGSI & GRAFIKNYA
Secara intuitif, kita pandang y sebagai fungsi dari x jika terdapat
aturan dimana nilai y (tunggal) mengkait nilai x.
Contoh: 1. a. y  2x2  5 b.
y  x2  9
Definisi:
Suatu fungsi adalah suatu himpunan pasangan terurut (x,y) dimana
himpunan semua nilai x disebut daerah asal (domain ) dan himpunan
semua nilai y = f(x) disebut daerah hasil (ko-domain) dari fungsi
A B
f
x y = f(x)
Notasi: f : A →B
1
Daerah asal Daerah hasil
Untuk contoh 1.a. mendefinisikan suatu fungsi. Namakan fungsi
itu f. Fungsi f adalah himpunan pasangan terurut (x,y) sehingga x
dan y memenuhi:
f  {(x, y) / 2x2  5}
x 0 1 -1 2 -2 … 10
y 5 7 7 13 13 205
Fungsi f ini memuat pasangan terurut (0,5);(1,7);(-1,7);
(2,13);(-2,13);(10,205)
Dan f memuat tak berhingga banyak pasangan terurut.

2. Catatan:
1. Himpunan A, B є 
2. Fungsi: y = f(x) ,
x peubah bebas
y peubah tak bebas, bergantung pada x
3. Daerah asal fungsi: Df = A = {x | fungsi f terdefinisi}
4. Daerah hasil fungsi: Wf = {y є B | y = f(x), x є Df }
5. Grafik fungsi: {(x,y) | x є Df , y = f(x)) }
y
y = f(x)
Wf
y
2
x
Df
x
Soal:
Buatlah sketsa grafik fungsi berikut, kemudian
tentukan daerah asal dan dan daerah hasilnya.
a. y = 2x + 1 b. y = x2 - 1
Ada beberapa penyajian fungsi yaitu
a. Secara verbal : dengan uraian kata-kata.
b. Secara numerik : dengan tabel
c. Secara visual : dengan grafik
d. Secara aljabar : dengan aturan/rumusan eksplisit

3. Contoh:
1. Secara verbal
Biaya pengiriman surat tercatat seberat w ons adalah B(w).
Aturan yang digunakan Kantor Pos adalah sebagai berikut.
Biaya pengiriman adalah Rp 1.000,00 untuk berat sampai
satu ons, ditambah Rp 250,00 untuk setiap ons tambahan
sampai 5 ons.
2. Secara numerik
Biaya pengiriman surat tercatat ditunjukkan tabel berikut.
Berat w (ons) Biaya B(w) (rupiah)
0 < w ≤ 1 1.000
1< w ≤ 2 1.250
2 < w ≤ 3 1.500
3 < w ≤ 4 1.750
3
4 < w ≤ 5 2.000
3. Secara visual
Biaya pengiriman surat tercatat ditunjukkan grafik berikut.
2.000
1.500
1.000
0 1 2 3 4 5
w
B
Ons
R
u
p
i
a
h

4. 4. Secara aljabar
Biaya pengiriman surat tercatat dinyatakan oleh fungsi
berikut. 1.000, jika 0 1
  
w
w
  
   
  
1.250, jika 1 2
( ) 1.500, jika 2 3
B w w
1.750, jika 3 w
4
2.000, jika 4 w
5
  
2.2 Jenis-jenis Fungsi
1. Fungsi linear
Bentuk umum: y = f(x) = ax + b, a dan b konstanta
a = kemiringan garis
b = perpotongan garis dengan sumbu-y
Daerah asal dan daerah hasil: Df = , Wf = 
Grafik: y
4
x
b
y = ax + b
2. Polinomial
Bentuk umum:
y = P(x) = an xn + an-1 xn-1 + … + a2 x2 + a1 x + a0
dimana: an, an-1, …, a1, a0 = konstanta,
n = derajat polinom ( an 0)
Daerah asal: Df = 

5. Grafik:
Polinom derajat 2: y = P(x) = ax2 + bx + c,
D = b2 - 4ac
x
y
c
a < 0, D > 0
x x
a < 0, D = 0 a < 0, D < 0
y = P(x)
y
c y = P(x)
y
c y = P(x)
x
y
c
y = P(x)
y
c
y = P(x)
y
c
y = P(x)
x x
a > 0, D > 0 a > 0, D = 0 a > 0, D < 0
Soal :
Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari fungsi berikut.
a. y = x2 + 2x - 1 b. y = -2x2 + 2x - 4
5
3. Fungsi pangkat
Bentuk umum: y = f(x) = xn , n є 
Daerah asal: Df = 
Grafik:
y
y = x
y
y = x2
x x
0 0
y
y = x3
0
x

6. 4. Fungsi akar
Bentuk Umum:
Daerah asal dan daerah hasil:
Df = [0,∞), Wf = [0, ∞), jika n genap
Df = , Wf = , jika n ganjil
Grafik:
y  f (x)  n x, n  2,3, 4,...
y
0
x
y
0
x
y  2 x y  3 x
Soal :
Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari fungsi berikut
a. y  x  1 b. y  x2  2x  2
6
 
1
y
x

1
y , x 0
x
y
0 x
5. Fungsi kebalikan
Bentuk umum:
Daerah asal dan daerah hasil: Df =  - {0}, Wf =  - {0}
Grafik:

7. 6. Fungsi rasional
( )
( )
P x
y

Bentuk umum: Q x
dimana: P, Q adalah polinom
Daerah asal: Df =  - { x | Q(x) = 0}
Contoh:
Tentukan daerah asal dari fungsi rasional berikut
a. b.
1
1
x
y
x


 2
2
1
x
y
x



7. Fungsi aljabar
Definisi:
Fungsi f disebut fungsi aljabar jika fungsi tersebut dapat
dibuat dengan menggunakan operasi aljabar, yaitu:
penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan
penarikan akar, yang dimulai dengan polinom.
Contoh:
a. b.
Catatan:
Fungsi linear, polinom, fungsi pangkat, fungsi akar, fungsi
balikan dan fungsi rasional adalah fungsi aljabar.
7
1
( )
1
x
f x
x



3
2
2
( ) ( 2) 1
1
x
f x x x
x

   


8. 8. Fungsi trigonometri
8.1 Fungsi sinus
Bentuk umum: y = f(x) = sin x, x dalam radian
Daerah asal dan daerah hasil: Df = , Wf = [-1,1]
Grafik:
1
-2π -π 0
π 2π
-1
x
y
y = sin x
8.2 Fungsi cosinus
Bentuk umum: y = f(x) = cos x, x dalam radian
Daerah asal dan daerah hasil: Df = , Wf = [-1,1]
Grafik:
y
8
0
1
-1
y = cos x
x
-2π
-π π
2π
8.3 Fungsi tangen
sin
( ) tan , dalam radian
Bentuk umum:
cos
Daerah asal : Df =  - {π/2 + nπ | n є }
Daerah hasil: Wf = 
x
y f x x x
x
  

9. Grafik:
-2π - π 0
π 2π
1
-1
x
y
y = tan x
8.4 Fungsi trigonometri lainnya
Bentuk umum:
9
1
( ) sec , dalam radian
y f x x x
cos
1
( ) cosec , dalam radian
sin
1
(
a.
b.
c. ) cot , dalam radian
tan
x
y f x x x
x
y f x x x
x
  
  
  
8.5 Beberapa sifat fungsi trigonometri
a. -1≤ sin x ≤ 1 b. -1 ≤ cos x ≤ 1
c. sin x = sin (x + 2π) d. cos x = cos (x + 2 π)
e. tan x = tan (x + π)

10. Bentuk umum: y = f(x) = ax, a > 0
Daerah asal dan daerah hasil: Df =  , Wf = (0, )
Grafik:
x
9. Fungsi eksponensial
y
1
0 1
y = ax , a > 1
x
y
1
y = ax , 0 < a < 1
0 1
10. Fungsi logaritma
Bentuk umum : y = f(x) = loga x, a > 0
Daerah asal dan daerah hasil: Df = (0, ) , Wf = 
Grafik:

10
y
1
0 1
y = loga x
x


11. 11. Fungsi transenden
Definisi:
Fungsi transenden adalah fungsi yang bukan fungsi aljabar.
Himpunan fungsi transenden mencakup fungsi trigonometri
invers trigonometri, eksponensial dan logaritma.
Contoh:
Golongkan fungsi-fungsi berikut berdasarkan jenisnya.
4
2
  
f x x f x x
10
5 2 10 10
2
( ) 1 ( ) tan 2
6
( ) 10 ( )
6
( ) log ( )
2
log
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. ( ) 2 8. ( )
2
x
x
f x f x
x
x
f x x f x x
x
x
f x t t f x x
x x


 

  

    

11
12. Fungsi yang terdefinisi secara sepotong-sepotong
(piecewise function)
Definisi:
Fungsi yang terdefinisi secara sepotong-sepotong adalah
fungsi dengan banyak aturan, dimana setiap aturan berlaku
pada bagian tertentu dari daerah asal.
Contoh:
0
    
( ) | |
0
1.
 x x

f x x
x x
y
0 1
1
y = |x|
x
-1

12.   
    
 
0 1
( ) 2 1 2
0
2.
2
x x
f x x x
x
y
0 1
y = f(x)
x
2
3. Definisikan x = bilangan bulat terbesar yang lebih kecil
atau sama dengan x.
f(x) = x
=
  
0 0 x
1
1 1 x
2
2 2 x
3
3 3 x
4
  
  
  
3
2
1
0 1 2 3
x
y
4
y = f(x)
Catatan:
1. f(x) = |x| , f disebut fungsi nilai mutlak
2. f(x) = x , f disebut fungsi bilangan bulat terbesar
12
13. Fungsi genap dan fungsi ganjil
Definisi: [Fungsi genap]
Jika fungsi f memenuhi f(-x) = f(x) untuk setiap x di dalam
daerah asalnya, maka f disebut fungsi genap.
x
y
f(x)
-x
y = f(x)
x
Catatan:
Grafik fungsi genap simetri terhadap sumbu-y.

13. Definisi: [Fungsi ganjil]
Jika fungsi f memenuhi f(-x) = -f(x) untuk setiap x di dalam
daerah asalnya, maka f disebut fungsi ganjil.
x
y
f(x)
-x
y = f(x)
x
-f(x)
Catatan: Grafik fungsi ganjil simetri terhadap titik asal.
Soal:
Periksa apakah fungsi berikut adalah fungsi genap atau fungsi
ganjil atau bukan kedua-duanya.
a. f(x) = 1 - x4 b. f(x) = x + sin x
c. f(x) = x2 + cos x d. f(x) = 2x - x2
13
14. Fungsi naik dan fungsi turun
Definisi: 1. Fungsi f disebut naik pada selang I jika
f(x1) < f(x2) untuk setiap x1 < x2 di I.
2. Fungsi f disebut turun pada selang I jika
f(x1) > f(x2) untuk setiap x1 < x2 di I.
x1
y
f(x1)
x
y = f(x)
x2
f(x2)
Fungsi f naik
x1
y
f(x2)
x
y = f(x)
x2
f(x1)
Fungsi f turun

14. Soal:
Periksa apakah fungsi f berikut adalah fungsi naik atau fungsi
turun pada selang I.
a. f(x) = x2 I = [0, )
b. f(x) = sin x I = [ 
, 2]

14
15. Fungsi Baru dari Fungsi Lama
Dari fungsi dasar dapat dibentuk fungsi baru dengan cara:
1. Transformasi fungsi: pergeseran, peregangan dan pencerminan
2. Operasi aljabar fungsi: penambahan, pengurangan, perkalian
dan pembagian
3. Komposisi fungsi
Transformasi fungsi
a. Pergeseran (translasi)
Misalkan c > 0, diperoleh 4 macam grafik:
1. y = f(x) + c, geser y = f(x) sejauh c satuan ke atas
y = f(x) + c
y = f(x+c) y = f(x)
y = f(x-c)
c
y
x
c
c
c
y = f(x) - c

15. 2. y = f(x) - c, geser grafik y = f(x) sejauh c satuan ke bawah
3. y = f(x - c) , geser y = f(x) sejauh c satuan ke kanan
4. y = f(x + c) , geser y = f(x) sejauh c satuan ke kiri
b. Peregangan (dilatasi)
Misalkan c > 1. Untuk memperoleh grafik:
1. y = cf(x), regangkan grafik y = f(x) secara tegak dengan
faktor c.
2. y = (1/c)f(x), mampatkan grafik y = f(x) secara tegak
dengan faktor c.
3. y = f(cx), mampatkan grafik y = f(x) secara mendatar
dengan faktor c.
4. y = f(x/c), regangkan grafik y = f(x) secara medatar
dengan faktor c.
y = cos 2x
15
0 π 2π
1
-1
y
y = cos x
2
-2
y = 2 cos x
y = ½ cos x
1
x 0 π 2π
-1
y
y = cos x
2
-2
x
y = cos ½ x

16. c. Pencerminan
Untuk memperoleh grafik:
1. y = -f(x), cerminkan grafik y = f(x) terhadap sumbu-x
2. y = f(-x), cerminkan grafik y = f(x) terhadap sumbu-y
y
x
y = f(x)
y = -f(x)
y = f(-x) y = f(x)
x
y
f(x)
x -x x
f(x)
-f(x)
Contoh:
Gambarkan grafik fungsi berikut dengan menggunakan
sifat transformasi fungsi.
1. f(x)= |x-1| 2. f(x) = x2+2x+1
3. f(x)= sin 2x 4. f(x) = 1 - cos x
16

17. OPERASI FUNGSI ALJABAR
Definisi: [Aljabar fungsi]
Misalkan f dan g adalah fungsi dengan daerah asal Df dan
Dg. Fungsi f+g, f-g, fg dan f/g didefinisikan sebagai berikut
1. (f + g)(x) = f(x) + g(x) Df+g = Df Dg.
2. (f - g)(x) = f(x) - g(x) Df-g = Df Dg.
3. (fg)(x) = f(x) g(x) Dfg = Df Dg.
4. (f/g)(x) = f(x)/g(x) Df/g = {Df Dg.} – {x | g(x)= 0}
Contoh:
Tentukan f+g, f-g, fg dan f/g beserta daerah asalnya, jika
17
 
   
( ) 2 ( )
( ) 1
1.
2. ( ) 1
f x x g x x
f x x g x x
Komposisi fungsi
Definisi: [Komposisi fungsi]
Misalkan f dan g adalah fungsi dengan daerah asal Df dan
Dg. Fungsi komposisi f o g didefinisikan sebagai berikut:
(f o g)(x) = f(g(x))
di mana Df o g = {x є Dg | g(x) є Df }

18. g Wg Df f Wf Dg
Soal :
Tentukan f o g, g o f dan f o f beserta daerah asalnya, jika
 
  
1. 2
2.
( ) ( )
f x x g x x
1
f x g x x
( ) ( ) 1
x
x
g(a)
f(g(x))
a
g(x)
f ° g
18