Este documento presenta apuntes de clases sobre cálculo II. En la introducción, los autores explican que estos apuntes buscan entregar los contenidos del curso de una forma más directa que los libros de texto generales sobre el tema. El capítulo 1 introduce conceptos básicos sobre integrales dobles, incluyendo definiciones de integrales dobles sobre rectángulos y regiones generales, así como la relación entre integrales iteradas e integrales dobles. Los siguientes capítulos abordan temas como integrales dobles en coordenadas polares, integrales

1. APUNTES DE CLASES
CALCULO II
Ingenier´ Forestal e Ingenier´ en Industrias de la Madera
ıa ıa
Juan Pablo Prieto y Mauricio Vargas
Instituto de Matem´tica y F´
a ısica
c 2004 Universidad de Talca
1

2. Introducci´n
o
Estos apuntes representan un esfuerzo por entregar a los alumnos los contenidos del curso
sin necesidad de textos gen´ricos, de esos grandes volumenes de ”C´lculo con Geometr´
e a ıa
Anal´ıtica”. Todos esos libros, contienen mucho m´s que lo que estos apuntes pretenden. Sin
a
duda pueden resultar ser buenos aliados de los estudiantes, pero no siempre representan el
ritmo o intensidad de la asignatura.
Este no es un libro, como su nombre lo indica es un apunte de clases, que intenta presentar
la materia en el orden, profundidad y ritmo que se ha establecido en los semestres que me ha
tocado dictar esta asignatura, desde el a˜o 1999. Cada semestre es una experiencia diferente,
n
pero a pesar de esta diversidad, lo tratado intenta darle a los alumnos los elementos b´sicos
a
de la integraci´n en varias variables, los elementos iniciales del c´lculo vectorial y apenas
o a
una pincelada de ecuaciones diferenciales de primer orden. Esperamos en versiones futuras
entregar tambi´n algunos elementos de ecuaciones homog´neas de orden superior.
e e
Si hay algo importante ausente en estos apuntes, esto es la falta de aplicaciones propias de
las ciencias forestales. Este trabajo pendiente demandar´ de los autores una mayor conexi´n
a o
con los especialistas del ´rea, de modo de complementar la teor´ con las necesidades m´s
a ıa a
concretas de la profesi´n.
o
Estimados alumnos, estos apuntes se ponen a su disposici´n para ser usados, rayados y
o
compartidos. La clase ser´ m´s f´cil de seguir con estos apuntes a su lado. Dado que estos
a a a
apuntes no pretenden ser definitivos, esperamos enriquecerlos con sus comentarios y cr´ ıticas.
En los Cap´ ıtulos III, IV y V encontrar´n ejercicios que han sido usados en diversas pruebas
a
a los largo de los a˜os. Tambi´n, en el ultimo cap´
n e ´ ıtulo hemos procurado incorporar pruebas
resueltas, para permitirles aprender a partir de la lectura y reflexi´n de la soluciones.
o
Por ultimo, la matem´tica es una ciencia que no se puede apropiar sin una pr´ctica extensiva
´ a a
e intensiva. Si hay algo que he aprendido en todos estos a˜os de ense˜anza es que los alumnos
n n
deben tener la mente abierta, una actitud de claro riesgo, sin temor a errar (lo que se dar´ıa
en llamar un emprendedor). En el desarrollo de los ejercicios se suelen cometer errores. Al
comenzar a resolver un problema muchas veces no se sabe qu´ herramientas usar, no se sabe
e
si se tendr´ ´xito; es este miedo a fallar, tal vez, la m´s grande barrera que se debe vencer.
ae a
2

3. ´
Indice General
1 Integrales Dobles 6
1.1 Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 6
1.2 Integraci´n sobre rect´ngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o a 8
1.3 Integrales Iteradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Regiones de Integraci´n
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5 Integrales dobles sobre regiones de tipo I, II y III . . . . . . . . . . . . . . 19
1.6 Diferencia entre la integral doble y la integral iterada . . . . . . . . . . . . . 22
2 Integrales Dobles en Coordenadas Polares 29
2.1 Coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2 Relaci´n entre coordenadas polares y coordenadas cartesianas . . . . . . . .
o 31
2.3 Ecuaciones Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4 Gr´ficos Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a 38
2.5 Integrales dobles en coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.6 Ejemplos de c´lculos de volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a 50
2.7 Aplicaciones de la integral doble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.7.1 Centro de masa de una l´mina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a 55
2.7.2 Area de una Superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.8 Ap´ndice: Algunas Curvas Famosas y sus ecuaciones . . . . . . . . . . . . .
e 63
3

4. 2.9 Ap´ndice: Las superficies cuadr´ticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e a 66
3 Integrales triples 69
3.1 Integrales Triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.2 Aplicaciones b´sicas: centro de masa de un s´lido . . . . . . . . . . . . . . .
a o 78
3.3 Integrales en coordenadas cil´
ındricas y Esf´ricas . . . . . . . . . . . . . . . .
e 81
3.4 Ejercicios de integraci´n m´ltiple (Cap´
o u ıtulos I, II y III) . . . . . . . . . . . . 97
4 Calculo Vectorial 102
4.1 Curvas Param´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
e
4.2 Reparametrizaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.2.1 Usando una reparametrizaci´n para cambiar el intervalo de definici´n
o o
de una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.3 Campos Vectoriales bidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.4 Integrales de L´
ınea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.5 Campos vectoriales conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.6 Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.6.1 C´lculo de ´reas usando el Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . 142
a a
4.7 Ejercicios de C´lculo Vectorial (Cap´
a ıtulo IV) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 148
5.1 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.2 Curvas isoclinas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
5.3 Ecuaciones diferenciales separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
5.4 Ecuaciones Homog´neas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
e
5.5 Ecuaciones Exactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
5.6 Ecuaci´n Lineal de Primer Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
o
4

5. 5.7 Ecuaci´n de Bernoulli
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
5.8 Ejercicios de Ecuaciones diferenciales de primer orden (Cap´
ıtulo V) . . . . . 174
6 Soluci´n de Pruebas anteriores
o 177
5

6. Cap´
ıtulo 1
Integrales Dobles
1.1 Introducci´n
o
El concepto de integraci´n extendido a funciones de 2 o m´s variables se denomina Inte-
o a
graci´n M´ ltiple y se define esencialmente de la misma manera que la integral de Riemman
o u
para funciones de una variable. De todos modos, lo que expondremos aqu´ ser´ un subcon-
ı a
junto muy espec´ ıfico de la teor´ general de las integraci´n m´ltiple. De hecho s´lo consid-
ıa o u o
eraremos integrales dobles y lo b´sico de integraci´n triple. No veremos, en estos apuntes,
a o
la teor´ de integraci´n para funciones de m´s de tres variables. Otra de las restricciones
ıa o a
de nuestra selecci´n es que las regiones del plano sobre las que definiremos la integraci´n
o o
doble ser´n de un tipo muy particular. En fin, lo expuesto en estos apuntes es una selecci´n
a o
particular de t´picos de integraci´n m´ltiple. Pretendemos con esto darle los elementos m´s
o o u a
b´sicos y una experiencia suficiente para resolver problemas de integraci´n m´ltiple.
a o u
Se supone que el lector sabe integrar en una variable y tiene conocimientos sobre los m´todos
e
de integraci´n en una variable; como por ejemplo, sustituci´n, por partes, fracciones parciales
o o
y sustituci´n trigonom´trica.
o e
El primer desaf´ del lector ser´ capacitarse en integracion en una variable. Al igual que en
ıo a
todo lo que han aprendido de matem´ticas, el conocimiento y las competencias se construyen
a
acumulativamente. Por lo que no es posible incursionar en integraci´n m´ltiple sin cierta
o u
solidez en integraci´n de una variable.
o
Los siguientes son algunos ejemplos de integrales de una variable que recomendamos resolver,
con el objeto de retomar la capacidad de integraci´n. Esto es absolutamente esencial para
o
alcanzar los objetivos de este curso.
6

7. C´lculo II, J. P. Prieto y M. Vargas
a 7
• Integraci´n mediante el m´todo de Sustituci´n:
o e o
2 x+2
xex dx 5 cos(7x) dx √ dx
x2 + 4x
• Integraci´n mediante el m´todo por Partes:
o e
x2
dx x ln(4x) dx x sin x dx
e3x
• Integraci´n mediante el m´todo Fracciones Parciales:
o e
1 x−2 x+3
dx dx dx
a2 − x2 x2 − 4x + 6 (x + 2)3
• Integraci´n mediante el m´todo Sustituci´n Trigonom´trica:
o e o e
sin3 x dx sin2 cos x dx cos3 x sin4 x dx
Este cap´
ıtulo contiene los rudimentos para entender lo siguiente:
• Integrales parciales
• Integral doble sobre un rect´ngulo (definici´n)
a o
• Relaci´n entre la integral iterada y la integral doble sobre un rect´ngulo
o a
• Regiones de integraci´n
o
• Integral doble sobre una regi´n general (definici´n)
o o
• Relaci´n entre la integral iterada y la integral doble sobre una regi´n general
o o
Asimismo, el cap´ ıtulo contiene una serie de ejercicios resueltos (con mucha heterogeneidad en
el nivel de desarrollo). Se recomienda a los estudiantes que usen el archivo con los ejercicios
de pruebas anteriores como base para ejercitarse e incluyan las pruebas resueltas (todo esto
se encuentra en el mismo sitio web del curso).

8. 8 Integrales Dobles
1.2 Integraci´n sobre rect´ngulos
o a
Sea f (x, y) una funci´n de dos variables definida sobre un rect´ngulo en el plano.
o a
donde R es el dominio de la funci´n f Sabemos que el gr´fico z = f (x, y) es una superficie
o a
en el espacio tridimensional. Por ejemplo:
Ahora dividamos el rect´ngulo R en peque˜os rect´ngulos
a n a
De acuerdo a estas figuras respondamos la pregunta
1. ¿Cu´l es el volumen de un paralelep´
a ıpedo?

9. C´lculo II, J. P. Prieto y M. Vargas
a 9
Respuesta: Con respecto a la columna de la base rect´ngular tenemos, el volumen es: el ´rea
a a
de la base por la altura
A los rect´ngulos que forman R los llamaremos Ri . Sea (xi , yi )un punto en el interior de este
a
rect´ngulo Ri .
a
El producto
f (xi , yi ) · Area de Ri ,
corresponde al volumen de paralelepipedo de base Ri y altura f (xi , yi ).
Definici´n: Consideremos la suma
o
n
(f (xi , yi ) · Area de Ri )
i=1
n
Si lim (f (xi , yi ) · Area de Ri ) existe , entonces decimos que f es integrable, y este l´
imite
n→∞
i=1
se llamar´ la integral doble de f sobre el rect´ngulo R, la cual se denota por:
a a
f (x, y)dA
R
Algunas Propiedades
1. [f (x, y) + g(x, y)] dA = f (x, y) dA + g(x, y) dA
R R R
2. Si el rect´ngulo R se subdivide en dos rect´ngulos R1 y R2
a a

10. 10 Integrales Dobles
Entonces f (x, y) dA = f (x, y) dA + f (x, y) dA
R R1 R2
3. Si f (x, y) ≥ 0, entonces
f (x, y) dA = volumen bajo la superficie
R
z = f (x, y) y sobre el rect´ngulo R
a
1.3 Integrales Iteradas
Integrales Parciales
Podemos definir la integral de una funci´n de dos variables del siguiente modo:
o
b
f (x, y) dx
a
para este caso se considera y como constante y se integra con respecto a x.
Ejemplo:
2 2 2
2xy dx = y 2x dx = y(x2 ) = 3y
1 1 1
b
f (x, y) dx es siempre una funci´n de y
o
a
Del mismo modo se define:
d
f (x, y) dy
c
manteniendo x como constante e integrando con respecto a y.
Ejemplo:
3 3 3
2
2xy dy = x 2y dy = x(y ) = 9x
0 0 0
Veamos algunos ejemplos:

11. C´lculo II, J. P. Prieto y M. Vargas
a 11
1 1 1 1 1
2 2 2 y3 2 2 1 1 2
1. (x + y ) dy = x dy + y dy = x (y) + = x2 + x2 + + = 2x2 +
−1 −1 −1 −1 3 −1 3 3 3
1 1 1 1 1
2. (ey + 1) dx = ey dx + dx = (x) ey + x = (ey − 0) + (1 − 0) = ey + 1
0 0 0 0 0
π π π
2 2 2 π
3. x cos y dy = x cos y dy = x(− sin y) = −x · sin − (− sin 0) = −x
0 0 0 2
2 2 2
x2 4−1 3
4. x cos y dx = cos y x dx = cos y = cos y = cos y
1 1 2 1 2 2
2 2 2 2 2
y2 y3
5. (y − 9xy 2 ) dy = y dy − 9y 2 x dy = − 9x = 2 − 24x
0 0 0 2 0 3 0
Ahora podemos definir
b d
f (x, y) dy dx
a c
d
dado que f (x, y) dy es una funci´n de x, podemos calcular la integral de esta funci´n con
o o
c
respecto a x, del mismo modo podemos definir
d b
f (x, y) dx dy
c a
integrando primero f (x, y) con respecto a x, y el resultado (que es una funci´n de y) lo
o
integramos con respecto a y.
Ejemplos:

12. 12 Integrales Dobles
1.
2 1 2 1
x2
2xy dx dy = 2y dy
1 0 1 2 0
2
1
= 2y dy
1 2
2
= y dy
1
2 2
y
=
2 1
4 1
= −
2 2
2 1
3
2xy dx dy =
1 0 2
2.
1 3 1 3 3
2 2 x3 2
(x + y )dx dy = +y x dy
−1 0 −1 3 0 0
1
= 9 + 3y 2 dy
−1
1 1
3y 3
= 9y +
−1 3 −1
= (9 + 9) + (1 + 1)
1 3
(x2 + y 2 )dx dy = 20
−1 0
3.
2 1 2 1
x2
(4 − x − y)dx dy = 4x − − xy dy
1 0 1 2 0
2
7
= − y dy
1 2
2
7y y 2
= −
2 2 1
14 4 7 1
= − − −
2 2 2 2
2 1
(4 − x − y)dx dy = 2
1 0

13. C´lculo II, J. P. Prieto y M. Vargas
a 13
Teorema
Sea f (x, y) una funci´n integrable sobre el rectangulo R de la figura. Entonces:
o
b d
f (x, y) dA = f (x, y) dydx
R a c
1.4 Regiones de Integraci´n
o
Limitaremos las integrales dobles s´lo a las regiones descritas aqu´
o i:
Regiones de tipo I: una regi´n de tipo I es de la siguiente forma; es decir, se puede escribir
o
mediante las siguientes desigualdades.
a≤x≤ b
R= (x, y)
g1 (x) ≤ y ≤ g2 (x)
En otras palabras es una regi´n acotada por arriba por el gr´fico de la funci´n g2 (x) y por
o a o
abajo por el grafico de la funci´n g1 (x); a la izquierda por la recta x = a y a la derecha por
o
la recta x = b.

14. 14 Integrales Dobles
Usualmente decimos que g2 (x) es el techo de la regi´n y que g1 (x) es el piso.
o
Ejemplos: Para cada regi´n ilustrada, determine si es una regi´n de tipo I y establezca el
o o
techo, el piso y los lados (expr´selo como desigualdades).
e
a)
S´ es de tipo I, 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ x
ı,
b)
S´ es de tipo I ya que: −1 ≤ x ≤ 1 , −x2 − 4 ≤ y ≤ x2 + 4
ı,
c)

15. C´lculo II, J. P. Prieto y M. Vargas
a 15
√ √
S´ es de tipo I ya que: −2 ≤ x ≤ 2 , − −x2 − 4 ≤ y ≤ −x2 + 4
ı,
d)
No
Regiones de tipo II
Una regi´n del plano se denomina regi´n de tipo II, si tiene la siguiente forma:
o o
h1 (y) ≤ x ≤ h2 (y)
R= (x, y)
c≤y≤d
Ejemplos
1. Figura 1

16. 16 Integrales Dobles
2. Figura 2
3. Figura 3
4. Figura 4
Soluci´n de los ejemplos
o

17. C´lculo II, J. P. Prieto y M. Vargas
a 17
1. 1 ≤ y ≤ 2; x varia entre las 2 diagonales que llamamos h1 (y) y h2 (y). Podemos calcular
estas funciones: (1, 1); (2, 2); (3, 1); (4, 2).
Pendiemtes
2−1 2−1
m1 = =1 m2 = =1
2−1 4−3
Entonces
y − 1 = (x − 1) ⇒ y − 1 = x − 1 y − 1 = (x − 3) ⇒ y − 1 = x − 3
despejando x: tenemos
x=y
x=y+2
por lo tanto
y ≤x≤ y+2
R= (x, y)
1≤y≤2
2. x2 + y 2 = 9 3≤y≤3
despejando x: tenemos
x2 = 9 − y 2
x = ± 9 − y2
por lo tanto
− 9 − y2 ≤ x ≤ 9 − y2
R= (x, y)
−3 ≤ y ≤ 3
3. 0≤y≤1
donde y = x2 : entonces
√
y = x piso
x = 1 techo
Por lo cual la regi´n es:
o
√
y≤x≤1
R= (x, y)
0≤y≤1
sin embargo esta regi´n es de tipo I ya que:
o

18. 18 Integrales Dobles
0≤x≤1
R= (x, y)
0 ≤ y ≤ x2
4. Describir la regi´n como tipo I y tipo II
o
Tipo I:
y = x2
√
y=x
0≤x≤1
R= (x, y)
x2 ≤ y ≤ 1
Tipo II:
√
x= y piso
x = 1 techo
√
0≤x≤ y
R= (x, y)
0≤y≤1
Regiones de tipo III
Finalmente una regi´n es de tipo III cuando puede descomponerse en un numero finito de
o
regiones de tipo I y tipo II.
Ejemplo:

19. C´lculo II, J. P. Prieto y M. Vargas
a 19
1.5 Integrales dobles sobre regiones de tipo I, II y III
Definici´n
o
1. Sea R una regi´n de tipo I, entonces:
o
b g2 (x)
f (x, y) dA = f (x, y) dydx
R a g1 (x)
donde :
a≤x≤b
R= (x, y)
g1 (x) ≤ y ≤ g2 (x)
2. Sea R una regi´n de tipo II, entonces:
o
d h2 (x)
f (x, y) dA = f (x, y) dxdy
R c h1 (x)
donde :
h1 (y) ≤ x ≤ h2 (y)
R= (x, y)
c≤y≤d
3. Si R es una regi´n de tipo III, entonces la integral doble es la suma de las integrales
o
dobles sobre las subregiones.
f (x, y) dA = f (x, y) dA + f (x, y) dA
R A B

20. 20 Integrales Dobles
Observaci´n: Si f (x, y) ≥ 0 sobre la regi´n R; entonces
o o
f (x, y) dA = volumen del solido bajo la superficie z = f (x, y) y sobre la regi´n R
o
R
Ejemplos:
1. (a) ¿Cu´l es la regi´n de integraci´n impl´
a o o icita en esta integral iterada?.
2 x2
(x + y) dydx
1 0
Soluci´n: La regi´n es de tipo I:
o o
1≤x≤2
0 ≤ y ≤ x2
(b) Calculemos la integral
2 x2
(x + y) dydx
1 0

21. C´lculo II, J. P. Prieto y M. Vargas
a 21
2 x2 2 x2
y2
(x + y) dydx = xy + dx
1 0 1 2 0
2
x4
= x3 + dx
1 2
2
x4 x5
= +
4 10 1
16 1 32 1
= − + −
4 4 10 10
= (4 − 0, 25) + (3, 2 − 0, 1)
= (7, 2) + (0, 35)
2 x2
(x + y) dydx = 4, 2
1 0
2. Dada la siguiente integral:
√
2 4−x2
x − y 2 dydx
0 x2
(a) Describa la regi´n de integraci´n y dibujela
o o
La regi´n esta definida por:
o
√
0≤x≤ 2
(x, y)
x2 ≤ y ≤ 4 − x2
y su gr´fica es:
a
(b) Calcule la integral
√
2 4−x2
x − y 2 dydx
0 x2

22. 22 Integrales Dobles
√ √
2 4−x2 2 4−x2
2 y3
x − y dydx = xy − dx
0 x2 0 3 x2
√
2
(4 − x2 )3 (x2 )3
= x(4 − x2 ) − − x(x2 ) − dx
0 3 3
√
2
64 2
= 4x − 2x3 − + 16x2 − 4x4 + x6 dx
0 3 3
√
2
x4 64 16 4 2
= 2x2 − − x + x3 − x5 + x7
2 3 3 5 21 0
√
2 4−x2
x − y 2 dydx = −16, 533
0 x2
1.6 Diferencia entre la integral doble y la integral it-
erada
Sea R una regi´n de integraci´n en el plano , la integral doble de una funci´n f (x, y) sobre
o o o
la regi´n R; se define como:
o
n
f (x, y) dA = lim f (x, y) ∆xi ∆yi
R n→∞
i=1
Sabemos que si f (x, y) ≥ 0 entonces:
f (x, y) dA = volumen bajo la superficie z = f (x, y) y sobre la regi´n R
o
R

23. C´lculo II, J. P. Prieto y M. Vargas
a 23
En la pr´ctica las integrales dobles se calculan mediantes integrales iteradas. Esto depende
a
del tipo de regi´n.
o
• Si R es del tipo I
b g2 (x)
f (x, y) dA = f (x, y) dydx
R a g1 (x)
• Si R es del tipo II:
d h2 (x)
f (x, y) dA = f (x, y) dxdy
R c h1 (x)
Algunos ejemplos de profundizaci´n
o
Describir la regi´n de integraci´n y calcular la integral iterada en los siguientes casos
o o
1 x+1
1. (3x + 2y) dydx
−1 x3
La regi´n de integraci´n es de tipo I
o o
−1 ≤ x ≤ 1
x3 ≤ y ≤ x + 1

24. 24 Integrales Dobles
Ahora calculamos la integral iterada
1 x+1 1 x+1
2y 2
(3x + 2y) dydx = 3xy + dx
−1 x3 −1 2 x3
1
= (−x6 − 3x4 + 4x2 + 5x + 1) dx
−1
1
x7 3x5 4x3 5x2
= − − + + +x
7 5 3 2 −1
2 6 8
= − − + +2
7 5 3
1 x+1
334
(3x + 2y) dydx =
−1 x3 105
2 2y
2. (4x − y) dxdy
0 y2
La regi´n de integraci´n es de tipo II
o o
0≤y≤2
y 2 ≤ x ≤ 2y

25. C´lculo II, J. P. Prieto y M. Vargas
a 25
Ahora calculamos la integral iterada
2 2y 2 2y
4x2
(4x − y) dxdy = − xy dy
0 y2 0 2 y2
2
= (−2y 4 + y 3 + 6y 2 ) dy
0
2
2y 5 y 4 6y 3
= − + +
5 4 3 0
64 16 48
= − + +
5 4 3
2 2y
36
(4x − y) dxdy =
0 y2 5
1 y−1
3. (x2 + y 2 ) dxdy
0 −y−1
La regi´n de integraci´n es de tipo II
o o
0≤y≤1
−y − 1 ≤ x ≤ y − 1
Ahora calculamos la integral iterada
1 y−1 1 y−1
2 2 x3
(x + y ) dxdy = + xy 2 dy
0 −y−1 0 3 −y−1
1
8 3
= y + 2y dy
0 3
1
2 4
= y + y2
3 0
2
= +1
3
1 y−1
5
(x2 + y 2 ) dxdy =
0 −y−1 3

26. 26 Integrales Dobles
Dadas las siguientes integrales:
√
2 2y 4 2 1 1−x2
5
4x − y dxdy √
y cos x dxdy 1 − y 2 dydx
0 y2 0 y 0 0
1. Describa la regi´n de integraci´n y dibuje cada una de ellas:
o o
caso 1. La regi´n esta definida por:
o
0≤y≤2
(x, y)
y 2 ≤ x ≤ 2y
y su gr´fica es:
a
caso 2. La regi´n esta definida por:
o
0≤y≤4
(x, y) √
y≤x≤2
y su gr´fica es:
a
caso 3. La regi´n esta definida por:
o

27. C´lculo II, J. P. Prieto y M. Vargas
a 27
0≤x≤√ 1
(x, y)
0 ≤ y ≤ 1 − x2
y su gr´fica es:
a
2. Cambie el orden de integraci´n
o
√ √
4 x 2 x2 1 1−y 2
5
4x − y dydx y cos x dydx 1 − y 2 dxdy
x
0 2
0 0 0 0
3. Calcule las integrales
√
4 x
caso 1. 4x − y dydx
x
0 2
√ √
4 x 4 x
y2
4x − y dydx = 4xy − dx
0 x
2
0 2 x
2
4 √ x x2
= 4x x − − 2x2 − dx
0 2 8
4 2
x x
= 4x3/2 − − 2x2 + dx
0 2 8
4
8x5/2 x2 5x3
= − −
5 4 8 0
√
4 x
36
4x − y dydx =
0 x
2
5
2 x2
caso 2. y cos x5 dydx
0 0

28. 28 Integrales Dobles
2 x2 2 x2
5 y2
y cos x dydx = cos x5 dx
0 0 0 2 0
2
x4
= cos x5 dx
0 2
2 x2
y cos x5 dydx = 0, 012917584
0 0
√
1 1−y 2
caso 3. 1 − y 2 dxdy
0 0
√ √
1 1−y 2 1 1−y 2
1− y2 dxdy = x 1− y2 dy
0 0 0 0
1
= 1 − y2 1 − y 2 dy
0
1
= (1 − y 2 )dy
0
1
y3
= y−
3 0
√
1 1−y 2
2
1 − y 2 dxdy =
0 0 3

29. Cap´
ıtulo 2
Integrales Dobles en Coordenadas
Polares
2.1 Coordenadas Polares
El plano cartesiano es un plano geom´trico con un par de ejes perpendiculares que
e
permite describir cualquier punto geometrico por un par ordenado unico y viceversa.
´
Las coordenadas polares corresponden a una manera alternativa de describir puntos ge-
om´tricos del plano. En lugar de usar un par de ejes perpendiculares se selecciona un punto
e
O (pivote) que llamamos polo y un rayo L que parte desde O y que llamamos eje polar.
El plano provisto de este polo y este eje polar se llama plano polar.
¿C´mo se describen los puntos en este plano? Coloquialmente podemos describir esta rep-
o
resentaci´n polar imaginando una antena exensible que se pivotea en el polo y cuya punta
o
es capaz de alcanzar cualquier punto del plano. Entonces, el punto en cuesti´n se puede
o
describir usando la longitud de la antena y el ´ngulo que esta antena forma con el eje polar
a
(en el sentido contrario a las agujas del reloj). M´s formalmente, sea P un punto en el plano,
a
sea r la distancia entre P y el polo O. Sea θ el ´ngulo que forma el rayo OP y L. Entonces
a
al punto P le asociamos el par ordenado (r, θ).
r y θ se denominan las coordenadas polares del punto P
29

30. 30 Integrales Dobles en Coordenadas Polares
Dibujemos algunos puntos en coordenadas polares. Para lograr esto necesitamos de un
cuaderno polar, es decir un cuaderno que tenga un cuadriculado polar, el cual nos permitir´ a
ubicar en el plano los puntos conociendo la longitud de la antena y el ´ngulo que forma con
a
el eje polar. En los ejemplos que siguen se han dibujado los puntos indicados usando c´
ırculos
(que nos permiten conocer la distancia al polo):
(a) (2, π/2) (b) (2, π) (c) (1, 3π/2)
(d) (3, π/4) (e) (2, π/2 + 2π) (f) (2, π + 2π)
En los ejemplos anteriores se da una situaci´n nueva, a saber, un punto del plano puede
o
tener m´s de una reprsentaci´n como par ordenado (polar). Por ejemplo en los casos (a) y
a o
(e), o bien (b) y (f). M´s generalmente, todo punto del plano tiene infinitas representaciones
a
polares, esto es, para cada punto del plano hay infinitos pares ordenados que corresponden
a este punto. Para verificar esto baste el siguiente ejemplo: el punto correspondiente al par
(2, π/2) es el mismo que el punto correspondiente a los pares ordenados (2, π/2+2π), (2, π/2+
4π), (2, π/2 + 6π), (2, π/2 − 2π), etc.
Entonces, a cada punto del plano le podemos asociar un par ordenado. Pero aun queda por
dilucidar si lo contrario es cierto, a saber, dado un par ordenado (r, θ) cualquiera, ¿es posible
asociarle un punto en el plano? Consideremos la propuesta siguiente como un desaf´ ubicar
ıo:
en el plano polar los pares ordenados dados.

31. C´lculo II, Juan Pablo Prieto y Mauricio Vargas
a 31
• P (2, −π/2)
• Q(−1, π)
• R(−3, −π/2)
• S(−2, −π/4)
Para poder ubicar estos puntos en el plano necesitamos interpretar las coordenadas negativas.
El par ordenado (−r, θ) corresponde al mismo punto que el par ordenado (r, θ + π). Por otro
lado, el par (r, −θ) se asocia al punto P considerando la medida del ´ngulo que la antena
a
forma con el eje polar en la direcci´n de las agujas del reloj. La figura que sigue muestra la
o
ubicaci´n de estos puntos en el plano polar (usamos los c´
o ırculos s´lo como referencia).
o
2.2 Relaci´n entre coordenadas polares y coordenadas
o
cartesianas
Consideremos el plano cartesiano con el par de ejes perpendiculares. Sobre este plano su-
perponemos un plano polar, haciendo coincidir el polo con el origen del plano cartesiano y el
rayo polar con el lado positivo del eje x. La figura que sigue muestra gr´ficamente la relaci´n
a o
entre las variables (coordenadas) x, y y las variables r, θ.

32. 32 Integrales Dobles en Coordenadas Polares
A partir de nuestro conocimiento previo de trigonometr´ se tiene:
ıa,
cateto adyacente x
cos θ = =
hipotenusa r
cateto opuesto y
sin θ = =
hipotenusa r
⇒ x = r cos θ y = r sin θ
Las identidades previas nos permiten, conociendo los pares ordenados polares, encontrar los
pares ordenados correspondientes en coordenadas cartesianas. Por ejemplo:
1. (1, π/2) → (0, 1)
2. (2, π/4) → (1.41, 1.41)
3. (−3, π/6) → (−2.6, 1.5)
4. (−2, π) → (2, 0)
Nos falta establecer lo rec´
ıproco, a saber, dado un par ordenado en coordenadas cartesianas,
encontrar el par polar correspondiente. Observemos que usando el Teorema de Pit´goras (o
a
directamente de las relaciones establecidas previamente), se obtiene una primera relaci´n:
o

33. C´lculo II, Juan Pablo Prieto y Mauricio Vargas
a 33
r 2 = x2 + y 2
= r2 cos2 θ + r2 sin2 θ
= r2 (cos2 θ + sin2 θ)
Igualmente, de las misma relaciones previas se tiene:
y
= tan θ
x
Ejemplo
La siguiente figura muestra un punto con sus coordenadas cartesianas y nos interesa encontrar
las coordenadas polares:
√
r2 = 32 + 22 ⇒ r2 = 15 ⇒ r= 15
2 2
tan θ = ⇒ θ = arctan ⇒ θ ≈ 0, 58 ≈ 33, 7◦
3 3
En resumen se tienen las relaciones siguientes para transformar un par ordenaddo de un
sistema de coordenadas al otro:
x = r cos θ
De polares a cartesianas
y = r sin θ

34. 34 Integrales Dobles en Coordenadas Polares
y
tan θ =
De cartesianas a polares x
r 2 = x2 + y 2
En este ultimo caso, para encontrar el ´ngulo, es importante saber que la igualdad arctan tan θ =
´ a
y
θ es v´lida s´lo para −π/2 ≤ θ ≤ π/2. Esto se refleja en que la igualdad θ = arctan es
a o
x
v´lida s´lo para los pares ordenados (x, y) que est´n en el primer y el cuarto cuadrante (pues
a o a
ah´ el ´ngulo que forman los pares ordenados est´ en el rango adecuado). En los otros dos
ı a a
y
cuadrantes ser´ necesario sumarle π a arctan . En resumen:
a
x
 arctan y ,

si (x, y) est´ en el cuadrante I o IV
a
θ= x
 arctan y + π, si (x, y) est´ en el cuadrante II o III
a
x
2.3 Ecuaciones Polares
1. El gr´fico de la ecuaci´n r = 3 es el conjunto de pares ordenados {(r, θ)/r = 3} o sea,
a o
el conjunto {(3, θ)} donde θ es cualquier ´ngulo
a
Gr´ficamente esto corresponde a los puntos del plano que est´n a distancia 3 del polo.
a a
Otra manera de saber la forma que tiene el gr´fico de la ecuaci´n polar r = 3 es
a o
transformar esta ecuaci´n a su equivalente en coordenadas cartesianas.
o
r = 3 elevando al cuadrado ambos lados
r2 = 9 usando la relaci´n entre las coordenadas
o
2 2
x +y = 9

35. C´lculo II, Juan Pablo Prieto y Mauricio Vargas
a 35
Esta ultima es la ecuaci´n cartesiana del c´
´ o ırculo de radio 3 centrado en el origen.
En general r = a corresponde a un c´
irculo de radio a, centrado en el origen.
2. La gr´fica de la ecuaci´n θ = π/4 es el conjunto {(r, θ)/θ = π/4}
a o
Gr´ficamente es la recta que pasa por el origen ilustrada en la figura siguiente (los
a
puntos (3, π/4),(−3, π/4) aparecen marcados como referencia):
M´s generalmente, la ecuaci´n θ = β tiene como gr´fico a la recta que pasa por el
a o a
origen y forma un ´ngulo β con respecto al eje polar (lado positivo del eje x).
a
Usando los ejemplos anteriores (gr´ficas de las ecuaciones r = a y θ = β) podemos construir
a
regiones del plano a partir de desigualdades. Recordemos que un rect´ngulo corresponde a
a
un conjunto de la forma:
a≤x≤ b
(x, y)
c≤y≤d

36. 36 Integrales Dobles en Coordenadas Polares
En forma similar el conjunto:
a≤r≤ b
(r, θ)
α≤θ≤β
lo llamamos un rect´ngulo polar
a
Las desigualdades a ≤ r ≤ b se representan gr´ficamente como el anillo de la figura:
a
Por otro lado, las desigualdades α ≤ θ ≤ β corresponden a:
Asi entonces el rect´ngulo polar es:
a

37. C´lculo II, Juan Pablo Prieto y Mauricio Vargas
a 37
Ejercicios
En los siguientes ejemplos graficamos algunos rect´ngulos polares.
a
0≤r≤ 2
1. R = (r, θ)
0≤θ≤π
1≤r≤ 2
2. S = (r, θ)
π/4 ≤ θ ≤ 3π/4
1≤r≤ 2
3. T = (r, θ)
−π/4 ≤ θ ≤ π/4

38. 38 Integrales Dobles en Coordenadas Polares
−2 ≤ r ≤ −1
4. U = (r, θ)
π/4 ≤ θ ≤ π/2
2.4 Gr´ficos Polares
a
El gr´fico de una ecuaci´n polar es el conjunto de pares ordenados (r, θ) que satisfacen
a o
dicha ecuaci´n.
o
Por ejemplo, las gr´ficas de las ecuaciones r = 5 y θ = 3π/4 se ilustra en la figura.
a
En general queremos graficar r = f (θ)
Ejemplos:
1. r = 4 cos θ ; graficar , para esto hacemos una tabla de valores que nos permitir´ trazar
a
el gr´fico.
a

39. C´lculo II, Juan Pablo Prieto y Mauricio Vargas
a 39
r 4 3.9 3.7 3.4 3 2.5 2 1.3 0.6 0 -0.6 -1.3 -2
θ 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
Si continuamos graficando estos pares ordenados hasta el punto de reconocer el gr´fico,
a
podr´ıamos darnos cuenta que corresponde a un c´
ırculo de radio 2 centrado en el (2, 0).
Otra mirada al mismo problema. Consideremos la ecuaci´n r = 4 cos θ. Queremos
o
transformar esta ecuaci´n a coordenadas rectangulares:
o
r = 4 cos θ / · r ⇒ r2 = 4r cos θ ⇒ x2 + y 2 = 4x
x2 − 4x + y 2 = 0 / + 4 ⇒ x2 − 4x + 4 + y 2 = 4 ⇒ (x − 4)2 + y 2 = 4
De modo que la ecuaci´n corresponde al c´
o ırculo de radio 2 centrado en el punto (2, 0).
2. Las ecuaciones
r = a ± a sin θ
r = a ± a cos θ
tiene el siguiente gr´fico:
a

40. 40 Integrales Dobles en Coordenadas Polares
3. La ecuaci´n r = θ; tiene como gr´fico el espiral de Arquimedes
o a
4. La llamada rosa tiene las siguientes ecuaciones:
r = a sin(nθ)
r = a cos(nθ)
2n p´talos si n es par
e
el n´mero de p´talos de estas ecuaciones est´ dado por:
u e a
n p´talos si n es impar
e

41. C´lculo II, Juan Pablo Prieto y Mauricio Vargas
a 41
5. Sabemos que la ecuaci´n r = a es un c´
o ırculo de radio a centrado en el origen. Por otro
lado, al igual que en el ejemplo 1, las ecuaciones
r = 2a sin θ
r = 2a cos θ
tienen como gr´fico un circulo de radio a centrado en (0, a) y en (a, 0) respectivamente.
a
Ejemplos:

42. 42 Integrales Dobles en Coordenadas Polares
1. Los siguientes c´
ırculos:
r = 1
r = 2 sin θ
tienen como gr´fico:
a
¿D´nde se intersectan estos c´
o ırculos?
r=1
r = 2 sin θ ⇒ 1 = 2 sin θ
1 30◦ π/6
⇒ sin θ = ⇒θ= ⇒θ=
2 150◦ 5π/6
2. Para dibujar el caracol
r = 2 + 5 cos θ
contruimos la tabla
r 7 6.6 4.7 2.97 2 0.086 -1.5 -2.6 -3 -2.90 -2.15
θ 0 22.5 56.26 78.75 90 112.5 135 157.5 180 191.25 213.75

43. C´lculo II, Juan Pablo Prieto y Mauricio Vargas
a 43
3. Para dibujar el cardioide
r = 2 − 2 sin θ
construimos la tabla
r 2 1.6 0.58 0.15 0.03 0 0.03 2 2.76 3.11 3.66 3.84 4
θ 0 11.25 45 67.5 78.75 90 101.25 180 202.5 213.75 236.25 247.5 270
4. Del mismo modo para dibujar el gr´fico de
a
r = 2 cos(3θ)
r 2 1.66 0.76 -0.39 -1.4 -1.96 -1.84 -1.1 0 -1.1 -2 -1.66
θ 0 11.25 22.5 33.75 45 56.25 67.5 78.75 90 101.25 180 191.25

44. 44 Integrales Dobles en Coordenadas Polares
2.5 Integrales dobles en coordenadas polares
Justificaci´n del formulismo
o
¿Cu´l es la f´rmula adecuada para la integral doble
a o f (x, y) dA en coordenadas polares?
R
No basta con cambiar x por r cos θ e y por r sin θ. La clave del formulismo est´ en la
a
diferencial de ´rea dA.
a
Para tener una aproximaci´n heur´
o ıstica a la pregunta formulada, comenzamos con un prob-
lema cl´sico de geometr´ ¿Cu´l es el ´rea del rect´ngulo polar? Las figuras ilustran algunos
a ıa. a a a
casos.
El ´rea del sector circular de radio r y ´ngulo central α (en radianes) es α r2
a a 2
Entonces para el rec´angulo polar
t

45. C´lculo II, Juan Pablo Prieto y Mauricio Vargas
a 45
se tiene:
Area=´rea total − ´rea del trozo A
a a
Usando coordenadas polares, la figura ser´
ıa:
Y entonces la f´rmula previa del ´rea se puede escribir como:
o a
´ β−α 2 β−α 2 β−α 2 2
Area= · r2 − · r1 = (r2 − r1 )
2 2 2
En el caso infinitesimal (trocitos de rect´ngulos polares) entonces:
a
β−α
A= (r2 − r1 )(r2 + r1 ) , donde ∆θ = β − α y ∆r = (r2 − r1 )
2
∆θ
∆A = ∆r (r1 + r2 )
2
r1 + r2
∆A = ∆θ ∆r
2
r1 + r 2
Dado que cuando r1 y r2 son muy cercanos, el promedio, , se parece a cualquiera de
2
ellos.
As´ ∆A = ∆θ ∆r · r o bien : dA = dθ dr · r
ı:
Teorema
f (x, y) dA = f (r cos θ, r sin θ)r dr dθ
R R
Ejemplos

46. 46 Integrales Dobles en Coordenadas Polares
√ 0≤x≤√ 2
1. Calculemos la integral 4 − x2 dA donde R= (x, y)
R 0 ≤ y ≤ 4 − x2
√
2 4−x2 √
I = 4 − x2 dydx
0 0
√
2 √ 4−x2
= y 4− x2 dx
0 0
2
= 4 − x2 dx
0
2
x3
= 4x −
3 0
8
= 8−
3
16
I =
3
Ahora describiremos la misma integral en coordenadas polares:
√ √
4 − x2 dA = 4 − r2 cos2 θ r dr dθ
R R
necesitamos describir R como un rec´ngulo polar.
a
0≤r≤ 2
R= (r, θ)
0 ≤ θ ≤ π/2
por lo tanto la integral es:
π/2 2 √
4 − r2 cos2 θ r dr dθ
0 0

47. C´lculo II, Juan Pablo Prieto y Mauricio Vargas
a 47
2. Consideremos la integral (x2 + y 2 ) dA , donde R es la misma region del ejemplo
R
anterior (1/4 circulo)
En coordenadas rect´ngulares
a
√
2 4−x2
I = (x2 + y 2 ) dydx
0 0
√
2 4−x2
y3
= x2 y + dx
0 3 0
√
2
2
√ ( 4 − x2 )3
= x ( 4 − x2 ) + dx
0 3
La cual es muy complicada de resolver
Probamos ahora cambiando a coordenadas polares:
π/2 2
I = r2 r dr dθ
0 0
π/2 4 2
r
= dθ
0 4 0
π/2
16
= dθ
0 4
π/2
= 4 dθ
0
π/2
4π
= 4θ = = 2π
0 2
Conclusi´n: en este caso la integral en coordenadas polares es mucho m´s facil.
o a
3. 4 − x2 − y 2 dA , donde R es el circulo de radio 1 centrado en el origen.
R

48. 48 Integrales Dobles en Coordenadas Polares
⇒ R= (x, y) √ −1 ≤ x ≤ 1√
− 1 − x2 ≤ y ≤ 1 − x2
por lo tanto
√
1 1−x2
I= √
4 − x2 − y 2 dydx
−1 − 1−x2
en coordenadas polares
0≤r≤ 1
R= (r, θ)
0 ≤ θ ≤ 2π
por lo tanto
2π 1 √
I= 4 − r2 r dr dθ
0 0
esta integral es facil; ya que solamente se debe realizar la sustituci´n u = 4 − r2 ⇒
o
− du = r dr
2
entonces

49. C´lculo II, Juan Pablo Prieto y Mauricio Vargas
a 49
2π 1 √
I = 4 − r2 r dr dθ
0 0
π/2 1
du
= u1/2 · − dθ
0 0 2
2π
1 1 1/2
= − u du dθ
0 2 0
2π
1 2u3/2
= − dθ
0 2 3
2π 1
1 2 3/2
= − (4 − r ) dθ
0 3 0
2π
1 1
= − (4 − 1)3/2 − (− (4 − 0)3/2 ) dθ
0 3 3
2π √ 8
= − 3+ dθ
0 3
√ 2π
8
= −θ 3 + θ
3 0
√ 16π
I = −2π 3 +
3
Observaci´n
o
Sean z = g(x, y) y z = h(x, y) dos superficies con g(x, y) ≥ h(x, y) sobre una regi´n R del
o
plano. Entonces el volumen del s´lido acotado por estas superficies sobre la regi´n R est´
o o a
dad por:
(g(x, y) − h(x, y)) dA
R
entonces:
V = techo − piso
R

50. 50 Integrales Dobles en Coordenadas Polares
2.6 Ejemplos de c´lculos de volumen
a
1. Consideremos el s´lido acotado por la semi-esfera superior de radio 2 centrada en el
o
punto (0, 0, 2)y por el cono z = x2 + y 2 que se ilustra en la Figura 1. Nos interesa
calcular el volumen encerrado. Para esto debemos conocer las superficies, e identificar
el techo, el piso y la regi´n de integraci´n.
o o
Figura 1
C´lculo de los vol´ menes
a u
(a)
V = (techo − piso) = (esf era − cono)
R R
para avanzar necesitamos conocer
∗ esfera
∗ cono
el cono tiene la f´rmula z = x2 + y 2 .
o
La esfera esta centrada en el punto (0, 0, 2). La f´rmula de la esfera de radio 2
o
centrada en el (0, 0, 0).
x2 + y 2 + z 2 = 4
centrada en el (0, 0, 2) ser´:
a
x2 + y 2 + (z − 2)2 = 4
⇒ 4 − x2 − y 2 + 2 = z esf era
As´
i:

51. C´lculo II, Juan Pablo Prieto y Mauricio Vargas
a 51
V = 4 − x2 − y 2 + 2 − x2 + y 2 dA
R
R es el c´
irculo de radio 2 centrado en el origen.
Para describir R usaremos coordenadas polares:
0≤r≤ 2
R= (r, θ)
0 ≤ θ ≤ 2π
2π 2 √
⇒ 4 − r2 + 2 − r r dr dθ
0 0
Ahora:
2 √
4 − r2 + 2 − r r dr
0
2 √
4 − r2 · r + 2r − r2 dr
0
ahora calculando esta integral, pero primero realizando la sustituci´n u = 4 −
o
2
r ⇒ du = −2r dr
2π 2 √ 2π 2
1 r3
4 − r2 · r + 2r − r2 dr dθ = − (4 − r2 )3/2 + r2 − dθ
0 0 0 3 3 0
2π
8 8
= +4− dθ
0 3 3
2π
= 4 dθ
0
2π
= 4θ
0
= 8π ⇒ volumen

52. 52 Integrales Dobles en Coordenadas Polares
2. En este ejemplo, queremos calcular el volumen del s´lido que est´ dentro el cilindro
o a
x2 + y 2 = 9, bajo el paraboloide z = x2 + y 2 y sobre el plano xy, como lo ilustra la
siguiente figura.
Figura 2
(a)
V = (paraboloide − plano)
R
nos falta
∗ paraboloide
∗ c´
irculo
Sea z = x2 + y 2 y sea R el c´
irculo de radio 3 centrado en el origen.
Entonces:
V = (x2 + y 2 ) dA
R
en coordenadas polares
2π 3
r2 · r dr dθ
0 0
2π 3 2π 3
r4
r2 · r dr dθ = dθ
0 0 0 4 0
2π
81
= dθ
0 4
2π
81
= θ
4 0
81π
=
2

53. C´lculo II, Juan Pablo Prieto y Mauricio Vargas
a 53
¿Cu´l es el volumen dentro del paraboloide? (altura 9)
a
V = (techo − piso)
R
V = (plano − paraboloide)
R
Plano: z = 9
paraboloide z = x2 + y 2
V = (9 − x2 − y 2 ) dA
R
coordenadas polares
2π 3
(9 − r2 ) · r dr dθ
0 0
2π 3 2π 3
2 9r2 r4
(9 − r ) · r dr dθ = − dθ
0 0 0 2 4 0
2π
81 81
= − dθ
0 2 4
2π
81
= dθ
0 4
81π
=
2
3. La Figura 3 muestra las superficies que determinan un s´lido. Este s´lido est´ dentro
o o a
del cilindro x2 + y 2 = 2x y est´ acotado por arriba por el cono z = x2 + y 2 y por
a
abajo por el plano xy.
Figura 3