Bab 1 Hukum Kirchhoff                                       BAB 1                              HUKUM KIRCHHOFFSetelah memp...
Bab 1 Hukum Kirchhoff   1. Perhatikan rangkaian yang ditunjukkan pada P1.1a.      a. Bila v2-3 = 10V, v6-3 = 6V, dan v4-1 ...
Bab 1 Hukum Kirchhoff   c. Gambar diagraph dengan terminal 5 sebagai terminal datum baik untuk op amp      maupun transist...
Bab 1 Hukum Kirchhoff      Solusi   a. Persamaan cut-set yang tidak termasuk persamaan node KCL adalah      C1 = { 1, 4, 5...
Bab 1 Hukum Kirchhoff   4. a. Gambarkan diagraph untuk rangkaian penyearah gelombang penuh (full-      wave rectifier) yan...
Bab 1 Hukum Kirchhoff      •   Pemindahan semua cabang pada cut-set, kecuali satu cabang sisanya, tetap          menghasil...
Bab 1 Hukum Kirchhoff      ( k1f1(i1,i2,…,i7) + k2f1(i1,i2,…,i7) = 0 terpenuhi untuk k1 dan k2 tidak sama dengan      nol,...
Bab 1 Hukum Kirchhoff                                    i7                             i5                     i6         ...
Bab 1 Hukum Kirchhoff   7. a. Tentukan semua cut-set pada diagraph P1.7a.      b. Tulis persamaan KCL untuk setiap cut-set...
Bab 1 Hukum Kirchhoff   e. Gabungkan node 5 dan 7 dan pilih titik 4 sebagai node datum sehingga diperoleh                 ...
Bab 1 Hukum Kirchhoff      Solusi   a. Ada delapan buah loop, yakni:      L1 : 1 – 2 – 4 –1                  : v1 + v2 + v...
Bab 1 Hukum Kirchhoff      Solusi:      Pada percoaan (1) diperoleh sekumpulan tegangan yang memenuhi hukum KVL      dan a...
Bab 1 Hukum Kirchhoff                  N       − v i + ∑ R k i k i "k − v 2 i " = 0            "           1 1            ...
Bab 1 Hukum Kirchhoff                              ^      Tentukan v L bila diketahui R1, R2, R3, dan R4 adalah resistor l...
Bab 1 Hukum Kirchhoff                                                                                          R2 =1Ω     ...
Bab 1 Hukum Kirchhoff      Dengan menggunakan teorema Tellegen diperoleh                             x  n −1             ...
Bab 1 Hukum Kirchhoff       P = v s i (1) + i s v ( 2 ) + v s i ( 2) + i s v (1)          ⇔ P = Pis + Pvs + v s i ( 2) + i...
Bab 1 Hukum Kirchhoff      Substitusi v a = R k i a ke persamaan (4) dan v b = R k i b ke persamaan (5) diperoleh         ...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Bab 1 hukum kirchoff

12,911 views

Published on

Hukum Kirchoff

Published in: Education, Technology, Business
1 Comment
9 Likes
Statistics
Notes
No Downloads
Views
Total views
12,911
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
2
Actions
Shares
0
Downloads
0
Comments
1
Likes
9
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Bab 1 hukum kirchoff

  1. 1. Bab 1 Hukum Kirchhoff BAB 1 HUKUM KIRCHHOFFSetelah mempelajari Bab 1 Hukum Kirchhoff, Anda diharapkan: 1. Memahami representasi diagraph suatu rangkaian lumped-circuit. 2. Memahami berbagai bentuk hukum KCL (Kirchhoff’s Current Law), yakni hukum KCL dalam bentuk permukaan Gauss, cut-set, dan node. 3. Memahami berbagai bentuk hukum KVL (Kirchhoff’s Voltage Law), yakni hukum KVL dalam bentuk urutan node tertutup (closed node sequences), loop, dan selisih tegangan dua node relatif terhadap datum node. 4. Memahami definisi matriks incidence A a , matriks incidence tereduksi A , vektor tegangan cabang v , vektor arus cabang i , vektor tegangan node e suatu diagraph, dan kaitannya dengan hukum KCL dan KVL, yakni A i = 0 dan v − ATe = 0 . 5. Memahami definisi derajat kebebasan (degree of freedom) arus dan tegangan cabang. 6. Memahami definisi bebas linier persamaan aljabar linier KCL dan KVL. 7. Memahami teorema Tellegen.Diktat Pendukung Teori Rangkaian 1
  2. 2. Bab 1 Hukum Kirchhoff 1. Perhatikan rangkaian yang ditunjukkan pada P1.1a. a. Bila v2-3 = 10V, v6-3 = 6V, dan v4-1 = 2V, tentukan v6-1, v4-6, dan v4-2. b. Gambarkan diagraph rangkaian dengan terminal 3 dipilih sebagai datum dari op amp dan terminal 4 sebagai datum dari transistor. Ulangi pertanyaan (a) untuk diagraph ini. c. Ulangi (b) tetapi terminal 5 dipilih sebagai terminal datum baik untuk op amp maupun transistor. 1 − − v4−1 v 6 −1 i1 4 i4 + + i2 + − v4−2 v4−6 2 − + + 5 − + + v 2 −3 6 v6−3 load − i3 − 3 P1.1a Solusi a. Perhatikan, v1-3 berisi sebuah sumber tegangan 5V sehingga v1-3 = 5V. Dari hukum KVL diperoleh • v6-1 + v1-3 + v3-6 = 0 ⇔ v6-1 = -v3-6 – v1-3 = -(-6) – 5 = 1V. • v4-2 + v2-3 + v3-1 + v1-4 = 0 ⇔ v4-2 = -v2-3 – v3-1 – v1-4 = -10–(-5)–(-2) = -3V. • v4-6 + v6-3 + v3-1 + v1-4 = 0 ⇔ v4-6 = -v6-3 – v3-1 – v1-4 = -6-(-5)-(-2)= 1V. b. Gambar diagraph dengan terminal 3 sebagai datum dari op amp dan terminal 4 sebagai datum dari transistor tampak pada P1.1b. Perhatikan, kode T melambangkan komponen transistor dan kode OA untuk op amp. 1 4 4 v6-1 = -v3-6- v1-3 T = -(-6) – 5 = 1V. 2 1 T OA v4-2 = v3-2 – v3-1 – v1-4 2 5 6 = -10 – (-5) – (-2) = -3V. OA v4-6 = v3-6 – v3-1 – v1-4 3 OA load = -6 – (-5) – (-2) = 1V. P1 .1b 3Diktat Pendukung Teori Rangkaian 2
  3. 3. Bab 1 Hukum Kirchhoff c. Gambar diagraph dengan terminal 5 sebagai terminal datum baik untuk op amp maupun transistor tampak pada P1.1c. 1 4 4 v6-1 = -v3-6- v1-3 = 6 – 5 = 1V. 2 OA T v4-2 = v3-2 – v3-1 – v1-4 OA = -10 – (-5) – (-2) = -3V. 2 6 1 5 T v4-6 = v3-6 – v3-1 – v1-4 = -6 – (-5) – (-2) = 1V. 3 OA load 3 P1.1c 2. a. Untuk diagraph yang ditunjukkan pada P1.2a, tentukan semua persamaan cut-set KCL yang tidak termasuk dalam persamaan node KCL. b. Apakah persamaan di atas bebas linier (linearly independent)? Bila ya, buktikan. Bila tidak, hapus sebuah sub himpunan (subset) minimum sehingga sisa persamaan bersifat bebas linier. Apakah sisa persamaan tersebut mewakili sebuah himpunan maksimal, yakni apakah sisa persamaan tersebut mengandung semua informasi dari diagraph? 6 2 4 2 5 4 1 7 3 10 9 8 3 1 5 P1.2aDiktat Pendukung Teori Rangkaian 3
  4. 4. Bab 1 Hukum Kirchhoff Solusi a. Persamaan cut-set yang tidak termasuk persamaan node KCL adalah C1 = { 1, 4, 5, 6} ⇔ i1 + i4 + i5 + i6 = 0 C2 = { 2, 4, 7, 8, 9} ⇔ -i2 + i4 + i7 + i8 + i9 = 0 C3 = {1, 4, 7, 8, 9} ⇔ -i1 – i4 – i7 – i8 – i9 = 0 b. Ya, ketiga persamaan di atas bersifat bebas linier. (Buktikan. Petunjuk: Perhatikan m buah persamaan aljabar linier dengan n buah variabel f j (x 1 , x 2 , x 3 ,..., x n ) = α j1 x 1 + α j2 x 2 + ... + α jn x n = 0 j = 1,2,...m di mana αjk adalah bilangan nyata atau kompleks. Ke-m buah persamaan m dikatakan bebas linier bila ∑ k f (x , x j=1 j j 1 2 ,..., x n ) = 0 untuk semua x1,x2, …, xn mengimplikasikan kj=0 untuk j = 1,2, ..m. (Lihat solusi pada pertanyaan 5 untuk metode pembuktian yang lain). Bila y1(x) bergantung linier pada y2(x), maka sebenarnya y1(x) tidak memberikan tambahan informasi apapun pada y2(x)). Namun, ketiga persamaan cut-set bukanlah sebuah himpunan maksimal karena kita membutuhkan n – 1 = 5 - 1 = 4 persamaan cut-set yang bebas linier untuk mendeskripsikan diagraph di atas (n adalah jumlah node pada diagraph). 3. a. Untuk diagraph pada P1.2a, tulis persamaan loop KVL yang mengandung empat atau lebih cabang. b. Ulangi pertanyaan (2b) untuk persamaan-persamaan loop tersebut. Solusi a. Persamaan loop KVL yang dapat ditulis adalah • –v1 + v2 + v5 + v7 = 0 (1) • -v1 + v2 + v5 + v9 = 0 (2) • -v1 + v2 + v6 + v8 = 0 (3) • -v1 + v2 + v5 + v8 = 0 (4) …(1) • -v1 + v2 + v6 + v7 = 0 (5) • -v1 + v2 + v6 + v9 = 0 (6) b. Persamaan (1) di atas bergantung linier (linearly dependent). Namun, persamaan 1,2,3, dan 4 bersifat bebas linier (buktikan). Keempat persamaan tersebut belum mengandung semua informasi dari diagraph karena dibutuhkan b – n + 1 = 10 – 5 + 1 = 6 persamaan KVL yang bebas linier untuk mendeskripsikan secara lengkap diagraph tersebut ( b adalah jumlah branch).Diktat Pendukung Teori Rangkaian 4
  5. 5. Bab 1 Hukum Kirchhoff 4. a. Gambarkan diagraph untuk rangkaian penyearah gelombang penuh (full- wave rectifier) yang ditunjukkan pada P1.4a. b. Perhatikan sub himpunan cabang berikut: {1, 2}, {1, 2, 3, 4}, {4, 5, 6, 7}, {3, 6}, {3, 4, 5, 6}, {1, 2, 4, 5}, dan {1, 2, 3, 5, 7}. Identifikasikan sub himpunan ini yang memenuhi kualifikasi sebagai cabang yang memotong permukaan Gauss dan tulis persamaan KCL yang bersangkutan. Jelaskan mengapa sub himpunan cabang lain tidak memenuhi syarat. c. Identifikasikan sub himpunan yang memenuhi syarat sebagai cut-set dan tulis persamaan KCL yang bersangkutan. Jelaskan mengapa sub himpunan lain tidak memenuhi syarat. i1 1 i2 i3 3 i5 i7 4 i4 5 i6 2 6 P1.4a Solusi a. Diagraph untuk rangkaian pada P1.4a tampak pada P1.4b. b. Sub himpunan cabang yang memenuhi syarat sebagai cabang yang memotong permukaan Gauss dan persamaan KCL yang bersangkutan adalah {1, 2} ⇔ i1 + i2 = 0 {3, 6} ⇔ i3 + i6 = 0 {3, 4, 5, 6} ⇔ i3 – i4 – i5 + i6 = 0 {1, 2, 4, 5} ⇔ i1 + i2 + i4 + i5 = 0 {1, 2, 3, 5, 7} ⇔ i1 + i2 + i3 - i 5 + i7 = 0 {1, 2, 3, 4} dan {4, 5, 6, 7} bukan permukaan Gauss karena sembarang permukaan Gauss akan memotong satu satu cabang tersebut lebih dari satu kali (permukaan Gauss hanya boleh memotong setiap cabang sebanyak satu kali). c. Suatu himpunan cabang diagraph dikatakan sebagai cut-set bila memenuhi dua persyaratan berikut, yakni: • Pemindahan semua cabang pada cut-set menghasilkan sebuah digraph yang tidak terkoneksiDiktat Pendukung Teori Rangkaian 5
  6. 6. Bab 1 Hukum Kirchhoff • Pemindahan semua cabang pada cut-set, kecuali satu cabang sisanya, tetap menghasilkan digraph yang terkoneksi. Dengan menggunakan persyaratan di atas maka hanya {1,2} dan {3,6} yang memenuhi syarat sebagai cut-set, yakni {1, 2}⇔ i1 + i2 = 0 dan {3, 6}⇔ i3 + i6 = 0 1 3 5 5 1 2 3 4 7 6 2 4 6 P1.4b 5. a. Tulis matriks incidence A a untuk diagraph pada P1.4a dan verifikasi bahwa baris-baris tersebut bergantung linier (linearly dependent). Mengapa? b. Hapus salah satu baris dari A a dan verifikasi bahwa sisa baris tersebut masih bergantung linier. Mengapa? c. Gabungkan node 2 dan 6 dan tulis matriks incidence tereduksi A . Verifikasi bahwa baris-baris tersebut bebas linier. d. Tulis sebuah sistem persamaan KVL dan KCL yang bebas linier menggunakan A . Solusi a. Incidence matriks A a untuk diagraph pada P1.4a adalah 1 1 0 0 0 0 0 1 − 1 − 1 0 0 0 0 0  2 Aa =  0 0 1 0 −1 0 1  3  0 0 −1 0 0 −1 0  4 0 0 0 1 1 0 0 5  0 0 0 − 1 0 1 − 1 6   Bila baris pertama dan kedua dari matriks incidence A a dijumlahkan akan menghasilkan baris yang semua komponennya nol, jadi masih tidak bebas linier.Diktat Pendukung Teori Rangkaian 6
  7. 7. Bab 1 Hukum Kirchhoff ( k1f1(i1,i2,…,i7) + k2f1(i1,i2,…,i7) = 0 terpenuhi untuk k1 dan k2 tidak sama dengan nol, jadi kedua persamaan adalah bergantung linier menurut definisi pada solusi pertanyaan (2b)). b. Penghapusan sembarang baris dari matriks A a tidak akan menghasilkan himpunan persamaan yang bebas linier karena diagraph yang berasosiasi dengan A a tidak terkoneksi. c. Dengan menggabungkan titik 2 dan 6 maka akan menghasilkan matriks tereduksi 1 1 0 0 0 0 0 1 A = 0 0 1 0 −1 0 1 3 0 0 −1 0 0 −1 0 4 0  0 0 1 1 0 0 5  Matriks A dapat disusun dalam bentuk eselon baris (row-echelon) berikut 1 1 0 0 0 0 0 A = 0 0 1 0 −1 0 − 1 0 0 0 1 1 0 0 0  0 0 0 1 1 − 1  yang sekaligus membuktikan bahwa persamaan-persamaan pada A adalah bebas linier (lihat kembali pelajaran aljabar linier mengenai hubungan bebas llinier dan matrisk eselon tereduksi). d. Persamaan KVL dan KCL yang bebas linier dapat diperoleh dari persamaan → →T → →→ → v = A e dan A i = 0 6. Pada rangkaian yang ditunjukkan pada P1.6a, arah referensi arus cabang seperti yang ditunjukkan pada gambar. a. Berapa buah arus cabang yang dapat diberikan secara bebas? b. Bila arus-arus berikut diberikan, yakni i7 = -5, i4 = 5, i10 = -3, i3 = 1, i1 = 2 A, apakah mungkin untuk mencari semua sisa arus lainnya? Tentukan sebanyak mungkin arus yang dapat Anda lakukan. c. Asumsikan tegangan cabang diukur dalam associate reference direction. Berapa banyak tegangan cabang yang dapat ditentukan secara bebas? Mengapa? d. Misalkan tegangan berikut diberikan dalam satuan volt, v1 = 10, v2 = 5, v4 = -3, v6 = 2, v7 = -3, v12 = 8. Tentukan sebanyak mungkin tegangan cabang yang mungkin.Diktat Pendukung Teori Rangkaian 7
  8. 8. Bab 1 Hukum Kirchhoff i7 i5 i6 i12 i1 i2 i3 i4 i11 i8 i9 i10 P1.6a Solusi: a. Dari P1.6a terlihat bahwa terdapat 8 buah node (n = 8) dan 12 buah cabang (b = 12). Jumlah derajat kebebasan untuk KCL adalah Ki = b – (n-1) = b – n + 1 = 12 – 8 + 1 = 5. Jadi jumlah arus cabang yang dapat diberikan secara bebas adalah lima buah. b. Arus-arus yang dapat ditentukan adalah • i1 + i5 + i7 = 0 ⇔ i5 = 5 – 2 = 3 • i4 + i12 = 0 ⇔ i12 = -5 • -i6 + i3 – i12 – i7 = 0 ⇔ i6 = 11 • -i5 + i2 + i6 = 0 ⇔ i2 = -8 • -i11 – i1 = 0 ⇔ i11 = -2 • i11 – i2 + i8 + i10 = 0 ⇔ i8 = -3 • -i4 – i9 –i10 = 0 ⇔ i9 = -2 Semua arus dalam satuan ampere (A). Karena jumlah arus yang diberikan sama dengan jumlah derajat kebebasan KCL maka semua arus dapat ditentukan. c. Jumlah derajat kebebasan untuk KVL adalah Kv = n – 1 = 8 – 1 = 7. Jadi jumlah tegangan cabang yang dapat diberikan secara bebas adalah 7. d. Tegangan-tegangan yang dapat ditentukan adalah • v5 + v6 – v7 = 0 ⇔ v5 = -5 • v5 + v2 + v11 – v1 = 0 ⇔ v11 = 10 • v7 – v12 + v4 – v10 + v11 – v1 = 0 ⇔ v10 = -14 Semua tegangan dalam satuan volt. Sisa tegangan cabang lainnya tidak dapat ditentukan. Untuk menentukan semua nilai tegangan, jumlah tegangan bebas linier yang harus diberikan adalah 7 (jumlah derajat kebebasan KVL). Pada soal, nilai KVL yang diberikan hanya 6 buah.Diktat Pendukung Teori Rangkaian 8
  9. 9. Bab 1 Hukum Kirchhoff 7. a. Tentukan semua cut-set pada diagraph P1.7a. b. Tulis persamaan KCL untuk setiap cut-set di (a). c. Tunjukkan bahwa persamaan dari (b) adalah bergantung linier. d. Ekstrak sebuah sub himpunan persamaan KCL dari (b) yang berisi jumlah maksimum, ρ, persamaan bebas linier. Verifikasi bahwa ρ = n – p, di mana n = jumlah node dan p = jumlah komponen terkoneksi (bagian yang terpisah) dari diagraph. e. Gabungkan titik 5 dan 7 dan verifikasi bahwa persamaan KCL yang sama dari (b) juga berlaku untuk digraph yang “terkoneksi”. 1 2 3 3 6 1 2 4 7 8 6 4 5 5 7 P1.7a Solusi a. Cut-set pada digraph P1.7a adalah {1}, {2,3}, {3,4,6}, {4,5}, {7,8}, {2,4,6}, {3,5,6}, dan {2,5,6} b. Persamaan KCL untuk cut-set di atas adalah • {1} ⇔ i1 = 0 • {2, 3} ⇔ i2 + i3 = 0 • {3, 4, 6} ⇔ -i3 – i4 – i6 = 0 • {4, 5} ⇔ i4 + i5 = 0 • {7, 8} ⇔ i7 + i8 = 0 • {2, 4, 6} ⇔ i2 – i4 – i6 = 0 • {3, 5, 6} ⇔ i3 – i5 + i6 = 0 • {2, 5, 6} ⇔ i2 + i5 – i6 = 0 c. Perhatikan bahwa persamaan pada baris (6) dapat diperoleh dari penjumlahan persamaan pada baris (2) dan (3). Jadi persamaan di atas masih bersifat bergantung linier. d. Persamaan pada baris (1), (2), (3), (4) dan (5) adalah bebas linier (buktikan). Jadi ρ = 5, n = 7, dan p = 2. Jadi ρ = n – p terpenuhi.Diktat Pendukung Teori Rangkaian 9
  10. 10. Bab 1 Hukum Kirchhoff e. Gabungkan node 5 dan 7 dan pilih titik 4 sebagai node datum sehingga diperoleh 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 2 A = 0 0 −1 −1 0 −1 0 0  3 0 0 0 1 1 0 1 1 5/7 0  0 0 0 0 0 − 1 − 1 6  Dari matriks A di atas dapat ditulis persamaan KCL sebagai berikut: • i1 = 0 • i2 + i3 = 0 • -i3 – i4 – i6 = 0 • i4 + i5 + i7 + i8 = 0 Substitusi hasil baris (5) untuk mendapatkan i4 + i5 = 0 • -i7 – i8 = 0 ⇔ i7 + i8 = 0 Perhatikan bahwa persamaan-persamaan ini persis seperti persamaan (1-5) dari (b). 8. Sebuah rangkaian memiliki diagraph seperti pada P1.8a. Untuk diagraph tersebut a. Tulis semua loop yang mungkin, dan untuk setiap loop tersebut tulis sebuah persamaan KVL dalam bentuk tegangan cabang. b. Apakah persamaan-persamaan pada (a) adalah bebas linier? Bila tidak, tunjukkan. c. Berapa persamaan loop yang bebas linier dari kumpulan persamaan (a) tersebut? Justifikasi jawaban Anda. d. Apakah benar bahwa i7 + i9 = 0? 1 2 3 4 1 2 3 5 6 4 7 9 8 5 6 P1.8aDiktat Pendukung Teori Rangkaian 10
  11. 11. Bab 1 Hukum Kirchhoff Solusi a. Ada delapan buah loop, yakni: L1 : 1 – 2 – 4 –1 : v1 + v2 + v5 = 0 L2 : 1 –3 – 4 – 1 : v1 + v3 + v6 = 0 L3 : 1 – 2 – 3 – 4 – 1 : v1 + v2 – v4 + v6 = 0 L4 : 1 – 3 – 2 – 4 – 1 : v1 + v3 + v4 + v5 = 0 L5 : 1 – 2 – 3 – 1 : v2 – v3 – v4 = 0 L6 : 1 – 2 – 4 – 3 – 1 : v2 – v3 + v5 – v6 = 0 L7 : 2 – 3 – 4 –2 : -v4 – v5 + v6 = 0 L8 : 4 – 5 – 6 – 4 : v7 + v8 - v9 = 0 b. Tidak, misalnya L1 dapat diperoleh dari penjumlahan L4 dan L5 atau L2 dari penjumlahan L3 dan (-L5) sehingga persamaan di atas masih bergantung linier. c. Ki = b – (n-1) = b – n + 1 = 9 – 6 + 1 = 4. Jadi hanya ada empat persamaan loop yang bebas linier. Salah satu himpunan persamaan loop tersebut adalah L1, L5, L7, dan L8 (buktikan). d. Karena {7,9} membentuk sebuah cut-set maka i7 + i9 = 0 9. Misalkan N adalah sebuah two-port yang dibangun dari interkoneksi resistor linier dua terminal (yakni, setiap resistor memenuhi hukum Ohm: vj = Rjij). Perhatikan dua percobaan berikut: Percobaan 1. Drive N dengan dua buah sumber tegangan v1 dan v 2 dan ukur masing-masing arus port i1 dan i 2 (lihat P1.9a). Percobaan 2. Drive N dengan dua buah sumber tegangan v1 dan v " dan " 2 " " ukur masing-masing arus port i1 dan i 2 (lihat P1.9b). Buktikan bahwa kedua himpunan hasil pengukuran memenuhi hubungan v1i1 + v 2 i " = v1i1 + v " i 2 " 2 " 2 i1 i 2 " i1 i" 2 v1 1 N 2 v 2 " v1 1 N 2 v"2 P1.9a P1.9bDiktat Pendukung Teori Rangkaian 11
  12. 12. Bab 1 Hukum Kirchhoff Solusi: Pada percoaan (1) diperoleh sekumpulan tegangan yang memenuhi hukum KVL dan arus yang memenuhi hukum KCL, yakni v a = [ v1 v 2 v k ] dan ia = [−i1 − i 2 i k ] k = 1,2,3,...N Pada percobaan (2) juga diperoleh sekumpulan tegangan yang memenuhi hukum KVL dan arus yang memenuhi hukum kCL, yakni v b = [ v1 v "2 v " ] dan ib = [−i1 − i "2 i " ] k = 1,2,3,...N " k " k Perhatikan arah polaritas sumber tegangan dan arus arus komponen di luar N. Di sini kita menggunakan perjanjian associated reference direction sehingga arus i1 , i 2 , i1 dan i " diberi tanda negatif. Untuk rangkaian di dalam N, asumsikan kita " 2 menggunakan associated reference direction. . Dengan menggunakan teorema Tellegen, himpunan vektor v a , v b , ia , dan ib dapat ditulis menjadi T T v a ia = 0 ...(1) v b ia = 0 ...(3) T T v a ib = 0 ...( 2) v b ib = 0 ...( 4) Persamaan yang berguna bagi kita dalam pembuktian rumus ini hanyalah persamaan (2) dan (3). Dalam bentuk lain, kedua persamaan dapat ditulis dalam bentuk N (2) → − v1i1 + ∑ v k i "k − v 2 i "2 = 0 " ...(5) dan k =1 N (3) → − v1i1 + ∑ v "k i k − v "2 i 2 = 0 " ...(6) k =1 Karena resistor di dalam N memenuhi hukum Ohm, maka dapat ditulis v k = R k i k ...(7) dan v "k = R k i " k ...(8) Substitusi (7) ke (5) dan (8) ke (6) diperolehDiktat Pendukung Teori Rangkaian 12
  13. 13. Bab 1 Hukum Kirchhoff N − v i + ∑ R k i k i "k − v 2 i " = 0 " 1 1 2 ...(9) dan k =1 v k N − v1i1 + ∑ R k i " i k − v " i 2 = 0 " k 2 ...(10) k =1 v" k Substitusi persamaan (9) ke (10) akan diperoleh v1i1 + v 2 i " = v1i1 + v " i 2 " 2 " 2 10. Misalkan N adalah sebuah two-port seperti yang dideskripsikan pada pertanyaan (9). Perhatikan percobaan berikut. Percobaan 1. Drive port 1 dengan sebuah sumber tegangan E dan ukur arus i 2 pada port 2 yang telah di-short circuit-kan (lihat P1.10a). Percobaan 2. Drive port 2 dengan sebuah sumber tegangan E dan ukur arus " i1 pada port 1 yang telah di-short circuit-kan (lihat P1.10b). Buktikan bahwa i 2 = i1 . " E 1 N 2 i 2 " i1 1 N 2 E P1.10a P1.10b Solusi Ini merupakan kasus khusus dari pertanyaan 9 dengan v1 = E, v 2 = 0, v1 = 0, dan v " = E sehingga dari solusi pertanyaan 9 diperoleh " 2 E.i1 + 0.i " = 0.i1 + E.i 2 " 2 ⇔ i 2 = i1 dengan E ≠ 0 " 11. Perhatikan rangkaian yang ditunjukkan pada P1.11a. Dua kumpulan pengukuran pada rangkaian memberikan hasil: (i) Ketika R L = 2Ω v i = 8V i i = −2A v L = 2V ^ ^ ^ (ii) Ketika R L = 4Ω v i = 12V i i = −2.4A v L = ?Diktat Pendukung Teori Rangkaian 13
  14. 14. Bab 1 Hukum Kirchhoff ^ Tentukan v L bila diketahui R1, R2, R3, dan R4 adalah resistor linier yang memenuhi hukum Ohm. ii R1 i1 R2 i3 + vi vL RL R3 i2 − R4 i4 P1.11a Solusi Dengan metode seperti pada solusi pertanyaan (9), diperoleh (perhatikan arah arus ii dan vi. Asumsikan arus iL dan tegangan vL mengikuti associated reference direction) ~ 4 ~ ~ v1 i1 + ∑ R k i k i k + v L i L = 0 ...(1) dan k =1 ~ vk ^ 4 ^ ^ vi i i + ∑ R kik i k + vL i L = 0 ...(2) k =1 vk Substitusi persamaan (1) ke (2) diperoleh ^   v  ^ ^ ^ ^  vL  ^ 2 vi i i + v L i L = vi ii + v L i L ⇔ 8(- 2.4 ) + 2  = 12(− 2 ) + v L (1) iL = L = = 1 A    4   RL 2    ^ ⇔ v L = 9.6 V 12. Jaringan N pada P1.12a terdiri dari n-2 resistor linier tak berubah terhadap waktu (time-invariant linear resistor). Tegangan dan arus diukur untuk dua kondisi R2 dan input yang berbeda, seperti ditunjukkan pada table berikut. ^ Tentukan nilai v 2 .Diktat Pendukung Teori Rangkaian 14
  15. 15. Bab 1 Hukum Kirchhoff R2 =1Ω R2 = 2 Ω i1 i2 ^ + v1 = 4 V v1 = 6 V v1 N R2 v2 − i1 = 1 A ^ i 1 = 1.2 A ^ v2 = 1 V v 2 = ..... P1.12a Solusi ^ v 2 = 2,4 V (Perhatikan arah arus dan polaritas tegangan pada port masukan dan keluaran). 13. Misalkan N adalah sebuah one-port yang terdiri dari elemen-elemen n- terminal dan n-port. Buktikan bahwa daya sesaat (instantaneous power) yang memasuki N pada saat t sama dengan jumlah dari daya yang memasuki setiap elemen pada saat t. Solusi ij i1 + j i1 v j− 1 + j ij v1 N 2 i1 n-terminal i n −1 j 1 v1 − n-port in + n vn + − n 1 vn−1 n-1 n − P1.13a P1.13b P1.13c Perhatikan gambar P1.13a. Misalkan N terdiri dari x buah elemen n-terminal dan y buah elemen n-port. Bila vxj dan ixj adalah tegangan dan arus pada terminal ke-j dari elemen n-terminal ke-x maka daya Px yang memasuki elemen tersebut adalah (lihat P1.13b) n −1 Px ( t ) = ∑ v xj ( t )i xj ( t ) untuk semua t j=1 Demikian pula, daya Py yang memasuki sebuah elemen n-port adalah (lihat P1.13c) n Py ( t ) = ∑ v yj ( t )i yj ( t ) untuk semua t j=1Diktat Pendukung Teori Rangkaian 15
  16. 16. Bab 1 Hukum Kirchhoff Dengan menggunakan teorema Tellegen diperoleh x  n −1  y  n  − v1 ( t )i1 ( t ) + ∑  ∑ v xj ( t )i xj ( t )  + ∑  ∑ v yj ( t )i yj ( t )  = 0 atau     x =1  j=1  y =1  j=1  x y v1 ( t )i1 ( t ) = P = ∑ Px ( t ) + ∑ Py ( t ) dengan P adalah daya yang memasuki N. x =1 y =1 14. Untuk sembarang rangkaian resistif, tunjukkan bahwa daya total yang diberikan oleh semua sumber sama dengan penjumlahan daya yang diberikan oleh sumber-sumber arus dengan sumber-sumber tegangan di-nol- kan dan daya yang diberikan oleh sumber-sumber tegangan dengan sumber- sumber arus di-nol-kan. Solusi: i + vs N v is − P1.14a Dari gambar P1.14a tampak daya yang diberikan ke rangkaian N adalah P = vsi + is v ...(1) Berdasarkan prinsip superposisi (prinsip superposisi akan dijelaskan lebih rinci pada Bab 5. Untuk semua rangkaian resistif berlaku prinsip superposisi), persamaan (1) dapat ditulis dalam bentuk [ ] [ P = v s i (1) + i ( 2 ) + i s v (1) + v ( 2 ) ] ...(2) dengan i(1) dan v(1) adalah solusi untuk i dan v bila hanya ada vs i(2) dan v(2) adalah solusi untuk i dan v bila hanya ada is Persamaan (2) dapat disusun dalam bentukDiktat Pendukung Teori Rangkaian 16
  17. 17. Bab 1 Hukum Kirchhoff P = v s i (1) + i s v ( 2 ) + v s i ( 2) + i s v (1) ⇔ P = Pis + Pvs + v s i ( 2) + i s v (1) ...(3) dengan Pv adalah daya yang diberikan ke jaringan N bila hanya ada vs Pi adalah daya yang diberikan ke jaringan N bila hanya ada is Dari persamaan (3) tampak harus dibuktikan bahwa [vsi(2) +isv(1)] = 0. Bila hanya ada sumber tegangan vs pada jaringan N (lihat P1.14b) maka i (1) Himpunan tegangan yang + memenuhi hukum KVL: v a = [ v s , v (1) , v a ] vs N v (1) k Himpunan arus yang memenuhi − hukum KCL: ia = [−i (1) ,0, i a ] k P1.14b Bila hanya ada sumber arus is pada jaringan N (lihat p1.14c) maka i( 2) Himpunan tegangan yang + memenuhi hukum KVL: v b = [0, v ( 2) , v b ] N v ( 2) is k Himpunan arus yang memenuhi − hukum KCL: ib = [−i ( 2 ) ,−i s , i b ] k P1.14c Perhatikan arah arus dan polaritas tegangan port masukan dan keluaran. Asumsikan penulisan tegangan dan arus untuk semua elemen dalam N mengikuti aturan associated reference direction. T T Dari teorema Tellegen dapat ditulis v a ib = 0 (persamaan 4) dan v b ia = 0 (persamaan 5). N v s [−i ( 2 ) ] + v (1) [−i s ] + ∑ v a i b = 0 k k ...(4) dan k =1 N N 0.[−i (1) ] + v ( 2 ) .[0] + ∑ v b i a = 0 ⇔ k k ∑v b a k k i = 0.[−i (1) ] + v ( 2 ) .[0] = 0 ...(5) k =1 k =1Diktat Pendukung Teori Rangkaian 17
  18. 18. Bab 1 Hukum Kirchhoff Substitusi v a = R k i a ke persamaan (4) dan v b = R k i b ke persamaan (5) diperoleh k k k k v s i ( 2 ) + v (1) i s = 0 sehingga persamaan (3) menjadi P = Pi + Pv.Diktat Pendukung Teori Rangkaian 18

×