기술통계 - 자료의 중심과 퍼진정도

자료의 생김새를 숫자로 나타내보자 R과 함께하는 기초통계R과 통계 한림대학교 이윤환, http://fb.com/yoonani72

표기 방법R과 통계 한림대학교 이윤환, http://fb.com/yoonani72

중심?R과 통계 한림대학교 이윤환, http://fb.com/yoonani72

자료의 중심은… 가운데 균형점R과 통계 한림대학교 이윤환, http://fb.com/yoonani72

(산술) 평균• 자료들의 무게 중심• 이해를 위한 헛소리. – 각 자료들은 1만큼의 측정 비용을 갖는다. • 가중 평균의 경우 모두 1이 아닌 측정비용을 갖는다. – 모든 자료들의 측정값을 합한다. • 얼마나 측정되었는지 확인 – 합해진 측정값을 총 측정비용으로 나눈다. • 단위 측정 비용(여기서는 1)당 얼마만큼 측정될지 기대함.R과 통계 한림대학교 이윤환, http://fb.com/yoonani72

(산술) 평균 – R로 구하기 168 174 171 165 177• 자료 입력 > h = c(168, 174, 171, 165, 177)• 전체 지불 비용 : 자료 h의 원소의 갯수 > length(h) [1] 5• 전체 측정값 구하기 > sumH = sum(h) > sumH [1] 855R과 통계 한림대학교 이윤환, http://fb.com/yoonani72

(산술) 평균 – R로 구하기• 전체 측정값을 지불비용의 총합으로 나누기 > sumH / length(h) [1] 171• R에서의 평균 함수 : mean() > mean(h) [1] 171R과 통계 한림대학교 이윤환, http://fb.com/yoonani72

(산술) 평균• 앞선 예제 자료를 순서대로 나열해 보자. 측정비용은 무게와 같아서 모두 1로 동일 1 1 1 1 1 165 168 171 174 177R과 통계 한림대학교 이윤환, http://fb.com/yoonani72

(산술) 평균 • 다음 변화에서 무게 중심점은 어떻게 움직일까? 1 1 1 1 1 165 168 171 175 177 1 1 1 1 1165 168 171 174 177 … 195 R과 통계 한림대학교 이윤환, http://fb.com/yoonani72

(산술) 평균• 평균은 양쪽 끝값의 변화에 민감하다. – 보완사항 : x% 절사평균(Trimmed Mean) • 작은 쪽과 큰 쪽을 각각 전체 자료중 (x/2)%의 자료를 제거하 고 남은 값들로 평균 측정 • 작은 쪽과 큰 쪽의 변화에 민감한 평균의 성질 보완 • 체조 점수의 예R과 통계 한림대학교 이윤환, http://fb.com/yoonani72

중앙값R과 통계 한림대학교 이윤환, http://fb.com/yoonani72

중앙값• 5개의 자료가 있을 경우 그 순위만 나열해 보자. 1 2 3 4 5 중앙값보다 작은 자료의 수가 중앙값보다 큰 자료의 수가 전체 자료의 반 이상 전체 자료의 반 이상 이 두 조건을 동시에 만족하는 값R과 통계 한림대학교 이윤환, http://fb.com/yoonani72

중앙값• 자료의 개수가 짝수일 때 1st 2nd 3rd 4th 11 15 17 20R과 통계 한림대학교 이윤환, http://fb.com/yoonani72

평균과 중앙값의 관계• 다음과 같은 자료가 있다고 하자. 3 2 3 4 1 2 3 4 5 평균 : 3, 중앙값 : 3 – 자료가 좌우대칭(중심을 기준으로 작은 쪽과 큰 쪽의 개수가 서로 같은 경우)이면 평균과 중앙값이 같다.R과 통계 한림대학교 이윤환, http://fb.com/yoonani72

평균과 중앙값의 관계• 앞선 자료가 다음과 같이 변한다면? 3 1 2 3 4 1 2 3 4 중앙값은 여전히 3 (5번째 위치에 있는 값이 3) 평균은 왼쪽으로 이동할까? 오른쪽으로 이동할까?R과 통계 한림대학교 이윤환, http://fb.com/yoonani72

평균과 중앙값의 관계• 다음과 같은 자료라면? 3 2 3 4 5 2 3 4 5 중앙값은 여전히 3 (5번째 위치에 있는 값이 3) 평균은 왼쪽으로 이동할까? 오른쪽으로 이동할까?R과 통계 한림대학교 이윤환, http://fb.com/yoonani72

평균과 중앙값의 관계• 평균이 양쪽 끝값의 변화에 민감한 반면 중앙값은 민감하지 않다.• 평균과 중앙값의 위치 만으로 대략 자료의 형태를 유추해 볼 수 있다. – 최빈값을 같이 알면 더 수월하게 파악할 수 있다.• 대표값 – 어떤 관찰집단의 특징을 대표한다. – 약점 : 정보가 한 점으로 수렴한다. • Ex) 평균이 사람 잡는다. • 퍼진 정도를 같이 나타내어 정보의 손실을 줄인다.R과 통계 한림대학교 이윤환, http://fb.com/yoonani72

자료의 퍼진 정도• 대표값(평균 혹은 중앙값)을 중심으로 하여 얼마 나 자료들이 퍼져 있는지를 나타낸다.• 기본적인 퍼진 정도 – 범위(range) :최대값(max) – 최소값(min) – 편차(deviation) • 개별 관찰값 – 평균 • 편차의 합은 0이다 ← 평균의 중요 성질 – 평균에서 사용한 자료를 이용하여 R을 통한 확인 > dev = h - mean(h) > sum(dev) [1] 0R과 통계 한림대학교 이윤환, http://fb.com/yoonani72

자료의 퍼진 정도 - 표준편차• 편차를 뜯어 보자.• 다음은 앞선 평균자료에서 사용한 개별 편차이다. > h - mean(h) [1] -3 3 0 -6 6 – 평균의 입장에서 볼 때 -3이나 3은 모두 거리는 3만큼 떨어져 있다. – 음수와 양수는 방향을 나타낼 뿐 평균의 입장에서는 얼 마만큼 멀리 떨어져있는지 궁금하다. – 절대값을 취해도 되지만 계산시 고려할 점이 많으니 다 른 방법을 생각해 보자.R과 통계 한림대학교 이윤환, http://fb.com/yoonani72

자료의 퍼진 정도 - 표준편차• 각 편차들을 제곱해 보자. > (h - mean(h)) ^ 2 [1] 9 9 0 36 36• 자 이제 각 편차들에 대해 평균을 구해보자. – 평균의 다른말로 기대값이라는 용어를 앞서 이야기 하였다. – 개별 자료들이 평균에 대해 얼마만큼 떨어질지 기대하는 값을 구 해보자는 의미로 생각해 보자. – 개별 편차 제곱들 역시 측정 비용으로 1만큼 갖고 있다고 생각하 고 편차 제곱 합을 편차들의 개수인 5로 나누자. > sum((h - mean(h)) ^ 2) / 5 [1] 18R과 통계 한림대학교 이윤환, http://fb.com/yoonani72

자료의 퍼진 정도 - 표준편차R과 통계 한림대학교 이윤환, http://fb.com/yoonani72

자료의 퍼진 정도 - 표준편차 > var(h) [1] 22.5 > sd(h) [1] 4.743416R과 통계 한림대학교 이윤환, http://fb.com/yoonani72

자료의 퍼진 정도 - 사분위수범위R과 통계 한림대학교 이윤환, http://fb.com/yoonani72

자료의 퍼진 정도 - 사분위수범위• R에서의 사분위수와 사분위수범위 > quantile(h) 0% 25% 50% 75% 100% 165 168 171 174 177 > IQR(h) [1] 6• 간략한 요약값들의 정보 > summary(h) Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max. 165 168 171 171 174 177R과 통계 한림대학교 이윤환, http://fb.com/yoonani72

기술통계 - 자료의 중심과 퍼진정도

by Yoonwhan Lee

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